matemáticadiscreta 02 cap 1 teoria dos conj

7/23/2019 Matemticadiscreta 02 Cap 1 Teoria Dos Conj

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CAPTULO 1 - Teoria dos conjuntos Paulette

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TEORIA DOS CONJUNTOS

1.

CONCEITO DE CONJUNTOS

A teoria dos conjuntos tem inicio com o matemtico Georg Cantor ( 1845-1918). Como naGeometria Euclidiana adota-se ponto, reta e plano como conceitos primitivos e so aceitas sem

definio, assim tambm so conceitos primitivos:

Conjunto, elemento e a relao de perti nncia.

Podemos descrever um conjunto, citando um a um seus elementos, ou apresentando umapropriedade caracterstica dos mesmos.

Para dar nome aos conjuntos usamos as letras maisculas A, B, C, etc. e colocamos seus

elementos entre chaves. Os objetos que compem os conjuntos so denominados elementos.

Exemplo 1:

Chamamos deAo conjunto dos nmeros pares e indicamos por:A={0,2,4,6,8,...} e representamos pelo diagrama de Venn (John Venn,(18341923), matemtico

e lgico ingls), como:

A

0 2 4

6 8 ...

Para indicarmos que um elemento apertence a um conjuntoAescrevemos a A

( leia: apertence aA) caso contrrio a A ( leia: ano pertence aA)

Exemplo 2:SejaA= {1,2,3,4,5}. Nesse caso l-se:

2 A (2 pertence aA)

0 A (0 no pertence aA)

2. INCLUSO DE CONJUNTOS

Definio 01:

Dizemos que um conjunto A subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de

A tambm um elemento de B.

Notao: A B ( A subconjunto de B ), caso contrrio A B .


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Exemplo 3:

a) Se A={1,2} e B={1,2,3,4}, ento A B b) Se A={2,3} e B={1,2,3,4}, ento A B

3. IGUALDADEDefinio 02:

Dois conjuntos A e B so iguais se, e somente se, tm os mesmos elementos.Simbolicamente

A = B A Be B A .Exemplo 4:

Seja A={1,2} e B ={1,2}, nesse caso A = B ,pois, A B e B A .

Exerccios de aplicao 1:

Use a noo de pertence e a definio de subconjunto e coloque (V) se as sentenas foremverdadeiras e (F) se as sentenas forem falsas.

1) Sejam A = {1,2,3,4} e B = {1,3,4}, entoa) B A ( ) d) {1,2} A ( )

b) 3 A ( ) e) {1,2} A ( )

c) 2 B ( ) f) {4} A ( )

2) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, entoa) B A ( ) d) {a, b} A ( ) e) {a, b} A ( )

b) a A ( ) c) b B ( ) f) {a} A ( )

3)Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com , , e a) A.........B c) {1,2,3}.......B

b) {1,2}.....A d) 3.............B

4.CONJUNTO VAZIO

Definio 03:Chama-se conjunto vazio aquele que formado por nenhum elemento.

O Smbolo usual para conjunto vazio

Exemplo 5:

O conjunto dos nmeros que multiplicados por zero produz resultado 3 vazio.

Simbolicamente

| 0. 3x x


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5. CONJUNTOS DAS PARTES

Definio 04:

Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica ( )A , ao conjunto de todos os

subconjuntos do conjuntoA.

Exemplo 6:

SeA= {a, b, c}, ento o conjunto das partes deA formado por:

( )A = {{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}, }. Nesse caso o nmero de elementos de

( )A 8 = 32 ( 2 elevado ao nmero de elementos deA)

Exemplo 7:Dar o nmero de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo:

a)A=

b)A={a}

c)A= {a, b}

d)A= {a, b, c}Resoluo:

(a)A= , ( )A ={ } , logo n( ( )A ) = 1 = 2

(b)A= {a}, ( )A = { , {a}}, logo n( ( )A ) = 2 = 2

(c)A= {a, b}, ( )A = {{a},{b},{a, b}, }. Logo, n( ( )A ) = 4 = 2

(d)A={a,b,c}, ( )A ={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A, }, logo n( ( )A )=8 =2.

Dessa maneira podemos escrever:

Se n(A) = 0, ento n( ( )A ) = 2 = 1

Se n(A) = 1, ento n( ( )A ) = 2 = 2

Se n(A) = 2, ento n( ( )A ) = 2 = 4

Se n(A) = 3, ento n( ( )A ) = 2 = 8

.........................................................

Se n(A) = n, ento n( ( )A ) = 2n (n {0,1,2,3,4,5,6,7,...})

Concluso: Para sabermos quantos elementos tm o conjunto das partes de A, n( ( )A ) s escrever:( )( ( )) 2n An A

6. OPERAES COM CONJUNTOS

Na teoria dos nmeros temos as operaes adio e multiplicao, o mesmo ocorre na teoria dosconjuntos, porm com operaes prprias.


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6.1. Unio ( )

Definio 05:Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se unio do conjunto A com o conjunto B, ao conjunto de

todos os elementos de A ou de B.

Em smbolos: |A B x x A ou x B

Exemplo 8:

Sejam A = {1,3,5,7} e B = {2,3,4,6}, ento A B = {1,2,3,4,5,6,7}

A1 B

7 3 4 25 6

6.2. Interseco ( )

Definio 06:Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se interseco dos conjuntos A e B, ao conjunto formado

pelos elementos que esto em A e esto em B.

Em smbolos: |A B x x A e x B

Exemplo 9:

Sejam A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, ento A B {b, c, d}

Ab B

a c ed

PROPRIEDADES

Aceitamos as propriedades da unio e da interseco que seguem, sem demonstrao. Para um

maior entendimento faa o diagrama de Venn hachurando a regio definida pela propriedade.


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P1.Se A B , ento A B = A e A B = B

A

B

A

B

A B = A A B = B

P2 . Idempotncia: A A =A e A A = A

P3 . A e A = A

P4 . Comutativa: A B B A e A B = B A

P5 .Associativa: ( )A B C ( )A B C e (A B) C = A (B C)

P6 . Distributiva: ( )A B C ( ) ( )A B A C e

A (B C) = (A B) (A C)

6.3. Diferena (-)

Definio 07:Dados os conjuntos A e B, denominamos conjunto diferena de A em relao a B, ao conjunto

dos elementos B que no so elementos de A.

Em smbolos: |B A x x B e x A

Exemplo 10:

1) Se A = {a, b, c, d} e B={b, c, d, e}, ento A-B = {a}

2) Se A = {a, b, c, d} e B={ c, d}, ento A-B = {a,b}

3) Se A = {1,2,3,4} e B={1,2,3}, ento A-B = {4}


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6.4. Complementar (A )

Definio 08:Se A B, chama-se conjunto complementar de A em relao a B ao conjunto dos elementos de

B que no so elementos de A.

Em smbolos: ' -A A B A x x B e x A

A

Exemplo 11:

Demonstrar que A-(B C) = (A-B) (A-C)Soluo:

A-(B C)= : ( )x x Ae x B C

= : ( )x x A e x B e x C

= : ( ) ( )x x A e x B e x A e x C

= : } { :x x Ae x B x x Ae x C =(A-B) (A-C)

Exemplo 12:

Sejam A = {1,2,3} e B={1,2,3,4,5}, ento B-A={4,5}

PROPRIEDADES

1. A A

2. A B A B e A B A B Leis de De Morgan

3. A A

4. A A U( Sendo U: universo)

5.A B A B

6.5. Diferena simtrica

Definio 09:

Definimos diferena simtrica e indicamos por A B ao conjunto

( ) ( )A B A B B A =( ) ( )A B A B


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30

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Propriedades:

1. A A

2. A B B A

3. A A

7. NMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO FINITO

Para dois conjuntos se tem:

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B

Para trs conjuntos se tem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C

Exemplo 13:Trs Cursos universitrios so os mais procurados, para o vestibular, pelos alunos de em uma

Escola de Ensino Mdio, so eles: Administrao (A), Biologia (B) e Contbeis (C). Aps a pesquisaforam apresentados os seguintes resultados.

Cursos A B C A e B A e C B e C A e B e C

Preferncia 90 130 170 20 40 30 10

Determinar:

a) Quantos alunos consultados preferem s o Curso de Administrao (A)?b) Quantos alunos consultados preferem s dois Cursos?

c) Quantos alunos consultados preferem Administrao (A) ou Contbeis (C) ?d) Quantos alunos consultados preferem Administrao (A) e no Contbeis (C)?

Resoluo: Usando a representao de Venn podemos escrever o nmero de alunos com suas

preferncias.

A B

C


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Portanto,a) Os alunos consultados que preferem s o Curso de Administrao so 40.

b) Os alunos consultados que preferem s dois Cursos so 60.

c) Os alunos consultados que preferem Administrao (A) ou Biologia(B) so 200.

d) Os alunos consultados que preferem Administrao e no Contbeis so 50.

Exerccios de apl icao 2:

1) Sejam X, Y e Z os conjuntos tais que n(Y Z) = 20, n(X Y)= 5,

n(X Z)=4, n(X Y Z) = 1 e n(X Y Z) = 22, determinar o nmero de elementos do conjunto

X - (Y Z).

2) Assinale a resposta correta.

a) A - (B C) ( ) b) (B C) - A( ) c) C - (A B) ( )

3)Trs produtos A, B e C so consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo dessesprodutos, foram colhidos os resultados.

Produtos A B C A e B A e C B e C A e B e C

Consumidores 100 140 180 20 40 30 10

Determinar:

a) Quantas pessoas consultadas consomem s o produto A?b) Quantas pessoas consultadas consomem s dois produtos?

c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B?d) Quantas pessoas consultadas consomem A e no consomem C?


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4)De um torneio de atletismo, tm-se as informaes no quadro sobre as provenincias e sexos dosparticipantes. Determine o nmero de mulheres de Rio Pardo.

Cidades \ Sexos Homens Mulheres Total

RIO PRETO 4 3RIO CLARO a b

RIO PARDO a b

RIO BRANCO 8 b

TOTAL 2b 17

5) O quadro indica o resultado de uma pesquisa feita sobre as pessoas que freqentam cinema (C),teatro (T), e shows musicais ao vivo (S).

Entretenimentos C T S C,T C,S T,S C,T,S

Participantes (%) 80 15 4 6 4 3 2

Verifique se esta pesquisa feita consistente.

Exerccios de aplicao 3:

1) Se 1,2,3 , 1,2,4,5,7, e 1,3,4,5,8 ,A B C ento ( )A B C igual a

(A) 1,2,3 (B) 2,3 (C) 4,5 (D) 1 (E) nda

2) Se o conjunto A tem 20 elementos, o conjunto A B tem 12 elementos e o conjunto A B tem 50

elementos, ento o conjunto B tem

(A) 20 (B) 38 (C) 50 (D) 42 (E) nda

3) Indique a resposta verdadeira.

(A) 3 1,3,5

(B) 3 1,3,5

(C) 1,3,5

(D) 0 0,1, 0

(E) nda


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4) Sejam os conjuntos A,B e C finitos. Se ( )n A B )=18, n(A C)=20 e ( ) 8n A B C ,

ento ( ( )n A B C

(A) 10 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 40

5) O quadro indica o resultado de uma pesquisa com pessoas que lem os jornais:A, B e C.

Jornais A B C A,B A,C B,C A,B,C

Leitores 100 90 110 15 20 30 5

Nestas condies podemos dizer que leem

(A) s A, 75 pessoas. (B) s B, 57 pessoas. (C) s C, 64 pessoas. (D) dois jornais 50

pessoas. (E) os trs jornais 10 pessoas.

6) Use a noo de pertence e a definio de subconjunto e coloque (V) se as sentenas forem

verdadeiras e (F) se as sentenas forem falsas.

i) Sejam A = {a, b,{a},{a, b}} e B = {a, b,{a, b}}, ento

a) B A ( ) b) a A ( ) c) b B ( )

d) {a,b} B ( ) e) {a} A ( )

ii) Sejam A={1,2,{1,2}} e B={{1,2,3},3}, complete com , , e .

a) A.........B c) {1,2,3}...........B

b) {1,2}.......A d) 2.............B

7) Determinar A B e A B, sendo:

a) A = {1,2,3,4} e B = {0,3,4,5}

A B = A B =


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b) A = {a, c, e, g} e B = {b, d, f, g}

A B = A B =

8) Sejam A = {0,1,{2},{0,1}} e B = {1,{2},{0,1}} e C = {0,1,2,{2},{0,1}}.

Determinar:

a) A B = b)B C =

c) (A B) C = d) C-(A B)=

9) No diagrama hachurar o que se pedea) A-(B C) b)(A-B) (A-C)

AB

C

AB

C


1)Sendo A= {x x< 5} e B= {x x


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2) Hachurar o diagrama usando a lei C - (A B)

A

C

3) Assinale a resposta correta no diagrama:

a) A B b) (A B) - C c) C - (A B) d) A B C

4) Seja A = {0, }, determinar o conjunto das partes de A , ( ( )A )).

5) Sejam A, B e C os conjuntos finitos. Se n(A B) = 30, n(A C) = 20 e n(A B C) = 15,

ento o n(A (B C)) :

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) n.d.a.

6) Se n(A) = 90, n(B) = 50 e n(A B) = 30 ento n(A B) :

a) 60 b) 90 c) 100 d) 110 e) n.d.a.


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7) Sobre os membros de uma comisso sabe-se que:

a) 9 so solteiros;b) 5 so homens;

c) 10 no so mulheres casadas;d) 8 no so homens solteiros.

Pede - se:

1) Quantos membros existem nessa comisso?2) Quantos membros dessa comisso so homens casados?

8) Sendo A={1, 2, {1}} e B={1, {1}, {1,2}}. Coloque (V) ou (F)

a) A B ( )

c) {1, 2} B ( )b) {1, 2} B ( )

d) {1, 2} A ( )

9) Sendo:

A = {n | n< 1}

B = {n -1 < n}

C = {n -2< n


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2) Em um grupo h 40 homens e 40 mulheres. 30% dos homens fumam e 6 mulheres fumam. A

porcentagem de fumantes no grupo

(A) 20%. (B) 24%. (C) 26,25%. (D) 22,5%. (E) 28,5%.

3) Em um grupo de 30 gatos, h gatos brancos e gatos pretos. Nesse grupo, existem 20 gatos machos,15 gatos pretos, e sabe-se que 4 fmeas so brancas. O nmero de machos pretos :

(A) 7. (B) 9. (C) 8. (D) 11. (E) 10.

4) Os elementos dos dois conjuntos a seguir so nmeros naturais:A= {1,2,3,...,48}

B= {15,16,17,...,63} . O nmero de elementos do conjunto A B :

(A) 48. (B)34. (C) 33. (D) 63. (E) 35.

5) Durante uma viagem, choveu cinco vezes. A chuva caa pela manh ou tarde, nunca durante a

manh e tarde no mesmo dia. Houve seis manhs e trs tardes sem chuva durante a viagem.Quantos dias duraram a viagem?

(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 6 (E) 7


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6) Aps uma pesquisa realizada numa cidade, constatou-se que as famlias que consomem arroz no

consomem macarro. Sabe-se que 40% consomem arroz;30%consomem macarro; 15% consomemfeijo e arroz; 20% consomem feijo e macarro; 60% consomem feijo. Calcule a percentagem

correspondente s famlias que no consomem nenhum desses trs produtos.

(A) 4% (B) 5% (C) 6% (D) 7% (E) 8%

7) Um banco de sangue catalogou 60 doadores assim distribudos: 29 com sangue do tipo 0; 30 com

fator Rh negativo; 14 com fator Rh positivo e tipo sanguneo diferente de 0. Quantos doadores possuem

tipo sanguneo diferente de 0 e fator Rh negativo?

(A) 19 (B) 18 (C) 20 (D) 21 (E)17


1) Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)

a) ( ) ( )A B B B A A B A B

b) ( )A B A B A c) ( )B B A A B


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2) ( )A A B igual a

a)A B b) A B c) A B

3) Mostre que ( ) ( )A B A B A B

4) Mostre que ( ) ( )A B A B A B U

5) Prove que para quaisquer A e B, A B B A

6) Coloque (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. (Justificando)

a) A B A B


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b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C

c) ( ) ( ) ( )A B C A B A C

d) ( )A A B A B

7) Sabendo-se que ( ( )) ( ( ) 32n A n B A e ( ) 7,n A B determinar ( )n A B .


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8) Se A e B so subconjuntos de U tais que ( ) ( )A B A B . Se ( )n U mpar, mostre

que ( ) ( )n A n B

9) Mostre as propriedades: Leis de De Morgan

a)A B A B

b) A B A B Leis de De Morgan.

10) Mostre que ( )A B B C A B

11) Mostre que ( )A B C A B C A B


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12) a) A B A B

b) A B A B

13) Use as propriedades convenientes e mostre que [ ( )] ( )A A B C A B C

14) Em um grupo de 18 pessoas, o nmero de pessoas casadas igual ao nmero de homens solteiros.

H 10 pessoas solteiras e o nmero de homens casados igual ao nmero de mulheres casadas. Qual onmero de mulheres solteiras?


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15) Em um grupo de 20 pessoas, 14 so no fumantes. O nmero de no fumantes estrangeiros

simultaneamente o qudruplo do nmero de fumantes brasileiros e o dobro do nmero de fumantesestrangeiros. Quantos so os brasileiros no fumantes?

16) Mostre que a sentena verdadeira [ ( )] ( )A B C A C A

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