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NOVA EDIÇÃO:
De acordo com as Metas Curriculares
e o Novo Programa de 2013.
Elza Gouveia DurãoMaria Margarida Baldaque
CADERNO DE APOIO AO ALUNO
Matemática5.o ano
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ÍndiceCapítulo 1 NÚMEROS NATURAIS
Saber fazer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ficha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ficha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ficha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ficha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ficha 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Capítulo 2 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
Saber fazer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ficha 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ficha 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ficha 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ficha 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ficha 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Saber fazer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Ficha 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ficha 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ficha 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Ficha 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Ficha 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Capítulo 3 FIGURAS NO PLANOSaber fazer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Ficha 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Ficha 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Ficha 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Ficha 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Capítulo 4 PERÍMETROS E ÁREASSaber fazer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ficha 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Ficha 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Saber fazer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Ficha 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Ficha 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Ficha 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Ficha 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ficha 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Capítulo 5 REPRESENTAÇÃO . . . . . . .E INTERPRETAÇÃO . . . . . .DE DADOS
Saber fazer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Ficha 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Ficha 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Ficha 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Ficha 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Brincar,fazer amigos.
Aprender e estudar.Tudo isto é necessário
para teres sucessoescolar.
Nota: Este caderno de apoio encontra-se redigido conforme o novo Acordo Ortográfico.
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2 NÚMEROS NATURAIS
Como calcular rapidamente uma soma de várias parcelas usando as propriedades da adição?
Calcular: 392 + 193 + 8 + 7 O uso das propriedades comutativa e associativa
(392 + 8) + (193 + 7) = 400 + 200facilita o cálculo.
= 600
Como calcular uma parcela desconhecida numa soma de duas parcelas?
Descobrir a parcela que falta em: 493 + ? = 609 e em: ? + 209 = 508
609 – 493 = 116 A subtração é a operação inversa da adição.
508 – 209 = 299
Como calcular o aditivo numa subtração conhecidos o subtrativo e o resto?
Calcular o aditivo em: ? – 1529 = 113pela identidade fundamental da subtração.
? = 1529 + 113 Aditivo = Subtrativo + Diferença
? = 1642
Como calcular o valor de uma expressão numérica com somas, diferenças e parêntesis?
Calcular: 59 + (13 + 24) – 3 Os parêntesis indicam os cálculos a efetuar em
59 + (13 + 24) – 3 = 59 + 37 – 3primeiro lugar.
= 93Numa expressão numérica com somas e diferenças
efetuam-se os cálculos respeitando a ordem, isto é,
da esquerda para a direita.
1. Escreve os números naturais menores do que 10.
________________________________________________________________________________________________________
2. Calcula rapidamente o valor da expressão:
395 + 44 + 5 + 6 = ____________________________________________________________________________________
3. Completa de modo a obteres afirmações verdadeiras.
3.1 115 + ________ = 312 3.2 ________ – 413 = 208 3.2 0 ________ IN
4. Calcula.
410 – (13 + 2) + (6 + 4) – 9 = _____________________________
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Números naturais
(IN designa o conjunto
dos números naturais,
isto é, 1, 2, 3, …)
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Como calcular rapidamente um produto de vários fatores usando as propriedades da multiplicação?
Calcular: 25 × 7 × 4 × 2 O uso das propriedades comutativa
(25 × 4) × (7 × 2) = 100 × 14e associativa da multiplicação
= 1400facilita o cálculo.
Como calcular o valor de uma expressão numérica com somas, diferenças, produtos e parêntesis?
Calcular: 22 – 4 × 5 + 3
22 – 4 × 5 + 3 = 22 – 20 + 3 A multiplicação tem prioridade sobre
= 2 + 3 a adição e a subtração.
= 5
Quando só temos adições e subtrações
efetuam-se os cálculos da esquerda para a direita.
14 + (19 – 2 × 8) = 14 + (19 – 16) Efetuam-se primeiro os cálculos dentro
= 14 + 3 de parêntesis e dá-se prioridade à multiplicação.
= 17
Como usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração?
Calcular: 8 × (20 + 5) = 8 × 20 + 8 × 5 8 × (100 – 2) = 8 × 100 – 8 × 2
= 160 + 40 = 800 – 16
= 200 = 784
93 × 1925 + 7 × 1925 = 1925 × (93 + 7) Pôs-se em evidência o fator comum, 1925.
= 1925 × 100
= 192 500
5. Calcula, usando as propriedades da multiplicação.
5.1 200 × 25 × 5 × 4 = ______________ 5.2 10 × 50 × 2 × 10 = ______________
6. Calcula o valor das expressões numéricas.
6.1 36 – 2 × 3 + 4 × 5 – 15 = ______________ 6.2 28 – 2 × 3 + (6 + 3 × 4) = ______________
7. Usa a propriedade distributiva para multiplicar 6 e 25 por 11, 99, 101.
________________________________________________________________________________________________________
8. Põe em evidência o fator comum e calcula.
8.1 2016 × 8 + 2016 × 2 = ______________ 8.2 998 × 5 + 998 × 95 = ______________
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4 NÚMEROS NATURAIS
Como calcular uma potência com base e expoente números naturais?
Calcular: 23 ; 32 ; 104
23 = 2 × 2 × 2 = 8 32 = 3 × 3 = 9 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
Calcular o cubo de quatro e o quadrado de seis:
43 = 4 × 4 × 4 = 64 62 = 6 × 6 = 36
Como calcular um fator numa multiplicação, conhecidos o produto e um dos fatores?
Descobrir o fator que falta em: 8 × ? = 96 e em: ? × 9 = 999
96 : 8 = 12 A divisão é a operação inversa da multiplicação.
999 : 9 = 111
Como calcular o valor de uma expressão numérica que envolva somas, diferenças,produtos, quocientes e parêntesis?
Calcular: 16 + (6 + 6 : 3) – 42 Os cálculos dentro de parêntesis efetuam-se
16 + (6 + 6 : 3) – 42 = 16 + (6 + 2) – 4 × 4em primeiro lugar.
= 16 + 8 – 16
= 24 – 16A multiplicação e a divisão têm prioridade sobre
= 8a adição e a subtração.
Entre duas operações com a mesma prioridade
efetua-se primeiro a que aparece em primeiro
lugar.
9. Calcula.
9.1 82 ________________________ 9.2 53 ________________________ 9.3 105 ______________________
10. Calcula o cubo de três e o quadrado de sete.
______________________________________________________________________________________________________
11. Completa.
11.1 ________ × 64 = 192 11.2 44 × ________ = 132
12. Calcula o valor das expressões numéricas.
12.1 8 + (4 × 2 – 6 : 6) – 23 = ______________________________
12.2 28 + 14 : 7 × 32 + 1100 = ______________________________
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Como determinar os múltiplos naturais de um número natural?
Determinar os cinco primeiros múltiplos de 12:
Multiplico 12 por 1, 2, 3, 4 e 5 e obtenho: 12, 24, 36, 48 e 60.
Determinar os múltiplos naturais de 15:
Multiplico 15 por 1, 2, 3, 4, … e obtenho 15, 30, 45, 60, …
Como posso saber rapidamente se um número é divisível por 2, 3, 4, 5, 9 e 10?
Será o número 42 615 divisível por 2, 3, 4, 5, 9 e 10?
Por 2: 42 615 não é divisível por 2 porque não é número par.
Por 3: 42 615 é divisível por 3 porque 4 + 2 + 6 + 1 + 5 = 18 e 18 é múltiplo de 3.
Por 5: 42 615 é divisível por 5 porque o algarismo das unidades é 5.
Por 9: 42 615 é divisível por 9 porque 4 + 2 + 6 + 1 + 5 = 18 e 18 é múltiplo de 9.
Por 4: 42 615 não é divisível por 4 porque 15 não é múltiplo de 4.
Por 10: 42 615 não é divisível por 10 porque o algarismo das unidades não é zero.
Que algarismo devo colocar em para que o número 31 seja divisível por 3 e por 5?
Repara que 31 é divisível por 5 se termina em 0 ou 5.
310 não é divisível por 3, logo zero não serve.
315 é divisível por 3 pois 3 + 1 + 5 = 9 e 9 é múltiplo de 3, logo 5 é a resposta.
13. Determina os múltiplos naturais menores do que 100 dos números 9 e 15.
_______________________________________________________________________________________________________
14. De entre os números 68 , 9618 , 9999 e 1008 , escolhe os que são divisíveis:
14.1 por 2 ____________________ 14.3 por 4 ____________________ 14.5 por 3 ___________________
14.2 por 2 e 5 __________________ 14.4 por 9 ____________________
15. Que algarismo posso colocar em para que o número 11 6 seja divisível por 3 e 4?
16. Escreve em linguagem simbólica e calcula:
16.1 o quíntuplo da diferença entre oitenta e dois e sete: ____________________________________________
16.2 metade do triplo da soma de noventa e cinco com cinco: ______________________________________
16.3 o produto de vinte pelo quociente de quinze por três: ___________________________________________
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6 NÚMEROS NATURAIS
Como se calcula o quociente e o resto, numa divisão inteira?
Efetuar a divisão inteira de 972 por 39 é encontrar dois números, o quociente e o resto, queverificam a igualdade:
Dividendo = divisor × quociente + resto
sendo o resto menor do que o divisor.
Assim:
Como calcular o dividendo de uma divisão inteira, quando conheço o divisor, o quociente e o resto?
Qual é o dividendo numa divisão inteira em que o divisor é 9, o quociente 6 e o resto o maior possível?
Os restos possíveis na divisão por 9 são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, pois o resto é sempre menor do que
o divisor. Neste caso, o maior resto possível é 8.
Dividendo = divisor × quociente + resto
? = 9 × 6 + 8 logo Dividendo = 62
17. Calcula o quociente e o resto nas divisões inteiras.
17.1 17.2
18. Pensei num número e dividi-o por 12. Obtive quociente 8 e como resto o maior número par
possível.
Em que número pensei?
_______________________________________________________________________________________________________
19. Determina o valor de a :
19.1 19.2
976
– 78
196
–195
1
Verifico que:
1 � 39
e
976 = 39 × 25 + 1
39
25
976 39
196 25
01
dividendo divisor
restoquocienteou
? 9
8 6
1024 25
a 27
_____ 16
13
a 28
21 13
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Como calcular os divisores de um número?
Quais são os divisores de 18?
Procuro números naturais cujo produto seja 18.
1 × 18 = 18 O número 4 não é divisor de 18 porque não existe
2 × 9 = 18 um número natural que multiplicado por 4 dê 18.
3 × 6 = 18
Diz-se que 18 é divisível por 1, 2, 3, 6, 9, 18 ou que os divisores de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Como saber se um número é primo? E composto?
Um número natural, maior do que 1, é primo se tem apenas dois divisores, 1 e o próprio número.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19
Um número natural com mais de dois divisores chama-se composto.
Exemplos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 e 20
Não esqueças:
Todo o número natural é divisor de si próprio.
O número um é divisor de todos os números naturais.
O conjunto dos divisores de um número natural é um conjunto finito.
20. Calcula os divisores de 16, 45, 13, 41 e 66. Quais destes números são primos?
_______________________________________________________________________________________________________
21. Verdadeiro ou falso?
(A) 313 é divisível por 3 _____________ (C) 13 é fator de 169 ________________
(B) 8 é múltiplo de 64 _______________ (D) 5 é divisor de 523 _______________
22. Serão os números 7 922 048 e 9 543 114 divisíveis por 4? E por 9?
_______________________________________________________________________________________________________
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8 NÚMEROS NATURAIS
Como utilizar propriedades dos divisores?
Propriedade 1: Num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto.
Exemplo: 9 × 17 = 153 1, 3 e 9 são divisores de 9, logo são divisores de 153.
1 e 17 são divisores de 17, logo são divisores de 153.
Propriedade 2: Se um número natural é divisor de outros dois, também é divisor das respetivas soma e
diferença.
Exemplo: 6 é divisor de 18 e 24 pois 18 = 6 × 3 e 24 = 6 × 4 .
Então 18 + 24 = 6 × 3 + 6 × 4 = 6 × (3 + 4) = 6 × 7 → divisível por 624 – 18 = 6 × 4 – 6 × 3 = 6 × (4 – 3) = 6 × 1 → divisível por 6
Como utilizar propriedades da divisão inteira?
Propriedade 1: Todo o número que divide o dividendo e o divisor de uma divisão inteira divide
necessariamente o resto.
Exemplo: 5 é divisor de 65 e de 10, logo é divisor do resto, 5.
Propriedade 2: Todo o número que divide o divisor e o resto de uma divisão inteira divide também o
dividendo.
Exemplo: 3 é divisor de 9 (o divisor) e de 6 (o resto), logo é divisor de 69
(o dividendo).
23. Sabendo que 90 = 5 × 18 e 115 = 5 × 23 :
23.1 Indica dois divisores de 90 diferentes de 1 e 90. ______________________________________________
23.2 Podes afirmar, sem calcular a soma e a diferença, que 90 + 115 e 115 – 90 são divisíveis
por 5?
_________________________________________________________________________________________________
24. Efetua a divisão inteira, usando papel e lápis, de 240 por 32. Calcula o quociente e o resto das
seguintes divisões inteiras sem as efetuares.
120 : 16 60 : 8 30 : 4
25. Numa divisão inteira, o divisor é 22 e o resto é 11. Será o dividendo múltiplo de 11? Porquê?
_______________________________________________________________________________________________________
26. Compara os quocientes e os restos das seguintes divisões inteiras:
Que observas?
_______________________________________________________________________________________________________
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65 10
5 6
69 9
6 7
28 12 14 6 7 3
9NÚMEROSNATURAIS
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Como calcular o máximo divisor comum de dois números?
Determinar m.d.c. (48, 60) :
Como calcular o mínimo múltiplo comum de dois números?
Determinar m.m.c. (10, 12) :
27. Calcula, por dois métodos, o m.d.c. dos seguintes pares de números. Calcula também o m.m.c.
27.1 16 e 20 27.2 28 e 63 27.3 24 e 30
28. O produto de dois números é 756 e o mínimo múltiplo comum desses números é 126. Qual é o
máximo divisor comum desses números?
_______________________________________________________________________________________________________
Calculando os divisores
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 – divisores de 48
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 – divisores
de 60
12 é o maior divisor comum a 48 e 60.
m.d.c. (48, 60) = 12
Pelas divisões sucessivas
Divide-se o maior número pelo menor:
Como o resto não deu zero, continuo e divido o
menor número por aquele resto:
Como o resto deu zero, o divisor 12 é o
m.d.c. (60, 48) .
Calculando os múltiplos naturais
10, 20, 30, 40, 50, 60 … múltiplos de 10
12, 24, 36, 48, 60 … múltiplos de 12
Como se relacionam o m.d.c. e o m.m.c. de dois números naturais?
O produto de dois números naturais é igual ao produto do seu máximo divisor comum pelo seu
mínimo múltiplo comum.
Exemplo: 10 e 12 10 × 12 = m.d.c. (10, 12) × m.m.c. (10, 12)
m.d.c. (10, 12) = 2 120 = 2 × 60
m.m.c. (10, 12) = 60
Pratica
60 48
12 1
48 12
0 4
60 é o menor número natural que é múltiplo
de 10 e 12, logo m.m.c. (10, 12) = 60 .
10 NÚMEROS NATURAIS
fich
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Adição e subtração de números naturais. Propriedades.Operações combinadas
Nom
e
N.o
Tu
rma
A
vali
ação
Pro
f.
E
nc.
Ed
uc.
1. Para cada uma das expressões são propostos três resultados, mas só um está correto. Faz uma
estimativa e indica o resultado correto, sublinhando-o.
1.1 2609 + 43 + 352 • 2704 • 3004 • 3504
1.2 5423 – 295 • 5718 • 5708 • 5128
1.3 8004 + 604 + 32 • 8606 • 8640 • 8706
2. Calcula mentalmente usando propriedades da adição.
2.1 99 + 13 + 1 ____________________________________________________________________________________________________
2.2 25 + 53 + 75 + 7 ______________________________________________________________________________________________
2.3 200 + 505 + 95 + 800 ________________________________________________________________________________________
2.4 38 + 21 + 22 + 49 _____________________________________________________________________________________________
3. Descobre os números naturais que faltam em cada sequência e explica a regra que aplicaste.
3.1 1, 3, 6, 10, ______ , 21 ______
3.2 10, 17, 26, ______, 50, 65 ______
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
4. Qual é o número que corresponde a cada um dos pontos assinalados na reta numérica?
4.1
4.2
5. O Zé pesa 23 kg menos do que o António e a Ana 13 kg mais do que o Zé.
Se o António pesa 85 kg, quanto pesam os três juntos?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
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cont.
6. Completa de modo a obteres afirmações verdadeiras.
6.1 1405 + _________ = 2509 6.3 _________ – 293 = 591
6.2 _________ + 7004 = 9001 6.4 2004 – _________ = 1990
7. A Luísa comprou nos saldos uma camisola e umas calças.
Quanto poupou?
______________________________________________________________________________________________________________
8. Calcula a soma de mil e quarenta com dois mil e sete.
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
Calcula a diferença entre três mil e nove e dois mil e onze.
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
9. Observa a balança ao lado, com duas maçãs de igual massa e uma pera.
Se a massa da pera é 90 g, qual será a massa de cada maçã?
___________________________________________________________________________________________________________________
10. Completa o quadrado mágico seguinte.
11. Coloca parêntesis onde achares necessário, de modo a obteres afirmações verdadeiras.
11.1 39 – 18 – 15 = 36 11.2 38 – 5 – 3 + 15 = 15
12. Calcula.
159 – (12 – 9) + 13 – (18 – 11) = _______________________________________________________________________________
9 21
18
15 27
78€58€
45€39€
12 NÚMEROS NATURAIS
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Multiplicação. Propriedades. Potências.Operações combinadas
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1. Estima quanto pesarão 19 caixas de bombons iguais à da figura.
______________________________________________________________________________________________________________
2. Calcula mentalmente usando as propriedades da multiplicação:
2.1 7 × 50 × 2 × 10 = ________________ 2.5 5 × 9 + 5 x 11 = ______________________
2.2 5 × 81 × 20 = ____________________ 2.6 98 × 8 + 98 × 2 = ____________________
2.3 25 × 5 × 4 × 2 = _________________ 2.7 2010 × 3 + 2010 × 7 = _______________
2.4 12 × 11 = ________________________ 2.8 80 × 101 = ___________________________
3. Calcula o produto de cinco centenas por nove dezenas.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Um camião transporta 75 caixas grandes e 25 caixas pequenas
de morangos.
4.1 Escreve uma expressão que represente o número de kg que o
camião transporta.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
4.2 Se a caixa grande de morangos custa 24 € e a pequena 14 €, quanto pagarei por oito caixas grandes e
duas pequenas?
______________________________________________________________________________________________________________
5. Calcula, usando a propriedade distributiva da multiplicação.
5.1 (30 + 8) × 2 = _________________________________________________________________________________________________
5.2 5 × 89 + 5 × 11 = _____________________________________________________________________________________________
5.3 14 × 8 + 14 × 2 = _____________________________________________________________________________________________
5.4 (75 – 13) × 3 = ________________________________________________________________________________________________
248 g
12 kg7 kg
13NÚMEROSNATURAIS
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6. Traduz o enunciado de cada um dos problemas seguintes por uma expressão numérica e calcula o seu
valor.
6.1 Num salão de formato quadrado, com 600 cm de lado, colocou-se um rodapé e deixou-se num dos
lados uma entrada de 150 cm.
Que comprimento tem o rodapé?
________________________________________________________________________________________________________________
6.2 Comprei três bicicletas a 150 € cada uma. Paguei com 600 €.
Quanto recebi de troco?
________________________________________________________________________________________________________________
6.3 Um par de meias de fantasia custava 6 €. Durante os saldos, o preço de cada par baixou 2 €. Quanto
custarão três pares?
________________________________________________________________________________________________________________
7. Representa na forma de potência com base e expoente ou na forma de produto.
7.1 7 × 7 = ________________________________________ 7.4 3 × 9 × 3 × 9 × 3 = ___________________________________
7.2 100 × 10 × 1000 = ___________________________ 7.5 5 + 5 + 5 = ____________________________________________
7.3 6 × 6 × 36 = __________________________________ 7.6 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = ___________________________________
8. Somos dois números ímpares consecutivos menores do que 15 e a diferença dos nossos quadrados é 40.
Que números somos?
___________________________________________________________________________________________________________________
9. Calcula: 34; 37; 313; 318. Os resultados são números pares ou ímpares?
Sem efetuares cálculos, conjetura se o resultado de 311 + 312 é par ou ímpar.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
10. Números cruzados.
Horizontais: A. Quadrado de um número;
número cujo quadrado é 4.
B. 103 × (86 – 62) + 54
C. Cubo de um número;
quadrado de 6.
D. Quinta potência de 2.
E. Potência de 9.
Verticais: 1. (20 – 4 × 2)2 + 23
2. 62 + 7 × 102 + 20 × 103
3. Múltiplo de 8 e potência de 2; 52.
4. 25 – 32; dobro de 3.
5. Quadrado de um número; 199.
A
1 2 3 4 5
B
C
D
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14 NÚMEROS NATURAIS
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Divisão. Divisão inteira. Critérios de divisibilidade. Operações combinadas
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1. Completa.
1.1 25 × _______________ = 625 1.2 _______________ : 12 = 400
2. Se um autocarro transporta 42 passageiros, quantos autocarros serão necessários para transportar
504 passageiros?
___________________________________________________________________________________________________________________
3. Observa o anúncio ao lado.
3.1 Em quantos anos pagarei este automóvel?
______________________________________________________________
3.2 Quanto irei pagar por mês?
______________________________________________________________
4. Sabendo que a medida da área de um retângulo é A▭ = c × � , determina em metros a largura de cada
terreno representado.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
5. Para facilitar a compra de um barco de 3400 €, uma loja anuncia
a informação que consta ao lado.
Qual será o valor de cada mensalidade?
6. Calcula.
6.1 24 × 2 : 6 : 4 × 10 = ___________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
6.2 62 + 4 × 3 – 42 : 8 = __________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
384 m2 I = ?I = ?
24 m38 m
1026 m2
640 € de entrada
+
12 mensalidadeiguais
Bom negócio!
Sem entrada!
Pague o seu automóvel em 48mensalidades iguais.
18 000 €
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
15NÚMEROSNATURAIS
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cont.
7. De entre os números 25; 90; 100; 104; 207, seleciona números que são divisíveis por:
7.1 2 _______________ 7.2 3 _______________ 7.3 4 _______________
7.4 5 _______________ 7.5 9 _______________ 7.6 10 _______________
8. Calcula os três primeiros números maiores do que 100 e divisíveis por:
8.1 3 _______________ 8.2 5 _______________
8.3 2 e 3 _______________ 8.4 10 _______________
9. Numa divisão inteira, o divisor é 7.
9.1 Quais são os restos possíveis?
________________________________________________________________________________________________________________
9.2 Se o quociente for o dobro do divisor e o resto o maior número ímpar possível, qual é o dividendo?
________________________________________________________________________________________________________________
10. Italianos e espanhóis visitaram um museu em grupos de 40, exceto o último, que tinha 32 italianos.
Sabendo que foram feitas oito visitas guiadas ao museu, quantos eram os turistas?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
11. Um lavrador precisa de 379 kg de adubo para tratar os seus campos.
Comprou sacas de 15 kg de adubo, por 7 € cada uma.
11.1 Quantas sacas de adubo precisa de comprar, no mínimo?
_______________________________________________________________________________________________________________
11.2 Quanto gastou em euros?
_______________________________________________________________________________________________________________
12. Calcula.
102 – 4 × 23 + (2 + 60 : 10) + 188 = ______________________________________________________________________________
13. Inventa uma expressão numérica que represente 18 e que tenha soma, diferença, produto, quociente e
potências.
___________________________________________________________________________________________________________________
14. Considera os números 937 244 e 19 984. Serão os números dados divisíveis por 4? _______________________
Sem efetuares a divisão inteira de 937 244 por 19 984, mostra que o resto é divisível também por 4.
Confirma efetuando a divisão inteira.
___________________________________________________________________________________________________________________
16 NÚMEROS NATURAIS
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Divisores. Critérios de divisibilidade.Números primos e números compostos
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1. Indica:
1.1 os múltiplos naturais de 9 menores do que 90. ____________________________________________________________
1.2 o menor múltiplo de 16 superior a 300. ________________________________
2. Indica os divisores de:
3. Qual é o menor número de dois algarismos com oito divisores?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
4. Descobre os algarismos escondidos em 4 3 , de modo a obteres um número divisível por 3
e por 10, e que se represente com algarismos diferentes.
A solução é única?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
5. Verdadeiro (V) ou falso (F)?
(A) 26 – 22 × 7 é divisível por 9.
(B) 7 tem 3 divisores.
(C) 103 + 102 é divisível por 2, 4, 5, 10 e 100.
(D) 15 – 2 × 3 não é divisível por 9.
(E) Numa divisão inteira, se um número divide o divisor e o resto divide o dividendo.
6. Num restaurante pretende-se distribuir 36 turistas pelas mesas, que devem ter igual número de pessoas.
Quantas pessoas podem ficar em cada mesa, sabendo que o número de mesas é maior do que 8, mas
menor do que 15?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
7. Explica a diferença entre número primo e número composto. Dá exemplos.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
15
_______________________
_______________________
36
_______________________
_______________________
42
_______________________
_______________________
88
_______________________
_______________________
17NÚMEROSNATURAIS
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cont.
8. Sabendo que 117 = 13 × 9 e 135 = 15 × 9 , podes afirmar que 135 – 117 e 135 + 117 são divisíveis
por 9, sem efetuar cálculos? Justifica.
___________________________________________________________________________________________________________________
8.1 Será 13 divisor de 117? E 3?
___________________________________________________________________________________________________________________
8.2 Será 13 divisor de 135? E 5?
___________________________________________________________________________________________________________________
9. Utiliza o divisor e o resto da divisão inteira 1232 por 121 para concluíres que 1232 é divisível por 11.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
10. Números cruzados.
Horizontais: A. O menor número primo maior do que 40; o menor número
primo.
B. Múltiplo de 157.
C. Número composto com 12 divisores.
D. O menor número primo que se representa com quatro
algarismos.
Verticais: 1. Número capicua; não é primo nem composto.
2. A soma dos números primos menores do que 10.
3. Múltiplo de 10 e de 17.
4. Divisor de 4; número primo.
11. Uma caixa de mangas contém menos de cinco dúzias de mangas. Contei-as de treze em treze e não
sobrou nenhuma mas, quando as contei de cinco em cinco, sobraram duas.
Quantas mangas tem a caixa?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
12. Sem efetuares os produtos 12 × 13 × 15 e 23 × 14 × 25 , averigua se são divisíveis por 6 e por 7. Justifica.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
13. Completa o quadrado mágico.
O que podes dizer dos números que o formam?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
A
1 2 3 4
B
C
D
47 101
113
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18 NÚMEROS NATURAIS
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m.d.c. e m.m.c. de dois númerosN
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1. Completa.
1.1 Divisores de 12: __________________________________ 1.5 Divisores de 16: ______________________________________
1.2 Divisores de 18: __________________________________ 1.6 Divisores de 20: ______________________________________
1.3 Divisores comuns a 12 e 18: _____________________ 1.7 Divisores comuns a 16 e 20: _________________________
1.4 O maior divisor comum a 12 e 18 é _____________ 1.8 O maior divisor comum a 16 e 20 é _________________
2. Segue um caminho análogo ao indicado no exercício 1 e calcula:
2.1 m.d.c. (6, 15) 2.2 m.d.c. (24, 32) 2.3 m.d.c. (42, 70)
3. Usando o método das divisões sucessivas, calcula:
3.1 m.d.c. (36, 48) 3.2 m.d.c. (24, 60) 3.3 m.m.c. (45, 75)
4. Escreve os seis primeiros múltiplos naturais de 8 e 12 e sublinha os múltiplos comuns.
___________________________________________________________________________________________________________________
4.1 Qual é o menor número natural que é múltiplo de 8 e 12? _________________________________________________
5. Segue um caminho análogo ao do exercício 4 e calcula.
5.1 m.m.c. (6, 5) 5.2 m.m.c. (8, 10) 5.3 m.m.c. (45, 60)
6. Uma florista tem 100 tulipas brancas e 60 vermelhas e quer com elas fazer o maior número possível de
ramos, de modo que cada um tenha o mesmo número de tulipas de cada cor.
Quantos são os ramos e quantas tulipas de cada cor tem cada ramo?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
19NÚMEROSNATURAIS
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cont.
7. Calcula m.d.c. (15, 40) e m.m.c. (15, 40).
7.1 Calcula e compara os produtos:
a) 15 × 40 b) m.d.c. (15, 40) × m.m.c. (15, 40)
7.2 Experimenta com outros pares de números por ti escolhidos e faz uma conjetura sobre o que
acabaste de verificar.
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
8. Um grupo coral tem mais de 150 pessoas e menos de 200, que podem ser colocadas em filas de 5
ou 6 pessoas, sem sobrar nenhuma.
Quantas pessoas tem o grupo coral?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
9. A Joana fez 28 colares e 35 pulseiras com missangas. Pretende embalar os colares e as pulseiras,
colocando o mesmo número de peças em cada embalagem, sem sobrar nenhuma.
Quantas peças de cada tipo vai colocar em cada embalagem? Quantas embalagens utilizou? Explica.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
10. Dois divulgadores médicos visitam o consultório de um médico, um deles de 12 em 12 dias e o outro de
18 em 18 dias. Hoje estiveram os dois no consultório.
Daqui a quantos dias se voltarão a encontrar?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
11. Explica em que casos é que o m.d.c. de dois números é igual ao menor desses números.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
12. Calculou-se o m.d.c. e o m.m.c. de dois números e obteve-se respetivamente 16 e 2496. Sabendo que
um dos números é 48, descobre o outro.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
20 NÚMEROS NATURAIS
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Descobre os números dos que tornam verdadeiras as igualdades:
1.1 2 + 2 = 52 1.2 2 + 2 = 132 1.3 2 + 2 + 2 = 92.
O chão da minha cozinha é quadrado, e tem 5 m de lado.Quantos mosaicos quadrados, de lado 20 cm, vou precisar para renovar o chão da minha cozinha?
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Lê os enunciados dos problemas e faz corresponder a cada um aexpressão numérica que traduz o seu enunciado.
3.1 Comprei duas camisolas e umas calças e paguei com 50 €. Quantorecebi de troco? ______________________________________________________________
3.2 Comprei duas camisolas e umas calças e sobraram-me 50 €. Quantodinheiro tinha antes da compra? _______________________________________________
3.3 Faltam-me 50 € para poder comprar duas camisolas e duas calças.Quanto dinheiro tenho? ______________________________________________________
3.4 Se as calças custassem menos 8 €, comprava as duas peças de roupa e não recebia troco. Quanto dinheiro tinha?
A. 2 × (8 + 22) – 50 C. 8 + 22 – 8
B. 50 – 2 × 8 – 22 D. 50 + 2 × 8 + 22
Num armazém embalaram-se 200 bolas de ténis em caixas de 6 bolas. À medida que cada caixa ficava completa enchia-se a seguinte.
4.1 Quantas caixas ficaram completas? ____________________________________________________________________
4.2 Quantas bolas ficaram na caixa incompleta? __________________________________________________________
Pensa nos números primos menores do que 10 e representa cada um deles por uma expressãonumérica em que utilizes os números 2, 4, 6 e 8, sem os repetires.
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Dois atletas partem ao mesmo tempo, do mesmo sítio, num circuito. Um leva 18 minutos a per-correr o circuito e o outro 20 minutos. Se continuarem a correr mantendo a mesma velocidade, ao fim de quantas horas se voltarão aencontrar no ponto de partida?
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
1
2
3
4
6
5
22€
8 €
21NÚMEROSNATURAIS
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Imagina que dois cangurus se encontram a 720 cm de distância um do outro e pretendem trocar assuas posições. Partem os dois ao mesmo tempo, na mesma direção, e em sentidos opostos. Um dásaltos de 48 cm e o outro de 60 cm.
7.1 Sabendo que nos trajetos dos cangurus existem pontos que são pisados por ambos, quantos sãoesses pontos?
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
7.2 A que distância dos extremos se encontra cada um desses pontos?
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
No século XVIII, Euler tentou provar que todo o número par, exceto 2, pode escrever-se como somade dois números primos. Esta afirmação chama-se Conjetura de Goldbach e, até hoje, não seencontrou nenhum número par que não obedecesse a esta regra.
Verifica-a para: 28, 30, 76 e 88.
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Sem efetuares cálculos, completa as seguintes igualdades:
9.1 72 = 49 9.2 42 = 16
672 = 4489 342 = 1156
6672 = 444889 3342 = 111556
66672 = _____________________ 33342 = _____________________
666672 = ____________________ 333342 = ____________________
Efetua a divisão inteira de 244 por 8. Se dividires o dividendo e o divisor desta divisão por 4, indica o quociente e o resto, sem efetuares a nova divisão inteira.
_________________________________________________________________________________________________________________
Efetua rapidamente os cálculos:
11.1 (7 × 11 × 3) : 11 = ___________ 11.2 (12 × 6 × 3) : 18 = ___________
7
8
9
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Descubro regularidades!
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22 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
Números racionais não negativos
Como representar, usando uma fração, parte de uma figura tomada como unidade?
A figura é a unidade e está dividida em 9 partes iguais.
A parte colorida é , dois nonos da figura.
A parte não colorida é , sete nonos da figura.
O círculo é a unidade e está dividido em 4 partes iguais.
A parte colorida é , cinco quartos, ou 1 , um e um quarto.
Compreender o significado, por exemplo, de de 10 berlindes
destes 10 berlindes são 4 berlindes.
Compreender a fração como razão
Numa turma, por cada 4 rapazes há 5 raparigas.
A razão entre o número de rapazes e raparigas é 4 para 5 e escreve-se 4 : 5 ou .
Quer dizer que se a turma tiver 8 rapazes, terá 10 raparigas.
1. Explica por que não está colorido desta figura.
___________________________________________________________________
2. Tomando como unidade a figura, representa por fração:
2.1 a parte colorida: ____________
2.2 a parte não colorida: ____________
2.3 a razão entre a parte branca e a parte colorida: ____________
3. Quantos selos são dos representados? __________________________________________________________
Pratica
29
< 1
54
> 1
15
15
15
15
15
2
9 7
9
5
4
2 5
2
5
4
5
1
4
2
3
1
4
numeralmisto
23NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
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no
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EX
TO
Como distinguir frações que representam números inteiros de frações que representamnúmeros racionais não inteiros?
número inteiro.Nota que o numerador 14 é múltiplo do denominador 7.
número racional não inteiro; 0,6 é dízima finita.Nota que o numerador 3 não é múltiplo de 5.
número racional não inteiro.Nota que 1 não é múltiplo de 6.
Como transformar, se possível, uma fração dada em fração decimal?
fração decimal.
fração decimal.
Não se pode representar na forma de fração decimal.
4. Completa, com número racional inteiro ou número racional não inteiro:
5. Representa por uma fração decimal, se possível:
6. Observa: �2
7
1� ; �
5
1� ; 1,8 ; �
4
2� ; �
5
5� ; �
3
1� ; �
0
9� . Quais dos números representados são números naturais?
_______________________________________________________________________________________________________
Pratica
14 = 14 : 7 = 2
7
3 = 3 : 5 = 0,6
5
1 = 1 : 6 = 0,166… = 0,1(6)
6
6 = 6 : 5 = 1,2 =
12
5 101 casa
decimal1 zero
9 é ______________________
3
81 é ________________________
9 0,5 é ______________________
4 é ______________________
3
7 = ____________
4 0,05 = ____________
13 = ____________
2
2 = ____________
3
27 é ________________________
3 0,28 é _____________________
1 = 1 : 3 = 0,333… = 0,(3)
3
3 = 3 : 20 = 0,15 =
15
20 1002 casas
decimais2 zeros
4.1
4.2
5.1 5.2 5.3 5.4
4.3
4.4
4.5
4.6
sabe
r fa
zer
24 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
Como determinar frações equivalentes a uma fração dada?
Escreve duas frações equivalentes a 2 .10
Frações equivalentes representam o mesmo número.
Como determinar uma fração irredutível equivalente a uma fração dada?
Escreve a fração irredutível equivalente a 36 .42
Como comparar com a unidade números representados por frações?
7. Escreve três frações equivalentes a:
8. Escreve a fração irredutível equivalente a:
9. Completa com � , � ou = .
Pratica
Multiplicar ambos os termos da
fração pelo mesmo número,
diferente de zero.
2 =
4
10 20
2 =
4 =
1 = …
10 20 5
24 = = =
30
15 = = =
18
72 =
45
77 =
99
25 =
105
13 1
15
× 2
× 2
Dividir ambos os termos da
fração pelo mesmo número,
diferente de zero.
2 =
1
10 5
: 2
: 2
fração irredutível;
6 e 7 são números
primos entre si.
36 =
18 =
6
42 21 7
: 2
: 2
: 3
: 3
ou m.d.c. (36, 42) = 6 36 =
6
42 7
: 6
: 6
porque o numerador e o
denominador são iguais.
5 = 1
5 porque 5 � 12
5 � 1
12 porque 13 > 7
13 > 1
7
4 3
3 4
7 15
7 151,3
1
3
7.1
8.1
9.1 9.2 9.3 9.4
8.2 8.3
7.2
25
sabe
r fa
zer
MA
Tem
átic
a–
Cad
ern
o d
e A
poi
o ao
Alu
no
– M
atem
átic
a 5
.oA
no
– T
EX
TO
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
Como transformar em fração um numeral misto e vice-versa?
Só as frações que representam números maiores do que 1 podem ser transformadas emnumerais mistos.
Como adicionar ou subtrair números racionais não negativos?
10. Transforma 3 em fração e em numeral misto.
_______________________________________________________________________________________________________________
11. Calcula o valor exato de:
11.1 11.5 11.9
11.2 11.6 11.10
11.3 11.7 11.11
11.4 11.8 11.12
Pratica
13 +
1 +
5 = _____________
21 21 21
5 +
1 = ____________________
13 26
3+
1 = ____________________
9 18
23 –
1 = _______________
40 4
9–
3 = _______________
11 77
4 – 3
+ 11 ________
11 2
1 +
11 – 1
1 _______
5 2 3
0,25 – 1
= __________________
4 0,75 +
1 = _____________
4 5
1 – 2
5 = __________
3 6
5 1
= 5 × 2 + 1
= 11
2 2 2
5 +
1 =
25 +
3 =
28
3 5 15 15 15
23 = 23 : 4 = 5
34 4
23 43 5
usando o m.m.c (3, 5) = 15
parte inteira
Como e têm denominadores diferentes:
Substituíram-se as frações dadas por outras equivalentes com o
mesmo denominador e aplicou-se a regra anterior.
5 +
3 =
8
7 7 7 Para adicionar ou subtrair números representados porfrações com o mesmo denominador, adicionam-se ou sub-traem-se os numeradores e mantém-se o mesmodenominador.
5
3
1
5
2 + 1
= 6
+ 1
= 7
3 3 3 3Representou-se 2 pela fração para obter frações com o
mesmo denominador e aplicou-se a regra anterior.
6
3
3 – 1
= 3 – 0,25 = 2,75 4
3 �1
1
0� – 1 �
3
5� = 3 �
1
1
0� – 1 �
1
6
0� = 2 �
1
1
0
1� – 1 �
1
6
0� = (2 – 1) + ��
1
1
0
1� – �
1
6
0�� = 1 �
1
5
0�
Como �1
1
0� < �
1
6
0� , efetuou-se o transporte de uma unidade: 3 �
1
1
0� = 2 �
1
1
0
1�
Pois = 0,25 e, neste caso, é adequado trabalhar com a dízima.1
4
7
4
1
6
8 –
5 =
3
16 16 16
(× 5) (× 3)
3+ 4
1 = ________
5 6 1
4 –
72
1 = _____________
7
sabe
r fa
zer
26 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
Como calcular de 9 bolas?
Como representar a parte colorida da figura seguinte?
Por fração: Por numeral decimal: 0,28 Por percentagem: 28%
Lê-se «vinte e oito por cento»
e significa que 28 em 100
quadrículas estão coloridas.
Como aplicar uma percentagem?
70% de 600 atletas cortaram a meta.
Quantos cortaram a meta?
Como calcular uma percentagem?
7 em 20 alunos têm bicicleta.
Que percentagem dos alunos tem bicicleta?
2 3
2 de 9 é 6 ou
2 × 9 = 2 × 9
= 18
= 63 3 3 3
28100
28 = 0,28 = 28%
100
70 % de 600 é 70 × 600 = 0,7 × 600 = 420 atletas100
7 = 0,35 = 35%
20
Como utilizar propriedades da adição para facilitar o cálculo?
0,5 + �4
1� + �
2
1� + �
4
3� = 1 + 1 = 2
Propriedades comutativa e associativa
27
sabe
r fa
zer
MA
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– M
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átic
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no
– T
EX
TO
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
12. Calcula utilizando propriedades da adição.
12.1 �3
1� + �
4
7� + �
3
5� + �
1
7
0� _____________________________________________________________________________
12.2 0,2 + �6
5� + 1 �
6
1� + �
1
8
0� ____________________________________________________________________________
13. Calcula �4
5� de 20 alunos. ___________________________________________________________________________
14. Calcula:
14.1 20% de 12 euros. ________________________________________________________________________________
14.2 120% de 80 alunos. ______________________________________________________________________________
15. Numa escola com 125 alunos, 80 são raparigas.
Qual é a percentagem de rapazes?
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
16. Na turma da Joana, quatro quintos dos alunos são raparigas. Um terço dos rapazes e três oitavos
das raparigas «pesam» mais de 40 quilogramas.
Que fração dos alunos da turma «pesam» mais de 40 quilogramas?
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
17. Numa fábrica, o número de mulheres é �3
2� do número de homens.
Se a fábrica tem no total 75 trabalhadores, quantas mulheres há a menos do que homens?
(Sugestão: faz um desenho.)
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
18. 50% do dinheiro do Zé é �3
2� do dinheiro do Tó.
18.1 Exprime o dinheiro do Zé como fração do dinheiro do Tó.
___________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
18.2 Se o Zé tem mais 20 euros do que o Tó, quanto dinheiro têm os dois juntos?
___________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
Pratica
28 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
fich
a 6
Frações. Frações decimais. Comparação com a unidadeN
ome
N
.oT
urm
a
Ava
liaç
ão
P
rof.
En
c. E
du
c.
1. Representa os quocientes seguintes na forma de fração e indica o numerador, o denominador e a leitura:
1.1 1 : 5 = _________________________________________________________________________________________________________
1.2 7 : 3 = _________________________________________________________________________________________________________
1.3 13 : 25 = _______________________________________________________________________________________________________
1.4 29 : 100 = ____________________________________________________________________________________________________
2. Indica a fração que representa a parte colorida de cada figura tomada como unidade.
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
3. Tomando como unidade o quadrado, pinta, em cada caso, a parte correta em cada figura. Depois com-
pleta, usando os símbolos � , � , = .
4. Um meio destas caricas são do Zé, dois quintos do Manuel e as restantes
do Bruno. Quantas caricas tem cada um?
___________________________________________________________________________________________________________________
5. Rodeia as frações decimais.
6. Completa, quando tal for possível, o quadro seguinte.
4
4
1
2
2
3
5
8
3
2
4 1
4
3 ;
100 ;
200 ;
5 ;
3 ;
13
10 6 3 100 40 1000
1 1
2
2 1
3
5 1
8
3 1
2
Fração
Dízima 1 : 5 = 0,2
Fração decimal
1 5
2 10
7 2
2 3
1 4
5 2
5 6
3 8
3 4
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
29NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
fich
a 6
Man
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um
e 1)
Pág
s. 7
4 a
81
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Alu
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– M
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– T
EX
TO
cont.
7. Usa uma fração para representar a relação entre:
7.1 O número de pentágonos e o número de hexágonos. ___________
7.2 O número de hexágonos e o número de pentágonos. ___________
7.3 O número de não polígonos e o número de polígonos. ___________
8. Completa:
9. Dados os números racionais abaixo representados, indica:
9.1 os números não inteiros menores do que 1: ________________________________________________________________
9.2 os números inteiros: ________________________________________________________________________________________
9.3 os números racionais maiores do que 1: ___________________________________________________________________
10. Assinala na reta numérica:
11. Se do ordenado da Ana são 124 €, quanto ganha a Ana?
___________________________________________________________________________________________________________________
12. O Mário repartiu igualmente dois litros de leite por cinco batidos. Que quantidade de leite levou cada batido?
___________________________________________________________________________________________________________________
13. Distribuíram-se 4 kg de biscoitos igualmente por sete latas. Qual é o «peso» exato de biscoitos de cada lata?
___________________________________________________________________________________________________________________
7 ;
15 ;
1 ; 2,5 ;
8 ; 3,9 ; 0,3 ;
1 ; 5
1 ;
2 ;
0 ; 3
1
4 3 6 4 7 2 3 7 4
1 ; 0,75 ; 1
3 ;
5 ; 2
1
4 4 5 2
1
5
Numeral misto Fração
a unidade
a unidade
a unidade
0 1 2 3
30 Frações equivalentes. Simplificação de frações. Comparação e ordenação
Nom
e
N.o
Tu
rma
A
vali
ação
Pro
f.
E
nc.
Ed
uc.
1. Completa de modo a obteres igualdades verdadeiras.
Completa: Duas frações dizem-se equivalentes quando ____________________________________________________ :
2. Escreve três frações equivalentes a:
2.1 2.2
3. Escreve três frações equivalentes que representem 0,3.
4. Encontra uma fração equivalente a .
4.1 Com denominador 42 ______
4.2 Com numerador 1 ______
5. Escreve a fração irredutível que representa:
6. O António deu quatro dos berlindes que vês representados ao lado ao João
e dois oitavos à Marta.
A quem deu mais berlindes?
__________________________________________________________________________________
7. Verdadeiro (V) ou falso (F)?
Só há duas frações equivalentes a dois terços.
______ = ______ ______ = ______ ______ = ______
24 = = =
9
25 =
10
36 =
30
15 =
25
87 =
51
105 =
90
0,4 = 0,5 = 1 1
= 3
7,2 =
= =
7 = = =
35
7
21
1,2 ; 6
; 1 1
representam o mesmo número. 5 5
18 é equivalente a
36 .
30 30
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
5.1
7.1
7.2
7.3
5.3 5.5 5.7 5.9
5.2 5.4 5.6 5.8
fich
a 7
31
Man
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(vol
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2 a
87
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– M
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átic
a 5
.oA
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– T
EX
TO
cont.
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
fich
a 7 8. Observa a reta numérica e faz corresponder a cada um dos pontos assinalados uma dízima e uma fração.
9. Representa na reta numérica: .
9.1 Coloca os números acima representados por ordem crescente.
________________________________________________________________________________________________________________
10. Coloca os «pesos» seguintes por ordem decrescente.
___________________________________________________________________________________________________________________
11. Ontem a Joana viu horas de televisão, a Eva viu 0,6 h, o Rui viu h e o Luís viu 1 h.
Diz se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações seguintes:
11.1 O Rui e o Luís viram, cada um, menos de 2 h de televisão.
11.2 O Luís viu mais tempo televisão do que o Rui.
11.3 A Eva viu 36 minutos de televisão e foi quem viu menos.
11.4 A Joana foi a que viu televisão durante mais tempo.
12. A mãe do João deixou-lhe o seguinte recado na porta do frigorífico:
«Traz do supermercado, por favor, kg de fiambre, 2 kg de cenouras, kg de manteiga e 200 g de miolo
de noz. Beijos, Mãe».
12.1 Qual dos produtos «pesa» 0,125 kg? _______________________________________________________________________
12.2 Qual «pesa» 750 g? _________________________________________________________________________________________
12.3 Qual dos produtos «pesa» entre kg e kg? __________________________________________________________
12.4 Qual é o produto mais «pesado»? __________________________________________________________________________
12.5 Qual é o produto menos «pesado»? ________________________________________________________________________
12.6 Quantos quilogramas trouxe o João no saco? _____________________________________________________________
0 1 2
0 1 2
2 1
; 0,8 ; 6
2 4
1,75 kg 1 1
kg2
7 kg
3
5
2
8
5
3
4
1
2
1
8
3
4
1
8
1
2
23 kg
10
32 Adição e subtração de números racionais não negativos. Fração de uma quantidade
Nom
e
N.o
Tu
rma
A
vali
ação
Pro
f.
E
nc.
Ed
uc.
1. Pinta, na figura, a vermelho e a azul, e completa.
2. Pinta, na figura a azul e a vermelho, e completa.
2.1 Que fração da figura ficou por pintar? ______________________________
3. Calcula.
3.1 3.4 3.7 3.10
3.2 3.5 3.8 3.11
3.3 3.6 3.9 3.12
4. Calcula, depois de substituíres as frações dadas por outras equivalentes com o mesmo denominador.
4.1 4.3 4.5 4.7
4.2 4.4 4.6 4.8
5. Calcula rapidamente.
5.1 5.3
5.2 5.4
6. Comeu-se um quarto e depois um oitavo de um queijo da serra.
Será que ainda sobrou meio queijo?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
7. Cinco oitavos do conteúdo de uma revista são dedicados a informação, um quarto do seu conteúdo a
crónicas e o restante a anúncios.
Que fração do conteúdo da revista ocupam os anúncios?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
2
5
1
5
1
2
1
3
2 +
1=
5 5
1 +
1=
2 3
1 +
7 = ____
35 5
2 +
1 = ____
7 3
1+
7 = ____
6 3
13–
5 = ____
14 7
3 –
1 = ____
9 18
3–
1 = ____
9 8
3 +
1 + 0,5 +
2 = ____
2 3 3
3 +
1 + 0,75 + 0,7 = ____
10 4
0,5 + 3
+ 0,25 + 1
= ____
4 2
7 +
3 +
2 +
4 = ____
3 7 3 7
2 – 1,375 = ____ 3 – 1
= ____
8
5 + 2 = ____
6
1 + 3 = ____
3
5 +
16= ____
2 2
18 +
1 = ____
7 7 1 +
1 = ____
5 2 –
3 = ____
4
0,75 +9
= ____
4 0,25 –
1 = ____
4 2,2 +
3 = ____
10 4,5 –
5 = ____
2
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
fich
a 8
7 1
+ 2 1
= ____
6 4
5 1
– 3 1
= ____
7 2
33
Man
ual
(vol
um
e 1)
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99
MA
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– T
EX
TO
cont.
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
fich
a 8 8. O colar da Luísa tem 15 contas. Completa.
9. O Bruno tinha 40 € e gastou do seu dinheiro num livro.
9.1 Quanto custou o livro? _______________________________________________________________________________________
9.2 Quanto dinheiro lhe sobrou? _________________________________________________________________________________
10. Escreve em linguagem simbólica e calcula.
• a soma de três e um quarto com um e um meio: _____________________________________________________________
• a diferença entre dois e um quarto e um e um terço: ________________________________________________________
• dois quintos de vinte e cinco: __________________________________________________________________________________
11. Estão 144 alunos no recreio. jogam à bola e um nono dos restantes falam ao telemóvel.
Quantos são os alunos que não estão a jogar à bola, nem estão ao telemóvel?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
12. O João comprou alguns selos de correio. Usou desses selos e ainda ficou com 12. Quantos selos com-
prou o João?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
13. A Sara comprou 30 m de tecido e usou para fazer quatro fatos iguais.
Quantos metros gastou em cada fato?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
14. O Zé distribuiu todos os seus cromos por três amigos. Ao Nuno deu dos seus cromos, ao João e
ao Paulo vinte e cinco cromos.
Quantos cromos tinha o Zé?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
1 de 15 são ____________________
3
3
8
3
4
3
5
3
5
1
5
3
10
1 de 15 são ____________________
5
2 de 15 são ____________________
3
5 de 15 são ____________________
5
8.1
8.2
8.3
8.4
34
Percentagens. Aplicar percentagensN
ome
N
.oT
urm
a
Ava
liaç
ão
P
rof.
En
c. E
du
c.
1. Representa por fração, numeral decimal e percentagem a parte colorida de cada figura.
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
___________________________
2. Foram inquiridas 100 pessoas acerca da forma como tomam conhecimento das notícias diárias, e
registaram-se as respostas.
Exprime os resultados em percentagem.
___________________________________________________________________________________________________________________
3. Completa os quadros seguintes:
4. Completa.
4.1 25% de 8000 = __________________ 4.2 125% de 90 = __________________
5. Calcula mentalmente.
5.1 10% de 300 = ___________________ 5.4 5% de 300 = ___________________ 5.7 50% de 300 = __________________
5.2 25% de 44 = ___________________ 5.5 50% de 44 = ___________________ 5.8 1% de 44 = ___________________
5.3 1% de 80 = ___________________ 5.6 10% de 80 = ___________________ 5.9 200% de 80 = __________________
6. Escolhe um número maior do que e menor do que e representa-o em percentagem.
___________________________________________________________________________________________________________________
1
4
1
2
Jornal Televisão Rádio Internet
8 55 12 25
Percentagem Fração decimal Numeral decimal
7%
135%
Percentagem Fração irredutível Numeral decimal
20%
45%
1,239
100
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
1.1
1.2
fich
a 9
35
Man
ual
(vol
um
e 1)
Pág
s. 10
0 a
105
MA
Tem
átic
a–
Cad
ern
o d
e A
poi
o ao
Alu
no
– M
atem
átic
a 5
.oA
no
– T
EX
TO
cont.
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
fich
a 9 7. Sabendo que o círculo todo representa 100%, que percentagem da superfície do círculo está colorida?
8. O gráfico circular representa os resultados obtidos em 60 jogos por uma equipa de futebol.
8.1 Qual a percentagem de vitórias?
________________________________________________________________________________________________________________
8.2 Mostra que a equipa perdeu 15 jogos.
________________________________________________________________________________________________________________
8.3 Qual foi o número de vitórias? E de empates?
________________________________________________________________________________________________________________
9. Calcula o preço do trolley e da bicicleta, sabendo que nos saldos estão com um desconto de 25%.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
10. No labirinto só são permitidos deslocamentos:
• na horizontal, se for para outra representação do mesmo número;
• para cima, se for para um número maior;
• para baixo, se for para um número menor.
Descobre o caminho.
40% 7% 7%
Empates
35%
Derrotas
25%
Vitórias
?
Entrada
Saída
75% 120%
25% 100%
90% 0,8
0,08 1,5
0,07
0,05
4%
312
45
125
34
65
7.1 _______________________________ 7.2 ______________________________ 7.3 ______________________________
48 €
86 €
36
Percentagens. Calcular percentagensN
ome
N
.oT
urm
a
Ava
liaç
ão
P
rof.
En
c. E
du
c.
1. Representa por uma percentagem.
1.1 0,04 = ____________________ 1.4 0,12 = ____________________ 1.7 1,2 = ____________________
1.2 0,5 = ____________________ 1.5 0,2 = ____________________ 1.8 2 = ____________________
1.3 = ____________________ 1.6 = ____________________ 1.9 = ____________________
2. Calcula em percentagem.
2.1 9 em 20 _______________________________________________________________________________________________________
2.2 15 em 50 _____________________________________________________________________________________________________
2.3 142 em 200 ___________________________________________________________________________________________________
2.4 45 em 300 ____________________________________________________________________________________________________
3. Em 200 apartamentos, 32 são T2.
Que percentagem de apartamentos é do tipo T2?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
4. Dos 400 lugares num teatro, estão ocupados 240.
Que percentagem dos lugares não está ocupado?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
5. Em 250 nadadores que entraram numa competição, 170 são mulheres e, destas, 30% têm menos de
20 anos.
5.1 Qual a percentagem de homens?
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
5.2 Quantas são as mulheres com menos de 20 anos?
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
fich
a 1
0
9
50
12
40
3
5
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
37
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6 e
107
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cont.
fich
a 1
0
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
6. Oito em 40 pessoas são obesas.
Qual é a percentagem de obesos?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
7. Um salário passou de 475 € para 570 €.
Qual foi o aumento, em percentagem?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
8. Observa e completa.
9. Num terreno de 30 m por 24 m existe uma casa que ocupa 144 m2.
Que percentagem do terreno não está ocupado pela casa?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
10. Um telemóvel de 90 € custou, numa promoção, 63 €.
Qual foi o desconto em percentagem?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
Artigo Atum Arroz Salsichas Sabão
Preço anterior 0,90€ 0,87€ 0,70€ 0,60€
Preço atual 1,08€ 0,98€ 0,77€ 0,69€
Aumento em euros
Aumento em %
38 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
prob
lem
asN
ome
N
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du
c.
Qual representa o número maior?
1 anos ou 18 meses?
_________________________________________________________________________________________________________________
O João estuda viola 1 horas, diariamente. O Manuel estuda viola 125 minutos, diariamente.
Quem estuda mais tempo? Quantos minutos mais?
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Uma professora deu o mesmo teste de avaliação nas turmas A e B, cada uma com 28 alunos.Na turma A, dois sétimos dos alunos obtiveram pelo menos Bom e, na turma B, 25% dos alunosobtiveram pelo menos Bom.Quantos alunos obtiveram menos de Bom em cada turma?
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Para a sobremesa, a mãe do João fez um bolo. No dia seguinte, o João contou aos amigos: «Eucomi metade do bolo, a minha irmã a quarta parte do bolo e a minha mãe a sexta parte do bolo.»Os amigos comentaram: «Ena! Não sobrou nada!»Será verdade? Justifica.
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Um quinto dos chocolates de uma caixa levam amêndoa, dois quintos dos restantes levam noz e osoutros chocolates são apenas de leite.Os chocolates que levam amêndoa são 15.Que percentagem dos chocolates da caixa são os de leite?
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Um grupo de amigos fez uma corrida em quatro etapas.
Na primeira correram do total, na segunda e na terceira .
6.1 Escreve uma expressão que permita calcular a fração do percurso correspondente à quartaetapa.
______________________________________________________________________________________________________________
6.2 Sabendo que na terceira etapa correram 8 km, quantos quilómetros tinha o percurso?
______________________________________________________________________________________________________________
1
2
3
4
5
61 4
1 5
3 10
2 3
3 4
39NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
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cont.
A Sónia tinha rosas para vender. Vendeu das rosas na quinta-feira e as restantes na sexta-feira.
Se a Sónia vendeu, na sexta-feira, menos 35 rosas do que vendeu na quinta-feira, quantas rosastinha a Sónia para vender?
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
A Ana gastou 50% do seu dinheiro na compra de um telemóvel e do seu dinheiro na compra deum CD. Se o telemóvel custou 60 e, que dinheiro sobrou à Ana?
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
O João tinha 20 e, foi ao cinema e gastou 25% do seu dinheiro no bilhete e 10% do que sobrou empipocas.Quanto custou o bilhete e as pipocas?Com quanto dinheiro ficou o João?
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
Em 30 alunos de uma turma, 12 são louros. Qual é a percentagem de alunos que não são louros?
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
Numa compra de 800 e, fizeram-me um desconto de 120 e. Qual foi o desconto em percentagem?
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
7
8
9
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8 e
109
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zer
40 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
Como arredondar números racionais atendendo ao número de casas decimais?
Regra:
Escolho o arredondamento pretendido: às unidades (0 casas decimais, ou 0 c.d.), às décimas (1 c.d.)
ou às centésimas (2 c.d). Observo o algarismo imediatamente a seguir à casa em que será efetuado
o arrendamento. Se esse algarismo é:
• 5, 6, 7, 8 ou 9, acrescento uma unidade ao algarismo anterior e elimino os seguintes;
• 0, 1, 2, 3 ou 4, o algarismo anterior mantém-se e elimino os seguintes.
Exemplo: �1
1
3
5� = 1, 153846…
• arredondado com 0 c.d. é 1 porque 1, 1
• arredondado com 1 c.d. é 1,2 porque 1,1 5
• arredondado com 2 c.d. é 1,15 porque 1,15 3
• arredondado com 3 c.d. é 1,154 porque 1,153 8
Como calcular o valor exato e o valor aproximado do quociente de sete por três?
7 : 3 = �3
7� ← Valor exato 2 < �
3
7� < 3
2,3 < �3
7� < 2,4
• 2 é o valor aproximado por defeito de �3
7� a menos de uma unidade.
• 3 é o valor aproximado por excesso de �3
7� a menos de uma unidade.
• 2,3 é o valor aproximado por defeito de �3
7� a menos de uma décima.
• 2,4 é o valor aproximado por excesso de �3
7� a menos de uma décima.
1. Completa a tabela.
2. Completa.
2.1 O valor aproximado por defeito de �6
5� a menos de uma unidade é _______________________
2.2 O valor aproximado por excesso de �6
5� a menos de uma décima é ______________________
3. Calcula o valor exato de:
3.1 4 + �5
3� 3.3 0,75 + �
2
1� 3.5 �
7
3� – �
6
1�
3.2 �5
2� + �
6
1� 3.4 32,4 + 0,6 3.6 0,25 + �
7
1� + 0,75 + �
6
7�
Pratica
10
73 = 2,(3)
2 3 4
�154� �
12
91�
Arredondamento com 1 c.d. 0,90€ 0,87€
Arredondamento com 2 c.d. 1,08€ 0,98€
Arredondamento com 3 c.d.
Números racionais não negativos (continuação)
__________________
__________________
__________________
__________________
___________________
_________
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NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
4. Calcula o valor exato de:
4.1 �3
1� × �
5
2� 4.3 3 × �
7
6�
4.2 �7
3� × �
5
2� 4.4 0,8 × 0,05
5. Calcula, usando as propriedades da multiplicação.
5.1 �9
1� × 7 × 9 5.3 �
5
3� × 1650 – �
3
2� × 1650
5.2 �2
1� × 750 + �
2
1� × 250 5.4 0,1 × �
4
3� × 20 × �
4
3�
6. Calcula.
6.1 � �2
6.2 6.3
7. Comi metade da metade de um bolo de 600 gramas.
7.1 Que parte do bolo comi?________________________________________________________________________________
7.2 E quantos gramas comi? ________________________________________________________________________
3�4
32
�4
3�42
Pratica
Como multiplicar números racionais não negativos?
• × = =
• 2 × = =
• 0,4 × 0,06 = 0,024
1 2 1 + 2 = 3
Como facilitar o cálculo de um produto, usando propriedades da multiplicação?
• �4
1� × 5 × 4 = 1 × 5 = 5 Propriedades comutativa e associativa
• 0,01 × �3
2� × 100 × 3 = 1 × 2 = 2
• �4
5� × 2011 – �
4
1� × 2011 = 2011 × ��
4
5� – �
4
1�� = 2011 Propriedade distributiva em relação à subtração
• 3,5 × 12 × 0 × 500 = 0 Zero é elemento absorvente
Como calcular � �3, e ?
• � �3
= = • = = • = =
3 × 7�5 × 8
3�5
7�8
21�40
3�4
2 × 3�1 × 4
6�4
2�5
23�5
2�53
2�5
2 × 2 × 2�5 × 5 × 5
8��125
23
�5
2 × 2 × 2�
5
8�5
2�53
2�5 × 5 × 5
2��125
O produto de dois números racionais não negativos,
representados por frações, pode ser representado por uma fração
cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é
o produto dos denominadores.
O número de casas decimais do produto obtém-se somando o
número de casas decimais dos fatores.
__________________
__________________
_____________________
__________________
__________________________________________________
__________________
_______________________________________________
___________________________
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42 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
Pratica
Como calcular o inverso de , de 2, de zero e de 0,3?
• O inverso de �5
3� é �
3
5� porque �
5
3� × �
3
5� = 1
• O inverso de 2 é �2
1� porque 2 × �
2
1� = 1
Como dividir dois números racionais não negativos?
• �7
5� : �
4
3� = �
7
5� × �
3
4� = �
2
2
0
1�
Inversos
• �2
3� : 5 = �
2
3� × �
5
1� = �
1
3
0�
Inversos
• 4,25 : 0,5 = 8,5
2 1 2 – 1 = 1
8. Indica o inverso de: 7 ; �4
3� ; 0,7 ; 2 �
2
1� . ___________________________________________________________
8.1 Calcula o produto de cinco meios por três quartos.
Mostra que o inverso do produto anterior é igual ao produto do inverso de cinco meios pelo
inverso de três quartos.
_____________________________________________________________________________________________________
9. Calcula e simplifica se necessário:
9.1 �4
3� : �
5
1� ________________________________ 9.3 1,2 : 0,4 ________________________________
9.2 �6
7� : �
3
1� ________________________________ 9.4 �
7
3� : 3 ________________________________
10. Quantas garrafas de �4
3� litros posso encher com 30 litros de azeite?
_____________________________________________________________________________________________________
11. Calcula o quociente de dois sétimos por cinco quartos. Mostra que o inverso do quociente
obtido é igual ao quociente do inverso de dois sétimos pelo inverso de cinco quartos.
_____________________________________________________________________________________________________
3�5
O número de casas decimais do quociente é a diferença entre o
número de casas decimais do dividendo e do divisor.
Para dividir dois números racionais não negativos, multiplica-se o
primeiro pelo inverso do segundo.
• Zero não tem inverso.
• O inverso de 0,3 é �1
3
0� �nota que 0,3 = �
1
3
0��.
43
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NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
Pratica
Como calcular o valor de uma expressão numérica com + , – , × e : ?
5,1 + 2 × �2
1� – 3 : �
3
2� = 5,1 + 1 – 3 × �
3
2�
= 5,1 + 1 – �9
2�
= 5,1 + 1 – 4,5
= 6,1 – 4,5
= 1,6
Como calcular o valor de uma expressão com parênteses?
�0,3 + �3
1�� : �
3
1� = ��
1
3
0� + �
3
1�� : �
3
1�
(× 3) (× 10)
= ��3
9
0� + �
1
3
0
0�� : �
3
1�
= �1
3
9
0� × 3
= �5
3
7
0� = �
1
1
9
0�
Como usar expressões numéricas para traduzir enunciados de problemas?
De um bolo, o Zé comeu �6
1� e repartiu o restante, igualmente, pelos seus dois irmãos.
Uma expressão que representa a parte do bolo que comeu cada um dos dois irmãos é:
�1 – �6
1�� : 2
12. Calcula:
12.1 �2
1� + �
4
3� : �
2
5� 12.3
12.2 �5
3� + �1 – �
3
1�� : �
3
2� 12.4
13. Sublinha a expressão numérica que traduz o seguinte enunciado e calcula-a.
«De um garrafão com 2,5 litros de água mineral, retirou-se �4
1� litro e a água restante repartiu-se
igualmente por cinco copos. Cada copo levou…»
• 2,5 – �4
1� : 5
• �2,5 – �4
1�� : 5
• �2,5 + �4
1�� : 5
�4
3�
��6
7�
�0
3
,7�
��2
1�
A multiplicação e divisão têm prioridade sobre a adição e a
subtração.
Entre duas operações com a mesma prioridade, efetua-se
primeiro a que aparece em primeiro lugar.
Efetuam-se em primeiro lugar os cálculos dentro deparênteses.
Atenção!
é o mesmo que
�9
7� : �
3
2� = �
9
7� × �
3
2� = �
1
2
8
1� = �
6
7�
�9
7�
��3
2�
______________________
_________________ ____________________
______________________
44 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
fich
a 1
1Arredondamentos.Valores aproximados por defeito e por excesso
Nom
e
N.o
Tu
rma
A
vali
ação
Pro
f.
E
nc.
Ed
uc.
1. Indica o valor aproximado de �4
3� :
1.1 a menos de uma unidade, por excesso: _________________________
1.2 a menos de uma unidade, por defeito: _________________________
1.3 a menos de uma décima, por excesso: _________________________
1.4 a menos de uma décima, por defeito: __________________________
2. Para fazer uma saia é necessário �3
2� metros de tecido. Uma fábrica vai confecionar 500 saias iguais.
Quantos metros de tecido deve encomendar? Discute a solução.
____________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________
3. Responde às seguintes questões.
3.1 Se um automobilista abasteceu a sua via tura com 15 litros de
gasolina, quanto vai pagar?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3.2 Outro automobilista abasteceu com 25 litros da mesma gasolina,
mas apresentou o seguinte papel de descon to.
Quanto pagou?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
4. Um retângulo tem de perímetro 6 �3
1� m e de comprimento �
3
7� m .
Calcula o valor exato da largura do retângulo e o valor arredondado
com 1 c.d. dessa largura.
___________________________________________________________________________________________________________________
5. Reduz à dízima e arredonda �1
3
1� com 2 c.d.
___________________________________________________________________________________________________________________
Talão dedesconto
5 cêntimospor cada litro
1 litro
1,399 €
45
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um
e 1)
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4 a
127
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NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
cont.
fich
a 1
16. Os 340 alunos de uma escola vão realizar uma visita de estudo. Para cada grupo de 25 alunos é
necessário um professor e não pode haver alunos sem o acompanhamento de um professor. Na visita
vão também quatro encarregados de educação. Cada autocarro leva 40 pessoas.
Quantos autocarros serão necessários?
____________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________
7. Pretende vedar-se, com uma rede, um canteiro quadrado com 17,49 metros de lado.
Que quantidade de rede se deve encomendar?
____________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________
8. Escreve em linguagem simbólica: «A diferença entre quatro e um meio e dois e um sexto.»
____________________________________________________________________________________________________________________
8.1 Calcula o valor exato dessa diferença. ______________________________________________________________________
8.2 Arredonda o resultado de 8.1 às centésimas. ______________________________________________________________
9. Observa:
Dá um valor aproximado às décimas por defeito:
9.1 da massa das maçãs: ________________________________
9.2 da capacidade da garrafa de sumo: _________________
9.3 do comprimento da corda: __________________________
5__6
kg1__3
l 5__3
m
46 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
fich
a 1
3Multiplicação de números racionais não negativos.Propriedades
Nom
e
N.o
Tu
rma
A
vali
ação
Pro
f.
E
nc.
Ed
uc.
fich
a 1
2NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
1. Calcula e simplifica se necessário:
1.1 �3
2� × �
1
9
0� ___________________________________________________ 1.6 0,3 × �
4
1� _____________________________________________________________
1.2 �6
5� × �
1
3
0� ___________________________________________________ 1.7 3 × �
9
1� ________________________________________________________________
1.3 �5
2� × �
1
1
0
1� __________________________________________________ 1.8 0,5 × �
4
3� _____________________________________________________________
1.4 �9
4� × �
7
6� ____________________________________________________ 1.9 0,07 × 0,13 _______________________________________________________
1.5 �2
2
4
5� × �
8
5� __________________________________________________ 1.10 �
5
2� × 3 × �
2
1� ________________________________________________________
2. Escreve �1
1
4
0� como o produto de dois fatores representados por frações.
____________________________________________________________________________________________________________________
3. Escreve 7,5 como o produto de dois fatores, sendo um deles um número racional inteiro.
___________________________________________________________________________________________________________________
4. Observa:
4.1 Comprei �2
3� kg de peras, �
4
3� kg de carne de porco, 2 kg de pescada e seis iogurtes. Quanto gastei?
________________________________________________________________________________________________________________
4.2 O que gastei foi 50% do dinheiro que levava na carteira. Quanto dinheiro levava?
________________________________________________________________________________________________________________
5. Um ângulo agudo tem de amplitude �5
2� da amplitude do ângulo reto. Determina a amplitude do ângulo agudo.
___________________________________________________________________________________________________________________
¤0,66kg
¤3,40kg ¤4,99
kg
¤0,99
47
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NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
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3fi
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12
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
6. Calcula rapidamente usando propriedades da multiplicação:
6.1 �3
4� × 2 × 0,5 ____________________________________________ 6.3 �
2
7� × 2011 + �
2
3� × 2011 _____________________________________________________
6.2 2 × �3
1� × 1,5 × 9 ______________________________________ 6.4 �
7
3� × 1,1 – �
7
3� × 0,1 ___________________________________________________________
7. Completa de modo a obteres afirmações verdadeiras:
7.1 3 × �9
5� × �
7
9� = ___________ × �
7
5� 7.2 5 × �
3
5� = 5 × �
3
1� + 5 × ___________
8. Hoje a Manuela fez brigadeiros para vender.
De manhã vendeu �5
3� dos que fez e à tarde �
4
3� dos que sobraram e ainda ficou com 50 briga dei ros.
Quantos brigadeiros fez?
Explica, utilizando um desenho ou cálculos, como chegaste à tua resposta.
__________________________________________________________________________________________________________________
9. Para fazer uma salada de fruta, o André comprou �4
5� kg
de cada qualidade da seguinte fruta.
Calcula, utilizando dois processos diferentes, quanto gastou o André.
__________________________________________________________________________________________________________________
10. O terreno representado na figura ao lado é formado por um
retângulo e por um triângulo.
A largura do retângulo é �4
3� do seu comprimento e a área do
triângulo é �8
3� da área do retângulo. Calcula a área do terreno.
__________________________________________________________________________________________________________________
12 m
¤1,20kg
¤2,40kg
¤0,80kg
48 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
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a 1
3Potências de expoente natural e base racional nãonegativa. Inverso de um número racional positivo
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3NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
1. Escreve as seguintes potências na forma simplificada com base e expoente.
1.1 �7
2� × �
7
2� × �
7
2� × �
7
2� _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.2 0,7 × 0,7 × 0,7 ___________________________________________________________________________________________
1.3 �4
1� × 0,25 × �
4
1� × 0,25 × �
4
1� ____________________________________________________________________________________
1.4 ��1
1
3
0� × 1,3 _________________________________________________________________________________
2. Completa:
2.1 = 2.2 � �2
= 2.3 =
3. Calcula:
3.1 � �5
3.3 � �3
3.5
3.2 0,012 3.4 � �3
3.6 � �3
4. Completa:
4.1 = �_____� 4.2 = �_____� 4.3 = �_____�
5. Completa com os sinais > , < ou = , de modo a obteres afirmações verdadeiras.
5.1 � �3
__________ � �2
5.3 � �2
__________ (0,5 + 0,1)2
5.2 � �3
__________ � �2
5.4 2 __________ 1100
6. Observa o cubo representado ao lado e diz o que representam as expressões para esse cubo.
6.1 � �3
______________________________________________________________________
6.2 6 × � �2
__________________________________________________________________
6.3 4 × ______________________________________________________________________
6.4 12 × _____________________________________________________________________
22
�9
2�9
2�92
1�2
3�5
1�10
33
�10
3�10
1�8
4�9
16�25
1�2
1�2
5�3
3�5
1�3
1�3
1�3
1�3
3�5
5�3
� � �
m1
�3
_____________________
_____________________
_____________________
_____________________
_____________________
_____________________
49
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NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
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NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
7. Observa:
Poderão os dois amigos comprar um brinquedo que custa 100 €?
Explica como pensaste.
____________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________
8. Liga cada número ao seu inverso, caso exista.
9. Completa.
9.1 O inverso de �1
5
3� é __________ 9.3 O inverso de 13 é __________
9.2 O inverso de 1,4 é __________ 9.4 O inverso de é __________
9.5 O inverso de um produto é igual ao produto dos __________ dos fatores.
10. Verdadeiro ou falso?
10.1 �3
5� × �
5
3� > 1 __________ 10.2 �
3
9� × �
9
3� = 1 __________ 10.3 9 × �
9
1� < 1 __________
11. Completa usando as palavras «zero» e «um», de modo a obteres afirmações verdadeiras.
11.1 O inverso de um é __________ .
11.2 O número __________ não tem inverso.
11.3 O produto de um número pelo seu inverso é __________ .
11.4 Todo o número racional diferente de __________ tem inverso.
12. Completa de modo que o produto seja 1.
12.1 �3
7� × __________ 12.2 __________ × 0,3 12.3 ��
8
3� × �
6
5�� × � ______ × ______ �
1�32
2�5
5�14
9�9
5�2
14�5
10�5
10�23
1�8
1�9
8 0 0,5
25
1 2,3 0,04
9
Tenho, em euros, a diferença
entre o cubo de quatro e o quadrado
de quatro.Tenho, em euros,
o quadrado da soma de três com quatro.
50 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
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3Divisão de números racionais não negativos
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4NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
1. Efetua:
1.1 22,5 0,5 1.2 6 0,12 1.3 55,2 0,03
O divisor nas divisões anteriores é sempre maior do que zero e menor do que 1.
Verifica que o quociente é maior do que o dividendo.
2. Troquei 15 € por moedas de 20 cêntimos. Quantas moedas recebi?
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
3. Calcula e simplifica:
3.1 : _________________________________________________ 3.6 : ___________________ 3.11 : 0,6 ____________________
3.2 : 6 ________________________________________________________ 3.7 : ______________________ 3.12 0 : _______________________
3.3 : 4 ________________________________________________________ 3.8 2 : _______________________ 3.13 _______________________
3.4 : ____________________________________________ 3.9 ______________ 3.14 : 5 ______________________
3.5 : 0,2 __________________________________________________ 3.10 : 2 ____________________ 3.15 ________________________
4. Com 40 kg de açúcar, quantos pacotes de kg podes encher?
______________________________________________________________________________________________________________
5. Comprei 28 kg de batatas em sacos de 3,5 kg. Quantos sacos comprei?
______________________________________________________________________________________________________________
25�4
1�2
6�7
1�9
7�5
9�7
8�7
5�3
23�7
1�21
7�11
7�11
3�5
6�11
18�5
15�8
1�3
0,5 × 1,1 × 36��2 × 0,5 × 1,1
�1
8
5�
�4
1,2�
�3
5�
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NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
6. Completa.
6.1 __________ : �4
1� = �
3
2� 6.2 �
3
2� × __________ = �
5
1� 6.3 __________ × 0,2 = �
8
1�
7. O Pedro tem 280 €, que são �4
7� do seu ordenado. Qual é o ordenado do Pedro?
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
8. Qual é o comprimento de uma sala retangular com �1
3
4� m de largura e 28 m2 de área?
_____________________________________________________________________________________________________________
9. Paguei 4,50 € por �4
3� kg de queijo. Qual é o preço do quilograma de queijo?
____________________________________________________________________________________________________________________________
10. Responde às seguintes questões.
11. A área de um retângulo é 54 cm2 e o seu comprimento é 4,5 cm. Qual é o perímetro deste retângulo?
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
Um recipiente cilíndrico tem 6 litros de mel, que corresponde
a �53
� da sua capacidade. Quantos litros de mel
levará o recipiente cheio?
Gastei �52
� do meu
dinheiro numa raqueta de ténise ainda fiquei com 15 €. Que
dinheiro tinha antes da compra?
52 NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
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3Operações combinadas
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5NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
1. Liga cada expressão ao número que a representa.
A. – : • • 2
B. � – 0,1� : 7 • • 1 �4
1�
C. + 0 × • • 3,25
D. 3 : : 4 • • 0
E. � + �2
: • •
2. Coloca parêntesis de modo a obteres afirmações verdadeiras.
2.1 �8
1� + �
8
1� : �
8
1� = 2.2 �
7
3� × �
7
3� – �
7
3� = 0
3. Números cruzados
Horizontais
A. 52 – ; (62 + 3) ×
C. 4 : �5
4� + �
2
1�
E. 13 + �3
1� + �
3
5� ; 2 + –
Verticais
1. A diferença entre 19 e o quadrado de 2;
3. �2
7� – 2,3
5. (23 × 22) + ; (23 + 1)2 +
17�22
1�8
1�8
1�10
5�4
7�2
1�2
1�3
1�2
2�3
14�2
1�3
25�2
5�10
66�6
21�7
1�
�3
2�
1�
�2
1�
�4
1�
��8
1�
,
1 2 3 4 5
A
B
C
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15
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
4. Escreve em linguagem simbólica e calcula:
4.1 O triplo do quociente de seis por três meios.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.2 O produto do quadrado de três pelo cubo de um terço.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.3 O quociente do inverso de três pelo inverso de dois quintos.
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
4.4 O inverso do quociente de três por dois quintos. Compara os resultados de 4.3 e 4.4. Que observas?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. Perderam-se os sinais + e – que estavam nos .
Preenche-os de modo a obteres afirmações verdadeiras.
5.1 �3
2� �
2
1� 0,25 = �
4
7� 5.2 �
3
2� �
2
1� 0,25 = �
4
3�
6. Repartiu-se igualmente �8
3� de 2400 € por dois sobrinhos.
6.1 O que representam as expressões?
A. �8
3� × 2400 B. �
8
3� × 2400 : 2
________________________________________________ ________________________________________________
6.2 Quanto recebeu cada sobrinho?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. O José comprou 25 laranjas e usou �5
3� dessas laranjas para fazer sumo.
Escreve uma expressão numérica que represente o número de laranjas que sobraram e calcula-a.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
8. Calcula rapidamente e .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________
9. Qual das expressões numéricas representa �3
1� ?
A. �1 + 3 × �3
2�� : 3 B. �2 – �
4
3�� : �
3
1� × �
4
5� – �
3
2� C. 1 –
16 × 8 × 10��10 × 5 × 8
9,3 × 14 × 0,4��14 × 0,2 × 9,3
�4
3�
�2
54pr
oble
mas
NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
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1
2
3
4
5
A Teresa e o Inácio receberam, cada um, um chocolate. Quer a Teresa, quer o Inácio comeram do seu chocolate. O Inácio diz que comeu mais chocolate do que a Teresa e tem razão.Explica como é possível.
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
O João comprou 1 l de sumo de fruta. Guardou l no frigorífico e repartiu o restante por seiscopos iguais.Que quantidade de sumo de fruta levou cada copo?
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
A área da horta do Miguel ocupa da área do seu terreno re-
tangular, que vês representado ao lado. Se a área da horta é
36 m2, qual é a área do terreno do Miguel?Explica como resolveste o problema.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Explica, utilizando um desenho ou cálculos, como chegaste à tua resposta.
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
Uma vendedora de fruta vendeu das laranjas que tinha,
Quantas laranjas tinha inicialmente?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
1�5
1�4
1�3
1�5
Descobre o dinheiro
que eu tinha, sabendo que
do meu dinheiro foram gastos na compra de uma mochila,
que custou 9 €.
3�10
9 m
8 m
Horta
depois das que sobraram e, por fim, das restantes,
tendo ficado com 50 laranjas.
3�8
1�3
55
prob
lem
as
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NÚMEROS RACIONAISNÃO NEGATIVOS
cont.
6
7
8
9
O Carlos gastou do seu salário em alimentação e do que sobrou na renda da casa.
6.1 Que fração do salário lhe sobrou?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6.2 Se lhe sobraram 600 €, qual era o seu salário?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
A Dora sabe que um certo número inteiro de cinco algarismos é uma potência de base 7 e que oalgarismo das unidades é 7.Qual é o número?
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________
Responde às seguintes questões.
8.1 Quando multiplicas um número racional não negativo por um número maior do que 1, o produtoé sempre maior do que 1?Justifica utilizando um exemplo.
_____________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________
8.2 O que podes dizer acerca do quociente de um número natural por um número racional maior doque zero e menor do que 1?Dá exemplos.
_____________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________
Uma classe de natação tem 16 alunos, sendo dos alunos rapazes, 50% dos rapazes com menos
de 10 anos de idade e �65
� das raparigas com 11 anos.
Indica o que representa cada uma das seguintes expressões.
9.1 �41
� × 16 _____________________________________________________________________________________________________
9.2 �43
� × 16_____________________________________________________________________________________________________
9.3 �21
� × �41
� × 16_________________________________________________________________________________________________
9.4 �65
� × �43
� × 16 _________________________________________________________________________________________________
1�4
1�3
2�5
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0 e
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r fa
zer
56 FIGURAS NO PLANO
Figuras no plano
Como traçar a perpendicular a uma reta r dada, passando pelo ponto P dado?
Como traçar a paralela a uma reta AB dada, passando pelo ponto P dado?
Como medir a amplitude de um ângulo?
A unidade fundamental é o grau. 1o = 60’ = 3600’’
Exemplos: 15o 12’ 5’’ é em segundos (15 × 60 + 12) × 60 + 5 =
= 912 × 60 + 5 = 54 725’’
20,4o = 20o + 0,4 × 60’ = 20o 24’
Como designar a semirreta que divide um ângulo em dois ânguloscongruentes?
É a bissetriz do ângulo. Observa a sua construção.
Pratica1. Traça a perpendicular à reta r , passando pelo ponto P, e assinala o pé da perpendicular.
Qual é a distância de P a r ?
__________________________________________________
2. Traça a paralela à reta r , passando pelo ponto A .
Qual é a distância entre as duas retas paralelas?
__________________________________________________
3. Quantos segundos são 32o 43’ 5’’? E 25,42o? __________________________________________________
forma complexa
forma incomplexa
Pé da perpendicular
Distância do ponto Pà reta r é o comprimentodo segmento de reta PA .
P P
A
rr
A distância entre estas duasretas paralelas é o comprimentodo segmento de reta MN .
PA
P
M
N
A
BB
20o
20o
bissetriz
P
r
A
r
57FIGURAS NO PLANO
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Como calcular amplitudes de ângulos desconhecidos numa figura?
a^ = 90° – 41° a^ = 49°
Os ângulos assinalados são adjacentes complementares; a soma
das suas amplitudes é 90°.
Dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um lado
comum que os separa.
b^
= 180° – 33° b^
= 147°
Os ângulos assinalados são adjacentes suplementares; a soma das
suas amplitudes é 180°.
b^
= 46°
Porque os ângulos b e d são verticalmente opostos, logo con-
gruentes. Os ângulos a e b são suplementares:
a^ = 180° – 46° a^ = 134°
c^ = 134°
Porque os ângulos a e c são verticalmente opostos.
Como as retas r e s são paralelas, cortadas pela reta t (secante):
• os ângulos a e 140° são alternos internos, logo congruentes:
a^ = 140°
• os ângulos a e b são correspondentes, logo iguais:
b^
= a^ = 140°
• os ângulos c e b são alternos externos, logo iguais:
c^ = b^
= 140°
4. Calcula, justificando, a amplitude dos ângulos desconhecidos da figura, onde as retas m e n são
paralelas.
5. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo que é cinco vezes maior do que o seu suplementar?
_________________________________________________________________________________________________________
a41o
b
r
33o
b
c
ar
s
46od
at
s
r
140o
c
b
ab
cm
128o
f d
gn
e
Pratica
__________________________________
__________________________________
r // s
sabe
r fa
zer
58 FIGURAS NO PLANO
6. Constrói um ângulo de 48° e traça a bissetriz.
7. Na figura ao lado, os segmentos de reta assinalados à mesma cor são paralelos.
7.1 Diz, justificando, qual a relação entre os ângulos a e b .
_______________________________________________________________________
7.2 Diz, justificando, qual a relação entre os ângulos a e c .
_______________________________________________________________________
8. Dois ângulos têm os lados perpendiculares e um deles é �3
5� do outro. Qual a amplitude de
cada um deles?
___________________________________________________________________________________________________
9. Calcula 40o 24’ 10’’ + 35o 58’ 40’’ e 40o 24’ 10’’ – 35o 58’ 40’’ .
___________________________________________________________________________________________________
10. Calcula o suplementar de um ângulo de 128° 25’ 10’’. _________________________________________
11. Calcula o complementar de 17,2°. ______________________________________________________________
12. Na figura, ED // BA , FE // BC e e^ = 3 × b^
.
Determina, justificando, as amplitudes dos ângulos b e e .
_______________________________________________________________________________________
Como relacionar amplitudes de ângulos de lados paralelos cada um a cada um?
• São iguais dois ângulos convexos de
lados dois a dois diretamente para lelos
ou de lados dois a dois inversa mente
paralelos.
• São suplementares dois ângulos convexos que tenham dois lados
diretamente paralelos e os outros dois inversamente paralelos.
Como relacionar dois ângulos de lados perpendiculares dois a dois?
• São iguais, se forem ambos agudos ou ambos obtusos.
• São suplementares, se um for agudo e o outro obtuso.
Pratica
125o
125o
45o
135o
45o
45o
60o
120o11
50o
50o
e
F
D
E
A
CB
b
a
b
c
59FIGURAS NO PLANO
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Como classificar triângulos quanto ao comprimento dos lados e quanto aos ângulos?
Como traçar eixos de simetria num triângulo e descobrir propriedades?
O triângulo isósceles tem 1 eixo de simetria; tem dois lados com o
mesmo comprimento e dois ângulos congruentes.
O triângulo equilátero tem 3 eixos de simetria; tem três lados com o
mesmo comprimento e três ângulos congruentes.
Nota: Num triângulo, a lados com o mesmo comprimento opõem-se ângulos com a mesma amplitude e
vice -versa.
O triângulo escaleno não tem eixos de simetria.
Como relacionar o raio e o diâmetro numa circunferência?
Numa circunferência, o diâmetro é o dobro do raio.
Exemplo: se d = 1,6 cm ,
r = 0,8 cm
13. Classifica os triângulos representados quanto aos ângulos e quanto ao comprimento dos lados.
14. Traça os eixos de simetria, se existirem, nos triângulos acima representados.
15. Numa circunferência, o diâmetro é 48 cm. Calcula o raio. _____________________________________
Numa circunferência, o raio é 94 cm. Calcula o diâmetro. __________________________________________
• É retângulo porque tem um
ângulo de 90o e isóscelesporque tem dois lados com o
mesmo comprimento.
• É acutângulo porque todos os
ângulos são agudos. É equilá-tero porque todos os lados
têm o mesmo comprimento.
• É obtusângulo porque tem
um ângulo obtuso. É escalenoporque todos os lados têm
comprimentos diferentes.
Pratica
d
r
3 cm4 cm
5 cm
2 cm
3 cm
3 cm
5 cm
3 cm
3 cm2 cm 2 cm
2 cm
______________________
______________________
______________________
______________________
______________________
______________________
______________________
______________________
sabe
r fa
zer
60 FIGURAS NO PLANO
Como calcular as amplitudes dos ângulos internos e externos de um triângulo?
Calcular as amplitudes dos ângulos desconhecidos dos triângulos.
A soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo é 180°,logo, 180° – (90° + 37°) = 53° a^ = 53°
Os ângulos a e b são suplementares.
b^
= 180° – 53° b^
= 127°
Como o triângulo é isósceles, tem dois ângulos congruentes que se
opõem (estão em frente) aos dois lados congruentes.
Logo, a^ = b^
= (180° – 78°) : 2 = 51°
Num triângulo, a amplitude de um ângulo externo é igual à soma das
amplitudes dos dois ângulos internos não adjacentes.
Logo, 150° = 30° + b^
b^
= 120°
A soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo é 360°.
Como saber se existe um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 9 cm?
Num triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados tem de ser maior do que o comprimento do
terceiro lado e a diferença dos comprimentos de dois lados quaisquer do triângulo tem de ser menor do
que o comprimento do outro lado.
5 + 7 > 9 Verdadeiro 5 + 9 > 7 Verdadeiro 9 + 7 > 5 Verdadeiro7 – 5 < 9 Verdadeiro 9 – 5 < 7 Verdadeiro 9 – 7 < 5 Verdadeiro
O triângulo existe.
16. Poderás construir um triângulo de lados 7 cm, 7 cm e 14 cm?
________________________________________________________________________________________________________
17. Calcula as amplitudes dos ângulos desconhecidos nas figuras, justificando.
17.1
a
b
37o
a b78o
b30o
150o
bbbbbbbbbbbbbbbbo
b
a
132o 20’
c
d
117o 30’
d
c
Pratica
17.2
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
61FIGURAS NO PLANO
sabe
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Cad
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poi
o ao
Alu
no
– M
atem
átic
a 5
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no
– T
EX
TO
18. No triângulo ABC , A�B� = 5 cm , B�C� = 7 cm , A�C� = 6 cm . Qual é o maior ângulo? E o menor?
__________________________________________________________________________________________________
19. No triângulo isósceles ABC , de base BC , seja M o ponto médio da base.
19.1 Demonstra que os triângulos AMB e AMC são congruentes.
___________________________________________________________________________________________________________________________
19.2 Prova que os ângulos BAM e MAC são congruentes.
___________________________________________________________________________________________________________________________
20. Três ângulos internos de um quadrilátero têm amplitudes: 54° 12’ , 125° 48’ e 54° 12’ .
Qual a amplitude do ângulo interno restante? Este quadrilátero será um retângulo? Justifica.
_______________________________________________________________________________________________________________________________
Como relacionar, num triângulo, ângulos e lados opostos aos ângulos?
Num triângulo:
• a lados iguais opõem-se ângulos iguais (e vice-versa);
• ao maior lado opõe-se o maior ângulo (e vice-versa);
• ao menor lado opõe-se o menor ângulo (e vice-versa).
Como saber se dois triângulos são iguais?
Têm de obedecer a um dos critérios seguintes:
• os três lados de um serem respetivamente iguais aos
três lados do outro – LLL;
• terem, de um para o outro, dois lados iguais e o ângulo
por eles formado também igual – LAL;
• terem, de um para o outro, um lado igual e os dois ângu -
los adjacentes a esse lado iguais – ALA.
Como reconhecer um paralelogramo?
Paralelogramos são quadriláteros com:
• os lados opostos paralelos e iguais;
• os ângulos opostos iguais;
• os ângulos adjacentes a cada lado suple mentares;
• as diagonais que se bissetam;
• a soma das amplitudes dos ângulos internos
(também em qualquer quadrilátero) igual a 360°.
Pratica
retângulos losangos
Paralelogramos
quadrados
62 FIGURAS NO PLANO
Posição relativa de retas. Ângulosfi
cha
16
Nom
e
N.o
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Pro
f.
E
nc.
Ed
uc.
1. Traça com a régua:
1.1 o segmento de reta AB ;
1.2 a reta BC ;
1.3 a semirreta CA .
2. Observa a figura ao lado. Utilizando régua e esquadro, indica:
2.1 duas retas concorrentes oblíquas e duas retas paralelas:
________________________________________________________________________________________________________________
2.2 duas retas concorrentes perpendiculares:
________________________________________________________________________________________________________________
2.3 a distância do ponto A à reta BE :
________________________________________________________________________________________________________________
2.4 a distância entre as retas BE e DF :
________________________________________________________________________________________________________________
3. Observa o polígono representado.
Usando régua e esquadro, indica:
3.1 dois segmentos de reta perpendiculares:
________________________________________________________________________________________________________________
3.2 dois segmentos de reta concorrentes oblíquos:
________________________________________________________________________________________________________________
3.3 dois segmentos de reta paralelos:
________________________________________________________________________________________________________________
4. Usa régua e esquadro, e traça:
4.1 uma reta perpendicular à reta NP que passe por M ;
4.2 uma reta perpendicular à reta MP que passe por N ;
4.3 uma semirreta paralela à reta MN passando por P .
4.4 Qual é a distância do ponto N à reta MP ?
C
A
B
A
B
DC
E
F
M
P
N
Q
M
P
N
63FIGURAS NO PLANO
Man
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a 1
65. Observa os ângulos ABC e RST representados.
Traça um segmento de reta MN e constrói, utilizando régua e compasso, um ângulo com um dos lados
coincidente com a semirreta MN e que seja igual à soma dos dois ângulos dados: ABC e RST .
6. Estima primeiro a amplitude de cada um dos ângulos seguintes. Depois, com a ajuda do transferidor,
mede a amplitude de cada ângulo, em graus, e classifica-o.
6.1 6.2 6.3
7. Usa o transferidor e desenha ângulos com as seguintes amplitudes:
7.1 AB^
C = 52° 7.2 RS^
T = 120° 7.3 MN^
P = 99°
Classifica cada um dos ângulos anteriores. Constrói a bissetriz de cada ângulo.
8. Calcula:
8.1 o complementar de 23° 12’ 15’’ : ____________________________________________________________________________
8.2 o suplementar de 124,82° em graus, minutos e segundos: ______________________________________________
8.3 a soma dos ângulos cujas amplitudes são 18° 13’ e 15° 24’ : ____________________________________________
A
B
C
R
S
T
__________________________________ __________________________________ _________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
64 FIGURAS NO PLANO
Relação entre ângulos. Classificação de triângulosfi
cha
13
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7
1. Os ângulos assinalados a cor na figura A são complementares.
Os ângulos assinalados a cor na figura B são suplementares.
1.1 Explica o significado de «ângulos complementares» e de «ângulos
suplementares». ______________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1.2 Se a amplitude do ângulo DBC é 29°, calcula a amplitude do ângulo CBA .
________________________________________________________________________________
1.3 Se a amplitude do ângulo EFG é 20°, calcula a amplitude do ângulo GFH .
_________________________________________________________________________________
2. E qual é a amplitude do ângulo suplementar de um ângulo com amplitude 113° ?
___________________________________________________________________________________________________________________
3. Na figura ao lado, as retas AB e CD intersetam-se no ponto E .
3.1 Indica pares de ângulos:
a) verticalmente opostos: ___________________________ b) suplementares: ______________________________
3.2 Se BE^
D = 40° , calcula AE^
C e DE^
A . ______________________________________________________________________
4. Observa as figuras abaixo em que as retas são concorrentes.
Em cada caso, determina as amplitudes dos ângulos x , y e z .
4.1 4.2 4.3
5. Na figura ao lado, as retas t e u são paralelas.
5.1 Justifica que a^ = c^ , f^
= d^
, e^ = a^ e a^ = g^ .
__________________________________________________________________________________
5.2 Se e^ = 118° , calcula as amplitudes dos ângulos a , b , c , d , e , f e g .
________________________________________________________________________________________________________________
6. Observa as figuras e, em cada caso, determina as amplitudes dos ângulos a e b .
6.1 6.2 6.3
__________________________________ __________________________________ __________________________________
A
B D
C
E F H
G r
A
B
DE
C
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
sr
x
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71o
29o
t
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65o
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b 130o
r
t u
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a
b
75o7
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b150o55000000000o
A.
B.
__________________________________ __________________________________ __________________________________
65FIGURAS NO PLANO
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a 1
77. Na figura estão representados dois pares de retas paralelas e quatro ângulos (a , b , c e d).
7.1 Identifica, na figura, dois ângulos de lados dois a dois diretamente paralelos e compara-os.
__________________________________________________________________________________
7.2 Justifica que os ângulos d e a são suplementares.
__________________________________________________________________________________
7.3 Se a^ = 42° , determina as amplitudes dos ângulos b , c e d .
________________________________________________________________________________________________________________
8. Dois ângulos tem os lados paralelos e um deles tem mais 35o do que outro.
Determina a amplitude de cada ângulo, justificando.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9. Observa os triângulos e classifica-os quanto aos lados e quanto aos ângulos.
9.1 9.2 9.3
10. No quadriculado, desenha um triângulo retângulo
isósceles, um triângulo obtusângulo escaleno e
um triângulo acutângulo isósceles. Traça, em
cada um, os eixos de simetria, se existirem.
11. Dado o ângulo ADC e o ponto B , constrói um ângulo de vértice B cujos
lados sejam perpendiculares aos lados do ângulo ADC .
Qual a amplitude do ângulo que resulta da adição das amplitudes dos
ângulos de vértices B e D ? Porquê?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
12. Na figura, os segmentos de reta AB e DE são paralelos.
Compara os ângulos dos dois triângulos, justificando.
__________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________
2 cm
2 cm2 cm 60o
60o 60o1 cm
4 cm
4,5 cm120o
2 cm
2,5 cm1,5 cm
D
C
A
B
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__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
E
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B
66 FIGURAS NO PLANO
Triângulos. Propriedades e construçãofi
cha
13
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uc.
1. Calcula as amplitudes dos ângulos desconhecidos.
1.1 1.3 1.5
1.2 1.4 1.6
2. Atendendo a que os segmentos de reta AB e CD são paralelos, calcula as amplitudes dos ângulos
desconhecidos.
2.1 2.2
3. Na figura, D é ponto de interseção dos segmentos de reta AU e
OL . Calcula LU^
A e UD^
L .
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Qual é o menor lado do triângulo AOD ? Justifica.
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
4. Verdadeiro ou falso?
4.1 Existe um triângulo em que os comprimentos dos lados são 5 cm, 7 cm e 12 cm.
________________________________________________________________________________________________________________
4.2 Não existe um triângulo em que os comprimentos dos lados são 8 cm, 6 cm e 10 cm.
________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________ __________________________________ __________________________________
__________________________________ __________________________________ __________________________________
______________________________________________________ ______________________________________________________
b
r
a
50o 50o
e
r
135o ee
fd
cr
100o
145o
116o
g
r
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r
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i
r
125o
35oC
A B
D
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96o c
e
C
A B
D
32o 42oA L
UD
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67FIGURAS NO PLANO
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85. Num triângulo, dois dos lados medem respetivamente 16 cm e 14 cm.
5.1 Mostra que o terceiro lado não pode ter 32 cm.
________________________________________________________________________________________________________________
5.2 Qual é o maior número natural que pode representar a medida, em centímetros, do terceiro lado?
________________________________________________________________________________________________________________
6. Usando material de desenho, constrói os triângulos abaixo indicados, traça os eixos de simetria, se
existirem, e classifica cada triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos.
7. Determina, em cada um dos seguintes triângulos, as amplitudes dos três ângulos externos a , b e c .
7.1 7.2 7.3
Calcula a soma das amplitudes dos ângulos externos de cada triângulo. O que concluis?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
8. Existirá um triângulo com 40 cm de perímetro e com um lado de 26 cm? Justifica a resposta.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
120oc
b
a
b
c
a
c
100o
42o
c
b
a
6.1 Triângulo ABC
AB——
= 3 cm, BC——
= 4 cm,
AC——
= 5 cm
6.2 Triângulo LAR
AR^
L = 52°, RA——
= 48 mm,
LR——
= 40 mm
6.3 Triângulo LUA
UA——
= 4,5 cm, LU^
A = 70°,
LA^
U = 55°
É ________________________
e ________________________ .
É ________________________
e ________________________ .
É ________________________
e ________________________ .
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
68 FIGURAS NO PLANO
Critérios de igualdade de triângulos. Paralelogramosfi
cha
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f.
E
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Ed
uc.
1. Escolhe pares de triângulos congruentes. Justifica a tua resposta.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
2. Nos triângulos ABC e MNP verifica-se que A�B� = M� N� , B�C� = M�P� , B^
= M^
, C^
= 40o e C^
= �2
1� M
^
.
2.1 Mostra que os triângulos ABC e MNP são congruentes.
________________________________________________________________________________________________________________
2.2 Mostra que AC^
B = MP^
N .
________________________________________________________________________________________________________________
2.3 Determina as amplitudes dos ângulos internos no triângulo MNP .
________________________________________________________________________________________________________________
3. Observa a figura ao lado, em que:
• OD ⊥ OA
• OB ⊥ PE
• OB ⊥ BA
3.1 Indica dois ângulos verticalmente opostos.
________________________________________________________________________________________________________________
3.2 Indica dois ângulos complementares não adjacentes e dois ângulos adjacentes suplementares.
________________________________________________________________________________________________________________
3.3 Se O�B� = P�R� , mostra que os triângulos ORP e OBA são congruentes.
________________________________________________________________________________________________________________
ED
R
B
P
O A
fich
a 1
9
80o25 mm
20 mm
3 cm4 cm
3 cm
3,5 cm
25 mm
20 mm
4 cm
3 cm
3,5 cm
40o
30o
80o
30o
40oo
8888888ooooooo
3 cm
1
2
3
4
5 6
69FIGURAS NO PLANO
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a 1
94. Observa a figura ao lado, em que:
• C�E� = E�D�
• AD // BC
• AB // DC
4.1 Compara DE^
A e CE^
F . Justifica.
_______________________________________________________________________________________________________________
4.2 Compara FC^
E e AD^
E . Justifica.
_______________________________________________________________________________________________________________
4.3 Qual o caso de igualdade de triângulos que permite afirmar que o triângulo ADE é congruente com o
triângulo CEF ?
_______________________________________________________________________________________________________________
4.4 Se CE^
F = 58° , calcula BA^
E .
_______________________________________________________________________________________________________________
4.5 Se AD^
E = 118,5° , calcula EC^
B .
_______________________________________________________________________________________________________________
4.6 Qual é o ângulo cuja amplitude é a soma das amplitudes dos ângulos EFC e FCE ?
_______________________________________________________________________________________________________________
4.7 Justifica que o polígono ABCD é paralelogramo.
_______________________________________________________________________________________________________________
5. No triângulo RIO , as amplitudes dos ângulos internos de vértices R e I são respetivamente 80° e 65°.
5.1 Calcula a amplitude do menor ângulo formado pelas alturas relativas aos lados RI e IO .
_______________________________________________________________________________________________________________
5.2 Qual é a amplitude do menor ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos de vértices I e O ?
_______________________________________________________________________________________________________________
E
B
C D
F
A
70 FIGURAS NO PLANO
prob
lem
asN
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N
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urm
a
Ava
liaç
ão
P
rof.
En
c. E
du
c.
Num triângulo ABC , A^
= 73o e C^
= 54°.Qual é o maior e o menor lado do triângulo? Justifica.
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
Na figura, AB // CD . As retas AB , EF e GH são concorrentes no ponto I . Dá exemplos de:
2.1 ângulos alternos internos iguais:
____________________________________________________________________________
2.2 ângulos alternos internos diferentes:
____________________________________________________________________________
2.3 ângulos correspondentes iguais:
____________________________________________________________________________
2.4 ângulos externos, do mesmo lado da secante, suplementares:
______________________________________________________________________________________________________________
2.5 ângulos alternos externos iguais:
______________________________________________________________________________________________________________
2.6 se na figura HM^
D = 72° , determina GI^
A e AI^
M :
______________________________________________________________________________________________________________
Na figura, as semirretas BA e NM são perpendiculares e as semirretas DC e NP são perpen -diculares.
3.1 Justifica as igualdades:• b
^
= c^ ______________________________________________
• a^ + c^ = 180° ______________________________________
• a^ + b^
= 180° ______________________________________
3.2 Se a^ = �21
� b^
, determina a^ e b^
.
______________________________________________________________________________________________________________
Na figura, B�E� = E�D� e A�E� = E�C� . Justifica as afirmações:
4.1 CE^
B = AE^
D _____________________________________________________
4.2 BEC e AED são triângulos congruentes: __________________________________________________________________
4.3 B�C� = A�D� _________________________________________________________
4.4 b^
= a^ ____________________________________________________________
4.5 BC // AD ________________________________________________________
4.6 ABCD é um paralelogramo: _____________________________________________________________________________
1
2
3
4
EF
D
CB
I
M
H
G
A
M
N
P
bA
CBDa
c
B
A D
C
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c b
d
71FIGURAS NO PLANO
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no
– T
EX
TO
cont.
Observa a figura, onde O é o centro da circunferência.
5.1 Calcula a amplitude de cada um dos ângulos internos dotriângulo ABC e do triângulo AOB . Justifica.
________________________________________________________________
5.2 Classifica esses triângulos quanto aos lados e quanto aosângulos.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Na figura seguinte, o segmento de reta AD e o segmento de reta BC são paralelos, o segmentode reta AB é paralelo ao segmento de reta DC e os comprimentos dos segmentos de reta AB eBD são iguais.
6.1 Calcula BC^
D , justificando.
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
6.2 Classifica os triângulos da figura quanto aos lados e quanto aos ângulos.
______________________________________________________________________________________________________________
6.3 Mostra que os triângulos ABD e BDC são congruentes.
______________________________________________________________________________________________________________
6.4 Será ABCD um paralelogramo? Justifica.
______________________________________________________________________________________________________________
Se na figura A�C� = C�D� e CA^
B = CD^
E , mostra que os triângulosABC e CDE são congruentes e, em seguida, mostra que A�B� = D�E� .
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
5
6
7
A
C
B
D
32o
120o 120o
120o
A B
O
C
o1212121212122212212121 00000000000o
B
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72 PERÍMETROSE ÁREAS
Perímetros e áreas
km hm dam m dm cm mm
Como converter unidades de comprimento?
Vamos converter: 9,08 km em m
9,08 km em cm
325 dm em hm
Então: 9,08 km = 9080 m
9,08 km = 908 000 cm
325 dm = 0,325 hm
Como determinar o perímetro de um polígono irregular?
Determina o perímetro do polígono da figura.
O perímetro de um polígono é igual à soma
dos comprimentos dos seus lados.
Atenção!É preciso exprimir todos os comprimentos na mesma unidade.
P = 26 + 30 + 15 + 30 + 15 = 116 , isto é, o perímetro é 116 mm.
Como determinar o perímetro de um polígono regular?
Vamos determinar o perímetro de um heptágono regular com 2 cm de lado.
O heptágono regular tem sete lados com o mesmo comprimento, logo neste caso:
P = 7 × 2 ou P = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 . O perímetro é 14 cm
1. Calcula, em centímetros, o perímetro desta página.
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
2. Calcula, em decímetros, o perímetro de um triângulo equilátero de lado 4,5 m.
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
#
26 mm
15 mm15 mm
3 cm
3 cm
Pratica
26 mm 30 mm 15 mm
Perímetro
30 mm 15 mm
73PERÍMETROSE ÁREAS
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EX
TO
3. Calcula o perímetro da figura.
_____________________________________________________________________________________________________
4. Exprime o perímetro do triângulo equilátero da figura em função de m .
_______________________________________________________________________________
Calcula m se o perímetro for 69,36 cm.
_______________________________________________________________________________
Como representar o perímetro P do retângulo da figura em função de a e de b ?
• P = 2 × a + 2 × b ou P = 2a + 2b ou P = 2(a + b)
Recorda que o sinal de multiplicação pode ser omitido (ou substituído por um ponto):
• entre números e letras;
• entre letras.
Como calcular o perímetro do polígono da figura?
Observa que na figura:
• A�H� = B�C� + D�E� + F�G� = 2,5 cm
• H�G� = A�B� + C�D� + E�F� = 3,5 cm
então Pfigura = 2,5 + 2,5 + 3,5 + 3,5
O perímetro é 12 cm.
Pratica
a
a
bb
2,5 cm
3,5 cm
A H
BC
DE
F G
8,3 cm
3,9 cm
1,7 cm
m
mm
74 PERÍMETROSE ÁREAS
Perímetros de polígonos regulares e irregulares Ifi
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1. Estima primeiro o perímetro de cada figura; depois, usa a régua, faz as medições necessárias e calcula o
perímetro de cada uma.
Que tal foram as tuas estimativas?
2. Calcula o perímetro de cada um dos terrenos abaixo representados.
3. Calcula em metros:
3.1 o perímetro de um pentágono regular com 15 dm de lado:
________________________________________________________________________________________________________________
3.2 o perímetro de um octógono regular com 0,45 dam de lado:
________________________________________________________________________________________________________________
3.3 o lado de um hexágono regular com 450 cm de perímetro:
________________________________________________________________________________________________________________
3.4 o perímetro de um retângulo com 58 m de comprimento e em que a largura é metade do comprimento:
________________________________________________________________________________________________________________
4. Exprime o perímetro do retângulo em função de c e d .
______________________________________________________________
Calcula o perímetro se d = 8,4 m e c = �4
3� d .
______________________________________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
30 m
30 m
30 m
30 m
1,5 m38 m
16,5 m2 m 2,5 m
cd
75PERÍMETROSE ÁREAS
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a 20 5. Desenha um retângulo com 5 cm de comprimento e 15 cm de perímetro.
6. Desenha, no quadriculado de 0,5 cm, um polígono irregular e um polígono regular, ambos com 12 cm de
perímetro.
7. Um pentágono regular e um triângulo equilátero têm o mesmo perímetro. O triângulo equilátero tem
15 cm de lado.
Calcula o comprimento do lado do pentágono.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
8. Quanto se gasta numa rede para vedar o terreno, que vês representado na
figura, sabendo que cada metro dessa rede custa 1,25 €?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
9. Um retângulo e um quadrado têm o mesmo perímetro. O retângulo tem 20 cm de comprimento e a
largura é quatro quintos do seu comprimento.
Qual é o comprimento do lado do quadrado?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
0,5 cm
52,5 m
45 m
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76
Perímetros de polígonos regulares e irregulares IIfi
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1. Determina, em cada figura, o comprimento do lado desconhecido.
2. Calcula, em metros, a quantidade de rede necessária para vedar cada um dos canteiros floridosrepresentados.
3. O Zé deu uma volta completa ao terreno representado ao lado.
3.1 Quantos metros percorreu?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3.2 O terreno vai ser vedado com uma rede, a 2,35 € o metro.Qual o custo da rede, arredondado ao euro?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
4. O chão de um salão retangular tem de perímetro 40 m e a largura é 20% do perímetro.Qual é o comprimento do salão?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
9
P = 28 m P = 26 m P = 395 dm
10 m
13 m
15
m
?
? ?7 12
m4 1
4m
16 m20 m
3 m
3 m
4 m 4 m 16 m1,8 dam
6 m
12,5 m
37,5 dm5 1
4m
5 12
m
__________________________________ __________________________________ __________________________________
______________________________________________________ ______________________________________________________
PERÍMETROSE ÁREAS
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PERÍMETROS E ÁREAS
5. Cada uma das figuras é formada por dois polígonos regulares.Sabendo que o perímetro de cada triângulo equilátero é 15 cm, determina o perímetro da figura A e dafigura B (não faças medições).
6. Uma piscina quadrada tem de perímetro 36 m e está cercada por um relvado quadrado, como vês nafigura.Qual é o perímetro do relvado?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
7. Dois terrenos retangulares iguais têm 17,2 m por 40,2 m e têm um lado comum.Qual é o perímetro do terreno retangular obtido a partir da junção destes dois?A solução é única?
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
8. Determina quanto se gasta para vedar o terreno representado aolado com rede que custa 1,80 e o metro.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
9. Dei duas voltas completas a uma praça com a forma de um octógono regular e percorri 104 m.Calcula o comprimento do lado da praça.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
BA
Piscina
6 m
6 m
6 m
6 m
28 m
26 m
16 m
44 m
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
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78 PERÍMETROSE ÁREAS
1. Calcula, em cm2:
1.1 a área dos paralelogramos ABCD e EDFB :
_________________________________________________________
1.2 a área de um quadrado com 20,4 cm de perímetro:
_________________________________________________________
1.3 a área de um retângulo com 13,2 cm de comprimento e em que a largura é um terço do comprimento:
_________________________________________________________
Como converter unidades de área?
Converter 15,2 km2 em m2
2,5 cm2 em dam2
Então 15,2 km2 = 15 200 000 m2
2,5 cm2 = 0,00 000 25 dam2
Como determinar a medida da área de uma figura, conhecida a unidade de área?Como reconhecer figuras equivalentes? E congruentes?
Observa as figuras A e B e toma U como unidade de área.
A medida da área do retângulo A é 4, porque a unidade U cabe quatro vezes em A .A medida da área da figura B é 4, porque U cabe quatro vezes em B .Então, A e B são figuras planas equivalentes. De duas figuras planas equivalentes dizemos que têm amesma área. A e B não são congruentes porque não podem ser levadas a coincidir ponto por ponto.
Como calcular a área de um paralelogramo?
A medida da área de um retângulo é o produto das medidas do comprimento eda largura, expressas na mesma unidade.
A▭ = c × l ou A▭ = cl
A medida da área de um quadrado é o quadrado da medida do seu lado.
A□ = l × l ou A□ = l2
A medida da área de um paralelogramo (obliquângulo) é o produto dasmedidas da sua base e da sua altura, expressas na mesma unidade.
A▱ = b × a ou A▱ = ba
A U B
Pratica
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
c
l
l
a
b
A
B
DE6,5 m
CF10 m
6 m
79PERÍMETROSE ÁREAS
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2. Calcula a área das figuras.
Como distinguir perímetro de área?
Observa a figura A.
É fundamental que saibas distinguir perímetro de área.
Como calcular a área de um polígono que não é triângulo nem retângulo?
Decompõe o polígono dado em triângulos e retângulos.
Pratica
1 cm
A
1,5 cm
2 cm
1 cm
2 cm
1,5 cm1 cm
1,5 cm
Há 6 quadrados de 1 cm2.
A área desta figura é 6 cm2.
O perímetro desta figura éo comprimento da linha
que é a sua fronteira.O perímetro é 14 cm.
A área é 3,75 cm2. A área é 3 cm2. A área é 0,75 cm2.
A = 3 + 0,75 A▭ = 2 × 1,5 A△ = 1,5 × 1
2porque
base base
1 cmal
tura
altu
ra
base altura
A área é 2 cm2. A área é 1 cm2. A área é 3 cm2.
A△ = 2 × 2
2A△ =
2 × 12
A△ = 2 × 3
2
Como calcular a área de um triângulo?
A medida da área de um triângulo determina-se multiplicando a medida da base pela medida da altura edividindo o resultado por 2.
A△ = ou A△ = b – base ; a – alturab × a�
2ba�2
2.1
____________________________________________
2.2
____________________________________________
2.3
____________________________________________
4,5 cm
2,5 cm
2,5 cm 2 cm
7 cm
3 cm
3 cm3 cm 4 cm
5 cm
80 PERÍMETROSE ÁREAS
Equivalência de figuras planas. Unidades de áreafi
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1. Qual a medida da área da figura A, tomando como unidade área?
___________________________________________________________________________________________________________________
1.1 Desenha no quadriculado do teu caderno:
a) uma figura que tenha a mesma área da figura A, mas que não sejacongruente com a figura;
b) uma figura congruente com a figura A.
2. Completa.
2.1 Duas figuras planas são congruentes se ____________________________________________________________________
2.2 De duas figuras planas equivalentes diz-se que têm _______________________________________________________
3. Observa as figuras seguintes.
3.1 Escolhe duas figuras congruentes. __________________________________________________________________________
3.2 Escolhe duas figuras equivalentes, não congruentes. ______________________________________________________
3.3 Escolhe duas figuras equivalentes e congruentes. _________________________________________________________
3.4 Desenha, no quadriculado, um retângulo equivalente à figura E.
4. Observa as figuras ao lado e indica:
4.1 figuras congruentes: _______________________________
4.2 figuras equivalentes: ______________________________
4.3 a medida da área de cada figura, tomando a áreade uma quadrícula como unidade de área:
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
A
U
A BC
DCC
BBAA DDE
A
B
C
D
E FG
U
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a 22 5. Determina a medida da área de cada figura desenhada no quadriculado, tomando para unidade de área:
5.1
____________________________________________________________
___________________________________________________________
5.2
____________________________________________________________
___________________________________________________________
5.3 Indica duas figuras equivalentes.
____________________________________________________________
___________________________________________________________
5.4 Qual dos retângulos tem menor área?
________________________________________________________________________________________________________________
6. Na parede de casa do João foi desenhada a figura ao ladoque foi depois coberta com azulejos.
6.1 Tomando um azulejo do tipo para medida de área,quantos azulejos foram necessários para cobrir o dese-nho?
_____________________________________________________________
6.2 Calcula a medida da área da figura, tomando comounidade de medida de área:
________________________________________________________________________________________________________________
7. Tomando como unidade de área , qual a medida da área da figura P?
________________________________________________________________________________
8. Completa.
8.1 3 dam2 = ___________ m2 8.6 1500 m2 = ___________ dam2
8.2 2,5 hm2 = ___________ m2 8.7 2700 cm2 = ___________ mm2 = ___________ dm2
8.3 6,5 dam2 = ___________ m2 8.8 165 ha = ___________ m2 = ___________ a
8.4 43 a = ___________ m2 8.9 0,32 m2 = 3200 ___________ = 32 ___________
8.5 1,53 ha = ___________ m2
9. Que fração da medida da área do retângulo ABCD é a área daparte pintada?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
A
BC
D E
F
P
A
D C
B
1 cm2
1 hectare = 1 hm2
1 are = 1 dam2
1 centiare = 1 m2
82
Áreas de paralelogramosfi
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a23 1. Na figura há dois retângulos. Calcula a área da parte colorida da
figura.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
2. Sendo b a medida de um lado de um paralelogramo e h a medida da altura relativa a esse lado, com-
pleta a tabela seguinte.
3. Um painel retangular tem 86 cm por 42,4 cm e uma moldura com 3 cm
de largura a toda a volta.
Qual é a área da moldura?
________________________________________________________________________________
4. Um paralelogramo tem 9 cm de base e a altura relativa a essa base é �4
9� da base. Calcula o lado de um
quadrado que é equivalente ao paralelogramo.
___________________________________________________________________________________________________________________
5. O paralelogramo LUAR tem 252 cm de perímetro e 2880 cm2 de área. Calcula:
5.1 o comprimento do segmento de reta RL :
________________________________________________________________________________________
5.2 a altura relativa ao lado LU :
_______________________________________________________________________
5.3 a altura relativa ao lado UA (arredonda a 1 c.d.):
_______________________________________________________________________
1,5 m
1,5 m
1,5
m
1,5
m
9 m
4 m
42,4 cm
86 cm
R A
L U72 cm
b (cm) 6,5 9,3 6,4
h (cm) 12 �27�
Área (cm2) 186 21 15,2
PERÍMETROSE ÁREAS
83PERÍMETROSE ÁREAS
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a 23 6. Observa a representação de um jardim formado por três paralelogramos.
6.1 Que área ocupam as rosas?
_________________________________________________________________________
6.2 Qual a razão entre a área ocupada pelas rosas e
pelas tulipas?
_________________________________________________________________________
6.3 Os cravos ocupam 25% da área ocupada pelas
tulipas. Qual é a área do jardim?
________________________________________________________________________________________________________________
7. Um quadrado tem de lado 18 cm. Calcula a medida do perímetro do retângulo que lhe é equivalente e em
que um dos seus lados é �3
2� do lado do quadrado.
________________________________________________________________________________________________________________
8. Observa o retângulo representado e as suas dimensões numa dada unidade. Constrói
um quadrado de lado unitário decomposto em retângulos iguais ao retângulo da figura.
8.1 Relaciona o número de retângulos com a área de cada um.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________
8.2 Determina a área do retângulo dado justificando o resultado obtido.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________
6 m
3 m
24 m
Rosas
TulipasCravos
13
15
84 PERÍMETROSE ÁREAS
Área do triângulofi
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1. Calcula a área de cada triângulo, desenhado em quadriculado de 1 cm de lado.
2. Traça, com régua e esquadro, a altura relativa à base indicada em cada triângulo.
2.1 Classifica cada um dos triângulos quanto aos lados e ângulos.
________________________________________________________________________________________________________________
2.2 Faz as medições necessárias e calcula a área de cada triângulo.
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
A B
C
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base
base
basebase
A. B. C. D.
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a 24 3. Usa a régua, faz as medições necessárias e calcula a área de cada triângulo.
4. Observa os terrenos triangulares representados abaixo.
4.1 Calcula a área de cada terreno.
4.2 Qual o terreno cuja área é 25% da área do terreno B?
________________________________________________________________________________________________________________
5. Observa a representação da horta da Luísa, instalada num terreno retangular.
5.1 Calcula, em m2, a área da horta.
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
5.2 Que fração do terreno todo ocupa a horta?
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
6. A área da parte pintada a azul é 20% da área do retângulo.Descobre o comprimento do retângulo.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
20 m
45,5 m
40 m
91 m 91 m
65 m50,8 m
10 m
30 m
1,2 dam
horta
16 m
7 m
3.1 _______________________________
_______________________________
3.2 _______________________________
_______________________________
3.3 _______________________________
_______________________________
3.1 _ 3.2 3.3 _
__________________________________
________________________________
__________________________________
________________________________
__________________________________
________________________________
A. B. C.
PERÍMETROSE ÁREAS
86 PERÍMETROSE ÁREAS
Áreas por decomposição. Estimativafi
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1. Decompõe o quadrilátero em figuras tuas conhecidas e determina a sua área.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2. Decompõe o quadrilátero em três figuras geométricas e deter-mina a sua área.Confirma o resultado escolhendo outra decomposição da figura.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Calcula a área do barco representado, em m2.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4. Num terreno retangular instalaram- -se os armazéns A e B.Qual a área de terreno não ocupadapelos armazéns?
________________________________________
________________________________________
________________________________________
________________________________________
5. Estima a área da folha representada ao lado em qua-driculado de 1 cm.
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
6. Determina, por decomposição, a área do triângulo ABC .
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
0,5 cm
0,5 cm
1 m
10 m
55 m
10 m
10 m
10 m
10 m
110 m
10 m
A B
A
B
C1 cm
87PERÍMETROSE ÁREAS
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a 25 7. Calcula a área da parte relvada do terreno representado.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
8. Calcula, em hectares, a área do terreno representado.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
9. O João comprou o terreno desenhado ao lado, onde um caminho empe-drado separa o pomar da horta
9.1 Quanto pagou pelo terreno, sabendo que cada m2 custou 14 €?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
9.2 Considerando o terreno da questão anterior, diz, justificando, se as afirmações seguintes são verda -deiras (V) ou falsas (F)?
a) O caminho ocupa 50% da área ocupada pela horta e pelo pomar.
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
b) A área do terreno é superior a dois quintos de um hectare.
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
10. Descobre o valor de d na figura, de modo que os dois polígonos sejam equivalentes.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________
8 cm
20 m
28 m
relvado
3 m
40 m 50 m
50 m
50 m
50 m
20 m
40 m
horta
pomar
60 m
14 cm
3 cm
10 cm
d
88 PERÍMETROSE ÁREAS
Área e perímetrofi
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f.
E
nc.
Ed
uc.
1. Calcula o perímetro e a área de cada figura pintada.
2. Desenha, no papel quadriculado de 1 cm, uma figura:
2.1 Com A = 6 cm2. 2.2 Com 10 cm de perímetro.
Calcula o seu perímetro. Calcula a sua área.
3. O terreno do Zé é retangular e está representado ao lado.
3.1 Se o Zé vedar o terreno com duas fiadas de arame, de quantosmetros precisa?
_______________________________________________________________________
3.2 Se cada m2 de terreno custou 200 €, quanto custou o terreno?
_______________________________________________________________________
4. Observa os retângulos e, para cada um, calcula o lado desconhecido e a sua área.
80 m
62,5 m
1 cm
1 cm
1 cm
8 cm
?Perímetro = 26 cm
12,5 cm
?
?
Pe
rím
etr
o
= 2
6 c
m
P = __________________________________________________
A = __________________________________________________
P = __________________________________________________
A = __________________________________________________
____________________________________________________ ____________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
1.1 1.2
4.1 4.2
89PERÍMETROSE ÁREAS
Man
ual
(vol
um
e 2
)
Pág
s. 8
8 e
89
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átic
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poi
o ao
Alu
no
– M
atem
átic
a 5
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no
– T
EX
TO
cont.
fich
a 26 5. Observa os terrenos a seguir representados e, para cada um, calcula o lado desconhecido e o seu perímetro.
5.1 5.2
6. A Joaninha vedou com uma rede e plantou os dois canteiros que vês representados abaixo.
6.1 Que quantidade de rede usou para vedar cada canteiro?
________________________________________________________________________________________________________________
6.2 Mostra que o canteiro A ocupa mais 135 m2 que o canteiro B.
________________________________________________________________________________________________________________
7. O retângulo e o triângulo da figura são equivalentes. Tendo em conta os dados, calcula, em cm, o períme-
tro do retângulo. Descreve a resolução do problema.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
8. A área total de um cubo é 150 cm2. Qual é o perímetro de uma face?
___________________________________________________________________________________________________________________
9. As duas matas representadas têm áreas iguais. Se o perímetro da mata retangular é 248 m, descobre o
perímetro da mata triangular.
___________________________________________________________________________________________________________________
2 dam
A = 18 dam2 ?
250 m
?A = 18 dam2
4 cm 6 cm
4 cm
100 m
100 m60 m
___________________________________________________ ___________________________________________________
30 m
6 m
38 m
10 m 10 m
8 m 6 m
4,5 m
A. B.
90 PERÍMETROSE ÁREAS
prob
lem
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N
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a
Ava
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En
c. E
du
c.
O Zé desenhou à mão o quadrilátero ABCD .
1.1 Desenha a figura, usando material de desenho eobedecendo às seguintes condições:
• A�B� = 9 cm
• A�J� = �31
� A�B�
• C�D� = 1 cm
• J�C� = 4 cm
1.2 Calcula a área do quadrilátero ABCD .
______________________________________________________________________________________________________________
Observa o retângulo ao lado, onde B�G� = G�F� = F�E� = E�C� = D�C� .
Se o perímetro do retângulo for 72,5 cm, calcula:
2.1 a área do retângulo ABCD .
________________________________________________________________________________________
2.2 a área do triângulo AGD .
________________________________________________________________________________________
O átrio de uma escola é retangular, com 9 m por 6 m, e vai ser pavimentado com placas quadradas,
com �43
� m de lado.
Quantas placas vão ser necessárias?
______________________________________________
1
2
3
J BA
C
D
A B
D C
G
F
E
91PERÍMETROSE ÁREAS
MA
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a–
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EX
TO
prob
lem
as
cont.
A área de um triângulo é 42 cm2.Que valor passará a ter em cada uma das situações?
4.1 Mantém a base e duplica a altura.
______________________________________________________________________________________________________________
4.2 Duplica a base e duplica a altura.
______________________________________________________________________________________________________________
Determina a base de um triângulo com 30 dm de altura e 1200 dm2 de área.
_________________________________________________________________________________________________________________
Determina a área da parte colorida da figura.
_____________________________________________________________________
Na figura, o polígono ABCD tem dois lados paralelos e o segmento de reta CE é paralelo aosegmento de reta DA .
7.1 Que nome tem o quadrilátero AECD ? Justifica.
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
7.2 Determina as amplitudes dos ângulos desconhe cidos.
______________________________________________________________________________________________________________
7.3 Se E�B� = �54
� A�E� e D�F� = �21
� A�E� , determina a área da figura.
______________________________________________________________________________________________________________
4
5
6
7
26 cm
12 cm10 cm
12 cm
69o 35’
51o 20’
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D C
A EF B
5 cm
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s. 7
4 e
75; 9
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91
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zer
92 REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
Representação e interpretação de dados
Como construir um gráfico de barras e um pictograma?
Observa os resultados de um inquérito realizado a 1200 pessoas sobre a questão: «O que pensa da
abertura dos hipermercados ao domingo?»
Gráfico de barras
• Tem de ter um título.
• A altura de cada barra representa a frequência
absoluta.
• As barras devem ter a mesma largura e estar
igualmente distanciadas umas das outras.
• A unidade gráfica deve ser escolhida de acordo com
os dados.
Neste exemplo, escolhemos 60, que é divisor de 600,
420 e 180.
Pictograma
• Tem de ter um título.
• Deve estar indicado o significado do símbolo
usado.
• Os símbolos desenham-se em linhas ou colunas,
igualmente distanciadas umas das outras.
Neste exemplo, determinámos que um carrinho
valeria 120 pessoas.
1. Constrói, no teu caderno, um gráfico de barras e um pictograma que traduza a informação da
tabela.
Pratica
A favor
Contra
Sem opinião
Abertura dos hipermercados ao domingo
= 120 pessoas
Resposta Número de pessoas
A favor 600
Contra 420
Sem opinião 180
Tipo de livros requisitados na biblioteca da escola
Número de livros
Aventura 25
Ciência 20
História 30
Romance 15
Abertura dos hipermercados ao domingo
60054048042036030024018012060
A favor Contra Sem opiniãoOpinião
Fre
qu
ên
cia
ab
so
luta
93REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
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TO
Como localizar um ponto A num referencial cartesiano ortogonal?
Um referencial cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos perpendiculares que se intersetam na
origem do referencial:
• o eixo das abcissas, horizontal;
• o eixo das ordenadas, vertical.
O referencial diz-se monométrico se estiver definida a
mesma unidade de comprimento nos dois eixos.
Um ponto do plano é representado por um par ordenado de
números – as coordenadas do ponto. O primeiro número é a
abcissa e o segundo a ordenada.
Para representar no referencial, por exemplo, o ponto A (2, 3) ,
localizo:
2 – no eixo das abcissas;
3 – no eixo das ordenadas;
e traço perpendiculares aos eixos nesses pontos, cuja interseção é o ponto A .
Como interpretar um diagrama de pontos?
Este diagrama de pontos refere-se ao número de
irmãos dos alunos de uma turma
Nesta turma, o número de irmãos mais frequente é 1.
Há 6 alunos sem irmãos e 1 aluno com 6 irmãos.
A turma tem 25 alunos.
2. Completa a tabela com as coordenadas dos pontos assinalados.
3. Escreve, no teu caderno, três frases sobre a
infor mação apresentada no diagrama de
pontos ao lado.
Pratica
x y
0
×
××
×
××
×
××
×
×
× × ×
××
××
×
××
××
××
1 2 3 4 5 6
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
× ×
××
×
×
× ×
××
××
Número de bombons em 12 caixas de chocolates
A
B
C
D
E
0 1 2 3 4 x
2
3y
1
Eix
o da
s or
dena
das
Eixo das abcissasOrigem
A (2, 3)
abcissa ordenada
coordenadas
0 1 2 3 4 x
2
3
4
5
6y
1
5 6 7 8
A
B
C
D
E
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94 REPRESENTAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE DADOS
Como interpretar um diagrama de caule-e-folhas?
Idades dos professores de uma escola
2 8 9
3 1 2 3 3
4 1 1 6 6 6
5 5 6 7 8 9
6 1 1 2 2 3 3
Como interpretar um gráfico de linhas?
Às 16 h, a temperatura corporal da Ana era 39 °C.
A temperatura desceu para os 38 °C às 24 h, mas, às 4 h da manhã, subiu para os 38,5 °C.
A partir das 4 h da manhã, a temperatura desceu sempre até atingir os 37 °C, às 12 h.
4. Escreve, no teu caderno, pelo menos três frases sobre o gráfico e três frases sobre o diagrama.
Número de palavras escritas
num minuto por 13 pessoas
2 6
3 3 4 5
4 0 1 2 2 2
5 0 1 7 7
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Há 22 professores nesta escola. 2 8 significa 28 anos de idade.
A moda das idades é 46 anos.
Há 2 professores com menos de 30 anos.
Há 6 professores com mais de 60 anos.
Há 16 professores com mais de 40 anos.
5 2 significa 52 palavras escritas num minuto.
Temperatura corporal da Ana durante
o tempo que esteve no hospital
37
16 20 24 4 8 12
38
39
Tem
pera
tura
(Co )
Horas
Pratica
Caule Folhas
Caule Folhas
Temperatura do ar
às 12 h durante a semana
5
2.a 4.a 6.a3.a 5.a S
10
D
Tem
pera
tura
(Co )
Dias da semana
95
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TO
REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
0 2 1 1 1
1 2 0 0 1
0 0 2 1 1
1 1 1 3 1
0 0 0 3 2
Pratica
Como se constrói uma tabela de frequências absolutas e relativas?
No quadro registou-se o número de irmãos dos alunos de uma turma com 25 alunos.
Vamos construir uma tabela de frequências absolutas e relativas.
Repara que:
Nos dados, o valor 1 (um irmão) aparece 11 vezes; 11 é a frequência absoluta do valor 1, isto é, há 11
alunos com um irmão.
O valor 1 aparece 11 vezes em 25. Isto quer dizer que a frequência relativa do valor 1 é
A percentagem de alunos com pelo menos dois irmãos (dois ou mais) é de 24% (16% + 8%).
5. Constrói uma tabela de frequências absolutas e relativas com os dados do quadro abaixo,
relativos às notas dos alunos de uma turma com 20 alunos, em Matemática, no 1.° período.
Número de irmãos Frequência absoluta Frequência relativa
0 8 = 0,32 = 32%
1 11 = 0,44 = 44%
2 4 = 0,16 = 16%
3 2 = 0,08 = 8%
Total 25 1 = 100%
8 25
11 25
4 25
2 25
3 4 5 4 3
4 3 1 2 4
4 5 4 5 1
4 3 3 2 2
11 = 11 : 25 = 0,44 = 44%
25
96
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REPRESENTAÇÃO E INTERPRETAÇÃO DE DADOS
Como indicar a moda e calcular a média aritmética?
1.° Caso
Calcula a média e indica a moda das idades, em anos: 5, 4, 3, 1, 2, 4.
Moda: 4, pois é o valor que aparece com maior frequência (2 vezes).
Média: somam-se os valores de todos os dados e divide-se a soma pelo número de dados.
2.° Caso
Número de livros que um grupo de jovens leu em setembro.
Moda: Zero, porque a zero corresponde a maior frequência.
Média: Multiplica-se cada valor pela sua frequência absoluta e somam-se os resultados obtidos. Esta
soma divide-se pelo número total de dados.
Significa que, se todos os jovens tivessem lido o mesmo número de livros, cada um teria lido
aproxi mada mente 1,3 livros.
Número de livros 0 1 2 3 4
Número de jovens 12 8 6 2 4
6. Indica a moda e calcula a média dos seguintes conjuntos de dados:
6.1 12, 11, 11, 9, 13, 10, 12, 10 (idades, em anos, dos amigos da Sara).
_______________________________________________________________________________________________________
6.2
Pratica
Notas dos alunos de uma turma do
10.° ano a MatemáticaFrequência absoluta
9 4
11 5
12 9
16 6
20 1
x– = 5 + 4 + 3 + 1 + 2 + 4 ≈ 3,2
6
x– = 0 × 12 +1 × 8 + 2 × 6 + 3 × 2 + 4 × 4 ≈ 1,3
32
____________________________________________________________
____________________________________________________________
97
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REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
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Como resolver problemas que envolvem média e moda?
A média e a moda de cinco números é 4.
Vamos descobrir cinco números que obedeçam a esta condição.
• Se a média de cinco números é 4, então, a soma desses cinco números tem de ser 5 × 4 = 20 .
• Se a moda é 4, quer dizer que 4 é o número mais frequente.
Assim, uma das respostas possíveis é: 6; 4; 4; 4; 2.
7. Propõe outra solução para o problema anterior.
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
8. A média dos «pesos» de cinco atletas é 52 kg.
Ao grupo vai juntar-se um outro atleta com 64 kg.
Qual passa a ser o «peso» médio dos seis atletas?
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
9. O Zé foi de casa à praia, de bicicleta, e percorreu �5
1� do percurso na primeira hora, �
3
1� do percurso
na segunda hora e demorou mais duas horas a percorrer os 14 km que ainda faltavam.
Qual foi a velocidade média no percurso, em km por hora?
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________
Pratica
98 REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
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27Frequência absoluta. Gráficos
Nom
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Pro
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E
nc.
Ed
uc.
1. Os professores de uma turma pretendem programar uma visita de estudo de acordo com as preferências
dos alunos. A escolha recai sobre monumentos ou parques naturais, o dia da semana mais conveniente e
o meio de transporte a utilizar.
Escreve algumas questões que te permitam recolher dados para este estudo.
___________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________________________
2. Cada aluno de um colégio votou no instrumento musical que gostava de aprender a tocar. Cada aluno só
pôde votar num instrumento.
Observa os resultados da votação:
2.1 Completa a coluna das frequências absolutas.
2.2 Os dados são de natureza qualitativa ou quantitativa?
________________________________________________________________________________________________________________
2.3 Quantos alunos votaram?
________________________________________________________________________________________________________________
2.4 13 é a frequência absoluta de que instrumento?
________________________________________________________________________________________________________________
2.5 Qual foi a percentagem de votos que obteve o piano?
________________________________________________________________________________________________________________
2.6 Em que instrumento votou um em cada seis alunos?
________________________________________________________________________________________________________________
2.7 Constrói um gráfico de barras que traduza a informação dada na tabela.
Instrumento Contagem Frequência absoluta
Flauta
Violino
Piano
Acordeão
Guitarra
99REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
Man
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cont.
fich
a 27 3. A Filipa fez um inquérito na sua turma de 30 alunos sobre o pro-
grama favorito de televisão de cada um.
Com os resultados, construiu o gráfico ao lado.
3.1 Qual é a diferença entre o número de alunos que prefere filmes
e o número de alunos que prefere noticiários?
_____________________________________________________________________
3.2 Que percentagem dos inquiridos prefere noticiários?
_____________________________________________________________________
3.3 Que tipo de programas têm igual preferência?
________________________________________________________________________________________________________________
3.4 Se fosses anunciante, em que tipo de programas farias passar o teu anúncio?
Justifica. _____________________________________________________________________________________________________
3.5 Verdadeiro ou falso? «Os alunos que preferem noticiários são 30% dos que preferem filmes.»
________________________________________________________________________________________________________________
4. Uma educadora de infância de um grupo de 25 crianças registou o número de faltas dadas por cada
criança, durante um mês.
4.1 Constrói a tabela de frequências e o gráfico de barras.
4.2 Qual a percentagem de crianças que não faltaram naquele mês? ___________________________________________
5. Perguntou-se a um grupo de jovens o que gostam de fazer no
sábado à tarde. Observa as respostas, sabendo que cada jovem
só podia fazer uma escolha.
5.1 Quantos jovens responderam? __________________________________
5.2 Quantos jovens preferem cinema? _____________________________
5.3 Qual é a percentagem de jovens que prefere andar de bici-
cleta? ____________________________________________________________
5.4 Escreve uma frase que traduza a informação da última linha do gráfico.
________________________________________________________________________________________________________________
Programa favorito de TV
2
4
6
8
10
Mus
icais
Notici
ários
Telen
ovel
as
Film
es
Séries
Nú
me
ro d
e a
lun
os
Programas de TV
Número de faltas
ContagemFrequência
absoluta
1 2 1 3 0 2 7 3 0 6 0 2 1
1 0 4 5 1 2 0 1 5 1 1 0
Ir ao cinema
Patinar
Jogar futebol
Andar de bicicleta
Dançar
Ocupação no sábado à tarde
= 4 jovens
100 REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
fich
a 1
3fi
cha
28Referencial cartesiano ortogonal. Diagramas de pontose de caule-e-folhas. Diagramas de Venn e de Carrol (revisão)
Nom
e
N.o
Tu
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A
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ação
Pro
f.
E
nc.
Ed
uc.
1. Muitos dos alunos de uma turma frequentam pelo me -
nos um dos clubes: Clube de Leitura e Clube de Infor -
mática.
Completa o texto depois de observares o diagrama de
Venn.
• O número de alunos que frequenta o Clube de Leitu -
ra é ___________________ e o número de alunos que fre -
quenta apenas o Clube de Informática é __________.
• Há __________ alunos que não frequentam nenhum clube,
mas há __________ alunos que frequentam os dois clubes.
• A turma tem __________ alunos.
2. A partir dos dados do diagrama de Venn da questão 1, completa o diagrama de Carrol.
3. No referencial cartesiano estão assinaladas, por pontos, as
estrelas de uma constelação.
Indica as coordenadas desses pontos.
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
4. O João é sócio de um clube de ténis, onde paga uma mensalidade de 5 €. Por cada partida que joga, paga
mais 1 €. Completa a tabela referente aos meses de outubro, novembro e dezembro, respetivamente.
Constrói, num referencial ortogonal e monométrico,
o gráfico de pontos da tabela.
Representa o número de partidas no eixo das
abcissas e o custo (em euros) no eixo das ordenadas.
Leitura
7
6
3 8
Informática
Número de partidas 0 3 5
Custo (euros)
Frequentam o Clube de Informática
Não frequentam oClube de Informática
Frequentam o Clube de Leitura
Não frequentam o clube de leitura
0 2 4 x
2
4
6
y
6 8 10
8
10
101REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
Man
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6 a
119
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cont.
fich
a 28 5. A Diana e o João lançaram 20 vezes um par de rapas, nu -
merados de um a quatro, e registaram as somas obtidas
num diagrama de pontos.
5.1 Qual é a soma mais frequente?
_____________________________________________________________
5.2 Quais são os extremos?
_____________________________________________________________
5.3 Qual é a amplitude?
________________________________________________________________________________________________________________
6. Um grupo de dez amigos contou o número de cromos com futebolistas que cada um tem na sua caderneta.
6.1 Completa o diagrama de pontos no teu caderno, sabendo que a moda é 21 cromos, a amplitude é
5 cromos e 24 cromos é o valor discrepante.
6.2 Ao grupo juntou-se um amigo que faz a mesma coleção. Prevê o número de cromos que terá na sua
caderneta.
________________________________________________________________________________________________________________
7. Relativamente a uma turma, representaram-se as alturas, em centímetros, dos
alunos num diagrama de caule-e-folhas. Observa-o ao lado.
7.1 Qual era, em centímetros, a altura do aluno mais baixo?
__________________________________________________________________________________
E do mais alto? _________________________________________________________________
7.2 Quantos alunos tinha a turma? ___________________________________________________
8. Num ginásio, pesaram-se, em quilogramas, os vinte alunos de uma turma:
8.1 Apresenta os dados num diagrama de caule-e-folhas.
8.2 Indica os extremos, a amplitude e a moda.
________________________________________________________________________________________________________________
8.3 Indica duas vantagens do uso deste diagrama.
________________________________________________________________________________________________________________
2
× × × × × × ×
× × × × ×
× × ×
× × ×
×
×
3 4 5 6 7 8
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
32 50 43 31 32 44 28 32 30 41
61 56 42 55 32 49 56 61 28 43
13 4 5
14 0 0 3 4 5
15 2 2 3 8 8
16 0 1 1 3 4 4
17 0 2
102 REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
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a 1
3fi
cha
29Gráficos de linha. Frequência relativa
Nom
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Pro
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Ed
uc.
1. O Diogo mediu a altura de uma planta no fim de cada semana, durante seis semanas, e construiu um
gráfico de linha.
1.1 Qual a altura da planta ao fim de duas semanas? E ao fim de cinco semanas?
______________________________________________________
______________________________________________________
1.2 Quanto cresceu a planta entre a quarta e a quinta
semana?
______________________________________________________
1.3 Em que semana cresceu mais?
______________________________________________________
1.4 Em que semana atingiu 12,5 cm?
______________________________________________________
1.5 Os dados são qualitativos ou quantitativos?
Justifica.
_______________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________________________
2. A Sílvia esteve doente e mediram-lhe a temperatura de seis em seis horas, durante dois dias.
Completa o gráfico, atendendo aos dados.
1.° dia 2.° dia
0 horas – 38 °C 0 horas – 38 °C
6 horas – 40 °C 6 horas – 37 °C
12 horas – 39 °C 12 horas – 37 °C
18 horas – 40 °C 18 horas – 36,5 °C
2.1 Em que intervalo de tempo foi maior a
subida da temperatura?
________________________________________________________________________________________________________________
2.2 Qual foi a diferença de temperatura entre as 18 horas do primeiro dia e do segundo dia?
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
2.3 Os dados são qualitativos ou quantitativos?
________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________
Crescimento de uma plantaem seis semanas
5
0 1 2 3 4 5 6
20
30
40
50
10
15
25
35
45Alt
ura
(cm
)
Semanas
Temperaturas da Sílvia
36
0h 6h 12h 18h 0h 6h 12h
38
40
41
37
18h
39
Tem
pera
tura
s (o C
)
Horas1.o dia 2.o dia
103REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
Man
ual
(vol
um
e 2
)
Pág
s. 12
0 a
123
MA
Tem
átic
a–
Cad
ern
o d
e A
poi
o ao
Alu
no
– M
atem
átic
a 5
.oA
no
– T
EX
TO
cont.
fich
a 29 3. Observa as respostas dadas por vinte alunos de uma turma à pergunta: «Que idade tens?»
3.1 Constrói uma tabela de frequências absolutas e relativas.
3.2 Qual é a moda desta distribuição?
________________________________________________________________________________________________________________
3.3 Que percentagem de alunos tem, pelo menos, 13 anos?
________________________________________________________________________________________________________________
4. A um grupo de estudantes perguntou-se: «Qual é a tua disciplina preferida?»
4.1 Que percentagem de estudantes prefere Português?
________________________________________________________________________________________________________________
4.2 E Matemática?
________________________________________________________________________________________________________________
4.3 Se 60 estudantes preferem Matemática, quantos preferem Inglês?
________________________________________________________________________________________________________________
4.4 Que fração de estudantes prefere Educação Física?
________________________________________________________________________________________________________________
Matemática
Disciplina preferida
Educação
Física
Inglês
12,5%
Português
12 13 13 12
14 12 12 13
12 13 13 12
13 12 12 12
12 13 12 12
104 REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
Média aritméticaN
ome
N
.oT
urm
a
Ava
liaç
ão
P
rof.
En
c. E
du
c.fi
cha
30 1. Determina a média e indica a moda (caso exista) de cada um dos seguintes conjuntos de dados.
1.1 2,5; 1,3; 2,7; 2,5; 1
_________________________________________________________________________________________________________________
1.2 1,44; 1,98; 0,56; 0,02; 4
_________________________________________________________________________________________________________________
2. Os tempos gastos por oito estudantes na realização de um trabalho foram:
1 h e 40 min; 2 h e 30 min; 45 min; 1 h;
1 h e 10 min; 40 min; 2 h e 15 min; 2 h
Calcula o tempo médio gasto na realização do trabalho.
___________________________________________________________________________________________________________________
3. Um grupo de estudantes foi à Feira do Livro. A tabela mostra o número de livros que compraram:
3.1 Quantos estudantes tinha o grupo?
_________________________________________________________________________________________________________________
3.2 Quantos estudantes não compraram livros?
_________________________________________________________________________________________________________________
3.3 Em média, quantos livros comprou cada estudante?
_________________________________________________________________________________________________________________
3.4 Mostra que dois em cada três estudantes compraram mais de que um livro.
________________________________________________________________________________________________________________
Número delivros
Número deestudantes
0 2
1 7
2 6
3 4
4 2
5 5
6 1
105REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
Man
ual
(vol
um
e 2
)
Pág
s. 12
4 e
125
MA
Tem
átic
a–
Cad
ern
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poi
o ao
Alu
no
– M
atem
átic
a 5
.oA
no
– T
EX
TO
cont.
fich
a 30 4. Escreve três frases com os dados do gráfico seguinte.
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________
5. A média das notas da Ana nos cinco testes de Inglês do ano passado foi de 54 pontos em 100. Quando
recebeu o sexto teste, concluiu que ficava com uma média de 50 pontos.
Qual foi a nota do sexto teste?
___________________________________________________________________________________________________________________
6. Pensei em cinco números cuja média é 6. Quatro dos números são 5, 7, 4 e 3.
Descobre o outro número em que pensei.
___________________________________________________________________________________________________________________
7. A média de cinco números naturais é 8. Retirando um número, a média dos quatro restantes é 9.
Que número se retirou?
___________________________________________________________________________________________________________________
8. Considera a regra de ouro:
«Seja educado. Em civismo tome sempre a dianteira.»
8.1 Qual é a vogal que aparece com mais frequência?
________________________________________________________________________________________________________________
8.2 Qual é a frequência relativa das palavras com quatro letras?
________________________________________________________________________________________________________________
8.3 Qual é o número médio de letras por palavra?
________________________________________________________________________________________________________________
Número médio de pessoas por família (em Portugal)
Portu
gal
Norte
Centro
Lisboa
Alent
ejo
Algar
ve
Mad
eira
Açore
s
1991
2001
3,12,8
3,43,0 3,0 2,9 2,9
3,73,3 3,3
3,8
2,6 2,6 2,6 2,52,8
106 REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
prob
lem
asN
ome
N
.oT
urm
a
Ava
liaç
ão
P
rof.
En
c. E
du
c.
1
2
O gráfico de barras mostra o «peso» de cinco amigos.
1.1 Qual é a diferença de peso entre a Eva e a Ana?
______________________________________________________________________________________________________________
1.2 Que fração do peso do Zé é o peso do Tó?
______________________________________________________________________________________________________________
1.3 Quem pesa mais do que a média dos pesos dos cinco amigos?
______________________________________________________________________________________________________________
1.4 Mostra que o peso do Zé é 80% do peso da Eva.
______________________________________________________,________________________________________________________
O gráfico mostra as vendas de calças de ganga, durante 6 meses, em euros.
2.1 Quanto faturou a loja a mais em dezembro do que em novembro?
______________________________________________________________________________________________________________
2.2 Qual foi a média mensal de vendas, em euros?
______________________________________________________________________________________________________________
2.3 Se cada par de calças de ganga foi vendido por 25 € no mês de dezembro, quantas calças sevenderam nesse mês?
______________________________________________________________________________________________________________
«Peso» de cinco amigos
Lena
10 20 30 40 50
Tó
Eva
Zé
Ana
Peso (kg)
Nom
es
Vendas semestrais
0Out. Nov. Dez. Jan. Fev. Mar.
750
1500
2250
Meses
Eur
os
107REPRESENTAÇÃO EINTERPRETAÇÃO DE DADOS
MA
Tem
átic
a–
Cad
ern
o d
e A
poi
o ao
Alu
no
– M
atem
átic
a 5
.oA
no
– T
EX
TO
prob
lem
as
cont.
Num congresso com 90 farmacêuticos, 57 falam inglês, 36 francês e 21 falam ambas as línguas.Qual é a percentagem de farmacêuticos que não fala nem inglês, nem francês?
_________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________________
A Ana registou as temperaturas de sua casa em graus Celsius, às 9 horas, durante uma semana ecalculou a moda e a média dessas temperaturas. No registo, apagaram-se dois dados. Descobre-os.
Temperaturas:
1 2 3 2 ________ 4 ________ Moda: 2 Média: 3
As coordenadas de três dos vértices de um paralelogramo são(1, 3) , (2, 5) e (6, 3) .
Representa estes pontos no referencial ortogonal monométricoe indica as coordenadas possíveis do quarto vértice.
_________________________________________________________________________________________________________________________________
Observa o gráfico de barras, onde se registou o número de filhos de um grupo de mulheres.
6.1 Quantas eram as mulheres?
_________________________________________________________________________________________________________
6.2 Qual a moda do número de filhos?
_________________________________________________________________________________________________________
6.3 Qual a percentagem de mulheres sem filhos?
_________________________________________________________________________________________________________
6.4 Qual a média do número de filhos?
_________________________________________________________________________________________________________
3
4
5
60 x
y
6
5
4
3
2
1
0Número de filhos
Fre
qu
ên
cia
ab
so
luta
1 2 3 4 5 6 7
Número de filhos
108 SOLUÇÕES
Soluções
Números naturais
Pratica1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 92. (395 + 5) + (44 + 6) = 4503.1 197 3.2 621 3.3 ∉4. 3965.1 Por exemplo:
(200 × 5) × (25 × 4) = 100 000 5.2 (50 × 2) × (10 × 10) = 10 0006.1 35; 6.2 407. 6 × (10 + 1) = 66; 6 × (100 – 1) = 594;
6 × (100 + 1) = 606; 25 × (10 + 1) = 275; 25 × (100 – 1) = 2475;25 × (100 + 1) = 2525
8.1 2016 × (8 + 2) = 20 1608.2 998 × 100 = 99 8009.1 64 9.2 125 9.3 100 00010. 27; 4911.1 3 11.2 312.1 7 12.2 4713. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99,
15, 30, 45, 60, 75, 9014.1 68; 9618; 100814.2 Não há14.3 68; 100814.4 9999; 100814.5 9618; 9999; 100815. 1 ou 716.1 5 × (82 – 7) = 375 16.2 3 × (95 + 5) : 2 = 15016.3 20 × (15 : 3) = 10017.1 q = 40; r = 24 17.2 q = 28; r = 6818. 10619.1 445 19.2 38520. Divisores de 16: 1, 2, 4, 8, 16.
Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.Divisores de 13: 1 e 13; número primo.Divisores de 41: 1 e 41; número primo.Divisores de 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66.
21. F. F. V. F.22. Por 4: sim; não. Por 9: não; sim.23.1 5 e 1823.2 São divisíveis por 5 porque 90 e 115
também são.24. q = 7 ; r = 8
q = 7 ; r = 4q = 7 ; r = 2
25. Sim, porque se o divisor e o resto sãomúltiplos de 11, o dividendo tambémé múltiplo de 11.
26. O quociente é sempre 2 e os restossão 4; 2; 1.
27.1 m.d.c. (16, 20) = 4m.m.c. (16, 20) = 80
27.2 m.d.c. (28, 63) = 7m.m.c. (28, 63) = 252
27.3 m.d.c. (24, 30) = 6m.m.c. (24, 30) = 120
28. 6
Ficha 11.1 3004 1.2 5128 1.3 86402. Por exemplo:2.1 (99 + 1) + 13 = 1132.2 (25 + 75) + (53 + 7) = 1602.3 (200 + 800) + (505 + 95) = 16002.4 (38 + 22) + (21 + 49) = 1303.1 +2 +3 +4 +5 +6
1 3 6 10 15 213.2 +7 +9 +11 +13 +15
10 17 26 37 50 65
4.1 2; 6; 74.2 50; 125; 1755. 222 kg6.1 1104 6.2 19976.3 884 6.4 147. 21 €8. 3047; 9989. 130 g10.
11.1 39 – (18 – 15) = 3611.2 38 – 5 – (3 + 15) = 1512. 162
Ficha 21. Por exemplo: 5 kg.2. Por exemplo: 2.1 (7 × 10) × (50 × 2) = 70002.2 (5 × 20) × 81 = 81002.3 (25 × 4) × (5 × 2) = 10002.4 12 × (10 + 1) = 1322.5 5 × (9 + 11) = 1002.6 98 × (8 + 2) = 9802.7 2010 × (3 + 7) = 20 1002.8 80 × (100 + 1) = 80803. 45 0004.1 75 × 12 + 25 × 7 4.2 220 €5.1 30 × 2 + 8 × 2 = 765.2 5 × (89 + 11) = 5005.3 14 × (8 + 2) = 1405.4 75 × 3 – 13 × 3 = 1866.1 4 × 600 – 150; 2250 cm6.2 600 – 3 × 150; 150 €6.3 (6 – 2) × 3; 12 €
7.1 72 7.2 37 7.3 106
7.4 3 × 5 7.5 64 7.6 5 × 98. 9 e 119. Números ímpares; 311 + 312 é par.10.
Ficha 31.1 25; 1.2 48002. 12 autocarros3.1 4 anos 3.2 375 €4. 16 m; 27 m5. 230 €6.1 20 6.2 467.1 90; 100; 104 7.2 90; 2077.3 100; 104 7.4 25; 90; 1007.5 90; 207 7.6 90; 1008.1 102, 105, 108 8.2 105, 110, 1158.3 102, 108, 114 8.4 110, 120, 1309.1 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 9.2 10310. 312 turistas11.1 26 sacas 11.2 182 €12. 7713. 5 × 22 – 9 : 3 + 114. Sim, o resto é divisível por 4, porque
o dividendo e o divisor também sãodivisíveis por 4.
Ficha 41.1 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 811.2 3042. Divisores de 15: 1, 3, 5, 15.
Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.Divisores de 88: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.
3. É o 24.4. Por exemplo: 41730; há mais soluções.5. (A) V; (B) F; (C) V; (D) F; (E) V.6. As mesas podem ser 9 e levam 4
pessoas cada ou 12 e levam 3 pessoas.7. Um número primo só tem 2 divisores.
Por exemplo 5 e 11. Um númerocomposto tem 3 ou mais divisores.Por exemplo: 8 e 20.
8.1 Sim; sim.8.2 Não; sim.9. 11 é divisor de 22 e de 121, logo também
é divisor do dividendo 1232.10.
11. 52 mangas.12. Por 6: sim; não.
Por 7: não; sim.Se um número é divisor de um dosfatores de um produto é divisor doproduto.
13. São números primos:
Ficha 51.1 Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.1.2 Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18.1.3 Divisores comuns a 12 e 18: 1, 2 e 6.1.4 O maior divisor comum a 12 e 18: 6.1.5 Divisores de 16: 1, 2, 4, 8 e 16.1.6 Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.1.7 Divisores comuns a 16 e 20: 1, 2 e 4.1.8 O maior divisor comum a 16 e 20: 4.2.1 3 2.2 8 2.3 143.1 m.d.c. (36, 48) = 12 3.2 m.d.c. (24, 60) = 123.3 m.m.c. (45, 75) = 2254. 8, 16, 24, 32, 40, 48
12, 24, 36, 48, 60, 724.1 É 24.5.1 30 5.2 40 5.3 1806. 20 ramos: 5 brancas; 3 vermelhas.7.1 a) m.d.c. (15, 40) = 5
b) m.m.c. (15, 40) = 120m.d.c. (15, 40) × m.m.c. (15, 40) = = 15 × 40 = 600
7.2 O produto de dois números naturais é igual ao produto do m.d.c. dessesnúmeros pelo seu m.m.c.
8. Tem 180 pessoas.9. 7 embalagens; cada embalagem leva
4 colares e 5 pulseiras.10. 36 dias11. Quando um dos números é múltiplo
de outro.12. 832
Problemas1.1 3 e 4 1.2 12 e 5 1.3 1, 4 e 82. 625 mosaicos3.1 50 – 2 × 8 – 22 3.2 50 + 2 × 8 + 22 3.3 2 × (8 + 22) – 50 3.4 C4.1 33 caixas 4.2 2 bolas5. Por exemplo: 2 = 8 : 2 – (6 – 4)
3 = (8 - 6 + 4) : 2 5 = 6 : 2 + 8 : 47 = 6 : 2 + 8 : 2
6. 3 horas7.1
7.2 Sem contar com a partida e achegada há 2 pontos a 240 m decada extremo que são pisados porambos os cangurus.
8. Por exemplo: 28 = 11 + 17 30 = 11 + 1976 = 5 + 71 88 = 41 + 47
9.1 66672 = 44448889666672 = 4444488889
9.2 33342 = 11115556333342 = 1111155556
10. q = 30 ; r = 111.1 21 11.2 12
Números racionais não negativos
Pratica1. A figura não está dividida em 4 partes
iguais
2.1 �53
� 2.2 �52
� 2.3 �32
�
3. 4 selos4. Número inteiro; número fracionário;
número inteiro; número fracionário;número fracionário; número inteiro.
5. �11075
0� ; �
105
0� ; �
610
5� ; não é possível.
6. �271� ; �
42
� ; �55
�
7. Por exemplo:
7.1 �1152� = �
45
� = �11520
0� 7.2 �
65
� = �650
0� = �
11850
0�
8.1 �85
� 8.2 �251� 8.3 �
97
�
9.1 �1153� < 1 9.2 �
43
� > �43
�
9.3 1,3 > �31� 9.4 �
77
� = �1155�
10. �169� e 1 �
43
�
11. 1 �1291� 11. 5 �
177� 11. 9 �
12125�
11. 2 �2161� 11. 6 �
413
0� 11. 10 �
13301
�
11. 3 �178� 11. 7 �
67
07� 11. 11 �
13703�
11. 4 0 11. 8 1 11. 12 �52
�
12.1 2 + 2 = 4 12.2 1 + 2 = 3 13. 25 alunos14.1 2,40 € 14.2 96 alunos15. 36%
capítulo 1
capítulo 2
A
1 2 3 4
B
C
D
E
1 2 1 2
5 0 6 2 5
2 7 3 6
3 2
6 5 6 1
5
A
1 2 3
B
C
4 1 2
4 7 1
7 2
1 0 0 3
4
D
x240 m 240 m 240 m
x
47 29 101
113 59 5
17 89 71
9 24 21
30 18 6
15 12 27
109SOLUÇÕES
16. �3101�
17. 15
18.1 �43
� = 1 �31� 18.2 140 €
Ficha 6
1.1 �51� ; 1 – numerador,
5 – denominador; um quinto.
1.2 �37
� ; 7 – numerador,3 – denominador; sete terços.
1.3 �213
5� ; 13 – numerador,
25 – denominador; treze vinte ecinco avos.
1.4 �12090� ; 29 – numerador,
100 – denominador; vinte enove centésimos
2.1 �83
� 2.2 �82
� ou �41� 2.3 �
95
� 2.4 �53
� ou �160�
2.5 �116� 2.6 �
46
� ou �32
�
3.
3.1 �44
� = 1 3.2 �21� < 1 3.3 �
32
� < 1
3.4 �85
� < 1 3.5 �32
� > 1
4. Zé – 5; Manuel – 4; Bruno – 1.
5. �130� ; �
105
0� ; �
10103
0�
6. Fração: �51� ; �
72
� ; �32
� ; �41� ; �
52
� ; �65
� ; �83
� ; �43
�
Dízima: 1,5 = 0,2; 3,5; 0(6); 0,25; 2,5; 0,8(3);0,375; 0,75Fração decimal: �
120� ; �
310
5� ; X ; �
12050� ; �
210
5� ;
X ; �130
7050
� ; �17050�
7.1 �32
� 7.2 �32
� 7.3 �51�
8.
9.1 �61� ; 0,3 ; �
71� ; �
32
�
9.2 �07
� ; �135� ; �
48
�
9.3 �47
� ; �135� ; 2,5 ; �
48
� ; 3,9 ; 5 �21� ; 3 �
41�
10.
11. 620 €
12. �52
� l ou 0,4 l
13. �47
� kg
Ficha 7
1. �21� = �
48
� ; �31� = �
62
� ; �43
� = �86
�
Duas frações dizem-se equivalentesquando representam o mesmo númeroracional.
2. Por exemplo:
2.1 �294� = �
83
� = �418
8� = �
29400
� = �21
�
2.2 �375� = �
714
0� = �
120
15� = �
37500
�
3. Por exemplo: �130� = �
260� = �
390�
4.1 �414
2� 4.2 �
31�
5.1 �52
� 5.3 �65
� 5.5 �53
� 5.7 �67
� 5.9 �217
9�
5.2 �52
� 5.4 �21� 5.6 �
43
� 5.8 �356�
6. Deu mais berlindes ao João.
7.1 V 7.2 F 7.3 F
8. 0,2 = �51� ; 1,4 = �
57
� ; 2,2 = �151�
9.
10. �37
� > �210
3� > 1,75 > 1 �
21�
11.1 V 11.2 F 11.3 V 11.4 V12.1 Manteiga12.2 Fiambre12.3 Miolo de noz12.4 Cenouras12.5 Manteiga12.6 3,575 kg
Ficha 8
1. �52
� + �51� = �
53
�
2. �21� + �
31� = �
65
� 2.1 �61�
3.1 �221� 3.5 0 3.9 �
167�
3.2 3 3.6 �283� ou 2,875 3.10 �
45� ou 1,25
3.3 0,625 3.7 �56
� ou 1,2 3.11 2
3.4 �179� 3.8 2,5 3.12 �
130�
4.1 �53
05� = �
170� 4.3 �
1231� 4.5 �
165� = �
52
� 4.7 9 �152�
4.2 �134� 4.4 �
158� 4.6 �
715
2� = �
254� 4.8 1�
194�
5.1 3 5.2 2 5.3 2 5.4 4
6. Sobraram �85
� , logo, mais de meio queijo.
7. �81�
8.1 5 8.2 3 8.3 10 8.4 15
9.1 15 € 9.2 25 €
10. 3 �41� + 1 �
21� = 4 �
43
�
2 �41� – 1 �
31� = �
1121�
�52
� × 25 = 10
11. 32 alunos12. 30 selos
13. 4,5 m14. 50 cromos
Ficha 9
1.1 �52
� ; 0,4; 40% 1.2 �43
� ; 0,75; 75%
2. Jornal: 8%; Televisão: 55%; Rádio: 12%; Internet: 25%.
3. Percentagem: 7%; 135%; 39%;
Fração decimal: �10
70� ; �
11035
0� ; �
13090� ;
Numeral decimal: 0,07; 1,35; 0,39;
Percentagem: 20%; 45%; 120%;
Fração irredutível: �51� ; �
290� ; �
65
�
Numeral decimal: 0,2; 0,45; 1,2
4.1 2000 4.2 112,5
5.1 30 5.2 15 5.3 150 5.4 11 5.5 22 5.6 0,44 5.7 0,8 5.8 8 5.9 160
6. Por exemplo: �25
� = 0,4 = 40%.
7.1 75% 7.2 35% 7.3 86%
8.1 40%8.2 25% de 60 = 0,25 × 60 = 158.3 24 vitórias; 21 empates.
9. Bicicleta – 64,5 €; Trolley – 36 €.
10. 75% → �43
� → �132� → 25% → 120% →
→ �65
� → �65
� →100% → 0,8 → �45
� → 0,08
Ficha 101.1 4% 1.4 12% 1.7 120%1.2 50% 1.5 20% 1.8 200%1.3 18% 1.6 60% 1.9 30%2.1 45% 2.2 30% 2.3 71% 2.4 15%3. 16%4. 40%5.1 32%5.2 516. 20%7. 20%8. Atum: aumento em euros = 0,18;
aumento em % = 20; Arroz: aumentoem euros = 0,11; aumento em % = 12,6; Salsichas: aumento em euros = 0,07;aumento em % = 10; Sabão: aumentoem euros = 0,09; aumento em % = 15.
9. 80%10. 30%
Problemas
1. 1 �32
�
2. O Manuel: 20 minutos.3. 20 alunos – turma A;
21 alunos – turma B.
4. Falso: ��21
� + �41� + �
61�� = �
112� sobrou �
11� do
bolo
5. 48%
6.1 1 – ��41� + �
130� + �
51�� ou 1 – �
41� – �
130� – �
51�
6.2 O percurso tinha 40 km.7. 175 rosas8. 45 €9. 5 € ; 1,5 € ; 13,5 € 10. 60%11. 15%
Pratica
1.
2.1 0 2.2 0,9
3.1 4,6 3.2 �83
� 3.3 1,25
3.4 33 3.5 �163� 3.6 2
4.1 �125� 4.2 �
365� 4.3 �
261� = �
27
� 4.4 0,040
5.1 1 × 7 = 7
5.2 �21
� × (750 + 250) = 500
5.3 1650 × ��53
� – �23
�� = 1650
5.4 2 × 1 = 2
6.1 �196� 6.2 ��
49
� 6.3 �136�
7.1 �41
� 7.2 150 g
8. �71
� ; �43
� ; �170� ; �
52
� 8.1 �185� = �
52
� × �43
�
9.1 �145� 9.2 �
27
� 9.3 3 9.4 �71
�
10. 40 garrafas
11. �385� ; �
385� = �
72
� × �45
�
12.1 0,8 12.2 �58
� 12.3 �194� 12.4 �
175�
13. �2,5 – �41
�� : 5 ; 0,45 l
Ficha 111.1 2 1.2 1 1.3 1,4 1.4 1,3
2. 334 m; valor aproximado à unidadepor excesso de 333,(3).
3.1 20,99 € 3.2 33,73 €
4. �65
� ; 0,8
5. 3,676. 9 autocarros7. 70 m (para não faltar rede)
8.1 4 �21
� – 2 �61� = 2 �
31� 8.2 2,33
9.1 0,8 kg 9.2 0,3 l 9.3 1,6 m
Ficha 12
1.1 �53
� 1.2 �41� 1.3 �
141� 1.4 �
281�
1.5 �53
� 1.6 �4
30� 1.7 �
31� 1.8 �
83
�
1.9 0,0091 1.10 �53
�
2. Por exemplo, �52� × �
27
�
3. Por exemplo, 3 × 2,5
4.1 19,46 € 4.2 38,92 €
5. 36o
6.1 �34
� × 1 = �34
� 6.2 3 × 3 = 9
6.3 2011 × 5 = 10 055 6.4 �73
� × 1 = �73
�
7.1 3 7.2 �34
�
Numeralmisto
Fração
A unidade2 �
31� �
37
�
A unidade3 �
52
� �157�
A unidade1 �
49
� �193�
0
0,75
14
1 2 3
314
122
0
0,8
0,8 < <2
1 2 3
3 =2
64
64
122
12
�154�
0,40,360,357
�1291�
1,11,111,105
8. 1 – ��53
� + �43
� × �52
�� = �110� e �
110�
corresponde a 50, logo fez 50 × 10 ,isto é, 500 brigadeiros.
9. �45� × (1,2 + 0,8 + 2,4) ou
�45� × 1,2 + �
45� × 0,8 + �
45� × 2,4 , isto é, 5,50 €.
O André gastou 5,50 €.
10. 148,5 m2
Ficha 13
1.1 ��72
��4
1.2 0,73 1.3 ��41��
51.4 1,32
2.1 �49
� 2.2 �84
1� 2.3 �
821
�
3.1 �312� 3.2 0,0001 3.3 �
122
75
�
3.4 �10
100� 3.5 �
2107� 3.6 �
102700�
4.1 ��21��
34.2 ��
32��
24.3 � �
54
��2
5.1 < 5.2 > 5.3 = 5.4 >
6.1 Medida do volume do cubo.6.2 Medida da área total do cubo.6.3 Medida do perímetro de uma face.6.4 Medida do comprimento total das
arestas.7. Não, porque 49 + 48 < 100
8. �52� ↔ �
25� ; �
99� ↔ 1 ; �
154� ↔ �
154� ;
�150� ↔ 0,5 ; �
123
0� ↔ 2,3 ; �
81� ↔ 8;
25 ↔ 0,04 ; 9 ↔ �91�
9.1 �153� 9.2 �
114
0� 9.3 �
113� 9.4 9
9.5 … inversos…
10.1 F 10.2 V 10.3 F
11.1 um 11.2 zero 11.3 um 11.4 zero
12.1 �37� 12.2 �
130� 12.3 �
38
� × �65
�
Ficha 141.1 45 1.2 50 1.3 1840
45 > 22,5 ; 50 > 6 ; 1840 > 55,2
2. 75 moedas de 20 cêntimos
3.1 �145� 3.2 �
112� 3.3 �
298� 3.4 69
3.5 7 3.6 1 3.7 �170� 3.8 �
47
�
3.9 18 3.10 �131� 3.11 6 3.12 0
3.13 �125� 3.14 �
38
� 3.15 2
4. 120 pacotes
5. 8 sacos
6.1 �38
� 6.2 �125� 6.3 �
58
�
7. 490 €
8. 6 m
9. 6 €
10. 10 l ; 25 €
11. 33 cm
Ficha 15
1 . A: 3,25; B: 0; C: 1 �41�; D: 1,5; E: 2
2.1 ��81� + �
81� � : �
81� = 2
2.2 �37� × ��
37� – �
37�� = 0
3.
4.1 3 × �6 : �32�� = 12 4.2 32 × ��
31��
3 = �
31�
4.3 �31� : = �
125� 4.4 = �
125�
São iguais.
5.1 + e – 5.2 – e –
6.1 A: a quantia, em euros, que repartipelos dois sobrinhos. B: a quantia, em euros, que recebeucada sobrinho.
6.2 450 €
7. 25 – �35
� × 25 ou �1 – �35
�� × 25 ;
10 laranjas
8. �156� ; 2
9. C
Problemas1. O chocolate do Inácio era maior do
que o chocolate da Teresa.
2. �81� l
3. A△ = = 36 e 36 × 3 = 108
A área do terreno é 108 m2.
4. Por exemplo:
3 × 10 € = 30 €
5. 150 laranjas
6.1 �52� 6.2 1500 €
7. 16 807
8.1 Não; 0,2 × 2 = 0,4 e 0,4 < 18.2 Obtém-se um quociente maior do
que o dividendo. Por exemplo:15 : 0,5 = 30 e 10 : 0,1 = 100
9.1 O número de rapazes da classe denatação.
9.2 O número de raparigas da classe denatação.
9.3 O número de rapazes da classe quetêm menos de 10 anos.
9.4 O número de raparigas da classe com11 anos.
Figuras no planoPratica1.
2.
3. 117 781’’ ; 91 512’’4. b
^
= 128°, porque é verticalmenteoposto de um ângulo cuja amplitudeé 128°.a^ = 180° – 128° = 52°c^ = a^ = 52° – são ângulosverticalmente opostos.f^
= c^ = 52° – são ângulos alternosinternos.d^
= e^ = 128° ; g^ = f^
= 52° – são verticalmente opostos.
5. 150o
6.
7.1 São iguais; ângulos de ladosparalelos e da mesma espécie.
7.2 São suplementares porque sãoângulos de lados paralelos deespécies diferentes.
8. 67,5o ; 112,5o
9. 76o 22’ 50’’ ; 4o 25’ 30’’10. 51o 34’ 50’’11. 72,8o ou 72o 48’12. 45o e 135o , porque são ângulos de
lados paralelos de espéciesdiferentes, logo suplementares.
13. Triângulo retângulo escaleno;Triângulo acutângulo isósceles;Triângulo obtusângulo isósceles;Triângulo acutângulo equilátero.
14.
15. r = 24 cm ; d = 188 cm16. Não posso construir um triângulo
com lados 7 cm, 7 cm e 14 cm,porque 14 não é maior do que 7 + 7.
17.1 a^ = 180° – 132° 20’b^
= 90° + a^ = 137° 40’17.2 c^ = (180° – 117° 30’) : 2 = 31° 15’
d^
= 190° – 31° 15’ = 148° 45’ 18. Ângulo BAC ; ângulo ACB19.1 Os triângulos têm de um para o
outro os três lados iguais.B�M� = M�C� e A�B� = A�C� e o lado AMé comum aos dois triângulos.
19.2 Em triângulos iguais, a lados iguais(B�M� = M�C�) opõem-se ângulos iguais.
20. 125° 48’ ; Não, o retângulo tem quatro ângulos retos.
Ficha 161.
2.1 Retas CA e FE (por exemplo). Retas BE e CF.
2.2 Retas AC e CF (por exemplo).2.3 22 mm2.4 14 mm3.1 Segmentos de reta MN e MP
(por exemplo).
3.2 Segmentos de reta MN e NQ (por exemplo).
3.3 Segmentos de reta MN e PQ .4.
4.4 22 mm
5.
6.1 Por exemplo, 70°; 73°; agudo.6.2 Por exemplo, 45°; 47°; agudo.6.3 Por exemplo, 90°; 90°; reto.7.1 Agudo.
7.2 Obtuso.
7.3 Obtuso.
8.1 66° 47’ 45’’8.2 55° 10’ 48’’8.3 33° 37’
Ficha 171.1 Ângulos complementares – a soma
das suas amplitudes é 90°.Ângulos suplementares – a soma dassuas amplitudes é 180°.
1.2 61° 1.3 160°2. 67°3.1 a) ângulos AEC e BED (por exemplo).
b) ângulos DEA e AEC (por exemplo).3.2 AE
^
C = 40°; DE^
A = 140°4.1 29°; 71°; 80° 4.2 32°; 58°; 58°4.3 115°; 65°; 25°5.1 Os ângulos a e c são verticalmente
opostos, logo têm a mesmaamplitude.Os ângulos f e d são alternosinternos, logo têm a mesmaamplitude.Os ângulos e e a sãocorrespondentes, logo têm a mesmaamplitude. Os ângulos a e g sãoalternos externos, logo têm amesma amplitude.
5.2 a^ = c^ = e^ =118°; d^
= b^
=f^
= 62°6.1 a^ = 50°; b
^
= 130°6.2 a^ = 105°; b
^
= 75°6.3 a^ = 30°; b
^
= 30°
1�
3 : �52
�
1�
�52
�
9 × 8�
2
capítulo 3
110 SOLUÇÕES
1 8 1 3
5 1 4
5 , 5
1 2 8
1 5 1 4
1 2 3 4 5
A
B
C
D
E
3 € 3 € 3 €
9 €
30 €
3 € 3 € 3 € 3 € 3 € 3 € 3 €
Pr
8 mm
A
r8 mm
5 cm
3 cm
3 cm 2 cm
2 cm 2 cm3 cm
3 cm
2 cm
A
B
C
N
M
P
C
BA
520
T
SR
1200
P
NM
990
24o
24o
bissetrizB�M C N
A
base
alt
ura
base
altura
111SOLUÇÕES
7.1 Ângulos a e c ; têm a mesmaamplitude.
7.2 Ângulos d e a são suplementaresporque têm os lados paralelos e sãoespécies diferentes (um agudo eoutro obtuso).
7.3 a^ = b^
= c^ = 42° ; d^
= 138°8. 72,5° e 107,5° são ângulos
suplementares.9.1 Triângulo equilátero e acutângulo.9.2 Triângulo escaleno e retângulo.9.3 Triângulo escaleno e obtusângulo.10. Por exemplo:
11. É 180°, porque são ângulos de ladosperpendiculares de espéciesdiferentes (um agudo e outroobtuso), logo suplementares.
12. ED^
C = AB^
C porque são alternosinternos.CE
^
D = CA^
B porque são alternosinternos.DC
^
E = BC^
A porque sãoverticalmente opostos.
Ficha 18
1.1 a^ = 80° ; b^
= 130°1.2 g^ = 64°1.3 c^ = 45° ; d
^
= 35°1.4 h
^
= 125°1.5 e^ = 45° ; f
^
= 45° 1.6 i
^
= 45°2.1 c^ = 20°2.2 c^ = 66° e e^ = 114°3. UD
^
L = 58°; LU^
A = 74°; segmento dereta OD porque se opõe ao menorângulo.
4.1 Falso 4.2 Falso5.1 Num triângulo, a soma dos
comprimentos de dois lados tem de ser maior do que o comprimentodo terceiro lado, mas 16 + 14 não émaior do que 32.
5.2 29
6.1 6.2
6.3
7.1 a^ = b^
= 150° ; c^ = 60° e 150° + 150° + 60° = 360°
7.2 a^ = 138° ; b^
= 80° ; c^ = 142° e 138° + 80° + 142° = 360°
7.3 a^ = b^
= c^ = 120° e 120° + 120° + 120° = 360°
7.4 A soma das amplitudes dos ângulosexternos de um triângulo é 360°.
8. Não, porque 26 não é menor do que 14.
Ficha 191. 1 e 4 – ALA; 2 e 5 – LAL ; 3 e 6 – LLL2.1 Sim, LAL2.2 Em triângulos iguais, a lados iguais
(A�B� = M�N�) opõem-se ângulos iguais.2.3 M
^
= 80° , P^
= 40° e N^
= 60°
3.1 Ângulos DRE e ORP. 3.2 Ângulos ORP e POR , por exemplo;
ângulos DRE e PRD , por exemplo.3.3 Ângulos AOB e ORP são iguais
porque são ângulos de ladosperpendiculares e da mesma espécie(ambos agudos); os triângulos sãocongruentes por ALA.
4.1 Iguais, porque são ângulosverticalmente opostos.
4.2 Iguais, porque são ângulos alternosinternos em duas retas paralelascortadas por uma secante.
4.3 ALA4.4 BA
^
E = 58°4.5 61° 30’4.6 Por exemplo, ângulo CEA .4.7 ABCD é paralelogramo porque tem
os lados opostos paralelos e iguais.5.1 65°5.2 50°
Problemas
1. Lado BC ; lado AC.2.1 Por exemplo, ângulos AIM e DMI .2.2 Por exemplo, ângulos EIM e DMI .2.3 Por exemplo, ângulos BIG e DMI .2.4 Por exemplo, ângulos GIA e CMH .2.5 Por exemplo, ângulos GIA e HMD .2.6 GI
^
A = 72 ; AI^
M = 108°
3.1 Iguais, porque são ângulos de ladosperpendiculares e da mesma espécie(obtusos); são ângulos adjacentessuplementares; são ângulos de ladosperpendiculares de espécies diferentes (um agudo e outro obtuso), logo sãosuplementares.
3.2 a^ = 60°; b^
= 120°
4.1 São ângulos agudos verticalmenteopostos, logo iguais.
4.2 Sim; LAL.4.3 Em triângulos iguais, a ângulos iguais
opõem-se lados iguais.4.4 Em triângulos iguais, a lados iguais
opõem-se ângulos iguais.4.5 Porque se são iguais os ângulos
alternos internos, determinados emduas retas por uma secante, as retassão paralelas.
4.6 Porque é um quadrilátero em quedois dos lados são iguais e paralelos.
5.1 BA^
O = OB^
A = 30° ; AC^
B = 120°BA
^
C = CB^
A = AC^
B = 60°5.2 O triângulo AOB é isósceles e
obtusângulo. O triângulo ABC éequilátero e acutângulo.
6.1 CD^
B = 32° porque os ângulos ABD eCDB são alternos internos, sendo asretas AB e CD , paralelas, cortadaspela reta DB .DB
^
C = BD^
A = 74° são alternos internos.Logo, BC
^
D = 180° – (74° + 32°) = 74°.6.2 São triângulos isósceles e
acutângulos.6.3 Sim; ALA.6.4 Sim, porque os lados opostos são
paralelos e iguais.7. Sim; ALA; em triângulos iguais, a
ângulos iguais opõem-se lados iguais.
Perímetros e áreas
Pratica1. Aproximadamente, 101 cm 2. 135 dm3. 27,8 cm4. 3 m; 23,12 cm
Ficha 201. Estimativas, por exemplo: 9 cm; 10 cm;
10, 5 cm e 12 cm.2. 120 m; 6 m; 109 m3.1 7,5 m 3.2 36 m 3.3 0,75 m3.4 174 m4. P = 2c + 2d ; 29,4 m5.
6. Por exemplo:
7. 9 cm8. 243,75 €9. 18 cm
Ficha 211. 4,8 m; 5,5 m; 12,25 m2. 68 m; 44 m3.1 33 m 3.2 78 €4. 12 m5. 25 cm; 20 cm6. 84 m7. 195,2 m; não; 149,2 m8. 252 €9. 6,5 m
Pratica1.1 600 000 cm2; 210 000 cm2
1.2 26,01 cm2
1.3 58,08 cm2
2.1 6 cm2 2.2 2,5 cm2 2.3 15 cm2
Ficha 221. 41.1 Por exemplo:
2.1 podem ser levadas a coincidir pontopor ponto. 2.2 a mesma área.
3.1 A e D 3.2 B e C3.3 A e D
3.4
4.1 A e G4.2 F, D e B4.3 A – 6; B – 8; C – 14; D – 8; E – 16;
F – 8; G – 65.1 A – 12; C – 9; E – 2; B – 4; D – 12, F – 45.2 A – 6; C – 4,5; E – 1; B – 2; D – 6; F – 25.3 A e D5.4 E6.1 35 6.2 8,757. 58.1 300 8.2 25 0008.3 650 8.4 43008.5 15 300 8.6 158.7 270 000; 27 8.8 1 650 000; 16 5008.9 cm2; dm2
9. �31�
Ficha 23
1. 48 m2
2.
3. 734,4 cm2
4. 6 cm5.1 54 cm 5.2 40 cm 5.3 53,3 cm
6.1 72 cm2 6.2 �21
� 6.3 252 m2
7. 78 cm8.
8.1 15 retângulos; �115� u.a.
8.2 �31� × �
51� = = �
115� u.a.
Ficha 24
1. A – 4,5 cm2; B – 2 cm2; C – 5 cm2
2.1
Equilátero Isóscelesacutângulo acutângulo
Escaleno Isóscelesobtusângulo retângulo
2.2 A. 3,9 cm2 B. 3,8 cm2 C. 3,4 cm2 D. 2 cm2
3.1 0,98 cm2 3.2 3 cm2 3.3 2 cm2
4.1 A – 455 m2; B – 1820 m2; C – 2311,4 m2
4.2 O terreno A
5.1 120 m2
5.2 �31� da área do terreno.
6. 17,5 m
capítulo 4
1 × 1�3 × 5
4 cm5 cm
3 cm3 cm
5 cm4 cm
R A
L
40 mm
48 mm
Eixo de
simetria
52o
simetria
Eixo de
48 mm
40 mm
L
R
o52
simetria
Eixo de
A
5 cm
2,5 cm
4 cm
4 cm
3 cm
3 cm
3 cm3 cm
2 cm 2 cm
0,5 cm 6,5 9,3 6 6,4
12 20 �27
� 2,375
78 186 21 15,2
alt
ura
alt
ura
base base
B
D
A. B.
C. D.escaleno; retângulo isósceles; acutângulo
isósceles; acutângulo
L
A U
Eixo de
simetria
4,5 cm
55o70o
simetria
Eixo de
L
4,5 cm UA
o70o55
4
Instrumento
Instrumento musicalpreferido
Flau
ta
Freq
uênc
ia a
bsol
uta
Vio
lino
Pia
no
Aco
rdeã
o
Gui
tarr
a
8
12
112 SOLUÇÕES
Ficha 251. 3 cm2
2. 4,5 cm2
3. 13 m2
4. 5525 m2
5. 5 cm2 < A < 17 cm2
6. 5 cm2
7. 392 m2
8. 0,0342 ha9.1 50 400 € 9.2 a) Verdadeiro, porque
1200 = 50% × 2400
b) Falso, porque �52
� × 10 000 = 4000
e 3600 < 400010. d = 6 cm
Ficha 261.1 P = 12 cm 1.2 P = 14 cm
A = 6 cm2 A = 6 cm2
2.1 e 2.2 Por exemplo:
3.1 570 m3.2 1 000 000 €4.1 l = 5 cm 4.2 l = 0,5 cm
A = 40 cm2 A = 6,25 cm2
5.1 ? = 9 dam 5.2 ? = 0,72 damP = 22 dam P = 514,4 m
6.1 84 m; 33 m6.2 Área do terreno A é 204 m2;
área do terreno B é 69 m2
e 204 = 135 + 697. A área do retângulo é igual à do
triângulo, 12 cm2; a largura doretângulo é 3 cm; o perímetro doretângulo é 14 cm.
8. 20 cm9. 240 m
Problemas
1.1
1.2 16,5 cm2
2.1 210,25 cm2
2.2 105,125 cm2
3. 96 placas
4.1 Duplica a área; 84 cm2
4.2 Quadriplica a área; 168 cm2
5. 80 dm
6. 60 cm2
7.1 Paralelogramo; é quadrilátero comos lados opostos paralelos.
7.2 BE^
C = 59° 05’BE
^
C = FA^
D = DC^
E = 59° 05’CE
^
F = 120° 55’7.3 17,5 cm2
Representação e interpretação de dados
Pratica1.
2.
3. Diagrama de pontos:• A moda é 18 bombons.• Há 3 caixas com 15 bombons.• Há 2 caixas com 20 bombons.• Há 1 caixa com 12 e outra com
24 bombons.4. Gráfico de temperatura:
• Na sexta – feira e no sábado atemperatura às 12 horas foi 5 °C.
• Na terça e no domingo atemperatura foi 10 °C.
• 7,5° foi a temperatura na quinta-feira às 12 horas.
Diagrama de caule-e-folhas:• A moda foi 43 palavras por minuto.• Há duas pessoas que escreveram
57 palavras por minuto.• Só uma das pessoas escreveu
26 palavras por minuto.5. Níveis de Matemática: 1, 2, 3, 4, 5;
Frequência absoluta: 2, 3, 5, 7, 3,Total: 20; Frequência relativa: 0,1 = 10% ; 0,15 = 15% ; 0,25= 25% ; 0,35= 35% ;0,15 = 15%.
6.1 Moda: há duas, 11 e 10. Média: 11 anos.6.2 Moda: 12. Média: 12,6 anos.7. 4, 4, 9, 2, 1
Moda: 4; Média: 48. 54 kg9. 7,5 km/h
Ficha 271. Por exemplo: Preferes visitar
monumentos ou parques biológicos?Qual o dia da semana que preferes para a visita de estudo? Qual o meio de transporte que achasmais adequado para te deslocares ao local escolhido?
2.1 8; 14; 15; 10; 132.2 Qualitativa2.3 60 alunos2.4 Guitarra2.5 25%2.6 Acordeão
2.7
3.1 7 3.2 10%3.3 Programas Musicais e Séries.3.4 Nos filmes, porque são os preferidos
daqueles alunos.3.5 Verdadeiro4.1 Frequência absoluta: 6, 8, 4, 2, 1, 2, 1, 1.
4.2 24%5.1 50 jovens 5.2 14 jovens 5.3 20%5.4 Por exemplo: apenas 16% dos jovens
inquiridos preferem dançar aosábado à tarde.
Ficha 281. O número de alunos que frequenta o
clube de leitura é 10 e o número dealunos que frequenta só o clube deinformática é 8. Há 6 alunos que nãofrequentam nenhum clube, mas há 3 alunos que frequentam os doisclubes. A turma tem 24 alunos.
2.
3. (2, 9) ; (4, 0) ; (4, 3) ; (5, 4) ; (6, 5) ; (7, 8) ;(8, 1)
4.
5.1 5 5.2 2 e 8 5.3 66.1 Por exemplo:
6.2 Prevejo que tenha 21 cromos.7.1 134 cm; 172 cm 7.2 20 alunos8.1 Caule: 2, 3, 4, 5, 6Folhas: 8 8, 0 1 2 2 2 2, 1 2 3 3 4 9, 0 5 5 6, 1 12 | 8 = 28 kg8.2 Extremos: 28 e 61; moda: 32 kg;
amplitude: 33.8.3 Apresenta todos os dados, facilita a
indicação da moda e extremos.
Ficha 291.1 5 cm ; 35 cm 1.2 10 cm1.3 Durante a 3.a semana.1.4 Na 3.a semana.1.5 Quantitativos2.
2.1 Entre as 0h e as 6h do 1.° dia.2.2 3,5 °C2.3 Quantitativos3.1 Idade (anos): 12, 13, 14.
Frequência absoluta: 12, 7, 1.Frequência relativa: 60%, 35%, 5%
3.2 12 anos 3.3 40%
4.1 12,5% 4.2 50%
4.3 15 alunos 4.4 �41�
Ficha 301.1 Moda: 2,5; média: 21.2 Moda: não há; média: 1,62. 1 h e 30 min3.1 27 alunos 3.2 Dois 3.3 2,6 3.4 18 em 27, isto é �
32
� .4. Por exemplo:
• O número médio de pessoas porfamília em Portugal, em 2001, era 2,8.
• Só nas ilhas, o número médio depessoas por família era, em 2001,superior a 3.
• Em todo o país, o número depessoas por família diminuiu nosdez anos considerados.
5. 30 pontos6. 117. 48.1 e 8.2 25% 8.3 5 letras
Problemas
1.1 15 kg1.2 Metade, isto é �
21� .
1.3 O Zé e a Eva.1.4 0,80 × 50 = 40 – o peso do Zé.2.1 750 € 2.2 1416,67 €2.3 100 pares de calças.3. 20%.4. Por exemplo, 2 e 7.5.
6.1 20 6.2 1 filho6.3 15% 6.4 x—— = 2
capítulo 5
A = 6 cm2
P = 14 cm
A = 4 cm2
P = 10 cm
5
Tipo de livro
Ave
ntur
a
Freq
uênc
ia a
bsol
uta
Ciê
ncia
His
tória
Rom
ance
1015202530
Romance
= 10 livros
Tipo de livros requisitadosnuma biblioteca
História
Ciência
Aventura
x y
0 1
2 3
3 2
5 0
6 5
A
B
C
D
E
2
10 2 3 4 5 6 7Nº de faltas
Faltas no Jardim de Infância
Freq
uênc
ia
4
6
8
Frequentam o Clube de
Informática
Não frequentam o clube de
Informática
Frequentam oClube de Leitura 3 7
Não frequentamo Clube de Leitura 8 6
××
××
× ×××××
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Temperaturas da Sílvia
36
0h 6h 12h 18h 0h 6h 12h
38
4041
37
18h
39
Tem
pera
tura
s (o
C)
Horas1º dia 2º dia
J BA
C
D
0 1 x
3
5
7
1
y
3 5
9
Número de partidas
Cus
to (e
uros
)
0 x
y
1 3 5 7
1
3
5
7(7, 5)
(5, 1)
www.leya.com www.texto.pt
ISBN 978-972-47-4780-4
9 7 8 9 7 2 4 7 4 7 8 0 4