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Matemática

PROGRESSÕES

Professor Dudan

Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma “regra” , uma lei de formação.Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia.Exemplos:

2,10,12,16,17,18,19, ?

2,4,6,8,10, ?

2,4,8,16,32, ?

Séries Numéricas

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.O número r é chamado de razão da progressão aritmética.Alguns exemplos de progressões aritméticas: 1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.

‐2, ‐4, ‐6, ‐8, ‐10, ..., é uma P.A. em que r = ‐2.

6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.

Progressão Aritmética

Exemplo

Na série (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ...)

r = a2 – a1 = 9 – 5 = 4 ou r = a3 – a2 = 13 – 9 = 4 ou

r = a4 – a3 = 17 – 13 = 4e assim por diante.

DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer pelo seu antecessor.


TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo

Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência.

Atenção!

a20 = a1 + 19r ou a20 = a7 + 13r ou a20 = a14 + 6r


ExemploSabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.


ExemploDada a progressão aritmética (8, 11, 14, 17, ...), determine:a) razão b) décimo termo c) a14


ExemploCalcule a razão da P.A. onde o terceiro termo vale 14 e o décimo primeiro termo vale 40.


ExemploA razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é –12 vale:a) ‐5b) ‐9c) ‐6d) ‐7e) 0


TERMO GERAL ou MÉDIONuma progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,


Exemplos:Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que:

DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central.Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.


ExemploDetermine a razão da P.A. (x+2, 2x, 13).


ExemploAs idades das três filhas de Carlos estão em progressão aritmética. Colocando em ordem crescente tem‐se (1 + 3x, 4x + 2, 7x + 1). Calcule a idade da filha mais nova.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5


SOMA DOS “n” TERMOS

Sendo n o número de termos que se deseja somar, temos:

DICA: Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos , multiplicada pelo número de casais (n/2).


ExemploNa sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos.1)Cálculo da razão da PA

2)Determinando o 20º termo da PA


3) Calculando a Soma dos termos Progressão Aritmética

ExemploA soma dos 12 primeiros termos de uma P.A. é 180. Se o primeiro termo vale 8, calcule o último termo dessa progressão.


ExemploDevido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou‐se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi:a) 384b) 192c) 168d) 92e) 80


Matemática

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Professor Dudan

Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q.

O número q é chamado de razão da progressão geométrica.

Progressão Geométrica

Alguns exemplos de progressões geométrica:s

1, 2, 4, 8, 16, ..., é uma progressão geométrica em que a razão é igual a 2.

‐1, ‐3, ‐9, ‐27, ‐81, ..., é uma P.G. em que q = 3.

6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.G. com q = 1.

(3, 9, 27, 81, 243, ...) → é uma P.G Crescente de razão q = 3

(90, 30, 10, 10/3, ...) → é uma P.G Decrescente de razão q= 1/3


Exemplo

Na série(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...)

q = a2 / a1 = 2/1 = 2 ou q = a3 /a2 = 4/2 = 2 ou

q = a4 /a3 = 8/4= 2e assim por diante.

DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor.


TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo

Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência.

Atenção!

a20 = a1q19 ou a20 = a7.q13 ou a20 = a14.q6 ou a20 = a18.q2


ExemploEm uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 6º termo dessa PG.


ExemploDada a progressão geométrica (5, 10, 20, 40, ...), determine:a) razão b) oitavo termo c) a10


ExemploCalcule a razão da P.G. na qual o primeiro termo vale 2 é o quarto termo vale 54.


TERMO GERAL ou MÉDIONuma progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica do termo antecessor e do sucessor, isto é,


ExemploNa P.G (2,4,8,16,...) veremos que :

DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.G, o termo central é a média geométrica dos seus dois vizinhos, ou seja, o produto dos extremos é o quadrado do termo central.


ExemploNa P.G. cujos três primeiros termos são x‐10, x e 3x, o valor positivo de x é a) 15. b) 10. c) 5. d) 20. e) 45.


SOMA DOS FINITOS TERMOS

Caso deseja‐se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos:


Exemplo :Considerando a PG ( 1, 3, 9, 27, 81, ...), determine a soma dos seus 7 primeiros elementos .


SOMA DOS INFINITOS TERMOS

Para calcular a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P.G usaremos:

DICA: Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e também quando temos 0 < q < 1.


Exemplo :

Calcule a soma dos infinitos termos da progressão :

... ,

43 , , ,

2336


Exemplo :

A soma da série infinita é ...511

1251

251


ExemploConsidere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 500 mil litros? a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em 1986. b) Seis. c) Quatro. d) Dois. e) Um.


PROGRESSÕES

No primeiro dia de funcionamento de uma nova máquina instalada em uma fábrica, houve uma produção de 340 peças. Se a cada dia de trabalho eram produzidas 56 peças a mais que no dia anterior, quantas peças foram produzidas no vigésimo segundo dia de trabalho?A) 980.B) 1.106.C) 1.140.D) 1.248.E) 1.516.

PREF DE LIBERATO BOLZANO/RS‐ 2015

Uma montadora realizou um teste com um novo modelo de automóvel percorrendo 50 km no primeiro dia de teste, 54 km no segundo, 58 km no terceiro e assim sucessivamente até completar 24 dias de teste. Quantos km foram percorridos no total por esse automóvel?A) 1.908.B) 2.000.C) 2.192.D) 2.304.E) 2.416.

PREF DE VIAMÃO/RS‐ 2017

Na progressão geométrica crescente de razão igual a 5, com 4 termos cujo primeiro termo é 4,5, é possível afirmar que a soma de todos os termos dessa progressão é igual a:A) 680.B) 702.C) 710.D) 714.E) 734.

PREF DE LIBERATO BOLZANO/RS‐ 2015

A soma dos sete primeiros termos de uma P.G cujo primeiro termo vale 3 e a razão ‐2 é igual A) 126B)129C) 247D) 255E)381

POLICIA MILITAR/RS‐ 2014

Em seu treino diário, um atleta percorre o dobro da distância do que havia percorrido no dia anterior. Se em 4 dias de treino esse atleta percorreu um total de 22,5 km, quantos km ele percorreu nos dois últimos dias de treino?A) 15,5.B) 16,0.C) 17,5.D) 18,0.E) 20,5.

SISPREM ‐ 2015

GABARITOSQuestões FUNDATEC: E‐D‐B‐B‐D

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