matemática -...

05Elizabete Alves de Freitas

C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O

Calculando áreas de figuras geométricas planas

matemática

Coordenadora da Produção dos MateriasMarta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Coordenadora de RevisãoGiovana Paiva de Oliveira

Design Gráfi coIvana Lima

DiagramaçãoIvana LimaJosé Antônio Bezerra JúniorMariana Araújo de BritoVitor Gomes Pimentel

Arte e ilustraçãoAdauto HarleyCarolina CostaHeinkel Huguenin

Revisão Tipográfi caAdriana Rodrigues Gomes

Design InstrucionalJanio Gustavo BarbosaLuciane Almeida Mascarenhas de AndradeJeremias Alves A. SilvaMargareth Pereira Dias

Revisão de LinguagemMaria Aparecida da S. Fernandes Trindade

Revisão das Normas da ABNTVerônica Pinheiro da Silva

Adaptação para o Módulo MatemáticoJoacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho

Revisão TécnicaRosilene Alves de Paiva

EQUIPE SEDIS | UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN

Projeto Gráfi co

Secretaria de Educação a Distância – SEDIS

Governo Federal

Ministério da Educação

Você verá

por aqui...

�Matemática a05

Objetivo

... como realizar o cálculo de áreas de quadriláteros, de áreas de triângulos e de áreas de círculos, ou seja, como calcular a área de figuras geométricas que estão ao nosso redor, em objetos que estão em contato contínuo conosco.

Dentro do estudo de área dos quadriláteros, você verá como calcular a área das seguintes figuras geométricas: quadrados, retângulos, paralelogramos, trapézios e losangos.

No estudo de áreas dos triângulos, você verá como determinar esse cálculo de diversas maneiras: (I) com as medidas da base e altura do triângulo; (II) com as medidas dos catetos de um triângulo retângulo; (III) com as medidas dos lados de um triângulo equilátero e (IV) com as medidas dos lados de um triângulo qualquer.

No estudo de área do círculo, você verá uma demonstração da fórmula da área dessa figura e como calcular a área dessa figura a partir da medida do seu raio.

Conhecer medidas necessárias para realização de cálculos geométricos.

Calcular área de figuras geométricas planas, quando necessário ou solicitado.

�Matemática a05

Para começo de conversa...

Deserto pode afetar 16% da área do país

A terra vermelha e quase sem cobertura vegetal de Gilbués, no sul do Piauí, parece se desmanchar ao abrir crateras e ondulações que avançam a cada dia sobre a cidade. É o efeito mais visível de um processo de desertificação, que consome a área e amplia a miséria da população mais carente. [...]

Esse é um problema que preocupa o mundo inteiro e que, no Brasil, pode afetar 1.300.000 km2 (16% do total) e 31,6 milhões de pessoas, o que representa 18% da população no país, caso nada seja feito.

Folha de São Paulo, 12 dez. 2004.

Fonte: <http://www.esquel.org.br/modules.php?name=News&file=article&sid=50> acesso em: 22 jul. 2008.

Em decorrência de uma gestão descontrolada dos recursos naturais, áreas cada vez maiores são envolvidas em desastres ecológicos.

Até em temas de atualidade como os problemas ambientais vemos a Matemática envolvida. Nesse caso, falamos de áreas cada vez maiores que estão sendo desertificadas. Mas como podemos calcular uma área? Se a área de 1.300.000 quilômetros quadrados fosse correspondente à área de um triângulo equilátero qual seria a medida dos lados desse triângulo? E se essa área fosse de um quadrado, qual seria a medida de seus lados?

Vamos aos estudos e, certamente, você poderá responder a essas perguntas ao final desta aula.

1

1

�Matemática a05

estudando áreas

O que é medir a área de uma superfície?Medir a área da superfície de uma figura plana é comparar a área da superfície dessa figura plana com a área da superfície de uma figura tomada como medida padrão.

Calcular a área da superfície de uma figura plana é descobrir o quanto ela ocupa no plano, contando quantas unidades padrão de área “cabem” na figura.

Unidade padrão de área

Figura �

Comumente, um quadrado com lados de medida igual a 1 (veja a Figura 1) é utilizado como unidade de área padrão.

A área de um quadrado é obtida pela expressão A = a2; a é a medida de seus lados. Essa medida a pode corresponder a 1 metro, 1 centímetro, 1 quilômetro, 1 hectômetro... ou mesmo corresponder a qualquer medida de comprimento que se tome como padrão.

A área do quadrado unitário, ou seja, do quadrado com lados de medidas unitárias (1 unidade de comprimento) é, então, igual a A = a2 = (1)2 = 1 unidade de área (1 u.a.), como você pode observar na Figura 2.

1

1

a2=1

�Matemática a05

área de quadrados

exemplo �Para determinar a área do quadrado cujos lados medem 20 cm, podemos calcular o quadrado de 20 cm. Assim: A = (20 cm)2 = 400 cm2.

Caso seja necessário representar essa medida em metros quadrados, podemos fazer a conversão de medidas de superfície que aprendemos na aula anterior, obtendo 0,4 m2.

Se tiver alguma dúvida de como fazer essa conversão, releia a seção “conversão de medidas de superfície”, na aula 4.

Figura � − Área o quadrado unitário

Calcular a área de um quadrado é obter o produto da medida da base por si mesma, ou seja, é obter o quadrado da medida de um de seus lados. Assim: A = a2.

Responda aqui

�Praticando...

5Matemática a05

área de outros quadriláterosQuadrilátero é toda fi gura geométrica plana que possui quatro lados.

Em um quadrilátero, dois lados não-consecutivos ou dois ângulos não-consecutivos são chamados de opostos.

Um quadrilátero ABCD, como o da Figura 3, apresenta:

o lado AB oposto ao lado CD e o lado BC oposto ao lado AD;

o ângulo A oposto ao ângulo C e o ângulo B oposto ao ângulo D.

�. Calcule a área do quadrado cujo lado mede 1,5 cm.

�. Calcule a área do quadrado cujo perímetro é 12 dm.

�. Calcule a medida dos lados de um quadrado cuja área é igual a 1,2769m2.

�. Calcule a área do quadrado cujas diagonais medem 12√2 cm.

C

Vértices

Vértices

Diagonais

D

A B

C

D

AB

�Matemática a05

Em um quadrilátero ABCD, como o da Figura 4, temos os seguintes elementos comuns:

Vértices: nome dado aos pontos A, B, C, e D (pontos de interseção entre os lados).

Lados: os segmentos de reta AB, BC, CD e DA.

Diagonais: são duas. Os segmentos de retas AC e BD.

Ângulos internos: são quatro. Os ângulos Â, B, C e D.

Figura � − Quadrilátero ABCD

Além dos quadrados, que estudamos no item anterior, dentro do grupo dos quadriláteros, vamos estudar como calcular a área dos retângulos, dos paralelogramos e dos trapézios.

Figura � − Quadrilátero ABCD

1 u.a

b

a

6 u

3 u

�Matemática a05

área de Retângulos

O retângulo ABCD, apresentado na Figura 5, tem altura medindo a unidades e comprimento medindo b unidades.

Os segmentos horizontais e os segmentos verticais que passam pelo interior do retângulo dividem o retângulo em a ⋅ b quadrados, tendo 1 unidade de área, cada um.

Figura 5 − Retângulo de área a · b

Figura � − Retângulo

�Matemática a05

exemplo �Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 5 unidades de comprimento (5 u.c.) e o comprimento da altura é 7 unidades de comprimento (7 u.c.).

Considerando que a área do retângulo é dada pela expressão A = b ⋅ h, temos:

A = b ⋅ h = (5 u.c.) ⋅ (7 u.c.) = 35 u.a.

Em situações do dia a dia, no cálculo de áreas em situações práticas, usamos medidas de comprimento em unidades conhecidas como: metro, decímetro, centímetro, etc.

exemplo �Na Figura 6, vemos um retângulo ABCD, que mede 6 unidades de comprimento e 3 unidades de altura.

Os segmentos horizontais que passam no meio do retângulo e os segmentos verticais dividem o retângulo em dezoito quadrados, tendo 1 unidade de área, cada um. A área do retângulo ABCD é a soma das áreas desses dezoito quadrados.

O número de unidades de área do retângulo é o mesmo com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base pelo número de unidades da altura. A área do retângulo pode ser representada pela expressão: A = b ⋅ h.

�Praticando...

�Matemática a05

exemplo �Para calcular a área de um retângulo com 3 m de altura e 10 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.

Para representar a área em metros quadrados, devemos apresentar as medidas em metros, assim h = 3 m e b = 10 cm = 0,10 m, a área obtida será:

A = b ⋅ h ⇒ A = (3 m) ⋅ (0,10 m) ⇒ A = 0,30 m2.

Para representar a área em centímetros quadrados, devemos apresentar as medidas em centímetros

Como h = 3 m = 300 cm e b = 10 cm, a área do retângulo será dada por:

A = b ⋅ h = (300 cm) ⋅ (10 cm) ⇒ A = 3 000 cm2.

�. Calcule a área do retângulo cujas dimensões medem, respectivamente, 1,5 dm e 1,2 dm.

�. Calcule a área do retângulo cujo perímetro é 12 dm e cuja altura está para seu comprimento, assim como 1 está para 5.

�. A área de um retângulo é igual a 13,5 m2. Calcule a medida de sua altura sabendo que essa medida está para o comprimento dessa mesma figura assim como 2 está para 3.

E

D C

A B

E

h

D C

A B

D Cb

A B

h

E E

b

A EE’

D’

A=B

C=D

h

Figura 8. a

Figura 8. b

Figura 8. c

�0Matemática a05

área de Paralelogramos

Paralelogramo é o quadrilátero que tem dois pares de lados opostos paralelos. No quadrilátero da Figura 7, temos AB // CD e AD // BC.

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base (cuja medida será chamada de b). Nesse caso, tomamos como base o segmento AB. A altura do paralelogramo corresponde à medida h do segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde este segmento de reta intercepta o lado oposto do paralelo-gramo. Nesse caso, o segmento de reta perpendicular à base é o segmento DE.

Para compreender como calcular a área do paralelogramo, imagine o recorte da figura em duas partes, obtendo um triângulo retângulo e um quadrilátero, como na Figura 8.a.

Transfira o triângulo retângulo (Figura 8.b) para o outro extremo da figura. A figura resultante, como você pode ver na Figura 8.b, é um novo quadrilátero: o retângulo de vértices E’, E, D e D’.

A figura obtida é um retângulo cuja base mede b unidades de comprimento e cuja altura mede h unidades de comprimento. Lembre-se que h coincide com a medida da altura do paralelogramo. Portanto, a área do paralelogramo ABCD pode ser obtida da mesma expressão de área do retângulo E’EDD’ que é igual a A = b ⋅ h.

Figura � – Paralelogramo

E

D b = 30m C

A B

h =

12m

��Matemática a05

Nos paralelogramos podemos observar as seguintes propriedades:

os lados opostos são congruentes;

cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;

os ângulos opostos são congruentes;

as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

exemplo 5Determine a área do terreno em forma de paralelogramo, representado na Figura 9.

Figura �

Nesse caso, a medida b da base do paralelogramo pode ser a medida da frente do terreno e h a medida de sua profundidade. Substituindo os valores das medidas de base e da altura do paralelogramo na expressão da área do paralelogramo ABCD, temos:

A = b ⋅ h ⇒ A = 30 m ⋅ 12 m ⇒ A = 360 m2.

A área do terreno é igual a 360 m2.

Responda aqui

�Praticando...


�. Determine a área do paralelogramo, cuja altura é igual a 48 mm e cujas bases medem 12 cm.

�. Calcule a área do paralelogramo cujas bases medem 20 cm e cuja altura tem o mesmo comprimento igual ao da diagonal de um quadrado cujos lados medem 8

√2 cm.

exemplo �Determine a altura do paralelogramo que tem 30 mm de base, para que ele tenha área igual a 3,9 cm2.

A área do paralelogramo é dada pela expressão A = b ⋅ h.

Observe que: b = 30 mm = 3 cm e que A = 3,9 cm2.

A = b ⋅ h ⇒ 3,9 cm2 = 3 cm ⋅ h ⇒ 3 cm ⋅ h = 3,9 cm2

⇒ h =3, 9 cm2

3 cm⇒ h = 1, 3 cm

D

CA

B

d1

d2

Figura �0 – Losango


área de LosangosO losango é uma figura geométrica que apresenta as seguintes características:

possui duas diagonais que podem ter medidas diferentes, na Figura 10, representadas por d1

(diagonal menor – segmento AC ) e por d2 (diagonal maior – segmento BD );

suas diagonais se cruzam formando ângulos de 90º no centro do losango e dividindo-o em 4 triângulos retângulos.

A área do losango é o semiproduto da soma das medidas das diagonais, ou seja,

A =(d1 · d2)

2. Veja, na demonstração a seguir, como essa fórmula foi encontrada.

Demonstração:

Tome dois losangos, como os da Figura 11.a, dividindo um desses losangos sobre as diagonais, ou seja, em 4 partes iguais, que são triângulos retângulos (Figura 11.b).

Encaixe as quatro partes do primeiro losango no segundo losango (o inteiro) para formar uma figura já conhecida.

Uma das figuras conhecidas que pode ser formada é um retângulo de altura, que tem a mesma medida da diagonal maior e cuja base tem a mesma medida da diagonal menor (Figura 11.c). Ou seja, a área do retângulo é dada por: A = b⋅h ⇒ A = d1 ⋅ d2.

Como essa expressão é referente à área de dois losangos, podemos afirmar que:

2 ⋅ A = d1 ⋅ d2 ⇒ A =(d1 · d2)

2.

Figura ��

D C

A BEb2

h

b1b1

�Praticando...


área de trapéziosTrapézio é qualquer quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos e que chamamos de bases.

O menor desses lados paralelos é chamado de base menor, de medida b1.

O maior desses lados paralelos é a base maior, de medida b2.

�. Calcule a área do losango cujas diagonais medem 2,0 m e 1,8 m.

�. A medida da diagonal maior de um losango é igual a 18 cm e a diagonal menor mede dois terços dessa medida. Determine a área desse losango.

exemplo �Qual é a área do canteiro em forma de losango cujas diagonais medem 2,5 m e 1,8 m?

Para calcular a fórmula do losango, temos a expressão A =(d1 · d2)

2.

Substituindo os valores conhecidos na expressão, temos:

A =(d1 · d2)

2⇒ A =

(2, 5 m) · (1, 8 m)2

⇒ A =4, 5 m2

2⇒ A = 2, 25 m2

Figura �� – Trapézio

D C

A B

D C

A B

�5Matemática a05

A menor distância entre as bases é a altura do trapézio, que representaremos pela medida h. Na Figura 12, destacamos a altura como segmento DE.

Existem vários tipos de trapézios, vejamos quais são e as características que os diferenciam.

tipos de trapézios

Trapézio retângulo: é aquele que apresenta dois ângulos retos.

Observe, na Figura 13, que (I) os lados AD e BC são paralelos, (II) os ângulos A e D são ângulos retos e (III) a medida do segmento AB é altura do trapézio.

Trapézio isóscele (ou isósceles): é aquele em que os lados não-paralelos são congruentes (de mesma medida).

Observe que no trapézio da Figura 14:

Figura �� – Trapézio Retângulo

Figura �� – Trapézio Isóscele

D C

A B

Eb2

b2

h

b1

b1


os lados AB e CD são congruentes (m(AB) = m(CD));

as diagonais AC e BD são congruentes (m(AC) = m(BD));

há dois pares de ângulos internos congruentes: os ângulos Â e B e os ângulos C e D.

Trapézio escaleno: É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.

Na Figura 15, vemos um trapézio escaleno, pois os lados não-paralelos não têm a mesma medida (AD e BC não são congruentes).

Figura �5 – Trapézio Escaleno

cálculo de área do trapézioA área do trapézio é a média aritmética das medidas das bases multiplicada pela medida

da altura, isto é, A =(b1 + b2)

2· h, ou seja A =

(b1 + b2) · h

2.

Para entender como foi obtida essa fórmula, podemos construir dois trapézios idênticos e encaixando-o lado a lado, para encontrar um paralelogramo cujas bases tem medida b1 + b2 e altura de medida h. A área da figura obtida pela união dos dois trapézios é igual a (b1 + b2) · h, que é o dobro da área de cada trapézio (veja Figura 16).

Figura �� – Área de dois trapézios idênticos

D C

A B


exemplo �Determine a área do trapézio cuja altura h é igual a 80 cm e cujas bases medem 1,5 m e 1,2 m.

Os dados do enunciado são: h = 80 cm = 0,80 m; b1 = 1,2 m; e b2 = 1,5 m

Substituindo-os na expressão da área do trapézio, temos:

A =(b1 + b2) · h

2⇒ A =

(1, 2 m + 1, 5 m) · 0, 80 m

2⇒

A =2, 7 m · 0, 80 m

2⇒ A = 1, 08 m2.

A área do trapézio é de 1,08 m.

Assim, temos que dividir por 2 para obter a área do trapézio e obter: A =(b1 + b2) · h

2.

exemplo �Determine a área do trapézio isóscele apresentado na Figura 17.a, cujas medidas são as seguintes: m(AD) = m(BC) = 5 cm, m(AB) = 13 cm e m(CD) = 7 cm.

Figura ��a

D C

A B13 cm

3 cm 3 cm

7 cm

5 cm5 cm

h h

D C

A B13 cm

7 cm

5 cm5 cm

hh


Antes de calcular a área desse trapézio, temos que calcular a altura da figura. Para isso, vamos traçar segmentos perpendiculares às duas bases (Figura 17.b) e com isso, dividir o trapézio em dois triângulos retângulos idênticos e um retângulo.

Figura ��b

Cada um dos triângulos retângulos idênticos, da Figura 17.c, tem dois lados com medidas conhecidas: a hipotenusa mede 5 cm e um dos catetos mede 3 cm. O cateto coincide com a altura do trapézio, cuja medida é h, e é o que precisamos determinar.

Figura ��c

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que:

(medida do cateto1)2 + (medida do cateto2)

2 = (medida da hipotenusa)2

⇒ h2 + (3cm)2 = (5cm)2 ⇒ h2 + 9cm2 = 25cm2 ⇒ h2 = (25 - 9)cm2 ⇒ h2 = 16cm2

⇒ h = 4cm

5Praticando...


Agora que sabemos a altura do trapézio podemos calcular sua área, utilizando a fórmula:

A =(b1 + b2) · h

2

A =(7 cm + 13 cm) · 4 cm

2=

20 cm · 4 cm

2⇒ A = 40 cm2.

A área do trapézio isóscele é igual a 40 cm2.

�. Calcule a área do trapézio que apresentam bases que medem 15 m, 20 m e altura que mede 1,8 dam.

�. Calcule a área do trapézio cuja medida da base menor é igual a 12 cm, a medida da base maior é o dobro da medida da base menor, e a medida da altura é 15 cm.

área de outras figuras geométricasSeria impossível, aqui, estudarmos o cálculo de área de todas as figuras planas existentes, por isso estudaremos somente as mais comuns. Além das áreas dos quadriláteros, que vimos no início desta aula, vamos também estudar sobre as áreas dos triângulos e dos círculos.

área de triângulosTriângulo é a figura geométrica que apresenta três lados e três ângulos internos, como o apresentado na Figura 18.

C

A BE

h

�0Matemática a05

exemplo �0 Calcule a área do triângulo cujas medidas de base e altura são, respectivamente, iguais a 20 cm e 18 cm.

Para calcular a área desse triângulo temos que substituir os valores de b e h na fórmula

A =b · h

2.

Assim: A =20 cm · 18 cm

2⇒ A =

360 cm2

2⇒ A = 180 cm2.

A área do triângulo é igual a 180 cm2.

Figura �� – Triângulo ABC

área de um triângulo conhecendo-se as medidas da base e da alturaA área de um triângulo é a metade do produto da medida de sua base pela medida de

sua altura, isto é, A =b · h

2.

área do triângulo equiláteroPara calcular a área de um triângulo equilátero basta conhecer a medida de seus lados. Observe o exemplo a seguir:

C

Aa/2

a a

a/2B

h


exemplo ��Determine a área do triângulo equilátero cujo lado está sendo representado por a.

Para calcular a área do triângulo equilátero pela fórmula A =b · h

2, é preciso

calcular, primeiramente, o valor de h.

Veja, na Figura 19, que a altura do triângulo equilátero dividiu-o em dois triângulos idênticos. Como esses triângulos são retângulos, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular a medida de h.

Lembre-se de que se a = 5 m ⇒ a

2=

52

m = 2, 5 m.

Vejamos: h2 +a2

2= (a)2 ⇒ h2 +

a2

4= a2 ⇒ h2 = a2 − a2

4

h2 =4a2

4− a2

4⇒ h2 =

3a2

4⇒ h =

3a2

4⇒ h =

a√3

2m.

Agora podemos calcular a área do triângulo equilátero:

A =a · a

√3

22

⇒ A =

a2 ·√3

22

=a2 ·

√3

2· 12

⇒ A =a2 ·

√3

4 ,

em que a é a medida do lado do triângulo equilátero.

Figura �� – Triângulo

triângulo equilátero

Triângulo que

apresenta três

lados congruentes.

C

A BBase

Altu

ra


exemplo ��Calcule a área do triângulo equilátero que tem perímetro igual a 12 cm.

Para calcular a área do triângulo, devemos lembrar que o perímetro de um triângulo equilátero é dado pela expressão 3a. Como 3a = 12 cm ⇒ a = 12 cm ÷ 3 ⇒ a = 4 cm.

Assim a área do triângulo equilátero é:

A =a2 ·

√3

4⇒ A =

(4 cm)2 ·√

34

⇒ A =16 cm2 ·

√3

4⇒ A = 4 ·

√3 cm2

Como o valor de √3 é aproximadamente 1,73, a área do triângulo mede,

aproximadamente, 4 ∙ (1,73) cm2, ou seja, cerca de 6,92 cm2.

exemplo ��Calcule a área do triângulo retângulo cujos lados menores medem 1,5 m e 2,0 m.

área de um triângulo retânguloPara calcular a área de um triângulo retângulo, basta conhecer as medidas de seus catetos.

Figura �0 – Triângulo Retângulo


Em um triângulo retângulo, os lados menores são chamados de catetos. Quando consideramos um dos catetos como a base do triângulo, como na Figura 20, o outro cateto passa a coincidir com a altura da figura.

Para calcular a fórmula do triângulo retângulo, temos a fórmula A =b · h2

e, nesse caso, o produto b ⋅ h é o produto dos catetos.

Assim: A =b · h

2⇒ A =

(1, 5 m) · (2, 0 m)2

=3, 0 m2

2⇒ A = 1, 5 m2.

cálculo da área de um triângulo pela fórmula de HeronConsidere o perímetro de um triângulo de lados a, b e c, ou seja, 2p = a + b + c. O valor

do semiperímetro dessa figura é p =a+ b+ c

2.

A área do triângulo citado pode ser expressa pela fórmula A =p · (p− a) · (p− b) · (p− c),

que é chamada fórmula de Heron.

exemplo ��Para obter a área de uma região triangular cujos lados medem 21 cm, 28 cm e 45 cm, basta substituir a por 21 cm, b por 28 cm,c por 45 cm, para obter:

2p = (21 + 28 + 45) cm ⇒ 2p = 94 cm ⇒ p = 47 cm.

Assim:

A =p · (p− a) · (p− b) · (p− c)

A =

47 · (47− 21) · (47− 28) · (47− 45)

A =

47 · (26) · (19) · (2)

A =√46 436 ⇒ A = 215,49013898552295471810525668626... ⇒ A ≅ 215,5 cm2

A área do triângulo é de, aproximadamente, 215,5 cm2.

�Praticando...


�. Calcule a área de um triângulo cuja base mede 28 cm e cuja altura é de 16 cm.

�. Em um triângulo retângulo, os lados menores medem 6 cm e 8 cm. Calcule a área do triângulo.

�. Em um triângulo equilátero, cada lado mede 25 cm. Calcule a área desse triângulo.

�. As medidas dos lados de um triângulo são 32 mm, 54 mm e 48 mm. Calcule a área da figura.

5. Calcule a área do triângulo escaleno cujos lados apresentam as seguintes medidas: 28 dm, 30 dm e 42 dm.

área do círculoUm círculo é a figura geométrica formada pelo conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Também chamamos círculo ao conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor (a que chamamos raio).

A área A de um círculo pode ser expressa matematicamente por A = π ⋅ r 2, onde r é o raio da circunferência e π (Pi) uma constante, cujo valor conhecemos na aula 4.

Demonstração:

Considere dois círculos de raios iguais a r, divididos em fatias extremamente finas que se assemelhem a triângulos.

Fonte: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/vnm-v0/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf.>. acesso em: 13 out. 2008.

�5Matemática a05

Abra-os para que possam ser encaixados um no outro.


Dessa forma, você obterá um paralelogramo cujas bases têm medida igual a 2 ⋅ π ⋅ r e cuja altura tem medida igual a r.

C = 2¢π¢r

r

O paralelogramo obtido tem área igual a A = b ⋅ h = (2 ⋅ π ⋅ r) ⋅ r2 = 2 ⋅ π ⋅ r2

Lembre-se de que essa medida é obtida a partir da área de dois círculos, então para encontrar a área de um círculo de raio igual a r, temos:

AC = (2 ⋅ π ⋅ r2) ÷ 2 ⇒ AC = π ⋅ r2, onde π = 3,141592653589... ⇒ π ≅ 3,14

Recordando: Na aula 4, você viu que π (Pi) é o valor constante resultante do quociente entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro.

C

D= π ∼= 3, 14

D = 2 ⋅ r


Responda aqui

exemplo �5

�Praticando...


Determine a área de um círculo cujo raio mede 15 cm.

Para calcular a área do círculo, vamos substituir essa medida (r = 15 cm) e substituir π por 3,14 na fórmula AC = π ⋅ r2. Logo, obteremos:

AC = π ⋅ r2 ⇒ AC = (3,14) ⋅ (15 cm)2, ⇒ AC = (3,14) ⋅ 225 cm 2 ⇒ AC = 706 cm2.

�. Calcule a área do círculo cujo raio mede 10 cm.

�. Calcule a área do círculo cujo diâmetro mede 10 cm.

exercícios


�. Sabendo que a área de um quadrado é 49 cm2, podemos afi rmar que seu perímetro é igual a

a) 14 cm. b) 21 cm. c) 28 cm. d) 35 cm.

�. As medidas de área e do perímetro do retângulo com altura de 25 dam e base de 12 dam, são, respectivamente,

a) 3 000 m2 e 7,4 m. b) 30 000 m2 e 74 m.

c) 300 000 m2 e 740 m. d) 3 000 000 m2 e 7 400 m.

�. A área de 220 mm2 é equivalente à área de um paralelogramo de altura e bases, respectivamente, iguais a

a) 2,2 dm e 10 mm. b) 1,1 cm e 20 mm.

c) 1,1 dm e 1,0 cm. d) 2,2 cm e 1,0 mm.

�. Um terreno em forma de trapézio tem a base menor igual a 28 m, a base maior igual a 32 m e a altura igual a 30. A área desse terreno é

a) 900 m2. b) 720 m2. c) 630 m2. d) 540 m2.

5. Considere um triângulo equilátero de lado 8 cm. A área desse triângulo mede, aproximadamente,

a) 27,7 cm2. b) 22,7 cm2. c) 20,7 cm2. d) 20,2 cm2.

�. A expressão mais adequada para calcular a área de um triângulo escaleno, cujas medidas dos lados são conhecidas, é

a) A = 2 ⋅ (b + h) - (a∙c) b) A = 2 ⋅ (a + b + c) ÷ h

c) A = (a + b + c) ⋅ h ÷ 2 d) A =p · (p− a) · (p− b) · (p− c)

�. Um triângulo tem lados que medem 12 cm, 10 cm e 8 cm. A área desse triângulo é de, aproximadamente,

a) 39,7 cm2. b) 112,8 cm2. c) 283,7 cm2. d) 487,4 cm2.

�. Para confeccionar um tipo de almofada, é necessário um pedaço de tecido em forma de triângulo retângulo cujos catetos medem 2 m e 1,8 m. A área do tecido utilizado para confeccionar a almofada é igual a

a) 1,8 m2. b) 2,0 m2. c) 2,4 m2. d) 3,6 m2.

�. A área de um círculo com raio de 5 cm mede, aproximadamente,

a) 58,7 cm2. b) 75,8 cm2. c) 78,5 cm2. d) 87,5 cm2.

Res

post

a



auto-avaliação

Nesta aula, você viu como calcular a área de quadriláteros (quadrados, retângulos, paralelogramos, trapézios e losangos), de triângulos (conhecendo-se as medidas da base e da altura dessa figura; conhecendo-se a medida do lado de um triângulo equilátero; conhecendo-se os catetos de um triângulo retângulo; ou conhecendo-se as medidas dos lados de um triângulo qualquer) e de círculos (utilizando a medida do raio da figura).

�. Quais as características de um quadrado unitário?

�. O que significa calcular a área de uma superfície?

�. Como calculamos a área de um quadrado qualquer?

�. Quais são as medidas necessárias para calcular a área de um retângulo?

5. Qual é a expressão algébrica que representa a área de um paralelogramo que tem base com medida igual a m cm e altura igual a y cm?

�. Considere as seguintes medidas de um trapézio: altura igual a 2b, base maior medindo 3c e base menor medindo 2c. Qual a expressa algébrica que representa a área desse trapézio?

�. As medidas dos lados de um triângulo são 2m, 2n e 2s. Qual á a expressão algébrica do semiperímetro dessa figura?

�. Considere o triângulo da questão 7 e a = 2 cm, b = 3m e c = 4 cm. Calcule a área do triângulo utilizando essas medidas.

�. Em um triângulo retângulo cujos catetos medem 16 cm e 21 cm, calcule a medida da área.

�0. Em um triângulo, a base mede 2 m e a altura, 180 cm. Calcule a medida da área dessa figura em decímetros quadrados.

��. Um triângulo equilátero tem lados medindo 16 cm. Determine a área dessa figura.

��. Se um círculo tem raio igual a m2

, determine a medida de sua área.

Para consulta

�0Matemática a05

área de figuras planas

Área do quadrado unitário: A = a2 = (1)2 = 1 u. a

Área do quadrado: A = a2 , na qual a é a medida do lado do quadrado.

Área do retângulo: A = a ⋅ h, na qual b é a medida da base e h, a medida da altura da figura.

Área do paralelogramo: A = b ⋅ h, na qual b é a medida da base e h, a medida da altura.

Área do losango: A =(d1 · d2)

2, na qual d1 e d2 são as medidas das

diagonais.

Área do trapézio: A =(b1 + b2) · h

2, na qual b1 e b2 são as medidas das bases

e h, a medida da altura.

área do triângulo:

(I) A =b · h2

, em que b é a medida da base e h, a medida da altura;

(II) A =a2 ·

√3

4, em que a é a medida do lado de um triângulo equilátero;

(III) A =b · c2

, em que b e c são as medidas dos catetos de um triângulo

retângulo;

(IV) A =p · (p− a) · (p− b) · (p− c) , em que e a, b e c são as medidas

dos lados de um triângulo qualquer e p é a medida do semiperímetro da

figura, ou seja, p =a+ b+ c

2.

Área do círculo: A = π ⋅ r 2, onde r é o raio da circunferência e π ≅ 3,14.


ReferênciasIEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio dos Santos. matemática e realidade: 8ª série. 5. ed. São Paulo: Atual, 2005.

INSTITUTO POLITÉCNICO DO PORTO. círculo, perímetro, área e abordagem experimental de Pi (p ). Disponível em: <http://viajarnamatematica.ese.ipp.pt/moodle/file.php/1/vnm-/documentos/Tarefas_Circulo_Perimetro_Area_Pi.pdf>. Acesso em 22 jul. 2008.

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