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MATEMÁTICA NÃO‐STANDARD

A J. F OUGUSTO RANCO DE LIVEIRA

I P. BMME VAN DEN ERG

MATEMÁTICA NÃO-STANDARD

UMA INTRODUÇÃO COM APLICAÇÕES

© Augusto J. Franco de Oliveira, Imme P. van den BergCapa: A. J. Franco de Oliveira

Direitos reservados. Não pode ser citado nem copiadosem autorização expressa de um dos autores.

AMS 2000 Mathematics Subject Classification03-01, 03H15, 26E35, 28E05, 30G06, 54J05;91-02, 91B08, 91B10, 91B28, 91B60, 91B70.

Composto em 5.0.2ê®

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ÍNDICE GERALPREFÁCIO....................................................................................................................vii

Primeira Parte — FUNDAMENTOS

I.PRINCÍPIOS BÁSICOS

1. Fundamentos da Matemática Clássica 13......................................................................2. Axiomática de Nelson I: Idealização........................................................................ 213. Axiomática de Nelson II: Transferência................................................................... 264. Axiomática de Nelson III: Standardização............................................................... 31

II.NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS

5. Números e regras de cálculo..................................................................................... 426. Sucessões e Funções I: algumas caracterizações......................................................537. Sucessões e Funções II: alguns teoremas fundamentais...........................................60

Segunda Parte — DESENVOLVIMENTOS

III.PRINCÍPIO DE CAUCHY E APLICAÇÕES

8. Relativização, Conversão de Quantificadores e Princípio de Cauchy......................699. Espaços Métricos.......................................................................................................7410. Funções Polinomiais no Plano Complexo.............................................................. 8011. Espaços Topológicos...............................................................................................9112. Perturbações de Operadores Lineares em .......................................................102Š8

IV.PRINCÍPIOS DE PERMANÊNCIA. ALGORITMO DE REDUÇÃO

13. Princípios de Permanência.................................................................................... 10714. Algoritmo de Redução.......................................................................................... 117

V.ARITMÉTICA NÃO-STANDARD

15. Extensões conservativas da aritmética de Peano.................................................. 12916. Princípios de saturação na aritmética....................................................................142

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Terceira Parte — APLICAÇÕES

VI.MACROSCOPIA, VARIAÇÃO REGULAR

E CRESCIMENTO POLINOMIAL17. Introdução. Mudanças de escala. Macroscopia.................................................... 15518. Observabilidade macroscópica, variação regular e continuidadeassimptótica................................................................................................................. 16619. Funções assimptoticamente limitadas e seu crescimento polinomial...................172

VII.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E FENÓMENO DOS RIOS

20. Introdução. Teoremas e definições principais...................................................... 17521. ..............................................................................205Lemas não-standard auxiliares22. ............................................................... 211Demonstrações dos teoremas principais23. ...............................................................................................216Resultados standard

VIII.W-INTEGRABILIDADE E APLICAÇÕES

24. W-integrabilidade à Riemann e ................225 aproximações de somas e de integrais25. Fórmula de Stirling e Teorema de DeMoivre-Laplace.........................................23726. O Passeio estocástico de Wiener e a equação do calor.........................................246

IX.ECONOMIAS DE TROCA COM MUITOS AGENTES

27. Introdução..............................................................................................................26128. Especificação do modelo.......................................................................................26229. Teoremas principais.............................................................................................. 26630. Preliminares não-standard.....................................................................................26931. Demonstrações dos teoremas principais............................................................... 280

ApêndicesA. A linguagem e os axiomas de ........................................................................ 293ZFCB. Limitações dos formalismos...................................................................................301

SOLUÇÕES................................................................................................................ 339BIBLIOGRAFIA.........................................................................................................373ÍNDICE REMISSIVO.................................................................................................389

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PREFÁCIO

Diferentes partes deste livro têm servido de base a cursos de licenciatura e demestrado no Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidadede Lisboa e no Departamento de Matemática da Universidade de Évora, por um ououtro dos autores, em anos recentes. O texto é composto por três partes: Fundamentos,Desenvolvimentos e Aplicações.

A Análise Não-standard foi inventada por Abraham Robinson [283, 288] nocontexto do ramo da Lógica Matemática conhecido por Teoria dos Modelos. Opróprio Robinson sugeriu, mais tarde, substituir esse formalismo bastante envolvidona lógica avançada, por uma abordagem axiomática mais ligeira e acessível, o queacabou por ser realizado por Keisler [190, 191]. Neste livro trabalhamos com aaxiomática de Nelson [250], que este autor designou por , de IST I S Tnternal et heory— Teoria Interna dos Conjuntos, que a experiência mostrou ser acessível a umpúblico variado, sem conhecimentos profundos de Lógica Matemática.

A exposição da parte introdutória (Fundamentos e Desenvolvimentos, ApêndicesA e B), da pena do primeiro autor, baseia-se essencialmente no artigo original de E.Nelson [250] e nas monografias de F. Diener e G. Reeb [103], A. Robert [281], R.Lutz e M. Goze [233] e A. Deledicq e M. Diener [89], e de alguns extractos eresultados contidos na tese de doutoramento [266]. Dos textos mencionados foitambém extraída a maioria dos exercícios e problemas. Alguns são acompanhados desugestões, muitos são resolvidos no final. Em todo o caso, fez-se um esforço depormenorização das demonstrações para além do que é habitual encontrar na literatu-ra. Deste modo, e não somente por essa razão, procurou-se tornar uma boa parte dotexto acessível a leitores dos primeiros anos das licenciaturas científicas e de ensinodas matemáticas, físicas e engenharias. Globalmente, as duas primeiras partes contêmos fundamentos teóricos das aplicações mais avançadas.

A terceira parte contém aplicações diversas e pressupõe, do leitor, alguns conhe-cimentos matemáticos mais especializados, em particular da assimptótica, das equa-ções diferenciais ordinárias e da probabilidade finita, todavia num nível elementar.Além disso, eles são amplamente referenciados na bibliografia sugerida. O texto destaparte, do segundo autor, utiliza parcialmente as suas notas da cadeira de Análise Não-standard do Mestrado em Matemática Aplicada no Departamento de Matemática daUniversidade de Évora, leccionada nos anos 1999-2006, acrescentando algumasaplicações originais não publicadas. As aplicações incluem assuntos bastante simplese básicos, imediatamente mais além do que costuma ser ensinado numa licenciatura

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em matemática clássica mas dificilmente realizável nela: teoria das mudanças deescala, descrição do fenómeno óptico dos «rios», largamente presente nos gráficos dasequações diferenciais, mas bastante desconhecida, e uma exposição dos processosestocásticos e do equilíbrio económico, classicamente envolvendo uma teoria demedida avançada, mas não ultrapassando aqui o contexto «finito». Em contraste coma parte introdutória, o texto destes tópicos finais não fornece todos os pormenores decálculo, mas permanece «ensinável», não deixando, todavia, de ser elementar edetalhado quanto à utilização dos métodos não standard.

O resultado final que agora se apresenta serve bem o propósito de uma« », e pode ser utilizado para programar diversosIntrodução com aplicações relevantescursos com diferentes conteúdos e objectivos. Assim, por exemplo, um primeiro cursoorientado para a Análise elementar ou para a filosofia da matemática e sempressupostos de lógica matemática pode centrar-se na I Parte e nos Apêndices. Umcurso mais comprometido com a lógica e os fundamentos pode centrar-se mais na IIParte, e um curso virado para as aplicações avançadas passará rapidamente da primei-ra para algum ou alguns capítulos da terceira parte. Facto notável, que merece sersalientado, é que algumas destas aplicações requerem apenas uma teoria mais fraca doque IST ZFL , a teoria de R. Lutz [230].

Existe um mal-entendido comum sobre a Análise Não-standard, o de que para aaprender ter-se-ia de modificar tudo que foi assimilado antes, em particular osconceitos de «finito», «número natural», «número real». De facto, não é nada disso,pois todos os conceitos e teoremas clássicos conservam as suas identidades e valores,mas enriquece-se a maneira de falar deles. Todavia, as consequências do enrique-cimento têm um carácter inesperado e brutal, que muitas vezes provocam reflexões denatureza filosófica. Questões deste tipo encontram-se no Capítulo V e no Apêndice B.Uma dessas questões é certamente o problema da consistência. Não demonstramos aconsistência de todo o sistema a , mas estudamos com algumIST ZFCrelativamentepormenor um sistema mais fraco — num capítulo de e sobre a aritmética não-standard, uma extensão da Aritmética de Peano. Para esse sistema mais simples, masconservando características essenciais, prova-se a existência de «números infinita-mente grandes» e certas formas fracas de . Demonstramos também a suasaturação consistência relativa. Além disso, damos uma ideia da força dos princípios e« »métodos da matemática não-standard relativamente a este sistema de aritméticaformal.

Na primeira parte do livro expomos os fundamentos da teoria axiomática deNelson e algumas aplicações imediatas à recta real e à caracterização não-standard (ouexterna) de noções básicas da Análise (convergência de sucessões e funções, continui-dade, diferenciabilidade, etc.). Adoptamos como teoria base a teoria axiomática dosconjuntos de Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha ( ), resumida noZFCApêndice A, por esta ser mais próxima da prática matemática usual, e para não onerarem demasia os pressupostos básicos. A teoria de Nelson é por nós designada pre-ferencialmente pela sigla (Zermelo-Fraenkel-Nelson com o Axioma daZFNC Escolha). Esta exposição difere de [266], onde se adoptou como básica uma teoria declasses (a teoria de Von Neumann-Bernays-Gödel). Na segunda parte desenvol-NBGvemos alguns aspectos gerais da teoria de Nelson, em torno dos chamados princípiosde permanência princípios de saturação e dos , e fazemos algumas aplicações

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temáticas (por exemplo: espaços métricos, funções polinomiais no plano complexo,espaços topológicos). Esta parte contém uma descrição do chamado algoritmo deredução, o qual, como se ilustra, também serve para demonstrar teoremas.

A terceira parte contém quatro aplicações. A primeira e a segunda tratam demudanças de escala e seus efeitos. (capítulo VI) são mudanças deMacroscópios escala infinitamente grandes do plano centradas na origem, que fazem o contrário dosmicroscópios, os quais «reduzem à escala humana» aquilo que é grande. Considera-mos classes de funções que são quase-invariantes para macroscópios, em contrastecom classes de funções que são drasticamente alteradas. Falando genericamente, amacroscopia é uma técnica de separação dos comportamentos polinomial e exponen-cial. Essa técnica serve, em particular, para o estudo global e assimptótico dasequações diferenciais. Esse tipo de estudo é também o assunto do capítulo VII, onde amudança de escala toma a forma de , que são, de uma certa maneira,telescópiosmicro- ou macroscópios ambulantes. Eles detectam , que são grandes concen-riostrações de trajectórias. Propomos um modelo matemático descritivo dos rios econdições necessárias e suficientes de existência, que podem ser lidas sobre aequação. Estas condições fornecem também métodos de cálculo.

Na terceira e quarta aplicações utilizamos a possibilidade de imitar a Análiseclássica, contínua, por uma análise discreta e finita « -contínua». Introduzimos osWconceitos de «massa» e «cauda», que correspondem a casos especiais, localizados, de«quase (in)certeza». Aplicamo-los para calcular assimptoticamente alguns integrais esomatórios, particularmente relevantes para as probabilidades. Assim, podemosdeterminar aproximações contínuas de fórmulas discretas, provenientes de processosestocásticos finitos com passos de tempo infinitesimais, no espírito da apresentação deNelson em [253]. Finalmente, utilizamos aRadically Elementary Probability Theorysimplicidade das construções discretas e a flexibilidade das quase-igualdades paraapresentar o modelo de equilíbrio de economias com muitos agentes, de Robinson ede Brown, como alternativo aos modelos de medida contínua de tipo Arrow-Debreu.

Devemos explicar, todavia, que a «lógica» da estrutura do livro é ditada pelo graude sofisticação dos conceitos e métodos próprios da matemática não-standard, e nãopelos ditames habituais de um desenvolvimento matemático tradicional. Não seriaassim, obviamente, se o intuito e o conteúdo fossem outros, de natureza maisdidáctica (como é o caso de [89], por exemplo, ou dos textos exemplarmenteelementares de Keisler [190] e de Stroyan [316], ou as experiências lectivas da escolafrancesa liderada por R. Lutz [232, 234]).

As referências bibliográficas ao longo do texto e no final são (mais do que)suficientes para o leitor se abalançar sozinho na pesquisa dos temas que lhe são caros.Quer dizer, por outras palavras, que a matemática não-standard é, antes de mais, uminstrumento ao dispor dos matemáticos de qualquer denominação ou especialidade,que a cada área ou aplicação preferencial pode trazer mais ou trazer menos, conformeo grau de investimento e utilização pessoais. Em certo sentido, que pode ser precisadotecnicamente (mais directamente visível na abordagem robinsoniana do que nanelsoniana), a utilização dos infinitamente pequenos e grandes actuais em Análise enoutras áreas matemáticas é, tão somente, uma mais sofisticada utilização de umaforma ou outra do Axioma da Escolha ou algo que se lhe assemelha, não existindo,portanto, qualquer razão de fundo que reconheça a utilidade deste mas negue ou

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renegue a daqueles. A Bibliografia contém ainda diversos itens de vintagem maisrecente que não são referidos no texto.

Esperamos que o texto produzido possa ser útil a quem se queira iniciar naMatemática Não-Standard, uma das grandes aventuras matemáticas nos últimosdecénios do segundo milénio. Os pressupostos são, apenas, alguma maturidade econhecimentos básicos adquiridos nos dois primeiros anos universitários deMatemática ou equivalente. A leitura do Apêndice B, queantes do estudo do texto, não depende de tais pressupostos, poderá constituir um aliciamento. Se bem quemuito do que aqui está pudesse ter sido escrito há quase vinte anos atrás, cremos queainda não perdeu a oportunidade de ser útil a quem se quiser aventurar por estaspaisagens com muito por explorar.

Ao Centro de Matemática e Aplicações Fundamentais (projectos 6D90, 6D94) eao Departamento de Matemática da FCUL, o primeiro autor agradece as condições detrabalho de redacção inicial e a oportunidade de regência, respectivamente, e aosalunos do curso de mestrado da FCUL de 92/93, Pedro Freitas e Isabel OitavemRocha, e à Graça Carita do curso de mestrado da Universidade de Évora de 97/98,agradece a grande ajuda dada, sempre atentos no escrutínio crítico dos pormenoresdas demonstrações e preciosos na resolução de hesitações e lapsos diversos, o quemuito contribuiu para a qualidade do produto final. Ao Pedro Freitas ainda se deve aredacção da secção 12, baseada num capítulo de [233], e ao Bruno Dinis, mestrandona Universidade de Évora, a resolução de alguns exercícios das secções 2, 6, 8, 9, 11 e13. Os erros e gralhas que permanecem são, porém, da responsabilidade dos autores.A outros leitores que nos façam chegar as suas críticas e sugestões estendemos desdejá os nossos agradecimentos.

Augusto J. Franco de OliveiraImme P. van den Berg

Universidade de ÉvoraColégio Luís VerneyJunho de [email protected]@uevora.pt

Whether we write or speak or do but look We are ever unapparent. What we are Cannot be transfused into word or book Our soul from us is infinitely far... — Fernando Pessoa, English Poems

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FUNDAMENTOS

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Capítulo I

PRINCÍPIOS BÁSICOS

§1. Fundamentos da matemática clássica

É aquisição da Física que o observador interfere com o objecto observado, pelomenos ao nível do microcosmos. O matemático, em contrapartida, está menospredisposto a aceitar a relatividade dos seus conceitos ou estruturas, relativamente aalgo tão elusivo como a linguagem na qual se exprime. Todavia, essa linguagem é osuporte da expressão e comunicação das suas concepções e teorizações sobre osobjectos por que se interessa.

Desde finais do século XIX, a linguagem da matemática a linguagem da teoria édos conjuntos, e a teoria mãe de todas as teorias matemáticas é a teoria dos« »conjuntos, por exemplo, na versão de Bourbaki, ou na versão essencialmenteequivalente de Zermelo-Fraenkel, incluindo o Axioma da Escolha, . Nesta teoriaZFChá um único conceito primitivo, o de pertença ( ). Por condescendência platonista−chamamos às variáveis , , , , , , , e imaginamos que osB C D \ ] ^... ... conjuntos axiomas de descrevem um universo de conjuntos ( ), suficiente-ZFC « » È œ −Y , È

mente rico para que nele se representem como conjuntos os objectos matemáticoshabituais (números, relações, funções, espaços, estruturas, etc.) e se justifiquem asconstruções (uniões, intersecções, produtos cartesianos, espaços quociente, etc.) e asdemonstrações habituais nas diferentes disciplinas matemáticas (pressupondo a lógicaclássica).

Sempre que conveniente a linguagem primitiva é enriquecida com novossímbolos, por meio de definições: constantes, isto é, símbolos que denotam conjuntosparticulares, como , , , , , , ; símbolos relacionais ou predicativos, queg # 3 Ð Ñ 1 ‘ V ‘# _

denotam relações no universo, como as primitivas , e as relações de inclusãoœ −

14 I PARTE — FUNDAMENTOS

© §, ; símbolos funcionais ou operacionais, que denotam operações no universo1

como , , etc. T ‚, , Não vamos aqui desenvolver a teoria , mas apenas recordar ouZFC ab initio

comentar alguns aspectos. Apenas para efeitos de referência damos adiante (noApêndice A) uma lista dos axiomas de , com alguns comentários. Em todo o caso,ZFCo que é importante é saber que a prática matemática corrente se pode formalizar emZFC. Essa prática não vai sofrer nenhuma alteração na matemática não-standardexcepto no sentido de um duplo enriquecimento, como adiante se verá: novosconceitos, e novos métodos demonstrativos.

Uma propriedade fundamental dos conjuntos (o ) dizaxioma da extensionalidadeque um conjunto é determinado pelos seus elementos, isto é, se e são conjuntos\ ]com os mesmos elementos, então . Formalmente:\ œ ]

aB ÐB − \ Í B − ] Ñ \ œ ]Ê .

Recorde-se que a formação de conjuntos por abstracção ou compreensão érestringida, em : os chamados dizem que uma condiçãoZFC axiomas de separação 9ÐBß CÑ C C ß ß C Et t [onde abrevia ] determina um conjunto se existir um conjunto tal" 5...que e, neste caso, o conjunto que determina (ou define)aBÐ ÐBß CÑ B − EÑ ÐBß CÑ9 9t Ê tdenota-se

ÖB − E ÐBß CÑ× ÖB B − E • ÐBß CÑ×À t À t9 9, ou ,

e é um subconjunto de , que depende de . Não existindo nenhum tal conjunto ,E C Etpodemos ainda utilizar a notação para representar a colecção dosÖB ÐBß CÑ×À t9objectos (conjuntos) tais que — é a ou porB ÐBß CÑ9 t classe definida determinada 9ÐBß CÑ +t . Tem-se, para qualquer ,

+ − ÖB ÐBß CÑ× Í Ð+ß CÑÀ t t9 9 .

Se é um termo (ou expressão designatória — para definiçõesJ ÐC ß ß C Ñ" 5...precisas ver o Apêndice A) e uma condição nas variáveis ,9ÐC ß ß C Ñ C ß ß C" 5 " 5... ...denota-se por a classeÖ ÐC ß ß C Ñ ÐC ß ß C Ñ×J " 5 " 5... ...À 9

ÖD bC bC ÐD œ ÐC ß ß C Ñ • ÐC ß ß C ÑÑ×À " 5 " 5 " 5... ... ...J 9 ,

onde é uma variável que não ocorre em .D 9Por exemplo, : é a classe de todos os pares ordenados.ÖÐBß CÑ B œ B • C œ C×

Y œ ÀÖB B œ B× é a , ou classe de todos os conjuntos. Esta classeclasse universalnão é um conjunto, como mostra o seguinte

1.1 Teorema (Zermelo)Não existe nenhum conjunto ao qual pertencem todos os conjuntos.

1 V. Apêndice A para questões notacionais. Note-se que utilizamos « » como abreviatura§de « » e não como sinónimo de « ».§ ©

Á

I. PRINCÍPIOS BÁSICOS 15

Dem. Suponhamos, com vista a um absurdo, que existe um conjunto, digamos ,Etal que . Definamos, por separação, o conjuntoaB ÐB − EÑ

F ÖB − E B Â B×œ À .2

Tem-se, por definição de ,F

aB ÐB − F Í B − E • B Â BÑ,

donde, particularizando com , . Como estamosB œ F F − F Í F − E • F Â Fsupondo que e portanto, em particular, que , obtemos a asserçãoaB ÐB − EÑ F − Econtraditória . Não pode, pois, existir tal que .F − F Í F Â F E aB ÐB − EÑ è

Outras classes que não são conjuntos, dizendo-se, por isso, : aclasses própriasclasse de todos os ordinais, a classe de todos os cardinais, a classe de todas as funções,a classe de todos os grupos finitos, etc., etc. Em geral, classes muito grandes não« »são conjuntos, mas uma classe contida num conjunto é conjunto, por um axioma deseparação. Em particular, uma classe co-extensiva com (isto é, com os mesmoselementos que) um conjunto é conjunto.

Certas relações e operações conjuntistas estendem-se às classes de maneiranatural. Por exemplo, se e são classes, tem-seE Fœ ÖB ÐBÑ× œ ÖB ÐBÑ×À À9 <

E F E F© Í aB Ð ÐBÑ ÐBÑÑ ÖB ÐBÑ ” ÐBÑ×9 < 9 <Ê œ À, ,

E F E‚F ÖB ÐBÑ • ÐBÑ× ÖÐBß CÑ ÐBÑ • ÐCÑ×œ À œ À9 < 9 <, ,

mas já não faz sentido considerar a classe das partes de uma classe , excepto se éE Econjunto, pois a operação no universo só está definida em argumentosE È ÐEÑTque são conjuntos: o garante que se é conjuntoaxioma do conjunto das partes Eentão existe um conjunto cujos elementos são exactamente os conjuntos contidos emE ÐEÑ E, que é único, por extensionalidade, e se denota , ou . Classes e operaçõesT T3

no universo são geralmente denotadas por letras latinas maiúsculas em tipo grosso,como , , , , com algumas excepções devidamente assinaladas.E F T J ...

Observe-se que todo o conjunto é, trivialmente, uma classe: é a classe dos\objectos (conjuntos) tais que , isto é, , mas a classeB B − \ \ œ ÖB B − \×Àcomplementar de um conjunto , , não é conjunto: caso\ \ ÖB B Â \× œ Àcontrário, seria conjunto. Com efeito, um dos axiomas de , oY œ \ \ ZFC

2 A definição deste conjunto é aparentada com a definição da classe , que estáÖB À B Â B×na origem do chamado (1902), que advém da suposição (permitidaparadoxo de Russellpela concepção intuitiva ou ingénua de Cantor) de que aquela classe é conjunto:representando por esse conjunto, tem-se , o que é contraditório.V V − V Í V Â V3 Não devemos pensar, todavia, que este conjunto tem como elementos todas as colecçõesde elementos de . Na verdade, pode bem haver colecções de elementos de que nãoE Epodem ser descritas ou definidas por nenhuma condição na linguagem de — taisZFCcolecções nem sequer são classes contidas em , nada assegurando, portanto que sãoEconjuntos contidos em . O termo «parte de é sinónimo de «subconjunto de , isto é,E E E» »de «conjunto (do universo) contido em . Somente os objectos do universo que são partesE»de são elementos do conjunto ( ). Por outro lado, os termos «conjunto , «elemento ,E ET » »«membro e «objecto são também sinónimos na teoria dos conjuntos.» »


axioma da união, garante que, se é conjunto, então a classe E E- œÖB b\Ð\ − E • B − \Ñ×À é conjunto — é o conjunto (único, por extensionalidade)cujos elementos são exactamente os membros dos membros de , chamado E união deE. Em particular, se , então é conjunto. Também podemosE œ Ö\ß ] × E œ \ ]-definir, mais geralmente, para uma classe ,E œ ÖB ÐBÑ×À 9

.E Eœ À ÀÖC bB − ÐC − BÑ× œ ÖC bB Ð ÐBÑ • C − BÑ×9 ,

e, se é não vazia,E

,E Eœ ÀÖC aB − ÐC − BÑ×.

Os ordinais (à Von Neumann) são definidos de tal modo que cada ordinal é o«conjunto dos ordinais mais pequenos . Precisando, um conjunto diz-se » \ transitivosse , ou seja, equivalentemente, , ou . UmaB ÐB − \ B © \Ñ \ © \ \ © \Ê - Tconjunto é um sse é transitivo e bem ordenado (estritamente) por\ \ordinal − ÖÐBß CÑ À B − \ • C − \ • B − C×\ œ . Na presença do axioma de regularidade

(v. Apêndice A) esta definição é equivalente à seguinte:

\ \ \ é um ordinal sse é transitivo e todo o membro de é transitivo

É usual denotar ordinais por , , , . A classe dos ordinais denota-se . ! " # !... ORD a9 ! 9 !9 !Ð Ñ aB ÐB ÐBÑÑ b Ð Ñ bB ÐB abrevia , e abrevia é um ordinal é umÊordinal • 9ÐBÑÑ. Define-se uma ordenação nos ordinais pondo

! " ! " Í − ,

e . Alguns factos que resultam facilmente das definições! " ! " ! "Ÿ Í ” œanteriores:

1.2 Lema(1) é um ordinal.! gœ

(2) Todo o membro de um ordinal é um ordinal.(3) .a ß Ð § − Ñ! " ! " ! "Ê

(4) .a ß Ð Ÿ ” Ÿ Ñ! " ! " " !

(5) tem as propriedades das ordens totais em ORD, isto é, para quaisquer

ordinais , e ,! " #

(a) ,! !Î

(b) ,! " " # ! # • Ê

(c) ! Á ” " ! " " !Ê .(6) .a Ð œ Ö ×Ñ! ! " " !À

(7) Se é uma classe não vazia de ordinais então é um ordinal, G G G G+ + −

e +G œ infG .


(8) Se é um conjunto não vazio de ordinais então é um ordinal e\ \--\ œ sup\.

(9) é um ordinal e .a Ð Ö × Ö × œ Ö ×Ñ! ! ! ! ! " ! "inf À

Dem. (3) Supondo , seja o mínimo de . Basta mostrar que ! " # " ! ! #§ Ï œpara concluir que . Ora, para qualquer tem-se e , por! " 0 ! 0 " 0 #− − − minimalidade de , logo , e se então (pois visto ser# ! # 0 # 0 " # " "© − − ©transitivo), logo novamente por minimalidade de , portanto .0 ! # # !− ©

(4) Obviamente é um ordinal, digamos . Note-se que e .! " # # ! # " © ©Tem-se ou , caso contrário e , por (3), mas então# ! # " # ! # "œ œ − −# ! " #− œ −, contrariando a definição de ordinal (nomeadamente, o facto de !

ser irreflexiva em ).! è

O ordinal denota-se e chama-se o de . Um ordinal da! ! ! ! Ö × " sucessorforma 1 diz-se um . Um ordinal que não é sucessor diz-se um" ! ordinal sucessorordinal limite, e tem-se então ; considera-se como! " " ! !œ Ö × œ !sup À -ordinal limite ( ). Note-se que se é um ordinal limite então supg œ g œ g a- ! "Ð " Ñ" ! " ! ! "Ê . Um ordinal diz-se um sse todo o ordinal talordinal finito que é sucessor, isto é, para algum ordinal , e diz-se um! Ÿ œ "" ! " # #ordinal infinito sse não é um ordinal finito. A existência de ordinais limites diferentesde pode ser demonstrada usando o axioma do infinito. O menor tal ordinal denota-se!=, que é também o menor ordinal infinito e o conjunto dos ordinais finitos.

1.3 CorolárioORD é uma classe própria.

Dem. Caso contrário, por (5) e (7) seria um ordinal, membro de si próprio.ORD è

Na teoria dos ordinais são particularmente importantes o método de induçãotransfinita (cuja restrição aos números naturais corresponde ao conhecido método deindução completa) e o método de definição por recorrência transfinita. Pode-sedemonstrar (utilizando um axioma de substituição ) que todo o conjunto bem4

ordenado é isomorfo a um único ordinal. Utilizando o Axioma da Escolha pode-sedemonstrar que todo o conjunto é bem ordenável e, portanto, equipotente a umordinal. O menor ordinal equipotente a é chamado o de , e denota-se! \ \cardinall l\ . Supomos conhecidas as operações cardinais e suas propriedades. Os cardinaisinfinitos são os álefes

i i i i i ! " # "... ...= = ,

4 V. Apêndice A. Esta é uma das poucas (mas cruciais) aplicações deste axioma na teoriados conjuntos.


onde , é o primeiro cardinal infinito maior do que , etc. Sabe-i œ œ œ i i! " != l lse, desde Cantor, que

l l‘ œ # ii"

! .

A conjectura de que

# œ ii"

!

é a chamada (HC), formulada por Cantor há mais de cem anos,Hipótese do contínuoque se sabe (desde 1963) ser independente dos axiomas de : tanto ela como a suaZFCnegação são consistentes com os axiomas de ([69]). Ela é verdadeira, porém,ZFCpara os subconjuntos não numeráveis fechados (para a topologia usual de ), mas‘saber isto é saber muito pouco sobre tão enigmática conjectura.

Recordemos finalmente uma das possíveis definições de em .número natural ZFCOs números naturais podem ser definidos ora como ordinais finitos (o conjunto dosnúmeros naturais é então o conjunto dos ordinais finitos, ou seja ), ora como=cardinais finitos (cardinais tais que ), ora inspirando-nos nas ideias de R., , ,Á "Dedekind, mais exactamente, no seu conhecido trabalho sobre os fundamentos daaritmética dos números naturais. Aparte pequenas diferenças de pormenor, esta5

fundamentação pode-se encarar como uma axiomatização que consiste em trêsaxiomas para os primitivos número , zero e sucessor .« » « » « »

Denotando a colecção dos números por , zero por e a operação« » « »R 0« »sucessor por , os axiomas pretendem caracterizar (a menos de isomorfismo)=estruturas da forma , onde e . Existindo uma única (aÐRß ß R Ä R= =0 0Ñ − R Àmenos de isomorfismo) estrutura destas satisfazendo os axiomas, a uma qualquerdelas poderá chamar-se um Os axiomas em questãosistema de números naturais.podem ser formulados do seguinte modo, com variáveis , para números e 7 8 \« »para conjuntos (de números ):« »

DP . ," a8 Ð 8 Á= 0ÑDP . ,# a7a8 Ð 7 œ 8 7 œ 8Ñ= = Ê

DP . $ a\ Ð0 .− \ • a8 Ð8 − \ 8 − \Ñ R © \ÑÊ Ê=

O terceiro axioma de Dedekind, chamado o (no qual se baseiaaxioma de induçãoo conhecido [demonstração por] ) é um axioma clara-método de indução matemáticamente conjuntista (ou de segunda ordem), e constitui a maneira original que Dedekindconcebeu para excluir do conjunto intencional dos números naturais , , objectos« » R« »estranhos no sentido de não obteníveis a partir de por iteração finita da operação0=, quer dizer, excluir de todos os objectos que não fossem de uma das formas R 0,= ==0, 0, ....

5 «Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), tradução inglesa em» Essays on the theoryof numbers, Dover, 1963, e em Ewald ([115]). Esta axiomática é mais conhecida poraxiomática de Peano. ArithmeticesA versão utilizada e divulgada por G. Peano no trabalho principia, publicado em 1889, embora formulada em moldes diferentes dos de Dedekind é,todavia, essencialmente equivalente à formulação de Dedekind, e o próprio Peano reconhe-ce ter apreciado muito aquele opúsculo de Dedekind.


Chamemos a todo o conjunto tal queindutivo \

0 − \ a8 Ð8 − \ 8 − \Ñ• Ê =

O axioma (DP ) diz que, sejam os elementos de o que forem, eles são comuns a$ Rtodos os conjuntos indutivos e, na verdade, será o mais pequeno conjunto indutivo.ROra, em podemos definir o conjunto dos números naturais por meio da condiçãoZFC

B Í a\ Ð\ é é , um número natural indutivo Ê B − \Ñ

tendo previamente definido

\ Í ! − \ • aB ÐB − \ B − \Ñ é , indutivo Ê W

onde agora (conjunto vazio) e é a operação no universo definida por! gœ WWB B ÖB×œ . Admitindo que existe um conjunto indutivo ( )axioma do infinitopodemos demonstrar, então, que existe um único conjunto cujos elementos sãoexactamente os números naturais, que se denota habitualmente [e demonstra-se,também, que os números naturais assim definidos são exactamente os ordinais(cardinais) finitos].

Bem, sabemos qual era a intenção de Dedekind, e sabemos como ela se realiza emZFC. Mas este não é o fim da história. Na realidade, a história apenas começou De...facto, parece ter escapado a Dedekind e a muitos matemáticos depois dele (Cantor,Weierstrass, Hilbert, ) a seguinte possibilidade: o conjunto indutivo tem... todo \elementos estranhos , isto é, que não são de uma das formas , , , Neste« » ... .! ! !W WWcaso, é óbvio que também haverá elementos estranhos em ! São números naturais,« » pois são elementos de , todavia não podem ser representados individualmente, comoo são , , , e, além disso, tão pouco podem ser definidos por! " ! # !œ œW WW ...alguma condição na linguagem de , pois para definir é de uma das formas , ,ZFC «B ! "#, teríamos de recorrer a uma disjunção infinita...»

B œ ! ” B œ " ” B œ # ”â

Que fazer? No quadro da matemática clássica nada se pode fazer, e nada se fezdurante três quartos de século, exceptuando, aqui e além, a constatação de umapossível discrepância entre os conceitos intuitivos e os conceitos formais de« » « »número , finito , etc. e, bem entendido, os desenvolvimentos da lógica mate-6

mática, desde os metateoremas de incompletude de Gödel (1931) aos modelos não

6 É de Poincaré a frase seguinte (comunicação oral por Francine Diener): «Voilà pourquoiles axiomes de M. Zermelo ne sauraient me satisfaire.( ) L’auteur a cru éviter le paradoxe…du plus grand cardinal, en s'interdisant toute spéculation en dehors de l’enceinte d’uneMenge bien close; ( ). Mais s’il a bien fermé sa bergerie, je ne suis pas sûr qu’il n’y ait…pas enfermé le loup.», (1913).Dernières Pensées

Igualmente curiosa, a este respeito, é a frase seguinte, de N. Bourbaki: «( ) Les…mathématiciens paraissent d'accord pour [en] conclure [aussi] qu’il n’y a guère qu'uneconcordance superficielle entre nos conceptions «intuitives de la notion d'ensemble ou»d'entier et les formalismes qui sont supposés en rendre compte; le désaccord commencelorsqu’il est question de choisir entre les uns et les autres.», Éléments d’Histoire desMathématiques, Hermann, 1960, p. 62.


standard da aritmética e da Análise (Skolem, Robinson) que serviram de base àsprimeiras versões da Análise Não-Standard (v. Apêndice B). Recentemente, porém, omatemático americano E. Nelson mostrou como tirar partido daquela possibilidadeampliando conceptual e axiomaticamente a matemática clássica (formalizada emZFC). Conceptualmente, acrescenta-se um novo predicado primitivo à linguagem de7

ZFC, o predicado unário Quando restringido a , este predicado divide ostandard. conjunto dos números naturais em duas classes disjuntas, a classe dos naturais stan-dard (intencionalmente, os naturais , , , ) e a classe dos naturais não-standard.! " # ...Dizemos bem e não pois adviriam contradições daclasse (própria) conjunto suposição de que alguma daquelas classes é conjunto. Além disso, nenhum axiomanos habilita a concluir que alguma daquelas classes é conjunto — os axiomas deseparação de continuam a aplicar-se somente a condições na linguagem primi-ZFCtiva, não contendo o novo predicado . Aos axiomas de juntam-se trêsstandard ZFCnovos axiomas apenas, os axiomas de , da e da transferência idealização stan-dardização. A nova teoria, que estende (consistentemente!) foi chamada porZFCNelson de e designada . Seria mais justa ateoria dos conjuntos internos ISTdesignação . Apresentamos esta teoria nas secções seguintes e fazemos, emZFNCcapítulos posteriores, algumas aplicações.

O essencial sobre os axiomas de encontra-se exposto no Apêndice A. AZFCdiscussão acima encontra-se largamente desenvolvida no Apêndice B. A leitura destesapêndices é dispensável, mas ajuda bastante a evitar, por antecipação, certas dúvidas eperplexidades que não deixarão de surgir ao longo do texto, especialmente nassecções iniciais. As referências bibliográficas encontram-se no final.

1.4 Exercícios e problemas1. (a) Prove que para qualquer conjunto , ;\ \ − E \ © EÊ -(b) Prove que não existe nenhum conjunto ao qual pertencem todos os conjuntos

singulares (isto é, da forma , para algum ).ÖB× B

2. Complete a demonstração do Lema 1.2.

3. Prove que é um ordinal limite sse .! " " ! " !a Ð " ÑÊ

4. Seja um conjunto indutivo. Prove que:\

(a) é indutivo;\ ORD

(b) é indutivo é o mais pequeno ordinal limite . œ Ö\ \ × Á !+ À

7 Internal set theory: a new approach to nonstandard analysis, , Bull. Amer. Math. Soc.83(6), 1977, 1165-1198.


§2. Axiomática de Nelson I: Idealização

Para axiomatizar a teoria (ou ) procede-se como segue:IST ZFNC

(i) expande-se a linguagem primitiva de com um novo símbolo predicativo_ ZFCunário (abreviadamente ), estandard st

(ii) junta-se três novos esquemas de axiomas aos axiomas de .ZFC

Designamos por a nova linguagem, e chamamos , ou_w conjuntos internossimplesmente às variáveis. lê-se é standard . Os conjuntosconjuntos stÐBÑ « »Bdividem-se, pois, em duas classes disjuntas: a classe dos conjuntos standard, , e aSTclasse dos conjuntos não-standard, . As fórmulas de que não envolvem o novoNST _w

predicado são, pois, as fórmulas de , ditas ou , e as fórmulas dest internas clássicas__w que envolvem o novo predicado (ou os conceitos que elas definem) dizem-seexternas externos( , respectivamente).

Os axiomas de permanecem tal e qual, formulados na linguagem . EmZFC _particular, nos axiomas de separação, só se garante que a classe ÖB − E À9 9ÐBß + ß ß + Ñ× ÐBß + ß ß + Ñ" 8 " 8... ... é conjunto para interna, isto é, na linguagem ,_enquanto pode ser um conjunto qualquer, standard ou não-standard, e analogamenteEpara os parâmetros , , (se alguns houver). Por conseguinte,+ +" 8...

2.1 Princípio de extensão da matemática clássicaAs definições, construções e os teoremas da matemática clássica permanecem

válidos em .ZFNC è

Mas haverá, adicionalmente, definições, construções e teoremas que não podemser dadas ou demonstrados classicamente (por envolverem de maneira essencial onovo predicado ou os novos axiomas). E também haverá novas demonstrações destteoremas clássicos — somente essas são equivalentes a demonstrações clássicas, emvirtude do facto de ser uma extensão conservativa de . Em particular, osZFNC ZFC8

conjuntos clássicos , , etc. são conjuntos internos construídos ou definidos exacta- ‘mente da mesma maneira que em mas, neles como em outros conjuntos internosZFCinfinitos, existem, como veremos, elementos não-standard, pois o novo predicado stpermite fazer distinções, entre os elementos (internos) dos conjuntos (internos), quenão era possível fazer na linguagem de . Isto é uma consequência não apenas doZFCmaior poder expressivo da linguagem mas também dos novos axiomas. Psicologi-_w

camente, esta situação pode, de início, criar uma sensação de estranheza — conjuntosa que estamos habituados revelam-se, de repente, com novas propriedades eelementos de uma espécie nova que nada, classicamente falando, fazia prever. Afinal

8 Quer dizer: para toda a sentença da linguagem de , se é um teorema de ,9 9_ ZFC ZFNCentão é um teorema de . V. Nota 53 (p. 137) e Nelson [ ].9 ZFC 250


de contas, porém, sempre lá estiveram escondidas(os) sob um manto diáfano mas...invisível ao olhar clássico.

Antes de formular os novos axiomas introduzimos algumas abreviaturas muitoúteis. Seja uma condição na linguagem , possivelmente com parâmetros:9ÐBÑ _w

a

b

a

b

a

st

st

fin

fin

stfin

B ÐBÑ aBÐ

B ÐBÑ

B ÐBÑ aBÐ

aBÐ

9

9

9

abrevia ,» ,» ,» ,»

ststfinitofinitos

ÐBÑ Ê ÐBÑÑ

bBÐ ÐBÑ • ÐBÑÑ

ÐBÑ Ê ÐBÑÑ

B ÐBÑ bBÐ ÐBÑ • ÐBÑÑ

B ÐBÑ

9

9

9

9 9

9 t finitost finitoÐBÑ • ÐBÑ Ê ÐBÑÑ

B ÐBÑ ÐBÑ • ÐBÑ • ÐBÑÑ

9

9 9

,,bstfin bBÐ

onde é uma condição em que exprime é finito .finito ÐBÑ B B« »Seja uma relação binária interna, definida no universo (digamos, por umaV

fórmula , possivelmente com parâmetros) ou num conjunto dado . Dizemos9ÐBß CÑ Eque é sse para todo o conjunto finito standard existe um objectoV JconcorrenteC œ C VÐBß CÑ B − J VJ tal que para todo . E dizemos que é sse existe9 idealizável um objecto tal que para todo o standard., VÐBß ,Ñ B

AXIOMAS DE IDEALIZAÇÃO (I)Para toda a relação interna , é concorrente sse é idealizável.V V V

Formalmente:

(I) a astfin stJ bC aB − J VÐBß CÑ Í b, BVÐBß ,Ñ

F Fy

bst

x

x' x

x'

x''F' yF'

Concorrência Idealização

Fig. 1 Concorrência e idealização

9 Esta definição de concorrência «inverte a ordem dos termos relativamente à definição»habitual na literatura, isto é, é concorrente no nosso sentido sse a inversa éV V"

concorrente no sentido habitual, por exemplo em Diener e Reeb [377], p. 26.


Comecemos por motivar este axioma no caso particular da relação em , quer dizer, no caso da relação interna definida porVÐBß CÑ

B − • C − • B C ,

que esteve na base da formulação geral (I), para melhor entendermos o seusignificado. De facto, se, intencionalmente, queremos que os naturais não-standardcorrespondam aos infinitamente grandes e os naturais standard aos naturais« »ordinários , deverá ter-se, para qualquer natural infinitamente grande ,.

astB − ÐB Ñ . . (2.1)

Um tal , se existir, será necessariamente não-standard ( ideal ), por ser maior do que. « »todos os naturais standard. Que propriedade da relação permite garantir aexistência de um tal ? Nelson descobriu que tal propriedade é a propriedade de.concorrência: que [tome-se ], ou seja, notandoast8 − bC − Ð8 CÑ C œ 8 " que sse (onde ), e admitindo que8 C aB − M ÐB CÑ M Ö7 − ! Ÿ 7 Ÿ 8×8 8 œ À8 − M é standard sse é standard e todos os subconjuntos (necessariamente finitos)8

de são standard (o que há-de ser demonstrado), queM8

(2.2) . (2.2)astfinJ © bC − aB − J ÐB CÑ

Note-se que esta propriedade é verdadeira: para todo o conjunto finito —J © a fortiori, para todo o conjunto finito e standard — existe que majoraJ © 8estritamente , por exemplo, . Logo, por (I), tem-se o seguinteJ 8 œ maxJ "resultado:

2.2 LemaExiste um número natural maior do que todos os números naturais standard.è

Um número natural maior do que todo o número natural standard também se dizum número natural ou (abreviadamente, ig). Veremosilimitado infinitamente grande que, na verdade, todo o número natural não-standard é ilimitado. Os números naturaisstandard também são chamados, por isso, números naturais limitados.

Mais geralmente, abreviemos em , ou simplesmenteaB − J VÐBß CÑ J « CV

J « C V V, se não houver confusão possível sobre . A concorrência de significa entãoque , ou seja, uma espécie de majoração local de cada conjuntoastfinJ bC J « C « »standard finito por um elemento relativamente à relação , enquanto aJ C œ C «J V

idealização significa a existência de um majorante absoluto em relação aos« »elementos standard, um elemento tal que , ou seja, tal que , BVÐBß ,Ñ «ast ST .V ,

Esta analogia é particularmente visível quando é a relação no universo.V −Neste caso, é simplesmente a relação de inclusão ordinária . Como, trivial-« ©mente, , isto é, , concluimos, por (I), quea astfin stfinJ bC aB − JÐB − CÑ J bC ÐJ © CÑb, B ÐB − ,Ñast , isto é, que Este resultado pode ser refinado, considerando, emST .© ,vez de , a relação interna definida porB − C VÐBß CÑ

B − C • finito .ÐCÑ


2.3 Teorema de NelsonExiste um conjunto finito tal que STJ © J .

Dem. Trivialmente [dado , tome-seastfinJbCaB − J ÐB − C • JfinitoÐCÑÑC œ J ], ou seja

astfinJbC ÐJ © C • finitoÐCÑÑ,10

donde, por (I), , ou seja, equivalentemente, b, B ÐB − , • b,Ð Ba ast stfinitoÐ,ÑÑÐB − ,Ñ • finitoÐ,ÑÑ.è

Veremos adiante, como consequência de um outro axioma (transferência), que umconjunto finito tal que é necessariamente não-standard, e contém também,J ST © Jnecessariamente, elementos não-standard, logo a inclusão é própria: ST .§ J

O teorema de Nelson é um teorema-chave nas aplicações à Análise, e não só, masé normalmente aplicado na formulação menos geral seguinte:

2.4 Teorema de Nelson RestringidoPara todo o conjunto existe um conjunto finito contendo todos osE J © E

elementos standard de .E

Dem. Basta aplicar (I) à relação B − C • C © E • finito .ÐCÑ è

Por exemplo, se e , o conjunto (segmento inicial determinado por )E œ 8 − 8

W œ Ö7 − 7 8×8 À

é finito. Em particular, se é não-standard, é finito e contém todos os naturais8 œ W/ .

standard (está ainda por demonstrar que um natural não-standard é maior do que todoo natural standard — ver adiante, corolário 3.7).

Se , é um natural não-standard e, para cada E œ Ò!ß "Ó § 3 −‘ / œ conjuntodos naturais positivos, , então existe um conjunto finito contendoB œ J § Ò!ß "Ó3

3/

todos os reais standard do intervalo : o conjunto , com Ò!ß "Ó Ö!ß B ß ß B ß "× "" ... /" /elementos. De facto, cada intervalo contém, quando muito, um real standard.ÒB ß B Ó3 3"

(V. adiante, 5.14)Outra aplicação muito importante de (I) é a seguinte:

2.5 TeoremaEm todo o conjunto infinito existem elementos não-standard.

10 Estamos utilizando a equivalência lógica

aB − JÐB − C • finito finitoÐCÑÑ Í aB − JÐB − CÑ • ÐCÑ,

válida por não ser livre na fórmula De futuro omitimos tais indicações deB finito ÐCÑÞnatureza lógica.


Dem. Seja infinito e consideremos a relação interna definida porE VÐBß CÑ

B − E • C − E • B Á C.

V J C aB − J é concorrente: para todo o conjunto standard finito , existe tal que ÐB − E • C − E • B Á CÑ J E E C − E, pois, sendo finito mas infinito, existe diferente de todos os . Por (I), é idealizável: existe diferente deB − J E V , − Etodos os elementos standard de .E è

2.6 CorolárioSe todos os elementos de um conjunto são standard então é finito.E E è

Veremos adiante que, na realidade, um conjunto é standard e finito sse todos osEseus elementos são standard (teorema 3.4).

Já sabíamos, por 2.2, que havia em elementos não-standard, pois, se é um Bnúmero natural maior do que todos os números naturais standard, não é standardB(caso contrário, ). Recorde-se o em :B B Princípio de Mínimo

se , então bB − ÐBÑ bB − Ð ÐBÑ • aC − ÐC B Ê c ÐCÑÑ9 9 9

[« » não em ], que resulta do facto de todo o subconjunto não vazio de terC ÐBÑ9 elemento mínimo (por ser uma boa ordem em ). Devemos ter cuidado, porém, e não inferir que existe um número natural não-standard mínimo É que, como...veremos, a classe dos números naturais não-standard e, é claro, anão é conjuntoclasse dos naturais standard também não é conjunto — quer uma quer outra sãodefinidas à custa do predicado , não podendo, pois, invocar-se um axioma destseparação de . Em geral, para um conjunto arbitrário (possivelmente infinito)ZFC 11 Enão devemos falar do conjunto dos elementos standard de pois, na verdade, pode« »Enão existir tal coisa, tecnicamente falando (por muito que custe à intuição e aos(maus) hábitos de pensar nos conjuntos em termos intuitivos ou cantorianos). Mas,como já vimos (teorema de Nelson restringido), existe um conjunto finito J © Econtendo todos os elementos standard de e, em geral, outros elementos também.EEsta propriedade de finitude torna-se talvez mais plausível se encararmos intuitiva-« »mente o conceito como significando acessível , observável , individual-standard « » « » «mente definível — atendendo às nossas limitações (de espaço, tempo, etc.) os»elementos observáveis de um conjunto constar de um conjunto finito...« » E devem

2.7 Exercícios e Problemas1. Seja ilimitado. Prove que toda a aplicação injectiva de em si próprio8 − W 8

é sobrejectiva.

2. Dê um ou dois exemplos de propriedades ou condições externas (isto é,envolvendo o predicado ) que definem conjuntos por separação.st

11 Ignorar isto é incorrer numa . Pese embora o facto de a maioria doscolectivização ilícitaautores se referirem a tais classes como , designação que preferimos evitar deconjuntos externostodo nas Partes I e II, pois um «conjunto externo não é, em geral, um conjunto. V. Nota 14.»


3. Admitindo que é standard, que e que a soma, o! a8 − Ð Ð8Ñ Ê Ð8 "ÑÑ st stproduto e a potência de naturais standard é standard (v. 3.2 adiante), considere oenunciado do todo o natural TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: 8 "pode-se decompor de uma única maneira num produto de factores primos

8 œ : ‚â‚ :! 5/ /! 5

com primos, para 0, , , 0.: : : − 3 œ 5 5 ! # 5 3... .../ ™ (inteiros positivos)Tomando ilimitado, pode afirmar que:8

(a) algum é ilimitado? (b) algum é ilimitado? (c) é ilimitado?: 53 3/

4. (J. Mahwin) Seja um conjunto, . Uma \ œ ÖB − B !×‘ ‘ À microréguasobre é\ uma aplicação tal que para toda a função standard7 \ ÄÀ ‘

0 \ Ä aB − \ Ð7ÐBÑ Ÿ 0ÐBÑÑ \À ‘ se tem . Prove que para todo o conjunto existe uma microrégua sobre . [Sugestão: considere a relação interna\ 12

VÐ0ß7Ñ Í 7 − E • 0 − E • aB − \ Ð7ÐBÑ Ÿ 0ÐBÑÑ,

onde é o conjunto das aplicações de em .]E œ Ð Ñ \\ ‘ ‘

§3. Axiomática de Nelson II: Transferência

Introduzimos seguidamente os axiomas que estabelecem o elo de ligaçãofundamental entre o universo dos objectos standard e o universo todo.« »Necessitamos, porém, de uma convenção preliminar.

No decurso do desenvolvimento de uma teoria como vão sendo introduzidosZFCsímbolos definidos diversos, em particular constantes como , , , etc. Dizemos queg $ uma fórmula interna [abreviatura de , ou de , se somente 9 9 9ÐBß CÑ ÐBß C ß ß C Ñ ÐBÑ Bt " 5...é livre em ] é se as constantes que nela ocorrerem (se algumas) forem9ÐBÑ standardstandard (isto é, denotarem conjuntos standard). Se em ocorrer alguma9ÐBß CÑtconstante não-standard, ou se for uma fórmula externa (isto é, com ocorrência9ÐBß CÑtde ), não é uma fórmula standard. É claro que os axiomas de sãost 9ÐBß CÑt ZFCfórmulas (sentenças, até) standard, pois são internas e nelas não ocorre nenhumaconstante (ou podem ser formuladas dessa maneira ).13

12 Pode-se provar, utilizando um axioma de transferência (secção seguinte) que para todo oconjunto standard existe uma microrégua standard sobre (v. Ex. 3.8.11).\ \13 Estamos a pensar, nomeadamente, no axioma do infinito (v. Apêndice A) que éformulado habitualmente em termos de conjuntos indutivos, os quais, por sua vez, sãodefinidos em termos de , da operação de sucessor no universo, etc. é um exercício degrotina a formulação de tal axioma sem utilização de qualquer conceito definido.


AXIOMAS DE TRANSFERÊNCIA (T)Para toda a fórmula interna standard , com variáveis livres como9ÐBß CÑt

indicadas,

(T) . a t a t Ê tst stC Ð B ÐBß CÑ aB ÐBß CÑÑ9 9

Equivalentemente (contrapondo a implicação)

(T ) .w a t t Ê b tst stC ÐbB ÐBß CÑ B ÐBß CÑÑ9 9

Quer dizer: uma propriedade interna (com parâmetros e constantes standard, sealguns houver) satisfeita por todos os objectos standard é satisfeita por todos osobjectos, standard e não-standard. Equivalentemente, uma tal propriedade satisfeitapor algum objecto é satisfeita por algum objecto standard. Esta última formulação éutilizada na demonstração do resultado seguinte e de muitos resultados análogos (3.2).

3.1 TeoremaO conjunto vazio é standard.

Dem. O axioma do conjunto vazio afirma que e, por extensionali-bBaC ÐC Â BÑdade, tem-se que , designando-se por o único conjunto tal que b BaC ÐC Â BÑ g B aC"

ÐC Â BÑ BaC ÐC Â BÑ B aC. Por (T ), mas, por unicidade, um standard tal que w bst

ÐC Â BÑ g g é necessariamente idêntico a , logo é standard.è

Analogamente, por possuírem definições clássicas (internas e standard), são stan-dard os conjuntos , , , , , , , , , , (com standard), , as" # $ 8 Ð Ñ ™ ‘ ‚ ‘ ‘ ‘

# 8 Tfunções reais ou complexas seno, coseno, , o espaço das funções contínuasexpV ‘ ‘Ð ß Ñ, etc., etc. Em geral:

3.2 Princípio de unicidade (Definição de objectos standard)Todo o objecto da matemática clássica individualmente definível por uma( ) ZFC

fórmula interna standard (possivelmente com parâmetros standard) é standard.è

Formula-se por vezes quer (T) quer (T ) com « » no lugar de « », o quew Í Ênada acrescenta em poder dedutivo aos axiomas de transferência, já que asimplicações

aB ÐBß Ñ B ÐBß Ñ B ÐBß Ñ bB ÐBß Ñ9 9 9 9... ... ... ...Ê a b Êst st,

são universalmente válidas ( o que vale para todos vale, em particular, para os stan-«dard , e se algum standard , então algum ).» « ... ...»

Por outro lado, antes de aplicar um axioma de transferência numa qualquer dasformas (T) ou (T ) é muito importante verificar se a fórmula é interna standardw 9ÐBß CÑte os parâmetros que porventura ocorrerem na fórmula foram restringidos a valoresstandard. A violação de alguma destas restrições dá lugar a uma ,transferência ilícitaquase certamente fonte de contradições que há que evitar.


3.3 Teorema (Extensionalidade externa)Se e são conjuntos standard com os mesmos elementos standard entãoE F

E œ F.

Dem. Sejam , conjuntos standard com os mesmos elementos standard, isto é,E Ftais que

astB ÐB − E Í B − FÑ.

A fórmula é interna com parâmetros standard (os parâmetros e )B − E Í B − F E Flogo, por (T),

aB ÐB − E Í B − FÑ

e portanto e têm os mesmos elementos (standard e não-standard), logo, porE Fextensionalidade, .E œ F è

É óbvio, por outro lado, que se os conjuntos e , standard ou não-standard, sãoE Figuais, então eles têm os mesmos elementos, standard e não-standard — isto ésimplesmente uma propriedade lógica (axioma) da igualdade, a substituibilidade(coisas iguais têm as mesmas propriedades).

Nos exercícios encontram-se outras aplicações simples (no estilo da demons-tração anterior) dos axiomas de transferência [(T) ou (T )].w

Reforçando o corolário 2.6:

3.4 TeoremaPara qualquer conjunto , são equivalentes:E

(a) é standard e finito,E

(b) todos os elementos de são standard.E

Dem. Comecemos por estabelecer a equivalência

(3.1) .aB − E Í J ÐE © JÑstÐBÑ bstfin

Com efeito, tem-se

bB − Ec ÐBÑ Í bB − E C ÐB Á CÑ

Í J bB − EaC − J ÐB Á CÑ

Í J bB − E ÐB Â JÑ

Í J ÐE ©Î JÑ

st a

a

a

a

st

stfin

stfin

stfin

, por (I)

,

donde (3.1), por contraposição.Suponhamos, então, que é standard e finito. Por (3.1) [tomando ] vemE J œ E

que todo o elemento de é standard, o que prova (b).EAdmitindo agora (b), novamente por (3.1) vem que existe standard e finito talJ

que , logo é finito e , mas também é standard (por 3.2) eE © J E E − ÐJÑ ÐJ ÑT Tfinito, logo é standard, pela parte já demonstrada, o que prova (a).E è


3.5 CorolárioSeja um conjunto standard infinito, tal que EntãoE F © E astB − E ÐB − FÑ.

existem elementos não-standard em .F

Dem. Pois, se em houvesse somente elementos standard, seria standard eF Ffinito, pelo teorema, logo seria também standard (por 3.2); mas não teriaE Ï F E Ï Felementos standard, atendendo à hipótese de que os elementos standard de estão emEF E Ï F œ g F œ E, logo , por extensionalidade externa (3.1 e 3.3), donde , o que éabsurdo, pois é infinito.E è

Particularizando no corolário anterior, definamosE œ

5 œ ÀÖB − stÐBÑ×,

que é a (externa!) . Esta classe não é conjunto:classe dos números naturais standardse fosse conjunto, seria um conjunto tal que e , logo, peloF F © B − ÐB − FÑ ast

corolário anterior, existiriam em naturais não-standard, o que é absurdo.F 14

3.6 CorolárioSe é um conjunto de números naturais contendo todos os números naturaisF

standard, então contém algum número natural não-standard.F è

3.7 CorolárioTodo o número natural menor do que um número natural standard é standard.

Dem. Suponhamos standard. O conjunto é standard e8 W œ Ö7 − 7 8×8 Àfinito, logo todos os seus elementos são standard.è

Resulta imediatamente que todo o número natural maior do que um númeronatural não-standard é não-standard, como se indicou na secção anterior.

3.8 Exercícios e Problemas1. Prove que: (a) uma função standard é contínua sse é contínua em0 Ä 0À ‘ ‘

todo o ponto standard;(b) uma função standard (digamos , com e standard ) toma0 E Ä F E FÀ 15

valores standard em argumentos standard.

14 A constatação «Um conjunto externo não é interno que, na nossa terminologia, se»redige «Uma classe externa não é conjunto , de que acabamos de ver uma particularização,»é chamada por alguns autores (por exemplo, [103] p. 54) , porPRINCÍPIO DE CAUCHYrazões que é prematuro explicar neste momento.15 Uma função determina univocamente os conjuntos dom e im , que são0 E œ 0 F œ fstandard, se for standard (por 3.2). Será, portanto, , mas também será0 0 À E Ä F0 À E Ä F F ªw w com qualquer im , possivelmente não-standard. Por isso, sempre quefutilizarmos a notação « , com standard, suporemos tacitamente que 0 À E Ä F 0 F»também é standard (o que pode sempre supor-se, já que se pode tomar im )F œ 0 .


2. Prove que: (a) um conjunto standard e majorado em é majorado por\ © ‘ ‘um número real standard;

(b) uma função standard e majorada em é majorada por um número0 ÄÀ ‘ ‘ ‘real standard.

3. Prove que duas funções standard com o mesmo domínio são iguais sse elascoincidem nos argumentos standard.

4. Prove que um conjunto standard tem, pelo menos, um elemento stan-E Á gdard. A propriedade anterior é válida para um conjunto qualquer?E Á g

5. Mostre que dois conjuntos standard são disjuntos sse eles não possuem nenhumelemento standard comum.

6. Prove ou dê contra-exemplos, conforme o caso:

(a) é limitada sse é limitada nos pontos standard;0 Ä 0À ‘ ‘

(b) uma função que toma valores standard em argumentos standard é standard.

7. Seja uma função standard, standard. O conjunto0 E Ä F , − FÀ

0 ÒÖ,×Ó ÖB − E 0ÐBÑ œ ,×1 œ À

é standard? Pode ter elementos não-standard?

8. Sejam standard, e as projecções canónicas de sobre . ProveE © ‘ 1 1 ‘ ‘# #" #

que e são standard. A propriedade recíproca é verdadeira?1 1" #ÒEÓ ÒEÓ

9. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as propriedades seguintes:

(a) a classe dos números reais standard5‘ ‘œ ÀÖB − stÐBÑ×

é majorada em (por um número natural não-standard , por exemplo), logo é‘ /majorada por um número real standard;

(b) toda a função majorada em é majorada por qualquer número0 ÄÀ ‘ ‘ ‘natural ilimitado ./

10. Seja um grupo standard. Prove que para quaisquer elementos stan-ÐKß † ß /Ñdard , de a equação tem uma e uma só solução standard.+ , K + † B œ ,

11. Prove que para todo o conjunto standard existe uma microrégua standard\sobre (v. Ex. 2.7.4).\

12. Existe uma função tal que se e se0 Ä 0ÐBÑ œ B 0ÐBÑ œ B "À ‘ ‘ st ÐBÑcstÐBÑ?

13. Seja com , , e (convencionando que B œ + , − , ! , œ "+, ™ mdc Ð+ß ,Ñ œ "

se ). Prove que é standard sse e são standard.+ œ B œ ! B + ,

14. No plano euclidiano , um ponto é standard sse ambas as‘# T œ ÐBß CÑcoordenadas são standard, uma recta de equação é standard sse , +B ,C - œ ! + ,


e são standard, uma circunferência de equação-

B C #+B #,C - œ !# #

é standard sse , e são standard, etc. Diga se existem, no plano :+ , - ‘#

(a) uma recta sem pontos standard; (b) uma recta só com pontos standard;(c) uma recta com um único ponto standard;(d) uma recta só com dois pontos standard;(e) uma circunferência sem pontos standard;(f) uma circunferência: (i) com uma recta não-standard tangente num ponto não-

standard; (ii) com centro e raio standard com uma recta não-standard tangente numponto standard.

15. Seja um conjunto finito contendo todos os números reais standard.J § ‘Mostre que toda a função standard definida em é inteiramente determinada pelos0 ‘valores que ela toma em .J

§4. Axiomática de Nelson III: Standardização

Os axiomas de standardização que introduzimos nesta secção, conjugados com osaxiomas de idealização e de transferência, permitem explorar o potencial pleno danova teoria. São poderosos, talvez até em demasia, se tivermos apenas em mente ocálculo infinitesimal elementar, mas são indispensáveis, em todo o caso, paracolmatar eficientemente a impossibilidade de colectivização de predicados externos— a impossibilidade, em geral, de formar conjuntos por separação, da formaÖB − E ÐBÑ× ÐBÑÀ 9 9 quando é uma condição externa, isto é, com ocorrência dopredicado .« »standard

AXIOMAS DE STANDARDIZAÇÃO (S)Para quaisquer conjunto standard e condição , interna ou externaE ÐBÑ9

(possivelmente com parâmetros), existe um conjunto standard cujosF © Eelementos standard são exactamente os elementos standard de tais que :B E ÐBÑ9

(S) .a b ast st stE F B ÐB − F Í B − E • ÐBÑÑ9

Dado standard, um conjunto standard tal que E F B ÐB − F Í B − E • ÐBÑÑast 9é único, por extensionalidade externa (3.3) [se standard é também tal que F Bw ast

ÐB − F Í B − E • ÐBÑÑ BÐB − F Í B − F Ñ F œ Fw w w9 então , logo ], denota-seast

StÖB − E ÐBÑ×À 9 ,


e é chamado (externa, se for externa)(conjunto) standardizado da classe 9ÖB − E ÐBÑ×À 9 .

Intuitivamente, os axiomas (S) afirmam que toda a classe (interna ou externa)contida num conjunto standard determina um (único) conjunto standard, o qual pode,porém, não coincidir com ela. De facto, se , F œ ÖB − E ÐBÑ×St À 9 apenas sabemosquais os elementos standard de F E ÐBÑ — são os elementos standard de tais que 9— nada sabemos sobre os elementos não-standard. Em geral, pode haver elementosnão-standard de que não satisfazem , e pode haver elementos (não-standard)B F ÐBÑ9que satisfazem mas não estão em . Alguns autores (por exemplo, Robinson9ÐBÑ F

[282] p. 24) dizem que define o conjunto .9 9ÐBÑ ÖB − E ÐBÑ×implicitamente St À

4.1 Exemplos1) Seja um natural ilimitado. Então/

St StÖB − B × œ ÖB − B × œ g / /À À, e .

De facto, e são ambos standard, e têm os mesmos elementos /StÖB − B ×À

standard, isto é, , pois todo o número natural standardastB ÐB − Í B − • B Ñ /é menor do que qualquer número natural não-standard, donde a primeira igualdade.Analogamente para a segunda.

2) Pelas mesmas razões que acima, , isto é, , eSt StÐ Ñ œ ÖB −5 À st ÐBÑ× œ

StÖB − c À st .ÐBÑ× œ g

3) Seja um conjunto finito contendo todos os números reais standard. EntãoJ

StÐJ Ñ œ‘ ‘.

Pois .astB ÐB − J • B − Í B − Ñ‘ ‘Veremos adiante muitos mais exemplos.

Os dois princípios seguintes, muito úteis nas aplicações, podem-se considerarformas fracas de standardização.

No que segue, abrevia , e analogamente com « », « » oua8 Ð8Ñ a8 − Ð8Ñ b< < ast

« » no lugar de « ».bst a

4.2 Princípio de indução externaPara qualquer condição interna ou externa (possivelmente com9Ð8Ñ

parâmetros),

(IE) 9Ð!Ñ • a Ê Ê ast st8 Ð Ð8Ñ Ð8 "ÑÑ 8 Ð8Ñ9 9 9


Dem. O conjunto é standard, , eG œ Ö8 − Ð8Ñ× © ! − GSt 9 À

a Êst8 Ð8 − G 8 " − GÑ,

logo, por (T), . Pelo princípio de indução matemática em a8 Ð8 − G 8 " − GÑÊ tem-se , donde a conclusão pretendida.G œ è

Este princípio pode-se generalizar aos ordinais.

4.3 Princípio de extensão funcional (Saturação fraca)Sejam , conjuntos standard, uma relação interna ou externa tal\ ] VÐBß CÑ 16

que Então existe uma única função standardastB − \ b C − ] VÐBß CÑ"st . 0 \ Ä ]À a tal que stB − \ VÐBß 0ÐBÑÑ.

Representando por e as classes dos elementos standard de e de ,5 5\ ] \ ]

respectivamente, a hipótese diz-nos que é funcional nos argumentos de VÐBß CÑ \5

com valores em , isto é, que5]

aB − \ b C œ C − ] VÐBß CÑ5 5"B ,

ou seja, que define uma função de em , enquanto a conclusãoV B È C \ ]« »17B

5 5

garante que tal função se prolonga ou estende a uma função standard definida em« »todo o conjunto com valores em , função esta que também se pode designar\ ]sugestivamente por . Note-se que a propriedade recíproca é trivialmente verdadeira:C~se é funcional nos argumentos de com valores em , definindo umaVÐBß CÑ \ ]função standard , em particular ela permanece funcional nos argumentosC \ Ä ]~ Àstandard de com valores standard em . Condensando formalmente e supondo,\ ]sem perda de generalidade, que , obtemosV © \ ]‚

(EF) a ast stB b C VÐBß CÑ Í b C BVÐBß CÐBÑÑ" "st st~ ~ .18

Dem. Seja

K ‚œ ÖÐBß CÑ B − \ • C − ] • VÐBß CÑ× œ V Ð \ ] ÑÀ 5 5 5 5 ,

que é, possivelmente, uma classe externa (se for externa). Em todo o caso, o stan-V

16 Digamos definida por uma condição , interna ou externa, possivelmente com9ÐBß CÑparâmetros.17 Em rigor: uma classe de pares ordenados funcional, possivelmente externa.18 A permutabilidade de quantificadores de espécie diferente é um fenómeno deverasimportante, do ponto de vista matemático, já que, do ponto de vista lógico, uma implicaçãoda forma

aB bC Ê bC aB9 9,

não é, em geral, válida. O Axioma da Escolha tira a sua força de uma tal permutabilidade[se é uma família de conjuntos tal que, para todo o , , entãoQ œ ØQ ÀB − MÙ B − M Q Á gB B

existe uma função com domínio tal que, para todo , ].0 M B − M 0ÐBÑ − QB


dardizado é um conjunto standard contido em (isto é, uma relaçãoStK ‚\ ]

binária) e, por definição de standardizado, ou seja, por (S), tem-se

astB − \ b C − ] ÐBß CÑ −"st StK,

isto é,

a b a Êst st stB − \ C − ] ÐBß CÑ − • C ÐÐBß C Ñ − C œ C ÑŠ ‹St StK Kw w w .

Por (T) e (T ) obtemosw

aB − \ b C − ] ÐBß CÑ −" StK,

o que permite definir uma função standard pondo simplesmente .0 \ Ä ] 0À œ StK

Esta função é tal, que para todo standard em se temB \

ÐBß 0ÐBÑÑ − 0 Í ÐBß 0ÐBÑÑ − Í VÐBß 0ÐBÑÑStK .è

Nas condições e notações do enunciado 4.3 podemos dizer (como [282] p. 28)que a função standard .V 0define implicitamente

Tipicamente, especificado por algum processo (interno ou externo) um númeroreal standard para cada índice natural standard , isto é, uma sucessão? 88 « »? œ Ø? Ù Ä ? Ä ?8 À À5 5 ‘ ‘, existe uma única sucessão standard que estende ,~isto é, tal que

ast8 Ð? œ ? Ñ~8 8

O princípio 4.3 também é chamado o Uma versãoprincípio de saturação fraca. mais forte, sem as unicidades referidas no enunciado, pode ser demonstrada« »invocando, porém, o Axioma da Escolha relativizado aos conjuntos standard (voltare-mos a este assunto mais adiante — v. §8).

Vejamos algumas aplicações típicas dos axiomas de standardização.

4.4 Teorema das Quatro Cores (Caso infinito)A célebre foi demonstrada há pouco mais de duasConjectura das 4 Cores

dezenas de anos (Appel & Haken [5]):

Teorema 4CC (Caso finito)Todo o mapa ou grafo planar finito é 4-colorível.Ð Ñ

Seja . Recorde-se que um é um par ordenado G œ Ö"ß #ß $ß %× ÐKßVÑgrafo planar onde é um conjunto de vértices (pontos de um plano euclidiano) e uma relaçãoK V« » binária em irreflexiva e simétrica (conjunto das arestas ), de tal modo que asK « »arestas só se encontram em vértices, e que uma 4- é uma função coloração 2 K Ä GÀtal que sempre que .2Ð+Ñ Á 2Ð,Ñ VÐ+ß ,Ñ


1

2

3

43

2

3

Fig. 2 Um exemplo de um grafo finito e uma 4-coloração

Utilizando o Teorema 4CC no caso finito, demonstramos o

Teorema 4CC Ð ÑCaso infinitoTodo o grafo planar infinito é 4-colorível.

Dem. Por transferência podemos supor um grafo planar infinito standard.ÐKßVÑ Seja um conjunto finito contendo todos os pontos standard de , (teorema 2.3), eK! Kdefinamos

V V ÐK Ñ! !#œ .

Então é um grafo planar finito que, pelo Teorema 4CC no caso finito, éÐK ßV Ñ! ! 4-colorível, isto é, existe uma 4-coloração . Então0 K Ä GÀ !

astB − K b 3 − G Ð0ÐBÑ œ 3Ñ ."st

Por extensão funcional 4.3 existe uma (única) função standard tal que1 œ 0 K Ä G~À

astB − K Ð0ÐBÑ œ 1ÐBÑÑ 0 . Resulta daqui, por ser 4-coloração, que

a Êsta b a b a b ß − K ÐVÐ ß Ñ 1Ð Ñ Á 1Ð ÑÑ,

logo, por transferência, é uma 4-coloração.1 è

Querendo recorrer directamente a (S) em vez de 4.3, na demonstração anterior,obtida define-se0

1 œ 0 œ ÖÐBß 3Ñ − K G 0ÐBÑ œ 3×~ St ‚ À .

O teorema (e o argumento que o demonstra) generaliza-se a colorações, para5-qualquer standard, na hipótese de todo o grafo planar finito ser -colorível.5 % 5 19

19 O Teorema da Coloração na forma «Se todo o subgrafo finito de um grafo é -colorível,5então o grafo é -colorível é devido a De Bruijn & Erdös 52 mas as demonstrações5 Ò Óß»matemáticas usuais são relativamente complicadas (por exemplo, aplicações do Teorema deTychonoff sobre o produto de espaços compactos, v. 11.5). Segundo Nelson ( p.Ò Ó2501197) a demonstração não-standard foi sugerida por uma demonstração modelo-teoréticade Beth ( 35 ), como pode ser visto em Mendelson p. 118, baseada numa aplicação doÒ Ó Ò Ó240


4.5 Grupos OrdenáveisSeja um grupo abeliano. Um subconjunto gera umº œ ÐKß ß !Ñ L © K

subgrupo de , que é o mais pequeno subgrupo de cujo suporte contém . Oº º Lgrupo é sse existe uma relação de ordem total em compatível comº ordenável K B C D − K, isto é, tal que, para quaisquer , , , B C Ê B D C D.

Teorema ( os, 1954)´Um grupo abeliano é ordenável sse todo o subgrupo finitamente gerado de º º

é ordenável.

Dem. Num sentido é imediato. No outro, basta fazer a prova para standard, porºtransferência. Pelo Teorema 2.3 existe um subconjunto finito de contendo todos osK elementos standard de , o qual, por hipótese, gera um subgrupo ordenável . SejaK »! uma ordem compatível em . Por existe uma relação binária standard em» (S), K B C tal que, para quaisquer elementos , standard,

B C ÐBß CÑ − K • B CÍ # ! ,

donde resulta que, para tais elementos, possui as propriedades devidas. Portransferência, é uma ordem total em compatível com . K è

4.6 O Problema do CasamentoO Problema do Casamento, no caso finito, consiste no seguinte. Seja umL

conjunto finito de homens, um conjunto de mulheres, tais que cada homem conhe-Mce um número finito de mulheres, e quaisquer homens ( ) conhecem5 Ÿ L" Ÿ 5 card entre si pelo menos mulheres. Então é possível casar cada homem de com uma5 Ldas suas conhecidas, de tal modo que ninguém cometa bigamia. Digamos de um talcasamento que ele é ou A existência de um casamento legal prova-legal admissível. se facilmente por indução no cardinal de , o que admitiremos.L

No caso infinito, o resultado correspondente prova-se em Topologia e em LógicaMatemática. Damos a seguir uma demonstração não-standard deste resultado.20

Teorema do Casamento (Caso infinito)Existe um casamento legal para o Problema do Casamento no caso infinito.

Dem. Por transferência, basta demonstrar para , standard, na hipótese deL Qquaisquer homens conhecerem entre si pelo menos mulheres, para stan-5 5 5 "dard. Seja um conjunto finito contendo todos os elementos standard de EntãoL L! .

do Metateorema da Compacidade a certa teoria de primeira ordem. No nosso artigo [256]apresentamos uma demonstração mais simples, utilizando apenas a Compacidade Proposi-cional. Em todo o caso, a ideia «chave desta como de outras aplicações a seguir é afim de»uma de «compacidade . Os axiomas de Nelson parecem especialmente vocacionados para»lidar eficientemente com tais fenómenos de «compacidade .»20 V., por exemplo, Lang 214 , Exercício 22 p. 45. Para historial ver Halmos & VaughnÒ ÓÒ Ó Ò Ó147 . No livro de Mendelson , p. 119, sugere-se uma demonstração modelo-teorética.240


existe um casamento legal Por , existe um casamento standardG Q! © L ‚ . (S)C M© L 2 7‚ tal que para quaisquer , standard

G Í QÐ2ß7Ñ Ð2ß7Ñ − L • G Ð2ß7Ñ‚ ! ,

donde resulta que para qualquer standard em casou legalmente com Ð2ß7Ñ 2 .G 7, Por transferência, é um casamento legal.G è

4.7 Ordens parciais, ÁrvoresÉ sabido que toda a ordem parcial num conjunto finito se pode estender a uma

ordem total. Mostramos, por via não-standard, que também é assim para ordensparciais em conjuntos infinitos.

Teorema de extensão das ordens parciaisToda a ordem parcial num conjunto infinito pode-se estender a uma ordem total.

Dem. Por transferência, basta demonstrar para conjuntos parcialmente ordenadosstandard. Seja um conjunto parcialmente ordenado infinito standard, ÐEß Ñ © A A!

um conjunto finito ao qual pertencem todos os elementos standard de Então A. induz uma ordem parcial em que, por hipótese, se estende a uma ordem total! A!, ! "

w . Por existe um conjunto standard tal que para quaisquer , stan-(S) ÐE ß Ñ B"21 C

dard em A

B C ÐBß CÑ − • B C " ! Í A # w ,

donde, para quaisquer , standard, possui as propriedades características dasB C "

ordens totais e estende . Por transferência, é uma ordem total em que estende " A .è

Recorde-se que uma é um conjunto parcialmente ordenado talárvore ÐEß Ñque para todo o elemento o conjunto dos predecessores de ,+ +− E,

E ÖB − E B +×+ œ À ,

é bem-ordenado por . Se não houver perigo de confusão designamos uma árvorepelo respectivo suporte. Resulta imediatamente da definição que a relação numaárvore é (isto é, todo o subconjunto não vazio possui elementoE bem-fundadaminimal, ou, equivalentemente, não existem cadeias infinitas descendentes), e quepara todo é totalmente ordenado (isto é, uma cadeia) por . Um de+ − E E, + ramouma árvore é uma cadeia sem saltos , isto é, tal queE G © E « »

aBß D − G aC − E ÐB C D C − GÊ Ñ.

Um ramo maximal diz-se um Se e não existe tal que tronco. B C D B D C,C B sucessor imediato . ramificação finitadiz-se um de Uma árvore diz-se de , ou umleque, sse todo o elemento possui quando muito um número finito de sucessores

21 Obtém-se por standardização, e define-se campo dom E œ" " Ð Ñ œ Ð Ñ " "

imÐ Ñ" .


imediatos, e há quando muito um número finito de elementos minimais (chamados as raízes da árvore).

Um tópico importante da combinatória infinita, com ligação à teoria dos grandescardinais, é o da existência de ramos longos e de troncos (Drake [107] Cap. 7, Levy« »[219] Cap. IX; para uma introdução à combinatória infinita v. capítulos finais dasegunda edição de [257]). Um resultado clássico acerca de leques, com muitasaplicações na combinatória infinita e em Lógica [por exemplo, na Teoria da Demons-tração], é o seguinte, numa das versões possíveis:

Lema de König ( )1926Todo o leque infinito possui pelo menos um ramo tronco infinito.Ð Ñ

Mesmo no caso de um leque infinito numerável [caso originalmente consideradopor König [31]), as demonstrações clássicas envolvem uma forma fraca do Axioma daEscolha, sendo mesmo equivalente a tal axioma para conjuntos numeráveis deconjuntos finitos não vazios ([107] p. 203): faz-se uma escolha sucessiva em níveis« »de altura crescente na árvore, numerados pelos ordinais, começando por escolher umaraiz (nível 0) acima da qual haja uma infinidade de elementos, depois um sucessor+! imediato (nível 1) de acima do qual haja uma infinidade de elementos, etc.,+ +" ! obtendo-se assim um ramo infinito numerável

+ + + ! " 8... ... ( ). 8 −

Qualquer tronco contendo este ramo é infinito. Por outro lado, a existência de troncos(contendo um elemento dado) é geralmente demonstrada recorrendo ao LEMA DEZORN [equivalente a ]: num conjunto parcialmente ordenado em que toda a(AC)cadeia é majorada existe pelo menos um elemento maximal. No caso em questãotoma-se o conjunto das cadeias da árvore contendo o elemento dado, respectiva-Ðmente , parcialmente ordenado por .Ñ ©

Damos uma demonstração não-standard muito simples do Lema de König.

Dem. Por transferência, basta demonstrar para um leque infinito stan-ÐEß Ñ dard. Seja um elemento não-standard de O conjunto standard é+ E F E Ñ . œ StÐ +

obviamente um ramo, e é infinito, caso contrário seria sucessor imediato do maior+ elemento standard de , ou seria maior que um sucessor imediato do maiorÐ Ñ Felemento de , o que é absurdo, em ambos os casos.F è

4.8 Compacidade proposicionalMuitas das aplicações precedentes podem ser estabelecidas, classicamente, por

um argumento de compacidade proposicional (v. Nota 19), o que sugere desde logo apossibilidade de uma demonstração não-standard do metateorema de compacidadeproposicional. Ter-se-ia, assim, uma aplicação da matemática não-standard à lógica,interessante reviravolta metodológica se tivermos em conta as origens lógicas daAnálise Não-Standard (v. Apêndice B).


Comecemos por recordar os ingredientes básicos, sintácticos e semânticos, dalógica proposicional para o fim em vista, aqui representados ou codificados comoobjectos e relações conjuntistas.

Seja um conjunto não-vazio qualquer (por exemplo, um ordinal não nulo),MT œ Ö 3 − M×:3 À um conjunto a cujos elementos chamamos letras proposicionais(por exemplo, os pares com ). A ,Ðgß 3Ñ 3 − M linguagem proposicional sobre TP œ P ÐTÑ T9 9 tem como os elementos de e os conectivos proposicionaissímbolosc • ”ß , e (em tipo grosso, para distinguir dos símbolos da linguagem de Ê _w

ZFNC), que se podem identificar com certos conjuntos, por exemplo , , e . Uma# $ % &expressão de éP9 simplesmente uma sucessão finita de símbolos deØ= ß = ß ß = Ù! " 8...P g I œ IÐTÑ9. A é a sucessão vazia, . é o conjunto das expressõesexpressão vaziade . O conjunto das , ou , Prop ,P ÐTÑ9 fórmulas de fórmulas proposicionais sobre P T9

é o mais pequeno conjunto de expressões que contém as letras proposicionais e éfechado para as operações conjuntistas (no conjunto )I

5 5 5 7 5 7È ÈØ ß Ù Ð ß Ñ Ø ß ß Ùc •, ,

e analogamente para e . abrevia-se , abrevia-se ,” c c • Ð • ÑÊ Ø ß Ù Ø ß ß Ù5 5 5 7 5 7etc. Por serem sucessões finitas de conjuntos, as fórmulas de possuem aP9

propriedade de o que, algebricamente, significa queunicidade de representação Prop é livremente gerado pelas operações , e com base (v. [111]ÐT Ñ ß Tc • ” ÊCap. 1, ou [129] Cap. 2). Isto arruma a sintaxe de .P9

Note-se que, se é standard, então os conjuntos , Prop , e são standardT I ÐTÑ Z Ftambém, e que Prop é infinito, mesmo que seja finito, logo existem fórmulas deÐT Ñ TP9 não-standard.

Quanto à semântica, fixamos 0 e 1 como . Uma umavalores lógicos valoração éaplicação ; é o conjunto das valorações. Uma@ T Ä Ö!ß "× Z œ Z ÐT Ñ Ö!ß "×À œ T

valoração booleana é uma aplicação Prop tal que, para quaisquer@ ÐT Ñ Ä Ö!ß "×s Àfórmulas se tem sse , sse e , etc.5 7 5 5 5 7 5 7ß @ œ " @ œ ! @Ð Ñ œ " @ œ " @ œ "s s s s sc •F œ FÐTÑ é o conjunto das valorações booleanas. A conhecida técnica de construçãode tabelas de verdade corresponde à propriedade de que « » toda a valoração @estende-se de uma e uma única maneira a uma valoração booleana que, por essarazão, continuamos a designar por . Dizemos que ou é@ @ − F satisfaz um modelo de5 5− ÐTÑ @ œ " @Prop sse , e dizemos que é um modelo de um conjuntoD © Prop sse satisfaz todas as fórmulas de .ÐT Ñ @ D

Teorema da compacidade proposicionalUm conjunto possui um modelo sse toda a parte finita de O O© Prop ÐT Ñ

possui um modelo.

Dem. A condição é obviamente necessária. Para provar que ela é suficientepodemos supor, por transferência, que e são standard. Suponhamos que toda aT Dparte finita de possui modelo. Seja um conjunto finito contendo todas asD ? D©fórmulas standard de . Por hipótese, possui um modelo, digamos , quer dizerD ? @


@ − FÐTÑ a − Ð@ œ "Ñ e . Então5 5?

ast st5 5− b 3 − Ö!ß "× Ð@ œ 3ÑD ,"

donde, por extensão funcional, existe uma função standard tal queA Ä Ö!ß "×À D

( ) , logo .‡ − Ð@ œ A Ñ − ÐA œ "Ña ast st5 5 5 5 5D D

Por transferência, tem-se . Para , definimos ea − ÐA œ "Ñ Â A œ @5 5 5 5 5D Dassim temos definida em Prop . Falta ver que . Com efeito, para todoA ÐTÑ A − F5 5− ÐTÑ ‡ @Prop standard, é standard, logo, por ( ) e por ser booleana,c

A œ " @ œ " @ œ ! A œ !c c5 5 5 5 sse sse sse .

Quer dizer, Prop sse donde, por transferência,ast5 5 5− ÐTÑ ÐA œ " A œ !Ñca − ÐT Ñ ÐA œ " A œ !Ñ Þ5 5 5Prop sse . Analogamente para , e Portanto,c • ” ÊA é um modelo de .D è

4.9 ObservaçãoA demonstração anterior foi feita em , isto é, o Axioma daZFN sem utilizar

Escolha (AC). Ora, é sabido (v. [182]) que o teorema da compacidade proposicional[para , com arbitrário] é equivalente, em , a diversas proposições da lógicaP ÐTÑ T9 ZFmatemática e matemáticas importantes, entre as quais o TEOREMA DOS ULTRA-FILTROS (UF) (v. Apêndice B) que se sabe, no entanto, ser estritamente mais fracodo que (AC), embora independente de . Assim, a demonstração acima mostra queZFZFN ZF é, pelo, menos, tão forte quanto + (UF), com respeito a sentenças internas!Qual é, exactamente, a força dedutiva da teoria é questão em aberto (v., noZFNentanto, [167]). Poderá 8.3 (saturação forte, v. secção 8) ser demonstrado já em ?ZFNPara a aritmética não-standard, porém, questões análogas já foram estudadas erespondidas (v. adiante). Por outro lado, a demonstração acima do teorema dacompacidade proposicional é indicativa das potencialidades da matemática não-standard (axiomática de Nelson) no domínio das aplicações à Lógica Matemática.

4.10 Exercícios e Problemas1. Seja um número natural ilimitado, . Quais dos conjuntos8 œ& 1

8

E œ ÖB − B × F œ ÖB − B × G œ ÖB − B Ÿ !× & & À À À, , St

são standard, e quais as relações entre eles? [ e têm os mesmos elementos stan-F Gdard; pense num supremo de ; (pense em ) .]E G § E Î#& 22

2. Seja a relação binária em definida porV « »

VÐBß CÑÀ ÍC œ BC œ B " c ÐBÑœ se

se .st

stÐBÑ

22 é um exemplo de um racional infinitesimal positivo: para todo natural standard& 7positivo, . Tais números são definidos e estudados no capítulo seguinte.& 7


Mostre que define implicitamente a identidade em ,V

id œ ÖÐBß BÑ B − ×À .

3. Enuncie e demonstre um princípio de indução completa externa em .[Recorde o ordinário, numa das versõesPRINCÍPIO DE INDUÇÃO COMPLETA(equivalentes)

(IC ) ," a8 a7Ð7 8 Ð7ÑÑ Ð8Ñ a8 Ð8ÑŠ ‹Ê Ê Ê9 9 9

(IC ) . ]# 9 9 9 9Ð!Ñ • a8 a7Ð7 Ÿ 8 Ð7ÑÑ Ð8 "Ñ a8 Ð8ÑŠ ‹Ê Ê Ê

4. Demonstre o Teorema do Casamento no caso finito.

5. Complete a demonstração do teorema da compacidade proposicional.

42

Capítulo II

NUMEROS E FUNÇÕES REAIS´

§5. Números e regras de cálculo

Antes de mais, convém definir as diferentes espécies de números que a distinçãobásica standard/não-standard permite identificar nos universos numéricos da AnáliseMatemática. Supomos, como é usual fazer-se, que , inclusões ™ ‘ ‚§ § § §estas que resultam da identificação de cada conjunto (estrutura) com a sua imagem« »monomorfa no seguinte.

Recordemos que um número natural se diz ou 8 ilimitado infinitamente grandesse é maior do que todo o número natural standard.8

5.1 Definição Um número real diz-se:B

(a) , ou (abreviadamente, ig) sseilimitado infinitamente grande

a l lst8 − B 8 ,

e diz-se (ou ) sse ;limitado finito b l lst8 − B Ÿ 8

(b) , ou (abreviadamente, ip) sseinfinitesimal infinitamente pequeno

a l lst< − B <‘ ;

(c) sse é limitado e não é infinitesimal.apreciável B

Facilmente se vê que é ilimitado sse , donde resulta que todoB < − B <a l lst ‘

o número real ilimitado é não-standard; é limitado sse , e éB < − B Ÿ <b l lst ‘

II. NUMEROS E FUNÇÕES REAIS 43´

infinitesimal sse

a l lst8 − B "

8 "

Obviamente, os números naturais ilimitados, enquanto números reais, são ilimi-tados, e os números naturais standard, enquanto números reais, são limitados; se é8

um número natural ilimitado, então é um infinitesimal."8

5.2 LemaO único infinitesimal standard é !.

Dem. É óbvio que é infinitesimal. Seja um infinitesimal standard; então! 0a l l l lst< ! Ð <Ñ a< ! Ð <Ñ œ !Þ0 0 0 logo, por (T), , donde è

É claro que os números reais não nulos limitados, ilimitados, infinitesimais ouapreciáveis podem ser positivos ou negativos.

5.3 Definição Os números reais , dizem-se ouB C infinitamente próximos equivalentes assimptóticos sse é infinitesimal, e dizem-se sse e éB C BC Á ! B

C

equivalente a ."Utilizaremos com frequência as notações seguintes:ì B ¸ C Í B C e são equivalentes;ì B C Í B C e são assimptóticos;µ

ì B ¥ C Í B C • B ¸ CÎ ;ì B ¸ _ B ¸ B ¸ _ Í B ( , ) é ilimitado (ilimitado positivo, ilimitado_

negativo, respectivamente);ì B ¥ _ Í B é limitado;l l

ì B ¥ Í B é limitado ou ilimitado negativo._

Também são de referir algumas notações para classes externas especiais, emborade uso menos frequente nos capítulos iniciais: Ø, e @ para a classe dos reais£infinitesimais, limitados e apreciáveis , respectivamente.positivos 23

5.4 CorolárioPara quaisquer reais standard , , .+ , + , + ¥ ,Ê

Dem. Pois, como é standard, se fosse viria , donde+ , + ¸ , + , ¸ !+ , œ !, pelo lema 5.2.è

23 Na Terceira Parte estas classes externas são utilizadas profusamente e, por abuso(habitual na literatura) chamadas conjuntos (externos).


5.5 LemaA relação (externa) é reflexiva, simétrica e transitiva.¸ è

5.6 Lema (Regras de cálculo)Sejam e reais limitados, , e infinitesimais, um real ilimitado.+ , + ¸ !Î & $ /

Então , , , , , , ,& $ &$ & & / / ¸ ! ¸ ! + ¸ ! + ¸ + + ¸ _ + ¸ _ ¸ !+/

+ , ¥ _ +, ¥ _ e .

Dem. Seja um real standard positivo arbitrário. Então também é standard e< <2

positivo, e

l l l l l l& $ & $ Ÿ œ << <

# #,

logo é infinitesimal. é standard e positivo e& $ <#

l l l l l l&$ & $œ ‚ Ð <Ñ œ <È # ,

logo é infinitesimal. Etc.&$ è

5.7 Lema(a) Para qualquer infinitesimal não nulo , é ilimitado;& "

&

(b) para quaisquer reais apreciáveis , , com , ;B C C Á ! B ¸ C B CÊ µ

(c) se para , , standard, então ;& &3 3¸ ! 3 œ " 8 ¸ !... !3œ"8

(d) se para , , standard, então ;+ ¸ , 3 œ " 8 + ¸ ,3 3 3 3... ! !3œ" 3œ"8 8

(e) para qualquer natural (limitado ou ilimitado) , reais positivos / " ,3( ) e infinitesimais ( )," Ÿ 3 Ÿ " Ÿ 3 Ÿ/ & /3

" "3œ! 3œ!

/ /, ¥ _ , ¸ !3 3 3Ê & ;

(f) para qualquer natural standard e reais positivos , ( ),8 " + , " Ÿ 3 Ÿ 83 3

;+ + + + + â + +

, , , , , â , ,¸ ¸ ¸ ¸

" # 8 " # 8 "

" # 8 " # 8 "... Ê

(g) (e) nas mesmas notações que , se para , , , então+ , 3 œ "3 3µ ... /

" "3œ" 3œ"

/ /+ ,3 3µ ;

(h) se é standard, para , , , para ,8 " ! Á ¸ ! 3 œ " 8 Î ¸ ! 4 œ "& & &3 4" 3...... ... ..., , , , e é standard para , , , então8 " 3 œ " 8 + 3 œ "3 /

"3œ"

8+ œ ! a3 − Ö"ß ß 8× Ð+ œ !Ñ3 3 3& Ê ... ;


(i) para qualquer natural limitado , se é apreciável, para ,8 " + ¸ ! 3 œ "3 3&..., , os não são todos nulos, e8 &3

,"3œ"

8+ œ !3 3&

então existem naturais , tais que é apreciável.4 5 Î& &4 5

Dem. (a)-(b) Imediato.

(c) , onde l l l l l l À! !3œ" 3œ"8 8& & & &3 3Ÿ Ÿ 8 ¸ ! œ maxÖ " Ÿ 3 Ÿ 8×&3 .

(d) Por (c).

(e) , onde l l l l À! !/ /3œ" 3œ"3 3 3, Ÿ Ð , Ñ ¸ ! œ& & & maxÖ " Ÿ 3 Ÿ ×& /3 .

(f) Ponhamos , para , de modo que, para . œ + Î, œ . Ð+ Î, Ñ 3 œ "ß ß 8" " 3 3 3& ...cada , , donde, pondo ,3 ¸ ! œ& &3 maxÖ " Ÿ 3 Ÿ 8×l l À&3

¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹. œ œ Ÿ+ â + Ð., + â Ð., + Ñ , â ,

, â , , â , , â ," 8 " " 8 8 " " 8 8

" 8 " 8 " 8

).

& &&

(g) Por (f). (V. demonstração do lema 24.4, pág. 227)

(h) Se é trivial. Se é standard, como8 œ " 8 "

+ œ + Ð Î Ñ" 3 3 " "3œ"

8& & ,

os são infinitesimais, vem , logo por ser standard.& &3 " " " "Î + ¸ ! + œ ! +Portanto

"8

3œ# 3 3+ œ !& .

Repetindo o raciocínio, obtemos .+ œ œ + œ !# 8...

(i) Ponhamos Tem-se&5 œ maxÖ " Ÿ 3 Ÿ 8×l l À&3 .

+ œ + Ð Î Ñ5 3 3 53Á5"

3œ"ß

8& & ,

que é apreciável com um número limitado de termos limitados (pois ).l l& &3 5Î Ÿ "Então um, pelo menos, dos termos é apreciável, caso contrário a soma seriainfinitesimal ou ilimitada.è

Observe-se que (c) e (d) são falsas para ilimitado: se, por exemplo, cada8+ œ "Î8 ¸ ! + œ " ¸ !Î3 3, .!

5.8 Teorema da parte standardPara todo o número real limitado existe um único número real standard talB +

que .B ¸ +

Dado limitado, o único real standard tal que chama-se a B − + B ¸ +‘ partestandard sombra ou de , e denota-se .B 9B


Um número real que possui uma sombra diz-se (abreviada-próximo-standard mente, ps), ou (qs). O teorema afirma, pois, que todo o número realquase-standard limitado é ps. A demonstração utiliza uma propriedade essencial de , o ‘ PRINCÍPIODO SUPREMO: todo o subconjunto não vazio e majorado de tem supremo em .‘ ‘

Dem. : se e com e ambos standard, então , logoUnicidade B ¸ + B ¸ , + , + ¸ ,+ œ , (por .2).5 24

Existência: supomos não-standard (caso contrário, não há nada a demonstrar: seBB œ B B é standard, ) e começamos por observar que, dado limitado, o conjunto9Bstandard

\ œ ÀStÖC − C Ÿ B×‘

é não vazio e majorado. Com efeito, como é limitado, existe standard talB < − ‘

que , logo ; e, por definição de , logo, por a< Ÿ B Ÿ < < − \ \ C − \ ÐC Ÿ <Ñst

(T), .aC − \ ÐC Ÿ <ÑSeja , que é standard, por ser standard. Mostramos, a terminar, que+ \ \œ sup

B ¸ + < ! Ð B + <Ñ B Á +, isto é, que . Note-se que , pois estamos supondoa l lst

que não é standard. Não pode ser para algum standard positivo , poisB B + < <viria com standard, logo , o que é absurdo ( não seria+ + < B + < + < − \ +majorante de ). Mas também não pode ser para algum standard positivo ,\ + B < <pois viria com standard, logo , donde, porB + < + + < C − \ ÐC + <Ñast

(T), , o que é absurdo [: não seria o menor dos majorantes].aC − \ ÐC + <Ñ + è

É talvez instrutivo assinalar alguns pontos, na demonstração anterior, ondepoderíamos ter descarrilado :« »

— suponhamos que tínhamos dito que é majorado por ou que pois\ B \ Á gB − \. Em ambos os casos teríamos aplicado (S) incorrectamente. Com efeito,se, por exemplo, fosse um infinitesimal não nulo e ,B \ œ ÖC − C Ÿ B×St ‘ À

então se (pois e \ œ ÖC − C Ÿ !× B ! ÖC − C Ÿ B× ÖC − C Ÿ !×‘ ‘ ‘À À ÀSt

são standard e têm os mesmos elementos standard) e se \ œ B !‘

(explicação análoga) — no primeiro caso , e no segundo caso não éB Â \ Bmajorante de ;\

— suponhamos que tínhamos dito que e concluído que astC − \ ÐC Ÿ BÑ aC − \ÐC Ÿ BÑ B. Neste caso, teríamos feito uma transferência ilegal, pois o parâmetro não é standard. Como avisa Nelson: um dos segredos da arte do raciocínio emanálise não-standard consiste em saber enfraquecer as asserções a ponto de« »podermos efectuar uma transferência.

24 Esta propriedade, de que dois reais standard infinitamente próximos são iguais, échamada o é considerada um por L.PRINCÍPIO DE CARNOT — «Principe Fondamental»Carnot [Car] e tomada naturalmente como axioma ( I) pelo M.Demande ou Supposition n. de L’Hôpital no seu famoso tratado de 1696, [175].Analyse des Infiniment Petits...


Do teorema anterior resulta imediatamente que todo o real limitado é da formaB

B œ + &

com standard e infinitesimal. Esta caracterização é útil na demonstração do+ œ 9B &teorema seguinte, que fica como exercício:

5.9 TeoremaPara quaisquer reais limitados , e real apreciável , tem-se:B C +

9 9 9

9 9 9

9

9 9

Ð

Ð

Ð

B „ CÑ œ „

BCÑ œ

"Î+Ñ œ "Î +

B Ÿ C Ê Ÿ

B C

B C

B C

,,,

.

9

è

Seja um corpo ordenado standard qualquer. Os números naturais de são , ,Š Š ! "" ", etc. Mais precisamente, o conjunto dos naturais de , , é o mais pequenoŠ Š

subconjunto de que contém e é fechado para a adição de em .As noçõesŠ Š! "externas de elemento , , e de elementos limitado ilimitado infinitesimal infinitamentepróximos fazem sentido em , como é evidente pelas respectivas definições. PorŠexemplo, é sse existe standard em tal que .B − 5 lBl 5Š Šlimitado

Se então todo o elemento limitado de é infinitamente próximo de umŠ ‘ Š¶único elemento standard, em virtude do teorema .8. Mais interessante é o facto de a5proposição recíproca de .8 ser igualmente verdadeira.5

5.10 Teorema de isomorfismoUm corpo ordenado standard é isomorfo a sse todo o elemento limitado deŠ ‘

Š é infinitamente próximo de um elemento standard.

Dem. A condição é necessária, como acima se viu. Para mostrar que ela étambém suficiente, basta mostrar que é completo à Dedekind, isto é, que todo oŠsubconjunto de não vazio e majorado em tem supremo em , e aplicar o\ Š Š Šteorema clássico de isomorfismo dos corpos ordenados completos. Por (T), basta fazera prova para standard. Ora, sendo standard e majorado em , é majorado por\ \ \Šum elemento standard [por (T )], digamos . E, novamente por ser standard e nãow < \vazio, tem um elemento standard, digamos . Seja finito tal que e\ = J J © \astB − \ ÐB − JÑ, que existe pelo teorema de Nelson restringido (teorema 2.4), e seja, œ J = Ÿ , Ÿ < ,max . Então , o que mostra que é limitado. Por hipótese, existe umúnico standard tal que ( ). Finalmente, resta ver que = , o+ − , ¸ + + œ , +Š 9 sup\que deixamos como exercício (utilizando o facto de a operação preservar a« » B È 9Bordem).è

Muitas das noções e resultados anteriores estendem-se naturalmente ao planocomplexo e a ou com standard e, até, aos espaços métricos (v. adiante).‚ ‘ ‚8 8 8Assim, um número complexo é standard sse e são standard, é limitadoD œ B C3 B Csse sse e são limitados, é infinitesimal ssea l lst< − D < B œ dÐDÑ C œ eÐDÑ‘


B ¸ ! C ¸ ! D D œ 3 8 8 e ; para limitado, , etc. Se é standard, um -uplo9 9 9B C

B œ ÐB ß ß B Ñ" 8... de números reais ou complexos é standard (limitado, infinitesimal)sse toda a componente é standard (limitada, infinitesimal, respectivamente); se éB3 Blimitado, a sombra de éB

9 9 9B B Bœ Ð ß ß Ñ" 8... ,

etc. Se nada se disser em contrário, supõe-se que a norma de um vectorB œ ÐB ß ß B Ñ Ñ" 8

8 8... (de ou é‘ ‚

m m œ BB ˆ ‰"l l3# "Î#

Para limitado, é o único vector standard tal que .B + B +9B m m ¸ !

5.11 LemaSeja um subespaço standard do espaço euclidiano (com standard).[ 8‘8

Para todo limitado tem-se .A A− [ − [9

Dem. Pois, sendo uma base standard [logo: standard e cada Ð ß ß Ñ 5A A A" 5 4...standard] de e supondo tem-se[ œ BA A! 3 3

9 9 93 3 3 3 3 3A A A Aœ B œ œˆ ‰" " "9 9

B B ,

logo , como se queria provar.9A − [ è

Este lema é utilizado diversas vezes na demonstração do seguinte

5.12 Teorema (Decomposição de Goze)Para todo limitado, com standard, existem standard, uma base@ @− 8‘8

!

standard de e infinitesimais , tais queØ@ @" 8 " 88ß ß Ù 8... ..., ‘ & &

@ @ @ @ @œ ! " " " # # " # 8 8& & & & & &â â .

Dem. Se é standard basta tomar e 0 para , .@ @ @! 39œ œ 3 œ " 8& ...,

Se não é standard mas está contido numa recta standard (que é um subespaço),@então, pondo e , o vector ( é um vector@ @ @ @ A @ @! " ! " ! "

9œ œ œ ÑÎ& &m m

director unitário dessa recta. Ponhamos , de modo que se tem@ A" "œ Ð Ñ9

@ @ @œ ¸ !! " " "& & com ,

e completa-se a base com standard arbitrários e para .@3 3& œ ! 3 œ #ß ß 8...Se não pertence a nenhum subespaço standard de dimensão mas pertence@ 3 5

a um subespaço standard de dimensão pomos , , e como acima5 Ÿ 8 œ@ @ A @! " " "9 &

e, para todo , ,3 œ # 5...,

& &3 3" 3" 3 3" 3" 3 3 3œ œ Ð ÑÎ œ Ð Ñm mA @ A A @ @ A, , .9


Verifica-se facilmente que para todo , , é um infinitesimal não nulo e que3 œ " 5..., &3Ø ß ß 5@ @ @" 5... Ù é uma base standard do subespaço de dimensão ao qual pertence . Parafinalizar, completa-se a base com vectores standard arbitrários e pomos para&3 œ !5 3 Ÿ 8.è

Para aplicações ver os exercícios finais desta secção.Supomos conhecida a caracterização clássica dos compactos de (ou ): são‘ ‚8 8

os conjuntos limitados e fechados. No que segue, supomos o expoente standard25 8(em ou ).‘ ‚8 8

5.13 TeoremaUm conjunto standard (ou ) é compacto sse todo o elemento de éE © B E‘ ‚8 8

limitado e .9B − E

Dem. Suponhamos compacto, isto é, limitado e fechado. Então existe E < − ‘

tal que . Como é standard, existe um tal standard, donde resultaaB − E Ð B Ÿ <Ñ E <m mque todo o elemento é limitado, logo possui uma sombra, , tal queB − E 9B

a Bst& ‘ &− B m m9 .

Seja a bola aberta de centro e raio . EntãoFÐ à Ñ9 9B B& &

a Bst& ‘ &− FÐ à Ñ E Á g9 ,

donde, por (T)

a − FÐ à Ñ E Á g& ‘ &9B .

Isto mostra que (onde é o fecho topológico de ).9B E E− œ E ESuponhamos agora que todo o elemento de é limitado e . TomandoB E − E9B

< − aB − E Ð B <Ñ E © FÐ!ß <Ñ‘ ilimitado, tem-se certamente , logo e portantom m

E © E E é limitado. Falta mostrar que . Note-se que é standard, por ser standard,E Ebastando então provar, por transferência, que . Para todoa E ÊstB ÐB − B − EÑ

B − C − E B ¸ C FÐBß Ñ E Á g !E, existe tal que : pois para qualquer , em& &particular para qualquer infinitesimal; tem-se , por hipótese, donde& ! − E9CB ¸ C ¸ B œ − E B9 9C C e portanto , se é standard.è

5.14 Discretização de um intervaloJá foi mencionada na p. 24 uma discretização do intervalo . Na realidade,Ò!ß "Ó

para qualquer intervalo standard , podemos utilizando umM œ Ò+ß ,Ó discretizá-loconjunto finito contendo todos os elementos standard de , digamosJ § M MJ œ ÖB ß B ß ß B × + œ B B B œ , B B! " ! " 3 3"... .... ., com , de modo que entre e não há nenhum elemento standard de . Tem-se para , , ,Ò!ß "Ó B ¸ B 3 œ ! "3 3" ... .

25 É claro que não se confundem os dois significados do termo «limitado nas expressões»« é um conjunto limitado e « é um elemento limitado .E B» »


caso contrário, como , existiria standard tal queB B <3 3"

9 9B B3 3 3" 3"Ÿ B < B Ÿ

[por exemplo, ], o que é absurdo.< œ Ð ÑÎ#9 9B B3 3"

Um conjunto tal queT œ ÖB ß B ß ß B ×! " ... .

+ œ B B B œ , B ¸ B 3 œ ! "! " 3 3"... .... , e para , , .

diz-se uma (ou ), ou uma dopartição infinitesimal infinitamente fina discretizaçãointervalo .M œ Ò+ß ,Ó

Veremos adiante diversas demonstrações em que se tira partido de tais partições.Igualmente no penúltimo capítulo se tira partido, de maneira sistemática, dadiscretização de intervalos.

5.15 Exercícios e Problemas1. Demonstre o lema 5.5 e complete a demonstração do lema 5.6.

2. Prove que:

(a) a soma e o produto de limitados é um limitado;

(b) é apreciável sse existem naturais standard , tais que+ − 7 8‘

"Î8 Ÿ + Ÿ 7;

(c) o produto e o quociente de apreciáveis é um apreciável.

3. Sejam , , , reais limitados tais que , e , reais apreciáveisB C ? @ B ¸ ? C ¸ @ + ,tais que . Prove que:+ ¸ ,

(a) e ;B „ C ¸ ? „ @ BC ¸ ?@

(b) . [ , ]"Î+ ¸ "Î, , œ + "Î, œ "Î+ "Î+ "ÎÐ+ ÑSugestão: & &

4. Demonstre o teorema 5.9.

5. Diga se existe um número real tal que é:B ÐB "ÑÎÐB "Ñ

(a) igual a ; (b) igual a ; (c) ilimitado; (d) infinitesimal; (e) ." ! ¸ "

6. Seja um natural ilimitado. Diga se são apreciáveis, ig ou ip os números:8

8 8 $ ##8 $ 8 $8 "

&8 # #8 ($ # 8 8

#

, , , .

7. Determine a sombra dos números seguintes, sabendo que e" Á B ¸ "! Á ¸ !& :

" B

" B " B " B

" B " B#

È È, , , .&

& &# $


8. Determine a sombra de quandoÐ" # 8ÑÎ8â #

(a) é um natural standard; (b) é um natural ilimitado.8 8

9. Sendo um natural ilimitado, determine ./ /93œ"

# $Š ‹!Ð 3 ÑÎ/

10. Seja um natural ilimitado. Descreva a expressão decimal que representa o/número (a) ; (b) ."Î"! "! "/ /

11. Mostre que todo o infinitesimal positivo pode representar-se na forma&& /œ +"! +/ com apreciável e ilimitado.

12. (a) Mostre que todo o número real standard é limite de uma sucessão standardde números racionais.

(b) é equivalente a algum racional standard? E a algum racional não-standard?1

13. Seja . Mostre que é ilimitado, se é ilimitado.B − B B‘ È14. Seja um infinitesimal positivo, e reais standard. Mostre que se & &+ , œ ,+

então e .+ œ ! , œ "

15. Mostre que a classe dos naturais não-standard não tem elemento mínimo.

16. Seja um infinitesimal positivo, , onde ,& ‘ ‘0 Ä Ö!×& À œ‘ ‘! !

definida por , onde é a (ou ) de .0 ÐBÑ œ ÒBÎ Ó ÒBÓ B& & & parte inteira característicaMostre que para todo .0 ÐBÑ ¸ B B !&

17. Seja standard. Mostre que são equivalentes:0 ÄÀ ‘ ‘

(a) é limitada,0

(b) existe standard tal que ,Q aB − 0ÐBÑ Ÿ Q‘ l l

(c) é limitado.aB − 0ÐBÑ‘

18. Existe alguma função (não-standard) tal que para0 Ò!ß "Ó Ä Ò!ß "Ó 0ÐBÑ œÀ B9

todo ? Conclua que definida como no Exercício 16.16 é não-standard.B − Ò!ß "Ó 0&

19. Seja um número real ou complexo. Prove que são equivalentes:B

(a) é limitado e ,B Á !9B

(b) , e são ambos limitados,B Á ! B "ÎB

(c) e é limitado.B Á ! logl lB

20. Sejam , reais positivos, . A+ , I œ ÖÐBß CÑ − B Î+ C Î, œ "×‘# # # # #Àsombra de é o conjuntoI

9 #I œ Ö − b − I ¸ !×St B C B C‘ À m m .26

Determine quando é standard.9I +

26 Este é um caso particular da noção de (ou ) de um conjunto que sesombra parte standardpode dar, mais geralmente, para subconjuntos do suporte de um espaço topológicoseparado standard, ou de um espaço métrico standard — v. adiante, secção 11.ÐIß .Ñ


21. Sejam , infinitesimais positivos.& $

(a) Mostre que existe uma única recta standard de equação tal que+B ,C œ !

Ð+ , ÑÎ + ,& $ È # #

é mínimo.

(b) Mostre que existe uma única circunferência standard passando pela origemcuja distância a é mínima.Ð ß Ñ& $

22. Sejam , infinitesimais positivos.& $

(a) Mostre que, se existe um polinómio standard de grau tal queU Ÿ 88

$ &U Ð Ñ U8 8 é mínimo, então é único.

(b) Mostre que, para , é o truncado de .7 8 U U7 8

23. Sejam , infinitesimais positivos. Existe sempre um polinómio standard& $TÐBß CÑ T Ð ß Ñ œ ! tal que ?& $

24. ( )Unicidade da decomposição de Goze Mostre que se @ @œ !

& & & & & &" " " # # !w w w w w" " " # #@ @ @ @ @ @ œ e são duas decomposições de Goze de um

vector , então existem e standard tais que@ − +ß , -‘#

ÚÝÝÛÝÝÜ& & & && & & &

w" " " #w w" # " #

"w"

#w w" #

œ + ,œ -

œ +œ , -

@ @@ @ @ .

25. ( )Desingularização Seja um vector infinitesimal de , com@ œ Ð ß Ñ$ $ ‘" ##

decomposição de Goze .@ @ @ @œ ! " " " # #& & &

(a) Mostre que uma aplicação tal que é umaP Ä PÐ ß Ñ œ Ð ß ÑÀ ‘ ‘ & & $ $# #" # " #

transformação quadrática de de um dos tipos‘#

PÐBß CÑ œ ÐBCß BÑ PÐBß CÑ œ ÐBß BCÑ PÐBß CÑ œ ÐBÐ+ CÑß BÑ, ou , ou

[Considere os casos: infinitesimal, apreciável, ilimitado.]$ $ $ $ $ $" # " # " #Î Î Î

(b) Mostre que se pertence à curva de equação , com@ Á Ð!ß !Ñ \ \ œ !$ #

uma singularidade na origem, então a transformação associada é do primeiro tipo, ePP Ð Ñ B C œ ! #1 @ é um ponto da curva de equação , não singular na origem.


§6. Sucessões e funções I: Algumas caracterizações

Veremos de seguida algumas consequências elementares dos axiomas parasucessões e funções reais standard. Supomos conhecidas as definições clássicas deconvergência (e respectivas notações, etc.), e mostramos que elas são equivalentes adefinições externas (teoremas de caracterização), para sucessões e funções standard. Éclaro que, numa perspectiva didáctica diferente da clássica, as definições externaspoderiam ser as inicialmente propostas (para sucessões e funções arbitrárias, nãonecessariamente standard — v. adiante) e com elas se desenvolveria toda a teoria,ficando para mais tarde a demonstração da equivalência com as clássicas (parasucessões e funções standard).

6.1 Teorema ( )Limite de uma sucessãoSeja uma sucessão standard de números reais, . Então? œ Ø? 8 − Ù + −8 À ‘

são equivalentes(a) ,lim

8Ä_8? œ +

(b) é standard e para todo o natural ilimitado , + ? ¸ +à/ /

(c) para todo o natural ilimitado , é limitado e ./ ? ? Ñ œ +/ /9Ð

Dem. (a) (b): Se é standard e converge para , é standard por 3.2 [ou (T )].Ê ? + + w

Por definição (clássica)

a ! b5 − a8 − Ð8 5 ? + Ñ& &Ê l l8 .

Em particular, para todo standard, ,& & ! b5 − a8 − Ð8 5 ? + ÑÊ l l8 logo, por (T ), existe standard tal que , donde, emw 5 a8 − Ð8 5 ? + Ñ &Ê l l8

particular, para qualquer ilimitado, . O antecedente8 œ 5 ? + / / &Ê l l/

desta implicação é certamente verdadeiro, pois é standard, logo também o5consequente é verdadeiro. Em conclusão, temos para qualquer ilimi-l l? + / & /tado e qualquer standard, o que mostra que para todo ilimitado.& / ! ? ¸ +/

(b) (c): por definição de sombra (notando que se com standard entãoÍ ? ¸ + +/

?/ é limitado).(b) (a): suponhamos que é standard e para todo ilimitado , e sejaÊ + ? ¸ +/ /

& & ! 5 a8 5 ? + standard ao arbítrio. Com qualquer ilimitado tem-se ,l l8

logo , que é uma condição interna em com parâmetros stan-b5 a8 5 ? + l l8 & &dard ( e ), verdadeira qualquer que seja o real standard . Por (T), ela? + !&permanece verdadeira para todo , quer dizer& !

a ! b5a8 5 ? + & &l l8 ,

isto é, .lim8Ä_

? œ +8 è


Por exemplo, , pois para todo o natural ilimitado .lim8Ä_

1 18 œ ! ¸ !/ /

6.2 Corolário (Limite pontual)Seja um intervalo standard, uma sucessão standard deM J œ Ø0 8 − Ù8 À

funções de em , uma função standard. Então, são equivalentesM 1 M Ä‘ ‘À

(a) para todo , , isto é, a sucessão converge pontual-B − M 0 ÐBÑ œ 1ÐBÑ Ø0 Ùlim8Ä_

8 8

mente para ;1(b) para todo standard e todo o natural ilimitado , .B − M 0 ÐBÑ ¸ 1ÐBÑ/ /

Dem. Tendo em conta as hipóteses, tem-se, por transferência,

aB − M Ð 0 ÐBÑ œ 1ÐBÑÑ Í B − M Ð 0 ÐBÑ œ 1ÐBÑÑlim lim8Ä_ 8Ä_

8 8 ,ast

mas, para standard, é standard e a sucessão é standard, e agora bastaB 1ÐBÑ Ø0 ÐBÑÙ8

aplicar o teorema.è

6.3 Lema do Transbordo de RobinsonSeja uma sucessão de números reais ou complexos.? œ Ø? Ù8

(a) ; Se , então existe ilimitado tal queast8 Ð? œ !Ñ a8 Ÿ Ð? œ !Ñ8 8/ /

(b) .Se , então existe ilimitado tal queast8 Ð? ¸ !Ñ a8 Ÿ Ð? ¸ !Ñ8 8/ / /

contém todos os naturais standard, isto é, , mas, como não é conjunto, a5 5 © E

inclusão é própria.27

(b) O conjunto contém todos os naturais stan-E œ Ö7 − a8 Ÿ 7 ? × À l l8 71

dard, logo, pela mesma razão que acima, existe ilimitado tal que para todo/ l l? 81/

8 Ÿ ¸ !/ , mas , donde a conclusão.1/ è

6.4 Teorema ( )Limite de uma funçãoSeja uma função standard, , com standard. Então, são0 Ä + , − +À ‘ ‘ ‘

equivalentes:(a) , isto é,lim

BÄ+0ÐBÑ œ ,

);a !b !aB − Ð! lB +l Ê l0ÐBÑ 0Ð+Ñl $ & ‘ & $

(b) , ,, B ¸ + 0ÐBÑ ¸ ,é standard e para todo(c) . para todo , é limitado eB ¸ + 0ÐBÑ 9Ð0ÐBÑÑ œ ,

Dem. Análoga à demonstração do teorema .1.6 è

6.5 Corolário (Continuidade)

27 Esta é uma exemplificação do , referido na Nota 14.PRINCÍPIO DE CAUCHY


Uma função standard é contínua num ponto standard sse0 Ä + −À ‘ ‘ ‘

a ¸ ! 0Ð+ Ñ ¸ 0Ð+Ñ& & .è

Por exemplo, a função standard definida por é0 Ä 0ÐBÑ œ B B $À ‘ ‘ #

contínua em todo o ponto standard (logo, por transferência, é contínua em ): para+ ‘todo ,& ¸ !

0Ð+ Ñ 0Ð+Ñ œ Ð+ Ñ Ð+ Ñ $ Ð+ + $Ñ

œ #+ ¸ !

& & &

& & &

# #

# .

Recorde-se que na definição clássica de derivada de uma função num ponto 0 +intervém a razão incremental

?Ð2Ñ œ 2 Á !Ð0Ð+ 2Ñ 0Ð+ÑÑ

2, com ,

sendo .0 Ð+Ñ œ Ð2Ñw lim2Ä!

?

Em virtude do teorema .4, podemos dar a seguinte caracterização:6

6.6 Corolário (Diferenciabilidade)Um função standard é diferenciável num ponto standard sse0 Ä + −À ‘ ‘ ‘

existe um número real standard tal que, para todo o infinitesimal não nulo ,. $? $Ð Ñ ¸ . 0 Ð+Ñ œ ., sendo .w è

Observe-se que a condição do enunciado quer dizer duas coisas: para todo oinfinitesimal , a razão é um real limitado, e a$ ? $ $ $Á ! Ð Ñ œ Ð0Ð+ Ñ 0Ð+ÑÑÎsombra é , isto é, para quaisquer infinitesimais não nulos e9? $ $Ð Ñ independente de $$w

? $ ? $Ð Ñ ¸ Ð Ñw .

Do enunciado também obtemos, para qualquer , , pondo$ $¸ ! Á !? $ &Ð Ñ œ . ,

0Ð+ Ñ œ 0Ð+Ñ . $ $ $&,

donde se conclui imediatamente a continuidade de no ponto (ambos standard). Por0 +exemplo, a função standard definida por0 ÄÀ ‘ ‘

0ÐBÑ œB Ð Ñ B Á !

! B œ !œ sen se se ,

1B

não é diferenciável no ponto , pois para qualquer natural ilimitado , se então! œ/ $ 1/

? $ /1$ $ 1 $

$ $Ð Ñ œ œ œ Ð Ñ œ !

0Ð Ñ Ð Î Ñsensen ,

mas se com par, então sen .$ / ? $ /1w w"Î#œ Ð Ñ œ Ð Ñ œ "1

2/1


6.7 Teorema (Continuidade uniforme)Uma função standard é uniformemente contínua em sse0 ÄÀ ‘ ‘ ‘

aBß C − ÐB ¸ C 0ÐBÑ ¸ 0ÐCÑÑ‘ Ê .

Dem. Suponhamos uniformemente contínua em , isto é,0 ‘

a ! b ! aBß C − Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ñ$ & ‘ & $l l Ê l l

donde, em particular, para todo o standard,$ !

b ! aBß C − Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ñ& ‘ & $l l Ê l l ,

e, portanto, por transferência

b l l Ê l lst& ‘ & $ !aBß C − Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ñ

Daqui conclui-se que, para quaisquer com , ; como éBß C B ¸ C 0ÐBÑ 0ÐCÑ l l $ $standard positivo arbitrário, obtemos .0ÐBÑ ¸ 0ÐCÑ

Reciprocamente, se a condição se dá, então

a l l Ê l lst$ & ‘ & $ !b ! aBß C − Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ñ.

Com efeito, dado standard, tem-se sempre que , isto é,$ $ ! 0ÐBÑ 0ÐCÑ B ¸ Cl lsempre que com qualquer. Por transferência, obtemosl lB C ¸ !& &

a ! b ! aBß C − Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ñ$ & ‘ & $l l Ê l l ,

que é a definição clássica de continuidade uniforme.è

Reformulando:

6.8 CorolárioUma função standard é uniformemente contínua em sse0 ÄÀ ‘ ‘ ‘

aB − a ¸ ! 0ÐB Ñ ¸ 0ÐBÑ‘ $ $ .è

Por exemplo, a função definida por não é uniformemente0 Ä 0ÐBÑ œ BÀ ‘ ‘ #

contínua em : para ig positivo, , mas‘ $B œ ¸ !1B

ÐB Ñ B œ #B œ # ¸ !y$ $ $ $# # # # .

Com as modificações óbvias, os teoremas anteriores estendem-se a funçõesdefinidas em intervalos ou conjuntos , com , limites laterais, etc.\ § + − \

q‘

(voltaremos à topologia de , e não só, mais adiante). Vejamos agora uma‘caracterização da integrabilidade à Riemann de funções standard.


Seja uma função limitada, uma partição de0 Ò+ß ,Ó Ä T œ ÖB ß B ß ß B ×À ‘ ! " 8...Ò+ß ,Ó + œ B B B œ , 0 T, isto é, . Associamos ao par , o número não28

! " 8...negativo (vulgarmente chamado )soma de Darboux

WÐ0ß T Ñ œ ÐB B ÑÐQ 7 Ñ ,"8"

3œ! 3" 3 3 3

onde e para Q œ 7 œ Ö0ÐBÑ B − ÒB ß B Ó× 3 œ !3 3 3 3"sup infÖ0ÐBÑ B − ÒB ß B Ó×À À3 3" ," 8 ", ....,

É evidente que se é uma partição de do que , isto é, seT Ò+ß ,Ó Tw mais fina T ª Tw , então

WÐ0ß T Ñ Ÿ WÐ0ß T Ñw .

Recorde-se, por outro lado, que limitada é 0 Ò+ß ,Ó ÄÀ ‘ integrável à Riemannsse para todo existe uma partição de tal que .& & ! T Ò+ß ,Ó WÐ0 ß T Ñ

x x

f

x0 1 n

Fig. 3

6.9 Teorema (Integrabilidade à Riemann)Seja uma função standard limitada. Então são equivalentes:0 Ò+ß ,Ó ÄÀ ‘

(a) é integrável à Riemann;0

(b) para toda a partição infinitesimal de , ;T Ò+ß ,Ó WÐ0 ß T Ñ ¸ !

(c) existe uma partição infinitesimal de tal que .T Ò+ß ,Ó WÐ0 ß T Ñ ¸ !

Dem. (a) (b): se para todo o existe uma partição infinitesimal deÊ & ! T&Ò+ß ,Ó WÐ0 ß T Ñ ! tal que , o mesmo acontece, em particular, para todo stan-& & &dard e, para tal , existe, por (T), uma partição standard tal que , logo& &T WÐ0ß T Ñ & &

WÐ0ß T Ñ ¥ WÐ0ß T Ñ T& && & (pois e são ambos standard). Seja então uma partiçãoinfinitesimal arbitrária. Como é standard e é mais fina do que , T T T T WÐ0ß T Ñ& & &

só difere de por uma soma com um número standard de parcelasWÐ0ß T T Ñ&

28 É claro que, estritamente falando, a partição do intervalo é constituída pelos subinter-valos com , , , , sendo os pontos de os pontos divisórios.ÒB ß B Ó 3 œ ! " á 8 " T3 3"


infinitesimais, logo infinitesimal, portanto

WÐ0ß T Ñ ¸ WÐ0ß T T Ñ Ÿ WÐ0ß T Ñ& & ,

donde .WÐ0ß T Ñ ¸ !

(b) (c): trivial.Ê

(c) (a): se existe uma partição infinitesimal de tal que ,Ê T Ò+ß ,Ó WÐ0 ß T Ñ ¸ !então logo, por (T), .ast& & & & !bT WÐ0ß T Ñ a ! bT WÐ0ß T Ñ è

6.10 TeoremaToda a função contínua é integrável à Riemann.0 Ò+ß ,Ó ÄÀ ‘

Dem. Por transferência, basta fazer a demonstração para standard (em 0 Ò+ß ,Óstandard). Seja uma partição infinitesimal de . Por continuidadeT œ ÖB ß ß B × Ò+ß ,Ó! 8...de tem-se, para cada , , , , onde0 3 œ ! 8 " œ Q 7 ¸ !... &3 3 3

Q œ Ö0ÐBÑ B − ÒB ß B Ó×3 3 3" sup infÀ À, ,7 œ Ö0ÐBÑ B − ÒB ß B Ó×3 3 3"

e

! ÐB B Ñ œ , + ¥" 3" 3 ,_

logo , pelo lema 5.7 (e).WÐ0ß T Ñ ¸ ! è

Veremos adiante uma expressão para o integral de Riemann de em em0 Ò+ß ,Ótermos de somas, e outros critérios de integrabilidade à Lebesgue e à Riemann.

6.11 Exercícios e Problemas1. A sucessão , onde , é convergente em ?? œ ÎÐ8 "Ñ ¸ !8 & & ‘

2. A função definida por0 ÄÀ ‘ ‘

0ÐBÑ œB Ð Ñ B Á !

! B œ !œ #

Bsen , se , se ,

1

é diferenciável no ponto ?!

3. Seja uma sucessão standard de números positivos, . Mostre queØ+ Ù ! ¸ !8 &a sucessão é decrescente nos standard, mas não necessariamente nos ilimi-Ø+ Ù 8 88

8&tados (dê um contra-exemplo).

4. Mostre que uma sucessão standard é limitada sse todos os seus termos deordem ilimitada são limitados. É também assim para uma sucessão não-standard?

5. Sejam e sucessões convergentes para respectivamente. Mostre,Ø? Ù Ø@ Ù +ß ,8 8

utilizando o critério .1, que converge para e converge para6 Ø? @ Ù + , Ø? @ Ù8 8 8 8

+,.


6. Sabendo que converge para , prove que a sucessão de termo geralØ+ Ù +8

= œ Ð+ + ÑÎ8 +8 " 8â converge para .

7. Seja um número real ou complexo standard, um natural ilimitado.B /determine .9ÐÐ" BÎ Ñ Ñ/ /

8. Seja um intervalo, (ou ) tal que . ProveM © 0 M Ä aB − M0ÐBÑ ¸ !‘ ‘ ‚Àque é limitada em [na verdade, ].0 M Ö 0ÐBÑ B − M× ¸ !sup l l À

9. Seja uma sucessão standard de funções reais definidas num intervalo stan-Ø0 Ù8dard , uma função standard. Mostre que são equivalentes:M 0 M ÄÀ ‘

(a) converge uniformemente para em ,0 0 M8

(b) para todo e todo ilimitado, [Sugestão: exercício anterior].B − M 0 ¸ 0ÐBÑ/ /

10. (a) Construa uma função não limitada tal que para todo 0 Ä B −À ‘ ‘ ‘limitado, [Sugestão: certa função linear].0ÐBÑ ¸ !

(b) Seja tal que, para todo limitado, . Mostre0 Ä B − 0ÐBÑ ¸ !À ‘ ‘ ‘que existe ilimitado positivo tal queP − ‘

aB − Ð B Ÿ P 0ÐBÑ ¸ !Ñ‘ l l Ê .

11. Seja tal que . Mostre que é limitada e0 Ä aB − Ð 0ÐBÑ ¥ Ñ 0À l l _‘ ‘ ‘que é limitado.supÖ 0ÐBÑ B − ×l l À ‘

12. Enuncie e demonstre critérios externos para a(a) convergência de uma sucessão standard de números reais (critério de Cauchy-

Bolzano).(b) convergência de uma série standard de números reais.

13. Enuncie e demonstre critérios externos para que(a) uma sucessão standard tenha limite quando ,_ 8 Ä _

(b) uma função standard tenha limite quando ,0 Ä B ÄÀ _‘ ‘ _

(c) uma função standard tenha uma direcção assimptótica quando0 ÄÀ ‘ ‘B Ä _,

(d) uma função standard tenha uma assimptota de equação0 ÄÀ ‘ ‘C œ +B , B Ä _ quando .

14. Demonstre o critério externo seguinte: um conjunto standard ( ouE © ‘ ‘8

‚8, com standard) é aberto sse8

astB − EaC ÐC ¸ B C − EÑÊ .

15. Dê um exemplo de um conjunto e de um elemento limitado talE © B − E‘que .9B EÂ


16. Mostre que uma função standard diferenciável é de classe num aberto0 G"

standard , com derivada , sseE 0w

astB − EaCß D B ¸ C ¸ D b ¸ ! 0ÐCÑ œ 0ÐDÑ ÐC DÑÐ0 ÐDÑ Ñˆ ‰Ê $ $ .w

17. Mostre que não é compacto. Sendo um natural ilimitado, o intervaloÓ!ß "Ò /Ò!ß Ó/ é compacto?

18. Mostre que uma função real contínua num compacto é uniformementeE § ‘contínua.

19. Mostre que um conjunto standard é relativamente compacto (isto é, E © E‘é compacto) sse todo o elemento de é próximo-standard.E

20. Seja o conjunto das funções em escada sobre . A condiçãoX Xœ ÐÒ!ß "ÓÑ Ò!ß "Ó(b) no teorema de caracterização .9 é trivialmente equivalente à seguinte (para60 Ò!ß "Ó ÄÀ ‘ standard integrável à Riemann):

b ß − aB − Ò!ß "Ó ÐBÑ Ÿ 0ÐBÑ Ÿ ÐBÑ • Ð Ñ ¸ !: < X : < < :Š ‹(!

"

.

Mostre que standard é integrável à Riemann sse0 Ò!ß "Ó ÄÀ ‘

ast& : < X : < < : & ! ß − aB − Ò!ß "Ó ÐBÑ Ÿ 0ÐBÑ Ÿ ÐBÑ • Ð Ñ bst Š ‹(!

"

.

21. Mostre que a função característica de , , não é integrável ; ; Ò!ß "Ó œ Ò!ß"Ó

à Riemann.

§7. Sucessões e funções II:Alguns teoremas fundamentais

Os teoremas de caracterização enunciados e demonstrados na secção anteriordependem sobretudo dos axiomas de transferência. Veremos mais algumas caracte-rizações mas, entretanto, daremos algumas demonstrações não-standard (isto é, em« »ZFNC) de teoremas clássicos fundamentais. A escolha é apenas ilustrativa — não sepretende um estudo sistemático nem se busca a máxima generalidade. Observar-se-á,comparando-as com as clássicas, a natureza mais directa e mesmo combinatorial dasdemonstrações, excepto em ocasiões, bem individualizadas, onde, por exemplo, seefectua uma transferência ou uma standardização.


7.1 Teorema dos valores intermédiosSeja uma função contínua tal que e têm sinal contrário.0 Ò+ß ,Ó Ä 0Ð+Ñ 0Ð,ÑÀ ‘

Então existe tal que .- − Ò+ß ,Ó 0Ð-Ñ œ ! 29

Dem. Por transferência, basta fazer a demonstração para standard (logo, com 0 +e standard). Sem perda de generalidade podemos supor e ., 0Ð+Ñ ! 0Ð,Ñ !

Seja um conjunto finito contendo todos osJ œ ÖB ß B ß ß B × § Ò+ß ,Ó! " ... /

elementos standard de , tal que . Já sabemos (5.14)Ò+ß ,Ó + œ B B B œ ,! " ... /

que para . Seja . ComoB ¸ B 3 œ !ß "ß ß " B œ ÖB − J 0ÐB Ñ !×3 3" 5 3 3... / min À0Ð+Ñ ! B Ÿ B B - 0Ð-Ñ ¸ !, tem-se , e é limitado. Seja . Mostramos que ," 5 5 5œ B9

donde , por ser standard. Com efeito, tem-se , por0Ð-Ñ œ ! 0Ð-Ñ ! Ÿ 0ÐB Ñ ¸ 0Ð-Ñ5

continuidade de , mas0

0Ð-Ñ œ 0Ð Ñ œ œ -

¸ 0ÐB Ñ ! 0

, pois , , por continuidade de ,

9 9 9B B B5" 5" 5

5"

donde (pois é simultaneamente equivalente a reais negativos e não0Ð-Ñ ¸ ! 0Ð-Ñnegativos).è

7.2 Teorema de WeierstrassUma função real definida e contínua num intervalo atinge aí0 Ò+ß ,Ó § ‘

máximo e mínimo.

Dem. Por transferência, basta demonstrar para standard. Mostramos que o0máximo é atingido; o caso do mínimo é análogo. Supomos (o caso é+ , + œ ,trivial).


elementos standard de , e seja tal que Ò+ß ,Ó C − J 0ÐCÑ œ max Ö0ÐB Ñ B − J×3 3À .Note-se que é limitado, e . Mostramos que é um máximo de emC − Ò+ß ,Ó 0Ð Ñ 09 9C CÒ+ß ,Ó.

Como é contínua e standard, tem-se , logo0 0ÐCÑ ¸ 0Ð Ñ9C

a C CstB − Ò+ß ,Ó Ð0ÐBÑ Ÿ 0Ð Ñ ” 0ÐBÑ ¸ 0Ð ÑÑ9 9 .

Como e são standard, tem-se0 9C

a CstB − Ò+ß ,Ó 0ÐBÑ Ÿ 0Ð Ñ9

(pois, para standard, ), donde, por transferência,B 0ÐBÑ ¸ 0Ð Ñ 0ÐBÑ œ 0Ð Ñ9 9C Ê C

aB − Ò+ß ,Ó 0ÐBÑ Ÿ 0Ð Ñ9C .è

29 Este é um corolário do chamado (TEOREMA DE BOLZANO-CAUCHY Função contínuanum intervalo não passa de um valor a outro sem passar por todos os valoresintermédios), que implica, por sua vez, o teorema 7.1, considerando uma funçãoconveniente da forma .B È 0ÐBÑ #


7.3 CorolárioUma função contínua transforma intervalos limitados e fechados em intervalos

limitados e fechados.è

Na demonstração do teorema que segue faz-se uso do chamado TEOREMA DOSACRÉSCIMOS FINITOS, na forma fraca seguinte: se uma função contínua0 Ò+ß ,Ó Ä Ó+ß ,Ò 5 ! aB − Ó+ß ,Ò 0 ÐBÑ 5À l l‘ é diferenciável em e existe tal que w

então .l l l l0Ð,Ñ 0Ð+Ñ Ÿ 5 , +

7.4 Teorema de SardSeja uma função de classe , .0 Ò+ß ,Ó Ä G œ ÖB − Ò+ß ,Ó 0 ÐBÑ œ !×À À‘ G" w 30

Então é um conjunto de medida (de Lebesgue) nula.0ÒGÓ

Dem. Por transferência, basta fazer a demonstração para standard. Neste caso,0G 0ÒGÓ 0 ÒGÓ ¸ ! e são ambos standard, bastando provar que , onde é a medida de. .Lebesgue em .‘


elementos standard de , tal que , de modo queÒ+ß ,Ó + œ B B B œ ,! " ... /

B ¸ B 3 œ ! " "3 3" para , , . Seja ainda..., /

N œ Ö3 − Ö!ß "ß ß "× ÒB ß B Ó G Á g×... / À 3 3"

e, para cada ,3 − Ö!ß "ß ß "×... /

&3 3 3"wœ Ö0 ÐBÑ B − ÒB ß B Ó×sup À

Como é de classe , cada ( ), e também .0 G ¸ ! 3 − N œ Ö 3 − N× ¸ !"3 3& & &max À

Pelo teorema dos acréscimos finitos (notando que a medida de um intervalo é a suaamplitude) tem-se

a3 − N 0ÒB ß B Ó Ÿ ÐB B Ñ. &3 3" 3" 3

donde

. . &. &0ÒGÓ Ÿ 0Ò ÒB ß B ÓÓ Ÿ Ò+ß ,Ó œ ¸ !.3−N 3 3" .è

Veremos de seguida que a noção de sombra de um número real limitado é aequivalente não-standard da noção de sublimite (finito) de uma sucessão de númerosreais.

7.5 Teorema (dos sublimites)Seja uma sucessão standard de números reais. Um número real stan-? œ Ø? Ù8

dard é sublimite de sse existe ilimitado tal que .+ Ø? Ù − ? œ +89/ /

30 Nos extremos do intervalo tomam-se as derivadas laterais (finitas).


Recorde-se que é de sse é limite de uma subsucessão de .+ Ø? Ù + Ø? Ùsublimite 8 8

Um sublimite de também se diz um do conjunto dos termosØ? Ù8 valor de aderênciada sucessão, . Assim, para standard, os sublimites standard de Ö? 8 − × Ø? Ù Ø? Ù8 8 8À são exactamente as sombras dos termos de ordem ilimitada de . Note-se, porém,Ø? Ù8que uma sucessão standard não possui necessariamente todos os seus sublimitesØ? Ù8standard. Por exemplo, se sen , todo o número real (standard ou não-standard)? œ 88

do intervalo é sublimite de .Ò "ß "Ó Ø? Ù 8

Dem. Se um número real standard é sublimite de tem-se+ Ø? Ù8

a ! a5 b8 Ð8 5 • ? + Ñ& &l l8

Em particular, para e ilimitado, existe (logo ilimitado também) tal& / /¸ ! 5 5que .? ¸ +/

Reciprocamente, se existe ilimitado tal que então/ 9? œ +/

a a l lst st& & ! 5 b8 Ð8 5 • ? + Ñ 8

Como é standard, resulta, por transferência, que é sublimite de .+ + Ø? Ù8 è

7.6 Teorema de Bolzano-WeierstrassToda a sucessão limitada de números reais admite um sublimite.

Dem. Por (T), basta fazer a demonstração para sucessões standard. Se stan-Ø? Ù8dard é limitada, é limitada por um número standard, logo, para todo , é limi-Ø? Ù 8 ?8 8

tado. Em particular, para qualquer ilimitado, existe , que é um sublimite de/ 9?/Ø? Ù8 .è

7.7 Teorema (Valor do integral de Riemann)Seja uma função standard integrável à Riemann. Então, para0 Ò+ß ,Ó ÄÀ ‘

todo o infinitesimal positivo , e tal que , tem-se& & &8 + 8 Ÿ , + Ð8 "Ñ

( Š ‹"+

,9 8

3œ!0ÐBÑ.B œ 0Ð+ 3 Ñ& & .

Dem. Seja dado , e considere-se a partição infinitesimal& &¸ ! !, T œ Ö+ß + ß + # ß ÞÞÞß ,× Ò+ß ,Ó& & de . Tem-se

" "(3œ! 3œ!

8 83 3

+

,

7 Ÿ 0ÐBÑ.B Ÿ Q& &,

onde , 7 œ Ö0ÐBÑ À + 3 Ÿ B Ÿ + Ð3 "Ñ × Q œ Ö0ÐBÑ À + 3 Ÿ B Ÿ3 3inf sup& & &+ Ð3 "Ñ × ! Ÿ 3 Ÿ 8& , para . Ora, pelo teorema 7.6,

" "3œ! 3œ!

8 83 37 ¸ Q& &,

e como


" " "3œ! 3œ! 3œ!

8 8 83 37 Ÿ 0Ð+ 3 Ñ Ÿ Q& & & &,

vem

( Š ‹"+

,9 8

3œ!0ÐBÑ.B œ 0Ð+ 3 Ñ& & .è

Observe-se que, nesta demonstração, qualquer outra partição infinitesimal em vezde servia, obtendo-se uma fórmula correspondente paraT œ Ö+ß + ß + # ß ß ,×& & ...o integral.

7.8 ExemploComo exemplo de aplicação, mostramos que, para qualquer ,B − ‘

(!

B #

>.> œB

#.

Por transferência, basta fazer a demonstração para standard. Tem-se, porBdefinição

( Š ‹!

B9>.> œ Ð3 Ñ"8

3œ!& & ,

com tal que , logo . Ora,8 8 Ÿ B Ð8 "Ñ B œ Ð8 Ñ œ ÐÐ8 "Ñ Ñ& & & &9 9

"8

3œ!& & & &

& &Ð3 Ñ œ Ð" # â 8Ñ œ ‚ œ

8Ð8 "Ñ 8 Ð8 "Ñ

# ## # ,

donde

( Š ‹!

B9

#

>.> œ œ œÐ 8ÑÐ Ð8 "ÑÑ Ð 8Ñ Ð Ð8 "ÑÑ B

# # # .& & & &9 9

7.9 Teorema (Comprimento de um arco de curva)Seja (com standard) uma curva standard de classe de0 Ò+ß ,Ó Ä 8 GÀ ‘8 "

comprimento . Então, para todo , , tem-sePÐ0Ñ ¸ ! !& &

PÐ0Ñ œ m0Ð+ Ð3 "Ñ Ñ 0Ð+ 3 Ñm9Š ‹"3œ!

/& & ,

onde é tal que / /& / &+ Ÿ , + Ð "Ñ Þ

Dem. Dados e como no enunciado, como é standard e de classe , tem-se& / 0 G"

(exercício 6.11.16, p. 60), para todo tal que ,8 ! Ÿ 8 Ÿ /

0Ð+ Ð8 "Ñ Ñ 0Ð+ 8 Ñ œ 0 Ð+ 8 Ñ Ð8Ñ& & & & &$w ,


onde , donde$Ð8Ñ ¸ !

," "3œ! 3œ!

/ /m m ¸ m0 Ð+ 3 Ñm0Ð+ Ð3 "Ñ Ñ 0Ð+ 3 Ñ& & & &w

pois

"3œ!

/ ,& $m Ð3Ñm Ÿ QÐ, +Ñ ¸ !

onde . Pela fórmula do integral (teorema .6) vemQ œ Öm Ð3Ñm ! Ÿ 3 Ÿ ×max $ /À 7

PÐ0Ñ œ m0 Ð>Ñm.> œ m m( Š ‹+

,w 9 "

3œ!

/0Ð+ Ð3 "Ñ Ñ 0Ð+ 3 Ñ& & ,

donde a igualdade, por se tratar de duas quantidades standard.è

7.10 ExemploSeja definida por cos sen , cujo gráfico é a0 Ò!ß # Ó Ä 0Ð>Ñ œ Ð >ß >ÑÀ 1 ‘#

circunferência de centro na origem e raio . Seja , , e tal que" ¸ ! !& & //& 1 / & / /Ÿ # Ð "Ñ . Inscrevendo um polígono regular com lados ( necessaria-mente ilimitado), obtemos

" ""

3œ! 3œ!

3œ!

/ /

/

m0Ð3 Ñ 0ÐÐ3 "Ñ Ñm œ Ð# # Ñ

œ ¸ Ð "Ñ ¸ #Ð Î#Ñ

Î#

& & &

& / & 1&

&

cos

,sen

"Î#

donde .PÐ0Ñ œ #1

7.11 Exercícios e problemas1. Identifique o erro no argumento seguinte, no qual se pretende provar que toda a

função standard contínua é uma função polinomial: «Seja uma função standard e 0 To polinómio de interpolação de Lagrange, que coincide com em todos os pontos de0um conjunto finito contendo todos os números reais standard. Como e J § 0 T‘coincidem em todos os pontos standard, .»0 œ T

2. Mostre que existe um polinómio não nulo que se anula em todos os pontosstandard. Existe um tal polinómio standard?

3. Sejam , um natural ilimitado tais que .0 Ä B − 0ÐBÑÎ ¸ !À ‘ / ‘ /ast

Mostre que existe um conjunto finito contendo todos os reais standard tal que\ § ‘

1.

/† 0ÐBÑ ¸ !"

B−\

4. Duas matrizes reais (do mesmo tipo) e tais que para todo ,E œ Ò+ Ó F œ Ò, Ó 334 34

4 + ¸ ,, , têm a mesma característica?34 34

5. Seja , , . Mostre que é um subgrupo standard& & & ™¸ ! ! K œ Ö8 À 8 − × KSt

do grupo aditivo . Determine quando com primo, e quando ‘ & &K œ "Î: : œ "Î:


com primo. Podemos escolher de tal modo que , ,:Î# K œ # K œ& ™ ÈK œ # È ?

6. Utilizando a identidade , mostre que" # â 8 œ 8Ð8 "ÑÐ#8 "ÑÎ'# # #

(!

B# $> .> œ B Î$.

7. Seja standard.0 Ò!ß Ò ÄÀ _ ‘

(a) Mostre que o integral impróprio é convergente sse para quaisquer'!_

0Ð>Ñ.>

reais ilimitados positivos , B C

(B

C

0Ð>Ñ.> ¸ !.

(b) Conclua que, para qualquer ilimitado positivoB

( (Š ‹! !

_ B90Ð>Ñ.> œ 0Ð>Ñ.> .

8. Seja uma sucessão standard limitada. Mostre que para todo ? œ Ø? Ù −8 / ilimitado

lim sup8Ä_

.? œ Ð Ö? 8 ×Ñ8 89 sup À /

Em particular, este número não depende de ./

9. Mostre que se é um sublimite de tal que , com ilimitado, ? œ Ø? Ù , œ Ð? Ñ89

/ /par (ímpar), então existe uma subsucessão de índice par (ímpar, respectivamente) deØ? Ù ,8 que converge para .

10. (II Lema de Robinson) Prove que se é standard, e para todo0 0Ð\Ñ ¸ !\ Ÿ ¸ _ 0Ð\Ñ ¸ ! \ ¸ _3 , então para todo .

Dividi o meu estudo inteiro em partes E os títulos dos capítulos são vazios... — Fernando Pessoa, Poesias inéditas

’„†”ƒ ‘“„

DESENVOLVIMENTOS

69

Capítulo III

PRINCÍPIO DE CAUCHY E APLICAÇÕES

§8. Relativização, conversão de quantificadorese princípio de Cauchy

Regressemos à teoria geral, ao tópico em epígrafe (maior desenvolvimento no§13). O axioma de Idealização (I) fornece uma importante regra de conversão dequantificadores limitados ou não a , simbolicamenteST

a astfin stD bC aB bCÍ B.

Uma importante regra de conversão dos quantificadores usuais , está implícitaa bno Axioma da Escolha (AC). Em notação óbvia (utilizando « » como variável para0aplicações)

aB bC Í b0 aB.

Obtemos uma regra correspondente para os quantificadores externos

a b b ast st st stB C Í 0 B,

aplicando o Axioma de Standardização (S), juntamente com , obtendo ao mesmo(AC)tempo uma importante maneira de definir funções standard a partir de relações internasou externas, que generaliza o princípio da extensão funcional 4.3. Antes disso, porém,necessitamos do conceito de de uma fórmula a uma classe.relativização

Seja uma classe interna ou externa, definida por uma fórmula com umaGvariável livre, digamos . Em particular, pode ser um conjunto. AG Gœ ÖB ÐBÑ×À <cada sentença associamos a [ou: a ],9 relativizada de a relativizada de a 9 9 <G ÐBÑque se denota

70 II PARTE — DESENVOLVIMENTOS

9 9Ð Ñ Ð ÐBÑÑG [ou: ],<

e se define como sendo a sentença que resulta de substituindo cada ocorrência em 9 9de um quantificador , por um quantificador limitado a , , aB bB aB − bB −G G G(ou: , , respectivamente. Em particular, se ,aB Ð ÐBÑ Ê Ñ bB Ð ÐBÑ • ÑÑ œ< <... ... G STdizemos que é a . Como tem sido9Ð ÑST relativizada de aos conjuntos standard9habitual, escrevemos , em vez de , (ou , a b Êst stB B aB − bB − aB Ð bBST ST stÐBÑ Ñ...ÐstÐBÑ • Ñ... ), respectivamente.

8.1 Princípio de relativização aos conjuntos standardPara qualquer sentença interna (possivelmente com constantes standard) tem-9

se

9 9Í Ð ÑST .

Dem. Para estabelecer este resultado metateórico necessitamos de um resultadoda lógica matemática (v. [ ] pp. 106-108), segundo o qual toda a fórmula (em240 9ÐBÑtparticular, toda a sentença) é logicamente equivalente a uma fórmula com as mesmasvariáveis livres (sentença, respectivamente) na , isto é, daforma normal prenexadaforma

U C U C U C ÐBß C ß C ß ß C Ñ" " # # 8 8 " # 8... ...) t ,

onde cada é ou e é uma fórmula sem quantificadores nas variáveisU a b3 )Bß C ß C ß ß Ct " # 8... . Assim, dada uma sentença interna , que, sem perda de generalidade,9já podemos supor na forma normal prenexada, , aplicando sucessiva-U C U C" " 8 8... )mente (T) ou (T ) da direita para a esquerda (conforme é ou ) obtemos final-w U a b3

mente a equivalência de com a sua relativizada aos conjuntos standard, .9 9ÐSTÑ è

Em particular, pois, para todo o axioma (e todo o teorema, expresso por umasentença de ) de , é um teorema de , donde o_ 9 9ZF C ZFN C( ) ( )ÐSTÑ

8.2 CorolárioTodos os axiomas e teoremas da matemática clássica, relativizados aos

conjuntos standard, são válidos em .ZFNC è

Na demonstração do teorema seguinte interessa-nos particularmente arelativização do Axioma da Escolha aos conjuntos standard, (AC) : todo o conjuntoÐSTÑ

standard de conjuntos não vazios possui uma função de escolha standard.

8.3 Princípio de extensão funcional (Saturação forte)Sejam , conjuntos standard, uma relação binária (interna ou externa) talE F V

que Então existe uma função standard tala b Àst stB − E C − FVÐBß CÑ. 0 E Ä Fque

astB − EVÐBß 0ÐBÑÑ.

III. PRINCÍPIO DE CAUCHY E APLICAÇÕES 71

Dem. Se é funcional, o resultado já foi demonstrado (teorema 4.3). No casoVgeral, considere-se primeiramente o conjunto standard e a relação F ÐFÑw œ T Vw

definida por

VwÐBß DÑ À Í B − E • D œ ÖC − F VÐBß CÑ× St À

Obviamente , isto é, é funcional, logo, pela primeiraast stB − Eb" wD − F V ÐBß DÑ Vw w

parte demonstrada com no lugar de , existe uma função standard Ð VÑ G E Ä FVw À w

tal que . Por hipótese sobre , para todoa ÀstB − E G œ ÖC − F VÐBß CÑ× V G Á gB BSt

B − E5 . Utilizando a relativização de aos conjuntos standard para escolher em(AC)cada tal um membro obtemos uma função standard tal queG 0ÐBÑ 0 E Ä FB ÀVÐBß 0ÐBÑÑ B E para todo standard em .è

Utilizando a notação introduzida logo após 4.3 (« » como variável para funções)C~podemos condensar o princípio acima por

(EF ) .w a B b C Í b C a Bst st st st~

Alguns resultados subsidiários úteis em certas aplicações têm o nome dePRINCÍPIOS DE PERMANÊNCIA: em certas condições, certa propriedade (relação,ou até função) permanece válida (prolonga-se) num domínio mais vasto que o inicial-mente suposto ou concebido. Classicamente, tal fenómeno de permanência éfrequente, por exemplo, em Topologia, para funções contínuas, resultando da distin-ção aberto/fechado: se é uma função real contínua e nula num aberto (não vazio e0contido propriamente no espaço todo) então é nula num fechado contendo o dito0aberto; desigualdade num ponto de continuidade estende-se a uma vizinhança desseponto, etc. O termo Princípio de Permanência é devido a Lightstone & Robinson« »[221]. Tais princípios foram designados por Stroyan & Luxemburg [317] de« »Princípios de Continuidade , por conotação com o célebre princípio de Leibniz (v.[48] p. 217), sendo um primeiro tal princípio o já citado (v.PRINCÍPIO DE CAUCHY Nota 14, p. 29), mas o fenómeno foi primeiramente observado por Robinson (noLEMA DO TRANSBORDO 6.3 — v. adiante).31

Na matemática não-standard o fenómeno resulta sobretudo da distinção inter-na/externa entre classes. Note-se já que os axiomas de transferência são, em certosentido, princípios de permanência para fórmulas internas (possivelmente com parâ-metros e constantes standard) : se então ; em9 9 9ÐBß Ñ B ÐBß Ñ aB ÐBß Ñ... ... ...ast

particular, se é um conjunto standard e então ; eE B − E ÐBß Ñ aB − E ÐBß Ñast 9 9... ...se, além disso, é infinito, então tem-se para algum não-standard em .E ÐCß Ñ C E9 ...Para fixar ideias, diremos daqui em diante que uma classe contida num conjunto

31 A designação Princípio de Cauchy devida a D. Laugwitz (« » é [215]; o mesmo nome édado por Stroyan & Luxemburg [ ] p. 110, a uma versão topológica particular, v. Ex.31711.14.6), que a justifica com a observação de que se encontram nos trabalhos de Cauchyargumentos do tipo: se certa propriedade é satisfeita por todos os pontos infinitamente«próximos de um dado ponto , então ela é satisfeita numa vizinhança de .T T! !»


interno é sse a suposição de que ela é interna (e, portanto, um(estritamente) externaconjunto) leva a uma contradição com algum teorema clássico.32

O referido princípio de Cauchy enuncia-se então:

8.4 Princípio de CauchyUma classe externa não é interna.

Vejamos uma versão aritmética deste mesmo princípio.

8.5 Princípio de Cauchy Ð ÑForma aritméticaSeja uma condição interna na variável natural . Se então existe9Ð8Ñ 8 ast8 Ð8Ñ9

um natural não-standard tal que .. . 9a8 Ÿ Ð8Ñ

Dem. Pois a classe está contida no conjunto (interno) 5 Ö7 − a8 Ÿ 7À

9 .Ð8Ñ×, mas a inclusão é própria, pois não é conjunto. Qualquer não-standard5

naquele conjunto serve o intento.è

O lema do transbordo de Robinson (6.3) pode-se considerar uma consequênciadeste princípio. Veremos a seguir outras aplicações.

O argumento que prova a forma aritmética do Princípio de Cauchy estende-se auma ordem parcial qualquer num conjunto infinito standard.

8.6 Permanência numa ordem parcialSeja um conjunto parcialmente ordenado infinito e standard, tal queÐEß Ñ

nenhum elemento não-standard precede um elemento standard, uma condição9ÐBÑinterna numa variável e, possivelmente, parâmetros standard tal que B Ð Ñ B − East

9ÐBÑ F. Então existe um conjunto standard tal que5E § F • aC − F ÐCÑ .9

Dem. Seja , conjunto interno (por Separação) e stan-F ÖC − E aB Ÿ C ÐBÑ×œ À 9dard contido em . Tem-se pois se é standard e então aindaE E © FÀ C − E B Ÿ C B5

é standard, por hipótese sobre , logo ; portanto , isto é, . ÐBÑ aB Ÿ C ÐBÑ C − F9 9Mas aquela inclusão é própria, caso contrário seria um conjunto standard de5E œ F

elementos standard, logo finito, pelo Teorema 3.4. Mas, sendo e ambos standardE E5

com os mesmos elementos standard, seria , contra a hipótese de serE œ E œ F E5

infinito. A última parte da conclusão é óbvia.è

32 Deve-se dizer que Nelson p. 1175 propõe uma maneira de lidar com conjuntosÒ Ó250estritamente externos com o «à vontade habitual mas a um preço: num modelo» ßconjuntista de , os conjuntos estritamente externos no sentidoÀ œ Ð ÑM stß − ßÀ À ZFNCde são conjuntos «reais mas na metateoria. Hrbacek 176, 177], Lutz & Goze 233 , eÀ »ß Ò Ò ÓKawai 188 axiomatizam, embora de maneiras ligeiramente diferentes, uma «teoria dosÒ Óconjuntos externos que estende . No Apêndice a 257 descreve-se, em linguagem» ZFNC Ò Óquanto possível uniforme, estes diferentes sistemas.


Na literatura mais recente encontramos formulações diversas de princípios«gerais de permanência . Desenvolvemos este assunto mais adiante.»

8.7 Exercícios e Problemas1. Mostre que as classes seguintes não são conjuntos (são classes externas, ou,

abusivamente, ):conjuntos externos

(a) hal , para cada , chamada o de ;ÐBÑ œ ÖC − C ¸ B× B − B‘ ‘À halo

(b) classe (externa) dos inteiros standard;5™ œ

(c) hal é ilimitado , chamada o (em );Ð_Ñ œ ÖB − B ×‘ ‘À halo do infinito

(d) é limitado , chamada a (em );KÐ!Ñ œ ÖB − B ×‘ ‘À galáxia principal

(e) @ classe dos reais apreciáveis.AP œ œ

2. Uma função real ( ) diz-se se o seu gráfico« » B È 0ÐBÑ B − H © ‘ externa(isto é, a própria classe ) é uma classe externa que não é conjunto. Diga se são0externas ou internas as funções reais definidas pelas expressões seguintes:« »

(a) arctg , onde ;ÐBÎ Ñ ¸ !& &

(b) se hal se hal ;0ÐBÑ œ ! B Â Ð!Ñ 0ÐBÑ œ " B − Ð!Ñ,

(c) se se , onde , ;0ÐBÑ œ ! B Ÿ "Î 0ÐBÑ œ " B "Î ¸ ! Á !& & & &,

(d) , onde ;& &B ¸ !

(f) ( );9B B − Ò!ß "Ó

(g) , onde é como em (b).maxÖ0ÐBÑß "× 0

3. Seja standard. Prove que se existe ilimitado tal que 0 Ä − 0ÐBÑ ¸ !À ‘ ‘ / para todo ilimitado menor do que , então . [V. também ex.B 0ÐBÑ œ !/ lim

BÄ_

7.11.10, pág. 66. Este resultado é utilizado no Cap. VII (Lema 22.5, «Ribeiro», pág.213)]

4. Seja uma família interna de reais infinitesimais (limitados). Prove queØ Ù&3 3−M

inf supÖ 3 − M× Ö 3 − M×& &3 3À À e são infinitesimais (limitados, respectivamente).

5. Seja uma sucessão de números reais. Mostre que:Ø? Ù8

(a) existe ilimitado tal que ;a Êst8 Ð? Ÿ "Ñ ? Ÿ "8 / /

(b) se com standard, então admite um sublimite. Estaa l lst8 Ð ? Ÿ <Ñ < ! Ø? Ù8 8

propriedade é verdadeira se enfraquecermos a hipótese para é limitado)?ast8 Ð?8

(c) existe ilimitado tal que ;a Êst8 Ð8? Ÿ "Ñ a8 Ÿ Ð8? Ÿ "Ñ8 8/ /

(d) existe ilimitado tal que .a Êst8 Ð? ¸ !Ñ a8 Ÿ Ð? ¸ !Ñ8 8/ /


§9. Espaços métricos

Muitas noções e resultados de capítulos anteriores são imediatamente extensíveisaos espaços métricos, mediante as definições adequadas.

Nesta secção consideramos espaços métricos standard, logo o suporte eÐIß .Ñ Ia função distância são ambos standard. Como é habitual, se não. I ‚ I ÄÀ ‘

houver confusão possível designamos o espaço métrico pelo respectivo suporte. ParaB − I < ! FÐBß <Ñ B < e , designa a bola aberta de centro e raio , que é standard sseB < e são ambos standard.

Num tal espaço, dizemos que um elemento é sse existe B − I C − Ilimitado standard tal que é limitado. Os elementos , dizem-se .ÐBß CÑ B C − I infinitamentepróximos equivalentes, ou , e escreve-se , sse . Um elemento diz-B ¸ C .ÐBß CÑ ¸ ! Bse (abreviadamente, ps) sse existe standard tal que ;próximo-standard C − I B ¸ Cum tal , se existir, é único, denota-se e chama-se a ou de .C B9B parte standard sombraDe facto, se e com , standard, tem-se , masB ¸ C B ¸ C C C .ÐBß CÑ ¸ .ÐBß C Ñ ¸ !w w w

.ÐBß CÑ œ .ÐCß BÑ .ÐCß C Ñ Ÿ .ÐCß BÑ .ÐBß C Ñ .ÐCß C Ñ ¸ ! e , donde , logow w w

.ÐCß C Ñ œ ! .ÐCß C Ñ C œ Cw w w, por ser standard, e portanto .Dado um conjunto , um elemento é sse éE © I B − I Bpróximo-standard em E

próximo-standard de um elemento standard (isto é, sse é ps e ). PorC − E B − E9Boutro lado, um conjunto é sse todos os elementos de sãoE © I Epróximo-standardps, e é um sse todos os elementos de são limitados, isto é,E Econjunto de limitadosestão a uma distância limitada de um elemento standard.

9.1 TeoremaSeja um espaço métrico standard, um conjunto de limitados.ÐIß .Ñ E © I

Então está contido numa bola standard (e, portanto, é limitado no sentido usualE Eda métrica )..

Dem. Seja um conjunto de limitados, um elemento standardE © I D − Iqualquer. Por hipótese sobre , . Como é standard,E aB − E C .ÐBß CÑ ¥ .bst _tem-se com standard, mas , logo.ÐCß DÑ ¥ Cß D .ÐBß DÑ Ÿ .ÐBß CÑ .ÐCß DÑ_.ÐBß DÑ ¥ B − E_ para todo . Assim, o conjunto interno

Q œ Ö8 − aB − E.ÐBß DÑ 8× À

contém todos os naturais ilimitados, isto é, . Como não é Ï © Q Ï5 5

conjunto, a inclusão é própria (Princípio de Cauchy), isto é, existe standard,8 − Qlogo para um tal .E © FÐDß 8Ñ 8 è

Reciprocamente, se é um conjunto standard limitado no sentido usual,E © Ientão é um conjunto de limitados: pois, se existe uma bola aberta tal que ,E F E © Fentão, por (T ), existe uma tal bola standard, digamos , logo w FÐDß <Ñ aB − E.ÐBß DÑ <. Podemos concluir, pois:


9.2 CorolárioNum espaço métrico standard, um conjunto standard é limitado sse é umE E

conjunto de limitados.è

Em conformidade com terminologia que há-de ser introduzida mais adiante,dizemos que é - sse é um conjunto de limitados. Para standard, éE W E E Elimitadolimitado sse é -limitado.E W

Os critérios de continuidade, continuidade uniforme, convergência de umasucessão, etc. generalizam-se imediatamente aos espaços métricos standard. Mas nemtodas as outras propriedades de se generalizam. Por exemplo, não é verdade, em‘geral, que todo o elemento limitado de um espaço métrico standard seja próximo-stan-dard, isto é, possua sombra.

9.3 ExemploSeja o espaço das sucessões reais limitadas com a métrica definida porj ._ _

. Ð?ß @Ñ Ö ? @ 8 − ×_ 8 8œ l lsup : ,

e consideremos o elemento definido por? œ Ø? Ù − j8 _

? œ! 8 Á" 8 œ8 , se

se œ //

onde é um natural ilimitado dado. Tem-se/

. Ð?ß !Ñ œ Ö ? ! 8 − × œ "_ 8sup l l À ,

logo é limitado. Mas não possui sombra, pois se existisse standard tal? ? @ œ Ø@ Ù8que ter-se-ía , logo , donde, por transferência, ? ¸ @ 8 Ð@ ¸ !Ñ 8 Ð@ œ !Ñ a8a ast st

8 8

Ð@ œ !Ñ . Ð?ß !Ñ œ "8 _, o que é absurdo pois .

Os espaços métricos, como (e os espaços normados de dimensão finita), em‘que todas as bolas fechadas são compactas são chamados Aespaços próprios.caracterização não-standard desta noção, para espaços métricos standard, é simples-mente: todo o elemento limitado é próximo-standard. Obteremos este resultado apartir da caracterização não-standard da compacidade (generalização do teorema5.15). Antes desta, convém obter uma caracterização topológica da noção .¸

9.4 Lema (Caracterização de ¸ ÑSeja um espaço métrico standard. Então, para todo standard e todoI B − I

C − I B ¸ C B C, sse toda a vizinhança standard de contém .

Formalmente, representando por o conjunto das vizinhanças de :iB B

a ast stB − I aC − I ÐB ¸ C Í Y − ÐC − YÑÑiB .

Dem. Seja standard, tal que . Como as bolas abertas constituem umB C B ¸ Csistema fundamental de vizinhanças em torno de cada ponto, tem-se


aY − b< !FÐBß <Ñ © YiB ,

donde, por transferência (duas vezes),

a bst stY − < !FÐBß <Ñ © YiB .

Como , isto é, , tem-se, para todo standard, , logoB ¸ C .ÐBß CÑ ¸ ! < ! C − FÐBß <ÑC − Y Y −, para toda a vizinhança standard .iB

Reciprocamente, sempre com standard, se pertence a toda a vizinhança stan-B Cdard de , então, em particular, , logoB < ! C − FÐBß <Ñast

ast< ! .ÐBß CÑ <,

e portanto , isto é, ..ÐBß CÑ ¸ ! B ¸ C è

9.5 Teorema ( )Caracterização da compacidadeSeja um espaço métrico standard. Um conjunto standard é compactoI E © I

sse todo o ponto de é próximo-standard em .E E

Dem. Seja compacto standard e suponhamos, com vista a um absurdo, queEexiste que não é próximo-standard em . Então nenhum elemento standardB − E EC − E B C − E é equivalente a , logo, pelo lema anterior, para cada standard existeuma vizinhança aberta standard de tal que . Sendo o conjunto dosY œ Y C B Â YC habertos de , seja o standardizado da classe de tais vizinhanças, isto é,I V

V hœ ÖY − C − E ÐC − Y • B Â YÑ×St À bst

Então , por transferência, e como tem-se, porV h h© C − EbY − ÐC − YÑast

transferência (T )w

a bst stC − E Y − ÐC − YÑh ,

donde,

astC − E bY − ÐC − YÑV ,

e, portanto, novamente por transferência (T), é uma cobertura aberta de . Como V E Eé compacto, podemos extrair de uma subcobertura finita, , que podemos suporV V!standard, por (T ). Então todos os abertos de são standard, e são abertos w V! CY œ Ytais que com standard e , o que é absurdo pois .C − Y C − E B Â Y B − E

Reciprocamente, suponhamos que todo é próximo-standard em .B − E EMostramos que de toda a cobertura aberta de se pode extrair uma cobertura finita.V EPor transferência, basta fazer isto para standard. Tem-se entãoV

aB − EbY − ÐB − YÑV ,

donde, por transferência,

a bst stB − E Y − ÐB − YÑV .


Seja um conjunto finito contendo todos os abertos standard deJ œ ÖY ßY ß ß Y ×" # ... /

V V. Mostramos que é uma subcobertura finita de . De facto, para qualquerJ EB − E − E Y − − Y, existe , e existe tal que ; como e são standard, existe9 9 9B B BV Vum tal standard, por (T ), logo , mas como tem-se também,Y Y − J B ¸ − Yw V 9Bpelo lema, .B − Y è

9.6 CorolárioUm espaço métrico standard é próprio sse todo o elemento limitado é próximo-

standard.è

Recorde-se que um espaço métrico é sse toda aI (topologicamente) completosucessão de Cauchy é convergente. Utilizaremos, no que segue, a caracterização não-standard das sucessões de Cauchy (tal como em : standard é de Cauchy sse‘Ñ Ø? Ù8para quaisquer , ilimitados .. / ? ¸ ?. /

9.7 Teorema (Caracterização dos espaços completos)Um espaço métrico standard é completo sse para todo , é próximo-I B − I B

standard ou existe uma bola aberta com raio standard que não contém< FÐBß <Ñnenhum elemento standard.

Dem. Suponhamos completo e seja tal queI B − I

a bst st< ! C − I C − FÐBß <Ñ.

Mostramos que é próximo-standard. Escolhendo, para cada standard, umB 8 − elemento standard ), obtemos, por extensão funcional, umaC − FÐBß "ÎÐ8 "Ñ8

sucessão standard . Esta sucessão é de Cauchy, pois para quaisquer , ØC 8 − Ù 7 88 À com tem-se7 8

.ÐC ß C Ñ Ÿ .ÐC ß BÑ .ÐBß C Ñ #

7 "7 8 7 8 .

Então ela converge, para um ponto , tal que para todo ilimitado. OC C œ 9C/ /conjunto

Ö8 − C − FÐBß "ÎÐ8 "ÑÑ× À 8

é um conjunto interno contendo todos os naturais standard, logo, pelo princípio deCauchy, existe ilimitado tal que , isto é, . Então/ / /C − FÐBß "Î Ñ .ÐBß C Ñ "Î ¸ !/ /

B ¸ C ¸ C B/ , logo é próximo standard.Reciprocamente, suponhamos satisfeita a condição. Temos de mostrar que toda a

sucessão de Cauchy é convergente, bastando fazê-lo para sucessões standard, por (T).Seja uma sucessão standard de Cauchy. Então, para quaisquer , ilimitados,Ø? Ù8 . /? ¸ ? Ø? Ù ?. / /. Se não convergisse, existiria ilimitado tal que não é próximo-stan-8 /dard, e então, pela hipótese,

b ast st< ! C C Â FÐ? ß <Ñ ./


Ora, para um tal , o conjunto<

Ö8 − .Ð? ß ? Ñ <× À 8 /

é interno e contém todos os naturais ilimitados, logo contém algum natural standard,digamos . Como é standard, é standard e pertence à bola , o que é5 Ø? Ù ? FÐ? ß <Ñ8 5 /

absurdo.è

Com este critério pode-se demonstrar, por exemplo, que não é completo, mas ‘e , são completos (exercício 11).Ðj . Ñ_ _

Terminamos esta secção com uma aplicação do critério .5 ao espaço de Hilbert9(espaço normado completo) , o espaço das sucessões reais de quadrado somável,j#

com a norma

m mØ? Ù œ ? Þ8 83œ!

_ #"Î#Š ‹" l l

9.8 Teorema (Cubo de Hilbert)No espaço , o conjunto é compacto.j G œ ÖØ? Ù a8 − ? Ÿ "ÎÐ8 "Ñ×#

8 8À l l

Dem. O conjunto em questão é chamado o cubo de Hilbert. Provamos que todoG o elemento de é próximo-standard em . Seja . Por definição de G G ? œ Ø? Ù − G G8

tem-se que, para todo , é próximo-standard. Em particular, para todo stan-8 − ? 8 8

dard, existe . Por extensão funcional, existe uma sucessão standard@ œ Ð? Ñ8 89

@ œ Ø@ Ù 8 Ð@ ¸ ? Ñ @ − G ? @ ¸ !8 8 8 tal que . Temos de mostrar que e , dondeast m mresulta, por ser standard, que possui sombra em .@ ? G

Por construção tem-se claramente logo, por transferência,a l lst8 @ Ÿ "ÎÐ8 "Ñ8

@ − G . Além disso, como

a l lst5 ? @ ¸ !Š ‹"3œ!

53 3

#"Î#

,

pelo Lema do Transbordo de Robinson existe existe ilimitado tal que/

Š ‹"3œ!

/l l? @ ¸ !3 3

#"Î#

.

Por outro lado, tem-se, para todo , ,8 − ? @ Ÿ ? @ Ÿ #ÎÐ8 "Ñ l l l l l l8 8 8 8

donde

Š ‹ Š ‹" "3œ " 3œ "

_ _

/ /l l? @ Ÿ %Î8 ¸ !3 3

# #"Î# "Î#

,

donde .m m? @ ¸ ! è


9.9 Exercícios e Problemas1. Seja um espaço métrico standard, um elemento standard. Mostre queI B

existe (exibindo) uma vizinhança de contida em todas as vizinhanças standard de .B BEsta propriedade é também válida num espaço topológico arbitrário? [V. Lema11.1(b), pág. 92].

2. Diz-se que uma família de conjuntos internos possui a ØE Ù3 3−M propriedade deintersecção finita (pif) sse para toda a parte finita de , . MostreN M ÖE 3 − N× Á g+ 3 Àque se uma família possui a pif, entãoØE Ù3 3−M

,ÖE 3 − M •3 À st .Ð3Ñ× Á g

3. Sejam , espaços métricos standard, standard e umaI I 0 I Ä I Ø0 Ùw wÀ 8

sucessão standard de aplicações de em . Prove que:I Iw

(a) converge pontualmente para sse ;Ø0 Ù 0 B − I a ¸ 0 ÐBÑ ¸ 0ÐBÑ8 ast / _ /

(b) converge uniformemente para sse Ø0 Ù 0 aB a ¸ 0 ÐBÑ ¸ 0ÐBÑÞ8 / _ /

4. Recorde que um espaço normado é um espaço vectorial com uma funçãoInorma tal que para quaisquer , e escalar se tem: (i)m † m À I Ä − I‘ -B Cm m œ Ê œ m Bm œ l lmBm mB Cm Ÿ mBm mCmB ! B !, (ii) , e (iii) . A - - métricaassociada à norma || é a função definida por † m . À I ‚ I Ä .Ð ß Ñ œ m mÞ‘ B C B CUm espaço topológico é sse é separado e todo o ponto possuilocalmente compacto uma vizinhança compacta. Mostre que todo o espaço normado localmente compacto épróprio (pág. 75).

5. Demonstre, por via não-standard, o seguinte teorema clássico relativo a funçõescontínuas em espaços métricos: toda a função contínua transforma compactos emcompactos.

6. Mostre que uma sucessão standard de funções 0 I Ä I8 À w convergeuniformemente sobre todo o compacto para uma função sse para todo 0 B − Ipróximo-standard e todo ilimitado se tem ./ − 0 ÐBÑ ¸ 0ÐBÑ8

7. Sejam , espaços métricos standard.I Iw

(a) Mostre que um conjunto standard é sse para todo E © I I B − Idenso em standard, hal , onde hal .ÐBÑ E Á g ÐBÑ ÖC − I C ¸ B×œ À

(b) Sendo denso em , mostre que uma aplicação possui um únicoE I 0 E Ä IÀ w

prolongamento contínuo sse para quaisquer próximos-standard0 I Ä I Bß C − EÀ w

em e equivalentes, e são próximos-standard em e equivalentes.I 0ÐBÑ 0ÐCÑ Iw

8. Sejam , espaços métricos standard. Prove que uma aplicação standardI Iw

0 I Ä I O © I 0 ÒOÓÀ w w é , isto é, para todo o compacto , é compacto, sseprópria 1

para todo próximo-standard em é próximo-standard em .B I 0ÐBÑ I, w

9. Demonstre, por via não-standard, o seguinte teorema clássico relativo a funçõescontínuas em espaços métricos: se é compacto e é bijectiva e contínuaI 0 I Ä IÀ w

então é contínua.01


10. Seja um conjunto standard e uma família de espaços métricos stan-M ØI Ù3 3−M

dard. Mostre que para todo o elemento standard do espaço produto\ œ ØB Ù3 3−M

I œ I B 3#3−M 3 3, cada componente de índice standard é standard, mas a propriedade

recíproca é falsa.11. (a) Mostre que não é completo, mas e , são completos. ‘ Ðj . Ñ_ _

(b) Mostre que o subespaço de constituído pelas sucessões nulas a partir dej_certa ordem (com a métrica induzida) não é completo. [ considere aSugestão:sucessão seguinte, onde é um natural ilimitado dado/

? œ"Î8 8 Ÿ! 8 8 œ se

se .]//

12. Duas funções têm o mesmo num ponto sse coincidem numa vizinhançagermedesse ponto. Prove que duas funções standard têm o mesmo germe num ponto stan-dard sse coincidem no halo desse ponto.

13. Seja um espaço métrico completo. Uma é uma aplicaçãoI contracção0 I Ä I 5 − ! 5 " BÀ tal que, para algum com se tem, para quaisquer ,‘C − I .Ð0ÐBÑß 0ÐCÑÑ Ÿ 5.ÐBß CÑ, .

(a) Dê demonstrações não-standard de que toda a contracção é lipschitziana e, porconsequência, uniformemente contínua.

(b) Demonstre, por método não-standard, o : Toda aTEOREMA DO PONTO FIXOcontracção de um espaço métrico completo possui um e um só ponto fixo, isto é,0existe um único elemento tal que .+ − I 0Ð+Ñ œ +

§10. Funções polinomiais no plano complexo

Incluimos nesta secção alguns resultados sobre e funções polinomiais de‚variável complexa (contidos em [89]). Para , , representamos por + − < ! Ð+ß <Ñ‚ Fa bola fechada (ou disco) de centro e raio : + < Ð+ß <Ñ œ ÖD − D + Ÿ <×ÞF À l l‚Aplicando o critério 9.5 acima, facilmente se verifica que toda a bola fechada FÐ+ß <Ñé compacta: por transferência, podemos supor standard; todo éF FÐ+ß <Ñ D − Ð+ß <Ñlimitado (9.2), logo possui sombra , mas9D

l l l l l l9 9D + Ÿ D D D + Ÿ <& ,

para qualquer infinitesimal positivo , o que implica , por ser& l l l l9 9D + Ÿ < D +

standard, logo . Utilizamos provisoriamente a notação (para , reais,9D − Ð+ß <Ñ <F )

< !)

IÐ<ß Ñ <Ð 3 Ñ) ) )œ cos sen .


A para o produto traduz-se então porfórmula de DeMoivre

IÐ<ß ÑIÐ=ß Ñ œ IÐ<=ß Ñ) : ) :

e, para ,8 −

IÐ<ß Ñ œ IÐ< ß 8 Ñ) )8 8 .

Resultados sobre funções contínuas transportam-se facilmente de para , mas‘ ‚devemos ter em conta que não há uma ordem em compatível com as operações de‚corpo. Assim, por exemplo, nenhum teorema se assemelha ao teorema do valorintermédio (7.1), mas o teorema de Weierstrass (v. exercício 9.8.5) admite a seguintegeneralização.

10.1 TeoremaSe é uma função (real ou complexa) contínua num compacto , então0 E © ‚

existem constantes , tais que7 Q − E

aB − E 0Ð7Ñ Ÿ 0ÐBÑ Ÿ 0ÐQÑl l l l l l.è

Um um polinómio cujos grau epolinómio standard é TÐDÑ œ + D − ÒDÓ!83œ! 3

3 ‚coeficientes são standard. Uma função polinomial é, obviamente, umaD È TÐDÑfunção contínua em , logo, se , são limitados e , então .‚ D D D ¸ D TÐD Ñ ¸ TÐD Ñ" # " # " #

Em particular, se , então .D ¸ ! TÐDÑ ¸ TÐ!Ñ œ +!

10.2 TeoremaSeja um polinómio standard não constante. Se é ilimitado, entãoTÐDÑ D − ‚

TÐDÑ é ilimitado.

Dem. Seja standard com (portanto, de grau TÐDÑ œ + D + Á ! TÐDÑ 8!83œ! 3 8

3

standard . Então, com ilimitadoÑ D

T ÐDÑ œ D + â œ D U+ + "

D D D8 8

88" !

8Š ‹ Š ‹.

Como é um polinómio standard (em e , tem-se ,U A œ "ÎDÑ "ÎD ¸ ! UÐ"ÎDÑ ¸ +8

mas é standard e não nulo, logo , que é ilimitado.+ TÐDÑ ¸ D +8 88 è

O resultado seguinte é um caso particular do chamado PRINCÍPIO DO MÓDULOMÁXIMO, segundo o qual o máximo do módulo de uma função analítica numcompacto não é atingido senão na fronteira.

10.3 LemaPara todo o polinómio não constante e todo , se , entãoTÐDÑ D − TÐD Ñ Á !! !‚

D T ÐDÑ Þ! não é um mínimo de l l


Dem. A menos de uma mudança de variável e um factor multiplicativo podemossupor, sem perda de generalidade, que e . Supondo entãoD œ ! TÐ!Ñ œ "!

T ÐDÑ œ " + D â + D +5 8 55 8, onde é o primeiro coeficiente não nulo depois de

+ œ "Ñ D T ÐDÑ "! , trata-se de mostrar que existe tal que .l lPonhamos ainda cos sen , de modo que+ œ IÐ<ß Ñ œ <Ð 3 Ñ5 ) ) )

TÐDÑ œ " IÐ<ß ÑD Ð" UÐDÑÑ) 5 ,

com .UÐ!Ñ œ !Por transferência, podemos supor standard, de modo que , , e sãoTÐDÑ + < UÐDÑ5 )

standard. Sejam um infinitesimal positivo, e tal que , isto é& ) &D IÐ<ß ÑD œ5

D œ IÐÐ Î<Ñ Ð ÑÎ5ÑÑ ¸ !& 1 )"Î5 , .

Então, como é contínua, , logoU UÐDÑ ¸ !

l l l lT ÐDÑ Ÿ Ð" Ñ UÐDÑ " œ TÐ!Ñ& & .è

10.4 Teorema Fundamental da ÁlgebraTodo o polinómio não constante possui um zero em .‚

Dem. Por transferência, podemos supor standard. Seja ilimitado,TÐDÑ < !7 − Ð!ß <Ñ T Ð7Ñ TÐDÑ Ð!ß <ÑF l l l l F tal que é mínimo de em , de modo quel l l l l l FTÐ7Ñ Ÿ TÐ!Ñ T Ð7Ñ D Ð!ß <Ñ. Então é limitado, e como é ilimitado fora de ,l l l l l lT ÐDÑ T Ð7Ñ Ÿ TÐDÑ também é ilimitado fora deste disco, logo dentro e fora dodisco , isto é, é um mínimo absoluto de . Pelo lema anterior, sóF l l l lÐ!ß <Ñ T Ð7Ñ Tpode ser .TÐ7Ñ œ ! è

10.5 Teorema de estabilidade dos zeros de um polinómioSeja um polinómio standard, um polinómioTÐDÑ œ + D ÐDÑ œ D! !8 8

3œ! 3œ!3 33 3C !

do mesmo grau tal que para , , . Se , então é8 ! ¸ + 3 œ ! 8 Ð-Ñ œ ! -! C3 3 ...limitado e .TÐ -Ñ œ !9

Dem. Se e então , e portanto . Se- œ ! Ð-Ñ œ ! œ ! œ + TÐ-Ñ œ TÐ!Ñ œ !C !! !

CÐ-Ñ œ ! - Á ! com , então, como

C ! ! !Ð-Ñ œ - Ð . â . Ñ œ !8 88 8" ! ,

com , vem. œ "Î-

! ! !8 8" !8 . â . œ !.

- . ¸ ! ¸ ! ¸ + + œ ! não pode ser ilimitado, caso contrário e portanto , logo , o!8 8 8

que é absurdo pois e são de grau . Portanto, é limitado, e existe .T 8 ! - - ¸ -C 9

Então para todo , e portanto , pois é standard, donde! C3 33 39- ¸ + Ð -Ñ 3 Ÿ 8 Ð-Ñ ¸ TÐ-Ñ 8


TÐ -Ñ ¸ TÐ-Ñ ¸ Ð-Ñ œ !9 C ,

o que implica .TÐ -Ñ œ !9è

O teorema seguinte (10.8) é instrumental no tratamento da função exponencial edas funções trigonométricas complexas que se fará logo de seguida, e também emmuitas outras situações em que, classicamente, se utilizam resultados clássicosbastante refinados, como veremos. Antes de o enunciar, introduzimos algumas noçõespertinentes, cujo estudo e generalização a espaços métricos standard arbitráriostambém será feita mais adiante.

Seja um aberto. Dizemos que é num ponto E © 0 E Ä D − E‚ ‚À W-contínua !

sse para todo , , o que equivale a dizer queD − E D ¸ D 0ÐDÑ ¸ 0ÐD Ñ! !Ê

0Ò ÐD ÑÓ © Ð0ÐD ÑÑhal hal .! !

Resulta de teoremas anteriores (no caso real e, mais geralmente, no caso de funçõesentre espaços métricos standard) que, para standard (logo, dom standard), é0 E œ 00W D − E 0 D 0 W-contínua num ponto standard sse é contínua no ponto , é -contínua emtodos os pontos standard de sse é contínua em , e é -contínua em (isto é, emE 0 E 0 W Etodos os pontos , standard e não-standard) sse é uniformemente contínua em .D − E 0 EUma definição deste tipo é, na verdade, uma instância de um axioma de standardização.Por exemplo, é -contínua num ponto standard sse0 Ä W D −À ‚ ‚ ‚!

0 − Ö0 − aD ¸ D Ð0ÐDÑ ¸ 0ÐD ÑÑ×St ‚‚ À ! ! .

Devemos ter em conta que, para funções não-standard, continuidade e -Wcontinuidade são noções essencialmente distintas, pois nenhuma delas implica aoutra (v. exercício 7 no final desta secção). Tem-se, contudo, a seguinte caracteri-zação (facilmente adaptável aos espaços métricos standard):

10.6 Lema (Caracterização da -continuidade)WSeja aberto. Uma função é -contínua num ponto standardE © 0 E Ä W‚ ‚À

D − E! sse

a b l l Ê l lst st$ & $ ! ! aD − EÐ D D 0ÐDÑ 0ÐD Ñ Ñ! ! .

Dem. Suponhamos -contínua no ponto standard . Dado standard,0 W D − E !! $o conjunto (interno)

Ö − aD − EÐ D D 0ÐDÑ 0ÐD Ñ Ñ×& ‘ & $ À l l Ê l l! !

contém todos os infinitesimais positivos, mas como hal + hal não éÐ Ñ !Ñ ! Ðœ ‘

conjunto, a inclusão é estrita, pelo Princípio de Cauchy. Existe, pois, positivo não&!infinitesimal tal que

aD − EÐ D D 0ÐDÑ 0ÐD Ñ Ñl l Ê l l! ! !& $ ,


e é evidente que tomando standard tal que se tem& & &! !

aD − EÐ D D 0ÐDÑ 0ÐD Ñ Ñl l Ê l l! !& $ .

Reciprocamente, satisfeita a condição, seja tal que , com D − E D ¸ D D − E! !

standard. Tomando positivo standard ao arbítrio, seja positivo standard tal que$ &

a? − EÐ ? D 0Ð?Ñ 0ÐD Ñ Ñl l Ê l l! !& $ .

Como , tem-se , logo . Quer dizer:D ¸ D D D 0ÐDÑ 0ÐD Ñ ! ! !l l l l& $

D ¸ D ! 0ÐDÑ 0ÐD Ñ ! !Ê a l lst$ $,

ou seja, .D ¸ D 0ÐDÑ ¸ 0ÐD Ñ! !Ê è

Para qualquer conjunto (ou, mais geralmente, , um espaçoE © E © I I‚métrico standard definimosÑ

psE œ À À bÖD − D E× œ ÖD − A − EÐD ¸ AÑ×‚ ‚ é próximo-standard em .st

Por outras palavras, sse possui sombra Obviamente, D − D D − EÞ E ©ps psE E9 5 ,mas , tal como , é, em geral, uma classe externa. Para standard, o teorema 9.5psE 5E E

diz-nos que

E Í E © é compacto .psE

10.7 LemaSeja standard aberto, . Se existe uma função standard eE © 0 E Ä‚ ‚À

contínua tal que1 E ÄÀ ‚

aD − psE0ÐDÑ ¸ 1ÐDÑ,

então é -contínua em todo o ponto 0 W D − psE.

Dem. Seja , , com standard, de modo que por serD − D ¸ D − E D D − E EpsE 9 9

aberto. Como é standard e contínua em , tem-se . Para qualquer1 D 1ÐDÑ ¸ 1Ð DÑ9 9

A ¸ D ¸ D A − A − E 1ÐAÑ ¸ 1Ð DÑ9 9, e , logo , dondepsE

0ÐAÑ ¸ 1ÐAÑ ¸ 1Ð DÑ ¸ 1ÐDÑ ¸ 0ÐDÑ9 .è

A generalização deste lema aos espaços métricos standard é imediata. É orecíproco deste lema (também generalizável aos espaços métricos standard) que é degrande importância.

10.8 Teorema da sombra contínuaSeja aberto standard, uma função próxima-standard nosE © 0 E Ä‚ ‚À

pontos próximo-standard em . Se é -contínua em então existe uma únicaE 0 W Efunção standard e contínua tal que 0 E Ä a! À E‚ D − 0 ÐDÑ ¸ 0ÐDÑps .!


Note-se que dizer que é de é0 Epróxima-standard nos pontos próximo-standard dizer que é próximo-standard para todo , isto é, que preserva a noção0ÐDÑ D − 0psEpróximo-standard: , ou sejaaD − 0ÐDÑ − ÒEÓps psE 0

0Ò Ó © ÒEÓps psE 0 .

É claro que, em (e, em geral, nos espaços métricos standard próprios, v. 9.6‚acima), as noções de próximo-standard e de limitado são equivalentes. A única funçãostandard e contínua tal que é chamada a da0 aD − 0 ÐDÑ ¸ 0ÐDÑ! !

psE função sombra função , e denota-se0

90 .

Tem-se, pois, , e é neste sentido que dizemos que é umaaD − Ð 0ÑÐBÑ ¸ 0ÐBÑ 0psE 9 9

função standard próxima da função (em .« » 0 EÑ

Dem. : se e são duas funções standard de em tais queUnicidade 0 0 E! " ‚

aD − Ð0 ÐDÑ ¸ 0ÐDÑ • 0 ÐDÑ ¸ 0ÐDÑÑpsE ! " ,

então, em particular, , donde ,a ast stD − E Ð0 ÐDÑ ¸ 0 ÐDÑÑ D − EÐ0 ÐDÑ œ 0 ÐDÑÑ! " ! "

pois e tomam valores standard em pontos standard. Por transferência,0 0! "

aD − EÐ0 ÐDÑ œ 0 ÐDÑÑ 0 œ 0! " ! ", isto é, .Existência: seja

0 ÖÐDß AÑ − E A ¸ 0ÐDÑ×! œ ÀSt ‚ ‚ .

Mostramos primeiramente que é (o gráfico de) uma função standard definida0!em . Obviamente é standard, faltando ver que é uma relação funcional em , istoE 0 E!

é, que , para o que basta provar, por transferência, queaD − Eb A ÐDß AÑ − 0"!

ast stD − Eb A ÐDß AÑ − 0"!.

Ora, para qualquer standard, é próximo-standard, por hipótese, logo existeD − E 0ÐDÑ

A Ð0ÐDÑÑ ¸ 0ÐDÑœ 9 .

Se também com standard, então , logo .A ¸ 0ÐDÑ A A ¸ A A œ Aw w w w

Mostramos que é contínua em . De facto, como é -contínua em tem-se,0 E 0 W E!

pelo lema 10.6, que para quaisquer standard e standard existe D − E ! !! $ &standard tal que

aD − EÐ D D 0ÐDÑ 0ÐD Ñ Î#Ñl l Ê l l! !& $ .

Ora, para standard, e, em particular, , donde,D 0 ÐDÑ œ Ð0ÐDÑÑ ¸ 0ÐDÑ 0 ÐD Ñ ¸ 0ÐD Ñ! ! ! !9

se | ,lD D ! &

l l l l l l l l0 ÐDÑ 0 ÐD Ñ Ÿ 0 ÐDÑ 0ÐDÑ 0ÐDÑ 0ÐD Ñ 0ÐD Ñ 0 ÐD Ñ! ! ! ! ! ! ! !

Ora, a soma da direita é infinitamente próxima de , logo, comol l0ÐDÑ 0ÐD Ñ Î#! $l l l l0 ÐDÑ 0 ÐD Ñ Î# 0 ÐDÑ 0 ÐD Ñ Ÿ Î# ! ! ! ! ! ! e são standard, tem-se . Quer dizer,$ $ $


então, que (com , restringidos aos positivos)$ &

a a b ast st st stD − E D − EÐlD D l Ê l0 ÐDÑ 0 ÐD Ñl Ñ! ! ! ! !$ & & $ ,

donde, por transferência (várias vezes, de dentro para fora)

aD − Ea ! b ! aD − EÐ D D 0 ÐDÑ 0 ÐD Ñ Ñ! ! ! ! !$ & & $| | | | ,Ê

o que mostra que é contínua em .0 E!

Mostramos, finalmente, que . Se é próximo-standard emaD − 0 ÐDÑ ¸ 0ÐDÑ DpsE !

E D ¸ D − E D − E 0 W 0, e , logo, por continuidade de e -continuidade de ,9!

0 ÐDÑ ¸ 0 ÐD Ñ ¸ 0ÐD Ñ ¸ 0ÐDÑ! ! ! ! .è

Observe-se que na demonstração de unicidade e na primeira parte dademonstração de existência se poderia ter procedido do seguinte modo: como, porhipótese, para cada , existe , temos, em particular, uma funçãoD − Ð0ÐDÑÑpsE 9 « »

D È Ð0ÐDÑÑ9

de em , logo, por extensão funcional (4.3), existe uma única função standard5 5E ‚

0 E Ä D − E0 ÐDÑ œ Ð0ÐDÑÑ! !À a‚ tal que . Temos, pois, o seguintest 9

10.9 CorolárioSeja um aberto standard, uma função próxima-standard nosE © 0 E Ä‚ ‚À

pontos próximo-standard em . Então existe uma única função standard E 0 E Ä! À ‚tal que astD − E 0 ÐDÑ œ Ð0ÐDÑÑ!

9 .è

Observando a demonstração de 4.3, ou a definição de no primeiro passo na0!demonstração de existência, vê-se que não é mais do que o standardizado do0!gráfico de , isto éD È Ð0ÐDÑÑ ÐD − EÑ9 5

0 œ ÖÐDß AÑ − A œ Ð0ÐDÑÑ×!St psE À‚ ‚ 9 ,

pois, para todo standard, .ÐDß AÑ A œ Ð0ÐDÑÑ Í A ¸ 0ÐDÑ9

Um tanto abusivamente, em nosso entender, alguns autores (como [103], p. 96)chamam a , obtida como no corolário anterior, a e denotam-na0! standardizada de 0 , St0 . Fica desde já convencionado que utilizaremos, como esses autores, o termo33

(função) standardizada de uma função como no enunciado de 10.9 para designar a0única função standard tal que0!

astD − 0 0 ÐDÑ œ Ð0ÐDÑÑdom .!9

Tal função poderá eventualmente ser designada , como fazem esses autores, mas0!St0

devemos ter em conta que, tecnicamente falando, , não é a mesma coisa que oSt0

33 Para ser exacto, a notação utilizada é , já que se utiliza a notação para o stan-W W0 G

dardizado da classe , que nós sempre denotámos .G GSt


conjunto standardizado do conjunto (como relação funcional), ou seja, do gráfico de00 K 0, . Por outro lado, a notação será utilizada para designar a única função standard0

9

e contínua equivalente a nos pontos dom , nos termos do teorema da sombra0 D − 0ps

contínua 10.8.

10.10 Exemplos Seja um infinitesimal positivo. Então:&

— a standardizada de definida por é a função standard0 Ä 0ÐDÑ œ DÀ ‚ ‚ &identicamente nula ;0 ´ !!

— a standardizada de definida por é a função stan-0 Ä 0ÐDÑ œ ÐD ÑÀ ‚ ‚ & #

dard ;D È D#

—a standardizada de definida por arctg é a função stan-0 Ä 0ÐBÑ œ ÐBÎ ÑÀ ‘ ‘ &dard tal que0!

0 ÐBÑ œÎ# B !

! B œ !Î# B !

!

ÚÛÜ

1

1

se se se .

Posto isto, seja um natural ilimitado, e ponhamos, para todo ,/ ‚D −

I ÐDÑD

8x/

/œ "

8œ!

8

.

Obviamente, a função é uma função polinomial, logo contínua emD È I ÐDÑ/

todo o plano complexo. Mostramos que, para qualquer ilimitado, esta função é/« »próxima de uma função standard.

10.11 LemaPara quaisquer naturais ilimitados , e quaisquer , limitados tais que/ . ‚D A −

D ¸ A I ÐDÑ I ÐDÑ ¸ I ÐAÑ, é limitado e ./ / .

Dem. Seja , de modo que, para ,T ÐDÑ D Î8x 7 888œ

T ÐDÑ œ T ÐDÑ †D

Ð7 "ÑÐ7 #Ñâ88 7

87

.

Com limitado e standard tal que vem, pois,D 7 D 7Î# 8Î#l l

( ) .‡ T ÐDÑ T ÐDÑ †"

#l l l l8 7

87Š ‹Desta relação sai que para standard, el l 8T ÐDÑ 88 é limitado é infinitesimal para

ilimitado; além disso, com ilimitado e limitado, standard como acima,8 œ D 7/


resulta que

l l l ll l

I ÐDÑ Ÿ T ÐDÑD

8x/

/ ," "

8œ! 8œ7"

78

8

o que mostra que é limitado, pois a primeira parcela da soma é um polinómioI ÐDÑ/

standard em limitado, e a segunda é majorada porl lD

l l l l l lT ÐDÑ † T ÐDÑ † œ T ÐDÑ † #" "

# #7 7 78œ7" 8œ!

87 8_" "Š ‹ Š ‹/

Mostramos que, para ilimitado e limitados se tem . Com/ D ¸ A I ÐDÑ ¸ I ÐAÑ/ /

efeito, para todo standard tem-se, por -continuidade, , logo, pelo8 W I ÐDÑ ¸ I ÐAÑ8 8

lema do transbordo de Robinson (p. 54), existe ilimitado tal que ,- I ÐDÑ ¸ I ÐAÑ- -

donde

I ÐDÑ ¸ I ÐDÑ ¸ I ÐAÑ ¸ I ÐAÑÞ/ - - /

Se mostrarmos que para limitado e , ilimitados quaisquer se temD - .I ÐDÑ ¸ I ÐDÑ. - , sai o resultado pretendido. Supondo, sem perda de generalidade, que. - 7 lDl 7Î# e é standard tal que , como acima, vem

l l l ll l

l l

I ÐDÑ I ÐDÑ Ÿ Ÿ T ÐDÑ †D "

8x #

Ÿ T ÐDÑ † † ¸ !" "

# #

. -. .

-

-

. -

.,

" " Š ‹"

8œ " 8œ7"

8

7

87

7 "7 55œ!

"

o que termina a demonstração.è

O teorema da sombra contínua será agora utilizado para obter a funçãoexponencial complexa . A partir da sua definição podem serD ÐDÑ œ /È exp D

estabelecidas as suas propriedades fundamentais.

10.12 Teorema (Existência e unicidade da exponencial complexa)Existe uma única função standard contínua tal que, para todoexp À ‚ ‚Ä

D − − ÐDÑ ¸ I ÐDÑ‚ / limitado e todo ilimitado .exp /

Dem. Para ilimitado, é limitada nos pontos limitados e -contínua. Logo,/ I D W/

pelo teorema da sombra contínua, existe uma única função standard contínuaexp exp/ / /À ‚ ‚Ä ÐDÑ ¸ I ÐDÑ D tal que para todo limitado. Mas, pelo lema 10.11,para qualquer ilimitado e standard tem-se , logo as funções. D I ÐDÑ ¸ I ÐDÑ/ .

sombra de e coincidem nos standard; por transferência, elas coincidem em ,I I D/ . ‚isto é, .exp exp exp/ .œ œ è

10.13 Teorema (Propriedades da exponencial)Para quaisquer , ,D A − ‚

(a) exp exp expÐD AÑ œ ÐDÑ † ÐAÑà


(b) e .expÐDÑ Á ! ÐDÑ œ Ð Ñexp exp D

Pondo, para , e , tem-se, além disso:> − > dÐ Ð3>ÑÑ > eÐ3>ÑÑ‘ cos expœ œsen(c) sen ;cos# #> > œ "

(d) existe mínimo tal que 0 (tal denota-se > ! > œ > Î#Ñà! ! !cos 1

(e) sen é periódica de período , enquanto as funções reais e sãoexp cos# 31periódicas de período 2 .1

Dem. (a) Tem-se

I ÐDÑ † I ÐAÑ œ †D A

:x ;x

œD A

:x ;x

œD A

:x ;x

œ †D A

:x Ð8 :Ñx

/ // /

/ /

/

/

" "" " Š ‹Š ‹" " Š ‹Š ‹" "

:œ! ;œ!

: ;

:œ! ;œ!

: ;

8œ! :;œ8

: ;

8œ! :œ!

8: 8:

,

mas ,1 1D A 8x :

:x Ð8 :Ñx 8x :xÐ8 :Ñx 8x 8† œ D A œ D A

: 8:: 8: : 8:Š ‹

logo ,I ÐDÑ † I ÐAÑ œ œ I ÐD AÑÐD AÑ

8x/ / /

/"8œ!

8

donde, para , standard, , e, por transferência, paraD A ÐDÑ † ÐAÑ œ ÐD AÑexp exp expD A, quaisquer.

(b) ; como vem exp exp exp expÐDÑ † Ð DÑ œ Ð!Ñ œ " I ÐDÑ œ I Ð Ñ ÐDÑ œ D/ / , expÐ Ñ D DD para standard, donde, por transferência, para qualquer.

(c) cos sen .# # #> > œ Ð3>Ñ œ Ð3>Ñ † Ð 3>Ñ œ "l l exp exp exp

(d) Ponhamos , , de modo que, para G Ð>Ñ dÐI Ð3>ÑÑ W Ð>Ñ eÐI Ð3>ÑÑ >/ / / /œ œlimitado, cos e sen , logo> ¸ G Ð>Ñ > ¸ W Ð>Ñ/ /

G Ð>Ñ œ ÐI Ð3>Ñ I Ð 3>ÑÑ œ Ð "Ñ" >

# Ð#:Ñx/ / /

/ ." Î#

:œ!

:#:

Como decresce para quando 1 cresce, a soma de uml lÐ "Ñ ! Ÿ > Ÿ # : : >Ð#:Ñx

#:

termo negativo com o termo positivo seguinte é negativa; assim, a soma até um termopositivo é um valor por excesso de ; em particular, G Ð>Ñ " Ð%Î#Ñ Ð"'Î#%Ñ œ/

"Î$ G Ð#Ñ é uma aproximação por excesso de , logo este número é negativo e,/

portanto, cos . Como cos 0 e cos é contínua, existe tal que# ! œ " > È > > − Ò!ß #Ócos . Seja> œ !


> œ Ö> − Ò!ß #Ó > œ !×#

!1

œ Àmin cos .

Tem-se cos , por continuidade da função cos .> œ ! > È >!

(e) Como cos , tem-se sen e , logo .> œ ! > œ „ " Ð3> Ñ œ „ 3 Ð%3> Ñ œ "! ! ! !exp expPor (a), é período de , e se fosse também um período, com%3> œ # 3 %3> Î5! !1 um exp5 % Ð%3> Î5Ñ œ ! > # 3, seria cos , contra a definição de . Portanto, é o período! ! 1positivo mínimo, isto é, é periódica de período 2 . Facilmente se concluiD È ÐDÑ 3exp 1que cos e sen são periódicas de período 2 .> È > œ dÐ Ð3>ÑÑ > È > œ eÐ Ð3>ÑÑexp exp 1 è

10.14 Exercícios e Problemas1. Seja um polinómio standard de grau , para , ,TÐDÑ œ + D 8 + ¸ 3 œ ! "! 3 3 3

3 !..., , . Decompondo em factores lineares, mostre que as raízes8 ÐDÑ œ D ÐDÑC ! C! 3

3

de são exactamente as sombras das raízes de (com as mesmas multiplici-TÐDÑ ÐDÑCdades).

2. Seja um polinómio standard de grau , ,TÐDÑ œ + D 8 UÐDÑ œ TÐDÑ D! 33 8"&

com .& ¸ !

(a) Mostre que possui uma raiz ilimitada.UÐDÑ

(b) Estude, em função de ( ig as raízes de+ + ¸ ! ! ¥ + ¥ _ + Ñ, , l l+D #D " +D Ð" +ÑD "# # e de .

3. ( ) Sejam standard, limitado para , , ,Zeros no infinito 8 − − 3 œ ! " ! ‚3 ...8,

TÐDÑ œ D œ ÐD D Ñâ ÐD D ÑÐD Ñâ ÐD Ñ"! ! ' '3 8 " : " ;3 ,

onde , , sendo os os zeros limitados de e os os zeros: ! ; ! : ; œ 8 D TÐDÑ, 3 4'ilimitados de . Seja ainda , , .TÐDÑ + œ 5 œ T ÐDÑ œ + D3 3 ! 3

9 3! maxÖ3 Ÿ 8 + Á !×À 3 !O caso foi considerado no teorema 10.5. Interessa-nos aqui o caso , em8 œ 5 5 8que .! !5" 8¸ ¸ ¸ !...

(a) Prove que para todo limitado, ;D T ÐDÑ ¸ T ÐDÑ!

(b) Se eUÐDÑ ÐD ÑâÐD Ñœ ! ' '8 " ;

U ÐDÑT ÐDÑ

ÐD D ÑâÐD D Ñ!

!9 9

" :œ ,

mostre que para todo o distinto de , e, em particular, queD D ß ß D UÐDÑ ¸ U ÐDÑ9 9" : !...

UÐDÑ é limitado;(c) Mostre que para quaisquer limitados, para todoDß A ÐA ÑÎÐD Ñ ¸ "' '4 4

4 Ÿ ; UÐAÑÎUÐDÑ ¸ " UÐAÑ ¸ Ñ, e conclua que , tendo em conta que é equivalente (a uma mesma constante, para todo limitado;A

(d) Mostre que é uma função constante (por transferência na variável ;D È U ÐDÑ DÑ!


(e) Qual é o grau de ? E as suas raízes? Quantos zeros igs tem ?T T!34

4. Seja um polinómio de grau . Mostre que existe ilimitado talTÐDÑ œ D 8!! '33

que é ilimitado somente se é ilimitado, ou , ou existe tal que TÐ Ñ 8 ¸ ! : 8' ! !8 :

é ilimitado. Dar exemplos.5. Mostre que todos os zeros de , com ilimitado, são limitados.D " 88

6. Sejam , polinómios com coeficientes limitados,EÐDÑ œ + D FÐDÑ œ , D! !3 33 3

de graus , respectivamente, com standard e . Sejam ainda e o8 7 8 8 7 U Vquociente e o resto da divisão de por [isto é, , comE F E œ FU Vgr gr ]. Mostre que se é apreciável e , então e possuemÐVÑ ÐFÑ + , ¸ ! U V8 7

alguns coeficientes ilimitados. [Mostre que existe ilimitado tal que ; note' 'UÐ Ñ œ !que .]ÐE VÑÐ Ñ œ !'

7. Seja um infinitesimal não nulo. Mostre que definida por & ‘ ‘ &0 Ä 0ÐBÑ œÀse , se é -contínua mas não contínua, enquanto B ! 0ÐBÑ œ ! B ! W 0 ÄÀ ‘ ‘definida por arctg é contínua mas não -contínua (v. exemplo 10.10).0ÐBÑ œ ÐBÎ Ñ W&

§11. Espaços topológicos

Nesta secção consideramos algumas noções e resultados sobre espaçostopológicos standard , onde é o conjunto (standard) dos abertos. é aÐIß Ñg g g5

classe dos abertos standard.O de um ponto é a intersecção de todas as vizinhançashalo topológico B − I

abertas standard de , e denota-seB

HalÐBÑ ÖY − B − Y×œ À, 5g .

Com as devidas cautelas, podemos escrever como sinónimo de HalC ¸ B C − ÐBÑ[NB: esta relação não é simétrica].¸

O de um conjunto interno é a intersecção de todos oshalo topológico E © Iabertos standard , e denota-seY ª E

HalÐEÑ ÖY − E © Y×œ À, 5g .

Os halos topológicos são, em geral, partes externas de , excepto, por exemplo,Ise é a topologia discreta. Quando é a topologia associada a uma métrica , tem-g g .se, para standard,B

Hal hal ,ÐBÑ œ BÑ œ ÖC − I .ÐBß CÑ ¸ !×Ð À

34 É um resultado conhecido que quando o termo director esvanece, uma das raízesdesaparece no infinito.


como resulta imediatamente da caracterização topológica de (lema 9.4). Mas a¸igualdade acima é falsa se não é standard: por exemplo, na recta real (com a métricaBusual), se é um infinitesimal positivo, Hal hal , pois hal masB œ Ð − Ð Ñ& & &Ð Ñ Á Ñ& & & & &Â Ó!ß ÒHal , visto que não pertence à vizinhança standard de ; seÐ Ñ& _/ − é ilimitado, então o conjunto

. ‘ Ö 8 "Î8ß 8 "Î8 8 − × À

é uma vizinhança aberta standard de , e hal , mas/ / / /¸ "Î − Ð@ÑÈ/ / / "Î Â Ð ÑÈ Hal pois

/ / / / / / "Î Â "Î ß "ÎÈ ‘ .

Num espaço métrico (standard) devemos ter o cuidado, pois, de não aplicar aohalo topológico de um ponto arbitrário os resultados que esperamos sejam válidospara o halo usual (métrico): podem ser falsos para pontos não-standard.

11.1 LemaSeja um espaço topológico standard. Então:ÐIß Ñg

(a) Hal Hal Hal ; para todo standard e todo , B − I C − I C − ÐBÑ ÐCÑ © ÐBÑÊ

(b) para todo existe uma vizinhança (aberta) de , , contida emB − I B Z ÐBÑHal .ÐBÑ

Dem. (a) Exercício.

(b) [V. ex. 9.9.1, pág. 79] Se com a métrica usual e é standard bastaI œ B‘tomar para um intervalo com infinitesimal positivo. No casoZ ÐBÑ ÓB ß B Ò& & &geral, considere-se a relação no conjunto das vizinhançasVÐY ß Z Ñ Í Y ª Z(abertas) de . é concorrente: para todo o conjunto finito standard deB V ÖY ß ß Y ×" 8...vizinhanças (abertas) de , é uma vizinhança (aberta) de contida em B Y B Y+

"Ÿ3Ÿ8 3 3

para , , . Por (I), existe uma vizinhança (aberta) de , , contida em todas3 œ " 8 B Z ÐBÑ...as vizinhanças (abertas) standard de , isto é, tal que HalY B Z ÐBÑ © ÐBÑÞè

11.2 Teorema (Caracterização dos abertos)Seja um espaço topológico standard. Um conjunto standard éÐIß Ñ E © Ig

aberto sse

aB − EHal .ÐBÑ © E

Dem. Seja standard aberto. É imediato que Hal , pois o próprioE aB − E ÐBÑ © EE B é uma vizinhança standard de cada um dos seus pontos .

Reciprocamente, suponhamos que Hal com standard. Quere-aB − E ÐBÑ © E Emos provar que para todo existe uma vizinhança (aberta) de contida em , oB − E B Eque é imediato pelo lema 11.1(b): Hal .B − Z ÐBÑ © ÐBÑ © E è


Desta caracterização dos abertos resultam caracterizações óbvias dos fechadosstandard, da fronteira de um conjunto standard, etc.

Do lema 11.1(b) resulta também a seguinte caracterização dos espaços standardseparados (à Hausdorff, ou espaços- ):X#

11.3 Teorema (Caracterização dos espaços separados)Um espaço topológico standard é separado sseÐIß Ñg

a ÊstBß C − I ÐB Á C ÐBÑ ÐCÑ œ gÑHal Hal .

Dem. Se o espaço é separado então, por transferência, para quaisquer Bß C − Istandard e distintos existem vizinhanças standard disjuntas e , mas HalY YB C ÐBÑ © YB

e Hal , logo Hal Hal .ÐCÑ © YC ÐBÑ ÐCÑ œ gReciprocamente, se a condição se verifica, então, utilizando a notação do lema

11.1(b),

a ÊstBß C − IÐB Á C Z ÐBÑ Z ÐCÑ œ gÑ,

pois Hal Hal . Quer dizer: para quaisquer standard eZ ÐBÑ Z ÐCÑ © Bß CÐBÑ ÐCÑ œ gdistintos em , existem vizinhanças abertas de e de tais que ;I Y B Y C Y Y œ gB C B C

por transferência, isto é verdade para quaisquer distintos, o que significa queBß C − II é separado.è

A noção de halo topológico de um ponto permite definir, num espaço topológicoarbitrário, o conceito de ponto próximo-standard:

B − I Í C − I ÐB − ÐCÑÑ é Hal .próximo-standard bst

Se é separado (em particular, se é um espaço métrico), um tal , se existe, éI Cúnico, como facilmente se verifica, e neste caso podemos definir a de comosombra Bsendo o único standard tal que Hal , que se denota . Só num tal espaço,C B − ÐCÑ 9Bpois, é que a noção de próximo-standard corresponde à anterior de limitado .« » « »

Com a noção de próximo-standard, a caracterização 9.5, bem como a respectivademonstração, estendem-se imediatamente aos espaços topológicos standard sepa-rados:

11.4 Teorema (Caracterização da compacidade)Um espaço topológico standard separado é compacto sse todo o seu elemento é

próximo-standard.è

Com esta caracterização, a demonstração do teorema seguinte é particularmentesimples.

11.5 Teorema de TychonoffO produto de espaços separados e compactos é compacto.


Dem. Seja uma família de espaços separados e compactos (ou de espaçosØI Ù3 3−M

métricos compactos), o seu produto, munido da topologia produto . PorI œ I#3−M 3 35

transferência, podemos supor a família dada standard (logo é standard e, para cadaM 3 − M I I œ standard, é standard). Então é standard também. Tomemos 3 BØB Ù − I − M3 3−M iao arbítrio, com vista a provar que é próximo-standard. Para cada Bstandard, é próximo-standard, isto é, existe standard tal que Hal . PorB + B − Ð+ Ñ3 3 3 3

extensão funcional, existe standard tal que Hal , o que+ œ Ø+ Ù Ð+ Ñ3 3−M 3asti − M B −3

basta para concluir que Hal , atendendo ao facto de, para standard,B − Ð+Ñ + − IB − Ð+Ñ 3 − M B − Ð+ ÑHal sse Hal (v. ex. 11.14.8, p. 100).ast

3 3 è

Para obter mais caracterizações interessantes introduzimos a noção de sombra(exterior) de um conjunto ou de uma classe (interna ou externa) (onde é oE © I Isuporte de um espaço métrico ou de um espaço topológico standard): é o stan-dardizado

9E Eœ ÀStÖB − I HalÐBÑ Á g×.36

11.6 Exemplos1. Seja . Então .! ¸ ! Ó!ß "Ò œ Ó ß " Ò œ Ó ß " Ò œ Ò!ß "Ó& & & & &9 9 9

2. Seja . Então . Pois, como é arquimediano,! ¸ ! Ö8 8 − × œ& & ‘ ‘9 À

para todo existe tal que , com ig se , em particular, se éB ! 8 B 8 8 B ¦ ! B&standard; sendo o menor dos tais que , tem-se , mas7 8 B 8 Ð7 "Ñ Ÿ B 7& & &Ð7 "Ñ ¸ 7 B Ö8 8 − ×& & & , logo é infinitamente próximo de um elemento de ,Àisto é, halÐBÑ Ö8 8 − × Á g& À .

3. O standardizado da curva de equação , onde , é a recta deC œ B ! ¸ !& &$

equação : para standard, se Hal hal intersecta a curvaC œ ! Ð+ß ,Ñ ÐÐ+ß ,ÑÑ œ ÐÐ+ß ,ÑÑentão existe tal que e , isto é, se existe tal que eÐBß CÑ ÐBß CÑ ¸ Ð+ß ,Ñ C œ B B B ¸ +& $

&B ¸ , , œ ! , Á ! Ð+ß ,Ñ$ , logo ; se , não é infinitamente próximo de nenhum pontoda curva.37

4. A sombra de , onde é um natural ilimitado,ÖB − b3 − Ö"ß ß ×B œ 3Î ×‘ / / /À ...é o intervalo . Pondo , para , , a sombra da linhaÒ!ß "Ó B œ 3Î T œ ÐB ß B Ñ 3 œ "3 3 3 3

#/ /..., poligonal é a porção de parábola com .T T T C œ B ! Ÿ B Ÿ "" #

#... /

5. Sempre com infinitesimal positivo, e ilimitado, tem-se& / −

(a) ;9 # # #ÖÐBß CÑ − B C œ × œ ÖÐ!ß !Ñ×‘ &À

35 Recorde-se que a topologia produto é a menos fina que torna contínuas as projecçõespr . Uma sua base é constituída pelos conjuntos pr , aberto em , que3 3 3 3 33

"À I Ä I ÒY Ó Y Isão da forma , com aberto em e todos os , excepto um númeroC3−M 3 3 3 3E E I Ð3 − MÑ Efinito, são iguais a .I336 Esta noção fez a sua aparição no exercício 5.15.20, com uma formulação ligeiramentediferente (mas equivalente, num espaço normado ou métrico standard).37 Este exemplo mostra que os elementos não-standard do conjunto sombra podem ser«muito afastados do conjunto: o ponto da curva de abcissa , por exemplo, está infinita-» "Î&mente longe do eixo das abcissas.


(b) ;9 # # #ÖÐBß CÑ − B C œ × œ g‘ &À

(c) ;9 # # #ÖÐBß CÑ − B C œ × œ g‘ /À

(d) ;9 # # # # #ÖÐBß CÑ − B ÐC Ñ œ × œ ÖÐBß CÑ − C œ !×‘ / / ‘À À

(e) .9Ò!ß Ò œ Ö!×/ ‘

6. Para ilimitado, é o quadrado/ ‘− ÖÐBß CÑ − B C œ "×9 # # #À / /

U œ ÖÐBß CÑ B ß C × œ "×À l l l lmax{ .

Com efeito, pondo , seja standard tal queE œ ÖÐBß CÑ − B C œ "× C‘# # #À / /

l lC " e

\Ð" C Ñ

#œ expŠ log

.#/

/‹

Então , pois . Além disso, como (porquê?) eÐ\ß CÑ − E \ œ " C C ¸ !# # #/ / /

log , é também log , logo e, portanto,Ð" C Ñ ¸ ! Ð" C ÑÎ# ¸ ! \ ¸ "# #/ / /Ð\ß CÑ ¸ Ð"ß CÑ − U.

Vemos, assim, que todo o ponto do conjunto é infinitamente próximo de umEponto do quadrado. Analogamente se prova que todo o ponto do quadrado éUinfinitamente próximo de um ponto de . Por outro lado, nenhum ponto standardEÐBß CÑ B Á " C Á " E com e é infinitamente próximo de um ponto de . Portanto,l l l l9E œ U.

Na figura 4 (página seguinte, [31] p. 191) ilustram-se (apenas a parte do quadradounitário contida no 1.º quadrante ) diversas curvas, de equações da formaU

l l l lB C œ "8 8 ,

para valores , , , , , , , , , 8 œ " # $ % &" # *"! "! "!... ...

Regressamos à topologia. A demonstração das propriedades no lema seguinte ficacomo exercício.

Fig. 4 Algumas curvas de equação da no 1.º quadrante.l l l lB C œ "8 8


11.7 LemaSeja um espaço topológico (ou métrico) standard, e .I E © I F © I

(a) Se , então (mas pode não se ter nem );E © F E © F E © F E © F9 9 9 9

(b) (mas pode não se ter ).9 9Ð ÐE FÑ œ E F E FÑ œ E F9 9 9 9è

A fim de obtermos mais algumas caracterizações estabelecemos uma propriedadesimples mas importante do halo topológico de um ponto (standard).

11.8 LemaSeja um espaço topológico standard, . Então, para todo stan-I E © I B − I

dard, se toda a vizinhança standard de intersecta , então intersecta .B E ÐBÑ EHal

Dem. Seja standard. No conjunto das vizinhanças de , considere-se aB − I Brelação

VÐY ß Z Ñ Í Y ª Z • Z E Á g.

V é concorrente, atendendo à hipótese e ao facto de toda a intersecção finita devizinhanças standard de ser uma vizinhança standard de Por (I), existeB BÞZ © Z E Á g E Á gHal tal que , logo Hal .ÐBÑ ÐBÑ è

Recorde-se que o ou de um conjunto é ofecho (topológico) aderência E © Iconjunto

E E Eœ int fr ,

que pode ser caracterizado, classicamente, como o conjunto dos pontos tais queB − Etoda a vizinhança de intersecta ; recorde-se ainda que é sse .B E E E œ Efechado

11.9 Teorema (Caracterização do fecho topológico)Num espaço topológico standard, para todo o conjunto standard , tem-seE

9E œ E.

Dem. Seja um espaço topológico standard. Como e são ambos standardI E E9

(por ser standard), para mostrar que basta mostrar que e têm osE E œ E E E9 9

mesmos elementos standard e aplicar transferência.Observe-se primeiramente que, para standard, se tem, por definição de sombraE

9E œ ÖB − ISt À Hal , queÐBÑ E Á g×

astB − I ÐB − E Í9 HalÐBÑ E Á gÑ.

Se é um elemento standard de , então Hal intersecta , logo toda aB E E9 ÐBÑ

vizinhança standard de intersecta ; por transferência, toda a vizinhança de B E Bintersecta , logo . Reciprocamente, se toda a vizinhança do ponto standard E B − E Bintersecta então, pelo lema 11.8 acima, Hal intersecta , logo .E E B − EÐBÑ 9

è


11.10 CorolárioSeja um espaço topológico standard. Para todo standard tem-seI E © I

astB − I ÐB − E Í E Á gÑHal .ÐBÑ è

Uma outra demonstração do lema 11.8 pode ser feita, no caso de ser um espaçoImétrico, utilizando o princípio de Cauchy em vez de um axioma de idealização. Note--se, também, que o teorema 11.9 garante que a sombra de um conjunto standard é umconjunto fechado. Na realidade, isto é verdade para qualquer conjunto (interno), comojá se viu em alguns exemplos (11.6).

11.11 Teorema da sombra fechadaNum espaço topológico standard, a sombra de um conjunto (interno) é um

conjunto fechado.

Dem. Seja um espaço topológico standard, . Para mostrar queI E © I9 9E © E, como estes dois conjuntos são standard, basta mostrar que

a ÊstB − IÐB − E B − EÑ9 9 ,

ou seja, pelo teorema 11.9 e a definição de , que9E

a ÊstB − I ÐHal HalÐBÑ E Á g ÐBÑ E Á gÑ9 .

Seja standard, e suponhamos que para toda a vizinhança aberta standard B − I Yde , intersecta , isto é, existe em ; então, por transferência, existe B Y E C Y E C9 9

standard em , logo Hal por definição de ; mas Hal ,Y E E9 9ÐCÑ E Á g ÐCÑ § Y, pois é aberta standard e , e portanto ; vê-se, assim, que toda aY C − Y Y E Á gvizinhança aberta standard de intersecta , isto é, que HalB E ÐBÑ E Á g.è

NB. A propriedade anterior não é válida para classes externas, em geral. Porexemplo, em , se‚

E œ À.ÖFÐ!ß " "ÎÐ8 "ÑÑ 8 − ×5 ,

então , que é aberto.9E œ FÐ!ß "Ñ

Somos tentados a ver na noção de sombra de um conjunto ou de uma classe umageneralização da noção de sombra de um elemento, já que (digamos, num espaçoseparado ), se é próximo-standard, existe eI B 9B

9ÖB× œ Ö ×9B .

Devemos ter em conta, porém, que existe sempre, para qualquer conjunto ou9E

classe (possivelmente externa) , mesmo que nem todos os elementos de E E© Isejam ps. Por outro lado, não devemos pensar, em geral, que é, em algum sentido,9E

« »próximo de , como mostram os exemplos 11.6.5 (c)-(e) acima.E


Precisando, dizemos que dois conjuntos , (num espaço métrico standard) sãoE Fpróximos38 sse todo o elemento de é equivalente a um elemento de e vice-versa.E FTem-se o seguinte

11.12 TeoremaSeja um espaço métrico standard próprio. Então todo o conjunto próximo-I

standard é próximo da sua sombra.E

Dem. Seja próximo-standard, o que quer dizer que todo o elemento de E B Epossui sombra ; como hal , vê-se que .9 9 9B B BB − Ð Ñ E B ¸ − E9

Reciprocamente, como é próximo-standard, é um conjunto de limitados, logoE Eestá contido numa bola aberta standard, digamos , pelo teorema 9.1.FÐDß <ÑMostramos que , para o que basta mostrar que para todo standard,9E © FÐDß < "Ñ B

hal , mas isto é imediato, pois, se , entãoÐBÑ E Á g .ÐBß DÑ < " B ¸ C − EÊ

.ÐBß DÑ Ÿ .ÐBß CÑ .ÐCß DÑ .ÐBß CÑ < ¸ < < ".

Por hipótese sobre , todo o elemento limitado de é próximo-standardI I(corolário 9.6). Ora, é fechado (11.10) e limitado, pois está contido na bola stan-9E

dard , como vimos, logo, para todo existe , quer dizer,FÐDß < "Ñ B − E − E9 99B

com hal , logo existe tal que .Ð C B ¸ ¸ C − E9 9B BÑ E Á g è

11.13 CorolárioSeja um espaço métrico standard próprio. Então, a sombra de qualquerI

conjunto próximo-standard é compacta.E © I

Dem. Pelo teorema 9.5 pois, como vimos no final da demonstração anterior, todoo é próximo-standard em .B − E E9 9

è

Nos exercícios 11.14.7 encontram-se alguns resultados relativos a filtros eultrafiltros em topologia.

11.14 Exercícios e Problemas1. Demonstre os lemas 11.1 (a) e 11.7.

2. Seja {0} definida por . Determine hal .0 Ï Ä 0ÐBÑ œ "ÎB 0 Ò Ð!ÑÓÀ ‘ ‘ 1

Analogamente para a função de em identicamente nula.‘ ‘

3. ( )Halos básicos Seja um espaço topológico standard, uma base stan-ÐIß Ñg Udard da topologia , isto é, um conjunto standard de abertos tal que todo o abertogY − B − I Bg U U é uma reunião de abertos de . Para , o de (relativo a )halo básicoé a classe

HalU 5ÐBÑ ÖY − B − Y×œ À, U .

38 , p. 64 utiliza para esta noção o termo « .[103] quasi confondues»


(a) Mostre que, para standard, Hal Hal ; B œÐBÑ ÐBÑU

(b) sendo e a base constituída pelos intervalos abertos, para a topologiaI œ ‘ Uusual, mostre que, para todo , B ¸ ! B !

Hal hal ;UÐBÑ BÑ Ò!ß Òœ Ð _

(c) sendo e a base constituída pelas bolas abertas, para a topologiaI œ ‘ U#

usual, mostre que, para , com ,ÐBß CÑ ¸ Ð!ß !Ñ B Á !

Hal

, se é standard,

, nUÐBß CÑ œ

ÖÐ?ß @Ñ Ð?ß @Ñ ¸ Ð!ß !Ñ • ? Á ! • ¸ ×

Ð?ß @Ñ Ð?ß @Ñ ¸ Ð!ß !Ñ • ? Á ! • ¸ •

• ¦ !

ÚÝÝÛÝÝÜš

Š Š ‹‹Š Š ‹‹ ›À

À

@? B B

C C

@? B

C

C CB B ? C

9 9@ B os outros casos.

(d) Verifique que

Hal Hal Hal ,U U UÐ!ß !Ñ ¨ Ð ß !Ñ ¨ ÐBß CÑ&

com , , , , .& &¸ ! ! B Á ! CÎB ¸ ! CÎB !

4. Sejam , espaços topológicos standard.I Iw

(a) Prove que uma aplicação standard é contínua sse0 I Ä IÀ w

astB − I 0Ò Ó ©Hal Hal ;ÐBÑ Ð0ÐBÑÑ

(b) Caracterize externamente as noções de aplicação e de . aberta homeomorfismo

5. (a) Enuncie e demonstre caracterizações externas dos espaços regulares(aqueles em que um conjunto fechado e um ponto podem ser separados por abertosdisjuntos) standard.

(b) Analogamente para os espaços (: dois fechados disjuntos podem sernormaisseparados por dois abertos disjuntos) standard.

6. Demonstre a seguinte versão topológica do Princípio de Cauchy:

Seja um espaço topológico standard, standard. Se interna é ver-I + − I ÐBÑ9dadeira para todo , então é verdadeira numa vizinhança standardB − Ð+Ñ ÐBÑHal 9de +.

7. (Filtros e ultrafiltros) Recorde-se que um sobre um conjunto é umfiltro Iconjunto tal queY © ÐIÑT

(1) ,Y Á g

(2) , , e\ ] − \ ] −Y YÊ

(3) .\ − • \ © ] ] −Y YÊ


Um filtro sobre é ou sse . No que segueY YI g Âpróprio não trivialconsideramos apenas filtros próprios. Um filtro da forma ,Ö] − ÐIÑ ] ª \×T Àonde é um conjunto dado, diz-se um filtro . Um filtro (próprio) é\ © I principal Yum sse é maximal com respeito a , ou seja, equivalentemente, sseultrafiltro Y ©

(4) para qualquer , .\ © I \ − ” I Ï \ −Y Y 39

(a) Um exemplo de filtro sobre é o chamado , ou filtro dos filtro de Fréchetcofinitos filtro de Fréchet é finito . Mais geralmente, o sobreÖ\ − Ð Ñ Ï \ ×T À 40

I I Ö\ − ÐIÑ I Ï \ (infinito) é o filtro dos conjuntos cofinitos em , é finito}.T ÀSendo um natural ilimitado, prove que/

Y // œ ÀStÖ\ − Ð Ñ − \×T

é um ultrafiltro sobre .

(b) A de um filtro sobre é a classe (externa, normalmente)mónada Y I

. Y YÐ Ñ Ö\ \ − ×œ À, .5

Mostre que existe tal que . [Sugestão: considere a relação\ − \ © Ð ÑY . Yinterna , aplique (I).]VÐ\ß ] Ñ Í \ − • ] − • \ ª ]Y Y

Nas alíneas seguintes, é um espaço topológico standard, um filtro standardI Ysobre .I

(c) Sendo , o filtro de Fréchet sobre , prove que hal .I œ Ð Ñ œ Ð_Ñ‘ Y ‘ . Y

(d) Prove que é interno sse é um filtro principal.. Y YÐ Ñ

(e) Sendo o filtro das vizinhanças de um ponto , prove queiB B − I

. iÐ Ñ œB HalÐBÑ.

8. Demonstre (por redução ao absurdo) a propriedade referida na última linha dademonstração do teorema 11.5.

9. Determine as sombras dos gráficos das funções (reais de variável real)seguintes, onde é um natural ilimitado:/

(a) ; (b) arctg ; (c) sen ;B È B B È B B È B/ / /#

(d) sen ; (e) ; (f) ;B È BÎ B È / B È // / B B/

39 Um conhecido teorema de A. Tarski ( ) assegura queTEOREMA DOS ULTRAFILTROStodo o filtro sobre um conjunto se pode estender a um ultrafiltro. Este teorema é normal-mente demonstrado utilizando o Lema de Zorn, mas é sabido que, na realidade, se trata deuma proposição estritamente mais fraca que o dito Lema de Zorn (sendo este equivalente,como se sabe, ao Axioma da Escolha).40 Ultrafiltros que estendem este filtro são muito utilizados em construções robinsonianasde extensões não-standard de estruturas clássicas (modelos não-standard da aritmética e daAnálise).


(g) ; (h) sen ;B È Ð B Ñ B È Bexp / /#

(i) sen ; (j) ;B È B B B È B# #/ /

(k) , onde se , se .B È B B œ B B ! B œ Ð BÑ B !Ò Ó Ò Ó Ò Ó/ / / / /

10. Seja ilimitado. Mostre que o gráfico da função polinomial/ −

B Ð> >Ñ .>È (!

B$ Ò Ó /

tem como sombra o gráfico da função para .B È B B − Ò "ß "Ól l

11. Seja ilimitado. Mostre que o gráfico da função/ −

B È B B#/ sen /

tem como sombra o conjunto

Ò!ß "Ó Ò!ß "Ó ÖÐBß CÑ − ÐB œ " • C !Ñ ” ÐB œ " • C !Ñ×‚ ‘# À .

12. (a) Seja um espaço topológico standard , . Demonstre ou dê umI I E © Icontra-exemplo, conforme o caso:

Hal Hal ;ÐEÑ œ Ö ÐBÑ B − E×. À

(b) Sendo , , mostre queI œ Ö"ß #ß $× œ Ögß Ö"×ß Ö"ß #×ß I× E œ Ö#×g , 9E Á œStHal Hal , e que Hal não é fechado.ÐEÑ ÐEÑ ÐEÑ

13. Seja um espaço topológico standard, um conjunto denso em .I E © I IProve que . No caso , determine e .9 9E œ I I œ Ð Ñ‘ 9 5

14. Mostre que o halo topológico, em , de um natural ilimitado , não é conexo.‘ /[ : não pertence a certa vizinhança aberta standard de ; aplique (I) àSugestão / / "relação interna é uma vizinhança aberta de e .]VÐY ß CÑ Í Y C C "/

15. Seja um subespaço vectorial de ( standard).[ 8‘8

(a) Mostre que é um subespaço de .9 8[ ‘

(b) Mostre que se é uma base de , não éÖ ß ß × [ Ö ß ß ×A A A A" 5 " 59 9... ...

necessariamente uma base de , mas e têm a mesma dimensão [9 9[ [ [ Sugestão:utilizar bases ortonormadas].


§12. Perturbações de operadores lineares

Pretende-se estudar o seguinte

Problema ou : Sendo linear (onde ), comparar aX Ä œ!8 8À Š Š Š ‘ ‚

geometria de com a de , onde é uma pequena perturbação.X X L L! ! « »

Na nossa teoria , podemos enunciá-lo fazendo e standard, e tomandoZFNC 8 X!

X X œ X − X ¸ X tal que , quer dizer, tal que, para todo standard, onde,9! !

8B B BŠ

para com valores limitados, é a de : é o único operador linear talX X X XB 9 sombraque, para todo standard, . Começamos com dois lemas que fornecemB B B9X œ ÐX Ñ9

alguma ferramenta necessária ao que se segue.

12.1 LemaSejam e polinómios do mesmo grau positivo em , com standard,T T Ò\Ó T! !Š

tais que para todo o standard. Então toda a raiz de comTÐBÑ ¸ T ÐBÑ B + T! 3 !

ordem ( ) é sombra de algumas raízes de , com ordens cuja soma é .< " Ÿ 3 Ÿ 7 T <3 3

Dem. Sejam ( ) as raízes, distintas ou não, de . Temos!3 " Ÿ 3 Ÿ 8 TTÐBÑ œ 5ÐB ÑâÐB Ñ T ÐBÑ œ 5 ÐB + Ñ âÐB + Ñ T! !" 8 ! ! " 7 !

< < e . Como é" 7

standard, os números , , , são standard, e . Tome-se então ,5 + + 5 Á ! ? −! " 7 !... Šstandard, tal que os não sejam infinitamente pequenos (existe um tal ,? ?!3

diferente de todos os , visto que para standard). Temos então:+ B3 T ÐBÑ ¸ T ÐBÑ!

l l l l l ll l l lT Ð?Ñ ¸ TÐ?Ñ œ 5 ? â ? ! " 8! ! ,

e nenhum factor é infinitamente pequeno. Assim, como é standard, todo oT Ð?Ñ!

l l? D! !3 3 é limitado e, portanto, todo o é limitado, possui uma sombra, e para cada standard temos:

T ÐDÑ œ ÐT ÐDÑÑ œ 5 ÐD ÑâÐD Ñ! ! " 89 99 ! !

Portanto, por transferência, o polinómio tem exactamente os comoT ÐB Ñ! 3!factores, o que demonstra o lema.è

12.2 LemaSe é standard, a sombra de um subespaço de é ainda um subespaço,8 Z Z9 8Š

e da mesma dimensão de .Z

Classicamente, este lema significa que as variedades de Grassman (isto é, oconjunto dos espaços vectoriais de dimensão de com uma topologia apropriada); ‘8

são compactas.


Dem. Por definição, é o conjunto standard cujos elementos standard são9Z

exactamente as sombras dos elementos limitados de . Visto que e sãoZ Z9 Š

standard, basta ver que, para e , elementos standard de , e standard, se+ , 9Z −- Š

tem e para verificar que é espaço vectorial (o resultado vem+ , + − Z − Z Z9 9 9-

por transferência). Assim, sejam , standard. Por definição de , existem + , B, − Z Z9 9

e em tais que e . Ora, a soma em é contínua e standard, logoC + ,Z œ œ9 9B C Š8

+ , B C B C + , œ œ Ð Ñ − Z − Z9 9 9B C , com , donde . De forma análoga9

se mostra que .-+ − Z9

Quanto à dimensão, seja uma base ortonormada de . TemosØ ß ß Ù Z/ /" <...m m/3 œ " 3, para todo o , logo todo o vector da base é limitado, e, pela continuidade doproduto interno, , , são vectores ortonormados (portanto linearmente9 9

" </ /... independentes) de . Para ver que são também geradores, basta ver que todo o9Z

vector standard de se pode obter como sua combinação linear. Seja então ,9 9Z − Z+

standard, , com limitado, e se , então os são limitados (o que+ B B /œ œ + +9B ! 3 3 3

se pode verificar utilizando a desigualdade de Schwarz) e . Assim, dim+ /œ +!9 93 3

Z œ Zdim .9è

12.3 TeoremaSe e são standard, e , temos os seguintes resultados:8 X X œ X! !

9

(a) im im Para cada subespaço , ; em particular, Z X Ò Z Ó § X ÒZ ÓÑ X © XÑ! !9 9 9Ð Ð

e ;< <ÐX ÑÐX Ñ !

(b) Se , então ;X ÒZ Ó © Z X Ò Z Ó © Z!9 9

(c) para cada standard. Em particular, se é nilpotente, 9Ð Ñ ©kerX X 3 X X3 ker !3

!

também o é.(d) Todos os valores próprios de são finitos e as suas sombras são valoresX

próprios de ; se é um vector próprio limitado, associado ao valor próprio ,X! B -então é vector próprio de , associado ao valor próprio .9B X!

9-

12.4 Observações1. Por « » entende-se que para todo o standard, temos , como9

! !X œ X X ¸ XB B B

acima se disse.2. Temos que, se é base standard de , e é a matriz de a respeitoØ Ù E X/3 "Ÿ3Ÿ8

8Šde , então (a matriz das sombras) é a matriz de a respeito da mesma base.Ø Ù E X/3 !

9

Para tal, basta observar que para , , A recíproca é tambémX ¸ X 3 œ " 8Þ/ /3 ! 3 ...verdadeira, pois um vector standard tem componentes standard numa base standard.

3. Tem-se, para limitado, , o que se pode verificar facilmenteB B BX ¸ X!

pensando em termos de matrizes, uma vez que vectores limitados têm componenteslimitadas numa base standard. Finalmente, por continuidade de , paraX X ¸ X Ð Ñ! !B 9Bqualquer limitado. Além disso, utilizando o princípio de indução externa, podemosBverificar que, para todo o standard, .8 X ¸ X Ð Ñ8 8

!B 9B


4. também pode significar que é a sombra de no espaço normado9! !X œ X X X

dos operadores lineares de . De facto, são noções equivalentes (ver as observaçõesŠ8

finais .Ñ

Dem. (a) Por transferência, basta ver que para standard de , .+ +9!Z X − ÐX ÒZ ÓÑ9

Existe tal que , e temos que , pois é limitado. IstoB + B B− Z œ X Ð Ñ ¸ X9 9B B!

prova que , como pretendíamos. Para o resultado sobre asX − ÐX ÒZ ÓÑ!+9

características, basta observar que

<ÐX Ñ œ Ð X Ñ œ Ð X Ñdim im dim im ,9

pelo lema 12.2.(b) Utilizando a alínea anterior, .X Ò Z Ó © ÐX ÒZ ÓÑ © Z!

9 99

(c) Como ambos os conjuntos são standard, veremos que os elementos standarddo primeiro estão no segundo, e o resultado vem por transferência. Então, sendo um+elemento standard de , , com , e 9 9 9Ð Ñ œ − X œ X Ð Ñ ¸ker kerX X3 3 3 3

! !+ B +B BX œ X X œ −3 3 3 3

! !B ! + + ! +, com standard, e, portanto, , isto é, .kerX!

(d) Seja um vector próprio de , , associado ao valor próprio . PodemosB B !X Á -tomar já limitado, pois se não for, toma-se em vez de .B BB

Bm m

Além disso, , logo é limitado, para uma norma standard e contínuam mX Ð Ñ œBBm m l l- -

em , pois . FinalmenteŠ -8!l l ¸ X Ð Ð ÑÑm m9 B

Bm m

X Ð Ñ ¸ ÐX Ñ œ Ð Ñ œ!99 9 9 9B BB B- - ,

com e standard, , e portanto é vector próprio de ,X Ð Ñ X Ð Ñ œ X! ! !9 99 9 9 9 9B B B B B- -

associado ao valor próprio .9-

Note-se que não se provou aqui que todo o valor próprio de é sombra de algumX!

valor próprio de . No caso complexo, porém, isto é verdade, pois os polinómiosXcaracterísticos têm raízes, e aplica-se o lema 12.1. Veremos isto no próximo8teorema.è

12.5 Teorema (Casos particulares)Nas condições do teorema anterior, e sendo , temos:Š ‚œ

(a) Se for normal, hermítica ou unitária, então tem a mesma propriedade.X X!

Vale um resultado análogo para .Š ‘œ

(b) Todo o valor próprio de é sombra de valores próprios de , respeitando,X X!

quanto a multiplicidades, os resultados do lema 1.(c) [ Sendo a decomposição característica de isto é, o‚8

" <œ I Šá ŠI Xpolinómio característico tem raízes de ordem e I ; somando- -3 3 3 3

;; I œ ÐX Ñker 3]os ’s com ’s infinitamente próximos, obtemos a decomposição I œ3 3

8- ‚J Šá Š J J X" = 4 !

9, e as sombras dão a decomposição característica para .

Dem. (a) Em qualquer dos casos, o resultado vai ser consequência imediata dacontinuidade da composição de operadores e do facto que . Este facto é9ÐX Ñ œ Ð X Ñ‡ ‡9


de verificação rotineira, se pensarmos no seu significado em termos de matrizes. Emtodo o caso fazemos a verificação numa situação geral mais adiante (12.6.3).

Supondo então que é normal, temos , e é limitada, logoX XX œ X X‡ ‡

9 9ÐXX Ñ œ ÐX XÑ‡ ‡ , portanto9 9‡ ‡X ÐX Ñ œ ÐX Ñ X9 9 ,

por continuidade da composição, e finalmente , e temos o9 9 9 9‡ ‡X Ð X Ñ œ Ð X Ñ X

pretendido. Para os restantes casos, é análogo.(b) é uma aplicação imediata do lema 12.1 aos polinómios característicos de eX

de , que verificam as condições exigidas, pois os seus coeficientes variam9X

continuamente com as matrizes, que já vimos serem infinitamente próximas.(c) Sejam , , as raízes distintas do polinómio característico de com a. ." >... X

mesma sombra ( e standard). Observe-se que .! ! .> Ÿ 7 ÐX MÑ œ ÐX MÑ! 39

Sendo então a soma dos correspondentes aos , temos queJ I3 3.

9J © kerÐX MÑ!

7! ,

onde é a multiplicidade de . De facto, tomando um elemento standard7 ! 9̂ ‰!>3œ 31B

de , com , para cada , temos93 3J − I 3B

ÐX MÑ ¸ ÐX MÑ

œ ÐX MÑ Ð Ñ

¸ ÐX MÑ Ð Ñ œ

! 3 ! 37 7> >

3œ 3œ>

3œ ! 37

>

3œ 3 37

! !

!

.

ˆ ˆ ‰‰ ˆ ‰" """

9

1 1

1

1

B B

B

B !.

A última igualdade tem lugar porque a multiplicidade de é maior ou igual que7qualquer uma dos . Como tanto o primeiro elemento como o último são standard e.3

infinitamente próximos, são iguais. Por transferência, temos o pretendido, pois ambosos conjuntos em jogo são standard.

Como os espaços estão em soma directa, também os o estão.kerÐX MÑ J! 47 9!

Mas a dimensão de cada é a soma das dimensões dos que o originaram, e peloJ I4 3

lema 12.2, esta é também a dimensão de cada . Nestas condições,94J

‚8 9 9 9 9" 8 4œ J Šá Š J Ð J Ñ œ 8 J œ, pois dim , e pelo já visto, ,! kerÐX MÑ!

7!

sendo qualquer um dos .J J4 è

12.6 Observações finais1. Sendo e dois endomorfismos de , com standard, é equivalente dizerX X X! !

8Šque para todo o standard, a dizer que , como elementos doB B BX ¸ X X œ X! !

9

espaço normado , . De facto, se tivermos a primeira propriedade, já vimos_ Š ŠÐ Ñ8 8

que para limitado temos . TomandoB B BX ¸ X!

& œ ÐX X Ñ ,supm mœ"B

m m! B

& ainda vem infinitamente pequeno, e é a norma de . A recíproca é imediata,X X!


pois, para standard, temosB

m m m mÐX X Ñ Ÿ! B B& ,

e ainda é infinitamente pequeno.&m mB

2. Estes resultados podem ser utilizados para obter uma forma de Jordan de umamatriz standard, perturbando-a de modo a obter valores próprios distintos. Paradesenvolvimento v. [233], cap. IV.

3. Sejam , espaços normados standard sobre um corpo standard ,\ ] ŠX À \ Ä ] um operador linear standard e contínuo com valores limitados,\ œ Ð\ß Ñ ] \ ] X À ] Ä \w w ‡ w w_ Š 41 e os espaços duais de e , respectivamente, ooperador ou de (também chamado, por vezes, de de cf.conjugado adjunto dualX X[Tay], p. 214), definido por (1) , para todo ,ÐX Ñ œ Ð ‰ X Ñ œ ÐX Ñ − \‡ w: : : :B B BB − \ X X X. No caso de dimensão finita, é simplesmente a transposta da matriz .‡ T

Por hipótese sobre , existe tal que (2) para todo X X À \ Ä ] Ð XÑ œ ÐX Ñ − \9 9 B B Bstandard, e é claro que para com valores limitados também existe tal: :− \ − \w 9 w

que (2 ) para todo standard. Queremos provar quew 9 9Ð Ñ œ Ð Ñ − \: :B B B9ÐX Ñ œ Ð X Ñ À ] Ä \ − ] − \‡ ‡ w w w9 ( ), ou seja, que para todo standard e todo : B

standard, (3) . Ora, do que precede, vem, por um lado,Ð ÐX Ñ Ñ œ ÐÐ X Ñ Ñ9 ‡ ‡9: :B B

Ð ÐX Ñ Ñ œ ÐX Ñ œ ÐÐX Ñ Ñ œ ÐÐ ‰ X Ñ Ñ œ Ð ÐX ÑÑ9 ‡ 9 ‡ 9 ‡ 9 9: : : : :B B B B B , e, por outro,ÐÐ X Ñ Ñ œ Ð ‰ X Ñ œ ÐÐ X Ñ Ñ œ Ð ÐX ÑÑ9 ‡ 9 9 9: : : :B B B B . Em última análise, pois, bastaprovar que para todo standard, , o que resulta daC C C C− ] Ð Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ9 9: : :continuidade de ( -continuidade com standard).: :W

41_ ŠÐ\ß Ñ é o espaço normado dos funcionais lineares contínuos sobre ; a norma de é\ :definida por e denota-se, por vezes, m m œ Öl À m m Ÿ "× ß: : : :sup Bl B B B .

107

Capítulo IV

PRINCÍPIOS DE PERMANÊNCIA.ALGORITMO DE REDUÇÃO

§13. Princípios de permanência

Na literatura mais recente encontramos formulações diversas de princípios«gerais de permanência , com aplicações importantes em tópicos avançados. Historica-»mente, os primeiros tais princípios a serem formulados foram o lema do transbordo deRobinson e o princípio de Cauchy, já nossos conhecidos de secções anteriores. Emgeral, falamos de se estendemos a validade de uma propriedade dospermanênciaelementos do conjunto (ou classe externa) aos elementos de um conjunto (classeEexterna, respectivamente) : a propriedade em permanece válida para além deF ¨ E EE.

13.1 I Princípio Geral de Permanência ([233], p. 75) Sejam um conjunto standard, e classes quaisquer, uma classeG E \ ]

interna, tais que

(a) , G ©E \ ]

(b) , G Ð Ñ ©E ] \

(c) não é conjunto interno.G E

Então .G Ð Ñ Á gE \

A ideia é que, supondo , e verificando-se em todo o\ œ ÖB ÐBÑ× ÐBÑÀ 9 9B − G ÐCÑ C GE E, por (a), terá de permanecer satisfeita em algum de não em .9


Dem. é conjunto, por Separação; (a) assegura que , masG G © G ] E ]esta inclusão é própria, pois não é conjunto, por , o que quer dizer queG E (c)existe que não está em , logo ; por (b), tal está em .C − G C − C] E E \ è

Na prática, é frequente o caso e redundantes, pois, as hipóteses (b) e (c).] \œParticularizando

G œ œ œ Ö7 − a8 Ÿ 7 Ð8Ñ× 9, e ,E \ST À

com interna, verifica-se a hipótese (a) , se , e (c)9 9Ð8Ñ 8 Ð8ÑST œ ©5 \ ast

também, donde a conclusão como na forma aritmética do Princípio de Cauchy.

13.2 II Princípio Geral de Permanência ([24], p. 193)Seja uma relação binária interna, , conjuntos standard tais queV E F

a ast stB − E C − FVÐBß CÑ.

Então existem conjuntos internos , tais que E ¨ E F ¨ Fw w w w5 5 E F © V‚ .Analogamente para relações internas -árias ( standard).8 8 #

Dem. Seja a relação interna definida porVw

VwÐ?ß T Ñ Í ? − T • T © V • T é um produto cartesiano.42

Observemos que é concorrente se é standard e finito, pr ( 1, 2)Vw À J © E F 3 œ‚ 3

são as projecções canónicas de sobre e respectivamente, eE F E F‚T ÒJ Ó ÒJ ÓJ " #œ pr pr , então‚

T © E F œ ÐE FÑ § VJ5 5 5‚ ‚ ,

por hipótese sobre , isto é, .V a? − J Ð?ß T ÑVwJ

Por idealização (I), existe tal queT

ast? − E F Ð?ß T Ñ‚ Vw ,

donde a conclusão pretendida, por (T), com . O argumento generaliza-T œ E Fw w‚se a relações internas -árias, para todo standard, por indução externa em .8 8 # 8 è

Veremos adiante (13.7) uma consequência deste princípio que constitui umprimeiro passo para uma classificação das classes externas. Antes de prosseguirnecessitamos de algumas definições pertinentes.

No que segue, supomos fixado um conjunto interno , e consideram-se famíliasIde subconjuntos de e classes contidas em , salvo menção em contrário.I I

Dada uma família interna de conjuntos internos (contidos em )0 œ ØE Ii i IÙ −

indexados num conjunto , é costume chamar [ ] em aM Á g Ipré-galáxia pré-halouma classe [ contida em da formaK L] I

42 T Í b\ß ] ÐT œ \ ] Ñ é um produto cartesiano .‚

IV. PRINCÍPIOS DE PERMANÊNCIA. ALGORITMO DE REDUÇÃO 109

K Lœ Ö œ Ö. ,E 3 − M× E 3 − M×3 3À À 5 5[ ],

onde, como sempre, Uma tal classe [ que não é interna (e,5M œ M ST. K L]portanto, não é conjunto) diz-se uma [ ] em . Se a família é standard, umgaláxia halo Ihalo também se chama uma , noção particularmente útil em topologia.mónada

É claro que uma galáxia é uma pré-galáxia e um halo é um pré-halo. Observe-seque o complementar de uma prégalaxia (pré-halo) é um pré-halo (pré-galáxia, res-pectivamente), em virtude das conhecidas leis de De Morgan generalizadas.

Frequentemente, tem-se o caso particular , como nos exemplos seguintes,M œ mas devemos ter em conta, porém, que uma galáxia no sentido geral pode não ser umagaláxia no sentido particular — é o caso de , como veremos adiante (13.10.1) — e5‘

analogamente para halos — caso dos halos topológicos.43

13.3 Exemplos de halos e galáxias1. (onde ) é uma galáxia, e 5 5 7 œ ÖM 8 − × M œ Ö!ß "ß ß 8×- 8 8À œ...

Ï œ Ö Ï M 8 − ×5 5+ 8 À é um halo.44

2. Na recta real , a classe dos reais limitados é uma galáxia — a ‘ £ galáxiaprincipal

£ œ galÐ!Ñ œ Ò 8ß 8Óß.8−5

enquanto a classe Ø dos infinitesimais é um halo, e até uma mónada, precisamente

hal Ø .Ð ß Ó" "

8 8!Ñ œ œ Ò,

8−5

Note-se que

hal gal ,Ð Ï Ð!Ñ œ Ö Ï Ò 8ß 8Ó 8 − ×_Ñ œ ‘ , ‘ À 5

a classe dos reais ilimitados, é um halo, enquanto

Ò!ß _Ò œ ÖÒ8ß_Ò 8 − ×. À 5

é uma pré-galáxia, mas não é uma galáxia.

Ö!× œ ÖÒ 8ß 8Ó 8 − × , À 5

é um pré-halo, que não é um halo. A classe dos reais apreciáveis,

43 Alguns autores, como Van den Berg [24] utilizaram em tempos as designações ,pré-galáxiapré-halo generalizado, etc. somente para o caso particular , juntando o adjectivo noM œ caso geral [em que é um conjunto (interno) arbitrário]. Esta prática foi entretantoMabandonada mas, em caso de dúvida ou pertinência poderíamos acrescentar o prefixo « -»Rquando se trata do caso particular.44 R R-galáxia e -halo, respectivamente, pela nota precedente.


@ gal hal ,œ Ð!Ñ !ÑÏ Ð

é uma galáxia, como facilmente se mostra.

3. Num espaço topológico standard , a intersecção das vizinhanças abertas stan-Idard de um ponto , o Hal , é um pré-halo que, em muitasa halo topológico− I Ð+Ñsituações, desempenha o papel de um sistema fundamental de vizinhanças do ponto,como vimos na secção anterior.

Os dois resultados seguinte fornecem critérios para distinguir galáxias de pré-galáxias, etc., e para obter galáxias (halos) a partir de galáxias (halos) conhecidas.

13.4 Teorema(a) Uma classe é uma galáxia em sse existe umaK œ © I I-ÖF 8 − ×8 À 5

sucessão estritamente crescente de conjuntos tal que ØE 8 − Ù œ8 À K-ÖE 8 − ×8 À 5 .

(b) Uma classe é um halo em sse existe umaL œ Ö+ E 8 − × © I I8 À 5

sucessão estritamente decrescente de conjuntos tal que ØE 8 − Ù œ8 À L+ÖE 8 − ×8 À 5 .

Dem. (a) Seja uma galáxia. Sem perda de generalidade,K œ ÖF 8 − ×- 8 À 5

podemos supor a sucessão não decrescente. Além disso, para todo ØF 8 − Ù 58 À 45

standard existe , também standard, tal que , caso contrário, seria8 5 F § F5 8 Kigual a algum conjunto interno . Por extensão funcional existe uma sucessão stan-F5

dard tal que, para todo standard, ; definindo, para cada0 œ Ø8 5 − Ù 5 F § F5 5 8À 5

5 − 7 œ 1Ð5Ñ 0 Ð!Ñ 1 œ Ø7 5 − Ù , , obtemos standard tal que, para todo5 55œ À46

5 F § F standard, e7 75 5"

K œ ÖF 5 − ×. 75À 5 .

Reciprocamente, se existe uma sucessão estritamente crescente de conjuntosØE 8 − Ù œ ÖE 8 − ×8 8À À tal que , então não pode ser interna, casoK K- 5

contrário, o conjunto interno seria igual a .Ö8 − E § × À 8 K 5

(b) Exercício.è

13.5 TeoremaSeja um conjunto interno. Então:I

(a) uma classe externa é uma galáxia sse existe umaK œ § I-ÖE 8 − ×8 À 5

função tal que 1 I Ä œ 1 Ð!ÑÓÀ ‘ K 1Ògal ;

45 Pelo «truque habitual: , , etc.» F œ F F œ F F!w w

! ! ""46 As iteradas de uma função com domínio são definidas por recorrência: id ,0 0 E 0 œ8 !

E

0 œ 0 ‰ 08" 8.


(b) uma classe externa é um halo sse existe umaL œ E 8 − × § I+Ö 8 À 5

função tal que 2 I Ä œ 2 Ò !ÑÀ ‘ L " hal .Ð Ó

Dem. (a) A condição é necessária: se , fixemos K œ ÖE 8 − × −- 8 À 5 0 ‘

ilimitado e definamos pondo se não existe tal que ,1 I Ä 1ÐBÑ œ 8 B − EÀ ‘ 0 8

1ÐBÑ œ 8 B − E Ï E 1 se ; note-se que é interna. Tem-se8 8"

1 Ò Ó œ 1 Ò Ò 8ß 8ÓÓ œ 1 ÒÒ 8ß 8ÓÓ œ E œ" " "galÐ!Ñ . . .8− 8− 8− 85 5 5

K.

A condição é suficiente: imediato, definindo .E œ 1 ÒÒ 8ß 8ÓÓ8"

(b) Exercício.è

13.6 Mais exemplos1. Seja um infinitesimal positivo, . Podemos definir as seguintes versões& ‘B −

« »microscópicas dos halos e galáxias em :‘— a - de , -gal ;& & ‘galáxia B ÐBÑ ÖC − ¥ ×œ À l lBC

& _

— o - de , -hal ;& & ‘halo B ÐBÑ ÖC − ¸ !×œ À BC&

— o - de , -mhal ;& & ‘ &microhalo B ÐBÑ ÖC − 8 B C ×œ À a l lst 8

— a - de ,& microgaláxia B

& ‘ &-mgal .ÐBÑ ÖC − 8 ! B C ×œ À b l lst "ÎÐ8 Ñ&

Observe-se que

B − Ð Ð Ð&- - - - .mgal mhal hal gal halÐBÑ § BÑ § BÑ § ÐBÑ § BÑ& & &

Por exemplo, -hal é um halo contendo que é pequeno em comparação& Ð BBÑ « »com hal [ hal -hal ], mas é infinitamente maior do que o halo -ÐBÑ B − Ð Ï ÐBÑ& & &BÑ « »mhal [para todo standard,ÐBÑ 8 "

B − Ð Ï Ð& &8 -hal mhal ].BÑ BÑ&-

2. Com infinitesimal positivo, definamos&

B œB B ! B Ñ B !Þ

Ò Ó&&

&œ se ,( se

Então tem-se , onde é a galáxiaK L L K§ §" #

ÖB − B ¥ • " "×‘ À l l B_ 9 ,

e , são os halosL L" #

L L" #Ò Óœ ÖB B ¸ !× œ ÖB − B ¥ • " Ÿ Ÿ "×& À À l l B , ,‘ _ 9


respectivamente (v. exercícios 13.13.2).47

Seja um espaço métrico standard, . Definimos o de como sendoI E © I Ehalo o conjunto

hal .ÐEÑ œ ÖB − I À bC − EÐB ¸ CÑ×

Facilmente se verifica, então, que o halo do exemplo 2 acima não é mais doL#

que halÐÓ"ß "ÒÑÞEm regra, uma classe definida por uma condição externa (sem quantificadores)

envolvendo as noção de , ou é uma galáxia, e será umstandard limitado apreciável halo se as noções envolvidas forem as de , ouinfinitesimal infinitamente próximo ilimitado, respectivamente.

13.7 Princípio de Separação de FehreleSejam , pré-galáxias disjuntas. Então existe um conjunto interno queK Kw O

separa e , no sentido .K K K Kw w© O • O œ g

Dem. Supondo , , por uma observa-K Kœ ÖE − M× œ ÖE − N×- -3w w

4À 3 À 45 5

ção acima a classe é um pré-halo Como, porL Kœ À 4I Ï œ ÖI Ï E − N× Þw w4

+ 5

hipótese, , tem-se , isto é, cada com está contido emK K K L œ g © E 3 − Mw3

5

todos os ( ). A relação interna definida porI Ï E 4 − N Vw4

5

VÐ3ß 4Ñ Í Ð3ß 4Ñ − M N • E E‚ 3w4,

tem a propriedade seguinte:

a ast st3 − M 4 − N VÐ3ß 4Ñ.

Pelo II Princípio Geral de Permanência existem conjuntos internos M ª Mw 5 ,N ª N M N © Vw w w5 tais que donde‚ ,

K Lœ E © E © ÐI Ï E Ñ © ÐI Ï E Ñ œ‡ ‡

. . , ,3− M 3−M 4−N 4− N3 3

w w4 45 5w w

,

sendo as inclusões assinaladas * inclusões próprias no caso de , não seremK Linternas, pois os dois conjuntos intermédios são internos. Designado um qualquerdestes conjuntos por obtemos .O © O © œ I ÏK L Kw è

Uma demonstração mais simples é possível no caso particular da indiciação em . Neste caso, utilizando o teorema 13.4, podemos supor eK œ ÖE 8 − ×- 8 À 5

L Kœ I Ï œ ÖF 8 − × ØE 8 − Ùw8 8+ À À5 com estritamente crescente e

ØF 8 − Ù F œ I Ï E 8 88 8w8À a estritamente decrescente ( , para todo ). Como st

E © F Ö8 − E © F ×8 8 8 8 mas o conjunto é interno, existe ilimitado tal que /ÀE © F O E F/ / / /, e podemos tomar para um dos conjuntos , .- +

8Ÿ 8Ÿ8 8

47 Para , onde é um espaço métrico standard, halE © I I ÐEÑ œ ÖB − I bC − EÀÐB ¸ CÑ× ÐÒ"ß "ÓÑ, de modo que não é mais do que hal .L#


13.8 CorolárioDuas pré-galáxias disjuntas podem ser separadas por um conjunto interno.è

Outra consequência imediata do Princípio de Separação, numa formulaçãosimples mais próxima do Princípio de Cauchy, é:

13.9 Princípio de FehreleUm halo não é uma galáxia.

Dem . Seja uma galáxia, um halo. Se fosse , então e sãoK L K L K Lœ I Ïgaláxias disjuntas (obtendo-se no final da demonstração deK § ÏK § œ IL Kw

13.7, com interno).O è

Utilizando este princípio, no caso particular da indiciação em , podemos daruma nova demonstração do Lema do Transbordo de Robinson [6.3 (b)].

Dem. Supondo , seja . Então a l l Àst8 Ð? ¸ !Ñ @ œ œ8 8 maxÖ ? ! Ÿ 5 Ÿ 8×5 LÖ8 − @ ¸ !× À 8 é um pré-halo contendo a galáxia . Se é interno, a inclusão é5 L

própria, pelo Princípio de Cauchy, e se é externo a inclusão também é própria, peloLPrincípio de Fehrele. Em qualquer dos casos existe ilimitado tal que , logo/ @ ¸ !/

a8 Ÿ Ð? ¸ !Ñ/ 8 .è

Nem todas as classes externas são halos ou galáxias. Além disso, nem todas asgaláxias (halos) no sentido geral são galáxias (halos) no sentido particular (índices em), como acima se disse. Vejamos mais alguns exemplos e contra-exemplos.

13.10 Exemplos1. 5‘ não é uma galáxia no sentido particular. Suponhamos, com vista a um

absurdo, que existia uma sucessão interna estritamente crescente deØE 8 − Ù8 À partes de tal que‘

5 5‘ œ ÖE 8 − ×. 8 À .

Então, para todo standard, tem somente elementos standard, necessaria-8 E8

mente em número finito, digamos , de modo que e são standard. Pelo5 E 58 8 8

Princípio de Cauchy existe ilimitado tal que tem um número finito de elementos,/ E/

5 0 À E Ä Ö!ß "ß ß 5 "× 8 Ÿ/ / / /. Logo, existe uma bijecção tal que, para todo , a... /restrição

0 œ 0 E E Ä Ö!ß ß 5 "×8 8 8 8/ À ...

é bijectiva. Assim, induz uma bijecção . Por extensão0 0 Ä/ /5 5 5« » ‘ ‘ À

funcional, existe uma aplicação standard que, por transferência, é0 ÄÀ ‘ bijectiva, o que é absurdo.


2. não é um halo no sentido particular. Pois, se assim fosse, seria um halo,5‘

logo não seria uma galáxia. Mas é uma galáxia, trivialmente, pois não é interno, e5‘

ØÖB× B − ÙÀ ‘ é uma família interna tal que5

‘‘ œ ÖB×.

B−5 .

3. A classe externa

ÖB − B − Ð!Ñ ! Ÿ "× œ ÖB − < ! = ! Ð= B " <Ñ×‘ ‘À B À a bgal e 9 st st

não é um halo nem uma galáxia.

Combinando os resultados anteriores facilmente se obtêm os seguintes:

13.11 Corolário (Permanência multidimensional)Se , 2 standard são pré-galáxias e é um pré-halo tais queK K L" 8..., Ð8 Ñ

K ‚ ‚ K L" 8 " 8á © O O então existem conjuntos internos , tais que...,

K ‚ ‚K ‚ ‚ L" 8 " 8á § O á O § .è

13.12 Corolário (Permanência sequencial)Nas condições do II Princípio Geral de Permanência e para quaisquer

sucessões standard , , existe um natural não-standard tal que0 œ Ø+ Ù 1 œ Ø, Ù8 8 /VÐ+ ß , Ñ 7 8 Ÿ7 8 para quaisquer , ./

Dem. Seja a relação 4-ária em definida porVw E F‚ ‚ ‚

V Ð0ß 1ß7ß 8Ñ VÐ0Ð7Ñß 1Ð8ÑÑw Í .

Para quaisquer , , , standard tem-se por hipótese sobre ,0 1 7 8 Ð0ß 1ß7ß 8Ñ VVw

logo, pelo II Princípio aplicado a existem conjuntos internos ,V O ¨ Ð Ew"

5 Ñ

O ¨ Ð FÑ#5 e naturais ilimitados tais que/ /" #,

V O Ow" #ª Ò!ß Ó Ò!ß Ó‚ ‚ / /" #‚ ,

donde o resultado, tomando ./ / /œ Ö ß ×min " # è

No final do Cap. VII será utilizado o segundo dos dois resultados adicionais depermanência seguintes.

13.13 LemaSejam uma função real standard, e para ,KÐBÑ ¸ _ KÐBÑ ¸ ! B ¸ _=

B Ÿ KÐBÑ ¸ ! B ¸ _=. Então para todo .

Dem. (Robinson) Caso contrário, existiriam e standard tais que0 &¸ _ !lKÐ Ñl W œ Ö À lKÐ Ñl × Ò!ß_Ò0 & 0 0 &. O conjunto (standard) não é vazio, logopor transferência contém elementos standard, mesmo maiores que cada númerostandard dado. Segue-se que é externo, logo pelo princípio de Cauchy estáW £


estritamente contido no conjunto interno . Isto implica a existência de umW Ò!ß Ó=número , com , isto é, , o que é absurdo.B ¸ _ B Ÿ lKÐBÑl KÐBÑ ¸ !y= & è

13.14 LemaSeja uma função standard. Suponha-se que para todas as funçõesJÐBß CÑ

standard com para todo se tem . EntãoK KÐ Ñ ¸ ! ¸ _ JÐ ßKÐ Ñ ¸ != = = =JÐ ß Ñ ¸ ! ¸ _ ¸ != & = & para todo , .

13.15 ObservaçãoÉ claro que para todo se e só se . O lemaKÐ Ñ ¸ ! ¸ _ KÐ\Ñ œ != = lim

\Ä_

exprime a permanência da propriedade da classe (conjunto externo)JÐ ß Ñ ¸ != &ÖÐ ßKÐ ÑÑ À ¸ _ K KÐ Ñ ¸ ! ¸ _× _‚= = = = =, standard, para todo para Ø. A±primeira está estritamente contida na segunda, pelo princípio de Fehrele: para cada= = = =! !¸ _ ÖKÐ Ñ À K KÐ Ñ ¸ ! ¸ _×, a galáxia standard, para todo estáestritamente contida no halo Ø.

Dem. Caso contrário, existiriam , , e standard tais que= &¸ _ ¸ ! - !lJ Ð ß Ñl - 8 −= & . Para cada standard o conjunto (standard)

W œ ÖÐBß CÑ À lJ ÐBß CÑl -× Ò8ß_Ò ‚ Ò"Î8ß "Î8Ó8

não seria vazio, logo por transferência conteria elementos standard. Segue-se queexistiria uma sucessão (standard) de elementos de . Sem perda deØÐB ß C ÑÙ W8 8 8

generalidade podemos supor que é estritamente crescente, logo estender-se-ia deØB Ù8maneira evidente a uma função (standard) a todo . TeríamosKÐB Ñ œ C8 8 ‘

, logo , para todo , comlimBÄ_

8 8KÐBÑ œ ! B ¸ _ KÐB Ñ ¸ ! 8 ¸ _

lJÐB ßKÐB ÑÑl - 8 ¸ _8 8 para todo , o que é absurdo.è

13.16 Exercícios e Problemas1. Prove que se é uma sucessão de funções contínuas (de um aberto Ø0 Ù E ©8 ‘

em ) uniformemente convergente para uma função , então é contínua.‘ 0 0

2. Mostre que

L

L

L

"Ò Ó

#

$#

œ ÖB B ¸ !×

œ ÖB − B ¥ _• " Ÿ Ÿ "×

œ ÖÐBß CÑ − C ¥ _• Ÿ "×

& À

À l l B

À l l l Cl

,,,

‘

‘

9

9

são halos no sentido particular, enquanto

K

K

"

##

œ ÖB − B ¥ _• " "×

œ ÖÐBß CÑ − BC ¥ _×

‘

‘

À l l B

À l l

9 ,,

são galáxias no sentido particular.


3. Seja ( aberto) standard e contínua, e o gráfico da curva de0 E Ä E ©À ‘ ‘ >#

equação .0ÐBß CÑ œ !

(a) Mostre que

hal gal gal ,Ð Ñ Ð!Ñ œ ÖÐBß CÑ − Ð!Ñ 0ÐBß CÑ ¸ !×> # # À

onde hal (v. definição deÐ Ñ œ ÖÐBß CÑ − b?ß @ÐÐ?ß @Ñ − • B ¸ ? • C ¸ @Ñ×> ‘ ># Àhal na pág. 112);ÐEÑ

(b) sendo , e , mostre que& ! 0ÐBß CÑ œ C B¸

È.Ö Bß CÑ ÐBß CÑ − × Á ÖÐBß CÑ − 0ÐBß CÑÎ ¥ _×& > ‘ &-gal( .À À l l#

4. Consideramos em o conjunto externo Ø . Além disso, consideramos a‘# ‚ £família de linhas , .6 œ ÖÐBß CÑ À C œ B×! ! ! ‘−

(a) Por que razão a interseção duma linha com Ø é externa?6 ‚! £(b) Para quais esta intersecção é uma galáxia?!

(c) Para quais esta intersecção é um halo?!

5. Seja uma função de classe tal que0 À Ò!ß "Ó ‚ Ò!ß "Ó Ä G‘ "

(i) ;0ÐBß !Ñ œ !

(ii) é positivo e apreciável para todo , limitado.`0ÐBßCÑ`C B − Ò!ß "Ó C

Mostre que:(a) é um halo, para cada ;ÖÐBß CÑ À 0ÐBß CÑ ¸ !× B − Ó!ß "Ó

(b) , é um halo;ÖÐBß CÑ À ! Ÿ B Ÿ " 0ÐBß CÑ ¸ !×

(c) , é apreciável é uma galáxia.ÖÐBß CÑ À ! Ÿ B Ÿ " 0ÐBß CÑ ×

6. Seja um espaço métrico standard, , hal , ) a bola abertaI E © I B Â ÐEÑ FÐBß &de centro e raio . Mostre que { hal é uma -B ! • FÐBß Ñ ÐEÑ œ g× R& & & &Àgaláxia. [Sugestão: considere as vizinhanças- de , "Î8 E Z œ ÖB − I bC − E8 À.ÐBß CÑ "Î8×.]

7. Seja standard, . Dizemos que de sse0 Ä B − 0 BÀ ‘ ‘ ‘ preserva o halo

0Ò ÐBÑÓ © Ðhal hal ,0ÐBÑÑ

e que sse para todo , ,0 ¸ ! !preserva as galáxias pequenas & &

0Ò BÑÓ ©& &- - .gal galÐ Ð0ÐBÑÑ

Prove que:(a) é contínua sse preserva o halo do todo o ponto próximo-standard;0 0

(b) é uniformemente contínua sse preserva o halo de todo o ponto;0 0


(c) é localmente lipschitziana sse preserva as galáxias pequenas de todo o0 048

ponto próximo-standard;(d) se é diferenciável, então preserva as galáxias de todo o ponto standard.0 0

8. Mostre que(a) as classes -gal e -hal têm as propriedades comuns aos subgrupos& &ÐBÑ BÑ Ð

convexos de (mas não as dos -módulos);‘ ™

(b) hal tem as propriedades de um ideal maximal de gal e, portanto, oÐ!Ñ Ð!Ñ« »quociente tem as propriedades de um corpo.

9. Demonstre o corolário 13.11.

§14. Algoritmo de redução

Nelson ([ ], §2) descreve, para , um algoritmo de transformação250 IST ZFNCœsintáctica, chamado , que converte fórmulas externas emalgoritmo de reduçãofórmulas internas equivalentes, com as mesmas variáveis livres, para valores standarddos parâmetros, sob certa condição adicional (a precisar adiante, pág. 119). Talalgoritmo é importante em si mesmo e também pelo facto de fornecer, comosubproduto, princípios úteis na Matemática Não-Standard, e ainda por constituir umnovo método de demonstração.

14.1 ConversõesRecordem-se as seguintes regras dos quantificadores que, combinadas com a« »

« »mudança de variáveis mudas , permitem obter uma fórmula logicamente9*

equivalente a uma fórmula dada , com as mesmas variáveis livres, na 9 forma normalprenexada (v. 8.1). São regras que permitem puxar quantificadores para fora , como« »é aparente, baseadas nas seguintes equivalências lógicas, onde , são fórmulas,9 <ÐBÑB U b a U a b não é livre em , e é ou conforme é ou , respectivamente.< w

(14.1)cUB ÐBÑ Í U Bc ÐBÑ9 9w

(14.2)UB ÐBÑ • Í UBÐ ÐBÑ • Ñ9 < 9 <

(14.3)UB ÐBÑ ” Í UBÐ ÐBÑ ” Ñ9 < 9 <

(14.4)ÐUB ÐBÑ Ñ Í U BÐ ÐBÑ Ñ9 < 9 <Ê Êw

(14.5)Ð UB ÐBÑÑ Í UBÐ ÐBÑÑ< 9 < 9Ê Ê

Estas regras valem igualmente para os quantificadores limitados ou restringidos auma classe e, em particular, para os quantificadores externos .G a bst st,

48 A definição clássica é: para todo existem e uma vizinhança de tais queB O ! Z Bpara todo , , C D − Z 0ÐCÑ 0ÐDÑ Ÿ O C D Þl l l l


Quaisquer dois quantificadores da mesma espécie (isto é, ambos universais, ouambos existenciais), restringidos ou não, permutam, e, além disso, os restringidospermutam com os não restringidos da mesma espécie:

(14.6)UBUC Í UCUB9 9

(14.7)U BUC Í UCU Bst st9 9

Destas regras, outras se derivam, como

ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰aB ÐBÑ aC ÐCÑ ÍbB aC ÐBÑ ÐCÑ ÍaCbB ÐBÑ ÐCÑ9 < 9 < 9 <Ê Ê Ê , (14.8)

desde que não seja livre em e não seja livre em , etc.B C< 9Outras regras a utilizar no algoritmo de redução não são de natureza puramente

lógica, pois resultam directamente dos axiomas, princípios e teoremas demonstradosde .ZFNC

Seja uma fórmula de com livre, e possivelmente outras variáveis livres9ÐBÑ B_w

C C C aB ÐBÑ B ÐBÑ ÐBÑ" 5, (abreviadamente, ). Trivialmente, ; se é ,..., t Ê a9 9 9st internaa implicação recíproca também vale, por (T) desde que os e as constantes, se, C Ð3

algumas houver tomem valores standard (sejam standard). EscrevemosÑ

astst

TB ÐBÑ Í aB ÐBÑ9 9 (14.9 )

como abreviatura de

a a ast st stC C B ÐBÑ Í aB ÐBÑ" 5... Š ‹9 9 .

Dualmente, utilizando (T ) justifica-se, sempre com interna,w , 9ÐBÑ

bstst TB ÐBÑ Í bB ÐBÑ9 9 . (14.9 )w

Ainda com interna o axioma de Idealização (I) pode-se formular como9ÐBß CÑ , equivalência

a astfin stIJ bC aB − J ÐBß CÑ bC9 Í B ÐBß CÑ , (14.10 )9

donde dualizando (e trocando « » por , « » « »),9 9c

b bstfin stIJ aC bB − J ÐBß CÑ Í aC B ÐBß CÑ9 9 . (14.10 )w

A última equivalência notável a utilizar é consequência de (T) e (S) ou, mais exactamente, do princípio de extensão funcional 8.3.

Dada com , livres e conjuntos standard , , este teorema garante que9ÐBß CÑ B C E F

a b Ê b À ast st st stB − E C − F ÐBß CÑ 0 Ð0 E Ä F • B − E ÐBß 0ÐBÑÑÑ9 9

Note-se que reciprocamente se existe uma tal função então para todo standard, , Bem existe standard também por transferência em tal que .E C œ 0ÐBÑ Ð Ñ F ÐBß CÑ9Modifiquemos a notação designando por a função de em e pondo, C E F~ B È 0ÐBÑ


C œ 0ÐBÑ − E − F~B , « », « »obtendo pois a equivalência (com subentendidos)

a b b ast st st stSB C ÐBß CÑ Í C B ÐBß C Ñ9 9~ ~

B , (14.11 )

e, dualizando« »,

b a a bst st st stSB C ÐBß CÑ Í C B ÐBß C Ñ9 9~ ~

B . (14.11 )w

Na literatura, a equivalência (14.11 ) (ou simplesmente a implicação não trivialSda esquerda para a direita) toma por vezes o nome de PRINCÍPIO DE SATURAÇÃO( se for interna).RESTRINGIDO, 9

NB. Ao utilizar (14.11 ) ou o seu dual porém importa ter em conta que e S « », , B Ctomam valores em conjuntos standard dados ( , , respectivamente) ou sem perdaE F , de generalidade que e , B C tomam valores num conjunto standard dado C( ). Esta é a condição restritiva mencionada acima. Na prática ela não éª E Frestritiva em demasia pois em situações matemáticas concretas os objectos mate-, máticos em jogo são usualmente membros de um conjunto (standard) dado.

14.2 Algoritmo de reduçãoO algoritmo de redução descreve-se em fases ou etapas aplicado a uma fórmula,

externa . Sem perda de generalidade ou como ou 9 , ,etapa preliminar etapa 0podemos supor que toda a ocorrência de » em é relegada para os quantificadores«st 9externos , . Pois escrita na linguagem primitiva as ocorrências de » ema bst st , , «9 stÐ Ñsub fórmulas atómicas podem ser assim relegadas substituindo « » por, stÐBÑ« (escolhida convenientemente a variável , para cada ocorrência).bstCÐC œ BÑ C»

Etapa 1. A primeira coisa a fazer é converter numa fórmula logicamente9equivalente com as mesmas variáveis livres na forma,

U B U B ÐB ß ß B Ñ" " 8 8 " 8... ...< ,

em que cada é ou e é uma fórmula sem quantificadores externos.U a b3 , , a bst st <Visto as ocorrências de » em terem sido relegadas para os quantificadores«st 9externos é interna. Podemos supor, pois, que é um quantificador externo. Até, < U8

aqui é lógica pura.

Em casos especiais esta etapa pode ser só parcialmente efectuada ou até omitida, Ð Ñv. exemplos adiante .

Etapa 2. Pretende-se agora reduzir a de ordem (quantificacional) U B U B" " 8 8... ,<que é o maior inteiro ( ) tal que quantificadores internos , têm à5 ! Ÿ 5 5 Ða bÑŸ 8sua direita pelo menos um quantificador externo. Se passa-se à etapa seguinte.5 œ !Se reduz-se sucessivamente a ordem a , , procedendo como se5 5 " 5 # ! ! , ...indica a seguir:

Seja o quantificador interno mais à direita que é seguido de um quantificadorU4

externo. Há dois casos a considerar.


(a) No caso à direita deste só há quantificadores externos e . Se todosU œ a4 , <estes são usamos (14.7) para permutar com todos eles e puxar para junto de ast, ,a a <obtendo assim uma fórmula de ordem . Se à direita de há e utilizamos5 " a a bst st, (14.7) e (14.11, 11 ) para mover os para a esquerda de ficando agora à direitaw ast a, deste somente alguns e uma fórmula interna sem quantificadores. Diversos b bst st<w

podem ser tratados como um só contraindo-os em pares (ou triplos etc.) ordenados, , [pois por exemplo,,

b b bst st stB C ÐBß CÑ Í DÐD Ð Dß DÑÑ< <w w" # é um par ordenado e pr pr ,

em notação óbvia] de modo que podemos supor que à direita de só há um o, , a bst

qual se move para a esquerda de utilizando 10 ) e novamente se reduziu aa (14. , w

ordem a .5 "(b) No caso procede-se de modo análogo com as duais das regrasU œ b4 , « »

utilizadas no caso . Repetem-se estes procedimentos enquanto for necessário até sea , reduzir a e passa-se à última etapa.5 !,

Etapa 3. À fórmula obtida no final da etapa anterior aplicam-se as regras detransferência (14.9, 9 ) de modo a se converterem todos os quantificadores externosw

em quantificadores internos e desfazem-se as contracções eventualmente efectuadas, na etapa 2.

Obtém-se finalmente uma fórmula interna com as mesmas variáveis livres que99

a original chamada a de (modulo ), tal que9 9, reduzida ST

ZFNC ¯ Í9 9st

9,

com a restrição mencionada na pág. 119 acima [caso se tenham aplicado as regras(14.11, 11 ) durante a segunda etapa]. Se é uma sentença (com constantes standard)w 9 ,também o é e tem-se99,

ZFNC ¯ Í9 99.

A fórmula equivalente a obtida no final da Etapa 2, antes, portanto, de se9 9w

efectuarem as transferências, é chamada a de . Veremos adiantereduzida parcial 9(corolário 14.6) qual a razão específica do seu interesse.

Como se verá a seguir o algoritmo de redução também serve para demonstrar, resultados de natureza matemática. Uma outra descrição do Algoritmo de Redução,mais simples do que a anterior mas com outros pressupostos, encontra-se em [254].


14.3 Exemplos e Aplicações1. Com interna e as variáveis livres exibidas (se outras houver, supõem-<ÐBß Cß DÑ

se restringidas a ),ST

por (14.11 )aB C D ÐBß Cß DÑ Í aB D C ÐBß Cß D Ñb a a bst st st stst

< <~ ~C

w

por (14.7)Í D aB C ÐBß Cß D Ñst

st sta b~ ~< C

por (14.10 )Í D J aB bC − J ÐBß Cß D Ñst

st stfina b~ ~< Cw

por (14.9, 9 ).Í aD J aB bC − J ÐBß Cß D Ñst

fin~ ~b < Cw

Esquematicamente

a Í a abb a bst st finst

.~

1A. Sendo um espaço topológico separado standard e aÐIß Ñ Bß +ß EÑg <Ðfórmula esta redução fornece logo a demonstração doE − • + − E B − Eg Ê , Teorema de caracterização da compacidade 11.4.

1B. Outra aplicação resulta do Teorema da Parte Standard 5.8 onde se provou, (com , restringidas a e , restringidas a )B , +‘ ‘&

a , B Ð + B Ÿ + B , Ñb l l Ê b a l lst st st& & ,

ou seja equivalentemente, ,

a b a l l Ê l lst st st+ aB Ð B Ÿ + B , Ñ, & & .

Tratando como um parâmetro standard na parte aplicando a redução acima+ a« ...», Be depois uma transferência obtemos

a+ a F Ñ& &~ ~b l l Ê l lfin aB b, − F Ð B Ÿ + B , , ,

que é o Teorema de Heine-Borel para intervalos Ò+ß +Ó.49

2. Para como acima,<

por (14.10)aB bC a ast stfinst

D ÐBß Cß DÑ Í aB ^ bC aD − ^ ÐBß Cß DÑ< <

por (14.7, 9, 7)Í aB ^ bC aD − ^ ÐBß Cß DÑst

fina <

Note-se que tem exactamente a mesma redução, logoa ast stB bC D ÐBß Cß DÑ<

a a ast st stst

B bC D ÐBß Cß DÑ Í aB bC D ÐBß Cß DÑ< < ,

embora a fórmula à direita não se possa obter directamente da fórmula à esquerda por

49 A formulação usual deste teorema é que os conjuntos limitados e fechados sãocompactos, isto é, de toda a cobertura aberta pode-se extrair uma subcobertura finita.


(14.9 , ) pois não é interna. Mais adiante generalizamos estabC D ÐBß Cß DÑast <observação (transferência generalizada, 14.4).

Esquematicamente

ab Í a ba Í ba a a ast fin st stst st

.

2A. Aplicando a primeira destas reduções ao enunciado do Teorema de NelsonRestringido 2.4

aE J B − E ÐB − JÑb afin st ,

obtemos a trivialidade

aE J J ÐJ E © JÑa bfin finw w .

3. Sejam internas com variáveis livres como exibidas (e9 <ÐBß CÑß ÐBß DÑpossivelmente outras) que abreviadamente escrevemos . Então, , 9 <BC BD

por (14.8)aB Ð C BC D BDÑ Í aB D C Ð BC BDÑa Ê a a b Êst st st stst

9 < 9 <

por (14.7)Í DaB C Ð BC BDÑst

st sta b Ê9 <

por (14.10 )Í D ] aBbC − ] Ð BC BDÑst

st stfina b Ê9 < w

por (14.9, 9 , 4)Í aD ] aB ÐaC − ] BC BDÑst

finb Ê9 < w

Esquematicamente,

a Ð Ñ Í a aa Ê a bst st finst

.

3A. Aplicando esta redução à definição de -continuidade de uma funçãoW0 Ä +À ‘ ‘ num ponto que se pode escrever a menos de equivalência lógica (14.7), , (com , restringidos a e a )$ & ‘ ‘ B

a B Ð B + 0ÐBÑ 0Ð+Ñ Ña l l Ê a l lst st& & $ $ ,

obtemos a fórmula equivalente para , standard,, 0 +

a $ &b l l Ê l lfinJ aB Ða − J B + 0ÐBÑ 0Ð+Ñ Ñ& $ .

Mas com finito e tem-seJ J &o œ min ,

a − Í & & &J B + B +l l l l o,

donde ,a b aB Ð B + 0ÐBÑ 0Ð+Ñ Ñ$ & & $l l l lÊ

que é a definição clássica (com , standard).0 +


3B. Supondo agora aberto e querendo reduzir a condiçãoA © ‘ , , 0 E ÄÀ ‘não-standard de continuidade uniforme de em 0 A,

aBß C ÐB ¸ C 0ÐBÑ ¸ 0ÐCÑÑÊ ,

obtemos primeiramente

a Bß C Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ña l l Ê a l lst st& & $ $ ,

que também é da forma e seguindo um caminho análogo na reduçãoa Ð Êa ast stÑ, obtemos sucessivamente as equivalentes (para standard com as variáveis0 , quantificadas restringidas aos conjuntos óbvios)

por (14.8)Í aBß C Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ña b l l Ê l lst st$ & & $

por (14.7)Í aBß C Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ña b l l Ê l lst st$ & & $

por (14.10 )Í J aBß C b − J Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ña b l l Ê l lst stfin$ & & $ w

por (14.9, 9 )Í a J aBß C b − J Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ñ$ & & $b l l Ê l lfin w

Í a b aBß C Ð B C 0ÐBÑ 0ÐCÑ Ñ$ & & $! !l l Ê l l

(tomando ) que é a menos de equivalência lógica a definição clássica de&! œ minJ , , continuidade uniforme de (standard) em (standard também por ser o domínio de0 A , uma aplicação standard).

3C. A mesma redução permite obter uma caracterização não-standard daconvergência de uma sucessão de números reais. Digamos que -0 œ Ø+ − Ù W8 À 8 converge para limitado sse para todo o natural ilimitado ; simbolica-+ − + ¸ +‘ / , /

mente (com , restringidas a e a )7 8 $ ‘

a7 8Ð Ð8 Ÿ 7Ñ + + Ña Ê a l lst st .$ 7 $

Para , standard isto equivale à definição clássica pois após redução obtém-se a0 + , equivalente

a$ b Ê l lfinJ a Ða − J Ð8 Ÿ 7Ñ + + Ñm n 7 $ ,

mas com finito e tem-se quer dizerJ J − JÐ8 Ÿ 7Ñ 5 a8 Íœ max , , m k

a b5 a7 Ð7 5 + + Ñ$ $Ê l l7 ,

que é a definição clássica.

4. Da redução anterior de também se obtém a redução de aÐ Ñ aB Ð Ca Ê a ast st st

9 <BC Í D BDÑast , notando primeiramente que esta fórmula é logicamente equivalenteÐ ?ß @ Ñpara convenientes a

aB Ð C BC D BDÑ Ð @ B@ ? B?Ñˆ ‰a Ê a • a Ê ast st st st ,9 < < 9

obtendo-se aBÐ C BC Í D BDÑa ast st9 <

Í aDß ? ] ß Z aB ÐaC − ] BC BDÑ • Ða@ − Z B@ B?Ñst

finb Ê Êˆ ‰9 < < 9


Esquematicamente,

a Ð Í Ñ Í aaa a b bst st fin finst

a .

5. Sejam internas com variáveis livres como exibidas pretendendo-se9 <BC BDA, , reduzir

aB Ð C BC bD A BDAÑa Ê ast st .9 <

Neste exemplo convém não efectuar a Etapa 1 completamente mas sim reduzir, primeiramente o consequente da implicação, utilizando (14.10), a

astfin[ bD aA − [ BDA .<

Temos então após conversões lógicas (14.5, 7, 4),,

aB Ð C BC bD A BDAÑ Í C Ð BC bDaA − [ BDAÑa Ê a a b Êst st stfin st9 < 9 < [ aB

por (14.10 )Í ] aBbC − ] Ð BC bDaA − [ BDAÑa b Êstfin stfin[ 9 < w

por (14.9, 9 , 4).Í [ ] aB ÐaC − ] BC bD aA − [ BDAÑst

fin fina b Ê9 < w

Esquematicamente,

a Ð b Ñ Ía Ê a a bst st fin finst

a b

Vejamos outras consequências do Algoritmo de Redução.Dizemos que uma fórmula é [ ], sse na sua9ÐC ß ß C Ñ" 5... hálica galáctica 50

equivalente após a Etapa 1 do Algoritmo de Redução,U B U B ÐB ß ß B ß CÑ" " 8 8 " 8... ...< ttodo o é , ou [ , respectivamente]; sendo assim, uma tal matriz é, pois,U a b3 a bst st <interna.

Tem-se então o seguinte:

14.4 Princípio de Transferência GeneralizadaSeja uma fórmula hálica com variáveis livres exactamente como9ÐBß CÑt

exibidas. Então

(TG) .a t tstst

B ÐBß CÑ Í aB ÐBß CÑ9 9

Dem. Podemos já supor da forma com9 <ÐBß CÑ U B U B ÐB ß ß B ß Bß CÑt t" " 8 8 " 8... ...cada , ou , e interna. Prosseguindo a redução de observe-seU œ a b ÐBß CÑ3 a tst < 9 , que por ausência de nunca aplicaremos as regras (14.11, 11 ) nem nunca se obterábst w

bst no prefixo de quantificadores. Sendo assim obtida a reduzida de ordem 0 de, 9ÐBß CÑt , digamos

50 As fórmulas hálicas já foram chamadas universalmente semi-internas internas, , ou - e asast

galácticas, , ou -existencialmente semi-internas internas. (I. v. d. Berg)bst


9 )ÐBß CÑ Í ? Ð?ß Bß CÑt a t t t ,st

st

obtemos de seguida

a a t t t a t a t tst st st stst

B ? Ð?ß Bß CÑ Í ? B Ð?ß Bß CÑ por (14.6)) )

por (14.9)Í ?aB Ð?ß Bß CÑst

sta t t t)

por (14.7)Í aB ? Ð?ß Bß CÑst

sta t t t)

ou seja, , como se queria.a t tstst

B ÐBß CÑ Í aB ÐBß CÑ9 9 è

Dualmente com galáctica,, 9ÐBß CÑt

(TG ) w bB ÐBß CÑ 9 t b tÍ B ÐBß CÑst

st 9

O algoritmo de redução também permite generalizar o Princípio de definição deobjectos standard 3.2 a fórmulas externas.

14.5 Princípio de unicidade externaSeja uma fórmula interna ou externa com livre possivelmente com9ÐBÑ B Ð

parâmetros e constantes standard , uma constante standard. Então, Ñ Q

(UE) b B ÐBÑ B ÐBÑ" ÐQÑ ÐQÑ .9 9Ê bst

"st

Dem. Aplicando o Algoritmo de Redução excepto a última etapa (a das regras de, transferência) a utilizando as regras (14.11, 11 ) quantas vezes forem9ÐQÑ wÐBÑ, necessárias e contraindo quantificadores externos da mesma espécie obtemos uma, reduzida (modulo ) da formaST

a bst st? @ ÐBß ?ß @Ñ ,<

com interna com exactamente , , livres. Seja o único tal que . Por< 9B ? @ B ÐBÑB! ÐQÑ

(14.11), tem-se

b ast st@ ? ÐB ß ?ß @ Ñ~ ~ ,< ! ? (14.12)

e, além disso por unicidade de ,, B!

aC Ð ? @ ÐCß ?ß @Ñ C œ B Ña b Êst st ,< ! (14.13)

cuja reduzida parcial é

a b Êst stfin@ Y aC Ða? − Y ÐCß ?ß @ Ñ C œ B Ñ~ ~ . < ? ! (14.14)


Fixando em tal que@ œ @~ ~! (14.12)

ast? ÐB ß ?ß @ Ð?ÑÑ< ! !~ , (14.12 )w

e, com esta função standard particularizada em , fixando standard(14.14) Y œ Y!

finito tal que

aC Ða? − Y ÐCß ?ß @ Ð?ÑÑ C œ B Ñ! ! !< ~ Ê ,

obtemos de atendendo a que todo o elemento de é standard (3.4),(14.12 )w , ? Y!

a? − Y ÐB ß ?ß @ Ð?ÑÑ! ! ! ,< ~

donde

bC a? − Y ÐCß ?ß @ Ð?ÑÑ! ! .< ~

Nesta fórmula interna e são standard logo por transferência,Y @ Ð?Ñ! !~ , ,

a? − Y ÐC ß ?ß @ Ð?ÑÑ C! ! ! !< ~ , para algum standard.

Por concluimos que isto é, que é standard como se queria.(14.13) C œ B B! ! !, , è

14.6 Corolário (Classificação das classes externas)Toda a fórmula externa é, ST, equivalente a uma fórmula de uma9ÐBÑ modulo

das formas

(I) , (II) , (III) a b a bst st st stC ÐBß CÑ C ÐBß CÑ C< < D ÐBß Cß DÑ<

onde é interna e , tomam valores num conjunto standard dado.< C D

A expressão modulo significa, como acima, «para valores standard dos« »STparâmetros (se alguns houver) e das constantes (se algumas houver)». A equivalência,bem entendido, é uma equivalência estabelecida na teoria .ZFNC

Dem. O Algoritmo de Redução, aplicado a até ao final da execução da9ÐBÑEtapa 2, fornece uma equivalente modulo de uma das formas indicadas, ou, maisST exactamente, da forma geral (III), podendo, em casos particulares, resultar omitido umdos quantificadores externos, dando, assim, lugar a uma das formas (I), (II). A últimacondição sobre as variáveis , só é pertinente se, na redução, forem aplicadas asC Dregras (14.11) ou (14.11 ).w è

A classificação 14.6 estende-se naturalmente às classes

G œ ÖB − I ÐBÑ× IÀ ( interno dado).9

Vê-se, em particular, que os halos são classes de tipo (I) e as galáxias são de tipo(II), enquanto a classe do exemplo 14.10.3 é de tipo (III).

Finalmente, o Algoritmo de Redução também permite uma generalização doPrincípio de Extensão Funcional (ou de Saturação, [254], p. 132), de que já conhe-cemos duas versões (4.3 e 8.3).


14.7 Princípio de Extensão Funcional (ou de Saturação) GeneralizadoSeja uma fórmula interna ou externa (possivelmente com outras9ÐBß CÑ

variáveis livres, e constantes standard, e com , restringidos a algum conjuntoB Cstandard, subentendido). Então

(EFG .Ñ B bC ÐBß CÑ Í bC B ÐBß C Ña ast stst

9 9~ ~B

Dem. Demonstramos apenas a implicação não trivial, da esquerda para a direita.Para simplificar a notação supomos que não tem outras variáveis livres senão9ÐBß CÑB C ÐBß CÑ e . Aplicando o Algoritmo de Redução a até ao final da Etapa 2, obtemos a9reduzida parcial equivalente , com interna.a bst st? @ ÐBß Cß ?ß @Ñ< <

A nossa hipótese é, portanto,

(a) .a a bst st stB bC ? @ ÐBß Cß ?ß @Ñ<

Ora: a a b a b ast st st st st stB bC ? @ ÐBß Cß ?ß @Ñ Í BbC @ ? ÐBß Cß ?ß @ Ñ< <~ ~

? por (14.11)

por (14.6)Í B @ bC ? ÐBß Cß ?ß @ Ña b ast st st~ ~< ?

por (14.10 )Í B @ Y bC a? − Y ÐBß Cß ?ß @ Ña b ast st stfin~ ~< ?w

por (14.11)Í B Y bC a? − Y ÐBß Cß ?ß Ñb @ a a @st st stfin~ ~< Bß?

por(14.6)Í Y BbC a? − Y ÐBß Cß ?ß Ñb @ a a @st stfin st~ ~< Bß?

Como todo o elemento ( de um conjunto standard finito é standard, vemos que?Ñ ÐY Ñ(com standard e standard finito fixos)@~ Y

a @ Ê a b @st st stB bC a? − Y ÐBß Cß ?ß Ñ B C a? − Y ÐBß Cß ?ß Ñ< <~ ~Bß? Bß? (UE)

por (14.11)Ê C Ba? − Y ÐBß C ß ?ß Ñb a @st st~ ~< B Bß?~

Ê bC B a? − Y ÐBß C ß ?ß Ñ~ ~a @st < B Bß?~

, por (14.10)Ê \ bC aB − \ a? − Y ÐBß C ß ?ß Ña @stfin ~ ~< B Bß?~

de modo que a nossa hipótese implicaÐ+Ñ 51

(b) .b @ a a @st stfin stfin~ ~Y \ bC aB − \ a? − Y ÐBß C ß ?ß Ñ~ ~< B Bß?

Mostramos, a terminar, que o consequente a demonstrar , ou seja,bC B ÐBß C Ñ~ ~ast 9 B

(c) bC B ? @ ÐBß C ß ?ß @Ñ~ ~a a bst st st < B

é equivalente a (b). Com efeito, tem-se

por (14.11)bC B ? @ ÐBß C ß ?ß @Ñ Í bC B ? ÐBß C ß ?ß Ñ~ ~ ~ ~a a b b @ a a @st st st st st st< <B BBß? Bß?~ ~

51 Na verdade, implica, como se viu,

b a Ya \ b C aB − \ a? − Y ÐBß C ß ?ß Ñst stfin stfin st@ @~ ~~ ~< B Bß? .


por (14.7)Í bC B ? ÐBß C ß ?ß Ñb @ a a @st st st~ ~Bß? Bß?B

~ ~<

por (10)Í \ Y bC aB − \ a? − Y ÐBß C ß ?ß Ñb @ a a @st stfin stfin~ ~~ ~< B Bß?

como se queria, por (14.6).è

Expresso de outra maneira, sejam , conjuntos standard, interna ouE F ÐBß CÑ9externa somente com , livres e ponhamos, para cada ,B C B − E

GB œ ÖC − F ÐBß CÑ×À 9 .

O antecedente da implicação exprime quea Ê ast stB bC ÐBß CÑ bC B ÐBß C Ñ9 9~ ~B

a ÀstB − E Ð Á gÑ C E Ä FGB , e o consequente, que existe uma função tal que~

astB − E ÐC − Ñ~B BG .

Tal é, assim, um (possivelmente não-standard) que em cada classe , comC~ selector GB

B standard, escolhe um elemento. Observe-se que o princípio de extensão funcional8.3 também se pode interpretar desta maneira, com duas diferenças significativas:para cada standard em existe standard em , e o selector é standard,B E C CGB

~escolhendo um elemento standard em cada com standard.GB B

14.8 Exercícios e Problemas1. Seja uma sucessão de números reais tal que . Aplique o? œ Ø? Ù 8 Ð? ¸ !Ñ8 8ast

Algoritmo de Redução à conclusão do Lema do Transbordo de Robinson (com asvariáveis restringidas aos conjuntos óbvios):/ &ß7ß 8ß

b Ð 7Ð7 Ñ • 8 Ÿ Ð ? ÑÑ/ / / & &a a a l lst st st8 .

2. Seja um conjunto standard, , , de modo queE \ © E ] œ ÖB − E B − \×St À

astB − E ÐB − ] Í B − \Ñ. Aplique o Algoritmo de Redução à fórmula (comparâmetro standard EÑ

a\ − ÐEÑ ] − ÐEÑ B − E ÐB − ] Í B − \ÑT Tb ast st

para concluir o teorema interno seguinte: para todo o conjunto e funçãoE0 ÐEÑ Ä E ] ] © EÀ T existem conjuntos em número finito , tais que para" 8..., todo se tem\ © E

Ð0] − \ Í 0] − ] Ñ ” ” Ð0] − \ Í 0] − ] Ñ" " " 8 8 8... .

129

Capítulo V

ARITMÉTICA NÃO-STANDARD

§15. Extensões conservativas da Aritmética de Peano

Nesta secção fazemos uma pequena digressão pela aritmética elementar fazendo, para esta algo semelhante ao que se fez para a teoria dos conjuntos.

Do ponto de vista da lógica (ou dos lógicos) a incompletude da aritmética de, Peano, (v. metateoremas de Gödel B6), e a existência de modelos não-standard dePA , PA [isto é, não isomorfos ao modelo standard 0 ] é uma benesse« » ,Á !

wœ Ð ß ß ß ß Ñ†bastando consultar Smorynski [309] para ter uma ideia do interesse do assunto e daamplitude dos resultados (e respectiva história) obtidos desde há algumas dezenas deanos. Tradicionalmente o estudo de modelos não-standard de (e de teorias simila-, PAres) é feito directamente sobre eles na Teoria dos Modelos. Acontece que muitas, propriedades elementares de tais modelos bem como uma sua caracterização podem, , ser estabelecidas de uma maneira mais simples e elegante. Pois tais modelos são redu-tos de modelos de certa extensão de que grosso modo está para como PA PA PA ISTw , , está para . As propriedades em causa são consequências de que provamos serZFC PAw, extensão conservativa de . Pode-se dizer assim que a ideia básica de Nelson encon-PA , , tra uma aplicação ao estudo dos modelos não-standard da Aritmética de Peano embora, esta aplicação tenha um carácter um pouco diferente das restantes neste livro. Alémdisso, ideias semelhantes foram utilizadas por Nelson em [253] e outros autores ([ ]166e [ ]), para fins diversos, de que damos conta nas secções seguintes deste capítulo.167

Pressupomos alguns conhecimentos básicos da lógica de primeira ordem (comoos dos primeiros capítulos de [ ], [111] ou [ ]).240 300

15.1 Linguagem e axiomasRecordemos a axiomática de Peano para facilidade de referência futura. A, , PA

linguagem de primeira ordem com igualdade de tem como símbolosÐ Ñ PA PA, L œ Ð ÑL


primitivos não-lógicos os habituais , , , ; as variáveis de denotam-se , , ! B C† w 52 LD, ; os e as de definem-se do modo usual; frequentemente... termos fórmulas Labreviamos em . Os são os termos da forma , , , ,B C BC ! ! !† numerais formais w ww ...abreviadamente , , , respectivamente. Melhor dizendo define-se por recorrência! " # ... , uma função que a cada natural associa um termo de chamado o de ,8 numeral8 , L 8pondo

! œ ! œ 8, 8 " Ð Ñw

As fórmulas de são denotadas etc. com as convenções , , , , L 9 < )ÐBÑ ÐBß CÑcostumeiras acerca da substituição de variáveis por termos simplificação de escrita, ,etc.

Os axiomas de são (os fechos universais de) das fórmulasPA

(P ) ,"w! Á B

(P ) ,#w wB œ C B œ CÊ

(P ) $ B ! œ B

(P ) ,%w wB C œ ÐB CÑ

(P ) ,5 B ! œ !†

(P ) ,6 B C œ B C B† †w

e ainda os fechos universais das fórmulas seguintes que compreendem o , axioma-esquema de indução

( ) ,Ind 9 9 9 9Ð!Ñ • aBÐ ÐBÑ ÐB ÑÑ aB ÐBÑÊ Êw

para qualquer com livre (e possivelmente outras variáveis livres).9ÐBÑ BDos axiomas acima resultam as propriedades algébricas usuais de , , que !† , w ,

omitimos mas que utilizaremos em demonstrações sem mais menção. Note-se que, B œ B ! œ ÐB !Ñ œ B" w w w.

Utilizaremos ainda os símbolos definidos , , introduzidos pelas definições Ÿ

B C Í bDÐB D œ CÑ B Ÿ C Í B C ” B œ Cw , ,

respectivamente; em geral, continuamos designando por uma qualquer extensão de LLÐ ÑPA por definições com que estejamos a trabalhar num determinado momento. Asabreviaturas , têm o significado habitual. Facilmente demons-aC B bC B9 9tráveis ([ ], Cap. 3; v. também [ ]) são também as propriedades e os princípios240 268seguintes, que utilizaremos mais adiante:

(P ) ,(" wB Á ! b CÐB œ C ÑÊ

(P ) ,) c B !

(P ) ,*wB C Í B Ÿ C

52 Conforme a finalidade, assim a escolha dos primitivos. Mais adiante faremos uma outraescolha de primitivos.

V. ARITMÉTICA NÃO-STANDARD 131

(P ) ,"! B C ” B œ C ” C B

(P ) ,"" B C • C D B DÊ

(P ) ,"# B C B D C DÊ

(P ) ,"$ B C • D Á ! BD CDÊ

(P ) ,"%w wB C Í B C

e para qualquer fórmula como em ( ),, 9ÐBÑ Ind

( ) ,Min bB ÐBÑ bB ÐBÑ • aC B c ÐCÑ9 9 9Ê Š ‹(IC ) ," aB aC B ÐCÑ ÐBÑ aB ÐBÑŠ ‹9 9 9Ê Ê

(IC ) .# Š ‹9 9 9 9Ð!Ñ • aBÐaC Ÿ B ÐCÑ ÐB ÑÑ aB ÐBÑÊ Êw

Estes princípios são, aliás, equivalentes a ( ) (modulo os restantes axiomas deInd PA).

O de é 0 mas devemos ter cuidado commodelo standard PA Á !wœ Ð ß ß ß ß Ñ† ,

o significado de standard neste contexto a não confundir com o significado« » , nelsoniano. Se 0 [abreviadamente se nenhuma confusãoÀ œ ÐQß ß ß ß ÑÀ À ÀÀ† w , for possível 0 ] é um modelo arbitrário de os , , ÐQß ß ß ß Ñ† w PA naturais de À(também chamados os de ) são as interpretações em doselementos standard À À

numerais formais etc. Se é um modelo não-standard de (isto é,, , , , ! " #À À À

À PAÀ Á À é um modelo de não isomorfo ao modelo standard ) há em pelo menosPA ! , um elemento que não é um natural de dizendo-se por isso um elemento À, não-stan-dard infinitamente grande (ou ) de . O conjunto dos naturais de ,À À

Nat Ð Ñ œ Ö 8 − ×À 8 ÀÀ ,

não é definível em isto é, nenhuma fórmula de existe tal que é oÀ 9, ÐBÑ L Nat Ð ÑÀconjunto dos elementos do domínio de que satisfazem em . Pois, seQ À 9 ÀÐBÑexistisse uma tal fórmula então a sua negação definiria em o conjunto9 9 ÀÐBÑ c ÐBÑ, dos elementos não-standard de logo este conjunto teria mínimo por ( ) em À À, , ,Mincontradizendo P ) e o facto de o sucessor em de um natural em ser um( , , 7 À À 8À

natural em precisamente .À, 8wÀ

A teoria (ou ) que definimos a seguir tentaPA PNAw — Peano-Nelson Arithmetic , , remediar esta situação expandindo com um novo símbolo predicativo unário , ,L Wcuja interpretação num modelo de é o conjunto dos naturaisintencional, , , À PAw WÀ

de . Discutiremos adiante em que medida é que esta intenção pode ser realizada.ÀSeja a linguagem expandida de com . [ou por vezes ] lê-se é , , «L Lw W WB WÐBÑ B

standard e lê-se é não-standard . Uma fórmula de sem ocorrência de», « » cWB B Lw

« » W Ð Ñ isto é, uma fórmula de diz-se ; as restantes fórmulas de dizem-seL Linterna w

externas. , são os quantificadores limitados a , ou quantificadores externos:a bst st Wa b Êst stB B aBÐWB Ñ bBÐWB • Ñ9 9 9 9, , abreviam , respectivamente.

As estruturas- denotam-se ; onde é uma estrutura para eLw Ð WÑ œ ÐQß ÑÀ À, ... LW W é a interpretação do símbolo se não houver perigo de confusão.,


Os axiomas de são os axiomas se na linguagem e ainda os seguintes naPA PAw , , Llinguagem : Lw

(P ) ,w" WÐ!Ñ

(P ) ,w w# aBÐWB WÐB ÑÑÊ

(P ) ,w$ bB cWB

e para cada fórmula interna ou externa com livre (e possivelmente outras, 9ÐBÑ Bvariáveis livres) um (também chamada —, axioma de indução externa indução-C_

*

v. adiante)

(IE) .9Ð!Ñ • BÐ ÐBÑ ÐB ÑÑ B ÐBÑa Ê Ê ast st9 9 9w

Os princípios ( ) e (IC ) ( , ) possuem versões externas (ME) e (ICE )Min 3 33 œ " #( , ) respectivamente, que nos abstemos de enunciar, e que são equivalentes a3 œ " # (IE), na presença dos restantes.

( ( , P ) e P ) são axiomas naturais tendo em vista o significado intencional de .w w" # W

(P ) é um axioma de [compare-se com os axiomas (I) de ] evitandow3 idealização IST ,

ao mesmo tempo que os restantes axiomas sejam redundantes. Pois, se é uma teoria Tw

em contendo a aritmética de Peano na qual é teorema facilmente se deduz , Lw aB WBem que donde resulta que P ) P ) e (IE) são demonstráveis , ( , (Tw aBÐB œ B Í WBÑ w w

" #

utilizando somente os axiomas de .PAObservemos igualmente que o princípio de indução ordinária ( ) não vale paraInd

fórmulas externas sob pena de contradição. Pois por exemplo escolhendo para , , , 9ÐBÑa fórmula externa por P ) P ) e ( ) obtemos contradizendo P ).WB aBWB, ( , ( , (w w w

" # $IndNão incluímos de momento nenhum princípio de transferência entre os axiomas

de cuja formulação em no entanto pode tomar a forma seguinte onde éPAw, , , , Lw 9uma fórmula interna com exactamente , livres:B Ct

(P ) .+ st st% a a ÊCtÐ B aB Ñ9 9

A forma dual de (P ) é« » w%

(P ) .+ st st%w

a Ê bCtÐbB B Ñ9 9

A extensão de com os axiomas (P ) denota-se . Quer um quer outroPA PAw4+ +

destes esquemas pode-se formular com » no lugar de , por razões óbvias.« « »Í ÊOutra maneira condensada de exprimir os axiomas de transferência é

(P ) ,‡ ÐWÑ% astCtÐ Í Ñ9 9

onde é a relativizada de a , com interna.9 9 9ÐWÑ WDemonstramos de seguida alguns teoremas de [numerados - ]PAw (1) (10) ,

correspondentes a propriedades conhecidas dos modelos não-standard de ., PA

15.2 Consequências de PAw

Reservamos , , , para variáveis limitadas aos números standard no+ , - ... « » , sentido de ; quer dizer que abreviam ,W a+ Ð+Ñ b+ Ð+Ñ B ÐBÑ B ÐBÑ9 9 9 9, , a bst st


respectivamente etc. O axioma-esquema (IE) poderá então escrever-se simplesmente,

(IE) .9 9 9 9Ð!Ñ • a+Ð Ð+Ñ Ð+ ÑÑ a+ Ð+ÑÊ Êw

(1) WÐ Ñ8 , para todo .8 −

Dem. Por indução ordinária (metamatemática) em utilizando P ), e, ( , w" WÐ Ñ!

particularizando P ), o que faz sentido pois é exactamente o_

( , w w w# WÐ Ñ WÐ Ñ 88 Ê 8

numeral formal do sucessor ordinário em de .Ð Ñ 8 è

(2) .a+, WÐ+ ,Ñ

Dem. Tomando standard ao arbítrio basta demonstrar por indução+ a, WÐ+ ,Ñ, externa. Por (P ) tem-se logo por ser standard . Com stan-$ + ! œ + + WÐ+ !Ñ ,, , , dard tem-se por P ) mas por (P ) logo, ( , , WÐ+ ,Ñ WÐ+ ,Ñ Ð+ ,Ñ œ + ,Ê w w w w

# %

WÐ+ ,Ñ WÐ+ , ÑÊ w . Mostrámos assim que

WÐ+ !Ñ • a,ÐWÐ+ ,Ñ WÐ+ , ÑÑÊ w ,

donde por (IE) como se queria., , , a, WÐ+ ,Ñ è

De modo análogo se prova:

(3) .a+, WÐ+,Ñ è

(4) de .WÐ>Ñ, para todo o termo fechado > Lw

Dem. Por indução na complexidade dos termos (como em [111] p. 195) prova-se, que para todo o termo fechado existe um único numeral tal que em t t8 8œ PA,donde por 1) em ., , Ð WÐ Ñt PAw è

(5) Propriedade de Extensão Final Todo o elemento não-standard é maior do quetodo o elemento standard: .aBÐcWB a+Ð+ BÑÑÊ

Dem. Supondo fixo ao arbítrio tal que basta mostrar queB cWB,

! B • a+ B Ð+ BÑ ,w

e aplicar (IE) à condição . Ora é standard e por (P ) e (P ) dondea+Ð+ BÑ ! ! Ÿ B ) "! , ! B B + + B + Ÿ B + por hipótese sobre . Com standard e tem-se por (P ) mas w w

* , também é standard por P ) donde novamente por hipótese sobre ., ( , w w

# + B B è

(6) Todo o elemento não-standard tem um único predecessor também não-standard.,


Dem. Se é não-standard então por P ) logo para um único B B œ C CB Á !, ( , ,w w"

por P ); um tal é necessariamente não-standard caso contrário seria standard por( , , 7 C B(P ).w

# è

É sabido (Henkin [ ]) que o tipo de ordem de um modelo não-standard de162 ÀPA é onde , e são os tipos de ordem de (com ordem usual)= = = ) = = ) Ð Ñ* *, ,™– (inteiros negativos com a ordem usual) e de um conjunto totalmente ordenado, denso sem pontos extremos respectivamente. Podemos chegar a uma generalização, deste resultado trabalhando em mediante as definições seguintes a primeiraPAw, , interna e a segunda externa:

l lB C œ D Í ÐB Ÿ C • B D œ CÑ ” ÐC B • C D œ BÑ ,

B µ C Í WÐ B C Ñ .l l

l lB C B C B µ C é a entre e ; significa que essa distância é standard.distânciaImediatamente se vê que 0 sse é standard. Se dizemos que éB µ B B µ C Bequivalente modulo . a abrevia .C cÐB µ CÑµ B µÎ C

(7) µ é uma equivalência.

Dem. por P ). logo é simétrica. E a desigualdadeB µ B B C œ C B µ( , w" l l l l

triangular juntamente com (2) e o teorema da extensãol l l l l lB D Ÿ B C C D , final acima mostram que é transitiva.µ è

(8) e .Se e então B C D B µ D B µ C C µ D

Dem. Das hipóteses sai e standard logo pelol l l l l lC B D B D B B µ C, teorema da extensão final e analogamente se vê que ., C µ D è

(9) Para todo o elemento não-standard existem , não-standard e nãoB ? @equivalentes a modulo tais que .B µ ? B @

Dem. É sempre e se é não-standard também o é pelaB B B B @ œ B B, , , propriedade de extensão final e . Resta encontrar . Ora é par ou ímpar/, B µ @ ? B(teorema de logo existe tal que ou e em qualquerPA) , ? B ? ? œ B Ð? ?Ñ œ Bw

dos casos é não-standard por hipótese sobre e ./? B ? µ B, , è

(10) Para quaisquer , não-standard tais que e existe nãoB C B C B µ ?/ Cequivalente a nem a modulo tal que .B C µ B ? C

Dem. Por hipótese e definição de tem-se para algum e, , , B D œ C Dw

D œ A A D œ A A A B ? C ou para algum ; em qualquer dos casos comw , ? œ A B B B µ ? C µ ?w , , ,que é não-standard por ser não-standard; além disso e / /pois da hipótese resulta não-standard e portanto não-standard também./B µ C D A, è


Seja então ; um modelo de e a parte do domínio de Ð WÑÀ ÀPAw, Q Q! constituída pelo naturais de isto é,À,

Q Ð Ñ! œ Nat .À

Se então os últimos lemas acima demonstram o resultado de HenkinW œ Q!, sobre o tipo de ordem de . Mas é possível que seja uma parte deÐ ÑQß QÀ

! própriaW Qß , e neste caso tudo o que se demonstrou foi que o tipo de ordem de éÐ ÑÀ

5 5 5 ) Ð Ñ* ,

onde é o tipo de ordem de .5 = Ð ÑWß WÀ #

Com efeito seja a teoria na linguagem que se obtém de juntando uma nova, T" Lw

constante primitiva cujos axiomas são os de e ainda os seguintes:c, PAw

W 8 −Ð Ñ -c , 8 (para todo ).

T" é compatível o que se prova facilmente por compacidade (v., por exemplo,, [111] p. 152): se é uma subteoria finita de e é o menor natural maior do que , T T! " 7todos os naturais tais que é axioma de então para qualquer modelo8 8 c , T!

Ð à Ñ 7 Ð à ß7ÑÀ ÀW W de interpretando como obtém-se um modelo de . NumPA Tw, c !

modelo de (onde é a interpretação de em ) há então porÀ À À" " "œ Ð à ß ÑW c c c" " , Tcerto elementos standard maiores do que todos os naturais do modelo. Por outras, palavras e parafraseando Reeb (v. B8): «, les entiers naturels de ne remplissent pasÀÐ Ñ Wnécessairement ».

Em geral distinguimos no suporte de um modelo de duas, Q WÀ Àw œ Ð à Ñ PAw

relações de equivalência:

B µ C B C − Q! !Í l l ,

onde como acima e a equivalência modulo (em )Q œ Ð Ñ œ Ð Ñ W!wNat Nat À À , Àw

B µ C B C − WW .Í l l

Obviamente para quaisquer , , , mas não reciproca-, B C − Q B µ C B µ C ! WÊmente, excepto se Q œ W! .

Resta determinar . Mas isto é tão fácil quanto a obtenção do resultado de5Henkin pois num modelo de está para, , ... , À Àw œ Ð à Ñ œ Ð ß ß ÑW Q W WPAw Q œ Ð Ñ Q W! Nat . À como está para Visto de outro modo os axiomas de , PAw

asseguram que é fechado para , , , de modo que é subestrutura de W ! w † , Æ À(notação: ), ondeÆ À©

Æ Æ Àœ œ œ Ð ÑÀÐWÑ wWß ß ß ß !†

(estamos identificando notacionalmente , com as suas restrições a ) e é ... , Wevidente que satisfaz os axiomas (P ) (P ). Além disso é modelo de isto é,Æ Æ" - 6 , , PAtambém satisfaz o axioma-esquema de indução ( ) Pois atribuindo valores em Ind . , Waos parâmetros se alguns houver que ocorrem na fórmula (interna) com livreCt B, , ,


9 9 ÆÐBß CtÑ BÐ ÐBÑ Ê ÐB ÑÑ, , e supondo que é verdadeira em é óbvio queÐ!Ñ • a 9 9 w

9Ð!Ñ • a ÊstBÐ ÐBÑ ÐB ÑÑ9 9 w

é verdadeira em ; mas então por indução externa é verdadeira emÐ ÑÀ W B ÐBÑ, , , ast 9 Ð Ñ aÀ Æ Æ; logo é verdadeira em . Provou-se assim que ( ) é válido em W B ÐBÑ, ,9 Indcomo se queria. A estrutura é chamada a de a ,Æ Æ À Àœ œ WÀ

ÐWÑ relativizadadaí a notação.

15.3 MetateoremaOs elementos standard de um modelo de satisfazem os axiomas de Peano.PAw è

Portanto se obtemos e se , , , W œ Q W Á Q! !5 =œ

5 = = = )œ Ð Ñ*",

onde é como acima e neste caso também o tipo de ordem de é da) )" , Ð Ï ÑQ Wß forma com como de modo que finalmente o tipo de ordem de umÐ Ñ5 5 ) ) )*

# # , , , modelo de éPAw

5 5 5 ) = = = ) 5 5 ) Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ* * *# " #,

onde 0 e ou sendo o tipo de ordem de uma ordem total) ) ) ) ) ) )" # " #œ œ œ œ, , densa sem pontos extremos. Se o modelo é numerável é tipo de ordem de, ) (œ œ!

Ð ß Ñ .Demonstremos agora um resultado bem conhecido da Análise Não-Standard ou,

mais exactamente na versão que aqui nos interessa dos modelos não-standard da, , aritmética de Peano: se é um tal modelo uma condição é satisfeita em porÀ 9 À, ÐBÑ uma infinidade de naturais de sse é satisfeita em por todos os elementosÀ Àmenores que certo elemento não-standard. Em temos a seguinte versão:PAw

15.4 Princípio do TransbordoSeja uma fórmula interna possivelmente com parâmetros. Então9ÐBÑ ,

astB ÐBÑ Í bDÐ cW9 D • aB D ÐBÑÑ .9

Dem. A implicação ( ) é trivial pela propriedade de extensão final.É , ( ) Notemos primeiramente que para qualquer interna em tem-seÊ À <ÐBÑ , PAw

( )‡ c aDÐ ÐDÑ Í WDÑ< ,

o que semanticamente equivale a dizer que em qualquer modelo de , , , , Ð à ÑÀ W WPAw

não é definível em . De facto se para todo então teríamos por P ) eÀ , , , (<ÐDÑ WD DÍ w"

(P ),w#

<Ð!Ñ • aBÐ ÐBÑ ÐB ÑÑ< <Ê w ,

donde por ( ) e portanto contrariando o axioma P )., , , , (Ind aB ÐBÑ B WB< a w$


Posto isto suponhamos que e seja a fórmula Para, , astB ÐBÑ DÑ B D ÐBÑ9 9<Ð a . todo standard todo o também é standard logo Por virtudeD B D DÐWD ÐDÑÑ, , a Ê < .de ( ) existe pelo menos um não-standard tal que isto é, tal que ‡ Ð, , ,D DÑ aB D ÐBÑ< 9como se queria.è

Mostramos de seguida que é uma extensão conservativa de isto é, que sePA PAw , uma sentença interna é teorema de então é já teorema de . Resulta por9 9PA PAw, , um argumento clássico em lógica que é tão consistente quanto . Antes,, PA PAw 53

porém, algumas definições pertinentes.Duas estruturas (para a mesma linguagem) e dizem-se À À" # elementarmente

equivalentes, e escreve-se

À À" #´ ,

sse e satisfazem exactamente as mesmas sentenças (da linguagem). UmaÀ À" #

noção mais forte do que esta é a noção de subestrutura elementar. Diz-se que éÀ"

subestrutura elementar extensão elementarde ou que é de e escreve-seÀ À À# # ", ,

À À" #£ ,

sse (a) , isto é, é subestrutura de , eÀ À À À" # " #©

(b) as duas estruturas satisfazem exactamente as mesmas fórmulas comrespeito a valores das variáveis no domínio de .M" À"

54

Se , isto é, é subestrutura própria de , e , dizemos queÀ À À À À À" # " # " #§ £À À À" # # é de , ou que é umasubestrutura elementar própriaextensão elementar própria de , e escrevemosÀ"

À À" #¡ Þ

Se condição suficiente para que é que para toda a fórmulaÀ À À À" # " #© £, da forma com exactamente , , livres e quaisquer que sejambC ÐB ß ß B ß CÑ B B9 " 8 " 8... ... , os valores em atribuídos às variáveis ( , ) se éa M 3 " 3B 3 œ " 8 bC ÐB ß ß B ß CÑ..., , ...9 " 8

verdadeira em com respeito àquela atribuição então existe em tal queÀ# , b M "9 ÀÐB ß ß B ß CÑ B" 8 "... , é verdadeira em com respeito à atribuição Este éi È C Èa b. 3

o chamado ([ ] p. 98).CRITÉRIO DE TARSKI-VAUGHT 240A demonstração de que é uma extensão conservativa de que damos éPA PAw

modelo-teorética baseada no seguinte:,

53 O argumento geral é o seguinte, para teorias (em ) e (em tais que é umaT T TL L Lw w wª Ñextensão conservativa de . Se é inconsistente, então permite demonstrar algumaT T Tw w

contradição , que, sem perda de generalidade, podemos supor enunciada na9 9• clinguagem de (resulta pela lógica que uma teoria inconsistente prova toda e qualquerL Tfórmula da linguagem respectiva) Mas então, como é extensão conservativa de , istoÞ T Tw

significa que é inconsistente. Fica assim provado que se é uma extensão conservativaT Tw

de e é consistente, então é consistente. Tipicamente, neste livro, e T T T T = ZFC T =w w

ZFNC T = PA T = PA, ou e .w w

54 p. 98 utiliza a notação .Ò Ó Ÿ240 À À" #e


15.5 LemaPara todo o modelo de existem e M tais que éÀ À À ÀPA " " " " "´ W © Ð à W Ñ

modelo de .PAw

Dem. Seja um modelo qualquer de . Sem perda de generalidadeÀ œ ÐQß Ñ... PApodemos supor que é já não-standard caso contrário aplicamos primeiro oÀ , (meta)teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski ascendente ([ ] p. 128) a ou240 , Á!

construimos uma ultrapotência conveniente de , e em qualquer destes casosÁ!

obtemos (a menos de isomorfismo) uma extensão elementar do modelo standard .Á!

Seja como for, contém um segmento inicial próprio isomorfo a , seguido deÀ Á!

elementos não-standard:

! "À À

À À À À À â â. .w

Seja então , . Resta ver que é um modelo de .W Ð Ñ W" " "œ œNat À À Ð à ÑÀ À" PAw

( (P ) e P ) são satisfeitos em , por definição de e (1); por ser não-stan-w w" # "À ÀW"

dard, satisfaz P ). Quanto a (IE), suponhamos atribuídos valores em aosÀ"w$( Q

parâmetros de , se alguns houver, e que, para tais valores, 9 9 9ÐBÑ Ð!Ñ • BÐ ÐBÑ Êast

9 À 9 ÀÐB ÑÑ B ÐBÑw" " é verdadeira em . Se fosse falsa em existiria um naturalast

7 − Ð7Ñ 9 À mínimo tal que era falsa em ; mas, atendendo à suposição acima,"

não pode ser nem pode ser para algum , o que é absurdo.7 œ ! 7 œ 5 " 5 − Portanto, é verdadeira em .astB ÐBÑ9 À" è

15.6 MetateoremaÀ À é um modelo não-standard de sse existe M tal que é modeloPA W © Ð à WÑ

de .PAw

Dem. Resulta imediatamente da demonstração anterior e do facto óbvio de que, seÐ à ÑÀ ÀW é modelo de , então é modelo de e é não-standard, pois há em PA PAw , Mum elemento diferente de todos os com [v. (1)].8À 8 − è

É costume dizer-se, em virtude do resultado precedente, que a classe dos modelosnão-standard de é uma classe (ou ou que é umaPAw projectiva em projectiva- , L Lclasse ).PCL

Vejamos, então, que é extensão conservativa de . Seja uma sentençaPA PAw 9interna que é teorema de . Para mostrar que é teorema de basta mostrar que PA PAw 9 9é verdadeira em todos os modelos de Se é um modelo de , expande-sePA PA.55 À Àa um modelo de , por 15.6, logo é verdadeira em , e portanto éÐ à WÑ Ð à WÑÀ 9 À 9PAw

verdadeira em , pois em não ocorre ». Em conclusão:À 9 «W

15.7 MetateoremaPA PAw é uma extensão conservativa de .è

55 Pelo Metateorema da Completude Semântica (Gödel, 1930; v. [ ] p. 72) para as240teorias de primeira ordem: sse é verdadeira em todos os modelos de .T T¯ 9 9


Já vimos acima que se é um modelo de , então a relativizadaÐ à ÑÀ W PAw

À ÆÐWÑ wœ œ Ð ÑÀ W ß ß ß, 0 † é uma estrutura para que, além disso, satisfaz os Laxiomas de (Metateorema 15.3).PA

15.8 MetateoremaSeja um modelo de . Para que seja uma extensão elementar daÐ à WÑÀ ÀPAw

relativizada de a é necessário e suficiente que seja modelo do princípioÀ ÀW Ð à WÑde transferência (P ).+

%

Dem. A condição é necessária. Seja interna, e suponhamos 9 9ÐBß Ñ B ÐBÑ... ast

verdadeira em ; , com os parâmetros se alguns houver tomados em . EntãoÐ Ñ Ð ÑÀ W WaB ÐBÑ Ð Ñ 7 c ÐBÑ9 À 9 é verdadeira em ; , caso contrário existe em que satisfaz W Mem , portanto em , por ser interna; mas por hipótese, logoÐ à Ñ £À À 9 À ÀW ÐWÑ

também existe um tal já em o que é absurdo.7 W , A condição é suficiente. Pois, sendo ; um modelo de , tem-se logoÐ ÑÀ W PAw

À À ÀÐWÑ ÐWÑ© , por definição de Basta então aplicar o Critério de Tarski-Vaught. acima referido, para provar que : se é verdadeira em , com À 9 À 9ÐWÑ £ À bBinterna e os parâmetros se alguns tomados em então pela forma dual do princípioÐ Ñ W , de transferência, (P ) obtemos verdadeira em .4

+ stw , b B9 À è

Regressemos agora à questão da comparação entre o conjunto dos elementosW standard e o conjunto dos naturais de um modelo de .M Nat ! œ Ð Ñ WÀ Ð à ÑÀ PAw

Como acima se viu, pode-se ter Todavia, a classe dos modelos de paraW Á M . ! PAw

os quais tem algum interesse. Trata-se da classe dos de . AW œ M modelos-! = PAw

noção de (mais exactamente: estrutura- ) é uma noção habitualmentemodelo-= =definida com respeito à linguagem de [v., por exemplo, [ ] p. 80: é uma 65L PAestrutura- cujo domínio é , ou, como também se diz, que oL, , omiteÀ = œconjunto das fórmulas

D ÐBÑ ÖB Á 8 − ×œ 8 À ],

ou para modelos da aritmética de 2ª ordem (por exemplo, em [ ] p. 231: todo o ele-300mento do domínio de indivíduos é a interpretação de um numeral , com ).8 8 − Com pequenas modificações circunstanciais relativamente à demonstração do teoremaseguinte conhecido para teorias na linguagem da aritmética ([ ] p. 81), podemos65obter uma caracterização das sentenças de que são verdadeiras em todos os Lw

modelos- de .= PAw

Necessitamos primeiramente de alargar um pouco o conceito de teoria formal,admitindo uma regra de inferência infinitária, a que chamaremos , e deduçõesregra-Wde comprimento infinito. Seja uma condição em (e possivelmente outras variá-9Ð BBÑ veis). A regra- afirma que das premissas , , , ou melhor: da totali-W Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð9 9 9! " # ...dade de premissas da forma com se pode inferir a conclusão ,9 9Ð Ñ 8 − Ñ B ÐBÑ8 ast

abreviadamente:

( ) (todo )

Regra-W9

9

Ð Ñ 8 −

B ÐBÑÞ

8

ast


Designemos por a teoria que se obtém de juntando a regra- .PA PA=w w W

15.9 Metateorema (Variante do teorema de Henkin-Orey)Uma sentença de é verdadeira em todos os modelos- de sse é teorema de Lw = PAw

PA=w .

Dem. Para provar que toda a sentença que é teorema de é verdadeira em9 PA=w

todos os modelos- basta mostrar que se todas as premissas da regra- forem= 9Ð8Ñ Wválidas num modelo- então a conclusão também é, o que é imediato= À 9astB ÐBÑpor definição de modelo- .=

Reciprocamente, basta mostrar que toda a sentença que não é teorema é falsa9em algum modelo- . Suponhamos que não teorema de , e seja a teoria na= 9 PA T=

w w

linguagem cujos axiomas são os teoremas de . Então não é teorema de , Lw wPA T=w 9

logo a teoria + é consistente em e portanto, pelo (Meta)Teorema da Omissão Tw wc9 L , de Tipos ([ ] p. 79, ou Prop. 2.2.12(a), p. 81), + tem um modelo- , onde 65 ibid. Tw c9 = 9é falsa.è

Para os resultados anteriores bastou o aparato mínimo de ou (ou atéPA PAw

PA=w ). Para resultados mais profundos e, enfim, comparáveis ao que é possível fazer-

se no campo da Análise, é necessário fortalecer a teoria com princípios de saturaçãode uma forma ou outra (v. adiante), cuja importância para a Análise Não-Standard foibem ilustrada em capítulos anteriores. O objectivo vai ser, porém, não o de fazeraritmética nas extensões mais fortes de , mas o de avaliar exactamente a forçaPAdedutiva de tais extensões, comparando-as com certas teorias aritméticas não elemen-tares, no sentido de possuírem alguns aspectos conjuntistas, como as teorias desegunda ordem. Isso mesmo fizeram Henson, Kaufmann e Keisler em [ ] e Henson166e Keisler em [ ].167

Para lidar com teorias aritméticas bastante mais fortes do que é conveniente,PApor vezes, reformular a teoria básica supondo já incluídos como primitivos na suaPAlinguagem, que continuamos a designar por , constantes , , , para os numerais– – – ...L ! " #formais, o símbolo relacional binário , e símbolos funcionais para todas as funçõesnuméricas (isto é, funções de em , para algum ) recursivas primitivas, 5 5 "como a função sucessor (que, em outras ocasiões, como, por exemplo, no §1,w

designámos ), as funções +, , (exponenciação), etc.= † ÅRecorde-se que o conjunto das funções recursivas primitivas, o maisPR, é

pequeno conjunto de funções numéricas que contém as chamadas funções iniciais ^(função identicamente nula), (função sucessor e as projecções w 8

3Ñ T Ð" Ÿ 3 Ÿ 8Ñdefinidas por , , e é fechado para a e a T Ð7 ß7 Ñ œ 78

3 " 8 3... composição recorrênciaprimitiva.56

56 A composição leva de e para , com definida por 0 1 2 œ Ò0 ß 1Ó 2 2Ð8Ñ œtC0Ð1 Ð8Ñß ß 1 Ð8ÑÑ 0 1 2 œ Ò0 ß 1Ó 2t t" 5… , e a leva de e para com recorrência primitiva PRdefinida por , , onde representa … 2Ð!ß 8Ñ œ 0Ð8Ñ 2Ð7 "ß 8Ñ œ 1Ð7ß 8ß 2Ð7ß 8ÑÑ 8 8 ß ß 8t t t t t t " 6

para certa aridade ( no caso da composição, no outro caso).6 " !


Por conveniência, não distinguimos notacionalmente a função do símbolo que adenota em , deixando para o leitor a distinção, conforme o contexto. L 57

Como axiomas de consideramos todas as sentenças que exprimem asPApropriedades básicas das constantes e dos símbolos funcionais primitivos (corres-pondentes às funções iniciais), de , as definições de cada símbolo funcional, e osaxiomas de indução ( ). Assim, por exemplo, estão entre os axiomas de asInd PAsentenças correspondentes a (P ), (P ) e às definições de , etc., as sentenças que" # ^exprimem que é uma ordem total com primeiro elemento , as sentenças !correspondentes a (P )-(P ) e aos restantes símbolos funcionais correspondentes a$ '

funções definidas por composição e por recorrência primitiva, etc.Chamamos à extensão de na linguagem cujosaritmética não-standard PA PA‡ Lw

axiomas são:

(N ) ‡! As relativizadas a , , de todas as sentenças internas (isto é, sentençasW 9 9ÐWÑ

de ) que são axiomas de , e ainda todas as sentenças que exprimem que as L PAconstantes são standard e que é fechado para todas as funções recursivasWprimitivas.

(N ) .‡" bBcWÐBÑ

(N ) : ‡# Transferência astCtÐ ÐÐCtÑ ÐCtÑÑ ÐCtÑ9 9 9ÐWÑ Í , para qualquer fórmula interna

com exactamente (isto é, , , para algum ) livres.Ct C ß C 5 !" 5...

(N ) : .‡$ Extensão Final a ÊstB aC ÐC B WÐCÑÑ

Esta formulação do axioma de extensão final é equivalente, trivialmente, àformulação dada em 15.(5).

Note-se que, pelas convenções acima, os axiomas de transferência podiamformular-se , e o axioma de extensão finala+t Ð Ð+tÑ Í Ð+tÑÑ9 9ÐWÑ

a+ aC ÐC + Ê WÐCÑÑ.

Se é uma estrutura para e é fechado para as constantes eÀ Àœ Ð à W Ñ W!À À Lw

as funções recursivas primitivas, define-se a relativizada de a , , comoÀ Æ ÀW œ ÐWÑ

anteriormente: é a estrutura para que se obtém da subestrutura de com domínio L ÀW WÀ À, esquecendo . Por outro lado, tal como vimos anteriormente (15.8), tem-se:

15.10 MetateoremaUm estrutura é um modelo de sse é um modelo de eÀ À Àœ Ð à W Ñ! !

À PA PA‡ é uma extensão elementar própria de , isto é, .À À ÀÐWÑ ÐWÑ

!¡ è

Propositadamente, não foi incluído um axioma-esquema de indução externa, quedesignamos de aqui em diante de :indução-C‡

_

( ) ,Ind-C 9 9 9 9‡_ Ð!Ñ • a+Ð Ð+Ñ Ð+ ÑÑ a+ Ð+ÑÊ Êw

57 A fazer-se tal distinção, denotaríamos por o símbolo para a função , por coerência,0 0

pois sempre temos utilizado o tipo itálico para simbologia matemática ao longo do texto.


onde é uma fórmula arbitrária de , com livre e possivelmente outras9ÐBÑ B Lw

variáveis livres.Também, essencialmente como em 15.(6), tem-se que o axioma de extensão final

(N ) é consequência de ) e é, portanto, redundante nesta teoria. Por‡$ PA‡ (Ind- C‡

_

outro lado, prova-se em que o axioma de extensão final é equivalente ao axioma-PA‡

esquema de indução para fórmulas internas sem quantificadores.

15.11 LemaSe e Nat , então é modelo de Ind- .Á À À C!

‡_¡ W œ Ð à WÑ Ð ÑÀ PA‡ ( )

Dem. Resulta do facto de ser uma boa ordem em , pois é uma cópia de W W « » À em . è

À semelhança de 15.7 pode-se demonstrar que

15.12 LemaPA PA‡ (Ind- é uma extensão conservativa de .C‡

_) è

15.13 Exercícios e Problemas1. Demonstre todas as propriedades enunciadas mas não demonstradas no texto.

2. Demonstre, em , o seguintePAw

Princípio do Transbordo Forte (ou Funcional)Se é uma fórmula interna, com variáveis livres como exibidas,9ÐBß CÑ

possivelmente com parâmetros, funcional em , isto é, tal que , e éB aBb C ÐBß Cß DtÑ 0" 9um símbolo funcional unário definido por , então9

astBcWÐ0BÑ Í b?ÐcW? • aB ?cWÐ0BÑÑ.

3. Prove que, no tipo de ordem de um modelo não-standard de= = = ) À Ð Ñ‡

PA PA, não pode ser o tipo de ordem de . Analogamente para modelos de .) ‘Ð ß Ñ w

[Sugestão: considere as cadeias- da forma , com , onde é um elemento™ Ò+8Ó 8 − +µ

não-standard (fixo).]

§16. Princípios de saturação na Aritmética

Os princípios de saturação na aritmética não-standard são motivados pela noçãode modelo saturado num cardinal. Antes da definição, introduzimos uma notaçãoespecífica da teoria dos modelos que temos conseguido evitar até ao momento.

Seja uma estrutura para (que, nesta definição, pode ser umaÀ œ ÐQß Ñ... Llinguagem qualquer), uma fórmula de com exactamente , , 9ÐB ß B ß ß B Ñ B B" # 5 " #... ...,LB , , , Q5 " # 5 livres. Sejam ainda , , elementos quaisquer de . Escrevemos...,


À 9} ÐB ß B ß ß B Ñ Ò, ß , ß ß , Ó" # 5 " # 5... ... ,

para exprimir que À satisfaz quando se atribuem às variáveis os9ÐB ß B ß ß B Ñ B" # 5 3...valores , , , verdadeira em para a, Ð3 œ " # 5Ñ3 ... ..., ou que é9ÐB ß B ß ß B Ñ" # 5 Àatribuição .B È ,3 3

Por abuso, a notação anterior simplifica-se por vezes em ,À 9} Ð, ß , ß ß , Ñ" # 5...quando apenas seria correcto abreviá-la em , onde os seriam– – – –

À 9} Ð, ß , ß ß , Ñ ," 5 5 3...constantes que denotam os elementos de (supondo, além disso, que tem, Q3 Lconstantes para tais elementos de ).Q

Escrevemos também como sinónimo de .À 9 À 9} }ÐBtÑ aBt ÐBtÑUm modelo de diz-se - (onde ) sse para todaÀ = =œ ÐQß Ñ œ i... PA saturado " " "

a sequência de fórmulas de , ( ), satisfaz a sentença infinita L 9 À8 8ÐBß Ct Ñ 8 −58

aCt aCt bB ÐBß Ct Ñ bB ÐBß Ct Ñ! " 7 88œ! 78 8œ!

_ _7 8...Š ‹4 4 49 9Ê (16.1)

isto é, para quaisquer valores dos parâmetros ( , , em , se cada, Ct 3 œ " # Qt3 3 ...)

conjunção finita é satisfeita por algum elemento de 9 9! ! 8" 8"ÐBß , Ñ • • ÐBß , Ñ Qt t...(que depende de ), então todas as fórmulas ( ) são simultaneamente8 ÐBß , Ñ 8 −t9 8 8

satisfeitas por um mesmo elemento de . Por outras palavras, se o conjuntoQ

F 9 ÀÐBÑ œ Ö ÐBß , Ñ 8 − ×t8 8 À é finitamente satisfazível em , então é satisfazível em

À.Cometemos frequentemente o abuso de identificar os naturais com os8 −

correspondentes num modelo não-standard de , que serão chamados os8À À PAnaturais de .À

Uma maneira de obter estruturas saturadas- é por meio de ultrapotências. Mais="

exactamente, se é um ultrafiltro não principal sobre (por exemplo, um ultrafiltroY estendendo o filtro de Fréchet) então, para qualquer estrutura , a ultrapotênciaÀ

$Y

À

é uma extensão elementar -saturada de . Observe-se, por outro lado, que um= À"

modelo saturado- de é necessariamente não-standard: o conjunto = F" PA ÐBÑ œÖÐ BÑ 8 − ×8 À é finitamente satisfazível. Em particular, um tal modelo satisfaz oPrincípio do Transbordo 16.4.

Convém nesta altura introduzir notações para a codificação de sucessões econjuntos finitos. Designamos por o expoente do -ésimo primo na decom-Ð7Ñ 55

posição em factores primos do natural ( é o -ésimo primo, , etc.). Se7 : œ # ! : œ $! "

7 œ ! 7 œ " Ð!Ñ œ ! 5 7 " 5 ou , pomos para todo , e se mas o -ésimo primo não5

ocorre na decomposição de , pomos também . Assim, por exemplo,7 Ð7Ñ œ !5

Ð#$%Ñ œ # #$% œ # ‚ $ ‚ "$ œ : ‚ : ‚ : Ð#$%Ñ œ !$ ! & %# #

", pois , enquanto . Como afunção é recursiva primitiva, ela é denotada por um símbolo funcionalÐ7ß 5Ñ È Ð7Ñ5binário na linguagem , . Além disso, a fórmula abrevia-se :– L Ð † Ñ ÐBÑ œ " C BÐ†Ñ C %

58 Para fórmulas na linguagem de continuamos a utilizar , , , ... como variáveis.PA B C D


C B À Í ÐBÑ œ "% .–C

Assim, por exemplo, os -elementos de são e .–« »% #$% ! &Seja um modelo de , uma sucessão de elementos do domínio À PA = œ Ø= Ù Q8

de . Dizemos que é sse existe uma fórmulaÀ = codificável em À9ÐBß Cß D ß D ß ß D Ñ , ," # 5 " #... ..., com variáveis livres como exibidas, e elementos , , ,, − Q 7 −5 tais que, para todo ,

À 9} Ð7ß Cß , ß ß , Ñ Í C œ =" 5 7... .

Para melhor entender a formulação dos axiomas de separação tenha-se em conta oresultado seguinte:

16.1 Teorema de Richard-PabionUm modelo de é saturado- sse satisfaz a sentença infinitaÀ =PA "

(16.2) .aC aC ÐBÑ œ C! 88œ!

_" ... bB4 8

Observe-se que a condição (16.2) exprime (em cada modelo) que toda a sucessãoinfinita é codificável. Dada uma sucessão de elementos de um modelo= œ Ø= Ù8 8−

À Àœ ÐQß Ñ + − Q Ð+Ñ œ =... , um elemento tal que diz-se, natural-} 38œ!_

88

mente, um da sucessão .código =

Dem. ([ ] p. 625) A condição é claramente necessária, considerando a270sequência de fórmulas . Pois seja uma sucessão de98 8 8 ! "ÐBß C Ñ Í ÐBÑ œ C Ø= ß = ß Ù8 ...elementos do domínio de , considerados como valores dos parâmetros , , Q C CÀ ! " .... Para cada , o elemento de 8 − Q

: ‚ : ‚ ‚ : œ Ð: Ñ ‚ Ð: Ñ ‚â‚ Ð: Ñ! " 8"= = =

! " 8"= = =! " 8" ! " 8"â – – –À À À

satisfaz a condição em ,B

478 7 79 ÐBß = Ñ,

isto é, a condição , logo o antecedente de (16.1) é verdadeiro em ,378 7 7ÐBÑ œ =– À

para a atribuição . Como é saturado- , o consequente de (16.1) éC =3 3 "È À =verdadeiro em para a mesma atribuição, ou seja,À

À } bB ÐBÑ œ =48œ!

_88 .

Reciprocamente, suponhamos a sentença (16.2) verdadeira em . Seja À 98ÐBÑ( uma sequência de fórmulas de com parâmetros em , cuja indicação8 − Ñ Q Pomitimos da notação, que é finitamente satisfazível em . Então existe uma sucessãoÀØ= Ù Q = ÐBÑ • ÐBÑ • • ÐBÑ8 8 ! " 8" de elementos de tal que satisfaz , para cada9 9 9... 8 − + − Q 5 − . Seja o código daquela sucessão e ponhamos, para cada ,

< 95 5 CÐ?Ñ Í aC Ð5 C Ÿ ? ÐÐ+Ñ Ñ– .Ê


Todo o natural de (isto é, da forma com satisfaz , logo,–7 7 7 − Ñ Ð?ÑÀ <À5

pelo princípio do transbordo, existe que satisfaz em , isto é,/ < À5 5não-standard Ð?Ñtal que

À / 9} ÊaC Ð5 C Ÿ ÐÐ+Ñ Ñ– .5 5 C

Temos, assim, uma nova sucessão de elementos não-standard de , , , .À / /! " ...Seja o seu código, e consideremos o conjunto (definível),

E Ö- − Q aC Ÿ - ÐB Ð,Ñ Ñ×œ À }À C .

Todo o natural de está em , logo, novamente por transbordo, contém algum7 E EÀelemento não-standard . Então, para todo , isto é, para todo o natural de ,. À8 − 8tem-se

8 • Ð,Ñ œ. . /8 8

em . Assim, para cada standard, , o que mostra que o elemento À . /5 5 Ð+Ñ5 .

satisfaz todas as fórmulas .95ÐBÑ è

Chamamos ao esquemaprincípio de saturação- C‡_

( ) ,Sat-C‡_ a Ê ast stBbC ÐBß CÑ bC B ÐBß ÐCÑ Ñ9 9 B

onde é uma fórmula de com variáveis livres como exibidas, possivelmente9ÐBß CÑ Lw

com parâmetros. Observe-se que o consequente da implicação exprime que existe umelemento que codifica todos os elementos standard. Obviamente, a implicação recí-proca é logicamente válida.

Recorde-se a convenção feita anteriormente de utilizar , , como variáveis de+ , ...Lw para elementos standard (isto é, restringidos a , e , , para variáveis arbitrá-WÑ B C ...rias . De acordo com esta convenção, o princípio anterior escreve-se simplesmente59

( ) .Sat-C‡_ a+ bC Ð+ß CÑ bC a+ Ð+ß ÐCÑ Ñ9 9Ê +

16.2 LemaSe é uma extensão elementar saturada- do modelo standard de eÀ = Á" ! PA

W œ Ð Ñ Ð à WÑNat , então é modelo de + Ind- + Sat- .À À C CPA‡ ( ) ( )‡ ‡_ _

Dem. Seja como no enunciado. Pelo lema 16.10, falta sóÀ Àw œ Ð à WÑdemonstrar que satisfaz ( ) Suponhamos que satisfaz ,À 9w Sat- . C‡

_ astB bC ÐBß Cß -Ñtonde denota parâmetros em . Para cada (= ), seja tal que- 8 − W + − Qt À 8

À 9 À =w8 "} 8Ð ß + ß -Ñ , − Qt . Como é saturado- , por 16.1 existe tal que para todo

8 − Ð,Ñ œ + B ÐBß Ð,Ñ ß -Ñ bC Bt À 9 À, . Obviamente satisfaz , logo 8 8 Bw wa } ast st

9ÐBß Cß -Ñt .èOutros princípios de saturação e de indução podem ser obtidos restringindo de

diferentes maneiras a fórmula no enunciado de ( - ). Para isso9 CÐBß Cß Ñ... Sat ‡_

introduzimos uma de fórmulas de .hierarquia Lw

59 Esta convenção é exactamente a contrária da convenção adoptada em [ ].166


Dizemos que uma fórmula de é de (ou , ou ainda ) sse é9 C D ? 9 Lw classe ‡ ‡ ‡! ! !

obtida a partir das fórmulas atómicas utilizando os conectivos proposicionais( , , , , , embora possamos considerar como primitivos apenas , , ,c • ” Ê Í c • ”por exemplo) e os quantificadores externos , . Indutivamente, é de classe a bst st 9 C‡

8"

sse é da forma , com de classe , e é de classe sse é da forma9 < < D 9 D 9aB ‡ ‡8 8"

bB< < C 9 C D 9 C com de classe . é de classe (ou ) sse é de alguma classe ou‡ ‡ ‡ ‡8 _ _ 8

D‡8. Facilmente se prova, em (por manipulação de quantificadores, utilizando osPA‡

axiomas de transferência), que toda a fórmula é equivalente (subentende-se9ÐBß CtÑsempre: modulo , isto é, para valores standard dos parâmetros , se alguns houver) aW Ctuma fórmula de classe ou a uma fórmula de classe , para algum natural .C D‡ ‡

8 8 8Escrevemos e dizemos que é uma para exprimir que é de9 C 9 9− ‡

8 fórmula-C‡8

classe , etc. Quer dizer, em notação óbvia, queC‡8

C D C D‡ ‡ ‡ ‡_ _ 8 88 8

œ œ œ. . .

O , ( ), é exactamente como ( ) mas comprincípio de saturação- Sat- Sat-C‡8 C C‡ ‡

8 _

9 CÐBß CÑ de classe . Analogamente se formulam e denotam os princípios de‡8

saturação- indução- indução- .D‡8, e C D‡ ‡

8 8

Juntam-se, no lema que segue, alguns factos elementares acerca destas classes.Tais propriedades são conhecidas para a aritmética de segunda ordem a respeito doschamados (em vez dos princípios de saturação), de queprincípios de escolhafalaremos mais adiante, e dos ([ ]).princípios de indução 116

16.3 Lema(a) ( ) ( ) ( ) ( ) Em , Sat- implica Ind- e Ind- . Portanto, Sat- implicaPA‡ D D C C‡ ‡ ‡ ‡

8" 8 8 _

( )Ind- .C‡_

(b) Em , se e são equivalentes a fórmulas , então , , PA‡ 9 < D 9 < 9 < 9‡8 • ” bB

são equivalentes a fórmulas , e é equivalente a uma fórmula .D 9 C‡ ‡8 8c

Analogamente para os duais.

(c) ( ) Em + Sat- , se é equivalente a uma fórmula , também o éPA‡ C 9 D‡ ‡8 8"

astB9. Analogamente para e .C 9‡8" bB

(d) ( ) ( ) + Sat- Sat- .PA‡ C D‡ ‡8 8"¯

Dem. (a) Utiliza-se a saturação para mostrar que para toda a fórmula se tem9ÐBÑbC BÐB C Í ÐBÑÑ B C Í ÐCÑ œ "ast % 9 % [recordando que ].–

B

(b) Simples manipulação de quantificadores.

(c) Para é imediato. Suponhamos e já da forma , com8 œ ! 8 ! ÐBÑ bC ÐB CÑ9 << C C− 7 8‡ ‡

8 8, e que o resultado é válido para todo . Por saturação- tem-se

a ast stB ÐBÑ Í bC B ÐBß ÐCÑ Ñ9 < B .

Por (b) na forma dual e por (c) para , é equivalente a uma8 " B ÐBß ÐCÑ Ñast < B

fórmula , logo é equivalente a uma fórmula .C 9 D‡ ‡8 8"astB ÐBÑ


(d) Admitamos onde é da forma com ,astBbC ÐBß CÑ ÐBß CÑ bD ÐBß Cß DÑ −9 9 < < C‡8

isto é, admitamos com . Por saturação- e utilizandoastBbCbD ÐBß Cß DÑ −< < C C‡ ‡8 8

funções de emparceramento [para pares ( ] obtemos primeiramenteCß DÑbCbD B ÐBß ÐCÑ ß ÐDÑ Ñ bC BbD ÐBß ÐCÑ ß DÑa ast st< <B C B e depois .è

16.4 Observações1. A classe não é fechada para os quantificadores limitados , , oC‡

! aB C bB Cque poderia levar-nos à definição alternativa de como contendo as fórmulasC‡

!

atómicas e sendo fechada para os conectivos proposicionais e aqueles quantificadores.Neste caso, porém, o resultado análogo a 16.3 (c) exigiria o seguinte esquema desaturação

aB DbC ÐBß CÑ bCaB D ÐBß ÐCÑ Ñ9 9Ê B ,

que é inconsistente com : tome-se para a fórmula .–PA‡ 9ÐBß CÑ WÐBÑ Í C œ !2. Como não é fechado para os quantificadores limitados , ,C‡

! aB C bB Cteria sido inconveniente formular com os primitivos 0, , , apenas: a funçãoPA w †de codificação não é, aparentemente, de classe .Ð † ÑÐ†Ñ

‡!C

3. Os princípios de saturação são, em certo sentido, semelhantes a princípios deescolha. Na realidade, existem relações estreitas entre uns e outros. Mais exactamente,podemos mostrar que os princípios de saturação em são, pelo menos, tãoPA‡ poderosos quanto os princípios de escolha correspondentes (v. adiante) formulados naaritmética de segunda ordem.

A , , é uma teoria formulada naaritmética de 2. ordem restringida+ PA#r

linguagem de 2. ordem , cujo alfabeto é o de , juntamente com variáveis de 2+ +P#m PA

ordem monádicas (isto é, para conjuntos) , , (ou simplesmente , , . Os\ \ \ ]! " ... ...)termos de são exactamente os mesmos que os de ; as variáveisP P P#

m œ Ð ÑPAconjuntistas não são, pois, termos de . As são de uma dasP#

m fórmulas atómicas formas

> œ = > = > − \, , ,3

onde , são termos. As= > Não há símbolo primitivo de igualdade de 2. ordem.+

fórmulas e sentenças de definem-se do modo usual, permitindo a quantificação deP#m

variáveis conjuntistas. Os axiomas de são os de , o PA PA#r axioma-esquema de

compreensão aberta

(COMP ) ,ab b\ aB ÐB − \ Í ÐBÑÑ9

para sem quantificadores de qualquer espécie, não em , e o 9 9ÐBÑ \ ÐBÑ axioma deindução

(IND) ! − \ • aB ÐB − \ B − \Ñ aB ÐB − \ÑÊ Êw .


O adjectivo restringida , aplicado a , refere-se ao facto de ser admitido este« » PA#r

axioma de indução e não um mais poderoso esquema de indução na linguagem , eP#m

explica também o índice «r».60

Estruturas para são da forma , abreviadamente , ondeP#m ÐQß ß Ñ Ð ß Ñk À k...

À kœ ÐQß Ñ © ÐQÑ... é uma estrutura para e é o domínio das variáveisP Tconjuntistas. Se , falamos de uma estrutura , ou , mask œ ÐQÑT forte principal plenaesta não é a situação geral ( , ou ), em que pode ser um conjuntosecundária fraca karbitrário de partes de . Com estas interpretações secundárias ou fracas, é maisQ P#

mpróxima de uma linguagem de primeira ordem, semanticamente falando, do que deuma linguagem de segunda ordem genuína (v. [ ], [ ]).289 300

Uma fórmula de diz-se de classe se não tiver9 C D ?P#m

" " "! ! !œ œ

quantificadores de segunda ordem. As classes e definem-se do modo usual,C D" "8 8

contando quantificadores no prefixo. O é o esquemaprincípio de indução-C"8

seguinte, para , possivelmente com parâmetros:9 CÐBÑ − "8

( ) .IND-C"8 9 9 9 9Ð!Ñ • aB Ð ÐBÑ ÐB Ñ aB ÐBÑÊ Êw

Analogamente se esquematiza o , ( .princípio de indução- IND-D"8 D"

8ÑPara qualquer conjunto definamos o conjunto por] ]ÐBÑ

aC ÐC − ] Í # $ − ] ÑÐBÑB C .

O o esquemaprincípio de escolha- éC"8

( - ) ,AC C 9 9"8 ÐBÑaB b] ÐBß ] Ñ b] aB ÐBß ] ÑÊ

para com variáveis livres como exibidas, possivelmente com9 CÐBß ] Ñ − "8

parâmetros. O , ( - ), formula-se de maneira análoga.princípio de escolha- ACD D" "8 8

Seja agora um modelo de . A À œ ÐQß ß WÑ... PA‡ interpretação canónica dePA#

r é a estruturaem À

À À k# ÐWÑœ Ð ß Ñ,

onde é a relativizada de a e é o conjunto dos conjuntos da formaÀ À kÐWÑ W \ © W

\ œ \ œ ? Ö+ − W } + ?× ? − Qs? œ À À % , com .

Dizemos que e que e ? ? @representa em representam o mesmo conjunto?s À, sse

À % %} B ÐB ? Í B @Ñast .

Introduzimos agora algumas notações para a comparação de teorias. Sejam , T Tw

teorias em linguagens (possivelmente distintas) que contêm a linguagem de :P PA

60 Não se deve estranhar que, em linguagens mais ricas em poder expressivo do que as deprimeira ordem, um axioma-esquema de indução seja mais forte do que um axioma único,conjuntista.


— sse é, pelo menos, tão forte como , com respeito a sentenças de T T T TŸLw w

L Lœ Ð ÑP PA T T, isto é, toda a sentença de que é teorema de é teorema de ; w 61

— sse e ;T T T T T T Ÿ ŸÎP P Pw w w

— sse e , isto é, sse e demonstram exactamente osT T T T T T T T´P P Pw w w wŸ Ÿ

mesmos teoremas na linguagem ;P

— sse todo o teorema de é teorema de ;T T T T¯ w w

— sse e .T T T T T T° ¯ ¯ ¯w w w

Se é uma extensão de na linguagem , designamos por a teoria daT PA T‡ Ð#ÑLw

classe de interpretações canónicas de modelos de , isto é, é o conjuntoÀ À# Ð#ÑT Tdas sentenças de satisfeitas em todas as interpretações canónicas de modelosP#

m À#

À de :T

T TÐ#Ñ #œ ÀTeoriaP#mÐÖ } ×ÑÀ À .

Necessitamos também de traduzir fórmulas de em fórmulas deP P# #m rœ Ð ÑPA

Lw œ Ð ÑP PPA‡ #. A cada fórmula de associamos uma fórmula definida9 9m‡

recursivamente como segue.Para facilitar a leitura, e supondo que as variáveis elementares de são , ,P#

m B B! "

..., representamos por e por . Para começar, a cada termo de (ouB C B D >#3 3 #3" 3 Pseja, de ) associamos o termo de que se obtém de substituindo cada porP#

m > > B‡3 Lw

C3.

9 9

%

< <

< ) < )

< ) < )

< <

< <

< <

< <

‡

4 4‡

‡ ‡

‡

‡ ‡

‡ ‡

3 3‡

3 3‡

3 3‡

3 3‡

> − \ > D

= œ > = œ >

c c

• •

” ”

aB C

bB C

a\ aD

b\ bD

a

b

st

st

A transformação é efectiva (recursiva). Finalmente, estamos em9 9È ‡

condições de enunciar (e demonstrar parcialmente) um teorema de comparação entreteorias aritméticas de segunda ordem e teorias aritméticas não-standard.

16.5 Metateorema (Henson-Kaufmann-Keisler)Sejam , . Então:7 8 − Ö_×

61 [ ] utilizam a notação .166 T TŸ! w


(a) se é uma teoria em que estende , entãoT PA Lw ‡

T TÐ#Ñ œ Ö −9 P#m À ¯ ×9‡ ;

(b) ( ) +( ) ( ); +Sat- +Ind- AC- + IND- em particular,PA PA‡ C D C D‡ ‡ Ð#Ñ # " "8 7 8 7¯ r

(b ) +( ) ( ) ( ) ( );! AC- + IND- + Sat- + Ind-PA PA# ‡r C D C D" " ‡ ‡

8 7 8 7ŸP

(c) +( ) ( ) ( ) ; AC- + IND- +Sat- +Ind- em particular,PA PA# ‡r C D C D" " ‡ ‡ Ð#Ñ

8 7 8 7¯

(c ) ( ) ( ) +( ) ( )!‡ ‡ " "8 7 8 7 + Sat- + Ind- AC- + IND- .PA PA‡ #C D C DŸP r

Portanto,

(d) +( )+( ) ( ) ; AC- IND- +Sat- +Ind- em particular,PA PA# " " ‡ ‡ Ð#Ñ8 7 8 7r C D C D° ¯ ‡

(d ) +( ) ( ) ( + )! AC- + IND- +Sat- Ind- .PA PA# ‡r C D C D" " ‡ ‡ Ð#Ñ

8 7 8 7´P

Dem. Demonstramos apenas (a) e (b). A demonstração de (c) é bastante maiscomplicada, pois envolve a noção de forçamento em teoria de modelos (v. [ ] pp.« » 1661048-1054).

(a) Prova-se, por indução nas fórmulas de , que para todo9ÐBtß\Ñ œ Ð Ñt P P#m PA#

ro modelo de e atribuição , em se temÀ ÀPA* 2 Bt +t \ Et tÈ È

À 9 À 9# } Ò+tß EÓ } Ò+tß ,Ót t sse ,*

onde representa em , donde resulta o pretendido., Et t À

(b) Primeiro, prova-se, por indução em , que para toda a fórmula- de ,5 C 9"5 P#

m9 C D‡ ‡ "

5 5 é uma fórmula- de , e analogamente para fórmulas . Em seguida, prova-se Lw

que se é uma instância de ( ), então é consequência de ( , e< <AC- Ind-C C" ‡8 8

‡ PA‡ Ñanalogamente para os esquemas de indução.

(b ) Por (b) e (a).! è

No caso particular da saturação- podemos estabelecer uma relação com oC‡!

conceito de saturação recursiva, uma refinação do conceito de saturação- . Dizemos="

que uma estrutura para uma linguagem (qualquer) é À œ ÐQß Ñ... P recursivamentesaturada sse para qualquer conjunto (ou sequência) recursivo F Fœ ÐBß CtÑ œ

Ö ÐBß CtÑ 8 − × , Qt9 F8 !À de fórmulas de e quaisquer em , se toda a parte finita deP

F À F ÀÐBß ,Ñ ÐBß ,Ñt t é finitamente satisfazível em então é satisfazível em , isto é, sseÀ satisfaz

aCt bBÐ Ñ bBÐ ÐBß CtÑÑŠ ‹4 4 4F F! !− Ð Ñ !T=

F FÊ ,

onde é o conjunto das partes finitas de um conjunto . Se é uma linguagemT P=Ð\Ñ \finita, por exemplo, a linguagem de com os primitivos , , , apenas, prova-PA ! †w

se que para toda a estrutura para existe uma extensão elementar de daÀ À ÀP w

mesma cardinalidade que é recursivamente saturada. No caso numerável ademonstração, porém, não depende do carácter recursivo de conjuntos « » F Fœ ÐBß CtÑ


de fórmulas de , mas apenas do facto de existir, quando muito, uma quantidadePinfinita numerável de tais conjuntos realizáveis em .À

Barwise e Schlipf mostraram ([ ], Teorema 1.2) que os modelos recursivamente14saturados de (com os primitivos , , , ) são exactamente os modelos não-PA ! †w

standard de que se podem expandir a modelos de certa teoria naÀ À kPA Ð ß Ñlinguagem , designada - , que se obtém de juntando ( ) e o axioma-P#

m PA PA?"" IND

esquema ou -princípio de compreensão ?""

( ) ,Comp-? 9 < 9"" aBÐ ÐBÑ Í ÐBÑÑ b\aBÐB − \ Í ÐBÑÑÊ

para quaisquer fórmulas , (possivelmente com parâmetros, de9 C < DÐBÑ − ÐBÑ −" "" "

qualquer espécie). Além disso, tais modelos são também modelos de ( ), eAC-D""

podemos mesmo enunciar o seguinte corolário de 16.5:Se é um modelo de + Sat- então é standard ou éÀ C Æ ÀPA‡ ( ),‡ ÐWÑ

! À œrecursivamente saturado.

Remoinhos, redemoinhos, na futilidade fluida da vida!Na grande praça da cidade, a água sobriamente multicolor da gente passa, desvia-se, faz poças,abre-se em riachos, junta-se em ribeiros.

— Fernando Pessoa, Livro do Desassossego

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APLICAÇÕES

155

Capítulo VI

MACROSCOPIA, VARIAÇÃO REGULARE CRESCIMENTO POLINOMIAL

§17. Introdução. Mudanças de escala. Macroscopia

A mudança de escala é uma das técnicas fundamentais da análise não-standard. Hádois tipos principais: e . Pela primeira, obtém-se umamicroscopia macroscopiaampliação infinitamente grande, e, pela segunda, uma redução infinitamente grande.Embora utilizados para fins diferentes, microscópios e macroscópios têm caracterís-ticas muito semelhantes; neste capítulo escolhemos tratá-las no contexto macroscópico.

Um exemplo simples mas útil de microscopia consiste de uma transformação afimQ ÐBß CÑ œ Ð Bß CÑ& (ß

#& ( ‘ & ( de , onde e são infinitesimais não nulos, tal que, no novosistema coordenado, quer a unidade no eixo horizontal quer a unidade no eixo&vertical se tornam infinitesimais. Em particular, resulta a seguinte caracterização(geométrica da diferenciabilidade de funções standard: uma função standard 0 À Ä‘ ‘é diferenciável num ponto standard sse a sombra da imagem de sob a microscopia+ 0Q Ð+ß 0Ð+ÑÑ& &ß centrada em é uma recta vertical cujo declive não depende de .&

As mudanças de escala têm sido úteis na assimptótica não-standard. Considere-seo problema da evaluação assimptótica de integrais de funções de tipo , isto é, funções$com picos altos. A aproximação fica facilitada uma vez localizado o domínio quecontém a contribuição principal para o valor do integral, ampliado mediante uma mi-croscopia apropriada ([26], p. 145; v. Cap. VIII). Todavia, a maioria das aplicaçõesdiz respeito às equações diferenciais. Foram, assim, aplicadas microscopias paraestudar o comportamento de trajectórias infinitamente próximas de um ponto singular,ou para estudar a variação de soluções vizinhas ao longo de certa curva, ou até umasolução particular. Embora tais procedimentos também sejam comuns na assimptóticaclássica («focagem»), parece própria da análise não-standard a abordagem seguinte: autilização do «microscópio de Benoit» não linear para observar a variação exponen-

156 III PARTE — APLICAÇÕES

cial das soluções de uma perturbação singular na vizinhança da curva lenta ([ ]), e a22utilização de macroscópios para determinar o comportamento assimptótico de solu-ções de equações diferenciais ordinárias (não perturbadas). O estudo destas últimasfica simplificado pelo comportamento «exagerado» provocado pela macroscopia.Tipicamente, uma macroscopia transforma a equação numa perturbação singular.Assim, a macroscopia divide o conjunto das trajectórias em trajectórias com compor-tamento «suave» (perto da curva lenta) e trajectórias com comportamento (local)quase vertical (longe da curva lenta). Acontece que as direcções assimptóticas interes-santes aparecem como parte da curva lenta. O fenómeno observa-se já «a olho nu»,isto é, no sistema de coordenadas inicial, e chama-se o «fenómeno dos rios». De facto,a semelhança com rios traçados sobre um mapa, com os seus confluentes e afluentes énotável. Serão tratados no capítulo seguinte através dos que permitemtelescópios,observar mais rios. Um telescópio efectua primeiro uma translação para o halo doinfinito («seguir o rio»), e em segundo lugar uma mudança de escala que pode sermicroscópica ou macroscópica. Assim, os telescópios têm propriedades bastantesemelhantes aos macroscópios, e as suas características específicas serão tratadas nocapítulo seguinte, em conjunto com a teoria dos rios, a qual fornece muitos exemplose aplicações.

Neste capítulo estudamos, num contexto geral, o comportamento das transforma-das macroscópicas de funções reais. Em particular, consideramos a «macroscopiaassociada», mediante a qual obtemos uma visão optimal, em certo sentido. Dá-se umacaracterização das funções standard que são «bem observadas» pelo macroscópioassociado, contrariamente às funções cujas imagens contêm necessariamente partesquase verticais. A noção (standard) resultante de aparececontinuidade assimptótica como uma generalização da noção clássica de (v. [ ] e [ ]). Devariação regular 38 131facto, em termos das macroscopias associadas, a sombra da imagem de uma funçãostandard de variação regular é sempre a mesma função contínua, enquanto a sombrada imagem de uma função standard assimptoticamente contínua, sendo ainda definidae contínua em toda a parte, pode depender da escolha da unidade na direcçãohorizontal da macroscopia.

Fornece-se uma propriedade adicional das funções bem observadas: são todas decrescimento polinomial. Assim, as macroscopias separam o crescimento polinomialdo super polinomial, em particular, do exponencial, e é essa característica que éespecialmente interessante ao analisar uma família de funções simultaneamente, comoas trajectórias de uma equação diferencial. É também de interesse a tradução destapropriedade em termos standard: a continuidade assimptótica é uma propriedade localdas funções, a partir da qual podemos inferir um comportamento global polinomial. Acondição de continuidade assimptótica pode até ser enfraquecida à noção de«assimptoticamente limitada».

17.1 Observações sobre terminologia e notação1) Sombra. Neste capítulo desempenham papel importante as noções delicadas

de «sombra de um conjunto», «sombra de uma função» e «standardizada de umafunção» (v. pp. 32, 85-86 e 94, ou [103]). Para uma função real , designaremos por09 W0 0 0 0 a sombra de , e por a standardizada de (v. p. 86 e Nota 33).

VI. MACROSCOPIA, VARIAÇÃO REGULAR E CRESCIMENTOÞÞÞ 157

2) Notações de ordens de grandeza. Outras notações e abreviaturas úteis queserão utilizadas neste capítulo e nos seguintes são: Ø, , @, para as classes£ _±(externas) dos reais infinitesimais, limitados, apreciáveis positivos, infinitamentegrandes , respectivamente, e também para representar um elemento arbitráriopositivosde qualquer uma dessas classes. , e 62 Ø é a classes dos infinitesimais positivos £ ados limitados positivos. Expressões como , , @ , representam umØQ Q Q£ _± Qnúmero [ou a classe (externa, em geral) dos números] da forma , se for umBQ Qnúmero (ou a classe dos números da forma , com , se for um conjunto),B7 7 − Q Qcom em , , @, respectivamente, etc.B Ø , £ _± A utilização destes símbolos é muitosemelhante à utilização dos símbolos , e na assimptótica clássica,9Ð † Ñ S Ð † Ñ SÐ † Ñ=

mas devemos ter algum cuidado, nomeadamente, com a interpretação assimétrica dosímbolo de igualdade (por exemplo, se é um infinitesimal, podemos correctamente&escrever / œ " & Ø, o que significa que é da forma um infinitesimal, mas não/ " &

" / " Ø œ &, pois o primeiro membro representa a classe dos números da forma ,(com infinitesimal, mas é apenas um desses números). Mas « » não deixa de se( / œ&

continuar a utilizar no sentido usual, cabendo, pois, ao leitor distinguir pelo contextoqual dos sentidos está em jogo.

Expressões como , @ Ø @, @, Ø explicam-se a si£ £ £† œ œ / œ "£

mesmas — a igualdade @ significa que a classe (externa) dos números da forma/ œ£

/ 55 com limitado, é igual à classe (externa) dos números apreciáveis positivos;Ó" ß # Ó ÖB − À " B Ÿ #×Ø Ø designa um intervalo (externo) (isto é, da forma‘

y̧ ¸-ÖÓ" ß # Ó À × Ó"ß Ó& ( & ( não-infinitesimal, infinitesiml , e designa o intervalo£(externo) limitado . Uma introdução formal ao cálculo com estesÖB − À B " • B ×‘símbolos pode-se encontrar em [202].

3) Medida de Loeb. Não é muito comum a utilização no seio de da medidaISTde Loeb (v. ), mas acontece que se trata de um instrumento eficiente para lidar[180]com a variação regular. Em particular, estamos interessados em medir o conjuntoonde duas funções têm diferença infinitesimal.

Seja a medida de Lebesgue e - I um conjunto (ou classe externa) limitado, istoé, tal que para alguns reais limitados , . A I © Ò+ß ,Ó + , medida interior de Loeb de Idefine-se por

PÐIÑ œ Ö ÐMÑ À M © I M ×sup St - , interno ,

e a medida exterior de Loeb de define-se porI

PÐIÑ œ Ö ÐMÑ À M ª I M ×inf St - , interno .

Se PÐIÑ œ ÐIÑ IP , dizemos que é (com respeito à medidamensurável à Loeb de Lebesgue), e a sua émedida de Loeb

PÐIÑ œ PÐIÑ œ ÐIÑP .

62 Não confundir com o conjunto vazio, , nem com a letra minúscula grega (fi).Ø g 9


Assim, por exemplo,

PÐÒ ß " ÓÑ œ PÐÓ ß " ÓÑ œ PÐÒ ß " ÒÑ œ PÐÓ ß " ÒÑ œ "Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø .

4) Propriedades fundamentais. Utilizaremos também alguma terminologia quese encontra em (conjuntos e propriedades absolutas, -halos e -galáxias — v.[28] \ \§13) e os resultados seguintes, o primeiro dos quais é um caso especial do critério dafunção externa de . Para o enunciado seguinte recorde a definição de -halo[28] R(Nota 43, p. 109).

17.2 TeoremaSejam , conjuntos standard, \ ] L O L© \ © ] R, -halos absolutos, onde

não contém elementos standard. Seja ainda uma propriedade galáctica ouTÐBß CÑhálica absoluta, tal que para todo e toda a função standardTÐBß 1ÐBÑÑ B − L 1 À \ Ä ] 1Ò Ó © TÐBß CÑ B − C − tal que . Então para todo e todo .L O L O è

O seguinte é uma espécie de «princípio de indução» nos halos dos reais standard:

17.3 TeoremaSeja uma propriedade galáctica tal queTÐBÑ

(a) , eTÐ!Ñ

(b) para todo real limitado, se , então para todo .B TÐBÑ T ÐB Ñ !& &¸

Então, ou , ou existe um númeroÖB − À B ! • aC Ÿ BTÐCÑ× ª Ò!ß Ó‘ £standard tal que 0 a+ ! ÖB − À B ! • aC Ÿ BTÐCÑ× œ Ò ß ‘ Ø .Ò 63

Dem. Pelo Princípio de Fehrele (13.9, p. 113), tem de permanecerTÐBÑverdadeira num certo intervalo com . Se existe um número limitado talÒ!ß ,Ó , ! -

y̧

que não se verifica, ponhamosTÐ-Ñ

+ œ ÖB −sup St ‘ À B ! • aC Ÿ BTÐCÑ×.

É claro que e verifica-se para todo , , mas não se verifica para+ ! TÐBÑ B + B ¸ +ynenhum .B ¸ + è

Vamos então definir e estudar as macroscopias em geral.

17.4 Definição Uma transformação de da formaQ= "ß#‘

œ\ œ B] œ C

=" ,

onde , diz-se uma ( ).= "¸ _ ! macroscopia em \

63 Este teorema permite uma demonstração fácil do subtil mas útil Lema da Sombra Localde , p. 99.[103]


Seja uma função real. O ou de sob a macroscopiaJ Jrepresentante imagem Q= "ß é a função definida por0= "ß

0 œJÐ BÑ

= "ß (x) .=

"

A transformação definida porQ=ßJ

œ\ œ B] œ JÐ ÑC

==

chama-se a , onde se supõe emacroscopia associada (com respeito) a J = ¸ _JÐ Ñ Á ! 0 J= . Designamos ainda por a imagem ou representante de sob a=

macroscopia associada, isto é,

0 ÐBÑ œJÐ BÑ

J Ð Ñ=

=

=.

Como se vê, uma macroscopia no sentido acima não é mais do que uma mudançalinear de escala, tal que a unidade na direcção horizontal se torna um número positivoinfinitamente grande. Como tal, ela não afecta as propriedades internas das funçõesobservadas através do macroscópio de nenhuma maneira essencial, mas pode alterarpropriedades externas das funções: ser limitada, possuir uma sombra, ser -diferen-Wciável, etc. Isto torna-se em motivo de interesse ao estudar o comportamentoaproximado ou assimptótico das funções, ou de famílias de funções, como as soluçõesde uma equação diferencial. [103]Em são dadas definições mais gerais demacroscopia e de mudança de escala, incluindo, em particular, transformações nãolineares, como, por exemplo,

œ\ œ B] œ C

=,.

Historicamente, os macroscópios foram introduzidos por Troesch [327], os quaispermitiram demonstrar certa propriedade de um campo de vectores, nomeadamente, aexistência de um ciclo limite para a equação de Van der Pol.

17.5 Exemplos1) Damos a seguir alguns exemplos que ilustram o que pode acontecer se

visualizarmos funções reais através dos seus macroscópios associados. Exprimimos asobservações em termos de sombras. Observe-se que a forma da sombra não é afectadapela escolha da unidade , desde que esta seja infinitamente grande (positiva). Todas=as funções são supostas standard.


J 0

\ B

B

\

/

Ò\Ó B

9

< <

8

\

=

+ + \â+ \ + − 8 − + Á !

ÖÐBß CÑ À ÐB œ ! • C Ÿ "Ñ”ÐB ! • C œ "Ñ×

ÖÐBß CÑ À ÐB Ÿ " • C œ !Ñ”ÐB œ • C !Ñ×

! " 8 3 88 ( , , )

1

‘

log

.

A sombra do representante de sen depende de , e usualmente enche uma\ =faixa, por exemplo, se , onde é um natural infinitamente grande, então= 1/ /œ #1

#9sen .= œ Ò"ß "Ó‘‚

Nas figuras seguintes (fig. 5) estão desenhadas algumas sombras.

Fig. 5 Sombras das representantes de funções visualizadas através dos macroscópiosassociados: (1) ; (2) ; (3) ; (4) sen ."

$$\ \ \ \ \log exp

Para esta última, a unidade na direcção horizontal é escolhida da forma , onde= = 1/œ #1#

/ é um natural infinitamente grande.

2) Damos agora alguns exemplos de outras macroscopias que de macroscopiasassociadas.


(a) Duas funções e dizem-se sse , eJ K œ "assimptóticas em _ lim\Ä_

JÐ\ÑKÐ\Ñ

escreve-se

JÐ\Ñ KÐ\Ñ \ Ä _µ quando .

É fácil ver que, para , e standard, quando sseJ 5 < JÐ\Ñ 5\ \ Ä _µ <

9 <ß0 œ 5B ¸ _= =< para todo .=

(b) Observemos o monómio standard para , sobJÐ\Ñ œ \ \ ! < !<

diferentes macroscópios. Sob o macroscópio com standard, , a sombraQ = = <= =ß =

9ß ß0 B ! C œ ! Q == = = == = é igual à semi-recta horizontal , . Sob o macroscópio com

standard, , a sombra é igual à recta vertical . A sombra só pode= < 0 B œ ! 09 9ß ß= = = "=

ser o gráfico de uma função não nula se for da forma com apreciável." " =œ + +<

Então .9ß0 œ= "

B+

<

9

(c) A sombra do representante de sob o macroscópio é igual a/ Q\ß= "ÚÝÝÛÝÝÜ

ÖÐBß CÑ À ÐB Ÿ Ð Ñ • C œ !Ñ ” ÐB œ Ð Ñ • C !Ñ

g ¸ _

ÖÐBß CÑ À C œ !× ¸ _

9 9log log log

log

log

" " "= = =

"="

=

se é limitadose se

(v. fig. 6).

Fig. 6 A função exponencial sob diferentes macroscópios para valores crescentes de/ Q\ß= "

".


Os exemplos tratados em (b) e (c) sugerem que somente as funções decrescimento polinomial podem ter hipótese de serem bem observadas sob ummacroscópio, isto é, a sombra da sua imagem é uma função não nula em alguma parte.A sombra do gráfico de uma função exponencial, se for não nula em alguma parte,contém sempre uma parte vertical.

Vê-se que os macroscópios distinguem o crescimento polinomial do crescimentoexponencial. Esta propriedade é especialmente interessante se aplicarmos um macros-cópio ao conjunto das trajectórias de uma equação diferencial. Trata-se do fenómenode rios, que é o tema do capítulo seguinte. Aqui, consideramos um exemplocaracterístico, como o que é fornecido pela família de soluções da equação deLiouville

.]

.\œ ] \# . 64

Sob o efeito do macroscópio a equação de Liouville é transformada naQ= =ßÈequação lenta-rápida

(e ) .=" .C

.Bœ C B

= =È #

A curva lenta desta equação possui dois ramos, e . O primeiro éC œ B C œ BÈrepulsivo para e o segundo é atractivo para . O comportamentoB ! B !aproximado das trajectórias e resulta então facilmente da teoria geral das equações=

lentas-rápidas. V. figs. 7 e 8.

Fig. 7 Retrato de fases da equação de Liouville , onde a unidade nas direcções.].\

#œ ] \

horizontal e vertical é aproximadamente de 1 cm. Observa-se um «fenómeno de rios» (v. Cap.VII).

O teorema geral seguinte permite determinar o comportamento assimptótico dassoluções de uma equação diferencial a partir da sua transformada macroscópica. Foi

64 Este exemplo é retirado de [104]. Para a terminologia e resultados básicos sobre equa-ções lentas-rápidas veja-se o artigo de M. Diener, «Une initiation aux outils nonstandardfondamentaux» em [102], ou [ ]; uma introdução breve está contida no capítulo seguinte,27pág. 186.


demonstrado essencialmente de maneira clássica em [ ], e generalizado em [27] e104[28] por métodos não-standard.

17.7 TeoremaSejam

(E).]

.\œ JÐ\ß ] Ñ

uma equação diferencial standard, com de classe , e uma função realJ G KÐ\Ñ"

standard. Suponhamos que para todo , o macroscópio transforma = ¸ _ Q=ßK (E)numa equação diferencial lenta-rápida, com bem definida e contida na parte91=regular da curva lenta. Então possui uma solução (standard) tal que(E) :Ð\Ñ:ÐBÑ KÐ\Ñ \ Ä _µ quando .è

A importância prática deste teorema reside no facto de que, ao lidar com umaequação diferencial lenta-rápida , podemos utilizar meios puramente& .C

.B œ 0ÐBß CÑ

computacionais para determinar a curva lenta [resolver ] e testá-la quanto90ÐBß CÑ œ !à regularidade (testar se sobre a curva lenta). Assim, dadas uma equação9 w

C0 Á !

diferencial (E) e uma função standard , temos um procedimento para testar se éK Kou não uma direcção assimptótica para as soluções de (E). Ilustremos isto na equaçãode Liouville. A curva lenta é . Como , ambos osC œ „ B 0 ÐBß „ BÑ œ „ # BÈ È Èw

C

ramos são regulares para . Pelo teorema acima concluimos, portanto, que aB !

equação de Liouville possui soluções (standard) assimptóticas a .„ \È

Fig. 8 Sombras das soluções da equação de Liouville observadas sob o macroscópio ,\ œ B=

] œ C œ C BÈ= , isto é, sombras das soluções da equação lenta-rápida ." .C.B

#= =È

Para desenvolvimento da discussão da utilização de macroscópios em equaçõesdiferenciais, especialmente em relação com o chamado «fenómeno dos rios», veja-se[ ], [ ] e [ , ]. Estes artigos também abordam a questão de como encontrar104 40 28 27macroscópios apropriados. O capítulo seguinte tratará de uma classe maior de rios,


utilizando telescópios em vez de macroscópios. O teorema 17.7 reduz-se de facto aum caso especial do teorema 20.3

17.8 Macroscópios em ‘8

As noções de macroscopia e de representante ou imagem (p. 159) estendem-senaturalmente de a , com standard, de maneira óbvia. Elas partilham com‘ ‘# 8 8 #os conjuntos convexos standard a seguinte propriedade notável.

17.9 TeoremaSejam standard, um conjunto convexo standard. Se e é o8 G © ¸ _ -‘ =8

=

representante de sob o macroscópio , então é um cone convexo,G Q -= = =ßáß9

centrado na origem, .!

Fig. 9 Sombras das soluções standard da equação de Liouville vistas sob omacroscópio . Estão todas contidas nas curvas e .Q B œ ! C œ „ B= =ßÈ È

Para a demonstração precisamos de algumas propriedades básicas dos conjuntosconvexos.

(1) A sombra de um conjunto convexo , com standard, é um conjuntoG © 8‘8

convexo.

(2) Sejam standard e um conjunto convexo standard fechado.8 G © ‘8

Suponhamos, além disso, que possui algum elemento com norma não limitadaG \(isto é, infinitamente grande), e sejam ao arbítrio e . EntãoE − G < œ Ñ9 \

m\mˆ

E < − G !- -, para todo .

Dem. de 17.9. Como , podemos supor, sem perda de generalidade, que9 9- œ -= =

G - W œ é fechado. A propriedade (1) implica que é convexo. Como para todo9 9= !

W − G − - - ¨ standard, é claro que . Suponhamos {0}, caso contrário não há! 9 9= =

nada para demonstrar. Tomemos ao arbítrio standard, , e C − - C Á "9= ! .

standard, com vista a provar que . De facto, se é tal que , pondo.C − - B − - C œ B9 9= =

< œ B mBm< − -9̂ ‰BmBm , , a propriedade (2) implica que , logo - .œ " - =


. - . .C œ ÐB mBm<Ñ − - C − - C − - "9 9 9 9= = =. Por transferência, para todo e todo ,

donde resulta que é um cone convexo.9-= 65è

17.10 Exercícios e Problemas1. Calcule: (a) sin Ø, , Ø , log exp"

_#

±£;

(b) @ Ø, @ , Ø , Ø, , . l l † l lØ @ Ø£ £ £_±

2. Seja , . Mostre que sin , , & & & & & & &¸ ! ! œ œ " Ð" Ñ£ £ £ £ £cos # Î@ &

œ / œ@, . Î _@ & & ±

3. Verifique as afirmações dos exemplos 17.5, e explique as figuras correspon-dentes (figuras 5 e 6).

4. Considere a equação de Liouville (E) e a sua transformada pelo.].\

#œ ] \

macroscópio (e ) x com .= = =& &.C.B

# "œ C œ È(a) Determine a classe externa .ÖÐBß CÑ À ¸ !×y

.C

.B

(b) Seja uma solução de (e ) tal que e para todo tal que C CÐ"Ñ œ ! + " + Ÿ !=

seja o tempo tal que . Mostre que para todo .B B " CÐBÑ œ + B ¸ " + "+ +y̧

(c) Conclua que existe tal que .+ ¸ " CÐB Ñ ¸ "+

(d) Seja tal que . Mostre que para todo ~ ~ ~ ~B CÐBÑ ¸ B CÐBÑ ¸ B B BÈ Èlimitado.

(e) Aplique os resultados das alíneas anteriores a fim de mostrar que existe B ¸ "tal que para todo tal que .CÐBÑ ¸ B B ! B Ÿ BÈ

y̧

(f) Determine a sombra de .C(g) Seja a solução de (E) cuja imagem macroscópica é . Qual é o] C

comportamento assimptótico de se ?] Ð\Ñ \ Ä _

5. Seja , . Determine a sombra das imagens sob o microscópio & &¸ ! ! Q& &ß

centrado em das seguintes funções:Ð!ß !Ñ

(a) ; (b) sen ; (c) diferenciável em com0ÐBÑ œ B B 1ÐBÑ œ #B 2 Ð!ß !Ñ#

derivada ."Î#

6. (a) Exiba um microscópio linear ( , , , ) que permitaQ ¸ ! ¸ ! !& (ß & ( & (observar a função

0ÐBÑ œB " B !! B œ !œ B se ,

se .

65 É claro que o cone 9- G= não é mais do que o cone de recessão de ; v. exercício 17.12.


(b) Mostre que nenhum microscópio deste género permite observar a função

1ÐBÑ œ/ B Á !! B œ !

œ "ÎB# se ,se ,

sem que a sua sombra contenha partes horizontais e/ou verticais.

7. Estude as imagens sob o microscópio centrado em das funçõesQ Ð!ß !Ñ& &ß

(a) sen ; (b) sen ; (c) sen .0ÐBÑ œ B 1ÐBÑ œ B 2ÐBÑ œ B" " "B B B

##

8. Dê um exemplo de função -contínua que sob o microscópio ( ,W Q ¸ !& &ß && !) tenha descontinuidades apreciáveis.

9. Dê exemplos de microscópios ( , , qualquer) que permitemQ ¸ ! !& (ß & & (observar em de maneira apropriada, isto é, com sombra de imagem nemÐ!ß !Ñhorizontal nem vertical, as funções

(a) ; (b) ; (c) .0ÐBÑ œ B B 1ÐBÑ œ " 2ÐBÑ œ# $ ""B B# # #

&&

10. Demonstre as propriedades (1) e (2) que antecedem a demonstração doteorema 17.9 e complete os pormenores desta demonstração.

11. Determine se é dado por:9- G=

(a) ; (b) ;G œ ÖÐ\ß ] Ñ À l] l Ÿ \ × G œ ÖÐ\ß ] Ñ À l] l Ÿ \ \ •\ !×# log(c) ; (d) @;G œ ÖÐ\ß ] Ñ À l] l Ÿ #\ "× G œ ‚£(e) Ø ; (f) .G œ ÖÐ\ß ] Ñ À ] œ \ • \ !× G œ ÖÐ\ß ] Ñ À ] œ \ • \ !×£12. Sejam e um conjunto convexo. O seu é8 − G © V‘8 cone de recessão

definido por

V œ Ö< À ÐbE − GÑÐ a !ÑÐE < − GÑ×- - .

Mostre que se é standard, tem-se .G V œ -9 =

§18. Observabilidade macroscópica, variação regulare continuidade assimptótica

Em primeiro lugar, consideramos funções que são «bem observadas» sob osmacroscópios, e damos uma caracterização dessas funções. De seguida, estabele-cemos uma relação entre as classes de funções consideradas e a noção clássica devariação regular. Esta relação torna-se aparente a partir da caracterização não-standardda variação regular e de algumas das suas propriedades fundamentais, as quais sãodemonstradas por via não-standard.


18.1 Definição Uma função real diz-se K observável por macroscópio (em_) sse para todo , a sombra da função está bem definida, pelo menos= ¸ _ 1=em .Ó!ß _Ò

Por «bem definida» entende-se que é univalente em . Na realidade,91 Ó!ß _Ò=

tem algumas propriedades mais fortes: pelo teorema da sombra contínua (p. 84 e[103]), ela é contínua e, como veremos adiante, é não nula em .Ó!ß _Ò

Alguns exemplos da secção anterior são observáveis por macroscópio, como osmonómios e polinómios standard, as funções logaritmo e parte inteira. Não sãoobserváveis por macroscópio as funções exponencial e seno. Um exemplo de umafunção não-standard não observável por macroscópio é dado pelos monómios comB/

/ ¸ _. Definimos a seguir a noção standard correspondente à noção de observa-bilidade por macroscópio.

18.2 Definição Uma função real diz-se sse paraK assimptoticamente contínuatoda a função , se quando , então L LÐ\Ñ \ \ Ä _ KÐLÐ\ÑÑ KÐ\Ñµ µquando .\ Ä _

É claro que os monómios e os polinómios (standard e não-standard) e a funçãologaritmo são assimptoticamente contínuas. A função parte inteira é um exemplo defunção descontínua que é assimptoticamente contínua. A função exponencial não éassimptoticamente contínua, pois quando , mas \ \ " \ Ä _ / y /µ µ\" \

quando . A noção de continuidade assimptótica assemelha-se formalmente\ Ä _à noção de «oscilação lenta» de Schmidt [ ]; v. também Hardy [148], Van den Berg298[ ] e o exercício 19.4, pág. 174. Mostraremos que as noções de observabilidade29macroscópica e de continuidade assimptótica são equivalentes para funções standard.Necessitamos, em primeiro lugar, de alguns instrumentos sobre transformações entremacroscópios, e sobre o comportamento da imagem de uma função sob o seumacroscópio associado.

Sejam uma função real não nula, , e , . Tem-se a seguinteK ¸ _ B C !=relação algébrica entre as imagens de sob os macroscópios e :K Q Q= =ßK BßK

1 ÐCÑ œ 1 † 1 ÐBÑC

B= = =Bˆ ‰ . (18.1)

O lema seguinte mostra que a observabilidade macroscópica de uma função podeser deduzida do comportamento das suas imagens no halo de ."

18.3 LemaSeja uma função real.K

(a) Se é limitado para todo e todo , então é limitado1 ÐBÑ ¸ _ B ¸ " 1 ÐBÑ= ==para todo e todo apreciável positivo;= ¸ _ B

(b) se é positivo e apreciável para todo e todo , então1 ÐBÑ ¸ _ B ¸ "= =1 ÐBÑ ¸ _ B= é positivo e apreciável para todo e todo apreciável positivo;=


(c) se é -contínua para todo e todo , então é -1 ÐBÑ W ¸ _ B ¸ " 1 ÐBÑ W= ==contínua para todo e todo apreciável positivo.= ¸ _ B

Dem. (a) Suponhamos e . Seja , . Resulta então daC " D ¸ C D C1 ÐCÑ œ= £igualdade (18.1) acima que z . Pelo teorema 17.3 (p. 158), ou é limitada1 Ð Ñ œ= £ 1=em , ou existe algum tal que para , mas .Ò"ß Ó - " 1 ÐBÑ œ B - 1 Ð-Ñ Á£ £ £

¸ ¸y y= =

Mostramos que este último caso é impossível. De facto, para e,1 Ð-Ñ1 ÐBÑ=

=Á " Ÿ B -£

y̧

pelo Princípio de Fehrele, isto continua a verificar-se para algum . Resulta de (1)0 ¸ -que , embora seja (v. fig. 10), o que é absurdo. De maneira1 Ð-Î Ñ œ -Î ¸ "=0 0 0£análoga se vê que é limitada em Ø , donde se conclui que @ .1 Ó ß "Ó 1 Ð Ñ œ= = £

Fig. 10 Se a imagem da função sob o macroscópio possuiK Q=ßK

uma «assimptota» em , então a imagem de sob o macroscópio0 KQ=0ßK contém partes quase verticais.

(b) Exercício [análogo a (a)].

(c) Seja . Ora para todo , logo @ @, por (b).= ¸ _ 1 ÐBÑ ¸ " B ¸ " 1 Ð Ñ œ= =

Seja positivo e apreciável ao arbítrio, . Utilizando (1) obtemosC D ¸ C

1 ÐDÑ œ Ð" Ñ1 ÐCÑ œ 1 ÐCÑ = = =Ø Ø,

logo é -contínua em .1 W C= è

18.4 TeoremaSeja uma função standard. Então é observável por macroscópio sse éK K K

assimptoticamente contínua.

Dem. ( ): Seja uma função standard e contínua tal que quandoÊ L LÐ\Ñ \µ\ Ä _ ¸ _ W 1, e seja . Então, pela -continuidade de , tem-se= =

KÐLÐ ÑÑ LÐ Ñ

KÐ Ñœ 1 ¸ "

= =

= ==Š ‹ .

Portanto, quando .KÐLÐ\ÑÑ KÐ\Ñ \ Ä _µ


( ): Designemos por a propriedade . Sejam e É TÐ ß BÑ 1 ÐBÑ ¸ " ¸ _ 2= ==

uma função standard tal que para todo . Ponhamos2Ð Ñ ¸ " ¸ _0 0LÐ\Ñ œ \ † 2Ð\Ñ LÐ\Ñ \ \ Ä _. Então quando , logoµ

1 Ð2Ð ÑÑ œ ¸ "KÐLÐ ÑÑ

KÐ Ñ= =

=

=,

o que quer dizer que é satisfeita. Pelo teorema 17.3 a propriedade TÐ ß 2Ð ÑÑ T Ð ß BÑ= = =é satisfeita para quaisquer , .= ¸ _ B ¸ "

Por conseguinte, é -contínua para todo em e, pelo lema 18.31 W ¸ _ B œ "= =(c) acima, em todo apreciável positivo. Portanto, está bem definida em ,B 1 Ó!ß _Ò=

para todo , donde se conclui que é observável por macroscópio.= ¸ _ K è

As funções macroscopicamente observáveis possuem uma sombra (contínua) sobqualquer macroscópio associado, mas a forma da sombra pode variar de um macros-cópio para outro (a demonstração do teorema a seguir contém um exemplo explícito).É uma questão natural tentar caracterizar aquelas funções cujas sombras sãoinvariantes sob os macroscópios associados. No que diz respeito às funções mensu-ráveis standard, a resposta é dada pela noção clássica de função de variação regular.Começamos por recordar a definição desta noção (de [ ]):38

18.5 Definição Uma função mensurável (à Lebesgue) diz-se de K ! variaçãoregular sse existe uma função tal que, para todo ,1 B !

1ÐBÑ œKÐ BÑ

KÐ Ñlim

=Ä_

=

=. (18.2)

Se é standard, então é a standardizada de para . NaK 1 KÐ BÑÎKÐ Ñ ¸ _= = =realidade, é melhor ainda, pois parece ser a sombra de e até é da1 KÐ BÑÎKÐ Ñ= =forma com standard.B <<

Damos a seguir demonstrações destas propriedades. De uma maneira quasedirecta, elas podem ser convertidas em demonstrações não-standard das propriedadesclássicas da variação regular: o limite (18.2) é uniforme em todo o subconjuntocompacto de , e para algum (v. [103]).Ó!ß _Ò 1ÐBÑ œ B < −< ‘

18.6 TeoremaSeja uma função standard de variação regular. Então existe standard talK <

que .1ÐBÑ œ B<

Dem. É claro que é mensurável e standard. Mostramos que ela satisfaz a1equação funcional de Cauchy. De facto, sejam , standard. Então, usandoB C !(18.1),

1ÐB † CÑ œ 1 ÐB † CÑ œ Ð1 ÐCÑ † 1 ÐBÑÑ œ Ð 1 ÐCÑÑ † Ð 1 ÐBÑÑ œ 1ÐCÑ † 1ÐBÑ9 9 9 9B B B= = = = = .

Por transferência, satisfaz a equação funcional de Cauchy para todo , . Então1 B C !1ÐBÑ œ B << para algum standard.è


A prova do teorema seguinte utiliza uma versão não-standard do teorema deEgoroff, formulado em termos da .medida de Loeb

Sejam , limitados, uma função standard mensurável e uma+ , − 0 Ø0 Ù‘ 8 8−

sucessão standard de funções mensuráveis definidas em , pelo menos.Ò+ß ,ÓSuponhamos que converge pontualmente para em . Então, para todoØ0 Ù 0 Ò+ß ,Ó8 8−

= ¸ _,

PÐÖB − Ò+ß ,Ó À 0 ÐBÑ ¸ 0ÐBÑ×Ñ œ , +=9 9 .

Para a demonstração veja-se [ ].168

18.7 TeoremaSeja uma função standard de variação regular. Então para todoK 1 œ 19 =

= ¸ _ Ó!ß_Ò, pelo menos sobre .

Dem. Por 18.6, existe standard tal que .< 1ÐBÑ œ B<

Sejam e positivo e apreciável. Temos de provar que .= 0 0 0¸ _ 1 Ð Ñ ¸=<

Trabalhamos num «vai-vem» entre os macroscópios e , utilizando aQ Q= =0ßK ßK

propriedade acima da medida de Loeb. Note-se que

PÐÖB À ! B Ÿ •7Ö1 ÐBÑ ¸ B ×Ñ œy̧

< 90 0= .

Além disso, usando (1),

PÐÖB À ! B Ÿ • 1 ÐBÑ † Ð Î1 Ð ÑÑ ¸ B ×Ñ œ

œ PÐÖB À ! B Ÿ • 1 ÐBÑÎ1 Ð Ñ ¸ ÐBÎ Ñ ×Ñ

œ † PÐÖC À ! C Ÿ " • 1 ÐCÑ ¸ C ×Ñ œ

y̧

< <

y̧

<

9 < 9

y̧

0 0 0

0 0 0

0 0

= =

= =

=0

.

Portanto, , caso contrário , o1 Ð Ñ ¸ PÐÖB À ! B Ÿ • 1 ÐBÑ ¸ B ×Ñ œy= =0 0 0 0< < 9

y̧

que é absurdo. Concluimos que , pelo menos sobre .91 œ 1 Ó!ß _Ò= è

O teorema seguinte estabelece a relação entre a observabilidade por macroscópioe a variação regular.

18.8 TeoremaToda a função standard de variação regular é observável por macroscópio.

Existem funções standard mensuráveis que são observáveis por macroscópio masnão são de variação regular.

Dem. Pelo teorema 18.7 a sombra de uma função standard de variação regular Ksob os seus macroscópios associados está bem definida, pelo menos em .Ó!ß _ÒEntão é observável por macroscópio. A segunda parte do teorema resulta doKexemplo a seguir.è


18.9 ExemploExibimos uma função observável por macroscópio, cujas imagens sob os macros-

cópios associados dependem da unidade do macroscópio; essas imagens apresentam,até, diferentes tipos de crescimento.

Definamos porL À Ò"ß_Ò Ä ‘

LÐ\Ñ œ\ 8x Ÿ \ Ÿ Ð8 "Ñx 8 −

8x 8x Ÿ \ Ÿ Ð8 "Ñx 8 se com ímparse com par.

Ð\8xÑ

8x8

#

Mostramos em primeiro lugar que para todo e todo .2 ÐBÑ ¸ " ¸ _ B ¸ "= =Note-se que isto é trivial se , com ímpar. Suponhamos que8x Ÿ B Ÿ Ð8 "Ñx 8= =8x Ÿ B Ÿ Ð8 "Ñx 8 œ 8x] " Ÿ ] Ÿ 8 "= = =, com par, e ponhamos com . Então

2 ÐBÑ œÐ] B "Ñ 8

Ð] "Ñ 8=

#

#. (18.3)

Se é limitado,]

2 ÐBÑ œ œ " 8

8=

££

Ø.

Se é ilimitado, então também]

2 ÐBÑ œ œ œ " Ð" Ñ] 8 Ð" ÑÐ] 8Ñ

Ð" Ñ] 8 Ð" ÑÐ] 8Ñ=

Ø ØØ Ø

Ø.# #

# #

Finalmente, se entre e estiver um número da forma , o resultado sai da= =B 8xidentidade (18.1), da continuidade de e do facto de o produto de dois númerosLquase iguais a (isto é, ) ser um número quase igual a ." ¸ " "

Pelo lema 18.3(b), a função é observável por macroscópio. DeterminemosL9Ð2 ÐBÑÑ= a partir de (18.3):

9 9 # "+ "

9 #

Ð2 ÐBÑÑ œ

" ] œ 8

Ð B Ñ ] œ + 8 + œ

B ] œ _ 8

=

ÚÝÛÝÜÈÈÈ

se Øse , @se .

++ "

#

# #

Concluimos que, conforme , as sombras das imagens de sob os macroscópios= Lassociados têm, alternadamente, crescimento zero, quadrático ou linear. V. tambémfigura 11.

Como corolário do teorema 18.8 obtemos a relação entre a variação regular e acontinuidade assimptótica:

18.10 TeoremaToda a função de variação regular é assimptoticamente contínua. Existem

funções mensuráveis que são assimptoticamente contínuas mas não são de variaçãoregular.è


Fig. 11 À esquerda, a função para , ímpar. À direita, a função para2 ¸ _ − 2= =x x= = = = ¸ _ −, par.

18.11 Exercícios e Problemas1. Mostre que as únicas soluções contínuas (em ) da equação funcional‘

0ÐB CÑ œ 0ÐBÑ 0ÐCÑ 0 são as funções lineares. [Sugestão: tome standard, calcule0Ò Ó 0Ð"Ñ 0 Ò Ó em termos de , depois e aplique o teorema da sombra contínua.]

2. Dê um exemplo de uma função observável por macroscopia que:(a) tenha descontinuidades ilimitadas;(b) seja definida em (isto é, seja uma sucessão);

(c) seja não-standard e tenha, pelo menos, duas imagens diferentes.

§19. Funções assimptoticamente limitadase seu crescimento polinomial

19.1 Definição Uma função real diz-se sse paraK assimptoticamente limitada toda a função real se temL

LÐ\Ñ \ \ Ä _ Ê KÐLÐ\ÑÑ œ SÐKÐ\ÑÑ \ Ä _µ quando quando .

É claro que toda a função assimptoticamente contínua é assimptoticamentelimitada. A função em escada que se obtém de maneira óbvia da sucessão de pontosØÐ\ ß ] ÑÙ \ œ ] œ #8 8 8− 8 8

8 dada por é uma função assimptoticamente limitada que

não é assimptoticamente contínua. Outro exemplo é dado por

KÐ\Ñ œ8 8 Ÿ \ 8 " 88 8 Ÿ \ 8 " 8œ se , par

se , ímpar.


Comparemos a noção acima com a noção de função assimptoticamente finita,como definida por Van der Corput [72]. Uma função diz-se K assimptoticamentefinita sse existem constantes , , tais queE 5 <

KÐ\Ñ Ÿ 5\ \ E< para .66

É notável que estas noções tenham mais em comum do que a mera terminologia: todaa função assimptoticamente limitada é assimptoticamente finita. A parte final destasecção é dedicada à demonstração disto. A prova divide-se em duas partes. Naprimeira, 19.2, mostra-se que as funções assimptoticamente limitadas são limitadas naparte limitada do macroscópio. Na segunda, 19.3, prova-se que isto significa umcrescimento polinomial global.

19.2 TeoremaSeja uma função standard não nula assimptoticamente limitada. Então K 1 ÐBÑ=

é limitada para todo e todo apreciável positivo.= ¸ _ B

A demonstração deste teorema é semelhante à segunda parte da demonstração doteorema 18.4, usando o lema 18.3(a) em vez do lema 18.3(c).

Obtemos, por transferência, o seguinte corolário: Se uma função é assimpto-Kticamente limitada, então satisfaz a condição aparentemente mais restritiva

LÐ\Ñ œ S Ð\Ñ \ Ä _ Ê KÐLÐ\ÑÑ œ SÐKÐ\ÑÑ \ Ä _= quando quando .

19.3 TeoremaToda a função assimptoticamente limitada é de crescimento polinomial.

Dem. Seja assimptoticamente limitada. Por transferência, podemos supor K Kstandard. Podemos considerar apenas o caso não trivial em que existe algum \!

standard tal que para todo .KÐ\Ñ Á ! \ \!

Seja ao arbítrio. Resulta do teorema 19.2 que = =¸ _ lKÐ/ ÑÎKÐ/ Ñl Ÿ8 8"

para todo infinitamente grande. Seja ao arbítrio e ponhamos .8 − ¸ _ E œ / / /

Seja um número qualquer maior do que , e tal que . Então\ E 8 − / Ÿ \ Ÿ / 8 8"

KÐ\Ñ œ † â † KÐEÑKÐ\Ñ KÐ/ Ñ KÐ/ Ñ

KÐ/ Ñ KÐ/ Ñ KÐ/ Ñ

Ÿ KÐEÑ †

œ KÐEÑ/

Ÿ KÐEÑ\

8 8"

8 "

8

8

/

/

=

=

=log

log ,

o que prova o teorema.è

66 Isto é, é de crescimento polinomial. De um ponto de vista não-standard é interessanteKnotar, consequentemente, que Van der Corput fala de «números» em vez de «funções», e«constantes» em vez de «números fixos».


19.4 ExercícioUma função diz-se (Schmidt [ ]) sseJ lentamente oscilante 298

KÐ\Ñ µ \ \ Ä _ Ê JÐKÐ\ÑÑ JÐ\Ñ œ 9Ð"Ñ \ Ä _ quando quando .

(a) Dê uma caracterização não-standard desta noção.

(b) Verifique que sen é lentamente oscilante.log\

(c) Mostre que as funções lentamente oscilantes têm um crescimento quandomuito linear.

(d) Que pode dizer do crescimento de funções com «oscilações limitadas», istoJé, tais que

KÐ\Ñ µ \ Ê JÐKÐ\ÑÑ JÐ\Ñ œ SÐ"Ñ _ em ?

175

Capítulo VII

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EFENÓMENO DOS RIOS

§20. Introdução. Teoremas e definições principais

I. IntroduçãoHá algum tempo atrás Georges Reeb sugeriu estudar as soluções standard de

equações standard. Surpreendente à primeira vista, a sugestão indica uma extensãovaliosa da abordagem clássica. De facto, tal como as singularidades e os cicloslimites, as soluções standard constituem somente uma pequena minoria («existemmenos do que um número finito») dentro da família de todas as soluções, que actuamcomo , referências para as outras soluções.soluções notáveis

Neste capítulo estudamos soluções standard que são atractores ou repulsoresexponencialmente fortes. Introduzimos a noção de «rios regulares exponencialmenteestáveis ou instáveis». Esta noção é formulada em termos do comportamento de taissoluções e das soluções vizinhas, e é completamente descritiva, geométrica. Alémdisso, enunciamos condições algébricas necessárias e suficientes para a existênciadesses rios nas equações diferenciais standard

(E) ..]

.\œ JÐ\ß ] Ñ

De maneira precisa, essas condições são dadas em termos de limites, envolvendo afunção e a sua derivada parcial com respeito a ( ). A nossa caracterização éJ ] J w

#

operacional, porque uma das condições produz uma estratégia para encontrar rios naprática: os rios são assimptóticos a soluções de uma equação funcional assimptóticaassociada a (E), e que é normalmente mais fácil de tratar. No caso polinomial, existeum algoritmo para a resolução da equação funcional assimptótica, através de


polígonos de Newton. Observe-se que um rio regular é caracterizado tão bem comosolução de equilíbrio, que tem uma enquanto solução horizontal,definição descritivae é caracterizada pela , que também facilita a suaequação algébrica JÐ\ß ] Ñ œ !detecção na prática.

A terminologia dos «rios» é fortemente motivada por observações visuaisresultantes de experiências gráficas realizadas por computador. Foram feitasprimeiramente, de maneira sistemática, por J.-L. Callot [55], M. Artigue, V.Gautheron e E. Isambert em [6] e [7], e F. e M. Diener em [99]. De facto, retratos defase cuidadosamente desenhados apresentam altas concentrações de trajectórias, quesão muito semelhantes a rios sobre um mapa, com os seus sistemas de confluentes eafluentes. O estudo dos rios foi prosseguido em [104], que contém a sugestãomencionada acima, em [95], que contém o método dos polígonos referido, em [ ] e28nos trabalhos de F. Blais 41 e F. Michel [241, 242]. As definições propostas nessas[ ]obras são todas estritamente contidas na nossa, excepção feita das definições deArtigue, Gautheron e Isambert, estas geométricas, com respeito a equações nãostandard, e de Blais, que propõe também uma definição de rio , e de F.singularMichel, que considera rios sinuosos, sem direcção assimptótica privilegiada. Porém,Blais exibe no seu contexto de equações polinomiais um algoritmo, que os transformaem rios regulares, que satisfazem a nossa definição. Todas as definições acimareferem-se a rios reais. Observe-se que se desenvolveu uma extensão para rioscomplexos, estudo iniciado por Callot [56] e prosseguido, nomeadamente, por Benoit,Fruchard, Schäfke e Wallet [23].

Sendo a nossa definição um modelo matemático descritivo de um fenómeno deobservação visual, compreende igualmente rios de famílias de curvas que não sãosoluções de equações diferenciais. Mencionamos os rios de polinómios de Taylor deséries convergentes e divergentes [25, .26]

Este capítulo está dividido em quatro partes. A primeira parte (§20) é introdutória;a segunda (§21) contém as técnicas auxiliares e a terceira (§22) contém as demons-trações dos teoremas principais. A quarta e última (§23) traduz estes resultados emtermos standard e fornece algumas propriedades suplementares. Contém, além disso,uma lista de exercícios a respeito da matéria de todo o capítulo.

Segue-se dos nossos resultados que os rios são assimptóticos às isoclínicas dezero de . Classicamente, é bem sabido que uma boa estratégia consiste em procurarJsoluções perto das isoclínicas de zero. Porém, métodos clássicos rigorosos quemostram a existência de soluções assimptóticas (V. De De Bruijn, [51]), parecem nãoserem tão elementares, gerais e exaustivos como os métodos desenvolvidos nocontexto dos rios.

A parte introdutória (a seguir a esta Introdução) começa com uma apresentaçãodas definições e teoremas principais ( ), e o utensílio principal, o II telescópio(definição 20.1). Damos diversos exemplos (20.5-6) e comentamos a relação com asnoções de rios introduzidas nas tentativas anteriores ( ). Também discutimosIIImétodos para procurar rios na prática e apresentamos ( ) informalmente as razõesVgeométricas para que existam rios perto das soluções da equação funcionalassimptótica. Finalmente ( ) introduzimos uma noção mais fraca de atracção expo-VInencial, com uma aplicação nas famílias de somas parciais de séries convergentes edivergentes.

VII. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E FENÓMENO DOS RIOS 177

A segunda parte (§21) contém resultados preparatórios para as provas dosteoremas principais. Esta parte preparatória está dividida em duas subsecções, uma ( )Ique trata de perturbações regulares e outra ( ) que fornece propriedades calculatóriasIIe aproximativas dos telescópios, transformações do plano que são os instrumentos deobservação. O lema principal 21.5 enuncia num nível elementar uma equivalênciaentre as propriedades das equações diferenciais e as suas soluções, e é fundamentalpara a necessidade e suficiência das condições dos teoremas principais.

A terceira parte (§22) contém as provas dos teoremas principais de existência ecaracterização dos rios. A ideia das demonstrações é a seguinte: os telescópios trans-formam as equações originais em perturbações regulares da equação ; o C œ „ C

. lemaprincipal 21.5 liga propriedades de uma equação perturbada com o comportamentodas suas soluções, que após aplicação do telescópio inverso dão as condiçõesnecessárias e suficientes de existência do nosso tipo de rios.

A parte final (§23) começa com observações sobre o crescimento global dos riose as suas soluções vizinhas, e contém versões standard das definições e teoremas emrelação aos rios. Essas são formuladas em termos de variação regular, cf. Cap. VI.Utilizámos noções existentes neste contexto, e também introduzimos algumas noçõesnovas. Os resultados standard são obtidos mediante o Princípio de Transferência.Observamos que eles forneceram condições clássicas para obter (aproximaçõesassimptóticas de) soluções de uma grande família de equações diferenciais, que anosso saber são novas, e não possuem actualmente demonstrações standard.

II. Teoremas e definições principais20.1 Definição ( ) Sejam , , , , com , , eTelescópios = 3 - . ‘ = - .− ¸ !_

- =Î ¸ !. A substituição (transformação) definida por

œ > œ Ð\ ÑÎ? œ Ð] ÑÎ

= -3 .

chama-se um .telescópioSeja uma função real. A de sob o telescópio é definida porK 1 Kimagem

1Ð>Ñ œKÐ >Ñ = - 3

..

Seja (E): uma equação diferencial. A (e) de (E) sob.] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ imagemo telescópio é definida por (e): , com.?Î.> œ 0Ð>ß ?Ñ

0Ð>ß ?Ñ œ † J Ð >ß ?Ñ-

.= - 3 . .

Se , e , com , , funções reais standard, escreve-se3 3 = - - = . . = 3 - .œ Ð Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ0 œ 0 1 œ 1 Ð Ñ œ l Ð Ñl X= = = 3 - e . Se , o telescópio designa-se por .. = 3 = ß ß

Seja uma função real, com e . Então oK KÐ Ñ Á ! "ÎÐ † J Ð ßKÐ ÑÑÑ ¸ != = = =w#

telescópio definido porX=ßK


œ > œ Ð\ ÑlJ Ð ßKÐ ÑÑl? œ Ð] KÐ ÑÑÎlKÐ Ñl

= = == =

w#

,

chama-se o com respeito a (E).telescópio associado de K

Sejam e duas funções reais, com standard. Recorda-se a notação para a0 1 0 09

sombra de . Estendemos esta notação às derivadas respectivas. Seja standard.0 8 − Diz-se inductivamente que é a sombra de de ordem , se0 1 8

9 " 9 w w 8 9 Ð8"Ñ Ð8Ñ1 œ 0 1 ´ Ð1 Ñ œ 0 1 ´ Ð1 Ñ œ 0, , ..., .

20.2 Definição ( )Rios não-standardSeja (E): uma equação diferencial de classe no mínimo .] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ G"

e uma solução standard. Seja standard.F 8 −

(1) A solução chama-se um rio F exponencialmente atractivo (ou estável)regular de classe em , se e para todoW _ Ð Ñ Á ! "ÎÐ † J Ð ßKÐ ÑÑÑ ¸ !8 w

#F = = = == ¸ _ X, e sob o telescópio tem-se= Fß

( ) .a 89= œ !

(b) Para todas as soluções , com ,G B < ;= =Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ ¸ !

8 >Š ‹< ;

< ;= =

= =

Ð>Ñ Ð>Ñ

Ð!Ñ Ð!Ñœ / . (20.1)

Se o membro direito da igualdade (20.1) é sempre igual a , a solução chama-se/> Fum rio em .exponencialmente repulsivo (instável) regular de classe W _8

(2) Suponha-se que a igualdade (20.1) não se verifica para todas as soluções , G Bcom , mas que existe , de modo que (20.1) se< ; & & &= = =Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ ¸ ! œ ! ¸ !verifique para todas as soluções , com , . Então o rio diz-seG B < ; & F= = =Ð!Ñ Ð!Ñ singular regularem vez de .

20.3 Teorema ( )Teorema de existêncianão-standard Seja (E): uma equação diferencial standard de classe ..] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ G"

Seja uma função standard que satisfaz, para todo ,K ¸ _=

(1) .JÐ ßKÐ ÑÑKÐ Ñ†J Ð ßKÐ ÑÑ

= == = =w

#¸ !

Suponha-se, além disso, que para todo = ¸ _

(2) ,"†J Ð ßKÐ ÑÑ= = =w

#¸ !

e que existe uma função standard , com para todoP PÐ Ñ œ Ð" ÑÎlJ Ð ßKÐ ÑÑl= = =Ø w#

= ¸ _ X, tal que sob o telescópio =ßKßP

(3) , e91 œ !=

(4) @ para todo limitado e .Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ „ > ? ¸ !=w#


Então (E) tem uma solução standard tal que para .F FÐ\Ñ µ KÐ\Ñ \ Ä _Além disso, se

(4 )w para todo limitado e ,Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ „ " > ? ¸ !=w#

então é um rio exponencialmente instável (estável) de classe .F W"

20.4 Teorema ( )Teorema de caracterizaçãonão-standardSejam (E): uma equação diferencial de classe e um.] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ G" F

rio exponencialmente instável (estável) de classe em . Então para todas asW _"

funções standard , com e para , eK P KÐ\Ñ µ Ð\Ñ PÐ\Ñ µ \ Ä _F "lJ Ð\ßKÐ\Ñlw

#

para todo tem-se sob o telescópio que= ¸ _ X=ßKßP

(1) .9 91 Ð>Ñ œ Ð0 Ð>ß 1 Ð>ÑÑ œ != = =

(2) para todo limitado e .Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ „ " > ? ¸ !=w#

20.5 ComentáriosIlustram-se as noções de telescópio e de rio exponencialmente instável (estável)

com alguns exemplos. Através de um telescópio «observamos» uma pequena parte dohalo do infinito. Por exemplo, seja , e ponhamos= ¸ _

œ > œ \

? œ Ð] ÑÎ

=

= =# #.

Então a origem translada-se para e a galáxia principal nas novas coordenadas Ð ß Ñ >= =#

e consiste de todos os pontos do halo do infinito tais que a distância entre e é? \ =limitada, e a distância entre e (ou ) é de ordem . Em geral, é a condição] != =# #

- =Î ¸ ! que garante que a nova galáxia principal está contida dentro do halo doinfinito das coordenadas iniciais. De facto, os números da forma , com\ \ œ >= -> \ œ Ð" Ñ limitado, satisfazem Ø .=

Os telescópios associados são bem adaptados para seguir o comportamento dassoluções de equações diferenciais longe da origem. Com respeito aos macroscópios,pode-se tratar de mais casos: como indicado no Cap. VI, os macroscópios só podemtratar de rios de crescimento polinomial, enquanto sob os telescópios podem serigualmente observados rios de crescimento exponencial (ver Exemplo 20.7.1, aseguir).

A definição 20.2 considera «rios de classe ». Recorda-se ( ) que umaW8 [103]função de classe é uma função limitada e -contínua para argumentos limitados, eW W!

que uma função de classe é de classe , se e são ambas de classe (a1 G W 1 1 W" w !1

definição no livro de funções de classe extende-se a funções não-deriváveis,[103] W"

e em [31] mesmo á funções discretas, aqui não-relevantes). O livro também sugere(p.129) como definir funções de classe , de modo que , ..., seram todas deW 1 18 ww Ð8Ñ

classe ; então exista uma função standard de classe tal que . Um rioW 0 G 1 œ 0! 8 8

pela definição 20.2 é de classe , se a sua imagem sob telescópio é de classe ,W W8 8

com sombra identicamente , e se a diferença com soluções localmente vizinhas é!


também de classe , com sombra . Neste capítulo só se consideram rios de classeW /8 „>

W".O exemplo seguinte, devido a Callot [55], apresenta rios explícitos, não triviais, e

assim é possível ilustrar várias propriedades dos rios. É também o primeiro exemplode um estudo detalhado de um rio, embora o estudo tenha sido motivado por outrarazões.

20.6 Exemplos1) Considere-se a equação

.] Î.\ œ LÐ\ß ] Ñ œ \] ] "# ,

associada (pondo ) à equação de Hermite de segunda ordem] œ ^ Î^w

Z Z Z , e chamada por Callot a . Ver aww w \ œ ! equação de Riccati-Hermitefigura 12.

J31Þ 12 Soluções (retrato de fase) da «equação de Riccati-Hermite».] Î.\ œ \] ] "# (de [55]). O «polinómio de Hermite» ] œ \ figura como um rioregular exponencialmente repulsivo em . Observe-se também um rio assimptótico a_] œ "Î\ _ _ em . Por simetria, o mesmo acontece em .

Mostramos que o «polinómio de Hermite» é um rioFÐ\Ñ œ \exponencialmente instável de classe . Em primeiro lugar, observamos queW"

J Ð\ß Ð\ÑÑ œ \ ¸ _ Xw# ßF =, logo, se , a transformação é um telescópio, de facto= F

o telescópio associado. Este transforma a equação de Riccati-Hermite em

.?Î.> œ 2 Ð>ß ?Ñ œ ? ? Ð>? > "Ñ"

=#

#=

e emF


9 ==Ð>Ñ œ >Î #.

Sendo para limitado, vemos a solução pelo telescópio como uma9 F= = FÐ>Ñ ¸ ! > X ß

função quase horizontal. O telescópio transformou a equação de Riccati-Hermitenuma equação que é próxima da equação logística , mas que se.?Î.> œ ?Ð" ?Ñcomporta infinitamente próxima de como uma equação linear, porque aqui9=.?Î.> œ Ð" Ñ?Ø . Ver figuras 13 e 14.

Fig. 13 (a) Vista sob o telescópio , onde é o polinómio de Hermite , a equaçãoX ] œ \= Fß Fde Hermite é próxima da equação logística. Aqui = œ &Þ(b) A equação logística ..] Î.\ œ ] ]#

Fig. 14 (a) Perto de zero, a transformada da equação de Riccati-Hermite, é.?Î.> œ 2 Ð>ß ?Ñ=

próxima da equação linear . Aqui, ..?Î.> œ ? œ &=(b) A equação . A solução nula é o «arquétipo» de um rio repulsivo em , e.] Î.\ œ ] _um rio atractivo em , embora formalmente não satisfaça a definição 20.2._

Nesta região a equação é mesmo -próxima de , porqueG .?Î.> œ ?"

0 Ð ß Ñ œ Ð0 Ñ Ð ß Ñ œ " = =£ £Ø Ø e Ø Ø. O argumento seguinte sugere por que razãow#

soluções perto de (ou de ) se comportam sob o telescópio como a função9=Ð>Ñ !exponencial . Sejam , duas soluções tais que . Ponhamos/ Ð>Ñ ¸ Ð>Ñ ¸ !> G B < ;= =

$ < ;Ð>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ . Tem-se= =


$ 9 ; $< ;

< ;

. . . .Ð>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ œ † Ð>Ñ0 Ð>ß Ð>ÑÑ 0 Ð>ß Ð>ÑÑ

Ð>Ñ Ð>Ñ= == = = =

= =

Sendo Ø Ø, a fun-Ð0 Ð>ß Ð>ÑÑ 0 Ð>ß Ð>ÑÑÑÎÐ Ð>Ñ Ð>ÑÑ œ Ð0 Ñ Ð>ß Ñ œ " = = = = = = =< ; < ; w#

ção satisfaz a Ø . Aplicando o lema.

$ $ $equação quase-diferencial Ð>Ñ œ Ð" Ñ Ð>Ñ21.5 deduz-se que .9 >Ð Ð>ÑÎ Ð!ÑÑ œ /$ $ è

Fazemos algumas observações suplementares. Em primeiro lugar, se nascondições acima referidas se mostrar que a solução é um rio de classe ,W!

automaticamente ela é um rio de classe , porque e.

W Ð>Ñ œ 0 Ð>ß Ð>ÑÑ œ !" 9 99 9= = =9 9 >$ $

.. Em segundo lugar, explicamos os termos «regular» e «singular».Ð>Ñ œ Ð>Ñ œ /

Essa terminologia corresponde a uma tradição no estudo não-standard de equaçõeslentas-rápidas ou perturbações singulares (curvas lentas regulares ou singulares, versecção III desta introdução). Finalmente, um rio regular exponencialmente instável ésempre único. Isto vai ser mostrado no teorema 22.6. Pode-se considerar o argumentoinformal seguinte. O rio tem crescimento polinomial. A diferença entre FÐ\Ñ œ \ \e um segundo rio assimptótico a seria de crescimento exponencial, que é absurdo.\O rio regular exponencialmente instável é único também por uma outraFÐ\Ñ œ \razão. uma solução standard, e não existem soluções standard na mesma direcção É assimptótica, isto é, não existe nenhuma solução standard com G G =Ð Ñ œÐ" Ñ Ð Ñ ¸ _Ø para algum . Consideramos agora os rios exponencialmenteF = =estáveis da equação de Riccati-Hermite. A solução geral dessa equação é

] Ð\Ñ œ \ "

^Ð\Ñ G/\ Î## ,

com eG − ‘

^Ð\Ñ œ / / .\ Î# Î#

!

\# #( 0 0.

Todas as soluções com standard são rios exponencialmenteGÐ\Ñ œ ] Ð\Ñ Gestáveis de classe . Para verificar isto, é melhor evitar os telescópios associados,W"

porque geram expressões bastante complicadas. Em vez disso aplicamos o lema21.10, que diz que telescópios com especificações assimptoticamente iguais, dãoquase a mesma imagem. Escolhemos o telescópio , observando queX= = =ß ß"Î

^Ð\Ñ œ Î\ "Î\ 9Ð"Î\ Ñ" $ $ (mostra-se pelos métodos da secção 24.10), logoG GÐ\Ñ µ "Î\ J Ð\ß Ð\ÑÑ µ \ \ Ä _ e para . Então a equação de Riccati-w

#

Hermite devém

.?Î.> œ ? ? >? #? > "#

#=.

Ver a figura 15.Como a sombra da imagem de é , tem-se . Um>ÎÐ >Î Ñ "Î\ ! œ != = <9 =

argumento análogo ao caso repulsivo tratado acima mostra que a sombra das imagensdas soluções vizinhas em coordenadas apropriadas é . Conclui-se que todas as/>


soluções são rios regulares exponencialmente estáveis de classe , e deG W! a fortioriclasse .W"

Fig. 15 A equação de Riccati-Hermite vista sob o telescópio :X= = =ß ß"Î

> œ Ð\ Ñ ? œ Ð] "Î Ñ œ &= = = = =, , com .

2) Consideramos agora a equação

(E): sen . (20.2).]

.\œ ] \ ] \# #

Ver a figura 16.

Fig. 16 Soluções da equação .] Î.\ œ ] \ ] \# #sen . Os rios destaequação são assimptóticos a e de classe , mas não de classe .„ \ W WÈ " #


Esta equação tem um rio exponencialmente instável de classe em W _"

assimptótico a e rios exponencialmente estáveis de classe em assimptó-È\ W _"

ticos a ; além disso, estes rios não são de classe , e não há outros rios \ WÈ #

regulares.Para ver que assim é, começamos por verificar as condições do teorema 20.3. O

ponto de partida é a equação funcional assimptótica

JÐ ßKÐ ÑÑ

KÐ Ñ † J Ð ßKÐ ÑÑ¸ ! ¸ _

= =

= = ==

w#

, para todo .

Ora, satisfaz esta equação, porque assim o numerador é de ordemKÐ Ñ œ „= =ÈÈ= =, enquanto o denominador é de ordem estrita :

JÐ ßKÐ ÑÑ

KÐ Ñ † J Ð ßKÐ ÑÑœ ¸ !

Ð# Ñ

= =

= = =

= =

= = =w#

#

#

ÈÈ È sensen

.

(Tratamos mais tarde de métodos de resolução.) Consideramos o casoKÐ Ñ œ= =È . Com respeito à segunda condição, observe-se que

" "

J Ð ßKÐ ÑÑœ œ †

# w#

#= = = ==È sen

Ø .

Isto significa que é um telescópio para todas as funções standard tais queX P=ßKßP

PÐ Ñ œ Ð" ÑÎJ Ð ßKÐ ÑÑ PÐ Ñ œ "Î#= = = = =Ø . Por comodidade, escolhemos . Entãow#

Èa imagem de vemK

1 Ð>Ñ œ >Î

=

É È ÈÈ

= = =

=,

e a equação (E) transforma-se em (e ): , com= =.?Î.> œ 0 Ð>ß ?Ñ

0 Ð>ß ?Ñ œ ? > ? > " ? >

# %% #=

# ##

= = == =

=È È Š ‹Èsen .

Além disso,

Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ " ? > " >

# %=

w ##

#

È Š ‹È=

= ==

sen .

Vemos que e Ø Ø, então as condições (3) e (4) do teorema9 w#1 œ ! Ð0 Ñ Ð ß Ñ œ " = = £

20.3 são satisfeitas. Conclui-se que existe um rio exponencialmente instável de classeW Ð\Ñ Ð\Ñ µ \ \ Ä _", que se pode designar por , com para .F F È


Em segundo lugar, mostramos que não é de classe . Pelo lema 21.10F W#

podemos continuar a observar mediante o telescópio . TemosF X= =ßÈ9 9 9 9

= = =

9= = =

= =

= ==

.. .

cos Ø

Ø cos Ø.

= == = = =

=

Ð>Ñ œ Ð0 Ñ Ð>ß Ð>ÑÑ Ð0 Ñ Ð>ß Ð>ÑÑ Ð>Ñ

œ > " " Ð>Ñ > >

% # # %

œ > " >

# %

w w" #

##

##

È È Š ‹ Š ‹È ÈŠ ‹ Š ‹È

Então não é de classe , e a sombra de não é o gráfico de uma.. ..9 9= =Ð>Ñ W Ð>Ñ!

função, mas enche completamente a faixa . Portanto, não é um rio de‘ F‚ Ò"ß "Óclasse .W#

De maneira análoga se mostra que existem rios exponencialmente estáveis declasse assimptóticos a , e que estes rios também não são de classe .W \ W" #È

Para mostrar que não existem outros rios regulares exponencialmente estáveis(instáveis) regulares de classe , aplica-se o teorema 20.4. De facto, sejaW"

KÐ Ñ œ + + ¸ „ " Xy= =È com . Então tem-se, sob o telescópio ,=ßK

0 Ð!ß 1 Ð!ÑÑ œ 0 Ð!ß !Ñ œ ¸ !+ " Ð+Î Ñ

#+ Ð+ Ñy= = =

# #

# #

ÈÈ = =

= =

sensen

.

Por conseguinte, as condições do teorema 20.4 não são satisfeitas.

III. Relação com definições existentes de riosAs definições anteriores de rios concernem soluções macroscopicamente

observáveis, cujas diferenças com soluções vizinhas são — em geral — funçõesquase-exponenciais do tipo , com standard. Pode-se já indicarexpÐ „ \ Ñ = !=

informalmente por que razão esses rios satisfazem em grande parte a nossa definição.De facto, uma função exponencial não linear comporta-se localmente comoexpÐ\ Ñ=

uma função exponencial linear: se e com limitado, tem-= = =¸ _ \ œ >Î= >="

se

exp exp expexp exp exp

exp exp

Ð >Î= Ñ Ð" >Î= Ñ Ð" >Î Ð" ÑÑœ œ

œ Ð>Ð" ÑÑ œ >

= = = = = =

= = =

=" = = = = = =

= = =

Ø

Ø Ø.

Além disso, uma função standard macroscopicamente observável comporta-se naKmesma escala como uma função constante, sendo para limitado>

1 Ð>Ñ œ œKÐ >Î= Ñ KÐ Ñ KÐ Ð" >Î ÑÑ KÐ Ñ

KÐ Ñ KÐ Ñ

œ œ œKÐ Ð" ÑÑ KÐ Ñ KÐ ÑÐ" Ñ KÐ Ñ

KÐ Ñ KÐ Ñ

= s

Ø.Ø Ø

= = = = = =

= =

= = = =

= =

=" =


Na penúltima estimativa, Ø Ø , aplica-se o teorema 18.4KÐ Ð" ÑÑ œ KÐ ÑÐ" Ñ= =do capítulo VI.

Porém, existem fenómenos de rios que são excluídos pela definição 20.2. Porexemplo, uma equação pode ter soluções exponencialmente estáveis ou instáveis, masque são identicamente, ou periodicamente nulas. Exemplos interessantes ocorrem nostrabalhos de Frank Michel [241, 242]. Também a definição não se aplica a equaçõespara as quais o retrato de fase exibe o fenómeno de rios sobre uma distância curta. Umespécime de um tal fenómeno de «rio compacto», ainda mal explicado, está contidaem [96], p. 130. Além disso, a nossa definição só se refere a rios «horizontais», cujassoluções vizinhas se separam de modo «vertical». O problema da «direcção» ésomente parcialmente resolvido: ver Blais [41] ou M. Diener [95], que contêm algunscasos mais gerais que o caso «horizontal-vertical». Mais adiante (parte destaIIIintrodução) consideraremos uma definição que generaliza a definição 20.2, de modo aincluir certos tipos de «rios singulares» e «rios de curvas». Agora indicamos como asdefinições principais anteriores de rios de equações standard se integraram nessadefinição. De facto, essas referem-se a macroscópios e equações lentas-rápidas.Indicamos como a composição do macroscópio e de um microscópio aplicado àequação lenta-rápida corresponde a um telescópio aplicado à equação inicial. Umacondição suplementar é que o rio deve ser , no sentidomacroscopicamente observáveldo Cap. VI. O rio é então uma da , em que asolução lenta equação lenta-rápidaequação original é transformada pelo macroscópio. Recorde-se que uma equaçãolenta-rápida é uma equação do tipo

(e) ,&.C

.Bœ 0ÐBß CÑ

onde , e é quase-standard. Supomos a seguir que é& &¸ ! ! 0ÐBß CÑ 0simultaneamente de classe e . A de (e) é o conjunto definido porW G" " curva lenta _

_ œ ÖÐBß CÑ À Ð 0ÑÐBß CÑ œ !×9 .

Os pontos são os pontos que satisfazem ; seregulares ÐBß CÑ Ð 0Ñ ÐBß CÑ Á !9 w#

Ð 0Ñ ÐBß CÑ ! Ð 0Ñ ÐBß CÑ !9 w 9 w# # o ponto diz-se , e se o ponto diz-atractivo estávelou

se ou . Um ponto de chama-se se . Arepulsivo instável singular_ Ð 0Ñ ÐBß CÑ œ !9 w#

parte regular é a standardização do conjunto externo de todos os pontos regularesstandard.

É fácil descrever o comportamento das soluções na parte limitada do plano, comexcepção nos halos dos pontos singulares da curva lenta. De facto, fora do halo dacurva lenta as soluções andam quase verticalmente, até chegar ao halo de um ramo dacurva lenta, ou ao halo do infinito. A solução que está infinitamente próxima de umponto estável da curva lenta fica no halo da curva lenta até chegar ao halo de umponto singular, ou ao halo do infinito. Dentro do halo de um ponto regular standard dacurva lenta as soluções exibem uma contracção exponencial. De facto, mostra-se queas propriedades 1.(a) e (b) da definição 20.2 valem num sistema de coordenadasadequado, com . Suponha-se, sem perda de generalidade, que é um ponto8 œ " Ð+ß ,Ñstandard estável na curva lenta. Aplica-se o microscópio


œ > œ ÐB +Ñl0 Ð+ß ,ÑlÎ? œ C ,

w# &

. (20.3)

Então a equação (e) é transformada na equação

( ) (20.4)(.?

.>œ 2Ð>ß ?Ñ

com

2Ð>ß ?Ñ œ0Ð+ >Îl0 Ð+ß ,Ñlß , ?Ñ

l0 Ð+ß ,Ñl

& w#

w#

.

Segue-se do facto que é de classe , que é de classe . Claramente 0 W 2 W 2Ð>ß ?Ñ ¸ !" "

e para todo limitado e . Para e limitados tem-se2 Ð>ß ?Ñ ¸ " > ? ¸ ! > ?w#

2Ð>ß ?Ñ ¸0Ð+ß,?Ñl0 Ð+ß,Ñlw

#. Então aplica-se a versão forte do ( ,lema da sombra curta [103]

p. 138 ): Se é uma solução de ( ) tal que , a sua sombra satisfaz a67 9 ( 9Ð!Ñ ¸ !

equação com , isto é, pela unicidade de solução.

9 9 99 9 9Ð>Ñ œ 2Ð>ß ?Ñ Ð!Ñ œ ! œ !

e para todo limitado. Então , logo.

9 9 9Ð>Ñ ¸ ! > Ð>Ñ œ 2Ð>ß Ð>ÑÑ œ 2Ð>ß !Ñ œ !9 9 9 9

"9 œ !. (20.5)

Além disso, sejam , duas soluções tais que , . Segue-se do lema< ; < ;Ð!Ñ Ð!Ñ ¸ !principal 21.5 adiante que

" >Š ‹< ;

< ;

Ð>Ñ Ð>Ñ

Ð!Ñ Ð!Ñœ / . (20.6)

Uma descrição alternativa da contracção exponencial pode-se fazer mediante omicroscópio de Benoit [22], [18], que exibe exponenciais não lineares. Aplicando deseguida o microscópio no tempo , obtém-se de novo o comportamentoC È , >&exponencial quase-linear mostrado acima.

Enunciamos agora a definição de no sentido do artigo original de M. Diener erioG. Reeb, e mostramos que esses rios são rios exponencialmente estáveis (instáveis)regulares de classe . SejaW"

(E).]

.\œ JÐ\ß ] Ñ

uma equação diferencial standard, com de classe . Uma solução standard J G" Fchama-se um , se existe um número real tal que para todo orio < ¸ _=

67 Sejam e duas funções equivalentes [isto é, ] sobre ,0 0 0ÐBÑ ¸ 0 ÐBÑ L © ‚! !8‘ ‘

sendo standard e contínua, tais que as equações e possuem. .0 B œ 0 Ð>ß BÑ B œ 0Ð>ß BÑ! !

soluções locais únicas. Seja standard, uma solução standard deM œ Ò+ß ,Ó À M Ä! ! !9 ‘B œ 0 Ð>ß BÑ O. e o seu gráfico. Se existe uma parte interna tal que ,! !# halÐ Ñ © O © L#!então toda a solução de a partir de um ponto .

B œ 0Ð>ß BÑ Ð> ß Ð> ÑÑ −" "9 hal comÐ Ñ#!> − Ó+ß ,Ò" é prolongável a e a sua restrição a admite como sombra.M M! ! !9


macroscópio

œ\ œ B] œ C

==< (20.7)

transforma (E) numa equação lenta-rápida (e) e numa função tal que, primeiro, F 9 99

está bem-definida e não nula sobre e, segundo, é uma parteÓ!ß _Ò Ó!ß _Ò99regular da curva lenta de (e).

Como exemplo, reconsideramos a equação de Riccati-Hermite .] Î.\ œ\] ] " \ œ B ] œ C# . O macroscópio , transforma a equação na equação= =lenta-rápida

" .C "

.Bœ BC C

= =# ## .

A curva lenta é a reunião das rectas e . A imagem sob macroscópio doC œ B C œ !polinómio de Hermite coincide (para ) com a parte instável daFÐ\Ñ œ \ \ !curva lenta , , logo é um rio no sentido de Diener-Reeb. A sombra dasC œ B B !imagens sob macroscópios dos rios exponencialmente estáveis [ver (20.0)]Gcoincidem para com uma parte da curva lenta que é ao mesmo tempo\ !identicamente e singular, então nada se pode concluir. Porém, se aplicarmos o!macroscópio , y/ , obtemos a equação lenta-rápida\ œ B ] œ= =

" .C C

.Bœ BC "

= =# #

#

.

Agora é a curva lenta (a sombra do ramo que contém o rio instável agoraC œ "ÎB Fcoincide com o eixo vertical) e, além disso, é estável. A sombra das soluções standardG G está contida nessa curva lenta, para . Portanto, essas soluções são rios no\ !sentido de Diener-Reeb. Mostremos que um rio de tipo Diener-Reeb satisfaz aFdefinição 20.2.

Estabelecemos primeiramente que é um telescópio para qualquer .X ¸ _= Fß =O macroscópio , transforma (E) em\ œ B ] œ C= =<

(e): , (20.8).C JÐ Bß CÑ

.Bœ

= =

=

<

<"

onde o membro direito da equação necessariamente lenta-rápida (20.9) é da forma

JÐ Bß CÑ 0ÐBß CÑœ

= =

= &

<

<", (20.9)

com , e @. Após diferenciação de ambos os lados de& & 9¸ ! ! 0 Ð"ß Ð"ÑÑ œ „w#

(20.10) com respeito a no ponto obtemosC Ð"ß Ð"ÑÑ9

= = F = &† J Ð ß Ð ÑÑ œ „ Îw# @ .

Portanto, . Visto que é não nula, temos ."ÎÐ † J Ð ß Ð ÑÑÑ ¸ ! Ð Ñ Á != = F = 9 F =w 9# ±Ó!ß_Ò

Então é um telescópio.X= Fß


É fácil verificar que a combinação do macroscópio (20.8) com o microscópio(20.4) centrado em dá exactamente o telescópio . Segue-se das proprie-Ð"ß Ð"ÑÑ X9 = Fß

dades (20.5) e (20.6) das soluções da equação lenta-rápida (20.4) que as propriedades1.(a) e (b) da definição 20.2 são satisfeitas. Então é um rio de classe em .F W _"

A seguinte equação apresenta um rio exponencialmente repulsivo de classe ,W"

que não satisfaz a definição de Diener-Reeb. Considere

.]

.\œ \] Ð" \Ñ/\ .

A equação é solúvel por quadratura. As suas soluções são

] Ð\Ñ œ / G \"

#\ #expŠ ‹.

É fácil verificar que satisfaz a definição 20.2. Além disso, como não éFÐ\Ñ œ / /\ \

de crescimento polinomial (v. Cap. VI), a solução não é observável porFmacroscópio, logo não é um rio no sentido de Diener-Reeb.

Mencionemos finalmente que curvas lentas singulares de equações lentas-rápidas,que não correspondem a rios exponencialmente (in)estáveis regulares, podem sertransformadas macroscópicas de rios exponencialmente (in)estáveis singulares.

Na sua tese 41 F. Blais define «rios generalizados» na seguinte maneira. Uma[ ],solução de uma equação diferencial é um seF .] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ rio generalizadoé de crescimento polinomial e se . Se aplicarmos estalim

\Ä_

w#"ÎÐ\ † J Ð\ß Ð\ÑÑ œ !F

definição a soluções de equações standard, tem-se uma generalização dos rios deDiener-Reeb, visto que, primeiro, eles são observáveis macroscopicamente, logo decrescimento polinomial, e segundo, como foi indicado acima, eles satisfazem"ÎÐ † J Ð ß Ð ÑÑÑ ¸ ! ¸ _= = F = =w

# para todo . É evidente que os «rios generalizados»nem sempre satisfazem à definição 20.2, mas segue-se de um resultado de Blais, quese é racional, eles são rios exponencialmente (in)estáveis regulares ou singularesJpelo menos de classe (se não forem identicamente nulos).G"

De facto, para um rio generalizado não nulo de uma equação diferencialFracional standard , existe um polinómio standard (com.] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ Tpotências fraccionárias) tal que é um rio no sentido de Diener-Reeb, paraF Fœ Ta equação , com.^Î.\ œ KÐ\ß^Ñ

œ^ œ ] TÐ\ÑKÐ\ß^Ñ œ JÐ\ß^ TÐ\ÑÑ

,.

Acontece que o polinómio é uma soma parcial do desenvolvimento assimptótico deTF.

A fim de mostrar a última afirmação só temos que considerar o caso não trivialT Î́ !. Examinamos o comportamento das soluções das duas equações diferenciaisacima por meio dos telescópios e . Note-se que a unidade nas direcçõesX X= F = Fß ß

horizontais destes telescópios é a mesma, sendo


`JÐ ß Ð ÑÑ `KÐ ß Ð ÑÑ

`] `^œ

= F = = F =.

Seja esta unidade. Começamos mostrar que satisfaz aPÐ Ñ œ "ÎlJ Ð ß Ð ÑÑl= = F = Fw#

primeira condição da definição 20.2. Representam-se por , e as imagens de , 9 9 F F:e sob os telescópios , e , respectivamente. LogoT X X X= F == Fß ßT ßPß

9 9F = =

F = F =Ð>Ñ œ Ð>Ñ :Ð>Ñ

Ð Ñ T Ð Ñ

Ð Ñ Ð Ñ.

Ora, Ø , logo e . Além disso,F = = F = F = = F =Ð Ñ œ Ð" ÑTÐ Ñ Ð ÑÎ Ð Ñ ¸ ! TÐ ÑÎ Ð Ñ ¸ "" "9 Fœ ! W, porque é um rio de classe exponencialmente (in)estável, e também se vêfacilmente que . Conclui-se que , isto é, a condição 1.(a) é satisfeita." ": œ ! œ !9

Consideremos agora a segunda condição da definição 20.2. Sendo regular, sobFo telescópio a condição 1.(b) daquela definição é válida, isto é, temos umaX= Fßcontracção exponencial para todas as soluções , tais que Ø.G B < ;= =Ð!Ñ œ Ð!Ñ œElas satisfazem Ø para limitado sob o telescópio< ; F = F == =ÐBÑ œ ÐBÑ œ † Ð ÑÎ Ð Ñ BX= Fß . Logo a condição (2) é satisfeita. Conclui-se que é um rio exponencialmenteF(in)estável de classe .W"

Fig. 17 A equação apresenta rios (in)estáveis singulares de classe ..] Î.\ œ Ð] \Ñ W# # "

Os rios são assimptóticos a em (de [ .È\ _ 41])

A seguinte equação, estudada por Blais, apresenta de facto rios generalizados, quesão rios exponencialmente (in)estáveis. Seja


.]

.\œ Ð] Ñ# #X . (20.10)

Ver a figura 17.

Recordamos alguns resultados de 41 [42]. O macroscópio , [ ], \ œ B ] œ C= =Ètransforma (20.10) numa equação lenta-rápida, com curva lenta singular .C œ „ BÈApós a substituição , o macroscópio , transforma a^ œ ] \ \ œ B ^ œÈ = =$Î%

nova equação numa equação lenta-rápida cuja curva lenta éD œ „ Ð"Î )ÑBÈ $Î%

regular para : repulsivo na parte superior e atractiva na parte inferior. Segue-seB !do argumento acima que (20.10) tem um (único) rio generalizado instável, cujodesenvolvimento assimptótico começa com , e uma infinidade\ Ð"Î )Ñ\"Î# $Î%Ède rios generalizados estáveis, cujos desenvolvimentos assimptóticos começam com\ Ð"Î )Ñ\"Î# $Î%È . Como o primeiro termo dos desenvolvimentos assimptóticos ésempre o mesmo, aqueles rios não podem ser rios exponencialmente (in)estáveisregulares, logo têm que ser singulares.

IV. Observações informais sobre a existência de riosPelo teorema 20.3, os rios são assimptóticos a funções que satisfazem aK

equação funcional assimptótica

JÐ ßKÐ ÑÑ

KÐ Ñ † J Ð ßKÐ ÑÑ¸ ! ¸ _

= =

= = ==

w#

, para todo (20.11)

[de facto, eles próprios satisfazem (20.12)]. Aqui apresentamos um argumentoinformal para o facto de as condições suplementares do teorema 20.3 garantirem aexistência de soluções assimptoticamente próximas de . A segunda condição garanteKque é efectivamente um telescópio para todo , porque X ¸ _ PÐ Ñ œ=ßKßP = =Ð" ÑÎlJ Ð ßKÐ ÑÑlØ ew

# = =

"ÎJ Ð ßKÐ ÑÑ œ †w# = = =Ø .

As condições (3) e (4) induzem uma mudança de sinal em perto de . ÉJÐ\ß ] Ñ Kessa mudança de sinal que faz que a existência seja plausível. A mudança de sinal vê-se facilmente por meio dos telescópios. De facto, (20.12) traduz-se por0 Ð!ß 1 Ð!ÑÑ ¸ ! ¸ _= = para todo . Não é difícil mostrar que as condições (3) e (4)=implicam que

0 Ð>ß 1 Ð>ÑÑ ¸ ! ¸ _ >= = para todo , limitado.=

Segue-se a fórmula

0 Ð>ß ?Ñ ¸ 0 Ð>ß @Ñ.@ ¸ 0 Ð>ß @Ñ.@ œ „ ?= = =( (a b a b1 Ð>Ñ !

? ?w w# #

=

@ ,

que é, pelo menos, verdadeira para . Por permanência, a fórmula ? ¸ ! 0 Ð>ß ?Ñ œ=

„ ? ? 0@ é válida, pelo menos, para alguns apreciáveis. Dependendo do sinal de ,w#


obtemos assim os seguintes esboços da parte que está sob telescópio limitado e pertoda curva (figura 18).1=

Ð0 Ñ ! Ð0 Ñ != =w w# #

Fig. 18

Do primeiro esboço, válido se é negativa, concluimos que soluções0 w#

suficientemente acima de movem-se para baixo, e soluções suficientemente abaixoKde movem-se para cima. Em todo o caso, elas convergem para , e, visto que oK Kesboço não depende de , elas têm de permanecer perto de . Do segundo esboço,= Kválido se é positiva, concluimos que soluções suficientemente abaixo de 0 Kw

#

movem-se para cima, e soluções suficientemente acima de movem-se para baixo.KEm todo o caso, elas divergem de , e pode-se imaginar a existência de uma soluçãoKque se insinue entre delas.

V. Métodos de resolução da equação funcional assimptóticaO estudo dos rios produz novos meios de determinação do comportamento

assimptótico das equações diferenciais . Dispõe-se de vários.] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñmétodos, dependendo da classe de equações diferenciais em consideração. De umlado, têm-se os métodos geométricos de macroscópios, ou de telescópios se o riopresumido não seja observável macroscopicamente. De outro lado, dispõe-se demétodos algébricos, que utilizam a técnica dos polígonos de Newton, como indicadoem [104] e 41 . Além disso, pode-se tentar resolver directamente a equação funcional[ ]assimptótica

JÐ ßKÐ ÑÑ

KÐ ÑJ Ð ßKÐ ÑÑ¸ ! ¸ _

= =

= = ==

w#

, para todo .

De facto, a técnica dos polígonos interpreta-se como uma estratégia para resolver estaequação. Ilustra-se o método através a equação de Riccati-Hermite .] Î.\ œLÐ\ß ] Ñ œ \] ] " LÐ\ß ] Ñ# . Aos exponentes dos termos que ocorrem em ,isto é, , , e associamos os pontos correspondentes em . O polígonoÐ"ß "Ñ Ð!ß #Ñ Ð!ß !Ñ ‘#

em questão é o fecho convexo destes pontos, como se exibe a seguir:


Fig. 19

Depois determina-se os vectores normais aos lados de «nascente» do polígono, eescrevemo-los na forma . Aqui temos ou . Logo as soluções sóÐ"ß +Ñ + œ " + œ "podem ser da forma (em valor absoluto). Repondo estas expressõesKÐ Ñ œ= =„"Ø

em (20.12) dá as aproximações mais estritas Ø e Ø .KÐ Ñ œ Ð" Ñ KÐ Ñ œ Ð" ÑÎ= = = =Justificamos a técnica dos polígonos no caso em que é polinomial. SejaJ

JÐ\ß ] Ñ œ + \ ]"3ß4œ!

:34

3 4,

com , e todos os são standard. Seja o polígono o fecho convexo de: − + − ‘ C34

todos os pontos tais que . O lado direito de é o conjunto de todos osÐ3ß 4Ñ + Á !34 Cpontos de tais que nenhum ponto de fica à direita de . Suponha-se que éT T KC Cuma função standard que satisfaz (20.12). Mostramos que para todo ,= ¸ _

KÐ Ñ œ= =<Ø,

onde é standard e tal que é perpendicular a uma parte do lado direito de .< Ð"ß <Ñ CPara provar isto, ponhamos

X œ + KÐ Ñ34 343 4= = ,

onde é um número positivo ilimitado arbitrário. A demonstração divide-se em dois=passos:(1) Se satisfaz (20.12), não existe um termo director único em , isto é,K JÐ ßKÐ ÑÑ= =

não existe tal que Ø .Ð7ß 8Ñ J Ð ßKÐ ÑÑ œ Ð" ÑX= = 78

(2) Se existe mais do que um termo director, isto é, existem e distintosÐ5ß 6Ñ Ð7ß 8Ñtais que @ e (ou ) para todos os , comlX l œ lX l lX l œ lX l lX l œ lX l 3 456 78 34 56 34 78£ £! Ÿ 3 4 Ÿ : Ð5ß 6ÑÐ7ß 8Ñ T, , então o segmento é parte do lado direito de e’ “"< ¼ Ð5ß 6ÑÐ7ß 8Ñ.

Dem. de (1). Suponha-se, com vista a um absurdo, que existe , comÐ7ß 8Ñ! Ÿ 7 8 Ÿ :, , tal que

JÐ ßKÐ ÑÑ œ Ð" Ñ+ KÐ Ñ= = = =Ø .787 8

Ora, é infinitamente maior do que todos os outros termos , e o mesmo éX X78 34


verdade se os diferenciarmos com respeito a , e a seguir os multiplicarmos por]KÐ Ñ= , porque

KÐ ÑÐX Ñ œ4X 4 Á !! 4 œ !

= 34w#

34œ se se .

Visto que o número de termos é standard, temos somente uma das seguintespossibilidades:

KÐ ÑJ Ð ßKÐ ÑÑ œÐ" Ñ8X 8 Á !

† X 8 œ != = =w

#78

78œ Ø se

Ø se .

Em ambos os casos obtemos , o que dá umaJÐ ßKÐ ÑÑÎKÐ ÑJ Ð ßKÐ ÑÑ ¸ !y= = = = =w#

contradição.è

Dem. de (2). Comecemos por mostrar que com limitado. Suponha-KÐ Ñ œ == ==

se que era . Então, visto que @ , tem-se= ¸ _ lX l œ lX l56 78

= = = =5 =6 7 =8Ø Øœ ,

logo Ø. Como , , e são standard, isto implica, primeiro,5 7 œ =Ð6 8Ñ 5 6 7 8que , e segundo, que , contra a hipótese sobre e . Segue-se6 œ 8 5 œ 7 Ð5ß 6Ñ Ð7ß 8Ñque é limitado, e tem uma decomposição , com standard e .= = œ < < ¸ !& &

Seja agora a recta que passa pelos pontos e . Seja ao arbítrio- Ð5ß 6Ñ Ð7ß 8Ñ Ð3ß 4Ñtal que . De @ deduzimos que+ Á ! lX l œ lX l œ lX l34 34 56 78£

= = =3Ð< Ñ4 5<6 7<8& Ÿ œØ Ø.

Visto que , , , , e são todos standard, segue-se que3 4 5 6 7 8

3 <4 Ÿ 5 <6 œ 7 <8.

Isto implica, primeiro, que , e segundo, que fica no lado esquerdo, ou’ “"< ¼ Ð3ß 4Ñ-

sobre . Então o segmento é parte do lado nascente de , e- CÐ5ß 6ÑÐ7ß 8Ñ

’ “"< ¼ Ð5ß 6ÑÐ7ß 8Ñ.è

Damos agora um exemplo de uma equação não polinomial, para a qual é aindapossível aplicar o método dos polígonos. A equação assimptótica funcional (20.12)associada à equação (20.3) da p. 183 é

K Ð Ñ KÐ Ñ

KÐ ÑÐ#KÐ Ñ Ñ¸ ! ¸ _

w ##

#

= = = =

= = ==

sensen

para todo . (20.12)

Para fixo, o factor sen é simplesmente o coeficiente de .= = =¸ _ KÐ Ñ#

Dependendo do valor de , temos um dos seguintes polígonos:=


= 1 = 1# #Á 5 œ 5, , 5 − 5 −™ ™Fig. 20

Em ambos dos casos, o vector normal ao lado direito do polígono nãoÐ"ß "Î#Ñdepende de . Logo (20.12) tem somente soluções da forma , com= = = =KÐ Ñ œ LÐ ÑÈlLÐ Ñl œ LÐ Ñ œ „ " = = =Ø. Uma substituição desta expressão em (20.12) dá Ø.Nos exemplos comentados em 20.5 já verificámos que há efectivamente rios assimp-tóticos a em .„ \ _È

Terminamos esta secção exibindo alguns exemplos não polinomiais, para os quaisa resolução de (20.11) é evidente.

Fig. 21 Soluções de ..] Î.\ œ ] /# \


20.7 Exemplos1) Considere-se a equação

.]

.\œ ] /# \ .

Ver fig. 21. É claro que é solução de (20.11). Após verificaçãoKÐ\Ñ œ „ /\Î#

simples das outras condições do teorema da existência, obtém-se que há um único rioexponencialmente instável de classe assimptótico a em e uma infinidadeW / _" \Î#

de rios exponencialmente estáveis de classe assimptóticos a em . NãoW / _" \Î#

há outros rios regulares.2) Considere-se a equação

.]

.\œ Ð] \ÑÎ\# #log .

Ver fig. . É claro que é solução de (20.12). De novo por22 KÐ\Ñ œ „ \logverificação simples das outras condições do teorema da existência, obtém-se que háum único rio exponencialmente instável de classe assimptótico a em eW \ _" loguma infinidade de rios assimptoticamente estáveis de classe assimptóticos aW"

\ _log em , e que não há outros rios regulares.

Fig. 22 Soluções de ..] Î.\ œ Ð] \ÑÎ\# #log

Tratamos por fim de uma equação que possui rios regulares e singulares.3)Ponhamos

(E) ..]

.\œ / \]]


Ver fig. 23. As «isoclinas quase-nulas» de são assimptóticasJÐ\ß ] Ñ œ / \]]

em a e . Consideramos o último caso em primeiro lugar. Como é fácil_ \ "Î\logverificar, satisfaz a equação assimptótica funcional. Além disso,KÐ Ñ œ "Î= =J Ð "Î Ñ œ Ð" Ñw# = = =, Ø . Com o telescópio

œ > œ Ð\ Ñ? œ Ð] "Î Ñ

= == =,

K 1 Ð>Ñ œ >Î é transformada em e (E) é transformada em= =#

(e ) .==.?

.>œ / " ? >Ð" ?ÑÎÐ"?ÑÎ #=

É claro que e Ø Ø . Pelo Teorema 20.3 existem rios9 w#1 œ ! Ð0 Ñ Ð ß Ñ œ Ð" Ñ= = £

regulares exponencialmente atractivos de classe assimptóticos a em . EmW "Î\ _"

segundo lugar examinamos se existe um rio assimptótico a em . Observe-selog\ _que , logo não existe nenhum rio assimptótico aJ Ð ß Ñ œ œ !w

= = = = =log regularlog log . Porém, consiste de dois termos, ambos aproximadamente de\ J Ð ß Ñw

# = =ordem , que se anulam «por acidente». Tentamos «dessingularizar» a equação com=ajuda do telescópio com unidade na direcção horizontal igual a . Ponhamos então"Î=

œ > œ Ð\ Ñ? œ Ð] ÑÎ

= == =log log .

Assim, (E) é transformada em

.? / >Ð" ?Ñ

.>œ " ? œ 0 Ð>ß ?Ñ

?

#

log=

=log= =.

Determinemos a parte de Ø onde . Observe-se que£ ‚ 0 Ð>ß ?Ñ ¸ !=

/ " œ / œ Ð" Ñ ? œ

??

loglog

==

log log loglog

log log= = =

× =×=

Ø Ø .Ø

Além disso, investigamos para estes valores de o conjunto externo dos valores da?

outra parte de . Temos? 0 Ð>ß ?Ñ>Ð"?Ñ=# =

º ºŠ ‹log loglog log

=

= = = §

> " ØØ.

log loglog log

== =

Ø

# Á

Segue-se que

0 Ð>ß ?Ñ œ " œ/

=

=

Ø Ø,×=

? log

log

isto é, resolve exactamente a «equação externa»Ð>ß ?Ñ œ ‚ £ log loglog log

== =

Ø

0 Ð>ß ?Ñ œ ]= Ø. Após transformação nas coordenadas iniciais vemos que deve ser daforma Ø.] œ log log log= =


(a) (b)

Fig. 23 (a) A equação (E): X apresenta rios regulares assimptóticos a .] Î. œ / \] "Î\]

em , e um rio singular com comportamento assimptótico _ Ð\Ñ œ \ F F log log log\ 9Ð"Ñ .?Î.> œ / "; (b) Soluções da equação , mostrando, em primeira aproximação, o?

comportamento das soluções de (E) próximas de .F

A fim de obter uma equação diferencial possivelmente com rios regularestentamos a substituição

^ œ ] \ \ "log log log .

( A presença do termo « » serve unicamente para evitar dificuldades técnicasNB. "devidas aos «rios nulos»). Então (E) é transformada em

(E ) .X

w ^"# # #

.^ \ ^ " " "

.\ \ \ \ \œ \ \ / " log

log loglog log log

Š ‹Ora, o teorema 20.3 permite mostrar que (E ) tem um (único) rio exponencialmentew

repulsivo regular de classe assimptótico a (com limite) . De facto, satisfazW "" ^ œ "a equação funcional assimptótica associada, e o telescópio ,> œ Ð\ Ñ= = =log? œ ^ " transforma (E ) numa equação da formaw

(e ) Øw ?=

.?

.>œ / "

com todas as propriedades desejadas. Conclui-se que (E) tem um rio exponen-cialmente repulsivo singular de classe , que tem o comportamento assimptóticoF W"

FÐ\Ñ œ \ 9Ð"Ñ \ Ä _log log logX para .

VI. Contracção exponencial noutras famílias de curvas20.8 Definição Seja uma família (possivelmente externa) de funções reais,Y

F FÐBÑ Y uma função real, e um conjunto (possivelmente externo). A função diz-seexponencialmente atractiva (repulsiva) de classe com respeito a sobre sseW Y8 Yexiste uma aplicação tal que para todo , comP À ‚ Ä − −Y ‘ ‘ G Y 0 ‘


Ð ß Ð ÑÑ − Y0 G 0 após a substituição

> œ Ð\ ÑÎPÐ ß Ñ0 F 0

tem-se

8 „>Š ‹< 9

< 90 0

0 0

Ð>Ñ Ð>Ñ

Ð!Ñ Ð!Ñœ / .

20.9 Observações1. Como é costume, a imagem de uma curva sob a substituiçãoG

> œ Ð\ ÑÎPÐ ß Ñ0 G 0 < F 9 escreve-se e a imagem de escreve-se . Logo,= =

< G 0 F 0 9 F 0 F 0= =œ Ð PÐ ß Ñ>Ñ œ Ð PÐ ß Ñ>Ñ, .

2. O modelo acima admite comportamentos menos regulares que a definição20.820.2, e também tem aplicações para além das equações diferenciais. Analisamosalguns aspectos, que o tornam mais geral. Para fixar ideias, consideramos só o casoatractivo.

(a) A definição só exige que o «rio» seja exponencialmente atractivo,20.8 Fenquanto a definição 20.2 exige atractividade exponencial de todas as curvas numacerta vizinhança de .F

(b) Ao contrário da definição , na definição 20.2 a força de atracção é20.8localmente quase-uniforme para cada par de funções.

(c) A definição aplica-se não somente a foliações.20.8(d) Na definição o «rio» não é necessariamente um elemento de , e o20.8 F Y

conjunto não é necessariamente uma vizinhança de . Além disso, a função nãoY F Ftem que ser «quase-horizontal» na escala .P

20.10 Exemplos1) Sejam (E): uma equação diferencial standard, o seu.] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ D

conjunto de soluções, e standard. Se é um rio regular exponencialmenteF D F−atractivo de classe de (E), então é exponencialmente atractivo no sentido daW8

definição sobre , Ø . Se é um rio20.8 Y œ ÖÐ ß ] Ñ À ¸ _ ] œ Ð" Ñ Ð Ñ×= = F = Fsingular, então é exponencialmente atractivo sobre um conjunto mais aperto. A funçãoP pode ser escolhida independentemente de , sendo uma escolha natural aDsubstituição horizontal , do telescópio .> œ Ð\ ÑlJ Ð Ð Ñl X= = F =w

# ß= F

2) Seja , , e quase-standard e de classe . Considere a& &¸ ! ! 0ÐBß CÑ G W" "

equação lenta-rápida (e ): . Sejam o conjunto de todas as suas& & D.CÎ.B œ 0ÐBß CÑsoluções, e standard e uma solução que é infinitamente próxima de uma parte+ , 9regular da curva lenta de (e ) sobre . Então é exponencialmente atractiva de& Ò+ß ,Ó 9classe com respeito a sobre , . É uma consequên-W ÖÐBß CÑ À + Ÿ B Ÿ , C ¸ ÐBÑ×" D 9cia do que foi mostrado na subsecção III acima; a função pode ser escolhidaPindependentemente de , sendo a escolha mais óbvia .D & 9PÐBÑ œ "Îl † 0 ÐBß ÐBÑlw

#


Consideramos finalmente um caso de contracção exponencial que não respeita àsequações diferenciais, pois na realidade se refere ao conjunto dos polinómios deTaylor de funções analíticas. Tratamos da repulsão exponencial de séries de Taylorem , convergentes, e de atracção exponencial de séries de Taylor em , divergen-! _tes (desenvolvimentos assimptóticos). Mostramos como os resultados sobre o com-portamento dos restos de se integram no modelo descritivo da definição .[26] 20.8

Fig. 23 Os polinómios de Taylor da função . Os números indicam os graus. A funçãosenoseno é exponencialmente repulsiva com respeito ao conjunto dos seus polinómios de Taylorde grau infinitamente grande, no sentido da definição 20.2.

Seja uma função inteira e a sua série de Taylor. PonhamosFÐ\Ñ + \!5œ!_

55

T Ð\Ñ œ + \8 5

5œ!

85" ,

e seja

V Ð\Ñ œ Ð\Ñ T Ð\Ñ8 8F

o resto. Seja . Em , p. 96 foi mostrado que em condições bastante gerais= ¸ _ [26](coeficientes do tipo com comportamento regular dos ) para todo e + Î5x + \ Á ! >5 5

limitado

V \ > œ Ð" ÑV Ð\Ñ/\

= =Š ‹=

Ø . (20.13)>

Portanto, é exponencialmente repulsivo com respeito a sobreF Y =œ ÖT À ¸ _×=

Y œ Ó!ß_Ò P‚ ‘. Caracterizando os polinómios pelos seus graus, a aplicação pode ser definida por , com . Embora não seja aparente daPÐ8ß\Ñ œ \Î8 8 −


comparação das figuras 12 e 23, por exemplo, os rios formados pelas soluções de umaequação diferencial e as famílias de polinómios de Taylor não são da mesma natureza.De facto, quanto mais próximo estamos da função aproximada, mais violenta é arepulsão exponencial, enquanto a repulsão de um rio instável de uma equaçãodiferencial e os seus afluentes é localmente quase-constante. Ilustra-se a semelhançavisual e a disparidade factual com um exemplo concreto.

Seja sen . Segue-se de , TeoremaFÐ\Ñ œ \ œ Ð"Ñ \ ÎÐ#5 "Ñx!5œ!_ 5 #5" [26]

3.11 que, para e ,\ Á ! ¸ _=

V Ð\Ñ œ Ð" Ñ\

Ð #ÑxÐ" Ð Î\Ñ Ñ8

#

#Ø .

=

= =

Utilizando a aproximação de Euler Ø obtém-se facilmenteÐ" >Î Ñ œ Ð" Ñ/= =# >

que ( é válido para todo e limitado, isto é, a sinusóide é exponen-20.13) \ Á ! >cialmente repulsiva com respeito dos seus polinómios de Taylor de ordem ilimitada.A uniformidade na separação exponencial observada na figura 23 explica-se seinterpretarmos «distância observada» por «distância apreciável». De facto, sobre oconjunto definido porY

Y œ ÖÐ\ß ] Ñ À \ ¸ _ ! l] \l _×, sen ,¸ ¸y y

a sinusóide é exponencialmente repulsiva de classe com respeito ao conjunto dosW!

polinómios de grau ilimitado. A função de escala pode ser escolhida independentePde e de ; acontece que podemos tomar . Ver também a figura 24.8 \ PÐ8ß\Ñ œ "Î/

Ilustramos a atracção exponencial das somas parciais de uma série divergente noinfinito através do exemplo da transformada de Laplace

FÐ\Ñ œ .>/

" >( È!

_ >\

.

No infinito positivo, tem o desenvolvimento assimptótico divergente em toda aFparte

FÐ\Ñ µ Ð"ÑÐ"Î#Ñ

\"5œ!

_5

5

5",

com . SejamÐ"Î#Ñ œ Ð"Î#ÑÐ"Î# "ÑâÐ"Î# 5 "Ñ5

U Ð\Ñ œ Ð"Ñ V Ð\Ñ œ Ð\Ñ U Ð\ÑÐ"Î#Ñ

\8 8 8

5œ!

8"5

5

5"" , .F

Temos para todo e (v. , p. 103)\ ¸ _ 8 − [26]

V Ð\Ñ œ Ð" ÑÐ"Ñ †Ð"Î#Ñ "

\ " 8Î\8

88

8"Ø .


Fig. 24 (De A repulsão exponencial entre a função e os seus polinómios de Taylor[26]) senoé de natureza diferente da repulsão exponencial entre um rio instável de uma equaçãodiferencial e as suas soluções vizinhas. Neste último caso a força de repulsão é localmentequase constante, mas quanto mais nos aproximamos da função maior é a repulsão. Asenofigura de cima mostra o comportamento dos restos a uma distância de ordem , e a figura"inferior mostra o comportamento dos restos a uma distância de ordem .!ß !!!!"


Fig. 25 (De [26]) Os restos do desenvolvimento assimptótico divergenteV Ð\Ñ8! ' È5œ!_ 5 5 5" >B

!

_Ð"Ñ Ð"Î#Ñ Î\ Ð\Ñ œ / Î > ".B da transformada de Laplace . A funçãoF

F é exponencialmente atractiva com respeito ao conjunto de somas parciais da série com grauinfinitamente grande. A função escala correspondente é .PÐ8ß\Ñ œ \Î8(Em cima) Se os restos são observados numa escala «normal», a razão é\Î8aproximadamente constante, e, pode mostrar-se, quase igual a ."Î/(Em baixo) Desenhámos aqui os restos numa escala exponencial, uma espécie de«microscópio de Benoit». Mais precisamente, desenhámos se eV Ð\Ñ V Ð\Ñ !8 8

&

V Ð\Ñ V Ð\Ñ ! œ "Î"!8 8& se , com . Nesta escala, vê-se claramente que os fenómenos de&

rios para equações diferenciais e para famílias de polinómios são de natureza diferente,embora tenham em comum a contracção exponencial.


Utilizando a aproximação Ø , segue-se facilmente"ÎÐ" >Î Ñ œ Ð" Ñ/= =" >

que para todo e limitado= ¸ _ >

V \ > œ Ð" ÑV Ð\Ñ/\

= =Š ‹=

Ø .>

Então é exponencialmente atractiva de classe com respeito aF W!

ÖU À ¸ _× Y œ ÖÐ\ß ] Ñ À \ ¸ _ ] − ×= = ‘ sobre o conjunto , ; a função deescala poderia ser . Ver as figuras 25 e 26. O resultado estende-se aP PÐ8ß\Ñ œ \Î8uma grande família de transformadas de Laplace e funções especiais e seusdesenvolvimentos assimptóticos.

Fig. 26 (De [26]) A exponencial integral ( ) aproximadaI ÐBÑ œ / ÎÐ" =Ñ.= \ !" !

_ =\'pelas somas parciais do seu desenvolvimento convergente em toda a parte em torno deT Ð\Ñ8

! I Ð\Ñ œ \ Ð"Ñ \ Î5x5: (com a constante de Euler), e pelas somas" 5œ!_ 5 5log > >!

parciais do seu desenvolvimento assimptótico divergente em : U Ð\Ñ _ I Ð\Ñ µ8 "!5œ!8" 5 5"Ð"Ñ 5xÎ\ 8 (os números indicam os graus; n.b. números pares em cima, ímpares

em baixa: graus de polinómios do desenvolvimento convergente, números ímpares em cima,pares em baixa: graus de polinómios do desenvolvimento divergente). A função éI Ð\Ñ"

exponencialmente repulsiva com respeito às somas parciais de grau infinitamenteT Ð\Ñ8

grande, e exponencialmente atractiva com respeito às somas parciais de grauU Ð\Ñ8

infinitamente grande. Em ambos os casos a função escala pode ser escolhida igual aPÐ8ß\Ñ\Î8 \Î8 "Î/, e em ambos os casos é aproximadamente igual a no domínio sob observação.Isto significa que, até onde puderem ser observados, os separam-se como , e os T / U8 8

/>

separam-se como .//>


§21. Lemas não-standard auxiliares

I. Perturbação regularUm dos pontos fortes da análise não-standard é que permite tratar de uma maneira

eficaz e geral das perturbações, e existe uma literatura abundante sobre asperturbações quer singulares, quer regulares, veja-se [102], 97 105[103], [ ], [ ] e asreferências aí mencionadas [103]. Recordamos o Lema fraco da sombra curta de , p.137: Se é solução de (e): com de classe , então é solução9 9.CÎ.B œ 0ÐBß CÑ 0 W! 9

de º(e): ..CÎ.B œ 0ÐBß CÑ9

A demonstração da diferenciabilidade de segue-se facilmente da quase-99igualdade em pontos standard ,B

9 99 0 9 9 0 9

0 0

Ð Ñ ÐBÑ Ð Ñ ÐBÑ

B B¸ ,

que implicará também a quase-igualdade , e uma aplicação do9 w w9 9ÐBÑ ¸ ÐBÑPrincípio de Carnot à quase-igualdade em pontos standard

. .

.B .BÐBÑ ¸ ÐBÑ œ 0ÐBß Ñ ¸ 0ÐBß ÐBÑÑ

99 99 9

9 9ÐBÑ ,

mostra a igualdade , por transferência, válida em todos os..B

99 ÐBÑ œ 0ÐBß Ñ9 9ÐBÑ

pontos. Aqui apresentamos alguns resultados bastante simples, em particular emrelação com a equação quase-elementar ..CÎ.B ¸ "

21.1 LemaSeja uma equação diferencial de classe e uma solução,.CÎ.B œ 0ÐBß CÑ G! 9

definida pelo menos para todo limitado. Seja limitado e uma solução tal queB + << 9( . Suponha-se que é -lipschitziana em sobre limitado,+Ñ ¸ Ð+Ñ 0 5 C ÖÐBß CÑ À BC ¸ ÐBÑ× 5 ÐBÑ ¸ ÐBÑ B9 < 9, com limitado. Então para todo limitado.

Dem. Podemos supor que , e, sem perda de generalidade, demonstrar o+ œ !lema para . Ponhamos . Seja limitado, e tal que B ! ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑ B Ð Ñ ¸ !$ < 9 $ 0sobre . EntãoÒ!ß BÓ

l Ð Ñl œ l Ð Ñ Ð Ñl œ l0Ð ß Ð ÑÑ 0Ð ß Ð ÑÑl Ÿ 5l Ð Ñl$ 0 < 0 9 0 0 < 0 0 9 0 $ 0w w w ,

logo . Suponha-se que existe limitado tal quel ÐBÑl Ÿ / l Ð!Ñl œ Ð!Ñ - !$ $ $5B £l Ð-Ñl ¸ ! Ð!Ñ §Îy$ $. Ora, Ø pelo princípio de Fehrele, logo por continuidade existiria£, ! , - Ð Ñ ¸ ! Ò!ß ,Ó Ð,Ñ œ Ð!Ñ com tal que sobre , mas não , o que é$ 0 $ $£absurdo. Então para todo limitado.$ÐBÑ ¸ ! B è


21.2 LemaSeja uma equação diferencial de classe , e uma.CÎ.B œ 0ÐBß CÑ G + −! ‘ 9

solução, pelo menos definida em . Assuma que @ para , e+ 0ÐBß CÑ œ B ¸ + B +C ¸ Ð+Ñ ÐBÑ ¸ Ð+Ñ B ¸ + B + , +9 9 9. Então para , , e existe tal que

y̧

9 9ÐBÑ Ð+Ñ By̧

para todo com .+ B Ÿ ,y̧

Dem. Seja tal que é definida pelo menos sobre . Então para algumB + Ò+ß BÓ90 − Ó+ß BÒ

9 9 9 0 0 9 0ÐBÑ Ð+Ñ œ ÐB +Ñ Ð Ñ œ ÐB +Ñ0Ð ß Ð ÑÑ œ ÐB +Ñw @ .

Se , , o que mostra que é, pelo menos, definida para : seB ¸ + ÐBÑ ¸ Ð+Ñ B ¸ +9 9 9houvesse tal que não fosse definida em , existiria com tal queC ¸ + C D + D C99 9 9 9ÐDÑ ¸ Ð+Ñ ÐBÑ Ð+Ñ œ ÐB +Ñy , o que é absurdo. Pelo princípio de Fehrele @ éainda válida sobre um intervalo com . Então tem-se paraÒ+ß ,Ó , + ÐBÑ Ð+Ñ

y̧9 9

y̧

todo com .B + B Ÿ ,y̧

è

21.3 LemaSejam , g duas funções reais de classe , com standard.0 G 0"

(1) Suponha-se que é não nula. Então0

"9 w w

1 œ 0Ð1 Î1Ñ œ 0 Î01Ð!Ñ ¸ 0Ð!Ñ

× œ .

(2) Suponha-se que . Então0 Ð!Ñ Á !w

"9 w w w w

91 œ 0Ð1 ÐBÑÎ1 Ð!ÑÑ œ 0 Î0 Ð!Ñ1 œ 0

× œ .

Dem. (1) Só demonstramos ( ). Para limitadoÉ B

0ÐBÑ 0 Ð Ñ 1 Ð Ñ 1ÐBÑ

0Ð!Ñ 0 Ð Ñ 1Ð Ñ 1Ð!Ñœ . ¸ . œexp expŠ ‹ Š ‹( (

! !

B Bw w0 0

0 00 0 .

Ora, , logo e . Então , e concluimos1Ð!Ñ ¸ 0Ð!Ñ ¸ ! 0ÐBÑ ¸ 1ÐBÑ 1 œ 0 Ð1 Ñ œ 0y 9 9 w w

que ."1 œ 0

(2) Só demonstramos ( ). Como , por -continuidade tem-seÉ 0 Ð!Ñ ¸ ! Wyw

0 ÐBÑ ¸ ! B ¸ ! Þ Byw para todo . Segue-se do lema 21 2 que existe limitado tal que0ÐBÑ ¸ 0Ð!Ñy . Tem-se

0ÐBÑ 0Ð!Ñ 0 Ð Ñ 1 Ð Ñ 1ÐBÑ 1Ð!Ñ

0 Ð!Ñ 0 Ð!Ñ 1 Ð!Ñ 1 Ð!Ñœ . ¸ . œ

w w w w! !

B Bw w( (0 00 0 ,

logo , e para todo limitado. Então .0 Ð!Ñ ¸ 1 Ð!Ñ 1 ÐBÑ ¸ 0 ÐBÑ B 1 œ 0w w w w " è


21.4 LemaSejam uma equação diferencial de classe e (e): .CÎ.B œ 0ÐBß CÑ G"

ÐBß CÑ − !‘ & < ;#. Suponha-se que existe tal que para todas as soluções , coml ÐBÑ Cl l ÐBÑ Cl < < &, se tem

< ;

< ;

w wÐBÑ ÐBÑ

BÑ ÐBÑ¸ "

(.

Então 0 ÐBß Cw# Ñ ¸ ".

Dem. Por continuidade existe , com tal que@ l@ Cl &

0 ÐBß CÑ ¸0ÐBß @Ñ 0ÐBß CÑ

@ Cw# .

Sejam a solução definida por e a solução definida por . Logo< < ; ;ÐBÑ œ @ ÐBÑ œ C

0 ÐBß CÑ ¸ œ ¸ "0ÐBß ÐBÑÑ 0ÐBß ÐBÑÑ ÐBÑ ÐBÑ

ÐBÑ ÐBÑ ÐBÑ ÐBÑw#

w w< ; < ;

< ; < ;.è

O lema seguinte é o lema central deste capítulo. Para equações da forma.CÎ.B œ 0ÐBß CÑ 0, estabelece uma relação entra as propriedades da derivada parcial w

#

ao longo de certa solução, e a variação das soluções vizinhas.

21.5 Lema ( )Lema principalSeja uma equação diferencial de classe e uma (e): .CÎ.B œ 0ÐBß CÑ G" 9

solução definida para todo limitado. Então as seguintes afirmações sãoBequivalentes:

(1) .0 ÐBß CÑ ¸ " C ¸ ÐBÑw# para todo tal que é limitado eÐBß CÑ B 9

(2) Para todas as soluções , com ,< ; < ; 9Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ

" BŠ ‹< ;

< ;

ÐBÑ ÐBÑ

Ð!Ñ Ð!Ñœ / . (21.1)

Dem. ( ) Segue-se do lema 21.1 que para todo Ê ÐBÑ ¸ ÐBÑ ¸ ÐBÑ B< ; 9limitado. Logo, utilizando o teorema de valor intermédio,

< ; < ;

< ; < ;

w ww#

ÐBÑ ÐBÑ 0ÐBß ÐBÑÑ 0ÐBß ÐBÑÑ

ÐBÑ ÐBÑ ÐBÑ ÐBÑœ ¸ 0 ÐBß CÑ,

com . Então . PonhamosC ¸ ÐBÑ Ð ÐBÑ ÐBÑÑÎÐ ÐBÑ ÐBÑÑ ¸ "9 < ; < ;w w

1ÐBÑ œ 0ÐBÑ œ /ÐBÑ ÐBÑ

Ð!Ñ Ð!Ñ

< ;

< ;

w wB e .

Então e , e ( segue do lema 21.3(1).9 w wÐ1 Î1Ñ œ 0 Î0 1Ð!Ñ œ 0Ð!Ñ 21.1)


( ) Suponha-se limitado, e seja uma solução arbitrária tal que .É Ð Ñ ¸ Ð Ñ0 9 < 0 9 0Mostramos primeiro que para todo limitado. Ponhamos< 9ÐBÑ ¸ ÐBÑ B! < 0 9 0 ! " " ! ;œ Ð Ñ Ð Ñ ! ¸ ! Î ¸ _. Pode-se supor que . Sejam tal que e asolução com condição inicial . Logo Ø ,; 9 " ; 9 "Ð!Ñ œ Ð!Ñ ÐBÑ ÐBÑ œ Ð/ ÑB

donde . Utilizando a unicidade de solução observamos que para; 9 !ÐBÑ ÐBÑ todo limitado,B

< 9 ; 9 "ÐBÑ ÐBÑ ÐBÑ ÐBÑ œ Ð/ Ñ ¸ !B Ø .

Em particular, . Ora, sejam limitado e . Então, para todas as< 9 9Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ B C ¸ ÐBÑsoluções , com , tem-se , logo< ; < ; < ; 9ÐBÑ ¸ ÐBÑ ¸ C Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ" BÐÐ ÐBÑ ÐBÑÑÎÐ Ð!Ñ Ð!ÑÑÑ œ /< ; < ; . Pelo lema 21.3(1) vem

< ;

< ;

w wÐBÑ ÐBÑ

ÐBÑ ÐBÑ¸ ",

donde , pelo Lema 21.4.0 ÐBß CÑ ¸ "w# è

II. TelescopiaConsideremos um telescópio , centrado em , .X À Ð\ß ] Ñ Ä Ð>ß ?Ñ Ð KÐ ÑÑ=ßKßP = =

Nem sempre é difícil determinar o que acontece nos pontos com . ParaÐ>ß ?Ñ > œ !> Á !, às vezes é melhor «deslocar» o telescópio, de modo que o novo foco sejaÐ PÐ Ñ>ß KÐ PÐ Ñ>Ñ Ð> ß ? Ñ= = = = , isto é, nas novas coordenadas voltaremos àw w

situação com o tempo nulo. Os seguintes lemas mostram como as duas observações>w

estão relacionadas através das especificações dos factores de ajustamento e . OK Pprimeiro lema é puramente algébrico.

21.6 Lema ( )Lema algébricoSejam , duas funções reais não nulas e e funçõesKÐ\Ñ PÐ\Ñ Ð\Ñ JÐ\ß ] ÑF

reais diferenciáveis. Considere as substituições

œ > œ Ð\ ÑÎPÐ Ñ? œ Ð] KÐ ÑÑÎKÐ Ñ

= == = .

Então para quaisquer e ,> ?

(1) ;9= =PÐ Ñ>Ð!Ñ œ9= =

=

Ð>Ñ1 Ð>Ñ"1 Ð>Ñ

(2) ;`0`? `]

`J= Ð>ß 1 Ð>ÑÑ œ PÐ Ñ Ð PÐ Ñ>ß KÐ PÐ Ñ>ÑÑ= = = = = =

(3) ;Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ Ð0 Ñ !ß †= = =w w# #PÐ Ñ> Š ‹?1 Ð>Ñ PÐ Ñ

"1 Ð>Ñ PÐ PÐ Ñ>Ñ=

=

== =

(4) .0 Ð>ß 1 Ð>ÑÑ œ 0 Ð!ß !Ñ † Ð" 1 Ð>ÑÑ †= = == =PÐ Ñ>PÐ Ñ

PÐ PÐ Ñ>Ñ=

= =

Os lemas seguintes relacionam observações «quase-exactas» de uma função pordois telescópios vizinhos. Os lemas resultam facilmente do lema algébrico.


21.7 LemaSejam , duas funções reais standard finalmente não nulas, comKÐ\Ñ PÐ\Ñ 68

PÐ\Ñ œ 9Ð\Ñ \ Ä _ ¸ _ > para . Sejam uma função real, e limitado, eF =seja sob o telescópio . Então9

ßKßP1 œ ! X= =

9 9= = =PÐ Ñ>Ð!Ñ ¸ Ð>Ñ.

21.8 LemaSejam , e funções reais standard, com finalmente nãoKÐ\Ñ PÐ\Ñ JÐ\ß ] Ñ K

nula, de classe ,J G"

lim\Ä_

w#"ÎÐ\ † J Ð\ßKÐ\ÑÑ œ !

e para .PÐ\Ñ µ "ÎlJ Ð\ßKÐ\ÑÑl \ Ä _w#

Seja uma função real standard e . Supondo que sob o telescópio seF = ¸ _ X=ßKßP9

tenha e = @ para todo limitado e . Então, para1 œ ! Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ „ > ? ¸ != =w#

quaisquer , limitados,> ?

(1) @;PÐ ÑPÐ PÐ Ñ>Ñ

== = œ

(2) @ Ø ;Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ Ð0 Ñ Ð!ß ? Ñ= = =w w# #PÐ Ñ>

(3) @ .0 Ð>ß 1 Ð>ÑÑ œ 0 Ð!ß !Ñ= = = =PÐ Ñ>

A fim de poder concluir que uma equação dada tem um rio, uma das condições averificar é se sob um telescópio se tem a quase-igualdade para Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ „ " >=

w#

limitado e . O lema seguinte diz que a verificação se pode fazer em dois passos:? ¸ !um, por afastamento vertical a partir da origem, isto é, para com , e outroÐ!ß ?Ñ ? ¸ !percorrendo a curva . De novo o resultado segue facilmente do lema algébrico 21.6.1=

21.9 LemaSejam , e funções reais standard, com finalmente nãoKÐ\Ñ PÐ\Ñ JÐ\ß ] Ñ K

nula, de classe ,J W"

lim\Ä_

w#"ÎÐ\ † J Ð\ßKÐ\ÑÑ œ !

e para .PÐ\Ñ µ "ÎlJ Ð\ßKÐ\ÑÑl \ Ä _w#

Seja e suponha-se que , para todo e= ¸ _ 1 œ ! Ð0 Ñ Ð!ß ?Ñ ¸ „ " ? ¸ !9 w#= =

9 w# ßKßPÐ0 Ñ Ð>ß 1 Ð>ÑÑ œ „ " X >= = = sob o telescópio . Então, para todo limitado e , ? ¸ !

Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ „ "=w# .

68 Utilizamos a expressão «finalmente não nula» para significar «não nula para todos osargumentos maiores do que certo número (limitado positivo) suficientemente grande»,basicamente para impedir o anulamento de denominadores.


Tal como os lemas 21.7 e 21.8, o último lema relaciona observações «quase-exactas» após um pequeno movimento do telescópio, agora de uma curva e de umafunção de duas variáveis perto da curva.

21.10 LemaSejam , , , , , funções standard não nulas. Seja eK P W KÐ\Ñ µ Ð\Ñ> A D >

PÐ\Ñ Ð\Ñ œ 9Ð\Ñ \ Ä _ ¸ _ 1 K, para . Sejam , a imagem de sob oA =telescópio e a imagem de sob o telescópio . Seja umaX X LÐ\ß ] Ñ= = >ßKßP ß ßP# >função standard. Ponhamos

2Ð>ß ?Ñ œLÐ PÐ Ñ>ß KÐ ÑÐ" ?ÑÑ

WÐ Ñ

Ð>ß ?Ñ œLÐ Ð Ñ>ß Ð ÑÐ" ?ÑÑ

Ð Ñ

= = =

=

(= A = > =

D =

,

.

Suponhamos que e S para , e além disso quePÐ\Ñ µ Ð\Ñ Ð\Ñ µ Ð\Ñ \ Ä _A D1 W 2Ð>ß ?Ñ W ? ¸ 1Ð>Ñ œ 1 é de classe , e que é de classe para . Então e! ! 9 9#( #Ð>ß ?Ñ ¸ 2Ð>ß ?Ñ > ? ¸ Ð>Ñ para todo limitado e .

Dem. Primeiramente, temos, para limitado,>

#> = A =

> =

= A =

=

= =

=

Ð>Ñ œ "Ð Ð Ñ>Ñ

Ð Ñ

œ Ð" Ñ "KÐ Ð Ñ>Ñ

KÐ Ñ

œ Ð" Ñ "KÐ PÐ Ñ † Ð" Ñ>Ñ

KÐ Ñ

œ Ð" Ñ1Ð> Ñ

œ 1Ð>Ñ

Ø

ØØ

Ø Ø ØØ.

Em segundo lugar, temos para limitado e ,> ? ¸ Ð>Ñ ¸ 1Ð>Ñ#

(= A = > =

D =

= = =

=

Ð>ß ?Ñ œLÐ Ð Ñ>ß Ð ÑÐ" ?ÑÑ

Ð Ñ

œ Ð" ÑLÐ PÐ ÑÐ" Ñ>ß KÐ ÑÐ" ? ÑÑ

WÐ Ñ

œ Ð" Ñ2Ð> ß " ? Ñ

œ 2Ð>ß ?Ñ

ØØ Ø

Ø Ø ØØ.è


§22. Demonstrações dos teoremas principais

I. Demonstrações dos teoremas 20.3 e 20.4A demonstração do teorema não-standard de existência é dividida em duas20.3

partes principais, que enunciamos separadamente em duas proposições. A primeiraproposição diz que, sob as condições do teorema 20.3, cada telescópio que percorre afunção transforma a equação diferencial original (E) numa equação aproxima-Kdamente linear Ø Ø. A segunda proposição diz que, no caso.?Î.> œ „ Ð" Ñ? em que isto se verifica sempre, a função é acompanhada por uma solução de (E).K

22.1 ProposiçãoSejam uma equação diferencial standard de classe (E): .] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ G"

e , funções reais standard, com finalmente não nula,KÐ\Ñ PÐ\Ñ K .lim

\Ä_

w w# #"ÎÐ\ † J Ð\ßKÐ\ÑÑ œ ! PÐ\Ñ µ "ÎlJ Ð\ßKÐ\ÑÑl \ Ä _e para

Suponhamos, além disso, que para todo se tem, sob o telescópio ,= ¸ _ X=ßKßP9 w

#y̧

1 œ ! Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ „ > ? ¸ ! 7 != =, e @ para todo limitado e . Então existe tal

que, sob cada telescópio ,X=ßKßP

0 Ð>ß ?Ñ œ „ ? = @ Ø,

para todo limitado e > l?l 7y̧

.

Dem. Somente mostramos o caso onde @ para todo .Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ ¸ _=w# =

Então, em particular, @ para todo e . Segue-se doÐ0 Ñ Ð!ß ?Ñ œ ¸ _ ? ¸ !=w# =

princípio de Fehrele (aplicada em duas dimensões, mas depois utilizada só nadimensão vertical), que existe tal que @ para todo e7 ! Ð0 Ñ Ð!ß ?Ñ œ ¸ _

y̧

w#= =

l?l Ÿ 7 ¸ _ > l?l 7. Ora, seja fixado, limitado e . Então o Lema 21.8 implica=y̧

que @. Também pelo mesmo Lema. EntãoÐ0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ 0 Ð>ß 1 Ð>ÑÑ ¸ != = =w#

0 Ð>ß ?Ñ œ 0 Ð>ß 1 Ð>ÑÑ Ð0 Ñ Ð>ß @Ñ.@ œ Ð? 1 Ð>ÑÑ œ ? = = = = =(1 Ð>Ñ

?w#

=

Ø @ @ Ø.è


e , funções reais standard, com finalmente não nula, e KÐ\Ñ PÐ\Ñ K PÐ\Ñ œ 9Ð\Ñpara . Seja . Suponhamos que para todo se tem, sob o\ Ä _ 7 ! ¸ _

y̧=

telescópio , , e @ para todo limitado e .X 1 œ ! 0 Ð>ß ?Ñ œ „ ? > l?l 7= = =ßKßP9

y̧Ø

Então tem uma solução standard com para . (E) F FÐ\Ñ µ KÐ\Ñ \ Ä _


A proposição 22.2 demonstra-se por meio de alguns lemas. De facto, elesestendem progressivamente o domínio de uma solução perto de .K

22.3 Lema ( )«Nascente»Sejam uma equação diferencial standard de classe (E): .] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ G"

e , funções reais standard, com finalmente não nula, e KÐ\Ñ PÐ\Ñ K PÐ\Ñ œ 9Ð\Ñpara . Seja e considere os telescópios . Suponha-se que\ Ä _ 7 ! X

y̧ßKßP=

91 œ ! ¸ _= para todo .=

(1) Se @ para todo e limitado e , então0 Ð>ß ?Ñ œ ? ¸ _ > l?l 7= Ø =y̧

para todo e toda a solução tal que , tem-se0 F F 0 0¸ _ Ð Ñ œ Ð" ÑKÐ ÑØF 0Ð\Ñ œ Ð" ÑKÐ\Ñ \ ¸ _ \ ŸØ para todo , .

(2) Se @ para todo e limitado e , então0 Ð>ß ?Ñ œ ? ¸ _ > l?l 7= Ø =y̧

para todo e toda a solução tal que , tem-se0 F F 0 0¸ _ Ð Ñ œ Ð" ÑKÐ ÑØF 0Ð\Ñ œ Ð" ÑKÐ\Ñ \ Ø para todo .

Dem. Somente demonstramos a primeira parte. Seja , e uma solução0 F¸ _tal que Ø . Logo . Suponha-se que existe ,F 0 0 9 =Ð Ñ œ Ð" ÑKÐ Ñ Ð!Ñ ¸ ! ¸ _0

= 0 9 9 Ð!Ñ ¸ ! Ð!Ñ !y tal que . Podemos supor que . Pela continuidade pode-se= =y̧

assumir que , e que é máximo sobre . Há dois casos a9 9 = 0= =Ð!Ñ 7 Ð!Ñ Ò ß Óy̧

considerar. Se com , então pelos lemas 21.7 e 21.2 tem-se0 = =œ PÐ Ñ> > ¸ !

9 9 9 90 = == =Ð!Ñ œ Ð!Ñ ¸ Ð>Ñ ¸ Ð!Ñ !PÐ Ñ>y̧

,

o que é absurdo. Se com , então novamente pelo lema 21.20 = =œ PÐ Ñ> > !y̧

existe (limitado) tal que tal que . Então, pelo lema 21.7,7 7 9 7 9! Ÿ > Ð Ñ Ð!Ñ¸ ¸y y

= =

9 9 7 9= = 7 = =PÐ Ñy̧

Ð!Ñ ¸ Ð Ñ Ð!Ñ.

Isto contradiz a maximalidade de . Conclui-se que para todo9 9= =Ð!Ñ Ð!Ñ ¸ != = 0 F = = =¸ _ Ÿ Ð Ñ œ Ð" ÑKÐ Ñ, . Então Ø para estes .è

22.4 Lema ( )«Riacho»Sejam uma equação diferencial standard de classe (E): .] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ G"

e uma função real standard finalmente não nula. Suponha-se que para todoK= F F =¸ _ Ð\Ñ œ Ð" ÑKÐ\Ñ \ existe uma solução tal que para todo .ØEntão para todo existe uma solução tal que para0 F F¸ _ Ð\Ñ œ Ð" ÑKÐ\ÑØtodo , .\ ¸ _ \ Ÿ 0

Dem. Seja standard. Logo para cada existe uma solução tal8 − ¸ _ = Fque para todo . Pelo Princípio de CauchyÐ Ð\Ñ KÐ\ÑÑÎKÐ\Ñ "Î8 \ F =


existe standard tal que para todo . PeloE Ð Ð\Ñ KÐ\ÑÑÎKÐ\Ñ "Î8 \ EFaxioma de standardização existe uma sucessão standard tal que para cada ØE Ù 88 8−

standard, se tem uma solução tal que para todoF FÐ Ð\Ñ KÐ\ÑÑÎKÐ\Ñ "Î8\ E8.

Pelo axioma de idealização existe uma solução tal que para cada standard seF 8tem para todo . Então Ð Ð\Ñ KÐ\ÑÑÎKÐ\Ñ "Î8 \ E Ð\Ñ œF F8

Ð" ÑKÐ\Ñ \ ¸ _ \ ¸ _Ø para todo , e em particular para todo tal que\ Ÿ 0.è

22.5 Lema («Ribeiro»)Sejam (E): uma equação diferencial standard e uma.] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ K

função real standard finalmente não nula. Suponha-se que existe e uma0 ¸ _solução tal que para todo , . Então existeG G = = = = 0Ð Ñ œ Ð" ÑKÐ Ñ ¸ _ ŸØuma solução standard tal que para .F FÐ\Ñ µ KÐ\Ñ \ Ä _

Dem. É claro que @ para todo , . Pelo Princípio deG = = = = 0Ð Ñ œ KÐ Ñ ¸ _ ŸFehrele existe standard tal que @ para todo . Pode-seE Ð\Ñ œ KÐ\Ñ \ EGassumir que para . Pelo Lema da sombra curta tem uma sombraKÐ\Ñ Á ! \ E GF F G, que é solução de (E) e que é não nula para . Logo Ø\ E Ð\Ñ œ Ð" Ñ Ð\Ñpara todo limitado, e, pelo Princípio de Fehrele, até um certo , que\ E ¸ _3pode ser escolhido menor do que . Ora, Ø para todo ,0 FÐ\Ñ œ Ð" ÑKÐ\Ñ \ ¸ _\ K Ð\Ñ œ Ð" ÑKÐ\Ñ \ ¸ _Ÿ 3 F F. Como e são standard, temos Ø para todo (v. II Lema de Robinson, pág. 66, ou Ex. 8.7.3, pág. 73). Então paraFÐ\Ñ µ KÐ\Ñ\ Ä _.è

Dem. de 22.2. A Proposição 22.2 é uma consequência directa dos lemas 22.3(«nascente»), 22.4 («riacho») e 22.5 («ribeiro»).è

O método de ida dos ilimitados para os limitados por uma solução interna e devolta dos limitados para os ilimitados pela solução standard que é a sua sombra tinhasido chamado por J.-L. Callot o método do ferro de engomar. Ele sugeriu também desubstitui-lo por um directo; isso constitui ainda um problema em aberto.pressing

Estamos agora em condições de demonstrar os teoremas de existência ecaracterização.

Dem. do teorema 20.3. Pelas proposições 22.1 e 22.2, existe uma soluçãostandard tal que para . Mostramos que é um rioF FÐ\Ñ µ KÐ\Ñ \ Ä _exponencialmente (in)estável sob a condição adicional (4 ).w

Seja . A fim de distinguir da notação e (e ): , válida= 9¸ _ .?Î.> œ 0 Ð>ß ?Ñ= = =

sob o telescópio , designa-se por a imagem de , e por (e): aX .?Î.> œ 0Ð>ß ?Ñ=ßKßP 9 Fimagem de (E) sob o telescópio . Porque para , o lemaX Ð\Ñ µ KÐ\Ñ \ Ä _= 9ß F21.7 implica que . Além disso, para todo limitado e pela99= =œ ! 0 Ð>ß ?Ñ ¸ ! > ? ¸ !Proposição 22.1, e para todo limitado e pela condição (4 ).Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ „ " > ? ¸ !=

w w#

A última condição implica também que


J Ð ß Ð ÑÑ œ Ð" ÑJ Ð ßKÐ ÑÑw w# #= F = = =Ø ,

logo Ø . Segue-se logo do lema 21.10 que , que"ÎlJ Ð ß Ð ÑÑl œ Ð" ÑPÐ Ñ œ !w 9# = F = = 9

0Ð>ß ?Ñ ¸ ! > ? ¸ ! Ð0Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ „ " > para todo limitado e e que para todo limitadow#

e . Então é claro que , e segue-se do Lema principal 21.5 que para todas? ¸ ! œ !"9as soluções e tais que as suas imagens e satisfazem temosG B < ; < ;Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ ¸ !"ÐÐ Ð>Ñ Ð>ÑÑÎÐ Ð!Ñ Ð!ÑÑÑ œ Ð „ >Ñ< ; < ; Fexp . Então é um rio exponencialmente(in)estável de classe em .W _" è

Dem. do teorema 20.4. Seja , e (e): a imagem de (E)= ¸ _ .?Î.> œ 0Ð>ß ?Ñsob o telescópio . Denota-se a imagem de uma função arbitrária . Tem-seX= 9ß < G" "9 < ; < ; G Bœ ! ÐÐ Ð>Ñ Ð>ÑÑÎÐ Ð!Ñ Ð!ÑÑÑ œ Ð „ >Ñ, e para todas as soluções e exptais que , pela definição 20.2. Logo para todo < ;Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ ¸ ! Ð0Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ „ " >w

#

limitado e , pelo Lema Principal. Porque , tem-se , e? ¸ ! œ ! 0Ð>ß Ð>ÑÑ œ !" 99 991 œ ! 0 Ð>ß ?Ñ ¸ ! > ? ¸ ! pelo lema 21.7. Logo para todo limitado e pela=

proposição 22.1. Sejam então , funções standard tais que eK P KÐ\Ñ µ Ð\ÑFPÐ\Ñ µ "ÎlJ Ð\ßKÐ\ÑÑl X 1 . Então é um telescópio. Designemos por , ew

# ßKßP= = =9(e ): as imagens de , e de (E) sob esse telescópio,= =.?Î.> œ 0 Ð>ß ?Ñ 1 9respectivamente. Pelo Lema 21.10 temos , para todo limitado e91 œ ! 0 Ð>ß ?Ñ ¸ ! >= =

? ¸ ! Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ „ " > ? ¸ ! e para todo limitado e . Daqui resulta o Teorema=w#

20.4.è

II. Crescimento global de rios e as soluções vizinhasNesta subsecção estabelecemos que um rio cresce mais lentamente que a variação

entre duas soluções vizinhas. Como corolário, obtém-se que rios instáveis sãoisolados.

22.6 TeoremaSeja uma equação diferencial standard de classe . (E): .] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ G"

Sejam um rio standard exponencialmente regular, e , . Então:F 0 = ¸ _

(1) Ø .F = F 0 FÐ Ñ œ Ð Ñ † J Ð\ß Ð\ÑÑ.\expˆ ‰'0= w

#

(2) Para todas as soluções , tais que G B G BÐ\Ñ œ Ð" Ñ Ð\Ñ œØÐ" Ñ Ð\Ñ \ − Ò ß ÓØ F 0 = para tem-se

G = B = G 0 B 0 FÐ Ñ Ð Ñ œ Ð Ð Ñ Ð ÑÑ Ð" Ñ † J Ð\ß Ð\ÑÑ.\expˆ ‰(Ø .0

=w#

(3) Se é instável, então não existe nenhuma outra solução tal queF GG FÐ\Ñ Ð\Ñ \µ Ä _ para .

Dem. Escrevemos as derivadas com respeito a com «plicas», e derivadas com\respeito a com «pontos».>


(1) Seja tal que . Sob o telescópio , tem-se . Logo,.

\ Ÿ \ Ÿ X Ð!Ñ ¸ !0 = 9\ß \F

nas coordenadas iniciais, . EntãoF F Fw w#Ð\ÑÎÐ Ð\Ñ † J Ð\ß Ð\ÑÑÑ ¸ !

F = F

F 0 FF

F

Ð Ñ Ð\Ñ

Ð Ñ Ð\Ñœ .\ œ † J Ð\ß Ð\ÑÑ.\

œ † J Ð\ß Ð\ÑÑ.\

Ø

Ø .

exp exp

exp

Š ‹ Š ‹( (Š ‹(

0 0

= =

0

=

ww#

w#

(2) Seja tal que . Sob o telescópio tem-se\ Ÿ \ Ÿ X0 = \ßF

< ; < ;

< ; < ; < ;

F

. .

Ø sg .

\ \

\ \ \ \ \ \

\ \ \ \ Ð!ÑÐ!Ñ

\w#

w#

Ð!Ñ Ð!Ñ 0 Ð!ß Ð!ÑÑ 0 Ð!ß Ð!ÑÑ

Ð!Ñ Ð!Ñ Ð!Ñ Ð!Ñ Ð!Ñ Ð!Ñœ œ

Ð0 Ñ Ð!ß ?Ñ.?

œ Ð" Ñ J Ð\ß Ð\ÑÑ

';<

\

\

Logo,

G B < ;

G B < ;F F

w w\ \

\ \

w w# #

Ð\Ñ Ð\Ñ Ð!Ñ Ð!Ñ

Ð\Ñ Ð\Ñ Ð!Ñ Ð!Ñœ † lJ Ð\ß Ð\ÑÑl œ Ð" ÑJ Ð\ß Ð\ÑÑ

. .Ø .

Então

G = B 0 G B

G = B 0 G B

F

F

Ð Ñ Ð Ñ Ð\Ñ Ð\Ñ

Ð Ñ Ð Ñ Ð\Ñ Ð\Ñœ .\

œ Ð" ÑJ Ð\ß Ð\ÑÑ.\

œ Ð" Ñ J Ð\ß Ð\ÑÑ.\

Ø

exp Ø .

exp

exp

Š ‹(Š ‹(Š ‹(

0

=

0

=

0

=

w w

w#

w#

(3) Suponhamos que existe uma solução tal que paraG F G FÁ Ð\Ñ µ Ð\Ñ\ Ä _, com vista a um absurdo. Por transferência, podemos supor que éGstandard. Logo Ø para todo . Porém, seja ,G F 0Ð\Ñ œ Ð" Ñ Ð\Ñ \ Ä _ ¸ _0 = . Segue-se das partes (1) e (2) que

G = F = G 0 F 0

F = F 0F

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

Ð Ñ Ð Ñœ † J Ð\ß Ð\ÑÑ.\expŠ ‹(@ .

0

=w#

Pelo princípio de Fehrele existe um número standard tal queE

G = F = G F

F = FF

Ð Ñ Ð Ñ ÐEÑ ÐEÑ

Ð Ñ ÐEÑœ † J Ð\ß Ð\ÑÑ.\expŠ ‹(@ .

0

=w#

Sendo e @ , por certo queG FF

ÐEÑ ÐEÑÐEÑ ¸ ! J Ð\ß Ð\ÑÑ.\ ¸ _y expˆ ‰'

0= w

# F

G = F =F =

Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ ¸ !y . Então e não seriam assimptóticas, uma contradição.G F è


Para outros resultados sobre a variação exponencial de soluções vizinhas deequações diferenciais em particular singularmente perturbadas, ver os trabalhos de E.Benoit e J.-L. Callot, nomeadamente [22], [20] e [21].

§23. Resultados standard

Apresentamos nesta secção versões clássicas dos teoremas de existência e decaracterização. Elas utilizam noções que fazem parte da teoria das variações regulares,cf. [38], [131]. Por quanto é do nosso conhecimento, os resultados na linguagemclássica referidos nesta secção não têm actualmente nenhuma demonstração clássica.

I. Algumas noções clássicas em relação com o comportamentoregular no infinito

23.1 Definição Sejam , funções reais contínuas, tais que é finalmente nãoK P Knula e para .PÐ\Ñ œ 9Ð\Ñ \ Ä _

(1) A função chama-se de na escala sse para todo ,K P >variação lenta

lim\Ä_

KÐ\ PÐ\Ñ>Ñ

KÐ\Ñœ " (23.1)

(2) diz-se de ( se é deK Kvariação lenta variação lenta de tipo Beurling)variação lenta na escala .K

(3) diz-se se é de variação lenta de tipo Beurling, e aK Kautonegligenteconvergência de (23.1) é uniforme em cada intervalo compacto.

Mostra-se que (2) e (3) são equivalentes, com demonstrações muito semelhantesao caso de variação regular (v. [38]). Funções autonegligentes típicas são e oslog\monómios com . Funções que são de variação lenta numa escala com\ < " P<

PÐ\Ñ œ 9Ð\Ñ \ Ä _ para ainda podem crescer muito rapidamente. Por exemplo,/ PÐ\Ñ PÐ\Ñ œ 9Ð"Ñ \ Ä _X é de variação lenta em cada escala com para . Aseguir mostraremos que os rios são de variação lenta na escala , emF F"ÎlJ Ð\ß Ð\Ñlw

#

oposição à variação dos seus confluentes, se são de , ou variação exponencial declasse [131]: essencialmente uma função é de classe , se existe uma função tal> > Pque

lim\Ä_

>KÐ\ PÐ\Ñ>Ñ

KÐ\Ñœ / ,

para todo . Vamos adaptar essa condição a uma família de funções.>

23.2 Definição Seja uma família de funções contínuas e . Seja umaY ‘Y © P#

função contínua tal que para . A família diz-se de PÐ\Ñ œ 9Ð\Ñ \ Ä _ variação


exponencial na escala sobre , sseP Y

Ða ß !ÑÐbEÑÐa\ EÑÐal>l Ÿ ÑÐa ß − Ñ

Ð\ß Ð\ÑÑß Ð\ß Ð\ÑÑ − Y Ê / ŸÐ\ >PÐ\ÑÑ Ð\ >PÐ\ÑÑ

Ð\Ñ Ð\Ñ

& 7 7 G B Y

G B &G B

G B .¹ ¹> (23.2)

Para , , e standard, reformulemos a definição precedente em termos deY Y Ptelescópios. Consideremos os telescópios (de facto, a escolha da unidade naX=ß"ßPdirecção vertical é arbitrária). Por meio de Transferência, a transformação dadefinição (23.2) na seguinte forma é bastante directa:

Ða ¸ _ÑÐa ß − Ñ Ð Ð ÑÑß Ð ß Ð ÑÑ − Y Ê œ /Ð>Ñ Ð>Ñ

Ð!Ñ Ð!Ñ= G B Y = G = = B =

< ;

< ;Š Š ‹ ‹, 9 >= =

= =(23.3)

O domínio de validade da variação exponencial de um rio regular standard énormalmente a reunião das suas vizinhanças assimptóticas standard, e o domínio devalidade da sua versão standard ( , o seu halo assimptótico. Essas noções são23.3)definidas a seguir:

23.3 Definição Seja uma função real finalmente não nula.K

(1) Seja e suponha-se que , são funções reais que satisfazem,E − JÐ\Ñ LÐ\Ñ‘primeiro, para , e que para todoJÐ\Ñ µ KÐ\Ñ µ LÐ\Ñ \ Ä _ JÐ\Ñ LÐ\Ñ\ E. Então o conjunto

ÖÐ\ß ] Ñ À \ E • JÐ\Ñ ] LÐ\Ñ×

chama-se uma de .vizinhança assimptótica K

(2) O conjunto externo Ø chama-se oÖÐ ß ] Ñ À ¸ _ • ] œ Ð" ÑKÐ Ñ×= = =halo assimptótico de .K

Observe-se que a reunião das vizinhanças assimptóticas standard de é umaFgaláxia que, pelo princípio de Fehrele está estritamente incluída no halo assimptóticode . Esta inclusão estrita é uma das razões por que a demonstração da direcçãoFstandard-não-standard da equivalência da definição de rios regulares não-standard eda definição standard em seguida não é fácil.

Estamos agora em condições de propor uma definição clássica de rios. Ela não vaiser uma tradução literal da definição não-standard 20.2, mas utiliza de modo mais oumenos conveniente as noções introduzidas acima.

23.4 DefiniçãoSejam (E): uma equação diferencial de classe , o.] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ G" D

conjunto das suas soluções e . A solução chama-se um F D F− rio regular exponen-cialmente (in)estável de classe em , seG _"

(1) .lim\Ä_

FF F

w

w#

Ð\ÑÐ\ÑJ Ð\ß Ð\ÑÑ œ !

(2) .lim\Ä_

"\J Ð\ß Ð\ÑÑw

# F œ !


(3) é de variação lenta na escala .F F"ÎlJ Ð\ß Ð\ÑÑlw#

(4) é de variação exponencial na escala em cada vizinhançaD F"ÎlJ Ð\ß Ð\ÑÑlw#

assimptótica de .F

Observe que a condição (1) exprime uma característica principal de um rio:assimptoticamente o seu crescimento relativo ( é lento em comparaçãoF FwÐ\ÑÎ Ð\ÑÑcom a variação relativa das soluções vizinhas,Ð Ð\Ñ Ð\ÑÑÎÐ Ð\Ñ Ð\ÑÑG B G Bw w

que é assimptoticamente igual a . A condição (2) diz que essa variaçãoJ Ð\ß Ð\ÑÑw# F

relativa ocorre com uma força que é grande com respeito a distância à origem ( ). As\condições (3) e (4) especificam de modo mais preciso o crescimento lento e a força eo domínio de contracção.

Mostramos agora que as noções de rios exponencialmente (in)estáveis regularesde classe e correspondem a soluções standard de equações standard.G W" "


e uma solução standard. Então é um rio exponencialmente (in)estável regularF Fem de classe se e só se é um rio exponencialmente (in)estável regular em_ W" F_ G de classe ."

Dem. Só mostramos o caso instável. A seguinte equivalência é clara:

" "

† J Ð ß Ð ÑÑ \ † J Ð\ß Ð\ÑÑ¸ ! ¸ _ œ !

= = F = F= ×

w w# #\Ä_

para todo .lim

Logo sob ambas as condições das definições 20.2 e 23.4, a substituição é umX= Fßtelescópio. Ponhamos e mostramos as outras partes daPÐ\Ñ œ "ÎJ Ð\ß Ð\ÑÑw

# Fequivalência, utilizando algumas observações feitas anteriormente nesta secção. Denovo, escreve-se derivadas com respeito a com «plicas», e derivadas com respeito a\> com pontos.

( ) Primeiro, porque para todo , temos que é de variaçãoÊ œ ! ¸ _99 = F=

lenta na escala . Segundo, porque , temos em particular que . Isto. .

P œ ! Ð!Ñ ¸ !99 9= =

implica que

.lim\Ä_

w w#F F FÐ\ÑÎÐ Ð\Ñ † J Ð\ß Ð\ÑÑÑ œ !

Finalmente, tratamos da variação exponencial. Sejam , , ambos standard, e & 7 ! Yuma vizinhança standard assimptótica de . Sejam , duas soluções tais queF G BÐ ß Ð ÑÑ Ð ß Ð ÑÑ − Y Ð!Ñ ¸ Ð!Ñ ¸ != G = = B = < ;, . Logo . Logo= =

9 >ÐÐ Ð>Ñ Ð>ÑÑÎÐ Ð!Ñ Ð!ÑÑÑ œ /< ; < ;= = = = .

Então, em primeiro lugar,

Ðal>l Ÿ Ñ / ŸÐ PÐ Ñ>Ñ Ð PÐ Ñ>Ñ

Ð Ñ Ð Ñ7 &

G = = B = =

G = B =Š¹ ¹ ‹> .


Em segundo lugar, segue-se do lema 21.3(3) que

9 9 >w w

w wŠ ‹ Š ‹G = = B = = < ;

G = B = < ;

Ð PÐ Ñ>Ñ Ð PÐ Ñ>Ñ Ð>Ñ Ð>Ñ

Ð Ñ Ð Ñœ œ /

Ð!Ñ Ð!Ñ

. .. . .= =

= =

Então

Ðal>l Ÿ Ñ / ŸÐ PÐ Ñ>Ñ Ð PÐ Ñ>Ñ

Ð Ñ Ð Ñ7 &

G = = B = =

G = B =Š¹ ¹ ‹w w

w w> .

Conclui-se que é um rio exponencialmente instável regular de classe .F G"

( ) Seja . É claro que , pela definição 23.4(3). A fim deÉ ¸ _ œ != 99 =

estabelecer as restantes partes da equivalência, mostra-se primeiro que Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ "=w#

para limitado e . Seja a galáxia formada pela reunião de todas imagens das> ? ¸ ! #vizinhanças assimptóticas standard de sob o telescópio . Sejam , duasF G BX= Fßsoluções tais que , . Segue-se de (23.3) queÐ ß Ð!ÑÑ Ð!ß Ð!ÑÑ −= < ; #= =

9 9> >

ˆ ‰ ˆ ‰< ; < ;

< ; < ;

= =

= =

= =

= =

Ð>Ñ Ð>Ñ Ð>Ñ Ð>Ñ

Ð!Ñ Ð!Ñœ / œ /

Ð!Ñ Ð!Ñ e .

. .. .

Logo, pelo lema 21.3(1) e (2),

"Š ‹< ;

< ;

. ..= =

= =

Ð>Ñ Ð>Ñ

Ð>Ñ Ð>Ñœ "

Segue que para todo , pelo lema 21.4. EntãoÐ0 Ñ Ð!ß ?Ñ ¸ " ? −=w# #

Ð0 Ñ Ð!ß ?Ñ ¸ " ? ¸ !=w# para todo pelo lema 13.14 (p. 115). De novo pelo Lema 21.4,

tem-se para todo limitado. Conclui-se que paraÐ0 Ñ Ð>ß Ð>ÑÑ ¸ " > Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ "= = =w w# #9

todo limitado e , pelo lema 21. . Logo, o Lema principal implica que> ? ¸ ! 9

" >Š ‹< ;

< ;= =

= =

Ð>Ñ Ð>Ñ

Ð!Ñ Ð!Ñœ /

para todas as soluções , tais que . Finalmente, segue-se do lemaG B < ;= =Ð!Ñ ¸ Ð!Ñalgébrico 21.6 que, para limitado,>

9 9 9 9.

Ø Ø Ø Ø.= = = = = == =Ð>Ñ œ 0 Ð>ß Ð>ÑÑ œ 0 Ð!ß !Ñ † Ð" Ð>ÑÑ † Ð0 Ñ Ð>ß Ð>ÑÑ

œ † Ð" Ñ † Ð" Ñ œPÐ Ñ>

w#

Então . Conclui-se que é um rio exponencialmente instável regular em"9 F= œ !_ W de classe ." è

II. Um Teorema standard de existência e caracterizaçãoComo no caso das definições, não apresentamos traduções literais dos teoremas

de existência e de caracterização não-standard, mas sim formulações convenientes naterminologia da variação regular.


23.6 Teorema ( )Teorema de existência e caracterizaçãostandard Sejam uma equação diferencial de classe e uma (E): .] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ G K"

função contínua finalmente não nula. Suponha-se que satisfazK

(1) .lim\Ä_

JÐ\ßKÐ\ÑÑKÐ\ÑJ Ð\ßKÐ\ÑÑw

#œ !

(2) .lim\Ä_

"\J Ð\ßKÐ\ÑÑw

#œ !

(3) .K "ÎlJ Ð\ß Ð\ÑÑlé de variação lenta na escala w# F

(4) J Ð\ß ] Ñw# é assimptoticamente contínua em e éK "ÎlJ Ð\ß Ð\ÑÑlw

# Fautonegligente.

Então tem um rio regular exponencialmente (in)estável de classe em (E) F G"

_ Ð\Ñ µ KÐ\Ñ, com paraF .\ Ä _Reciprocamente, se tem um rio regular exponencialmente (in)estável de (E) F

classe em , as condições . são válidas para todas as funções contínuasG _" (1)-(4)F F com com .KÐ\Ñ µ Ð\Ñ \ Ä _

Dem. Por transferência, temos que mostrar o enunciado somente para equaçõesdiferenciais standard.

( ) Por transferência, pode-se assumir que é standard. Seja . Logo,Ê K ¸ _=primeiro, por (1); segundo, JÐ ßKÐ ÑÑÎÐKÐ Ñß J Ð ßKÐ ÑÑÑ ¸ ! "ÎÐ J Ð ßKÐ ÑÑÑ= = = = = = = =w w

# #

¸ ! 1 œ ! Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ ¸ „ " > por (2); terceiro, por (3); e quarto, para todo 9 w#= =

limitado e pelo lema 21.9, porque (4) implica que ? ¸ ! Ð0 Ñ Ð!ß ?Ñ ¸ Ð0 Ñ Ð!ß !Ñ œ= =w w# #

„ " ? ¸ ! Ð0 Ñ Ð>ß 1 Ð>ÑÑ ¸ „ " > para todo e que para todo limitado. Então pelo= =w#

Teorema de Existência não-standard, (E) tem um rio standard exponencialmenteF(in)estável de classe com para . Segue-se da ProposiçãoW Ð\Ñ µ KÐ\Ñ \ Ä _" F23.5 que é um rio standard exponencialmente (in)estável de classe .F G"

( ) Por Transferência, temos que mostrar o enunciado somente para É Fstandard. Pela Proposição 23.5, é um rio standard exponencialmente (in)estável deFclasse . Seja uma função standard continua tal que . SejaW K KÐ\Ñ µ Ð\Ñ" FPÐ\Ñ œ "ÎlJ Ð\ßKÐ\ÑÑl Xw

# ßKßP. Pelo Teorema de Caracterização não-standard é=

um telescópio, e sob este telescópio tem-se , , 9 9 w#0 Ð!ß !Ñ 1 œ ! Ð0 Ñ Ð!ß ?Ñ ¸ „ "= = =

para todo , e para todo limitado. Estas observações? ¸ ! Ð0 Ñ Ð>ß 1 Ð>ÑÑ ¸ „ " >= =w#

implicam as condições (1)-(4). Por Transferência, as propriedades (1)-(4) são válidaspara todas as funções contínuas tais que para .K KÐ\Ñ µ Ð\Ñ \ Ä _F è

23.7 ExemploConsidere a equação diferencial

(e) sen ..] Î.\ œ \]


Esta equação está relacionada com a equação (e ): sen , pelow .CÎ.B œ BC=macroscópio

ÈÈ\ œ B

] œ C ¸ _

=

= =

,( ).

Fig. 27 Soluções de sen para , . Há uma infinidade de rios.] Î.\ œ \] \ ! ] !regulares de classe . Estes são assimptóticos a para , com , .G 5 Î\ \ Ä _ 5 − 5 !" 1

Para ímpar eles são exponencialmente estáveis, e para par são exponencialmente instáveis.5 5

A equação (e ) foi estudada por J.-L. Callot (ver Reeb, [276]) que mostrou que asw

suas soluções limitadas são de classe para e somente de classe paraW lBl lCl W" !

y̧

lBl lCly̧

, devido a um efeito de «crepitação», que se trata com o método não-standard

de . Aqui mostramos que a equação standard (e) tem um númeroestroboscopiainfinito de rios regulares, alternativamente exponencialmente atractivos e repulsivos[numa certa maneira, correspondem ao caso para (e )]. Por simetria, temoslBl lCl

y̧

w

que considerar somente o primeiro quadrante. Ponhamos

JÐ\ß ] Ñ œ \]sen .

Para todo o número inteiro , a função é solução da equação5 ! K Ð\Ñ œ55\1

funcional assimptótica associada. Tem-se , logoJ Ð\ßK Ð\ÑÑ œ Ð"Ñ \w 5# 5

lim\Ä_ w

# 5

"

\ † J Ð\ßK Ð\ÑÑœ !.

Além disso, é autonegligente e é de variação lenta na escala"ÎJ Ð\ßK Ð\ÑÑ Kw# 5 5

"ÎlJ Ð\ßK Ð\ÑÑlw# 5 . Finalmente, segue-se da continuidade da função quecoseno

J Ð\ßK Ð\ÑÑ K 5 − 5 !w# 5 5 é assimptoticamente contínua a toda a com , . Pelo

teorema 23.6, a equação (E) tem rios exponencialmente estáveis de classe G"


assimptóticos a para ímpar, e rios exponencialmente instáveis de classe 5\1 5 G"

assimptóticos a para par. Ver fig 27.5\1 5

23.8 Exercícios e Problemas1. Considere a equação logística

.]

.\œ " ] #.

(a) Quais as soluções de equilíbrio?(b) Verifique que as soluções de equilíbrio satisfazem a equação funcional

assimptótica.(c) Aplique os telescópios associados a cada solução de equilíbrio. Esboce a

imagem do conjunto de soluções em todos os casos. Mostre que as soluções deequilíbrio correspondem a rios regulares exponencialmente (in)estáveis.

(d) Determine o conjunto (externo) de todos os rios, em função dos valorestomados para .\ œ !

2. Estude sob o telescópio associado as seguintes funções :0 À Ä‘ ‘

(a) (em e );/ Î # _ _\ Î## È 1

(b) ( );log\ \ !

(c) ( ; utilize a fórmula de Stirling, p. 237);>Ð\Ñ \ !

(d) .I Ð\Ñ œ .>" !

_' /"\>

>

3. Investigue para rios exponencialmente regulares em :_

(a) ;.].\

$œ ] \] "

(b) ;.].\

$ #œ ] \ \ ] \]

(c) ;.].\

#œ "Î\

(d) sen ;.].\

& #œ ] \ \ ] \] ]

(e) ;.].\

]œ / \ "log

(f) ..].\

# #œ Ð] \Ñ "

4. Verifique que a equação e as suas soluções satisfazem o Lema principal (p.207) no caso da equação logística e da equação de Liouville.] Î.\ œ " ] #

.] Î.\ œ ] \ .#

5. Efectue as transformações telescópicas do lema algébrico (p. 208) para aequação logística com e e . Determine as sombrasKÐ\Ñ œ „ " PÐ\Ñ œ PÐ\Ñ œ ""

#

dos valores encontrados.


6. O conjunto das curvas

F ‘-\ \Ð\Ñ œ / -/ - −

#

( )

representa a família das soluções de uma equação diferencial com rios exponencial-mente regulares? Idem para o conjunto das curvas

G ‘-\ \Ð\Ñ œ / -/ - −

#

( ).

7. Estude a atracção exponencial dos polinómios de Taylor e os desenvolvimentosassimptóticos em (se possível) de:_

(a) ;/\

(b) erfc( ), a função-erro complementar;\

(c) ; a função de Bessel de ordem .N Ð\Ñ !!

8. Sejam , . Estude as sombras das trajectórias de& ( ¸ !

(a) sen ;.C.B œ CB C&

(b) ..C C ".B /œ

#

B C& (

9. Seja um rio exponencialmente regular em de uma equação diferencialF _.] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ J G, com de classe e standard."

(a) Mostre que existe uma função em e tal que existe LÐ\Ñ µ Ð\Ñ _ EFstandard com para .JÐ\ßLÐ\ÑÑ œ ! \ E

(b) Por que razão é normalmente mais vantajoso tentar resolver a equaçãofuncional assimptótica

lim\Ä_ w

#

J Ð\ßKÐ\ÑÑ

\ † J Ð\ßKÐ\ÑÑœ !

do que a equação funcional ? Ilustre com um exemplo.JÐ\ßLÐ\ÑÑ œ !

10. Estude os rios de . Depois, faça a substituição.].\ œ Ð] \ÑÐ] \Ñ

(rotação) , e estude os rios da nova equação em , .] \ œ Y ] \ œ Z Y ZHaverá uma rotação sob os telescópios?

11. Estude os rios da equação de Van der Pol dada pelo sistema

\ \.. . Ð\ \Ñ \ œ !# ,

após a transformação

.\

.X $œ ] \

\

.]

.Xœ \

$

,


(«Plano de Lienard»; estude ). Em seguida, estude a equação de Van der Pol.\Î.]no «plano de fase»

.\

.Xœ ]

.]

.Xœ Ð\ \Ñ] \

,

#

(estude )..] Î.\

12. Dê condições necessárias e suficientes para que uma equação de classe G"

tenha rios horizontais (soluções estacionárias) exponencialmente (in)estáveis de classeG".

13. Diga quais as funções de variação lenta de tipo Beurling de entre as seguintes:

J Ð\Ñ œ \ J Ð\Ñ œ \ " J Ð\Ñ œ J Ð\Ñ œ /" # $ %$ \; ; ; ;"

\ "#

ÈJ Ð\Ñ œ \ J Ð\Ñ œ \ J Ð\Ñ œ \ #& ' (sen ; sen ; sen ;log logJ Ð\Ñ œ \ ¸ _)

= com .=

14. Estude a equação ..].\ œ \]cos

15. Estude as equações às diferenças seguintes por meio de telescópios, e indiqueo comportamento assimptótico das suas soluções de crescimento polinomial:

(a) ;] #] œ R "R" R

(b) + ;] #] œ R "R" R

(c) ;] #] œ RR" RÈ

(d) .] ] œ ÐR "ÑR" R"# log

225

Capítulo VIII

W-INTEGRABILIDADE E APLICAÇÕES

§24. W-Integrabilidade à Riemann e aproximaçõesde somas e de integrais

Seja um intervalo. Recorde-se que uma sucessão finita de pontosÒ+ß ,Ó © ‘B B â B Ò+ß ,Ó! " / de tal que

B ¸ + a8Ð! Ÿ 8 Ê B ¸ B Ñ B ¸ ,! 3 3", , ,/ /

se chama uma de . O conjunto dos pontos ( )partição infinitesimal Ò+ß ,Ó B ! Ÿ 3 Ÿ3 /de uma tal discretização será designado por . SÒ+ÞÞÞ,Ó e é um infinitesimal positivo,$Bdesignamos por o conjunto dos múltiplos inteiros de ,— $B

— $ ™œ Ö5 B À 5 − ×.

Seja . Ponhamos, para ,0 À Ò+ß ,Ó Ä ! Ÿ 3 ‘ /

, ,

.

Q œ Ö0ÐBÑ À B Ÿ B B ×

7 œ Ö0ÐBÑ À B Ÿ B B ×

B œ B B

3 3 3"

3 3 3"

3 3" 3

supinf

$

Suponhamos que e são limitados. Uma função diz-se -+ , 0 W integrável àRiemann sse para todas as discretizações infinitesimais de ,Ò+ß ,Ó

" "!Ÿ3 !Ÿ33 3 3 3/ /

7 B ¸ Q B$ $ ,

e se é limitado. Então todo o valor é um! !!Ÿ3 !Ÿ33 3 3 3/ /Q B M ¸ 7 B W$ $ -integral


de . Um exemplo de um tal valor é0

"!Ÿ3 3 3/

0ÐB Ñ B$ .

É claro que uma função de classe é -integrável, porque para todo ,W W 7 ¸ Q 3!3 3

e

" "!Ÿ3 !Ÿ33 3 3 3/ /

ÐQ 7 Ñ B œ † B œ Ð, +Ñ œ$ $Ø Ø ØÞ

Se sabemos também que é integrável à Riemann, no sentido clássico, tem-se0

" (!Ÿ3 3 3

+

,

/0ÐB Ñ B ¸ 0ÐBÑ.B$ ,

porque

" " "(!Ÿ3 !Ÿ3 !Ÿ3

3 3 3 3 3 3+

,

/ / /

7 B Ÿ 0ÐB Ñ B 0ÐBÑ.B Ÿ Q B$ $ $ , .

(Ver também teorema 7.7).Não desenvolvemos aqui uma teoria de -integrabilidade. Referimo-nos, porW

exemplo, às obras de Robinson [288], Keisler [190, 191], e F. Diener-Reeb . Em[103]contrapartida, desenvolvemos uma teoria da aproximação de integrais e somascomplicadas por integrais simples. Comecemos com integrais e somas de funções declasse , definidas sobre intervalos com extremos limitados.W!

24.1 TeoremaSejam , limitados, e , duas funções de classe e integráveis à+ , + , 0 1 W!

Riemann definidas sobre , tais que para todo . EntãoÒ+ß ,Ó 0ÐBÑ ¸ 1ÐBÑ B − Ò+ß ,Ó

( (+ +

, ,

0ÐBÑ.B ¸ 1ÐBÑ.B.

Dem. Tem-se

( ( (+ + +

, , ,

Ð1ÐBÑ 0ÐBÑÑ.B ¸ .B œ .B œ œØ Ø Ø ØÐ, +Ñ .è

De modo análogo se mostra que:

24.2 TeoremaSejam , limitados, e , duas funções de classe , definidas sobre+ , + , 0 1 W!

Ò+ÞÞÞ,Ó 0ÐBÑ ¸ 1ÐBÑ B − Ò+ÞÞÞ,Ó, tais que para todo . Então

" "+ŸB, +ŸB,

0ÐBÑ B ¸ 1ÐBÑ B$ $ .

VIII. -INTEGRABILIDADE E APLICAÇÕES 227W

24.3 Corolário ( )Aproximação de uma soma por um integralSejam , limitados, e uma função discreta e+ , + , 0 À Ò+ÞÞÞ,Ó Ä ‘

1 À Ò+ß ,Ó Ä W‘ uma função integrável à Riemann, ambas de classe , tais que!

0ÐBÑ ¸ 1ÐBÑ B − Ò+ÞÞÞ,Ó para todo . Então

"+ŸB,

0ÐBÑ B ¸ 1ÐBÑ.B$ (+

,

.

Dem. Pelos teoremas precedentes,

" " (+ŸB, +ŸB,

+

,

0ÐBÑ B ¸ 1ÐBÑ B ¸ 1ÐBÑ.B$ $ .è

Consideramos agora aproximações globais: integrais e somas sobre intervalos decomprimento limitado ou infinito. Começamos com uma versão do teorema deaproximações multiplicativas de Cauchy (uma aproximação global de funções induzuma aproximação de somas), anteriormente enunciada como lema 5.7(g) (pág. 44).

24.4 Lema das aproximações multiplicativas de CauchySeja , e sejam e duas sucessões finitas de números/ − Ð+ Ù Ø, Ù3 !Ÿ3Ÿ 3 !Ÿ3Ÿ/ /

estritamente positivos tais que para todo , . Então+ µ , 3 ! Ÿ 3 Ÿ3 3 /

." "!Ÿ3Ÿ !Ÿ3Ÿ

3 3

/ /

+ µ ,

Dem. (alternativa) Sejam ( ) definidos por . Sejam& / &3 3 3 3! Ÿ 3 Ÿ " œ + Î,ainda e . Observe-se que ,& & / ( & / &œ Ö À ! Ÿ 3 Ÿ × œ Ö À ! Ÿ 3 Ÿ × ¸ !min max3 3 3

para , logo . Além disso,! Ÿ 3 Ÿ ¸ ¸ !/ & (

Ð" &Ñ + Ÿ Ð" Ñ+ œ , Ÿ Ð" Ñ+ ." " " "!Ÿ3Ÿ !Ÿ3Ÿ !Ÿ3Ÿ !Ÿ3Ÿ

3 3 3 3 3

/ / / /

& (

Então ! !!Ÿ3Ÿ !Ÿ3Ÿ

3 3/ /

+ µ , Þ è

O teorema tem a seguinte versão integral.

24.5 TeoremaSejam , , e , integráveis à Riemann tais que+ , − + , 0 1 À Ä‘ ‘Ò+ß ,Ó

0ÐBÑ µ 1ÐBÑ B − Ò+ß ,Ó 0ÐBÑ.B µ 1ÐBÑ.B para todo . Então . ' 'ab b

+

Note-se as seguintes variantes das versões «somatório» e «integral» do teoremade Cauchy, que utilizam o símbolo Ø:

" "!Ÿ3Ÿ !Ÿ3Ÿ

3 3

/ /

Ð" + µ Ð" + Ð" Ð" Ø Ø Ø ØÑ Ñ † Ñ Ñ, ( (a

b b0ÐBÑ.B µ 0ÐBÑ.B

+

.


Em muitos casos é suficiente ter uma aproximação local das duas successões ou dasduas funções. Para tratar desses casos, introduzimos os conceitos de e .cauda massa

24.6 Definição Seja uma função real, de modo que0 !

M œ 0ÐBÑ.B(_

_

seja convergente e estritamente positivo. A de é definidacauda esquerda G œ G 0 0

por

G œ ÖC À 0ÐBÑ.B œ

_

C( Ø † M×.

A de é definida porcauda direita G œ G 0 0

G œ ÖC À 0ÐBÑ.B œ

C

_( Ø † M×.

A de é definida pormassa Q 00

Q œ Ï ÐG G Ñ0 ‘ .

24.7 Exemplos:1) Um cálculo directo mostra que as caudas das funções e B È / B ÈlBl "

"B#

são e , respectivamente. As massas são .G œ G œ _ _± ± £

2) A massa da densidade de Gauss é . Se , a1ÐBÑ œ Ð"Î # Ñ ÐB Î#Ñ !È 1 !exp # £massa de / é . De facto,1 ÐBÑ œ Ð"Î # Ñ ÐB Ð# ÑÑ!

È È1! ! !exp # £

M œ .B œ "ÐB ÎÐ# ÑÑ

#! ( È_

_ #exp !

1!,

e se ,- !

( (È È ÈÈ

- - !

!

!

_ _# #

Î

exp expÐB ÎÐ# ÑÑ ÐD Î#Ñ

# #.B œ .D

œœ M œ †

œ † M œ †

!

1! 1

- !

- !

ÈØ Ø se @ @ se .

† _±

£

Note que, se é apreciável, , claro.! Q œ Q œ1 1! £

3) As caudas da função definida por são Ø e . A0 À Ó!ß_Ò Ä 0ÐBÑ œ‘ /B

BÈ _±

massa é @.

Deixamos como exercícios a verificação dos factos mencionados.


Os conceitos de cauda e massa definem-se também para os somatórios, emparticular para as somas de Riemann. Seja tal que é0 À Ä W œ 0ÐBÑ B— ‘ $!

B−—

convergente. Aqui, as definições da e da cauda esquerda cauda direitaG œ G 0

G œ G 0 são

G œ ÖC À 0ÐBÑ B œ W×

G œ ÖC À 0ÐBÑ B œ W×

BŸC

BC

""

$

$

Ø ,

Ø .

†

†

A massa é de novo

Q œ Ï ÐG G Ñ0 — .

Note que uma soma finita — um caso especial importante — é sempre conver-gente. Normalmente, as caudas e a massa são externas; então uma cauda é um halo, euma massa é uma galáxia (Ver exercício 24.8). Uma classe simples consiste emintegrais e somas de valor limitado, em particular de valor igual a : as distribuições"de probabilidade. Neste último caso temos — na notação dos integrais —,

G œ G œ ÖC À 0ÐBÑ.B ¸ !×

G œ G œ ÖC À 0ÐBÑ.B ¸ !×

Q œ ÖÒCß DÓ À ! 0ÐBÑ.B "×¸ ¸y y

0

_

C

0

C

_

0C

D

((

. (

,

,

.

Todos os casos se reduzem a este: se , ponhamos'_

_0ÐBÑ.B œ M !

1 À Ä 1ÐBÑ œ 1ÐBÑ.B œ " Q œ Q‘ ‘ 0 1_

_ definida por ; então , e .0ÐBÑM

'A massa não é invariante para translações e homotecias do argumento. De facto,

temos o teorema seguinte.

24.8 TeoremaSeja integrável à Riemann, de integral convergente. Então0 À Ä‘ ‘

Q œ Q −

Q œ Q !

Q œ Q !"

0ÐBÑ 0ÐBÑ

0ÐBÑ 0ÐBÑ

0Ð BÑ 0ÐBÑ

!

!

!

! ! ‘

!

!!

( ), ( ),

( ).

Dem. Exercício.è

A massa é um meio para determinar aproximações de somas e integrais. Oteorema seguinte mostre que uma aproximação local duma função, só sobre a massadela é suficiente para uma aproximação do seu integral global, sobre .‘


24.9 TeoremaSejam , integráveis à Riemann tais que . Suponha-se que0 1 À Ä Q © Q‘ ‘ g f'

__

0Ð ÐBÑ 0ÐBÑ.B ! µ BÑ B − Q. Se g para todo , então:f

(1) ' '_ __ _g ;ÐBÑ.B µ BÑ.B0Ð

(2) .Q œ Qg 0

Dem. (1) Pelo lema de aproximações multiplicativas de Cauchy 24.4, paraquaisquer , , tem-se . Visto que é uma galáxia,! " − Q 1ÐBÑ.B 0ÐBÑ.B Q0 0' '

! !" "

µ

pelo princípio de Fehrele existem , tais que e ! " ! " Q 1ÐBÑ.B0 '!"

µ'!"0ÐBÑ.B. Então, pela definição das caudas,

( ( ( (_ _

_ _

1ÐBÑ.B 1ÐBÑ.B 0ÐBÑ.B 0ÐBÑ.Bµ µ µ! !

" "

.

(2) Observe-se que para todo ,# − Q0

( ( ( (# #

_ _ _ _

_ _

1ÐBÑ.B 0ÐBÑ.B œ 0ÐBÑ.B œ ÐBÑ.Bµ @ @ g .

Então todo o elemento de pertence à massa de , logo .Q Q 1 Q œ Q0 1 1 0 è

Mencionemos algumas variantes deste teorema.

24.10 TeoremaSejam , de massas (contidas em) , integráveis à Riemann, e tais0 1 À Ä‘ ‘ £

que g f para todo . Seja limitado. EntãoÐBÑ ¸ ÐBÑ B − 0ÐBÑ.B£ '_

_

( (_ _

_ _

g f .ÐBÑ.B ¸ ÐBÑ.B

24.11 TeoremaSejam , de massas (contidas em) , e S-integráveis à0 À Ä 1 À Ä— ‘ ‘ ‘ £

Riemann, e f também integrável à Riemann. Suponhamos g f para todo ÐBÑ ¸ ÐBÑ Blimitado. Então

" (B−

_

_

—g fÐBÑ B ¸ ÐBÑ.B$ .

24.12 TeoremaSejam , de massas (contidas em) , e de classe , e f0 À Ä 1 À Ä W— ‘ ‘ ‘

!£também integrável à Riemann. Suponhamos g f para todo limitado.ÐBÑ ¸ ÐBÑ B − —


Então para todo ,B − ‘

" (CŸB

_

B

g f .ÐCÑ B ¸ ÐCÑ.C$

As demonstrações destes teoremas ficam como exercícios. Para o último teorema,pode multiplicar as funções pela função característica do intervalo .Ó_ß BÓ

A massa de uma funçâo standard positiva com integral impróprio estritamente0positivo é £ £, ou está contida em . De facto, , enquantoM 0ÐBÑ.Bœ '

__

!y̧

'_E

0ÐBÑ.B 0ÐBÑ.B ¸ ! œ E ¸ _ F ¸ _¸ 'F_ Ø † M para todo , . [ ] contém um26

teorema de aproximação de integrais, aí aplicado muitas vezes, que se pode traduzirem termos de massa:

24.13 Teorema ( )Lema de aproximação dominadaSejam , integráveis à Riemann, tais que para todo0 1 À Ä 0ÐBÑ ¸ 1ÐBÑ‘ ‘

B − À Ä 0ÐBÑ 1ÐBÑ Ÿ 2ÐBÑ£. Seja h standard integrável à Riemann, tal que , ‘ ‘

para todo x e com integral impróprio convergente. Então− ‘

( (_ _

_ _


Dem. Temos ' '+ +

+ +0ÐBÑ.B ¸ 1ÐBÑ.B para todo standard. Pelo princípio de+

Fehrele existe tal que Ora, ,! ¸ _ 0ÐBÑ.B ' ' ! !

! !0ÐBÑ.B ¸ 1ÐBÑ.B. ¸ ¸'

lBl !¸ ¸' 'lBl lBl ! !1ÐBÑ.B Ÿ 2ÐBÑ.B ¸ !. Então .' '

_ _

_ _0ÐBÑ.B ¸ 1ÐBÑ.B è

Observe-se, de facto, que no caso essencial ( ), as massas de , '_

_

y̧0ÐBÑ.B ! 0 1

e são (ou estão contidas em ), que implique que as massas de e são iguais.2 0 1£ £Então o teorema é uma consequência do teorema 24.10.

Para as distribuções de probabilidade existe um método para localizar a massa.Sendo o nosso objectivo as aproximações de funções e somas de Riemann, nãoestamos ocupados com problemas de mensurabilidade. Para simplificar a notação, eporque assim não temos problemas de existência de esperanças, daqui em diante sótratamos de probabilidades sobre um espaço de probabilidade finito. É claroÐ ßH PrÑque para cada e .Pr PrÐ ÐBÑ ! B − BÑ œ "H !

B−H

Uma é simplesmente uma função . A devariável aleatória esperançaC À ÄH ‘uma variável aleatória éC

I C œ CÐBÑ BÑ"B−H

PrÐ ,

e a sua variância é

Var C œ IÐC ICÑ#.

O seu é . As suas caudas e a sua massa são definidas pordesvio-padrão ÈVar C


analogia com as somas de Riemann. Assim, a cauda direita de é C G œC

ÖB − À C B× ¸ !× C G œ ÖB − À C Ÿ B× ¸ !×‘ ‘Pr PrÖ Ö, a de é cauda esquerda C–

e a massa de é o complementar em da união das duas caudas. Q CC ‘ Lembramos olema de Chebyshev:

24.14 Teorema ( )Lema de ChebyshevSeja um espaço de probabilidade finito e uma variável aleatóriaH H ‘C À Ä

não-negativa. Seja . Então- !

PrÖC × ŸIC

--

.

Dem.

.

Pr Pr Pr

Pr

Pr

Ö Ð Ð

Ð

Ð

C × œ BÑ œ BÑ"

Ÿ CÐBÑ BÑ"

Ÿ CÐBÑ BÑ"

œIC

- --

-

-

-

" """

C C

C

C−

- -

-

H

è

24.15 Teorema ( )Lema de Chebyshev externoSeja um espaço de probabilidade finito e uma variável aleatóriaH H ‘C À Ä

não-negativa. Então .Q © † ICC £

Dem. Se , então para cada e o resultado é trivial:IC œ ! CÐBÑ œ ! B − HQ œ † IC œ Ö!× IC ! ¸ _C £ . Supomos que e seja . Pelo lema de Chebyshev-

PrÖC † IC× Ÿ œ ¸ !IC "

† IC-

- -.

Vemos que pertence à cauda de . Então .- C Q © † ICC £ è

24.16 Teorema ( )Lema da concentração de massaSeja um espaço de probabilidade finito e uma variável aleatória,H H ‘C À Ä

com esperança e desvio-padrão . Então. 5

Q © †C . 5£ .

Dem. Ponhamos . EntãoD œ C.5

ID œ œ œ "IÐC ICÑ#

# #

# #5 5

5.


Pelo lema de Chebyshev externo . Se logo , entãoQ © − Q − Q ©D DD#

# #£ £! !! − Q ©£ £. Vemos que . Conclui-se queD

Q œ Q © †C D5 . . 5£ .è

Acrescentemos que os três teoremas acima ainda são verdadeiros se é infinito, eHIC C e/ou são bem-definidas.Var

24.17 Exemplos1) A massa de todas as variáveis normalizadas (de esperança e variância ) está! "

contida em , tal como a lei de probabiblidade standard normal£

1ÐBÑ œ ÐB Î#Ñ"

#È 1exp # .

2) A massa da lei normal é (aplique o1ÐBÑ œ ÐÐB Ñ Î# Ñ "

##È 15

exp . 5 . 5£teorema 24.8).

3) Consideramos a lei de Poisson sobre , de parâmetro : - !

PrÐ8Ñ œ /8x

8

- - ;

é sabido que a sua esperança é e o seu desvio-padrão é (pode-se mostrar isto- -Èmediante somatórios por partes). Então a sua massa satisfazQ:

Q © †: - -£ È .

(De facto ).Q œ †: - -£ È4) Consideramos a lei sobre com densidade , de parâmetro :> ‘ # /

#> /

Ð>Ñ œ/ >> /-1

( ).

Segue da fórmula ( ) que a sua esperança é e o seu desvio-'__

/ > .> œ "> 3 > 3 /

padrão é . Então a sua massa satisfazÈ/ Q>

Q © †> / /£ È .

Se , a massa está contida em (de facto )./ / /¸ _ Q œ †_± > £ È5) Consideramos a lei binomial sobre ... , onde :Ö!ß ß 8× 8 −

FÐ8ß 4Ñ œ † ! Ÿ 4 Ÿ 88 "

4 #Œ Š ‹8

, .


A sua esperança é e o seu desvio-padrão é . (Prova-se mediante8Î# 8Î#Èpropriedades combinatórias). Então a sua massa satisfazQF

Q © † 8Î# œ † 8F ( ).8Î# 8Î#£ £È ÈSe , a massa está contida em (de facto ).8 ¸ _ Q œ † 8_± F 8Î# £ È 69

É claro que a massa de uma variável aleatória com a densidade standard normalexpÐB Î#Ñ ! " œ ! † "# (de esperança e desvio quadrado ) é exactamente . A£ £massa de uma variável aleatória com distribuição uniforme sobre (deÒ"ß "Óesperança e desvio quadrado ) é igual a Ø Ø , que está propria-! #Î$ Ó" ß " ÒÈmente contido em ).! † œ£ £É #

$

Muitas vezes não é possível calcular exactamente esperanças e variâncias. Mas,às vezes, funções podem ser ligadas a distribuções de probabilidade com esperanças evariâncias conhecidas. O teorema seguinte, que exhibe uma certa semelhança com olema de aproximação dominada, diz que uma relação larga é, por si, suficiente para tera mesma massa.

24.18 TeoremaSejam , , h integráveis à Riemann, de integral convergente.0 1 À Ä‘ ‘

Supomos que @ se , M , , se ,1ÐBÑ œ 0ÐBÑ B − Q œ Q 1ÐBÑ œ BÑ B Â Q0 0 2 00ÐBÑ 2Ð£e que . Então' '

_ _

_ _2Ð ÐBÑ.B œ 0 BÑ.B£

( (_ _

_ _

1 01ÐBÑ.B œ 0ÐBÑ.B Q œ Q@ , .

Dem. Sejam e , e , tais queM œ 0ÐBÑ.B N œ 1ÐBÑ.B + , − Q' '_ _

_ _0'

+

,0ÐBÑ.B œ M@ . Então

( (+ +

, ,

1ÐBÑ.B œ 0ÐBÑ.B œ M@ @ .

Além disso,

( (( (_ _

+ +

, ,

_ _

1ÐBÑ.B œ 2ÐBÑ.B œ M

1ÐBÑ.B œ 2ÐBÑ.B œ M

£ £

£ £

,

.

Resulta que

N œ 1ÐBÑ.B œ M M M œ M(_

_ @ @ ,£ £

69 As igualdades de massa em cima são uma consequência de teoremas do limite central,que apresentamos mais adiante.


donde

(+

,

1ÐBÑ.B œ N@ .

Então @ e @ , e daqui conclui-se que , ,' '_ +, _

11ÐBÑ.B œ N 1ÐBÑ.B œ N + , − Q

logo .Q © Q0 1

Seja . Então! Q0

( (_ _

! !

1ÐBÑ.B œ 2ÐBÑ.B œ M œ M œ N£ £ Ø Ø Ø .

Além disso, se , tem-se do mesmo modo," Q0

("

_

1ÐBÑ.B œ NØ .

Então . Conclui-se que .Q © Q Q œ Q1 0 1 0 è

24.19 Exercícios e problemas1. Seja , um quadrado. Pondo , consideremos o quase-= = $¸ _ B œ− "

=

intervalo ... com incremento . Definimos ... porÒ! "Ó B 0 À Ò! "Ó Ä$ ‘

0ÐBÑ œ "Î B BÎ B Ï Ö!×!

œ È È$ $ se ,no caso contrário.

−

Seja a primitiva discreta.JÐBÑ œ 0ÐCÑ B!!ŸCB $

(a) Mostre que é -contínua, mas não a sua «densidade discreta» .J W 0

(b) Qual é a valor de ? («Medida singular»).JÐ"Ñ

2. Seja . Consideramos a soma de Fourier= ¸ _

W ÐBÑ œ% Ð#8 "ÑB

#8 "=

=

1"Ð "ÑÎ#

8œ!

sen.

Pondo , com limitado, escreva como uma soma de Riemann. Qual é oB œ ? W ÐBÑ?= =

diâmetro da partição nesta soma? Conclua que .70 W Ð Ñ ¸ .>= = 1? # >

!?

>' sen

NB. fenómeno de Gibbs Trata-se do . A soma é a soma de Fourier duma funçãolocalmente constante, com valores alternados e . No intervalo contendo" " Ò ß Ó1 1

= =

a descontinuidade , não salta de até , mas tem um salto ligeiramente maior,! W " "=

de até . .> .># > # >! !> >1 1

1 1' 'sen sen

70 Na soma de Riemann , onde , o !0ÐB Ñ B B B B3 3 3" 3? ? 3 œ diâmetro da partição é oØB Ù3número . œ ÖlB B l À 3 Ÿ "×Þmax 3" 3 /


3. Verifique as afirmações sobre as caudas e massas das funções standardseguintes (v. exemplos 24.7):

( )1 As caudas das funções e são e ,B È / B È G œ _ G œ _lBl ""B#

respectivamente. As massas são .£

(2) A massa da densidade de Gauss é .1ÐBÑ œ Ð"Î # Ñ ÐB Î#ÑÈ 1 exp # £

(3) As caudas da função definida por log .2 À Ò!ß_Ò Ä 2ÐBÑ œ / Ð" B Ñ‘ B #

são Ø e . A massa é @. _±

(4) As caudas da função definida por são Ø e . A0 À Ó!ß_Ò Ä 0ÐBÑ œ‘ /B

BÈ _±

massa é @.

4Þ Localizar as massas das funções internas seguintes:

(1) , onde , .0ÐBÑ œ ! ¸ !&&# #B & &

(2) , onde , .1ÐBÑ œ ! ¸ !&& &# # % lBlB /

& &

(3) , onde , 0.2ÐBÑ œ / B 8 ¸ _ B B 8

(4) , onde , ; distinguir os casos limitado; ilimitado5 ÐBÑ œ ¸ ! ! 8 88/ B" B

B 8

& & &

e ; ilimitado e .8 œ 8 8 ¸ _& &£

5. .Demonstre os teoremas 24.10, 24.11 e 24.12

6. Sejam , e definida por . Além disso,& & ? ‘ ‘ ? ! ¸ ! À Ä ÐBÑ œ "B1 &&† # #

suponha de classe e de , limitados,0 À Ä W + ,‘ ‘ ! suporte limitado, isto é, existem + ¥ ! ¥ , 0 Ò+ß ,Ó, tal que é nula fora de .71

(a) Mostre que a massa de está contida em Ø.?

(b) Mostre que para qualquer que pertence à massa de se tem .B 0ÐBÑ ¸ 0Ð!Ñ?

(c) Mostre que .'_

_?ÐBÑ.B œ "

(d) Mostre que a função tem «quase» a propriedade da distribuição de Dirac,?no sentido:

(_

_

?ÐBÑ0ÐBÑ.B ¸ 0Ð!Ñ.

7. Reconsideremos a função do exercício 4.(4) acima. Ponhamos58

< Ð Ñ œ 5 ÐBÑ.B8 88

!

_

& & ( ,

71 Recorde-se que significa e .+ ¥ , + , + ¸ ,y


e seja , . Mostre que para todo , (distinguir casos).& & & ! ¸ ! 8 − < Ð Ñ µ8&

&

88x"8

Pode indicar um índice , isto é, um índice tal que paraquase-minimal =< Ð Ñ< Ð Ñ ¸

= &&8

"

qualquer ? (Cf. Exercício 25.9.4).8

8. Demonstre as propriedades sobre as invariânças e modificações das massas doteorema 24.6.

9. (1) Seja uma função integrável à Riemann tal que 0 À Ä‘ ‘ '__

0ÐBÑ.B >!. Mostre que as suas caudas são externas, de facto são halos, e que a sua massa é umagaláxia.

(2) Dê um exemplo de um somatório de números estritamente positivos tal que asua massa e as suas caudas são conjuntos internos não-vazios.

§25. Fórmula de Stirling e Teorema deDeMoivre-Laplace

Como aplicações do que precede demonstramos a fórmula de Stirling, e oteorema de DeMoivre-Laplace.

25.1 Teorema ( )Fórmula de StirlingSeja ilimitado. Então= −

= = = 1x œ / # Ð" = = È È ØÑ.

Dem. Tem-se

=x œ / > .>(!

_> = .

Pelo lema de concentração da massa 24.16 (p. 232), sabemos que a massa dadistribuição está contida em . Pelo teorema 24.8, este conjunto contém a> = = £Èmassa do integral acima. Isto sugere a substituição

> œ ?= =È ,

obtendo assim um integral de massa contido em . Logo£

= = = = ==

x œ / ? " .??= =

=

_È È( Š Š ‹‹ÈÈ exp log .


Se é limitado,?

exp exp

exp

exp

Š Š ‹‹ Š ‹È ÈÈ ÈŠ ‹

Š ‹

? " œ ? Ð Ð" ? ? ?

#

œ Ð" ?

#

œ Ð" ?

#

= = = == = =

log Ø

Ø

Ø .

#

#

#

Ñ

Ñ

Ñ

Sendo a massa de , pelo teorema 24.9, vem finalmente£ expˆ ‰?#

#

= = = = = 1x œ Ð" / .? œ Ð" / #?

#Ø Ø .Ñ Ñ= = = =

_

_ #È È( Š ‹ Èexp è

Antes de demonstrar o teorema do limite central nos casos da distribuição dePoisson e da distribuição binomial, damos um lema de cálculo:

25.2 LemaSeja , ilimitado. Seja limitado, e tal que . Então= = = − ? ? −È

Ð "ÑÐ #ÑâÐ ? Ñ /

Ð "ÑÐ #ÑâÐ ? "Ñ /

= = = = =

= = = = = =

ÈÈ

µ

µ

? ? Î#

? ? Î#

ÈÈ

=

=

#

#

,

.

Dem. Só demonstramos a primeira fórmula. Tem-se

Š ‹Š ‹ Š ‹ Š Š ‹‹È ""

" È È(

Š ‹

" " â " œ " " # 5?

œ Ð" 5

œ Ð" †5 "

œ Ð" B.B

œ Ð" ?

#

œ Ð" ?

#

= = = =

=

=

= =

exp

exp

exp

exp

exp

exp

?

5œ"

?

5œ"

?

5œ"

!

?

#

#

ÈÈ

È

=

=

=

log

Ø

Ø

Ø

Ø

Ø ,

Ñ

Ñ †

Ñ

Ñ

Ñ

donde a primeira fórmula.è


25.3 Teorema ( ).do limite central para a distribuição de PoissonSeja , ilimitado. Então para , , limitado, tem-- - = = - =− ! − œ ? ?È

se

c =-

= 1-Ð Ñ œ †

/ " ?

x ##

#- =

µ È Š ‹exp .

Dem. Primeiro, seja . Pela fórmula de Stirling e o lema acima,? !

/ / " ?

x #œ œ Ð" † Þ

xÐ "ÑÐ #ÑâÐ ? Ñ #

? #- = - - -- - -

= - - - - - 1-

ÈÈ È Š ‹ØÑ exp

A demonstração é análoga para .? ! è

Sejam fixo (normalmente ) e , tais que . Duma/ / − ¸ _ 4 8 − ! Ÿ 4 Ÿ 8certa maneira, o teorema do limite central no caso da distribuição binomial

PrÐ8Ñ œ FÐ8ß 4Ñ œ 88 "

4 #Œ Š ‹8

, qualquer

(teorema de DeMoivre-Laplace) resulta de mudanças de escala:

1. , uma sobre : cada número de ordem será limitado.> œ 88/ macroscopia /

2. , uma sobre (isto é, uma translação, seguida por umaB œ 44

Î#

8Î#È/telescopia

macroscopia). Cada número, tendo com respeito a (para onde o telescópio é/Î#dirigido, o centro da imagem do telescópio) uma distância de ordem (de facto,È/Î#

um número ilimitado) será limitado.3. , uma microscopia sobre os valores da distribuição"Ð8ß 4Ñ œ FÐ8ß 4Ñ

È/

#

binomial: valores de ordem estrita serão apreciáveis (note que, de facto,"ÎÈ/

valores para índices perto da esperança têm esta ordem de grandeza).4 8Î#

O resultado das três mudanças de escala aplicadas à função de duas variáveisFÐ4ß 8Ñ chama-se a :função binomial, que se designa por e é definida por,Ð à >ß BÑ/

,Ð à >ß BÑ œ F >ß B †# # #

>/ /

/ //È ÈŠ ‹.

Se não houver dúvida ou ambiguidade sobre o número inteiro , normalmente/escreve-se simplesmente :,Ð>ß BÑ

,Ð>ß BÑ œ ,Ð à >ß BÑ/ .

Note que e/> œ 8

/ /> 8 B

# # # # B œ †

>

8È ÈÈ .


A massa de satisfaz , logo, pelo teorema 24.8, a massaFÐ8ß 4Ñ Q © †F8# #

8£ ÈQ ,Ð à >ß BÑ, de satisfaz/

Q © © > †Q

†,

F8#

">

8

#È È È £.

Em particular, se é apreciável, tem-se simplesmente>

Q ©, £.

Na realidade, se for ilimitado, as inclusões nas fórmulas de massa acima/reduzem-se a igualdades: segue da fórmula de DeMoivre-Laplace, juntamente com oteorema 24.9.

25.4 Teorema ( )DeMoivre-LaplaceSeja . Então para apreciável e limitado tem-se/ ¸ _ > B

,Ð à >ß BÑ ¸

# >/

1

expˆ ‰ÈB#>

#

.

25.5 Observações: 1) Vemos aqui um teorema do limite central a duas dimensões: >(interprete-se como sendo o tempo) e (interprete-se como sendo o espaço). EstasBinterpretações justificaram-se no contexto dos processos estocásticos.

2) O período de tempo escreve-se ( ) e o incremento de espaço escreve-$ /> œ "Îse ( ). Note que$ /B œ #ÎÈ

$ $B œ # >È .

3) Se , vem logo e> œ " 8 œ /

,Ð"ß BÑ ¸Ð Ñ

#

exp B#

#

È 1,

a densidade da distribuição standard normal. A substituição é motivadaB œ 4 Î#

Î#

/

/Èpela observação de que, se pertence à massa de (isto é, a sua distância à4 FÐ ß 4Ñ/esperança é de ordem do desvio-padrão ), então , pertencendo à massa de/ /Î# Î# BÈ,Ð"ß BÑ, é limitado.

4) Enquanto e têm a mesma ordem de grandeza ( @ , correspondente a 8 8 œ >/ /

apreciável), o efeito da substituição é o mesmo, se pertence à massa deB œ 44

Î#

8Î#È/

FÐ8ß 4Ñ B > B, então / é limitado, e é limitado.È a fortiori,

5) O factor de multiplicação dos coeficientes binomiais é explicado peloÈ/Î# F

argumento seguinte. Temos


" œ FÐ8ß 4Ñ œ FÐ8ß 4Ñ † "" "!Ÿ4Ÿ8 !Ÿ4Ÿ8

(«Diagrama de barrinhas de largura »). A substituição reduz a largura das" 4 { Bbarrinhas pelo factor ( , inverso do desvio-padrão no caso onde ).#Î œ B 8 œÈ/ $ /

Para conservar a área, temos que aumentar as suas alturas dum factor È/Î#

( ). Assim, será uma distribuição de probabilidade sobre o quase-œ "Î B ,Ð>ß BÑ B$ $

intervalo ... de passo , e o diagrama da barrinhas transforma-seÒ> > >Î >Ó BÈ È$ $ $numa soma de Riemann:

" "!Ÿ4Ÿ8 >Î >ŸBŸ>Î >

FÐ8ß 4Ñ † " œ ,Ð>ß BÑ BÈ È$ $$ .

É claro que, se é apreciável, os extremos do intervalo do somatório t> „ Î >È$são ilimitados.

Dem do teorema de DeMoivre-Laplace. . Escrevemos, com 4 œ 8 B# #>

8 †È È

œ 8 B 8# ##> †È È ,

,Ð>ß !Ñ œ -

, Ð>ß BÑ œ

,.-

,Ð>ßBÑ-

Supomos (só por comodidade) que é par e . Então, aplicando o lema 25.3,8 4 8#

, Ð>ß BÑ œFÐ8ß 4Ñ

FÐ

œ †8x Ð xÐ x

4xÐ8 4Ñx 8x

œÐ8 4 "ÑÐ8 4 #ÑâÐ

Ð "ÑÐ #ÑâÐ4Ñ

œÐ ÑÐ "Ñâ † "

Ð "ÑÐ

-

8 B 8# ##>

8ß 8Î#Ñ

8Î#Ñ 8Î#Ñ

8Î#Ñ

8Î# 8Î#

8Î# 8Î#

8Î# 8Î#

ˆ ‰ÈÈ#Ñâ †

œÐ"

Ð"

œ Ð" B

#>

ˆ ‰Èˆ ‰ˆ ‰

Š ‹

8 B 8# ##>

" B# #>

" B# #>

#

ÈØ .Ø .

Ø

Ñ

Ñ

Ñ

expexp

exp

#

#

Então

,Ð>ß BÑ - † B

#>µ expŠ ‹#

.


Pelo teorema 24.9, a massa de é e tem-se:,Ð>ß BÑ £,

" œ ,Ð>ß BÑ B

- † BB

#>

"" Š ‹

> >ŸBŸ>Î >

> >ŸBŸ>Î >

#

È È

È È

$ $

$ $

$

$µ exp

.

µ

µ

- † .BB

#>

- † .B œ - † # >B

#>

( Š ‹( Š ‹ È

> >

> >

#

_

_ #

ÈÈ$

$

exp

exp 1

Portanto, , e, com apreciável,- >µ "

# >È 1

- ¸ Þ"

# >È 1

Concluimos que

,Ð>ß BÑ ¸

# >

expˆ ‰ÈB#>

#

1.è

Antes de enunciar um corolário do precisamos deteorema de DeMoivre-Laplace uma definição que também será utilizada na secção seguinte.

25.6 Definição Sejam , , , $ “ $ $ $ —> ! œ Ö5 > À 5 − × B œ # > œÈÖ8 B À 8 − ×$ ™ . A é definida porrede V$ $>ß B

V$ $>ß B œ ÖÐ>ß BÑ À > × ÖÐ>ß BÑ À > > >×− # • B − − # • B − “ — “ —$ $È .

Seja . O é definido porX − G ©“ cone binomial X >ß BV$ $

G œ ÖÐ>ß BÑ − À > − Ò! X Ó B − Ò>Î > >Î >Ó×X >ß BV$ $ ... , ... .È È$ $

25.7 CorolárioSeja tal que é apreciável. EntãoÐ>ß BÑ >− V$ $>ß B

" ÈCŸB

,Ð>ß CÑ ¸ Ð ÑB

>$ ax ,


onde é a distribuição normal standard, definida pora

a1

ÐBÑ œ .C/

#( È_

B C Î##

.

Dem. As massas de e são . As duas funções são de classe .,Ð>ß BÑ Wexpˆ ‰È

# >

B#

#>

1£ !

Pelo teorema 24.12, para todo o tem-seB

" ( ÈCŸB_

B C#>,Ð>ß CÑ B ¸ .C

Ð Ñ

# >$

1

exp#

.è

Pelo teorema de De Moivre-Laplace temos

,Ð à >ß BÑ µ

# >/

1

expˆ ‰ÈB#>

#

para todo limitado. Por permanência, esta fórmula é valida para alguns ilimitados,B Bmas não se pode confirmar que seja valida para todos os . Mas uma forma relaxadaBda fórmula continua a ser verdadeira fora da galáxia principal, e é útil para aproximaresperanças de variáveis estocásticas que tomam valores ilimitados. Na sua derivaçãoserá utilizada a desigualdade notável

logÐ" BÑ Ÿ B B " ( ).

Além disso, aplicando essa desigualdade e uma minoração de uma soma deRiemann decrescente pelo seu integral, tem-se

Š ‹Š ‹ Š ‹ Š ‹È " ˆŠ ‹" È ÈŠ ‹(

" " â " œ " Ñ" # 2? "

Ÿ †2 "

Ÿ @.@ œ /

= = = =

=

= =

exp log

exp

exp

.

2œ"

? "

2œ"

? "

!

?? Î#

È

È

=

=

#

25.8 TeoremaSeja limitado e ponhamos com , , .8 − ! Ÿ 4 Ÿ 8 4 œ l?l Ÿ 8 8

# #

? 8È ÈEntão

,Ð ß ?Ñ œ / Þ1 £ ?@ #

Dem. Mostramos que 1 1 Se ,,Ð ß ?Ñ Ÿ ,Ð ß !Ñ/ Þ ? !? Î%#


,Ð"ß ?Ñ œ ,Ð"ß !Ñ † œ ,Ð"ß !Ñ †,Ð"ß ?Ñ

,Ð"ß !Ñ

4 " â

" # â

œ ,Ð ß !Ñ †" † " â "

" â "

Ÿ ,Ð

1

1

ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰

Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹

8 8# #

8 8 8# # # #

? 8

"8Î# 8Î#

Ð? 8ÑÎ#

"8Î# 8Î#

Ð? 8ÑÎ#

ÈÈ

È

ß !Ñ † " â " "

8Î# 8Î#

Ð?Î #Ñ 8Î#Ñ

Ÿ ,Ð ß !Ñ/ Þ

Š ‹ Š ‹È È1 ? Î%#

O caso reduz-se ao caso tratado, pondo . O teorema segue, então,? ! 5 œ 8 4da estimação 1 .,Ð ß !Ñ œ £ è

25.9 Exercícios e problemas1. Demonstre o teorema do limite central para a distribuição : > Se e= ¸ _

> œ ?= =È pertence à massa, então

/ > /

x #

> ? Î#=

= 1=µ

#

È .

2. Na demonstração do teorema de DeMoive-Laplace, calcule através da-

fórmula e da fórmula de Stirling.FÐ œ †8ß 8Î#Ñ 8xÐ8Î#ÑxÐ8Î#Ñx Š ‹"

#8

3. É sabido que . Mostre queŠ ‹ Š ‹ Š ‹8 8" 8"4 4" 4œ

FÐ8ß 4Ñ œ FÐ8 "ß 4 "Ñ FÐ8 "ß 4Ñ" "

# #

e

,Ð>ß BÑ œ ,Ð> >ß B >Ñ ,Ð> ß B >Ñ" "

# #$ $ $ $È Èt .

(«triângulo de Pascal»). Conclua também que, se é ímpar, com apreciável e >Î > > B$limitado, então

,Ð>ß BÑ ¸

# >

expˆ ‰ÈB#>

#

1.

4. Seja

I Ð Ñ œ .>/

" >"

!

_ >

&&

(


a e , . Para comodidade supomos que , ondeexponencial-integral & & & = ! ¸ ! œ "Î= − .

(a) Mostre através da integração por partes e indução que

I Ð Ñ œ Ð"Ñ 5x Ð"Ñ 8x .>/

Ð" >Ñ" !Ÿ58

5 5 8 8

!

_ >

8& & &

& ." (

(b) Mostre que o termo de índice é minimal (em valor absoluto).=

(c) Ponhamos

< Ð Ñ œ Ð"Ñ 8x .>/

Ð" >Ñ8"

8 8

!

_ >

8& &

&( .

Mostre que, para limitado,8

< Ð Ñ œ Ð" Ð"Ñ 8x8"8 8& &Ø .Ñ

(d) Conclua que, para limitado,8

< Ð Ñ œ88& &Ø .†

(e) Utilizando o Princípio de Fehrele, mostre que existe um índice tal que/ ¸ _

< Ð Ñ − Q/ && ,

isto é, existe um erro pertencendo ao microhalo de .&

(f) Mostre que

< Ð Ñ ¸ † x † /"

#=

=" & = ,

e, utilizando a fórmula de Stirling, conclua que , isto é, existe um erro< Ð Ñ − 7= &" &pertencendo à microgaláxia de . Este erro é quase-minimal (v. também exercício&24.19.7, p. 236).

(g) Porém, a série é divergente. Dê um índice tal que!5 !

5 5Ð"Ñ 5x 8&

< Ð Ñ Ð"Ñ 8x < Ð Ñ ¸ _8" 8""%

8 8& & &µ e mostre que, para este índice, .

5. Sejam , , . Ponhamos com limitado.= - - = - - ! ¸ _ œ ? ? !ÈMostre que os valores da distribuição de Poisson ( ) com parâmetro ilimitado são dacforma .|c = c -Ð Ñ œ Ð Ñ Ð_?Ñexp

25.10 Problema em abertoDê uma descrição completa da função binomial , inclusive para os valores,Ð>ß BÑ

> ¸ ! B ¸ _ ,Ð>ß BÑ W > e («desvios grandes»). É sabido que é de classe em e de"

classe em . Investigue as suas propriedades de -derivabilidade de ordemW B W#

superior.


§26. O passeio estocástico de Wienere a equação do calor

O movimento browniano é o processo estocástico contínuo fundamental. Asequações diferenciais estocásticas escrevem-se mediante este movimento, bem comoas soluções das equações diferenciais parciais parabólicas, em particular a equação docalor.

A análise não-standard permite uma alternativa desta teoria, agora discreta: asequações de diferenças parciais parabólicas, as equações de diferenças estocásticas e opasseio estocástico discreto de Wiener, todas com período de tempo e incrementoespacial infinitesimais. Portanto, a teoria alternativa é finita. Já existe uma literaturaabundante: entre outras, as obras de Anderson [3], Keisler [191], Cutland [81],Albeverio [1], Nelson [253]. Esta secção pressupõe conhecimento doset alii conceitos pertinentes das probabilidades finitas, todavia as definições necessárias sãoaqui recordadas. É fortemente inspirado pelo livrinho Radically elementaryprobability theory (1987) de E. Nelson [ ], para o qual remetemos para mais amplo253desenvolvimento. O passeio de Wiener é o exemplo central, e tratamos das suaspropriedades assimptóticas e da sua relação com a equação de calor.

Nesta secção, por conveniência de referenciação e de exemplificação, os exercí-cios encontram-se distribuídos ao longo do texto. Muitos deles concernem oMovimento Browniano Geométrico discreto, outro exemplo importante de passeioestocástico, que tem, em contraste com o passeio de Wiener, andamentos multipli-cativos aditivos em vez de andamentos . O objectivo de tais exercícios é, normal-mente, estabelecer uma propriedade análoga a uma propriedade do passeio de Wienerque venha demonstrada no texto, contribuindo assim para uma melhor percepção dapropriedade em questão.

Fórmulas assimptóticas e equações parabólicas para processos estocásticos maisgerais foram consideradas em [30] e [31]. Porém, uma classe grande de processos e deequações reduzem-se às simples mencionadas, através de teoremas — não triviais —de tipo Itô, Girsanov e Feynman-Kac.`́

26.1 Definição Sejam e . Seja . Um $ “ $ “> ! œ Ö5 > À 5 − × X − processoestocástico indexado pelo quase-intervalo ... é um conjunto de trajectóriasÒ! X Ó A- ‘ -À Ò! X Ó Ä Ñ !... , tendo cada trajectória uma , de modo queprobabilidade PrÐ

"- A−

PrÐ-Ñ œ ".

De facto, o conjunto das trajectórias, , é um espaço de probabilidade —Ainterprete-se como de desenvolvimento futuro.todos os cenários possíveis

Uma outra maneira de ver isto é a seguinte. Seja , e consideramos aX − > Ÿ X“aplicação , definida por\ À Ä> A ‘


\ Ð Ñ œ Ð>Ñ> - - .

A aplicação , sendo definida sobre o espaço de probabilidade , representa\ Ð ß> A PrÑuma variável aleatória. Vemos que um processo estocástico é identificado com umasucessão de variáveis aleatórias , todas definidas sobre o mesmo espaço deØ\ Ù> !Ÿ>ŸX

probabilidade.Normalmente, as trajectórias são definidas implicitamente, através dos seus

incrementos passeio de Wiener . Os do no tempo $\ œ \ \ [ >> > > >$ incrementosqualquer são as variáveis aleatórias

$$

$[ œ

>

>>

"#"#

ÈÈ , probabilidade

, probabilidade .

Então toda a trajectória , em qualquer instante é uma soma parcial- >

- $Ð>Ñ œ Ð"Ñ >" È!Ÿ=>

Ð=Ñ& ,

onde ou . Se exigimos a dos incrementos, isto é,& &Ð=Ñ œ " Ð=Ñ œ " independênciapara cada , ,= > − “

Pr Pr PrÖ Ö Ö$ $- $ $- $ $- $ $-[ œ • [ œ × œ [ œ × † [ œ ×= = > > = = > > ,

(onde , ), todas as trajectórias têm a mesma probabilidade$- $- $= > œ „ >ÈPrÐ-Ñ œ

"

#Š ‹XÎ >$

.

Uma é uma equação para os incrementos dasequação de diferenças estocásticatrajectórias dum processo estocástico, do tipo

$ . $ 5 $\ œ Ð>ß\ Ñ > Ð>ß\ Ñ [> > > >, (26.1)

isto é, toda a trajectória do passeio de Wiener define uma trajectória do- 0 0œ -

processo , como sucessão de somas parciais dos incrementos\

$0 . 0 $ 5 0 $-Ð>Ñ œ Ð>ß Ð>ÑÑ > Ð>ß Ð>ÑÑ Ð>Ñ

e com a mesma probabilidade. Pela bijecção , o processo pode ser0 Ó -- \considerado como uma sucessão de variáveis aleatórias sobre o conjunto dastrajectórias do passeio de Wiener, e diz-se também ao passeio de Wiener.adaptado

Um exemplo é o definido pela equação demovimento browniano geométricodiferenças estocásticas

œ $ . $ 5 $W œ W > W [W œ "

> > > >

!

,.

Uma trajectória satisfaz'Ð>Ñ

$' .' $ 5' $Ð>Ñ œ Ð>Ñ > „ Ð>Ñ >È ,


ou ainda

' $ ' .$ 5 $Ð> >Ñ œ Ð>ÑÐ" > „ >ÑÈ ,

logo é uma sucessão de produtos parciais:

' .$ 5 $Ð>Ñ œ " > „ >$ È!Ÿ=>

.

Os processos acima são discretos, mas, se , os incrementos das trajectórias$> ¸ !são infinitesimais, e as trajectórias podem ter propriedades de continuidade. Comefeito, é precisamente o facto de os incrementos das trajectórias serem de ordem degrandeza @ que faz que quase todas as trajectórias sejam -contínuas, sem serÈ$> WW-estacionárias (isto é, tomando valores infinitamente próximos do valor inicial). FoiAnderson que deu uma definição precisa de «quase todas as trajectórias», e foi Nelsonque forneceu condições para demonstrar este teorema.

26.2 Exemplos1) A trajectória mediana do passeio de Wiener , alternadamente com7Ð>Ñ

incrementos positivos e negativos, toma sempre só os valores e7Ð>Ñ œ !

7Ð>Ñ œ > = ¸ > 7Ð=Ñ ¸ 7Ð>Ñ 7 WÈ$ . É claro que, se , tem-se , logo é -contínua.

2) A trajectória máxima , unicamente com incrementos positivos, não é -QÐ>Ñ Wcontínua. De facto,

QÐ>Ñ œ>

>È$,

e se , já . Visto que , não é -contínua.> > QÐ>Ñ ¸ " > ¸ ! Q Wµ È È$ $

26.3 ExercícioSeja limitado e apreciável. Seja a trajectória do movimento. 5 0Ð>Ñ mediana

geométrico browniano,

$0.0 $ 50 $ $

.0 $ 50 $ $Ð>Ñ œ

Ð>Ñ > Ð>Ñ > >Î >

Ð>Ñ > Ð>Ñ > >Î > ÈÈ para par,

para ímpar.

1. Calcular , e depois , para par.0 $ 0 $Ð# >Ñ Ð>Ñ >Î >

2. Mostre que para limitado.0 . 5Ð>Ñ ¸ Ð Ñ> >exp "#

#

3. Mostre que é de classe . Se consideramos só para instantes tais que 0 0 $W > >Î >!

é par, mostre que é mesmo de classe , isto é, é também de classe .0 W W" !0 $ 0$

Ð># >Ñ Ð>Ñ# >

4. Se , mostre que , para ilimitado.. 0œ ! Ð>Ñ ¸ ! >

5. Seja a trajectória mínima do movimento browniano geométrico. Mostre(Ð>Ñque já existe , tal que .> ¸ ! Ð>Ñ ¸ !(


26.4 ExercícioSejam , um processo estocástico e uma trajectória de . OX − \ \“ 0

comprimento de é definido porZ Ð Ñ0 0

Z Ð Ñ œ l Ð>Ñl0 $0"!Ÿ>X

.

Supomos que é apreciável.X

1. Calcular o comprimento duma trajectória qualquer do passeio de Wiener emostre que é ilimitado.

2. Consideramos o movimento browniano geométrico com e . Dê. 5œ ! œ "uma expressão assimptótica para o comprimento da trajectória mediana e deduza0que este comprimento é ilimitado. Porém, existem trajectórias tal que 6 ' 0ÐX Ñ œ ÐX Ñe é limitado. Pode dar um exemplo de uma tal trajectória e calcular umaZ Ð Ñ6aproximação infinitesimal do comprimento dela?

26.5 Problema em abertoNelson deu uma demonstração do facto de que quase todas as trajectórias são W!

no caso duma grande classe de processos, as «martingalas», sob condições bastantegerais. Existe uma demonstração simples, só para o passeio de Wiener?

A distribuição de probabilidade do passeio de Wiener é

PrÖ[ œ B× œ ,Ð>ß BÑ B

# >B B >

>

B#>

com limitado, apreciável.

$

1$µ

expˆ ‰È#

Demonstramos isto mais adiante.Para o enunciado seguinte precisamos recordar a definição de cone binomial ( )GX

e outras notações da p. 390.

26.6 TeoremaSejam , . Sejam e uma trajectória do passeio deX > Ÿ X Ð>ß BÑ − G− “ -X

Wiener indexado por ... tal que . SejamÒ! X Ó Ð>Ñ œ B-

/$ $ $

œ 4 œ > > B

> # > B, .

Então sobe vezes e desce vezes para . A probabilidade que- /4 4 ! Ÿ > Ÿ X[ œ B ,Ð>ß BÑ B > B> é igual a . Se é apreciável e é limitado, esta probabilidade é$

assimptótica a .expˆ ‰B#

#>È# >1$B


Dem. De facto

4 > Ð 4ÑÐ >Ñ œ Ð Ñ > Ð ÑÐ >Ñ> B > B

# > B # > B

œ œ BB B

# #

È È È È$ / $ $ $$ $ $ $

.

Primeiro, supomos que o passeio de Wiener é indexado só por ... . Então háÒ! >Ó

Š ‹/4 #" trajectórias terminando em , cada uma com probabilidade . EntãoB /

PrÖ[ œ B× œ œ ,Ð>ß BÑ B4 #

"> Œ / $

/.

Em geral, para toda a trajectória ... tal que definemos- ‘ -À Ò! X Ó Ä Ð>Ñ œ B

- ! ! ‘ ! -œ Ö ± À Ò! X Ó Ä • Ò! >Ó œ Ò! >Ó×... ... ... .

Identificamos a classe com a sua parte inicial ou restrição ... . Há tantas classes- - Ò! >Ó- como trajectórias definidas só sobre ... . Logo, conclui-se queÒ! >Ó

PrÖ[ œ B× œ ,Ð>ß BÑ B> $ .

Tem-se

,Ð>ß BÑ B B > B

# >$ $

1µ

expˆ ‰ÈB#>

#

para apreciável e limitado,

pelo teorema de DeMoivre-Laplace.è

26.7 ExercícioSejam e uma trajectória do passeio de Wiener. Temos> − “ -

- $Ð>Ñ œ Ð"Ñ >" È!Ÿ=>

Ð=Ñ& ,

onde . Seja a trajectória do movimento browniano geométrico & 0Ð=Ñ œ „ " Wcorrespondente, isto é,

0 .$ 5 $Ð>Ñ œ " > Ð"Ñ >$ È!Ÿ=>

Ð=Ñ& .

Seja limitado e apreciável.. 5 !

1. Transforme o produto numa soma utilizando a exponencial e o logaritmo e,aplicando o desenvolvimento de Taylor de ordem 2, mostre que para qualquer > − “se tem

0 . 5 5-Ð>Ñ œ Ð Ñ> Ð>Ñ "

#expŠ # Ø .>‹


2. Deduzir que se é apreciável e , então> B !

PrÖW Ÿ B× ¸B Ð Ñ>

>>

"#

#

a. 5

5Š ‹Èlog

.

3. Ponhamos , . Mostre que para apreciável. 5œ ! œ " > !

PrÖW Ÿ / × œ Ð" >Ñ"

#>

>Èa È .

4. Deduza que esta fórmula é ainda válida para alguns , e então para tais> ¸ _> ¸ !, existe tal que!

PrÖW Ÿ × ¸ "> ! .

De facto, esta propriedade é válida para todo ilimitado (pode demonstrar isto>directamente a partir da expressão assimptótica de acima?): Logo, se ( de0 .Ð>Ñ œ !facto, se ) quase todas as trajectórias do movimento browniano geométrico. 5

y̧#

têm, mais tarde ou mais cedo, valores pequenos.

Vamos agora estabelecer a relação entre o passeio de Wiener e a equação de calordiscreta. Veremos que:

I. O passeio de Wiener, tal como outros processos, como o movimento brownianogeométrico, é apresentado por uma , definida sobre o conesuperfície discretabinomial, e satisfazendo a equação do calor discreta:

?Ð> # >ß BÑ ?Ð>ß BÑ " ?Ð>ß B BÑ #?Ð>ß BÑ ?Ð>ß B BÑ

# > # Bœ †

$ $ $

$ $ #.

II. A solução desta equação escreve-se na forma de uma esperança com respeito aopasseio de Wiener.

Desenvolvimento de I. O cone binomial é a reunião de todas as trajectórias dopasseio de Wiener. Consideramos um processo , solução da equação de diferenças\estocástica

œ $ . $ 5 $‘

\ œ Ð>ß\ > Ð>ß\ [\ œ - -

> > > >

!

) ) , ( ).−

Um tal processo é, como o passeio de Wiener, : para cada tempo bivalente >existem exactamente duas maneiras para continuar. Seja uma trajectória de e a0 -\

trajectória do passeio de Wiener correspondente. Se , falamos dum$- $Ð>Ñ œ >Èmovimento para cima, e o valor obtido escreve-se ; se ,0 $ $- $Ð> >Ñ Ð>Ñ œ >È


falamos dum , e o valor obtido escreve-se :movimento para baixo 0 $Ð> >Ñ

0 $

ß

0

à

0 $

Ð> >Ñ

Ð>Ñ

Ð> >Ñ.

( possivelmente ). Escreve-se tambémNB: 0 $ 0 $ Ð> >Ñ Ÿ Ð> >Ñ

$0 0 $ 0

$0 0 $ 0

Ð>Ñ œ Ð> >Ñ Ð>Ñ

Ð>Ñ œ Ð> >Ñ Ð>Ñ

,.

Supomos agora que satisfaz outra propriedade do passeio de Wiener: um movimento0para cima seguido por um movimento para baixo dá o mesmo resultado que ummovimento para baixo seguido por um movimento para cima:

0 $

ß à

0 0 $ 0 $

à ß

0 $

„ …

Ð> >Ñ

Ð>Ñ Ð> # >Ñ œ Ð> # >Ñ

Ð> >Ñ

.

Então diz-se . É claro, duas trajectórias e dum processo0 0 (recombinadorecombinado tendo no tempo o mesmo número de movimentos para cima (e a>fortiori o mesmo número de movimentos para baixo) têm o mesmo valor .0 (Ð>Ñ œ Ð>ÑÉ aos processos recombinados que podemos associar uma superfície discreta noespaço , definida sobre o cone binomial. De facto, definimos a aplicação‘$

0 ‘~ porÀ G ÄX

0 0 -~ ,Ð>ß BÑ œ Ð Ñ>

onde é uma trajectória do passeio de Wiener de modo que . A aplicação é- -Ð>Ñ œ Bbem-definida: se a trajectória satisfaz igualmente , os números de. .Ð>Ñ œ Bmovimentos para cima de e de sobre ... são iguais, tal como para as trajectórias- . Ò! >Ó

0 0 0 0 0- . - . e . Então : não depende da escolha da trajectória.~Ð>Ñ œ Ð>Ñ Ð>ß BÑ

A superfície discreta associada ao passeio de Wiener é o plano

[Ð>ß BÑ œ B~ ,

e a superfície discreta associada ao movimento browniano geométrico, curvada, tem aaproximação

WÐ>ß BÑ ¸ > B"

#

~ ,expŠ ‹ˆ ‰. 5 5#

para limitado.Ð>ß BÑ − GX

Damos agora uma condição necessária e suficiente para a superfície discreta seruma solução da equação do calor discreta.


26.8 Definição Um processo bivalente diz-se uma se para toda\ martingalatrajectória e todo o instante ! >

! ! $ ! $Ð>Ñ œ Ð> >Ñ Ð> >Ñ" "

# # .

Normalmente o conceito de martingala é definido para uma classe maior deprocessos. Aqui não desenvolvemos este conceito, só damos alguns exemplos, emostramos a relação com a equação do calor.

Outra maneira de escrever a igualdade acima é

" "

# #Ð>Ñ Ð>Ñ œ !$! $! .

26.9 ExemplosO passeio de Wiener é uma martingala porque . O" "

# #È È$ $> Ð >Ñ œ !

processo não é uma martingala, porque cada trajectória satisfaz em cada[ >> !momento >

" " " "

# # # #Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð > >Ñ Ð > >Ñ œ >$! $! $ $ $ $ $ È È .

Em geral uma solução da equação de diferenças estocástica (26.1) é umamartingala sse , porque se tem sempre. ´ !

" "

# #Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð>ß Ð>ÑÑ >$! $! . ! $ .

26.10 Notação Sejam e . EscrevemosÐ>ß BÑ 0 À Ä− V V$ $ $ $>ß B >ß B ‘

$ $

$ $

$ $ $

"

#

##

0Ð>ß BÑ œ 0Ð> # >ß BÑ 0Ð>ß BÑ

0Ð>ß BÑ œ 0Ð>ß B BÑ 0Ð>ß BÑ

0Ð>ß BÑ œ 0Ð>ß B # BÑ #0Ð>ß B BÑ 0Ð>ß BÑ

,,

.

26.11 TeoremaSeja uma martingala bivalente recombinado. Seja a superfície discreta~

0 0associada a . Então para todo o ponto pertencendo ao cone binomial,0 Ð>ß BÑ

$ 0 $ 0 $ $

$ $" ##

#

~ ~.

Ð>ß BÑ " Ð> # >ß B BÑ

Ð#>Ñ # Bœ †


Dem. Temos

0 0 $ $ 0 $ $

0 $ $ 0 $

0 $ 0 $ $

0

~ ~ ~

~ ~

~ ~

~

Ð>ß BÑ œ Ð> >ß B >Ñ Ð> >ß B >Ñ" "

# #

œ Ð> # >ß B BÑ Ð> # >ß BÑ " " "

# # #

Ð> # >ß BÑ Ð> # >ß B BÑ" " "

# # #

œ Ð>"

%

È Èˆ ‰

ˆ ‰ # >ß B BÑ Ð> # >ß BÑ Ð> # >ß B BÑ

" "

# %$ $ 0 $ 0 $ $

~ ~ .

Logo

0 0 $ 0 $ $ 0 $

0 $ $

~ ~ ~ ~

~ .

Ð>ß BÑ Ð> # >ß BÑ œ Ð> # >ß B BÑ Ð> # >ß BÑ " "

% #

Ð> # >ß B BÑ"

%

Dividindo por , obtém-se$ $Ð#>Ñ œ # > œ œÐ# >Ñ# #

BÈ$ $# #

$ 0 $ 0 $ $

$ $" ##

#

~ ~.


Ð#>Ñ # Bœ † è

NB. Muitas vezes, mas não sempre, é de classe nas duas variáveis.$ 0$

###

~Ð>ßBÑB W!

Neste caso podemos considerar também a quase-equação de expressão mais simples

$ 0 $ 0

$ $" ##

#

~ ~.

Ð>ß BÑ " Ð>ß BÑ

Ð#>Ñ # B¸ †

26.12 Exercícios1. Seja , . Sejam e$ $ % $ —B ¸ ! B ! ÐBÑ œ Ð" BÑ ÐB − ÑBÎ B$

& $ — $ % &ÐBÑ œ Ð" B BÑ B − lBl Ÿ "Î B Þ ÐBÑ ÐBÑ"Î B$ ( , ) Mostre que e e as suasderivadas discretas e são funções de classe .$% $ $& $ÐBÑÎ B ÐBÑÎ B W!

2. Seja um processo recombinado satisfazendo a equação de diferenças0estocástica (26.1). Mostre que a superfície discreta associada satisfaz a equação

$ 0 $ 0 $ $

$ $.

" ##

#

~ ~,


Ð#>Ñ # Bœ † Ð>ß BÑs

onde

. . . $ $ . $ $sÐ>ß BÑ œ Ð>ß BÑ Ð> >ß B >Ñ Ð> >ß B >Ñ" " "

# % %~ ~ ~È È

é a «média de garfo». Calcular aproximadamente no caso do movimento browniano~.geométrico e mostre que é de classe nas duas variáveis. Mostre que~. W!


. .sÐ>ß BÑ ¸ Ð>ß BÑ > B~ se , são limitados, e para os mesmos valores dos argumentossimplique a equação, obtendo

$ 0 $ 0 $ $

$ $.

" ##

#

~ ~~ .


Ð#>Ñ # B¸ † Ð>ß BÑ

3. Finalmente, calcular aproximadamente e , utilizando um$ 0 $ 0$ $

# ###

~ ~Ð>ßBÑ Ð>ßBÑB B

desenvolvimento de Taylor com um número suficiente de termos, e mostre que aequação acima ainda se simplica, para

$ 0 $ 0

$ $.

" ##

#

~ ~~ .

Ð>ß BÑ " Ð>ß BÑ

Ð#>Ñ # B¸ † Ð>ß BÑ

Desenvolvimento de IIÞ V Consideramos a equação de calor sobre a rede ,$ $>ß B

com condição final prescrita

$ $ $ $$ $" ##

#

?Ð>ßBÑ ?Ð># >ßB BÑÐ#>Ñ # B

"œ †

?ÐX ß BÑ œ 1ÐBÑ 1 À Ä, onde .(26.2)

— ‘

Por vezes, se , e escrevemos .> X − > X œ X >“ 7

26.13 TeoremaA solução de interpreta-se com uma martingala recombinada. Além disso,(26.2)

para todo ,Ð>ß BÑ − V$ $>ß B

?ÐX ß BÑ œ ,Ð ß CÑ ÐB CÑ B7 7 $"lClŸ Î >7 $È g . ( .3)26

Dem. Podemos definir formalmente para tal que / é ímpar> >7 $

?Ð>ß BÑ œ ?Ð> >ß B >Ñ ?Ð> >ß B >Ñ" "

# #$ $ $ $È È .

É claro que esta igualdade é satisfeita para todo , , e mostra que Ð>ß BÑ > X ?Ð>ß BÑapresenta a superfície discreta duma martingala.

A fórmula (26.3) prova-se por indução descendente, utilizando a propriedade dotriângulo de Pascal. De facto, se por hipótese de indução

?ÐX ß BÑ œ ,Ð ß CÑ ÐB CÑ B7 7 $"lClŸ Î >7 $È g ,


então

?ÐX >ß BÑ œ ,Ð ß CÑ1ÐB > CÑ B "

#"

#,Ð ß CÑ1ÐB > CÑ B

œ ,Ð ß D >Ñ1ÐB DÑ B "

#

7 $ 7 $ $

7 $ $

7 $ $

" È" È

" È

lClŸ Î >

lClŸ Î >

Î > >ŸDŸ Î > >

7 $

7 $

7 $ $ 7 $ $

ÈÈ

È È È È

.

" È" Î > >ŸDŸ Î > >

lDlŸ Î > >

7 $ $ 7 $ $

7 $ $

È È È ÈÈ È

"

#,Ð ß D >Ñ1ÐB DÑ B

œ ,Ð ß DÑ1ÐB DÑ B

7 $ $

7 $ è

Lendo a demonstração do teorema 26.11 na direcção inversa, obtém-se para cadaÐ>ß BÑ Î >− V$ $>ß B tal que é par7 $

œ ?Ð>ß BÑ œ ?Ð> # >ß B BÑ ?Ð> # >ß BÑ ?Ð> # >ß B BÑ

?Ð>ß BÑ œ 1ÐBÑ

" " "% # %$ $ $ $ $

.

Note que se escreve também com uma esperança sobre as trajectórias?Ð>ß BÑduma martingala, porque

?Ð>ß BÑ œ ,Ð ß CÑ1ÐB CÑ B

œ 1ÐB CÑ [ œ C×

œ 1ÐB Ð>ÑÑ Ñ

,

"""

lClŸ Î

lClŸ Î

−

7 $7

7 $7 7

- A

ÈÈ

7 $

- -

Pr

Pr

Ö

Ð7

onde é o conjunto das trajectórias do passeio de Wiener indexado por ... .A 77 Ò! ÓExistem aproximações da fórmula (26.3) que dependem das propriedades de

regularidade de . Tratamos dois casos.1

26.14 Definição Uma função real que cresce no máximo com , onde1ÐBÑ O/GB

O G W, são limitados, diz-se de -ordem exponencial.

Segue da transferência que a sombra duma função -exponencial ainda é -91 W 1 Wexponencial.

O teorema seguinte de aproximação da solução da equação do calor utiliza oteorema de DeMoivre-Laplace que diz que, se é apreciável, então>

,Ð>ß BÑ ¸ÐB Î#>Ñ

# >

exp #

È 1

para limitado; para ilimitado, utilizamos a fórmula mais «relaxada» do teoremaB B24.16, a saber

,Ð>ß BÑ œ Ð B Ñ£ † exp @ .#


26.15 TeoremaSejam de classe de ordem -exponencial e apreciável. Então,1 À Ä W W— ‘ ! 7

para cada limitado,B

?Ð>ß BÑ ¸ 1ÐB CÑ.C" C

# #È ( Š ‹17 7_

_ #9exp .

Dem. Se é ilimitado tem-seC

,Ð ß CÑ1ÐB CÑ œ † / † /

œ /

œ /

œ /

7 .

£ ££££

C ÐBCÑ

C C

CÐC Ñ

C

@

@

@

@

#

#

#

£

£

£

Do mesmo modo obtém-se

expŠ ‹C

#1ÐB CÑ œ † /

#9 C

7£ @ #

.

Então as massas de e estão contidas em .,Ð ß CÑ1ÐB CÑ ÐC Î# Ñ 1ÐB CÑ7 7exp # 9 £Pelo teorema 24.11,

?Ð>ß BÑ œ ,Ð ß CÑ1ÐB CÑ B ¸ 1ÐB CÑ.CC

#" ( ˆ ‰

lClŸ >_

_ #9

7 $/È 7 $7

"

#È 17exp .è

De facto, o teorema acima também é válido se é um infinitesimal não nulo.7

Neste caso e são , um conceito introduzido a,Ð>ß BÑexpÐB Î#>Ñ

# >

#

È 1funções de Dirac

seguir. São funções com -discontinuidades extremas.W

26.16 Definição 1. ( ) Sejam integrável à RiemannVersão contínua H À Ä‘ ‘e limitado. A função chama-se uma na vizinhança de seB − H B‘ função de Diracexistem , tal que para todo , com , ,& &¸ ! + , + ,

(B+

B,

HÐCÑ.C ¸ ".

2. ( ) Sejam e limitado. A função chama-seVersão discreta H À Ä B − H— ‘ —uma na vizinhança de se existem , tal que para todo , comfunção de Dirac B ¸ ! + ,&+ , , ,&

"B+ŸCŸB,

HÐCÑ B ¸ "$ .

É claro que a massa duma função de Dirac está contida no intervaloÒB ß B Ó B& & , estritamente contido no halo de .


O exemplo-tipo duma função de Dirac discreta na vizinhança de é a funçãoB − —?BÐCÑ definida por

?$

BÐCÑ œ"Î B C œ B! C Á Bœ se

se .

26.17 ExercícioUtilize o conceito de massa para mostrar que as funções seguintes são funções de

Dirac:

(1) , se e , .,Ð>ß BÑ B ¸ ! > ¸ ! > Á !$

(2) , se , ." B

# > #>È 1expˆ ‰

#

> ¸ ! > Á !

(3) , para , ."B1 &&† # # & &¸ ! !

A de Dirac não é uma função real, pertence à análise funcional, edistribuição $tem a propriedade de que para todas funções «teste» contínuas , nulas fora um:intervalo compacto,

(_

_

$ : :ÐBÑ ÐBÑ.B œ Ð!Ñ.

O desejo de propôr uma teoria alternativa à teoria de distribuções, na qual asdistribuções actuam como funções reais é muito antíga dentro da análise não-standard,e data mesmo da sua forma precursora introduzida por Schmieden e Laugwitz, cf.[215], [283], [288], [ ], [315]. O teorema seguinte dá uma imitação da fórmula317acima para as funções de Dirac centradas em zero.

26.18 TeoremaSeja uma função real de classe sobre um intervalo , onde ,: W Ò+ß ,Ó + !!

, ! H são apreciáveis, e sendo zero fora deste intervalo. Seja uma função deDirac na vizinhança de . Então!

(_

_

HÐBÑ ÐBÑ.B ¸ Ð!Ñ: : .

Dem. Seja tal que a massa de está contida no intervalo . Então& & &¸ ! H Ò ß Ó

( ( ( (( ( (

( (

_ +

_ ,

+

,

HÐBÑ ÐBÑ.B œ HÐBÑ ÐBÑ.B HÐBÑ ÐBÑ.B HÐBÑ ÐBÑ.B

œ HÐBÑÐ Ð!Ñ Ñ.B HÐBÑ .B HÐBÑ .B

œ Ð Ð!Ñ Ñ HÐBÑ.B

: : : :

:

:

Ø

Ø

& &

& &

& &

& &

&

&

£ £

£+

,&

&

HÐBÑ.B HÐBÑ.B

œ Ð Ð!Ñ ÑÐ" † † œ Ð!Ñ

£

£ £

(: :Ø Ø Ø Ø Ø.Ñ è


É claro que o teorema continua a ser verdadeiro se fora dos limitados, no caso: Á !que para cada = ¸ _

(B =

HÐBÑ ÐBÑ.B ¸ !: .

26.19 ExercícioSejam apreciável e , (ou , ). Consideramos aX − > ¸ X > X ¸ ! !“ 7 7

equação do calor discreta. Seja uma condição final de classe , estando 1 À Ä W !— ‘ !

fora de um intervalo , onde é apreciável. Por que razão as massas deÒ+ß +Ó + !,Ð ß CÑ1ÐB CÑ ÐC Î# Ñ7 7 e de estão estritamente contidas em Ø? Utilize o"

##È 17

expteorema de aproximação de integrais duma função de Dirac contra uma função «teste»de classe para mostrar que, se é limitado, entãoW B!

?Ð>ß BÑ œ ,Ð ß CÑ1ÐB CÑ B ¸ 1ÐBÑ ¸ 1ÐB CÑ.C" C

# #" È ( Š ‹

lClŸ Î >_

_ #9

7 $È7 $

17 7exp .

Então o resultado do teorema 26.15 continua a ser verdade para tempos >infinitamente próximos do horizonte .X

Finalmente, consideramos o caso onde a condição final da equação de calordiscreta é uma função de Dirac.

26.20 TeoremaSeja limitado. Consideramos a equação de calor discreta com horizonteD ( .4)26

X B limitado e condição final . Então para todo apreciável e limitado?D 7

?Ð>ß BÑ ¸#

expÐDBÑ#

#

7È 17.

Dem. Pelo teorema 26.13 e o teorema de DeMoivre-Laplace,

?Ð>ß BÑ œ ,Ð ß CÑ ÐB CÑ B

œ ,Ð ß D BÑ † † B"

Bœ ,Ð ß D BÑ

¸#

.

"

È

lClŸ > D

ÐDBÑ#

7 $

7

/È 7 ? $

7 $$

7

17

exp#

è

26.21 Problema em aberto ( )Integral de caminhos

Sejam , e . Sejam uma curva contínua de classe $ $ “ :> ¸ ! > ! X − B œ Ð>Ñ W!

tal que e .: < — :Ð!Ñ ! Ð>Ñ œ ÖB − À B Ÿ Ð>Ñ×max


Seja de classe . A solução de1 À G Ä WX!‘

ÚÝÛÝÜ$ $ $ $$ $" ##

#

?Ð>ßBÑ ?Ð># >ßB BÑÐ#>Ñ Bœ † B Ð>Ñ

?Ð>ß Ð>ÑÑ œ 1Ð>ß Ð>ÑÑ > X?Ð>ß BÑ œ 1ÐX ß BÑ > œ X

"# se

se se ,

<

< <

no ponto é o finitoÐ!ß !Ñ integral de caminhos

?Ð!ß !Ñ œ 1Ð> Ð>ÑÑ"

#" Š ‹

- A

$

−

>Î >

, ,-

onde é o conjunto das trajectórias do passeio de Wiener e é o tempo primeiro talA >que a trajectória chega à fronteira-

ÖÐ> Ð>ÑÑ À ! Ÿ > X× ÖÐX ß BÑ À B ÐX Ñ×, .< <

É claro que o número de termos no integral de caminhos é exponencialmente grande.Dê uma aproximação infinitesimal de menor complexidade.

26.22 Problema em aberto ( )Fronteira livre

Sejam , , limitado e apreciável. Seja $ $ “ ‘> ¸ ! > ! < ! X − 1 À G ÄX

definida por

1Ð>ß BÑ œ Ö" / ß !×max >B .

Definimos sobre com valores reais e sobre ... com valores em ?Ð>ß BÑ G Ð>Ñ Ò! X ÓX < —por indução descendente:

œ ?Ð>ß BÑ œ 1ÐX ß BÑÐX Ñ œ X< ;

se , estão definidas, então< 7 7ÐX Ñ ?ÐX Ñ

ÚÛÜ

š ›?ÐX >ß BÑ œ ß 1ÐX ß BÑ

ÐX >Ñ œ ÖB À ?Ð>ß BÑ œ 1Ð>ß BÑ×

7 $ 7

< 7 $

maxmax

" "# #?ÐX ßB >Ñ ?ÐX ßB >Ñ

"< >

7 $ 7 $

$

È È.

Determine aproximações infinitesimais da «fronteira livre» e de .< ? 72

72 Este problema está ligado ao problema de determinação da curva do exercício e do preçoda opção «Put Americano».

261

Capítulo IX

ECONOMIAS DE TROCA COM MUITOSAGENTES

§27. Introdução

Classicamente, os modelos de economias com um número grande de agentes(individuais, negociantes) são infinitos. O seu estudo — que valeu a Debreu o seuPrémio Nobel — necessita da teoria da medida. Sendo complicada para oseconomistas usuais, também se tem um paradoxo na modelação. Cada agente temmedida zero, mas a medida de colectividades é normalmente estritamente positiva: ainfluência dum grupo não se reduz às influências dos seus membros. O modeloalternativo não-standard é um mercado finito com um número ilimitado de agentes.Suprime o paradoxo e a complexidade: a influência, apreciável, dum grupo é a somadas influências, infinitesimais, dos membros, simplesmente não é necessário conside-rar integrais de Lebesgue. Esta abordagem deve-se já a Robinson, com o seu aluno D.Brown [43], e foi elaborada por alguns sucessores, como atesta o livro Economieswith many agents de S. Rashid [275]. É historicamente notável, porque foi o primeiromodelo matemático onde intervêm duas ordens de grandeza — a individual e acolectiva — juntas, e com intercâmbios à vontade entre os dois níveis.

Apresentamos duas propriedades fundamentais desta teoria:1. Para uma lotação de bens optimal no sentido de Pareto (uma troca interna preferida

para alguns é sempre ao detrimento de outros) pode ser atribuído um preço aosbens de modo que todas as lotações excedentes mais preferidas são também maiscaras.

2. O núcleo duma economia (uma lotação preferida para cada grupo não-insignificante, entre todas as lotações que podem ser obtidas por uma troca


interna de bens entre os seus membros), é próximo duma lotação de equilíbrio(para certo preço, quase todos os agentes estão optimalmente satisfeitos dentro doseu orçamento). É uma concretização da famosa .conjectura de EdgeworthA nossa apresentação é diferente da dos artigos originais e do livro de Rashid na

medida essencialmente em que as demonstrações dos teoremas são reduzidas a lemas,em contraste com as demonstrações compridas daqueles textos. Note-se que o livro deRashid contém um fundo económico e histórico muito mais amplo do que é aquiapresentado.

Utilizamos a abordagem axiomática da análise não-standard de [250], masIST observamos que a axiomática muito mais fraca de [230], de facto, é suficiente.ZFLPara as notações assimptóticas de ordens de grandeza, tais que Ø, , @, remetemos£para o Cápitulo VI.

§28. Especificação do modelo

Supomos sempre que o número de agentes é ilimitado e que o número de= 8espécies de bens é limitado. Primeiro, introduzimos uma notação para a comparaçãode vectores e conjuntos em .‘8

28.1 Notações 1. Sejam , dois vectores de . DefinimosB C ‘8

B CB CB CB CB C

B C

Í a3Ð" Ÿ 3 Ÿ 8 Ê B C • b3Ð" Ÿ 3 Ÿ 8 • B C ÑŸ Í a3Ð" Ÿ 3 Ÿ 8 Ê B C Ñ

Í a3Ð" Ÿ 3 Ÿ 8 Ê B C ÑÍ a3Ð" Ÿ 3 Ÿ 8 Ê B ¸ C ÑÍ a3Ð" Ÿ 3 Ÿ 8 Ê B C Ñ

Í a3Ð" Ÿ 3 Ÿ 8 Ê B

3 3 3 3

3 3

3 3

3 3

3 3¸

y̧

ŸŸ

¥¸¸

3 3y̧

µy y3 3 3 3

¸ ¸

C Ñ

Í a3Ð" Ÿ 3 Ÿ 8 Ê C Ñ • b3Ð" Ÿ 3 Ÿ 8 • B C ÑB C B .

Dizemos que um vector não-nulo é $ œ Ð ß ß Ñ$ $" 8... − ‘8 assimptoticamente não-negativo, e escreve-se , se , ou, no caso em que tem algumas$ $ $q ! !componentes negativas , tem também uma componente estritamente positiva,$3 ! $e as negativas satisfazem$3

$3 œ † .Ø ,

onde é a componente estritamente positiva máxima. Por exemplo, se , ,. ¸! !! !então

Ð"ß ß ß! ! q... ) .!

IX. ECONOMIAS DE TROCA COM MUITOS AGENTES 263

É claro que se é assimptoticamente não negativo, então é asimptoticamente$ $-não negativo para cada . Se , , escrevemos sse .- ! − B C C B C B !‘ q q8

2. Sejam , dois subconjuntos de . DefinimosE F ‘8

E § F Í a+ − Eb, − FÐ+ ¸ ,Ñ

E ¸ F Í E § F F § Eµ

µ µ e .

28.2 O modelo1. Negociantes, lotações, preferências

(a) Seja ... . Este conjunto chama-se o conjunto dos ouX œ Ö"ß ß ×= agentesnegociantes coligação. Uma parte (interna) chama-se uma . UmaW © X

coligação diz-se se , onde é o número de elementos denegligenciável lWl= ¸ ! lWl

W !. Uma propriedade vale para os agentes sse para todo existequase todos &y̧

uma coligação interna com e tal que a propriedade vale para todo oY lYl= Ÿ &

agente fora de . Note que se a propriedade é interna o conjunto de agentes paraYquem a propriedade não vale é negligenciável.

(b) Seja . Supondo que há diferente tipos de bens, uma é uma função8 − 8 lotaçãoB À X Ä ‘8

. Usualmente, consideramos duas lotações sucessivas: uma lotaçãoinicial final antes do negócio, e a lotação depois de se ter efectuado o negócio.MA lotação é definida pormédia B

B Bœ Ð>Ñ"

="

>−X.

Uma lotação é se e se . Ela diz-seatingível quase-atingívelB BŸ M M¸

distribuída infinitesimalmente limitada se , e se é limitado paraBÐ>Ñ= ¸ Ð>Ñ! B

cada . Se é distribuída infinitesimalmente e é apreciável, a distribuição> − X B Bdiz-se , e se é limitado, a distribução diz-se de média apreciável de médiaBlimitada.

(c) Uma é uma relação irreflexiva e transitiva. Dois vectoresrelação de preferência ×B C B×C C×B B e dizem-se se nem nem . Se é preferida ouindiferentesindiferente com respeito a , escrevemos . Se e escrevemos .C B×C B×C C×B BÖ×C A relação de preferência do agente escreve-se . Uma relação de preferência> ×>

diz-se semonótona

B C B×C¦ Ê ,

(mais é sempre preferível) e sequase-monótona

B C B×C Êµ

(mais é sempre preferível, e também mais só dum tipo, mas neste último casoperdas dum outro tipo que são infinitesimais com respeito à quantidade em


consideração, são possivelmente indiferentes. Esta indiferença resulta, porexemplo, da distracção, da falta de tempo para estudar bem o mercado, ou dofacto de a aquisição dar muita satisfação). Na prática, as preferências dos agentesnem sempre são monotonicamente consequentes. O exemplo seguinte descreveuma situação bastante natural onde as preferências têm uma limitação. Supomosque no princípio todo o agente possui um número limitado de bens. Além disso,cada agente quer mais, mas aceita que ser rico de mais é uma fonte de prejuízos.Precisamente, adquirir bens em quantidade limitada aumenta a satisfação, maspossuir um número ilimitado de bens induz problemas indesejáveis de, porexemplo, conservação ou custódia. Neste caso temos uma : paramonotonia localtodas as lotações limitadas tais que é limitado para qualquer agente ,[ [Ð>Ñ >tem-se

a Ð! ¥ _ Ê [Ð>Ñ [Ð>ÑÑÞ$ $ $y̧

×>

Observe-se que a monotonia local é compatível com a existência de umhorizonte:

a] À X Ä Ðm] Ð>Ñm ¸ _ Ê [Ð>Ñ ] Ð>ÑÑ‘8 ×> .

Note-se que existe bem uma relação de preferência (externa) localmente monó-tona. De facto, seja uma relação de preferência monótona (interna).¢>

Definimos por×>

se , são limitados se é limitado e é ilimitado,

, são

] Ð>Ñ \Ð>Ñ Í] Ð>Ñ ¢ \Ð>Ñ m] Ð>Ñm m\Ð>Ñm

m] Ð>Ñm m\Ð>Ñm

] Ð>Ñ \Ð>Ñ Í m] Ð>Ñm m\Ð>Ñm

×

Ö×

>

>

œ >

ilimitados.

É claro que é irreflexiva. Suponhamos . Note que e× × ×> > >^Ð>Ñ ] Ð>Ñ \Ð>Ñ m] Ð>Ñmm^Ð>Ñm \Ð>Ñ são necessariamente limitados. Se é ilimitado, automaticamente^Ð>Ñ \Ð>Ñ \Ð>Ñ ^Ð>Ñ ¢ ] Ð>Ñ ¢ \Ð>Ñ×> , e se é limitado, tem-se , logo> >

^Ð>Ñ ¢ \Ð>Ñ ^Ð>Ñ \Ð>Ñ> , pois . Note também que a monotonia local é×>

compatível com a propriedade de transitividade seguinte. Seja limitado. Se\Ð>Ñ$ &, são limitados, e visto que¦ !

\Ð>Ñ \Ð>Ñ Ð\Ð>Ñ Ñ \Ð>Ñ $ $ & $× ×> > e ,

tem-se limitado e$ & ¦ !

\Ð>Ñ Ð Ñ \Ð>Ñ$ & .×>

A coexistência da transitividade aditiva (nas preferências) e um horizonte (oessencial do paradoxo chamado uma característica da modelização não- ), é Sorites-standard que dificilmente se realiza dentro da matemática clássica.


2. Optimalidade de Pareto e núcleo.

(a) Uma lotação diz-se com respeito à lotação escreve-seC BPareto-preferida , eC BT , se

(i) , ea> − X Ð>Ñ Ð>ÑC × B>

(ii) ;b − X Ð Ñ Ð Ñ7 7 7C × B7

(b) Uma lotação diz-se se é atingível e se não existe outra lotaçãoB BPareto-optimalatingível tal que (o caso em que um agente particular fica mais satisfeitoC C BTpor uma outra atribuição de bens, será no detrimento dum segundo agente);

(c) Uma lotação a lotação (e escreve-se ) se existe uma coligaçãoC B C Bbloqueia Fnão negligenciável tal queW

(i) , ea> − W Ð>Ñ Ð>ÑC × B>

(ii) (o grupo fica mais satisfeito com a lotação" ">−W >−W

y̧= =! !CÐ>Ñ MÐ>Ñ W

C, no total em menos quantidade do que a disponível no início, mas distribuídamais inteligentemente).

(d) O é o conjunto de todas lotações atingíveis que não são bloqueadas pornúcleonenhuma lotação atingível (racionalizações eventuais só são pequenas ouconcernem pequenos grupos).

3. Preço, orçamento, equilíbrio

(a) Um é um vector de tal quepreço : œ Ð: ß ß : Ñ" 8... ‘8

(i) , e: ¦ !

(ii) .!83œ": œ "3

(b) O do agente é igual a . O doorçamento conjunto de orçamentos > MÐ>Ñ F Ð>Ñ: † :

agente ao preço define-se por> :

F Ð>Ñ œ Ö − À MÐ>Ñ×: B : † B : †‘8 Ÿ .

O vector diz-se dentro de se e para\Ð>Ñ F Ð>Ñ \Ð>Ñ − F Ð>Ñ \Ð>Ñmaximal : : × B>

todo .B − F Ð>Ñ:

(c) O do agente ao preço define-se por~conjunto de quase-orçamentos F Ð>Ñ >: :

F Ð>Ñ œ Ö − À MÐ>Ñ~: B : † B : †‘

8 ×¸

.

O quase-orçamento contém vectores, para os quais são autorizados pequenosempréstimos. Supomos que as preferências são quase-monótonas. Então umvector maximal satisfaz\Ð>Ñ

: † : †\Ð>Ñ ¸ MÐ>Ñ.


De facto, se , para todo , tem-se: † : †\Ð>Ñ MÐ>Ñ Ð>Ñ ¦ ! Ð>Ñ ¸ !y̧

& &

: † : † ×Ð\Ð>Ñ Ð>ÑÑ MÐ>Ñ \Ð>Ñ Ð>Ñ \Ð>Ñ& &y̧

, mas .>

(d) O vector diz-se dentro de se ~ ~\Ð>Ñ − F Ð>Ñ F Ð>Ñ ¸ MÐ>Ñ: :quase-maximal : † B : †

para todo tal que .~B B×− F Ð>Ñ \Ð>Ñ: >

(e) Um é um par tal que é um preço e uma lotaçãoquase-equilíbrio Ð ß\Ñ \: :atingível tal que é quase-maximal em para quase todo .~

\Ð>Ñ F Ð>Ñ > − X:

Num quase-equilíbrio, quase toda a gente é quase-satisfeita, dentro do seuorçamento.

§29. Teoremas principais

Apresentamos dois teoremas não-standard que são variantes de teoremasfundamentais clássicos e ligeiramente diferentes dos teoremas de Brown e Robinson[43] e Rashid [275]. Recordamos que estes teoremas concernem economias finitascom um número ilimitado de agentes e um número limitado de bens.

29.1 Teorema ( )Optimalidade de ParetoSeja de média limitada e seja monótona para todo . Seja umaM > − X \×>

lotação Pareto-optimal. Então existe um preço de modo que para qualquer:lotação de média limitada tal que , tem-se] ] T\

: † : †] Ð>Ñ \Ð>Ñ¸

para quase todo o agente .>

Vemos que a optimalidade para a relação de preferênçia se traduz numaoptimalidade de valor. O preço é tal que todas as melhores lotações não demasiadas:são mais caras, para quase todo o agente.

29.2 Teorema ( , [109])Conjectura de EdgeworthSeja uma lotação inicial limitada, e suponhamos que é quase-monótonaM ×>

para qualquer . Seja uma lotação no núcleo. Então existe um preço tal> − X \ :que é um quase-equilíbrioÐ ß\Ñ: .

Vemos que a optimalidade de troca em quantidade e preferência para grupos setraduz em uma optimalidade de valor para individuais.

Não consideramos aqui os problemas de existência duma lotação Pareto-optimal,do núcleo e dum equilíbrio. Para uma prova da existência do equilíbrio referimos olivro de Rashid. Utiliza de modo essencial os conceitos de continuidade superior e


inferior. Observe-se que Sari [294] introduziu versões não-standard elegantes daque-les conceitos.

29.3 Observações:1. Uma diferença importante entre os teoremas acima e teoremas semelhantes,

clássicos, sobre mercados finitos é a ausência de presunções com respeito àconvexidade das relações de preferência (isto é, o agente prefere sempre umavariedade de bens a um único bem). É uma consequência da amplitude do mercado. Apreferência média é quase-convexa. V. adiante, ou 4 , ou classicamente [174].[ ]

2. O teorema 29.1 é mais fraco do que o teorema correspondente (Teorema 1, p.61) de [275]. Aquele teorema diz que as lotações Pareto-preferidas são maistodascaras do que as lotações Pareto-optimal. Só garantimos para lotações que em médiatêm a mesma ordem de grandeza de bens disponíveis, isto é, excluindo o caso desuperabundância. Parece, porém, que a prova de Rashid tem uma falha, apesar de nãodispormos de um contra-exemplo. É suposto que o conjunto de pergunta média sejaquase-convexo, com base no teorema de Brown (v. teorema 30.7 abaixo). Mas esteteorema só é demonstrado para vectores infinitesimalmente distribuídos. Note que aslotações Pareto-preferidas são limitadas (logo infinitesimalmente distribuídas) paracada indivíduo no caso onde as preferências têm só monotonia local. Estamosclaramente na situação do teorema 29.1: nenhuma lotação tal que é ilimitado é] ]Pareto-preferida à lotação inicial de média limitada .M

29.4 Exercícios e problemas1. Sejam , , , , , . Investigue se:& ( ‘ & ( & (− ¸ ! ! !

(a) ; (b) ; (c) ; (d) ;Ð ß Ñ Ð!ß !Ñ Ð ß !Ñ Ÿ Ð!ß Ñ Ð!ß !Ñ ¥ Ð ß Ñ Ð ß Ñ ¶ Ð!ß !Ñ& ( ( & & ( & (#

(e) ; (f) ; (g) ;Ð ß "Î Ñ ¶ Ð!ß !Ñ Ð ß Ñ Ð!ß !Ñ Ð ß Ñ Ð!ß !Ñ& ( & ( ( ( py̧

#

(h) Ð ß ÑÈ% q % %( (# Ð ß ÑÞ

2. Sejam , , , , , , , , . Sejam e o< − ¸ ! < ! B − FÐBß <Ñ ©& ( ! ‘ & ( & ( ‘ ‘# #

disco centrado em de raio . Seja o semi-plano e aB < L ‚ À Ä‘ ‘ 3 ‘ ‘ !# #

rotação em torno da origem sobre o ângulo !Þ(a) Verifique que ;FÐ ß "Ñ ¸ FÐ!ß " Ñ& (

(b) Existe tal que ?! 3Á ! ÐLÑ ¸ L!

(c) Existe tal que / / ?! 3 & &Á ! ÐL FÐ!ß " ÑÑ ¸ L FÐ!ß " Ñ!

3. Consideremos dois agentes e , e seja . Definem-se as relaçãos binárias+ , ¸ !&× ×+ , e em por‘

ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Í BC ?@

ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Í BC ?@ Þ

×

×

+

,

y̧

£&

(a) Verifique que e ambas representam relações de preferência.× ×+ ,


(b) Investigue se e satisfazem algumas das «desigualdades» dos tipos× ×+ ,

mencionados nas notações 31.1. As relações são monótonas?(c) Demonstre que as relações de indiferença e são relações deÖ× Ö×+ ,

equivalência. Descreva os conjuntos externos, que representam as classes de equiva-lência. Verifique em ambos os casos que as partes limitadas das classes deequivalência são invariantes para um grupo de translações, não reduzido à translaçãonula.

(d) Suponha-se que detém um lote de bens limitado , e que detém+ E œ ÐBß CÑ ,um lote de bens limitado . O agente pode propor uma troca de bensF œ Ð?ß @Ñ ,ÐEßFÑ È ÐE ßF Ñ ,

w w indiferente para o seu parceiro, mas favorável para si própio («engana »). Como?+

4. Na economia com os dois agentes e do exercício precedente é suposto que+ ,M œ Ð#ß 'Ñ M œ Ð&ß "Ñ+ , e . Constrói-se a caixa de Edgeworth, isto é, o rectângulo comvértices , , , . As preferências de são contadas a partir daÐ!ß !Ñ Ð(ß !Ñ Ð(ß (Ñ Ð!ß (Ñ +origem, e as preferências de são contadas «para baixo» a partir do ponto , que, Ð(ß (Ñrepresenta o total dos bens. Dito de outra maneira, as regiões de indiferença de são+da forma , e as regiões de indiferença de são da forma BC ¸ "# , ÐB (ÑÐC (Ñœ & £&.

(a) Verifique que a caixa de Edgeworth é composta pelas lotações atingíveis.(b) Dê o conjunto (externo) das lotações Pareto-preferidas à lotação inicial.(c) Existem lotações Pareto-optimais?(d) Sejam

A ! " ! " ! ! " "C A

œ ÖÐ ß Ñ − \ À b ß ß ß ×œ \

w w w w+ ,× ×

.

Determine C.(e) Dê um preço tais que todas as lotações Pareto-preferidas a: ] œ Ð] ß ] Ñ+ ,

todas as lotações satisfazem , .Ð ß Ñ −! " C ! " : : :† ] † : † ] †+ ,

5. (Ver [328], exercício 17.4]) Consideramos dois agentes e , dois bens= >\ œ ÐBß CÑ Y œ Ð?ß @Ñ e com relações de preferência e dadas por× ×= >

ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Í B C ? @

ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Í ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ Þ

×=

>

" $ " $% % % %ln ln ln ln

min min

y̧

,

ou , e ou B C ! Ð? œ ! @ œ !Ñ

× £&

A lotação inicial é dada por e . Construa a M œ Ð!ß "Ñ M œ Ð"ß !Ñ= > caixa deEdgeworth (v. exercício precedente), dê o conjunto (externo) das lotações Pareto-cpreferidas à lotação inicial e as lotações Pareto-optimais.


§30. Preliminares não-standard

30.1 Convexidade1. Uma aplicação chama-se uma . Uma funçãoK À X Ä T Ð Ñ‘8 correspondência

(interna) tal que chama-se uma de .1 1À X Ä Ð>Ñ − KÐ>Ñ K‘8 selecção

2. Uma correspondência diz-se se todas as suasinfinitesimalmente distribuída selecções são infinitesimalmente distribuídas.

3. A da correspondência é definida pormédia K K

K œ Ð>Ñ œ Ð>Ñ À K" "

= =" š ›

>−X >−XK " 1 1 selecção de .

4. A da correspondência é definida pormédia de grupos K K

K œ Ð>Ñ À Y © X K"š ›"= >−Y

1 1, selecção de .

30.2 Definição 1. Seja . diz-se ( ) seG © G‘8 quase-convexo N convexo-

a ß − G a ! " Ê b − GÐ ¸ Ð" ÑB C D D B C- - - -ˆ Ñ‰.

2. A dum conjunto designa-se por con .envolvente convexa E © ÐEÑ‘8

3. O N-int dum conjunto é definido porN interior- ÐEÑ E © ‘8

N-int halÐEÑ œ Ö − E À ÐB BÑ © E×.

Tipicamente, uma correspondência apresenta a pergunta em excesso dum agente.Mais adiante, seguindo Rashid, damos dois teoremas sobre quase-convexidade, que sedevem a Loeb [31] e Brown [43]. Comecemos com dois lemas combinatórios. Oprimeiro é um caso especial do Teorema de Shapley-Folkman.

30.3 LemaSejam , , ... , , ..., e , ..., .7 8 − X œ Ö"ß ß7× − ! ‘ . .@ @" " 7

87 Ÿ Ÿ "

Ponhamos

B @œ ">−X > >. .

Então existem , , , , e com tais queY W X Y W œ g lY l ! "© Ÿ 8 - -> >

B @ @œ " ">−W >−Y> > > - .


30.4 Observação.Usualmente . O vector é composto de fracções dos . O lema7 8 − 7B @‘8

>

diz que pode ser reconstituído, utilizando os inteiros , excepto apenas para B @ 8>

fracções próprias.

Dem. Podemos supor , senão não há nada a demonstrar. Mostramos que,7 8para uma apresentação de utilizando conjuntos e , com , ,B W Y lY l 8 Y W œ gconstrói-se uma apresentação com , , onde e ainda , logoW Y lY l lY l Y W œ gw w w w w

a apresentação exigida obtém-se depois por uma aplicação do método da cadeiadescendente de Fermat.

De facto, porque os ( ) são linearmente dependentes, existem escalares @> >> − Y <( ) não todos nulos, tais que> − Y

">−Y > >< œ@ !.

Então para todo tem-se= !

B @ @œ Ð =< Ñ" ">−W >−Y> > > >- .

Porém para cada , logo, aumentando o valor de ,! ! † < " > − Y =-> >

obtém-se algum tal que, primeiro5 !

! <Ÿ Ÿ "- 5> >

para cada e, segundo, existe com ou .> − X − X < œ ! < œ "7 - 5 - 57 7 7 7

Ponhamos

Y œ Y Ï Ö À < œ ! < œ "×

W œ W Ö À < œ ! < œ "×

w

w

7 - 5 - 5

7 - 5 - 57 7 7 7

7 7 7 7

ou , ou .

Então e .lY l lY l Y W œ gw w w è

30.5 Lema ( )Lema do farnel não-standardSejam , , standard, , , e com valores8 − 8 lX l œ ! " X Ä= = - ‘@ À 8

infinitesimais. Então existe tal queW X©

-Ð Ñ ¸" ">−X >−W> >@ @ .

Dem. Pelo lema precedente existem , , , , e comY W © X Y W œ g lY l Ÿ 8 ->

! "-> tais que

" " ">−X >−W >−Y> > > >- -@ @ @œ .

Visto que , concluimos que!>−Y > >- @ ¸ !

-ˆ ‰" ">−X >−W> >@ @¸ .è


O «problema do farnel» consiste em encher um «saco» de dimensão e de8tamanho , com bens diferentes , ..., e de tamanho total .F @ Z œ @@" >>−X= !Usualmente , e às vezes condições suplementares devem ser respeitadas. OF ¥ Zlema acima dá uma quase-solução num caso simples. Se , com , oF œ Z ! "- -saco será quase-cheio, ou um pouco cheio de mais, o que pode ser aceitável com ummaterial ligeiramente elástico, se todos os objectos são inifinitamente pequenos.

Aplicamos o lema do farnel para demonstrar dois teoremas úteis sobre a quase-convexidade de somas infinitesimais.

30.6 Teorema ( )P. LoebSejam , , standard, , e com valores infinitesimais.8 − 8 lX l œ X Ä= = ‘@ À 8

Defina-se porW À ÄT ÐX Ñ ‘

WÐEÑ œ ">−E >@ .

Então é quase-convexo.ÖWÐEÑ À E X×©

Dem. Sejam , , . Sejam e . Pelo lemaF ©G X ! " T œ F Ï G U œ G Ï F-do farnel, existem tal que e tal queT T WÐT Ñ ¸ WÐT Ñ U Uw w w© ©-Ð" ÑWÐUÑ ¸ WÐU Ñ- w . Definimos

H œ F G T Uw w.

Então

WÐHÑ œ WÐF GÑ WÐT Ñ WÐU Ñ

¸ WÐF GÑ WÐTÑ Ð" ÑWÐF GÑ Ð" ÑWÐUÑ

¸ WÐFÑ Ð" ÑWÐGÑ

w w

- - - -

- - .

Conclui-se que é quase-convexo.ÖWÐEÑ À E X×© è

30.7 Teorema (Teorema de Brown)Sejam , , standard, , e uma correspondência8 − 8 lX l œ K À X Ä Ñ= = T Ð‘8

infinitesimalmente distribuída. Então:(1) ( ) D. Brown K é quase-convexo;

(2) .K é quase-convexo

Dem. (1) Sejam , duas selecções de , e . Pelo lema do farnel0 1 K ! "-existe tal queW X©

-= = = =

" "Š ‹ Š ‹>−X >−W

0 1 0 1Ð>Ñ Ð>Ñ Ð>Ñ Ð>Ñß ¸ ß .


Defina-se

201

Ð>Ñ œÐ>Ñ > − WÐ>Ñ > − X Ï Wœ se

se .

Então , e">−X=

! 2Ð>Ñ − K

" " "Ð>Ñ œ Ð>Ñ Ð>Ñ

œ Ð>Ñ Ð>Ñ Ð>Ñ" " "

¸ † Ð>Ñ Ð" Ñ Ð>Ñ" "

= = =

= = =

- -= =

" " "" " "

" "

>−X >−W >−XÏW

>−W >−X >−W

>−X >−X

2 2 2

0 1 1

0 1 ,

logo é quase-convexo.K

(2) Defina-se porL À X Ä ÐT ‘8Ñ

LÐ>Ñ œ KÐ>Ñ Ö ×! .

Então é distribuída infinitesimalmente e , logo é quase-convexo porL K œ L L(1).è

Observamos que se permite que no teorema acima as selecções tenham valores(externas) de tipo ordens de grandeza (por exemplo, Ø, ), desde0 0Ð>Ñ œ " Ð>Ñ œ £que estas ordens de grandeza sejam infinitesimais com respeito a .=

Mostramos agora que um conjunto quase-convexo é próximo da sua envolventeconvexa.

30.8 Teorema (V. Rashid [275], p. 52)Sejam standard e seja um conjunto (interno ou externo) quase-8 F © ‘8

convexo. Então conÐFÑ ¸ F.

Dem. É claro que con , donde con . Mostramos queF © FÐFÑ § ÐFÑµ

con , por indução sobre o comprimento das combinações convexas (sendoÐFÑ § F 7µ

8 7 œ " o comprimento maximal). Para o resultado segue das definições.Suponhamos que a relação vale para . Seja7 " 8

B Bœ "3œ"

73 3- ,

onde e para . PonhamosB3 3− F ! " " 7- Ÿ 3 Ÿ

B Bw œ"

"3œ"

7" 3

73

-

-.


Porque , con . Logo existe tal que , pela!3œ"7"

"--3

7œ " − ÐFÑ − F ¸B , , Bw w

hipotese de indução. Porque é quase-convexo, existe tal queF − F-

B B B B , -œ - - - -7 7 7 7 77w Ð" Ñ ¸ Ð" Ñ ¸ .

Então con . Conclui-se que con .ÐFÑ § F ÐFÑ ¸ Fµ

è

É bem conhecido que em um conjunto convexo e um ponto podem ser‘8 G − G+separados fracamente por um hiperplano (v. adiante uma demonstração não-standard).Isto não vale para um conjunto quase-convexo e um ponto fora deste conjunto:considere-se, por exemplo , e . Pelo teorema precedente, podemos formular È#resultados de separação para conjuntos infinitesimalmente distribuídos, por intermédioda sua envolvente convexa. Uma alternativa é exigir monotonia (ver também p.263).

Seja . diz-se seE E© ‘8 monótono

a − Ea Ð − EÑB ! B$ $ .

E diz-se selocalmente monótono

a − Ea Ð − EÑB ! B$ $ limitado .

E diz-se sequase-monótono

a − Ea Ð − EÑB ! B$ $q .

E diz-se selocalmente quase-monótono

a − Ea Ð − EÑB ! B$ $q limitado .

O conceito de quase-monotonia de conjuntos corresponde ao conceito de quase-monotonia de relações de preferência. O conceito de (quase-)monotonia local deconjuntos corresponde ao conceito de (quase-)monotonia local de relações depreferência. Observe-se que quase-monotonia é mais forte que monotonia. Porexemplo, é monótono, mas não quase-monótono, pelo que ‘ ‘ & ‚ Ð"ß Ñ Â‘ ‘ & ‘ ‘ ‚ Ð ß "Ñ Â ‚ e . Conjuntos monótonos que contêm a origem contêmsempre vectores da forma ... com e conjuntos quase-monótonos queÐ ß ß ß Ñ !! ! ! !contêm a origem contêm também vectores da forma, por exemplo, ... comÐ"ß ß ß Ñ! !! ! ¸! !, . Às vezes é útil «mover» conjuntos monótonos para a origem, o que ésempre possível com um vector não-negativo. De facto, se é interno eEE Ð Ñ œ g ÐE Ï Ö Ð Ñ Á ghal , existe um vector tal que hal , e! @ ! @ !×Ñhal .Ð Ñ ©y E ! @ + @ +œ Ö À − E×

30.9 LemaSejam e monótono ou quase-monótono. Seja tal que8 − E Á ‘© 8 : !

: † B ! B : !q para todo . Então − E .


Dem. Suponhamos que , digamos . Seja tal que: ! y : ! !" !( ... . Escolhemos tal que . Então! ! = ! = ! !ß ß Ñ − E l: † l : â :" # 8

y̧

: † ! : !Ð ß ß ß Ñ = ! !... , uma contradição. Conclui-se que .y̧

è

30.10 LemaSeja standard e seja interno ou uma galáxia. Suponhamos que8 − E ‘© 8

halÐ Ñ E Á g _! : ! : † B ! e que existe com tal que para todo¸ ¸y y

m:m q

B − E. Então:(1) Se é localmente monótono, existe tal queE ¸ ¦ !: : : : † B ! com q

para todo limitado;B − E

(2) Se é localmente quase-monótono, existe tal que e E _: ! : : † B !¸ ¸y y

q

para todo limitado.B − E

Dem. (1) Pela monotonia, existe , tal que ... . Logo! ! ! !¸ ! ! Ð ß ß Ñ − E? : † + !œ Ð"ß ß ß Ñ − E : ¸ :! !... . Então . Assim, obtém-se que " 3 q ! para todo3 " Ÿ 3 Ÿ 8 ¸ ! !, . Seja , e ponhamos& &

::

33 3

3œ

: !: ¸ !œ se

se .&

Então tem-se para todo limitado.: : : : † ? ¸ : † B¸ ! B − E, e ¦ ! q(2) Por (1) existe para todo limitado.: : : † B¦ ! m !, tal que m ! B − Eq

Suponhamos, com vista a um absurdo, que alguma componente é infinitesimal,digamos . Pela quase-monotonia, ... para todo . Pelo: ¸ ! Ð"ß ß ß Ñ − E ¸ !" ! ! !Princípio de Fehrele existe tal que ... . Então= ! Ð"ß =ß ß =Ñ − E

y̧

: † Ð"ß =ß ß =Ñ ¸ =Ð: â : Ñ !... ,# 8 y̧

o que é absurdo, donde se conclui que .: !y̧

è

30.11 Teorema ( )Teorema de separaçãoSejam , , onde , são convexos e . Então existe ,E F − E F E F œ g −‘ ‘8 8:

: ! B CÁ − E − F, tal que para todo ,

: † B : † C.

Dem. Por tranferência podemos supor e standard. Seja um conjuntoE F J E©finito contendo todos os elementos standard de e um conjunto finitoE K F©contendo todos os elementos standard de . Sejam con e con . EntãoF W œ ÐJÑ X œ ÐKÑW X W X Á g W X e são compactos e . Pela compacidade, a distância entre e é não


nula, e realizada em, por exemplo, e . Ponhamos= >− W − X

<= >

= >œ

m m.

Então para todo e todo , em particular para todo , < † + < † , + , + , − W − Xstandard. Pondo então para quaisquer , standard tem-se: < B Cœ − E − F9 ,

: † B < † B < † C : † C¸ ¸ .

Então , e de facto , porque , , são standard. Por: † B : † C : † B : † C : B C ¸

transferência para todo , .: † B : † C B C − E − F è

30.12 Teorema ( )Teorema de -separaçãoNSeja standard e seja interno ou uma galáxia. Suponhamos que 8 − E E ‘© 8

é N-convexo e que N-int . Então! Â ÐEÑ

(1) Se é monótono ou quase-monótono, então existem , com talE _: ! :¸ y̧

que para todo e , com , tal que : † B B : : ! : : † B ! − E ! m m _ !¸ ¸¸ ¸y y

¥

para todo limitado;B − E

(2) Se é localmente monótono e , então existe , comE Ð!Ñ E Á ghal :! : : † B B¥ _ ! − E

y̧ ¸ tal que para todo limitado;

(3) Se é localmente quase-monótono e , então existe , comE Ð!Ñ E Á ghal :! : : † B B _ ! − E

¸ ¸y y ¸ tal que para todo limitado.

Dem. (1) Suponhamos que hal con . Pelo princípio de Fehrele existeÐ Ñ ÐEÑ! ©B ! B B + − ÐEÑ − E

y̧, limitado tal que con . Pelo teorema 30.8 existe tal que

+ B !¸ Ð Ñ © E. Pela monotonia (local) hal , em contradição com o facto de que! ! !Â ÐEÑ Ð Ñ ©y ÐEÑ ¸ Â ÐEÑN-int . Portanto, hal con . Seja tal que con . Pelo& &teorema de separação clássico existe tal que para todo con ,: : † B : † B − ÐEÑ&logo para todo ; podemos supor que é apreciável. Então paraB : † B− E !m:m

¸

todo , e . Pelo lema 30.9 tem-se . Definimos porB : : ! :− E _ y̧

: œ: : !

: ¸ !33 3

3œ se

se ,$

onde é um número infinitesimal fixo. Então Visto que, pelo menos, se$ ! ¦: !.

tem uma componente , vem . E visto que para todo :3 ¸ ! m m ¸y : ! : † B : † B By̧

limitado, tem-se para todo limitado.: † B Bq ! − E


(2) Tal como em (1), obtém-se que existe , com tal que : ! : : † B¥ _ !y̧ ¸

para todo . Pelo lema 30.10(1) existe tal queB !− E _: : :¸ com ¥ ¥: † B B ! − E

¸ para todo limitado.

(3) Tal como em (1), obtém-se que existe existe , com tal que: ! : _¸ ¸y y

: † B B ! ! − E _¸ ¸ ¸y y

para todo . Pelo lema 30.10(2) existe , com tal que: :

: † B B ! − E¸

para todo limitado.è

30.13 A provisão totalApresentamos alguns teoremas sobre a ordem de grandeza das posses de

indivíduos e de grupos. Um teorema de Anderson 4 diz que uma lotação que atribui[ ]a pequenos grupos relativamente pequenas quantidades, é de média limitada (de facto,aquela propriedade está ligada ao teorema de Radon-Nykodim). Aqui generalizamos oteorema de Anderson ao caso onde pequenos grupos possuem quantidadesrelativamente limitadas.

30.14 TeoremaSeja ilimitado. Suponhamos que para cada coligação negligenciável = W

"MÐ>Ñ œ

="

>−W£.

Então

"MÐ>Ñ œ

="

>−X£.

Dem. Ponhamos

K œ ! À aW X Ê MÐ>Ñ œlWl "

Xš Š "& &

=© Ÿ

>−W£‹›

e .L œ Ö À ! • ¸ !×& & &

Então é interno ou é uma galáxia, e é um halo. Pelo princípio de FehreleK Lexiste apreciável tal que ainda&

aW X Ê MÐ>Ñ œlWl "

X© ŸŠ "&

= >−W£‹.

Seja standard tal que e divide em coligações , ..., de5 − "Î5 "Î5 X 5 W W & " 5

tamanho menor ou igual a . Então=&

" "MÐ>Ñ œ MÐ>Ñ œ 5 † œ

= =" " "

>−X " >−WŸ7Ÿ5 5£ £.è


30.15 Definição Um agente diz-se se para alguma componente > 4rico( )," Ÿ 4 Ÿ 8

MÐ>Ñ ¸ _4 ,

e diz-se se para alguma componente ( )oligopolista 4 " Ÿ 4 Ÿ 8

MÐ>Ñ ¸ †4 @ . = 73

30.16 TeoremaSeja e seja distribuído de média limitada. Então:= ¸ _ M

(1) Quase todo o agente não é rico;(2) Existe uma coligação interna negligenciável contendo todos os oligopolistas.

Dem. (1) Suponhamos que existe um conjunto interno não negligenciável de[agentes ricos. É claro que @ . Visto que a diversidade de bens é limitada,l[ l œ =existe um índice tal que @ . Note que existe4 l[ l Ö> − [ À MÐ>Ñ ¸ _× œÐ4Ñ

4œ =

/ /¸ _ MÐ>Ñ > − [ tal que para todo . Então4Ð4Ñ

" "MÐ>Ñ † † ¸ _

= == /"

>−[Ð4Ñ@ ,

uma contradição. Concluimos que é negligenciável.[

(2) Seja o conjunto dos agentes ricos. O conjunto , sendo um halo (ou sendoV Vinterno), e o conjunto dos s, sendo uma galáxia, ou sendo interno, existeS oligopolistaum conjunto interno tal queZ

S Z V© © .

É claro, então, que é negligenciável.V è

30.17 LemaSejam , e de média apreciável. Seja , = = ‘ & &¸ _ lX l œ \ À X Ä ¸ ! !

arbitrário. Então existe uma coligação negligenciável tal queZ

"\Ð>Ñ

=&"

>−Z.

Dem. Senão, seja , , tal que e divide em partes/ / /& / /− ¸ _ ¸ ! Xdisjuntas negligenciáveis , ..., . Tem-seZ Z" /

\ œ \Ð>Ñ ¸ !"

=/&" "

"Ÿ5Ÿ >−Z/ 5Ÿ .

Logo não é apreciável. Concluimos que existe realmente uma parte\negligenciável tal que ."

>−Z=! \Ð>Ñ & è

73 V. também o livro de Rashid [275], Cap. 10.


30.18 LemaSejam , standard, e uma lotação inicial de média= = ‘¸ _ 8 lX l œ M À X Ä 8

apreciável. Seja uma lotação quase-atingível. Então existe uma lotação atingível\] ] Ð>Ñ œ \Ð>Ñ > tal que para quase todo .

Dem. Seja tal que . Se (possivelmente) , o lema 30.17 implica4 " Ÿ 4 Ÿ 8 \ M4 4

que existe uma lotação tal que e para quase todo o .] ] M ] Ð>Ñ œ \Ð>Ñ > − X4 4Ÿ

Após um número limitado de graus achamos uma lotação tal que e sempre] ] Mµ µ

Ÿ] Ð>Ñ œ \Ð>Ñ > − X para quase todo .è

30.19 LemaSejam , standard, e negligenciável. Seja = = ‘¸ _ 8 lX l œ W X À X Ä© 1 8

limitada. Então " >−W=! 1Ð>Ñ œ Ø.

Dem. Temos

" "Ð>Ñ œ † † œ

= =="

>−W1 Ø Ø.£ è

Depois das propriedades de ordens de grandeza de quantidades, damos duaspropriedades de ordens de grandeza dos orçamentos.

30.20 LemaSejam , standard, , e uma coligação não negligenciável.= =¸ _ 8 lX l œ W X©

Sejam , duas lotações, e um preço. Então:\ ] À X Ä ‘8 :

(1) Se para todo , então: † : †\Ð>Ñ ¸ ] Ð>Ñ > − W

" "\Ð>Ñ ¸ ] Ð>Ñ

= =" "

>−W >−W: † : † ;

(2) Se para todo , então: † : †\Ð>Ñ ] Ð>Ñ > − Wy̧

." "

\Ð>Ñ ] Ð>Ñ= =" "

>−W >−Wy̧: † : †

Dem . (1) Porque todas as componentes de , temos: são limitados

" "] Ð>Ñ \Ð>ÑÑ œ † † † œ

= =="

>−W: † Ð @ Ø Ø.£

(2) Porque pelo menos uma componente de emos: é apreciável, t

" "] Ð>Ñ \Ð>ÑÑ † † œ

= =="

>−W: † Ð @ @ @.è


30.21 Exercícios e problemas1) Seja o conjuntoE

E œ ÖÐ"ß !Ñß Ð!ß "Ñ×Þ

Sejam = = ‘− X œ Ö"ß ÞÞÞÞ ß × K À X Ä TÐ Ñilimitado e . Seja a correspondência#

(constante) definida por = .KÐ>Ñ E

(a) Mostre por cálculo directo que, apesar não ser convexo, a correpondênciaEmedia é bem quase-convexo. Determine .K K9

(b) Mesmas questões para a média dos grupos .K

(c) Dê um exemplo de um subconjunto de monótono, nem convexo, nemF ‘#

quase-convexo, de modo que a correspondência (constante) defini-L À X Ä TÐ Ñ‘#

da por = seja quase-convexa.LÐ>Ñ F

2) Seja = − ilimitado. Mostre que

ÖÐBß BÑ À ! Ÿ B Ÿ ×sen= 1

é quase-convexo.3) Sejam ímpar e ilimitado, , e com valores= = ‘− lX l œ X Ä@ À 2

infinitesimais idênticas. Indique tal queW X©

"

#@ ¸ @Š ‹" "

>−X >−W> >.

4) Sejam ilimitado, standard, e distribuído de= = ‘− 8 − lX l œ M À X Ä 8

média limitada.(a) Dê um exemplo de uma lotação de modo que os agentes ricos não formem

uma coligação interna negligenciável.(b) Seja um conjunto interno. Um subconjunto externo de diz-se\ I \

externamente enumerável sse existe uma aplicação interna X, injectiva, pelo0 À Ämenos, para os números naturais standard, tal que . Mostre queI œ Ö0Ð8Ñ À 8 − ×5os oligopolistas são externamente enumeráveis ( ).«Toda a gente sabe, quem ...»

5) Dê uma demonstração do teorema de separação, utilizando o axioma deIdealização directamente, em vez do teorema de finitude de Nelson (p. 24).

6) Seja Dê um exemplo de um conjunto que seja8 − standard. E © ‘8

monótono, mas não quase-monótono.


§31. Demonstrações dos teoremas principais

I. Optimalidade de Pareto31.1 Definição Seja uma lotação e . A do agente \ > − X >pergunta excessiva

com respeito a é definida por\

JÐ>Ñ œ Ö \Ð>Ñ À \Ð>Ñ×B B× > .

A com respeito a é definida porpergunta excessiva média \

J œ JÐ>Ñ"

="

>−X.

Denota-se por a correspondência (externa) de todas as selecções (internas) deJ£J À X Ä ‘8 limitadas, isto é, as perguntas excessivas de valor limitado. Então apergunta excessiva limitada média é

J œ Ð>Ñ À − J"

£ £˜ ™"= >−X

B B .

Note que a pergunta excessiva própria não é distribuída infinitesimalmente, mas apergunta excessiva limitada é. Segue da definição que e são galáxias (possível-J J£ £mente internas).

A existência dum preço que faz uma lotação optimal de Pareto também a maisbarata dentro de todas as lotações de média limitada será estabelicida em dois passos.

Primeiro, associaremos a uma lotação Pareto optimal um preço , de modo que\ :todas as perguntas excessivas limitadas em média têm um valor pelo menos infinite-simal. Será demonstrado no lema 31.4, utilizando o teorema de -separação. ORteorema de Brown e os lemas 31.2 e 31.3 mostram que as condições são satisfeitas.De facto, as perguntas excessivas limitadas são infinitesimalmente distribuídas, logopelo teorema de Brown constituem um conjunto quase-convexo. Depois, segue damonotonia das preferências a monotonia da pergunta excessiva, e também a mono-tonia local da pergunta excessiva limitada média (lema 31.2). Finalmente, a origemnão apresenta uma pergunta excessiva: produziria uma lotação atingível, Pareto-preferida, que seria em contradição com a optimalidade de Pareto de (lema 31.3).\

Segundo, mostraremos que para o preço as lotações preferidas limitadas em:média são mais caras para quase todos os agentes. No lema 31.5 associaremos a umatal lotação preferida uma lotação com uma pergunta excessiva limitada quase-] ^igual, salvo para uma pequena coligação: damos um pouco mais que aos agentes]com preferências limitadas, e damos aos agentes com preferências maiores um poucomais com respeito à lotação Pareto optimal. No lema 31.6 mostraremos que é mais^cara para todos, implicando que é mais cara para quase-todos. De facto, se fosse] ]mais barata para um grupo não negligenciável, utilizando a propriedade em cima,


seria possível construir uma pergunta excessiva em média limitada (ligeiramenteexcedente de para aquele grupo, ligeiramente excedente de para o seu comple-] \mentar) em média mais barata, uma contradição.

31.2 LemaSeja uma lotação. Seja a pergunta excessiva do agente . Se todos as\ JÐ>Ñ >

relações de preferência são monótonas, então é monótona e é localmente×> J J£monótona.

Dem. Seja e . Existe uma lotação tal que0 − J ¦ ! ] À X Ä$ ‘8

Ð] Ð>Ñ \Ð>ÑÑ − JÐ>Ñ > − X ] \ œ JÐ>Ñ para cada e . Pela monotonia de ,0temos para cada . Então .] Ð>Ñ \Ð>Ñ − JÐ>Ñ > − X ] œ − J$ $ $ \ 0Então é monótona. Se e é limitado, mostra-se de modo análogo queJ − J ¦ !0 £ $J£ é localmente monótona.è

31.3 LemaSeja uma lotação Pareto-optimal, e a pergunta excessiva correspondente.\ J

Então .! Â J

Dem. Suponhamos . Então existe uma lotação Pareto-preferida tal que! − J ^! !>−X >−X^Ð>Ñ œ \Ð>Ñ \, em contradição com a Pareto-optimalidade de . Portanto,

! Â J .è

31.4 LemaSeja uma lotação inicial de média limitada. Seja uma lotação Pareto-M \

optimal, e a pergunta excessiva correspondente. Suponhamos que todas asJpreferências são monótonas. Então existe um preço , tal que para: ! : † 0 !

¸ ¸

todo .0 − J£

Dem. Pelo teorema de Brown é quase-convexo. Pelo lema 31.2 éJ J£ £localmente monótona, e pelo lema 31.3 . Resulta do teorema de -separação! Â J N30.12 que existe tal que para todo .: ! : † 0 0¦ ! − J

¸£ è

31.5 LemaSeja uma lotação inicial de média limitada. Seja uma lotação atingível e M \ ]

uma lotação de média limitada tal que . Suponhamos que todas as] T\preferências são monótonas, e seja . Então existe uma lotação tal que& ! ^

y̧

^Ð>Ñ \Ð>Ñ ^Ð>Ñ \Ð>Ñ > − X×> e é limitado para todo , e tal que existe uma

coligação com e para todo .Z ^Ð>Ñ ¸ ] Ð>Ñ > − X Ï ZlZ l= Ÿ &

Dem. As lotações e são de média limitada, então pelo teorema 30.16 e\ ] \Ð>Ñ] Ð>Ñ > ] Ð>Ñ \Ð>Ñ são limitados para quase todo . Então é limitado para quase todo o> Z ] Ð>Ñ \Ð>Ñ. Então existe uma coligação interna com e é limitado paralZ l

= Ÿ &


todo . Seja , qualquer. Definemos por> Â Z ¦ ¸ ^ À X Ä$ $! ! ‘8

^Ð>Ñ œ\Ð>Ñ > − Z] Ð>Ñ > Â Zœ $

$se se .

Então tem-se sempre , e temos para todo e^Ð>Ñ \Ð>Ñ ^Ð>Ñ ¸ ] Ð>Ñ > Â Z×>

^ \ é limitada.è

31.6 LemaSeja uma lotação inicial de média limitada. Seja uma lotação atingível.M \

Suponhamos que todas as preferências são monótonas, e que existe um preço tal:que para todo . Então para toda lotação Pareto-preferida de: † 0 0 ! − J ]

¸£

média limitada temos para quase-todo .: † : †] Ð>Ñ \Ð>Ñ > − X¸

Dem. Suponhamos que existe uma coligação não negligenciável tal queY: † : †] Ð>Ñ \Ð>Ñ > − Y ^

y̧ para todo . Pelo lema 31.5 existe uma lotação tal que

^Ð>Ñ \Ð>Ñ ^Ð>Ñ \Ð>Ñ > − X×> e é limitado para todo , e tal que, salvo para umacoligação com , tem-se sempre . Logo existe também umaZ ^Ð>Ñ ¸ ] Ð>ÑlZ l lY l

y̧= =

lotação não negligenciável tal que para todo . Seja[ ^Ð>Ñ \Ð>Ñ > − [: † : †y̧

$ 0¦ ¸ !!, . Definemos a lotação por$

0$

Ð>Ñ œ^Ð>Ñ > − [\Ð>Ñ > Â [œ se

se .

Pelo lema 30.20 tem-se

: † : † : †0 0\ œ Ð>Ñ \Ð>ÑÑ ¸ ^Ð>Ñ \Ð>ÑÑ !" "

= =" "

>−X >−[ y̧Ð Ð .

Além disso, , logo . Temos uma contradição. Conclui-0 0\ − J \ !£ : †¸

se que para quase todo .: † : †] Ð>Ñ \Ð>Ñ > − X¸

è

31.7 Teorema ( )Preço para lotação Pareto-optimalSeja de média limitada e seja monótona para todo . Seja umaM > − X \×>

lotação Pareto-optimal. Então existe um preço de modo que para qualquer:lotação de média limitada tal que se tem] ] T\

: † : †] Ð>Ñ \Ð>Ñ¸

para quase todo o agente .>


Dem. Pelo lema 31.4 existe um preço tal que para todas as: ! : † 0¦ !¸

perguntas excessivas limitadas médias . Isto implica pelo lema 31.6 que0: † : †] Ð>Ñ \Ð>Ñ >

¸ para quase todo o agente .è

II. A conjectura de Edgeworth31.8 Definição Sejam , duas lotações e . A \ M > − X pergunta excessiva fraca

do agente com respeito a relativa a é definida por> \ M

KÐ>Ñ œ Ö MÐ>Ñ À \Ð>Ñ×B B× > .

Denota-se por a correspondência (externa) de todas as selecções (internas) deK£K À X Ä ‘8 limitadas, isto é, as perguntas excessivas de valor limitado.

Note-se que a pergunta excessiva com respeito a uma lotação é preferidafraca \a , mas é calculada à base da lotação inicial, em contraste com a pergunta excessiva\só, que é preferida e calculada com respeito a .\

A conjectura de Edgeworth será demonstrada em dois passos. Primeiramente, nolema 31.11 associaremos a uma lotação do núcleo um preço apreciavelmente\positivo . A sua existência seguirá do teorema de quase-separação aplicada à média:de grupos da pergunta excessiva limitada, e o teorema de Brown e os lemas 31.9 e31.10 estebelecem as condições de quase-convexidade e de quase-monotonia localpara a validade daquele teorema. De facto, pelo teorema de Brown segue da raridadede ricos a raridade de perguntas excêntricas, pelo lema 31.9 segue da monotonia dapergunta de indivíduos a monotonia da pergunta de grupos, e pelo lema 31.10 segueda impossibilidade de ter perguntas apreciavelmente negativas no núcleo a74

impossibilidade de algumas perguntas infinitesimais no núcleo: está fora ou perto!do bordo do núcleo.

Em seguida, mostraremos nos lemas seguintes que a lotação e o preço cons-\ :tituem um equilíbrio, isto é, para quase todo o agente os bens são (quase-)> \Ð>Ñoptimalmente preferidos dentro do seu orçamento . Esta optimalidade «subjec-: † MÐ>Ñtiva» segue de duas optimalidades «objectivas», estabelecidas antes. Começaremospor mostrar (lema 31.12) que a agregação média é quase-maximal, isto é, :\ \ ¸ Msegue da quase-monotonia das perguntas que no máximo há excedentes pequenos.Mostraremos depois (lema 31.13) que para quase todo agente o valor «objectivo» dosbens é quase-maximal dentro do seu orçamento . A quase-igualdade: † : †\Ð>Ñ MÐ>Ñquase-universal segue, primeiro, da impossibilidade da existência: † : †\Ð>Ñ ¸ MÐ>Ñdum grupo não negligenciável para o qual : seria incompatível: † : †\Ð>Ñ MÐ>Ñ

y̧

com a quase-monotonia das preferências; segundo, é esta impossibilidade que implicaa impossibilidade da existência dum grupo não negligenciável para o qual: † : † : † : †\Ð>Ñ MÐ>Ñ \ ¸ M

y̧: pela quase-igualdade , um tal grupo teria que ser

compensado por um grupo não negligenciável para o qual . Final-: † : †\Ð>Ñ MÐ>Ñy̧

74 Estas conduzem imediatamente a uma relotação mais eficiente por uma coligação nãonegligenciável, logo a um bloqueio por este grupo.


mente, mostraremos que é preferida de entre todas as lotações com o quase\Ð>Ñmesmo valor monetário (lema 31.14); de facto, se não fosse preferido: † MÐ>Ñ \Ð>Ñpor quase-todos, seria obtido um grupo não negligenciável com uma perguntaexcessiva da qual o preço seria negativo, uma contradição. O teorema final 31.15permite a conclusão pretendida.

Já introduzimos o média de grupos , que representa aqui o conjunto dasK

perguntas excessivas médias de todos os grupos. representa o conjunto dos valoresK£médios, se só são consideradas perguntas limitadas.

31.9 LemaSejam , duas lotações. Se todas as preferências são quase-monótonas, então\ M

o média de grupos da pergunta excessiva é quase-monótona e a média de gruposK

da pergunta excessiva limitada é localmente quase-monótona.K£

Dem. Sejam e . Então existe uma lotação , e uma coligação$ q ! 1 − K ]Y X ] Ð>Ñ MÐ>Ñ − KÐ>Ñ > − X Ð] Ð>Ñ MÐ>ÑÑ œ© tal que para todo , e ."

>−Y=! 1

Visto que todas as preferências são quase-monótonas e , para cada =lY l † ! > − Y$ q

temos . Então] Ð>Ñ MÐ>Ñ † − KÐ>Ñ=lY l $

1 œ Ð] Ð>Ñ MÐ>Ñ † − K"

lY l$ $

=

=">−Y

Ñ .

Portanto, é quase-monótono.K

Para mostrar que é localmente quase-monótona, tomamos limitado.K£ $ q !

Seja . Existem uma lotação e uma coligação tais que1 − K ] Y X£ ©] Ð>Ñ MÐ>Ñ − K Ð>Ñ > − X Ð] Ð>Ñ MÐ>ÑÑ œ Y£ para todo , e . Se é não"

>−Y=! 1

negligenciável, é limitado e podemos aplicar o raciocínio acima. Senão,=lY l † $

distribuimos o vector sobre por exemplo toda a população, obtendo a lotação $ ^definida por

^Ð>Ñ œ ] Ð>Ñ $.

Todas as preferências são quase-monótonas localmente, logo para cada > − Xtemos . Por conseguinte^Ð>Ñ MÐ>Ñ œ ] Ð>Ñ MÐ>Ñ − K Ð>Ñ$ £

1 œ Ð] Ð>Ñ MÐ>ÑÑ Ñ − K"

$ $="

>−X £.

Então é localmente quase-monótono.K£ è

31.10 LemaSeja uma lotação do núcleo. Se todas as preferências são quase-monótonas,\

então , isto é, há infinitesimais que não apresentam uma pergunta! Â ÐK ÑN-int £excessiva limitada média para um grupo não negligenciável.


Dem. Suponhamos que N-int . Visto que é uma galáxia, pelo! − ÐK Ñ K£ £

princípio de Fehrele existe com limitado. Então existem uma lotação $ $− K ]£y̧!

e uma coligação tais que e para cada .Y Ð] Ð>Ñ MÐ>ÑÑ œ ] Ð>Ñ \Ð>Ñ > − Y">−Y=

! $ ×>

Segue do lema 30.19 que a coligação não é negligenciável. Como é negativo,Y $podemos supor que é atingível. Então bloqueia através de , contradizendo] ] \ Y

que pertence ao núcleo. Conclui-se que int .\ Â ÐK Ñ! N- £ è

31.11 LemaSeja uma lotação do núcleo. Se todas as preferências são quase-monótonas,\

existe um preço tal que para todo , isto é, para cada grupo: ! : † 1 1 ! − Ky̧

¸

£

Y , a pergunta excessiva limitada média tem um valor pelo menos infinitesimal.

Dem. Pelo teorema de Brown, é quase-convexo, pelo lema 31.9 éK K£ £

localmente quase-monótono, e pelo lema 31.10 N-int . Pelo teorema de -! Â ÐK Ñ£ Nseparação 30.12 existe um preço tal que para todo .: ! : † 1 1 ! − K

y̧ ¸£ è

31.12 LemaSeja uma lotação limitada e uma lotação do núcleo. Suponhamos que asM \

preferências são quase-monótonas. Então .\ ¸ MDem. Supondo que , existiria um tipo de bens , tal que a\ M 5 ! Ÿ 5 Ÿ 8y̧

componente . Seja , logo . A lotação que é idêntica\ M œ ]Ð5Ñ Ð5Ñ

¸ ¸y y>$ $M \

#

Ð5Ñ Ð5Ñ!

a em todas as componentes excepto , definida por\ 5>

] œ \ > >Ð5Ñ Ð5Ñ

$

é atingível, e satisfazendo a relação de quase-monotonia , bloqueia para a] \ \> >µ

população completa . Então não pertenceria ao núcleo, o que é absurdo. Conclui-X \se que .\ ¸ M è

31.13 LemaSeja uma lotação limitada e uma lotação do núcleo. Suponhamos que asM \

preferências são quase-monótonas. Seja um preço tal que para todo: ! : † 1 !y̧ ¸

1 : † : †− K \Ð>Ñ ¸ MÐ>Ñ > − X£. Então para quase todos os agentes .

Dem. Seja . Primeiramente, supômos queY œ Ö> − X À \Ð>Ñ MÐ>Ñ×: † : †y̧

: † : †\Ð>Ñ MÐ>Ñ Y¸

não vale para quase todos os agentes. Sendo uma galáxia,


existiria uma coligação interna que já não é negligenciável. PonhamosY Yw ©

2 œ Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ"

="

>−Y w.

Então pelo lema 30.20. Utilizando a quase-monotonia vamos definir: † 2 !y̧

uma pergunta excessiva do grupo , na média quase-igual a . Seja , , oY ¦ ¸w 2 ! !$ $que implica para cada . Então para\Ð>Ñ \Ð>Ñ > − Y \Ð>Ñ MÐ>Ñ − KÐ>Ñ$ $×>

w cada . Além disso, é limitado para cada , caso contrário B : †− Y \Ð>Ñ > − Y \Ð>Ñw w

seria ilimitado, e assim teríamos uma contradição, porque , com: † : †\Ð>Ñ MÐ>Ñy̧

: † MÐ>Ñ limitado. Então

1 œ"

Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ − K="

>−Y w$ £.

Portanto . Visto que e temos uma contradição.: † 1 2 1 : † 2 ! ¸ !¸ y̧

Concluimos que vale para quase todos os agentes ; isto é, é: † : †\Ð>Ñ MÐ>Ñ > Y¸

negligenciável. Novamente por ser uma galáxia, existe um conjunto internoYnegligenciável . Temos para cada , o queY ¨ Y \Ð>Ñ MÐ>Ñ > − X Ï Yww ww

¸: † : †

implica

: † : † : †

: †

Ð\ MÑ œ Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ" "

¸ Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ !Þ"

= =

=

" ""

>−Y >−XÏY

>−XÏY ¸

ww ww

ww

Em segundo lugar, seja , e supomos queZ œ Ö> − X À \Ð>Ñ MÐ>Ñ×: † : †y̧

: † : †\Ð>Ñ MÐ>Ñ Z¸

não vale para quase todos os agentes. Como é uma galáxia,existiria uma coligação interna que já não é negligenciável. EntãoZ Zw ©

"Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ !

="

>−Z y̧w: † ,

e

: † : †

: † : †

: †

Ð\ MÑ ¸ Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ"

œ Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ" "

Ð\Ð>Ñ MÐ>ÑÑ !"

=

= =

=

"" ""

>−XÏY

>−XÏÐZ Y Ñ >−Z

¸ >−Z y̧

ww

w ww w

w.

Então . Assim, obtém-se uma contradição com o lema 31.12. Então é\ M Zy̧

negligenciável. Novamente por ser uma galáxia, existe um conjunto internoZnegligenciável . SejaZ ¨ Zww


[ œ Y Zww ww.

Então é negligenciável e para todo .[ \Ð>Ñ ¸ MÐ>Ñ > − X Ï [: † : † è

31.14 LemaSeja uma lotação limitada e uma lotação do núcleo. Seja um preçoM \ : !

y̧

tal que para todo . Então é quase-maximal dentro do quase-: † 1 1 ! − K \Ð>Ñ¸

£

orçamento de quase todos os agentes.F~:Ð>Ñ

Dem. Pelo lema 31.13 para uma coligação tal que é: † : †\Ð>Ñ ¸ MÐ>Ñ W X Ï Wnegligenciável, o que implica que pertence ao quase-orçamento para esta~

\Ð>Ñ F Ð>Ñ:

coligação. Suponhamos que existe uma coligação não negligenciável tal que Y \Ð>Ñnão é quase-maximal em para . Então existiria uma lotação tal que~

F Ð>Ñ Y Ð>Ñ: B: † B : † : † B ×Ð>Ñ \Ð>Ñ ¸ MÐ>Ñ Ð>Ñ \Ð>Ñ > − Y

y̧ e para todo . Segue do lema 31.12 e>

do teorema 30.16 que é limitado para quase todo , e da desigualdade forte\Ð>Ñ > − W: ! B Ð>Ñ > − W

y̧ que é limitado para quase todo . Concluimos que existe uma

coligação não negligenciável tal que , para todoZ Ð>Ñ MÐ>Ñ Ð>Ñ \Ð>Ñ: † B : † B ×y̧

>

> − Z e

1 Bœ"

Ð Ð>Ñ MÐ>ÑÑ − K="

>−Z £.

Obtemos pelo lema 31.20, uma contradição. Então é quase-maximal: † 1 ! \Ð>Ñy̧

dentro do quase-orçamento para quase todo .F Ð>Ñ >µ

: è

Segue a conjectura de Edgeworth:

31.15 TeoremaSeja uma lotação limitada e uma lotação do núcleo. Suponhamos que todasM \

as preferências são quase-monótonas. Então existe um preço , tal que é: ! : Ð ß\Ñy̧

um quase-equilíbrio.

Dem. Pelo lema 31.11 existe um preço tal que todas as perguntas: !y̧

excessivas limitadas médias têm um valor pelo menos infinitesimal. Neste caso, pelolema 31.14 a lotação possui uma preferência quase-maximal dentro do quase-\Ð>Ñ

orçamento de quase todos agentes . Então é um quase-equilíbrio.F Ð>Ñ > Ð ß\Ñµ

: : è

Integrando modelos da micro-economia e da macro-economia, a análise não-standard permitiu formular e mostrar dentro de modelos finitos propriedades profun-das da economia matemática, que classicamente fazem parte duma análise infinita,utilisando a teoria de medida. Às vezes os conceitos precisam de ser adaptados, mas


na linguagem estendida não-standard obtêm-se novos conceitos, que são flexíveis, ecorrespondem a observações do comportamento individual e de grupo: quase-mono-tonia, monotonia local, quase-todos, negligenciável, quase-orçamento, quase-equilíbrio.

32.16 Exercícios1) Consideremos uma economia com um número ilimitado de agentes, sendo na

parte do tipo do exercício 30.4.3. e na parte do tipo . Seja + , ! - #¸ ¸y y

. Suponha-se

que ambas as coligações de tipo e de tipo são não-negligenciáveis. Consideremos+ ,uma lotação fora da recta , mais precisamenteC œ B

]+ œ Ð% -ß % -Ñ

] œ Ð$ -ß $ -ÑÞ

,

Dê uma lotação que atribui a agentes de tipo e ou a agentes de tipo ]+ ou M+ + ] M ,, ,

que é atingível, de modo que existe uma lotação que bloqueia , (para aÐ] ] Ñ+ ,

coligação que recebe , .Ð] ] Ñ+ ,

2) Consideremos uma economia com um número ilimitado de agentes, sendo na=metade do tipo do exercício 30.4.3. e na metade do tipo . Sejam+ ,

J œ Ð# $ß # $Ñ

J œ Ð( # $ß ( # $Ñ"#

"$

K œ Ð" $ß " $Ñ"#

"$

+

,

+

È ÈÈ È

È È .

Seja uma coligação não-negligenciavel de agentes de tipo , com .! !+ l l Ÿ =#

(a) Mostre que e que .K J J M+ + + , , ,× ×

(b) Dê uma coligação de agentes de tipo de modo que" ,l l l l l l l l

+ , + ,y̧

! " ! "= = = =K J MM .

(c) Dê uma lotação de modo que os agentes da coligação recebemÐL ßL Ñ+ , !L L ÐJ ß J Ñ+ + ,, os agentes da coligação recebem e a coligação bloqueia e" ! "bdaqui, construa uma lotação que não pertence ao núcleo da económia.

3 Ñ Consideremos de novo a economia do exercício precedente. Sejam

\ œ Ð%ß %Ñ

\ œ Ð$ß $Ñ

: œ Ð"Î# ß "Î#Ñ

+

,

.

(a) Determine e .~ ~F Ð+Ñß F Ð+Ñß F Ð,Ñ F Ð,Ñ: : : :

(b) Mostre que é quase-maximal dentro de e que é quase-maximal~\ F Ð+Ñ \+ , :

dentro de .~ F Ð,Ñ:


(c) Seja a lotação que atribui aos agentes de tipo e aos agentes deI \ + \+ ,

tipo . Mostre que é um quase-equilíbrio., Ð:ß IÑ

(d) Dê os outros quase-equilíbrios.

CONCLUSÃO

De uma maneira geral, os novos conceitos e métodos matemáticos introduzidospela análise não-standard são mais ou menos fundados sobre a possibilidade dedistinguir diversas dentro do conjunto dos números reais. Vimosordens de grandezaneste livro três tipos de aplicações:

1. Várias ordens de grandeza num problema: perturbações singulares (movimentoinfinitamente grande e apreciável), rios (movimento quase-horizontal e apreciável),probabilidade (distinção entre massa e cauda de uma variável estocástica), funções deDirac (com valores infinitamente grandes sobre um intervalo infinitesimal, de integralapreciável), coexistência e interacção de propriedades micro- e macroeconomicasdentro de um modelo económico.

2. Mudanças de escala: macroscópios e telescópios aplicados a funções e famíliasde funções, como o retrato de fase de uma equação diferencial, ou aos coeficientesbinomiais, microscópios para estudar o comportamento local de funções.

3. Coexistência discreto-contínuo: processos estocásticos discretos e equações àsdiferenças parciais cujas soluções, funções discretas -contínuas, -diferenciáveis eW WW-integráveis têm aproximações contínuas infinitamente próximas.

Existem evidentemente outras aplicações dos tipos mencionados, tais como ofenómeno óptico do 150 , a imitação do cálculo de pelomoiré vírgula flutuante[ ]cálculo de números inteiros de Harthong-Reeb [279], os problemas ao limite deperturbações singulares com soluções que apresentam saltos 92 93 [45], e os[233], [ , ], canards («patos»), soluções que apresentam ambos períodos de estabilidade e deinstabilidade, cujo estudo necessita da distinção entre as três ordens de grandeza —infinitesimal, apreciável e exponencialmente pequeno [ ] —, e que alguns22matemáticos consideram como a mais pertinente aplicação da análise não-standard nahora actual [291].

APÊNDICES

293

Apêndice A

A LINGUAGEM E OS AXIOMAS DE ZFC

A1. A LinguagemA linguagem de tem um único símbolo predicativo não lógico_ _œ Ð ÑZFC ZFC

binário , variáveis (para conjuntos) , , , (possivelmente com índices), os− B C D ...símbolos lógicos (negação), (conjunção), (disjunção), (condicional),c ”• Ê Í a b œ (bicondicional), (quantificador universal), (quantificador existencial) e

(igualdade), e parenteses , para pontuação. Utilizaremos também letras , , ,Ð Ñ + , \..., ] E F, , , como variáveis para conjuntos...., ...

Inicialmente, os de são somente as variáveis. Quando se introduziremtermos _constantes definidas (como e símbolos operacionais definidos (como , , ,gÑ T ‚-etc.) outros termos se obtêm. Indutivamente, as variáveis e as constantes definidas sãotermos, e se , são termos e é um símbolo operacional definido -ário> > 5" 5..., J( 1) então é um termo [que também se denota, por vezes, ].5 > > Ð> ß ß > ÑJ J" 5 " 5... ...Continuamos a designar por uma qualquer extensão de com símbolos_ _Ð ÑZFCdefinidos.

As de são as expressões de uma das formas ,fórmulas atómicas _ ÐB œ CÑÐB − CÑ; as de são definidas indutivamente pelas regras seguintes:fórmulas _

(a) fórmulas atómicas são fórmulas;

(b) se , são fórmulas então , , , e são9 < 9 9 < 9 < 9 < 9 <c Ð • Ñ Ð ” Ñ Ð Ê Ñ Ð Í Ñfórmulas;

(c) se é uma fórmula então e são fórmulas;9 9 9aB bB

(d) nada mais é fórmula.

Na escrita das fórmulas podem-se omitir parênteses desde que se não comprometaa legibilidade sem ambiguidades. Assim, por exemplo, parênteses exteriores podem-se omitir, abrevia-se , e analogamente com no lugarÐ • Ñ • ”9 < ) 9 < )Ê Êde e no lugar de . Uma expressão de uma das formas , é um• ÊÍ aB bBquantificador em , e numa fórmula de uma das formas , a fórmula é oB aB bB9 9 9alcance do quantificador em respectivo. As ocorrências de no alcance de umB Bquantificador em dizem-se ou ; se é uma fórmula em que ocorreB mudas aparentes <B B, as ocorrências de em que não são mudas (se algumas houver) dizem-se .< livresB B é se tem, pelo menos, uma ocorrência livre em . É habitual a notaçãolivre em < << <ÐB ß ß B Ñ B B 8 " 8 " 8... ... para indicar que as variáveis , , ( 1) são livres na fórmula ,e diz-se que é uma , , , não se excluindo a possibili-< condição nas variáveis B B" 8...

294 APÊNDICES

dade de outras variáveis além das indicadas serem livres em ; se , são termos< > >" 8..., em que não ocorrem variáveis mudas em denota-se por a< <ÐB ß ß B Ñ Ð> ß ß > Ñ" 8 " 8... ...fórmula que resulta de substituindo toda a ocorrência livre de em < <ÐB ß ß B Ñ B" 8 3...por para , .> 3 œ " 83 ...,

Uma é uma fórmula sem ocorrências livres de variáveis.sentençaAlgumas abreviaturas importantes:

ñ cÐB œ CÑ cÐB − CÑ B Á C B Â C , abreviam-se , , respectivamente;

ñ aBaC aBß C aBC b a abrevia-se ou , e analogamente com no lugar de ;< < <

ñ aB ÐB − C Ñ aB − CÑ aB − C bB ÐB − C • Ñ abrevia-se ( ou , e abrevia-Ê < < < <se ou .ÐbB − CÑ bB − C< <

Por vezes, abrevia-se [ou ], e abrevia-se – –9 9 9 9 9ÐC ß ß C Ñ ÐCÑ ÐCtÑ aC C aC" 8 " 8... ...[ou , respectivamente], e analogamente para . abreviaaCt b b B ÐBÑ9 9"

bB ÐBÑ • aC D Ð ÐCÑ • ÐDÑ C œ DÑ9 9 9, Ê

ou, equivalentemente,

bB Ð ÐBÑ • aC Ð ÐCÑ B œ CÑÑ9 9 Ê

Outras abreviaturas serão introduzidas mais adiante.

A2. Os AxiomasOs axiomas e teoremas de são sentenças de em que, por vezes, por abusoZFC _

ou comodidade se omitem os quantificadores universais iniciais.Enunciamos formalmente os axiomas de (omitindo quantificadores univer-ZFC

sais iniciais) e damos uma explicação informal logo de seguida, utilizando já algumasabreviaturas ou noções definidas, a fim de melhor se compreender o seu significadointuitivo.

EXTENSIONALIDADE aB ÐB − \ Í B − ] Ñ \ œ ]Ê

Dois conjuntos com os mesmos elementos são iguais. Note-se que se ,\ œ ]então e têm forçosamente os mesmos elementos, por uma propriedade funda-\ ]mental da igualdade (a : coisas iguais têm as mesmas propriedades).substituibilidadeDefine-se:

\ © ] Í aBÐB − \ B − ] ÑÊ ,

\ § ] Í \ © ] • \ Á ] ,

] ª \ Í \ © ] ] ¨ \ Í \ § ], ,

\ ©Î ] Í bBÐB − \ • B Â ] Ñ .

CONJUNTO VAZIO b\ aC ÐC Â \Ñ

A. A LINGUAGEM E OS AXIOMAS DE ZFC 295

Existe um conjunto sem elementos. Um tal conjunto é único: se também é tal\w

que , então facilmente se conclui que , dondeaC ÐC Â \ Ñ aC ÐC − \ Í C − \ Ñw w

\ œ \ gw por extensionalidade. O único conjunto sem elementos denota-se e chama-se o Caracteristicamente: .conjunto vazio. aC ÐC Â gÑ

SEPARAÇÃO

aE ÐaB Ð ÐBÑ B − EÑ bFaB ÐB − F Í B − E • ÐBÑÑ9 9Ê Ê ,

onde é uma condição em e possivelmente outras variáveis, e não ocorre9ÐBÑ B Fem .9ÐBÑ

Uma classe contida num conjunto é conjunto. Dados e , o único (porE ÐBÑ9extensionalidade) conjunto cujos elementos são exactamente os elementos de F B Etais que denota-se ou . Note-se que há9 9 9ÐBÑ ÖB − E ÐBÑ× ÖB B − E • ÐBÑ×À À 75

uma infinidade (intuitivamente falando) de axiomas de separação, um para cadacondição [ou ] na linguagem , por isso se diz que estamos na presença–9 9ÐBÑ ÐBß CÑ _de um ou de um de separação. Se , umaxioma-esquema esquema de axiomas E Á gaxioma de separação justifica a existência do conjunto

,E ÖB a\ − E ÐB − \Ñ×œ À ,

chamado a . Com efeito, a classe estáintersecção de E ÖB a\ − E ÐB − \Ñ×Àcontida em qualquer um dos membros de . Não se define (pois daria a classeE g+universal), mas poderia convencionar-se . Dados os conjuntos e , outro+g œ g E Faxioma de separação justifica a existência do conjunto ,complementar de em E FE Ï F œ E F ÖB − E B Â F×œ À .

PARES NÃO ORDENADOS bF aB ÐB − F Í B œ + ” B œ ,Ñ

Dados , , o único cujos elementos são exactamente e denota-se e é+ , F + , Ö+ß ,×chamado o Em particular, se , é opar não ordenado de e . + , + œ , Ö+ß +× œ Ö+×conjunto . O de e é o conjunto .singular de par ordenado + + , Ð+ß ,Ñ ÖÖ+×ß Ö+ß ,××œTem-se a propriedade fundamental

Ð+ß ,Ñ œ Ð-ß .Ñ Í + œ - • , œ .,

o que permite definir pr , pr . Quem tem pares ordenados tem" #Ð+ß ,Ñ + Ð+ß ,Ñ ,œ œ76

triplos ordenados, 4-uplos ordenados, etc.: , Ð+ß ,ß -Ñ ÐÐ+ß ,Ñß -Ñ Ð+ß ,ß -ß .Ñœ œÐÐ+ß ,ß -Ñß .Ñ, etc.

Conjugando pares não ordenados com intersecções podemos definir \ ] œ+ +Ö\ß ] × Ö\× œ \. Note-se que .

UNIÃO bF aB ÐB − F Í b\ − E ÐB − \ÑÑ

75 ÖB − E ÐBÑ× ÖB B − E • ÐBÑ×± ±9 9, ou , respectivamente.76 Em rigor, deveria-se definir a operação no universo pr pondo pr se existe tal" "D œ + ,que , pr nos outros casos. Analogamente para pr .D œ Ð+ß ,Ñ D œ g" #

296 APÊNDICES

Dado , o único conjunto cujos elementos são exactamente os elementos dosE Fmembros de chama-se a e denota-se . Conjugando pares nãoE Eunião de E -ordenados com uniões podemos definir . Note-se que \ ] Ö\ß ] × Ö\× œ \œ - -e que . A operação no universo , que se denota ,a\Ð\ − E \ © EÑÊ - sucessor Wdefine-se por , e com ela se definem os numerais , ,W WB B ÖB× ! g " !œ œ œ# "œ W , etc. e se definem

\ Í ! − \ • aBÐB − \ B − \Ñ ,é indutivo Ê W

e

B Í a\Ð\ é um número natural indutivo .Ê B − \Ñ

PARTES bF a\ Ð\ − F Í \ © EÑ

Dado , o único cujos elementos são exactamente os subconjuntos de E F Echama-se o (ou , ou conjunto das partes conjunto potência conjunto dossubconjuntos) de e denota-se ou . Para qualquer conjunto ,E ÐEÑ E GT TB − G • C − G ÐBß CÑ − GÊ -- , o que permite justificar, por separação, aexistência do ,produto cartesiano de e E F

E F ÖD ÐbB − EÑÐbC − FÑ D œ ÐBß CÑ×‚ œ À

(considerando acima). , etc. Uma G œ E F E E EßE E E# $ #œ œ‚ ‚ relação( ) é um conjunto de pares ordenados. Note-se que binária V ÐBß CÑ − V ÊB − V • C − V-- -- o que permite justificar, por separação, a existência dosconjuntos , , , domínio de imagem de V V ÖB bC ÐBß CÑ − V× V Vdom im œ Àœ Ö À œC bBÐBß CÑ − V× V, campo . A relação de é a relaçãoV V Vdom im inversaV ÖÐCß BÑ ÐBß CÑ − V×" œ À .

Uma um conjunto , uma relação binária num conjunto é relaçãoE V © E#

ternária num conjunto relação unária E é um conjunto , etc. Uma em éV © E E$

simplesmente uma parte de . Uma relação é sseE V funcional

aBß C ß C ÐÐBß C Ñ − V • ÐBß C Ñ − V C œ C Ñ" # " # " #Ê .

Se é funcional e , o único tal que chama-se o V B − C ÐBß CÑ − VdomV Vvalor de em B e denota-se , , ou (ou de outras maneiras ainda, conforme asVÐBÑ VB VB

circunstâncias). Uma relação funcional também se chama uma ou umafunçãoaplicação. Se é uma função com domínio podemos escrever0 E

0 œ Ø0ÐBÑ B − EÙ œ Ø0B B − EÙ œ Ø0 ÙÀ À B B−E, etc.

Uma é uma funçãofamília de conjuntos indexados num conjunto MJ œ ØE 3 − MÙ Ða3 − MÑÐJ 3 œ E Ñ3 3À onde . Define-se

0 E Ä F Í 0À é uma função . • 0 œ E • 0 © Fdom im


Se é uma relação ou uma função e um conjunto, «0 \ 0Ò\Ó œ 0 \ œÖC bBÐBß CÑ − 0× 0 \ œ ÖD bBß C ÐB − \ •À À é o e transformado de por \ 0D œ ÐBß CÑ • D − 0Ñ× é a . 256restrição de a 0 \

Dizemos que os conjuntos e são , e escrevemos , se e sóE F E µ Fequipotentesse existe uma bijecção . Se e são relações ou funções, 0 E Ä F 0 1 0 ‰ 1Àœ À ÀÖÐBß DÑ bC ÐÐBß CÑ − 1 • ÐCß DÑ − 0Ñ× 0 E Ä F. Note-se que se , então0 − ÐE FÑT ‚ , o que permite justificar, por separação, a existência do conjunto detodas as aplicações , que se denota . O 0 E Ä F FÀ E produto cartesianogeneralizado da família éJ œ ØE 3 − MÙ3 À o conjunto (por separação) das famíliasØ+ 3 − MÙ Ða3 − MÑÐ+ − E Ñ E3 3 3 33−MÀ tais que , que se denota . São também familiares#as notações e (se ).- - + +

3−M 3−M3 3E E M Á gœ œim imJ J

INFINITO éb\Ð\ indutivo .Ñ

Já se explicou, em 1.1, o papel deste axioma na definição de . Um conjunto Ediz-se se e só se existe tal que , e pode-se provar que um tal , sefinito 8 − E µ 8 8existir, é único; é sse não é finito. é sse , éE E E µinfinito infinito numerável numerável contável não-numerável (ou ) sse é finito ou infinito numerável, e é sse nãoé numerável. Pode-se demonstrar que um conjunto não vazio é numerável sseEexiste sobrejectiva.1 Ä EÀ

Os axiomas anteriores, devidos a Zermelo (1908), são suficientes para desen-volver uma parte da matemática clássica, nomeadamente, para as construções dosfamiliares sistemas de números, para uma boa parte da Álgebra e da Análise, para boaparte da teoria dos ordinais e da teoria dos cardinais de conjuntos bem ordenados. Oaxioma seguinte é devido a A. A. Fraenkel e é instrumental em certos teoremas dateoria dos ordinais mas não tem, ao que se sabe, aplicações matemáticas relevantes.Ele é bastante poderoso, porém, pois torna redundantes os axiomas de separação e dospares não ordenados.

SUBSTITUIÇÃO

aE ÐaB b C ÐBß CÑ bF aC ÐC − F Í ÐbB − EÑ ÐBß CÑÑÑ" 9 9Ê ,

onde é uma fórmula com , livres e possivelmente outras variáveis livres,9ÐBß CÑ B Cmas não ocorre em .F 9

O antecedente diz-nos que a fórmula define uma relaçãoaB b C ÐBß CÑ ÐBß CÑ" 9 9no universo que é funcional, o que permite introduzir um símbolo funcional ,Jdenotando-se o único tal que , isto é, tal que . DadoJ JB C ÐBß CÑ C œ B Í ÐBß CÑ9 9E, o axioma diz que, nestas condições, a classe

Ö ÐBÑ B − E× œ ÖC ÐbB − EÑÐC œ B ×J JÀ À )

é conjunto.

REGULARIDADE .\ Á g Ðb] − \ÑÐ\ ] œ gÑÊ

298 APÊNDICES

Este é um axioma estrutural (tal como o axioma da extensionalidade) comaplicações puramente técnicas (na teoria dos ordinais, por exemplo), sem qualquerrelevância matemática, que se destina, entre outras coisas, a garantir que a relação nouniverso é , isto é, não existem conjuntos , , , tais que− \ \ \bem fundada ! " # ...... − \ − \ − \ \ \ − \# " !. Em particular, ficam excluídos conjuntos tais que , econjuntos , tais que . Outra consequência notável deste axioma\ ] \ − ] − \(aliás, equivalente a ele) é a seguinte: , onde é a classe união dos conjuntosY Z Zœda chamada (de Von Neumann), os conjuntos ( ,hierarquia cumulativa ORDZ − Ñ! !definidos por recorrência transfinita por

,Z œ g!

,Z œ Z! !" T

, se é um ordinal limiteZ œ ÖZ − Á !- !- À ! -ORD×

Os membros da classe também são chamados Z œ ÀÖB b ÐB − Z Ñ×! ! conjuntoscotados ranked sets cota ( ) sendo a de um conjunto o menor ordinal tal« » , 3ÐBÑ B !que . Os conjuntos desempenham um papel importante em investigaçõesB − Z Z! !"

metateóricas nomeadamente de consistência e independência relativa. é já um, Z= =

« »miniuniverso (restringem-se e as variáveis aos membros de ) de conjuntos− Z= =

suficientemente rico para as necessidades da Análise clássica sendo , ,3 ‘ =Ð Ñ Ÿ *por exemplo, muito embora os axiomas de substituição não sejam válidos em .Z= =

Alguns teoremas matemáticos importantes de natureza existencial não podem serdemonstrados sem o axioma seguinte (ou o mais conhecido equivalente LEMA DEZORN); sem ele não pode ser demonstrado que todo o conjunto possui um cardinal,nem que a definição acima de é equivalente à definição de Dedekind [umfinitoconjunto é ], etc. Recorde-se também aE Í cb\Ð\ § E • \ µ EÑDedekind-finitocaracterização

é toda a injecção de em é sobrejectiva.E Í E E Dedekind-finito

ESCOLHA

aEb0Ð0 Ï Ï é uma função .• 0 œ E Ög× • Ða\ − E Ög×Ñ Ð0\ − \ÑÑdom

Todo o conjunto possui uma ou , isto é, uma funçãoE função de escolha selector0 \ E 0\ que em cada membro não vazio de escolhe um elemento . Recorde-se« »que o acima referido afirma que LEMA DE ZORN em todo o conjunto parcialmenteordenado em que toda a cadeia tem majorante existe um elemento maximalÐEß Ÿ Ñ .

Observações1. Os axiomas anteriores, excluindo os axiomas de substituição e o Axioma da

Escolha constituem a chamada teoria de Zermelo, . Se a esta juntarmos os axiomasZde substituição obtemos a teoria de Zermelo-Fraenkel, . Se a juntarmos apenas oZF ZAxioma da Escolha obtemos a teoria . Alguns ramos da matemática, particular-ZC


mente da Análise, podem ser desenvolvidos utilizando uma versão fraca do Axiomada Escolha, nomeadamente, a versão (NC) em que somente os conjuntosnumerávelnumeráveis possuem funções de escolha, mas também há resultados que dependemnecessariamente da versão não numerável (v. [333]). Em todo o caso, nenhum axiomaespecial é necessário para demonstrar que todo o conjunto finito possui uma função deescolha — isto pode-se demonstrar facilmente por indução no cardinal do conjunto.

Refira-se, também, que o Axioma da Escolha é independente dos axiomas de ZF([69]): tanto ele como a sua negação são consistentes relativamente a .ZF

2. Muita investigação tem sido feita, em décadas recentes, em torno doschamados , que são, em regra, axiomas de existência deaxiomas fortes do infinitograndes cardinais. Uma espécie de grandes cardinais especialmente importante eminvestigações metateóricas, nomeadamente em relação com a Análise Não-Standardna perspectiva robinsoniana (v. Apêndice B) é constituída pelos chamados cardinaisinacessíveis. O garante a existência deAXIOMA DOS CARDINAIS INACESSÍVEIScardinais inacessíveis arbitrariamente grandes. Um cardinal inacessível é um cardinal) i! que não pode ser construído pelas operações habituais (somas e potências) a« »partir de cardinais mais pequenos. Uma outra definição possível de um tal cardinal é aseguinte: é um cardinal tal que o conjunto (v. acima) é um modelo interno de) Z)ZFC (restringindo e as variáveis a membros de ). A existência de tais cardinais− Z)não é demonstrável em se esta teoria é consistente pois implica a consistênciaZFC, , desta teoria ( , B6) nem se pode demonstrar nestacf. II METATEOREMA DE GÖDEL , teoria a consistência, com ela, da existência de tais cardinais. É consistente com ,ZFCporém a suposição de que todos os cardinais são acessíveis.,

Uma formulação mais útil para a teoria das categorias do axioma dos cardinaisinacessíveis é a seguinte. Chamemos a um conjunto tal queuniverso Q

(a) = − Q ,

(b) é , isto é, Q B − Q B © Qtransitivo Ê ,

(c) , eB − Q B ÖB× − QÊ

(d) não é equipotente a .B © Q • B Q B − QÊ

Pode-se demonstrar que o axioma dos cardinais inacessíveis é equivalente aoAXIOMA DOS UNIVERSOS: . E prova-setodo o conjunto pertence a algum universo ,além disso que os universos são precisamente os conjuntos com inacessível., Z) )Admitindo o axioma dos universos uma categoria de objectos matemáticos (por, Vexemplo, grupos e homomorfismos espaços topológicos e homeomorfismos etc.), , pode ser convenientemente representada num universo como um par ordenado deQconjuntos com A categoria de todas asV œ ÐOb Mor Ob Mor . V V V Vß Ñ − Q − Q, categorias em , , será por sua vez uma categoria num universo maior , etc. v.Q QVQ

w , Isbell [181] Kruse [208] MacLane [237]; para outras aplicações dos cardinais inaces-, , síveis ver Erdös & Tarski [112].

3. Os lógicos utilizam a notação para exprimir que a sentença (da« »T ¯ 9 9linguagem de ) é teorema da teoria [isto é, é demonstrável, pela lógica clássica, aT Tpartir dos (de alguns) axiomas de ]. Não utilizaremos esta notação, em geral. SendoTT ZFC IST pressuposta ( , ou , na maioria dos casos), diremos simplesmente, como é

300 APÊNDICES

usual fazer-se em matemática, que é verdadeira , ou que tem-se , etc. Somente« » « »9 9em circuntâncias especiais, por exemplo, quando discutimos modelos de uma teoria (oque acontece, várias vezes, no Apêndice B, e no Cap. V), é que o termo verdadeiro« »é utilizado num sentido semântico diferente do anterior. Pelo contexto facilmente sevê, em cada caso concreto, de qual dos dois sentidos possíveis estamos falando.

ExercícioSem utilizar o axioma do infinito: sendo = menor ordinal limite , se existir,= Á !

= œ \ \ µ 8ORD finito, no caso contrário, e definindo é sse para algum (único)natural , prove que são equivalentes as sentenças seguintes:8

(a) existe um conjunto indutivo ( ;\Ñ

(b) existe um conjunto infinito (isto é, não finito);

(c) é conjunto.=

[Sugestão: (a) (b) (c) (a); na segunda implicação, aplique um axioma deÊ Ê Êsubstituição ao conjunto das partes finitas de .]\

301

Apêndice B

LIMITAÇÕES DOS FORMALISMOS77

B1. Introdução

Em frequentes etapas do seu desenvolvimento a Matemática teve o seu discursoenriquecido com novas entidades e as suas teorias alargadas e modificadas emdirecções diversas. Chamemos (provisoriamente) aos objectos matemáticosstandardadmitidos consensualmente como (existentes, ainda que num plano puramente reaismental ou abstracto , e a matemática dessa mesma época . Trata-se de) standard 78

noções , como é óbvio, a cada particular etapa de desenvolvimento, as quaisrelativaspermitem, de acordo com os conhecimentos e padrões de rigor ou formalidadeprevalecentes, uma definição rigorosa daqueles objectos e conceitos, ou, pelo« »menos, um consenso inquestionado em torno das suas características e propriedadesfundamentais. Por razões várias, respeitantes à capacidade problematizante da activi-dade do matemático, e à necessidade (e/ou curiosidade intelectual de estender o)campo de aplicabilidade da Matemática a domínios e situações mais vastas e comple-xas (acompanhando o desenvolvimento das outras ciências e técnicas , surge)ocasionalmente a perplexidade (ou crise , a constatação da insuficiência do discurso,)dos conceitos e métodos existentes, para explicar e resolver os problemasstandardformulados — é o vazio conceptual, a ser preenchido (tentativamente, primeiro com)novas entidades e conceitos ou relativamente aos tradicionais.ideais não-standardPor vezes, a motivação não é outra senão o desejo de completar uma estrutura« »« » « »imperfeita ou incompleta em algum sentido, possivelmente estético. A novaterminologia reflete muitas vezes o carácter ideal ou fictício das novas entidades, cujoestatuto permanece vago, impreciso, ligado à sua origem heurística, durante algumtempo (centenas de anos, em alguns casos , até serem definitivamente incorporados)no discurso matemático oficial, isto é, estandardizados.

Mencionemos alguns exemplos bem conhecidos:

1) Os números irracionais fizeram a sua aparição envoltos em mistério (comoincomensuráveis há dois mil e quinhentos anos, e só se standardizaram verda-)deiramente há pouco mais de cem anos: R. Dedekind comenta em 1872 ([88] , p. 22I )

77 Adaptado da Primeira Parte de [266]. Uma versão foi publicada em [267].78 Os termos «standard e «não-standard são utilizados aqui em sentido figurado ou» »informal. Mais adiante, e no texto do livro serão utilizados em sentido s técnico s , aÐ Ñ Ð Ñprecisar.

302 APÊNDICES

que um facto tão simples como

È È È# ‚ œ '3

nunca tinha sido estabelecido rigorosamente. Os números imaginários foram utiliza-dos em cálculos algébricos desde o séc. XVI (por exemplo, por Bombelli, naresolução de equações cúbicas), muito antes de uma teoria dos números complexos([53], [198], [314] .)

2) As iteradas de ordem infinita da operação topológica de derivação (paraX © ‘)

\ \w œ conjunto dos pontos de acumulação de

surgem naturalmente nas primeiras pesquisas (1870-72 de G. Cantor ([57], [82],)[121] sobre as séries trigonométricas, levando-o a conceber os números ordinais)transfinitos, cuja teoria demora cerca de dez anos a elaborar. Um pouco mais tarde(1874 Cantor demonstra a numerabilidade do conjunto dos reais algébricos e, por)diagonalização, a não numerabilidade dos reais (e, portanto, dos transcendentes . Até)então permanecia vaga a distinção finito/infinito (exceptuando a caracterização àDedekind, de 1872 , e de rompante Cantor distingue dois infinitos actuais, não)tardando a desenvolver a noção de conjunto abstracto e toda a hierarquia dos cardinaistransfinitos.

3) A evolução do conceito de função é também ilustrativa, desde a identificaçãoinicial com o de curva, passando de seguida ao de expressão analítica (Euler ,)pressupondo implicitamente a diferenciabilidade. É Bolzano que em 1834 dá umprimeiro exemplo de função contínua não diferenciável ([48] p. 269 , o qual)permanece entretanto ignorado (como muitos outros trabalhos de Bolzano até que)Hankel chama para ele a atenção meio século depois. Mas entretanto já Weierstrasshavia produzido o seu conhecido contraexemplo, verdadeiro monstro não-standard« »que a evolução do conceito acaba por incorporar ([334] . Instrutiva é também a lição)de Lakatos [212] sobre a evolução do conceito de poliedro e as sucessivas demons-trações do célebre sobre os números de faces, vértices eTEOREMA DE EULER arestas dos poliedros convexos

J Z œ E #.

4) O cálculo simbólico de Heaviside e a função de Dirac prenunciam novas« » $entidades não-standard com respeito às funções ordinárias, tornadas respeitáveis« »por Gelfand e Schwartz — as distribuições.

5) Os conjuntos inconsistentes da teoria intuitiva de Cantor (conjunto de todos« »os conjuntos, conjunto de todos os ordinais, de todos os cardinais, etc. adquirem)estatuto próprio como classes, que são objectos nas teorias de classes.« »Analogamente, as categorias, os topoi, as linguagens formais, os algoritmos,tornaram-se entidades respeitáveis por via da moderna Lógica Matemática e estudosde Fundamentos.

B. LIMITAÇÕES DOS FORMALISMOS 303

6) O problema das paralelas na Geometria Euclidiana standard originou« »monstros não-standard, as geometrias não euclidianas e seus modelos, tornadasrespeitáveis somente após uma reformulação do método axiomático que permitisse areinterpretação dos conceitos primitivos (ver B3 . Na Geometria Projectiva introdu-)zem-se pontos e rectas no infinito« »...

7) Somas infinitas foram utilizadas heuristicamente por Euler muito antes de umateoria justificativa das séries convergentes, com resultados surpreendentes (v. B2 .)

8) Numa tentativa de estabelecer a conjectura ( último teorema de Fermat,« »)Kummer introduz e desenvolve uma teoria dos números ideais , base dos trabalhos« »de Dedekind e Kronecker sobre os corpos algébricos.

Falaremos adiante mais pormenorizadamente dos infinitamente pequenos [ouinfinitesimais, abreviadamente ip(s e infinitamente grandes [abreviadamente ig(s)])]actuais, enquanto números não-standard , e de toda uma plêiade de novos conceitos« »e entidades não-standard com respeito aos da matemática tradicional.« »

Finalizamos esta introdução com mais algumas considerações gerais a respeitodos exemplos acima, de enriquecimento, generalização e extensão dos conceitos emétodos.

A tendência natural para formular problemas e estender os conhecimentos émuitas vezes limitada por insuficiências conceptuais, do discurso, e técnicas. A recusadessas limitações traduz-se criativamente pela invenção de novas entidades emétodos. Das alternativas propostas ficam normalmente aquelas que são conceptual-mente mais simples ou naturais e que são , quer dizer, quando aplicadasconservativasàs entidades standard produzem os resultados conhecidos a seu respeito. A« »propósito das sucessivas extensões do conceito de número, esta propriedade é conhe-cida por (da Permanência das Regras de Cálculo, 1867 .PRINCÍPIO DE HANKEL )Uma forma generalizada deste princípio é precisamente um dos princípios basilares daAnálise Não-Standard ( , da , ouPRINCÍPIO DE LEIBNIZ EXTENSÃO ELEMENTARda ver B10 . TRANSFERÊNCIA — )

Desde finais do século XIX a Matemática é dominada por duas grandes linhas deforça: o método formal-axiomático e a teoria dos conjuntos, que, combinados, origi-naram os grandes sistemas fundacionais para a matemática dita clássica (excluindo,« »pois, a intuicionista/construtivista — Frege-Russell & Whitehead, Zermelo-Fraenkel-)Skolem, Bourbaki, von Neumann-Bernays-Gödel, Morse-Kelley, Quine, Lawvere-Tierney, e Conway, para só falar dos mais conhecidos (Hatcher [157] descreve ecompara diversos destes sistemas, em linguagem quanto possível uniforme . Mas,)para além da matemática intuicionista/construtivista (de que existem, aliás, diversasvariantes , que Snapper [311], por exemplo, considera dever-se incorporar no grande)edifício da Matemática do nosso tempo, outras correntes e desenvolvimentos deíndole tanto teórica (diversificação das linguagens formais não clássicas e avançossignificativos em diversos ramos da Lógica Matemática como prática ou pragmática)(combinatória finita e infinita, computação e complexidade computacional, geometriafractal e outras modelizações de fenómenos físicos deterministas e aleatórios vêm)engrossar e, quiçá, alterar profundamente as concepções, métodos e formalismos damatemática tradicional.

304 APÊNDICES

No plano filosófico, há um melhor conhecimento das razões profundas dasrupturas que as polémicas de fundamentos do princípio do século pressagiaram, e há,sobretudo, a consciência do limiar de novas e fecundas sínteses para as quais devemosestar atentos.

Nesta exposição lançamos um olhar rápido sobre alguns acontecimentos etendências nas últimas décadas que julgamos relevantes para a evolução e as novassínteses em curso. Mas começamos por recordar alguns antecedentes históricosmarcantes, por ordem aproximadamente cronológica, tanto mais importantes quanto écerto que, frequentemente, são mal interpretados, quando não simplesmente omitidosdos relatos vulgarizadores.

B2. Os pioneiros da Análise e a questão dos infinitesimais

Temas centrais de todas as polémicas de fundamentos são a resolução das dico-tomias finito/infinito (presumivelmente problema central dos fundamentos daomatemática, [122] p. 211 , discreto/contínuo, e ainda aritmética/geometria. Esta últi-)ma é sobretudo pertinente no tempo da Grécia antiga, pois que à concepção discretade número se opõe a intuição do contínuo geométrico das magnitudes ou cinemáticodo movimento, daí a primeira crise nos fundamentos provocada pela descoberta dosincomensuráveis, os paradoxos de Zenão, etc., se tivermos em conta as limitações daconcepção pitagórica do universo . A intuição geométrica do contínuo, na79

possibilidade de construções com régua e compasso (por exemplo, quando em jogopropriedades de continuidade, como na proposição 1 do livro I dos deElementosEuclides — a construção de um triângulo equilátero, dado um lado , na existência do)« »quarto proporcional , na aproximação de linhas curvas por poligonais e desuperfícies esféricas por poliedrais, base de de Arquimedes (dosO Métodoindivisíveis, v. [159] para calcular áreas e volumes, etc., era a musa heurística de)investigação e descoberta, a primeira indicação da dos resultados, cujoplausabilidadeestabelecimento (ou verificação rigoroso só a teoria das proporções de Eudóxio ou o)método de exaustão (e compressão poderia garantir (v. [48] Cap. II, e [110] Caps. 1,)2 . Curiosamente, alguns matemáticos modernos, como R. Thom ([325] 181-182) )defendem o primado intelectual do contínuo sobre o discreto, qual intuição primórdiakantiana. No extremo oposto, há que referir os neo-intuicionistas, como Brouwer, paraquem só o infinito potencial, originado por operações mentais discretas, é legítimo. Aoriginalidade desta posição, mas não o seu fundamento, remonta a Aristóteles, como ésabido, que já distinguia com clareza filosófica os infinitos potencial e actual (v.[217], [247] .)

Por se encontrarem bem estudados estes primórdios do pensamento matemático,damos um salto, longo no tempo mas não tão longo nas ideias, para os começos da eramoderna, a dos hábeis pioneiros e criadores do e do calculus integralis calculus

79 M. Caveing defende que tal intuição não é o resultado de um acto único e primitivo, masé, pelo contrário, somatório de constatações várias resultantes de uma análise regressivados requisitos de diversos procedimentos operatórios [64] p. 155 . O mesmo autor chamaÐ Ñainda a atenção para a dificuldade de discernimento, nos autores gregos, por vezes, entre ocontínuo infinito ibid. e o simplesmente p. 154 . V. também a colectânea [247].Ð Ñ


differentialis, desde Cavalieri a Cauchy, passando por Pascal, Marquês de L'Hôpital,Newton, Leibniz e Euler, entre outros. Embora diferindo por vezes na ontologia e nasjustificações filosóficas, o facto que importa aqui sublinhar é que todos eles fazemuso, nos cálculos e demonstrações, de infinitesimais e igs actuais, cuidando embora deomitir judiciosamente dos enunciados ou resultados finais tais entidades. De acordocom Cauchy ([62] , citado por Robinson ([ ] 276-277 , itálicos nossos:) 288 )

«Pour écarter complétement l’idée que les formules dans le calcul différentielsont des formules approximatives, et non des formules rigoureusement exactes, ilme paraît important de considérer les différentielles comme des quantités finies,en les distinguant soigneusement des accroissements infiniments petits desvariables. peut et doit être La considération de ces derniers accroissements employée comme moyen de découverte ou de démonstration dans la recherchedes formules ou dans l’établissement des théorémes. Mais alors le calculateur sesert des infiniments petits comme d'intermédiaires qui doivent le conduire à laconnaissance des relations qui subsistent entre des quantités finies; et jamais, àmon avis, des quantités infiniments petites ne doivent être admises dans leséquations finales, oú leur présence deviendrait sans object et sans utilité »...

Considerações análogas haviam sido feitas por L. Carnot [59] I, pp. 13-14.80

Assim, na primeira metade do século XVII, Cavalieri desenvolve e populariza ométodo dos indivisíveis (antecipado em boa medida por Kepler para cálculo de áreas)e volumes: uma figura plana ou sólida é composta de uma infinidade de porções ips(indivisíveis de dimensão inferior, de modo que a área (volume pretendida é a soma) )dos comprimentos (áreas dos elementos indivisíveis. Em meados do mesmo século,)após as regras algébricas de Fermat, Hudde e Sluse, desenvolvem-se técnicas infinite-simais de obtenção de tangentes: na essência, toma-se a secante passando por doispontos da curva infinitamente próximos e desprezam-se os termos infinitesimais deordem superior. Para Leibniz (v. [54] p. 218 uma derivada é essencialmente um)quociente de dois infinitesimais, donde a conhecida notação .C.B .

Não repugna a Euler um desenvolvimento da exponencial do tipo polinomial

/ œ " œ " â B B Ð "ÑB B

#x xB

#ˆ ‰. . .

. . ...

,

onde é um número natural ig ; mas, para um tal ,. .81

.

.œ œ â œ "

Ð "Ñ. .

.#,

80 A primeira edição data de 1797, e foi traduzida em português por Nogueira da Gamalogo no ano seguinte, existindo um exemplar na Biblioteca Nacional. Que influência teveeste trabalho, se alguma, nos matemáticos portugueses da época? Um primeiro manuscritode 1795 foi recentemente recuperado por Youschkevitch [132], citado por Barreau [9].81 Em Análise Não-Standard, por exemplo, em e , é frequente utilizar a letra[233] [103]grega « para designar um natural ig. Evitamos sistematicamente tal uso neste Apêndice=»pois, na teoria dos conjuntos, .= œ

306 APÊNDICES

donde

/ œ "B B B â B#.

.!. 82

Pressionada pelas questões e aplicações concretas, nomeadamente à Física, aAnálise da época busca primordialmente a obtenção de resultados, isto é, privilegia ocálculo e as equações, sem cuidar muito dos fundamentos e do rigor formal. Assim, éadmitida a existência de duas espécies de números, os finitos ou ordinários , que« » « »servem para contar e medir, e os infinitos , igs ou ips a respeito dos primeiros.« »Leibniz encara estes últimos, no entanto, como ideais ou fictícios (tal como osimaginários), embora sujeitos, por um ([48] p. 217),princípio geral de continuidade às mesmas leis que os números ordinários. O princípio de Arquimedes não é posto emcausa, porém, por se aplicar somente aos finitos (todo o real positivo ordinário édominado por um natural finito — ver adiante .)

Tudo isto não se faz, porém, sem algumas contradições aparentes ou flagrantes,postas em evidência, por exemplo, pelo Bispo Berkeley em 1734 ([ ] : num mesmo33 )argumento, certa quantidade infinitesimal é considerada ora como não nula ora comonula.

Por exemplo, se é um infinitesimal não nulo, acréscimo da variável indepen-.Bdente , é o acréscimo resultante da variável dependente , obtemosB .C C œ B#

.C ÐB Ñ Ð.BÑœ .B B œ #B † .B # ## ,

donde

.C

.Bœ #B .B,

82 Segundo Edwards [110] pp. 272-274, Euler utiliza livremente números igs e ips noestudo das funções exponencial e logarítmica e seus desenvolvimentos em série (porexemplo, [113] pp. 122-132). Mas teria, para Euler, significado algo diferente doin sérieque tem hoje (?). Formalmente, uma série (de números reais) um par ordenado de! a é8

sucessões , onde , mas, para Euler, uma série seria,ÐØ Ñ =a a a8 8 8 ! 8Ùß Ø= Ù œ âaparentemente, uma com um «número ig de termos, e manipulável como uma somasoma »finita tal e qual. Euler denota ips por e igs por , que Edwards transcreve , = &3 Nrespectivamente, como por exemplo no argumento seguinte. Notando que a potência de ade expoente é , escreve Euler! "

+ 5 œ +& œ " 5& (onde constante que depende de ),

donde, dado real, e considerando o ig vemB R œ BÎ&,

+ Ð+ Ñ Ñ Ð" 5BÎRÑB Rœ + œ œ Ð" 5 œ œ& & R R R& etc. (Binómio de Newton);

definindo como o valor de para , neste desenvolvimento, vem finalmente/ 5 B + œ " œ "

/ œ Ð" ÑB

RB R .


e o valor (correcto! da derivada é obtido desprezando , por ser muito pequeno (em) .B

comparação com ), isto é, igualando , obtendo B .B œ ! œ #B.C.B .

Também a manipulação de somas e polinómios com um número (natural ig de)termos, prática muito comum em Euler (com grande sucesso, aliás , pode dar origem)a situações paradoxais.

Considerando a soma, com natural ig,.

S. œ " â " " "

# % #.,

cujo valor, pelas regras habituais, é , que valor atribuir então à# #12.

soma infinita (série)

S œ " â â " " "

# % #n ?

Visto que para todo natural finito, é , o que é incompatível com o8 8 #. S S.facto para todo (finito ou infinito .S # 81

28 )Apesar destas e de outras contradições, o debate sobre os infinitesimais e os igs

actuais (a metafísica do cálculo visa sobretudo a validação dos cálculos, e« » )83

encontra-se admiravelmente exposto e tentativamente resolvido pela teoria da com-pensação dos erros84 de Lazare Carnot [59], que, no entanto, não parece ter tidogrande influência nos tratadistas posteriores. A este propósito refiram-se igualmenteos artigos de Robinson [286] e de Lakatos [213].85

83 Citando Anastácio da Cunha [78] p. 11: «Oh! Metaphysica! Metaphysica! se todos bem ponderassem quanto és versátil!».Está por fazer uma análise histórica detalhada da concepção do contínuo subjacente nostextos conhecidos de A. da Cunha e da sua possível influência nos tratadistas, franceses eoutros, dos finais do séc. XVIII e princípios do séc. XIX. Em diversas passagens do textocitado, e também nos [79], por exemplo no Livro XV, o autor tira partido, semPrincípios receio, de infinitamente pequenos infinitesimais e grandes em argumentos analíticos eÐ Ñgeométricos diversos. Assim é que a citação acima está inserida num contexto de defesados conceitos e métodos dos chamados, por Anastácio, de «modernos analistasmetafísicos . Estas observações são expandidas em [264] e [265].»84 A ideia de que, nos cálculos com infinitamente pequenos, os erros se compensam aospares já tinha sido exposta pelo Bispo Berkeley em The Analyst, .[ ]3385 Lakatos contesta, no seguimento de Robinson [288], Cap. X, alguns aspectos da«reconstrução racional , em termos weierstrassianos, da historiografia do Cálculo Infinite-»simal, segundo a qual, nomeadamente (de acordo com historiadores como Bell, Boyer,Cajori, Klein e Bourbaki), Weierstrass seria um continuador de Cauchy no estabelecimentodas fundações do Cálculo sobre a noção de , e o termo «variável (real) poderia serlimite »sempre interpretado no sentido weierstrassiano (o contínuo real expurgado de infinitesimaise igs numéricos actuais). Exemplifica a sua contestação com uma análise do famosoproblema da convergência uniforme de sucessões de funções, que opôs Cauchy a algunsseus contemporâneos (Abel, Seidel, Heine), e explica que o suposto «erro (por omissão de»uma condição forte de convergência — a convergência uniforme) de Cauchy, repetido poreste em edições sucessivas do seu [62], não o é de facto, se tivermos emCours d’Analyse

308 APÊNDICES

B3. Geometrias não-euclidianas e nova concepção do métodoaxiomático

Os de Euclides são a referência fundamental para a concepção clássicaElementosdo método axiomático, apesar das suas deficiências e insuficiências. A axiomática deEuclides (tal como, na motivação, a versão actualizada de Hilbert [169]; v. [145] parauma apresentação moderna é uma axiomática para a , isto é,) Geometria Verdadeirapara a organização sistemática em teoria dedutiva das propriedades geométricas deuma certa interpretação ou modelo — o espaço físico tridimensionalintencionalordinário. É este modelo ou estrutura intencional que sugere a Euclides os conceitosprimitivos da teoria, os quais são definidos (leia-se: explicados) nos termos desse« »modelo intencional, e os axiomas/postulados são acerca de tal modelo inten-verdadescional, presumivelmente suficientes para, a partir deles, se deduzirem logicamentetodas as verdades não definidos. Para Hilbert, porém, primitivos já quer dizer ,« »segundo a concepção moderna — ver adiante.

Analogamente, a progressão dos inteiros positivos 1, 2, 3, é o modelo inten-...cional da axiomática de Dedekind-Peano, sobre a qual voltaremos a falar.86

Este modo de proceder tende a assegurar à partida a crença na dacompatibilidadeaxiomática, ainda que o estatuto ontológico do modelo intencional seja discutível (porisso, na prática, os matemáticos buscam sempre a construção de um modelomatemático . Mas não assegura necessariamente a sua suficiência ou ) completudesemântica87 (: que todas as verdades no modelo ou modelos intencionais sejamdedutíveis dos axiomas . Pode-se demonstrar a compatibilidade e categoricidade dos)axiomas de Hilbert mostrando que todos os modelos são isomorfos ao modelo

em conta que Cauchy trabalha, como tudo parece indicar, num contínuo leibnitziano e nãonum contínuo weierstrassiano.86 Estamos aqui usando os termos «modelo e «estrutura um tanto levianamente, a» »respeito das axiomáticas de Euclides e de Dedekind-Peano. No primeiro caso trata-se doespaço físico e não qualquer sua representação matemática. No segundo caso,tout courttemos em mente os , habitualmente representados por «1 , «2 , etc. aosnumerais positivos » » Ðquais acrescentaremos o «0 , utilizados desde a antiguidade para efeitos de contagem de»Ñobjectos e aritmética caseira, e não um conceito abstracto de , embora não senúmeroconteste que a formulação de um tal conceito pudesse ter antecipado a axiomática deDedekind-Peano ([88] ; [272]), nomeadamente por Frege [124].II

Por outro lado, quando mais adiante falamos de «modelo analítico da axiomática de»Hilbert [169] para a Geometria Euclidiana, já o termo «modelo é utilizado no sentido»matemático estrito, comum também em Lógica Matemática: uma estrutura matemática noÐcaso referido, o espaço euclidiano que satisfaz ou realiza certos axiomas dados. Note-‘$Ñ Ðse que o termo «modelo é por vezes utilizado pelos matemáticos e físicos num sentido»bem diferente, quase oposto: certa teoria é um modelo teórico de certo fenómeno físico ourealidade .Ñ87 A completude («completitute» seria o termo português gramaticalmente correcto), nosentido referido, é uma propriedade metamatemática da teoria, e não se deve confundir,como é óbvio, com a completude no sentido topológico ou outro, que é uma propriedadematemática ou estrutural (ver, por exemplo, o Teorema 32, p. 29, de [169]). Acategoricidade só assegura que as verdades num modelo particular são satisfeitas ourealizadas em qualquer outro modelo. Para discussão geral veja-se [71].


analítico , e, analogamente, prova-se (na teoria dos conjuntos a compatibilidade e‘$ )a categoricidade da axiomática de Dedekind-Peano, e são estes factos que sustentam acrença na completude no sentido acima .88

Lobachewskii encara a axiomatização da geometria no mesmo espírito queEuclides, mas apercebe-se, mais fortemente que outros (talvez , da dificuldade de)verificação experimental dos postulados, nomeadamente do postulado 5, o deparalelismo (v. o artigo de Alexandrov [2] a este respeito . Poder-se-á dizer que ele)possui uma do espaço, e postula a sua geometria na crença de umaintuição diferente melhor adequação à realidade física, embora sujeita às mesmas dificuldades de verifi-cação experimental. Constroi (como outros antes dele, de Lambert e Saccheri a Gausse Bolyai) uma teoria dedutiva, extraindo consequências dos axiomas, um dos quaisimplica a negação do postulado 5 de Euclides. O aspecto que desejamos salientar éque a compatibilidade destas axiomáticas (e de outras depois delas) não é asseguradaà partida por um modelo matemático intencional, nem tão pouco um modelointencional intuitivo (excepto talvez na mente excepcional do próprio Lobachewskii ,)e só vem muito mais tarde a ser estabelecida por Hoúel (v. [296]) com base emtrabalhos de Beltrami (uma parte do plano de Lobachewskii é realizada na pseudo-esfera) e por F. Klein (caso geral), na suposição de que a Geometria Euclidiana écompatível. Metodologicamente, o importante é que estas novas geometrias nãoprivilegiam nenhuma interpretação intencional — são, por assim dizer, independentesdo significado ou significados dos conceitos primitivos, e é por esta razão que se toma« » « »primitivo como significando, hoje em dia, o mesmo que não definido . Trata-se,pois, de axiomáticas , ou , por oposição às axiomáticas formais autónomas materiaisou (as de Euclides e de Dedekind-Peano).heterónomas

O ponto de vista , na geometria axiomática e noutras disciplinas, é jáformalperfeitamente entendido e adoptado pela generalidade dos matemáticos no final doséc. XIX , e encontra forte apoio na teoria abstracta de conjuntos de G. Cantor (v.89

adiante). Mas esse mesmo ponto de vista é ainda susceptível de refinamento, até seobter a forma mais perfeita de teoria advogada por Hilbert nos anosformalizada, vinte, no sentido de incorporar uma explicitação e simbolização total quer dosprincípios e regras de inferência lógicos quer dos princípios matemáticos específicos.Esse trabalho de refinamento foi iniciado por G. Frege no de 1879 Begriffsschrift

88 Note-se que para teorias de primeira ordem (numa linguagem numerável) — que não é ocaso das teorias acima referidas — a categoricidade num cardinal infinito (: todos osmodelos desse cardinal são isomorfos) e a não existência de modelos finitos asseguram acompletude semântica, em virtude de um resultado geral da Lógica Matemática [Teoremade os-Vaught´ . (1954)], v [111] p. 157.89 No [78], Anastácio da Cunha faz já uma apologia, extraordinariamente lúcida eEnsaio moderna para a época, do ponto de vista formal na concepção do método axiomáticoaplicado aos princípios da Mecânica. Diz nomeadamente (p. 3):«A verdade matemática não consiste senão na legitimidade com que os teoremas e assoluções dos problemas se derivam das definições, postulados e axiomas; porém, asdefinições, postulados e axiomas, pode-se dizer que a nenhuma lei são sujeitos.»(Excepto a da coerência, acrescentaremos hoje). Aqui, «lei deve-se entender no sentido de»«lei natural ou «lei física das ciências experimentais.» »

310 APÊNDICES

[123], e para ele contribuiram Peano, Russell e Whitehead, mas é com Hilbert queatinge a «perfeição». Voltaremos adiante a discutir o papel de Hilbert nesta matéria.

B4. A aritmetização da Análise e o seu instrumento: a teoriaingénua dos conjuntos de Cantor

A Geometria Analítica de Descartes e Fermat é uma fusão da geometria e daálgebra (e é já uma tentativa de busca de métodos algébricos, que em certos casoschamaríamos hoje de , para tratar de problemas geométricos , mas aalgoritmos )intuição geométrica do contínuo entremeia ainda os conceitos e as demonstrações emAnálise até quase final do século XIX (e até, em alguns casos, pelo século XXadentro . Lentamente, também, o cálculo de equações dá lugar a uma mais sofisticada)Análise, baseada no estudo das funções e funcionais como objectos primordiais —Análise Funcional. É também conhecido, em Geometria, o impacto do ProgramaErlanger de F. Klein — as transformações geométricas .90

A chamada , levada a cabo principalmente poraritmetização da AnáliseWeierstrass, Dedekind e Cantor, é uma tentativa de fundamentação do (nú-contínuomeros reais em termos puramente algébricos ou analíticos, despido da veste)geométrica, mas (in vestido de outra: a intuição geométrica dá lugar a intuição,) outrabem mais abstracta e poderosa, a dos conjuntos ou colecções cantorianas.

Com efeito, as novas concepções de (cortes ou secções de Dedekind,número realclasses de equivalência de sucessões de Cauchy de racionais, etc. recorrem de)maneira essencial à noção de . A teoria abstracta decolecção arbitrária de inteirosconjuntos, de Cantor [57] (a parte de [88] antecipa alguns rudimentos é o instru-I )mento que vai permitir estas e outras construções e desenvolvimentos, da teoria geralda medida e integração à topologia geral, álgebra abstracta, etc.

A questão dos infinitesimais e igs é reavaliada, agora à luz das noções funda-mentais da Análise, optando-se pela simples daqueles, enquanto númerossupressão « »ou valores de variáveis (funções da Análise Real. A possibilidade de reformular as« » )noções fundamentais da Análise na noção - de , antecipada (parcialmente por$ & limite )Cauchy e Bolzano e firmemente defendida por Weierstrass desde meados do séc.XIX, contribui para a erradicação dos infinitesimais leibnitzianos, apesar de algumastentativas modestas de estudo de sistemas não-arquimedianos (O. Stolz e P. du Bois-Reymond, em Análise, Veronese em Geometria . Embora se conservem algumas)notações de Leibniz, os diferenciais , , são como aplicações.B .C .B3 3 reinterpretadoslineares, ponto de vista que é desenvolvido na teoria moderna da diferenciabilidadeem espaços normados. Um infinitésimo não é mais um número, mas uma sucessão oufunção evanescente — dá-se uma na ontologia daqueles entes,subida de tipo lógico

90 O impacto deste programa extravasa a Geometria, mas não está feita a história dainfluência do programa de Klein em outras disciplinas particulares, como por exemplo aLógica Matemática, como assinala J. Corcoran comentando o inédito de Tarski recen-temente dado à estampa [322]. (Mas veja-se o artigo de G. Birkhoff & M. K. Bennett«Felix Klein and his ‘Erlanger Programm’» [8] 145-176). Por outro lado, a influência deintal programa é bem patente na obra lógica (e também matemática, e didáctica) do nosso J.Sebastião e Silva [301, 302]. Eis um tópico de história da lógica bem interessante paradesenvolver.


subida essa que é característica de toda a matemática pós-cantoriana. Curiosamente,Cantor é ele próprio o maior defensor dos infinitos actuais, incluindo os igstransfinitos (ordinais e cardinais) que ele mesmo criou, mas é inteiramente descrentedos ips actuais, argumentando que a sua teoria de conjuntos refuta definitivamente asua existência (v. parte final do artigo de Robinson [286] e p. 280 do artigo de J. W.Dauben incluso em [143]).

É de crer que, na época, as definições do tipo

« ...»para todo real positivo existe um real positivo $ &

não implicassem, para todos, os mesmos pressupostos ontológicos ou metodológicossobre os infinitos actuais. Uma tal frase tem um sentidoconstrutivo para um Kronecker, por exemplo:

« ...»para cada é possível efectivamente encontrar (computar um $ & & $) œ Ð Ñ

Ainda hoje em dia se apresentam (por vezes tais definições numa terminologia)sugestiva de tal interpretação construtivista, mas não é este o sentido (abstracto)prevalecente desde Cantor, por um lado, nem era evidente para os matemáticos daépoca, por outro, que a interpretação construtivista dos quantificadores desse origem auma matemática radicalmente diferente da cantoriana.

Também é graças à teoria dos conjuntos de Dedekind e Cantor que o último passoda aritmetização da Análise pode ser dado com segurança: reduzidos os reais aosinteiros, através das construções cantorianas, há que fundamentar rigorosamente ateoria dos inteiros (naturais . À teoria dos conjuntos de Cantor não é ainda)reconhecida, nesta altura (anos oitenta do século XIX , a capacidade no que) redutorarespeita à definição de (v. adiante, B.8 , mas é na sua linguagem quenúmero natural )são formulados os (injustamente chamados de 1889 ([272] p.) AXIOMAS DE PEANO 94 , que são essencialmente os mesmos que os de R. Dedekind ([88] ; v. a propósito) II[87] e o artigo de Wang [330] onde o autor faz o seu relato de toda a história , já)referidos em 1.1. É o terceiro destes axiomas de Dedekind-Peano (o de queindução)nos compromete com a teoria dos conjuntos. Também podemos dizer que, tal comoestá, (DP é um relativamente aos elementos ou$) axioma de segunda ordemindivíduos ( números do sistema, enquanto os dois primeiros axiomas são« »)elementares de primeira ordem(ou . Veremos adiante a pertinência da distinção.)Recorde-se somente, de momento, que graças a um teorema de Dedekind , podem-se91

definir recursivamente operações de adição , multiplicação e exponenciação« » « » « »em , com as propriedades usuais, e definir em uma ordem pondoR R

B Í C bD ÐD Á • B D œ CÑ ,0

que se prova ser uma boa ordem em Além disso, demonstra-se a categoricidadeR .(unicidade a menos de isomorfismo dos modelos de Dedekind-Peano, mas a existência)

91 : para quaisquer conjunto não vazio , aplicaçãoTEOREMA DA RECORRÊNCIA Q0 À Q Ä Q − Q Ñ 0 e elemento , existe um único homomorfismo de em7 ÐRß =ßÐQß 0 ß7Ñ Ñ. A demonstração deste teorema requer, além dos axiomas DP , algumasÐ 3

técnicas da teoria dos conjuntos. (V., por exemplo, L. Henkin [165] e F. Oliveira [257]).

312 APÊNDICES

de pelo menos um tal modelo é uma questão que transcende a aritmética e requer, naverdade, um típico axioma conjuntista (o axioma do infinito, v. Apêndice A .)

B5. As antinomias lógicas e semânticas e a grande crise defundamentos na viragem do século XIX para o século XX.Russell, Brouwer, Zermelo e Hilbert: filosofias e programas

O ano de 1901 assinala a descoberta, por Bertrand Russell (transmitida por carta aFrege no ano seguinte, v. [ pp. 124-125 , da famosa antinomia ou paradoxo com160] )o seu nome, a do conjunto de todos os conjuntos que não são membros de siR próprios (v. Nota 2 do Cap. I). Anos antes o próprio Cantor deduzira (mas só foipublicado em 1932 a antinomia com o seu nome, a do conjunto de todos os) «conjuntos . Pois, sendo um tal conjunto (legítimo na concepção cantoriana), seria» Yl l l lT ÐY Ñ Ÿ Y , contrariando um famoso teorema do próprio Cantor. Burali-Fortidescobrira também (v. [ pp. 104-112 que o conjunto de todos os ordinais160] ) « » Hdetermina um ordinal , o que é absurdo.H H " Ÿ

Estes são os mais conhecidos dos chamados paradoxos lógicos , que originam« »conjuntos que Cantor apelidou de multiplicidades inconsistentes ([58] , sem« » )contudo fornecer algum procedimento ou critério uniforme para os evitar. É certo queo paradoxo de Russell questiona priordialmente um princípio fundamental de Frege([125] , o qual, numa formulação modernista ([158], Cap. 3 , corresponde ao) )chamado (ou da : Para qualquerPRINCÍPIO DA ABSTRACÇÃO COMPREENSÃO )condição , a classe é um conjunto.9 9ÐBÑ ÖB ÐBÑ×À

Mas este princípio está certamente abrangido na noção intuitiva de conjunto de G.Cantor ([57] : conjunto classe colecção de objectos bem definidos e distintos) «´ ´da nossa intuição ou pensamento extensão de condição ou propriedade.» ´

Outros paradoxos e antinomias, de natureza semântica, foram entretanto desco-bertos, como o de Richard (1905 , cuja versão simplificada pelo bibliotecário Berry)(comunicada a Russell em 1906 corre assim. Supondo fixado um dicionário (de)Português , define-se um certo número inteiro positivo, chamado o ) D número deBerry, por meio da seguinte frase:

«O é o menor inteiro positivo que não pode ser definido por umanúmero de Berry frase construída com menos de trinta palavras do dicionário .D»

Por um simples argumento combinatorial, existe um tal número. No entanto, afrase que o define conta somente 26 palavras!92

92 French [126] observou recentemente que na definição do se devenúmero de Berryinserir «independentes de contexto logo a seguir a «palavras , caso contrário não se pode» »concluir que existe um tal número. Um exemplo de uma palavra dependente do contexto é«anterior , como em «o menor número maior que todo o número anterior , frase esta que,» »repetida infinitamente, permitiria definir uma infinidade de números (diferentes).É também por uma judiciosa distinção entre linguagem e metalinguagem que é possívelevitar os paradoxos de natureza semântica, aqueles que fazem intervir conceitos metamate-máticos ou semânticos de «definibilidade , «verdade , «falsidade , etc. Tais conceitos não» » »devem ser utilizados ou mencionados numa definição de uma entidade ou conceito


Juntando a injúria à ofensa, E. Zermelo demonstra em 1904 que todo o conjuntopode ser bem ordenado, apelando a um novo e misterioso princípio (aparentemente jáutilizado anteriormente por diversos matemáticos, de forma implícita , o então)chamado (ou . É sobretudo aPRINCÍPIO DE ZERMELO AXIOMA DA ESCOLHA)partir desta data, por acção das críticas públicas das grandes autoridades da chamada« » )Escola de Paris (Poincaré, Borel, Baire, Lebesgue e outros que o mundo mate-mático toma conhecimento de uma grave crise de fundamentos na matemática . O93

« » )Paraíso que Cantor criou para nós (Hilbert é profundamente abalado, e com eletodo o edifício da matemática clássica.

As críticas, reparos e explicações surgem de todos os quadrantes, e abremcaminho às mais variadas e radicais propostas de resolução. Distinguiremos os aspec-tos mais salientes de algumas delas, resumidamente, pois o assunto é bem conhecido eestá amplamente tratado na literatura filosófica e de fundamentos.

Para Poincaré, as causas do mal (dos males) devem ser procuradas nas autore-«ferências e na impredicatividade de algumas definições correntes — definições em»que certa entidade é definida em termos de (uma quantificação sobre) uma totalidadede que ela própria faz parte. Mas nem sempre a circularidade e a impredicatividadesão faltosas, tendo vindo a verificar-se que a última é mesmo indispensável em certassituações: o de um conjunto não vazio e majorado de números reais é osupremomenor dos majorantes do conjunto, mas é ele mesmo um desses majorantes. Acircularidade é, por vezes, apenas aparente (como nas definições recorrentes , outras)vezes é simplesmente redundante. A autoreferência é hoje um novo e importante« »capítulo da Lógica Matemática ([310] .)

Russell é sensível à crítica de impredicatividade formulada por Poincaré, eformula um Princípio do Círculo Vicioso de cariz semelhante, mas culpa sobretudo« »a linguagem habitual, por permitir a mistura de tipos lógicos . Concebe e desenvol-« »ve, em colaboração com A. N. Whitehead ( , 1910-1913 umaPrincipia Mathematica )linguagem e uma teoria de tipos (de que existem diversas versões e variantes, resul-tantes de simplificações introduzidas por diversos autores , em que os objectos) « »matemáticos (indivíduos, conjuntos ou relações entre indivíduos, conjuntos deconjuntos de indivíduos, etc. são classificados em ; assim, um objecto de tipo) tipos x 7 7 só pode ser membro de um objecto de tipo imediatamente superior, digamos , "de tal modo que uma expressão como « » (bem como a sua negação ficaB − B )sintaticamente ilícita. O paradoxo de Russell, e bem assim outros paradoxos lógicos,ficam bloqueados, mas o formalismo de tipos lógicos criado por Russell é excessiva-mente complexo e artificial, não chegando nunca a ser adoptado pela comunidadematemática em geral. Além disso, Russell advoga e tenta executar o programalogicista de Frege de redução da matemática à lógica, esbarrando porém comdificuldades inultrapassáveis (como, por exemplo, a necessidade de adopção deprincípios de estatuto lógico duvidoso, como a existência de classes infinitas), que F.

to matemático de uma dada teoria formal . Ver [122] Cap.1 e Beth [36] Part VI paraÐ Ñdiscussão aprofundada.93 A história apaixonante desta época é admiravelmente contada e documentada no livro deMoore [248].

314 APÊNDICES

P. Ramsey, todavia, no seu trabalho «The Foundations of Mathematics» (1926) tentouremediar (v. [144] 443-448).

Não somente por causa dos paradoxos, mas sobretudo pela descrença nos infinitosactuais cantorianos e nos métodos abstractos em geral, de aplicação crescente emmatemática mas objecto de crítica permanente por parte de alguns matemáticos, deKronecker a alguns expoentes da Escola de Paris , surge a partir de 1908 uma« »doutrina radical nos fundamentos, com a tese de L. E. J. Brouwer. A atitude negati-vista daqueles críticos dá lugar, com Brouwer, a uma atitude de afirmação positiva dedeterminados princípios e intuições básicos do pensamento matemático, e a umprograma de reconstrução construtivista da Análise .94

No mesmo ano que Brouwer defende a sua , Zermelo apresenta a soluçãoTesemais agradável matematicamente, de tradição mais bem estabelecida, a de axioma-tizar a teoria dos conjuntos de Cantor, desta preservando o essencial do ponto de vistamatemático (digamos o suficiente para uma no duplo sentido: objectosreduçãomatemáticos identificados com conjuntos, e demonstrações matemáticas justificáveiscom base na lógica e nos princípios basilares ou axiomas da teoria dos conjuntos .)

A axiomatização de Zermelo, completada nos anos vinte por A. A. Fraenkel e Th.Skolem, implementa a chamada doutrina da dos conjuntos,limitação na grandezaatravés de uma distinção entre e ( extensão de condição ouconjunto classe ´propriedade , que efectivamente bloqueia todos os paradoxos lógicos conhecidos.)Mas não fica garantida a impossibilidade de paradoxos.outros

De facto, o grande sistema fundacional de Zermelo traz consigo um problema« »igualmente grande, por respeitar agora a a matemática clássica, e não somente atodauma porção delimitada dela — o .problema da consistência ou não-contradição

Tradicionalmente, estabelecia-se a consistência de uma teoria recorrendo a umseu modelo ou realização, construído para o efeito, ou interpretando-a numa outra, járeconhecida como consistente (casos da geometria de Lobachewskii relativamente àeuclidiana, ou desta relativamente ao sistema de números reais , mas este método de)prova de consistência relativa não estava ao alcance da axiomática de Zermelo, por« »falta de termo de comparação. É claro, por outro lado, que o universo zermeliano nãoestá imune às críticas intuicionistas, bem pelo contrário, pois ele actualiza o infinitoirrestritamente, e recorre explicitamente ao que de menos construtivo é concebível —o AXIOMA DA ESCOLHA.95

Como matemático de primeira fila, David Hilbert decide intervir, considerandocomo dever pessoal e ponto de honra defender a matemática clássica, infinitária e

94 Não é aqui o lugar para passar juízo sobre os méritos ou deméritos deste programa, masassinalem-se dois aspectos importantes: enquanto, por um lado, os custos de tal programaparecem excessivos à maioria dos matemáticos da época, o programa construtivistaprossegue com grande fôlego nos nossos dias ( . [37], [43], e [243]), e dele têm emanado,cfdirecta ou indirectamente, muitas ideias que importam à lógica e à matemática «clássicas ,»por vezes onde menos se esperaria (como, por exemplo, na teoria das categorias Goldblatt[141]: a lógica interna de um topos é intuicionista). São de referir, a propósito, as recentestentativas de fundar uma «análise não-standard» que «vive» dentro de um topos e tem porbase a lógica intuicionista — veja-se Bell [15] e o historial e as referências aí contidas.95 Curiosamente, uma forma fraca do Axioma da Escolha é construtivamente válida combase na interpretação intuicionista das constantes lógicas, e supondo que o domínio de


abstracta, de todos os críticos e cépticos, ainda mais pessoalmente agravado com adeserção do seu discípulo predilecto H. Weyl para as hostes intuicionistas.

Estamos numa época de grande efervescência de ideias em Física, e de reconhe-cimento da importância dos métodos matemáticos nesta disciplina. Ora, apesar de osavanços em Física apontarem para o facto de a matéria não ser infinitamente divisível(teoria atómica , nem a energia tão pouco (teoria quântica , e a Teoria da Relatividade) )de Einstein sugerir um Universo ilimitado mas provavelmente finito — tudo istolevando a crer que o infinito matemático não corresponde a nada na mãe natureza —Hilbert acredita que a matemática infinitária e abstracta (o Paraíso de Cantor pode« »)ser inteiramente ou justificada, e propõe um extraordinário , emvalidada programavárias etapas, para comprovar a sua crença:

I Isolar a parte não problemática, finitária ou finitista , da matemática,) « » « »suficiente, por exemplo, para argumentos aritméticos elementares e para amanipulação de objectos concretos , tais como sinais ou símbolos gráficos e« »sucessões finitas de tais. (Frege e Peano tinham já avançado decisivamente notratamento simbólico da lógica e da matemática, e o formalismo de Russell ia namesma direcção, embora notacionalmente bastante mais complexo. .)

II Reconstruir a matemática infinitária e abstracta num grande sistema formal,)contendo a lógica clássica e a teoria dos conjuntos de Zermelo (por exemplo . Um)tal sistema pressupõe uma linguagem formal, inteiramente simbólica, cujossímbolos e expressões não possuem em si mesmos qualquer significado, maspodem ser manipulados finitistamente. As demonstrações matemáticas sãorepresentadas no sistema como sucessões finitas de expressões (deduçõesformais , construídas de acordo com as regras sintácticas e de inferência explicita-)mente formuladas no início.

III A consistência do sistema, sendo expressa por uma asserção essencialmente de)natureza finitista, nomeadamente a de que certa combinação de expressõesconstituindo uma dedução de uma contradição não é(como ! œ ! • ! Á !)possível, será demonstrada finitistamente. Resultará daqui que o grande sistema96

formal é relativamente à matemática finitária: toda a proposiçãoconservativofinitariamente significativa (acerca de objectos concretos demonstrável no)grande sistema é já demonstrável finitariamente. Assim, os objectos (conjuntosinfinitos e construções ideais da matemática clássica, formalizados no sistema,) « »são auxiliares válidos para o estudo dos objectos concretos reais , fisicamente« »

de quantificação é formado pelos números naturais:

aBbC ÐBß CÑ Ê b0aB ÐBß 0BÑ9 9 ,

para sem quantificadores. Pois uma prova construtivista do antecedente da implicação9deve fornecer um método que para cada natural produz efectivamente um natural B C [ ] tal que , donde o consequente. A forma geral do Axioma da Escolha não é,œ 0B 9ÐBß CÑtodavia, intuicionisticamente válida (v. [326], cap. 4).96 Este é um detalhe técnico sobre o qual não elaboramos, [173], [308], [319]. Paracf. exposição pormenorizada do s programa s de Hilbert pode ver-se também [122], [195], eÐ Ñ Ð Ñ[203].

316 APÊNDICES

significativos e combinatorialmente manipuláveis sem objecções de qualquerespécie (nem sequer as intuicionistas . Hilbert recorre à história da matemática)para exemplificar a utilidade da adjunção de elementos ideais no estudo de« »estruturas ou teorias dadas, desde os pontos e rectas no infinito, na GeometriaProjectiva, aos números imaginários na álgebra dos reais, às extensões algébricase transcendentes de corpos, etc.97

Este é, na essência, o de Hilbert, de validação finitista daprograma formalistamatemática clássica. Mas as dificuldades práticas de realização eram enormes,sobretudo no que respeita à última etapa.

Embora Hilbert não tenha definido com precisão o que entendia por matemáticafinitista, há acordo hoje em dia que ela se pode identificar com a chamadaARITMÉTICA DE SKOLEM ARITMÉTICA RECURSIVA PRIMITIVA, ou , , cujaPRAlinguagem possui variáveis , , , para números , constantes , , , e umB C D ! " #... « » ...símbolo funcional para cada função recursiva primitiva, e cujos axiomas são os fcorrespondentes a (DP , (DP ) (v. I.1) e às equações de definição das funções" #)recursivas primitivas, por exemplo,

œ œ , , B ! œ † ! œ !

B =C œ =Ð CÑ † =C œ † C B B

B B B B

e ainda um axioma-esquema de indução

9 9 9 9Ð!Ñ • B Êa Ð ÐBÑ Ê Ð=BÑÑ ÐBÑ

para fórmulas sem quantificadores.9ÐBÑ 98

Para a segunda etapa do programa de Hilbert diversos candidatos existem, desdeZFC Z à aritmética de segunda ordem (o sistema de Hilbert & Bernays [173] ,# )passando por uma ou outra versão da teoria dos tipos de Russell & Whitehead( , mas já sem a pretensão logicista inicial.Principia)

Mas para a realização da terceira etapa (à qual propriamente se pode aplicar otermo metamatemática com o significado inicialmente atribuído por Hilbert , as« » )dificuldades encontradas aconselharam a tentar primeiro um projecto menos ambi-cioso: encontrar uma prova finitista (digamos em da consistência da PRA) ARITMÉ-TICA DE PRIMEIRA ORDEM ARITMÉTICA DE PEANO, ou , . Esta pode ser PAformulada com variáveis numéricas individuais , , , constante , e símbolosB C D ..., 0funcionais , , ; os axiomas são os usuais para estes primitivos não lógicos, e um † =

97 Compare-se a propósito com as observações de Henkin [164], p. 27: «Infinite collectionsare useful because they serve as a model to approximate finite collections.»98 Supõem-se incluídos os axiomas usuais da igualdade para a lógica de primeira ordem.De futuro omitimos indicações desta natureza. Para uma descrição pormenorizada de ,PRAv. [310], precisamente num contexto em que se discute o porquê do falhanço do programade Hilbert, que é o assunto da secção seguinte.

Recorde-se, por outro lado, que as funções recursivas primitivas (há quem diga:primitivamente recursivas) constituem a mais pequena classe de funções com argumentos evalores em que contém as funções identicamente nula, sucessor, e projecções, e éfechada para as operações funcionais de composição e de recorrência (primitiva).


axioma-esquema de indução para fórmulas arbitrárias da linguagem. Ainda9ÐBß Ñ...assim, todos os esforços foram baldados.

B6. Os metateoremas de Gödel. Programa de Hilbertreconsiderado

Os metateoremas de incompletude de Gödel ([ ] destroem a esperança de135 )realizar a etapa final do programa de Hilbert nos termos por este concebidos:

Metateorema ISe é uma teoria formal (de primeira ordem axiomatizada, consistente, eT )

contendo a Aritmética, então é incompleta, isto é, existe uma sentença aritméticaTK K cK tal que nem nem a sua negação são teoremas de T.99

Dizer que é axiomatizada [axiomatizável] é dizer que é dada [que existe,Trespectivamente] uma lista efectiva (ou: decidível de axiomas de : para qualquer) Tsentença da linguagem de sabemos decidir algoritmicamente se ela é ou não umTaxioma de . Esta condição é normalmente satisfeita com as teorias lógicas eTmatemáticas mais comuns na quotidiana, mas tem de ser assumida explicita-praxismente em se tratando de teorias arbitrárias, sob pena de falsear a conclusão dometateorema: tomando para axiomas as verdades aritméticas, semanticamentetodasfalando. Manifestamente não possuímos um algoritmo para decidir de uma proposiçãoao arbítrio se ela é ou não verdadeira na estrutura , dos números naturais,Á œ Ð Ñ...podendo mesmo provar-se que não existe nenhum tal algoritmo, por um resultadoclássico de A. Church (v. [323]). Conter a aritmética é uma maneira abreviada de« »dizer algo que é intuitivamente claro para quem já tenha visto, por exemplo, adefinição e a aritmética dos naturais (ordinais finitos, ou cardinais finitos na teoria)dos conjuntos, e neste caso deve ser igualmente claro, informalmente, em que sentidoé que uma fórmula ou uma proposição ou sentença da linguagem de (= ) se< T ZFC pode considerar como aritmética . É claro que a teoria pode ser a própria« »100 Taritmética de Peano , donde a última observação da secção anterior.PA

99 A demonstração original de Gödel é para uma teoria de ordem superior, nomeadamentepara os de Russell & Whitehead. Estamos adaptando o enunciado e o que se lhePrincipiasegue para teorias de primeira ordem, as quais adquiriram um estatuto privilegiado emquestões de fundamentos. Por outro lado, incorporamos já alguns refinamentos e simplifi-cações posteriores, como é hábito fazer-se nos modernos tratados de lógica matemática([196], [ ], [ ]).240 300100 Em rigor, a aritmética dos naturais referida no enunciado do Metateorema I pode tomar-se como sendo a teoria (B5), e até uma subteoria relativamente fraca de , aPA PAAritmética de R. Robinson (v. [ ] p. 157), em vez da aritmética conjuntista utilizadaRR 240comummente em matemática. Quer uma quer outra são «interpretáveis nas teorias de»conjuntos habituais, no sentido de os seus axiomas serem «traduzíveis na linguagem»conjuntista e as suas «traduções demonstráveis na teoria dos conjuntos. Como se conclui»pelo Metateorema I, ou similar não é extensão conservativa da aritmética (formal, ouZFconjuntista).

318 APÊNDICES

A demonstração do Metateorema I é mais informativa que o enunciado sugere,pois, mediante uma codificação de símbolos e fórmulas em números, todas as noçõessintáticas fundamentais se traduzem em relações numéricas definidas em , as quais,por sua vez, podem ser representadas por fórmulas da linguagem da aritmética, demodo a ser possível construir uma proposição que exprime intuitivamente (quandoKinterpretada em que ela própria não é teorema de ; e visto ela não ser de factoÁ) Tteorema, como se prova (usando a consistência de , ela é verdadeira. Há,T) 101

portanto, uma proposição aritmética verdadeira que não é teorema de . Este é oTfenómeno de (formal , que se repete sempre que à nossaincompletude ad infinitum)teoria se juntem novos axiomas (por exemplo, , de forma a manter a decidibilidadeK)(e consistência do sistema de axiomas. Também se diz de uma sentença como) Kacima, tal que nem nem a sua negação são teoremas de , que é K K formalmentec Tindecidível em .T

Deve-se observar que uma sentença como no enunciado acima nada diz deKinteressante do ponto de vista matemático. No entanto, a busca de sentenças verda-deiras (semanticamente matematicamente significativas mas formalmente indecidí-)veis teve o seu primeiro êxito em 1977, quando J. B. Paris (v. último artigo noHandbook [ ]) mostrou que certa extensão do Teorema de Ramsey (caso finito) é12formalmente indecidível na Aritmética Formal (sistema ). Posteriormente, muitosPAoutros exemplos de proposições matemáticas formalmente indecidíveis foram revela-dos, em áreas tão diversas como a Álgebra Homológica, a Teoria dos Grupos de Lie, aAnálise Funcional, a Topologia, a Mecânica, a Física Teórica, etc. (V. [ ], [75],105[330] para exemplos diversos).

Metateorema IINas mesmas hipóteses, existe uma sentença aritmética Cons , que exprime éT «T

consistente , que não é teorema de .» T

101 Mais exactamente, a demonstração do Metateorema I de Gödel passa por uma «codifi-cação dos símbolos e fórmulas em números, e uma «aritmetização da sintaxe de que» » Tresultam na construção de uma fórmula aritmética cuja interpretação intuitiva é «D ÐCß BÑ Cé o código de uma dedução (em ) da fórmula cujo código é ; então , que seT B bC ÐCß BÑ» Dabrevia , significa que « é o código de um teorema (de ) . O chamado T ÐBÑ B T » LEMA DEDIAGONALIZAÇÃO PONTO FIXO Ð Ñou do permite associar a cada fórmula com umavariável livre da linguagem de uma sentença aritmética tal que éEÐBÑ F F Í EÐ FÑT # um teorema aritmético, onde é o numeral (termo da linguagem que representa o# Fnúmero) do código de . Ora é o ponto fixo de , isto é,# F F K XÐBÑc

K Í cXÐ KÑ#

é teorema aritmético, e portanto também teorema de . Tal sentença é auto-referente,T Kpois diz de si própria que não é teorema de . E não o é de facto, por consistência de ,T Tpois é construída de tal maneira que, para qualquer , se é teorema aritméticoXÐBÑ E E então é teorema aritmético.XÐ EÑ#


Por outras palavras, não demonstra a sua própria consistência.T 102

É o primeiro metateorema de incompletude de Gödel que deita por terra oprograma metamatemático de Hilbert nos termos propostos, embora o segundo meta-teorema tenha a sua importância relativamente à parte do programa que requeria umademonstração finitista da consistência de sistemas formais fortes.

Isto não significou, porém, a condenação dos sistemas formais como formasperfeitas (ainda que necessariamente incompletas, sob certos requisitos naturais de)organização dos saberes matemáticos (veja-se o ainda recente projecto bourbakista .)Por outro lado, alguns autores sugeriram a hipótese de serem eventualmente encon-trados métodos metamatemáticos que, embora não formalizáveis num sistema fraco« »(como ou pudessem contudo ser apelidados de finitistas , sendo igualmentePA PRA ) « »razoável admitir que nem tudo o que se faz ou pode fazer em , por exemplo, é dePAnatureza finitista (por exemplo, a aplicabilidade da lei do terceiro excluído a« »conjuntos infinitos numeráveis, [197] p. 256 .cf. )

Em todo o caso, algumas propostas de reformulação do programa de Hilbert têmsido avançadas e desenvolvidas por diversos autores.

O próprio Gödel propôs uma extensão do finitismo por meio de funcionais« »recursivos primitivos de ordem superior [ ]; Bernays [34] discute um programa de140reducionismo intuicionista, oriundo de uma teoria da demonstração alargada ougeneralizada. Mencionemos ainda o reducionismo predicativista de Feferman [118], ateoria intuicionista de conjuntos de Myhill e Scedrov [297], ou, até, os métodos deindução transfinita nos ordinais, de Gentzen [318], com os quais se demonstra aconsistência de diversas teorias aritméticas contendo . Trata-se, nestes casos, dePAprogramas ao finitismo de Hilbert, que ilustram alguns aspectos dasalternativosinvestigações nos fundamentos nos últimos decénios.

Mais recentemente, H. Friedman propôs (v. revisão dos seus trabalhos em [155])e S. Simpson e discípulos vêm desenvolvendo [303, 304] um programa de realizaçãoparcial do programa de Hilbert: que parte da matemática infinitária pode ser validadafinitistamente, ou, com mais precisão, em certos subsistemas da aritmética de segundaordem que são extensões conservativas de . A sua investigação assume aZ PRA#

forma de uma matemática reversa ( : que axiomas (em regra:« » )Reverse Mathematicsde existência de conjuntos numéricos são necessários para tal ou tal teorema)matemático?

E. Nelson [251, 252] propôs igualmente um programa de Hilbert :modificadoconstruir um sistema radicalmente elementar , demonstravelmente (por método« »finitário consistente, como a teoria (subsistema de , sem indução, [196] p. 470) )Q PA

102 Toma-se para a sentença aritmética , por exemplo, e para oCons #T cXÐ Ð! œ "ÑÑ Kponto fixo de como na nota anterior. A ideia da demonstração é simplesmente a deXÐBÑmostrar, aritmeticamente, que

Cons .T Ê K

Como não é teorema, pelo primeiro metateorema, resulta que também não o é.K ConsT

Diz-se, por vezes, que o segundo metateorema é uma formalização do primeiro, mas isto éverdade quando muito em relação ao enunciado, e não a respeito da demonstração, cujosdetalhes são muitíssimo envolvidos ([173], vol. II; [117]; v. também [308, 310]).

320 APÊNDICES

ou uma sua variante, e desenvolvê-lo a tal ponto que os resultados centrais damatemática clássica possuam análogos elementares, demonstráveis no sistema, eainda tal que a equivalência entre os resultados clássicos e os seus análogoselementares seja facilmente demonstrável classicamente.

Este programa de Hilbert modificado é motivado pela apreciação que Nelson fazda (abreviada , daqui em diante de A. Robinson (particu-Análise Não-Standard ANS )larmente em evidência na versão do próprio Nelson — v. adiante , na qual uma)interessante situação ocorre: apesar de os fundamentos da serem tão infinitáriosANScomo os da matemática clássica, que pressupõe, a é frequentementena prática ANSmais finitária que a Análise clássica. Muitas vezes aplicam-se argumentos combina-toriais a estruturas internas (para elucidação de interno v. B9-B10 formalmente« » )finitas, e depois transferem-se os resultados para as estruturas infinitas clássicas. É umfenómeno de dos infinitos contínuos que está em jogo, um dos aspectosdiscretizaçãometodológicos mais importantes da ANS.

Vejamos um exemplo informal. Tipicamente (usando informalmente a construçãoe terminologia robinsoniana, v. B9, B10), um intervalo de números reais ficaI œ Ò+ß ,Ó« »ampliado com pontos do contínuo robinsoniano tais que , e é0 + Ÿ Ÿ ,0discretizado, isto é, sujeito a uma partição infinitamente fina de pontos

+ œ œ ,0 0 0! " ... . ,

onde é um natural infinitamente grande. Se é uma função real definida e contínua. fem , prolonga-se naturalmente ao intervalo ampliado com valores no contínuoI fampliado; para algum , o valor majora todos os restantes valores [argu-j 0Ð Ñ 0Ð Ñ0 04 3

mento , atendendo a que a partição é formalmente finita]; se é o únicocombinatorial creal infinitamente próximo de , é infinitamente próximo de , por04 0Ð Ñ 0Ð Ñc 04continuidade, e a desigualdade mantém-se (por transferência , logo tem máximo no) 0ponto (- TEOREMA DE WEIERSTRASS).

B7. Computabilidade e computação. Incremento da combina-tória, dos métodos numéricos e do construtivismo

A busca de algoritmos para resolver as mais diversas questões matemáticas é umaconstante da actividade matemática de todas as épocas, particularmente após ainfluência hindu-árabe de sul para norte da Europa, nos primeiros centénios dosegundo milénio da era cristã. Modernamente, adquirem importância os chamadosproblemas de decisão Décimo Problema. Um exemplo famoso é o do de Hilbert(1900 . Citamos de Browder [49] pp. 17-18:)

«Given a diofantine equation with any number of unknown quantities and withrational integral numerical coefficients [digamos ]: 0Ðx To devise a"ß ß B Ñ œ !... 8

process according to which it can be determined by a finite number ofoperations whether the equation is solvable in rational integers.»

Um tal algoritmo permitiria decidir, por exemplo, a Conjectura de Fermat( Último Teorema . Mas o problema, assim formulado, está mal posto: não existe tal« »)algoritmo, como resulta do (1970; v. [49], vol. 2,TEOREMA DE MATIJACEVICpp. 323-378; [85], Apêndice). A possibilidade de responder negativamente a proble-


mas de decisão teria de aguardar uma noção matematicamente precisa de , aalgoritmoqual só foi fornecida em meados dos anos trinta por Alan Turing e outros autores,trabalhando independentemente uns dos outros, mas chegando a formulações matemá-ticas daquela noção aparentemente distintas mas que se revelaram extensionalmenteequivalentes (v. Davis [84] para os trabalhos seminais nesta matéria). Turing concebeum computador ideal ( ), sem limitações de memória ou de tempoMáquina de Turingde cálculo, que executa operações muito simples (como apagar ou imprimir umsímbolo numa fita, deslocar a fita uma unidade de divisão para a esquerda ou direita,etc.). Um é então um (= lista finita de instruções em linguagemalgoritmo programaapropriada) para uma tal máquina. Alternativamente, caracterizam-se não os algori-tmos mas sim as funções numéricas (argumentos e valores em ) que são computá-veis por tais máquinas ideais, obtendo-se assim a noção de . Nasceufunção recursivaassim um novo ramo da Lógica Matemática — a , ouTeoria da ComputabilidadeTeoria das Funções Recursivas. Aceita-se comummente hoje em dia que qualqueruma das caracterizações conhecidas capta formalmente a noção intuitiva que amotivou (noção intuitiva de algoritmo, ou noção intuitiva de função computável,respectivamente . Esta identificação é conhecida por . Bem) Tese de Church-Turingentendido, ela não é susceptível de demonstração matemática, mas é em princípiosusceptível de refutação.

O desenho de computadores, cuja construção foi iniciada nos anos da II GrandeGuerra, e das respectivas linguagens de programação, realiza algumas ideias pertinen-tes à concepção das Máquinas de Turing, mas apesar das limitações daqueles face aestas, é graças aos primeiros que se desenvolvem novas disciplinas (informáticas) emétodos de cálculo numérico, optimização e aproximação em geral. Eles permitiramtambém um grande incremento da combinatória finita (veja-se a recente demons-«tração da Conjectura das Quatro Cores [5]) e, por arrasto, da teoria dos grafos e da»combinatória infinita. O desenvolvimento das linguagens de programação está igual-mente associado ao incremento dos estudos de linguística e semiótica e, em geral, auma mais aguda percepção da importância da linguagem na formulação e estruturaçãodo conhecimento científico. [A importância da linguagem, e dos seus limites, fora járeconhecida no (1921 de Wittgenstein.]Tractatus )

Ainda que a maioria dos matemáticos não partilhe da filosofia intuicionista nosfundamentos (e, podemos até dizer, o mesmo se passa relativamente a alguns mate-máticos neo-construtivistas , há um indubitável interesse, crescente e generalizado,)pela matemática finita e pela matemática construtiva. O artigo de Mandelkern [239]desenvolve amplamente, através dos chamados , acontra-exemplos brouwerianosquestão da natureza não construtiva (carência de conteúdo numérico de boa parte da)matemática clássica, contrapondo-lhe, nesse aspecto, a matemática construtivista. Masé claro que os métodos construtivos nunca deixaram de interessar do ponto de vistaclássico, por fornecerem em regra mais informação sobre os objectos estudadosÞ103

103 Curiosamente, E. Bishop, o principal mentor do construtivismo moderno ([37]), fez umacrítica cerrada ao livro de Keisler [ ] (1977) 205-208,190 in Bull. Amer. Math. Soc. 83justamente aclamado por outros autores como um monumento didáctico ao ensino de CálculoInfinitesimal. O que parece ter escapado a esta e outras críticas dos quadrantes intuicio-nistas/construtivistas é que, se alguma coisa, a é, tudo o indica, mais «construtiva» ou,ANS

322 APÊNDICES

Uma certa insatisfação em certas áreas matemáticas, particularmente visível emáreas tradicionalmente ligadas ou aplicadas à Física teórica, por um lado (Harthong[ , 154] , e a crescente sofisticação e profundidade dos métodos construtivos em150 )Análise [37] e em Álgebra [243], por outro, leva a pensar que algo de mais profundoestá em curso do que uma moda passageira na metodologia e teorização matemáticatradicional. A escola de Estrasburgo (G. Reeb, colaboradores e continuadores tem)vindo a desenvolver uma modelização atomizada (não-standard da recta real,« )»baseada no trabalho inicial de Harthong [153], a qual é utilizada para descrever ocálculo num computador que opera em vírgula fixa — veja-se a propósito o artigo« »do casal Diener [99], pp. 81-82.

É oportuno, pois, regressarmos à discussão do modo como a matemática clássica(formal conceptualiza e lida com os objectos finitos e infinitos, contrapondo a)intenção ao resultado da formalização.

B8. Outras limitações dos formalismos

Mesmo sem advogar uma atitude construtivista nos fundamentos, podemosaperceber-nos de diversas razões pelas quais o tratamento formal clássico do finito edo infinito actuais (digamos num grande sistema como o de Bourbaki ou o de« »Zermelo-Fraenkel não é satisfatório, ou pelo menos não o é tanto quanto se julga)correntemente.

A ) Os fenómenos de incompletude descobertos por Gödel pressagiam outrasincompletudes ainda, digamos a nível conceptual ou de linguagem.

Por que razão haveríamos de supor que a linguagem da matemática tradicional,isto é, da teoria dos conjuntos, é suficiente para todo o devir matemático, apesar dosserviços que tem prestado até ao presente? Não estamos a pensar somente em estendera base lógica (gramática) tradicional com operadores modais, operações lógicasinfinitárias, quantificadores generalizados, etc., cujo estudo e aplicação tem ocupadouma boa parte das investigações na moderna Lógica Matemática ([ ], [13]), mas12também na possibilidade de enriquecer o ideário primitivo (conjuntos, ) com − novosconceitos. Existem de momento bons candidatos para um tal tipo de extensão, de queadiante falaremos (v. B10).

B) A incompletude dos sistemas formais fortes é uma benesse, na medida em quepermite o seu enriquecimento com novos princípios ou axiomas.

Diversos tais princípios têm sido investigados, quer nas suas consequências, querdo ponto de vista metamatemático, de consistência e independência relativamenteaos axiomas usuais: existência de grandes cardinais (inacessíveis, mensuráveis, de

u, pelo menos, mais combinatorial e directa, em certos aspectos, que a Análise Clássica (v.exemplo no final de B.6). Esta observação não envolve qualquer juízo de valor ou tomada deposição relativamente às polémicas filosóficas que opõem intuicionistas/construtivistas aoresto do mundo em questões de fundamentos. Se tivesse de emitir opinião diria que o caminhoaparentemente mais fácil, quanto mais não seja por força de hábito (o da Análise clássica),nem sempre é o mais seguro e informativo (que é o construtivista), ou o mais intuitivo eeficiente (que é o da Análise Não-Standard).


Ramsey, de Mahlo, etc. ; axioma de constructibilidade de Gödel; determinabilidade)dos jogos borelianos; axioma de Martin; Hipótese do Contínuo e Hipótese Genera-lizada do Contínuo; Hipótese de Souslin, etc. [pressupondo sempre a consistência dosaxiomas usuais (digamos )].ZFC

Os útimos princípios mencionados no final do parágrafo anterior têm a verparticularmente com o nosso conhecimento do real.contínuo

A independência relativa da Hipótese do Contínuo significa que os axiomasusuais ( , ou [46] não determinam o cardinal de . Resultados de W.ZFC BOURBAKI ) ‘B. Easton (1964 mostram mesmo que a fixação de tal cardinal é em grande medida)arbitrária. Visto ser equipotente ao conjunto das partes de , isto significa que os‘ axiomas usuais não elucidam completamente a noção de colecção arbitrária deinteiros ( )positivos .

A Hipótese de Souslin, também independente dos axiomas usuais, consiste naafirmação de que um conjunto totalmente ordenado sem pontos extremos, munido datopologia da ordem (base de abertos constituída pelos intervalos abertos , conexo, e)tal que toda a família de intervalos abertos, disjuntos dois a dois, é numerável, éisomorfo a (como espaços topológicos ordenados .‘ )

A unicidade (a menos de isomorfismo da recta real, como corpo ordenado)completo, também é relativa. Pois, relativamente aos axiomas usuais, todos os corposordenados completos são isomorfos entre si. Mas os corpos ordenados completos deum universo de conjuntos (modelo de ZFC)

È" œ Ð ÑU" "ß −

não são necessariamente isomorfos aos corpos ordenados completos de outro universo

È# œ Ð ÑU# #ß −

Basta que um destes modelos satisfaça a Hipótese do Contínuo (ou a Hipótese deSouslin e o outro não.)

C ) É crença generalizada que o infinito cantoriano é logicamente necessário àreconstrução weierstrassiana do contínuo real e, mais geralmente, à Análiseclássica.

Não parece ser assim, como tenta mostrar a escola checa de Vopenka (v. [313],[329] e, mais recentemente, J. Harthong [153]. No primeiro caso, o infinito não é)mais que uma modalidade do finito (o finito vago ou indeterminado e, no« » « »)segundo, os números reais são certas colecções de inteiros, numa teoria de conjuntosfinitos.

D ) As definições básicas da Análise enfermam de uma artificialidade que se estendea muitas outras noções e demonstrações em Análise.

Já referimos (B4) a interpretação funcional dos infinitésimos sob a reconstruçãoweierstrassiana. Por outro lado, e exemplificando, uma sucessão de números reaisØ+ ,8Ù converge para um número real sse

a ! b + & & | | .5 − a8 5 , n

324 APÊNDICES

Ora, dado real positivo, um inteiro natural que estabelece a convergência& 5mede a da mesma (quanto maior mais lenta é a convergência , informaçãorapidez 5 )esta que é absolutamente para o fenómeno de convergência em si mesmo.irrelevantePois, como é sabido, só interessam os valores para na vizinhança do infinito, ou+8 8seja para ig, como intuíam os pioneiros e modernamente formaliza a Análise Não-8 Standard:

lim8Ä_

+ œ , ¸ ,8 sse para todo infinitamente grande, ,. +.

onde é a noção definida de ¸ Àproximidade infinitesimal

B B¸ C C sse é infinitesimal.

É claro que estas definições só fazem sentido num sistema ampliado de« »números que inclua infinitesimais, igs, etc.; alternativamente, e esta é umapossibilidade que pode parecer chocante, num sistema de números reais que permitadistinguir, entre estes, as diversas espécies de números de que vimos falando: osjáreais ordinários (diremos adiante: , os infinitesimais positivos e negativos,« » )standardos igs positivos e negativos, etc. É uma aquisição recente a possibilidade de um talponto de vista, isto é, de um tal sistema de números reais, consistente com amatemática clássica formalizada numa teoria como ou . Tal possi-ZFC BOURBAKIbilidade advém precisamente das limitações destes (e de outros formalismos, limita-)ções de que vimos falando, e de outras de que adiante se falará.

E ) Há discrepâncias notáveis entre as representações formais de alguns conceitos eobjectos básicos e os conceitos e objectos intuitivos representados.

Na computação e nas aplicações da matemática à vida corrente lidamos essencial-mente com objectos concretos (na terminologia de Hilbert tais como numerais« » )

! " # œ " ", , , ...

ou bits de informação codificada, fracções de numerais, dízimas finitas ou infinitas« »periódicas (aproximações racionais de números reais , os primeiros termos de desen-)volvimentos em série, etc. Estes objectos são representados na matemática formal, oraindividualmente ora conceptualmente (conceito de número inteiro, de número real,etc. , e contudo há ) discrepâncias entre os conceitos intuitivos e as suas represen-tações formais número natural., logo ao nível do mais básico conceito de

A concepção de inteiro natural tem origem provável (histórica e psicologica-mente na contagem de colecções finitas actuais, e diversas civilizações na antigui-)dade elaboraram sistemas notacionais para representar tais números. Nos séculosXVII-XVIII há, porém, uma utilização despudorada, nomeadamente por Euler, deinteiros igs. Ora, as noções matematicamente precisas de número só ocorreram emfinais do século XIX, cabendo pois inquirir se a intuição de um génio matemáticocomo Euler não deveria merecer igualmente um tratamento rigoroso. Mas é um factoque a concepção moderna, subjacente à axiomática de Dedekind-Peano, tem domina-do. Intencionalmente, esta pretende excluir os infinitamente grandes, por inacessíveisa partir do primeiro elemento ( , naquela, e na versão modernizada e naum zeroaritmética conjuntista por iteração sucessiva da operação , e é essa precisa-) sucessor


mente a finalidade do axioma de indução (DP : é o mais pequeno conjunto$) Ncontendo zero e fechado para a operação de sucessão. Mas este axioma remete-nos,como já foi dito, para a teoria dos conjuntos, com todos os seus problemas eincompletudes: pois o mais pequeno conjunto respeita ao universo de conjuntos« »disponíveis, nomeadamente daqueles que são subconjuntos de (isto é, daquelasN colecções contidas em que são conjuntos no universo .N )

Depois de Cantor (Zermelo, von Neumann, Bourbaki os números naturais são)definidos, não implícita ou axiomaticamente, mas explicitamente como conceito: sãoos ordinais finitos, ou os cardinais finitos, ou os conjuntos comuns a todos osconjuntos indutivos. Estas definições são todas equivalentes com base nos axiomasusuais da teoria axiomática dos conjuntos, e, graças ao axioma do infinito, qualqueruma delas é colectivizante: existe um conjunto cujos elementos são exactamente osconjuntos tais que é um Este conjunto é habitualmente designadox x número natural. por (ou , se encarado como primeiro ordinal infinito . Além disso, os axiomas de = )Dedekind-Peano podem ser deduzidos como teoremas, e demonstrada a suacategoricidade.

E nunca mais ouvimos falar de números naturais igs Mas, se na prática...matemática corrente eles foram abolidos, terão sido realmente excluídos para sempre?Suprema ironia se assim não fosse!

Como constata G. Reeb [276] (v. também [225]) numa já célebre frase:

( )Q Les entiers naifs ne remplissent pas

Traduzimos por , ou , ou« »naif intuitivo, genético, concreto construtível definívelainda e simplesmente por Reeb tem em mente os naturais numeral. individualmentedefiníveis representáveisou na teoria dos conjuntos, como , ,! g " Ög×œ œ# Ö!ß "× œ Ög Ög××œ , , etc., que são certamente ordinais finitos, isto é, elementos de . Mas não fica excluída a possibilidade de existirem elementos de , isto é, ordinaisfinitos, . Não existediferentes de todos aqueles que são individualmente definíveisaqui qualquer incompatibilidade ou contradição, apesar de correntemente se escrever

(1 ,) ... œ Ö!ß "ß #ß ×

notação esta que sugere que os elementos de são , , , (os obteníveis a partir de ! " # ...! iterando um número finito de vezes a operação , com exclusão de« » )sucessorquaisquer outros.

Mas não é necessariamente assim. ( ) Os membros de são os ordinais finitos,

(2 ,) œ ÖB ×À B é um ordinal finito

enquanto os membros da colecção são os numerais , , , , isto é,Ö!ß "ß #ß × ! " #... ...

(3) Ö!ß "ß #ß × œ Ö... ...x x x x À œ ! ” œ " ” œ # ” ×

326 APÊNDICES

Ora, a expressão infinita

x x x œ ! ” œ " ” œ # ” ...

não é sintacticamente admissível na linguagem da teoria dos conjuntos, e podemosmesmo demonstrar que ela não é equivalente, directa ou indirectamente, a umaexpressão finita lícita (fórmula . Por outras palavras, podemos demonstrar que a)colecção dos numerais 0, 1, 2, , de modo que a notação (1 maisÖ ×... )não é conjuntonão é que um insuspeitado mas grave , excepto se entendermos que abuso o segundomembro de é uma abreviatura do segundo membro de (1 (2 . Esta convenção tácita) )em Matemática tem impedido os matemáticos de se aperceberem mais cedo daveracidade da constatação ( de Reeb, e dela poderem tirar partido.Q) 104

Com efeito, suponhamos que a linguagem habitual é enriquecida com um novosímbolo primitivo, digamos uma constante , e que aos axiomas usuais ( , ou. ZFCBOURBAKI) se juntam os seguintes :105

( ) ( )A isto é, é um ordinal finito ; " . .−

( )A 0 , #‡ Á .

1 ,Á . 2 , Á . ...

Se a teoria de partida é consistente, a teoria enriquecida com os novos axiomasnão o é menos. Pois supor que esta última era inconsistente quer dizer que algumacontradição era dedutível dos seus axiomas. Sem perda de generalidade< <• cpodemos supor que na sentença não ocorre a nova constante , e até podemos< .tomar para a sentença , que é teorema clássico. Ora, a dedução de é< < <! œ ! • cuma lista finita de expressões fórmulas da linguagem ampliada, terminando em( )< <• c , que envolve quando muito um número finito intuitivamente falando de( )axiomas da forma A , digamos( )#‡

8 Á 8 Á 8 Á" # 5. . ., , , ....

Substituindo nestes a nova constante por um numeral suficientemente. mgrande, não deixaremos de obter uma nova dedução da mesma contradição, mas106

desta feita constituída somente por expressões na linguagem original, e utilizando so-mente axiomas da teoria original. Mas então a teoria original é contraditória, contra-riando a sua suposta consistência.

104 Como anota Reeb na parte final de [276], a constatação não é propriamente QÐ Ñoriginal, e podem citar-se diversos autores que, directa ou indirectamente, fizeramconstatações de cariz semelhante antes de Reeb (v., por exemplo, a citação de Bourbaki naNota 6, p. 19).105 Este é o procedimento adoptado por S. C. Liu [222, 223] na sua versão da , e estáANSpróximo em espírito das primeiras construções modelo-teoréticas de A. Robinson (modelosnão-standard da Análise e da Aritmética).106 Haverá que invocar, em cada local pertinente, que , são teoremas da7 − 7 Á 83

teoria original, como é óbvio.


Estamos, pois, perante mais uma limitação dos formalismos clássicos: osnumerais , , , podem ser , mas deles não podemos! " # ... individualmente definidosfalar no sentido formal, somente no sentido intuitivo ou metamate-colectivamentemático, pois a colecção intuitiva , , , . Não fica excluída,Ö! " # ×... não é conjuntoportanto, a de existência de números naturais ordinais finitos possibilidade não-( )numerais infinitamente grandes, ou seja, por outras palavras, de com respeito aos(numerais E do que não se pode falar não se pode tirar partido — até recentemente).107

(v. adiante).

B9. Reabertura da questão dos infinitesimais. A Análise não-standard de A. Robinson

Numa carta datada de 1890, citada por Wang [330], R. Dedekind [87] explicacomo chegou à formulação dos axiomas que são conhecidos por AXIOMAS DEPEANO para os números naturais. Nessa carta é feita referência explícita a interpre-tações não intencionais (ou: não-standard , isto é, contendo elementos estranhos aos) « »números 0, 1, 2, , se apenas considerarmos os axiomas (DP e (DP . Para excluír... ) )" #

tais alienígenos é que é formulado o axioma de indução DP , que por vezes se« » ( )$formula alternativamente do seguinte modo:

(DP 0 $‡) Toda a propriedade que é satisfeita por e é satisfeita pelo sucessor deTÐBÑ

cada número que a satisfaz é satisfeita por todos os números.

Porém, a prova de categoricidade ou unicidade (a menos de isomorfismo de)realização , , da axiomática, ou seja a prova de exclusão de interpretações nãoÐR = 0 Ñintencionais, requer a formulação de 2. ordem do axioma de indução, isto é, a+

identificação fregeana ou cantoriana

conjunto extensão de propriedade,´

ou, particularmente no nosso caso,

subconjunto de extensão de propriedade definida em R ´ R

De facto, se restringirmos de alguma maneira a noção de propriedade na« »formulação de DP , ou restringirmos o universo dos subconjuntos de na( ) « »$

‡ Rformulação de DP , já podem não ficar excluídas interpretações não intencionais.( )$

Suponhamos, por exemplo, somente admitidas propriedades ou condições TÐ Ñxsatisfeitas por elementos em número finito ou cofinito, propriedades quepor exemplo,são combinações booleanas (usando negação, conjunção e disjunção de igualdades)

x 0 0 0œ 8, um numeral (de entre , , , 8 = == ...).

Obtemos um modelo , , da axiomática (DP , DP , DP ) ao considerarÐQ = 0Ñ " # $‡

107 Há autores para quem escrevendo em vez de denotaÐ Ñ # Å # Å # Å # œ '&&$'+ Å , +,

um numeral, mas possivelmente já não, v. Nelson [252] p. 74.# Å '&&$'

328 APÊNDICES

Q Ö „ Ð8 Ñ 8 ×œ : , −"

#

e definir

=+ " + − Qœ + , para todo .

Verifiquemos DP em , , : se e são( )$‡ ÐQ = TÐ!Ñ aB QÐT0 Ñ − ÐBÑ Ê TÐ=BÑÑverdadeiras, então é verdadeira, pois caso contrário a seria falsaa Q T Ñx P− ÐBÑ Ð !

para algum elemento a de ; em virtude das hipóteses, a é necessariamente da! !Qforma , isto é, não-standard , mas então também„ Ð8 Ñ "

# « »

T Ñ T Ñ T ÑÐ Ð Ða 1 , a 2 , a 3 , ! ! ! ...

são falsas, contrariando a nossa definição de : o conjunto dos elementospropriedade (a , a 1, a 2, não é finito nem cofinito . Este exemplo é devido a Skolem [306].! ! ! ... )

Uma restrição menos drástica para as nossas propriedades ou condições é aPÐBÑque resulta da formulação de DP para ou: ( ) ($

‡ propriedades elementares de 1.+

ordem 0), na linguagem da aritmética com símbolos operatórios , além de , , † =obtendo-se assim a aritmética de Peano , cuja formulação é devida a D. HilbertPAcirca 1928. A adjunção de , como primitivos, e os axiomas correspondentes v. † (B.5) é agora necessária, pois o axioma de indução DP é estritamente enfraquecido( ) ( )$

num axioma-esquema DP como acima, para fórmulas quaisquer , possivel-( )$‡ 9ÐBÑmente com outras variáveis livres, não sendo já possível garantir, por via não conjun-tista, a existência e unicidade da adição e multiplicação com as propriedades usuais.

A teoria é suficientemente rica, todavia, para formalizar a teoria elementarPA «dos números , no sentido matemático usual, daí o seu interesse matemático aos olhos»de Hilbert, com vista a uma prova finitista de consistência. Gödel mostrou em 1931ser impossível tal prova, e dos seus resultados B6 já se pode concluir que não é( ) PAcategórica, mas para a história que estamos delineando tem mais interesse a demons-tração de não categoricidade dada pelo próprio Skolem em 1934 [306], pois esta exibeum modelo não-standard de , isto é, não isomorfo ao modelo intencional ,PA Á œ Ð † = Ñ, , , 0 , possuindo embora as mesmas propriedades elementares que , e no qualÁÁ se pode mergulhar — é o que se chama uma extensão elementar própria de .Á 108

A construção de Skolem é, resumidamente, a seguinte.Seja o conjunto das aplicações de em definíveis em no sentido: éJ 0 Á

definível em Á 9sse para alguma fórmula da linguagem da aritmética com( ) ÐBß CÑduas variáveis livres , se tem, para quaisquer naturais , B 7 8y

0Ð7Ñ œ 8 Ð7ß 8Ñ sse é verdadeira em 9 Á

Utilizando uma enumeração , , , dos membros de (tal enumeração0 0 0! " # ... J existe por numerabilidade da linguagem , Skolem constroi por diagonalização uma)

108 As propriedades elementares ou: de primeira ordem em causa na definição deÐ Ñextensão elementar podem envolver, além dos símbolos primitivos indicados, símbolosdefinidos como os numerais, o símbolo (definido por B Í bD C ÐD Á ! •B D œ CÑ), etc.


função tal que, para quaisquer , , 1 À Ä 3 4

0 Ð1Ð8ÑÑ 0 Ð1Ð8ÑÑ 8

0 Ð1Ð8ÑÑ œ 0 Ð1Ð8ÑÑ 8

0 Ð1Ð8ÑÑ 0 1ÐÐ8ÑÑ 8

3 4

3 4

3 4

para todo suficientemente grande,ou para todo s. g.,ou para todo s. g.

Define em seguida uma relação de equivalência em F pondoµ

0 µ 0 0 Ð1Ð8ÑÑ œ 0 Ð1Ð8ÑÑ 83 4 3 4 sse para todo s. g.,

que é congruência com respeito às operações , , definidas componente a † =componente em , o que permite algebrizar de maneira natural o conjunto quocienteJJÎµ, obtendo assim uma estrutura

À œ ÐJÎ ßß † ß =ß Ñµ~ ~ ~ ~0

Esta estrutura é uma extensão elementar própria de , sendo o mergulho dado pelaÁaplicação , onde é a classe de equivalência modulo da função constante~ ~8 È 8 8 µde valor .8

Skolem encara os seus modelos não-standard como patológicos , e pouca« »atenção se lhes dá até aos anos 60, exceptuando um resultado em 1950 de Henkin[ ], o qual estabelece que o tipo de ordem de um modelo não-standard de é162 PA

= = = ) Ð Ñ‡ ,

onde é o tipo de ordem ordinal, até dos naturais com a ordem usual, é o tipo de= =( ) ‡

ordem inverso de , de modo que é o tipo de ordem dos inteiros relativos com= = =‡ a ordem usual, e é o tipo de ordem de um conjunto totalmente ordenado denso sem)pontos extremos .109

Pode-se dizer que a motivação de Skolem é sobretudo de ordem :filosóficamostrar a inadequação das teorias formais de 1.ª ordem para captar completamente o( )significado matemático intencional, ou caracterizar as estruturas matemáticas( ) « »infinitas fundamentais. Data da mesma época o célebre paradoxo de Skolem , quenão é realmente um paradoxo no mesmo sentido que os referidos em B5, antes tende aevidenciar o carácter de algumas noções básicas da teoria dos conjuntos,relativocomo por exemplo a de cardinal de um conjunto.

Por um resultado central da Lógica Matemática, o chamado METATEOREMA DELÖWENHEIM-SKOLEM, se uma teoria formal , numa linguagem numerável, possuiTum modelo infinito, então possui um modelo infinito numerável. Aplicando esteresultado a , suposta compatível, existirá um modelo infinito numerável destaZFteoria, isto é, um universo de conjuntos , em que é uma colecçãoÈ œ Ð − ÑY È Yinfinita numerável de conjuntos. Neste universo são válidos todos os teoremas de ,ZFem particular aquele que diz que o conjunto dos números reais é não numerável.‘Quer dizer, por um lado, que o conjunto dos números reais, em , , é numerável,È ‘È

por ser constituído no sentido de por membros de , enquanto, por outra( )− È Y

109 Pode-se ver uma prova destes e de outros factos em [261] , Cap. 4. V. também [266],IIIII.2.

330 APÊNDICES

banda, é não numerável no sentido de , pois não existe neste universo nenhumaÈaplicação certo conjunto de pares ordenados que seja uma bijecção entre o( )œconjunto dos naturais de , e . Por outras palavras, visto de dentro de ou È ‘ ÈÈ È « » (« »formalmente , no seio de , a recta real é não numerável, pois tal facto seZF)demonstra matematicamente em , enquanto visto de fora de , ou metamate-ZF « » Èmaticamente, ela é numerável, donde o aparente paradoxo .« »

Estes e outros factos de cariz semelhante levam Skolem [305] e Von Neumann[255] a expressar opiniões negativistas sobre o valor da matemática formal con-substanciada num grande sistema hilbertiano, chegando mesmo a duvidar que a« »generalidade dos matemáticos viesse alguma vez a adoptar um tal sistema funda-cional.

Diz Von Neumann, em conclusão final p. 413 de [255] :( )

«At present we can do no more than note that we have one more reason here toentertain reservations about set theory and that for the time being no way ofrehabilitating this theory is known.»

A situação piorou, se alguma coisa, mas as tendências prevalecentes parecem nãoconfirmar o pessimismo daqueles autores, como mostra o empreendimento bourba-kista.

Retomemos as ideias de Skolem sobre os naturais. O seu trabalho original de1934 foi escrito em língua germânica, e só após tradução refundida e ampliada parainglês em 1955 [306] desperta alguma atenção, devida em parte ao facto de serpublicada num volume juntamente com um trabalho seminal de J. os [228] sobre´ultraprodutos, onde é apresentada uma técnica geral de construção de extensõeselementares de estruturas, técnica essa que em alguns aspectos se assemelha à cons-trução de Skolem embora esta, ao contrário daquela, não seja generalizável a(linguagens não numeráveis .)

Um aliás, de obtém-se do seguinte modo.ultraproduto ultrapotência( )110 ÁConsidere-se agora

J œ œ conjunto de todas as aplicações de em ,

e seja um ultrafiltro sobre contendo o filtro dos cofinitos. Define-se em aY Frelação pondoµY

0 µ 1 Ö3 − À 03 œ 13× − YY sse .

µY é uma equivalência, e até uma congruência com respeito às operações , † ß =naturais em ; passando ao quociente, obtém-se uma extensão elementar própria deJÁ Á, que designamos , , , , sendo o mergulho dado pela aplicação~ ~ ~‡ œ ÐJÎ † =ÑµY

8 µÈ 8 8~ ~, onde é a classe de equivalência modulo da sucessão constanteY Ø ß 8ß 8ß Ù − J8 ... .

110 Para as definições e resultados pertinentes ver [ ] pp. 101-110, ou [263]. A240preservação das propriedades elementares é garantida pelo TEOREMA FUNDAMENTALDOS ULTRAPRODUTOS Ð Ños, 1955 : para qualquer fórmula e numerais´ 9ÐB ßá ß B Ñ" <

8 á 8 Ð8 ßá ß8 Ñ" < " <‡, , , e satisfeita em sse é satisfeita em .´9 Á Á


Ponhamos‡ œ JÎ µY

e identifiquemos com a sua imagem , de modo que se obtém . Esta~n 8 § ‡

inclusão é de facto própria, e podemos mesmo exibir um elemento de , isto é,‡ Ï

um com respeito aos elementos de : por exemplo, o elemento ig . œ Ø!ß "ß #ß Ù... Y

[ id ]. Com efeito, tem-seœ Ð Ñ Y

8 −. em , para todo ,‡ 8

pois o conjunto em é cofinito, logo está em é o que se chamaÖ3 À 8 Y 3 × . ‡Áum modelo não-standard da Aritmética.

Em 1960 A. Robinson [ ] vê a possibilidade de aplicar técnicas da Lógica283Matemática, nomeadamente a construção de ultraprodutos e ultrapotências para obterum daí a designação de modelo não-standard da Análise Análise Não-Standard,(ANS), isto é, uma extensão elementar própria da estrutura básica da Análise

Å ‘œ Ð ß ß ß ß † ß 0 ß ß <ß =ß ÑVß ... ... ... ,

abreviadamente

Å ‘œ Ð ßVß 0 ß <ÑVß0ß< ,

onde , , é uma lista não numerável de todas as relações finitárias em é VV ... ( ) (‘uma relação finitária em sse para algum inteiro positivo , , , , ‘ V † 0© ‘5 k ) ...uma lista de todas as operações finitárias em para algum inteiro‘ (0 À ‘ ‘7 Ä 7 positivo , e , , é uma lista de todos os números reais, considerados como) ...< =constantes. A ultrapotência mesmo ultrafiltro que no exemplo acima, com ( )F œ ‘‡Å œ Ð ß Ñ‡‘ Å... de não é arquimediana, logo há nela elementos igs e ips( ) « » ( )infinitesimais com respeito aos reais ordinários standard . Mas a grande novidaderelativamente a extensões não arquimedianas de consideradas no passado desde‘ (finais do séc. XIX — v. referências em [286], para não falar dos pioneiros é dupla:)toda a relação e toda a operação em se estende naturalmente a , por um lado, e‘ ‘‡

todas as propriedades formais exprimíveis na linguagem elementar respectiva são conservadas.

A não conservação da propriedade de Arquimedes merece talvez uma explicação.Tal propriedade pode-se formular na linguagem elementar de , digamos pelaÅsentença

( )* ,aBÐB ! Ê b8ÐR8 • 8 BÑÑ

onde é (aqui) o símbolo predicativo unário correspondente ao subconjunto relaçãoR (unária de ; escrevemos em vez de pois não é símbolo da) « » « » « » ‘ R8 8 −− Rlinguagem. Ora * , sendo elementar, e verdadeira em , transfere-se para como( ) Å Å‡

verdadeira. Mas, ao contrário do que acontece, por exemplo, com a propriedadeelementar da adição , a propriedade * , quando interpretada naaBCÐB C œ C BÑ ( )estrutura , , embora aparentemente lhe‡Å já não é mais a propriedade de Arquimedes

332 APÊNDICES

conserve a forma. De facto, * significa em que( ) ‡Å

« »para todo positivo em existe um elemento de maior do que .B 8 B ‡ ‡‘

Ora, dado , um tal que poderá ser um natural ig isto é, um0 ‘ 0− −‡ ‡ n n (

elemento de , quando, de acordo com a propriedade de Arquimedes, deveria‡ Ï )ser um número natural ordinário isto é, um elemento de . O problema é que « » ( ) não permanece o mesmo não é absoluto quando se passa de à extensão pela( « ») Å Å‡

operação de extensão natural só permanecem, aliás, os conjuntos finitos .« » ( )Tornou-se assim possível não somente B2 e osjustificar os cálculos ( )

argumentos heurísticos com infinitesimais, resultando grandes simplificações em de-monstrações em Análise, como também o papel dos infinitesimais actuaisreavaliarna formulação dos conceitos fundamentais da Análise, invertendo a primazia da noçãode e enriquecendo o ideário matemático com novos conceitos e métodoslimitedemonstrativos.

Não cabe aqui desenvolver a de Robinson, para a qual existe já vastaANSbibliografia, com milhares de itens, em todos os domínios da Análise Matemática,clássica e moderna ou Funcional, e não somente da elementar inicialmente desenvol-vida por Robinson e apresentada nos manuais introdutórios como [86], [180], [190,(191], ou os mais avançados [ ], [233], [103], [317], que são apenas alguns dos288clássicos .111)

Em face dos desenvolvimentos e aplicações em curso à Mecânica Estocástica, às(Probabilidades e Estatística, à Informática, etc. — v. [ ] , não seria correcto,100 )porém, considerar a como um simples , pois isso significariaANS retorno às origensignorar o enorme avanço da Análise Matemática durante os últimos dois séculos e,por outro lado, o facto incontestável de a ser ela mesma um produto daANSmatemática formal que, por intermédio da Lógica Matemática, aprendeu a tirarpartido das suas próprias limitações — e tantas elas são, como vimos.

Um método novo que, afinal, não o é inteiramente e, sob muitos aspectos,( )revolucionário, ainda para mais de origem suspeita , obrigando a rever conceitos...

111 Keisler [ , ] desenvolve uma Análise Não-Standard «elementar , cobrindo o190 191 »correspondente ao Cálculo Diferencial e Integral em . Na primeira edição (1976) Keisler‘8

adopta os axiomas (I-III) de corpo arquimediano para (reais), e para (hiperreais) os‘ ‘*

axiomas (I -III ) de corpo ordenado que estende propriamente , um axioma (IV ) de que* * *‘todo o hiperreal limitado é infinitamente próximo de um único número real, um axioma(V ) de que toda a função real de variáveis reais se estende a uma função hiperreal de * 8 8variáveis hiperreais e, finalmente, um axioma (VI ) de transferência para sistemas finitos*

de igualdades e desigualdades. Na presença de I -III , V e VI , a conjunção dos axiomas* * * *

I-III e IV é equivalente à proposição de que é um corpo ordenado completo, mas, ao* ‘que se afirma, mostra a prática pedagógica que é mais fácil entender e utilizar IV do que a*

propriedade usual de completude (à Dedekind).Estes textos têm sido utilizados em universidades dos E.U.A. com relativo êxito, ao pontode V. Harnik [148] advogar o ensino de alguns aspectos mais simples no nível secundário.Estão em curso, sobretudo em França, estudos conducentes a simplificações ainda maisradicais na apresentação dos fundamentos e primeiras aplicações da . V., por exemplo,ANSo artigo de Lutz [230], e as experiências que têm sido conduzidas em França sob a suaorientação [231, 232].


fundamentais, crenças fortemente arreigadas, a alterar o discurso tradicional B1 ,( )tudo isto não pode deixar de ser recebido com desconfiança, quando não manifestahostilidade.

A marcha é lenta, mas imparável. E, como tantas vezes tem sucedido, a atitudepassiva não é a que melhor serve a Matemática opondo aos que dela se servem . O( )avanço só é possível investindo nele, cada um com suas armas e capacidades.

Mas, para além do reconhecimento da inovação, cabe ao filósofo continuar inda-gando e inquietando as consciências adormecidas. Assim, continuamos questionando:

— que é número?

— qual o contínuo mais verdadeiro ?« »

— a reconstrução robinsoniana da Análise é logicamente necessária : é a única(possível que sintetiza os leibnitziano e weierstrassiano ?continua )

B10. Novas perspectivas sobre o infinito actual e amatemática não-Standard

A História da Matemática e da Lógica mostra que sempre se buscaram respostaspara questões como as do final da secção anterior. O estado actual destas disciplinasmostra que continuamos buscando, e os metateoremas de incompletude de Gödelasseguram que essa busca tem cabimento (no quadro da matemática formal). Relativa-mente à última das questões formuladas, existe uma alternativa à reconstrução robin-soniana, que implica mais uma revisão de ideias feitas, a diversos níveis.

A de Robinson tira partido de resultados e construções oriundos da LógicaANSpara introduzir novas estruturas e métodos que enriquecem a matemática clássica, semcontudo sair do quadro dessa mesma matemática, se atendermos a que a prescriçãolinguística (a linguagem de , , mais restrita do que a habitual) é, tão somente,Å outraum novo parâmetro a ter em conta, como ponte entre as estruturas clássicas e as« »suas extensões não-standard (ultraprodutos), resultado natural da evolução dasconsiderações metodológicas que têm ocupado alguns matemáticos e lógicos nesteséculo. Note-se que a construção de ultraprodutos é, em si mesma, puramentealgébrica, sem nada de essencialmente de novo sob este ponto de vista. É somente anoção de propriedade elementar que constitui novidade em jogo e requer atenção« »especial de natureza sintática, pouco habitual no dia a dia matemático.

Mas, como vimos anteriormente, são muitas e variadas as limitações dos formalis-mos. Não vamos aqui discutir as oposições filosóficas de fundo entre as diferentescorrentes de pensamento nos fundamentos, mas importa assinalar a permanência dosformalismos ainda que somente implícitos na prática de muitos diria a maioria( ) ( )matemáticos e lógicos. A de Robinson não escapa a esta regra. Mas as suasANSlimitações estão sempre lá, não para limitar a nossa acção, mas, ao contrário, para alibertar no sentido do enriquecimento constante das nossas linguagens e teorias.

Nomeadamente, a discrepância mencionada em B8 E permanece como tal,( )mesmo após a versão robinsoniana da E se dizemos versão da é precisa-ANS. ANS « »mente porque existem outras, onde, particularmente, se tira partido daquela discre-pância de uma maneira completamente nova, e, em certo sentido, bem mais ambiciosa

334 APÊNDICES

no que respeita aos Fundamentos da Matemática, por permitir encarar para o futurotoda uma Matemática Não-Standard .« »

Na segundo Robinson a distinçãoANS

standard não-standardÎ

é : são os elementos relações, operações dadefinível em termos clássicos standard ( )estrutura dada, como ou , são os novos elementos da estruturaÁ Å não-standardampliada ou respectivamente após o mergulho da dada na ampliada .‡ ‡Á Å ( )

Mas suponhamos, por um instante, que decidimos considerar as estruturasampliadas e como , e chamar aos elementos de ‡ ‡ ‡Á Å fundamentais númerosnaturais números reais, e aos elementos de , sem mais qualificação . Para‡‘ 112

distinguir estes números daqueles que de origem possuíam aquelas designações háque , por exemplo o conceito de número , queintroduzir um novo conceito standardintencionalmente se aplicará aos números de antigamente. Por outro lado, visto que osconjuntos e são agora fundamentais, não há mais razão para o ‘ ’; isto é, os‡ ‡‡ ‘

conjuntos fundamentais passam agora a designar-se e respectivamente, como ‘dantes se fazia, mas com a diferença de haver agora lugar à diferença ou distinçãostandard/não-standard entre os elementos destes conjuntos.113

Será possível que alguma vez se venha a adoptar um ponto de vista como oesquissado no parágrafo anterior?

A possibilidade de um tal ponto de vista é sugerida pela discrepância referida emB8 E : relativamente ao clássico, os naturais standard seriam intencionalmente os( ) ( )numerais 0, 1, 2, individualmente definíveis ou representáveis num formalismo ou...noutro; os não-standard seriam os números como , , , , etc.. . . . . 8 .

112 Tem sido por vezes apontada a seguinte objecção à consideração de e como‡ ‡ ‘fundamentais: não são únicos (a menos de isomorfismo), ao contrário dos e clássicos, ‘respectivamente, pois dependem dos ultrafiltros utilizados. Além disso, existem extensõeselementares próprias de e de de cardinal arbitrariamente grande. Pode-se obter a‡ ‡Á Å

unicidade (sempre a menos de isomorfismo) de tais extensões, mas a um preço, e somentedaquelas cujo cardinal é inacessível (cf. Keisler [ ] p. 60). A existência destes cardinais191tem de ser postulada, pois não é demonstrável em (v. final do Apêndice A).ZFCA objecção tem algum peso, mas não tanto assim: do ponto de vista da Análise Clássica,uma extensão elementar própria é tão boa como qualquer outra, e é sabido que essa mesmaAnálise é largamente independente da cardinalidade do contínuo. Por outro lado, na versãoda de Nelson, a discutir adiante, ela não colhe mesmo, por razão que se verá muiANSclaramente: é que, nesta versão, não há necessidade de ampliar as estruturas clássicas comnovos elementos. Elas são definidas tal e qual como habitualmente ( , ou ),ZFC BOURBAKImas nelas já se podem observar , nomeadamente elementos não-standard, pormais coisasexemplo, igs e ips com respeito aos que estávamos habituados a observar (os standard) naperspectiva clássica.113 A seguinte analogia foi sugerida por uma leitura recente [RT]. Imaginemos dois mate-máticos e que falam a mesma linguagem, mas tais que o segundo é mais rico em` s̀

objectos do que o primeiro, nomeadamente em números reais, isto é, o universo de tems̀

mais números reais que o de ; em particular, no universo de há um número real ` s̀ !0 que é menor do que todo o número real de . Tal um infinitesimal positivo+ ! ` 0 érelativamente aos reais de . A diferença está no chapéu!`


O que faz Liu [223], como já se disse, é juntar uma nova constante primitiva .( ) ( )que ele designa à linguagem da teoria dos conjuntos, e os novos axiomas A , A= " #

‡

acima referidos. Liu desenvolve uma versão metamatemática da « » ANS.No final dos anos setenta surgem outras versões da que igualmente procuramANS

tirar partido da discrepância referida, mas de maneira radicalmente diferente da deRobinson construção de extensões elementares das estruturas fundamentais , e mais( )próxima, no espírito e no detalhe, do ponto de vista acima esquissado. Referimo-nosàs axiomatizações de Nelson [ ], Hrbacek [176] e Kawai [188].250

Discutimos aqui, informalmente, somente a primeira, que é, grosso modo, a basecomum das três. Nelson toma como ponto de partida a teoria , na linguagemZFCrespectiva. À linguagem desta teoria que é, em boa aproximação, a linguagem do(discurso matemático tradicional junta um novo predicado primitivo unário)

standardÐBÑ

Quer dizer, no universo dos objectos matemáticos conjuntos usuais números,( ) (funções, espaços, etc. distinguimos por meio do novo conceito os que são standard e)os que não o são. Quanto aos novos axiomas, e visto que a finalidade primordial étambém uma fundamentação da , embora em moldes diferentes da de Robinson,ANSNelson identifica aqueles que ocorrem mais frequentemente na práticaprincípiosrobinsoniana, e toma-os como axiomas . Esta teoria é apresentada e desenvolvida114

no Cap. I.A teoria de Nelson é designada — é a IST TEORIA DOS CONJUNTOS

INTERNOS Internal set theory conjuntos( ), pois, nela, os conjuntos são chamados internos standard não-standard. , que se dividem em conjuntos e conjuntos Osobjectos e conjuntos ordinários com que lidam os matemáticos no dia a dia são« »todos standard. Entretanto, a tira partido de novas entidades — os objectos não-ANSstandard que são, em certo sentido, objectos ideais relativamente aos standard« »(números infinitamente grandes e pequenos, etc.), e os chamados conceitos externosou as suas extensões, as , que na literatura são vulgarmente chamadosclasses externasconjuntos externos, mas que, na realidade (pelo menos no formalismo de ) nãoISTsão conjuntos, estritamente falando. São classes externas, por exemplo, a classe dosnaturais standard, a classe dos reais infinitesimais, etc. Tais classes são, em regra,classes relativamente pequenas , pois que são classes contidas em conjuntos« »definidas em termos do novo predicado não é lícito aplicar a elas osstandard — ÐBÑaxiomas e teoremas clássicos (de ), nomeadamente, os axiomas de separação paraZFCa formação de conjuntos.115

114 Diz Nelson [ ] p. 1197: «250 The axioms of internal set theory are simply the basicproperties of the internal sets in the usual approach to nonstandard analysis».Vem-nos à mente um procedimento análogo realizado por J. Sebastião e Silva com aformulação da sua axiomática para a Teoria das Distribuições, identificando os princípiosmais importantes na segundo L. Schwartz, e tomando-os para axiomas.praxis115 A terminologia «interno «externo já era utilizada nas versões robinsonianas da », » ANSpara distinguir as diversas espécies de «entidades em jogo. Resumidamente as distinções» ßem causa surgem do seguinte modo. Partindo de um qualquer conjunto , define-se por\

336 APÊNDICES

IST ZFC é uma extensão conservativa de , podendo ser livremente utilizada116

para demonstrar resultados clássicos normalmente, com simplificações notáveis nas(demonstrações , e permitindo caracterizar noções clássicas por exemplo, da Análise) ( )de maneiras em regra mais simples e intuitivas.

As vantagens de relativamente à versão de Robinson superestruturas, alarga-IST (mentos, são também evidentes, a nosso ver: em vez de construções um tanto ...) adhoc de extensões das estruturas clássicas, estas são construídas da mesmíssimamaneira que em , mas são por outra banda mais ricas, pois nelas é permitido fazerZFCmais distinções standard/não-standard, e outras definíveis a partir destes conceitos ,( )tal como se estivessem sendo observadas com uma lupa com maior poder deresolução do que anteriormente. Por outro lado, o alcance fundacional da nova teoria

or recorrência em

\ œ \ \ œ Ð \ Ñ! 8" 38

3œ!, .T .

\ œ Ö ×_ - \ À 8 −8 é a Interessam particularmente os casossuperestrutura sobre X. \ œ ‘ (recta real) e (recta hiperreal). é, grosso modo, o «universo da\ œ ‡

_‘ ‘ »Análise Clássica, enquanto é a extensão que possibilita a através de:Ð Ñ‡

_‘ ANS Ð Ñ À Ä Ð Ñ1 um mergulho canónico * que:‘ ‘_ _

‡

(a) é a identidade em , e é tal que‘(b) para quaisquer , em , sse ; e doB C B − C B − C‘_

‡ ‡

Ð Ñ2 , que regula a transferência de propriedades de umaPRINCÍPIO DE LEIBNIZsuperestrutura para a outra, propriedades essas formuladas na linguagem de expandidaZFcom constantes , uma para cada , e em que só são admitidas quantificações- - − ‘_

limitadas, isto é, de uma das formas , , onde ou (por abusoUB − C UB − - U œ a bidentificamos cada constante com a entidade que ela denota). Diz aquele Princípio que- -uma tal propriedade é equivalente à transformada , onde resulta de substituindoQ Q Q Q‡ ‡

cada constante que ocorre em pela sua imagem por meio do mergulho *.QOs membros de ou de são chamados ( as primeiras, e ‘ ‘_ _

‡Ð Ñ entidades reais, hiperreais,as segundas). As entidades (números, relações, funções) hiperreais da forma com‡+ + < <− œ < −‘_

‡ standard são chamadas (em particular, é standard, para todo ); as‘entidades que são membros de entidades standard são chamadas e as restantes sãointernas,externas. Por exemplo, e são entidades reais, externas, enquanto e são ‘ ‘‡ ‡

hiperreais (não reais) standard; o conjunto dos infinitesimais (ou: a de )mónada !ÖB <× Ð Ñ− À a< −‡‘ ‘+ é hiperreal não real externo, bem como a relação de‡ ‡lBl proximidade infinitesimal ( sse é infinitesimal).¸ B B¸ C C ‡

Note-se que o uso destes termos difere do convencionado por Nelson em . Nesta teoria,ISTpor exemplo, e são standard e internos, mas há neles elementos standard e não- ‘standard. Para um estudo comparativo das duas abordagens, a robinsoniana e a nelsoniana,v. .[233]116 Nelson demonstra na parte final de (Teorema 8.8, p. 1196) que é extensãoÒ Ó250 ISTconservativa de , resultado que atribui a W. C. Powell, donde resulta que aquelas duasZFCteorias são equiconsistentes. A demonstração, relativamente longa e complicada, utiliza oPRINCÍPIO DE REFLEXÃO de Levy (para toda a sentença interna existe um ordinal 9 !tal que ; v., por exemplo Krivine 206] ou [207 , Cap. IV) e a construção de um9 9Í Ò ÓÐZ Ñ!

ultralimite adequado (certa união de ultrapotências) de um conveniente.Z!


parece maior, pois enriquece estritamente a antiga ao nível conceptual e metodológicofundamental.

Começa a ser cada vez mais evidente, também, que os novos conceitos e osresultados que os envolvem, , contribuem decisivamentesem equivalentes clássicospara um mais fino estudo de fenómenos físicos e estatísticos, o que se confirmaabundantemente na literatura mais recente.

Mesmo sem ter em conta estes recentes desenvolvimentos, outro facto importantetem sido observado. É que, na prática matemática corrente, apenas se faz um usomuito limitado dos princípios básicos da teoria dos conjuntos, a qual é, pois, um luxo.Estruturalmente, na hierarquia zermeliana dos conjuntos em termos de iterados por(meio da operação conjunto das partes , aplicada a conjuntos como ou , so-« » )T ‘mente se faz uso de conjuntos relativamente baixos na hierarquia. Por outras« »palavras ainda, uma grande porção da matemática corrente tem lugar numa extensãoconservativa da aritmética de 2.ª ordem com axiomas de Compreensão e de Escolha(apropriados . Sendo assim, o que as demonstrações não-standard de resultados)clássicos têm permitido observar é um uso muito mais eficiente dos princípiosclássicos, em comparação com as demonstrações clássicas nos casos em que já eram(conhecidas, ou vieram a ser posteriormente às não-standard . É este um ponto)importante a ter em conta, face à crítica fácil que por vezes é feita aos praticantes daANS ANS por parte dos restantes matemáticos: a crítica de que, por a ser uma extensãoconservativa da Análise Clássica, todo o resultado clássico obtido por via não-standard pode ser obtido pela via clássica, e portanto não vale a pena (v. [ ]).... 167

Esperamos ter convencido o leitor de que vale bem a pena saber mais sobre oassunto.

339

SOLUÇÕESI

1.4 (pág. 20) 1. (a) Para qualquer , ;B B − \ − E B − EÊ -(b) Se existisse um tal conjunto, digamos , então , logo, por (a),E aB ÐÖB× − EÑ

aB ÐÖB× © EÑ aB ÐB − EÑ E, donde e, portanto, seria um conjunto (pelo axioma- -da união) ao qual pertencem todos os conjuntos, contradizendo o teorema 1.1.

3. Se é um ordinal limite e então , mas não se pode ter a! " ! " !Á ! " Ÿigualdade. Se , não pode ser sucessor, caso contrárioa Ð " Ñ" " ! " ! !Ê! # # !œ " para algum .

2.7 É(pág. 25) 1. verdade para qualquer (indução em , v. [257] p. 114 logo,8 − 8 )em particular, é verdade para os naturais ilimitados. Observe-se que, tecnicamente,W œ Ö7 − 7 8× œ Ö7 − 7 − 8× œ 8 8 −8 À À , para todo .

3. (a) Não, com ilimitado; (b) Não, v. (a); (c) Não, v. (a). 8 œ # 77

4. Queremos mostrar que , para o queb7 − Ea 0 − EaB − \Ð7ÐBÑ Ÿ 0ÐBÑÑst

basta mostrar, atendendo à definição de , que Aplica-se Idealização,V b7a0VÐ0ß7ÑÞobservando que é concorrente: sendo standard finito, tome-se V J © E 7ÐBÑ œmin .Ö0ÐBÑ 0 − J×À

3.8 (pág. 29) 1. (a) Se é contínua em , é contínua em todos os pontos, standard0 0‘e não-standard. Reciprocamente, é contínua em transfere, poisa B ÐB − 0ÐBÑ BÑst ‘ Ê‘ e são standard;0

(b) , por (T ).a B − EbC − F ÐC œ 0ÐBÑÑ a B − E C − F ÐC œ 0ÐBÑÑst st stÊ b w

4. , por (T ). Se é um natural ilimitado, tem umbBÐB − EÑ BÐB − EÑ Ö ×Ê bst w / /único elemento não-standard.

6. (a) A identidade em , , é uma função standard limitada nos pontos‘ 0ÐBÑ œ Bstandard: , para qualquer natural ilimitado .a B − 0ÐBÑ st ‘ / /l l

(b) Se para e para (com natural ilimitado), 1ÐBÑ œ B B 1ÐBÑ œ ! B 1/ / /toma valores standard em pontos standard, mas não é uma função standard.

7. Sim, por 3.2. Pode, se for infinito.

340 SOLUÇÕES

8. e são standard, logo e são standard, por 3.2. A propriedade1 1 1 1" # " #ÒEÓ ÒEÓrecíproca é falsa: se é um natural ilimitado e / ‘E œ ÖÐBß CÑ − # À"Î B C "× ÒEÓ œ ÒEÓ œ Ó"ß "Ò E/ 1 1# #

" #, é standard, mas não é standard.[ é um infinitesimal positivo, v. secção 5.]"Î/

9. (a) Falsa; a classe não é conjunto, e não é majorada por nenhum real5‘

standard: para qualquer real standard existem reais standard ; (b) falsa.B ! C B

12. Não. A classe V œ ÖÐBß CÑ − Ð ÐBÑ • C œ B "Ñ×‘# À st stÐBÑ • C œ BÑ ” Ðc

não é conjunto. [No entanto, é uma função standard, a função identidade, v. Ex.StV

4.4.2]

14. (a) Sim: a recta (não-standard) de equação , onde é um naturalC œ / /ilimitado; (b) Não, pois uma recta é um conjunto infinito de pontos do plano;

(c) Sim: a recta de equação , onde é um natural ilimitado, cujo únicoC œ B/ /ponto standard é a origem ;Ð!ß !Ñ

(d) Não, pois dois pontos standard determinam uma recta standard (oscoeficientes da equação são determinados pelas coordenadas dos+B ,C - œ !pontos), havendo nela, pois, outros pontos standard além daqueles dois (por exemplo,o ponto médio entre eles) e, na verdade, uma infinidade externa de pontos standard;« »

(e) Sim, a circunferência de equação , onde é um naturalB C œ# # #/ /ilimitado;

(f) (i) Sim, a circunferência da alínea anterior no ponto ; (ii) Não:Ð ß " Ñ/ /È #

uma circunferência standard tem rectas tangentes standard em pontos standard.

15. Se e são funções standard definidas em que coincidem em , então0 1 J‘a B − Ð0ÐBÑ œ 1ÐBÑÑ 0 œ 1st ‘ , logo .

4.10 (pág. 40) 2. V. Ex. 3.8.12. e id têm os mesmos elementos (pares) standard.StV

3. Substitua « » por « » e consulte uma demonstração clássica.a ast

II5.15 (pág. 50) 5. (a) Não; (b) sim; (c) , ; (d) , ;B œ " ! Á ¸ ! B œ " ¸ !& & & &

(e) ig.B

6. ig, ap, ig, ig.

7. ; ; ; . 8. (a) ; (b) .1 1 1 1 12 2 2

B

"B "B "BB 8" B

Ð"BÑ 8È Èœ ¸ # œ ¸ ! #& &$ #

È9. .9 9

3œ"

# $ Ð "ÑÐ# "Ñ' $Š ‹ Š ‹!Ð 3 ÑÎ œ œ

// / /

// $1

10. (a) , ; (b) ( noves).! ! !â! " **â*ðñò /

zeros/

SOLUÇÕES 341

11. Consideremos a representação decimal de , , , para& & &!_3œ" 3 3

3Ð Î"! Ñ ! Ÿ Ÿ *3 œ " # 8 "Î"! ¸ ! "Î"!, , . Para todo standard, , pois mas é standard, logo... & &8 8

os são nulos para standard. Mas não podem ser todos os nulos, pois ; seja& & &3 33 !/ & & o menor tal que , de modo que 1 .8 ! "! "!3

/

12. (a) Por transferência.

(b) Não: se fosse para algum standard então mas é1 1 1¸ + + − + ¸ ! +standard, logo . Sim: se é uma sucessão standard de racionais com limite1 œ + ØB Ù81 1 /, então para todo ilimitado.B ¸/

18. Se existisse, seria um conjunto, mas não é0 ÒÖ!×Ó œ ÖB − Ò!ß "Ó B ¸ !×–1 À(não tem supremo). Se fosse standard, seria standard com0 0 ÒÖ!×Ó œ Ò!ß Ò& &

–1 &supremo standard .&

20. Conforme : se é apreciável, é a elipse de equação, , I9

B Î+ C ÎÐ ,Ñ œ " , I# # # #9 9; se é ilimitado, é a reunião das rectas de equaçãoB œ „ + , ¸ ! I œ Ò+ß +ÓÞ; se , 9

21. Se , tome-se: (a) para recta a @ @ @ @œ Ð ß Ñ œ +B ,C œ !$ $ & & &" # ! " " " # #

recta passando pela origem com vector director , e para circunferência a@" ,Ñcircunferência passando pela origem tangente a na origem.@"

22. Se e , então , dondeU ÐBÑ œ + B T ÐBÑ œ , B U Ð Ñ œ T Ð Ñ8 3 8 3 8 83 3! ! $ & $ &

+ + + œ , , ," # 8 " # 8# 8 # 8& & & & & &â â ,

visto que . Dividindo por , vem , logo . Prosseguindo deste+ œ , + ¸ , + œ ,! ! " " " "&modo obtemos para , + œ , 3 œ # 8Þ3 3 ...,

23. Não existe necessariamente uma recta standard passando pela origem e por um ponto dado . Por exemplo, se , não existe nenhum polinómio standardÐ ß Ñ œ& $ $ &#

de grau anulando-se no ponto , mas existe um tal polinómio de grau 2, por" Ð ß Ñ& &#

exemplo, . O ponto não é raiz de nenhum polinómioTÐBß CÑ œ B C Ð ß / Ñ# "Î& &

standard.

24. Se a unicidade é imediata. Se tem-se@ @œ Á !! "&

@ @@ @

" # #" " " # #w w w w w

"œ

& & &

&& ,

donde, tomando sombras,

@ @"9 "

w

""wœ Š ‹&

&.

Então é próximo standard. Seja a sua sombra. Como e formam uma& &" " #w w w

"Î + @ @base standard de , existem , standard tais que .‘# w w

# " #, - œ , -@ @ @

25. (a) Há três casos a considerar, conforme é (i) infinitesimal,$ $" #Î(ii) apreciável, (iii) ilimitado.

342 SOLUÇÕES

No caso (i) podemos escolher , logo , com ,@ @" # " #œ Ð!ß "Ñ œ Ð"ß !Ñ œ& $& $ &# " "œ Î PÐBß CÑ œ ÐBCß BÑ, e então .

No caso (ii) podemos escolher , logo , com ,@ @" # " #œ Ð+ß "Ñ œ Ð"ß !Ñ œ& $& $ $# " #œ Ð Î Ñ + PÐBß CÑ œ ÐBÐ+ CÑß BÑ, donde .

No caso (iii) podemos escolher , logo , com ,@ @" # " "œ Ð"ß !Ñ œ Ð!ß "Ñ œ& $& $ $# # "œ Î PÐBß CÑ œ ÐBß BCÑ, donde .

(b) Se pertence à curva de equação , e se @ @œ Ð ß Ñ \ ] œ ! œ$ $" #$ #

& & & ! " ! "" " " # # " " " # # #@ @ @ @ œ Ð ß Ñ œ Ð ß Ñ, com e , obtém-se, após substituição naequação,

& ! & ! " & "" " # # " # #$ #Ð Ñ œ Ð Ñ ,

donde , logo, como é standard, . Podemos, então, escolher" " "" " "¸ ! œ !@ @" # "

#œ Ð"ß !Ñ œ Ð!ß "Ñ œ, logo . Portanto, .& &

6.11 (pág. 58) 1. Sim, para 0.

2. Sim; para , .0Ð ÑÎ ¸ ! ¸ ! Á !$ $ $ $

3. Para standard, é standard e positivo, e, pondo , tem-se8 + ? œ +8 8 88&

? ? œ Ð + + Ñ ! + ¸ ! + ¦ ! + œ 8x8" 8 8" 8 8" 8 88& & & pois e . Se , por

exemplo, para .? ? œ 8xÐ Ð8 "Ñ "Ñ ! 8 " "Î8" 88& & &

4. Se é standard e limitada então logo, porØ? Ù bP !a8 − Ð ? PÑ8 8 l ltransferência, , donde se conclui que para todo ilimitadob l lstP !a8 − Ð ? PÑ /8

l l? ¥ Ø? Ù ? 8/ _. Reciprocamente, se é standard e é limitado para ilimitado8 8

então, para qualquer ilimitado, existe (por exemplo, ig positivo) tal que/ P ! Pa8 ? P Ö ? 8 × Q/ /l l l l À8 8; mas é finito, logo tem máximo, digamos , demodo que . A propriedade pode não ser verdadeira paraa8 ? ÖQ "ß P×l l8 maxuma sucessão não-standard, por exemplo, com constante de valor igual a umØ? Ù8número não-standard.

6. Por transferência, basta demonstrar para standard e standard, de modo Ø+ Ù +8

que é standard. Sem perda de generalidade podemos supor (caso contrário,Ø= Ù + œ !8

considerar , etc. Tomando ilimitado qualquer prove-se, por indução externa,+ +8 /que para todo standard, . Pelo lema do transbordo de7 Ð+ + ÑÎ ¸ !" 7â /Robinson existe ilimitado tal que , e podemos supor .. / . /Ð+ + ÑÎ ¸ ! " â .

Então { , logomax l l À+ 8 Ÿ × ¸ !8 . /

l â l l â l+ + Î Ÿ + + ÎÐ Ñ ¸ !. /" 7" 8/ / . .

7. lim ./ œ Ð" BÎ8ÑB 88Ä_

8. Seja standard. Por hipótese tem-se, para todo , , donde< ! B − M 0ÐBÑ <l lsup{ . Como é arbitrário (standard positivo), é mesmol l À0ÐBÑ B − M× Ÿ < <sup{ .l l À0ÐBÑ B − M× ¸ !

9. Considerar as sucessões standard e supØ0 0Ù + œ Ö 0 ÐBÑ 0ÐBÑ8 8 8l l ÀB − M× e aplicar o teorema 6.1.

SOLUÇÕES 343

10. (a) , com infinitesimal positivo. é claramente não limitada. Seja0ÐBÑ œ B 0& &+ − 0Ð+Ñ œ + ¸ !‘ & limitado. Então .

(b) O conjunto contémE œ Ö8 − aB − Ð B Ÿ 8 0ÐBÑ Ÿ "ÎÐ8 "Ñ× ‘À l l Ê l ltodos os naturais standard, mas como não é conjunto, a inclusão é própria. Então5existe um ilimitado positivo tal que , logoP aB − ÐlBl Ÿ P Ê l0ÐBÑl Ÿ "ÎÐP "ÑÑ‘aB − ÐlBl Ÿ P Ê 0ÐBÑ ¸ !ÑÞ‘

11. Se é infinitamente grande, então . P ! aB − 0ÐBÑ P‘l l

12. (a) standard é de Cauchy sse para quaisquer ilimitados Ø? Ù ß8 . /l l? ? ¸ !. / .

(b) standard é convergente sse existe standard tal que, para todo !? =3 /ilimitado, , sse para quaisquer , ilimitados, com ,!/

3œ! 3? ¸ = Ÿ. / . /l l? â ? ¸ !Þ. /"

13. (a) standard tem limite quando sse para qualquer Ø? Ù _ 8 Ä _8 /ilimitado, . De facto, se quando então ? ¸ ? Ä _ 8 Ä _ aP !b5/ _ 8

a8 5 Ð? PÑ a P ! 5 a8 5 Ð? PÑ8 8, logo, por transferência [(T )], ,w st stbdonde, para qualquer ilimitado, , ou seja , e/ a P ! Ð? PÑ ? ¸st

/ / _reciprocamente. [Observe que , em que os? P Í b@ÐÐ8ß @Ñ − ? • @ PÑ8

parâmetros são , e ].8 ? P

(b) Análogo a (a).

(c) standard possui uma direcção assimptótica quando sse existe 0 B Ä _ 7standard tal que, para todo , .B ¸ 0ÐBÑÎB ¸ 7_

(d) standard tem uma assimptota de equação quando sse0 C œ +B , B Ä _para todo , .B ¸ 0ÐBÑ Ð+B ,Ñ ¸ !_

14. Se standard é aberto, entãoE § ‘

aB − Eb ! aC − Ð C B C − EÑ& ‘ &l l Ê ,

logo, por transferência

a B − E !aC − Ð C B C − EÑst stb l l Ê& ‘ & ,

donde se conclui facilmente o pretendido. Reciprocamente, se a B − EaCst

ÐC ¸ B C − EÑ E B − E b !aC −Ê , com standard, então, para todo standard, & ‘Ð C B C − EÑl l Ê& & (basta considerar infinitesimal), donde, por transferência, omesmo vale para todo .B − E

15. Por exemplo, com , .E œ Ò ß "Ó ¸ ! !& & &

16. Se é standard de classe no aberto standard , pode-se aplicar o teorema0 G E"

dos acréscimos finitos. Reciprocamente, se a condição se verifica, como é standard,0 w

basta demonstrar que . Dado standarda B − EaCß DÐB ¸ C ¸ D 0 ÐCÑ ¸ 0 ÐDÑÑ Bst Ê w w

em , e tais que , se é evidente, e se , comoE C D B ¸ C ¸ D C œ D C Á D

344 SOLUÇÕES

0ÐCÑ œ 0ÐDÑ ÐC DÑ0 ÐDÑ Ñ 0ÐDÑ œ 0ÐCÑ ÐD CÑ0 ÐCÑ Ñw w w$ $ e para certosinfinitesimais , , vem , logo .$ $ $ $w w w w w w0 ÐCÑ œ 0 ÐDÑ Ð Ñ 0 ÐCÑ ¸ 0 ÐDÑ

17. Se é um infinitesimal positivo, então mas não é ps em , pois& & &− Ó!ß "Ò Ó!ß "Ò9& /œ ! Ò!ß Ó. é um intervalo limitado e fechado, logo é compacto, embora não sejastandard.

18 um conhecido teorema de Cantor. Por transferência, basta demonstrar para. É0 E Bß C − E B ¸ C B ¸ − E C ¸ − E e standard. Para quaisquer , se , então e 9 9B Clogo, e portanto ; por continuidade de , 9 9 9 9 9B C B C B¸ œ 0 0ÐBÑ ¸ 0Ð Ñ œ0Ð Ñ ¸ 0ÐCÑ9C .

20. A condição é equivalenteb ß − Ð ÐBÑ Ÿ 0ÐBÑ Ÿ ÐBÑ • Ð Ñ ¸ !Ñ: < X : < < :'a

a ! b ß − Ð ÐBÑ Ÿ 0ÐBÑ Ÿ ÐBÑ • Ð Ñ Ñst& : < X : < < : &( ,

donde o resultado, por transferência.

21. A condição do exercício anterior não é satisfeita para tal que; ‘À Ò!ß "Ó Ä; ; : <ÐBÑ œ " B − ÐBÑ œ ! B Â se e se : se , são funções em escada standard taisque para todo , então e , donde: ; < : <ÐBÑ Ÿ ÐBÑ Ÿ ÐBÑ B − Ò!ß "Ó ´ ! ´ "' Ð Ñ œ "< : .

7.11 . (pág. 65) 1 Transferência ilícita: não é standard (excepto se é polinomial).T 0

2. Seja finito contendo todos os reais standard. Como é finito, existe umJ § J‘polinómio não nulo que se anula em todos os pontos de [resultado clássico:T Jtome-se para o produto dos factores lineares com ]. Um tal nãoT ÐB -Ñ - − J Tpode ser standard, caso contrário seria idênticamente nulo (por transferência).

3. Prove que a relação definida porVÐCß\Ñ

\ § • • ÐbB − b8 − C œ ÐBß 8Ñ B − \ • Ñ0ÐBÑ

8 "‘ ‘

/finÐ\Ñ Ê ,

1"B−\

é concorrente.4. Obviamente, não. Pense na matriz nula e numa matriz com infinitesimais.5. Basta provar que para quaisquer , standard, . Se B C − K B C − K œ "Î:&

com primo então : basta mostrar que o menor elemento positivo de é .: K œ K "™Com efeito, para todo o elemento standard de , para algum ,+ ! K + œ 8Î: 8 − ™logo , e portanto também para , inteiros standard, donde + − + œ 7Î; 7 ; 8; œ 7:mas, como é ilimitado, não divide o inteiro standard , logo divide , e portanto: : ; : 8+ " + ! K " " œ : − K. Por transferência, todo o elemento de é . Como ,&tem-se . Analogamente se mostra que se com primo, entãoK œ œ "Î: :Î#™ &

K œ Ð"Î#Ñ œ "Î: #: K œ # œ "Î:™ & ™ &. Se com primo, então . Se comÈ È: œ ;Î8x 8 ; K œ, sendo ilimitado e primo (ilimitado), então .

SOLUÇÕES 345

7. (a) O integral impróprio é convergente sse a sucessão de termo geral? œ 0ÐBÑ.B8

8!

' é convergente, ou seja, sse é de Cauchy.8. , onde sup .lim sup lim8 Ä _

? œ @ @ œ Ö? 5 8×8 8 8 58Ä_

À

8.7 (pág. 73) 4. Seja uma família de reais infinitesimais. Então Ø Ù a3 − M&3 3−M

a 8Ðl l "ÎÐ8 "ÑÑst &3 . Como os dois quantificadores iniciais permutam, podemosaplicar o Princípio de Cauchy para concluir que existe não-standard tal que . .a8 Ÿa3 − MÐl l "ÎÐ8 "ÑÑ Öl l À 3 − M× Ÿ "Î& & .3 3, donde existe, e é (porque todos ossupelementos são ), logo é infinitesimal; também é infinitesimal,Ÿ "Î Öl l À 3 − M×. &inf 3

pois . Seja uma família de reaisinf supÖl l À 3 − M× Öl l À 3 − M× Ø+ Ù& &3 3 3 3−M

limitados. Então , logo, para todo ilimitado, .a3 − Mb 8 l+ l 8 a3 − M l+ l st3 3= =

Sejam então:

E œ ÖB − À a3 − M B l+ l× F œ ÖB − À B ×‘ ‘3 , é ilimitado .

É claro que . Mas é conjunto interno, enquanto é classe externa, logo,F © E E Fpelo Princípio de Cauchy, a inclusão é própria, quer dizer, existe limitado tal7 − ‘que , donde e são limitados.a3 − M 7 l+ l Ö+ À 3 − M× Ö+ À 3 − M×3 3 3sup inf

III9.9 (pág. 79) 3. (a) ( ) Suponhamos que converge pontualmente para , istoÊ Ø0 Ù 08

é, . Mas então aB − I a ! b: a8 : l0 ÐBÑ 0ÐBÑl a B − I a ! b:& & &8st

a8 : l0 ÐBÑ 0ÐBÑl a B − I a ! b: a8 : l0 ÐBÑ 0ÐBÑl 8 8& & &, donde ;st st

por transferência vem , dondea B − I a ! b : a8 : l0 ÐBÑ 0ÐBÑl st st st& &8

a B − I a ! a ¸ _ l0 ÐBÑ 0ÐBÑl ¸st st& / &/ , e finalmente, por definição de ,a B − I a ¸ _0 ÐBÑ ¸ 0ÐBÑst / / .

(b) ( ) Suponhamos que standard converge uniformemente para Ê Ø0 Ù 08

standard, isto é (com as variáveis restringidas da maneira óbvia) a b: a8 : aB&l0 ÐBÑ 0ÐBÑl a b: a8 : aB l0 ÐBÑ 0ÐBÑl 8 8& & &, donde . Por transferência,st

a b: a8 : aB l0 ÐBÑ 0ÐBÑl a a ¸ _aB l0 ÐBÑ 0ÐBÑl st st& & & / &8 , donde ,/

o que significa que .a ¸ _aB 0 ÐBÑ ¸ 0ÐBÑ/ /

9. Classicamente, para provar que é contínua basta provar que para qualquer0"

subconjunto fechado de , é fechado em . Fazemos uma demonstração porG I 0ÒGÓ Iw

via não-standard supondo que , e são standard e depois aplicando0 I Iw

transferência. É claro que também basta provar que é contínua em todo o ponto0"

standard. Sejam standard, tal que , e seja tal queC − I D − I D ¸ C B − Iw w

0ÐBÑ œ CÞ B + Obviamente também é standard. Por compacidade, existe standard talque , donde, por continuidade, . Pelo+ ¸ 0 ÐDÑ 0Ð+Ñ ¸ 0Ð0 ÐDÑÑ œ D ¸ C œ 0ÐBÑ" "

Princípio de Carnot, só pode ser , donde por ser injectiva.0Ð+Ñ œ 0ÐBÑ + œ B 0

10.14 (pág. 90) 3. (a) Seja limitado ao arbítrio. Então (nas notações do enunciado):D

T ÐDÑ œ D œ D D ¸ D ¸ + D œ T ÐDÑ" " " " "3œ! 3œ! 3œ! 3œ!

8 5 8 5 5

3 3 3 3 3 !3 3 3 3 3

3œ5"

! ! ! ! .

346 SOLUÇÕES

(b) Seja distinto de , ..., . Então, por (a),D D D9 9" :

U ÐDÑ œ ¸ ¸+ D + D

ÐD D ÑâÐD D Ñ ÐD D ÑâÐD D Ñ ÐD D ÑâÐD D Ñ

T ÐDÑ

œ ÐD ÑâÐD Ñ œ UÐDÑ

!3œ! 3œ!5 5

3 33 3

9 9" " ": : :

8 " ;

! !! ' ' ,

e, portanto, é limitado.UÐDÑ

(c) Sejam , limitados quaisquer. Então, para todo ,D A 4 Ÿ ;

A ! "

D Ð "Ñ ! "œ ¸ œ "

Ð "Ñ'

' '

'4

4 4

4A

D

'

'

4

4

.

Resulta daqui que

UÐAÑ ÐA ÑâÐA Ñ A A

UÐDÑ ÐD ÑâÐD Ñ D D œ œ ‚â‚ ¸ "Þ! ' ' ' '

! ' ' ' '8 " ; " ;

8 " ; " ;

(d) Queremos mostrar que é uma função constante. Por transferênciaD È U ÐDÑ!

basta mostrar que a função é constante nos argumentos standard (distintos de ,D D9 3

3 œ " : UÐAÑÎUÐDÑ ¸ " D A UÐDÑ, ..., ). Por (c) sabemos que para , limitados. Então ,UÐAÑ UÐAÑ ¸ UÐDÑ D A, sendo limitados, também são apreciáveis, donde . Com , standard, e também são standard, e como, por (b), , vemU ÐAÑ U ÐDÑ UÐDÑ ¸ U ÐDÑ! ! !

U ÐAÑ œ U ÐDÑ! ! .

(e) O grau de é . De facto, como é constante, T 5 U T œ! ! !

+ ÐD D ÑâÐD D Ñ D D5 " 5 " 59 9 9 9, cujas raízes são , ..., , e portanto não tem zeros

infinitamente grandes.

11.14 (pág. 98) 7. (a) (i) porque, por exemplo, é standard eY / Á g ÖB − À B $×pertence a ; (ii) Sejam , standard quaisquer. Então , , logoY Y / /\ ] − \ ] − Ð ÑT\ ] − Ð Ñ \ ] \ ]T /. Como pertence a e a , pertence a , que é standard, logo\ ] − \ ] \ − ª ] ª \Y Y / /; (iii) Sejam , standard tais que e . Então] − − ] ] − \ ©T / Y e é claro que , logo ; (iv) Seja standard qualquer, e/

suponhamos que . Então , logo X, que é standard, portanto\ Â Â \ @ − ÏY / /

YÏ \ − / .

(b) Consideremos a relação interna .VÐBß CÑ Í \ − • ] − • ] © \Y YQueremos mostrar que , o que equivale a provar que b\ − \ © Ð Ñ b\ −Y . Y Y\ © Ö] À ] − × b\ a ] Ð\ − • ] − • ] © \Ñ ß+ 5Y Y Y, ou seja, que , isto ést

b\ a ] VÐ\ß ] Ñ a b] a\ − VÐ\ß ] Ñst stfin. Por idealização, basta mostrar que .Y YSeja então standard finito ao arbítrio, . É claro que eY Y Y] œ Ö\ À \ − × ] −3que, para todo , donde se conclui que .\ − ß \ ª ] b\ − \ © Ð ÑY Y . Y

(c) Seja hal qualquer, com vista a provar que pertence a todos os B − Ð_Ñ B \standard em . Seja standard tal que é finito ao arbítrio. Então éY \ Ï \ Ï \standard e todos os seus elementos são standard, donde se conclui que e,B Â Ï \

SOLUÇÕES 347

portanto, , o que mostra que . Reciprocamente, tomemos B − \ B − Ð Ñ B − Ð Ñ. Y . Yao arbítrio, e suponhamos, com vista a um absurdo, que é standard. Então é umB Belemento standard que pertence a todos os conjuntos cofinitos standard. Considere-seo conjunto standard . É claro que é cofinito mas , o\ œ ÖC − À C B× \ B Â \! ! !que é absurdo. Portanto, hal .B − Ð_Ñ

(d) ( ) (d) Suponhamos principal (standard), e seja Seja aÉ Q œ Ð ÑÞ RY . Yintersecção de todos os membros de , . Então pertence a . PorY Y YR œ R+transferência, é standard. Claramente . Mas também , porque R R © Q Q © R Rpertence a e é standard. Então , que é interno (standard).Y R Q œ R

Ð Ê Ñ Q œ Ð Ñ œ Suponhamos que a mónada é interna. Mostramos em. Y Y+ 5

primeiro lugar que existe uma parte finita standard tal que m Y m© Q œ +(intersecção dos membros de ). É claro que está contida num tal conjunto. Porm Qoutro lado, como está trivialmente contida em , existe standard finito tal+ 5Y mQque : isto é uma consequência quase imediata do axioma de idealização+m © Q(contraposto), que diz que se um conjunto — aqui, o complementar de , —Q I ÏQestá contido numa reunião de conjuntos standard — aqui os complementares dosßmembros de — de uma família standard, este conjunto está contido na reunião demelementos de uma subfamília standard da família. Concluimos que m mQ œ Þ+Então é standard, e, porque é filtro, pertence a . está contido em todosQ Q QY Yos membros standard de , por definição, logo em todos os membros de , porY Ytransferência. Então , e é principal.Q œ +Y Y

(e) Seja ao arbítrio. Então pertence a todas as vizinhanças standardC − Ð Ñ C. iB

de . Seja uma vizinhança qualquer de . Então para todo standard positivo,B Z BB &Z ª ÖD − I À .ÐDß BÑ × C − Z a ! .ÐCß BÑ B B& & &. Como , segue que , dondest

.ÐCß BÑ ¸ ! C − ÐBÑ C − ÐBÑ e, portanto, Hal . Reciprocamente, tomemos Hal aoarbítrio, que dizer, tal que , donde e, portanto, .ÐBß CÑ ¸ ! a ! .ÐBß CÑ Cst& &pertence a todas as vizinhanças standard de .B

9. (a) . Existe tal que (por exemplo, ), logo aC œ B ¸ ! @B ¸ _ œ/ & & /# # Î%"

parte limitada do gráfico está contida em Ø £, cuja sombra é ;‚ Ö!× ‚ ‘

(b) arctg . Se é apreciável positivo, então , e se é apreciávelC œ B B C ¸ B/ 1#

negativo, então , logo, por permanência, existem infinitesimais , C ¸ ! !1# $ &

tais que arctg , arctg . Então a sombra do gráfico da função é/$ /&¸ ¸ 1 1# #

Ð ‚ Ö ×Ñ ÐÖ!× ‚ Ó ß ÒÑ Ð ‚ Ö ×Ñ‘ ‘ # # # #1 1 1 1 .

(c) sen Resposta: .C œ BÞ ‚/ 1™ ‘

(d) sen . Para limitado, é . Então a sombra do gráfico da função é oC œ B C ¸ !B/

gráfico da recta de equação .C œ !

(e) . Para limitado, , logo a função tem sombra vazia.C œ / B C ¸ _/ B

(f) . Se , é infinitamente grande. Então existe tal que éC œ / B ¦ ! C ¸ ! // /&B &ainda infinitamente grande. Logo, a parte limitada do gráfico está contida em Ø £.‚Se , é infinitesimal. Então a sombra do gráfico da função éB ¥ ! CÐ ‚ Ö!×Ñ ÐÖ!× ‚ Ñ‘ ‘ ! .

348 SOLUÇÕES

(g) . Para apreciável, . Então, por permanência, existe umC œ / B C ¸ ! B/ #

infinitesimal tal que . Para infinitesimal, . Então a sombra do& / ¸ ! B C ¸ " B/ #

gráfico da função é .Ð Ï Ö!× ‚ Ö!×Ñ ÐÖ!× ‚ Ò!ß "ÓÑ‘

(h) sen . A função seno tem período . Ora equivale aC œ B # l Bl / 1 / 1lBl Î B È B ¸ !1 / /, o que mostra que a função sen tem período . Então a#1

/

sombra do gráfico da função é a faixa .‘‚ Ò"ß "Ó

(i) sen . Resposta: banda de largura acima da parábola de equaçãoC œ B B ## /C œ B#.

(j) . Se é apreciável, então . Então, por permanência, existeC œ B B C ¸ _#/

& &¸ ! tal que ainda é infinitamente grande. Logo, a parte limitada do gráfico está#/

contida em Ø £, e a sombra do gráfico é .‚ Ö!× ‚ ‘

(k) . Se , . Se é apreciável, , logo, porC œ B B ! C œ B B C ¸ _Ò Ó/ /

permanência, existe tal que . Então a parte limitada do gráfico está& &¸ ! ¸ _/

contida em Ø £, cuja sombra (para ) é . Se , .‚ B ! Ö!× ‚ B ! C œ ÐBÑ‘!/

Para apreciável, , logo a parte limitada do gráfico está contida em Ø £,B C ¸ _ ‚cuja sombra (para ) é . A resposta global é, portanto, .B ! Ö!× ‚ Ö!× ‚‘ ‘

10. Seja é apreciável e seja K œ Ö> − Ò!ß "Ó À > × L œ Ö> − Ò!ß "Ó ÀÐ> > Ñ ¸ "× K © L K L$ "Î/ . Então . Como é uma galáxia e ou é um halo ou éinterno, temos que a inclusão é própria, por permanência. Assim, existe ,+ − L Ï Klogo . Então+ ¸ !

( ( (+ + +

B B B$ "Îl l $ "ÎÐ> >Ñ .> œ Ð> > Ñ .> ¸ ".> œ B + ¸ B/ / .

Por outro lado, . Ora,'!

+".> œ + ¸ !

¹ ¹( ( (¸ ¸! ! !

+ + +$ "Î $ "ÎÐ> > Ñ .> Ÿ Ð> > Ñ .> ".> ¸ !/ / ,

de onde concluimos que

( ( (! ! +

B + B$ "Î $ "Î $ "ÎÐ> > Ñ .> œ Ð> > Ñ .> Ð> > Ñ .> ¸ ! B ¸ B/ / / .

Analogamente (trabalhando no intervalo ) se pode concluir queÒ"ß !Ó'!

B $ "Îl lÐ> >Ñ .> ¸ B/ . Então a sombra do gráfico da função é o gráfico da funçãoB È lBl B − Ò"ß "Ó para .

IV13.16 (pág. 115) 1. É o famoso teorema de Cauchy sobre a continuidade da funçãolimite de uma sucessão uniformemente convergente de funções contínuas (v.g Ø0 Ù8[213]). Por transferência, basta demonstrar, com , standard, definidas em Ø0 Ù8 g Eaberto standard, que para todo standard em , .+ aB − EÐB ¸ + 1ÐBÑ ¸ 1Ð+ÑÑE Ê

SOLUÇÕES 349

Usaremos o seguinte critério não-standard de convergência uniforme:

0 E aB − E 0 ÐBÑ ¸ ÐBÑ8 Ò /un. g em sse para todo o natural ilimitado , g ./

Seja ao arbítrio em , standard; pelo critério acima, com B ¸ + E 0 ÐBÑ ¸ ÐBÑ g + / /natural ilimitado arbitrário, e, em particular, Ora ,0 Ð+Ñ ¸ Ð+Ñ 0 ÐBÑ ¸ 0 Ð+Ñ/ g . a 8st

8 8

pois as funções são standard para standard e contínuas (logo contínuas no08 n W-ponto standard ) por hipótese, isto é Mas esta classe+ 5 © Ö − 0 ÐBÑ ¸ Ð+Ñ×n g . À 8

(à direita de « ») é um pré-halo (é a intersecção dos conjuntos © Ö8 − Àl "Î7× 70 ÐBÑ Ð+Ñl −8 g para ) e é uma galáxia, logo aquela inclusão é5 5

própria, como imediatamente se vê pelo Princípio de Cauchy, se a classe for interna,ou pelo Princípio de Fehrele, se externa, logo existe um natural infinitamente grande/! tal que Então0 ÐBÑ ¸ 0 Ð+Ñ/ /! ! .

g gÐBÑ ¸ 0 ÐBÑ ¸ 0 Ð+Ñ ¸ Ð+Ñ/ /! ! ,

donde o resultado.

9. Sejam , ..., ( standard) pré-galáxias e um pré-halo tais queK K 8 # L" 8

K ‚â‚K © L V VÐ1 ß ÞÞÞß 1 Ñ Í" 8 " 8, e considere-se a relação interna definida por 1 − K • ÞÞÞ • 1 − K a 1 − K ÞÞÞa 1 − K VÐ1 ß ÞÞÞß 1 Ñ" " 8 8 " " 8 8 " 8. Então , logo, pelo IIst st

Princípio Geral de Permanência, existem conjuntos internos , ..., O ¨ K O ¨ K" " 8 8

tais que , donde .O ‚â‚O © V K ‚â‚K § O ‚â‚O § L" 8 " 8 " 8

14.8 (pág. 128) 1. Vamos aplicar o Algoritmo de Redução ao consequente da parte (b)do Lema do Transbordo de Robinson (ver pág. 54): existe ilimitado tal que/a8 Ÿ Ð? ¸ !Ñ b Ð 7Ð7 Ñ • 8 Ÿ Ð ? ÑÑ/ / / / & &8 8, ou seja, (com asa a a l lst st

variáveis restringidas aos conjuntos óbvios). O primeiro passo é obter uma/ &ß7ß 8ßfórmula logicamente equivalente na forma normal prenexada, utilizando as regras deconversão (14.2) e (14.5) (pp. 117-117):

b Ð 7Ð7 Ñ • 8 Ÿ Ð ? ÑÑ

Í b 7 8 Ð7 • Ð8 Ÿ Ê ? ÑÑ

/ / / & &

/ & / / &

a a a l l

a a a l l

st st

st st8

8 .

O segundo passo visa reduzir a ordem quantificacional da fórmula, usando asregras (14.7) e (14.10), onde abreviamos porÐ7 • Ð8 Ÿ Ê ? ÑÑ/ / &l l89 / &Ð7ß ß 8ß Ñ:

b 7 8 Ð7ß ß 8ß Ñ

Í a Jb a7 − Ja8a Ð7ß ß 8ß Ñ

Í a Jb a8a Ð7ß ß 8ß Ñ

Í a Ja Yb

/ & 9 / &

/ &9 / &

/ &9 / &

/

a a ast st

stfin st

stfin st

stfin stfin

350 SOLUÇÕES

VI17.10 (pág. 165) 1. (a) Ø Ø Ø Øsen , ,œ œ œ œÐ" Ñ Ð"Î_Ñ _ _ln lnl l l Ø Ø @.# œ œl l /, £

(b) @ Ø @, @ Ø, Ø œ œ œ œ œ œ œØ Ø @ Ø £ Ø @ @ Ø/ / / " l l /ln ln† l l

/ / l l † l l / / / Ó!ß_Ò@ Ø Ø £ Ø £† _ _ l l †Ó _ß Ó l lœ œ œ œ œ œ œØ , £ Ø Ø, £ Øln ‘ ,£ Ø.Î_l œ

2. £ sen , , & & & & & &£ £ £ Ø £ £ £œ œ œcos " Ð" ÑÐ Ñ Î# " l l œ " # # # Ð" Ñ& @Î&

œ œ œ œ œ œ/ / / / / Ð/ Ñ@/ . £ @/ . £ Ø) @£ £ @/ / @ @& & & & & &lnÐ" Ñ Ð" Ñ " _Ð" @, œ & l

œ &_l .

3. 9 9 9Š ‹ Š ‹JÐ BÑ Ð BÑ

JÐ Ñ< <= =

= =œ œ B œ B<

< ;

9 9â â

â âŠ ‹ Š ‹+ + B + Ð BÑ + Î + BÎ + B

+ + + + Î + Î +8! " 8 ! " 8

8 8 8" 8

! " 8 ! "8 8 8"

8

= = = =

= = = =œ œ B ;

ln ln ln lnln ln ln= == = =B B Bœ œ " œ œ " B ! B

Ó _ß " Ò ¨ Ó _ß " Ò B ! B ¸ !

Ø se , apreciávelØ se ;œ £

ln = ,

/

/

B Bœ œ

B B Î

" Î

=

=

B

œ /

œ B

/ ¨ B ¸ "œ _ B "

œ B Î œ B œ B

= =ÐB"Ñ

ÚÝÝÛÝÝÜŠ ‹

Ø se

@ se se ;

£ Ø , logo .

"

y̧

y̧

9

œ Ø

l

‘ ‘ ‘ ‘= =

= =

= =

= =

£ ££ £

=

9Ð BÑ œ ‚ Ò "ß "Ó œ # − œ "sen sen= ‘ = 1/ / = ; se , com , tem-se , logo1#

9 9Š ‹sensenÐ BÑ

Ð Ñ"=

= /œ Ð BÑ œ ‚ Ò "ß "Ó œ # sen= ‘ = 1 1/; se, por exemplo, , com

/ = ‘− œ, tem-se , donde .sen " #Ø/ 9Š ‹sen

senÐ BÑ

Ð Ñ

=

= œ

4. (a)

.C

.Bœ œ œ œØ Ø Ø

Ø se ØØ se Ø .

Í C B Í C „ B Í C„ B B

B œ# & &

& &

& &È ÈÈ

(b) Ver também [98], [ ]. Seja . Observe-se que, por hipótese, para 97 + y̧"

" Ÿ B Ÿ B CÐBÑ − Ñ ‚ Ò+ß "Ó+, temos Ø , logoÐ"

@ (com ),

CÐBÑ CÐ"Ñ

B "œ ÐB "ÑC Ð" ÐB "ÑÑ œ ! "w ) )

&

donde £ . Por continuidade, não pode sair deCÐBÑ − Ñ ‚ Ò+ß "Ó CÐBÑÐ" &Ð Ñ ‚ Ò+ß "Ó B ¸ " + "1 £ . Então para todo . & +

y̧

SOLUÇÕES 351

(c) Segue-se de (b) e do princípio de Fehrele que existe tal que ainda se! ¸ "tem . Logo .B ¸ " CÐB Ñ ¸ "! !

(d) Suponha-se que existia limitado tal que Para fixar ideias~B B ¸ Bs s sy B CÐ Ñ È .

assumimos que ! CÐ ÑB Bs sy̧

È . Por continuidade podemos ainda supor que

CÐBÑ B Bß ÓÈ tem o seu máximo sobre Ò B Bs s~ em . Seja

E œ ÖB − Bß Ó CÐBÑ B×Ò B À s~ .y̧

ÈEntão

C ÐBÑ œ !Þ" C B "

# B # Bw

#

È È&

Então e não era o máximo sobre ~CÐBÑ B CÐ Ñ Bß ÓÞÈ é decrescente em B B B Ò Bs s s sÈConclui-se que CÐBÑ ¸ BÈ para todo limitado.B

(e) Inverta o tempo: , e aplique os raciocínios de (c) e de (d).> œ ÐB "Ñ

(f) 9C œ ÖÐBß CÑ C œ B • ! Ÿ B Ÿ "× ÖÐBß CÑ B œ " " Ÿ C Ÿ "×À À • È ÖÐBß CÑ C œ B B "×À •È .

(g) Como em (d), mostra-se que para todo . Então CÐBÑ µ B B È Bs

lim lim\Ä_ BÄ_

] Ð\Ñ \

\œ œ !

CÐBÑ B

B

ÈÈ È È

,

donde quando .] Ð\Ñ µ \ \ Ä _È5. Imagem de uma função : . F 9ÐBÑ œ ¸ Ð!ÑB

F &F &Ð BÑÐ Ñ Fw

(a) ; (b) ; (c) .B #B "#

6. (a)0Ð >Ñ Ð >Ñ " / " " > >Ð" Ñ "

œ œ œ œ >Ð" Ñ & & & & & &

( ( ( ( (

& & &> > >ln ln lnØØ Ø .

&

(> >Ð" Ñln

Tome .( & &œ ln

(b) . Com um novo microscópio #Ð>Ñ œœ1Ð >Ñ1Ð Ñ >

" "&& & &exp expŠ ‹‚ Š ‹ # # #

> œ " ? ?&# obtém-se, para limitado,

# &Ð" ?Ñ ¸ Ð#?Ñ# exp .

Pelo princípio de Fehrele continua a ter-se , pelo menos, para# &Ð" ?Ñ ¸ Ð#?Ñ# expalgum ilimitado, , já para algum . Então contém? Ð>Ñ ¸ _ > ¸ "isto é # #9

Ö"× ‚ Ò"ß_Ò.

352 SOLUÇÕES

7 (a) , .. 0 ÐBÑ œ 0 ÐBÑ œ ‚ Ò "ß "Ó& && &

&B Ð"Î BÑsen 9 ‘

(b) , .1 ÐBÑ œ 1 ÐBÑ œ !& && &

&

# #B Ð"Î BÑsen 9

(c , .) 2 ÐBÑ œ 2 ÐBÑ œ& &sen Ð"Î B Ñ&

&

# #9 ‘#

8. A função em escada, começando em , e com passos horizontais e verticais .Ð!ß !Ñ &

9. (a) , ; (b) , ; Q œ B Q œ B& & & &ß ß# #È È9 9Š ‹ Š ‹0 ÐBÑ 0 ÐBÑ& &È È& &

(c) , ( . Q 2Ð BÑÑ œ& &ß1/9 & & "

"B#

10. (1) Sejam standard e com standard. Seja B C − G ! " D œ, 9 - -- - - -B Ð" ÑC + , − G D ¸ + Ð" Ñ, − G D − G. Existem tais que . Logo ., 9

Por tranferência, é convexo.9G

(2) Com e standard, ponhamos . EntãoE − G ! F œ E Ð\ EÑ- - "m\m

9 9 9"m\mF œ E Ð\ EÑ œ E < F − G Gˆ ‰- - . Além disso, , pois é fechado, logo

E < − G E < − G- -. Por transferência, para todo e todo .E − G !-

11. (a) ; (b) ; 9 9- œ ‚ Ö!× - œ ÖÐBß CÑ lCl Ÿ B×= =‘ À

(c) 2 ; (d) ; 9 9- œ ÖÐBß CÑ lCl Ÿ B× - œ ÖÐ!ß !Ñ×= =À

(e) ; (f) 9 9- œ ‚ Ö!× - œ ÖÐ!ß !Ñ× ‚ Þ= =‘ ‘ ‘

12. ( ) Seja standard. Logo existe standard tal que © < − V E − G E < − G=

para todo . Então = ¸ _ < œ − - Þ9 9Š ‹E <Ñ== =

( ) Seja standard. Logo existe tal que . Seja ª < − - F − G ¸ < E − G9=

B=

standard. Logo , para todo standard, e portantoE ÐF EÑ − G !- -

E < ¸ E − GÞF E

- -=

9Š ‹porque é fechado. Por transferência, .G < − V

18.11 (pág. 172) 1. Seja . Por indução mostra-se que para .- - œ 0Ð"Ñ 0Ð8Ñ œ 8 −Da igualdade segue que , logo para0Ð!Ñ œ 0Ð"Ñ 0Ð"Ñ 0Ð"Ñ œ 0Ð8Ñ œ 8- -todo . Da igualdade para , segue que 8 − 0Ð7Ñ œ 80Ð7Î8Ñ 7 8 − 0Ð;Ñ œ ;™ -para todos os números racionais. Seja standard e com . Porque é< − ; − ; ¸ < 0‘ W 0Ð<Ñ ¸ 0Ð;Ñ œ ; ¸ <-continua temos . Pelo princípio de Carnot, temos- -0Ð<Ñ œ < 0Ð<Ñ œ < −- - ‘. Por transferência, para todo .

SOLUÇÕES 353

2. (a) Seja uma função não-decrescente que nos pontos , , , ..., tem o 1 " # % #8

incremento , e nos outros é constante. Logo . Tome 8 1ÐBÑÎB œ ! 0ÐBÑ œlimBÄ_

B 1ÐBÑ 0 œ B ¸ _Þ. Então para todo +ð= =

(b) Seja . Então para todo standard. 0Ð8Ñ œ 8 0 ÐBÑ œ œ B Bð ‰ Ò BÓÒ Ó===Š ‹

(c) Seja . Tome, por exemplo, se e = =¸ 0ÐBÑ œ B B _0ÐBÑ œ ÐB Ñ B = = =# se .

19.4 (pág. 174) (a) Para standard, :J ¸ _=

0 = 0 =œ Ð" Ñ Ê JÐ Ñ ¸ JÐ ÑÞØ

Daqui para frente, utilizaremos sempre esta caracterização.(b) sen sen ( Ø ) sen Ø sen Ø log log log log log0 = = =œ Ð" Ñ œ Ð Ð" ÑÑ œ Ð Ñ

œ sen Ø.log=(c) Sejam standard, , . Temos J ¸ _0 =

exp exp expJÐ Ñ œ ÐJÐ Ñ Ñ œ Ð" Ñ JÐ ÑÞ0 = =Ø Ø

Então é assimptoticamente contínua, logo de crescimento polinomial. Então expJ Jtem, quando muito, crescimento logarítmico.

(d) Também, quando muito, crescimento logarítmico. . teorema 19.3.Cf

VII23.8 (pág. 222) 1. (a) ; (b) ;] œ „" JÐ\„"Ñ œ " Ð„"Ñ œ !#

(c) ; ] œ " Ê .?Î.> œ ? ] œ " Ê .?Î.> œ ? Þ? ?# #

# #

De Ø £ Ø segue que é um rio regular exponencialmenteÐ0 Ñ Ð ß Ñ œ …" ] œ "=w

#

estável e é um rio regular exponencialmente instável;] œ "

(d) As soluções com standard.] Ð!Ñ "

2. (a) = satisfaz com . Ora, KÐ\Ñ / Î # ] œ JÐ\ß ] Ñ J Ð\ß ] Ñ œ \] wX# È 1

J Ð\ß ] Ñ œ \ \ œ ] œ ? 1 Ð>Ñ œ /w >#

> /

# . , dá .= = 1 =

#=È 9

(b) satisfaz . Não dá telescópio apropriado. LÐ\Ñ \ ] œœ log w "\

(c) Sabe-se que satisfaz com , > GÐ\Ñ ] œ JÐ\ß ] Ñ J Ð\ß ] Ñ œ Ð\Ñ]w

J Ð\ß ] Ñ œ \ µ Ð\Ñ \ œ ] œ Ð Ñ?w#

>G = > =( ) . , dá, aplicando a fórmulalog log=

354 SOLUÇÕES

de Stirling,

9 9

9

9

#= = 1 = =

= 1=

= = =

=

= = = =

= =

= = =

=

Ð>Ñ œ Ð" ÑÐ >Î Ñ / # Ð >Î Ñ

/ #

œ Ð" >ÎÐ Ñ / Ð" Ñ

œ / /

Œ ÈÈŠ ‹Š

log log

log

>Î >Î

>Î >Î

> >Î Ð"

log log

log log

log

Ø

Ø

ØÑ >Î >/ Ð" Ñ œ /log= Ø .‹(d) satisfaz com , . Ora I Ð\Ñ ] œ JÐ\ß ] Ñ J Ð\ß ] Ñ œ ] J Ð\ß ] Ñ œ ""

w w"\ #

\ œ > ] œ / Ð>Ñ œ .@ œ "= , dá .? /"ß > "@ÎÐ >Ñ

_!= = ==

=9 9Œ ' @ 117

3. Representamos o membro direito das equações diferenciais por . JÐ\ß ] Ñ

(a) . O polígono tem normais ,J Ð\ß ] Ñ œ $] \ Ð!ß !ÑÐ"ß "ÑÐ"ß $Ñw ##

""’ “

’ “""Î# " #ß$. Soluções da equação funcional assimptótica: , K Ð\Ñ œ "Î\ K Ð\Ñ œ

„ \ J Ð\ß "Î\Ñ µ \ J Ð\ß„ \Ñ œ #\È È. , . Rios regulares exponencialmentew w# #

estáveis assimptóticos a , e instáveis assimptóticos a ."Î\ „ \È(b) . O polígono tem normais ,J Ð\ß ] Ñ œ $] \ \ Ð#ß !ÑÐ#ß "ÑÐ"ß $Ñw # #

#"!’ “

’ “""Î#

w ##. Solução da equação funcional assimptótica: , . UmKÐ\Ñ œ " J Ð\ß "Ñ µ \

rio regular exponencialmente instável com limite ."

(c) . Não há rios. JÐ\ßKÐ\ÑÑ\J Ð\ßKÐ\ÑÑ #

"w#

œ Á !

(d) sen . Soluções da equaçãoJ Ð\ß ] Ñ œ ] \ \ \] ] \ ]w % ## cos

funcional assimptótica: . . Rios regularesK Ð\Ñ œ „\ J Ð\ß„\ Ñ µ \"ß#"Î% w "Î% #

#

exponencialmente estáveis assimptóticos a .„\

(e) . Solução da equação funcional assimptótica:J Ð\ß ] Ñ œ /w ]#

KÐ\Ñ œ \ J Ð\ß \Ñ œ \log log , log log log .w#

Um rio regular exponencialmente instável assimptótico a log log .\

(f) . O polígono tem normalJ Ð\ß ] Ñ œ #] Ð] \Ñ Ð!ß !ÑÐ#ß !ÑÐ#ß "ÑÐ%ß !Ñw ##’ “ È È"

"Î# "ß#w#. Solução da equação funcional assimptótica: . K Ð\Ñ œ „ \ J Ð\ß„ \Ñ

œ ! Þ. Não há rios regulares

4. Só consideramos a equação de Liouville. O telescópio , \ œ >= "È=

] „ Ð" ?Ñ= dáÈ=

117 NB. Nas aproximações do integral pelo intregal ,' '_ _

!@

!/

"@ÎÐ >Ñ

@

= .@ / .@ œ "

podem-se aplicar os métodos do capítulo VIII.

SOLUÇÕES 355

.?Î.> œ „? 0 Ð>ß ?Ñ? >

# %

#

È= .œ =

Tem-se Ø se , limitado. Ponhamos Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ „" ? œ „" ? ¸ ! > Ð?Ñ œ= #w ?

< ;Ð?Ñ Ð?Ñ ¸ " œ. Então . Aplique 21.3.?

?

w wÐ?Ñ

Ð?Ñ Ð?ÑÐ?Ñexp

exp

5. Só tratamos do caso , , KÐ\Ñ œ " PÐ\Ñ œ ß .] Î.\ JÐ\ß ] Ñ œ " ]"#

#œ

J Ð\ß ] Ñ œ #] > œ #Ð\ Ñ ? œ ] " 1 Ð>Ñ œ ! 0 Ð>ß ?Ñ œ ? w#

?#, , , , ,= = =#

Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ " ?= #w .

Ð"Ñ Ð!Ñ œ Ð >Î#Ñ " œ Ð>Ñ9 F = 9= =>Î#

;

Ð#Ñ Ð0 Ñ Ð>ß !Ñ œ " œ † Ð#Ñ= #w "

# ;

Ð$Ñ Ð0 Ñ Ð>ß ?Ñ œ " ? œ Ð0 Ñ Ð!ß Ñ †= =# #w w

>Î#?!"! "Î#

"Î# ;

Ð%Ñ 0 Ð>ß 1 Ð>ÑÑ œ ! œ 0 Ð!ß !Ñ †= = =>Î#"Î#"Î# .

6. V. teorema 22.6. : não; crescimento de exp grande demais, comFG#Ð\ Î#Ñ

respeito ao crescimento das soluções que não são rios de / .] Î.\ œ\

Ð#\ "Ñ Ð\ Î#Ñ ]exp . : sim.#GG

7. Sejam uma função analítica, a sua série de Taylor, e oJÐ\Ñ - \ . \! !8œ! 8œ!

_

8 88 8

seu desenvolvimento assimptótico. Escrevemos ,U Ð\Ñ œ JÐ\Ñ - \=

=!8œ!

88

V Ð\Ñ œ JÐ\Ñ . \ œ ÖU À ¸ × œ ÖV À ¸ ×= = =

="8œ!

88, , ,d = e =_ _

Y œ _‚„± @. Observamos muitas vezes repulsão exponencial para as séries deTaylor convergentes, e atracção exponencial para os desenvolvimentos assimptóticosdivergentes. Definimos a mudança de escala com ajuda dos índices dosPÐ8ß\Ñ 8restos (de facto, será por vezes independente de ). Para os pormenores remetemosP 8para [26]).

(a) (Ver [26] p. 37) , . Desenvolvimento assimptótico: / œ PÐ8ß\Ñ œ /\

8œ!

_\8x

! 8

não.

(b) (Ver [26] p. 67) erfc a b É ' !\ œ / .= œ " Ð"Ñ ß# # \_ = Î# 8

8œ!

_

8xÐ#8"Ñ1 1\

# #8"ÈPÐ8ß\Ñ œ #/\. Desenvolvimento assimptótico:

erfc .a b È "\ œ Ð"Ñ ß PÐ8ß\Ñ œ #/\/ Ð Ñ

\

\

8œ!

_8

"# 8

#8"

#

1

356 SOLUÇÕES

(c) (V. [26] p. 22, p. 100] , . «Desenvol- N Ð\Ñ œ Ð"Ñ PÐ8ß\Ñ œ #/!8œ!

_8 \Ð8xÑ

! #8

#

vimento assimptótico»:

N Ð\Ñ œ Ð"Ñ Ð\ 8 † Ñ#

\ 8xÐ#\Ñ % #

ÐÐ Ñ Ñ!

8œ!

_8

"# 8

#

8Ê "1

1 1 cos .

Ora, não há atracção exponencial no sentido próprio, mas verifica-se que, sobre , oYresto se comporta localmente como cos( , que toma às vezes oV Ð\Ñ / >Ñ=

>/2e !valor .!

8. (a) As trajectórias standard de . .CÎ.B œ CB

(b) As trajectórias standard de . .CÎ.B œ C "#

9. (a) Tem-se @ Ø para , com 0 Ð!ß ?Ñ œ „ ? + Ÿ ? Ÿ , += ! ,¸ ¸y y

. Logo

0 Ð!ß ?Ñ ? ¸ ! JÐ ß ] Ñ= muda de sinal para um certo (que é único). Então muda de=sinal para um certo , sendo uma função standard e ; isto é,LÐ Ñ L LÐ Ñ µ KÐ Ñ= = =JÐ ßLÐ ÑÑ œ ! ¸ _ E= = = para todo . Pelo princípio de Cauchy existe standard talque para todo .JÐ\ßLÐ\ÑÑ œ ! \ E

(b) É mais fácil tentar resolver para «quase-zeros», que para zeros. Por exemplo,pelo teorema de Galois,

] +] ,] -] .] - \ œ !& % $ #

não é (algebricamente) resolúvel, mas

lim\Ä_

& % $ #

% $ #

] +] ,] -] .] - \

] † Ð&] %+] $,] #-] .œ !

)

tem a solução evidente .] œ \È&10.

(E) ,.] Î.\ JÐ\ß ] Ñ œ Ð] \ÑÐ] \Ñ œ ] \œ # #

J Ð\ß ] Ñ œ #] K Ð\Ñ œ „\#w

"ß#. Soluções da equação funcional assimptótica: .Condições:

(2) ; (3) ;lim lim\Ä_ \Ä_

"#\†Ð„\Ñ #\†Ð„\Ñ

„ \>Î\œ ! œ !( )

(4) ; .LÐ\Ñ µ „\ Ê #LÐ\Ñ µ „#\ œ "lim\Ä_

" "\>Î\ \‚

Então (E) tem um rio regular exponencialmente instável assimptótico a , e rios\regulares exponencialmente estáveis assimptóticos a .\

SOLUÇÕES 357

Sob o telescópio , a equação (E) vemB œ Ð\ ÑÎ# C œ Ð] ÑÎ= = = =

.C C

.B #¸ C

#

,

com soluções que infinitamente perto de se comportam como .C œ ! CÐBÑ œ +/B

Sob o telescópio , + a equação (E) vemB œ Ð\ ÑÎ# C œ Ð] ÑÎ= = = =

.C C

.B #¸ C

#

,

com soluções que infinitamente perto de se comportam como . AC œ ! CÐBÑ œ ,/B

rotação dá , que tem a solução . De uma certa maneira, temos.Z.Y

Y Î#œ YZ Z œ G/#

um único rio regular instável identicamente nulo, e a mudança de variáveis? œ ÐY Ñ @ œ Z ¸ @= =, dá . As soluções da última equação comportam-se de.@

.?

novo como exponenciais, isto é, .@ ¸ - † /?

11. (Plano de Lienard:) tem um rio regular .\Î.] œ Ð] \ Î$ \ÑÎ\$

exponencialmente instável assimptótico a para , e também um\ œ $] ] Ä _È$rio regulares exponencialmente instável assimptótico a para \ œ $] ] Ä _È$(ou rios «horizontais» . (Plano de fase:) Observe-se que se] Ð\Ñ µ \ Î$$ )escrevermos a equação em termos de se obtém] Ð\Ñß

.] Ð\ \Ñ] \

.\ ]œ JÐ\ß ] Ñ

#

œ ,

com . A isoclínica de zero é, ambos emJ Ð\ß ] Ñ œ \Î] MÐ\Ñ œ ÎÐ\ "Ñ#w # "

_ _ e em , acompanhada por um rio regular instável, porque J Ð\ß"Î\Ñ œ#w

\$ .

12. Sejam , e um rio com . Condições.] Î.\ œ JÐ\ß ] Ñ Ð\Ñ œ E Á !F Flim\Ä_

necessárias e suficientes:

(1) , ; (2) ) ;lim lim\Ä_ \Ä_

# #w wJ Ð\ßEÑÎJ Ð\ EÑ œ ! "ÎÐ\J Ð\ßEÑ œ !

(3) Desnecessário;

(4) contínua em para , uniformemente em . J Ð\ß ] Ñ ] ] œ E \ "ÎJ Ð\ßEÑ# #w w

autonegligente.

13. não, não, sim, não, não, sim, sim, não.J J J J J J J J" # $ ( )4 5 6

14. cos , sen . ÐIÑ .] Î.\ JÐ\ß ] Ñ œ \] J Ð\ß ] Ñ œ \ \]œ #w

(1) para , ;lim\Ä

\KÐ\ÑKÐ\Ñ†Ð\ Ð\KÐ\ÑÑÑ #\ \

5

_

cossen œ ! KÐ\Ñ œ 5 −1 1 ™

(2) sen ;J Ð\ßKÐ\ÑÑ œ \ Ð 5 Ñ œ Ð"Ñ \#w 5"

#1 1

(3) É claro que é de variação lenta na escala ;1#5

\

1"Î\

358 SOLUÇÕES

(4) É claro que é autonegligente, e se , tem-se„ LÐ\Ñ µ"\ \

51# 1

\ LÐ\Ñ µ Ð"Ñ \sen .5"

Segue de (1)-(4) que (E) tem rios regulares exponencialmente estáveis para par,5e rios regulares exponencialmente instáveis para ímpar.5

15. Faça-se , . Com as equações (a) e R œ 8 ] œ KÐ ÑÐC "Ñ KÐRÑ œ R= =(b), fica

CÐ8 "Ñ #CÐ8Ñ ¸ !

e + ,CÐ8 "Ñ #CÐ8Ñ ¸ !

respectivamente; com a equação (c) vemKÐRÑ œ R

CÐ8 "Ñ #CÐ8Ñ ¸ !,

e com log a equação (d) vemKÐRÑ œ R

CÐ8 "Ñ CÐ8Ñ ¸ !"

#.

Equações do tipo têm como soluções CÐ8 "Ñ +CÐ8Ñ œ ! CÐ8Ñ œ G † Ð+Ñ8

com . Evita-se chamar a uma solução que sob um telescópio é quase-G − ÐRÑ‘ Fnula um «rio discreto regular esponencialmente estável ou instável» consoante l+l ¸ ¸y y

" l+l "ou . Com métodos muito semelhantes («ferro de engomar») no caso

contínuo tratatado neste capítulo, mostra-se que a equação admite uma solução-rioassimptótico à unidade vertical do telescópio . Neste sentido a equação (a) temKÐRÑ um rio instável assimptótico a (de facto ), (b) tem um rioF FÐRÑ R ÐRÑ œ R # instável assimptótico a (de facto ), (c) tem um rioF FÐRÑ RÎ$ ÐRÑ œ RÎ$ #Î$ instável assimptótico a e (d) tem um rio estável assimptótico aF FÐRÑ R ÐRÑÈ # Rlog .

Note-se que as equações podem também ser estudadas por meio de macroscópios,que as transformam em equações lentas-rápidas do tipo de A. Fruchard [128]. Porexemplo, a primeira equação transforma-se em CÐ8 "Î Ñ CÐ8Ñ œ=CÐ8Ñ 8 "Î CÐBÑ œ 8=. A equação tem uma . Com umcur a lenta atractiva @análogo discreto do teorema 17.7, mostrar-se-ia que a equação tem a solução riodiscreto repulsivo assimptótico a em , encontrada acima.FÐRÑ RÎ$ _

VIII24.19 (pág. 235) 1. (a) é uma função em escada com degraus horizontais e verticaisJÈ$B ¸ ! JÐBÑ ¸ B W J. Então é sempre , uma função de classe , logo a própria é de!

classe . não é limitada, logo não é de classe .W 0 W! !

SOLUÇÕES 359

(b) , a medida do intervalo sob é , mas éJÐ"Ñ œ † B œ " Ò!ß "Ó J ""

BÈ$È$

concentrada num conjunto de medida de Lebesgue .È$B ¸ !

2. Tem-se uma soma de Riemann da função sen com incremento , entre?D D œ$ #=

D œ ¸ ! D œ ""= ( ) e :

W œ †? # #?Ð 8 † Ñ

8 †

œ † D# ?D

D

¸ .D# ?D

D

¸ .D# ?D

D

œ .># >

>

== =

= =

ˆ ‰ ""(((

= 1 =

1$

1

1

1

8œ!

" #

" #

Dœ"

Dœ

"

!

"

!

?

=

=

=

"#

"

"

sen

sen

sen

sen

sen.

3. São funções integráveis standard. As afirmações seguem da equivalência entre as propriedades do tipo e .Ö À J Ð Ñ ¸ E× œ JÐ\Ñ œ E= = _| lim

\Ä_

4 (a) £; (b) £ [aplique (a) e teorema 24.7]; (c) £ (do exemplo. & & 8 8È24.15.4); (d) limitado: @, ilimitado: £ . Compare com (c), aplicando o 8 8 8 8Èteorema 24.7. Se é limitado, observe-se que, sobre a massa, 8 " B œ& &" 8 8 œ " 8 8& & & &£ Ø; se é ilimitado, observe-se que, sobre a massa,È" B œ " 8 8 œ Ð" 8ÑÐ" Ñ& & & &£ Ø .È

5. Note-se que todas as somas e integrais são limitados. Por exemplo, sejaM œ 0ÐBÑ.B'

_

_ . Para todo ilimitado (fora da massa ) tem-se= £

(lBl =

0ÐBÑ.B œ † M MÎ#Ø .

Pelo princípio de Cauchy, esta desigualdade ainda é satisfeita por algum +limitado. Porque é de classe , é limitado. Então0 W 0ÐBÑ.B!

lBlŸ+'

M œ 0ÐBÑ.B 0ÐBÑ.B Ÿ MÎ#( (lBlŸ+ lBl +

£ ,

ou seja , ou ainda . Em seguida, imitar a demonstração do teorema 24.9:MÎ# Ÿ M œ£ £Teorema 24.8. Utilizar o corolário 24.3: Para todo limitado + 0ÐBÑ.B ¸'

++

'++1ÐBÑ.B !. Pelo princípio de Fehrele, existe ilimitado tal que=

( ( = =

= =

0ÐBÑ.B ¸ 1ÐBÑ.B,

360 SOLUÇÕES

com e a pertencer às caudas, e= =

( ( (( (

((

( (( (

_ lBl

_

_

_

_

_

lBl

0ÐBÑ.B œ 0ÐBÑ.B 0ÐBÑ.B

œ 0ÐBÑ.B 0ÐBÑ.B

œ 0ÐBÑ.B

œ 1ÐBÑ.B


œ 1ÐBÑ.B 1Ð

= =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= =

=

Ø

Ø

Ø

Ø Ø

BÑ.B œ 1ÐBÑ.B Ø Ø.(_

_

Teorema 24.9. Utilizar o corolário 24.3: Para todo limitado,+

" (lBlŸ+

+

+


Pelo princípio de Fehrele, existe ilimitado tal que= !

" (lBlŸ

=

=

=


= = e pertencendo às caudas,

" " "" ""(

( ((

B− lBl lBlŸ

lBlŸ

lBlŸ

lBlŸ

lBlŸ

lBl

— = =

=

=

=

=

=

0ÐBÑ.B œ 0ÐBÑ.B 0ÐBÑ.B


œ 0ÐBÑ.B

œ 1ÐBÑ.B


œ 1

Ø

Ø

Ø

Ø Ø

†

†

B−

B−

—

—

ÐBÑ.B 1ÐBÑ.B

œ 1ÐBÑ.B

((

lBlŸ

_

_=

Ø

Ø.

Teorema 24.10. Pode-se aplicar a demonstração acima a e . Do0 † 1 †; ;Ó_ßBÓ Ó_ßBÓ

último teorema segue a igualdade das massas de e de em 24.9 : 0 1 !!BŸy0ÐBÑ.B

y̧

se e somente se etc. A igualdade das massas de e de em 24.8'_y gÐBÑ.B ! 0 1

y̧

mostra-se de maneira semelhante.

6. (a) Ver exercício 24.17.4 (a)

SOLUÇÕES 361

(b) é -contínua; 0 W

(c) " "1 1' '_ _

_ _

B "C"&

&# # #.B œ .C œ ";

(d) Ver 26.18, onde a demonstração é feita no caso geral.

7. Seja M œ '_

_0ÐBÑ.B.

(a) C − Q Í 0ÐB Ñ.B œ M Í 0ÐDÑ.D œ0ÐB Ñ BŸC B C DŸC D C! ! !' ' ' ', @ , !

@ .M Í C Q Í C Q ! !− −0 0

(b) C − Q Í 0ÐBÑ.B œ M Í 0ÐBÑ.B œ M Í!0 BŸC B C BŸC B C' ' ' ', @ , @! !

C Q− 0 .

(c) C − Q Í 0Ð BÑ.B œ Í 0ÐDÑ.D œ M Í0 BÑ BŸC B C DŸ C D CM

(@

! ! ! !' ' ' ', , @!

! !C Q Í C Q Î− −0 0 .

8. (a) Sejam M œ œ' '_ __ C

0ÐBÑ.B JÐCÑ 0ÐBÑ.B J e . é crescente, contínua e"M

sobrejectiva sobre . Logo as caudas, como pré-imagens dos conjuntos externosÓ!ß "ÒØ e Ø pela função crescente e contínua são externas, isto é, são halos, e as Jmassas, como complementares das caudas, são galáxias.

(b) Sejam , , , , . Tem-se & & & & &¸ ! ! +Ð!Ñ œ " +Ð "Ñ œ Î# +Ð"Ñ œ Î#G œ Ö "× G œ Ö"× Q œ Ö!× , , .

25.9 (pág. 244) 1. Vimos na demonstração da fórmula de Stirling 25.1 que, se> œ ?= =È com limitado, então?

/ > µ / /> ? Î#= = ==#

.

Daqui sai, aplicando a fórmula de Stirling,

/ > /

x #

> ? Î#=

= 1=µ

#

È .

2.- œ ,Ð"ß !Ñ œ † † µ † † œ † œ

È È È È ÈÈ È È8 8 8

# ÐÐ8Î#ÑxÑ # # # #8x " " "8 / # 8 #

ÐÐ8Î#Ñ / 8Ñ 8 ## 8 8

8 8

8Î# 8Î# #

1

1 1 1

3.FÐ8ß 4Ñ œ † œ † † œ FÐ8 "ß 4 "Ñ FÐ8 "ß 4ÑŠ ‹ ŠŠ ‹ Š ‹ ‹8 8" 8"

4 # 4" 4 # # #" " " "8 8" .

Com , logo , obtém-se$ / $ /> œ "Î > œ "ÎÈ È

362 SOLUÇÕES

,Ð>ß BÑ œ , ß , ß" 8 " " 8 "

# #

4 " 4

Î# Î#

œ , ß , ß" 8 " " 8 "

# #

4 " 4

Î# Î#

œ ,Ð> >ß B >Ñ ,Ð> >ß B " "

# #

Š ‹ Š ‹È ÈŠ ‹ Š ‹È È

È

/ // /

/ / / // /

$ $ $

8" 8"# #

8" 8"# #

È$>Ñ.

Se é ímpar, é par. Supondo a f8 8 " órmula de De Moivre-Laplace válida para 8par, obtém-se

,Ð>ß BÑ œ ¸"

#

# Ð> >Ñ # Ð> >Ñ

# >Œ È È È

exp exp expÐB >Ñ ÐB >Ñ#Ð> >Ñ #Ð> >Ñ

B#>

È È$ $$ $

# ##

1 $ 1 $ 1.

4. (a) O desenvolvimento em série divergente de Euler da!Ð"Ñ 5x5 5&exponencial-integral segue da integração por partes,

( (’ “(

! !

_ _> > >

8 8 8!

_

!

_ >

8

/ / /

Ð" >Ñ Ð" >Ñ Ð" >Ñ.> œ Ð8 "Ñ .>

œ " Ð8 "Ñ .>/

Ð" >Ñ

& & &

&

.

(b) Ponhamos . LogoX œ Ð"Ñ 5x55 5&

¹ ¹ œX

Xœ 5

Ÿ " 5 Ÿ " œ " 5 " œ

5

5"&

& =& =

se /se / .

Então o termo de índice é minimal.=

(c) Para limitado temos . A massa do integral é ,8 Ð" >Ñ ¸ " .>& 8!

_ /Ð" >Ñ

' >

8& £logo, pelo teorema 24.18,

( (! !

_ _>

8>/

Ð" >Ñ.> ¸ / .> œ "

&.

Então

< Ð Ñ œ Ð" Ð"Ñ 8x8"8 8& &Ø .Ñ

(d) Temos

< Ð Ñ œ Ð" Ð"Ñ Ð8 "Ñ Þ œ †88" 8 8& & & &Ø ! Ø .Ñ

(e) Pelo princípio de Fehrele, existe um índice ilimitado tal que/

< Ð Ñ œ † − Q/ &/& &Ø .

SOLUÇÕES 363

(f) Temos para limitado, pela fórmula de Euler>

/

Ð" >Ñ¸ / / œ /

>> > #>

& =. .

Então pelo teoremas 24.18 e 24.9,

< Ð Ñ œ Ð"Ñ x .>/

Ð" >Ñ

œ Ð" Ð"Ñ x / .>

œ Ð" xÐ"Ñ

#

== =

=

= =

==

"!

_ >

!

_#>

& = &&

= &

= &

((Ø

Ø .

Ñ

Ñ

Segue da fórmula de Stirling que

< Ð Ñ œ Ð" xÐ"Ñ

#

œ Ð" Ð"Ñ / #

œ Ð" Ð"Ñ / − 7#

=

==

= = = =

= &&

"

"Î

& = &

= 1= &

1

&

Ø

Ø

Ø .

Ñ

Ñ

Ñ

ÈÊ

(g) Precisamos que , que é verdade, por exemplo, para .Ð" >Ñ ¸ / œ $Î& = &= $>

Então

< Ð Ñ œ Ð"Ñ x .>/

Ð" >Ñ

œ Ð" Ð"Ñ x / .>

œ Ð" xÐ"Ñ

%

== =

=

= =

==

"!

_ >

!

_%>

& = &&

= &

= &

((Ø

Ø .

Ñ

Ñ

É ilimitado:

= & = 1= &1

&x œ Ð" Ñ / # œ Ð" Ñ

$ '

/= = = =

&

Ø Ø .$ÎÈ Š ‹ Ê

5 (a) : Tem-se, para Þ ? ! ? œ _È-,

TÐ ? Ñ œ TÐ ÑÞ"

Ð" ÑÞÞÞÞÐ" Ñ

Ÿ TÐ Ñ"

œ TÐ ÑÞ " ? ?

#

- - -

-

--

-

È

‰Š ‹È ˆ ‰È

" ?

? ?#

- -

-

-

È

È È†"

ˆexp log

364 SOLUÇÕES

œ TÐ ÑÞ ? _ _

œ TÐ ÑÞ ?

-

-

exp( . . )/ /exp( )//_

(b) Da propriedade da ? Ÿ ! À Š ‹Š ‹ Š ‹" " â " Ÿ" # ? "- - -

-Èexp e Ð Ñ?

#

#

estimação exp @ exp( ).|Ð ? Ñ œ _?#

26.3 (pág. 248)1. ;0 $ .$ 5 $ .$ 5 $ . $ .$Ð# >Ñ œ Ð" > >ÑÐ" > >Ñ œ " Ð Ñ > >È È 5#

##

.0 . $ .$Ð>Ñ œ " Ð Ñ > >ˆ ‰5 $#

## >ÎÐ# >Ñ

2. exp exp . 0 . .Ð>Ñ œ Ð Ñ> > ¸ >ˆ ‰ ˆ ‰5 5.$# #

# # #>

3. exp é limitado, exp exp . ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰. 0 . . 0 > Ð=Ñ ¸ = ¸ > ¸ Ð>Ñ5 5 5# # #

# # #

0 $ 0

$ $

. $ .$ . $ .$

. .5 5

Ð> # >Ñ Ð>Ñ

# > # >œ

Ð" Ð Ñ# > > Ñ Ð" Ð Ñ# > > "Ñ

¸ ># #

5 5$# #

# ## >ÎÐ# >Ñ #

# #ˆ ‰ ˆ ‰exp ,

que é limitada e -contínua.W

4.0 $ $ 5Ð>Ñ œ Ð" >Ñ œ Ð" >Ñ œ >Ð" Ñ œ œ5 5$

$

# #

# # > #>ÎÐ# >Ñ #>exp log exp Ø exp Ø._|

5.

Ð" > >Ñ œ Ð" Ð" Ñ >Ñ>

>

œ Ð" Ñ œ Ð œ>

>

.$ 5 $ 5 $$5

$

È ÈÈ

>Î >$ exp log Ø

Ø Ø, exp exp _Ñ|

se .> œ >_| È$

26.4 (pág. 249) 1. .Z Ð Ñ œ l >l œ ¸0 $! È!Ÿ>X

X

>È$_

2. Ø Ø

Ø Ø.

Z Ð Ñ œ Ð" Ñ Ð Ñ > œ Ð Ñ >> " >

# #>

œ Ð Ñ.> œ " œÐ" Ñ > # X

> ># #

0 $ $$

$ $

" "È ÈÈ È( Š ‹ˆ ‰

!Ÿ>X !Ÿ>X

!

X

exp exp

exp exp _|

Observe-se que a trajectória mínima é decrescente, como dissemos, até , e depois é>crescente, com dada por>

Š ‹ Š ‹È È" " ¸ /

> >

# #

$ $>Î > ÐX>ÑÎ >XÎ#

$ $

.

SOLUÇÕES 365

Resolvendo,

Š ‹ Š ‹È" " ¸ /

> >

#

$ $

4,

>Î > ÐX >ÑÎ >XÎ#

$ $2

donde

expŠ ‹È ¸ /> X #> X #>

% )# >$

XÎ#.

É claro que ; de facto, Ø .> ¸ > œ >Ð" ÑX X $X# # )

È$

O comprimento da trajectória mínima, cuja sombra é

Ö!× ‚ Ò!ß "Ó Ð!ß X Ñ ‚ Ö!× ÖX× ‚ ÐXÎ#Ñexp ,

é quase-igual a " X ÐXÎ#ÑÞexp

26.7

(pág. 250) 1. log

Ø

0 .$ 5 $

. $ 5 $ $5

.5

Ð>Ñ œ Ð" > Ð"Ñ >Ñ

œ Ð Ñ > Ð"Ñ > >Ñ#

œ ÐÐ Ñ> Ð"Ñ#

exp

exp

exp

" È" È

!Ÿ=>

Ð=Ñ

!Ÿ=>

#Ð=Ñ

#

%

%

%Ð=Ñ5 $È > >ÑØ .

2. Pr Pr

Pr .

Ö Ÿ B× ¸ ÐÐ Ñ> [ Ñ Ÿ B#

œ [ Ÿ ¸B Ð Ñ> B Ð Ñ>

>

0 . 55

. .

5a

5

> >

#

># #

˜ ™š › Š ‹È

exp

log log5 5# #

3. Pr . ˜ ™ ˆ ‰È0 a> > "

#Ÿ / ¸ " >È

4. Por permanência, a quase-igualdade de (c) é ainda válida para alguns . > ¸ _

Tem-se então e . De facto, a propriedade é global e/ ¸ ! " > ¸ " > "#

ÈaŠ ‹È

= Ö Ÿ / × ¸ [ Ÿ > Ð Ñ> ¸ !Þegue da fórmula Pr Pr + com 0 ( (> > > > > "

#È š ›È

Observe-se que a massa de é £ , e que + Ø é maior.[ > > Ð Ñ> œ Ð" Ñ> >" ># #

È È (

Então Pr + .š ›È[ Ÿ > Ð Ñ> ¸ "> >"# (

26.12 (pág. 254) Tem-se, com o desenvolvimento do logaritmo de ordem : 1. "

% $ $$ $

ÐBÑ œ Ð Ð" BÑÑ œ Ð † BÐ" ÑÑ œ B B B

B Bexp exp explog Ø Ø.

Visto que é de classe , também é. A sua derivada discreta satisfazexp B W ÐBÑ! %$%$ÐBÑB

!œ ÐBÑ W% , logo é também de classe .

366 SOLUÇÕES

Para , tem-se, como acima:&ÐBÑ

& $ $$ $

ÐBÑ œ Ð Ð" B BÑÑ œ Ð B BÐ" ÑÑ œ B " "

B Bexp exp explog Ø Ø,

e visto que é de classe , também é. Além disso, com o desenvolvimentoexp B W ÐBÑ! &do logaritmo de ordem :#

& $ &

$ $

$ $ $

$ $ $ $ $

$

ÐB BÑ ÐBÑ

B Bœ

Ð" B B B Ñ Ð" B B

œÐB B B B Ñ ÐB B B Ñ

B

œB

exp exp

exp exp

exp

ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ˆ

" "B B

#

" "B # B #

# # #ÐB BÑ ÐB BÑ

B B

$ $

$ $$ $

$

log log

Ø Ø# #

#

#‰ † Ð B BÑ Ð BÑÑ

Bœ ÐB Ñ † Ð" B

exp exp

exp exp

$ $ $

$

Ø Ø

Ø Ø Ø.Ñ œ

Novamente, é de classe .$&$ÐBÑB

!W

2. Imitando a demonstração do teorema 26.11, temos

0 0 $ $ 0 $ $ . $

0 $ $ 0 $

0 $ 0 $ $

.

~ ~ ~ ~

~ ~

~ ~

Ð>ß BÑ œ Ð> >ß B >Ñ Ð> >ß B >Ñ Ð>ß BÑ >" "

# #

œ Ð> # >ß B BÑ Ð> # >ß BÑ " " "

# # #

Ð> # >ß BÑ Ð> # >ß B BÑ " " "

# # #

È ÈŠ ‹

Š ‹~ ~ ~

.~ ~ ~

Ð>ß BÑ > Ð> >ß B >Ñ > Ð> >ß B >Ñ >" "

# #

œ Ð> # >ß B BÑ Ð> # >ß BÑ Ð> # >ß B BÑ # Ð>ß BÑ >" " "

% # %s

$ . $ $ $ . $ $ $

0 $ $ 0 $ 0 $ $ . $

È È

Logo

0 0 $ 0 $ $ 0 $

0 $ $ . $

~ ~ ~ ~

.~

Ð>ß BÑ Ð> # >ß BÑ œ Ð> # >ß B BÑ Ð> # >ß BÑ " "

% #

Ð> # >ß B BÑ # Ð>ß BÑ >"

%s

Dividindo por , obtém-se$ $Ð#>Ñ œ # > œ œÐ# >Ñ# #

BÈ$ $# #

$ 0 $ 0 $ $

$ $.

" ##

#

~ ~.


Ð#>Ñ # Bœ † Ð>ß BÑs

O movimento browniano geométrico é solução da equação de diferenças estocásticaWdo tipo . Já vimos que para , limitados ( , supostos$ . $ 5 $ . 5W œ W > W [ > B> > > >

limitados; há abuso de linguagem para ).

WÐ>ß BÑ ¸ > B"

#

~ .expˆ ‰. 5 5#

SOLUÇÕES 367

Então para , limitados> B

. . . . 5 5~ ~ .Ð>ß BÑ œ WÐ>ß BÑ ¸ † > B"

#expˆ ‰#

Visto que a exponencial é de classe , a função também é. Então~W Ð>ß BÑ! .

. . $ $ . $ $~ ~ ~Ð>ß BÑ ¸ Ð> >ß B >Ñ ¸ Ð> >ß B >ÑÈ Èe .~ ~ ~ ~. . . . .sÐ>ß BÑ œ Ð>ß BÑ Ð>ß BÑ Ð>ß BÑ ¸ Ð>ß BÑ

" " "

# % %

Afinal, mostramos que e são de classe . Observe-se que$0 $ 0$ $

~ ~Ð>ßBÑ Ð>ßBÑB B

!### W

0 $ 0 $ $ .$ 5 $~ ~ eÐ>ß B BÑ œ Ð> >ß B >ÑÐ" > >ÑÈ È0 0 $ $ .$ 5 $~ ~ EntãoÐ>ß BÑ œ Ð> >ß B >ÑÐ" > >ÑÞÈ È

,~

~$0

$5 0 $ $

Ð>ß BÑ

Bœ Ð> >ß B >ÑÈ

que é de classe Do mesmo modo,W Þ!

$ 0 $0 $ $

$ $5 5 0 $

##

##

~ ~ ,~Ð>ß BÑ Ð> >ß B >Ñ

B Bœ œ Ð> # >ß BÑ

Èque é também de classe W Þ!

26.17 (pág. 258) (1) Massa: £È !> © ,Ð>ß BÑ œ "Ø. Além disso, .lBlŸ>Î >È$

(2) Massa: £ È '> © .B œ "Ø. Além disso, ." B

# > #>È 1

_

_ exp #

(3) Massa: £ & © .B œ "Ø. Além disso, [v. 24.17.4(c)]."1'_

_

B&

&# #

26.19 (pág. 259) Se £ , então j £ . Logo7 $ 7 $œ > ,Ð ß CÑ œ ! C œ >á a partir de ØÈ ©

" "lClŸ>Î > lClŸ>Î >È È$ $

,Ð ß CÑ1ÐB CÑ B ¸ ,Ð ß CÑ1ÐBÑ B œ 1ÐBÑ7 $ 7 $ .

Nos outros casos, para ,C œ _| È7

,Ð ß CÑ1ÐB CÑ œ œ/ / /

77 7

£ £.

C Î C C Î@ £ @# #7 7

È È

368 SOLUÇÕES

Seja . Logo . Então, com a mudança de variável :D œ _ > D ¸ ! @ œ CÎ| È È7

" "" " È

lClŸD DŸlClŸ Î >

lClŸD DŸlClŸ Î >

C Î

,Ð ß CÑÐ1ÐB CÑ 1ÐBÑÑ B ¸ ,Ð ß CÑÐ1ÐB CÑ 1ÐBÑÑ B

œ ,Ð ß CÑ B B/

7 $ 7 $

7 $ $7

Ø £

7 $

7 $

7

È

È@ #

Ø £ Ø Ø Ø.œ † ,Ð ß CÑ B / @ œ œ" "lClŸD DÎ Ÿl@lŸ Î >

@7 $ $È È È7 7 $

@ #

Segue que . A afirmação sobre o integral obtém-se de modo?Ð>ß BÑ ¸ 1ÐBÑsemelhante e, de facto, até um pouco mais simples.

IX29.4 (pág. 267) 1. (a) (b) sim; (c) sim; (d) sim; (e) (f) (g) (h) sim.não; não; não; não;

2. (a) Se , logo ÐB Ñ C œ " B ÐC Ñ B Ñ C& ( &# # # # # #¸ Ð ¸ ", e recipro-camente. Não. (b) (c) Por exemplo, . ! &œ #

3. (a) Ambas são claramente transitivas e não-reflexivas.

(b) , , Consideramos as prefer , : <, , não;ências inversas Ö+ ,µy

Ö Ÿ ¥ ¸

y̧

sim. As prefer não são monótonas.ências × ×+ , e

(c) : Porque é reflexiva, simétrica e transitiva, ou alternativamente, porque Ö×+ ¸Ø é um grupo aditivo. Os conjuntos externos são hipérboles engordadas. Se ,BC B¸ -C BC œ - Í ÐB ÑÐC Ñ œ - são apreciáveis, temos Ø Ø Ø Ø. Então as partesapreciáveis das classes de equival são invariantes por translações sobre vectoresência infinitesimais.

Ö×,: Porque £ £ & &é um grupo aditivo. Os conjuntos externos sãoBC œ - também hipérboles «engrossadas». As partes apreciáveis das classes de equivalênciasão invariantes para translações sobre vectores de ordem de grandeza .&£

(d) Supomos, por simplicidade que , , e são limitados, com .B C ? @ ? Ÿ @ÐB ß C Ñ ÐBß CÑ Ð?ß @Ñ FÈ È% %& & e é preferido por são indiferentes para , mas E

sobre . O agente «mais avisado», ou «mais confiante» poderiaÐ? ß @ Ñ FÈ È% %& &

propôr a troca

ÐÐB ß C Ñß Ð? ß @ ÑÑ ÐÐBß CÑß Ð?ß @ÑÑÈ È È È% % % %& & & & Ó+ .

4. (a) . M M œ (ß M M œ ("ß+ "ß, #ß+ #ß,

(b) £ ; as hipérboles de \ œ ÖÐBß CÑ À BC "# • ÐB (ÑÐC (Ñ & × 2Î̧

+&

equações e intersectam-se nos pontos e .BC œ "# ÐB (ÑÐC (Ñ œ & Ð#ß 'Ñ Ð'ß #Ñ

SOLUÇÕES 369

(c) Não: para cada lotação atingível existe uma lotação atingível] œ Ð ß Ñ! "] œ Ð ß Ñ ] T]w w w w! " tal que ; por exemplo, a lotação obtida através da troca doexercício 30.4 (d).

(d) Seja a recta pelos pontos e . O conjunto dos pontos nos quais as< Ð#ß 'Ñ Ð'ß #Ñhipérboles e têm a mesma tangente é a recta de equaçãoBC œ - ÐB (ÑÐC (Ñ œ . 6C œ B 6 ¼ < T œ Ð%ß %Ñ. É claro que . O halo do ponto da intersecção dessas rectas, ,corresponde às lotações que são Pareto-preferidas a todas as lotações que corres-pondem a pontos sobre de distância apreciável de , a todas as lotações de< T a fortiori\Ï ÐTÑ œ ÐTÑÞhal . Então halC

(e) Ponhamos , que é normal às tangentes das hipérboles e: œ Ð ß Ñ BC œ "'" "# #

ÐB (ÑÐC (Ñ œ * † ÐBß CÑ † Ð%ß %Ñ. O produto interno é maior do que para todo: :ÐBß CÑ BC "' BC tal que , e em particular para as atribuções preferidas com "'

Î̧.

Do mesmo modo, : :† ÐBß CÑ † Ð$ß $Ñ ÐBß CÑ BC * é maior do que para todo tal que ,e em particular para as atribuções preferidas com BC * £ .&

5. Na caixa de Edgeworth os domínios de indiferença para são dados pela =

equação ( ), juntamente com a fronteira .C œ -B"Î$ - ! ÐÒ!ß "Ó ‚ Ö!×Ñ ÐÖ!× ‚ Ò!ß "ÓÑ

Os domínios de indiferença para são dados por>

Ò!ß + ‚ + + ‚ Ò!ß + Ó£ £ £ £ .& & & &

Toda a atribução de é preferida por sobre , sendo não-c= œ Ó!ß "Ò ‚ Ó!ß "Ò = Ð!ß "Ñnula em ambas as coordenadas, e toda a atribução de £ £ por sobrec & &> œ Ó ß "Ò ‚ Ó ß "Ò >Ð"ß !Ñ, sendo a coordenada mínima maior do que £ . Lotações «fracamente» Pareto-&optimais: £ £ . Então .Ð ß Ñ œ ÖÐ ß Ñ À − ß − ×" "

# # = >& & c ! " ! c " c

Como no caso do exercício precedente não há lotações Pareto-maximais, porque =pode sempre aumentar a sua satisfação com um montante de ordem , sem prejudicar&> Ð ß Ñ. O conjunto do exercício 30.4.(d) é dado por £ £ .C & &" "

# #

30.21 (pág. 279) 1. (a) , K œ ÖÐ ß Ñ À ! Ÿ 8 Ÿ × K œ ÖÐBß " BÑ À8 8 9= =

= =

! Ÿ B Ÿ "× K K. Uma combinação convexa de elementos de pertence a , logo é9

infinitamente próxima de um elemente de [utilizaremos o mesmo argumento em (b)Ke no exercício 31.21.2].

(b) , . K œ ÖÐ ß Ñ À ! Ÿ 8 5 Ÿ × K œ ÖÐBß CÑ À ! Ÿ B C Ÿ "×8 5 9= = =

(c) Por exemplo, . F œ Ð Ñ Ï Ò!ß "Ó L œ ÖÐBß CÑ À B C " • B ! •‘# # 9

C !×.

2. é convexo.W © W œ Ò!ß Ó ‚ Ò "ß "Ó° , que 1

3. Por exemplo, .W œ Ö!ß â ß "×=#

4. (a) , , , , X œ Ö!ß ß ÞÞÞÞß "× 8 œ " MÐ>Ñ œ M ¸ .= œ # Ö> À MÐ>Ñ ¸ _× œ" " "> !

"

== È È'X Ø.

370 SOLUÇÕES

(b) Seja a totalidade dos bens. Enumere sucessivamente todos os agentes P © ‘8

(de cada vez em número standard finito) em , standard.Ò ß Ò 8P P8 8"

5. Para todo o par de subconjuntos standard finitos e existe tal 0 © E 1 © F <que para todo e . Por idealização existe tal que < † + < † , + − 0 , − 1 < < † + < † ,para todo e standard, etc.+ − E , − F

6. Sejam , e . A é monótono. Ora, & & ‘ &¸ ! ! E © œ ÖÐBß CÑ À C B×#

Ð"ß !Ñ − E Ð"ß Ñ −Î E E, mas . Logo não é quase-monótono.È&

31.16. (pág 290) 1. Tome uma coligação com um número igual de agentes deG !tipo e de tipo , com apreciável. Atribua aos agentes de tipo da coligação+ , Î ] +! = +

G ] , G, e aos agentes de tipo de . Todos os outros agentes ficam com a atribução,

inicial. Sendo , a lotação é atingível. Ora] ] œ Ð(ß (Ñ œ Ð#ß 'Ñ Ð&ß "Ñ ß+ ,

ÐF ßF Ñ œ % ß % ß $ ß $ + ,- - - -# # # #Š ‹ˆ ‰ ˆ ‰# # # # bloqueia Ð] ] Ñ G+ ,, para , porque

F F M M œ Ð(ß (Ñ Ð+ , + ,y̧

, % ÑÐ% Ñ $ ÑÐ$ Ñ- - - -# # # #

# # # #

Ð% -ÑÐ% -Ñ Ð Î̧

e

Ð$ -ÑÞÐ$ -Ñ £ .&

2. ( [325; pp. 391-392]) (a) Tem-se , e Cf. # $ † # $ œ "#È È"# "#"$ "$Ð" $ÑÐ$ $Ñ œ Ð( % $ÑÈ È È "# K J & † " œ &

Î̧+ + +, logo . Além disso, e×

Ð( # $ÑÐ( # $Ñ J MÈ È œ '" #) $ & È £ , logo .& , , ,×

(b) A condição é , que é satisfeita, por exemplo, l l l l l l l l+ , + ,

! " ! "= = = =K J M M

y̧

se , porque l l l l#Þ # #

" "" != =œ " $ † Ð( # $Ñ " $ † Ð( # $Ñ œÈ È È È"#

"$ y̧

* " " " "$# # # # #œ # † & $ $ † Ð( # $Ñ $ $ Ð( # $Ñ œ œ e È È È È"#

"$ y̧

' † ""# .(c) Tomemos um número infinitesimal de ordem de grandeza maior do que £ ,&

por exemplo, . Sejam e .È È È È Èˆ ‰ ˆ ‰& & & & &L œ K Î#ß Î# L œ K ß+ + , ,

Sendo , ainda , enquanto . Além disso,L ¸ K L J L J+ + + + + , , ,× ×

2 2 2

.l l l l l l l l l l l l

L L K J M M! ! ! ! ! !

= = = = = =+ , + , + ,œ

y̧

Então a lotação bloqueia por meio da coligação com agentesÐL ßL Ñ ÐJ ß J Ñ+ , + ,$%=

! " ,. Se estender a atribução de modo que a outra metade dos agentes do tipo conservam a sua atribução inicial, obtém-se uma lotação que não pertence ao núcleo.

3. (a) F Ð+Ñ œ ÖÐBß CÑ À B C Ÿ # ' œ )× F Ð+Ñ œ ÖÐBß CÑ À B C )×: , ,~ : ¸

F Ð,Ñ œ ÖÐBß CÑ À B C Ÿ " & œ '× F Ð,Ñ œ ÖÐBß CÑ À B C '×: e .~ : ¸

(b) Seja tal que . Então , logo e~ÐBß CÑ − F Ð+Ñ ÐBß CÑ Ð%ß %Ñ BC ¸ "' B ¸ %: ×

+

C ¸ % B C ¸ % œ \ \ ÐBß CÑ − F Ð+Ñ. Segue que . Seja tal que~" " " "# # # #+ß" +ß# :

SOLUÇÕES 371

ÐBß CÑ Ð$ß $Ñ BC ¸ * B ¸ $ C ¸ $ B C ¸ $×,

" "# #. Então , logo e . Segue que

œ \ \" "# #,ß" ,ß#.(c) Quase-equilíbrio: consequência de (b).(d) A curva é tangente à fronteira de , logo só os pontos noBC œ "' F Ð+Ñ Ð ß Ñ: 0 (

halo de são quase-maximais dentro de para preços da forma ~Ð%ß %Ñ F Ð+Ñ œ: :

Ð: ß : Ñ ¸ ß : B : C ) œ %" # " #" "# #

ˆ ‰, porque os outros pontos com satisfazem †¸

"#

BC "'Þ Ð( ß ( Ñ F Ð,Ñy̧

Além disso, os pontos são quase-maximais dentro de .~0 ( :

Se , a tangente à fronteira de das curvas encontra-se num: ¸ ß F Ð+Ñ BC œ -Î ˆ ‰" "# # :

ponto fora do halo de . Mas o conjunto dos pontos onde a tangente àsÐ?ß @Ñ Ð%ß %Ñcurvas é igual à tangente às curvas está contido na rectaBC œ - Ð( BÑÐ( CÑ œ .C œ B Ð( ?ß ( @Ñ F Ð,Ñ. Logo não pode ser quase-maximal dentro de . Conclui-se~

:

que os únicos quase-equilíbrios são da forma , com para qase todos osÐJ ß Ñ J ¸ \> > +;agentes do tipo , para quase todos os agentes do tipo e .+ J ¸ \ , ¸> , ; :

373

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389

ÍNDICE REMISSIVO

Absoluta propriedade 158abstracção princípio de 312acréscimos finitos teorema dos 62, 343agente, negociante 263, 265-266, 277, 280, 282, 285 oligopolista 277, 279 rico 277, 283Albeverio, S. 246Anderson, R.M. 246, 248, 276aproximação dominada, lema de 231, 234 multiplicativa. CauchyVeraritmética não-standard 141 de 1.ª ordem 316 de 2.ª ordem restringida 147 de Peano 129, 316, 319 de Peano-Nelson 131 de Skolem 316 recursiva primitiva 316, 319Arquimedes 304 O Método propriedade de 331Artigue, M. 176árvore 37assimptoticamente finita 173 não-negativo 262, 263assimptótico(as) funções 161 desenvolvimento 200, 201, 203, 204 halo 217 vizinhança 217-219axiomas cardinais inacessíveis 299 compreensão aberta 147 escolha (AC) 38, 40 numerável (NC) 299

extensionalidade 14 fortes do infinito 299 idealização (I) 22 indução 147 partes 15 separação 14 standardização 31 transferência (T) 27 união 16 universos 299 Zermelo (Z) 298 Zermelo-Fraenkel viii, 13, 298,

303, 322 ZFC 13, 15, ZFNC viii

Benoit, E. 155, 176, 216 V. microscopiaBlais, F. 176, 189, 190Bois-Reymond, P. du 310Bourbaki, N. 13, 303, 325Bruijn, N. G. de 176Brown, D. 261, 266, 269 teorema de 271, 280-281, 283, 285browniano movimento, 246 geométrico discreto, 247- -252, 254Burali-Forti paradoxo de 312

Callot, J.-L. 176, 180, 213, 216, 221Carnot, L. compensação dos erros 389 Ver princípio decasamento problema do 36Cauchy equação funcional 169 lema das aproximações

multiplicativas de 227, 230

390 ÍNDICE REMISSIVO

cauda 228-231, 289Chebyshev, P.L. lema de 232 lema externo de 232classe dos conjuntos standard ( ), 21ST dos conjuntos não-standard

( ), 21NST dos números naturais standard

( ) 295

dos números reais standard ( )5‘

30 própria 15, 20Church-Turing tese de 321compreensão, princípio de 312coligação 263, 281, 284, 285 negligenciável 263, 276-277, 288compacidade proposicional 38continuidade de uma função 54 princípio geral de 306 uniforme 56contínuo hipótese do (HC) 18 processo estocástico 246 prolongamento 79cone binomial 242, 249, 251-253conjunto cotado 298 interno 21 -limitado 75W standardizado (da classe...) 32contracção 80correspondência 269 infinitesimalmente distribuída

269, 271, 280 média 269 de grupos 269, 283-284 limitada 284crepitação 221curva lenta 156, 162, 186, 188, 191,

199

parte regular 186, 188, 191, 199 singular 189, 191 ponto atractivo, estável 186 regular 186 repulsilvo, instável 186 singular 186Cutland, N. 246

Debreu, G. 261Dedekind-Peano axiomas de 311DeMoivre-Laplace teorema de 240-242, 250, 256, 259desvio-padrão 231, 240Diener, F. 176, 226Diener, M. 186-187, 322diferenciabilidade de uma função 55Dirac distribuição de 236 função de 257-259, 289discretização de intervalo 49distribuição normal standard, 243

Edgeworth caixa de 268, 369 conjectura de 262, 266, 283, 287Egoroff teorema de 170envolvente convexa 269equação de diferenças estocástica 247, 251, 253 de Liouville Liouville. Ver de Riccati-Hermite 180, 182, 183, 188, 192 do calor discreta 251, 252, 259 funcional assimptótica 175, 184, 191, 192, 198, 221, 223 lenta-rápida 162-163, 186, 188, 191, 199 logística 181

ÍNDICE REMISSIVO 391

quase-diferencial 182escala mudança de escala. Verespaço completo 77 de probabilidade finito 231 métrico 74 próprio 75esperança 231-234, 243, 251, 256estroboscopia 221estrutura canónica 148 principal (forte, ou plena) 148 recursivamente saturada 150extensão conservativa 21, 129, 137-138,

142, 303 de ordem parcial 37 final propriedade de 133 funcional 33extensionalidade externa 28externamente enumerável 279Euler fórmula de 201exponencial integral 204

Ferro de engomar método 213Farnel lema não-standard 270-271fase retrato 162, 176, 180, 186, 289Fermat, P. conjectura de 320fórmula externa 21, 26 galáctica 124 hálica 124 interna 21fronteira livre 260Fruchard, A. 176, 358função assimptoticamente contínua

156, 166-168, 171, 220 assimptoticamente limitada

156, 172-173

autonegligente 216, 220-221 de classe 216> externa 73 de ordem -exponencial 256,W

257 de suporte limitado 236 exponencialmente atractiva 198, 203-204 repulsiva 198-201, 204 finalmente não nula 209 recursiva 321 W-estacionária 248 W-contínua ix, 83, 166, 179Fréchet filtro de 100, 143

Galáxia 73Gauss densidade de 228Gautheron 176. Vergerme (de função) 80Gibbs fenómeno de 235Gödel, K. metateoremas de 299, 317-318Goze decomposição de 48, 52grafo planar 34grupo ordenável 36

Halo 73 topológico 91Hankel, princípio de 303Hardy, G. H. 167Henkin-Orey teorema de 140Henson-Kaufmann-Keisler teorema de 149Hermite equação 180 polinómio 180-181Hilbert, D. 328 cubo de 78 décimo problema de 320


Incrementos 247-248 independentes 247indiferente 263indução completa (IC) 41 externa 32integral à Riemann 57 de caminhos finito 260intersecção finita propriedade de 79Isambert, E. 176isomorfismo teorema de 47

Keisler, H.J. vii, 140, 226, 246König, lema de 38

Laplace transformação de 201, 204Laugwitz, D. 258Leibniz princípio de 303lei de probabilidade binomial 233, 238-239 Gamma 233 normal 233 Poisson 233, 238, 245 standard normal 233-234, 240limite central teorema de, 239-240, 244 de uma função 54 de uma sucessão 53 pontual 54Liouville equação de, 162-164Loeb, P.A. 269 medida de 157, 157, 170 teorema de 271

os, J. 392´Löwenheim-Skolem teorema de 329lotação 263

atingível 263, 265, 266, 280-281,285

bloqueada 265 ibuída infinitesimalmentedistr 263, 267, 272, 280 final 263 inicial 263 limitada 263 média 263 apreciável 263 limitada 263 Pareto preferida 265, 267, 281, 282 optimal 265, 266, 280, 281, 282 quase-atingível 263, 278

Macroscopia, macroscópio 155, 156,158, 160, 164, 239

associada 156, 159 observável por 167, 168, 170, 171, 185, 186, 189massa 228-234, 237, 240, 241, 257,

289 lema de concentração 232, 237Matijacevic teorema de 320média de garfo 254Michel, F. 176microscopia, microscópio 155, 165,

166, 186, 189, 239, 289 de Benoit 155, 187, 203modelo não-standard 331mónada 109monótono conjunto 273, 275 localmente 273, 275 preferência relação de . Ver preferência quase 273, 284 localmente 273-275, 284movimento para cima 251 para baixo 252mudança de escala ix, 155, 159, 355


N-separação 275 teorema 275, 280N-interior, 269Nelson, E. 246, 248, 249, 279 teorema de 24 teoria de vii, ix, 20, 335Newton polígonos de 176, 192núcleo 265-266, 283, 284-287número natural ilimitado (ou infinitamente grande, ou standard) 23 real apreciável 42 finito (ou limitado) 42 ilimitado (ou infinitamente grande) 42 infinitesimal ou infinitamente pequeno 42 parte inteira (ou característica de) 51 próximo-standard ou quase- standard 46números reais assimptóticos 43 infinitamente próximos ou

equivalentes 43 Orçamento 265 conjunto 265 maximal 265 quase 265, 288 quase-maximal 266, 283, 287, ordens de grandeza 157, 289oscilação lenta 167, 174

Parte standard (ou sombra) de um número real 45 de um elemento 74 teorema da 45Partição infinitesimal 50, 225Pascal triângulo 255Peano,

axiomas de 327pergunta excessiva 280-281, 284, 286 fraca 287 média 280, 283-284, 286- -287permanência multidimensional 114 numa ordem parcial 72 princípios de 71 sequancial 114pertubações regulares 205 singulares 182, 289Pessoa, F. 11, 67, 153ponto fixo teoriema do 80preço 265 de quase-equilíbrio 266, 287, 394pré-galáxia 108pré-halo 108princípio de Carnot 205 de Cauchy 29, 72, 99 de extensão funcional fraco 33 forte 70 de Fehrele 158, 168, 205-206, 213, 215, 217, 230-231, 245, 274-276, 285 de indução externa 32 de relativização aos conjuntos standard 70 do módulo máximo 81 do supremo 46processo estocástico 246, 247 adaptado 247 bivalente 251, 253 indexado 246, 249, 256 martingala 253, 255-256 recombinado 252-253, 255 trajectória 246-249, 251-253,

256, 260 comprimento 249 mediana 248-249


Quatro cores 34quase-convexo, N-convexo 269, 271-

-272, 280-281, 285quase-equilíbrio 266, 287quase minimal 237quase- monótono monótono. Verquase-orçamento orçamento. Verquase todos 263, 266, 277, 280-282,

285-288

Rashid, S. 261, 266-267, 269, 272Reeb, G., vii, 135, 175, 187, 221,

226, 289, 325relação concorrente 22 de preferência 263 idealizável 22 monótona 263 localmente 263, 264, 288 quase 263, 264, 284, 285, 287 transitiva 264Riccati-Hermite equação. VerRichard-Pabion teorema de 144rio 156, 162, 163, 175-191, 195, 196,

198, 202, 213, 217-221, 289 caracterização 179, 220 de tipo Diener-Reeb 187-189 existência 178, 220 exponencialmente atractivo, estável 178, 179, 182, 184- -186, 188, 196-197, 199, 221 de classe C 217-218, 220- "

-221 exponencialmente repulsivo, instável 178-180, 182, 184, 186-187, 189, 196, 198, 214, 218, 220-221 de classe C 217-218, 220,"

222 generalizado 189-190 lema principal 187, 207, 214, 214, 219 nascente 212

regular 178, 180, 182, 184, 187, 190, 196-197, 214, 217, 219-221 riacho 212 ribeiro 213 singular 176, 178, 182, 190, 196, 198-199Robinson, A. 226, 261, 266, 331 lema de tranferência externa (p. 67), 213 lema do transbordo de 54

W-integrável à Riemann 225Sard teorema de 62Sari, T. 267saturação franca. Ver extensão funcional princípio de 145selecção 269selector 128separação teorema 274, 275Schäfke, R. 176Shapley-Folkman teorema de 269Schmidt, R. 167, 174Schmieden, C. 258Skolem, Th. 328soma de Darboux 57sombra curta lema da 187, 205, 213 externa de uma classe 94 fechada teorema da 97 de um número real. parte Ver standardSorites paradoxo 264Stirling fórmula 237, 239Stolz, O. 310superfície discreta 251, 252, 255


Tarski-Vaught critério de 137Taylor, polinómios 176, 200-202telescópio 176-177, 179, 181, 184,

188, 208-210, 212, 217, 239, 289 associado 178, 180 lema algébrico 208-209, 219transbordo lema do 54, 71 princípio do 136 forte ou funcional 142transferência ilícita 27Troesch, A. 159Turing, A. 321 máquina de 321Tychonoff teorema de 93

Ultrafiltros teorema dos (UF) 40ultrapotência 330ultraproduto 330unicidade princípio de 27

Van der Pol equação 159, 223

Variação exponencial 217-218 lenta 216, 218, 220-221 de tipo Beurling 216 regular 156, 157, 169-171, 177, 219variância 231, 233variável aleatória 231 normalizada 233Veronese 310Von Neumann, J. 330 hierarquia cumulativa de 298

Wallet, G. 176Wiener passeio 246-253, 256, 260

Zermelo, E. teorema de 14Zermelo-Fraenkel teoria de 13, 15, 298Zorn lema de 38, 298

matemÁtica nÃo standard - cima.uevora.pt (2007... · standard, uma extensão da aritmética de...

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