matemática financeira 2012 juros e montante · quando estuda-se juros simples a calcula-se o...

Matemática

Financeira 2012

UNIP – Universidade Paulista

ICSC – Instituto de Ciências Sociais e Comunicação

Curso de Graduação em Administração Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline

Capitalização Composta

Juros e Montante

Compostos

2012



Curso de Graduação em Administração

Juros e Montantes Compostos

Quando estuda-se juros simples a calcula-se o montante produzido por R$600,00, aplicados a

6% a.m. depois de 3 meses, tem-se um montante final de R$708,00.

No entanto é muito mais comum as aplicações serem feitas a juros compostos, ou seja, após

cada período de tempo, os juros são integrados ao capital, passando também a render juros,

como, por exemplo, nas cadernetas de poupança.

Vamos refazer esse problema de juros simples, agora utilizando-se juros compostos:

2 Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline

2012





Exemplo:

Calcular o montante produzido por R$600,00, aplicados a 6% a.m. depois de 3 meses, tem-se

um valor de? R.: R$714,61.

Após o 1º. período (mês), o montante será:

1,06 x 600 = 636


1,06 x 636 = 674,16


1,06 x 674,16 = 714,61


2012





Esse é montante final, representado por M.

Observe que esse montante é maior do que o achado anteriormente quando utiliza-se juros

simples.

Assim como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma fórmula para cálculo de juros

compostos:

Sejam:

C = Capital Inicial

i = taxa

n = número de períodos

M = Montante


2012





Então:


M1 = C + i . C

M1 = C . ( 1 + i )


M2 = M1 + i . M1

M2 = M1 . ( 1 + i )

M2 = C . ( 1 + i )2


2012






M3 = M2 + i . M2

M3 = M2 . ( 1 + i )

M3 = ( C . ( 1 + i )2 ) . ( 1+ i )

M3 = C . ( 1 + i ) 3


2012





Procedendo-se de modo análogo, fica fácil concluir que, após “n” períodos de tempo, o valor

do montante Mn, que será indicado simplesmente por M, será:

M = C . ( 1 + i )n


2012





Assim, resolvendo novamente o problema apresentado, tem-se:

M = C . ( 1 + i )n

M = 600 x ( 1 + 0,06)3

M = 600 x ( 1,06)3

M = 600 x 1,191016

M = 714,61


2012





Na fórmula para o cálculo do M aparecem quatro variáveis. Pode-se encontrar qualquer uma

delas, desde que se conheçam as outras três:

Para poupar o trabalho algébrico de todos nós, que é necessário para isolar cada um dos três

elementos da fórmula básica dada anteriormente, apresenta-se, a seguir, os outros elementos,

já isolados:

M

C = ----------------

( 1 + i )n

M

i = n√ ------- - 1

C

log M – log C

n = ---------------------

log ( 1 + i )


2012





Dá-se o nome de capitalização o processo de incorporação de juros ao capital (ou montante)

de uma operação financeira.

Contudo, é comum encontrarmos as expressões regime de capitalização simples e regime de

capitalização composta, no lugar de juros simples e juros compostos, respectivamente.

Frequentemente encontrar-se-á, nos enunciados dos problemas ou questões, outras

expressões usadas para indicar o regime de juros compostos, por exemplo:

Taxa composta de X% a.m. – indicando juros compostos com a capitalização mensal;

Taxa de x% a.a., capitalizado semestralmente – indicando juros compostos e

capitalização semestral.


2012





Exemplo:

Um capital de R$200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 20% a.m.

Calcule o montante desta aplicação após três meses.

Dados:

C = 200

i = 20% a.m.

n = 3 meses


2012





Exemplo:

Um capital de R$200,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 20% a.m.

Calcule o montante desta aplicação após três meses.

Dados:

C = 200

i = 20% a.m.

n = 3 meses

M = C ( 1 + i )n

M = 200 x ( 1 + 0,20 )3

M = 200 x ( 1,2)3

M = 200 x 1,728

M = 345,60

Ou seja, o Montante da aplicação após os três meses resultará em R$ 345,60


2012





Exemplo:

Os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, pois, após cada mês,

os juros são incorporados ao capital. Nessas condições, qual o montante produzido por

R$720.000,00, em 4 meses, a 10% a.m.?

Dados:

C = 720.000

i = 10% a.m.

n = 4 meses


2012





Exemplo:

Os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, pois, após cada mês,

os juros são incorporados ao capital. Nessas condições, qual o montante produzido por

R$720.000,00, em 4 meses, a 10% a.m.?

Dados:

C = 720.000

i = 10% a.m.

n = 4 meses

M = C ( 1 + i )n

M = 720.000 x ( 1 + 0,10 )4

M = 720.000 x ( 1,10 )4

M = 720.000 x 1,4641

M = 1.054.152

O Montante final da aplicação após os quatro meses resultará em R$1.054.152,00


2012





Exemplo:

Qual o capital aplicado em caderneta de poupança, que produz um montante de R$ 41.674,50

em 3 meses, a juros de 5% a.m.?

Dados:

C =

i = 5% a.m.

n = 3 meses

M = 41.674,50


2012





Exemplo:

Qual o capital aplicado em caderneta de poupança, que produz um montante de R$ 41.674,50

em 3 meses, a juros de 5% a.m.?

Dados:

C =

i = 5% a.m.

n = 3 meses

M = 41.674,50 M

C = -------------

( 1 + i )n

C = 41.674,50 / ( 1 + 0,05 )3

C = 41.674,50 / ( 1,05)3

C = 41.674,50 / 1,15763

C = 35.999,84

O Capital aplicado é de R$ 35.999,84.


2012





Exemplo:

Determinar em quantos meses um capital de R$240.000,00 produz R$37.830,00 de

rendimento, quando aplicado a juros compostos de 5% a.m.

Dados:

C = 240.000

i = 5% a.m.

n =

J = 37.830


2012





Exemplo:

Determinar em quantos meses um capital de R$240.000,00 produz R$37.830,00 de

rendimento, quando aplicado a juros compostos de 5% a.m.

Dados:

C = 240.000

i = 5% a.m.

n =

J = 37.830

Formula:

log M – log C

n = ---------------------

log ( 1 + i )

Precisamos acha o elemento que está faltando o Montante


2012





Exemplo:

Dados:

C = 240.000

i = 5% a.m.

n =

J = 37.830

M = C + J

M = 240.000 + 37.380

M = 277.380

log M – log C

n = ---------------------

log ( 1 + i )


2012





Exemplo:

Dados:

C = 240.000

i = 5% a.m.

n =

J = 37.830

M = 277.380

log M – log C

n = ---------------------

log ( 1 + i )

n = 12,53314369 - 12,38839420 / log 1,05

n = 12,53314369 - 12,38839420 / 0,04879016

n = 0,14474949 / 0,04879016

n = 3 meses

O capital ficou aplicado durante 3 meses


2012





Exemplo:

A que taxa percentual ao mês foi aplicado, em caderneta de poupança, um capital de

R$300.000,00 para, na quarta parte do ano, produzir um montante de R$347.287,50?

Dados:

C = 300.000

i =

n = 3 meses

J = 47.287,50

M = 347.287,50

M

i = n√ --------- - 1

C


2012





Exemplo:

A que taxa percentual ao mês foi aplicado, em caderneta de poupança, um capital de

R$300.000,00 para, na quarta parte do ano, produzir um montante de R$347.287,50?

Dados:

C = 300.000

i =

n = 3 meses

J = 47.287,50

M = 347.287,50

M

i = n√ --------- - 1

C

i = 3√ 347.287,50 / 300.000,00 - 1

i = 3√ 1,157625 - 1

i = 1,05 – 1

i = 5

A taxa foi de 5% a.m.


2012




Desconto Composto

Desconto é a diferença entre o valor nominal (valor de face ou valor futuro) de um título de

crédito e o seu valor atual (valor presente).

Sendo:

N = valor nominal (valor de face ou valor futuro)

A = valor atual (valor presente)

D = desconto composto

i = taxa

n = período ou prazo

D = N – A

N

A = ----------------

( 1 + i )n


2012




Desconto Composto

Exemplo:

Quero liquidar, três meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo

valor nominal é de R$ 100,00. Sabendo-se que o Banco credor utiliza uma taxa de desconto

composto de 3% a.m., ache o valor atual desse título e o valor do desconto.

Dados:

N = 100

A =

D =

i = 3% a.m.

n = 3 meses

D = N – A

N

A = ----------------

( 1 + i )n


2012




Desconto Composto Exemplo:

Quero liquidar, três meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título cujo

valor nominal é de R$ 100,00. Sabendo-se que o Banco credor utiliza uma taxa de desconto

composto de 3% a.m., ache o valor atual desse título e o valor do desconto.

Dados:

N = 100

A =

D =

i = 3% a.m.

n = 3 meses

N

A = ----------------

( 1 + i )n

A = 100 / ( 1 + 0,03 ) 3

A = 100 / 1.092727

A = 91,51

D = N – A 100 – 91,51 = 8,49 O valor do título será de R$ 91,51m e o desconto

concedido será de R$ 8,49


2012




Exercícios 1) Foram aplicados R$ 50.000,00 a juros compostos a 10% a.m. Determinar depois de quanto

tempo essa quantia rendeu R$23.205,00. (Resposta: 4 meses)

2) Determine quanto tempo ficou aplicado um capital de R$ 200.000,00 a juros compostos,

nos seguintes casos:

1) O montante foi de R$ 292.820,00, a 10% a.m.; (Resposta: 4 meses)

2) O montante foi de R$ 203.015,02, a 0,5% a.d.; (Resposta: 3 dias)

3) Determine o capital que, aplicado a juros compostos, produz:

1) Um montante de R$ 13.996,80, em 2 meses, a 8% a.m. (Resposta: 12.000)


4) A quantia de R$ 60.000,00 foi aplicada a juros compostos. Determine o montante obtido,

conforme solicitado abaixo:

1) Depois de 2 meses, a 8% a.m. (Resposta: R$ 69.984,00)

2) Depois de 3 dias, a 0,2% a.d. (Resposta: 60.360,72)

3) Depois de 4 meses, a 7% a.m. (Resposta: 78.647,76)

4) Depois de um quarto de ano, a 10% a.m. (Resposta: R$ 79.860,00)


2012




Exercícios 5) Um título de valor nominal igual a R$ 200.000,00, foi liquidado 6 meses antes de seu

vencimento utilizando-se de taxa de desconto composto mensal de 7% a.m., qual foi o

valor pago no dia da liquidação desse título? (Resposta: R$ 133.268,44)

6) Uma nota promissória, de valor de face igual a R$ 71.500,00, foi paga antes do vencimento

á taxa de juros compostos de 3% a.m.. O prazo na qual foi liquidada antecipadamente

essa nota promissória foi de 4 meses. Qual o valor pelo qual a nota promissória foi

liquidada? (Resposta: R$ 63.526,82)

7) Usando-se a taxa de desconto composto de 5%a.m., achar o valor atual do fluxo de caixa

(para 1º. De janeiro) de uma empresa que tem a seguinte previsão pra o ano: (Resposta:

R$ 239.383,81)

Recebimentos: 1º. Fev - 400.000,00

1º. Nov - 600.000,00

Pagamentos 1º. Mai - 300.000,00

1º. Dez - 450.000,00


2012




Exercícios 1) Foram aplicados R$ 50.000,00 a juros compostos a 10% a.m. Determinar depois de quanto

tempo essa quantia rendeu R$23.205,00. (Resposta: 4 meses)


2012




Exercícios 2) Determine quanto tempo ficou aplicado um capital de R$ 200.000,00 a juros compostos,

nos seguintes casos:

1) O montante foi de R$ 292.820,00, a 10% a.m.; (Resposta: 4 meses)

2) O montante foi de R$ 203.015,02, a 0,5% a.d.; (Resposta: 3 dias)


2012




Exercícios 3) Determine o capital que, aplicado a juros compostos, produz:




2012




Exercícios 4) A quantia de R$ 60.000,00 foi aplicada a juros compostos. Determine o montante obtido,

conforme solicitado abaixo:

1) Depois de 2 meses, a 8% a.m. (Resposta: R$ 69.984,00)

2) Depois de 3 dias, a 0,2% a.d. (Resposta: 60.360,72)

3) Depois de 4 meses, a 7% a.m. (Resposta: 78.647,76)

4) Depois de um quarto de ano, a 10% a.m. (Resposta: R$ 79.860,00)


2012




Exercícios 5) Um título de valor nominal igual a R$ 200.000,00, foi liquidado 6 meses antes de seu

vencimento utilizando-se de taxa de desconto composto mensal de 7% a.m., qual foi o

valor pago no dia da liquidação desse título? (Resposta: R$ 133.268,44)


2012




Exercícios 6) Uma nota promissória, de valor de face igual a R$ 71.500,00, foi paga antes do vencimento

á taxa de juros compostos de 3% a.m.. O prazo na qual foi liquidada antecipadamente

essa nota promissória foi de 4 meses. Qual o valor pelo qual a nota promissória foi

liquidada? (Resposta: R$ 63.526,82)


2012




Exercícios 6) Usando-se a taxa de desconto composto de 5%a.m., achar o valor atual do fluxo de caixa

(para 1º. De janeiro) de uma empresa que tem a seguinte previsão pra o ano: (Resposta:

R$ 239.383,81)

Recebimentos: 1º. Fev - 400.000,00

1º. Nov - 600.000,00

Pagamentos 1º. Mai - 300.000,00

1º. Dez - 450.000,00


matemática financeira 2012 juros e montante · quando estuda-se juros simples a calcula-se o...

Documents