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Matemática
Prof. Daniel – 05/05/2009 – 15h30
Soma dos Ângulos Internos (Si)
n = 3
Si = 180°
n = 4
Si = 2.180°
n = 5
Si = 3.180°
n = 6
Si = 4.180°Si = (n – 2).180°
Número de Diagonais (D)
( 3)
2
n nD
Diagonais de um polígono convexo
n = 4 lados
De cada vértice “parte” uma
diagonal
A
B
C
DD =
4 1
2
Vértices
Quantidade
de diagonais
por vértice
Cada diagonal é contada duas vezes
Diagonais de um polígono convexo
n = 5 lados
De cada vértice “partem”
duas diagonais
D =5 2
2
Vértices
Quantidade
de diagonais
por vértice
Cada diagonal é contada duas vezes
Diagonais de um polígono convexo
n lados
De cada vértice “partem”
(n – 3 ) diagonais
D =n (n – 3)
2
Vértices
Quantidade
de diagonais
por vértice
Cada diagonal é contada duas vezes
Cada vértice não pode ser unido a
ele mesmo nem aos dois vértices
vizinhos (consecutivos)
(ITA – 1977) O número de diagonais de um
polígono regular de 2n lados, que não passam pelo
centro da circunferência circunscrita a este polígono
é dado por:
)2n(n2 )1n(n2 )3n(n2
2
)5n(n
a) b) c)
d) e) n.d.a.
n
d
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 2 5 9 14 20 27 35 44 54 65 77
(ITA – 1998) Considere as afirmações sobre
polígonos convexos:
•Existe apenas um polígono cujo número de diagonais
coincide com o número de lados.
•Não existe polígono cujo número de diagonais seja o
quádruplo do número de lados.
•Se a razão entre o número de diagonais e o de lados
de um polígono é um número natural, então o número
de lados do polígono é ímpar.
a) Todas as afirmações são verdadeiras
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras
c) Apenas (I) é verdadeira
d) Apenas (III) é verdadeira
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras
(ITA – 2001) De dois polígonos convexos, um tem
a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então a soma
total dos números de vértices e de diagonais dos dois
polígonos é igual a:
a) 63 b) 65 c) 66
d) 70 e) 77
(ITA – 2003) Considere três polígonos regulares
tais que os números que expressam a quantidade de
lados de cada um constituam uma progressão aritmética.
Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585
e que a soma de todos os ângulos internos dos três
polígonos é igual a 3780°. O número total das diagonais
nestes três polígonos é igual a:
a) 63 b) 69 c) 90
d) 97 e) 106
(ITA – 2004) Considere um polígono convexo de
nove lados, em que as medidas de seus ângulos
internos constituem uma progressão aritmética de razão
igual a 5°. Então, seu maior ângulo mede, em graus,
a) 120
b) 130
c) 140
d) 150
e) 160
3
Em um hexágono equiângulo, as medidas de 4 lados
consecutivos são, nesta ordem, 5, 3, 6 e 7. Determine
o perímetro do hexágono.
7
6
5
3
7
6
5
Ângulo Central
x x
Ângulo Inscrito
2xxa
a
2a
2bb
b
2a
2b
Quadrilátero Inscritível
a
b
2a
2b
a + b = 180°
2a + 2b = 360°
o70CBA
CDBBCAx
(ITA – 1994) Numa circunferência inscreve-se um
quadrilátero convexo ABCD tal que . Se
, então:
a) x = 120° b) x =110° c) x = 100°
d) x = 90° e) x = 80°
A
B
C
D70º
Sejam 1 2 2, ,..., nV V V os vértices de um polígono regular de
2n lados inscrito num círculo unitário . Sendo P um
, diferente de algum vértice
1 2 2
2 2 2... 4
nnPV PV PV
ponto arbitrário de
prove que
V1 V2
V3
V4
V5V6
V7
V8
P
2
1 5
2 22PV PV
2
2 6
2 22PV PV
2
3 7
2 22PV PV
2
4 8
2 22PV PV
V1 V2
V3
V4
V5
VAVB
V2n
P
2
1
2 22
APV PV
2
2
2 22
BPV PV
2
3
2 22
CPV PV
2
2
2 22
N NPV PV
1 2 2
2 2 2... 4
nnPV PV PV
Dado o quadrilátero ABCD tal que ,
e , qual o valor do ângulo
25ºCÂD^
45ºAC D
^
20ºBÂC B C A^
?D BC
a) 40º
b) 45º
c) 50º
d) 55º
e) 60ºA
B
C
D
25º 45º20º 20º
x
110º
140º
220º
140º
No quadrilátero convexo ABCD são dados os ângulos
BÂC = 30º , CÂD = 20º , e . Sendo
P o ponto de intersecção das diagonais AC e BD, prove
que PC = PD.
^
50ºA B D^
30ºD B C
A
B
C
D
30º
20º
50º 30º
P
A
B
C
D
30º20º
50º 30º
P
E
60º
60º
30º
20º
Um polígono com 20 lados é chamado icoságono.
Unindo-se três dos vértices de um icoságono regular
obtemos triângulos. Quantos são triângulos retângulos?
(ITA – 2005) Seja n o número de lados de um
polígono convexo. Se a soma de n – 1 ângulos(internos)
do polígono é 2004°, determine o número n de lados
do polígono.
Seja ABC um triângulo acutângulo e H o seu ortocentro.
Sejam M, N e R os pontos médios de AB, BC e AH,
respectivamente. Determine a medida do ângulo
se o ângulo mede 70º.
^
M N R^
A B C
A
B C
H
M
N
R