matemÁtica e suas tecnologias ensino médio, 1º ano logarítmo: propriedades

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Ensino Médio, 1º Ano

Logarítmo: propriedades

Matemática, 1º Ano, Logaritmo: propriedades

Um resumo da história

Cálculos que aprendemos nos anos iniciais da escola não eram do

conhecimento de todos alguns séculos atrás. Por exemplo, na Europa

do século XVII as operações de multiplicar e dividir só eram ensinadas

nas universidades e com técnicas bem diferentes das que utilizamos

hoje.

No entanto, as grandes navegações, que buscavam novas terras e

mercados, exigiram cálculos mais precisos e rápidos.


O surgimento dos logaritmos

O aparecimento dos logaritmos ocorreu no começo do século XVII.

A ideia básica era substituir operações mais complicadas, como

multiplicação e divisão, por operações mais simples, como adição e

subtração.

Os principais inventores dos logaritmos foram o suíço Joost Biirgi

(1552-1632) e o escocês John Napier (1550-1617), cujos trabalhos

foram realizados isoladamente.


Propriedades gerais dos logaritmos

Os logaritmos considerados em uma base qualquer a, gozam de

propriedades gerais:

I) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo da própria base é

igual a 1.

loga a = 1

Exemplos:

log2 2 = 1

log35 35 = 1



II) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo de 1 é zero.

loga 1 = 0

Exemplos:

log5 1 = 0

log13 1 = 0

log0,6 1 = 0



III) Se a > 1, os números maiores que 1 têm logaritmos positivos, já os

números menores que 1 têm logaritmos negativos.

Exemplos:

log3 10 2,0959

log3 17 2,5789

log3 0,5 0,6309

log3 0,7 0,32466



V) Os números negativos não têm logaritmos reais.

Exemplos:

log5 ( 8) = Ǝ

log3 ( 11) = Ǝ

log0,8 ( 1) = Ǝ

log0,2 ( 4) = Ǝ



IV) Quando a < 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos,

enquanto os números menores que 1 possuem logaritmos positivos.

Exemplos:

log0,5 2 1

log0,5 6 2,58496

log0,5 0,3 1,73697

log0,5 0,01 6,64386



VI) Quando a base a é maior do que 1 (a > 1), os logaritmos variam no

mesmo sentido dos números. Se N1 > N2, teremos:

loga N1 > loga N2

Se a é menor do que 1 (a < 1), os logaritmos variam no sentido contrário.

Quando N1 < N2, teremos:

loga N1 > loga N2

Exemplos:

log7 5 > log7 4

log0,6 5 < log0,6 4


Propriedades operatórias

Os logaritmos possuem propriedades que permitem simplificar o cálculo

de expressões numéricas.

I) O logaritmo de um produto de n fatores é igual à soma dos logaritmos

dos fatores.

loga (y1y2y3...yn) = loga y1 + loga y2 + loga y3 + ... + loga yn

Exemplos:

log2 (2 5 3) = log∙ ∙ 2 2 + log2 5 + log2 3

log0,4 (11 9 7) = log∙ ∙ 0,4 11 + log0,4 9 + log0,4 7



II) O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o logaritmo do

dividendo e o logaritmo do divisor.

loga (y2/y1) = loga y2 – loga y1

Exemplos:

Log7 (13/5) = log7 13 – log7 5

Log0,1 (4/9) = log0,1 4 – log0,1 9



III) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente da

potência pelo logaritmo da base da potência.

loga yn = n log∙ a y

Exemplos:

log8 34 = 4 log∙ 8 3

log0,9 73 = 3 log∙ 0,9 7



IV) O logaritmo de uma raiz é igual ao quociente do logaritmo do

radicando pelo índice do radical.

Exemplos:


Característica e mantissa

Observando um sistema de logaritmos de base qualquer a, vemos que

só as potências inteiras da base têm logaritmos inteiros:

loga an = n

Exemplos:

log2 25 = 5

log7 70,3 = 0,3

log0,6 0,64 = 4


Característica e mantissa

Qualquer número que não seja potência inteira da base terá seu

logaritmo constando de uma parte inteira denominada característica do

logaritmo mais uma parte fracionária ou decimal (menor que a

unidade), chamada mantissa do logaritmo.

loga N = característica + mantissa


Logaritmos decimais

Quando a base do sistema é a = 10, temos y = 10x que define os

logaritmos decimais ou logaritmos vulgares. Estes têm propriedades

notáveis que os tornam de emprego obrigatório no cálculo numérico.


Logaritmos decimais

I) O logaritmo de qualquer potência de 10 é o seu próprio expoente.

Exemplos:

log 103 = 3

log 107 = 7

log 10-4 = 4


Logaritmos decimais

II) A característica do logaritmo de um número N > 1, é o inteiro que

representa o número de algarismos da parte inteira do número dado,

diminuído de uma unidade.

Exemplos:

log 20,8 1,318

2 algarismos – 1 = 1

log 1024,96 3,0107

4 algarismos – 1 = 3


Logaritmos decimais

III) A característica do logaritmo decimal de um número positivo menor

que 1 é negativa e coincide com o número de zeros que precedem seu

primeiro algarismo significativo.

Exemplos:

log 0,8 0,09691

log 0,03 1,52288

log 0,005 2,30103


Logaritmos decimais

IV) Quando dois números diferem pela multiplicação por uma potência

de expoente inteiro de 10, seus logaritmos têm mantissas iguais.

Exemplos:

log 3 0,477

log 30 = log 3 10 ∙ 1,477

log 300 = log 3 10∙ 2 2,477


Mudança de base

Existe uma propriedade dos logaritmos, denominada mudança de base,

que permite o cálculo do logaritmo em qualquer base a partir dos

logaritmos decimais.

A mudança de base é dada pela fórmula:


Atividades resolvidas

1) Calcule pela definição de logaritmo.

a) log2 128

b) log8 16

c) log25 0,008

a) Fazendo log2 128 = x

Por definição, teremos:

2x = 128

2x = 27

Logo: x = 7


b) Fazendo, também, log8 16 = x, teremos:

8x = 16

(23)x = 24

23x = 24

Assim:

3x = 4

Portanto:

x = 4 .

3


c) Mais uma vez, fazendo log25 0,008 = x, teremos:

25x = 0,008

25x = 8 .

1000

25x = 1 .

125

(52)x = 5−3

52x = 5−3

Logo:

2x = − 3 x = 3 .

2


2) As propriedades operatórias são úteis, pois podem facilitar alguns

cálculos. Sabendo que log 2 = 0,301, calcule:

a) log 200

b) log 25

8

a) log 200 = log (2 100) = log 2 + log 100 = log 2 + log 10∙ 2

= 0,301 + 2 = 2,301

b) log 25 = log 100 = log 100 – log 32 = log 102 – log 25

8 32

= log 102 – 5 log 2 = 2 – 5 0,301 = 2 – 1,505 = ∙ ∙ 0,495


Atividades Propostas

1) Responda às questões.

a) O logaritmo de 256 em certa base é 4. Qual é essa base?

b) O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base?

2) Calcule.

a) log2 256

b) log 0,0001


3) Admitindo satisfeitas as condições de existência, obtenha loga y,

usando as propriedades operatórias.

a) y = m n∙ p q∙b) y = 3m2(n + 1)2 .

(m + 2)3(n – 1)

4) Dados log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule:

a) log 12

b) log 125

c) log 3 600


LINKS

https://www.youtube.com/watch?v=ctPKkc8hvVM

http://www.brasilescola.com/matematica/propriedades-operatorias-dos-logaritmos.htm

http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/Ernesto19agosto-Logaritmo.pdf









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