matemática e relações para auxiliar nos calculos

60
APOSTILA DE F˝SICA E MATEM`TICA APLICADA WILLI PENDL JUNIOR 1

Upload: nato

Post on 03-Oct-2015

47 views

Category:

Documents


12 download

DESCRIPTION

Matemática e relações

TRANSCRIPT

  • APOSTILA DE FSICA E MATEMTICAAPLICADA

    WILLI PENDL JUNIOR

    1

  • REVISO

    Potncia: representao simplicada de uma multiplicao de fatoresiguais.

    Notao: an a a base, n o expoente; a e n no podem ser simultaneamentenulos.

    Signicado: an = a:a:a::::::a| {z }n vzes

    Exemplos numricos: 34 = 3:3:3:3 = 81; 23 = 2:2:2 = 8;23

    3=

    23 :

    23 :

    23 =

    827

    Propriedades:1-) a1 = a2-) 0n = 0; n 6= 03-) 1n = 14-) (an)m = (am)n = an:m

    5-) an:am = an+m

    6-) am

    an = amn; a 6= 0

    7-) an = 1an ; a 6= 0 (Obs.: Este um caso particular da propriedade 6quando m = 0).8-) (a:b)m = am:bm; Vale tambm:

    ab

    m; desde que b 6= 0

    9-) amn = n

    pam

    Consequncias:1-) a0 = 1 se a 6= 02-) Se am = an ) m = n; a 6= 0 e a 6= 1

    3-) Se a > 0, b > 0 e am = bm )

    a = b se m mpara = b se m par

    4-) Se a > 0 e am > an )

    m > n se a > 1m < n se 0 < a < 1

    Monmios e Polinmios

    Monmio: expresso matemtica de um nico termo, no possui operaode adio ou subtrao.Polinmio: expresso matemtica que apresenta termos combinados em

    adio e subtrao.Operaes entre monmios: A adio ou subtrao s pode ser efetuada

    quando se tem termos semelhantes.Exemplos:m:n2 + m2:n = m:n2 + m2:n (no possvel efetuar, os termos no so

    semelhantes)

    2

  • a+ b2 + c+ a+ 2b2 + 3c = 2a+ 3b2 + 4c (observe que os termos que foramagrupados possuem o mesmo expoente, por isso so chamados de semelhantes)Multiplicao: S pode ser efetuada multiplicando os termos numricos e

    aplicar propriedades de potncias na parte algbrica.Exemplos:2x:3a = 6xa (a parte algbrica no foi efetuada, no so termos semelhantes)5x2:y:4y2:3x:z = 60x3y3z (foi efetuado o produto nos termos numricos e

    na parte algbrica utilizou-se propriedades de potncia para efetuar a multipli-cao).

    Operaes entre monmios e polinmios

    Adio: idntica a adio entre monmios, isto , s podemos reduzir ostermos semelhantes.Exemplo:3x+

    x2 + 5x+ 6

    = 3x+ x2 + 5x+ 6 = x2 + 8x+ 6

    Multiplicao: a aplicao da propriedade distributiva.Exemplo:3x:

    x2 5x+ 2

    = 3x3 15x2 + 6x

    a :a2 5a+ 6

    = a: 1a25a+6 =

    aa25a+6

    a2 7a+ 2: 3a = (a2 7a+ 2): 13a =

    a2

    3a 7a3a +

    23a =

    a3

    73 +

    23a

    Multiplicao entre polinmios: aplica-se a propriedade distributivaExemplo:x2 + 3x+ 1

    :x2 5x 3

    =x2 + 3x+ 1

    x2

    x2 + 3x+ 1

    5x

    x2 + 3x+ 1

    3 =

    x4 + 3x3 + x2 5x3 15x2 5x 3x2 9x 3 =x4 2x3 17x2 14x 3

    Produtos Notveis

    Alguns produtos envolvendo expresses algbricas apresentam um padro,uma regularidade, uma forma comum em seus resultados. Por isso so conheci-dos como produtos notveis.

    Abaixo esto relacionadas as formas mais usuais de produtos notveis.(a+ b)

    2= a2 + 2ab+ b2 (quadrado da soma)

    (a b)2 = a2 2ab+ b2 (quadrado da diferena)(a+ b) (a b) = a2 b2 (diferena entre dois quadrados)(a+ b)

    3= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (cubo da soma)

    (a b)3 = a3 3a2b+ 3ab2 b3 (cubo da diferena)(a+ b)

    a2 ab+ b2

    = a3 + b3 (soma de dois cubos)

    (a b) a2 + ab+ b2

    = a3 b3 (diferena de dois cubos)

    (x+ a) (x+ b) = x2 + xb+ ax+ ab = x2 + (a+ b)x+ ab

    Exerccios

    3

  • 1-) Desenvolver os produtos notveis.a-)

    2x3 + 5

    2=

    b-)2x3 7

    2=

    c-)3x5 4

    3x5 + 4

    =

    d-) (x+ 2) (x+ 4) =e-) (x+ 2) (x 4) =f-) (5x+ 3)3 =g-)

    x2 3

    3=

    h-) (x+ 1) x2 x+ 1

    =

    i-) (x 4) x2 + 4x+ 16

    =

    j-)x 23

    2=

    Frao

    Propriedade Fundamental: Se em uma frao multiplicarmos ou di-vidirmos o numerador e o denominador por um mesmo nmero, o valor nose altera.Exemplos:

    25 =

    410 =

    615 =

    820 =

    1025 = :::

    x2+xx2 =

    2x+22x =

    3x3+3x2

    3x3 =(x+1)(x1)x(x1) = :::

    Simplicar uma frao signica determinar a frao mais simples equivalente frao dada. Podemos dizer que a frao simplicada tem como numerador edenominador, fatores primos entre si.Fatores primos entre si so aqueles cujo divisor comum o nmero 1.

    Operaes com fraes

    Adio ou subtrao: para somar ou subtrair uma frao com denomi-nadores diferentes necessrio reduzir ao mesmo denominador. A reduo aomesmo denominador obtida atravs do mnimo mltiplo comum (mmc). Emseguida divide o valor comum pelo denominador da primeira frao e multiplicao resultado obtido pelo numerador. Esse processo deve ser efetuado para todasas fraes.

    Exemplos:

    23 +

    15 =

    (25)+(13)15 =

    10+315 =

    1315

    32

    25 +

    14 =

    (310)(24)+(15)20 =

    308+520 =

    2720

    Multiplicao: para multiplicar uma frao por outra basta efetuar o pro-duto do numerador da primeira pelo numerador da segunda frao e o produtodo denominador da primeira pelo denominador da segunda frao.

    4

  • Exemplos:23

    15 =

    2135 =

    215

    32

    37

    14 =

    331274 =

    956

    45 6 =

    4651 =

    245 (observe que o denominador da segunda frao 1)

    Diviso: para dividir uma frao por outra frao deve-se conservar aprimeira e multiplicar pelo inverso da segunda frao.

    Exemplos:

    3457

    = 34 75 =

    3745 =

    2120

    561311

    = 56 1113 =

    511613 =

    5578

    Conjuntos

    Conceito e notaes: Um dos conceitos da Matemtica o de conjuntos.No entanto, um conceito primitivo, isto , tem o sentido usual de coleo outotalidade de elementos. Portanto, no precisa ser denido a partir de outrosconceitos matemticos.Os objetos que constituem um conjunto so chamados elementos do con-

    junto. Os conjuntos so indicados em geral pelas letras maisculas do alfabetolatino. A notao usual para um conjunto consiste em escrever seus elementosseparados por vrgula e entre chaves. Assim, o conjunto A cujos elementos soas letras a; b; c; indicado por:

    A = fa; b; cg

    Para expressar o fato de que a letra a elemento do conjunto A, escrevemos:

    a 2 A (a pertence a A)

    Da mesma forma, a notao d =2A (d no pertence a A), signica que aletra d no elemento do conjunto A.Subconjunto: Dados dois A e B, dizemos que A subconjunto de B quando

    todo elemento de A elemento de B.A notao,

    A B ( A est contido em B),

    indica que A um subconjunto de B. Se A no subconjunto de B, escreve-mos:

    A * B ( A no est contido em B)Exemplos:Se A = f1; 2; 3g e B = f0; 1; 2; 4; 3g, ento A B, pois todo elemento de A

    elemento de B: Por outro lado, se A = f2; 4; 5g e B = f1; 4; 5g, ento A * B,pois 2 2 A e 2 =2 B:

    5

  • Operaes com conjuntos

    Considere os subconjuntos A e B de um mesmo conjunto E. Podemos con-siderar as seguintes operaes: unio, interseco, diferena, complementao eproduto.Unio: Tambm chamada de reunio de A e B o conjunto dos elementos

    E que pertencem a A ou a B:A unio de A e B ser indicada pela notao: A [ B (l-se A unio B).

    Assim escrevemos:

    A [B = fx 2 E=x 2 A ou x 2 Bg

    Exemplos:A = f4; 5; 3g e B = f0; 3; 1g ) A [B = f4; 5; 3; 0; 1gA = f2; 0;1g e B = f1; 0; 5g ) A [B = f2; 0;1; 5gInterseco: A interseco dos conjuntos A e B o conjunto dos elementos

    de E que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos. A interseco de A eB ser indicada pela notao: A\B (l-se A interseco B). Assim escrevemos:

    A \B = fx 2 E=x 2 A e x 2 Bg

    Diferena: A diferena A B o conjunto dos elementos de E, que per-tencem a A e no pertencem a B: A diferena indicada pela notao:

    AB = fx 2 E=x 2 A e x =2 Bg

    Exemplos:A = f4; 5; 3; 1g e B = f2; 4; 1g ) AB = f5; 3gA =

    0; 1;1; 12

    e B =

    2; 4; 0; 12

    ) AB = f1;1g

    Complementao: Se A est contido em B, a diferena B A recebe onome de complementar de A em relao a B: A notao CBA indica o comple-mentar de A em relao a B: Assim escrevemos:

    CBA = B A = fx 2 E=x 2 B e x =2 Ag

    Exemplos:A = f4; 5; 6g e B = f0; 1; 2; 4; 5; 6; 7g ) CBA = B A = f0; 1; 2; 7gA = f1; 2; 3g e B = f0; 1; 4; 3; 6; 2g ) CBA = B A = f0; 4; 6g

    Conjuntos numricos

    Dentre os conjuntos numricos destacamos:N = f0; 1; 2; 3; 4; :::g conjunto dos nmeros inteiros naturais.N = f1; 2; 3; 4; :::g conjunto dos nmeros inteiros naturais sem o zero.Z = f0;1;2;3;4; :::g conjunto dos nmeros inteiros.Z = f1;2;3;4; :::g conjunto dos nmeros inteiros sem o zero.

    6

  • Z += f0; 1; 2; 3; 4; :::g conjunto dos nmeros inteiros no negativos.Z = f0;1;2;3;4; :::g conjunto dos nmeros inteiros no positivos.Z + = f1; 2; 3; 4; :::g conjunto dos nmeros inteiros positivos.Q =

    ab = a 2 Z ; b 2 Z

    conjunto dos nmeros racionais, isto , o conjuntode todos os nmeros da forma ab onde a e b so nmeros inteiros, com b 6= 0:Obs.: um nmero chamado de racional desde que possa ser escrito na

    forma de frao. Uma dzima peridica um nmero racional, um nmerodecimal nito tambm um nmero racional.I = conjunto dos nmeros irracionais, nmeros que no podem ser escritos

    na forma de frao.Exemplos: = 3; 1415:::p2 = 1; 41:::

    e = 2; 718:::R = Q [ I conjunto dos nmeros reais, isto , a unio do conjunto Q dos

    nmeros racionais e do conjunto I dos nmeros irracionais.Considere os conjuntos:A = fx 2 Z= 2 x 2g e B = fx 2 R= 2 x < 2gEscreve os elementos dos conjuntos A e B.A = f2;1; 0; 1; 2gO conjunto B no pode ser escrito da mesma maneira que o conjunto A,

    pois existem innitos nmeros entre -2 e 2. Como representar B?O conjunto B denominado conjunto denso, representa um intervalo. B

    pode ser escrito de trs maneiras:1-) Notao simblica ou conjunto:B = fx 2 R= 2 x < 2g

    2-) Notao na reta real

    -2 2

    bola cheiasignica que o ponto pertence ao conjunto. bola vaziasignica que o ponto no pertence ao conjunto.

    3-) Notao de colchetes[ ; ] colchete fechando no extremo signica que o ponto pertence ao con-

    junto.] ; [ colchete aberto no extremo signica que o ponto no pertence ao

    conjunto.

    Obs.: Se o extremo for +1 ou 1 o extremo sempre colchete aberto.portanto temos:

    B = [2; 2[Exerccios

    7

  • 1-) Representar os conjuntos nas trs notaes.A = fx 2 R = 1 x 4gB = fx 2 R = 4 < x 0gC = fx 2 R = x 1 ou x > 2gD =]1;1] [ [3;+1[E =]1;3[[[1;+1[F = fx 2 R = x 2g

    Par Ordenado

    Conjunto formado por elementos em que cada elemento um par e esto emuma ordem determinada.Notao: (a; b) elemento onde a o primeiro termo e b o segundo termo.Consequncia da denio: (a; b) = (c; d)() a = c e b = d

    Plano Cartesiano

    formado por duas retas perpendiculares entre si, no cruzamento entre elas,denominamos origem do sistema cartesiano. A reta vertical recebe o nome deeixo das ordenadas ou simplesmente eixo y, a reta horizontal recebe o nome deeixo das abscissas ou eixo x.

    (a,b)

    a x

    b

    y

    Produto cartesiano: O conjunto de todos os pares ordenados (a; b) coma 2 A e b 2 B recebe o nome de produto cartesiano de A por B, nesta ordem:Indicamos o protuto cartesiano de A e B pela notao: AxB (l-se A cartesianoB ou A vezes B). Assim:

    AxB = f(a; b) =a 2 A e b 2 Bg

    Exemplos:A = f0; 1g e B = f3; 4g ) AxB = f(0; 3) ; (0; 4) ; (1; 3) ; (1; 4)gA = f5; 1g e B = f4g ) AxB = f(5; 4) ; (1; 4)g

    8

  • Valor absoluto de um nmero real

    Seja x um nmero real. O valor absoluto ou mdulo de x o nmero jxj talque:

    jxj =

    x; se x 0x; se x < 0

    Exemplos:a-) j4j = 4b-) j5j = (5) = 5c-) j0j = 0d-)

    12 = 12 = 12Propriedades:Sejam x e y dois nmeros reais quaisquer. So vlidas as seguintes pro-

    priedades:1-) jxj 02-) jxj x3-) jxj x4-) jxj a () x a ou x a5-) jxj a () a x a; (a > 0)6-) jx+ yj jxj+ jyj7-) jx yj = jxj jyj8-) jx yj jjxj jyjj

    Equaes do 1 grau: uma equao do primeiro grau tem a forma geraldada por:

    ax+ b = 0 (a 6= 0), a soluo geral obtida isolando-se a varivel x.

    ax+ b = 0) x = ba ; (a 6= 0)

    Exemplos:a-) 4x 8 = 0) 4x = 8) x = 84 = 2b-)

    x+13

    x59

    = 0)

    x+13

    =x59

    ) 9 (x+ 1) = 3 (x 5)

    9x+ 9 = 3x 15) 9x 3x = 15 9) 6x = 24) x = 246 = 4Inequaes do 1 grau: uma inequao do primeiro grau uma expresso

    que tem a forma dada por: ax + b 0, ou ax + b 0, (a 6= 0) : Neste casotemos uma desigualdade, ou seja a soluo desta inequao ser um intervalo.A soluo destas desigualdades podem ser resumidas:

    ax b)

    x ba se a > 0x ba se a < 0

    ax b)

    x ba se a > 0x ba se a < 0

    Obs.: quando o coeciente de x negativo o sinal da desigualdade muda.

    Exemplos:

    9

  • a-) 4x 8 0) 4x 8) x 84 ) x 2 :: . S = fx 2 R=x 2g

    b-) 5x3 0) 5x 3) x 35 ) x 35 :

    : . S =x 2 R=x 35

    c-) 4x+ 1 0) 4x 1) x 14 ) x

    14 :

    : . S =x 2 R=x 14

    d-) 5x+ 3 0) 5x 3) x 35 ) x

    35 :

    : . S =x 2 R=x 35

    Exerccios

    1-) Resolver cada uma das desigualdades abaixo:a-) j2x+ 1j > 5 f-) 2 < 4x+13 0b-) jx+ 2j < 1 g-) 22x+3 8 h-) (x+ 3) (x 2) > 0d-) 3x22x+7 0 i-)

    x2 9x+ 14

    x2 9

    > 0

    e-) (x2)(3x+5) 4 j-) (x 2) (3 x) (x+ 1) (x+ 2) < 0

    Exerccios Extras

    1-) Resolver cada uma das desigualdades abaixo:

    a-) j3x 2j < 2 f-) (4x+ 5) (3x+ 2) (5x+ 1) 0b-) j2x 7j 4 g-) (x+ 2) (x 3) (x+ 1) 0c-) j2x 5j 32 h-) (x 2) (x+ 3) (x 1) 0d-) j3x 1j 13 i-) (x+ 3) (x+ 2)

    x+ 13

    < 0

    e-) jx+ 3j > 1 j-) (3x+ 1) (3x 2) > 0

    Relaes

    Relaes so subconjuntos de produtos cartesianos, cujos elementos satis-fazem a uma certa sentena matemtica.

    Smbolo: T : A! B (l-se: relao de nome T de A em B)

    Exemplos:a-) Dados A = f0; 1; 2g e B = f4; 6g, representar o produto cartisiano dos

    pares ordenados que satisfaam a sentena matemtica: x+ y > 5, onde x 2 Ae y 2 B:

    AxB = f(0; 4) ; (0; 6) ; (1; 4) ; (1; 6) ; (2; 4) ; (2; 6)gOs pares ordenados que satisfazem x+ y > 5 so: (0; 6) ; (1; 6) ; (2; 4) ; (2; 6)Estas solues formam uma relao entre A e B, que se indica por:R = f(x; y) =x+ y > 5; (x; y) 2 AxBg

    b-) Dados os conjuntos A = B = f2; 3; 4g, pede-se:b1-) determinar o produto cartesiano AxBAxB = f(2; 2) ; (2; 3) ; (2; 4) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 4) ; (4; 2) ; (4; 3) ; (4; 4)g

    b2-) representar o produto cartesiano acima que satisfaz a relao: R =f(x; y) =x = y 1; (x; y) 2 AxBgOs pares ordenados que satisfazem R so: (2; 3) ; (3; 4) :

    10

  • Exerccios

    1-) Determine os pares que formam a relao:a-) R1 = f(x; y) 2 NxN= y = 15 2xgb-) R2 =

    (x; y) 2 NxN= y = 13x2

    c-) R3 =

    (x; y) 2 NxN= y = 12xx

    d-) R4 =

    (x; y) 2 NxN= y =

    p50 x

    e-) R5 =

    (x; y) 2 ZxZ= x2 + y2 = 25

    Funes

    Sejam X e Y dois conjuntos reais no vazios. Diz-se funo de X em Y aoconjunto de pares ordenados (x; y), tal que x 2 X e y 2 Y , e que cada x 2 Xesteja em um e somente um par ordenado. O conjunto X chamado Domnioe o conjunto Y Contra domnio da funo.Um dos conceitos mais importantes, e mais difceis de assimilar no estudo das

    funes, o conceito de domnio da funo, porm normalmente o estudante fazconfuso com o conceito de conjunto imagem e contradomnio. Para entenderos trs conceitos vamos considerar o seguinte exemplo:Dados os conjuntos A = f2;1; 0; 1; 2g e B = f2;1; 0; 1; 2; 3; 4; 5g e a

    funo f : A! B, denida por f (x) = x+ 1:

    -2-1012

    -2-1012345

    A B

    f(x)=x+1

    A gura acima mostra a relao entre os dois conjuntos atravs do diagramade echas, tambm chamado de diagrama de Venn.Domnio: so os possveis valores de x, que fazem com que a funo exista.A partir da gura fcil observar que na notao de echas o domnio da

    funo o conjunto de partida das echas, ou seja:

    Domf(x) = A

    11

  • Contra domnio: o conjunto B denominado contra domnio da funo,ou seja:

    CD(f(x)) = B

    Na representao de echas o conjunto de chegada.Imagem: o conjunto B apresenta alguns elementos que esto diretamente

    relacionados com elementos do conjunto A, estes elementos formam o conjuntoimagem, ou seja:

    Imf(x) = f1; 0; 1; 2; 3g

    Na representao de echas, o conjunto imagem formado pelos elementosatingidos pelas echas.

    Determinao do domnio de uma funo

    Quando estudamos funes importante saber o seu domnio, ou seja, qual o campo de validade da sentena. Para isso no podemos deixar de observar:1-) no existe diviso por zero ) denominador 6= 0Neste caso os valores de x que fazem com que o denominador seja nulo devem

    ser eliminados, ou melhor, no pertencem ao domnio da funo.Exemplo:Determine o domnio da funo: f(x) = x+1x+3Para encontrar o domnio da funo, impor o denominador igual do denom-

    inador ser zero, resolver a equao.x+3 = 0) x = 3 (este valor de x deve ser excludo do domnio da funo).

    Assim,

    Domf(x) = fx 2 R= x 6= 3g

    2-) em R no existe raiz de ndice par de um nmero negativo,portanto o radicando deve ser maior ou igual a zero.Exemplo:a-) Determine o domnio da funo: R! R : f(x) =

    px+ 1

    Impondo a condio que o radicando deve ser maior ou igual a zero vem:x+1 0) x 1 (qualquer valor maior ou igual a 1, satisfaz a condio

    do radicando ser maior ou igual a zero). Assim,

    Domf(x) = fx 2 R= x 1g

    b-) Determine o domnio da funo: R! R : f(x) = 3px+ 1

    Neste exemplo o ndice do radical mpar, ou seja no existe nenhumarestrio quanto a obter a raiz cbica de um nmero negativo, sendo assimtemos:

    12

  • Domf(x) = R

    De um modo geral possvel escrever:

    f(x) = npp(x)

    Se n for par: Domf(x) = fx 2 R= p(x) 0gSe n for mpar: Domf(x) = R

    3-) combinao do caso 1 e caso 2: neste tipo de funo necessrioanalisar as duas situaes.Exemplo:Determine o domnio da funo: R! R : f(x) =

    px+1x2

    Para facilitar o entendimento primeiro ser analisado o numerador da fraoe em seguida o denominador. Aps encontrar cada uma das solues ser feitaa interseco dos dois conjuntos.Numerador:

    px+ 1

    x+ 1 0) x 1 (qualquer nmero maior ou igual a 1 soluo)Denominador: x2 = 0) x = 2 (qualquer nmero diferente de 2 soluo)Desta forma o domnio da funo ser dado por:

    Domf(x) = fx 2 R= x 1 e x 6= 2gExerccios

    1-) Determine o domnio das funes abaixo:a-) f(x) =

    p2x 3 g-) f(x) =

    p2x+ 3

    b-) f(x) = 3px 4 h-) f(x) =

    px 1 +

    px+2px+3

    c-) f(x) = 3x2x1 i-) f(x) =x+2px2+9

    d-) f(x) = 1px+3

    k-) f(x) =px+4x+4

    e-) f(x) = 1x+2 +4

    x+5 f-) f(x) =p3x+1

    3p2x5

    Funes usuais e seus grcos

    Chamamos grco de uma funo f o conjunto de todos os pontos (x; f(x))do plano cartesiano para qualquer x pertencente ao domnio de f(x).Funo constante: uma funo f de R em R constante se f(x) = k

    (x 2 R; k um nmero real positivo, negativo ou nulo).representao grca:

    13

  • -3 -2 -1 1 2 3

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    x

    y

    f(x) = k; k > 0

    -3 -2 -1 1 2 3

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    x

    y

    f(x) = k; k < 0

    -3 -2 -1 1 2 3

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    x

    y

    f(x) = k; k = 0

    Na funo f (x) = k; temos:

    Domf(x) = RImf(x) = fkg

    Funo am ou do 1grau: uma funo f de R em R funo do 1 grauou am se, a cada x 2 R, associa o elemento (ax+ b) 2 R; com a 6= 0, e podeser representada por o f(x) = ax+ b:

    representao grca:

    -3 -2 -1 1 2 3

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    x

    y

    f(x) = ax+ b, se a > 0 f(x) crescente

    -3 -2 -1 1 2 3

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    x

    y

    f(x) = ax+ b, se a < 0 f(x) decrescente

    Na funo do primeiro grau temos:

    Domf(x) = R

    14

  • x=x2-x1

    y=y2-y1

    y2

    y1

    x2x1(-b/a,0)

    (0,b)

    Imf(x) = R

    O coeciente a da funo f(x) = ax + b denominado coeciente angular,e b denominado coeciente linear. Os interceptos nos eixos x e y podem serencontrados da seguinte maneira:Se x = 0 temos: f (0) = a:0 + b) f (0) = b, ou seja, o par ordenado (0; b)

    o ponto onde o grco corta o eixo y.Quando f (x) = 0 temos: 0 = ax+ b ) ax = b ) x = ba , ou seja, o par

    ordenado ba ; 0

    o ponto onde o grco corta o eixo x.

    Se A (x1; y1) e B (x2; y2) so pontos conhecidos, ento o coeciente angularda reta ax+ b que contm A e B dado por:

    a = yx =y2y1x2x1

    O valor de a mede a inclinao da reta ax+ b.

    Exerccios

    1-) Em cada funo, determine: (a) o ponto onde a reta corta o eixo x e eixoy, (b) esboar o grco a partir da soluo de (a).a-) f(x) = 2x+ 4b-) f(x) = 3x 2c-) f(x) = 4 2xd-) y = 5 xe-) f(x) = 2x2-) D os valores de x que satisfazem as desigualdades abaixoa-) (x+ 3) (x 2) > 0b-)

    x2 9x+ 14

    x2 9

    > 0

    c-) (x 2) (3 x) (x+ 1) (x+ 2) 0

    15

  • -4 -2 2 4

    10

    20

    30

    x

    y

    Figure 1: grco da funo f(x) = x2 + 2x 3; a > 0

    3-) Encontre a equao da reta que passa pelos pontos P1 e P2.a-) P1(2; 3) e P2(5;3)b-) P1(2;3) e P2(5;3)c-) P1(2; 3) e P2(5;5)d-) P1(1; 0) e P2(7;3)4-) Encontre a equao da reta que contm o ponto P e tem inclinao

    (coeciente angular) a.

    a-)

    P (0; 0)a = 3

    b-)

    P (3; 8)a = 2 c-)

    P (3; 5)a = 0; 5

    d-)

    P (0; 5)a = 0; 2 e-

    )

    P (0; 20)a = 2

    f-)

    P (8; 8)a = 1 g-)

    P (2; 1)a = 5

    Funo quadrtica ou do 2 grau: uma funo f de R em R funo do2 grau ou quadrtica se, a cada x 2 R, associa o elemento

    ax2 + bx+ c

    2 R;

    com a 6= 0, e pode ser representada por o f(x) = ax2 + bx+ c:onde:a = coeciente de x2

    b = coeciente de xc = termo independente de xrepresentao grca:Os grcos acima mostram que a concavidade depende do sinal de a, ou seja,

    se a > 0 a concavidade voltada para cima, porm quando a < 0 a concavidade voltada para baixo.A funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c; com a 6= 0, pode anular para

    valores convenientes de x 2 R. Os valores para os quais f(x) = 0 recebem onome de zeros da funo quadrtica, ou simplesmente razes.

    16

  • -4 -2 2 4

    -25

    -20

    -15

    -10

    -5

    xy

    Figure 2: grco da funo f(x) = x2 + x+ 2; a < 0

    Considere a funo f(x) = ax2 + bx + c; para encontrar as razes devemosimpor ax2 + bx + c = 0. Esta uma equao do segundo grau que pode serresolvida atravs da frmula de Bhskara:

    x = bp

    2a ; onde = b2 4 a c

    Logo, os zeros da funo quadrtica so as razes da equao do segundograu. Assim:a-) quando > 0; f(x) = ax2 + bx+ c possui duas razes reais e distintas.b-) quando = 0; f(x) = ax2 + bx+ c possui duas razes reais e iguais.c-) quando < 0; f(x) = ax2 + bx+ c no possui razes reais.A parbola que representa a funo do segundo grau dividida em duas

    partes simtricas por uma reta perpendicular ao eixo das abscissas: eixo desimetria. A interseco da parbola com o eixo de simetria recebe o nome devrtice (V ) da parbola. Considere a gura abaixo:O vrtice da parbola dado pelas coordenadas xv e yv do ponto V . Como

    o eixo de simetria divide o grco em duas partes simtricas fcil perceber quea abscissa do vrtice (xv) a mdia aritmtica das razes:

    xv =x1+x2

    2 = b2a

    A ordenada (yv) obtida substituindo (xv) na expresso: f(x) = ax2+bx+c;o que resulta:

    yv = 4a

    Portanto:

    V = b2a ;

    4a

    17

  • -4-2 2 4

    10

    20

    30

    x

    y

    Desta forma fcil concluir que o vrtice assume o valor mnimo da funoquadrtica quando a > 0, por outro lado tem valor mximo quando a < 0.Portanto temos:

    Domf(x) = RImf(x) =

    y 2 R= y 4a , se a > 0

    ou

    Imf(x) =y 2 R= y 4a , se a < 0

    Exerccios

    1-) Em cada funo encontre: (a) as coordenadas do vrtice (xv; yv), (b) ospontos onde a parbola corta o eixo x e o eixo y, (c) esboce o grco de f(x),(d) os valores de x para os quais f(x) > 0, (e) domnio e conjunto imagema-) f(x) = x2 5x+ 4 b-) f(x) = x2 + 2x+ 3c-) f(x) = x2 4x+ 4 d-) f(x) = x2 4

    2-) Encontre o valor de x que satisfaz as desigualdades abaixo:a-) x2 5x+ 4 0 b-) x2 + 2x+ 3 0c-) x2 4x+ 4 > 0 d-) x2 + 4 < 0Obs.: a funo quadrtica possui um eixo de simetria, desta forma dizemos

    que a funo simtrica.Se f uma funo par, isto , se f(x) = f(x) para todo x no domnio

    de f , ento o grco de f simtrico em relao ao eixo y. Se f uma funompar, isto , se f(x) = f(x) para todo x no domnio de f , ento o grcode f simtrico em relao origem. Grande parte das funes no clculo noso pares nem mpares.Funo modular: uma funo f de R em R modular se, a cada x 2 R

    associa o nmero jxj ;e pode ser representada por f(x) = jxj, onde:

    jxj =

    x; se x 0x; se x < 0

    Obs.:px2 = jxj

    18

  • Duas funes denem a funo f(x) = jxj:

    1-) f(x) = x; se x 0 2-) f(x) = x; se x < 0

    representao grca: representaogrca:

    -2 0 2 4

    1

    2

    3

    4

    5

    x

    y

    grco de f(x) = x, se x 0

    -4 -2 0 2

    1

    2

    3

    4

    5

    x

    y

    grco de f(x) = x, se x < 0

    Construindo os dois grcos em um nico plano cartesiano, obtemos o grcode f(x) = jxj.

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

    1

    2

    3

    4

    5

    x

    y

    Figure 3: grco de f(x) = jxj

    Observando o grco da funo modular, verica-se que ele representa areunio de duas semi-retas de mesma origem: o ponto (0; 0). Assim temos:

    Domf(x) = RImf(x) = R+

    19

  • Equao modular: uma equao modular quando a incgnita (ou varivel)se apresenta em mdulo. A equao jxj = a, a 2 R+ modular, logo:

    jxj = a)

    8

  • Funo exponencial: dado um nmero a, tal que 1 6= a > 0, a funof : R ! R, denida por f(x) = ax, chamada funo exponencial de base a,onde x o expoente:

    f(x) = ax, a 2 R+ e a 6= 1Obs.: Ao denirmos uma funo exponencial de base a, impomos que a 2

    R+ e a 6= 1 porque:1-) Se a = 1 ) f(x) = 1x = 1; para todo x 2 R. Ento f(x) = 1 uma

    funo constante de R em R.

    2-) Se a = 0) f(x) = 0x, o que no existe para determinados valores de x,como por exemplo:Se x = 2) f(x) = 02 = 102 , que no existe3-) Se a < 0) f(x) = ax nem sempre existe, como por exemplo:Se a = 4 e x = 12 ) f(x) = (4)

    12 =

    p4 =2 R

    Representao grca1-) f(x) = 2x, neste exemplo a > 1 2-) f(x) =

    12

    x, neste exemplo

    0 < a < 1

    -4 -2 0 2 4

    2

    4

    6

    8

    10

    x

    y

    -4 -2 0 2 4

    2

    4

    6

    8

    10

    x

    y

    Obs.: Se a > 1 a funo crescente, enquanto que para 0 < a < 1 a funo decrescente.

    Domf(x) = RImf(x) = R+

    Equaes e inequaes exponenciais: so equaes onde a incgnita parte do expoente. A soluo obtida atravs das propriedades de potnciao.A primeira preocupao obter potncias de mesma base, assim possveligualar os expoentes, obtendo assim uma equao conhecida.Exemplos:a-) 2x = 32) 2x = 25 ) x = 5) S = f5gb-) 45x3 = 32) 22(5x3) = 25 ) 10x 6 = 5) x = 1110 ) S =

    1110

    c-) 92x3 > 243)

    322x3

    > 35 ) 34x6 > 35 ) 4x 6 > 54x > 11) x > 114 ) S = fx 2 R = x >

    114 g

    21

  • Exerccios

    1-) Resolver as equaes e inequaes abaixoa-) 5

    p4x = 1p

    8b-) 5 4

    p2x = 160

    c-) 83x =3p32x4x1 d-) 4

    x = 0; 25

    e-)916

    2x1=43

    x+1f-)9x+1

    x1= 3x

    2+x+4

    g-)h5x1

    x2ix+1> 1 h-)

    h93x

    x2ix1 1i-) 2x = 10

    Logartmos: Sendo a e b nmeros reais tais que a > 0, b > 0 e b 6= 1,chamamos de logartmo de a na base b o expoente real x ao qual se eleva a baseb para se obter a:notao: logb a = x, bx = a, a > 0, b > 0 e b 6= 1a o logaritmandob a basex o logartmoObs.:1-) se b = 10, dizemos que x o logartmo decimal de a e neste caso,

    escrevemos:

    x = log a

    Os logartmos decimais podem ser calculados com o auxlio de uma tbuade logartmos, porm esses clculos so obtidos atravs de uma calculadoracientca.2-) se b = e (e = 2; 718281), dizemos que x o logartmo natural de a e

    escrevemos:

    x = ln a

    Exemplos:log2 16 = x, 2x = 16) 2x = 24 ) x = 4) S = f4glog 1

    28 = x,

    12

    x= 8) 2x = 23 ) x = 3) S = f3g

    Consequncias da denio:1-) logb 1 = 0, b0 = 12-) logb b = 1, b1 = b3-) logb b

    m = m, bm = bm4-) blogb a = aPropriedades:1-) logartmo do produto: sendo a, b e c nmeros reais positivos e a 6= 1,

    temos:loga (b c) = loga b+ loga c2-) logarmo do quociente: sendo a, b e c nmeros reais positivos e a 6= 1,

    temos:

    22

  • logabc

    = loga b loga c

    3-) logartmo da potncia: sendo a e b nmeros reais positivos, a 6= 1 eum nmero real m, temos:

    loga bm = m loga b

    4-) mudana de base: sendo a > 0, a 6= 1, b > 0; c > 0 e c 6= 1; temos:loga b =

    logc blogc a

    Obs.: loga b > loga c)

    b > c se a > 1b < c se 0 < a < 1

    Exerccios

    Aplicando as propriedades de logartmos resolver os exerccios abaixo1-) Se log 2 = x, calcule log 50 em funo de x.2-) Sendo log(a+ b) = m e (a b) = 100, calcule log

    a2 b2

    em funo de

    m.3-) Sendo log 2 = a e log 3 = b, calcule em funo de a e b:a-) log 16 =b-) log 40 =c-) log 25; 6 =d-) log6 54 =e-) log 5 =f-) log 3

    p12 =

    g-) log8

    93p25

    =

    4-) Utilizando o conceito de logartmo e com auxlio de uma calculadora,resolver as seguintes equaes:a-) 2x = 10b-) 2x = 30c-) 32x = 125d-) 102x = 25x

    e-) 12 (1 + x)30 = 20f-) (log2 x) (ln 2) = 1g-) ln 4

    px = 12 ln

    p15 116 ln (x+ 2)

    4

    h-) 23x+1

    32x1 = 5x

    i-) 7 32x+1 = 43x2Funo logartmica: chamamos de funo logartmica de base a (0 < a 6= 1)

    a funo que associa cada elemento x 2 R+ ao seu logartmo nessa base:f : R+ ! R = y = loga x, e pela denio de logartmo vem: ay = x:

    Representao grca1-) f(x) = log2 x, neste exemplo a > 1 2-) f(x) = log 12 x, neste exemplo

    0 < a < 1

    23

  • -2 2 4 6 8

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

    -2 2 4 6 8

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

    Os grcos da funo logartmica mostram que:Se a base > 1, a funo crescente, enquanto que 0 < base < 1 a funo

    decrescente.

    Domf(x) = R+Imf(x) = RExerccios

    1-) Esboar o grco de f(x) nos seguintes casos:a-) f(x) = ax, com a > 1b-) f(x) = k + ax, com a > 1c-) f(x) = k ax, com a > 1d-) f(x) = b+ k ax, com a > 1e-) f(x) = ax2 + bx+ c, com > 0, a > 0, c > 0 e x1 < 0f-) f(x) = ax2 + bx+ c, com > 0, a < 0 e b = 0g-) f(x) =

    ax2 + bx+ c, com > 0, a > 0, e x1 x2 < 02-) Calcule:

    a-) (x25x)(3x)(4x)(x2) 0

    b-)x2 5x+ 2 > 2

    c-)x2 7x+ 8 < 2

    Funo inversa: sendo f uma de A! B, a funo de B ! A, representadapor g(x) = f1(x), chamada inversa de f . A funo inversa mais usual y = 1xRepresentao grca

    Domf(x) = R

    Imf(x) = R

    Para saber se uma funo possui inversa necessrio vericar se a funo biunvoca, ou seja: Imf(x) = Cd(f(x)) e qualquer x1 6= x2 () f(x1) 6= f(x2).Desta forma conclui-se que:

    Domf(x) = Imf1(x)Domf1(x) = Imf(x)

    24

  • -4 -2 2 4

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

    Obs.: para obter a funo inversa de f(x), basta reescrever a funo tro-cando de lugar as variveis x e y, e em seguida expressar y em funo de x.Exemplo:Se f(x) = 2x+ 1, encontre f1(x).Domf(x) = R e a Imf(x) = Ry = 2x+ 1) x = 2y + 1) 2y = x 1) y = x12 :

    :: f1(x) = x12Representao grca

    -4 -2 2 4

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

    Exerccios

    1-) Dada uma funo de R+ ! R+, denida por f(x) = x2:a-) Determinar f1(x).b-) Esboar os grcos de f(x) e f1(x) em um mesmo plano cartesiano.

    2-) Determinar o domnio e o conjunto imagem da funo real f(x) = 3x1x+2 .

    3-) Dada a funo f(x) = 52xx+1 , determine:

    25

  • a-) Domnio de f(x)b-) f1(x)c-) Domnio de f1(x)d-) Imagem de f(x)

    4-) Esboce em um mesmo plano cartesiano as funes: f(x) = 2x e g(x) =log2 x, o que se pode concluir?

    Funo composta: a funo composta f g denida como (f g) (x) =f (g (x)). O domnio de f g o conjunto de todos os x do domnio de g tal queg(x) est no domnio de f .Note que, para x no domnio de g, primeiro determinamos g(x) (que deve

    estar no domnio de f) e ento, em segundo lugar, determinamos f(g(x)).Para a funo composta g f , invertemos a ordem, determinando primeiro

    f(x) e, em seguida g(f(x)). O domnio de g f o conjunto de todos os x nodomnio de f tais que f(x) est no domnio de g.Exemplos:a-) Se f(x) = x2 1 e g(x) = 3x+ 5, determine:(f g) (x) e o domnio de f g.(f g) (x) = f(g(x)))denio de f g

    = f(3x+ 5))denio de g= (3x+ 5)

    2 1)denio de f= 9x2 + 30x+ 24

    O domnio tanto de f como de g R. Como para cada x em R (o domniode g) o valor g(x) est em R (domnio de f), o domnio de f g tambm R.

    b-) Se f(x) = x2 16 e g(x) =px, determine:

    b1-) (f g) (x) e o domnio de f g.b2-) (g f) (x) e o domnio de g f .Primeiramente vamos determinar o domnio da funo f e da funo g.Domf(x) = R, e Domg(x) = fx 2 R = x 0gb1-) (f g) (x) = f(g(x)))denio de f g

    = f(px))denio de g

    = (px)

    2 16)denio de f= x 16

    Se considerarmos apenas a expresso nal (x 16), poderamos ser levadosa crer que o domnio de f g R, pois x 16, denida para todo real x.Todavia, pela denio da funo composta f g o domnio o conjunto detodos os x que esto no domnio de g, ou seja:

    Dom(f g)(x) = fx 2 R = x 0g

    b2-) (g f) (x) = g(f(x)))denio de g f= g(x2 16))denio de f=px2 16)denio de g

    26

  • Pela denio da funo composta gf o domnio o conjunto de todos os xque esto no domnio de f , tal que f(x) = x216 est em [0;+1[ equivalente desigualdade:

    x2 16 0) (x 4) (x+ 4) 0 ou seja,(x 4) 0) x 4(x+ 4) 0) x 4Montando o varal temos:

    4 4- + +- - ++ - +

    Portando temos:

    Dom(g f)(x) = fx 2 R = x 4 ou x 4gExerccios

    (a) Determine (f g) (x) e o domnio de (f g) (x). (b) Determine (g f) (x)e o domnio de (g f) (x).a-) f(x) = x2 3x g(x) =

    px+ 2

    b-) f(x) =px 2 g(x) =

    px+ 5

    c-) f(x) =p25 x2 g(x) =

    px 3

    d-) f(x) = x3x+2 g(x) =2x

    Fatorao

    Fatorar transformar uma expresso algbrica em uma multiplicao (pro-duto). Destacamos a seguir os principais casos de fatorao que devem ser uti-lizados de acordo com as caractersticas da expresso algbrica a ser fatorada.1-) Fator comum: um fator comum em todos os termos da expresso

    Exemplos:

    ax+ bx+ cx = x (a+ b+ c)4x3 12x2 + 8x = 4x (x 1) (x 2)

    2-) Agrupamento: agrupar termos semelhantes que aparecem na ex-presso. Termos semelhantes so as expresses que apresentam as mesmas var-iveis com os mesmos expoentes.

    Exemplos:

    ax+ bx+ ay + by = x (a+ b) + y(a+ b) = (x+ y) (a+ b)x3 + 2x2 9x 18 = x2(x+ 2) 9 (x+ 2) = (x+ 2)

    x2 9

    3-) Diferena entre dois quadrados: na fatorao teremos o produto da

    soma pela diferena dos mesmos termos.

    Exemplos:

    27

  • a2 b2 = (a b) (a+ b)x2 9 = (x 3) (x+ 3)x2 3 =

    x

    p3 x+

    p3

    4-) Trinmio do quadrado perfeito: na fatorao teremos a soma ou adiferena de uma expresso elevada a um expoente n.

    Exemplos:

    a2 2ab+ b2 = (a b)2

    a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2

    9x2 + 12x+ 4 = (3x+ 2)2

    25x6

    4 5x3 + 1 =

    5x3

    2 12

    = 145x3 2

    25-) Trinmio do segundo grau: a forma geral do trinmio do segundo

    grau ax2 + bx + c = a (x x1) (x x2), onde x1 e x2 so razes da equaoax2 + bx+ c = 0

    Exemplos:

    x2 + 6x+ 8 = (x+ 4) (x+ 2)x2 7x+ 10 = (x 2) (x 5)2x2 + 12x+ 16 = 2 (x+ 4) (x+ 2)6-) Soma de cubos: a soma de cubos pode ser fatorada pela frmula:a3 + b3 = (a+ b)

    a2 ba+ b2

    Exemplos:x3 + 27 = (x+ 3)

    x2 3x+ 9

    x3 + 8 = (x+ 2)

    x2 2x+ 4

    7-) Diferena de cubos: para fatorar uma diferena de cubos usamos a

    frmula:a3 b3 = (a b)

    b2 + ba+ a2

    Exemplos:x3 27 = (x 3)

    x2 + 3x+ 9

    x3 8 = (x 2)

    x2 + 2x+ 4

    Exerccios

    1-) Fatorar as expresses:a-) a3x+ a2y =b-) 15x2y 20xy2 + 10x2y2 =c-) mx+mb+ xy + by =d-) 6axy2 + 9y2 2ax 3 =e-) 2ax 3bx+ 6ay 9by =f-) m2 + 14am+ 49a2 =g-) n2 10n+ 25 =h-) y2 2

    p3y + 3 =

    i-) 2x2 2x 24 =

    28

  • j-) x3 + 27 =k-) x3 125 =l-) 6x2y2 8x2y + 15xy2 =m-) x(x 4) + 6(x 4) =n-) sin(x) + cos(x) + sin(x) cos(x) + 1

    Simplicao

    escrever uma expresso, um nmero de uma forma mais simples.Exemplo: 6x3 = 2x)neste exemplo tanto o numerador como o denominador

    foram simplicados por 3.

    3x2+9x3x =

    3x(x+3)3x = x+3) neste exemplo foi feita a fatorao no numerador

    e em seguida tanto o numerador como o denominador foram simplicados por3x:

    x24x27x+10 =

    (x+2)(x2)(x2)(x5) =

    x+2x5 ) agora a fatorao foi feita tanto no numer-

    ador como no denominador aparecendo o termo comum (x 2) que permitiu asimplicao.Obs.: Para simplicar uma expresso primeiramente efetuar a fatorao no

    termo que for necessrio para em seguida simplicar o termo comum.

    Exerccios

    1-) Simplicar as expresses abaixo.a-) 10x

    410x2x5x2 = j-)

    6x29x15x

    b-) x216x+4 = k-)

    x225x2+10x+25

    c-) x29

    x26x+9 = l-)20x3yz2

    35xy2z2

    d-) (x+3)2

    x29 = m-)x2+2xy+y2

    x2+xy3x3ye-) 2x2

    (x1)2 = n-)x+6

    x336xf-) 41x +

    51+x = o-)

    5x10x22x

    g-) x3x +10x

    (3x)2 = p-)x27x+10

    x24h-) x1x+1 +

    x+1x1 =

    i-) yzx+w y2z2x2w2 =

    2-) (UFRGS) Se a = x+y2 ; b =xy2 e c =

    pxy, onde x e y so nmeros reais

    tais que xy>0, ento uma relao entre a2; b2 e c2 :a-) a2 + b2 c2 = 0:b-) a2 b2 c2 = 0:c-) a2 + b2 + c2 = 0:d-) a2 b2 + c2 = 0:e-) a2 = b2 = c2:

    Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

    29

  • Introduo:Nos computadores so utilizados programas que auxiliam na realizao das

    mais diversas atividades. Entre os programas instalados no computador podemosdestacar as planilhas eletrnicas como, por exemplo, o Excel.Essas planilhas possibilitam organizar as informaes, realizar clculos, escr-

    ever frmulas, alm de oferecer recursos avanados para a construo de grcose tabelas. A organizao dos dados nestas planilhas feita atravs de tabelascompostas por linhas e colunas que denominamos de MATRIZ, que pode serrepresentada de duas maneiras:

    0@ 1 4 2 1210 7 5 78 36 9 11

    1A ou24 1 4 2 1210 7 5 7

    8 36 9 11

    35Cada nmero que compe uma matriz chamado elemento ou termo. No

    exemplo acima a matriz do tipo 3x4, ou de ordem 3x4 e l-se matriz trs porquatro.

    Denio de Matriz

    Uma matriz de ordem (ou tipo) mxn toda tabela numrica com m nelementos dispostos em m linhas e n colunas, sendo m e n nmeros naturais ediferentes de zero.Exemplos:

    9 3 45 7 6

    matriz de ordem 2x3 (l-se dois por trs)

    0@ 15419

    1A matriz de ordem 3x1 (l-se trs por um)1 19 3 51

    matriz de ordem 1x4 (l-se um por quatro).

    Representao genrica de uma matriz

    Para indicar cada elemento da matriz, utilizamos uma letra minscula acom-

    panhada de dois ndices. Na matriz A =

    0@ 1 4 2 1210 7 5 78 36 9 11

    1A, por exem-plo:

    O 4 est na primeira linha na segunda coluna, indicamos por: a12 (l-se aum dois).

    30

  • O 5 est na segunda linha na terceira coluna, indicamos por: a23 (l-sea dois trs).

    Genericamente, uma matriz A com m linhas e n colunas pode ser represen-tada por:

    A =

    0BBBBBBBB@

    a11 a12 a13 a14 ::: a1j ::: a1na21 a22 a23 a24 ::: a2j ::: a2na31 a32 a33 a34 ::: a3j ::: a3n: : : : : : : :ai1 ai2 ai3 ai4 ::: aij ::: ain: : : : : : : :

    am1 am2 am3 am4 ::: amj ::: amn

    1CCCCCCCCAcom m 2 N e n 2

    N

    De maneira abreviada, a matriz A pode ser escrita da seguinte maneira:A = (aij)mxn ou A = (aij) ; i 2 f1; 2; 3; ::::;mg e j 2 f1; 2; 3; :::ng.

    Matriz Quadrada

    Uma matriz de ordem mxn quadrada quando o nmero de linhas igualao de colunas, isto , m = n. Nesse caso, diz-es que a matriz do tipo nxn ou,simplesmente, quadrada de ordem n.Exemplo:Matriz quadrada de ordem 3.0@ 2 3 53 9 4

    0 2 1

    1ANesse caso, m = n = 3.Em uma matiz quadrada A de ordem n, os elementos:

    a11; a22; a33; a44; ::::; ann; ou seja, aqueles em que i = j formam a diag-onal principal.

    aij tal que i+ j = n+ 1 formam a diagonal secundria.

    Determinantes

    Dada uma matriz quadrada A de ordem n, podemos associar a ela umnmero, chamado determinante, obtido a partir de operaes envolvendo to-dos os elementos de A.Indicamos o determinante da matriz quadrada A, abaixo, por detA:

    A =

    0@ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

    1A detA=a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

    31

  • Observe que a notao de matriz diferente da notao para o determinantede uma dada matriz. A matriz pode ser escrita com () ou [] ; enquanto que odeterminante escrito entre duas barras jj.

    OBS.: NO CONFUNDIR COM A REPRESENTAO DEM-DULO.

    Determinantes de algumas matrizes

    Determinante de uma matriz de ordem 1:O determinante de uma matriz de ordem 1, ou seja, A = (a11)1x1, o prprio

    elemento a11. Indicamos esse determinante por detA=ja11j = a11.Exemplos:

    B = (7), ento detB = 7

    C = 15

    , ento detC = 15

    Determinante de uma matriz de ordem 2:

    O determinante de uma matriz quadrada A =

    a11 a12a21 a22

    igual

    diferena entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto doselementos da diagonal secundria.

    detA =

    a11 a12a21 a22 = a11 a22 a21 a12

    Exemplo:

    Dada a matriz A =

    9 25 1

    , determine o valor do detA.

    detA =

    9 25 1 = 9 (1) 5 2 = 9 10 = 19

    Determinante de uma matriz de ordem 3

    Dada a matriz A =

    0@ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

    1A, podemos obter o detA por meiodo seguinte clculo:detA = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a32 a21 a13 a22 a31

    a11 a23 a32 a12 a21 a33Para obter os produtos acima, utilizamos uma regra prtica conhecida como

    regra de Sarrus:

    repetimos a 1a e a 2a coluna direita da matriz. Em seguida, efetuamosas multiplicaes conforme as indicaes das setas no esquema:

    a11& a12& .a13& .a11 a12a21 .a22& .a23&

    &.a21& a22

    .a31 a32. a33.&&a31&

    &a32&

    a13a22a.31 a11a23a.32 a12a21a

    .33

    &a11a22a33 &a12a23a31 &a13a21a32

    32

  • o sinal do produto dos elementos indicados pelas setas que vo da esquerdapara direita mantido.

    o sinal do produto dos elementos indicados pelas setas que vo da direitapara a esquerda trocado.

    o determinante a soma dos resultados obtidos.

    Exemplo:

    Utilizando a regra de Sarrus, obtenha o determinante da matrizA =

    0@ 1 0 47 2 101 5 6

    1A.Soluo:

    detA=

    8

    1& 0& . 4& . 1 . 07 . 2& . 10& . 7& 2. 1 . 5 . 6& 1& 5&50 0 12 0 140

    = 12+0+140+

    8 50 + 0 = 86

    Exerccios:1-) Utilizando a regra de Sarrus, calcule os determinantes a seguir:

    a-)

    4 2 37 0 18 5 3

    b-)

    3 5 13 2 121 1 1

    c-)1 0 00 1 00 0 1

    d-)1 a 1

    5 + a a2 23 2 5

    Respostas: a-) -99; b-) 50; c-) 1; d-) 3a2 + 29a+ 6

    2-) Sejam a =

    5 3 10 2 15 1 1

    , b =1 0 02 5 747 12 3

    e c = j23j, determine ovalor de:a-) a+ b cb-) b2 4ac

    c-)

    a 2 71 b 602 5 c

    Respostas: a-) -11; b-) 1404; c-) -20033-) Sabendo que A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3 e aij =1 + i; se i = j2i j2; se i 6= j , calcule detA.Resposta: 181

    4-) Encontre o conjunto soluo da equao

    x 2 13 6 19 x 5

    = 14Resposta: S = f28; 1g

    33

  • 5-) Sejam as matrizes A =

    5 2y 3

    e B =

    0@ 0 2 2y 5 122y 5 4

    1A. Para qualvalor de y detA=detB?Resposta: y = 15386-) (Fatec-SP) O trao de uma matriz quadrada a soma dos elementos de

    sua diagonal principal. Se os nmeros x e y so tais que a matriz

    0@ 2 1 03 x 41 1 y

    1Atem trao igual a 4 e determinante igual a -19, determine o valor do produtoxy.Resposta: -3.

    Sistemas lineares

    As equaes escritas na forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ::::+ anxn = b, em quea1; a2; a3; :::; an so nmeros reais, so chamadas equaes lineares. Nessasequaes:

    a1; a2; a3; :::; an so os coecientes das incgnitas;

    x1; x2; x3; :::; xn so as incgnitas;

    b o termo independente.

    No caso particular, quando b = 0, temos uma equao linear homognea.Exemplo:Na equao: 5x 4y + z 12 t = 2 temos:

    5; 4; 1 e 12 so os coecientes;

    x; y; z e t so as incgnitas;

    2 o termo independente.

    Obs.: Em uma equao linear no h termos do tipo: xy, x2, xyz, etc..., ouseja, cada termo tem apenas uma incgnita, cujo expoente 1.

    Denominamos de sistema linear m x n, o conjunto S de equaes linearesde m equaes com n incgnitas. Representamos esse conjunto genericamenteda seguinte forma:

    S =

    8>>>:a11x1 + a12x2 + a13x3 + ::::+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ::::+ a2nxn = b2::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

    am1x1 + am2x2 + am3x3 + ::::+ amnxn = bm

    34

  • onde:

    a11; a12; :::::; a1n; a21; a22; ::::; a2n; :::; am1; am2; ::::; amn so os coecientedas incgnitas;

    x1; x2, x3; :::; xn so as incgnitas;

    b1; b2, b3; :::; bm so os termos independentes.

    Exemplos:x y = 12x+ 3y = 0

    sistema linear 2x2, com duas equaes lineares e duas incg-

    nitas (x e y).8>>:3x+ 3y = 21x 3y = 5

    ___________4x = 16

    =)

    35

  • x = 4Para encontrar o valor de y vamos proceder da mesma maneira, porm iremos

    multiplicar a segunda linha por (1):x+ y = 7

    x 3y = 5 =)

    x+ y = 7 (1)x 3y = 5 A segunda linha foi multipli-

    cada por (-1) =)

    x+ y = 7x+ 3y = 5 somando agora membro a membro temos:8>>>:

    x+ y = 7x+ 3y = 5

    ___________4y = 12

    =) y = 3

    Logo a soluo do sistema dado : S = f(4; 3)g:

    Resoluo de sistemas lineares pela regra de Cramer

    A regra de Cramer, uma das regras mais tradicionais para resolver sistemasde equaes lineares, apresenta vantagens e desvantagens sobre outros mtodos.A grande vantagem que ela fornece os valores das incgnitas diretamente comoquociente de dois determinantes.Considere o sistema de trs equaes lineares com trs incgnitas:8

  • O valor de cada incgnita o quociente de cada um desses determinantespor D, ou seja:

    x = DxD y =DyD z =

    DzD

    A regra de Cramer pode ser usada para qualquer sistema n x n; com D 6= 0:Exemplo: Resolva o sistema

    2x 5y = 23x+ 2y = 16

    pela regra de Cramer:

    a-) Encontrar o determinante da matriz dos coecientes do sistema: D = 2 53 2 = 19 6= 0

    b-) Encontrar o determinante da matriz da incgnitas, substituindo os ter-mos independentes:

    Dx =

    2 516 2 = 76 Dy = 2 23 16

    = 38O valor de x obtido por: x = DxD =

    7619 = 4

    O valor de y obtido por: y = DyD =3819 = 2

    O conjunto soluo : S = f(4; 2)g:

    Exerccios1-) Usando a regra de Cramer, resolva os sistemas lineares abaixo:

    a-)

    3x y = 15x+ 2y = 4

    Resposta: S = f( 611 ;711 )g:

    b-)

    x y = 42x+ 5y = 1

    Resposta: S = f(3;1)g:

    c-)

    3x 4y = 1x+ 3y = 9

    Resposta: S = f(3; 2)g:

    d-)

    2x+ y = 43x 2y = 1 Resposta: S = f(1; 2)g:

    e-)

    8

  • O sistema dado no sistema linear. Fazendo 1x = m e1y = n, o sistema

    toma a forma de um sistema linear 2 x 2 nas incgnitas m e n:m+ n = 3

    2m 3n = 1 =) D = 1 12 3

    = 5Dm =

    3 11 3 = 10

    Dn =

    1 32 1 = 5 =) m = DmD = 105 = 2 e n = DnD = 55 = 1

    Ento:1x = m =)

    1x = 2 ) x =

    12 e

    1y = n =)

    1y = 1 ) y = 1; logo a soluo

    : S = f( 12 ; 1)g:2-) Resolva usando a regra de Cramer:

    a-) 1

    x +1y = 4

    3x +

    2y = 9

    Resposta: S = f(1; 13 )g:

    b-) 3

    x 2y = 3

    6x +

    3y = 8

    Resposta: S = f(3; 12 )g:

    Radicais

    npam ) n denominado ndice e am o radicando lembrar que: n

    pam = a

    mn

    Operaes: adio e diferena; deve ser efetuada somente para termosidnticos.Exemplos:adio:

    pa+ 3

    pa+ 5

    pa = (1 + 3 + 5)

    pa = 9

    pa

    diferena:pab 4

    pab 7

    pab = (1 4 7)

    pab = 10

    pab

    multiplicao: aplica-se a seguinte regra:

    npa: mpb = m:n

    pam:bn

    Racionalizao

    Racionalizar tornar racional, isto , retirar a raiz. Normalmente racionaliza-se o denominador de uma frao para podermos trabalhar com denominadoresinteiros. O princpio usado para a eliminao das razes fazer com que oexpoente do radicando que igual ao ndice, pois n

    pan = a: Alguns tipos de

    racionalizao:1-) ap

    b= ap

    b

    pbpb= a

    pb

    b

    2-) Se n > p, anpbp

    = anpbp

    npbnp

    npbnp

    = anpbnp

    b

    3-) abpc+d

    = a(bpc+d)

    (bpcd)

    (bpcd)

    =a(bpcd)

    (bpc)2d2

    =a(bpcd)

    b2cd2

    4-) abpc+d

    pe= a

    (bpc+d

    pe)

    (bpcd

    pe)

    (bpcd

    pe)

    =a(bpcd

    pe)

    (bpc)2(d

    pe)

    2 =a(bpcd

    pe)

    b2cd2e

    Exerccios

    38

  • 1-) Racionalizar o denominador.a-)

    p3p5=

    b-) 35p22

    =

    c-)p2

    (2p3p2)

    =

    d-) 3(p23) =

    e-) 5(5+

    p3)

    =

    f-) 7p2p

    3+p5=

    2-) Simplique as expresses:a-)

    p80 +

    p20 =

    b-) 3p5 +

    p45 2

    p20 =

    c-) 2p150 4

    p54 + 6

    p24 =

    d-)3p24 3

    p81

    3pp

    9+ 3p3=

    e-)5

    r16

    4

    q18 3

    p5 +

    p9 =

    f-) 2+p3

    1p5+ 2

    p3

    1+p5=

    g-) 11p2 1p

    2+1=

    h-) 1p2+ 1p

    18 1p

    8=

    39

  • Relaes mtricas e trigonomtricas em um tringulo retngulo

    Considere o tringulo de vrtices ABC.

    B

    C

    A

    a

    b

    c

    n

    m

    h

    onde:a = hipotenusab = catetoc = catetoh = alturam = projeo do cateto b na hipotenusan = projeo do cateto c na hipotenusaRelao de Pitgoras:

    a2 = b2 + c2

    possvel mostrar que:

    b2 = a mc2 = a nh2 = m n

    Considere agora o tringulo retngulo de lados a, b e c, conforme mostra agura:Chamamos:

    seno de um ngulo: quociente entre o cateto oposto ao ngulo e a hipotenusa.Assim:

    sen = ca e sen =ba

    cosseno de um ngulo: quociente entre o cateto adjacente ao ngulo e ahipotenusa. Assim:

    cos = ba e cos =ca

    40

  • a

    b

    B

    C A

    c

    tangente de um ngulo: quociente entre o cateto oposto ao ngulo e ocateto adjacente. Assim:

    tg = cb e tg =bc

    cotangente de um ngulo: quociente entre o cateto adjacente ao ngulo eo cateto oposto. Assim:

    cotg = bc e cotg =cb

    cossecante de um ngulo: quociente entre a hipotenusa e o cateto opostoao ngulo. Assim:

    cossec = ac e cossec =ab

    secante de um ngulo: quociente entre a hipotenusa e o cateto adajacenteao ngulo. Assim:

    sec = ab e sec =ac

    Comparando as relaes anteriores possvel concluir:sen = coscos = sentg = cotgtg = cotgtg = 1cotgsec = cossecsec = cossecA soma dos ngulos internos de um tringulo 180; ou seja:+ + A = 180 como A = 90 vem: + = 90

    Exerccios

    1-) Dado um tringulo equiltero de lado l, determinar:sen30 =cos30 =

    41

  • tg30 =cot30 =cossec30 =sec30 =sen60 =cos60 =tg60 =2-) Dado um tringulo retngulo isceles de cateto igual a l, Determinar:sen45 =cos45 =tg45 =Monte a tabela abaixo com os resultados obtidos anteriormente:

    seno cosseno tangente30

    45

    60

    3-) Mostre que:sen2+ cos2 = 1tg = sencoscogt = cossen

    sec = 1cos

    cossec = 1sen

    cotg = 1tg

    1 + tg2 = sec2

    1 + cotg2 = cossec2

    cos2 = 11+tg2

    sen2 = tg2

    1+tg2

    Funes Trigonomtricas: Considere a circunferncia de centro O e raio r =1. Ocomprimento da circunferncia 2.

    Funo seno: Dado um nmero real , seja A sua imagem no ciclo. De-nominamos seno de ( e indicamos sen) a ordenada OA0 do ponto A emrelao ao sistema XOY . Denominamos funo seno a funo f : R ! R queassocia a cada real o real OA0 = sen, isto :

    42

  • 2,0

    2,5

    3,0

    3,5

    4,0

    C

    DA' A

    360o=2

    270o=3 / 218

    0o=

    Y 90o= / 2

    X0o

    tg

    sen

    O Bcos

    f() = sen

    Propriedades:

    A imagem da funo seno o intervalo [1; 1], isto , 1 sen 1 paratodo real.

    Se do primeiro ou segundo quadrante, ento sen positivo.

    Se do terceiro ou quarto quadrante, ento sen negativo.

    A funo seno peridica e seu perodo 2. imediato que, se sen =OA0 e k 2 Z, ento sen (+ k 2) = OA0 pois e + k 2 tm amesma imagem A no ciclo. Temos, ento, para todo real:

    sen = sen (+ k 2)

    e, portanto, a funo seno peridica. Seu perodo o menor valor positivode k 2, isto , 2.Representao grca:

    Exerccios

    1-) Determinar o perodo e a imagem e fazer o grco de um perodo completodas funes dadas.a-) f : R! R dada por f(x) = senxb-) f : R! R dada por f(x) = 2senxc-) f : R! R dada por f(x) = sen2xd-) f : R! R dada por f(x) = senx2e-) f : R! R dada por f(x) = 1 + senxf-) f : R! R dada por f(x) = sen (x 90o)g-) f : R! R dada por f(x) = sen (2x 60o)Funo cosseno: Dado um nmero real , seja A sua imagem no ciclo.

    Denominamos cosseno de ( e indicamos cos) a abscissa OB do ponto A emrelao ao sistema XOY . Denominamos funo cosseno a funo f : R ! Rque associa a cada real o real OB = cos, isto :

    43

  • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    -1.0

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    x

    y

    Figure 4: f() = sin()

    f() = cos

    Propriedades:

    A imagem da funo cosseno o intervalo [1; 1], isto , 1 cos 1para todo real.

    Se do primeiro ou quarto quadrante, ento cos positivo.

    Se do segundo ou terceiro quadrante, ento cos negativo.

    A funo cosseno peridica e seu perodo 2. imediato que, se cos =OB e k 2 Z, ento cos (+ k 2) = OB pois e +k2 tm a mesmaimagem A no ciclo. Temos, ento, para todo real:

    cos = cos (+ k 2)

    e, portanto, a funo cosseno peridica. Seu perodo o menor valorpositivo de k 2, isto , 2.Representao grca:cos

    Exerccios

    44

  • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    -1.0

    -0.8

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    x

    y

    Figure 5: f() = cos ()

    1-) Determinar o perodo e a imagem e fazer o grco de um perodo completodas funes dadas.a-) f : R! R dada por f(x) = jcosxjb-) f : R! R dada por f(x) = cos2xc-) f : R! R dada por f(x) = 1 + 2 cos(x)d-) f : R! R dada por f(x) = 2cos (x 60o)e-) f : R! R dada por f(x) = 2cos (x+ 60o)f-) f : R! R dada por f(x) = cos (x 30o)Funo tangente:Dado um nmero real , 6= 2 +k, seja A sua imagem

    no ciclo. Consideremos a reta OA e seja D sua interseco com o eixo dastangentes. Denominamos tangente de ( e indicamos tg) a medida algbricado segmento CD.Denominamos funo tangente a funo f : R ! R que associa a cada real

    ; 6= 2 + k o real CD = tg, isto :

    f() = tg

    Note que, para = 2 + k, o ponto A est em = 90

    2

    ou = 270

    32

    e, ento, a reta OA ca paralela ao eixo das tangentes, e neste caso no

    existe o ponto D, a tg no denida.Propriedades:

    O domnio da funo tangente Dom (tg) = 2 R = 6= 2 + k

    45

  • A imagem da funo tangente R, isto , para todo y real existe um real tal que y = tg.

    Se do primeiro ou terceiro quadrante, ento tg positiva.

    Se do segundo ou quarto quadrante, ento tg negativa.

    A funo tangente peridica e seu perodo . imediato que, se tg =CD e k 2 Z, ento tg (+ k ) = CD pois e + k tm imagenscoincidentes ou diametralmente opostas no ciclo trigonomtrico, assim,para todo real e 6= 2 + k:

    tg = tg (+ k )

    e, portanto, a funo tangente peridica. Seu perodo o menor valorpositivo de k , isto , .Representao grca:

    -6 -4 -2 2 4 6

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

    Figure 6: f() = tg

    NMEROS COMPLEXOS

    Introduo: A soluo da equao x2 = 1 no conjunto dos nmeros reais o conjunto vazio. Durante o sculo XV interpretar o resultado da raiz quadradade um nmero negativo foi um grande obstculo para os matemticos da poca.Raaele Brambeli foi um dos primeiros a expor uma teoria sobre as razes

    quadradas de nmeros negativos, em seu tratado de lgebra, publicado em1572 na cidade de Bologna. Raaele mostrou que tratava-se de um novo entematemtico.Conjunto dos nmeros complexos: Chama-se conjunto dos nmeros

    complexos, o conjunto dos pares ordenados (x; y) de nmeros reais e indicadopor C = f(x; y) =x; y 2 Rg para os quais valem as seguintes denies:

    46

  • Igualdade: dois pares ordenados so iguais, se e somente se, apresentamprimeiros termos iguais e segundos termos iguais.

    (a; b) = (c; d), a = c e b = d

    Adio: chama-se soma de dois pares ordenados a um novo par orde-nado cujos primeiros e segundos termos so, respectivamente, a soma dosprimeiros termos e a soma dos segundos termos dos pares dados.

    (a; b) + (c; d) = ((a+ c) ; (b+ d))

    Multiplicao: chama-se produto de dois pares ordenados a um novopar ordenado cujo primeiro termo a diferena do produto dos primeirostermos menos o produto dos segundos termos dos pares dados e cujossegundo termo a soma dos produtos do primeiro termo de cada par pelosegundo do outro.

    (a; b) (c; d) = ((a c b d) ; (a d+ c b))

    O conjunto dos nmeros complexos ser indicado por C. Cada elemento(x; y) 2 C ser indicado por z, onde x = parte real de z = Re(z), y = parteimaginria de z = Im (z).Exemplos1-) Dados z1 = (3; 2) e z2 = (1; 4) calcular:a-) z1 + z2 = (3; 2) + (1; 4) = (4; 6)b-) z1 z2 = (3; 2) (1; 4) = ((3 1 2 4) ; (3 4 + 2 1)) = (5; 14)c) z2 z1 = (1; 4) + (3;2) = (2; 2)

    Exerccios

    1-) Determinar x 2 R e y 2 R para que se tenha:a-) (2x; 4) = (3; 4y)b-) (x 1; y + 2) = (2; 0)2-) Dados z1 = (1; 2) e z2 = (3;4) calcular:a-) z1 + z2b-) z1 (z2)c-) z2 z1d-) z1 z2

    Forma Algbrica

    O elemento neutro da multiplicao no conjunto dos nmeros reais onmero 1, ou seja:

    1 x = x 1 = x 8x 2 R

    47

  • O nmero complexo (1; 0) o elemento neutro da multiplicao no conjuntodos nmeros complexos.Exemplo:(1; 0) (x; y) = ((1 x 0 y) ; (x 0 + 1 y)) = (x; y) 8 (x; y) 2 C(x; y) (1; 0) = ((x 1 y 0) ; (y 1 + x 0)) = (x; y) 8 (x; y) 2 CSendo k 2 R e (x; y) 2 C, denimos:

    k (x; y) = (kx; ky)

    Em particular:

    0 (x; y) = (0 x; 0 y) = (0; 0)1 (x; y) = (1 x; 1 y) = (x; y)

    Notando que (1; 0) (x; y) = (x; y) e 1 (x; y) = (x; y), vamos identicar onmero complexo (1; 0) com a unidade real 1, ou seja:

    (1; 0) = 1

    Chama-se unidade imaginria o nmero complexo (0; 1) que indicamos pori. Assim:

    (0; 1) = i

    Note que:i2 = i i = (0; 1) (0; 1) = (0 0 1 1; 0 1 + 1 0) = (1; 0)

    = 1 (1; 0) = 1 1 = 1ou seja, a propriedade bsica da unidade imaginria :

    i2 = 1

    Assim, um nmero cuja raiz quadrada 1 i = (0; 1).Dado um nmero complexo qualquer z = (x; y), temos:

    z = (x; y) = (x+ 0; 0 + y) = (x; 0) + (0; y) = x (1; 0) + y (0; 1) = x 1 + y i =x+ i y

    Assim, todo nmero complexo z = (x; y) pode ser escrito sob a forma:

    z = x+ i y

    chamada forma algbrica onde:x = parte real de zy = parte imaginria de z.Se y = 0 temos z = x+ i 0 = x, ou seja, z real (R C).Se x = 0 e y 6= 0 temos z = 0 + i y = i y e dizemos que z imaginrio

    puro.Igualdade: a+ bi = c+ di() a = c e b = dAdio: (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d) i

    48

  • Multiplicao: (a+ bi) (c+ di) = a (c+ di) + bi (c+ di)= ac+ adi+ bci+ bdi2

    = ac+ adi+ bci bd= (ac bd) + (ad+ bc) i

    Exemplos:Colocar na forma algbricaa-) 3 (1; 2) = (3; 6) = 3 + 6ib-) 2 (1; 4) = (2;8) = 2 8ic-) 12 (3;5) =

    32 ;

    52

    = 32 +

    52 i

    Exerccios

    1-) Dados z1 = 3 + 2i e z2 = 1 4i, calcular:a-) z1 + z2 =b-) z1 z2 =c-) z1 z2 =

    2-) Efetuar:

    a-) (3 i) + (2 i) (1 + 2i) =b-) (2 + 3i) i+ (1 i) i2 =c-) (2 + 3i)2 =d-) (3 i)2 =e-) (i)2 =f-) (1 + 2i) + (3 5i) =g-) (5 2i) + (2 + 8i) =h-) (1 + 2i) (3 5i) =i-) (2 3i) (3 + i) =3-) Determinar x 2 R e y 2 R de modo que: (x+ 2i) + (3 yi) = 5 i

    4-) Determinar k 2 R de modo que o nmero complexo z = (k + i) (2 ki)seja:a-) nmero realb-) imaginrio puro

    5-) Determinar x 2 R e y 2 R de modo que:a-) 3 + 5yi = x 15ib-) (3 + yi) + (x 2i) = 7 5i

    Conjugado de um nmero complexo

    Chama-se conjugado do nmero complexo z = x+ yi ao nmero complexoz = x yi, isto ,

    z = x+ yi() z = x yiExerccios

    49

  • 1-) Sendo z = x+ yi, mostrar que z + z = 2x.2-) Provar que se z1 e z2 so dois nmeros complexos quaisquer, ento

    z1 + z2 = z1 + z2.3-) Determinar z 2 C tal que z + 2zi = i 1.4-) Determinar o nmero complexo z, tal que 2z + iz + 1 i = 0:5-) Sendo z = x+ yi, mostrar que z z = x2 + y2.6-) Determinar os nmeros complexos z, tais que: z z + (z z) = 13 + 6i.

    Diviso: Dados os nmeros complexos z1 = a + bi e z2 = c + di 6= 0,vamos obter o nmero complexo z = x+ yi tal que z = z1z2 .

    Devemos ter z z2 = z1, isto :(x+ yi) (c+ di) = a+ bi(cx dy) + (dx+ cy) i = a+ biDa denio de igualdade temos:

    cx dy = a) x = a+dycdx+ cy = b) y = bdxc

    d a+dyc

    + cy = b

    da+ d2y + c2y = cby

    c2 + d2

    = cb da

    y = cbdac2+d2

    Analogamente temos:cx d

    bdxc

    = a

    c2x bd+ d2x = acx

    c2 + d2

    = ac+ bd

    x = ac+bdc2+d2 onde c2 + d2 6= 0

    Portanto:

    z =ac+bdc2+d2

    +cbdac2+d2

    i

    Observar que:

    z chamado quociente de z1 por z2:

    z existe e nico.

    ExemploCalcule z tal que z = 2+3i1+i .Soluo:fazendo z = x+ yi temos:(x+ yi) (1 + i) = 2 + 3ix+ xi+ yi y = 2 + 3i(x y) + (x+ y) i = 2 + 3i

    x y = 2x+ y = 3

    )somando membro a membro vem: x = 52 e y =12 portanto:

    50

  • z = 52 +12 i

    Obs.:Sabendo que z = x+ yi e z z = (x+ yi) (x yi) = x2 + y2Podemos efetuar a diviso de z1 por z2 6= 0, de um modo mais prtico:multiplicamos o numerador (z1) e o denominador (z2) pelo conjugado do

    denominador, isto :

    z1z2

    = z1z2z2z2

    Exemplo:Encontre z = 2+3i1+iSoluo:z = 2+3i1+i =

    2+3i1+i

    1i1i

    = 22i+3i+312+12 =

    5+i2 =

    52 +

    12 i, portanto:

    z = 52 +12 i

    Exerccios

    1-) Dado z 6= 0, chama-se inverso multiplicativo de z, o nmero complexo 1z .Assim, dado z = 2 + 3i, obter o inverso multiplicativo de z.2-) Colocar na forma algbrica o nmero complexo: 11+2i2i .3-) Dado z = 1+ii , obter z.4-) Determinar x 2 R de modo que o nmero complexo z = 2xi1+2xi seja

    imaginrio puro.5-) Determinar a 2 R de modo que o nmero complexo z = 1+2i2+ai seja real.6-) Sendo u e v dois nmeros complexos tais que u2 v2 = 2+16i e u+ v =

    5 + i, calcular u v?

    Plano Argand-Gauss

    A cada nmero complexo z = (x; y) associamos o vetor !z = x!i +y!j , onde!i ;!j uma base otonormal do R2. O conjunto C dos nmeros complexos

    um espao vetorial sobre C e sobre R.O plano cartesiano XOY , conjunto dos vetores !z = x!i + y!j o plano

    Argand-Gauss. Cada ponto P = (x; y) a extremidade do vetor (P O) docomplexo. Os vetores !z = x!i + y!j , associados a z, so os vetores cartesianosou raio-vetores.onde:OX - eixo realOY - eixo imaginrio

    Mdulo de um nmero complexo:z = a+ bi denido como:

    jzj = =pa2 + b2

    51

  • O

    P(a,b)

    a

    b

    X

    Y

    Exemplos:Se z = 2 + i, calcule jzj.jzj = j2 + ij =

    p22 + 12 =

    p5

    Se z =p3 i, calcule jzj.

    jzj =p3 i =qp32 + (1)2 = 2

    Argumento: chama-se argumento de um nmero complexo z = a+ bi, nonulo a medida (0 < 2) do ngulo formado por !OP com o eixo real OX.

    O

    P

    a

    b

    z = a + bi X

    Y

    P

    O-a

    b

    z = -a + biX

    Y

    P

    O-a

    -b

    z = -a - biX

    Y

    P

    O a

    -b z = a - bi

    X

    Y

    Observe que:

    cos = a e sen =b

    onde = jzj e 0 < 2

    52

  • Exemplos:1-) Sendo z =

    p3 + i calcule o valor de .

    temos: a =p3 e b = 1

    = jzj = 2cos =

    p32 sen =

    12 portanto = arg(z) =

    6

    2-) Sendo z = 1 + i calcule o valor de .temos: a = 1 e b = 1 = jzj =

    p2

    cos = 1p2=

    p22 sen =

    1p2=p22 portanto = arg(z) =

    34

    Note que:

    A condio z 6= 0, garante 6= 0.

    A restrio 0 < 2 elimina a congruncia e as relaes cos e senxam o quadrante ao qual pertence.

    Exerccios

    1-) Determinar o mdulo, o argumento e represente gracamente os seguintesnmeros complexos.a-) z = 2 + 2

    p3i

    b-) z = 3ic-) z = 2 + 2id-) z = 3e-) z =

    p6

    p2i

    2-) Provar que se z1 e z2 so dois nmeros complexos quaisquer, entojz1 z2j = jz1j jz2j

    3-) Determinar o mdulo dos seguintes nmeros complexos:a-) z = (2 i) (1 + i)b-) z = 2+3i1ic-) z = (12i)

    2

    i

    4-) Dado z = 1 p3i, representar no plano Argand-Gauss o complexo z.

    Qual o argumento z?

    Forma Trigonomtrica

    Consideremos um nmerocomplexo z = a+ bi, no nulo. Temos:jzj = =

    pa2 + b2

    a = cos b = senPortanto podemos escrever z = cos + isenou

    53

  • z = (cos + isen)

    que denominada forma trigonomtrica (ou polar) de z.Exemplos:1-) Escrever na forma trigonomtrica os seguintes nmeros complexos:a-) z =

    p3 + i

    Soluo:

    = jzj =qp

    32

    + 12 = 2

    cos =p32

    sen = 12

    = 6 :

    :. z = 2cos

    6

    + isen

    6

    b-) z = 2iSoluo:

    = jzj =q

    (0)2+ 22 = 2

    cos = 0sen = 12

    = 2 :

    :. z = 2cos

    2

    + isen

    2

    c-) z = 2Soluo:

    = jzj =q

    (2)2= 2

    cos = 1sen = 0

    = 0 ::. z = 2 (cos (0) + isen (0))

    d-) z = 2Soluo:

    = jzj =q

    (2)2 = 2cos = 1sen = 0

    = ::. z = 2 (cos () + isen ())

    Exerccios

    1-) Escrever na forma algbrica os seguintes nmeros complexos:a-) z = 2

    cos

    34

    + isen

    34

    b-) z =

    cos

    116

    + isen

    116

    c-) z = 4

    cos

    4

    + isen

    4

    d-) z = 2

    cos

    56

    + isen

    56

    e-) z =

    p2cos

    43

    + isen

    43

    2-) Escrever na forma trigonomtrica os seguintes nmeros complexos:a-) z = 1 +

    p3i

    b-) z = 2 + 2ic-) z =

    p2

    p6i

    d-) z = (1 + i) if-) z = 12

    p32 i

    g-) z = 5+5i22i3-) Sendo z = (cos + isen), mostrar que:a-) zz2+2 real.

    b-) iz+iz imaginrio puro.

    54

  • Forma exponencial de um nmero complexo

    Dado o nmero complexo z = (cos + isen) na forma trigonomtrica, elembrando da identidade de Euler:

    ei = cos + isen

    podemos escrever ento:

    z = ei

    Dados os nmeros complexos: z1 = 1ei1 e z2 = 2e

    i2

    igualdade de complexos:z1 = z2 ) 1ei1 = 2ei2 ) 1 = 2 e 1 = 2 ou 1 = 2 + 2k; k 2 Z.

    adio de complexos:z1+ z2 = 1e

    i1 + 2ei2

    multiplicao de complexos:z1 z2 = 1ei1 2ei2 = 1 2ei(1+2)

    diviso de complexos:z1z2

    = 1ei1

    2ei2

    = 12ei(12)

    conjugado de complexos:z1 = 1e

    i(1) = 1ei1

    Funes trigonomtricas - continuao

    Funo cotangente: Dado um nmero real , 6= k, seja A sua imagemno ciclo. Consideremos a reta OA e seja C sua interseco com o eixo dascotangentes. Denominamos cotangente de ( e indicamos cotg) a medidaalgbrica do segmento BC.Denominamos funo cotangente a funo f : R ! R que associa a cada

    real ; 6= k o real BC = cotg, isto :

    f() = cotg

    Note que, para = k, o ponto A est em = 0 ou = 180 () e, ento,a reta OA ca paralela ao eixo das cotangentes, e neste caso no existe o pontoC, a cotg no denida.Propriedades:

    O domnio da funo cotangente Dom (cotg) = f 2 R = 6= kg

    A imagem da funo cotangente R, isto , para todo y real existe um real tal que y = cotg.

    55

  • 2,0

    2,5

    3,0

    3,5

    4,0

    CA

    360o=2

    270o=3 / 218

    0o=

    Y90o= / 2

    X0o

    O

    B

    Se do primeiro ou terceiro quadrante, ento cotg positiva.

    Se do segundo ou quarto quadrante, ento cotg negativa.

    A funo cotangente peridica e seu perodo .

    Representao grca:

    -6 -4 -2 2 4 6

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

    Figure 7: f() = cot()

    Funo secante: Dado um nmero real , 6= 2 + k, seja A sua imagemno ciclo. Consideremos a reta s tangente ao ciclo em A e seja S sua intersecocom o eixo dos cossenos. Denominamos secante de ( e indicamos sec) aabscissa OS do ponto S.Denominamos funo secante a funo f : R! R que associa a cada real ;

    6= 2 + k o real OS = sec, isto :

    f() = sec

    56

  • 2,0

    2,5

    3,0

    3,5

    4,0

    s

    A

    360o=2

    270o=3 / 218

    0o=

    90o= / 2

    0o

    O

    Note que, para = 2 + k, o ponto A est em = 90

    2

    ou = 270

    32

    e, ento, a reta s ca paralela ao eixo dos cossenos, e neste caso no existe

    o ponto S, a sec no denida.Propriedades:

    O domnio da funo secante Dom (sec) = 2 R = 6= 2 + k

    A imagem da funo secante R ]1; 1[, isto , para todo real y, comy 1 ou y 1, existe um real tal que y = sec.

    Se do primeiro ou quarto quadrante, ento sec positiva.

    Se do segundo ou terceiro quadrante, ento sec negativa.

    A funo cotangente peridica e seu perodo 2.

    Representao grca:

    -6 -4 -2 2 4 6

    -4

    -2

    2

    4

    x

    y

    Figure 8: f() = sec

    57

  • 2,0

    2,5

    3,0

    3,5

    4,0

    C

    s

    A

    360o=2

    270o=3 / 218

    0o=

    90o= / 2

    0o

    O

    Funo cossecante: Dado um nmero real , 6= k, seja A sua imagemno ciclo. Consideremos a reta s tangente ao ciclo em A e seja C sua intersecocom o eixo dos senos. Denominamos cossecante de ( e indicamos cossec) aordenada OC do ponto C.Denominamos funo cossecante a funo f : R! R que associa a cada real

    ; 6= k o real OC = cossec, isto :

    f() = cossec

    Note que, para = k, o ponto A est em = 0 ou = 180 () e, ento,a reta s ca paralela ao eixo dos senos, e neste caso no existe o ponto C, acossec no denida.Propriedades:

    O domnio da funo cossecante Dom (cossec) = f 2 R = 6= kg

    A imagem da funo cossecante R ]1; 1[, isto , para todo real y, comy 1 ou y 1, existe um real tal que y = cossec.

    Se do primeiro ou segundo quadrante, ento cossec positiva.

    Se do terceiro ou quarto quadrante, ento cossec negativa.

    A funo cossecante peridica e seu perodo 2.

    Representao grca:

    Exerccios

    1-) Sabendo que senx = 45 e2 < x < , calcular as demais funes circulares

    de x.2-) Sendo senx = 13 e 0 < x