Questão Resolvida

Matemática – Números Complexos

Nível Fácil

Sabendo que , calcule a distância entre a reta que passa

por dois dos pontos que satisfazem essa equação e o terceiro

ponto, que não faz parte dessa reta.

Equipe Estude Sério!

Solução 1:

Iremos utilizar diretamente a equação de De Moivre para raízes

de números complexos. A fórmula é dada a seguir:

2| |n

k

kz cis

n

0,1,(...), ( 1)k n

Sendo: ( ) cos( ) ( )cis x x isen x

Assim, calculemos as raízes da equação z³=1:

30

31

32

0 2 0|1| (0) 1

3

0 2 1 2 1 3|1|

3 3 2 2

0 2 2 4 1 3|1|

3 3 2 2

cis cis

icis cis

icis cis

Agora que temos os 3 pontos, podemos ver qual a equação da

reta que passa por dois deles. Como a segunda raiz é conjugada

da terceira, no plano cartesiano a reta que contém os dois

pontos seria uma reta vertical que passa pelo ponto x = -1/2

Como essa reta é vertical, a distância dela até qualquer ponto é

dado por d=|x1-x2|. Assim:

1 31

2 2

Solução 2:

Podemos garantir que os 3 pontos que satisfazem a equação

z³=1 formam um triângulo eqüilátero com baricentro na origem.

Como um dos vértices é evidentemente o ponto (1,0) podemos

garantir que a altura do triângulo está sobre o eixo x do gráfico.

Assim, aproveitando o fato de que o baricentro é a origem,

podemos dizer que |z| equivale a 2/3 da altura do triângulo

(propriedade do baricentro) e como |z|=1, a altura é 3/2.

A altura do triângulo é exatamente o que o enunciado pede, a

distância entre um dos vértices e a reta que contem os outros

dois, que seria a base do triângulo.