matemática cederj

Matemtica Bsica

Celso Jos da Costa

3 edio

2Volume3Mdulo

Celso Jos da CostaVolume 2 - Mdulo 3

Matemtica Bsica

3 edio

Apoio:

Referncias Bibliogrfi cas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

Copyright 2005, Fundao Cecierj / Consrcio Cederj

Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao.

ELABORAO DE CONTEDOCelso Jos da Costa

COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto

C837mCosta, Celso Jos da. Matemtica bsica. v. 2 / Celso Jos da Costa. 3.ed. Rio de Janeiro : Fundao CECIERJ, 2007. 68p.; 21 x 29,7 cm.

ISBN: 978-85-7648-411-0 ISBN:

1. Conjuntos. 2. Funes. 3. Logaritmos. I.Figueiredo, Luiz Manoel. II. Ttulo.

2007/2

Material Didtico

Fundao Cecierj / Consrcio CederjRua Visconde de Niteri, 1364 Mangueira Rio de Janeiro, RJ CEP 20943-001

Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725

PresidenteMasako Oya Masuda

Coordenao do Curso de MatemticaCelso Jos da Costa

EDITORATereza Queiroz

COORDENAO EDITORIALJane Castellani

COORDENAO DE PRODUOJorge Moura

PROGRAMAO VISUALAline MadeiraEduardo Teles

CAPAEduardo BordoniSami Souza

PRODUO GRFICAAndra Dias FiesFbio Rapello Alencar

Departamento de Produo

Universidades Consorciadas

UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho

UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Nival Nunes de Almeida

UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman

UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda

UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio Teixeira

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles

Governo do Estado do Rio de Janeiro

Secretrio de Estado de Cincia e Tecnologia

Governador

Alexandre Cardoso

Srgio Cabral Filho

Matemtica Bsica

SUMRIO

Volume 2 - Mdulo 3

Aula 14 - Conjuntos ______________________________________________7

Aula 15 - Introduo s funes ___________________________________ 17

Aula 16 - Funes composta e inversa ______________________________ 27

Aula 17 - Funes do 1 grau _____________________________________ 35

Aula 18 - Funes quadrticas ____________________________________ 41

Aula 19 - Funo modular _______________________________________ 49

Aula 20 - Funo exponencial _____________________________________ 55

Aula 21 - Logaritmos ___________________________________________ 61

MATEMATICA

AULA 14 CONJUNTOS

OBJETIVOS: Nesta aula pretendemos quevoce:

Entenda o conceito de conjunto e possa rea-lizar operacoes entre conjuntos.

Recorde a estrutura dos conjuntos nume-ricos.

Trabalhe com intervalos de numeros reais erealize operacoes entre intervalos.

1. INTRODUCAO

Conjunto e toda reuniao de elementos (pes-soas, objetos, numeros, etc.) que podemser agrupadas por possurem caractersticas co-muns. Exemplo: o conjunto de todas as letrasde nosso alfabeto ou o conjunto de todas as mu-lheres brasileiras.

2. SIMBOLOS

Para representar conjuntos usamos as letrasmaiusculas A, B, C . . . e para representar ele-mentos de conjuntos usamos letras minusculasa, b, c, d . . .

Exemplo: A = {a, e, i, o, u} tambem pode serescrito como A = {x | x e vogal de nossoalfabeto}. Para representar que u esta no con-junto A e que o elemento d nao esta no conjuntoA escrevemos u A le-se u pertence a A ed / A le-se d nao pertence a A.3. CONJUNTO UNITARIO ECONJUNTO VAZIO

Um conjunto que possui apenas um elemento edito um conjunto unitario. Um conjunto que naopossui elemento e um conjunto vazio. Usamos osmbolo para representar um conjunto vazio.Exemplo: Se B = { os dias da semana cujaprimeira letra e f} entao B = .

4. SUBCONJUNTOS

Um conjunto B cujos elementos todos per-tencem a um outro conjunto A e dito um sub-conjunto deste outro conjunto.

Exemplo: A = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, e} eC = {a, e, i} entao B e um subconjunto de A, Cnao e um subconjunto de A. Usamos a notacao:

B A le-se B esta contido em A ou A Ble-se A contem B e C A le-se C nao estacontido em A.

5. UNIAO, INTERSECAO E PRO-DUTO CARTESIANO DECONJUNTOS

Dados dois conjuntos A e B podemos formartres novos conjuntos:

i) o conjunto uniao de A e B e o conjuntoformado por todos os elementos de A ede B,A B {x | x A ou x B} le-se oconjunto dos x tal que se x pertence a Aou x pertence a B

A B

ii) o conjunto intersecao de A e B e o conjuntodos elementos que estao simultaneamenteem A e em B.A B = {x | x A e x B} le-se oconjunto dos x tal que x pertence a A e xpertence a B.

A B

Exemplo: Se B = {a, e, i} e A = {a, b, c, d, e}entao

A B = {a, b, c, d, e, i} e A B = {a, e}.

7

iii) o conjunto produto cartesiano, AB, de Apor B e um novo conjunto, denido por

AB = {(x, y) | x A e y B} .

Exemplo: Se A = {1, 2} e B = {a, b}, entao

AB = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)} .

Nota: Se A tem n elementos e B tem m ele-mentos entao AB tem m n elementos.

6. CONJUNTO DIFERENCA ECONJUNTO COMPLEMENTAR

O conjunto diferenca entre os conjuntos A eB e formado pelos elementos que pertencem a Ae nao pertencem a B. Usamos a notacao ABpara o conjunto diferenca.

AB = {x | x A e x / B}.A B

Quando estamos estudando conjuntos, pode-mos nos referir ao conjunto universo represen-tado pela letra U . Numa situacao especicadaU e o conjunto que contem como subconjuntosos conjuntos estudados.A U le-se o conjunto A esta contido no con-junto universo U.

A

U

O conjunto complementar do conjuntoA e o con-junto formado pelos elementos do conjunto uni-verso que nao pertence a A. Entao na verdadeeste conjunto e igual a U A.Tambem e comum o uso da notacao Ac. Assim,Ac = {x | x U e x / A}. Tambem aparece anotacao CA e A.

Exemplo: A = {1, 3, {2, 4}, a, b}. O conjunto Apossui 5 elementos. Podemos escrever que 3 Ae que {2, 4} A. Note que nao e correto escr-ever {2, 4} A. No entanto e perfeito escrever:{{2, 4}} A.

Caso ParticularQuando temos dois conjuntos A e B, tais queB A, a diferenca A B e chamada de Com-plemento de B em relacao a A, representadopor CAB.

A

B

CAB e o que falta a B para ser igual a A.Por exemplo, se A = {a, e, i} e B = {a}, entao:

CAB = AB = {e, i}.Observacao: Sendo U o conjunto Universo,entao escrevemos:

U A = CUA = CA = A.7. CONJUNTO DAS PARTES

Dado um conjunto A denimos o conjunto daspartes de A, P (A), como o conjunto cujos ele-mentos sao todos os subconjuntos de A.P (A) = {X | X e subconjunto de A}.Exemplo: Se A = {a, e, i, } entao P (A) ={, {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}.Nota: Se um conjunto tem n elementos entaoP (A) possui 2n elementos.

8. NUMERO DE ELEMENTOS DEUM CONJUNTO

Um conjunto e dito nito quando possui umnumero nito n de elementos. Em caso contrarioo conjunto e chamado innito. Dados os con-juntos nitos A e B representamos por n(A) onumero de elementos de A; por n(B) o numerode elementos de B; por n(A B) o numero deelementos de AB e por n(AB) o numero deelementos de A B. Nao e difcil provar que

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B).Veja por que. Qual e o metodo para encon-trar n(A B), o numero de elementos do con-junto A B. Contamos A e B e somamos, ob-tendo n(A) + n(B). Agora faco a seguite per-gunta: em que circunstancia e correto escrevern(A B) = n(A) + n(B) ?

8

A resposta e: apenas quando A B = .Pois nessa situacao, contar A B e equivalentea contar A, contar B e adicionar os resultados.No caso em que A B = , ao escrevermosn(A) + n(B), estaremos contando duas vezes oselementos de AB AB. Portanto, de modogeral, vale

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B).

Em seguida, recordamos e listamos algumas pro-priedades e observacoes interessantes.

a) o smbolo e usado para relacionar umelemento e seu conjunto enquanto que osmbolo e usado para relacionar doisconjuntos.

b) O conjunto vazio e subconjunto de qualquerconjunto. A, para qualquer conjunto A.

c) A A, todo conjunto esta contido em siproprio.

d) Tambem A P (A) e P (A).

e) A U . Todo conjunto e subconjunto deum conjunto universo.

f) Se A B e B C entao A C.

g) Se A B e B A entao B = A (estae uma maneira muito util de vericar quedois conjuntos sao iguais).

9. CONJUNTOS NUMERICOS

a) N e o conjunto dos numeros naturais (inclu-sive o 0).N = {0, 1, 2, 3, . . .}.

b) Z e o conjunto dos numeros inteiros.Z = {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .}

c) Q e o conjunto dos numeros racionais, quesao aqueles que podem ser escritos emforma de fracao.Q =

{x | x = a

b, a, b Z, b = 0

}.

Portanto sao numeros racionais os numeros in-teiros, os numeros decimais exatos e as dzimasperiodicas. Vamos ver os detalhes.

1) Os numeros inteiros.

Exemplo: 5 Q, pois 5 = 51, 2 Q, pois

2 = 21

2) Os numeros decimais exatos.

Exemplo: 2, 12 Q, pois 2, 12 = 212100

3) As dzimas periodicas.

Antes de tudo, precisamos passar a voce umainformacao: todo numero real pode ser represen-tado atraves de uma dzima. Este importanteresultado sera estudado mais tarde quando voceaprofundar um pouco mais o estudo desta beladisciplina, que e a Matematica. Mas, o que euma dzima? Uma dzima e representada porum numero inteiro seguido de uma vrgula e in-nitos algarismos apos a vrgula. A dzima eperiodica quando um algarismo ou um bloco dealgarismos apos a vrgula repete-se indenida-mente. Este algarismo ou bloco e o perodo dadzima. Uma dzima periodica representa umnumero racional. Vamos aos exemplos.

Dzimas Periodicas Simples: Sao aquelasque imediatamente apos a vrgula apresentamo perodo.

Exemplos: 0, 3232 . . . , 0, 4444 . . .Nestes exemplos os perodos sao 32 e 4, respec-tivamente.Convido voce a acompanhar os procedimentospara encontrar o numero racional em formade fracao equivalente a uma dzima periodica.Devemos multiplicar a dzima por 10n (umapotencia de 10) onde n e o numero de algar-ismos do perodo. Ou o que e a mesma coisa, ne o comprimento do perodo que aparece depoisda vrgula. Em seguida, da nova dzima obtidasubtraimos a antiga.

Exemplo: Vamos determinar a fracao equiva-lente a 0, 13131313. Note que o perodo e 13 etem comprimento 2. Logo,

x = 0, 131313 . . . (I)

102x = 100x = 13, 1313 . . . (II)

(II)-(I) 99x = 13 x = 1399

9

Dzimas Periodicas Compostas: Sao aquelasque, apos a vrgula, apresentam algarismos quenao fazem parte do perodo. Este conjunto dealgarismos e o que chamamos ante-perodo.

Exemplo: 0, 2414141 . . . . Neste exemplo, 2 eanteperodo e 41 e o perodo.

Para encontrarmos a fracao ou o numeroracional equivalente a uma dzima periodicacomposta inicialmente multiplicamos por 10n,onde n e o comprimento do ante-perodo (comisto, a vrgula salta o ante-perodo). A partirda aplicamos o mesmo metodo usado para asdzimas periodicas simples.

Exemplo: Vamos achar a fracao equivalente a`dzima 0, 32444 . . . . Note que o anteperodotem comprimento 2 e o perodo, comprimento1. Entao,

x = 0, 32444 . . . (I)100x = 32, 444 . . . (II)

1000x = 324, 44 . . . (III)

(III)-(II) 900x = 292

x =292900

d) I e o conjunto dos numeros irracionais. I saoos numeros que nao podem ser representados porfracoes. Pode se demonstrar, em estudos maisavancados, que os numeros irracionais sao ex-atamente as dzimas nao periodicas.

Exemplo:2 = 1, 414213 . . .

e = 2, 7182818 . . . = 3, 1415926 . . .

e) R e o conjunto dos numeros reais. E oconjunto obtido pela uniao do conjunto dosnumeros racionais com o conjunto dos numerosirracionais.

R = Q INota: Na representacao de conjuntos numericossao usadas as convencoes:

(i) Sinal (+): elimina os numeros negativos deum conjunto.Exemplo: Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} (conjuntodos numeros inteiros nao negativos).

(ii) Sinal (): elimina os numeros positivos deum conjunto.Exemplo: Z = {. . . ,3,2,1, 0} (con-junto dos numeros inteiros nao positivos).

(iii) Sinal (): elimina o numero 0 (zero) de umconjunto.Exemplo: N = {1, 2, 3} (conjunto dosnumeros naturais nao nulos).Exemplo: R e o conjunto dos numerosreais nao nulos.

(iv) E util representar geometricamente osnumeros reais em uma reta. A cada pontoda reta esta associado um numero real e acada numero real esta associado um pontoda reta.

-1 0 1 2 32

IRB O I A

Para fazer a representacao escolhemos dois pon-tos O e I da reta e associamos a eles os numerosreais 0 e 1, respectivamente. O segmento de retaOI e muito especial. Foi escolhido para ter com-primento 1. Veja a Figura acima. Os numerosreais negativos sao colocados na reta a` esquerdado ponto O e os numeros positivos a` direita doponto zero.Nesta representacao, a distancia entre osnumeros inteiros n e n+ 1 e a mesma distanciaque entre os numeros 0 e 1.Tambem, por exemplo,

2 e ganharam as

posicoes indicadas na gura acima, em funcaode que os segmentos de reta OA e OB medemrespectivamente,

2 e .

Na continuacao de nosso estudo vamos usar(na verdade, ja estamos usando) os seguintessmbolos:

|= tal que = existe = e = ou= equivalente = implica que

(i) Intervalos de numeros reais.

Intervalos sao subconjuntos dos numerosreais determindos por desigualdades.

Sendo a R, b R e a < b, temos:Intervalo fechado{x R | a x b} = [a, b]. Le-se: x pertencea R, tal que x seja igual ou maior que a e igualou menor que b. [a, b] e o conjunto dos numerosreais compreendidos entre a e b, incluindo a e b.

Representamos na reta [a, b] por:

a b

10

Exemplo: [5, 8] = {x R | 5 x 8}. x podeser igual ou maior que 5 e igual ou menor que 8.

5 8Note que na gura acima os pontos a e b saorepresentados por um ponto cheio. E uma con-vencao que adotamos para signicar que a e bpertencem ao intervalo [a, b].

Intervalo aberto

{x R | a < x < b} = (a, b)e o conjunto dos numeros reais compreendidosentre a e b, nao incluindo a e b. Veja a repre-sentacao geometrica abaixo.

a bNote que na gura acima os pontos a e b saorepresentados por pontos vazados. E uma con-vencao para signicar que a e b nao pertencemao intervalo (a, b).Exemplo: (5, 8) = {x R | 5 < x < 8} e oconjunto dos numeros maiores que 5 e menoresque 8

5 8

Intervalo aberto a` esquerda e fechado a`direita

{x R | a < x b} = (a, b]e o conjunto dos numeros reais compreendidosentre a e b, nao incluindo a e incluindo b. Vejaa representacao geometrica abaixo.

a bExemplo: (5, 8] = {x R | 5 < x 8} e oconjunto formado pelos numeros maiores que 5e iguais ou menores que 8.

Intervalo fechado a` esquerda e aberto a`direita

{x R | a x < b} = [a, b)e o conjunto dos numeros reais compreendidosentre a e b incluindo a e nao incluindo b. Veja ainterpretacao geometrica abaixo.

a b

Exemplo: [5, 8) = {x R | 5 x < 8} e oconjunto dos numeros maiores que 5 ou iguais a5 e menores que 8

5 8

Intervalos infinitos

[a,) = {x R | x a},e o conjunto de todos os numeros reais maioresou iguais ao numero a. Veja a representacao geo-metrica abaixo.

a

Exemplo: (2,) = {x R | x > 2}

2

Outro exemplo:(,1)={x R | x < 1}.

-1 0Nota: R = (,).

10. POTENCIAS E RAIZES DENUMEROS REAIS

Dado um numero real b e um numero naturaln 1, ao produto de n fatores b, denominamospotencia n-esima de b e representamos por bn.Isto e,

bn = b.b.b...b (n fatores)

Tambem se b = 0 e m e um numero inteiro neg-ativo entao a m-esima potencia de b, e denidopor

bm =(1b

)m=

1b.1b...

1b

(m fatores)Por denicao, se b = 0, colocamos,

b0 = 1.

Note que, das denicoes anteriores, vem que sen e m sao numeros inteiros, b = 0 e c = 0, entao,

a) bm =(1b

)mb)(bc

)m=

bm

cmc) (b.c)n = bn.cn d) bm.bn = bm+n

e) (bm)n = bm.n

Exemplos:(12

)3=

123

=18(

23

)3=( 3

2

)3=

(3)323

= 278

11

11. RAIZES DE NUMEROS REAIS

Considere um numero natural n e um numeroreal b. Queremos encontrar um outro numeroreal x tal que

xn = b.

Caso x exista, chamamos este numero de raizn-esima de b e indicamos como

x = nb.

Casos de existencia da raiz

1) Se n > 0 e par e b 0 entao sempre existenb. Por exemplo, 4

81 = 3. No entanto nao

tem sentido 62.

2) Se n > 0 e mpar e b e um numeroreal qualquer entao existe n

b. Por exemplo,

3125 = 5, 5

1

243= 1

3.

Nota 1: No caso de 2b, onde b e um numero

real positivo, indicamos simplesmente porb e

lemos raiz quadrada de b. Tambem 3c, onde

c e um numero real, lemos raiz cubica de c.

Nota 2: Sempre que a raiz estiver bem denidavale

na .b = n

a .

nb e n

a

b=

na

nb.

Potencia racional de um numero real

Se b e um numero real e q =m

ne um numero

racional, onde n > 0, entao denimos

bq = bmn = n

bm,

desde que a raiz n-esima de bm esteja bemdenida.

Exemplo:

(9) 23 = 3(9)2 = 3 1(9)2 =

3

181

=

1381

=1

3 33.

EXERCICIOS - SERIE A

1. Dado o conjunto A = {x, y, z}, associar V(verdadeira) ou F (falsa) em cada sentencaa seguir:a) 0 Ab) y / Ac) A = {y, x, z}d) x Ae) {x} Af) A A

2. Sendo A = {2, 3, 5} e B = {0, 1}, escreverem smbolos da teoria dos conjuntos:

a) 2 pertence a Ab) 1 pertence a Bc) 3 nao pertence a Bd) A nao e igual a B

3. Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {2, 6, 8},C = {0, 2, 3, 4, } e D = {0, 2, 6, 8}, assinalaras armacoes verdadeiras:a) B A, b) B Dc) C D, d) D Ae) A C, f) A Bg) D B, h) C A

4. (FGV-72) Se A = {1, 2, 3, {1}} e B ={1, 2, {3}}, (AB) e:

a) {3, {2}}, b) {3, {1}}, c) {0, {+2}}d) {0, {0}}

5. (EPUSP-70) No diagrama, a parte hachu-rada representa:

a) (A C)B b) (B C)Ac) (A B) C d) (A C) Be) A (B C)

AB

C

6. (AMAN-74) Dados os conjuntos A = eB = tais que (A B) A entao:a) A B b) A B = c) A B = d) B A e) B A

12

7. (CONCITEC-72) Seja A um conjunto de 11elementos. O conjunto Y de todos os sub-conjuntos de A tem n elementos. Pode-seconcluir que:a) n = 2.048 b) n = 2.047 c) n = 2.049d) n = 2.046 e) 2.050

8. (MACK-SP-79) Se A e B sao dois conjuntostais que A B e A = , entaoa) sempre existe x A tal que x / B.b) sempre exite x B tal que x / A.c) se x B entao x A.d) se x / B entao x / A.e) A B =

9. (CESGRANRIO-79) O numero de conjun-tos X que satisfazem: {1, 2} X {1, 2, 3, 4} e:a) 3 b) 4 c) 9 d) 6 e) 7

10. (PUC-RJ-79) O numero de elementos doconjunto A e 2m e o numero de elementosdo conjunto B e 2n. O numero de elemen-tos de (AB) e:a) 2m+2n b) 2mn c) 2m+n d) mne) m+ n

11. (FGV-SP-80) Considere as armacoes arespeito da parte hachurada do diagramaseguinte:

OBS.: U = ABC e o conjunto universoe B e C sao os complementares de B e C,respectivamente.

A B

C

I) A (B C)II) A (B C)III) A (B C)IV) A (B C)

A(s) armacao(coes) correta(s) e (sao):a) I b) III c) I e IV d) II e IIIe) II e IV

12. (UFRS-80) Sendo A = {0, 1} e B = {2, 3},o numero de elementos [P (A) P (B)] e:a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8

13. (PUC-99) O valor de1, 777 . . .0, 111 . . .

e:

a) 4, 444 . . . b) 4 c) 4, 777 . . . d) 3

e)43

14. (PUC-93) Somando as dzimas periodicas0, 4545 . . . e 0, 5454 . . . obtem-se:

a) um inteirob) um racional maior que 1c) um racional menor que 1d) um irracional maior que 1e) um irracional menor que 1

15. (FGV-SP) Assinale a alternativa incorreta:

a) Todo numero inteiro e racional.b) O quadrado de um irracional e real.c) A soma de dois numeros irracionais podeser racional.d) O produto de dois numeros irraiconais esempre irracional.

16. Dados A = [1,), B = (,2) (1,)e C = [3, 4], assinale falso ou verdadeiro( ) AB = ( ) (A B) C = [1, 4]( ) CRB = [2, 1]( ) A B C = (1, 4]

17. Escrever na forma decimal os numeros:

a =12, b =

95, c =

245

18. Escreva na forma fracionaria os numeros

a = 0, 075 b = 2, 4141 . . . c = 1, 325151 . . .

19. (UF-AL-80) A expressao

10 +10

1010 e igual a:a) 0 b)

10 c) 1010 d) 310

e) 90

20. (CESGRANRIO-84) Dentre os numeros xindicados nas opcoes abaixo, aquele que sa-

tisfaz1411

< x 0 e p > 1. Demonstre:

Sea+ bp2

a+ b> p, entao

a

b< p.

7. (FATEC-SP) Se a = 0, 666 . . . , b =1, 333 . . . e c = 0, 1414 . . . , calcule, entao,a b1 + c.

8. (PUC-RJ-80) Efetuadas as operacoes indi-cadas, conclumos que o numero:

12 (3 27 )2/4 1/6 + 3

a) e > 5 b) esta entre 2 e 3 c) e 6

9. (FATEC-SP-80) Sejam x R, m = x 14x

e y =1 + m2, entao:

a) y =12x

b) y =4x4 + 4x2 + 2

2x

c) y =4x2 + 1

4x

d) y =x + 12x

14

AULA 14 GABARITO

SERIE A

1. a) F , b) F , c) V , d) V , e) F , f) F . 2. a)2 A, b) 1 B, c) 3 B, d) A = B. 3. a),c), d), g), h) sao verdadeiras. 4. b) 5. c)6. d) 7. a) 8. d) 9. b) 10. c) 11. d)12. b) 13. b) 14. a) 15. d) 16. F, V, V, V17. a = 0, 5, b = 1, 8, c = 0, 044 . . .

18. a =340

, b =23999

, c =132199900

19. d)

20. b)

SERIE B

1. b) 2. d) 3. a) 4. Demonstracao

5. a)6 =

r2 52

b) Demonstracao

6. Demonstracao 7.127198

8. e) 9. d)

AUTO-AVALIACAO

Antes de passar a` aula seguinte, voce deve re-solver todos os exerccios da Serie A. A Serie Bca como exerccio de aprofundamento.

15

AULA 15

INTRODUCAO A`S FUNCOES

OBJETIVOS: Apos estudar esta aula vocesera capaz de:

Distinguir entre uma relacao e uma funcaoentre dois conjuntos.

Denir domnio, contradomnio e esbocargracos de funcoes.

1. PRODUTO CARTESIANO

Dados dois conjuntos nao vazios A e B, o pro-duto cartesiano de A por B e o conjunto formadopelos pares ordenados, nos quais o primeiro ele-mento pertence a A e o segundo elemento per-tence a B.

AB = {(x, y) | x A e y B}.Exemplo: Se A = {1, 2} e B = {a, b, c}, entao:AB = {(1, a); (1, b); (1, c); (2, a); (2, b); (2, c)}eB A = {(a, 1); (a, 2); (b, 1); (b, 2); (c, 1); (c, 2)}Notas:

1) De modo geral AB = B A.2) Se A = ou B = , por denicao AB = ,

isto e, A = ou B = .3) Se A = B podemos escrever o produto

cartesiano AA como A2, isto e, AA =A2.

4) O produto cartesiano de duas copias doconjunto de numeros reais R, forneceR2 = {(x, y) | x R e y R}.Como vimos na Aula 1, os numeros reaispodem ser identicados com uma reta.Tambem R2, pode ser identicado com umplano, atraves de um sistema de coorde-nadas. Veja a gura abaixo, onde o pontoP do plano e identicado com um par denumeros reais: P = (x, y). Veja a repre-

sentacao do ponto Q =( 1,1

2

).

5) Se os numeros de elementos dos conjuntos Ae B sao n(A) e n(B) entao para o numerode elementos de A B vale n(A B) =n(A) n(B).

2. RELACOES

Dados dois conjuntos A e B, uma relacao Rsobre A e B (ou de A em B) e uma relacao queassocia elementos x A a elementos y B,mediante uma lei previamente determinada (leide associacao ou de relacao).

Como voce vera, atraves de exemplos, todarelacao de A em B determina um subconjuntode AB.Exemplo: A = {1, 0, 1, 3}

B = {0, 1, 9, 10}Determine

a) R1 = {(x, y) AB | y = x2}Solucao:R1 = {(1, 1), (0, 0), (1, 1), (3, 9)}

b) R2 = {(x, y) AB | x = y}Solucao:R2 = {(1, 1), (3, 9), (0, 0)}

3. DOMINIO E IMAGEM ouCONTRADOMINIO

Dada uma relacao R de A em B, chama-sedomnio de R ao conjunto D de todos os ele-mentos de A que aparecem como primeiros ele-mentos nos pares ordenados de R.

x D y, y B | (x, y) R.

Denominamos imagem da relacao R (ou con-tradomnio) ao conjunto Im de todos os elemen-tos de B que aparecem como segundos elementosnos pares ordenados de R.

y Im x, x A | (x, y) R.

Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2}, B = {1, 1, 2,2, 6} e R = {(0,1), (0, 1), (2, 2), (2,2)}.Entao

D = {0, 2) e Im = {1, 1, 2,2}.

17

4. REPRESENTACAO GRAFICA e

DIAGRAMAS DE UMA RELACAO

Para o ultimo exemplo dado podemos associara representacao graca e o diagrama

y

2

1

1

2

-1

-2

x

5. FUNCAO

Funcao e uma relacao com propriedades espe-ciais. Uma relacao R do conjunto A no conjuntoB e uma funcao se

I) o domnio da relacao R, D(R) = A;

II) para cada elemento x D(R) existe umunico y B tal que (x, y) R

III) a imagem da relacao R, Im(R) B.

Uma relacao R de A e B que e uma funcao emais comumente representada pela letra f e doseguinte modo: f : A B, onde, x y = f(x).Isto signica que, dados os conjuntos A e B, afuncao tem a lei de correspondencia y = f(x).

Exemplo: Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} eB = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; vamos considerar a funcaof : A B denida por y = x + 1, ou seja,f(x) = x + 1

5

x = 0 y = 0 + 1 = 1x = 1 y = 1 + 1 = 2x = 2 y = 2 + 1 = 3

O conjunto A e o domnio da funcao. O conjunto {1, 2, 3}, que e um subconjunto

de B, e denominado conjunto imagem dafuncao, que indicamos por Im. No exemploacima, Im = {1, 2, 3}.

5.1 Representacao de funcoes por diagra-mas

Um diagrama de setas representando umarelacao de um conjunto A em um conjunto Be uma funcao se:

(I) De cada elemento de A parte exatamenteuma unica seta.

(II) Nenhuma seta termina em mais de um ele-mento de B

A B A B

funo funo

A B

no funo

A B

no funo

5.2 Representacao Grafica

Dados subconjuntos A e B de numeros reaise uma funcao f : A B, podemos represen-tar a funcao gracamente como pontos do plano.No eixo horizontal representamos o domnio e noeixo vertical, o contradomnio.

18

Exemplo: A = {1, 0, 2} e B = {1, 0, 1,2, 3, 4} e f(x) = x + 1, vem que

x = 1 y = 0x = 0 y = 1x = 2 y = 3

y=f(x)

2

1

1 3

2

3

-1 x

f = {(1, 0), (0, 1), (2.3)} e os tres pontos assi-nalados formam o graco da funcao.

Observacao sobre graficos: Sabemos que umdos requisitos ao qual uma relacao deve satis-fazer para ser uma funcao, x y = f(x), e quea cada x deve corresponder um unico y. Estapropriedade tem a seguinte interpretacao: todareta vertical passando pelo domnio intercepta ograco da funcao em exatamente um ponto.

Exemplos:

a) A relacao f de A em R, f(x) = x2 comA = {x R | 1 x 2}, representada abaixoe funcao, pois toda reta vertical passando porpontos de abscissa x A encontra o graco def num so ponto.

y

2-1 x

b) O graco da relacao R de A em R represen-tada abaixo x2 + y2 = 1, onde A = {x R |1 x 1} nao e funcao, pois ha retas verti-cais passando por pontos de A que encontram ograco de R em dois pontos.

y

-1 1 x

5.3 Esboco do Grafico de uma Funcao

Para esbocarmos o graco cartesiano de umafuncao f , atribuimos valores convenientes a xno domnio da funcao e determinamos os cor-respondentes valores de y = f(x). O graco,entao, e constitudo pelos pontos representativosdos pares (x, y).

Exemplo: (a) Se a funcao f : A B, e talque x y = 2x, onde A = {0, 1, 2, 3},B = {1, 0, 2, 4, 6}. E possvel calcular todos ospontos do graco cartesiano de f . Veja a tabelade valores abaixo.

x 0 1 2 3y 0 2 4 6

Nesta situacao, representamos, ponto a ponto,a funcao.

y

2

1

10 3

2

3

4

5

6

x

(b) Seja f : R R x y = 2x. Para estafuncao e impossvel construir uma tabela indi-cando explicitamente todos os pontos do graco.No entanto podemos, com alguns pontos auxi-liares, deduzir a forma do graco f . Usando osvalores ja calculados na tabela do exemplo a),esbocamos o graco.

y

-1

10

2

-2

x

19

5.4 Exerccios Resolvidos

1. Seja a funcao f : R Rx y = x2 x

a) Calcular f(6), f(12

), f(

2),

f(3 2).

b) Determinar os elementos de D(f) cuja ima-gem pela f vale 2.

Solucao:

a) Para calcularmos a imagem de 6 pela f ,basta substituir x por 6 em f(x) = x2 x,

f(6) = 62 6 = 30.

Do mesmo modo,

f

(12

)=(12

)2 1

2=

14 1

2= 1

4,

f(2) = (

2)2

2 = 2

2 ,

f(3 2) = (3 2)2 (3 2)

= 3 43 + 4

3 + 2

= 9 53 .

b) f(x) = 2 x2 x = 2,x2 x 2 = 0

x =bb2 4ac

2a

x =11 + 8

2=

1 32

x1 = 2, x2 = 1sao os dois valores solucao.

2. Seja a funcao f : [0,) R dado porf(x) =

x2 x + 1x + 1

Calcule f(0), f(12

)e f(

2 1).

Solucao:

a) f(0) =02 0 + 1

0 + 1= 1.

b) f(12

)=

(12 )2 12 + 112 + 1

=14 12 + 1

12 + 1

=

12+44

1+22

=3432

=34 2

3=

12.

c) f(2 1) = (

2 1)2 (2 1) + 1

2 1 + 1 =

=2 22 + 12 + 1 + 1

2=

5 322

=

=52 32. 2

2 2 =52 62

.

3. Sendo f(x) = x2, f : R R assinale (V)ou (F):

a) f(2) = f(2) ( )b) f(1) > f(0) ( )

c) f(2+

3) = f(

2)+ f(

3) 5 ( )

d) f(2 3) = f(2) f(3) ( )

Solucao:

a) (V)

{f(2) = 22 = 4f(2) = (2)2 = 4 f(2) = f(2)

b) (V)

{f(1) = 12 = 1f(0) = 02 = 0 f(1) > f(0)

c) (F) f(2 +

3) = (

2 +

3)2 = 2 +

26 + 3 = 5 + 2

6

f(2) + f(

3) 5 = (2)2 + (3)2 5 =

2 + 3 5 = 0 f(2 +3) = f(2) + f(3) 5d) (V) f(

23) = (23)2 = (6)2 = 6

f(2) f(3) = (2)2(3)2 = 2 3 = 6

f(2 3) = f(2) f(3)

5.5 Determinacao de Domnios deFuncoes Numericas

Em geral, quando se dene uma funcao fatraves de uma formula (ex.: f(x) = x2,

f(x) =2x

x + 1, etc.), subentende-se que o

domnio de denicao de f , D(f), e o maiorsubconjunto de R, no qual a denicao faz sen-tido (ou onde a funcao pode operar).

Exemplos: Dena os domnios das funcoesabaixo.

a) f(x) =x+ 3x 2

Basta impor que o denominador nao podeser nulo: x 2 = 0 x = 2Portanto, D(f) = {x R | x = 2} =R {2}.

20

b) f(x) =2x 6

Em R, o radicando de uma raiz quadradanao pode ser negativo. Portanto,

2x 6 0 2x 6 x 3

Portanto, D(f) = {x R | x 3} =[3,+).

c) f(x) = 32x 1

O radicando de uma raiz de ndice mparpode ser negativo ou nulo ou positivo, ouseja, 2x 1 pode assumir todos os valoresreais.

Portanto, D(f) = R.

d) f(x) =43 x22x+ 1

Como as razes envolvidas sao todas dendice par, e exigencia que os radicandossejam nao negativos. Alem disso, o denom-inador deve ser nao nulo. Assim,

3 x2 0 e 2x + 1 > 0

Ou seja, 3 x2 e x > 12.

Veja as representacoes gracas:

-V3 V3e

1/2

Portanto a intersecao destes conjuntos de-termina o domnio. Ou seja

D(f) ={x R | 1

2< x

3}


1. Sejam A = {x Z | 2 x 2}, B ={x Z | 6 x 6} e a relacao R ={(x, y) AB | x = y + y2}. Solicita-se:a) Enumerar os pares ordenados de R.b) Indicar os conjuntos Domnio e Imagem.

2. Dena os maximos subconjuntos denumeros reais que sao domnios das funcoesabaixo:

a) f(x) =2x 3x 2 b) f(x) =

5

x + 2

3. Considere as relacoes G, H , J , M do con-junto A no conjunto B conforme os gracosabaixo. Identique as funcoes.

y

x

relao G

B

y

a x

relao H

B

A

A

y

x

relao J

B

y

x

relao M

B

A A

4. Seja Z o conjunto dos numeros inteiros esejam os conjuntos A = {x Z | 1 < x 2} e B = {3, 4, 5} se D = {(x, y) (AB) |y x + 4}. Entao:a) D = ABb) D tem 2 elementosc) D tem 1 elementod) D tem 8 elementose) D tem 4 elementos

5. y =4x 12x 3 dene uma relacao H RR,

onde R sao os numeros reais. Determine onumero real x, tal que (x, 1) H .a) x = 0 b) x = 1 c) x = 1d) x = 5 e) x = 5

6. Determinado-se os pares (x, y) de numerosreais que satisfazem a`s condicoes{

x2 + y2 1y = x

, temos:

a) 2 pares b) nenhum par c) 3 paresd) innitos pares e) 1 par

21

7. Estabelecer se cada um dos es-quemas abaixo dene ou nao umafuncao de A = {1, 0, 1, 2} emB = {2,1, 0, 1, 2, 3}. Justicar.

Aa) b)R

-10

1

2

-2-1

0

21

SB

3

-10

1

2

-2-101

A B

23

Ac) d)T

-10

1

2

-2-1

0

21

VB

3

-10

1

2

-2-101

A B

23

8. (UFF-93 1a fase) Considere a relacao f deM em N , representada no diagrama abaixo:

M N

x

yz

w

k

t

pqr

s

12

3

4

5

Para que f seja uma funcao de M em N ,basta:

a) apagar a seta (1) e retirar o elemento sb) apagar as setas (1) e (4) e retirar o ele-mento kc) retirar os elementos k e sd) apagar a seta (4) e retirar o elemento ke) apagar a seta (2) e retirar o elemento k

9. (PUC-95) Dentre os 4 desenhos a seguir:y

x

y

x

III

y

x

y

x

III IV

a) Somente I pode ser graco de funcao daforma y = f(x).b) I, III e IV podem ser gracos de funcoesda forma y = f(x).c) Nenhum deles pode ser graco de funcoesda forma y = f(x).d) II e IV nao podem ser gracos de funcoesda forma y = f(x).e) Nenhuma das respostas acima.

10. (UFF-94-1a fase) O graco que melhorrepresenta a funcao polinomial p(x) =(x 1)2(x 4)(x + 49 ) e:

A) y

x

B) y

x0 0

C) y

x

D) y

x0 0

E) y

x0

11. Esboce o graco de:

a) y = x2 1, D = Rb) f(x) = x 2, sendo D = [2, 2]

12. Determine a e b, de modo que os pares or-denados (2a1, b+2) e (3a+2, 2b6) sejamiguais.

22

13. Determinar x e y, de modo que:

a) (x + 2, y 3) = (2x + 1, 3y 1)b) (2x, x 8) = (1 3y, y)c) (x2 + x, 2y) = (6, y2)

14. Se os conjuntos A e B possuem, respectiva-mente, 5 e 7 elementos, calcule o numero deelementos de AB.

15. (UFF/95 - 1a fase) Em um certo dia, tresmaes deram a` luz em uma maternidade. Aprimeira teve gemeos; a segunda, trigemeose a terceira, um unico lho. Considere,para aquele dia, o conjunto das tres maes,o conjunto das seis criancas e as seguintesrelacoes:

I) A que associa cada mae a seu lho;II) A que associa cada lho a sua mae;III) A que associa cada crianca a seu

irmao.

Sao funcoes:

a) somente a I b) somente a II c) so-mente a III d) todas e) nenhuma

16. (PUC) Entre os gracos abaixo, o unico quepode representar uma funcao de variavelreal e:

x

a) y b) c)

x

y

x

y

d) y

x

e) y

x

17. (UERJ/93) A funcao f denida no conjuntodos inteiros positivos por:

f(n) =

{n2, se n for par

3n+ 1, se n for mpar

O numero de solucoes da equacao f(n) = 25e:

a) zero b) um c) dois d) quatroe) innito

18. (UFC-CE) Qual dos gracos a seguir naopode representar uma funcao?

a) y b) y

c) y d) y

e) y

19. (FGV-SP) Considere a seguinte funcao devariavel real

f(x) =

{1 se x e racional0 se x e irracional

Podemos armar que:

a) f(2, 3) = 0b) f(3, 1415) = 0c) 0 f(a) + f(b) + f(c) 3d) f [f(a)] = 0e) f(0) + f(1) = 1

20. (SANTA CASA-82) Seja f uma funcao deZ em Z, denida por

f(x) =

{0, se x e par1, se x e mpar

Nestas condicoes, pode-se armar que:

a) f e injetora e nao sobrejetora

b) f e sobrejetora e nao injetora

c) f(5) f(2) = 1

d) f(f(x)) = 0, x R

e) O conjunto-imagem de f e {0, 1}

23

21. (FUVEST-82) O numero real e solucaosimultanea das equacoes f(x) = 0 e g(x) =0 se e somente se e raiz da equacao:

a) f(x) + f(x) = 0

b) [f(x)]2 + [g(x)]2 = 0

c) f(x) g(x) = 0d) [f(x)]2 [g(x)]2 = 0e) f(x) g(x) = 0

22. (PUC-93) Entre as funcoes T : R2 R2abaixo, NAO e injetora a denida por:a) T (x, y) = (x, 0)b) T (x, y) = (y, x)c) T (x, y) = (2x, 2y)d) T (x, y) = (y, x)e) T (x, y) = (x + 1, y + 1)

EXERCICIOS - SERIE B

1. (UNIFICADO-92) Qual dos gracos abaixorepresenta, em R2 as solucoes da equacaoy2 = x(x2 1).

A)y

x

B)y

x

D)y

x

C)y

x

E)y

x

2. (IBEMEC 98) Considere a funcao f , de Rem R, tal que f(x+1) = f(x)+2 e f(2) = 3.Entao, f(50) e igual a:

a) 105 b) 103 c) 101 d) 99 e) 97

3. (FUVEST-SP) Seja f uma funcao tal quef(x + 3) = x2 + 1 para todo x real. Entaof(x) e igual a:

a) x22 b) 103x c) 3x2+16x20d) x2 6x+ 10 e) x2 + 6x 16

4. (UGF-96-2o Sem.) Se f(3x) =x

2+ 1 entao

f(x 1) e igual a:

a)x + 5

6b)

3x 12

c)5x + 3

2d)

3x2

e) 3x 2

5. Se f(n + 1) =2 f(n) + 1

2para n =

1, 2, 3, . . . e se f(1) = 2, entao o valor def(101) e:

a) 49 b) 50 c) 53 d) 52 e) 51

6. (FUVEST/93) Uma funcao de variavel realsatisfaz a condicao f(x + 1) = f(x) + f(1),qualquer que seja o valor da variavel x.Sabendo que f(2) = 1 podemos concluirque f(5) e igual a:

a)12

b) 1 c)53

d) 5 e) 10

7. (UFF/96) Para a funcao f : N N, quea cada numero natural nao-nulo associa oseu numero de divisores, considere as ar-mativas:

I) existe um numero natural nao-nulo ntal que f(n) = n.

II) f e crescente

III) f nao e injetiva.

Assinale a opcao que contem a(s) arma-tiva(s) correta(s):

a) apenas II b) apenas I e III c) I, II e III

d) apenas I e) apenas I e II

24

8. (UFMG) A funcao f : R R associa a cadanumero real x o menor inteiro maior do que

2x. O valor de f(2)+f(1

5

)+f

(23

)e:

9. (UFRJ/93) Uma funcao f(x) tem oseguinte graco:

Considere agora uma nova funcao g(x) =f(x + 1).

a) Determine as razes da equacao g(x) = 0b) Determine os intervalos do domnio deg(x) nos quais esta funcao e estritamentecrescente.

10. (CESGRANRIO) Seja f(x) a funcao que as-socia, a cada numero real x, o menor dosnumeros (x + 1) e (x + 5). Entao o valormaximo de f(x) e:

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

11. Denimos: f : N N{f(0) = 1f(n+ 1) = 2f(n)

Calcule f(3).

12. (FEI-73) Chama-se ponto xo de umafuncao f um numero real x tal que f(x) =

x. Os pontos xos da funcao f(x) = 1 +1x

sao:

a) x = 1

b) x =15

2c) nao tem ponto xo

d) tem innitos pontos xos

13. (PUC-92) Um reservatorio tem a forma deum cone de revolucao de eixo vertical evertice para baixo. Enche-se o reservatoriopor intermedio de uma torneira de vazaoconstante. O graco que melhor representao nvel da agua em funcao do tempo,contado a partir do instante em que atorneira foi aberta e:

A)nvel

tempo

B)nvel

tempo

C)nvel

tempo

D)nvel

tempo

E)nvel

tempo

25

AULA 15 GABARITO

SERIE A

1. a) R = {(2,2), (0,1), (0, 0), (2, 1)}.b) D(R) = {0, 2}, Im(R) = {2,1, 0, 1}.2. a) D(f) = {x R | x = 2} = (, 2) (2,). b) D(f) = {x R | x > 2} =(2,). 3. Apenas G e funcao. 4. d)5. c) 6. d) 7. a) nao b) nao c) simd) sim. 8. d) 9.b) 10. d)11.

12. a = 3; b = 8 13. a) x = 1 e y = 1b) x = 5 e y = 3, c) x = 3 ou x = 2e y = 0 ou y = 2, d) x = 2 e y = 3.14. 35 15. b) 16. d) 17. b) 18. c)19. c) 20. e) 21. b) 22. a)

SERIE B

1. a) 2. d) 3 d) 4. a) 5. d) 6. c)7. b) 8. -2 9. a) x {2, 0, 3}b) (3,1) e (0,1) 10. b) 11. f(3) = 1612. b) 13. b)

AUTO-AVALIACAO


26

AULA 16

FUNCOES COMPOSTA E INVERSA

OBJETIVOS: Sao objetivos desta aula possi-bilitar que voce:

Entenda e trabalhe com o conceito defuncao composta.

Possa decidir quando uma funcao possui ounao inversa.

Entenda os conceitos de funcao sobrejetiva,injetiva e bijetiva e de funcao inversa.

Possa resolver problemas envolvendofuncoes inversas e possa representargracamente as solucoes.

1. FUNCAO COMPOSTA

Considere f uma funcao do conjunto A noconjunto B e g uma funcao do conjunto B noconjunto C. Entao a funcao h de A em C, h afuncao composta de f e g, pode ser denida por

h(x) = g(f(x)).

Notacao: h = g f .No diagrama abaixo esta representada a com-

posicao de f em g.

Af B g C

gf

2. EXEMPLOS(i) Se

entao h = g f e tal que

1

0

2

a

b

c

d

h

A

(ii) Suponha Z o conjunto dos numeros in-teiros, f : Z Z f(x) = x 2

g : Z Z g(x) = x3entao a funcao composta h : Z Z pode sercalculada por

h(x) = g(f(x))h(x) = g(x 2)h(x) = (x 2)3

3. EXERCICIOS RESOLVIDOS

(i) Sejam as funcoes f : R R e g : R Rdenidas por f(x) = x2 1 e g(x) = x+ 3.

a) obter a funcao composta h = g f em = f g

b) calcule h(2) e m(3)c) existem valores x R tais que

h(x)=0?

Solucao:

a) h(x) = g(f(x)) = g(x2 1) = x2 1 + 3

h(x) = x2 + 2

m(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)2 1

m(x) = x2 + 6x+ 9 1 = x2 + 6x+ 8

b) h(2) = 22 + 2 = 4

m(3) = (3)2 + 6(3) + 8

m(3) = 9 18 + 8 = 1

c) h(x) = 0 x2 + 2 = 0 (esta equacao naotem solucao x R). Resposta: Nao.

(ii) Sejam f : R R e g : R R. Sabendo-se que f(x) =

5 + x2 e que a imagem da

funcao f g e o intervalo real [+5,+3],a alternativa que representa a imagem dafuncao g e:

a) [+5,+3] b) [2.+ 2]

c) [2,+5] d) [5,+2]e) [5,+5]

27

Solucao:

g fIm(fog)

R RR3.V5

f g(x) = f(g(x)) = 5 + g2(x). Logo5 5 + g2(x) 3 5 5 + g2(x) 9

Entao 0 g2(x) 4.Os valores de g(x) que vericam a desigual-dade acima sao 2 g(x) 2.Logo, Im g(x) = [2, 2]. Resposta b).

(iii) Sejam as funcoes f : R R e g : R Rdenidas por

f(x) =

{x2 se x 0x se x < 0

g(x) = x 3.

Encontre a expressao que dene f g = h.Solucao:

h(x) = f(g(x)) = f(x 3).Em virtude da denicao de f precisamossaber quando x3 0 e quando x3 < 0.Ora x3 0 x 3 e x3 < 0 x < 3.

Logo h(x) =

{(x 3)2 se x 3x 3 se x < 3

(iv) Sejam as funcoes reais g(x) = 3x + 2 e(f g)(x) = x2 x + 1. Determine a ex-pressao de f .

Solucao:

(f g)(x) = f(g(x)) = f(3x+2) = x2x+1

facamos agora 3x+ 2 = y x = y 23

Logo,

f(y) =(y 2

3

)2 y 2

3+ 1

f(y) =y2 4y + 4

9 y 2

3+ 1

f(y) =19[y2 4y + 4 3(y 2) + 9]

f(y) =19[y2 7y + 19]

4. FUNCOES SOBREJETORA,INJETORA E BIJETORA

Uma funcao f : A B e sobrejetora seIm(f) = B. Isto para todo elemento y Bexiste x A tal que f(x) = y.

Uma funcao g : A B e injetora (ou injetiva)se elementos diferentes x1 e x2 do domnio A daocomo imagens elementos g(x1) e g(x2) tambemdiferentes. Isto e, vale a propriedade:

x1, x2 A, x1 = x2 g(x1), g(x) Im(g) eg(x1) = g(x2).

Uma funcao f : A B que tem ambas aspropriedades injetora e sobrejetora, e dita umafuncao bijetora.

Exemplos: Sejam A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}e f, g : A B como nos diagramas abaixo.

A funcao f nao e injetora, nem sobrejetora. Afuncao g e bijetora.

1

0

2

Af

B

1

2

3

D = AIm = B

1

0

2

A B

1

2

3

D = AIm = B

g

5. IDENTIFICACAO A PARTIR DOGRAFICO SE UMA FUNCAO ESOBREJETORA, INJETORA OUBIJETORA

Seja y = f(x) uma funcao. Considere seugraco, representado abaixo.

Se as retas paralelas a Ox e passando pelocontradomnio de f encontram o graco de fem pelo menos um ponto, f e sobrejetora.

28

Se as retas paralelas a Ox encontram o gracode f no maximo em um ponto, f e injetora.

y

x0

f

D(f)

CD(f)=Im

Se as retas paralelas a Ox e passando pelocontradomnio de f encontram o graco de fem exatamente um so ponto, f e bijetora.

y

x0

f

D(f)

Im(f)

6. FUNCAO INVERSA

Uma funcao f : A B e uma relacao entre osconjuntos A e B com propriedades especiais. fcomo relacao e um subconjunto de A B. Ospares ordenados (x, y) deste subconjunto sao taisque y = f(x).Por exemplo, se A = {1, 1, 2}, B = {1, 0,1, 4} e f(x) = x2. Enquanto relacao, f se es-creve como f = {(1, 1), (1, 1), (2.4)}. Suponhaque as coordenadas sao trocadas para obter umanova relacao g.

g = {(1,1), (1, 1), (4, 2)}.

Em que condicoes podemos garantir que, aposa inversao, g e ainda uma funcao (e nao mera-mente uma relacao?) Nos casos armativos g echamada funcao inversa de f e geralmente de-notada por f1.Se voce pensar um pouquinho vai chegar a` con-clusao de que g e uma nova funcao apenas nocaso em que a funcao f for bijetora. Entre out-ras palavras, somente as funcoes bijetoras f pos-suem uma inversa f1.

Vamos tentar te convencer da validade desta re-sposta atraves de diagramas.

Caso (I): Se f nao e injetora entao nao existeinversa. Veja um exemplo, representado no dia-grama a seguir, onde

A = {a, b, c} e B = {1, 2}A funcao inversa nao pode ser denida para oelemento 1, pois f(a) = f(b) = 1.

Caso (II): Se f nao e sobrejetora entao naoexiste inversa. Veja um exemplo, representadono diagrama abaixo, onde

A = {a, b, c} e B = {1, 2, 3, 4}A funcao inversa nao pode ser denida em4 B.

f1(4) =?

Portanto, uma funcao f : A B, possui afuncao inversa f1 se e somente se f e bijetora.Seja f : A B uma funcao bijetora. Entao afuncao inversa f1 : B A tem as seguintespropriedades:

(i) f1 e uma funcao bijetora de B em A.

(ii) D(f1) = Im(f) = B.

(iii) Im(f1) = D(f) = A.

A relacao entre os pares ordenados de f e f1

pode ser expressa simbolicamente por

(x, y) f (y, x) f1

ou

y = f(x) x = f1(y)

29

Exemplos. (i) Qual a funcao inversa da funcaobijetora f : R R denida por f(x) = 3x+ 2?Solucao: se y = f(x) entao f1(y) = x.Partindo de y = f(x), y = 3x+ 2, procuramosisolar x.

y = 3x + 2 x = y 23

Logo, f1(y) = x =y 2

3Nota: Como a variavel pode indiferentementeser trocada tambem podemos escrever

f1(x) =x 2

3(ii) Qual e a funcao inversa da funcao bijetoraem f : R R denida por f(x) = x3?Solucao: y = f(x) = x3, logo, x = 3

y.

Portanto f1(y) = x = 3y. Ou seja

f1(x) = 3x.

(iii) Um exemplo importante e o da funcao iden-tidade. I : R R, I(x) = x. Isto e, se es-crevermos y = I(x), temos que y = x. A repre-sentacao graca desta funcao resulta na bissetrizdo primeiro quadrante. Veja a gura abaixo.

x2

2

y=x

y

E claro que I1 = I. Isto e, a funcao identi-dade e sua inversa coincidem.

Observacoes Importantes

(i) Um exame do graco abaixo nos leva a` con-clusao que os pontos (x, y) e (y, x) do plano,abaixo representados, sao simetricos com relacaoa` reta y = x.

yx0

x

y

(y,x)

(x,y) y=x

Lembrando a relacao

(x, y) f (y, x) f1

podemos concluir que, no plano, os pontosque representam uma funcao e sua inversa saosimetricos em relacao a` reta y = x. Isto e, osgracos que representam f e f1 sao simetricosem relacao a` reta bissetriz do 1o e 4o quadrante.

(ii) Sejam f : A B e a funcao inversaf1 : B A. Entao f f1 : B B ef1 f : A A sao funcoes identidade. De fato

y = f(x) x = f1(y),

implica que

f f1(y) = f(x) = y

e entao f f1 = Id.Tambem

f1 f(x) = f1(y) = x

e entao f1 f = Id.Exemplo:Seja a funcao f em R denida por f(x) =2x 3. Construir num mesmo plano cartesianoos gracos de f e f1.

Solucao:

f (x) = 2x 3x y-1 -50 -31 -12 13 34 5

f1 (x) =x + 3

2x y-5 -1-3 0-1 11 23 35 4

yf y=x

x

f-1

30


1. Dados f(x) = x2 1, g(x) = 2x.Determine:a) f g(x) b) f f(x) c) g f(x)d) g g(x).

2. (UFF 96 - 2afase) Sendo f a funcao realdenida por f(x) = x2 6x + 8, para to-dos os valores x > 3. Determine o valor def1(3).

3. (UNI-RIO 97 - 1a fase) A funcao inversada funcao bijetora f : R {4} R {2}denida por f(x) =

2x 3x + 4

e:

a) f1(x) =x + 42x+ 3

b) f1(x) =x 42x 3

c) f1(x) =4x+ 32 x d) f

1(x) =4x + 3x 2

e) f1(x) =4x + 3x + 2

4. (UFF 2001) Dada a funcao real de variavel

real f , denida por f(x) =x + 1x 1 , x = 1:

a) determine (f f)(x) b) escreva umaexpressao para f1(x).

5. (UFRS - 81) Se P (x) = x33x2+2x, entao{x R | P (x) > 0} e:a) (0,1) b) (1,2) c) (, 2) (2,)d) (0, 1) (2,) e) (, 0) (1, 2).

6. Se f(x) = 3x, entao f(x + 1) f(x) e:a) 3 b) f(x) c) 2f(x) d) 3f(x)e) 4f(x)

7. (FUVEST SP) Se f : R R e da formaf(x) = ax + b e verica f [f(x)] = x + 1,para todo real, entao a e b valem, respecti-vamente:

a) 1 e12

b) 1 e 12

c) 1 e 2 d) 1 e 2e) 1 e 1

8. (FATEC SP) Seja a funcao f tal que

f : (R {2}) R, onde f(x) = x 2x + 2

O numero real x que satisfaz f(f(x)) = 1e:

a) 4 b) 2 c) 2 d) 4 e) n.d.a.

9. Determine o domnio de cada funcao:

I) f(x) = |x| II) f(x) = x2 4III) f(x) = 1/x IV) f(x) =

x/x

10. Nos gracos abaixo determine D(f) e Im(f)

0

y

x

I)

f

1

y

x

II)

f

1

12

-5 1

2

-13

11. Se f(x + 1) =3x + 52x + 1

(x = 1/2), odomnio de f(x) e o conjunto dos numerosreais x tais que:

a) x = 1/2b) x = 1/2c) x = 5/3d) x = 5/3e) x = 3/5


1. Sejam as funcoes reais g(x) = 2x 2 e(f g)(x) = x22x. Determine a expressaode f .

2. (UFF 96 - 2a fase) Dadas as funcoes reaisde variavel real f e g denidas por f(x) =x24x+3, com x 2 e g(x) = 2+1 + x,com x 1, determine:a) (g f)(x) b) f1(120)

3. Dada a funcao f(x) =9 x2, para qual-

quer numero real x, tal que |x| 3, tem-se:a) f(3x) = 3f(x) b) f(0) = f(3)

c) f1(x) = f(

1x

), se x = 0 d) f(x) =

f(x) e) f(x 3) = f(x) f(3)4. (CE.SESP-81) Seja f : N Z, a funcao

denida porf(0) = 2f(1) = 5f(n+ 1) = 2f(n) f(n 1)

o valor de f(5) e:

a) 17 b) 6 c) 5 d) 4 e) 10

31

5. (MACK SP) Sendo f(x 1) = 2x+ 3 umafuncao de R em R, a funcao inversa f1(x)e igual a:

a) (3x+1) 21 b) (x5) 21 c) 2x+2d)

x 32

e) (x + 3) 21

6. (CESGRANRIO) Considere as funcoes

f : R R g : R Rx 2x+ b x x2

onde b e uma constante. Conhecendo-se acomposta

g f : R Rx g(f(x)) = 4x2 12x+ 9

podemos armar que b e um elemento doconjunto:

a) (4, 0) b) (0,2) c) (2,4) d) (4,+)e) (,4)

7. Considere a funcao f : N N denida por:

f(x) =

x

2, se x e par

x+ 12

, se x e mpar

onde N e o conjunto dos numeros naturais.Assinale a alternativa verdadeira:

a) A funcao f e injetora.b) A funcao f nao e sobrejetora.c) A funcao f e bijetora.d) A funcao f e injetora e nao e sobrejetora.e) A funcao f e sobrejetora e nao e injetora.

8. O domnio da funcao

y =

x + 1x2 3x+ 2 e o conjunto:

a) {x R | 1 x < 1 x > 2}b) {x R | 1 x 1 x 2}c) {x R | x 1 x 2}d) {x R | 1 x 1}e)

9. (CESGRANRIO-79) Seja f : (0;+) (0;+) a funcao dada por f(x) = 1

x2e f1

a funcao inversa de f . O valor de f1(4) e:

a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 4

10. (UFMG-80) Seja f(x) =1

x2 + 1 Se x = 0,

uma expressao para f(1/x) e:

a) x2 + 1 b)x2 + 1x2

c)x2

x2 + 1d)

1x2

+ x e)1

x2 + 1

11. Considere a funcao F (x) = |x21| denidaem R. Se F F representa a funcao com-posta de F com F , entao:

a) (F F )(x) = x|x2 1|, x Rb) y R | (F F )y = yc) F F e injetorad) (F F )(x) = 0 apenas para 2 valoresreais de x

e) todas as anteriores sao falsas.

32

AULA 16 GABARITO

SERIE A

1. a) f g(x) = 4x21 b) f f(x) = x42x2c) g f(x) = 2x2 2 d) g g(x) = 4x 2. 53. c) 4. a) (ff)(x) = x b) f1(x) = x + 1

x 15. d) 6. c) 7. a) 8. c) 9. I) R,II) {x R | x 2 e x 2}, III) R,IV) R+ 10. I) D(f) = [5, 1], Im(f) = [0, 12]II) D(f) = [0, 3], Im(f) = [1, 2] 11. a)

SERIE B

1. f(x) =14x21 2. a) (gf)(x) = x b) 13

3. d) 4. a) 5. b) 6. a) 7. e) 8. a)9. b) 10. c) 11. e)

AUTO-AVALIACAO


33

AULA 17

FUNCOES DO 1o GRAU

OBJETIVOS: Apos estudar esta aula, vocesabera:

Reconhecer uma funcao linear am, iden-ticar o coeciente angular e representargracamente no plano.

Identicar se a funcao linear am e cres-cente ou decrescente e descrever os pontosdo domnio onde a funcao e positiva ou neg-ativa.

1. DEFINICAO

Uma funcao f : R R dada por f(x) = ax+b,onde a e b sao numeros reais e a = 0 e chamadade funcao polinomial do 1o grau (ou funcao lin-ear am). O numero a e chamado coecienteangular e b coeciente linear da funcao.

2. REPRESENTACAO GRAFICA

Seja y = f(x) = ax + b. Entao

x = 0 y = bx = b

a y = 0

e os pontos (0, b) e( ba, 0)

denem uma reta

no plano. Esta reta e o graco de f . Suponhapara a representacao abaixo que a > 0 e b > 0.

Q

P

OA

Observe na gura os triangulos retangulos AObe bPQ, ambos com angulo agudo . Nos aindanao revisamos trigonometria, mas provavel-mente voce sabe que podemos calcular a tan-gente do angulo usando os triangulos.

Assim tg =Ob

OAe tg =

QP

bP

Isto e,

tg =bba

= a e tg =y bx

.

Juntando as equacoes vem que

a =y bx

y = ax + b.

Nota: (i) Segundo o graco da funcao linearf(x) = ax + b, o coeciente linear b da retagraco de f e o valor da ordenada do ponto deintersecao da reta com o eixo Oy.

(ii) O valor a da origem a` equacao a = tg , onde e a inclinacao do graco de f . temos dois casos

a) 0 < < 90 tg > 0 e a > 0 logo f efuncao crescente.

b) 90 < < 180 tg < 0 e a < 0 logo fe funcao decrescente.

x

y=f(x)

x

y=f(x)

a>0 a

(ii) Determine a equacao da reta y = ax+b cujograco esta abaixo.

x30

y

- 3

Solucao: Como tg 30 =33

este e o valor de

a. Logo, y = f(x) =33

x + b. Para achar

b, usamos que (0,3) e ponto do graco. Entao3 =

330+b e b = 3. Logo f(x) =

33

x3.

4. ESTUDO DO SINAL DEy = f(x) = ax + by = f(x) = ax + by = f(x) = ax + b

Queremos estudar a variacao do sinal dey = f(x) quando x varia. Vamos dividir emdois casos.

Caso A: a > 0.

y = ax + b = 0 x = bay = ax + b > 0 x > bay = ax + b < 0 x < ba

O graco mostra que para x > ba

o valor

y = f(x) e positivo e para x < ba, y = f(x) e

negativo.

x

y

-

+

- ba

Caso B: a < 0

y = ax + b = 0 x = bay = ax + b > 0 x < bay = ax + b < 0 x > ba

O graco de y = f(x) = ax + b, mostra que

para x < ba

o valor y = f(x) e positivo e para

x > ba

o valor y = f(x) e negativo.

x

y=f(x)

-

+

- ba


Resolva as inequacoes abaixo:a) 3x 2 < 0b) x + 1 > 0c) (3x + 6)(2x+ 8) > 0d)

x + 32x + 1

2Solucao:

(a) 3x 2 < 0 3x < 2 x < 23

O conjunto solucao

S ={x R | x < 2

3

}=(, 2

3

)(b) x + 1 > 0 x > 1 x < 1.

O conjunto solucao eS = {x R | x < 1} = (, 1).

(c) A inequacao e um produto e para resolve-la e eciente fazer uma tabela. Primeiroencontramos as razes de

y = 3x+ 6 raiz x = 2y = 2x+ 8 raiz x = 4

e construmos a tabela

-2 4

+

+

+

+

+

3x+6-2x+8

(3x+6)(-2x+8)

3x + 6 > 0 x > 23x + 6 < 0 x < 2

2x+ 8 > 0 x > 42x+ 8 < 0 x < 4.

36

Com os dados anteriores, e usando queo produto de numeros de mesmo sinale positivo e o produto de numeros desinais contrarios e negativo, completamos atabela.

Logo, o conjunto solucao

S = (,2) (4,)

(d) Antes de resolver temos que reduzir o se-gundo membro a zero:

x + 32x + 1

2 0 x + 3 2(2x+ 1)2x+ 1

0

3x+ 12x + 1

0.

Esta ultima inequacao e equivalente a` in-equacao proposta inicialmente e tem formapropria para resolvermos. Vamos construira tabela

3x+ 1 > 0 3x > 1 x < 13

3x+ 1 > 0 3x < 1 x > 13

2x+ 1 > 0 x > 12

2x+ 1 < 0 x < 12

-1/3

+

+ +

++-3x+12x+1

-3x+1

-1/2

2x+1

Na inequacao quociente3x+ 12x+ 1

0procuramos os valores de x que tornam oprimeiro membro positivo ou nulo. O con-junto solucao e

S =(1

2,13

]

Nota: O valor x =13

anula o numerador e

e solucao. O valor x = 12

anula o denom-inador. Como o denominador nunca podeser zero, este valor deve ser excludo do con-junto solucao.


1. (UFRJ 98) O graco a seguir descreve ocrescimento populacional de certo vilarejodesde 1910 ate 1990. No eixo das orde-nadas, a populacao e dada em milhares dehabitantes.

ano

populao

2345

6789

10

1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

a) Determine em que decada a populacaoatingiu a marca de 5.000 habitantes.

b) Observe que a partir de 1960 o crescimentoda populacao em cada decada tem se man-tido constante. Suponha que esta taxa semantenha no futuro. Determine em quedecada o vilarejo tera 20.000 habitantes.

2. Determinar o valor de m para que o graco

da funcao y = f(x) =13(2x+m) passe pelo

ponto (2, 1).

3. (IBMEC-2001) Na gura abaixo, estao rep-resentadas as funcoes reais:

f(x) = ax + 2 e g(x) = 23x + b

x

y

A

f

g

B

C0

Sabendo que AC0B = 8 entao, a reta querepresenta a funcao f passa pelo ponto:

a) (1.3) b) (2,2) c) (1, 4)d) (2,4) e) (3,6)

37

4. Determine f(x) cujos gracos sao represen-tados abaixo:

x

y

x

y

- 3

65

3

x

y

x

y

12

-1060

45

5. Resolver as inequacoes do 1o grau:

a) 4x+ 40 > 0

b) 12 6x 0c) 2x+ 3 < 13

d) x + 1 < 2x

e) 1 + 2x < 1 2xf) 2(x 1) 1 3(1 x)

6. (UERJ 93) O conjunto solucao da

inequacao2x 33x 2 1 e o seguinte

intervalo:

a) (,1) b)(, 2

3

]c)[1, 2

3

)d) [1,) e)

(23, 1]

7. (CESGRANRIO) O conjunto de todos osnumeros reais x < 1 que satisfazem a

inequacao2

x 1 < 1 e:

a) }0} b) {0, 1/2} c) {x R | 1 0,constituem o intervalo aberto:

a) (1,3) b) (2,3) c) (0,3) d) (0,1)e) (1,2)

10. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma funcaoam. Sabe-se que f(1) = 4 e f(2) = 7.O valor de f(8) e:

a) 0 b) 3 c) 13 d) 23 e) 33

11. (UFF 93)

x

y

6

- 2

A soma do coeciente angular com o coe-ciente linear da reta representada no gracoacima e:

a) 3 b) 3 c) 3 d) 4 e) 9

12. (PUC 91) A raiz da equacaox 3

7=

x 14

e:

a) 5/3 b) 3/5 c) 5/3 d) 3/5e) 2/5

13. (UNIFOR/CE) Seja a funcao f de R emR, denida por f(x) = 3x 2. A raiz daequacao f(f(x)) = 0 e:

a) x 0 b) 0 < x 13

c)13

< x 1d) 1 < x 83

14. (PUC-RJ) Uma encomenda, para ser envi-ada pelo correio, tem um custo C de 10 reaispara um peso P de ate 1 kg. Para cada quiloadicional o custo aumenta 30 centavos. Afuncao que representa o custo de uma en-comenda de peso P 1 kg e:a) C = 10 + 3P b) C = 10P + 0, 3c) C = 10 + 0, 3(P 1) d) C = 9 + 3Pe) C = 10P 7

38

15. (PUC) Em uma certa cidade, os taxme-tros marcam, nos percursos sem parada,uma quantia inicial de 4 UT (UnidadeTaximetrica) e mais 0,2 UT por quilometrorodado. Se, ao nal de um percurso semparadas, o taxmetro registrava 8,2 UT, ototal de quilometros percorridos foi:

a) 15,5 b) 21 c) 25,5 d) 27 e) 32,5

16. Seja a funcao f : R R, tal que f(x) =ax+b. Se os pontos (03) e (2,0) pertencemao graco de f , entao a + b e igual a:

a) 9/2 b) 3 c) 2/3 d) 3/2 e) 1


1. (UNICAMP-92) Calcule a e b positivos naequacao da reta ax+by = 6 de modo que elapasse pelo ponto (3,1) e forme com os eixoscoordenados um triangulo de area igual a 6.

2. (UFRJ-91) Suponha que as ligacoestelefonicas em uma cidade sejam apenaslocais e que a tarifa telefonica seja cobradado seguinte modo:

1o ) uma parte xa, que e assinatura;

2o ) uma parte variavel, dependendo donumero de pulsos que excede 90 pul-sos mensais. Assim, uma pessoa quetem registrados 150 pulsos na contamensal de seu telefone pagara somente150 90 = 60 pulsos, alem da assi-natura.

Em certo mes, o preco de cada pulso exce-dente era R$ 2,00 e o da assinatura eraR$ 125,00. Um usuario gastou nesse mes220 pulsos. Qual o valor cobrado na contatelefonica?

3. (UFRJ-95) Uma fabrica produz oleo desoja sob encomenda, de modo que todaproducao e comercializada.

O custo de producao e composto de duasparcelas. Uma parcela xa, independentedo volume produzido, corresponde a gastoscom aluguel, manutencao de equipamentos,salarios etc; a outra parcela e variavel, de-pendente da quantidade de oleo fabricado.

No graco abaixo, a reta r1 representa ocusto de producao e a reta r2 descreve ofaturamento da empresa, ambos em funcaodo numero de litros comercializados. A es-cala e tal que uma unidade representa R$1.000,00 (mil reais) no eixo das ordenadas emil litros no eixo das abscissas.

a) Determine, em reais, o custo correspon-dente a` parcela xa.b) Determine o volume mnimo de oleo aser produzido para que a empresa nao tenhaprejuzo.

4. Resolver as seguintes desigualdades:

a) (x 1)(2x+ 1) < 2x(x 3)

b)x + 1

2+

x + 23

> 0

c)t2 1

2 1

4 t

2(t 1)

5. (UFPI) Se m, n e p sao os numeros in-teiros do domnio da funcao real f(x) =

(3 2x) (2x+ 3), entao m2 + n2 + p2 eigual a:

a) 2 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9

6. (CESGRANRIO) Dada a inequacao(3x 2)3(x 5)2(2 x) x > 0 tem-se quea solucao e:

a){z | x < 2

3ou 2 < x < 5

}

b){x | 2

3< x < 2 ou x < 0

}c) 2/3 x 2d) 2/3 < x < 5

e) diferente das quatro anteriores

39

7. (PUC-SP) O domnio da funcao real dada

por f(x) =

1 + xx 4 e:

a) {x R | x > 1 e x < 4}b) {x R | x < 1 ou x > 4}c) {x R | x 1 e x 4}d) {x R | x 1 ou x > 4}e) n.r.a.

8. (UNICAMP) Duas torneiras sao abertasjuntas; a 1a enchendo um tanque em 5 ho-ras, a 2a enchendo outro tanque de igualvolume em 4 horas. No m de quantotempo, a partir do momento em que astorneiras sao abertas, o volume que faltapara encher o 2o tanque e 1/4 do volumeque falta para encher o 1o tanque?

9. (ESPM/SP) Uma empresa de bicicletaspossui um custo unitario de producao deUS$ 28,00 e pretende que este valor repre-sente 80% do preco de venda ao lojista.Esta, por sua vez, deseja que o valor pagoao fabricante seja apenas 70% do total quecustara ao consumidor nal. Quanto o con-sumidor nal devera pagar por uma bici-cleta?

10. (PUC/MG) Seja f : R R uma funcaodenida por f(x) =

2x 35

O valor de xna equacao f1(x) =

72

e:

a) 3/8 b) 4/5 c) 2/7 d) 4/5e) 3/8

AULA 17 GABARITO

SERIE A

1. a) a decada de 40 b) 2040 < A < 2050

2. m = 7 3. b) 4. a) f(x) = y =35x 3

b) y = 2x + 6 c) y = 3x + 12d) y = x 10 5. a) S = {x R | x >10} = (10,) b) {x R | x 2} =) , 2] c) {x R | x < 5} = (, 5)d) {x R | x > 1} = (1,) e) {x R | x 7

5

}=

(7

5,

)c)

{t R | t 3

2

}=

(, 3

2

]5. a) 6. b) 7. d)8. 3h45min 9. US$50,00 10. b)

AUTO-AVALIACAO


40

AULA 18

FUNCOES QUADRATICAS

OBJETIVOS: Apos estudar esta aula, vocesabera:

Reconhecer uma funcao quadratica, bemcomo representar seu graco num sistemade coordenadas.

Determinar as razes de uma funcaoquadratica e seus pontos de maximo ou demnimo.

Descrever para uma dada funcao quadraticaos intervalos do domnio onde a funcao epositiva ou e negativa.

1. DEFINICAO

Dados os numeros reais a, b e c (com a = 0),a funcao

f : R R, x y = ax2 + bx+ c

e chamada funcao quadratica ou funcao polino-mial de grau dois.

2. GRAFICO NO SISTEMACARTESIANO

Toda funcao quadratica e representada gra-camente por uma parabola. Temos duas ob-servacoes importantes:

(i) As parabolas que sao gracos de funcoesquadraticas tem eixo paralelo ao eixo ver-tical Oy

(ii) Se a > 0 a concavidade da parabola e paracima. Se a < 0 a concavidade e para baixo.

3. EXEMPLOS

Abaixo temos os gracos de f(x) = x22x+1,g(x) = x2 + x, respectivamente.

1 x

y

a > 0

1x

ya < 0

0

4. INTERSECAO COM OS EIXOSCOORDENADOS

(I) Intersecao comOx.

Os gracos anteriores mostram exemplos degracos, onde as parabolas interceptam, uma ou

duas vezes o eixoOx. No caso de apenas um

ponto de intersecao a parabola e tangente ao

eixoOx.

Para encontrar genericamente os pontos de in-

tersecao comOx fazemos

ax2 + bx + c = 0.

As solucoes desta operacao sao

x =b

2a, = b2 4ac (*)

a) Se > 0 temos duas razes x1 e x2 dis-tintas em (*) o graco corta o eixo

Ox nestes

pontos.

a > 0

x1 x2

a < 0

x1 x2x x

b) Se = 0 temos apenas uma raiz x0 em(*) o graco tangencia o eixo

Ox.

a > 0

x0

a < 0

x0

x x

c) Se < 0 nao existe solucao para (*).Neste caso a parabola nao corta o eixo

Ox.

a > 0

x1 x2

a < 0

x1 x2x x

41

II) Intersecao com o eixoOy

Fazendo x = 0, temos que y = a 02 + b 0 +c. Logo y = c. Portanto, (0, c) e o ponto deintersecao com o eixo y.

Exemplos: Determine o valor de m para que afuncao quadratica

f(x) = x2 4x+m

possua apenas uma raiz.

Solucao: Devemos ter = b2 4ac = 0.

42 4 1 m = 0 4 4m = 0, m = 1.

5. DETERMINACAO DAS RAIZES

Para ax2 + bx+ c = 0, x =b

2a.

Ou seja

x1 =b+

2ae x2 =

b2a

,

sao as razes.(I) Soma e produto das razes

x1 + x2 =b+

2a+b

2a=

=b2a

b2a

= ba

x1 x2 = b+

2a b

2a=

=(b+)(b)

4a2=

=b2 4a2

=b2 (b2 4ac)

4a2=

=4ac4a2

=c

a

x1 + x2 = ba, x1 x2 = c

a

Nota: Se f(x) = y = ax2 + bx + c

y = a(x2 +

b

ax +

c

a

).

Entao chamando de S a soma das razes e de Po produto das razes, encontramos

y = a(x2 Sx + P ).

(II) Fatoracao da funcao quadraticaArmamos que

y = f(x) = ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2).

De fato,

a(x x1)(x x2) =a(x2 x1x x2x + x1x2) =a[x2 (x1 + x2)x + x1x2] =

a

(x2 +

b

ax +

c

a

)= ax2 + bx+ c

(III) Pontos de maximo (a < 0) ou de mnimo(a > 0) para uma funcao quadratica.

Vamos denotar por (xv, yv) as coordenadasdo ponto maximo (a > 0) ou ponto mnimo(a < 0) da parabola.

(a) Identicacao coordenada xv.

Devido a` simetria da parabola, no caso em que 0, o ponto medio xv do segmento cujos ex-tremos sao os pontos x1 e x2 (razes da equacao)e onde ocorre o valor mnimo da funcao. Como

xv =x1 + x2

2, encontramos que xv = b2a . No

caso em que < 0, e possvel ainda provar que

xv = ba

e ainda o ponto onde ocorre o maximoou mnimo. Portanto, neste ponto ocorre o valoryv mnimo para y (caso a > 0) e o valor yvmaximo para y (caso a < 0). Veja abaixo, osgracos das duas situacoes.

yv

yv

xv =b

2a

xv =b

2a

Nota: Conforme dito, quando 0, o valorxv que fornece o mnimo representa a media ar-itmetica das razes x1 e x2 ,

xv =x1 + x2

2=b2a

42

(b) Calculo de yvO ponto V = (xv, yv) identica o vertice da

parabola,

yv

xv

x

y

v

Eixo daparbola

yv = ax2v + bxv + c = a(b

2a

)2+ b

(b2a

)+ c

=b2

4a b

2

2a+ c =

b2 2b2 + 4ac4a

=b2 + 4ac

4a

yv =4a

.

c) Domnio e conjunto imagemO domnio y = f(x) = ax2 + bx + c e toda a

reta real R.O conjunto imagem depende do sinal do coe-ciente a.

1o caso: a > 0

4av

y

Im(f) ={y R | y

4a

}2o caso: a < 0

4av

y

Im(f) ={y R | y

4a

}

6. EXEMPLOS

1. Determinar as razes da funcao denida pelaequacao y = x2 2x 8 e fazer um esbocodo graco.

Solucao:

x2 2x 8 = 0 = b2 4ac = (2)2 4(1) (8) = 4 + 32 = 36x =

b2a

x1 =(2) +36

2 1 =2 + 62

= 4

x2 =(2)36

2 1 =2 62

= 2

Graco da Parabolaa = 1 > 0 concavidade voltada para cima = 36 > 0 a parabola intercepta o eixo xem dois pontos.

-2 x

y

4

2. Determinar as razes da funcao denida pelaequacao y = x2 + x 4 e fazer um esbocodo graco.

Solucao:

x2 + x 4 = 0x2 x + 4 = 0 = (1)2 4(1) (4) = 1 16 = 15, < 0 (nao tem razes reais).

Graco da Parabola

a = 1 < 0 concavidade voltada parabaixo

= 15 < 0 nao intercepta o eixo x

x

43

3. Dada a equacao y = x2x6, determinar overtice da parabola e constuir o seu graco.

Solucao:

y = x2 x 6

x2 x 6 = 0

= 1 + 24 = 25

x1 =1 +

25

2 1 =1 + 5

2= 3

x2 =125

2 1 =1 5

2= 2

Razes: 3 e 2

V =(b

2a,4a

)=(12,254

)

Graco da Parabolaa = 1 a > 0 concavidade para cima = 26 > 0 intercepta o eixo

Ox em

dois pontos

x

y

3-2

1 -252 4

,( )7. ESTUDO DO SINAL DA FUNCAOQUADRATICA

No estudo do sinal da funcao y = ax2+bx+c,temos 6 casos a considerar.

Caso 1: < 0 e a > 0

Caso 2: < 0 e a < 0

Os gracos das parabolas nestes casos nao in-

terceptam o eixoOx. Entao y > 0 no caso 1 e

y < 0 no caso 2.

x

y

x

y

Caso 3: > 0 e a > 0

Caso 4: > 0 e a < 0

Os gracos das parabolas nestes casos inter-

ceptam o eixoOx em dois pontos (as razes x1

e x2)

x

y

x

y

x2x1+ + +

x1 x2

y e positivo parax (, x1) (x2,)y e negativo para

x (x1, x2)

y e positivo parax (x1, x2)

y e negativo parax (, x1) (x2,)

Caso 5: = 0, a > 0

Caso 6: = 0, a < 0

x2x1 =

x2x1 =

Entao y e positivo para todo x = x1 no caso 5 ey e negativo para todo x = x1 no caso 6.

8. REGRA SINTESE PARA QUESTAODO SINAL

(i) Se < 0 o sinal de y e o mesmo de a

(ii) Se = 0 o sinal de y e o mesmo de a (excetopara x = x1 = x2 quando y = 0)

(iii) Se > 0.

x1 x2

mesmo de a contrario de a mesmo de a

x

O sinal de y nos intervalos (, x1),(x1, x2) e (x2,) obedecem ao esquemaacima.

44

9. EXEMPLOS

1. Resolva o inequacao

5x2 3x 2 > 0Solucao:

= b2 4ac = 9 (4 5 2) = 49 > 0

x =b

2a

x =3 710

x1 = 1, x2 =25

xvertice = b2a =310

yvertice = 4a = 4920

Conjunto solucao S

S ={x R | x > 1 ou x < 2

5

}2. Encontre o conjunto S R onde para todo

x S y > 0, onde y = x2 4x + 4Solucao:

= (4)2 4 (4) (1) = 16 16 = 0 = 0

x =(4)2 1 = 2

y

x2

O conjunto solucao e:

S = {x R | x = 2}


1. Determinar m, de modo que a paraboladenida pela funcao:a) f(x) = (2m+3)x2 +3x 2 tenha con-cavidade voltada para baixob) y = (5 3m)x2 + 16 tenha concavidadevoltada para cima

2. Determine a equacao quadratica cujograco e:

-1 x

y

30

-5

3. Determine em cada caso os sinais de a, b, ce .

x

yb)

x

ya)

4. (UFRJ/92) A gura abaixo e o graco deum trinomio do segundo grau.

x

y

52

3

-1

Determine o trinomio.

5. Resolver as seguintes inequacoes:

a) x2 + 2x 3 > 0b) 4x2 + 11x 6 0c) 9x2 6x+ 1 > 0d) x2 5 < 0e) x(x + 4) > 4(x + 4)f) (x 1)2 3 x

6. (PUC-90) O numero de pontos de in-tersecao da parabola

y = 4x2 + 3x+ 1com a reta y = 5x 2 e:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

45

7. (UFF-95) Considere m, n e p numeros reaise as funcoes reais f e g de variavel real,denidas por f(x) = mx2+nx+p e g(x) =mx+p. A alternativa que melhor representaos gracos de f e g e:

a) d)y

x

y

x

b) e)

c)

y

x

y

x

y

x

8. (PUC-RIO/99) O numero de pontos de in-terseccao das duas parabolas y = x2 ey = 2x2 1 e:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

9. (VEST-RIO/93) O valor mnimo da funcaoreal f(x) = x2 + x + 1 e:a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 2/3 e) 3/4

10. (UFF) Para que a curva representativa daequacao dada por y = px24x+2 tangencieo eixo dos x, o valor da constante p deve serigual a:a) 6 b) 2 c) 0 d) 2 e) 6

11. (UNIFICADO-93) O vertice da parabolay = x2 + x e o ponto:

a) (1, 0) b)(1

2,1

4

)c) (0,0)

d)(12,34

)e) (1,2)

12. (PUC-91) O mnimo valor da funcao f(x) =x2 6x + 10 ocorre quando x vale:a) 6 b) 6 c) 3 d) 3 e) 5

3


1. (FUVEST-SP)

a) Se x +1x

= b, calcule x2 +1x2

b) Resolva a equacao x25x+8 5x+

1x2

= 0

2. (UFF-95) Determine o domnio da funcao

real f(x) denida por f(x) =

x 900x

3. (UERJ/97) Numa partida de futebol, noinstante em que os raios solares incidiamperpendicularmente sobre o gramado, o jo-gador Chorao chutou a bola em direcaoao gol, de 2,30 m de altura interna. A som-bra da bola descreveu uma reta que cru-zou a linha do gol. A bola descreveu umaparabola e quando comecou a cair da alturamaxima de 9 metros, sua sombra se encon-trava a 16 metros da linha do gol. Aposo chute de Chorao, nenhum jogador con-seguiu tocar na bola em movimento.

A representacao graca do lance em umplano cartesiano esta sugerida na gura aseguir:

16 m

9 m

x

y

A equacao da parabola era do tipo:

Y = x2

36+ C. O ponto onde a bola to-

cou o gramado pela primeira vez foi:

a) na baliza b) atras do gol c) dentrodo gol d) antes da linha do gol

4. (UFF-90) Duas funcoes f e g denidas porf(x) = x2 + ax + b e g(x) = cx2 + 3x + dinterceptam-se nos pontos (0,2) e (1,0).Determine os valores de a, b, c, e d.

5. (PUC-91) Se 1 4x

+4x2

= 0, entao2x

vale:

a)12

b)14

c) 1 d) 2 e) 1 ou 2

46

6. (PUC-88) Um quadrado e um retangulo,cujo comprimento e o triplo da largura, saoconstrudos usando-se todo um arame de 28cm. Determine as dimensoes do quadrado edo retangulo de forma que a soma de suasareas seja a menor possvel.

7. (UFRJ-90) Resolva a inequacao:

x4 9x2 + 8 < 0

AULA 18 GABARITO

SERIE A

1. a) m >32, b 0; c > 0; > 0.b) a > 0; b < 0; c > 0; > 0

4. y = 13x2 +

43x +

53

5. a) {x R |

x < 3 ou x > 1} b){x R | x 3

4ou x 2

}c){x R | x = 1

3

}d) {x R | 0 < x < 5}

e) {x R | x 1 ou x 2}f) {x R | x = 4} 6. c) 7. c) 8. c)9. e) 10. d) 11. b) 12. c)

SERIE B

1. a) b2 2 b){1,

352

}2. D(f) =

{x R | 30 x < 0 ou x 30} 3. c)4. a = 1, b = 2; c = 1, d = 2 5. c)6. lado quadrado = 3, retangulo: altura = 2,comprimento = 6 7. S = {x R | 22 2 temos que x2 4 < 0. Logo ograco de f(x) e o simetrico, em relacao ao eixoOx, do graco de x2 4.Exemplo 4

f(x) = |x 2|+ |x + 1|

Solucao:Neste caso e necessario separar o domnio em

varios intervalos. Temos:

|x 2| ={

x 2 se x 2(x 2) = 2 x se x < 2

e

|x+1| ={

x + 1 se x 1(x + 1) = x 1 se x < 1 .

Intervalos a serem considerados:

2-x 2-x|x-2|

|x+1|-x-1 x+1 x+1

2

x-2

-1

-1 2

Portanto,f(x) = |x 2|+ |x + 1| =

={

(2 x) + (x 1) = 1 2x se x < 12 x + (x + 1) = 3 se 1 x < 2

x 2 + x + 1 = 2x 1 se x 2

Cujo graco e :

0

2. EQUACOES E INEQUACOESMODULARES

Uma equacao modular e simplesmente umaequacao que envolve funcoes modulares (omesmo para inequacoes).

A seguir vamos listar algumas propriedadessimples, no entanto muito uteis, para resolverequacoes e inequacoes modulares:

1. |x| 0 para todo x R. Portanto naoexiste numero real x para o qual |x| < 0.

2. Se a > 0 entao

|x| = a x = a ou x = a .3. |x| = 0 x = 0.4. Se |a| > 0 entao

|x| < a a < x < a .5. |x| = |y| x = y ou x = y.

Exemplo 5

1. Resolva a equacao |x2 4x| = 4Solucao: (Veja a propriedade 2)|x2 4x| = 4 x2 4x = 4ou x2 4x = 4x2 4x = 4 x2 4x 4 = 0 x = 4

32

2 = 2 22

x24x = 4 x24x+4 = 0 x = 2Portanto a o conjunto solucao S da equacaoe o conjunto: S = {2 +2, 22, 2}

2. Resolva a equacao |2x + 3| = |x 4|Solucao: (Veja a propriedade 6)|2x + 3| = |x 4| 2x + 3 = x 4 ou2x + 3 = (x 4)2x + 3 = x 4 x = 72x+3 = (x4) 3x = 7 x = 73O conjunto solucao S da equacao e o con-junto: S = {7, 73}.

3. Resolva a inequacao |2x 1| 4Solucao: (Veja a propriedade 5)

|2x 1| 4 4 2x 1 44 2x 1 32 x2x+ 3 4 x 52

O conjunto solucao S da inequacao e o con-junto: S =

[ 32 , 52].50

4. Resolva a inequacao |x2 4| 4Solucao: (Veja a propriedade 4)

|x2 4| 4 x2 4 4 ou x2 4 4x2 4 4 x2 8 x 8 = 22 ou x 22x2 4 4 x2 0 x = 0Portanto o conjunto solucao S e compostode todos os valores x tais que x = 0 ou x 22 ou x 22.Entao S = {0} (,22] [22,).


1. O graco que melhor representa a funcao

f(x) = |x + 1| |x 1| e:

x

y

2

-1 1

a)

x

y

-2

-1 1

b)

x

y

2

-1 1

-2

c)

x

y

2

-1 1

-2

d)

y

2

-1 1-2 2 x

e)

2. (Uni-Rio - 99) Sejam as funcoesf : R R

x y = |x| eg : R R

x x2 2x 8Faca um esboco do graco da funcao fog.

3. (UFRJ - 99) Durante o ano de 1997 umaempresa teve seu lucro diario L dado pelafuncao

L(x) = 50(|x 100|+ |x 200|)

onde x = 1, 2, ..., 365 corresponde a cadadia do ano e L e dado em reais. Deter-mine em que dias (x) do ano o lucro foi deR$ 10.000, 00.

4. (FUVEST) Determine as razes dasseguintes equacoes:

a) |2x 3| = 5 b) |2x2 1|+ x = 05. (Osec-SP) O conjunto solucao da inequacao|x + 1| > 3 e o conjunto dos numeros reaisx tais que:

a) 2 < x < 4b) x < 4 ou x > 2c) x 4 ou x > 2d) x < 4 e x > 2e) x > 2

6. (MACKENZIE-SP) A solucao da inequacao|x| 1 e dada pelo conjunto:a) b) ] 1; 1[c) [1;[d) [1; 1]e) ];1]

7. (PUC/CAMPINAS-SP) Na gura abaixotem-se o graco da funcao f, de R em R,denida por:

a) f(x)=|x + 1|b) f(x)=|x 1|c) f(x)=|x| 1d) f(x)=|x2 1|e) f(x)=|1 x|

1

1

8. (UECE) Sejam Z o conjunto dos numerosinteiros, S = {x Z; x2 3x + 2 = 0} eT = {x Z; |x 1| < 3}. O numero deelementos do conjunto T S e:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

51

9. (Cesgranrio) A soma das solucoes reais de|x + 2| = 2|x 2| e:

a)13

b)23

c) 6

d)193

e)203

10. (CESGRANRIO) Trace o graco da funcaof de R em R, denida por f(x) = (x21)+|x2 1|+ 1.


1. (UNIFICADO - 97) O graco que melhorrepresenta a funcao real denida porf(x) =

x2 2x+ 1 e:

1

1

a)

1

-1

b)

1

c)

1

-1

d)

1

1

e)

2. (UNIFICADO - 96) O graco que melhorrepresenta a funcao real denida porf(x) =

(x 1)2 + 1 e:

1

1 x

ya)

1

1

y

x

b)

1

1

y

x

c)

1

1

y

x

d)

1

1

e)

3. (PUC - 96) Sendo a > 0, o conjunto dosreais x tais que |a 2x| < a e:

a){a2

}b) o intervalo aberto (0, a)

c) o intervalo aberto(a

2,3a2

)d) o intervalo aberto

(a2, a)

e) vazio

4. (UFMG) Se f(x) = |x| + 1 e g(x) = x2 +6x10 para todo x real, entao pode-se ar-mar que f(g(x)) e igual a:

a) x2 + 6x 11b)x2 + 6x 9c) x2 6x + 11d) x2 6x+ 9e) x2 6x 11

52

5. (UFF - 99) Considere o sistema

{y > |x|y 2

A regiao do plano que melhor representa asolucao e:

x

y

2

0

a)

x

y

2

0

b)

x

y

2

0

c)

x

y

2

0

d)

x

y

2

0

e)

6. (FEI-SP) A solucao da inequacao1

|1 2x| < 1 e:

a) 0 < x < 1b) x < 1 ou x > 0c) 1 < x < 0d) x < 0 ou x > 1e) x < 1 ou x > 1

7. (F.C. Chagas-BA) O maior valor assumidopela funcao y = 2 |x 2| e:a) 1b) 2c) 3d) 4e)

8. (CESGRANRIO) Seja a funcao denida nointervalo aberto ]1, 1[ por f(x) = x

1 |x| .

Entao, f(1

2

)vale:

a)12

b)14

c)12

d) 1 e) 2

9. (UNI-RIO) Sendo R = {(x, y) R2 ||x| 1 e |y| 1} a representacao gracade R num plano cartesiano e:

a) uma retab) um trianguloc) um quadradod) um losangoe) uma circunferencia

10. (UNI-RIO-92) A representacao graca dafuncao y = |x2 |x|| e:

1

1

-1 0

a)

1

10-1

b)

-1 0 1

c)

-1 0 1

d)

0

e)

11. (U.MACK) O conjunto solucao da equacao|x|x

=|x 1|x 1 e:

a) R {0, 1}b) {x R | x > 1 ou x < 0}c) {x R | 0 < x < 1}d) e) nenhuma das alternativas anteriores ecorreta.

53

AULA 19 GABARITO

SERIE A

1) c)2)

x

y

9

-9

8

-2 1 4

3) x = 50 ou x = 250 4) a) x = 1 e x = 4b) x = 12 e x = 1 5) b) 6) a) 7) e)8) c) 9) e)10)

x

y

-1 1

SERIE B

1) e) 2) c) 3) b) 4) c) 5) b) 6) d)7) b) 8) d) 9) c) 10) c) 11) b)

AUTO-AVALIACAO


54

AULA 20

FUNCAO EXPONENCIAL

OBJETIVOS: Ao nal desta aula, voce deveraser capaz de:

Entender o conceito de funcao exponenciale expressar gracos destas funcoes.

Resolver equacoes exponenciais.

1. DEFINICAO

Uma funcao exponencial e uma funcaof : R R denida por f(x) = ax, onde a eum numero real xo, a > 0 e a = 1.Vamos fazer duas observacoes sobre a denicaode funcao exponencial:

a) Dom(f) = R, pois, para todo x R, ax eum numero real bem denido.

Devemos comentar o que foi dito neste itema). Sabemos calcular an, se n e um numeronatural. Neste caso, an = a a . . . a (nvezes). Se n e um numero inteiro negativo e

a = 0 entao an =(

1a

)n. Para os casos

de expoentes racionais, usamos razes enesimascompostas com exponenciacao. Por exemplo,amn = n

am. Note que dado um numero racional

m

n, podemos considerar que n > 0 (do contrario

multiplicaramos numerador e denominador por1). Entao sabemos calcular aq onde q e numeroracional. Para o calculo de ax, onde x e real, de-vemos usar a tecnica de aproximacao por limite.Tomamos uma sequencia de numeros racionaisqn convergindo para x e entao ax e o limite deaqn . No entanto, o assunto limite, nestes ter-mos, e avancado em relacao ao nvel que esta-mos trabalhando e pedimos para voce aceitarsem provas a argumentacao que desenvolvemos.

b) Im(f) = (0,), pois ax > 0, para todox R.

2. GRAFICO

Como f(0) = a0 = 1, o graco da funcao sem-pre passa pelo ponto (0, 1).

Devemos distinguir 2 casos, de acordo com osvalores de a.

Se a > 1 entao a f(x) = ax e uma funcao cres-cente.

y=ax

a >1

y

x

1

Se 0 < a < 1 entao f(x) = ax e uma funcaodecrescente.

y=ax

0

4. EQUACOES EXPONENCIAIS

Uma equacao exponencial e uma equacaoenvolvendo potenciacao, onde a variavel podeaparecer na base e necessariamente aparecendono expoente. Vamos estudar apenas os casosmais simples destas equacoes:1o Caso: f(x) e g(x) sao funcoes, a e numeroreal positivo diferente de 1 e

af(x) = ag(x)

e a equacao exponencial. Neste caso o conjuntosolucao sao os valores x para os quais f(x) =g(x).

Entao, se a > 0,

af(x) = ag(x) f(x) = g(x) .2o Caso: f(x), g(x) e h(x) sao funcoes, ondeg(x) > 0, h(x) > 0, g(x) = 1 e h(x) = 1, paratodo x e

g(x)f(x) = h(x)f(x) .

Os valores x que resolvem a equacao sao aquelesque provocam a igualdade g(x) = h(x). Isto e,

g(x)f(x) = h(x)f(x) g(x) = f(x) .Muitas equacoes exponenciais podem ser reduzi-das a uma das formas acima apos alguma ma-nipulacao algebrica. Vamos a alguns exemplos.


1. Resolva a equacao 32x2 92x6 = 81.Solucao: Vamos colocar esta equacao naforma 3f(x) = 3g(x).32x2 92x6 = 81.32x2 (32)2x6 = 3432x2 34x12 = 343(2x2)+(4x12) = 34

36x14 = 34

Entao, 6x 14 = 4Logo, x = 3.

Solucao: x = 3.

2. Resolva a equacao 4x 3 2x 4 = 0.Solucao: Vamos fazer a substituicao y =2x e reduzir a uma equacao do 2o grau.4x 3 2x 4 = 0(22)x 3 2x 4 = 0(2x)2 3 2x 4 = 0.

Substituindo y = 2x, vem que

y2 3 y 4 = 0

y =39 + 16

2.

Logo, y = 1 ou y = 4.Substituindo agora y = 2x, vem que,

2x = 1 nao tem solucao;2x = 4 2x = 22 x = 2Solucao: x = 2

3. Resolva a equacao xx24 = 1.

Solucao: Como x e a base, e o segun-do membro e 1, so tem sentido procurarsolucoes com x > 0 e x2 1 = 0. Nestecaso podemos escrever que x0 = 1. Com-parando os expoentes. xx

24 = 1 = x0 x2 4 = 0 x = 2Solucao: x = 2

4. Resolva 3x1 + 3x+1 = 30.

Solucao: Vamos isolar o termo 3x.

3x1 + 3x+1 = 30

3x 31 + 3x 3 = 3013 3x + 3 3x = 30

3x (13+ 3

)= 30

3x 103

= 30

3x =310 30 = 9

3x = 32 x = 2Solucao: x = 2

6. INEQUACOES EXPONENCIAIS

Para resolvermos uma inequacao exponencialdevemos, em geral, reduzi-la a uma inequacaodo tipo h(x)f(x) > h(x)g(x), onde f(x) e h(x)sao funcoes e, alem disso, h(x) > 0 e h(x) = 1,para todo valor x.

A solucao entao depende da base h(x):

1) se h(x) > 1 entaoh(x)f(x) > h(x)g(x) f(x) > g(x)

2) se 0 < h(x) < 1 entaoh(x)f(x) > h(x)g(x) f(x) < g(x)

56


1. Resolva a inequacao 2x < 16.

Solucao:

2x < 16(12

)x< 24(

12

)x 0 e x = 1,e:

a) ]0, 1[[3,+[ b) {x R | 0 < x < 1}c) [3,+[ d) R e)

58

4. (FESP-SP) A solucao da inequacao(13

)x(x+1)(13

)x+1e:

a) x 0 b) x 0 c) x 1 ou x 1d) 1 x 1 e) x 1

3

5. (PUC-RS) A solucao da equacao2x+1 23x 6 = 0 pertence ao in-tervalo:

a) 1 x < 2 b) 1 < x 2c) 2 < x < 4 d) 2 < x 4e) 3 x < 4

6. (MACKENZIE-SP) O valor de m, m R,que satisfaz a equacao (2m+2)3 = 2

103 e:

a) 89

b) 6 c) 43

d) 89

e) 6

7. (FEI-SP) Para que valor real de x temos8x 8x = 3 (1 + 8x):a) 4 b)

12

c) 2 d)1 e)23

8. (PUC-MG) Se 3x+1 + 3x1 3x2 = 87,entao 2x 1 e igual a:a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

9. (UECE) Se 64|x| 2 8|x|+1 = 0, entao x2e igual a:

a) 0 b)19

c)14

d) 1 e) 4

10. (CESGRANRIO) Se (x, y) e solucao do sis-

tema

{2x + 3y = 112x 3y = 5 a soma (x + y) e

igual a:

a) 11 b) 3 d) 6 d) 4 e) 5

AULA 20 GABARITO

SERIE A

1) c) 2) K = 2048 a = 4 min 3) a = 44)

y

x1

1

possui duas solucoes: x = 0 e x = 1

matemática cederj

Documents