3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 4 | MATEMÁTICA 1 1

Matemática 1 aula 17 COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA 1. Da equação temos:

I) Centro (4, – 3) (V) 2a (eixo maior) = 10

II) a2 = 25 (V) e = c 3ea 5→ =

a = 5 III) b2 = 16 b = 4 IV) a2 = b2 + c2 52 = 42 + c2 c2 = 9 c = 3 Os focos serão: F1 (4 + 3, – 3) → F1 (7, – 3) F2 (4 – 3, – 3) → F2 (1, – 3) Resposta correta: E

2. Lembrando:

• Se a equação da elipse for do tipo:

( ) ( )2 20 0

2 2x x y y

1a b− −

+ = , as coordenadas dos focos

são F1(x0 – C; y0) e F2(x0 + C, y0) • Se a equação da elipse for do tipo:

( ) ( )2 20 0

2 2x x y y

1b a− −

+ = , as coordenadas dos focos

são: F1(x0; y0 – C) e F2(xo; y0 + C)

I. Considere a equação ( ) ( )2 2x 4 y 61

25 16− −

+ = .

22 2 2 2

2

a 25 a 5a b c 25 16 c c 3

b 16 b 4

= → = = + → = + → == → =

C(4; 6) II. As coordenadas dos focos são: F1(4 – 3; 6) = F(1; 6)

e F2(4 + 3; 6) = F2(7; 6) Resposta correta: A

3. Para encontrarmos os pontos de interseção, devemos

resolver o sistema com as equações da reta e da elipse:

2 2

y ax 1x 4y 1= +

+ =

x2 + 4 (ax + 1)2 = 1 x2 + 4 (a2x2 + 2ax + 1) = 1 x2 + 4a2x2 + 8ax + 4 = 1 (1 + 4a2)x2 + 8ax + 3 = 0

∆ = (8a)2 – 4 . (1 + 4a2) . 3

Para a reta ser tangente, é necessário que x’ = x’’, ou seja, ∆ = 0. 64a2 – 12 – 48a2 = 0 16a2 = 12

16a2 = 12 ÷ 2 8a2 = 6

2 3a4

3a2

=

= ±

Resposta correta: A 4. I.

( )

( )

( ) ( )

22

22

2 2

x 2 costx 2 2cost 2E :y 4y 4 3sent sen t

3

x 2cos t

4y 4

sen t9

x 2 y 4E: 1

4 9

− == + → → −= + =

−=

→ +−

=

− −+ =

II. Assim, temos centro C(2; 4) a2 = 9 → a = 3 → 2a = 6 b2 = 4 → b = 2 → 2b = 4

Resposta correta: C 5. 9x2 + 4y2 – 18x – 16y – 11 = 0

9x2 – 18x + 9 + 4y2 – 16y + 16 – 11 = 0 + 16 + 9

9 (x2 – 2x + 1) + 4 (y2 – 4y + 4) = 25 + 11 9 (x – 1)2 + 4 (y2 – 4y + 4) = 25 + 11 9 (x – 1)2 + 4 (y – 2)2 = 36 ÷ 36

2 2

2 2

9(x 1) 4(y 2) 3636 36 36

(x 1) (y 2) 14 9

− −+ =

− −+ =

a2 = 9 b2 = 4 a = 3 b = 2 Resposta correta: E

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. O centro da elipse de equação ( )2 2x 2E : y 1

4−

+ = é

C(2; 0). Como a reta r passa pelos pontos C(2; 0), A(3; –2) e

P(3; K), então Det(m) = 0.

; K + 2 = 0 → K = –2 Resposta correta: D

2. I. Seja a elipse de equação ( ) ( )2 2x 2 y 1E : 1

25 16− −

+ = .

2

2 2 22

a 25 a 5a b c c 3

b 16 b 4

= → = = + → == → =

II. Os focos da elipse são F1(x0 – C; y0) e F2(x0 + C; y0).

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Assim, F1(2 – 3; 1) = F1 (–1; 1) e F2(2 + 3; 1) = F2(5; 1)

III. Observe a figura:

losango6 . 8A 24

2= =

Resposta correta: C

3. Comparando, com a equação da elipse

2 2

C C2 2

(x x ) (y y )a b− −

+ = 1, teremos:

I) Centro (– 2, 4) II) a2 = 25 a = 5 Eixo maior → 2a = 10 III) b2 = 9 b = 3 Eixo menor → 2b = 6 IV) a2 = b2 + c2 25 = 9 + c2 c2 = 16 c = 4

V) e = ca

→ e = 45

Resposta correta: D 4. Reduzindo a equação da elipse:

3x2 + 4y2 – 24x – 16y + 52 = 0 3x2 – 24x + 4y2 – 16y = – 52 3 (x2 – 8x ) + 4 (y2 – 4y ) = – 52 3 (x2 – 8x + 16) + 4 (y2 – 4y + 4) = – 52 + 3 . 16 + 4 . 4 3 (x – 4)2 + 4 (y – 2)2 = 12 ( ÷ 12)

2 2(x 4) (y 2)4 3− −

+ = 1

I) a2 = 4 II) b2 = 3 III) a2 = b2 + c2

4 = 3 + c2 c2 = 1 c = 1 IV) 1 2FF = 2c 1 2FF = 2 . 1 1 2FF = 2 Resposta correta: D

5. Seja a equação:

( )

( )

( ) ( )

22

22

2 2

x 3 costx 3 5cost 5E :y 2 3sent y 2 sen t

3

x 3cos t

25y 2

sen t9x 3 y 2

E : 125 9

− == + → → = − + + =

−=

→ ++

=

− ++ =

Resposta correta: B

6. Seja ( ) ( )2 2x 1 y 7E : 1

144 25+ −

+ = . Assim:

Centro C(–1; 7) a2 = 144 → a = 12 → 2a = 24 (eixo maior) b2 = 25 → b = 5 → 2b = 10 (eixo menor) a2 = b2 + c2 = 13 → 2c = 26 (distância focal) Resposta correta: D

7. I. x 1x 1 2cost cost

E : 2y 2 sent y 2 sen t

−= + → → = + − =

( )

( )

( ) ( )

22

2 2

22

x 1cos t

4y 2 sen t

x 1E : y 2 1

4

−=

→ + − =

−+ − =

II. Desenvolvendo ( ) ( )2

2x 1y 2 1

4−

+ − = , temos:

(x – 1)2 + 4(y – 2)2 = 4 → x2 – 2x + 1 + 4y2 – 16y + 16 = 4 →

→ x2 + 4y2 – 2x – 16y + 13 = 0 Resposta correta: A

8. Pela definição de elipse temos PF1 + PF2 = 2a (constan-

te)

9. I. x2 + 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = –2 + 4 + 4 (x + 2)2 + (y – 2)2 = 6

( ) ( )2 2x 2 y 21

6 6+ −

+ =

II. a2 = b2

→ a = b

Resposta correta: E 10.

2 2 22a 10 a 5a b c c 3

2b 8 b 4c 3e ea 5

= → == + → =

= → =

= → =

Resposta correta: C