matemática b 10 ano volume 2

Matemtica B10.o ano volume 2

Ana Arede Soveral Carmen Viegas Silva

Reviso cientficaProfessor Doutor Jaime Carvalho e Silva(Universidade de Coimbra)

Ana Arede Soveral Carmen Viegas Silva

Reviso cientficaProfessor Doutor Jaime Carvalho e Silva(Universidade de Coimbra)

Matemtica B10.o ano volume 2

Estatstica generalidades ...................... 6

Objecto da estatstica e brevenota histrica ........................................................... 6

Populao e amostra. Recenseamentoe sondagem. Varivel estatstica ..................... 7

Populao e amostra .................................. 7Recenseamento e sondagem ................. 8Varivel estatstica ..................................... 9

Estatstica descritiva e estatstica indutiva....... 10

Resumindo.............................................................. 1 1

A vida da matemtica...................................... 12

Actividades prticas E1-E2 ........................... 13

Exerccios resolvidos ....................................... 16

Exerccios propostos........................................ 17

Organizao e interpretaode caracteres estatsticos ......................... 20

Anlise grfica de atributos qualitativos.Determinao da moda........................................ 20

Tabelas de frequncias .............................. 20Representaes grficas ........................... 2 1Determinao da moda .............................. 23

Anlise grfica de atributos quantitativos.Variveis discretas e variveis contnuas.Funo cumulativa .............................................. 24

Variveis discretas ....................................... 24Variveis contnuas ...................................... 27Separador de frequncias ......................... 3 1

Medidas de localizao de uma amostra...... 32Moda e classe modal.................................... 32Mdia aritmtica ........................................... 34Mediana e classe mediana......................... 36Quartis ............................................................... 39

Medidas de disperso de uma amosta ........... 4 1Amplitude total ............................................ 4 1Varincia e desvio padro .......................... 4 1Amplitude interquartis .............................. 44

Diagrama de extremos e quartis ...................... 44

Discusso das limitaes estatsticas............ 46

Resumindo.............................................................. 48


Actividades prticas E3-E5 .......................... 50


Exerccios propostos........................................ 6 1

Referncia s distribuiesbidimensionais .................................................. 66

Diagrama de disperso......................................... 66

Coeficiente de correlao linear e sua variao no intervalo [1, 1] ................................ 69

ESTATSTICA

MDULO INICIAL

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAO

FUNES E GRFICOS GENERALIDADES. FUNES POLINOMIAIS

ndiceVOL. 1

VOL. 2

Movimentos peridicos. Funes trigonomtricas .......................... 86

Resoluo de problemas que envolvamtringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Relaes entre as razes trigonomtricas de uma mesma amplitude de ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Relaes entre as razes trigonomtricas de nguloscomplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Razes trigonomtricas dos ngulos de amplitudes 30o, 45o e 60o* . . . . . . . . . . 97

Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A vida da matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Actividades prticas T1-T4 . . . . . . . . . . . . . . 102

Exerccios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0

Unidades de medida de ngulose de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4

Generalizao das noes de ngulo e de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7Referencial polar no plano . . . . . . . . . . . . 1 1 9Crculo trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9

Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


Actividades prticas T5-T6 . . . . . . . . . . . . . 127

Exerccios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1

Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Reduo ao 1.o quadrante . . . . . . . . . . . . . 134

Equaes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Coordenadas polares* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Converso de coordenadas cartesianasem coordenadas polares e vice-versa* . . 148

Funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Resumindo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1


Actividades prticas T7-T10 . . . . . . . . . . . . 163

Exerccios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1

Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Centro de gravidade de um conjunto finito de pontos e sua interpretao fsica............... 70

Ideia intuitiva de recta de regresso.Sua interpretao e limitaes......................... 7 1

Resumindo.............................................................. 73


Actividades prticas E6-E7.......................... 75


Exerccios propostos........................................ 80

Calculadoras CASIO FX-9860GII ou FX-9860GII SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 1Solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

*Facultativo

MOVIMENTOS PERIDICOS.

FUNES TRIGONOMTRICAS

ESTATSTICA

ESTATSTICA6

ESTATSTICA GENERALIDADES

OBJECTO DA ESTATSTICA E BREVE NOTA HISTRICA

Para alguns autores a palavra estatstica teve origem no termo statistik (emgrego significa verificar). Este termo foi usado pela primeira vez por GodofredoAchenwall (1719-1772).

A estatstica aparece desde sempre ligada ao Estado e necessidade de verificardeterminadas caractersticas de uma populao.

Desde o incio da civilizao que se realizam inquritos.

O censo mais antigo que se conhece data de 2200 a.C. e foi realizado por ordemdo imperador chins Yao.

Na Babilnia, Nabucodonosor mandou registar em placas de argila todos os seusbens agrcolas.

No antigo Egipto, devido s cheias peridicas provocadas pelo rio Nilo, era neces-srio efectuar registos de propriedades e de bens.

Na Grcia antiga efectuavam-se inquritos com o fim de lanar impostos.

O Imprio Romano foi o primeiro estado a reunir dados organizados sobre a popu-lao e os bens do Imprio.

Em Portugal, no reinado de D. Afonso III (1260-1279) realizou-se um dos primei-ros inquritos estatsticos, conhecido pelo Rol dos Besteiros do Couto.

data da elaborao deste manual (2010), o ltimo levantamento estatstico (XIVRecenseamento Geral da Populao), o Censos 2001, foi realizado pelo InstitutoNacional de Estatstica.

Fig. 1 A anlise estatstica do nmero de sismos ocorridosem determinada regio permiteaos engenheiros e arquitectosprojectar cidades mais seguras.

Fig. 2 atravs dos meios decomunicao social que sodivulgados os resultados das sondagens opinio pblica.

ESTATSTICA GENERALIDADES 7

Os dados recolhidos so muito importantes, pois tm influncia nas decises dosgovernantes em assuntos de interesse nacional e local, ao nvel da educao, da sade,do emprego, da economia, etc.

A estatstica a cincia que dispe de processos prprios para recolher, organizar,classificar, apresentar e interpretar conjuntos de dados. Surge actualmente como umramo da matemtica aplicada, que tem por objectivo extrair informaes dos dadosrecolhidos para obter uma melhor compreenso das situaes sob anlise.

A palavra informao uma das mais usadas na sociedade actual e a interpretaodessa informao indispensvel para compreender as mudanas no mundo. cadavez mais importante distinguir a informao correcta e imparcial daquela a que se podechamar poluio informativa.

Exemplo de um estudo estatstico:

POPULAO E AMOSTRA. RECENSEAMENTO E SONDAGEM.

VARIVEL ESTATSTICA

Populao e amostra

Em estatstica, definimos populao, ou universo estatstico, como o conjunto deelementos (seres, objectos, etc.) com uma ou mais caractersticas em comum acercadas quais pretendemos efectuar um estudo. A populao, sendo um conjunto de ele-mentos, pode ser finita ou infinita. Quando finita, chama-se dimenso da populaoao nmero de elementos que a constitui; unidade estatstica a designao dada acada elemento que constitui a populao.

NOTAAo realizar um estudo estats-tico estamos a: informar; descrever; prever; prevenir.

Quanto vale o surf

uma indstria poderosa, com crescimen-tos na ordem dos 10% nos ltimos cincoanos. A crise afectou o mercado das roupas,calado e acessrios, mas o material tcni-co (pranchas, fatos, etc.) continuou em alta. 5 mil milhes quanto vale o mercadodos desportos aquticos com prancha nosEUA, de acordo com a SIMA (Surf IndustryManufacturers Association). 1691 milhes o valor do mercado euro-peu, em 2008, de produtos relacionados comsurf, bodyboard, windsurf, wakeboard, kite-board e skimboard, de acordo com a empre-sa de estudos de mercado NPD. 304 milhes Equipamentos tcnicos. 677 milhes Calado. 710 milhes Roupa e acessrios.

in Viso, n.o 857, 2009

ESTATSTICA8

Pode no ser possvel estudar todas as unidades estatsticas de uma populao; porexemplo, num estudo sobre as compras que os europeus efectuam na Internet no seriapossvel analisar todos os elementos da populao, pois a sua dimenso muito grande!

Em casos como estes mais vantajoso recorrer a uma amostra um subconjuntofinito da populao a estudar. As concluses resultantes da amostra so extensveis atoda a populao. Pelo contrrio, quando se pretende realizar um censo, a amostra todaa populao.

Recenseamento e sondagem

Recenseamento ou censo um estudo estatstico realizado sobre toda a populao.Num recenseamento tem-se o propsito de recolher dados sobre todos os elementosda populao e fazer juzos quantitativos acerca das caractersticas estudadas.

No caso de, por diversas razes, no se justificar o recenseamento, ento tem sentidoaplicar uma sondagem.

Sondagem um estudo estatstico realizado a partir de uma amostra.

Utilizar uma amostra tem algumas vantagens, tais como:

mais econmico um estudo sobre toda a populao teria custos elevados e esse o motivo pelo qual se escolhe uma amostra quando se pretende saber, porexemplo, se determinado produto de consumo est a ser bem aceite pelo mercadoou no;

mais rpido em certos casos, estudar toda a populao faria com que se perdessea actualidade. Imagine-se um estudo sobre a preferncia televisiva dos portugueses;quando o estudo terminasse poderiam ser referidos programas que ainda no eramexibidos no incio do estudo e outros que j no estariam sequer em exibio;

prtico se a dimenso da populao for muito grande e for possvel obter umaamostra representativa, no se justifica estudar toda a populao;

operacional quando se pretende estudar, por exemplo, o grau de resistncia deum tijolo no se devem testar todos os tijolos!

As desvantagens da utilizao de amostras so poucas e resumem-se, essencial-mente, ao modo como escolhida a amostra. Se esta for escolhida de uma formaincorrecta, os dados analisados no podero ser generalizados a toda a populao.

Existem vrios critrios para a formao adequada de uma amostra representativada populao em estudo, como:

imparcialidade todos os elementos da populao devem ter alguma probabilidadede serem seleccionados;

representatividade tem de ser definida no incio do estudo e ser proporcionals caractersticas, tanto qualitativas como quantitativas, da populao;

dimenso o nmero de elementos escolhidos para representar a populaodeve ser o suficiente e necessrio para que seja possvel abranger toda a variedadede subgrupos da populao;

aleatoriedade a escolha da amostra tem de ser aleatria.

EXERCCIO 1Pretende fazer-se um estudosobre o nmero de irmos dosalunos do 10.o ano de escolari-dade de uma determinadaescola secundria.

Indique:

1.1. a populao em estudo.1.2. a unidade estatstica.

EXERCCIO 2D um exemplo de um estudoestatstico no qual deva ser uti-lizada:

2.1. apenas uma amostra.2.2. uma amostra ou o universoestatstico.

EXERCCIO 3Todos os dias, jornais, revistas eteleviso apresentam estudosestatsticos.

Escolha um desses artigos eindique a populao estudada.

NOTAA escolha de uma amostra obe-dece a tcnicas especficas queconstituem o objecto de estudoda teoria de amostragem.

Caderno de ExercciosExerccios 1 a 10.

Pgina 48.


Tendo em conta estes critrios, utilizam-se normalmente dois tipos de amostragem:

Amostragem aleatria simples ou sistemtica

A amostragem simples consiste em extrair ao acaso, da populao, o nmero de

elementos necessrios para constituir a amostra.

Por exemplo, numa fbrica com 210 operrios pretende fazer-se um estudo sobre o

funcionamento do respectivo refeitrio. Escolhem-se, ao acaso, 21 elementos para

responderem ao inqurito.

A amostragem sistemtica consiste em escolher aleatoriamente os elementos da

amostra segundo uma certa ordem.

No exemplo da fbrica, escolhe-se o primeiro operrio que frequentou o refeitrio

num determinado dia, em seguida s se escolhe o quinto, depois o dcimo, e assim

sucessivamente at se obter a amostra pretendida.

Amostragem estratificada

Utiliza-se quando se sabe previamente que a populao est dividida em subpopu-

laes.

Por exemplo, num estudo sobre o bom ou mau funcionamento dos servios adminis-

trativos de uma escola, no faria sentido ter em conta s as opinies dos professores

sem ter em conta, tambm, as dos alunos e pais.

Varivel estatstica

A propriedade ou caracterstica que se pretende estudar designada por varivel

estatstica, carcter estatstico ou atributo estatstico.

Numa populao podem ser estudados vrios atributos.

Por exemplo, num inqurito aos alunos de uma turma podemos estudar: a idade, o

nmero de irmos, o tempo gasto no percurso casa-escola, o tipo de msica preferida, etc.

Podemos, ento, considerar vrios tipos de variveis que depois de observadas vo

constituir os dados estatsticos:

variveis qualitativas so as que exprimem uma qualidade, no podendo ser

mensurveis.

Exemplos: o tipo de leitura preferido; o desporto favorito;

variveis quantitativas so as mensurveis e podem ser:

discretas: assumem um nmero finito ou infinito numervel de valores.

Exemplos: a idade ou o nmero de irmos;

contnuas: variveis estatsticas que assumem um nmero infinito no numer-

vel de valores.

Exemplo: o tempo gasto desde sair de casa at chegar escola.

Actividadeprtica E1

EXERCCIO 4Justifique se as amostras queforam usadas nas seguintessituaes so boas ou ms.

4.1. Para saber o que se pensa-va sobre o desenvolvimento daindstria de calado em Portu-gal, auscultou-se a opinio dasempresas com maior volume devendas no ltimo ano.

4.2. Um canal televisivo pediuaos telespectadores que no fimde um debate telefonassempara uma de duas linhas telef-nicas, consoante concordas-sem com o convidado A ou como convidado B.

EXERCCIO 5Classifique cada uma das seguin-tes variveis estatsticas comoqualitativa ou quantitativa.

5.1. Cor dos olhos.5.2. Peso de um beb recm --nascido.

5.3. Local de trabalho.5.4. Sexo.5.5. Rendimento mensal deuma famlia portuguesa.

EXERCCIO 6Das seguintes variveis estats-ticas, indique as que so discre-tas e as que so contnuas.

6.1. Peso dos jogadores de umaequipa de futebol.

6.2. Nmero de espectadoresde um concerto de rock.

6.3. Altura dos alunos do 10.oano.

6.4. Nmero de golos marca-dos no escalo principal do cam-peonato nacional de futebol.

6.5. Nmero de exemplaresvendidos da revista Educaoe Matemtica.

ExercciospropostosExerccios 1 a 3, 5 a 7 e 9 a 12.Pginas 17 a 19.

ESTATSTICA10

ESTATSTICA DESCRITIVA E ESTATSTICA INDUTIVA

Num estudo estatstico podemos considerar duas fases:

a estatstica descritiva, onde se procura descrever a amostra pondo em evidncia

as caractersticas principais;

a estatstica indutiva, que procura inferir concluses para todo o universo, ou

populao em estudo, a partir das concluses obtidas pela estatstica descritiva.

Salienta-se a importncia de quantificar o erro cometido ao fazer esta inferncia.

A estatstica descritiva constituda por vrias etapas.

Comea-se pela identificao do problema, para ser possvel definir o tipo de

dados pertinentes para o estudo.

Segue-se a recolha dos dados, que pode ser efectuada por diversos processos, como:

observao directa, entrevistas, preenchimento de inquritos, questionrios por telefone

ou por correio, etc.

Depois de recolhidos os dados feita uma anlise para excluir valores estranhos que

possam conduzir a concluses erradas, isto , faz-se a crtica dos dados.

Passa-se organizao e apresentao dos dados.

Por fim, temos a anlise e interpretao dos dados e resultados obtidos.

Por exemplo, ao realizar-se um estudo sobre as fontes de emisso de gases com efeito

de estufa, e aps o tratamento de dados, obteve-se o seguinte grfico:

Podemos concluir que o sector da energia o sector com mais responsabilidade

quanto ao aquecimento global.

Na estatstica indutiva inferimos para toda a populao as concluses retiradas do

estudo da amostra. A necessidade de inferncia das concluses deu um novo rumo

estatstica indutiva, que, com base na teoria das probabilidades, permite a tomada de

decises prevendo a evoluo dos acontecimentos. Por exemplo, segundo a Comisso

Europeia, Portugal ter, em 2050, o maior corte no valor das penses.

Em 2005, o sector da energia(por exemplo, a sua produo e transformao) e os transportes somaram 72% das emisses de dixido de carbono, metano e xidosde azoto em Portugal

Resduos

Agricultura

Processos industriais

Transportes

Energia48%10%

24%

10%

8%

in Relatrio de Estado do Ambiente, 2006

EXERCCIO 7Comente as seguintes afirma-es:7.1. H trs espcies de menti-ras: as mentiras, as mentirasabominveis e as mentiras esta-tsticas.

Mark Twain

7.2. As estatsticas mostramque a maior parte dos acidentesde automvel ocorre a velocida-des moderadas e que muitopoucos acidentes se do a velo-cidades superiores a 150 km/h.Significar isto que maisseguro conduzir a alta veloci-dade?

7.3.Um estudo mostra quenuma certa cidade europeia senotou um forte crescimento dapopulao e, simultaneamente,registou-se um notvel incre-mento de ninhos de cegonhas.Apoiar este estudo a conhecidacrena de que so as cegonhasque trazem os bebs?

in Martin Gardner, Apanhei-te!,Gradiva (adaptado)

DinamarcaHolandaAlemanha

ReinoUnidoEspanhaIrlandaPortugal

Previso das variaes de pensesComparao entre 2008 e 2050, em %

-20

-10 -8-2

+2+5

+20

Fonte: Comisso Europeia, 2009

Energia e transportes mais poluentes

ActividadeprticaE2

Caderno de ExercciosExerccio 11.Pgina 49.

Exerccios propostosExerccios 4, 8 e 13.Pginas 17 a 19.

Previso das variaes em penses

Fonte: Relatrio do Estado do Ambiente, 2006


RESUMINDO

Estatstica generalidades

Populao ou universo estatstico o conjunto de elementos com uma ou mais caractersticas

comuns, acerca da(s) qual(quais) se pretende efectuar um estudo.

Amostra um subconjunto finito da populao.

Unidade estatstica a designao dada a cada elemento que constitui a populao.

Dimenso de uma populao finita o nmero de elementos da populao.

Censo um estudo estatstico realizado sobre toda a populao.

Sondagem um estudo estatstico realizado a partir de uma amostra.

Varivel estatstica, carcter estatstico ou atributo estatstico a propriedade ou a caracterstica

sobre a qual se pretende fazer o estudo.

A estatstica descritiva baseia-se essencialmente na recolha, organizao, apresentao e inter-

pretao de dados.

Etapas de um estudo estatstico:

A estatstica indutiva tem como objectivo a inferncia de concluses para toda a populao a

partir do estudo da amostra.

Qualitativas

QuantitativasDiscretas

Contnuas

Identificaodo problema

Variveisestatsticas

Populao

Caractersticaspopulacionais

Caractersticasamostrais

Estudo da amostra

AmostraProduo de dadosEstatstica descritiva

Estatstica indutiva

Recolhade dados

Crticados dados

Organizaoe apresentao

dos dados

Anlisee interpretao

dos dados

ESTATSTICA12

Estatstica o nome da cincia e da arte que trata a inferncia incerta, que usa os nme-

ros para obter algum conhecimento acerca da natureza e da experincia.

Warren Weaver (matemtico norte-americano)

Muitos estados ordenaram estudos estatsticos para melhor conhecerem a sua populao,com o objectivo de lanar impostos ou, tambm, de conhecer o nmero de homens de quedisporiam caso entrassem em guerra.

Em Londres, John Graunt (1620-1674) faz a primeira recolha organizada de informaosobre a natalidade e a mortalidade na sua cidade.

William Petty (1623-1687) procura igualmente leis quantitativas que traduzam fenmenossociais e polticos.

Em 1693, Edmond Halley, famoso astrnomo ingls que desenvolvera um grande interessepela estatstica, publica o livro Clculo dos graus de mortalidade da humanidade, deduzidosde curiosas tabelas dos nascimentos e mortes da cidade de Breslaw, com a inteno deestabelecer o custo das anuidades dos seguros de vida.

Os trabalhos realizados por Graunt, Petty e Halley so a base dos trabalhos estatsticos rea-lizados hoje em dia pelas companhias de seguros.

o belga Adolphe Qutelet quem organiza no seu pas natal aquele que considerado como oprimeiro censo de carcter verdadeiramente estatstico. Estabelece o sistema de recensea-mento de 10 em 10 anos, adoptado posteriormente por vrios pases e ainda hoje utilizado. ele tambm que cria, em 1834, a Statistical Society em Londres e quem organiza, em Bru-xelas, a primeira conferncia internacional de estatstica, no ano de 1853.

Destaquemos ainda, entre outros estatsticos, Karl Pearson (1857-1936), que aplicou a anliseestatstica ao estudo da hereditariedade e da evoluo, e Sir Ronald Fisher (1890-1962),seguidor de Pearson, que deu uma nova dimenso estatstica, sendo considerado um dosfundadores da estatstica moderna. Francis Galton utiliza mtodos estatsticos diferentes einicia a estatstica indutiva.

Embora Alexandre Herculano (1810-1877) refira, na obra Histria de Portugal, que foramefectuados vrios recenseamentos na Pennsula Ibrica durante a Idade Mdia, s em 1775 fundada em Portugal uma instituio com o objectivo de produzir estatsticas oficiais, a quefoi dada a designao de Superintendncia Geral dos Contrabandos e Descaminhos dosReais Direitos nestes Reinos e seus Domnios.

Em 1798, por ordem de Pina Manique (1733-1805), feita uma avaliao populacional impor-tante, mas o primeiro recenseamento geral da populao s realizado em 1864.

O Instituto Nacional de Estatstica (INE) surge em 1935 e, desde ento, assegura o levantamentoestatstico em Portugal.

Edmond Halley[1656-1742]

Adolphe Qutelet[17961874]

A VIDA DA MATEMTICA

Francis Galton[1822-1911]

Utilizou mtodos de me-dio das capacidadesfsicas e mentais dos indi-vduos e desenvolveu tc-nicas estatsticas paraanalisar os dados recolhi-dos.

Foi Galton quem demons-trou que as impressesdigitais de cada pessoaso nicas.

www.matematicaB.TE.ptLinks : Instituto Nacional de Estatstica Estatstica divertida


O cidado comum de tal modo bombardeado com dados, que vo desdeo estado da economia at eficcia de marcas de pastas dentfricas, que, seno possuir noes elementares de estatstica, torna-se incapaz de tomardecises acertadas.

Martin Gardner (escritor norte-americano)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade aplicaros conhecimentos de estatstica a situa-es da vida real e criticar osresultados de estudos estats-ticos apresentados por diferentesrgos de comunicao social.

MATERIAIS

Notcias (de jornais, de revistas, etc.).

EXECUO DA ACTIVIDADE

1.A turma deve ser dividida em grupos de dois ou trs alunos.

2.Cada grupo deve apresentar uma notcia por si escolhida para ser comentada.

3.Os trabalhos sero divulgados turma e depois discutidos.

4. Cada grupo dever ter em conta os seguintes aspectos:

identificao do problema em estudo;

populao a que se refere o estudo;

se se trata de uma sondagem ou de um censo;

qual a unidade estatstica em causa;

anlise do grfico apresentado:

se de fcil leitura;

se elucidativo;

se os valores apresentados levam ou no a uma leitura incorrecta.

5.Os trabalhos podero ser apresentados sob a forma de cartaz, para posterior discussocom a turma.

Actividade prticaE1

ESTATSTICA14

A matemtica cada vez mais vital para a cincia, a tecnologia e a prpriasociedade.

Peter Lax (matemtico hngaro)

OBJECTIVOS

Pretende-se com esta actividade que o aluno aplique todos os conceitos de estatstica numasituao do quotidiano. Esta actividade pode ir sendo trabalhada ao longo do tema e medidaque os diversos conceitos vo sendo estudados.

EXECUO DA ACTIVIDADE

Para fazer um estudo estatstico necessrio construir um instrumento de recolha de infor-mao. O questionrio da pgina seguinte disso um exemplo. Depois de fotocopiado, deveser preenchido pelos alunos da turma.

Outra estratgia possvel passa por formar grupos de trabalho dentro da turma, grupos estesque, numa segunda fase, escolhem uma amostra significativa de alunos dos diferentes anosde escolaridade da escola para, assim, fazerem uma recolha e posterior tratamento de dadosmais abrangente.

Aps o preenchimento do questionrio e da recolha de dados, os alunos devem estudar cadauma das variveis apresentadas no questionrio, focando os seguintes pontos:

populao e amostra em estudo;

classificao da varivel escolhida;

tabelas de frequncias relativas;

representao grfica;

caso seja possvel, calcular as medidas de localizao e de disperso;

estudar a existncia ou no de correlao linear entre as variveis.

No final apresentado um trabalho conjunto com a caracterizao da turma.

Actividade prticaE2


Questionrio

Nome: ______________________________________________________________________ N.o : _________ Ano: _________ Turma: _________

Data de nascimento: ________________________________________ Idade: _________

Morada: _______________________________________________________________________________________________________________________

E-mail: _______________________________________________________________________________________ Telefone ____________________

1. Em que escola estudou durante o ano lectivo anterior? _______________________________________

2. V bem? Sim _____________ No _____________ Ouve bem? Sim _____________ No _____________

3. Tem problemas de sade? Sim _____________ No _____________ Se sim, diga quais. _______________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________

4.Quais so as suas disciplinas preferidas? ______________________________________________________________________

5.Quais so as disciplinas em que tem mais dificuldade? ___________________________________________________

6. J reprovou alguma vez? Se sim, em que anos escolares? ____________________________________________

7. Se teve alguma(s) negativa(s) no ano lectivo anterior, indique a que disciplina(s).

_________________________________________________________________________________________________________________________________

8.Quanto tempo demora no trajecto escola-casa? ___________________________________________________________

9.Onde costuma estudar? Casa _____________ Escola _____________

10. Tem quem o ajude nos estudos? _____________ Se sim, quem o ajuda? ________________________________

11.Quantos minutos por dia dedica ao estudo?

[0, 30[ _____________ [30, 60[ _____________ [60, 90[ _____________ [90, 120[ _____________ [120, 150[ _____________

12. Tem Internet? Sim _____________ No _____________

13. Se tem Internet, quantos minutos por dia costuma estar ligado?

[0, 30[ _____________ [30, 60[ _____________ [60, 90[ _____________ [90, 120[ _____________ [120, 150[ _____________

14.Qual o valor correspondente soma das suas avaliaes nas disciplinas do 3.o perodo noltimo ano lectivo? _____________

15.Considera ter um comportamento correcto em sala de aula e no resto do recinto escolar? Sim ________ No ________ Caso tenha respondido que no, tente explicar o seu comportamento:

________________________________________________________________________________________________________________________________

16.Considera que a sua turma tem um comportamento correcto na aula? Sim ________ No ________Caso tenha respondido que no, apresente sugestes para se evitar a indisciplina:

________________________________________________________________________________________________________________________________

As questes seguintes devem ser respondidas apenas pelos alunos que se encontram no EnsinoSecundrio.

1.Qual a razo pela qual escolheu o curso que est a frequentar? _______________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________

2.Corresponde s suas expectativas? Sim _____________ No _____________ Porqu? __________________________

3.Gostaria de frequentar um curso superior? _________________ Qual? _________________________________________

4.Que profisso gostaria de ter? ______________________________________________________________________________________

Actividade prticaE2H

ESTATSTICA16

1. Segundo um estudo efectuado pela DECO a 2314portugueses, entre os 65 e os 79 anos, as respostasdesta populao questo de Quem gostaria de tercomo apoio? esto representadas no seguintegrfico.

Indique:

1.1. a populao em estudo.

1.2. a unidade estatstica.

1.3. a varivel estatstica.

Resoluo

1.

1.1.A populao em estudo a populao portuguesa, formada por 2314 indivduos com idades entre 65 e 79 anos.

1.2. A unidade estatstica cada um dos elementos da populao de 2314 indivduos.

1.3.A varivel estatstica a indicao de que apoio desejaria cada um dos indivduos que constituem a populao.

2. Justifique por que motivo so falsas as seguintes observaes.

2.1.Utiliza-se toda a populao para se estudar a percentagem de vitamina C nas embalagens de uma determinadamarca de sumo de frutas.

2.2. a estatstica descritiva que nos permite prever a evoluo da populao numa determinada cidade.

2.3.O nmero de moradores por apartamento uma varivel quantitativa contnua.

2.4. A quantidade de gua existente no solo por m2 uma varivel qualitativa.

Resoluo

2.

2.1. Porque no economicamente vivel testar toda a produo da fbrica de sumos, por questes de tempo e de desperdcio do material produzido.

2.2. Porque a estatstica descritiva apenas recolhe, organiza e apresenta os dados do estudo estatstico.

2.3. Porque o nmero de moradores por apartamento representado por um nmero inteiro, logo uma varivelquantitativa discreta.

2.4. Porque a quantidade de gua no solo por m2 uma varivel que toma valores num intervalo de nmerosreais, logo uma varivel quantitativa contnua.

Colegas de trabalho

Vizinhos

Padre

Amigos

Outros familiares

Filhos

Cnjuge ou companheiro

(% de inquiridos)

8,8

8,5

6,7

6,2

5,5

5,5

5,2

in , n.o 289, Maro de 2008Proteste

EXERCCIOS RESOLVIDOS

Apoio mais desejado


Nos exerccios 1 a 4, de escolha mltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lheso apresentadas.

1. Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

A. Num censo so inquiridos todos os indivduos da populao.

B. O consumo de gua de um agregado familiar uma varivel qualitativa.

C. O nmero de livros existente numa biblioteca uma varivel quantitativa contnua.

D. A nacionalidade dos turistas que gozam frias no Algarve uma varivel quantitativa discreta.

2. Qual das seguintes variveis pode ser classificada como varivel quantitativa contnua?

A. Nmero de filhos de um casal. C. Tempo de durao de pilhas alcalinas.

B. Clube de futebol preferido. D. Srie televisiva preferida.

3. Um centro de sade pretende saber que percentagem da populao da sua regio consome, usualmente,medicamentos sem receita mdica.Qual das amostras seria mais aconselhvel?

A. 30 pessoas entrevistadas entrada do centro de sade.

B. 30 jovens que frequentam a escola secundria abrangida pelo centro de sade.

C. 30 pessoas entrevistadas ao acaso num determinado local e num determinado dia.

D. 30 pessoas inquiridas porta das farmcias da zona, em diferentes dias e em diferentes horas.

4. Das seguintes situaes, indique em qual delas se recorreu estatstica indutiva.

A. Volume de importaes no ano 2010.

B. Despesa pblica com a educao em Portugal.

C. Previso acerca da necessidade de sangue nos hospitais.

D. Nmero de bitos por acidente rodovirio no primeiro trimestre do ano de 2010.

5. Para cada um dos seguintes estudos indique se seria mais correcto estudar toda a populao ou apenas umaamostra.

5.1. Resistncia de uma pea de vidro ao calor.

5.2. Idade dos professores do distrito de Lisboa.

5.3. Tipo de transporte utilizado nas frias pelos portugueses.

5.4. Nmero de casamentos celebrados em 2010.

EXERCCIOS PROPOSTOS

ESTATSTICA18

6.Num rastreio mdico feito numa faculdade pesaram-se os alunos do curso de Direito.

6.1.Qual a populao e qual a unidade estatstica?

6.2. Indique a varivel estudada e classifique-a.

7.Uma editora decidiu fazer um levantamento sobre as preferncias literrias dos jovens.Foram escolhidas 10 escolas do distrito de Coimbra e em cada escola foram inquiridos 20 alunos.

7.1.Como se chama este tipo de estudo?

7.2.Qual a populao e a amostra em estudo?

7.3.Qual o atributo estudado?

7.4. Podem tirar-se concluses sobre a preferncia literria dos jovens portugueses com base neste estudo?Justifique a sua resposta. Se a resposta foi negativa, diga como procederia.

8.O administrador de uma empresa estava descontente com a produtividade dos colaboradores e marcou umareunio para discutir o problema. Na reunio, o representante dos operrios referiu: Os colaboradores tiveramum bom desempenho, a produtividade aumentou 100%.

O administrador continuou, no entanto, insatisfeito.

Comente a situao.

9.Muitas vezes, pedido aos espectadores de uma determinada estao televisiva que telefonem para uma de duaslinhas telefnicas, consoante concordem ou no com determinada opinio.

9.1. Trata-se de um processo fivel, para tirar concluses credveis? Porqu?

9.2. Indique um processo de recolha de dados que pudesse levar a resultados mais credveis.

10. Segundo um estudo estatstico efectuado pela Gfk Metris a 1042 indivduos portugueses, as respostas questoAt que ponto acha que ser mais feliz daqui a 10 anos? esto representadas no seguinte grfico.

10.1. Indique a unidade estatstica e a varivel em estudo.

10.2.Classifique a varivel estudada.

10.3.Quantos indivduos optaram pela resposta muito mais feliz? E quantos no responderam ou no sabiam?

No sabe//No Responde

Muito mais feliz

Menos feliz

31%

44%

20%

5%

Mais feliz

in Viso, n.o 834, 2009

EXERCCIOS PROPOSTOS

At que ponto acha que ser mais feliz daqui a 10 anos?


11. Observe o seguinte estudo, que envolveu 1039 indivduos de ambos os sexos, com 15 ou mais anos, residentes emPortugal, e responda s questes que se seguem.

11.1. Este estudo refere-se a um censo ou a uma sondagem? Justifique a sua resposta.

11.2. Qual a unidade estatstica e qual a varivel em estudo?

11.3.Classifique a varivel estudada.

12. Considere a informao dada no seguinte grfico.

12.1. Classifique a varivel em estudo.

12.2.No decorrer de que anos a taxa de desemprego na Zona Euro foi superior de Portugal?

13. Elabore um pequeno texto sobre a importncia da estatstica no nosso dia-a-dia, realando o recurso ao censo ou sondagem.

Igual 13,7%Inglaterra 25,4%

Portugal 15,6%Sucia 26,1% Portugal 25,2%

NS/NR 38,0%Portugal 22,9%

Brasil 33,5%Igual 9,5%

Igual 10,0%

NS/NR 38,0%

NS/NR 37,0%

Igual 9,6%EUA 36,1%

Portugal 17,3%

NS/NR 48,3%

in , n.o 842, 2009Viso

Portugal

Zona Euro (mdia)

9%

8,1%

9,3,%

10,2%

9,1%

8,8%

7,5,%7,7,%

2005 2006 2007 2008 2009 2010

EXERCCIOS PROPOSTOS

Se compararmos com Portugal, em que pases h mais liberdade?

Evoluo da taxa de desemprego

in Dinheiro & Direitos, Maro/Abril 2009

ESTATSTICA20

ORGANIZAO E INTERPRETAO

DE CARACTERES ESTATSTICOS

ANLISE GRFICA DE ATRIBUTOS QUALITATIVOS.

DETERMINAO DA MODA

Tabelas de frequncias

Numa determinada editora realizou-se um estudo com o objectivo de analisar a

distribuio de vendas das suas revistas temticas.

Obteve-se a seguinte tabela de frequncias absolutas e de frequncias relativas:

O valor de N o nmero total de efectivos, isto , a soma dos valores de fi ,quando i varia desde 1 at k .

Escreve-se: N =k

i = 1fi (l-se somatrio de ndice i dos valores de fi , quando i

varia desde 1 at k ).

Distribuio de 269 244 exemplares

Nmero de exemplaresxi

Frequnciaabsoluta

fi

Frequnciarelativa

fri (%)

Surfgua 55 719 21

Surf Jnior 81 002 30

Passeatas 30 331 11

Ecofin 47 279 18

Pequenotes 37 976 14

Beleza & Moda 16 937 36

N = 269 244

RECORDARFrequncia absoluta (ou efec-tivo) de um valor x i o nmerode vezes que esse valor xi seregista quando se realiza umdeterminado estudo estatsticonuma populao. Designa-sepor fi .

A soma de todos os efectivos igual dimenso finita, N , dapopulao:

N = f 1 + f 2 + + f k

Sendo fi a frequncia absolutado valor da varivel xi , e sendoN a dimenso da populao, afrequncia relativa de xi dada pelo quociente:

fri = Nfi

ActividadeprticaE3

NOTAO smbolo a maiscula daletra sigma do alfabeto grego.

ORGANIZAO E INTERPRETAO DE CARACTERES ESTATSTICOS 21

Para construir uma tabela de frequncias relativas, basta dividir a frequncia

absoluta do valor da varivel pelo nmero total de efectivos.

Assim, como o somatrio das frequncias absolutas igual dimenso da popula-

o, tambm a soma das frequncias relativas igual a 1 ou a 100%, consoante

sejam determinadas na forma decimal ou percentual.

Representaes grficas

Torna-se mais fcil compreender e interpretar uma distribuio se apresentarmos

os dados graficamente.

Considerando ainda o exemplo relativo distribuio dos exemplares vendidos pelas

revistas, temos as seguintes representaes grficas:

Grficos de barras

No eixo horizontal assinalam-se os dados estatsticos e no eixo vertical as respecti-

vas frequncias absolutas ou relativas, conforme o caso.

Desenham-se as barras com a altura directamente proporcional ao efectivo ou

frequncia relativa. As barras tm todas a mesma largura e podem ser construdas

tanto na vertical, como na horizontal, tendo em ateno a escala dos eixos.

Nm

ero

de e

xem

plar

esve

ndid

os

Revistas

Surf

gua

Surf

Jni

or

Pass

eata

s

Ecof

in

Pequ

enot

es

Bele

za e

Mod

a

100 000

80 000

55 719

81 002

30 331

47 27937 976

16 937

60 000

40 000

20 000

Nmero de exemplares vendidos

Revistas

Pequenotes

EcofinPasseatas

Surf JniorSurfgua

16 937

37 976

47 27930 331

81 002

55 719

Beleza e Moda

EXERCCIO 1*Calcule o valor de:

1.1.4

i = 0

(i + 2)

1.2.3

m = 2

(m 1)

EXERCCIO 2Numa escola, foi pedido aos 95alunos de Desporto do 10.o anoque indicassem a modalidadedesportiva que praticam (ape-nas uma), obtendo-se a seguintetabela:

2.1. Elabore uma tabela defrequncias relativas.

2.2. Represente as frequn-cias relativas atravs de umgrfico de barras.

ModalidadesNmero

de alunos

Futebol 41

Basquetebol 17

Andebol 9

Hquei 12

Ginstica 16

*Facultativo

Distribuio de 269 244 exemplares por seis revistas


ESTATSTICA22

Grficos circulares

A amplitude (ai) de cada sector circular directamente proporcional ao valor da fre-quncia absoluta ( fi) ou da frequncia relativa ( fri) e determina-se do seguinte modo:

N 360o ou seja ai = Nfi 360o

fi ai

a1 = 0,21 360 76o

a2 = 0,30 360 108o

a3 = 0,11 360 40o

a4 = 0,18 360 65o

a5 = 0,14 360 50o

a6 = 0,06 360 21o

Pictogramas

Num pictograma faz-se corresponder um smbolo a um certo nmero de efectivos,

que repetido tantas vezes quantas as necessrias para representar as frequncias res-

pectivas.


Representa 15 000 exemplares

Surfgua

Surf Jnior

Passeatas

Ecofin

Pequenotes

Beleza e Moda

Surfgua21%

30%11%

18%

14%

6%

Surf JniorPasseatas

Ecofin

Pequenotes

Beleza e Moda

EXERCCIO 3Com as classificaes obtidasnum teste de Matemtica pelos28 alunos de uma turma, o pro-fessor construiu o seguinte gr-fico de barras:

3.1. Elabore uma tabela defrequncias absolutas.

3.2. Construa um grfico cir-cular.

Insuf.

Suf.

Bom

M. Bom

18

46

25

11

0 20 40 60 fri(%)

xi

EXERCCIO 4Segundo o INE, o nmero deedifcios concludos entre 2004e 2007 so os que constam naseguinte tabela:

Escolha um smbolo sugestivo econstrua um pictograma relati-vo distribuio dada. Este tipode representao o mais ade-quado a esta distribuio? Jus-tifique a sua resposta.

AnoNmero de edifcios

construdos

2004 44 647

2005 45 308

2006 40 966

2007 36 576

Classificao no testede Matemtica

Exerccios propostosExerccios 6, 7 e 8.Pgina 62.

Caderno de ExercciosExerccios 1, 3, 4 e 7.

Pgina 53.



Determinao da moda

Se observarmos com ateno as tabelas de frequncias dadas no exemplo sobre a dis-

tribuio dos exemplares vendidos pelas revistas (pg. 20), notamos que a Surf Jnior tema maior frequncia, ou seja, a moda da distribuio.

Se ocorrem duas modas, a distribuio diz-se bimodal.

Se existirem mais do que duas modas, diz-se multimodal ou plurimodal.

Se no existir moda, a distribuio diz-se amodal (todas os valores da varivel tm a

mesma frequncia).

Por exemplo, num estudo feito sobre atendimento ao consumidor obtiveram-se os

seguintes grficos:

Em relao s grandes superfcies, a moda mau. No estudo feito com incidncia

em lojas do tipo tradicional, temos duas modas: mau e medocre.

25 grandes superfcies 30 lojas do tipo tradicional

Muito bom

MedocreMau

BomBom

Mdio

Medocre

Mau

Mdio

13

3

3

15

5

7

9

9

Protestein , n.o 293, Julho/Agosto 2008

EXERCCIO 5Indique a moda de cada umadas seguintes distribuies.

5.1.

5.2.

5.3.

Naturalidade Efectivos

Coimbra 31

Lisboa 72

Porto 50

Setbal 42

Clubesde futebol

Efectivos

Benfica 8

Braga 4

Porto 8

Sporting 6

A moda, Mo , o dado estatstico que ocorremais vezes numa distribuio, ou seja, aqueleque tem maior frequncia.

0

2

4

6

8

Bom Suf. Insuf.

Nm

ero

de a

luno

s

A moda, Mo , o dado estatstico que ocorremais vezes numa distribuio, ou seja, aqueleque tem maior frequncia.

Atendimento ao consumidor

Classificao de um teste


N.o de faltasxi

Freq. absolutafi

Freq. relativafri (%)

0 5 17

1 9 31

2 8 28

3 3 10

4 3 10

5 1 4

N = 29

ESTATSTICA24

ANLISE GRFICA DE ATRIBUTOS QUANTITATIVOS.

VARIVEIS DISCRETAS E VARIVEIS CONTNUAS.

FUNO CUMULATIVA

Como j foi referido, as variveis quantitativas podem ser discretas ou contnuas.

Para cada tipo necessrio aprofundar um pouco os nossos conhecimentos.

Variveis discretas

A directora de uma turma do 10.o ano resolveu fazer um estudo estatstico sobre o

nmero de faltas dadas pelos alunos durante o 1.o perodo.

Construiu a respectiva tabela de frequncias absolutas e relativas:

Para apresentar os dados de um modo mais sugestivo elaborou os seguintes grficos:

0

0

2

2

0

4

2

1

1

0

1

5

2

2

3

1

1

1

4

3

4

0

2

3

1

1

2

1

2

00 1 2 3 4 5

2468

10

Nmero de faltas

fi

Nmero de faltasxi

Frequncia absolutafi

Frequncia relativafri (%)

0 5 17

1 9 31

2 8 28

3 3 10

4 3 10

5 1 4

N = 29

1: Edit

1: Plot1

ON

Type

X List : L1

Freq. : L2

9: ZoomStat

Estas instrues, bem comotodas as outras que oportu-namente surgiro, referem --se utilizao da cal-culadora Texas TI-84 PlusSilver Edition.

Nas pginas 181 a 187 apre-sentado um conjunto deprocedimentos relativos utilizao das calculado-ras Casio FX-9860GII ou FX-9860GII SD.

STAT

2nd Y = ENTER

ENTER

2nd

2nd

1

2

ZOOM

GRAPH

NOTAEm alguns casos, as variveisdiscretas podem ser analisadasagrupando os dados, nomeada-mente se se apresentarem semvalores repetidos ou com mui-tos valores.

Calculadoras CasioPgina 181.

Nmero de faltas dos alunos de uma turma de 10. ano


Frequncias acumuladas e funo cumulativa

Para responder a questes do tipo: Quantos alunos faltaram menos de trs vezes?

ou Qual a percentagem de alunos que faltaram quatro vezes ou mais? torna-se til

estudar a frequncia absoluta acumulada, Fi , ou a frequncia relativa acumu-lada, Fri . Exemplifiquemos, em primeiro lugar, utilizando as frequncias absolutas.O clculo feito da seguinte maneira:

Define-se a frequncia absoluta acumulada, Fi , como a soma dos efectivos cor-respondentes aos valores da varivel desde o primeiro at ao valor de ordem i .

Grfico de barras das frequncias absolutas acumuladas:

Do mesmo modo se calculam as frequncias relativas acumuladas, conforme se

verifica na tabela seguinte:

F1 = f1F2 = f1 + f2F3 = f1 + f2 + f3

F4 = f1 + f2 + f3 + f4F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5F6 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = N

00 1 2 3

Nmero de faltas4 5

5101520253035

Fi

Nmero de faltasxi


Frequncia relativafri (%)

0 5 5

1 9 14

2 8 22

3 3 25

4 3 28

5 1 29

N = 29

1: Edit

Para a frequnciaacumulada:

Para a frequncia relativa:

STAT


xi fri (%) Fri (%)

0 17 17

1 31 48

2 28 76

3 10 86

4 10 96

5 4 100

ESTATSTICA26

Podemos agora responder s questes atrs colocadas.

Quantos alunos faltaram menos de trs vezes?

R: 22 alunos (5 + 9 + 8), o que corresponde ao valor F2 . Qual a percentagem de alunos que faltaram quatro vezes ou mais?

R: 14% (100 86), que corresponde diferena para 100% da frequncia relativa

acumulada em 3 (F3).Tendo em conta as frequncias absolutas acumuladas do exemplo anterior, pode-se

definir uma funo F : IR IR , do seguinte modo:

Esta funo F denomina-se funo cumulativa. Repare-se que a cada valor davarivel, xi , corresponde a respectiva frequncia acumulada.

Recorrendo calculadora grfica, representemos esta funo:

A funo cumulativa pode ser definida tanto com frequncias absolutas acumula-

das como com frequncias relativas.

Generalizando:

0 se x 0 5 se 0 x 1 14 se 1 x 2F(x) = 22 se 2 x 3 25 se 3 x 4 28 se 4 x 5 29 se x 5

EXERCCIO 6No stand de carros usadosAncar, esto venda 45 auto-mveis de anos diferentes.Organizaram-se os dados doseguinte modo:

Defina a funo cumulativa erepresente-a graficamente.

Nmero de anos 1 2 3 4 5

fi 8 15 10 7 5

EXERCCIO 7O gerente de um clube de alu-guer de filmes, com o objectivode saber se ao longo de um mso nmero de DVD alugados sealternava significativamente,organizou os dados relativos aoms anterior do seguinte modo:

7.1. Quantos DVD foram alu-gados nas primeiras duas sema-nas?

7.2. Qual a percentagem deDVD que foram alugados nasprimeiras trs semanas?

7.3. Alugaram-se mais DVDna primeira quinzena ou nasegunda quinzena?

Semana fi Fi

1.a 634 634

2.a 582 1216

3.a 503 1719

4.a 554 2273

N = 2273

Dada uma varivel estatstica que toma os valores x1 , x 2 , ..., xk , com as res-pectivas frequncias absolutas acumuladas F1 , F2 , ..., Fk , chama-se funocumulativa F funo real de varivel real assim definida:

0 se x x1 F1 se x 1 x x2 F2 se x2 x x3F (x ) = Fk 1 se xk 1 x xk Fk se x xkExercciospropostosExerccios 10 e 12.

Pginas 63 e 64.


Variveis contnuas

Tendo em vista mostrar aos alunos como importante possurem uma boa estima-

tiva do peso de um objecto, a professora de Matemtica resolveu levar para a aula os

objectos da fotografia em baixo: um abre-cartas e um pisa-papis.

Cada aluno pegou nos objectos e estimou o respectivo peso em gramas.

A varivel estatstica peso uma varivel contnua e, face aos diferentes valores

estimados pelos alunos, foi necessrio agrupar os dados em classes. A dimenso da

amostra foi de 58 valores, sendo o menor valor de 200 gramas e o mais elevado de

595 gramas.

Existem vrias frmulas de determinao do nmero de classes a considerar,

embora no haja consenso entre os especialistas.

Na nota ao lado so apresentados alguns exemplos. Ao longo do desenvolvimento

deste tema, utilizaremos a frmula apresentada por Velleman.

Ento, de acordo com esta frmula, sendo N = 58 o nmero de classes ser 58 7,6 , isto , 8 classes; a professora decidiu-se pelas seguintes classes:

[200, 250[ , [250, 300[ , [300, 350[ , [350, 400[ ,

[400, 450[ , [450, 500[ , [500, 550[ , [550, 600[

Ao faz-lo deste modo, teve em conta os seguintes aspectos:

as classes so representadas por intervalos em que o extremo esquerdo fechado

e o direito aberto (existem outras opes);

as classes tm a mesma amplitude ( diferena entre os extremos dos intervalos

d-se o nome de amplitude da classe);

a reunio de todas as classes abrange todos os valores da amostra;

o nmero de classes depende do valor mnimo e do valor mximo das observa-

es efectuadas.*Facultativo

Actividadeprtica E4

NOTA*Seja N o nmero de observa-es e k o nmero de classes aconsiderar.

Truman L. Kelley construiu aseguinte tabela:

Velleman sugere a frmula:

k = N se N 25 ek = 5 se N 25

Sturges sugere N 2k

Como se verifica, as opinies divi-dem-se!

N K

5 2

10 4

25 6

50 8

100 10

200 12

500 15

1000 15

ESTATSTICA28

mdia dos extremos de cada classe chama-se marca da classe. Esta o repre-

sentante da classe, um elemento necessrio para o uso da calculadora e para a cons-

truo de tabelas.

A professora construiu ento a seguinte tabela de frequncias absolutas e relativas:

Para melhor interpretar os resultados utilizam-se diferentes tipos de grficos, como

o grfico circular (pouco usado neste tipo de variveis) ou o histograma.

Histograma

Quando se estuda uma varivel contnua frequente representar os dados atravs

de um histograma.

O histograma constitudo por rectngulos, tantos quantas as classes definidas, em

que a base corresponde amplitude da classe e a altura proporcional frequncia

da respectiva classe. No h espaos entre os rectngulos.

0200 250 300 350 400 450 500 550 600

Peso (g)

Nm

ero

de a

luno

s

10

5

8

2

1714

9

14

9

5

21

15

20

Classes Marca da classe Frequncia absoluta Frequncia relativa

[200, 250[ 225 2 0,03

[250, 300[ 275 8 0,14

[300, 350[ 325 17 0,29

[350, 400[ 375 14 0,24

[400, 450[ 425 9 0,16

[450, 500[ 475 5 0,09

[500, 550[ 525 2 0,03

[550, 600[ 575 1 0,02

N = 58

Histograma:

NOTANo mbito do Programa, s estu-damos distribuies em que asclasses tm a mesma amplitude.


Estimativa do peso de dois objectos


NOTANo grfico ao lado, o smbolo

introduzido no eixo hori-zontal significa que a parte omi-tida do grfico foi eliminada porno conter nada de relevante.


Se assinalarmos o ponto mdio do lado superior de cada rectngulo e os unirmos

sequencialmente atravs de segmentos de recta, obtemos uma linha poligonal: o pol-

gono de frequncias.

Frequncias acumuladas e funo cumulativa

Assim como para as variveis discretas, tambm para as variveis contnuas tm

muito interesse as frequncias acumuladas, tanto as absolutas como as relativas.

Determinam-se utilizando um processo semelhante ao j apresentado para as vari-

veis discretas.

Observando com ateno a tabela (designada por tabela de frequncias absolutas e

relativas, simples e acumuladas), podemos afirmar que, por exemplo, 70% dos alu-

nos estimaram o peso dos objectos em menos de 400 g, ou que apenas 5% dos alunos

estimaram o peso em 500 g ou mais.

O peso real dos objectos era de 300 g!

0

52

8

17

14

9

5

2 1

10

15

20

Peso (g)200 250 300 350 400 450 500 550 600

Nm

ero

de a

luno

s

ClassesFrequncia

absoluta

Frequncia absoluta

acumulada

Frequncia relativa

(%)

Frequncia relativa

acumulada (%)

[200, 250[ 2 2 3 3

[250, 300[ 8 10 14 17

[300, 350[ 17 27 29 46

[350, 400[ 14 41 24 70

[400, 450[ 9 50 16 86

[450, 500[ 5 55 9 95

[500, 550[ 2 57 3 98

[550, 600[ 1 58 2 100

NOTA habitual considerar-se umaclasse de igual amplitude ecom frequncia zero, no incio eno final, para completar o pol-gono, pois, assim, a rea com-preendida entre o polgono e oeixo das abcissas igual somadas reas das barras.

No necessrio representar ohistograma para desenhar opolgono, pois basta unir ospontos cuja abcissa corres-ponde marca da classe e aordenada frequncia da classerespectiva.

EXERCCIO 8Um treinador resolveu registaro tempo, em segundos, que osseus 26 atletas demoraram apercorrer duas pistas de atle-tismo.

Obteve os seguintes valores:

8.1. Depois de organizar osdados em classes, com limiteinferior de 150 e amplitude 25,construa uma tabela de fre-quncias absolutas e relativas.

8.2. Represente a distribuioatravs de um histograma.

295 280 272 270

215 199 190 185

176 260 261 260

176 228 226 181

220 178 210 180

221 155 179 205

220 175



ESTATSTICA30

NOTAO processo indicado para a cons-truo da funo cumulativa um exemplo. Existem outros.

EXERCCIO 9Uma fbrica produz tubos dePVC com 10 cm de dimetro.

Para controlar o bom funciona-mento da mquina so efectua-das com regularidade mediesdo dimetro de 28 tubos, selec-cionados ao longo do dia, acei-tando-se uma margem de errode 0,5 mm.

Num determinado dia, os resul-tados, em milmetros, foram osseguintes:

9.1. Organize os dados em seisclasses, considerando o limiteinferior da primeira classe 99,0e a amplitude 0,5. Construa atabela de frequncias relativas(simples e acumuladas) e ogrfico da respectiva funocumulativa.

9.2. Indique a percentagem detubos cujo dimetro inferior a10 cm.

9.3. Tendo em conta os resul-tados obtidos, considera que amquina precisa de uma afina-o ou que est em boas condi-es de funcionamento?

101,8 100,3 99,3 99,4

101,1 100,2 100,4 99,7

100,5 100,0 99,9 99,8

100,3 99,4 99,8 100,2

99,3 101,1 101,3 99,7

99,8 100,2 99,9 100,0

100,5 99,3 100,5 100,1

O polgono de frequncias absolutas acumuladas obtm-se unindo os vrtices

superiores direitos dos rectngulos que formam o histograma correspondente s fre-

quncias acumuladas.

Estamos agora em condies de definir a funo cumulativa, utilizando a tabela

de frequncias absolutas ou relativas acumuladas. Para tal, preciso considerar que:

antes do limite inferior da primeira classe, a frequncia acumulada 0, logo

podemos considerar o ponto (200, 0) ;

no limite inferior da segunda classe, a frequncia acumulada a frequncia acumu-

lada da classe anterior e corresponde ao ponto (250, 2) ;

no limite inferior da terceira classe, a frequncia acumulada a frequncia acu-

mulada da segunda classe, logo, o ponto (300, 10) pertence ao grfico da fun-

o, e assim sucessivamente.

Temos, assim, determinados os seguintes pontos: (200, 0) ; (250, 2) ; (300, 10) ;

(350, 27) ; (400, 41) ; (450, 50) ; (500, 55) ; (550, 57) ; (600, 58) .

Marcamos os pontos num sistema de eixos e em seguida unimo-los.

A partir do ponto (600, 58) continua-se com uma linha horizontal, pois 58 o

valor mximo da frequncia acumulada no presente caso. Antes de se atingir o ponto

(200, 0) procedemos de forma semelhante, pois a frequncia acumulada 0 .

O grfico construdo a partir das frequncias relativas acumuladas teria um aspecto

idntico.

Funo cumulativa



Separador de frequncias

Alm das tabelas j estudadas existe outra forma de apresentar os dados, conhecida

como separador de frequncias ou, usando o termo ingls, stem and leaf (caule-e --folhas). Vejamos como se procede.

A seguir encontram-se listadas as idades de 30 compradores de um determinado

modelo de automvel:

Os dados podem ser ordenados da seguinte forma:

20 21 23 24 24 25 25 27 27 27 28 28 29

31 32 32 33 34 35 35 36 38 38

41 41 42 43 43

50 54

O caule representa o dgito (ou dgitos) da ordem de maior grandeza, no presente

caso, o algarismo das dezenas.

As folhas representam o algarismo das unidades. Podem escrever-se por ordem

crescente ou decrescente.

Na primeira linha temos o 2 como algarismo das dezenas e 0, 1, 3, 4, 5, 7, 8 e 9

como algarismos das unidades, ou seja, os valores: 20, 21, 23, 24, 24, 25, 25, 27, 27,

27, 28, 28 e 29.

Continua-se com o mesmo processo para as restantes linhas.

Esta tabela permite:

uma melhor percepo do aspecto global dos dados sem perda de informao,

contrariamente ao que acontece nas classes;

imaginar facilmente o grfico representativo da distribuio;

verificar at que ponto a distribuio simtrica;

verificar se existem concentraes ou lacunas de dados.

3538242750

2820425432

3135272821

2533342343

3241362427

4341382925

Caule Folhas

2

3

4

5

0

1

1

0

1

2

1

4

3

2

2

4

3

3

4

4

3

5

5

5

5

7

6

7

8

7

8

8 8 9

EXERCCIO 10Com os resultados do ltimoteste de Matemtica efectuadopela turma e numa escala de 0a 20:

10.1. desenhe um diagrama decaule-e-folhas dos resultadosobtidos.

10.2. divida os valores obtidosem classes e desenhe o respec-tivo histograma.

10.3. represente graficamentea respectiva funo cumulativa.

ESTATSTICA32

MEDIDAS DE LOCALIZAO DE UMA AMOSTRA

As medidas de localizao so valores ou parmetros estatsticos da amostra que, por

si s, do indicaes importantes sobre as caractersticas da distribuio em estudo.

De entre as medidas de localizao, destacam-se as que representam os dados

pelos seus valores centrais, designadas por medidas de tendncia central, das quais

estudaremos: a moda, a mdia e a mediana.

de salientar que o estudo destas medidas j foi iniciado em anos anteriores.

Moda e classe modal

Como j foi referido aquando do estudo das variveis qualitativas, a moda, Mo ,designa o dado estatstico mais frequente da distribuio.

Nas variveis quantitativas surge a necessidade de considerar se os dados esto ou

no agrupados por classes.

No caso de no estarem agrupados por classes, o processo para determinar a moda

mantm-se.

Se os dados se apresentam agrupados por classes, define-se classe modal como

sendo aquela que aparece com maior frequncia.

Na distribuio que considera a estimativa do peso de dois objectos (pg. 28), a classe

modal o intervalo [300, 350[ , pois a classe que tem maior frequncia.

Para a distribuio que relaciona o nmero de faltas dadas pelos alunos de uma turma durante o 1.o perodo, representada na tabela seguinte, indique o valor da moda.

Resoluo

A moda 1 falta, pois o dado mais frequente.

Exemplo 1

Nmero de faltasxi


0 5

1 9

2 8

3 3

4 3

5 1

N = 29

EXERCCIO 11Indique a moda de cada umadas seguintes distribuies.

11.1.

11.2.

EXERCCIO 12Observando o seguinte grfico,relativo ao nmero de televiso-res por residncia dos alunosde uma turma do 10.o ano, indi-que a respectiva moda.

xi 10 12 13 14 15

fi 4 5 8 10 6

xi 45 47 50 53 54

fi 3 10 7 10 3

0 5 10 15 20

4

Nmero de alunos

321

Nmero de televisores por residncia


A tabela seguinte representa o tempo, em minutos, que 28 alunos de uma turma do 10.o anogastaram na utilizao do computador durante um certo fim-de-semana.

2.1. Indique a respectiva classe modal.

2.2. Estime, geometricamente, o valor da moda.

Resoluo

2.1. A classe modal o intervalo [ 180, 210[ , pois a classe com maior frequncia absoluta.

2.2. Com uma razovel aproximao, o valor da moda pode ser estimado geometricamente doseguinte modo:

constri-se o histograma relativo distribuio;

determina-se a classe modal;

unem-se os vrtices superiores do rectngulo representativo da classe modal com os vrticesdas classes contguas, de forma a encontrar o ponto de interseco;

baixa-se a perpendicular do ponto encontrado para o eixo horizontal, determinando-se assim,aproximadamente, o valor da moda.

Neste exemplo, o valor da moda est entre 180 e 195.

A determinao da moda importante, pois indica o dado estatstico ou classe de maior frequncia,o que pertinente, por exemplo, para estudos de mercado.

No entanto, uma medida limitativa. Por si s, no d muita informao sobre a distribuio na suaglobalidade.

Exemplo 2

Classes(tempo em min)

Frequnciaabsoluta

[90, 120[ 2

[120, 150[ 5

[150, 180[ 6

[180, 210[ 12

[210, 240[ 3

N = 28

EXERCCIO 13Durante uma semana regista-ram-se os pesos, em quilogra-mas, dos bebs nascidos numaclnica:

3,4 2,1 4,0 2,7

2,8 2,6 3,0 3,1

2,7 3,5 2,6 3,8

3,2 2,4 2,5 3,2

13.1. Agrupe os dados em qua-tro classes e construa uma tabe-la de frequncias absolutas.

13.2. Indique a classe modal.

NOTA*Existe uma frmula para deter-minar a moda quando os dadosesto agrupados por classes.Apesar de no fazer parte doPrograma, apresentamo-la porcuriosidade:

Mo = li + a

em que:

li limite inferior da classemodal;

di + 1 diferena entre a fre-quncia da classe modale a frequncia da classeseguinte classe modal;

di 1 diferena entre a fre-quncia da classe modale a frequncia da classeanterior classe modal;

a amplitude da classemodal.

No exemplo 2:

li = 180 ; di + 1 = 12 3 = 9

di 1 = 12 6 = 6 ;

a = 210 180 = 30

Assim:

Mo = 180 + 9 +6

6 30

Mo 192

di 1

di + 1 + di 1

*Facultativo

Tempo gasto no computador

Exerccios propostosExerccio 2.Pgina 61.


ESTATSTICA34

Mdia aritmtica

Das trs medidas de tendncia central, a mais utilizada a mdia aritmtica, ou

valor mdio, x . Esta medida tem em conta todos os valores observados e determina --se de duas formas:

1. Caso os dados x1 , x2 , , xN (N dados) no estejam agrupados por classes:

x = =

Caso os dados se repitam, a expresso anterior equivalente a:

x = =

em que cada fi a frequncia absoluta do valor xi .

2. Para os dados agrupados por classes, considera-se:

x =

em que xi a marca da classe de ordem i e fi a respectiva frequncia absoluta.

x1 + x2 + + xNN

N

i = 1xiN

x1 f1 + x2 f2 + + xm fmNm

i = 1xi fiN

m

i = 1xi fiN

Num ginsio registou-se o nmero de praticantes deaerbica durante duas semanas:

41; 38; 42; 35; 35; 35; 36; 38; 36; 42; 35; 36.

Determine a mdia de praticantes.

Resoluo

Organizam-se os dados:

Calcula-se a respectiva mdia:

x = 37,4

A mdia de, aproximadamente, 37 praticantes por sesso.

35 4 + 36 3 + 38 2 + 41 + 42 2

12

Exemplo 3

Nmero de praticantes Efectivos

35 4

36 3

38 2

41 1

42 2

EXERCCIO 14Indique a mdia de cada umadas seguintes distribuies.

14.1.

14.2.

xi 10 12 13 14 15

fi 4 5 8 10 6

xi 45 47 50 53 54

fi 3 10 7 10 3

NOTAS para variveis quantitativasfaz sentido determinar a mdia x .

NOTASe utilizarmos a frequnciarelativa temos que:

x = m

i = 1fri xi

NOTAA mdia pode tomar um valordiferente de todos os valoresobservados na distribuio.


Algumas consideraes sobre a mdia

A mdia uma medida influenciada por qualquer alterao num dos valores

observados, sendo muito sensvel a valores externos (altos ou baixos).

Por exemplo, ao efectuar a mdia das seguintes idades: 30, 25, 33, 45 e 60, obtemos:

x = = 38,6

Basta alterar substancialmente apenas um destes valores para a mdia sofrer tam-

bm uma grande alterao.

Mude-se, por exemplo, o valor 25 para 85, e a mdia alterar-se- para x = 50,6 . A mdia de dois conjuntos de dados pode ser semelhante, no reflectindo distri-

buies idnticas. preciso ter cuidado, pois pode dar uma informao incorrecta

em relao aos dados observados.

Por exemplo: numa cidade, A , registaram-se as seguintes temperaturas mximas

(em C) ao longo de uma semana:

25, 26, 24, 25, 27, 26 e 28

A mdia x = 25,9

Na cidade A , a mdia da temperatura mxima de, aproximadamente, 26 C.

Numa outra cidade, B , registaram-se as temperaturas mximas (em C) de:

18, 21, 22, 33, 19, 34, 36

A mdia das temperaturas nesta cidade dada por:

x = 26,1

ou seja, aproximadamente 26 C, como na cidade A . As duas cidades tm as

mesmas caractersticas meteorolgicas? Claro que no, pois as amplitudes trmicas

so muito diferentes.

25 + 30 + 33 + 45 + 60

5

24 + 25 2 + 26 2 + 27 + 28

7

18 + 19 + 21 + 22 + 33 + 34 + 36

7

A tabela ao lado representa a distncia, em metros, alcanada porum atleta de alta competio no lanamento do dardo, ao longode uma semana de treino. Determine a distncia mdia alcanadapelo atleta.

Resoluo

A mdia aritmtica dos lanamentos do atleta dada por:

x = 87,7

O atleta atingiu nos seus lanamentos a distncia mdia de aproximadamente 87,7 metros.

80 4 + 84 27 + 88 20 + 92 18 + 96 6

75

Exemplo 4

ClassesMarca

da classeEfectivos

[78, 82[ 80 4

[82, 86[ 84 27

[86, 90[ 88 20

[90, 94[ 92 18

[94, 98[ 96 6

N = 75

EXERCCIO 15Num agregado familiar de trspessoas, o rendimento mensal constitudo pelos salrios(em euros): 1345, 796 e 595.

15.1. Determine o salrio mdio.15.2. Imagine que todos os sal-rios so sujeitos a um aumentode 8%. Qual passar a ser amdia? Que concluso podetirar deste exemplo?

Nota: Considere-se uma distri-buio de mdia x . Se multi-plicarmos por k todos osvalores observados, a mdiadesta nova distribuio, xf , tal que xf = k

x .


Exerccios propostosExerccios 1, 4 e 13.Pginas 61 e 64.

ESTATSTICA36

Mediana e classe mediana

Tal como a mdia, a mediana s se utiliza para atributos quantitativos.

uma medida de tendncia central que nos informa sobre o valor central da distri-

buio. O seu clculo, por se tratar de um parmetro de ordem, exige a ordenao de

todos os valores da varivel, o que normalmente se faz por ordem crescente (em sen-

tido lato).

Dados no agrupados por classes

A mediana o valor que divide a distribuio dos valores da varivel ao meio, ou

seja, 50% dos elementos da amostra so menores ou iguais mediana e os restantes

50% so maiores ou iguais.

No caso do nmero de dados ser mpar, existe um valor central que a mediana ~x . Se o nmero de dados par, toma-se a mdia aritmtica dos dois valores centrais

para a mediana.

Esquematizando:

Chama-se mediana, Me , ou ~x , ao valor que ocupa o lugar central da distribuio quando os valores

da varivel esto ordenados por ordem crescente ou decrescente.

N mpar N par

x 1 x2 xp xN 1 xN

N

2 1 dados

N 2 1 dados

x1 x2 xp xp + 1 xN 1 xN

N2 dados

N2 dados

x = xp +

2

xp + 1

x

5.1. Calcule a mediana relativa s idades, em anos, de um agregado familiar de cinco pessoas cujasidades so 28, 32, 1, 5 e 57.

5.2. Ao longo de duas semanas, o Daniel registou o nmero de cestos que conseguiu no seu treinode basquetebol:

18, 23, 27, 20, 24, 28, 27, 30, 24, 25, 18, 28, 27, 30

Indique o valor da mediana.

5.3. A tabela seguinte representa a verba (em euros) que os 28 alunos do 12.o ano gastaram na escoladurante uma semana.

Determine, geometricamente, o valor aproximado da mediana, utilizando as frequncias relativasacumuladas e a funo cumulativa.

Exemplo 5EXERCCIO 16Indique a mediana de cada umadas seguintes distribuies.

16.1. 10, 9, 10, 11, 10, 8, 1216.2. 23, 27, 24, 25, 27, 28, 24, 27

Despesa (euros)

Frequncia absoluta

Frequncia absoluta

acumulada

Frequncia relativa (%)

Frequncia relativa

acumulada (%)17 10 10 36 3618 13 23 46 8219 3 26 11 9320 2 28 7 100

N = 28

Caderno de ExercciosExerccios 5 e 12.

Pgina 54.

EXERCCIO 17Lanou-se um dado 100 vezes eregistaram-se os resultadosobtidos na seguinte tabela:

17.1. Indique o valor da moda,da mdia e da mediana.

17.2. Lance 15 vezes um dadoe indique a moda, a mdia e amediana correspondentes aosresultados obtidos.

xi 1 2 3 4 5 6

fi 20 25 12 15 16 12


Resoluo

5.1.

1 ; 5 ; 28 ; 32 ; 57

Me

Verificamos que a mediana corresponde ao terceiro valor da varivel, ou seja, 28 anos.

5.2.Organizaram-se os 14 dados na tabela de caule e folhas apresentada na nota ao lado.

Determina-se a mediana por simples observao da tabela de frequncias absolutas.

Como o nmero de dados par (14) , temos dois valores centrais, cujas ordens so:

124 = 7 e

124 + 1 = 8

A mediana , como j foi referido, a mdia aritmtica do nmero de cestos correspondentes stima e oitava posio.

Ou seja, ~x = 25 +

227 ~x = 26

A mediana 26 cestos.

5.3.O grfico de barras construdo a partir das frequncias relativas acumuladas est representadoem baixo. A mediana corresponde ao valor de 50% da frequncia relativa acumulada.

A mediana 18 euros.

Em relao funo cumulativa, temos:

O valor da mediana 18 euros.

2 dados 2 dados

NOTAEm relao ao exemplo ao lado,seria fcil utilizar a tabela decaule-e-folhas:

1 8 8

2 0 3 4 4 5 7 7 7 8 8

3 0 0

7.o valor(25)

8.o valor(27)

EXERCCIO 18O grfico seguinte representaos dados de um inqurito feitoa um grupo de jovens sobre onmero de idas a concertos demsica rock durante os mesesde Julho, Agosto e Setembro.

18.1. Construa a respectivatabela de frequncias absolu-tas e frequncias relativas,simples e acumuladas.

18.2. Calcule, se possvel, amdia, a moda e a me diana.

18.3. Depois de definir a fun-o cumulativa das frequn-cias relativas e de a representarnum sistema de eixos, identifi-que a mediana.

0 1 2 3 4 oumais

Nmero de idas a concertos

Nm

ero

de jo

vens

0

10

20

30

40

23

35

1017

5

Nmero de idas a concertos de Julho a Setembro

Despesa feita pelos alunosao longo de uma semana

ExercciospropostosExerccios 3 e 5.Pgina 61.

ESTATSTICA38

Dados agrupados por classes

Quando, numa distribuio estatstica, os dados esto agrupados por classes, a media-na, ~x , o valor que corresponde frequncia relativa acumulada de 50%. classeestatstica a que pertence o valor ~x chama-se classe mediana.

Considere a tabela referente ao lanamento do dardo (da pg. 35) que se completacom as restantes frequncias.

Observando os valores da frequncia relativa acumulada, verifica-se que at classe[82, 86[ apenas h 41% da frequncia relativa acumulada, enquanto que at classeseguinte [86, 90[ j h 68% da frequncia relativa acumulada; logo, a mediana pertenceao intervalo [86, 90[ , pois nesta classe que se localiza a frequncia relativa acumuladade 50%.

Introduzindo os dados na calculadora grfica podemos determinar um valor aproxi-mado para a mediana.

Algumas consideraes sobre a mediana

uma medida de posio, no faz intervir todos os valores.

Exemplo

Observando os seguintes conjuntos de dados estatsticos, j ordenados,

1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7 e 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6

verifica-se que em ambos a mediana 4.

A mediana um parmetro forte, no sendo influenciado por alteraes dosextremos.

Exemplo

Observando os seguintes registos de temperaturas (C), j ordenadas, de umalocalidade,

23, 23, 27, 28, 28, 29, 30

verifica-se que a mediana 28 C.

ClassesMarca

da classeEfectivos

Frequncia absoluta

acumulada

Frequncia relativa

(%)

Frequncia relativa

acumulada (%)

[78, 82[ 80 4 4 5 5

[82, 86[ 84 27 31 36 41

[86, 90[ 88 20 51 27 68

[90, 94[ 92 18 69 24 92

[94, 98[ 96 6 75 8 100

N = 75

Clculo da mediana:

CALC

1: 1Var Stats

1Var Stats L1, L2

STATS

ENTER

ENTER


EXERCCIO 19Na reserva de La Camargue,junto ao rio Rdano, Franaregistou-se o peso, em kg, de 55flamingos rosa:

19.1. Indique a classe mediana.19.2. Determine o peso mdiodos flamingos.

19.3. Construa o respectivo his-tograma e determine, geometri-camente, a mediana.

19.4. Que percentagem de fla-mingos tem peso igual ou supe-rior a 3,5 kg?

Peso (kg) fi

[2; 2,5[ 5

[2,5; 3[ 15

[3; 3,5[ 24

[3,5; 4[ 7

[4; 4,5[ 4


Supondo que tinha ocorrido um erro e que afinal o ltimo registo teria sido de 32 C,

o novo conjunto de dados 23, 23, 27, 28, 29, 32 continua a manter uma mediana de

28 C.

Como a mediana permite situar um dado na metade inferior ou superior da popu-

lao ou da amostra, usa-se, em geral, quando as distribuies so muito desequi-

libradas num dos extremos.

Quartis

Existem outras medidas, para alm da moda, da mediana e da mdia, que nos do a

localizao de valores da varivel. So os quantis, dos quais estudaremos apenas os

quartis.

Como o nome indica, os quartis so os valores que dividem a distribuio de fre-

quncias em quatro partes iguais, correspondendo cada uma delas a 25% do total dos

dados ordenados.

Considerando os dados ordenados por ordem crescente, podemos usar o seguinte

esquema para uma melhor compreenso desta medida.

Em que:

Q1 representa o 1.o quartil, separando os primeiros 25% dos dados, ordenadospor ordem crescente, dos restantes 75%;

Q2 representa o 2.o quartil, que coincide com a mediana; Q3 , o 3.o quartil, divide a distribuio em duas partes, em que 75% dos dados

so menores ou iguais a Q3 e os restantes 25% so maiores ou iguais a Q3 .O processo utilizado para determinar os quartis idntico ao que se utiliza para o

clculo da mediana.

6.1.Determine os quartis da distribuio das classificaes dos testes de avaliao da Marta no 1.o perodo:

8, 11, 12, 12, 13, 14, 12, 14, 15, 14, 8, 11, 12

6.2.Considere a tabela seguinte, que nos indica o nmero de litros de combustvel gastos pelosempregados de uma empresa ao longo de um ms.

Localize os quartis.

Exemplo 6

Classes (litros) [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[ [90, 100[ [100, 110]

Frequncia absoluta 2 3 2 6 2 2 N = 17

NOTAPara determinar os quartis coma calculadora grfica, utiliza-seum processo idntico ao que seusa para a mediana.

NOTAExiste uma regra prtica quefacilita o processo de determi-nao da posio de cada quar-til para populaes discretas.

Seja N , a dimenso da popu-lao total da distribuio,um nmero mpar:

posio do 1.o quartil:

p 1 =

N4+ 1


p 3 =

3(N4

+ 1)

Se N for par:


p 1 =

N 4+ 2


p 3 =

3N 4+ 2

ExercciospropostosExerccios 9 e 11.Pgina 63.

ESTATSTICA40

Resoluo

6.1. Ordenando os dados, temos:

8 8 11 11 12 12 12 12 13 14 14 14 15

A dimenso da amostra N = 13 , nmero mpar.

Posio do 1.o quartil:

p 1 = 13

4+ 1 p 1 = 3,5 , logo, o 1.o quartil dado pela mdia dos termos de ordem 3 e 4 :

Q 1 = 11 +

211 Q 1 = 11

Posio do 3.o quartil:

p3 = 3(13

4+ 1) p 3 = 10,5 , o 3.o quartil a mdia dos termos de ordem 10 e 11:

Q 3 = 14 +

214 Q 3 = 14

A Marta pode ento afirmar que, por exemplo:

pelo menos, 25% das classificaes so inferiores ou iguais a 11;

pelo menos, 25% das classificaes so iguais ou superiores a 14;

pelo menos, 50% das classificaes variam entre 12 e 15.

6.2. Como se trata de uma varivel contnua, prefervel optar pelas frequncias relativasacumuladas

Assim, o 1.o quartil corresponde aos 25%, ou seja, pertence ao intervalo [60, 70[ .

O 2.o quartil (mediana) corresponde a 50%, ou seja, pertence ao intervalo [80, 90[ .

O 3.o quartil corresponde aos 75%, ou seja, pertence ao intervalo [80, 90[ .

Podemos tambm recorrer ao polgono de frequncias relativas acumuladas para obter geometrica-mente um valor aproximado dos quartis, partindo do princpio que a distribuio linear dentro decada classe.

Q 1~x Q 3

Clculo de parmetros estatsticos:

CALC 1:


EXERCCIO 20Localize os 1.o e 3.o quartis dasseguintes distribuies:

20.1. 12 9 8 1310 10 10 11

9 11 12 8

20.2.

xi 50 52 55 60

fi 6 3 7 3

EXERCCIO 21Com base na tabela apresenta-da no Exerccio 19, localize os1.o e 3.o quartis.

Nmero de litros de gasolinagastos por uma empresa


MEDIDAS DE DISPERSO DE UMA AMOSTRA

Um factor muito importante para a interpretao de um conjunto de dados a maior

ou menor disperso dos dados em torno dos valores centrais. Para tal, vamos estudar

as seguintes medidas de disperso: amplitude total, varincia, desvio padro e ampli-

tude interquartis.

Amplitude total

diferena entre o maior e o menor valor da distribuio chamamos amplitude total,

ou simplesmente amplitude:

A = xmx xmn

Consideremos os dados da tabela seguinte, referentes aos anos de servio dos traba-

lhadores de uma empresa de construo civil.

Determinemos a amplitude da distribuio relativamente ao nmero de anos de

servio:

Amplitude = 8 3 = 5 anos

Note-se que esta medida insensvel s alteraes dos valores intermdios; no seu

clculo s intervm os extremos, no fornecendo assim, por si s, informao muito

relevante sobre a distribuio.

Varincia e desvio padro

Considerando o exemplo anterior, vejamos como os dados relativos aos anos de

servio se afastam da respectiva mdia (5 anos).

Note-se que, para se obter melhores valores aproximados, usaremos um valor da

mdia com aproximao s milsimas, x 5,025 .

NOTAA amplitude, a varincia, o des-vio padro e a amplitude inter-quartis s se determinam paraatributos quantitativos.

Anosde servio

Nmero de trabalhadores

3 8

4 6

5 13

6 6

7 4

8 3

N = 40

ESTATSTICA42

Chama-se desvio de valor xi em relao mdia x , diferena xi x .

A soma dos desvios sempre igual a zero.

Este valor surge porque existem valores positivos e negativos que se compensam.

Por este motivo, determinam-se os quadrados ou os valores absolutos dos desvios.

Optmos por calcular o quadrado dos desvios.

mdia aritmtica dos quadrados dos desvios chama-se varincia.

No caso citado, temos: V = 2 864

,9

0

76 2,174

Quanto mais afastados da mdia estiverem os dados, maior ser a varincia.

Como o clculo da varincia feito a partir da mdia dos quadrados dos desvios, o

seu resultado vem expresso na unidade dos dados mas ao quadrado, o que dificulta a

sua interpretao.

Atravs do clculo da raiz quadrada da varincia obtm-se um valor que, em virtude

de ser representado na unidade dos dados, facilita a sua interpretao: o desvio

padro.

Anosde servio

xi


fi

Desvioxi x

fi (xi x) fi (xi x)2

3 8 2,025 16,2 32,805

4 6 1,025 6,15 6,304

5 13 0,025 0,325 0,008

6 6 0,975 5,85 5,704

7 4 1,975 7,9 15,603

8 3 2,975 8,925 26,552

Total 40 0 86,976

Dados x1 , x2 , , xN , N valores distintos de mdia x , a varincia V ou 2 a mdia dos quadrados dos desvios:

V = 2 = =(x1 x)2 + (x2 x)2 + + (xN x)2

N

N

i = 1(xi x)2

N

O desvio padro a raiz quadrada positiva da varincia (dados agrupadosnuma tabela de frequncia):

=

em que k o nmero de valores distintos observados.

k

i = 1

fi (xi x )2

N

EXERCCIO 22Considere os dados indicados(em percentagem) relativos saudincias dirias de trs esta-es televisivas numa determi-nada semana.

22.1. Indique a amplitude decada uma das distribuiesrelativas percentagem deaudincias de cada uma dasestaes televisivas.

22.2. Determine a mdia deaudincias de cada uma dasestaes durante a semanaconsiderada.

DataEstaes

TV1 TV2 TV3

18/3 26,3 21,5 30,5

19/3 24,7 26,1 29,6

20/3 22,6 24,7 31,3

21/3 19,5 32,5 24,6

22/3 20,6 28,5 26,0

23/3 25,8 21,7 30,3

24/3 24,8 22,5 29,6

NOTA a letra sigma minsculado alfabeto grego. A maiscula .

EXERCCIO 23Recolha as idades dos encarre-gados de educao dos seuscolegas de turma e calcule amdia e o desvio padro dessadistribuio.


Assim, no exemplo, o desvio padro de:

2,174 1,474

No caso do clculo do desvio padro de uma distribuio com dados agrupados

por classes, o raciocnio anlogo, ou seja, determinam-se as marcas das classes, que

se representam por xi , sendo k o nmero de classes.

Tendo em conta a tabela seguinte, referente distribuio dos vencimentos numa empresa de cons-truo civil, calcule o respectivo desvio padro.

Resoluo

Recorrendo calculadora grfica, determina-se a mdia e o desvio padro.

Temos, ento, x = 975 e 237, 43 .

Exemplo 7

Vencimentos(em euros)


[500, 700[ 5

[700, 900[ 10

[900, 1100[ 15

[1100, 1300[ 6

[1300, 1500[ 3

[1500, 1700[ 1

N = 40

EXERCCIO 24Recolha os valores das alturas,em centmetros, dos colegasda turma e determine a mdiae o desvio padro dessa distri-buio.

CALCENTERSTAT STAT


WWWWWW

ESTATSTICA44

O desvio padro, , a medida de disperso mais usada, pois tem em conta todos osdados.

Note-se que o seu valor nunca negativo.

Quanto maior for o desvio padro, maior ser a disperso dos valores em relao mdia.

uma medida sensvel a alteraes nos valores da varivel.

Amplitude interquartis

Em alguns casos tem interesse utilizar outra medida de disperso, a amplitude

interquartis, que se representa por Aq e que dada pe

matemática b 10 ano volume 2

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