matemática

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores

primos;

2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1

no alto, porque ele é divisor de qualquer

número;

3º) multiplicamos sucessivamente cada

fator primo pelos divisores já obtidos e

escrevemos esses produtos ao lado de

cada fator primo;

4º) os divisores já obtidos não precisam

ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Mínimo Múltiplo Comum

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então

dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números.

Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores

comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então

ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a

abreviação m.d.c.

Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4 mdc (12,20,24) = 4 mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor

expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo

divisor comum desses números é 1.

Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então

ele é o m.d.c. dos números dados.

Números racionais

Racionais Positivos e Racionais Negativos

O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero.

Por exemplo:

(+17) : (-4) =

é um número racional negativo

Números Racionais Positivos

Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

(+8) : (+5)

(-3) : (-5)

Números Racionais Negativos

São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

(-8) : (+5)

(-3) : (+5)

Números Racionais: Escrita Fracionária

têm valor igual a e representam o número racional

.

Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor

diiferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma

fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

Equações de primeiro grau

(com uma variável)

Introdução

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "

desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade

denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais

A variação de uma grandeza pode variar outra grandeza, por exemplo: se observarmos

os quilômetros percorridos por um carro (1º grandeza) e o combustível gasto (2º

grandeza) por esse carro durante os quilômetros percorridos. A 2ª grandeza irá aumentar

ou diminuir dependendo se a 1ª grandeza irá aumentar ou diminuir também.

Podemos dizer que grandezas proporcionais são grandezas que a sua variação interfere

na variação de outra.

As grandezas proporcionais podem ser:

Grandezas inversamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma forma mais informal, são

grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Podemos dizer também que: São

grandezas diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da outra. Isto

é, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra

também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... E assim por diante.

Grandezas inversamente proporcionais, explicando de maneira informal, são grandezas

que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Podemos dizer também que:

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra

varia na razão inversa da outra. Isto é, duas grandezas são inversamente proporcionais

quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a

outra se reduz para a terça parte... E assim por diante.

Exemplos:

1) A tabela relaciona as grandezas ”medidas do lado” e “perímetro” de um quadrado.

Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?

Como podemos ver, enquanto a grandeza “medida do lado de um quadrado” aumenta ao

outra grandeza “perímetro de um quadrado” também aumenta. Logo esta é uma

grandeza diretamente proporcional.

2) A tabela relaciona as grandezas “quantidade de operários” e “tempo” para a

construção de duas obras iguais, A e B. Essas duas grandezas são direta ou

inversamente proporcionais?

Como estamos vendo, enquanto a grandeza “quantidade de operários” aumenta, a

grandeza “tempo” diminui. Logo esta é uma grandeza inversamente proporcional.

3) A velocidade constante de um carro e o tempo que esse carro gasta para dar uma

volta completa em uma pista estão indicados na tabela a seguir:

De acordo com a tabela, essas duas grandezas, “velocidade” e “tempo”, são direta ou

inversamente proporcionais?

Observando a tabela, percebemos que se trata de uma grandeza inversamente

proporcional, pois, a medida que uma grandeza aumenta a outra diminui.

Exercícios:

1) Mariana tem 60 sementes de flores para plantar em alguns vasos. Cada vaso deve

receber o mesmo número de sementes.a) complete a tabela:

b) as grandezas são de que tipo, direta ou inversamente proporcionais? Por quê

2) Cinqüenta coelhos são alimentados durante quatro dias com certa quantidade de

ração.

a) Se o número de coelhos for reduzido à metade, a quantidade de ração consumida

deve aumentar ou diminuir?

b) O número de coelhos e a quantidade de ração consumida são grandezas inversamente

proporcionais? Por quê?

3) Com um saco de ração alimento 12 galinhas durante 8 dias. Se aumentar o número de

galinhas para 16, quantos dias vai durar um saco dessa ração?

4) Joaquim e Manuel trabalharam juntos em uma construção. Joaquim trabalhou durante

3 dias e Manuel durante 2 dias. O serviço todo rendeu para os dois juntos R$ 200,00.

a) Qual dos dois tem direito a ganhar mais? Por quê?

b) Se a divisão for justa, quanto deve ganhar cada um?

c) Escreva a razão entre os dias em que cada um trabalhou.

d) Escreva a razão entre a quantia que Joaquim recebeu e a que Manuel recebeu.

e) Essas razões formam uma proporção? Por quê?

5) Jaime e Juarez fizeram uma parceria para jogar na loteria. Jaime entrou com R$1,20 e

Marcelo com R$1,80. Sabe o que aconteceu? Eles ganharam um prêmio de R$ 1500,00!

a) Qual dos dois deve receber a maior parte do prêmio? Por quê?

b) Calcule a parte justa que cada um deve receber desse prêmio.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h)

Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia Prazo para término

(dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,

números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%

Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão

centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas

percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total

de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que

aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular

o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação.

Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela

abaixo:

Acréscimo ou Lucro Fator de

Multiplicação

10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de

Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Juros Simples e Compostos

Por Thiago Ribeiro

Juros

Cansado de Pagar Juros? Entenda os Cálculos de Juros

Quem nunca ouviu falar do tal dos Juros? Ou das taxas de juros fixadas pelo Copom (Banco

Central do Brasil), taxas selic e etc?

Primeiramente, passamos o que é juros: Juros é um atributo de uma aplicação financeira, ou

seja, referimos a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (o que pede

emprestado), pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).

Existem dois tipos de juros:

Os Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação

Juros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de

aplicação, formando com esta soma um novo capital.

Capital é o valor que é financiado, seja na compra de produtos ou empréstimos em dinheiro.

A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtem

um montante (valor total a pagar) inferior ao que financia por juros compostos.

A fórmula do Juro Simples é: j = C. i. t

Onde:

j = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo.

Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 2.000,00, a juros simples,

pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

Antes de iniciarmos a resolução deste problema, devemos descobrir, o que é o que, ou seja,

quais dados fazem parte das contas.

Capital Aplicado (C) : R$ 2.000,00

Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 meses

Taxa (i): 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)

Fazendo o cálculo, teremos:

J = c . i. t → J = 2.000 x 3 x 0,03 → R$ 180,00

Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros.

Observe, que se fizermos a conta mês a mês, o valor dos juros será de R$ 60,00 por mês e esse

valor será somado mês a mês, nunca mudará.

t

A fórmula dos Juros Compostos é: M = C. (1 + i)

Onde:

M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, t = tempo.

Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que emprestou R$ 2.000,00 a uma taxa

de 3% (0,03) durante 3 meses, em juros simples, teremos:

Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00

Tempo de Aplicação (t) = 3 meses

Taxa de Aplicação (i) = 0,03 (3% ao mês)

Fazendo os cálculos, teremos:

M = 2.000 . ( 1 + 0,03)³ → M = 2.000 . (1,03)³ → M = R$ 2.185,45

Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 185,45 de juros.

Observe, que se fizermos a conta mês a mês, no primeiro mês ela pagará R$ 60,00, no segundo

mês ela pagará R$ 61,80 e no terceiro mês ela pagará R$ 63,65.

Normalmente quando fazemos uma compra nas "Casas Bahia", por exemplo, os Juros

cobrados são os Juros Compostos, praticamente todas lojas comerciais adotam os Juros sobre

Juros (Juros Compostos).

matemática

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