Matematica Discreta - Profa Beatriz RibeiroLista 5 - Junho 2016

1. (Vestibular UFMG 2008) Considere uma prova de Matematica constituıda de quatro questoes demultipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma e correta. Um candidatodecide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questao. Entao, quale a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questao?

2. Uma prova e constituıda de 10 questoes do tipo Verdadeiro ou Falso. Suponhamos que as 10respostas foram marcadas aleatoriamente. Neste caso:

(a) Qual e a probabilidade de se acertar exatamente metade das questoes da prova?

(b) Qual e a probabilidade de se acertar pelo menos metade das questoes da prova?

3. (OBMEP 2011, primeira fase, nıvel 3, questao 12) Tres amigas possuem, cada uma, tres blusas: umaamarela, uma branca e uma preta. Se cada amiga escolher ao acaso uma de suas blusas, qual e aprobabilidade de que as cores das blusas escolhidas sejam todas diferentes?

4. (OBMEP 2010, primeira fase, nıvel 3, questao 14) Carolina tem tres cartoes brancos numerados de1 a 3 e tres cartoes pretos, tambem numerados de 1 a 3. Ela escolheu, ao acaso, um cartao brancoe um preto. Qual e a probabilidade de a soma dos numeros dos cartoes escolhidos ser par?

5. (OBMEP 2008, primeira fase, nıvel 3, questao 20) Em um jogo, Pedro lanca uma moeda paradecidir quantas casas avancar. Quando sai cara, ele avanca uma casa; quando sai coroa, ele avancaduas casas. O jogo acaba quando Pedro alcanca ou ultrapassa a ultima casa. Faltam tres casaspara Pedro terminar o jogo. Qual e a probabilidade de que ele tire coroa em sua ultima jogada?

6. Da nossa turma de 35 alunos, vamos escolher aleatoriamente uma comissao de 3 para representara turma numa disputa. Qual e a probabilidade do aluno X estar na comissao?

7. Um dado e lancado duas vezes e os resultados obtidos sao multiplicados. O que tem mais chancede ocorrer: este produto ser um numero par ou um numero ımpar?

8. Uma moeda e lancada quatro vezes. Qual e a probabilidade de se obter duas caras e duas coroas?

9. De um grupo de 3 meninos e 5 meninas serao escolhidas duas pessoas ao acaso. Qual e a probabi-lidade de serem escolhidas duas pessoas do mesmo sexo?

10. Considere o seguinte jogo com dados

• Duas equipes e dois dados.

• A cada rodada, uma equipe joga os dois dados e soma seus valores.

• A equipe 1 marca um ponto cada vez que a soma for 5,6,7 ou 8.

• A equipe 2 marca um ponto cada vez que a soma for 2,3,4,9,10,11 ou 12.

• Ganha quem obtiver primeiro 20 pontos.

Qual das equipes tem mais chance de ganhar?

11. Uma pessoa possui 5 livros diferentes de matematica, 2 livros diferentes de quımica e 3 livrosdiferentes de fısica, que serao dispostos aleatoriamente na prateleira. Calcule a probabilidade:

a) os livros de cada assunto fiquem juntos

b) os livros de matematica nao fiquem todos juntos

c) os livros de fısica fiquem todos separados.

12. Uma secretaria atrapalhada prepara quatro cartas com conteudos distintos para enviar a quatrofirmas distintas. Na hora de envelopa-las, bate um vento que derruba ascartas e os envelopes, e,com pressa, a secretaria coloca aleatoriamente as cartas nos envelopes. Determine a probabilidadede que nenhuma carta tenha sido corretamente envelopada.

13. Um colegio tem em seu corpo docente sete professores de Biologicas, oito professores de Exatas enove professores de Humanas. Uma comissao de sete professores sera selecionada aleatoriamente.Determine a probabilidade de que nesta comissao haja pelo menos um professor de cada area.

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14. Seja o lancamento de 2 dados nao viciados e a observacao das faces voltadas para cima. Calcule aprobabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma e menor ou igual a 5.

15. Um juiz tem no bolso um cartao amarelo, um vermelho e um com uma face amarela e outravermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um cartao, retirado do bolso ao acaso,para um atleta. Se a face que o jogador ve e amarela, qual e a probabilidade de que a face voltadapara o juiz seja vermelha.

16. Duas maquinas A e B produzem 3000 pecas em um dia. A maquina A produz 1000, das quais 3%sao defeituosas. A maquina B produz as restantes, das quais 1% sao defeituosas. Da producao totalde um dia, uma peca e escolhida ao acaso e constata-se que ela e defeituosa. Qual e a probabilidadede que ela tenha sido produzida pela maquina A?

17. Um estudante resolver um teste de multipla escolha de 10 questoes, com 5 alternativas cada. Elesabe 60% da materia. Quando ele sabe uma questao, ele acerta e, quando nao sabe, ele chuta. Seele acerta uma questao, qual e a probabilidade de que tenha sido por acaso?

18. Quantas vezes, no mınimo, se deve lancar um dado para que a probabilidade de obter algum 6 sejasuperior a 0, 9?

19. Tres cartas sao retiradas sucessivamente de um baralho, sem reposicao. Calcule a probabilidade deque o evento A1 ∩ A2 ∩ A3 ocorra, sabendo-se que A1 e o evento da 1a carta ser um as vermelho,A2 e o evento da 2a carta ser um 10 ou um valete e A3 e o evento da 3a carta ser maior do que 3mas menor do que 7.

20. A caixa A contem nove cartas numeradas de 1 a 9 e a caixa B contem cinco numeradas de 1a 5. Uma caixa e selecionado ao acaso e uma carta e retirada. Se o numero e par, encontre aprobabilidade da carta ter vindo da caixa A.

21. Um sistema de comunicacao binaria transmite zeros e uns com probabilidade 0.5 em qualquer doscasos. Devido ao ruıdo existente no canal de comunicacao ha erros na recepcao: transmitido um“um” ele pode ser recebido como um “zero” com probabilidade 0.1, ao passo que um “zero” podeser recebido como um “um” com probabilidade 0.05. Determine a probabilidade de se receber um“zero”.

22. Uma companhia de seguros classifica as pessoas em dois grupos: aquelas com propensao a acidentese aquelas que nao sao propensas. Segundo as estatısticas da empresa uma pessoa propensa aacidentes vai ter um acidente dentro de um ano com probabilidade 0,4, enquanto uma pessoa naopropensa sofre um acidente com probabilidade 0,2. Se 30 por cento da populacao for do tipopropensa para acidentes, qual a probabilidade de que um novo segurado ira sofrer um acidentedentro deste um ano de sua apolice de seguro? Suponha que um novo assegurado sofreu umacidente neste um ano de sua apolice de seguro. Qual a probabilidade deste assegurado ser umapessoa propensa a acidentes?

23. Consumidores sao utilizados para fazerem avaliacoes de amostras preliminares de produtos. Emum levantamento estatıstico destas avaliacoes, 95% dos produtos altamente bem sucedidos rece-bem boas avaliacoes, 60% dos produtos moderadamente bem sucedidos receberam boas avaliacoesenquanto 10% dos produtos mal sucedidos receberam boas avaliacoes. Alem disso, 40% dos produ-tos foram altamente bem sucedidos, 35% foram moderadamente bem sucedidos e 25% foram malsucedidos. Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de um produto receber uma boa avaliacao?

b) Se uma amostra preliminar obtem boa avaliacao, qual a probabilidade de que ela venha a serum produto altamente bem sucedido?

c) Se um produto nao obtem uma boa avaliacao, qual a probabilidade de que ele venha a ser umproduto altamente bem sucedido?

24. Ver mais exercıcios nas secoes 5.1-5.4 do livro do Morgado.

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