mat - 2002/03 topologia e elementos de an alise...

MAT - 2002/03

Topologia e elementos de analise funcional

Salvatore CosentinoDepartamento de Matematica e Aplicacoes - Universidade do Minho

Campus de Gualtar, 4710 Braga - PORTUGAL

gab B.4023, tel 253 604086

e-mail [email protected]

url http://w3.math.uminho.pt/~scosentino

13 de Dezembro de 2002

Resumo

Isto nao e um livro! Estas paginas contem as minhas notas das aulas de topologia lecci-onadas no ano letivo 2012/03, e portanto foram escritas de maneira sintetica, esquematica epor vezes informal.

Conteudo

1 Espacos metricos 2

2 Espacos topologicos 8

3 Nocoes topologicas 12

4 Aplicacoes contınuas 16

5 Espacos compactos 21

6 Espacos metricos completos 25

7 Conexidade 30

1

mailto:[email protected]

http://w3.math.uminho.pt/~scosentino

1 ESPACOS METRICOS 2

1 Espacos metricos

Espacos metricos. Seja X um conjunto nao vazio. Uma metrica em X e uma funcao d :X ˆX Ñ R tal que para todos x, x1, x2 P X

dpx, x1q ě 0, e dpx, x1q “ 0 sse x “ x1

dpx, x1q “ dpx1, xqdpx, x1q ď dpx, x2q ` dpx2, x1q

A ultima propriedade e dita desigualdade do triangulo.Um espaco metrico e um par pX, dq, um conjunto nao vazio X munido de uma metrica d.

Os elementos de X sao ditos pontos do espaco metrico, e o numero nao negativo dpx, x1q e ditodistancia entre os pontos x e x1.

Distancias distintas em X definem espacos metricos distintos. Por razoes de economia e usualescrever “o espaco metrico X” em vez de “o espaco metrico pX, dq”, quando a metrica particularnao e importante, ou quando esta implıcita no contexto.

eg Metrica discreta. Seja X um conjunto nao vazio. A metrica discreta, ou metrica zero-um,em X e a metrica definida por dpx, x1q “ 1 se x ‰ x1. Em particular, todo conjunto nao vazioadmite uma metrica.

eg Recta real e recta complexa. A funcao px, x1q ÞÑ |x´ x1| define uma metrica na rectareal R. A funcao pz, z1q ÞÑ |z ´ z1| define uma metrica em C.

eg Espacos normados. Se V e um espaco vectorial real ou complexo, e |¨| e uma norma emV , entao d, definida por dpx, x1q :“ |x´ x1|, e uma metrica em V .

eg Espacos euclidianos. Se V e um espaco vectorial sobre os reais, e x¨, ¨y e um produto internoem V , entao |¨|, definida por |x| “

a

xx, xy, e uma norma em V (a desigualdade do triangulo sendouma consequencia da desigualdade de Cauchy-Schwarz | xx, x1y | ď |x| |x1|), e portanto d, definidapor

dpx, x1q :“a

|x´ x1|2

e uma metrica em V . Espacos euclidianos e espacos normados sao exemplos de espacos metricos.

eg Metrica euclidana em Rn. Um caso particular da construcao acima e a metrica euclidianaem Rn, definida por

d2px, x1q :“

g

f

f

e

nÿ

i“1

pxi ´ x1iq2

que e a metrica induzida pelo produto interno euclidiano xx, x1y “řni“1 xi ¨ x

1i. A seguir, a menos

de indicacao contraria, o espaco vectorial Rn sera implicitamente considerado munido da metricaeuclidiana.

eg Espaco de Hilbert. O espaco de Hilbert estandard `2pCq, o espaco das sucessoes (palavrasinfinitas) x “ px1, x2, x3, . . . q P CN tais que

}x}2 :“8ÿ

n“1

|xn|2 ă 8

munido do produto interno

xx, yy :“8ÿ

n“1

xn yn


eg Metrica do maximo e metrica da soma. Outras normas em Rn sao a norma do maximo,definida por

}x}8 :“ maxi“1,...,n

|xi|

e a norma da soma, definida por

}x}1 :“nÿ

i“1

|xi|

As metricas induzidas, d8 e d1 respectivamente, sao ditas metrica do maximo e metrica da soma.

eg Norma e metrica do sup. Sejam X um conjunto nao vazio, e BpX,Rq o espaco das funcoeslimitadas f : X Ñ R (uma funcao f e limitada se existe M ą 0 tal que |fpxq| ď M para todox P X). BpX,Rq e um espaco linear sobre os reais, se f ` g e definido por x ÞÑ fpxq ` gpxq e λf ,com λ P R, e definido por x ÞÑ λ ¨ fpxq. A norma do sup, ou norma da convergencia uniforme, emBpX,Rq e definida por

}f}8 :“ supxPX

|fpxq|

A metrica induzida, dpf, gq “ }f ´ g}8, e dita metrica do sup.

ex Prove que d2, d1 e d8 sao metricas em Rn.

ex Sejam d e d1 duas metricas definidas em X. Mostre que max td, d1u e d` d1 sao metricas, eque min td, d1u pode nao ser uma metrica.

ex Seja X “ t0, 1uN

o espaco das funcoes x : NÑt0, 1u. Entao

dpx, x1q “8ÿ

i“1

|xi ´ x1i|

2i

e uma metrica em X.

Metricas produto. Sejam pX, dXq e pY, dY q dois espacos metricos. Entao max tdX , dY u edX ` dY , definidas por

max tdX , dY u ppx, yq, px1, y1qq :“ max

dXpx, x1q, dY py, y

1q(

epdX ` dY qppx, yq, px

1, y1qq :“ dXpx, x1q ` dY py, y

1q

sao metricas no produto X ˆ Y . Enuncie e prove um resultado analogo para productos finitos deespacos metricos.

Pseudometricas. Uma pseudometrica no conjunto X e uma funcao d : X ˆX Ñ R tal que

i) dpx, x1q ě 0, e dpx, x1q “ 0 se x “ x1

ii) dpx, x1q “ dpx1, xqiii) dpx, x1q ď dpx, x2q ` dpx2, x1q

para todos x, x1, x2 P X. Seja „ a relacao de equivalencia definida por: x „ x1 sse dpx, x1q “ 0.O espaco quociente X{ „ e de forma natural um espaco metrico, se a distancia entre duas classesesta definida como a distancia entre dois representantes em X.


Subespacos, imersoes isometricas e isometrias. Sejam pX, dq um espaco metrico e S umsubconjunto nao vazio de X. A restricao da funcao d a S ˆ S define uma metrica dS em S, ditametrica induzida. O conjunto S, munido da metrica induzida, e dito subespaco (metrico) do espacometrico X. Portanto, subconjuntos de espacos metricos sao de maneira natural espacos metricos.

Sejam pX, dXq e pY, dY q dois espacos metricos. Uma aplicacao f : X Ñ Y e uma imersaoisometrica se preserva as distancias, i.e. se

dY pfpxq, fpx1qq “ dXpx, x

1q

para todos x, x1 P X. Toda imersao isometrica e injetiva.Uma imersao isometrica bijetiva f : X Ñ Y e dita isometria, e neste caso os espacos X e Y

sao ditos isometricos. E imediato ver que:

a identidade id : X Ñ X e um isometria,se f : X Ñ Y e uma isometria entao f´1 : Y Ñ X tambem e uma isometria,se f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z sao isometrias, entao g ˝ f : X Ñ Z e uma isometria.

Portanto, a existencia de uma isometria entre dois espacos metricos e uma relacao de equivalencia.As propriedades comuns as classes de espacos isometricos sao ditas propriedades metricas.

eg Metrica induzida por uma injecao. Sejam pY, dY q um espaco metrico e X um conjuntonao vazio. Uma aplicacao injetiva f : X Ñ Y induz uma metrica dX em X, definida por dXpx, x

1q “

dY pfpxq, fpx1qq, que torna f uma imersao isometrica.

Grupos de isometrias. Seja X um espaco metrico. O conjunto IsompXq das isometriasg : X Ñ X e um grupo, dito grupo das isometrias de X, com respeito a lei de composicao.

eg Isometrias de Rn. As translacoes x ÞÑ x ` a, com a P Rn, sao isometrias do espacoeuclidiano Rn. Em particular, Rn e um espaco metrico homogeneo: dados x, x1 P Rn existe umaisometria g P IsompRnq tal que gpxq “ x1. As isometrias de Rn que fixam a origem 0 P Rn sao astransformacoes lineares x ÞÑ T pxq com T P Opnq. O grupo das isometrias do espaco euclidiano Rne, portanto,

IsompRnq “ tx ÞÑ T pxq ` a com T P Opnq e a P Rnu

ex Sejam a, b P Rn com |b| “ 1. A aplicacao f : RÑ Rn, definida por t ÞÑ a` tb, e uma imersaoisometrica.

Diametro e distancia entre conjuntos. Um subconjunto nao vazio S do espaco metrico Xe limitado se existe M ą 0 tal que dpx, x1q ăM para todos x, x1 P S. O diametro do subconjuntonao vazio S e

diampSq :“ supx,x1PS

dpx, x1q

Ou seja, um subconjunto de um espaco metrico e limitado sse tem diametro finito.A distancia entre dois subconjuntos nao vazios S e T de X e definida por

dpS, T q :“ infxPS,x1PT

dpx, x1q

A distancia de um ponto x P X a um subconjunto nao vazio S de X e definida por

dpx, Sq :“ infx1PS

dpx, x1q

ex Um subconjunto S de um espaco metrico X e limitado sse esta contido numa bola, i.e. seexistem x P X e R ą 0 tais que S Ă tx1 P X t.q. dpx, x1q ă Ru.

ex A reuniao de uma famılia finita de subconjuntos limitados de um espaco metrico e umconjunto limitado.


ex Sejam X um espaco metrico, x, x1 P X e S Ă X um subconjunto nao vazio. Entao

ˇ

ˇdpx, Sq ´ dpx1, Sqˇ

ˇ ď dpx, x1q

Bolas e conjuntos abertos. Seja pX, dq um espaco metrico. A bola aberta de centro x e raior ą 0 e o conjunto dos pontos de X a distancia menor que r de x, i.e.

Brpxq “

x1 P X t.q. dpx, x1q ă r(

Um subconjunto A do espaco metrico X e aberto em X se para todo x P A existe r ą 0 tal queBrpxq Ă A, i.e. se (e vazio ou se) todo ponto de A e centro de uma bola aberta contida em A.

“Ser aberto” e uma propriedade relativa. Pode acontecer que um subconjunto A Ă X naoseja aberto no espaco metrico pX, dq, mas seja aberto no espaco metrico pY, dY q, onde Y e umsubconjunto de X munido da metrica induzida dY . Por razoes de economia, e costume dizer queum subconjunto A de X “e aberto” em vez de “e aberto em X”, desde que seja claro o espacoambiente pX, dq.

O conjunto vazio H e o espaco todo X sao abertos em X. Uma observacao trivial mas cruciale que as bolas abertas de um espaco metrico sao subconjuntos abertos, pois, se x1 P Brpxq es “ dpx, x1q ă r, entao a desigualdade do triangulo implica que Br´spx

1q Ă Brpxq.

Teorema 1.1 (um aberto e uma reuniao de bolas abertas). Um subconjunto de um espaco metricoe aberto sse e uma reuniao de bolas abertas.

Demonstracao. ñ Seja A um aberto do espaco metrico X. Para todo x P A existe εpxq ą 0 talque Bεpxqpxq Ă A. Portanto A “

Ť

xPABεpxqpxq.ð Seja A “ YαPABα uma reuniao de bolas abertas Bα do espaco metrico X. Se x P A existe

α P A tal que x P Bα. Sendo Bα aberta, existe ε ą 0 tal que Bεpxq Ă Bα Ă A.

Teorema 1.2 (propriedades dos abertos). Toda reuniao de subconjuntos abertos e aberta. Aintersecao de dois (e portanto toda intersecao finita de) subconjuntos abertos e aberta.

Demonstracao. Seja A “ YαPAAα, onde os Aα sao abertos no espaco metrico X e A e um conjuntoarbitrario. Se x P A entao existe α P A tal que x P Aα. Sendo Aα aberto, existe ε ą 0 tal queBεpxq Ă Aα Ă A.

Sejam A e A1 dois abertos no espaco metrico X, e x P AXA1. Entao existem ε ą 0 e ε1 ą 0 taisque Bεpxq Ă A e Bε1pxq Ă A1. Portanto, a bola aberta Bmintε,ε1upxq esta contida em AXA1.

ex Sejam x e x1 dois pontos distintos do espaco metrico X. Entao existem duas bolas abertasdisjuntas B e B1 que contem respectivamente x e x1.

ex O intervalo r0, 1r e aberto em r0, 2s, mas nao e aberto na recta R.

ex Diga se os seguintes subconjuntos de Rn euclidiano sao abertos em Rn.

Q em R , Z em R , Qˆ R em R2

tpx1, x2q t.q. x1 “ x2u em R2, tpx1, x2q t.q. x1 ¨ x2 ‰ 0u em R2, tpx1, x2q t.q. x1 ą 0u em R2

tx P Rn t.q. |x| ď 1u em Rn , tx P Rn t.q. |x| “ 1u em Rn , tx P Rn t.q. |x| ‰ 0u em Rn

ex Uma intersecao de subconjuntos abertos de um espaco metrico pode nao ser aberta.

eg Bolas em espacos ultrametricos. Uma metrica d definida no conjuntoX e dita ultrametricase

dpx, x1q ď max

dpx, x2q, dpx2, x1q(

para todos x, x1, x2 P X. Mostre que se x1 P Brpxq entao Brpx1q “ Brpxq, i.e. todo ponto de uma

bola aberta e um seu centro.


Abertos e continuidade. Sejam pX, dXq e pY, dY q dois espacos metricos. A aplicacao f :X Ñ Y e contınua no ponto x P X se para todo ε ą 0 existe δ ą 0 tal que dY pfpxq, fpx

1qq ă εse dpx, x1q ă δ. Isto quer dizer que para toda bola aberta Bεpfpxqq Ă Y centrada em fpxq existeuma bola aberta Bδpxq Ă X centrada em x tal que

f pBδpxqq Ă Bεpfpxqq

A aplicacao f : X Ñ Y e contınua se e contınua em todos os pontos de X. A relacao entrecontinuidade e abertos e contida na seguinte observacao.

Teorema 1.3 (f contınua ô f´1(aberto) = aberto). Uma aplicacao f : X Ñ Y entre os espacosmetricos X e Y e contınua sse a imagem inversa f´1pAq de todo aberto A de Y e aberta em X.

Demonstracao. pñq Sejam f contınua, A um subconjunto aberto e nao vazio de Y , e x P f´1pAq.Como A e aberto e fpxq P A, existe uma bola aberta Bεpfpxqq contida em A. Pela continuidadede f em x, existe uma bola aberta Bδpxq tal que f pBδpxqq Ă Bεpfpxqq. Portanto, a bola abertaBδpxq esta contida em f´1pAq. Isto prova que f´1pAq e aberto em X.pðq Seja x P X. A bola Bεpfpxqq e aberta em Y , portanto a sua imagem inversa f´1 pBεpfpxqqq

e aberta emX. Como x P f´1 pBεpfpxqqq, existe uma bola abertaBδpxq contida em f´1 pBεpfpxqqq,logo f pBδpxqq Ă Bεpfpxqq. Isto prova que f e contınua em x.

Este teorema mostra que a unica estrutura de um espaco metrico que joga um papel na definicaode continuidade e a famılia dos conjuntos abertos, dita topologia. Portanto, espacos metricos quetem os mesmos abertos sao domınios ou contradomınios das mesmas funcoes contınuas.

eg Aplicacoes lipschitzianas. Uma aplicacao f : X Ñ Y entre os espacos metricos pX, dXq epY, dY q e lipschitziana se existe λ ą 0 (dita constante de Lipschitz de f) tal que

dY pfpxq, fpx1qq ď λ ¨ dXpx, x

1q

para todos x, x1 P X. Uma aplicacao lipshitziana e contınua (basta por δ “ ε{λ na definicao comε e δ).

eg Imersao de Kuratowski. Sejam pX, dq um espaco metrico, x P X, e BpX,Rq o espacodas funcoes limitadas f : X Ñ R munido da metrica do sup. A aplicacao fx : X Ñ R definidapor fxpx

1q “ dpx, x1q e contınua. A aplicacao ϕ : X Ñ BpX,Rq definida por x1 ÞÑ fx1 ´ fx euma imersao isometrica. Portanto, todo espaco metrico e de maneira natural um subespaco de umespaco normado.

Homeomorfismos. Uma aplicacao f : X Ñ Y entre os espacos metricos pX, dXq e pY, dY qe um homeomorfismo se e bijectiva, contınua e tem inversa contınua. Dois espacos metricos saohomeomorfos se existe um homeomorfismo entre eles.

Toda isometria e um homeomorfismo, mas um homeomorfismo pode nao ser uma isometria.

eg Por exemplo, x ÞÑ exppxq e un homeomorfismo de R sobre R`, mas nao e uma isometria(para as metricas euclidianas de R e R`).

ex Sejam X um espaco metrico, x1 P X e S um subconjunto nao vazio de X. A aplicacaoϕ : X Ñ R definida por x ÞÑ dpx, x1q e contınua. A aplicacao φ : X Ñ R definida por x ÞÑ dpx, Sqe contınua. A aplicacao d : X ˆ X Ñ R definida por px, x1q ÞÑ dpx, x1q e contınua, se X ˆ X emunido da metrica produto.

ex Seja X um espaco metrico discreto e Y e um espaco metrico arbitrario. Toda funcao f :X Ñ Y e contınua.


ex Uma aplicacao linear L : Rn Ñ Rn e contınua.

ex Uma funcao constante f : X Ñ Y (i.e. tal que fpxq “ y para todo x P X) entre dois espacosmetricos e contınua.

ex Se Y e um subconjunto do espaco metrico X, munido da metrica induzida, entao a inclusaoi : Y Ñ X, definida por ipyq “ y, e contınua.

ex Imersoes isometricas e isometrias sao aplicacoes contınuas.

ex Uma aplicacao f : X Ñ Y entre os espacos metricos pX, dXq e pY, dY q e holderiana se existemα ą 0 e µ ą 0 tais que

dY pfpxq, fpx1qq ď µ ¨ dXpx, x

1qα

para todos x, x1 P X. Uma aplicacao holderiana e contınua.

ex Existe um homeomorfismo entre Q e R ?

Metricas equivalentes. E possıvel que metricas distintas no espaco X definam os mesmossubconjuntos abertos, neste caso as metricas sao ditas topologicamente equivalentes. As metricas de d1 em X sao equivalentes sse, para todo x P X, toda bola aberta Bεpxq para a metrica d contemuma bola aberta B1ε1pxq para a metrica d1 e vice-versa.

eg Normas equivalentes num espaco vetorial de dimensao finita. No espaco vectorialRn, as metricas euclidiana, do maximo e da soma sao topologicamente equivalentes. Isto vem dasdesigualdades

d8px, x1q ď d2px, x

1q ď d1px, x1q ď n ¨ d8px, x

1q

que implicamB8ε{npxq Ă B1

ε pxq Ă B2ε pxq Ă B8ε pxq

para todo x P Rn e todo ε ą 0.De facto, todas as normas num espaco vetorial de dimensao finita sao equivalentes!

ex A metrica discreta e a metrica euclidiana em R nao sao equivalentes.

ex Se d e uma metrica em X e λ ą 0, a metrica dλ definida por dλpx, x1q “ λ ¨ dpx, x1q e

equivalente a d (observe que as bolas de pX, dq sao tambem bolas de pX, dλq e vice-versa).

ex Seja pX, dq um espaco metrico. Entao d1, definida por

d1px, x1q :“dpx, x1q

1` dpx, x1q

e uma metrica em X, equivalente a d. Observe que o espaco metrico pX, d1q e limitado, i.e. temdiametro finito, independentemente de X ser limitado ou nao.

ex Sejam d e d1 duas metricas equivalentes em X. A aplicacao identidade id : X Ñ X e umhomeomorfismo entre pX, dq e pX, d1q.

2 ESPACOS TOPOLOGICOS 8

2 Espacos topologicos

Espacos topologicos. Seja X um conjunto nao vazio. Uma topologia em X e uma famılianao vazia τ de subconjuntos de X, ditos abertos (da topologia), tal que

i) H e X sao abertos,ii) toda reuniao de abertos e um aberto,iii) a intersecao de dois abertos e um aberto.

A ultima propriedade e equivalente a “toda intersecao finita de abertos e um aberto”.Um espaco topologico e um par pX, τq, um conjunto nao vazio X munido de uma topologia τ .

Os elementos de X sao ditos pontos do espaco topologico, os elementos de τ sao ditos abertos doespaco topologico.

Topologias distintas em X definem espacos topologicos distintos. Por razoes de economia eusual escrever “o espaco topologico X” em vez de “o espaco topologico pX, τq”, quando a topologiaparticular nao e importante, ou quando esta implicita no contexto. E tambem usual dizer que umsubconjunto A de X “e aberto” em vez de utilizar a expressao correcta “e um aberto do espacotopologico pX, τq”, desde que seja claro qual e o espaco ambiente X e qual e a topologia τ .

eg Topologia trivial. A famılia tH, Xu e uma topologia no conjunto X, dita topologia trivial.Um conjunto X munido da topologia trivial e dito espaco (topologico) trivial.

Espacos topologicos metrizaveis. Seja pX, dq um espaco metrico. A famılia formada pelasreunioes das bolas abertas de X e uma topologia, dita topologia induzida da metrica d. Portanto,todo espaco metrico e de maneira natural um espaco topologico. Metricas equivalentes induzem amesma topologia.

Um espaco topologico pX, τq e dito metrizavel se o conjunto X admite uma metrica d que induza topologia τ . A seguir, portanto, as expressoes “seja pX, τq um espaco topologico metrizavel” ousimplesmente “seja X um espaco metrizavel” serao sinonimos de “seja pX, τq um espaco topologicotal que a topologia τ e induzida por uma metrica d definida em X”. A razao desta definicao estano facto da metrica particular d, que evidentemente nao e unica, nao jogar nenhum papel naspropriedades de X em quanto espaco topologico.

eg Topologia euclidiana. A topologia euclidiana em Rn e a topologia induzida pela metricaeuclidiana d2, ou pelas metricas equivalentes d1 e d8. A seguir, a menos de indicacao contraria, oespaco vectorial Rn sera implicitamente considerado munido da topologia euclidiana.

eg Topologia discreta. A famılia PpXq, as partes de X, e uma topologia em X, dita topologiadiscreta. E a topolgia induzida pela metrica discreta em X. Um conjunto X munido da topologiadiscreta e dito espaco (topologico) discreto.

eg Topologia cofinita. A topologia cofinita em X e a famılia K formada pelo conjunto vazioe pelos conjuntos cujos complementares tem cardinalidade finita, i.e.

K “ tHu Y tA Ă X t.q. XzA e finitou

eg Topologia de Sierpinsky. Se X e um conjunto finito, toda metrica em X induz a topologiadiscreta. Portanto, uma topologia diferente da topologia discreta em um conjunto finito nao emetrizavel. Um exemplo e a topologia de Sierpinsky em X “ ta, bu, definida por τ “ tH, tau , Xu.

Topologia relativa. Sejam pX, τq um espaco topologico e Y um subconjunto nao vazio de X.A famılia

τY “ tAX Y com A P τu


e uma topolgia em Y , dita topologia relativa. O conjunto Y , munido da topologia relativa, e ditosubespaco (topologico) do espaco topologico X. Portanto, os aberto de Y sao os subconjuntosB Ă Y tais que existe um aberto A de X tal que B “ AX Y .

Se d e uma metrica em X e Y Ă X e munido da metrica induzida dY , entao as bolas abertasde pY, dY q sao da forma Brpxq X Y onde Brpxq e uma bola aberta de pX, dq e x P Y . Portanto, seτ e a topologia induzida pela metrica d, a topologia relativa τY coincide com a topologia induzidapela metrica dY em Y .

ex Determine todas as possıveis topologias de X “ ta, b, cu.

ex (metrizavel e finito ñ discreto) A topologia de um espaco metrizavel finito e a topologiadiscreta.

ex (metrizavel ñ Hausdorff) Seja X um espaco topologico metrizavel. Prove que, dados doispontos distintos x e x1 de X, existem dois abertos disjuntos A e B de X tais que x P A e x1 P B.

ex Seja X um conjunto nao vazio, e x P X. Prove que τ “ tHu Y tA Ă X t.q. x P Au e umatopologia em X. Prove que, se X ‰ txu, a topologia τ nao e metrizavel.

Comparacao entre topologias. Sejam τ e τ 1 duas topologias no conjunto X. A topologia τ 1 emais fina do que a topologia τ (ou, a topologia τ e menos fina do que a topologia τ 1) se τ Ă τ 1, i.e.se todo aberto de pX, τq e tambem um aberto de pX, τ 1q. Observe que esta e apenas uma ordemparcial no espaco das topologias definidas num conjunto fixado X, e que duas topologias distintaspodem nao ser comparaveis.

ex A topologia discreta em X e mais fina do que toda topologia em X.

ex Toda topologia em X e mais fina do que a topologia trivial em X.

Bases. Seja pX, τq um espaco topologico. Uma base da topologia τ e uma famılia B de abertostal que todo aberto de X e uma reuniao de elementos de B. Isto e equivalente a dizer que paratodo A P τ e todo x P A existe B P B tal que x P B Ă A.

Evidentemente, τ e uma base da topologia τ . A importancia desta definicao consiste na possi-bilidade de definir uma topologia a custa de uma famılia particular de abertos.

eg Base de uma topologia metrizavel. As bolas abertas de um espaco metrico sao uma baseda topologia induzida pela metrica, porque todo aberto e uma reuniao de bolas abertas. .

eg Base da topologia discreta. A famılia ttxu com x P Xu e uma base da topologia discretaem X.

Teorema 2.1 (caracterizacao das bases). Seja Xum conjunto nao vazio, e B uma famılia desubconjuntos de X tal que

i) B e uma cobertura de X, i.e.Ť

BPB B “ Xii) se B,C P B entao B X C e uma reuniao de elementos de B

Entao existe uma (unica) topolgia τB em X tal que B e uma sua base.


Demonstracao. A unicidade e evidente, uma vez provada a existencia. Pois, τB tem que contertodas as reunioes de elementos de B, e, vice-versa, todo elemento de τB tem que ser uma reuniaode elementos de B.

Seja τB a famılia formada pelas reunioes de elementos de B. Os subconjuntos H e X pertencema τB, o conjunto vazio porque e a reuniao da famılia vazia de elementos de B, e X porque B e umacobertura de X, a condicao i).

Sejam Vα “Ť

βPIαBβ , com Bβ P B e α P J , uns elementos arbitrarios de τB. Entao a reuniao

ď

αPJ

Vα “ď

αPJ

˜

ď

βPIα

Bβ

¸

“ď

αPJ

ď

βPIα

Bβ

tambem pertence a τB, porque e reuniao de elementos de B. Por outro lado, uma intersecao dedois elementos

Vαč

Vα1 “

˜

ď

βPIα

Bβ

¸

č

¨

˝

ď

β1PIα1

Bβ1

˛

‚“ď

βPIα,βPIα1

´

Bβč

Bβ1¯

tambem pertence a τB pela condicao ii).

eg A famılia tBrpxq “ sx´ r, x` rr com x P Q e r P Q`u das bolas abertas de centro e raioracionais e uma base, enumeravel, da topologia euclidiana de R.

eg tra, bs com a, b P R e a ă bu nao e base de nenhuma topologia na recta real.

eg Base enumeravel da topologia euclidiana. A famılia B “ tBrpxq com x P Qn e r P Q`ue uma base, enumeravel, da topologia euclidiana de Rn. Portanto, o espaco euclidiano Rn admiteuma base enumeravel (satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade).

ex Um espaco topologico discreto nao enumeravel nao admite uma base enumeravel.

ex A famılia τe “ ts´8, xr com x P Ru Y tH,Ru e uma topologia em R, menos fina do que atopologia euclidiana. A subfamılia B “ ts´8, rr com r P Qu e uma base desta topologia.

Produtos finitos de espacos topologicos. Sejam pX, τXq e pY, τY q dois espacos topologicos.A famılia

B “ tAˆB com A P τX e B P τY u

e uma base de uma topologia no produto cartesiano XˆY (porque e uma cobertura, e a intersecaode dois elementos de B e ainda um elemento de B), dita topologia produto. O espaco XˆY , munidodesta topologia, e dito produto topologico dos espacos X e Y .

Se pX, dXq e pY, dY q sao espacos metricos munidos da topologia induzida, entao a topologiaproducto em X ˆ Y e a topologia induzida pela metrica produto, por exemplo max tdX , dY u, emX ˆ Y .

De maneira analoga e possivel definir produtos topologicos de uma famılia finita de espacostopologicos.

Topologia produto. Sejam pXα, ταq espacos topologicos, com α P A (um conjunto nao neces-sariamente finito nem enumeravel), e

X “ź

αPAXα :“

#

x : AÑď

αPAXα t.q. xα P Xα para todos α P A

+


o produto cartesiano dos Xα (onde utilizamos a notacao xpαq “ xα para a “coordenada” α-esimado ponto x). Um cilindro aberto de X e um conjunto C formado da seguinte maneira: existem umconjunto finito de ındices α1, α2, ..., αn P A e uns abertos Cαi Ă Xαi para i “ 1, 2, ..., n tais que

C “ tx “ pxαqαPA P X tais que xαi P Cαi para todo i “ 1, 2, ..., nu

A famılia C formada pelos cilindros abertos de X satisfaz as condicoes do teorema 2.1, portanto ebase de uma topologia em X, dita topologia produto.

ex A topologia produto em Rn, onde cada copia de R e munida da topologia euclidiana, e atopologia euclidiana (observe que, tratando-se de um produto finito, e sendo os cilindros abertosprodutos de abertos dos factores, a famılia dos cilindros abertos contem as bolas abertas do espacoRn munido da metrica d8).

Vizinhancas. Sejam pX, τq um espaco topologico e x P X. Uma vizinhanca de x e umsubconjunto N Ă X tal que existe um aberto A que contem o ponto x e que esta contido em N ,i.e. x P A Ă N .

Evidentemente, todo aberto que contem x e uma vizinhanca de x.

ex Seja x um ponto de um espaco topologico X. Se A e B sao vizinhancas de x, entao AXB euma vizinhanca de x. Se A e uma vizinhanca de x e A Ă B, entao B e uma vizinhanca de x.

Teorema 2.2 (abertos e vizinhancas). Um subconjunto A de um espaco topologico e aberto sse euma vizinhanca de todos os seus pontos.

Demonstracao. ñ Trivial.ð Para todo x P A, sendo A uma vizinhanca de x, existe um aberto Ax tal que x P Ax Ă A.

Isto implica que A “ YxPAAx, e portanto e aberto.

Base local. Sejam pX, τq um espaco topologico e x P X. Uma base local, ou sistema fundamentalde vizinhancas, em x e uma famılia Bx de vizinhancas de x tal que todo aberto A que contem xtambem contem um elemento de Bx.

eg Espacos metrizaveis admitem bases locais enumeraveis. Sejam X um espaco metricoe x P X. A famılia tBrpxq com r ą 0u e uma base local em x do espaco metrico X. As famıliastBrpxq com r P Q`u e

B1{npxq com n P N(

sao bases locais, enumeraveis, em x do espaco metricoX. Portanto, todo espaco metrizavel admite uma base local enumeravel em todos os seus pontos(satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade).

Sucessoes. Seja pX, τq um espaco topologico. Uma sucessao em X e uma aplicacao f : NÑX.E costume designar por xn o valor da sucessao no ponto n P N, e por pxnq a sucessao. O conjuntotxnunPN Ă X e a imagem da sucessao.

A sucessao pxnq e convergente para o ponto x P X se para toda vizinhanca V de x existe umnatural n tal que xn P V se n ą n. Se isto acontecer, diz-se que x e um limite da sucessao, eescreve-se

limnÑ8

xn “ x ou xn Ñ x

Uma subsucessao de f : NÑX e uma aplicacao da forma f ˝ k, onde k : NÑ N e uma funcaoestritamente crescente. Se pxnq denota a sucessao f e kn o valor de k em n, entao pxknq denota asubsucessao f ˝k. Em particular, a imagem txknunPN da subsucessao e um subconjunto de txnunPN.

eg Se X e um espaco topologico trivial (e portanto a unica vizinhanca de um ponto x e X)entao toda sucessao converge para todo ponto x de X. Isto mostra que, num espaco topologicoarbitrario, o limite de uma sucessao pode nao ser unico.

3 NOCOES TOPOLOGICAS 12

Limites em espacos metricos e metrizaveis. Sejam pX, dq um espaco metrico e pxnq umasucessao em X. A sucessao e covergente para x P X sse para todo ε ą 0 existe um natural n talque dpxn, xq ă ε se n ą n. A sucessao e covergente para x P X sse para todo k P N existe umnatural n tal que dpxn, xq ă 1{k se n ą n.

Se X e um espaco topologico metrizavel e pxnq e uma sucessao convergente, entao o limite eunico (porque pontos distintos de um espaco metrico admitem vizinhancas disjuntas).

3 Nocoes topologicas

Interior, exterior e fronteira. Sejam X um espaco topologico e S um subconjunto de X.Um ponto x P X e interior a S se existe uma vizinhanca N de x tal que N Ă S. O interior de

S e o conjunto rmintpSq dos pontos interiores a S.Um ponto x P X e exterior a S se existe uma vizinhanca N de x tal que N Ă XzS, ou seja se

e interior ao complementar de S. O exterior de S e o conjunto extpSq dos pontos exteriores a S.A fronteira de S e o conjuntos frpSq (ou BS) dos pontos que nao sao nem interiores nem

exteriores a S, ou seja o conjunto dos pontos x P X tais que toda vizinhanca N de x intersectaquer S quer XzS.

Sendo estas tres condicoes mutuamente exclusivas, temos que X e a reuniao disjunta

X “ intpSq Y extpSq Y frpSq

Das definicoes segue que

intpSq Ă S extpSq “ intpXzSq extpSq X S “ H frpSq “ frpXzSq

Teorema 3.1 (o interior de S e o “maior” aberto contido em S). Seja S um subconjunto do espacotopologico X. Entao intpSq e a reuniao dos abertos contidos em S.

Demonstracao. Seja A um aberto contido em S. Se x P A entao x P intpSq, porque A e umavizinhanca de x. Isto prova que todo aberto contido em S esta contido em intpSq.

Para todo x P intpSq existe uma vizinhanca Nx de x tal que x P Nx Ă S, e portanto existeum aberto Ax tal que x P Ax Ă S. Pela observacao acima Ax Ă intpSq, e portanto intpSq “Ť

xPintpSqAx e um aberto, por ser uma reuniao de abertos.

Teorema 3.2 (caracterizacao dos abertos). Seja S um subconjunto do espaco topologico X. Asseguintes propriedades sao equivalentes:

a) S e abertob) S “ intpSqc) S X frpSq “ H

Demonstracao. añb Se A e aberto, contem todos os abertos contidos em A, e portanto A “ intpSq.bñc Se S “ intpSq entao S X frpSq “ H, porque a fronteira de S e disjunta do interior de S.cña Se S X frpSq “ H entao todo ponto x P S tem uma vizinhanca N tal que N Ă S, e

portanto S e aberto.

Subconjuntos fechados. Um subconjunto S do espaco topologico X e fechado se o seucomplementar XzS e aberto.

A famılia dos subconjuntos fechados de um espaco topologico satisfaz propriedades duais aosaxiomas de uma topologia, ou seja

i) H e X sao fechados,ii) toda intersecao de fechados e um fechado,iii) a reuniao de dois fechados e um fechado.

Definir uma topologia, ou seja a famılia dos subconjuntos abertos, em X e equivalente a definira famılia dos subconjuntos fechados, i.e. uma famılia de subconjuntos de X que satisfaz as trespropriedades acima.


Teorema 3.3 (caracterizacao dos fechados). Seja S um subconjunto do espaco topologico X. Asseguintes propriedades sao equivalentes:

a) S e fechadob) S “ intpSq Y frpSqc) frpSq Ă S.

Demonstracao. E a proposicao 3.2 para o conjunto XzS.

Aderencia. Seja S subconjunto do espaco topologico X . O fecho S, ou aderencia, de S e aintersecao dos subconjuntos fechados de X que contem S, i.e. o “menor” conjunto fechado quecontem S. Em particular, S Ă S. Sendo extpSq a reuniao dos abertos contidos em XzS, e imediatover que

S “ XzextpSq “ intpSq Y frpSq

e portanto S e fechado sse S “ S.Os pontos de S sao ditos pontos de aderencia de S. Do facto de ser S “ XzextpSq segue que

x P X e um ponto de aderencia de S sse N X S ‰ H para toda vizinhanca N de x.

Teorema 3.4 (pontos de aderencia em espacos metrizaveis). Seja S um subconjunto do espacometrizavel X. Entao x P S sse existe uma sucessao pxnq de elementos de S que converge para x.

Demonstracao. ð Seja pxnq uma sucessao de elementos de S que converge para x. Para todavizinhanca N de x existe um elemento xn da sucessao tal que xn P N , e portanto N XS ‰ H (estaparte da prova nao depende do facto de X ser metrizavel).ñ Sejam d uma metrica que induz a topologia em X, e x P S. As bolas abertas centradas em

x sao vizinhancas de x, portanto para todo n P N existe um ponto xn P S tal que xn P B1{npxq.Isto implica que a sucessao pxnq converge para x, porque a famılia das bolas abertas de centro x eraios 1{n com n natural e uma base local da topologia em x.

ex Sejam S e T subconjuntos do espaco topologico X. Entao

intpSq X intpT q “ intpS X T q intpSq Y intpT q Ă intpS Y T q frpS Y T q Ă frpSq Y frpT q

S Y T “ S Y T S X T Ă S X T

De exemplos tais que as inclusoes acima sao estrictas.

ex Sejam S e T subconjuntos do espaco topologico X tais que S Ă T . Entao S Ă T . De umexemplo tal que frpSq nao esteja contido em frpT q.

ex A fronteira de um subconjunto arbitrario de um espaco topologico e um conjunto fechado.

ex A fronteira de um subconjunto aberto ou fechado de um espaco topologico tem interior vazio.

ex Se pX, dq e um espaco metrico e S Ă X, entao S “ tx P X t.q. dpx, Sq “ 0u.

ex Seja X um espaco topologico discreto. Todo subconjunto S Ă X tem fronteira vazia.

ex Se pX, dq e um espaco metrico, x P X e r ą 0, a bola fechadaBr rxs “ tx1 P X t.q. dpx, x1q ď ru

e um conjunto fechado.

ex De um exemplo de um espaco metrico pX, dq tal que o fecho da bola aberta Brpxq nao e abola fechada Br rxs “ tx

1 P X t.q. dpx, x1q ď ru.


ex De um exemplo de uma famılia de subconjuntos fechados de um espaco topologico tal que areuniao deles nao e um conjunto fechado.

ex Seja R munido da topologia cofinita. Prove que os subconjuntos fechados sao os conjuntosfinitos e R. Prove que, se S “ sa, br com a, b P R e a ă b, entao intpSq “ H, S “ R e frpSq “ R.

Pontos limites e pontos isolados. Seja S um subconjunto do espaco topologico X . Um pontox P X e ponto de acumulacao, ou ponto limite, de S se toda vizinhanca N de x contem pelo menosum ponto de S diferente de x, i.e. se

pNz txuq X S ‰ H para toda vizinhanca N de x

O conjunto derivado de S e o conjunto S1 dos pontos de acumulacao de S. Um conjunto S e ditoperfeito se S “ S1, i.e. se todo seu ponto e um ponto de acumulacao.

Teorema 3.5. Seja S um subconjunto do espaco topologico X. Entao S “ S Y S1.

Demonstracao. Da definicao conclui-se que S1 X extpSq “ H, logo S Y S1 Ă S. Por outro lado, sex P S e x R S, entao x P frpSq, e portanto toda vizinhanca N de x tem intersecao nao vazia comSz txu. Logo S Ă S Y S1.

Seja S um subconjunto do espaco topologico X . Um ponto x P S e dito ponto isolado de S sex R S1, i.e. se existe uma vizinhanca N de x tal que N X S “ txu. O conjunto S e dito discreto setodo seu ponto e um ponto isolado.

Da proposicao 3.5 segue que o fecho de um subconjunto S do espaco topologico X e a reuniaodisjunta do conjunto dos pontos isolados de S e do conjunto dos pontos de acumulacao de S.

ex Discreto em Rn ñ enumeravel. Seja S um subconjuntos discreto do espaco Rn euclidiano.Entao S e enumeravel (lembre-se que a topologia euclidiana de Rn admite uma base enumeravel).

ex Finito em espaco metrizavelñ discreto. Um subconjunto finito de um espaco metrizavele discreto.

ex Determine Q1 em R.

Teorema 3.6 (pontos limites em espacos metrizaveis). Seja S um subconjunto do espaco metrizavelX. Entao x P S1 sse existe uma sucessao pxnq de elementos de Sz txu que converge para x. Emparticular, se x P S1 entao toda vizinhanca de x contem infinitos pontos de S.

Demonstracao. Seja d uma metrica que induz a topologia em X. Sejam x P S1 e B1 “ B1pxq.Sendo B1 uma vizinhanca de x, existe um ponto x1 P pB1z txuqXS. Dados Bn e xn P pBnz txuqXS,sejam Bn`1 “ Bdpx,xnq{2pxq e xn`1 um ponto da intersecao pBn`1z txuq X S. E imediato verificarque os pontos xn sao distintos, a sucessao pxnq e convergente e limnÑ8 xn “ x.

ex Seja pxnq uma sucessao de pontos de X, e S “ txnunPN a sua imagem. Se x P S1 entao pxnqadmite uma subsucessao convergente para x.


eg Conjunto de Cantor. Seja ϕ : t0, 1, 2uNÑ r0, 1s a aplicacao sobrejetiva definida por

pxnq ÞÑ8ÿ

n“1

xn3n

(a representacao em base 3 dos reais entre 0 e 1). O conjunto de Cantor standard (o “middle-thirdCantor set”) e

K :“ ϕ´

t0, 2uN¯

“

#

8ÿ

n“1

xn3n

com xn P t0, 2u

+

i.e. o conjuntos dos reais entre 0 e 1 cujas representacoes em base 3 nao contem a letra “1”. E

imediato verificar que ϕˇ

ˇ

ˇt0,2uN e uma bijeccao de t0, 2uN

sobre K.

Outra definicao e K “ r0, 1s zY8k“1Ik , onde os intervalos abertos Ik sao definidos iterativamenteda seguinte maneira: I1 e o terco central s1{3, 2{3r de r0, 1s, I2 e I3 sao os tercos centrais dosintervalos de r0, 1s zI1, a saber s1{9, 2{9r e s7{9, 8{9r, . . . etc.

Mais uma definicao do conjunto de Cantor e K “Ş8

n“1Kn, onde a famılia decrescente dosfechados ¨ ¨ ¨ Ă Kn`1 Ă Kn Ă . . . e definida por

Kn “ r0, 1s z1`2`22`...`2n´1

ď

k“1

Ik .

Os fechados Kn sao formados por 2n intervalos fechados e disjuntos, cada um de diametro 3´n.Em particular, o comprimento de Kn e |Kn| “ p2{3qn, e converge para zero no limite quandonÑ8. Ou seja, K e um conjunto de medida (de Lebesgue) nula! .

O conjunto de Cantor e fechado em r0, 1s, sendo uma intersecao de conjuntos fechados.O conjunto de Cantor tem interior vazio, porque nenhum intervalo aberto de diametro ε ą 0

esta contido em Kn se 3´n ă ε.O conjunto de Cantor e perfeito. De facto, se x “

ř8

n“1xn3n P K, entao a sucessao

`

xpkq˘

depontos de K definida por

xpkq “k´1ÿ

n“1

xn3n`xk ` 2 pmod 4q

3k`

8ÿ

n“k`1

xn3n

converge para x, sendoˇ

ˇx´ xpkqˇ

ˇ “ 2{3k.

A aplicacao ψ : t0, 1uNÑ r0, 1s, definida por

pynq ÞÑ8ÿ

n“1

yn2n

e sobrejetiva (e a representacao binaria dos numeros reais entre 0 e 1). Por outro lado, a aplicacao

φ : t0, 2uNÑ t0, 1u

N, definida por pxnq ÞÑ pxn{2q, e bijetiva, e portanto ψ ˝ φ ˝ ϕ´1 : K Ñ r0, 1s e

sobrejetiva. Isto mostra que o conjunto de Cantor tem a cardinalidade da recta real, em particularnao e enumeravel.

Subconjuntos densos. Seja S um subconjunto do espaco topologico X . O conjunto S e densoem X se S “ X.

Teorema 3.7 (caracterizacao dos subconjuntos densos). Seja S um subconjunto do espaco to-pologico X. As seguintes propriedades sao equivalentes:

a) S e denso em Xb) intpXzSq “ Hc) todo aberto nao vazio de X tem intersecao nao vazia com Sd) existe uma base B da topologia de X tal que todo elemento nao vazio de B tem intersecao

nao vazia com S.

4 APLICACOES CONTINUAS 16

Demonstracao. añb Se X “ S “ intpSqY frpSq entao intpXzSq “ extpSq “ H.bñc Seja A um aberto nao vazio de X tal que A X S ‰ H. Entao A Ă XzS, e portanto

intpXzSq nao e vazio, porque contem A.cñd A topologia τ e uma base da topologia τ .dña Seja x P XzS. Para toda vizinhanca N de x existe um elemento B da base B tal que

x P B Ă N . A condicao B X S ‰ H e o facto de ser x P XzS implicam que pNz txuq X S ‰ H, ouseja que x P S1. Isto mostra que X “ S Y S1 “ S.

eg O conjunto Q e denso em R. O conjunto Qn e denso em Rn. Portanto, os espacos euclidianosRn admitem subconjuntos densos enumeraveis (sao ditos espacos separaveis).

ex Seja S um subconjunto denso no espaco topologico X, e A um aberto de X. Entao

A Ă S XA

ex Caracterizacao dos abertos da recta real. Todo aberto da recta real e uma reuniaoenumeravel de intervalos abertos.

(Seja A um aberto de R. Para x P A, seja Ax a reuniao de todos os intervalos abertos B taisque x P B Ă A. Prove que Ax e um intervalo aberto. Prove que se x, x1 P A entao ou Ax “ Ax1 ouAx X Ax1 “ H. Prove que a funcao f : QÑtAx com x P Au, definida por fprq “ Ax se r P Ax, esobrejectiva, e deduza que A e uma reuniao enumeravel de intervalos abertos).

ex Determine interior, exterior, aderencia, fronteira e derivado dos seguintes subconjuntos darecta real:

r´1, 0r Y s0, 1r r0, 1r Q Z RzQ"

n

n` 1com n P N

*

ex De exemplos, se existirem, de subconjuntos S Ă R tais que

frpSq “ H intpSq “ H RzS “ R S1 “ H S1 e abertoS “ frpSq S “ S1 S1 X S “ H S “ intpSq frpSq ‰ frpfrpSqq

4 Aplicacoes contınuas

Aplicacoes contınuas. Sejam X e Y dois espacos topologicos. A aplicacao f : X Ñ Y econtınua em x P X se para toda vizinhanca N de fpxq P Y existe uma vizinhanca M de x P Xtal que fpMq Ă N .

A aplicacao f : X Ñ Y e contınua se e contınua em todos os pontos de X.

ex Seja S um subconjunto do espaco topologico X, e 1S : X Ñ R a funcao caracterıstica de S,definida por 1Spxq “ 1 se x P S e 1Spxq “ 0 se x R S. Prove que 1S e contınua em x P X ssex R frpSq.

ex Seja f : X Ñ Y uma aplicacao contınua entre os espacos metricos X e Y . Se pxnq e umasucessao convergente em X, entao pfpxnqq e uma sucessao convergente em Y e

limnÑ8

fpxnq “ f´

limnÑ8

xn

¯

Teorema 4.1 (f contınua ô f´1(aberto) = aberto). Sejam X e Y dois espacos topologicos, ef : X Ñ Y uma aplicacao. As propriedades seguintes sao equivalentes:

a) f e contınua,b) f´1pAq e aberto em X para todo A aberto em Y ,c) f´1pF q e fechado em X para todo F fechado em Y .


Demonstracao. añb Sejam A um subconjunto aberto e nao vazio de Y , e x P f´1pAq. Sendoaberto, A e uma vizinhanca de fpxq. Pela continuidade de f em x, existe uma vizinhanca M de xtal que f pMq Ă A. Portanto, M esta contido em f´1pAq. Isto prova que f´1pAq e aberto em X.

bña Sejam x P X e N uma vizinhanca de fpxq. N contem um aberto A tal que x P A Ă

N . Se a imagem inversa f´1 pAq e aberta em X, entao f´1 pAq e uma vizinhanca de x tal quef`

f´1 pAq˘

Ă A Ă N . Isto prova que f e contınua em x.A equivalencia entre b) e c) e evidente.

ex Sejam τ e τ 1 topologias em X, com τ Ă τ 1. Entao a funcao identidade id : X Ñ X e umaaplicacao contınua de pX, τ 1q sobre pX, τq, mas a inversa pode nao ser contınua.

Teorema 4.2 (contınua ˝ contınua = contınua). Sejam X, Y e Z espacos topologicos, f : X Ñ Ye g : Y Ñ Z duas aplicacoes. Se f e contınua em x P X e g e contınua em fpxq P Y , entao g ˝ fe contınua em x P X. Se f e g sao contınuas, entao g ˝ f e contınua.

Demonstracao. Exercıcio.

Topologia induzida por uma aplicacao. Sejam pX, τq um espaco topologico, Y um conjuntonao vazio e f : Y Ñ X uma aplicacao. A famılia

f´1pτq “

f´1pAq com A P τ(

e uma topologia em Y , dita topologia induzida pela aplicacao f . E a menos fina das topologiasem X tais que f : Y Ñ X e contınua.

Topologia quociente. Sejam pX, τq um espaco topologico e „ uma relacao de equivalencia

definida em X. Existe uma projecao natural π : X Ñ rX do conjunto X sobre o conjunto dasclasses de equivalencia rX “ X{ „, definida por x ÞÑ rxs ““a classe de x”. A famılia

πpτq “!

A Ă rX tais que π´1pAq P τ)

e uma topologia em rX , dita topologia quociente. E a mais fina das topologias em rX tais que aprojecao π : X Ñ rX e contınua.

eg Espacos projetivos reais. O espaco projetivo real RPn “ P`

Rn`1˘

e o espaco dos su-bespacos vectoriais de dimensao um (as rectas que passam pela origem) de Rn`1. Toda rectade Rn`1que passa pela origem intersecta a esfera unitaria Sn “

x P Rn`1 t.q. |x| “ 1(

em doispontos antipodais. Portanto, RPn e o quociente da esfera Sn pela relacao de equivalencia x „ ´x.A topologia natural no espaco projetivo RPn e a topologia quociente, induzida pela projecaoπ : Sn Ñ RPn, definida por x ÞÑ“a recta de Rn`1 passante por x e 0”.

Topologia relativa e continuidade. Sejam X e Y dois espacos topologicos e f : X Ñ Y umaaplicacao contınua. Se Z Ă X e munido da topologia relativa, entao a aplicacao f |Z : Z Ñ Y e uma

aplicacao contınua. Se fpXq Ă Y e munido da topologia relativa, entao a aplicacao rf : X Ñ fpXq,

definida por rfpxq “ fpxq, e tambem uma aplicacao contınua.

eg Projecoes em Rn. As projecoes πi : RnÑ R, definidas por πippx1, x2, ..., xnqq “ xi, saoaplicacoes contınuas, pois sao lineares.

Uma aplicacao f : Rn Ñ Rm e contınua sse as “componentes” πi ˝ f sao contınuas para todosi “ 1, 2, ...,m.

ex Prove que a aplicacao ϕ : RÑ R2, definida por t ÞÑ pt2, t3q, e contınua e que a sua imagemϕpRq e fechada em R2.


ex Sejam f, g : X Ñ R funcoes contınuas definidas no espaco topologico X. Prove que saocontınuas as seguintes funcoes

|f | : X Ñ R, definida por x ÞÑ |fpxq|λf : X Ñ R, definida por x ÞÑ λ ¨ fpxq com λ P Rf ` g : X Ñ R, definida por x ÞÑ fpxq ` gpxqfg : X Ñ R, definida por x ÞÑ fpxq ¨ gpxq1{f : Xzf´1 t0u Ñ R, definida por x ÞÑ 1{fpxq

ex Sejam f, g : X Ñ Rn funcoes contınuas definidas no espaco topologico X. Prove que saocontınuas as seguintes funcoes

|f | : X Ñ R, definida por x ÞÑ |fpxq|λf : X Ñ Rn, definida por x ÞÑ λ ¨ fpxq com λ P Rf ` g : X Ñ Rn, definida por x ÞÑ fpxq ` gpxq

ex SejaMnpRq o conjunto das matrizes nˆn com entradas reais, identificado ao espaco euclidiano

Rn2

por meio da bijecao

MnpRq Q A “ paijq ÞÑ pa11, a12, ..., a1n, a21, ..., a2n, ..., annq P Rn2

Prove que a aplicacao det : MnpRq Ñ R, definida por A ÞÑ detpAq, e contınua. Deduza que oconjunto GLnpRq das matrizes nˆ n invertıveis e um aberto em MnpRq.

eg Conjuntos de nıvel. Sejam f : X Ñ R uma aplicacao contınua e a P R. Entaotx P X t.q. fpxq ă au e aberto em X, pois e a imagem inversa do aberto sa,8r da recta real,e tx P X t.q. fpxq ď au e fechado em X, pois e a imagem inversa do fechado ra,8r da recta real.O conjunto de nıvel f´1 tau “ tx P X t.q. fpxq “ au e fechado em X, pois e a imagem inversa dofechado tau da recta real.

Em geral, se f : X Ñ Y e contınua, e se os pontos de Y sao fechados em Y , os conjuntos denıvel f´1 tyu sao fechados em X para todo y P Y .

eg Subespacos afins. Seja L : RnÑ R uma aplicacao linear diferente da aplicacao nula. Osconjuntos de nıvel L´1 tau, com a P R, sao hiperplanos afins de Rn. Dois hiperplanos L´1 tau eL´1 tbu definidos pela mesma aplicacao linear sao paralelos.

Em geral, se L : Rn Ñ Rm e uma aplicacao linear e a P Rm, o conjunto de nıvel L´1 tau eum subespaco afim se Rn, o conjunto das solucoes da equacao linear Lpxq “ a. O conjunto denıvel L´1 t0u “ kerpLq e um subespaco vectorial de Rn, o conjunto das solucoes da equacao linearhomogenea Lpxq “ 0. Portanto,

L´1 tau “ L´1 t0u ` a “

x` a com x P L´1 t0u(

Os subespacos afins de Rn sao subconjuntos fechados de Rn.

eg Graficos. Seja f : X Ñ Y uma aplicacao contınua entre os espacos metricos X e Y , e sejaX ˆ Y munido da metrica produto max tdX , dY u. O grafico de f , definido por

graphpfq “ tpx, fpxqq P X ˆ Y com x P Xu

e fechado em X ˆ Y , pois e igual ao conjunto ϕ´1 t0u, onde ϕ : X ˆ Y Ñ R e a funcao contınuadefinida por px, yq ÞÑ dY pfpxq, yq.

Aplicacoes abertas. Sejam X e Y dois espacos topologicos. Uma aplicacao f : X Ñ Y e ditaaberta se fpAq e aberto em Y para todo A aberto em X.

As projecoes πi : RnÑ R sao abertas.A funcao x ÞÑ x2 definida na recta real nao e aberta, mesmo sendo contınua, pois fpRq “ r0,8r.


Aplicacoes fechadas. Sejam X e Y dois espacos topologicos. Uma aplicacao f : X Ñ Y edita fechada se fpF q e fechado em Y para todo F fechado em X.

As inclusoes i : Rn Ñ Rm, definidas por ippx1, x2, ..., xnqq “ px1, x2, ..., xn, 0, 0, ..., 0q paran ď m, sao aplicacoes fechadas.

As projecoes πi : RnÑ R nao sao fechadas, desde que n ą 1. Por exemplo, o conjunto G “

graph parctanxq, onde arctan : RÑ R, e fechado em R2, mas π2pGq “ s´π{2, π{2r nao e fechadona recta real.

ex A composicao de duas funcoes abertas e aberta. A composicao de duas funcoes fechadas efechada.

Continuidade uniforme. Sejam pX, dXq e pY, dY q dois espacos metricos. A aplicacao f :X Ñ Y e uniformemente contınua se para todo ε ą 0 existe δ ą 0 tal que dY pfpxq, fpx

1qq ă ε sedXpx, x

1q ă δ.Uma aplicacao uniformemente contınua e contınua.

ex Lipschitz ñ uniformemente contınua. Uma aplicacao lipschitziana e uniformementecontınua.

ex A funcao x ÞÑ?x, definida em R`, e uniformemente contınua mas nao e lipschitziana.

ex A funcao x ÞÑ x2 e uniformemente contınua em todos os intervalos limitados ra, bs da rectareal, mas nao e uniformemente contınua na recta R.

ex A funcao x ÞÑ 1{x, definida em Rzt0u, e contınua mas nao e uniformemente contınua.

Homeomorfismos. Sejam X e Y dois espacos topologicos. A aplicacao f : X Ñ Y e umhomeomorfismo, ou uma equivalencia topologica, se e contınua, bijetiva, e se a inversa f´1 : Y Ñ Xe contınua.

Os espacos topologicos X e Y sao ditos homeomorfos, ou topologicamente equivalentes, se existeum homeomorfismo f : X Ñ Y . E imediato ver que:

a identidade id : X Ñ X e um homeomorfismo,se f : X Ñ Y e um homeomorfismo entao f´1 : Y Ñ X tambem e um homeomorfismo,se f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z sao homeomorfismos, entao g ˝ f : X Ñ Z e um homeomorfismo.

Portanto, a equivalencia topologica e uma relacao de equivalencia entre espacos topologicos. Umanotacao para indicar que os espacos X e Y sao homeomorfos e X « Y . As propriedades comunsas classes de espacos homeomorfos sao ditas propriedades topologicas.

Por exemplo, ser um espaco discreto, ser um espaco trivial, ter um subconjunto denso enu-meravel, admitir uma base enumeravel, sao propriedades topologicas.

eg Projecoes. Seja X ˆ Y o produto topologico dos espacos topologicos X e Y . A projecao

πX : X ˆ Y Ñ X

definida por px, yq ÞÑ x, e uma aplicacao contınua, aberta e sobrejetiva. Em particular, se y P Y ,a aplicacao

πXˇ

ˇ

Xˆtyu : X ˆ tyu Ñ X

e um homeomorfismo.

eg Graficos. Seja f : X Ñ Y uma aplicacao contınua entre os espacos topologicos X e Y .A aplicacao x ÞÑ px, fpxqq e um homeomorfismo de X sobre graphpfq, cuja inversa e a restricaoπX

ˇ

ˇ

graphpfq da projecao πX : X ˆ Y Ñ X. Portanto, o grafico de uma aplicacao contınua ehomeomorfo ao domınio.


eg Grupos de homeomorfismos. Seja X um espaco topologico. O conjunto HompXq doshomeomorfismos g : X Ñ X e um grupo, dito grupo dos homeomorfismos de X, com respeito alei de composicao.

eg Homeomorfismos de Rn. Os grupos AffpRnq e IsompRnq sao subgrupos de HompRnq. Emparticular, o espaco euclidiano Rn e um espaco topologico homogeneo: dados dois pontos arbitrariosx e x1 existe um homeomorfısmo g P HompRnq tal que gpxq “ x1.

eg Projecao estereografica. Sejam Sn “

x P Rn`1 t.q. |x| “ 1(

a esfera unitaria de Rn`1 ep “ p0, .., 0, 1q P Sn o seu “polo norte”. Dado x P Snz tpu, a recta que passa por x e p intersecta ohiperplano txn`1 “ 0u « Rn num unico ponto

πppxq :“ px` Rpp´ xqq X txn`1 “ 0u .

A projecao estereografica πp : Snz tpu Ñ Rn, definida por x ÞÑ πppxq, e um homeomorfismo. Emgeral, se x P Sn, o espaco Snz txu e homeomorfo a Rn.

ex Uma aplicacao f : X Ñ Y contınua e bijetiva e um homeomorfismo sse e aberta ou fechada.

ex Determine um homeomorfismo entre as bolas Brpxq e Br1px1q do espaco euclidiano Rn (por

exemplo uma transformacao afim).

ex Determine um homeomorfismo entre a recta real e o intervalo s0, 1r.

ex Prove que a aplicacao x ÞÑ x{ |x|2

e um homeomorfismo de Rnz t0u.

ex Prove que a aplicacao

x ÞÑx

b

1` |x|2

define um homeomorfismo de Rn sobre Dn “ tx P Rn t.q. |x| ă 1u.

ex Determine uns homeomorfismos entre as “esferas”

Sn´12 :“ tx P Rn t.q. |x|2 “ 1u , Sn´1

1 :“ tx P Rn t.q. |x|1 “ 1u e Sn´18 :“ tx P Rn t.q. |x|8 “ 1u

ex Determine um homeomorfismo entre R2z t0u e o cilindro C “

x P R3 t.q. x21 ` x22 “ 1

(

.Deduza que, se x e x1 sao dois pontos distintos da esfera S2, entao S2z tx, x1u e homeomorfo aocilindro C.

ex Diga se os seguintes subconjuntos de Rn sao fechados, abertos, e determine as suas fronteiras:

Sn´1 “ tx P Rn t.q. |x|2 “ 1uDn “ tx P Rn t.q. |x|2 ă 1uHn “ tx “ px1, x2, ..., xnq P Rn t.q. xn ą 0u

px, yq P R2 t.q. x´ y2 ą 0(

px, yq P R2 t.q. x2 ´ y2 “ 1(

px, yq P R2 t.q. xy ă 0(

px, y, zq P R3 t.q. z ´ x2 ´ y2 “ 0(

5 ESPACOS COMPACTOS 21

5 Espacos compactos

Espacos compactos. Sejam X um espaco topologico e S um subconjunto de X. Uma coberturaaberta de S e uma famılia tAαuαPA de abertos deX tal queYαPAAα Ą S. Uma subfamılia tAβuβPB,

com B Ă A, de tAαuαPA e dita subcobertura se e ainda e uma cobertura de S.O espaco topologico X e compacto se toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura

finita, i.e. composta por um numero finito de elementos.Um subconjunto S do espaco topologico X e compacto se toda cobertura aberta de S admite

uma subcobertura finita, ou seja se, munido da topologia relativa, e um espaco topologico compacto.

ex Um espaco topologico trivial e compacto.

ex Um espaco topologico discreto e compacto sse e finito.

ex A recta real R nao e compacta. Por exemplo, a cobertura aberta ts´n, nr com n P Nu naoadmite subcoberturas finitas.

ex A bola abertaBrpxq Ă Rn nao e compacta. Por exemplo, a cobertura aberta tBr1pxq com r1 ă runao admite subcoberturas finitas.

ex Prove que o subconjunto S “ r0, 1s X Q da recta real nao e compacto (se N Qn ÞÑ rn P S euma enumeracao dos pontos de S, considere a cobertura aberta tBnunPN onde Bn “ Bεn{2prnq eos numeros positivos εn satisfazem

ř

ně1 εn ă 1 ...).

ex Seja X um espaco topologico e B uma base da topologia. Prove que X e compacto sse todacobertura aberta de X composta por elementos da base admite uma subcobertura finita

eg Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Um intervalo fechado e limitado ra, bs da recta reale compacto.

De facto, seja tAαu uma cobertura de ra, bs composta por abertos da recta real, e

X “ tx P ra, bs t.q. ra, xs e coberto por um numero finito dos Aαu

Nao e difıcil ver que: X nao e vazio, e um intervalo, e aberto e e fechado em ra, bs. Mas o unicosubconjunto nao vazio, aberto e fechado de ra, bs e o proprio intervalo ra, bs.

Teorema 5.1 (fechado Ă compacto ñ compacto). Um subconjunto fechado de um espaco to-pologico compacto e compacto.

Demonstracao. Sejam X um espaco topologico compacto e F um subconjunto fechado de X. SejatAαuαPA uma cobertura aberta de F . A famılia tAαuαPA Y tXzF u e uma cobertura aberta deX, e portanto admite uma subcobertura finita tAαiui“1,...,n Y tXzF u. Entao tAαiui“1,...,n e umasubcobertura finita de F .

Teorema 5.2 (compacto Ă metrizavel ñ fechado). Um subconjunto compacto de um espacometrizavel e fechado.

Demonstracao. Sejam pX, dq um espaco metrico, K Ă X um subconjunto compacto e x1 PXzK . Para todo x P K existem abertos disjuntos Ax e Bx tais que x P Ax e x1 P Bx.A famılia tAx com x P Ku e uma cobertura aberta de K, logo admite uma subcobertura finitatAx1 , Ax2 , ..., Axnu. Isto implica que o aberto B “ Bx1 X Bx2 X ... X Bxn e uma vizinhanca de x1

tal que B Ă XzK, e portanto x1 P extpKq. Isto mostra que XzK e aberto.


eg Teorema de Heine-Borel-Lebesgue. Um subconjunto da recta real e compacto sse efechado e limitado.

De facto, seja K Ă R compacto. Entao K e fechado, por ser um subconjunto compacto de umespaco metrico. A famılia ts´n, nr com n P Nu e uma cobertura aberta de K, e toda reuniao deum numero finito dos seus elementos e um conjunto limitado.

Por outro lado, seja K Ă R fechado e limitado. Entao K esta contido num intervalo compactor´M,M s, e e fechado em r´M,M s. Mas um subconjunto fechado de um compacto e compacto.

ex . Compacto Ă metrico ñ.fechado e limitado) Um subconjunto compacto de um espacometrico e fechado e limitado.

ex Discreto e fechado Ă compacto ñ finito. Um subconjunto discreto e fechado de umespaco compacto e finito.

ex Compacto Y compacto “ compacto. A reuniao de dois subconjuntos compactos de umespaco topologico e compacta. De um exemplo de uma reuniao (infinita) de subconjuntos compac-tos de R que nao seja compacta.

ex X compactos “ compacto. Sejam Kα subconjuntos compactos do espaco metrizavel X.Prove que XαKα e compacto.

ex Conjunto de Cantor. O conjunto de Cantor K Ă r0, 1s e compacto. Se k P K, o espacoKz tku e compacto?

Teorema 5.3 (f contınua ñ f(compacto) “ compacto). A imagem de um espaco compacto poruma aplicacao contınua e compacta.

Demonstracao. Sejam f : X Ñ Y uma aplicacao contınua e tAαuαPA uma cobertura aberta defpXq Ă Y . Entao

f´1pAαq(

αPA e uma cobertura aberta de X. Se X e compacto, existe uma

subcobertura finita

f´1pAαiq(

i“1,...,nde X. Logo

fpXq “ f`

Yni“1f´1pAαiq

˘

Ă Yni“1Aαi

i.e. tAαiui“1,...,n e uma subcobertura finita de fpXq.

Em particular, “ser compacto” e uma propriedade topologica: se f : X Ñ Y e um homeomor-fismo e X e compacto entao Y e compacto.

eg A esfera S1 “

x “ px1, x2q P R2 t.q. |x| “ 1(

e compacta. De facto, e a imagem ϕ pr0, 2πsqdo intervalo compacto r0, 2πs pela funcao contınua ϕ : RÑ R2 definida por t ÞÑ pcos t, sin tq.

ex Seja f : X Ñ Y uma aplicacao contınua do espaco compacto X no espaco metrico Y . Proveque f e limitada, i.e. fpXq e um subconjunto limitado de Y .

ex Teorema de Weierstrass. Seja f : X Ñ R uma funcao contınua definida no espaco compactoX. Entao f e limitada e atinge seus valores maximos e mınimos em X.

ex Seja pX, dq um espaco metrico e K Ă X um subconjunto compacto. Mostre que existemx, x1 P K tais que dpx, x1q “ diampKq.

ex Sejam pX, dq um espaco metrico, K um subconjunto compacto de X e F um subconjuntofechado de X. Prove que

dpK,F q “ 0 sse K X F ‰ H

De um exemplo de dois subconjuntos fechados e disjuntos F e G de um espaco metrico, tais quedpF,Gq “ 0.


ex . Seja f : X Ñ Y uma aplicacao contınua do espaco compacto X no espaco metrizavel Y .Prove que f e uma aplicacao fechada.

ex Seja f : X Ñ Y uma aplicacao bijectiva e contınua do espaco compacto X no espacometrizavel Y . Prove que f e um homeomorfismo.

ex Uma aplicacao contınua f : X Ñ Y e dita propria se a imagem inversa f´1pKq de todocompacto K Ă Y e um subconjunto compacto de X. Prove que toda aplicacao contınua de umespaco compacto X num espaco metrizavel Y e propria.

Propriedade da intersecao finita. Uma famılia de subconjuntos de um conjunto nao vaziotem a propriedade da intersecao finita se toda subfamılia finita tem intersecao nao vazia.

Teorema 5.4. Um espaco topologico e compacto sse toda famılia de subconjuntos fechados com apropriedade da intersecao finita tem intersecao nao vazia.

Demonstracao. Uma famılia de subconjuntos abertos e uma cobertura aberta sse a famılia doscomplementares (que sao subconjuntos fechados) tem intersecao vazia.

Teorema 5.5 (compacto ˆ compacto “ compacto). O produto topologico de uma famılia finitade espacos compactos e compacto.

Demonstracao. (no caso do produto de dois espacos topologicos) Sejam X e Y espacos compactos,e seja tAα ˆBαuαPA uma cobertura aberta de X ˆ Y , onde os Aα sao abertos de X e os Bα saoabertos de Y . Dado x P X, o espaco txuˆY e homeomorfo a Y , portanto e compacto. Logo existeum subconjunto finito Ax Ă A tal que

txu ˆ Y Ă YαPAxAα ˆBα e x P Aα se α P Ax

Cada aberto Nx “ XαPAxAα e uma vizinhanca de x, logo tNx com x P Xu e uma cobertura abertade X. Sendo X compacto, existe um subconjunto finito tx1, x2, ..., xnu Ă X tal que X Ă Yni“1Nxi .Podemos escolher, para cada i “ 1, 2, ..., n, um elemento αi P Axi . Entao

X ˆ Y Ă Yni“1 YαPAxi Aαi ˆBα

Isto prova que a cobertura aberta tAα ˆBαuαPA admite uma subcobertura finita.

Teorema 5.6 (Heine-Borel-Lebesgue). Um subconjunto do espaco euclidiano Rn e compacto ssee fechado e limitado.

Demonstracao. ñ Um subconjunto compacto de um espaco metrico e fechado e limitado.ð Se K e um subconjunto limitado de Rn, entao K Ă In onde I “ r´R,Rs com R suficiente-

mente grande. Pelo teorema anterior In e compacto. Se K e fechado em Rn, e tambem fechadoem In, e portanto e compacto.

ex Diga se os seguintes subconjuntos de Rn sao compactos:

Sn´1 Dn Dn Dnz t0u

Sn´1z tp1, 0, ..., 0qu r0, 1sn RnzSn´1


Compacidade enumeravel e sequencial. O espaco topologico X e enumeravelmente com-pacto (ou satisfaz a propriedade de Bolzano-Weierstrass) se todo subconjunto infinito S de X temum ponto de acumulacao em X.

O espaco topologico X e sequencialmente compacto se toda sucessao em X admite uma subsu-cessao convergente.

ex Compacto ñ enumeravelmente compacto. Um espaco topologico compacto e enume-ravelmente compacto.

ex Sequencialmente compacto ñ enumeravelmente compacto. Um espaco topologicosequencialmente compacto e enumeravelmente compacto.

Coberturas e numero de Lebsegue. Seja tAαu uma cobertura do espaco metrico X. Umnumero λ ą 0 e dito numero de Lebesgue da cobertura tAαu se todo subconjunto S de X tal quediampSq ă λ esta contido num dos Aα da cobertura.

Teorema 5.7. Seja X um espaco metrico sequencialmente compacto. Entao toda cobertura abertade X possui um numero de Lebesgue.

Demonstracao. Seja tAαu uma cobertura aberta de X. Para todo x P X, seja εpxq ą 0 o supremodos r ą 0 tais que a bola aberta Brpxq esta contida num dos Aα. Seja ε “ infxPX εpxq. Se ε ą 0,entao λ “ ε{2 e um numero de Lebesgue da cobertura. Por absurdo, assumimos que ε “ 0. Entaoexiste uma sucessao px1nq tal que limnÑ8 εpx

1nq “ 0. Sendo X sequencialmente compacto, existe

uma subsucessao convergente pxnq tal que ainda limnÑ8 εpxnq “ 0. Seja x “ limnÑ8 xn. Existen P N tal que dpxn, xq ă εpxq{2 se n ą n. Isto implica que εpxnq ą εpxq{2 para todo n ą n (porque,se existe um elemento Aα da cobertura que contem Bεpxqpxq, ele tambem contem Bεpxq{2pxnq), oque contradiz o facto de ser limnÑ8 εpxnq “ 0.

Teorema 5.8 (caracterizacao dos espacos metrizaveis compactos). Seja X um espaco metrizavel.As seguintes propriedades sao equivalentes:

a) X e compacto,b) X e enumeravelmente compacto,c) X e sequencialmente compacto.

Demonstracao. (añb) Seja S um subconjunto infinito do espaco compacto X. Se S nao tempontos limites em X entao e fechado, e portanto e compacto. Por outro lado, a topologia relativaem S e a topologia discreta, portanto S e um espaco discreto infinito, logo nao e compacto.

(bñc) Seja pX, dq um espaco metrico enumeravelmente compacto. Seja pxnq uma sucessaoem X. Se a imagem txnunPN e finita, entao pxnq admite uma subsucessao constante, portantoconvergente. Se a imagem txnunPN nao e finita, entao admite um ponto de acumulacao x em X.Isto implica que, para todo k P N existe nk P N tal que nk`1 ą nk e dpxnk , xq ă 1{k. Portanto, asubsucessao pxnkq e convergente.

(cña) Seja pX, dq um espaco metrico. Se X nao e compacto, existe uma cobertura abertatAαu de X que nao admite subcoberturas finitas. Seja λ ą 0 um seu numero de Lebesgue, e seja0 ă ε ă λ{2. A famılia das bolas abertas tBεpxq com x P Xu e uma cobertura aberta de X tal quetodo Bεpxq esta contido num dos Aα, portanto ela tambem nao admite subcoberturas finitas. Istoimplica que e possıvel escolher uma sucessao pxnq de pontos de X tal que xn`1 P Xz pY

ni“1Bεpxiqq

para todo n P N. A sucessao pxnq nao admite subsucessoes convergentes, porque dpxn, xmq ą εpara todos n ‰ m. Portanto, X nao e sequencialmente compacto.

ex Teorema de Bolzano-Weierstrass. Todo subconjunto infinito e limitado de Rn tem umponto de acumulacao em Rn.

ex Teorema de Bolzano-Weierstrass. Toda sucessao limitada em Rn admite uma subsu-cessao convergente.

6 ESPACOS METRICOS COMPLETOS 25

ex Um subconjunto limitado S de Rn tal que S1 “ H e finito.

ex Sejam In “ ran, bns intervalos fechados da recta real tais que In`1 Ă In para todo n P N e

limnÑ8

|bn ´ an| “ 0

Prove que XnPNIn nao e vazia e e constituida por um unico ponto.

ex Seja pxnq uma sucessao convergente para x no espaco metrico X. Prove que o subespaco

txn com n P Nu Y txu

e compacto.

ex Seja X um espaco metrico compacto infinito. Prove que existe x P X tal que Xz txu nao ecompacto.

6 Espacos metricos completos

Sucessoes fundamentais. Seja pX, dq um espaco metrico. Uma sucessao pxnq em X e umasucessao de Cauchy, ou fundamental, se para todo ε ą 0 existe um tempo n P N tal que dpxn, xmq ăε se n,m ą n.

ex Convergente ñ fundamental. Uma sucessao convergente e de fundamental.

ex fundamental ñ limitada. Uma sucessao de Cauchy e limitada.

ex Fundamental + subsucessao convergente ñ convergente. Uma sucessao de Cauchyque possui uma subsucessao convergente e convergente.

Espacos completos. O espaco metrico X e completo se toda sucessao fundamental em X econvergente.

eg A recta real e completa. A recta real e um espaco metrico completo. De facto, sejapxnq uma sucessao de Cauchy em R. Sejam Xn os conjuntos encaixados definidos por Xn “

txk com k ě nu. Os Xn sao limitados, portanto o axioma do supremo implica que existem osnumeros an “ inf Xn. A sucessao panq e nao decrescente e limitada, portanto existe a “ limnÑ8 an(basta por a “ sup tan com n P Nu). Nao e difıcil construir uma subsucessao de pxnq convergentepara a, o que implica que pxnq e convergente e tem limite a.

eg O espaco euclidiano Rn e completo. Uma sucessao pxnq em Rn e convergente sse saoconvergentes as sucessoes pπipxnqq das suas coordenadas, para i “ 1, ..., n. De consequencia, oespaco euclidiano Rn e completo.

eg O subespaco Q da recta real nao e completo. Por exemplo, as somas parciais da serieř

ně0 1{n! formam uma sucessao de Cauchy de numeros racionais, mas a soma da serie nao eracional.

eg Ser completo nao e uma propriedade topologica! Por exemplo, a recta real, que ecompleta, e homeomorfa ao intervalo aberto s0, 2r, que nao e completo (a sucessao n ÞÑ 1{n e deCauchy mas nao e convergente em s0, 2r).

ex Completo Ă completo ô fechado Ă completo. Seja X um espaco metrico completo, eS um subespaco de X. Entao S e completo sse e fechado em X.


ex Um subespaco S de Rn e completo sse e fechado.

Caracterizacao dos espacos completos. Um espaco metrico X e totalmente limitado se,para todo ε ą 0, pode ser coberto por um numero finito de bolas de raio ε, i.e. existe um numerofinito de pontos x1, x2, ..., xn P X tais que

X Ă Bεpx1q YBεpx2q Y ...YBεpxnq

eg Ser totalmente limitado nao e uma propriedade topologica! Por exemplo, a rectareal nao e totalmente limitada, mas o intervalo aberto s0, 1r, homeomorfo a recta, e totalmentelimitado.

ex Totalmente limitado ñ separavel. Um espaco metrico totalmente limitado e separavel,ou seja contem um subconjunto enumeravel denso.

Teorema 6.1 (compacto ô completo e totalmente limitado). Um espaco metrico e compacto ssee completo e totalmente limitado.

Demonstracao. (ñ) Seja pX, dq um espaco metrico compacto. Para todo ε ą 0, a coberturaaberta tBεpxquxPX admite uma subcobertura finita. Isto prova que X e totalmente limitado. Sejapxnq uma sucessao de Cauchy em X. Como X e sequencialmente compacto, pxnq admite umasubsucessao convergente. Mas uma sucessao de Cauchy que admite uma subsucessao convergentee convergente, logo X e completo.

(ð) Seja pX, dq um espaco metrico completo e totalmente limitado. Seja pxnq uma sucessao depontos de X. Dado k P N, o espaco X admite uma cobertura finita composta por bolas abertas deraio 1{k. Portanto, e possıvel encontrar, para todo k P N, um subconjunto infinito Nk dos naturaise uma bola aberta Bk de raio 1{k tais que

... Ă Nk`1 Ă Nk Ă ... Ă N e xn P Bk se n P Nk

Escolhendo um natural nk para cada k, de forma tal que nk`1 ą nk, as propriedades acimaimplicam que a subsucessao pxnkq e de Cauchy, logo convergente porque X e completo. Portanto,X e sequencialmente compacto.

Teorema 6.2 (da intersecao de Cantor). Seja X um espaco metrico completo, e seja tFn com n P Nuuma famılia decrescente

¨ ¨ ¨ Ą Fn Ą Fn`1 Ą . . .

de subconjuntos fechados e nao vazios de X tais que

limnÑ8

diampFnq “ 0 .

Entao existe um ponto x P X tal que XnPNFn “ txu.

Demonstracao. Para cada n P N existe um ponto xn P Fn. E imediato ver que a sucessaopxnq e uma sucessao de Cauchy. Seja x “ limnÑ8 xn. O ponto x e um ponto de aderencia detxn com n P Nu, e tambem um ponto aderencia de txn com n ě ku. Mas Fk contem txn com n ě ku,e, sendo fechado, contem os seus pontos de aderencia. Logo x pertence a todos os Fk. Por outrolado, o diametro de XnPNFn nao pode ser positivo, porque limnÑ8 diampFnq “ 0, logo a intersecaodos Fn nao pode conter dois pontos distintos.


ex Retire, uma de cada vez, as hipoteses no teorema da intersecao de Cantor e de contraexemplos.

Teorema 6.3 (Baire). Seja X um espaco metrico completo. A intersecao de uma famılia enu-meravel de subconjuntos abertos e densos em X e densa em X.

Demonstracao. Sejam An, com n P N, subconjuntos abertos e densos no espaco metrico completoX. Seja A um subconjunto aberto e nao vazio de X. Como A1 e denso, existem um ponto x1 P Xe um numero positivo ε1 ă 1 tais que

Bε1px1q Ă A1 XA

Indutivamente, utilizando a densidade dos An, dados xn e εn, podemos encontrar um ponto xn`1 P

X e um numero positivo εn`1 ă 1{pn` 1q tais que

Bεn`1pxn`1q Ă An`1 XBεnpxnq

Pelo teorema da intersecao de Cantor, existe um ponto x na intersecao dos Bεnpxnq, e por cons-trucao x pertence a A e a todos os An.

ex Ccompleto ` perfeito ñ nao enumeravel. Um espaco metrico completo sem pontosisolados nao e enumeravel (observe que, se X e um espaco metrico completo tal que X 1 “ X, ex P X, entao Xz txu e aberto e denso em X).

ex Seja X um espaco enumeravel infinito munido da metrica discreta. Prove que X e completo,e limitado, mas nao e compacto.

eg O espaco de Hilbert `2. Seja `2 “ `2pRq o espaco das sucessoes x : NÑ R tais queř8

n“1 x2n ă 8 munido do produto interno x¨, ¨y definido por xx, yy “

ř8

n“1 xn ¨ yn. O espaco`2, munido da metrica induzida d, e completo. A esfera unitaria S8 “

x P `2 t.q. }x} “ 1(

eum subespaco fechado e limitado de `2, mas nao e compacto. Por exemplo, a sucessao ep1q “

p1, 0, 0, 0, ...q, ep2q “ p0, 1, 0, 0, ...q, ep3q “ p0, 0, 1, 0, ...q ... e composta de pontos a distancia?

2 unsdos outros, e portanto nao admite subsucessoes convergentes. Alias, a esfera unitaria em `2 nao etotalmente limitada.

Aproximacoes sucessivas e princıpio das contracoes. Sejam pX, dq um espaco metrico, epxnq uma sucessao tal que existe 0 ă λ ă 1 tal que

dpxn`1, xnq ă λ ¨ dpxn, xn´1q

para todo n ě 2. Entao pxnq e uma sucessao fundamental. De facto, utilizando k vezes a de-sigualdade do triangulo, a desigualdade acima e a convergencia da serie geometrica de razao λ,temos

dpxn`k, xnq ďλn´1

1´ λ¨ dpx2, x1q

De consequencia, se X e completo, a sucessao e convergente. Tambem, da estimacao acima segueque a velocidade de convergencia da sucessao para o seu limite x “ limnÑ8 xn e exponencial, i.e.existe uma constante positiva c tal que dpxn, xq ď c ¨ λn para todo n P N.

Seja pX, dq um espaco metrico. Uma aplicacao f : X Ñ X e chamada contracao se existe0 ă λ ă 1 tal que

dpfpxq, fpx1qq ă λ ¨ dpx, x1q

para todos x, x1 P X (ou seja se e Lipschitz e tem constante de Lipschitz ă 1).Um ponto fixo de uma aplicacao f : X Ñ X e um ponto x P X tal que fpxq “ x.

Teorema 6.4 (princıpio das contracoes/teorema de ponto fixo de Banach). Uma contracao de umespaco metrico completo tem um ponto fixo, e este ponto fixo e unico.


Demonstracao. Sejam x1 P X e pxnq a sucessao definida indutivamente por

xn`1 “ fpxnq se n P N

Entao dpxn`1, xnq “ dpfpxnq, fpxn´1qq ă λ ¨ dpxn, xn´1q para todo n ě 2. A observacao acimamostra que pxnq e uma sucessao de Cauchy, logo convergente porque X e completo. Seja x “limnÑ8 xn. A aplicacao f e contınua, porque e lipschitziana, portanto

fpxq “ limnÑ8

fpxnq “ limnÑ8

xn`1 “ x

Se x e x1 sao pontos fixos de f , entao dpx, x1q “ dpfpxq, fpx1qq ď λ ¨ dpx, x1q, e λ ă 1 implica quedpx, x1q “ 0.

ex Metodo dos babilonios para “calcular” raızes quadradas. Seja x1 ą 0 e pxnq asucessao de numeros reais definida indutivamente por

xn`1 “1

2pxn ` 2{xnq

se n ą 1. Prove que a sucessao e convergente e limnÑ8 xn “?

2.

Extensoes de funcoes contınuas. Sejam X e Y dois conjuntos nao vazios, S um subconjuntode X, e f : S Ñ Y uma funcao. Uma extensao de f e uma funcao g : T Ñ Y , definida numconjunto T que contem S, tal que g |S “ f .

Se X e Y sao espacos topologicos, e f e contınua, f pode nao admitir extensoes contınuas emtodos os conjuntos que contem S.

ex A funcao contınua f : Rz t0u Ñ R, definida por x ÞÑ sinp1{xq, nao admite nenhuma extensaocontınua a recta real.

ex Seja f : X Ñ Y uma aplicacao uniformemente contınua entre os espacos metricos X e Y . Sepxnq e uma sucessao de Cauchy em X, entao pfpxnqq e uma sucessao de Cauchy em Y .

Teorema 6.5. Seja f : X Ñ Y uma aplicacao contınua entre os espacos metricos pX, dXq epY, dY q. Se X e compacto entao f e uniformemente contınua.

Demonstracao. Seja ε ą 0. Para todo x P X existe δpxq ą 0 tal que dY pfpxq, fpx1qq ă ε{2 se

dXpx, x1q ă δpxq. A cobertura aberta

Bδpxq{2pxq com x P X(

admite uma subcobertura finita, ouseja existem x1, x2, ..., xn P X tais que

Bδpx1q{2px1q YBδpx2q{2px2q Y ...YBδpxnq{2pxnq “ X

Seja δ “ mini“1,...,n δpxiq{2 ą 0. Se x e x1 tem distancia dXpx, x1q ă δ, entao pertencem os dois a

uma das n bolas que cobrem X, por exemplo Bδpxiqpxiq, e portanto

dY pfpxq, fpx1qq ď dY pfpxq, fpxiqq ` dY pfpxiq, fpx

1qq ă ε

Teorema 6.6. Seja f : S Ñ Y uma aplicacao uniformemente contınua, onde S e um subconjuntodo espaco metrico X, e Y e um espaco metrico completo. Entao existe uma unica extensao contınuaf : S Ñ Y de f , e f e uniformemente contınua.


Demonstracao. Se x P S entao existe uma sucessao pxnq em S tal que x “ limnÑ8 xn. A sucessaopfpxnqq e uma sucessao de Cauchy em Y , logo convergente porque Y e completo. E facil verificarque se pxnq e px1nq sao duas sucessoes convergentes para x, entao limnÑ8 fpxnq “ limnÑ8 fpx

1nq,

portanto

fpxq “

"

fpxq se x P SlimnÑ8 fpxnq se x P S1zS e x “ limnÑ8 xn

define uma extensao f : S Ñ Y de f . Seja ε ą 0. Pela continuidade uniformemente de f existeδ ą 0 tal que dY pfpxq, fpx

1qq ă ε{2 se dXpx, x1q ă δ e x, x1 P S. Sejam x e x1 dois pontos de

S tais que dXpx, x1q ă δ , e sejam pxnq e px1nq duas sucessoes em S tais que x “ limnÑ8 xn e

x1 “ limnÑ8 x1n. Existe n P N tal que dXpxn, x

1nq ă δ se n ą n, e portanto

dY pfpxq, fpx1qq “ lim

nÑ8dY pfpxnq, fpx

1nqq ď ε{2 ă ε

Isto prova que f e tambem uniformemente contınua.

ex Sejam f, g : X Ñ Y aplicacoes uniformemente contınuas do espaco metrico X no espacometrico completo Y , e seja S um subconjunto denso em X. Se f |S “ g |S entao f “ g.

Convergencia uniforme. Sejam X um espaco topologico e pY, dY q um espaco metrico. SejaBpX,Y q o espaco das funcoes limitadas f : X Ñ Y munido da metrica do sup, definida por

dpf, gq “ supxPX

dY pfpxq, gpxqq

A topologia induzida por d em BpX,Y q e dita topologia da convergencia uniforme.Uma sucessao pfnq de funcoes limitadas fn : X Ñ Y converge uniformemente para a funcao f

se converge na topologia da convergencia uniforme.

eg Convergencia pontual e convergencia uniforme. Sejam X e Y dois espacos metricos, eY X o espaco das funcoes f : X Ñ Y . A sucessao pfnq em Y X converge pontualmente para f P Y X

se, para todo x P X, a sucessao dos valores pfnpxqq converge para fpxq.O limite pontual de uma sucessao de funcoes contınuas pode nao ser uma funcao contınua.

Por exemplo, a sucessao das funcoes contınuas fn : R Ñ R, definidas por fnpxq “ exp p´n |x|q,converge pontualmente para a funcao caracterıstica de t0u, que nao e contınua.

A convergencia uniforme implica a convergencia pontual.

Teorema 6.7. Se Y e um espaco metrico completo, entao BpX,Y q e um espaco metrico completo.

Demonstracao. Seja pfnq uma sucessao de Cauchy em BpX,Y q. Entao para todo x P X a sucessaodos valores pfnpxqq e uma sucessao de Cauchy em Y , porque dY pfnpxq, fmpxqq ď dpfn, fmq. Sejaf : X Ñ Y a funcao definida por fpxq “ limnÑ8 fnpxq. Dado ε ą 0, existe n P N tal quedpfn, fmq ă ε{2 se n,m ą n. Entao, para todo x P X, se n ą n

dY pfnpxq, fpxqq “ limmÑ8

dY pfnpxq, fmpxqq ď ε{2 ă ε

Isto implica que dpfn, fq ă ε se n ą n , ou seja que pfnq e convergente para f .

Seja C0b pX,Y q o espaco das funcoes contınuas e limitadas f : X Ñ Y , munido da metrica

do sup. O seguinte teorema diz que C0b pX,Y q e um subespaco fechado, e portanto completo, de

BpX,Y q. Em outras palavras, o limite uniforme de uma sucessao de funcoes contınuas e una funcaocontınua.

Teorema 6.8. Se Y e um espaco metrico completo, entao C0b pX,Y q e um subespaco fechado,

portanto completo, de BpX,Y q.

7 CONEXIDADE 30

Demonstracao. Seja f P BpX,Y q o limite uniforme da sucessao pfnq de funcoes contınuas e li-mitadas fn : X Ñ Y . Seja x P X. Dado ε ą 0, existe n P N tal que dpfn, fq ă ε se n ą n.Pela continuidade de fn, existe uma vizinhanca V de x tal que dY pfnpxq, fnpx

1qq ă ε se x1 P V .Portanto, se x1 P V e n ą n

dY pfpxq, fpx1qq ď dY pfpxq, fnpx

1qq ` dY pfnpxq, fnpx1qq ` dY pfnpx

1q, fpx1qq ă 3ε

7 Conexidade

Espacos conexos. O espaco topologico X e conexo se os unicos subconjuntos de X que saosimultaneamente abertos e fechados sao H e X. O espaco topologico X e desconexo se nao econexo, ou seja, se admite um subconjunto proprio (i.e. nao vazio e distinto de X) que e aberto efechado.

Teorema 7.1 (caracterizacao dos conexos). Seja X um espaco topologico. As seguintes proprie-dades sao equivalentes:

a) X e conexo,b) X nao e a reuniao disjunta de dois subconjuntos abertos e nao vazios,c) nao existe uma funcao contınua e sobrejectiva de X sobre o espaco discreto t0, 1u.

Demonstracao. (añb) Se X “ AYB e os subconjuntos A e B sao disjuntos, abertos e nao vazios,entao A e um subconjunto proprio, aberto e fechado de X.

(bñc )Seja ϕ : X Ñ t0, 1u uma funcao contınua e sobrejectiva. Os subconjuntos ϕ´1 t0u eϕ´1 t1u de X sao nao vazios, abertos e disjuntos, e X “ ϕ´1 t0u Y ϕ´1 t1u.

(cña) Seja A um subconjunto proprio, aberto e fechado de X. O complementar de A e naovazio, aberto e fechado, portanto ϕ : X Ñ t0, 1u, definida por ϕpxq “ 0 se x P A e ϕpxq “ 1 sex P XzA, e uma funcao contınua e sobrejectiva.

Cisoes. Se X e um espaco topologico desconexo, entao existem dois abertos nao vazios A eB tais que A X B “ H e A Y B “ X. Os subconjuntos A e B sao tambem fechados, sendo umo complementar do outro, e portanto na propriedade b) da proposicao acima pode-se substituira palavra “abertos” pela palavra “fechados”. Uma representacao de X como reuniao disjunta dedois abertos nao vazios e dita uma cisao de X.

Subconjuntos conexos. Um subconjunto S do espaco topologico X e conexo se, munido datopologia relativa, e um espaco topologico conexo. Em particular, um subconjunto S do espacotopologico X e desconexo se existem A e B abertos em X tais que A X S ‰ H, B X S ‰ H,AXB X S “ H e AYB Ą S.

Teorema 7.2 (f contınua ñ f(conexo)“conexo). Seja f : X Ñ Y uma aplicacao contınua. SeX e conexo, entao fpXq ’e conexo.

Demonstracao. Seja f : X Ñ Y uma funcao contınua entre os espacos topologicos X e Y . SefpXq nao e conexo, existe uma funcao contınua e sobrejectiva ϕ : fpXq Ñ t0, 1u. A funcaof ˝ ϕ : X Ñ t0, 1u e contınua e sobrejectiva, e portanto X nao e conexo.

Em particular, “ser conexo” e uma propriedade topologica: se f : X Ñ Y e um homeomorfismoe X e conexo entao Y e conexo.

7 CONEXIDADE 31

eg Conexo Ă R ô intervalo. Um subconjunto da recta real e conexo sse e um intervalo. Emparticular, a recta real e conexa.

De facto, se X Ă R nao e um intervalo, entao existem a, b, c P R tais que

a ă c ă b , a, b P X e c P RzX

Portanto ps´8, cr XXq Y psc,8r XXq e uma cisao de X.Por outro lado, seja X um intervalo da recta. Seja X “ A Y B, onde os subconjuntos A e B

sao nao vazios e fechados em X. Sejam a P A e b P B, com, por exemplo, a ă b. Como X e umintervalo, ra, bs Ă X. Seja c “ sup ra, bs X A. Entao c P A, porque A e fechado em X. Se c “ b,entao A X B nao e vazio. Se c ă b, entao c ` ε P B para todo 0 ă ε ă b ´ c, e portanto c P B,porque B e fechado em X, logo AXB nao e vazio. Isto prova que X nao e a reuniao disjunta dedois subconjunts fechados e nao vazios, ou seja que X e conexo.

ex O subconjunto Q da recta real e desconexo.

ex Seja X um intervalo da recta real. Prove que Xz txu e desconexo se x P intpXq.

ex Um espaco discreto que contem pelo menos dois pontos nao e conexo.

ex Um espaco topologico X e conexo sse todo subconjunto proprio e nao vazio de X tem fronteiranao vazia.

Teorema 7.3. Sejam X um espaco topologico, e C e D dois subconjuntos tais que C Ă D Ă C.Se C e conexo, entao D e conexo. Em particular, a aderencia de um subconjunto conexo e conexa.

Demonstracao. Seja S Ă D um subconjunto aberto e fechado em D. Entao existem um subcon-junto aberto A Ă X e um subconjunto fechado F Ă X tais que S “ AXD “ FXD. O subconjuntoS X C e aberto e fechado em C, portanto, se C e conexo, ou S X C “ H ou S X C “ C.

Se S X C “ H, entao H “ S X C “ AXD X C “ AX C “ AX C (porque A e aberto em X),e portanto S “ AXD Ă AX C e vazio.

Se S X C “ C, entao C “ S X C “ F XD X C “ F X C. Em particular, C Ă F , e portantoC Ă F (porque F e fechado em X). Entao S “ F XD Ą D, ou seja, S “ D.

ex Se o espaco topologico X admite um subconjunto denso conexo, entao X e conexo.

ex De um exemplo de um subconjunto desconexo S de um espaco topologico tal que S sejaconexo.

Componentes conexas. Seja X um espaco topologico. Os dois pontos x e x1 de X sao conexosem X, ou pertencem a mesma componente conexa, se existe um subconjunto conexo C Ă X talque x, x1 P C.

Teorema 7.4. Sejam C e D dois subconjuntos conexos do espaco topologico X. Se C XD ‰ H

entao C YD e conexo.

Demonstracao. Seja A um subconjunto nao vazio, aberto e fechado em C YD. O subconjunto Atem intersecao nao vazia com C ou com D. Se AXC ‰ H, entao AXC “ C, porque C e conexo.Como C X D ‰ H, entao tambem A X D ‰ H, logo A X D “ D porque D e conexo. Portanto,A “ C YD.

Teorema 7.5. Um espaco topologico X e conexo sse todo par de pontos x e x1 de X sao conexosem X.

7 CONEXIDADE 32

Demonstracao. (ñ) Trivial.(ð) Se X nao e conexo, admite um subconjunto proprio A que e aberto e fechado. Sejam

x P A e x1 P XzA. Se x e x1 fossem conexos em X, existiria um subconjunto conexo C Ă X talque x, x1 P C. Entao A X C seria um subconjunto proprio de C, aberto e fechado em C, o quecontradiz o facto de C ser conexo.

Teorema 7.6. Se tCαu e uma familia de subconjuntos conexos de um espaco topologico tal queXαCα ‰ H, entao YαCα e conexo.

Demonstracao. Sejam x e x1 dois pontos de YαCα. Exitem Cα e Cα1 tais que x P Cα e x1 P Cα1 .A intersecao Cα X Cα1 nao e vazia, portanto Cα Y Cα1 e conexo, e pela proposicao anterior x e x1

sao conexos em YαCα.

As tres proposicoes acima justificam e provam o que se segue.Seja X um espaco topologico. “Ser conexos em X” e uma relacao de equivalencia entre os

pontos de X. As classes de equivalencia sao ditas componentes conexas do espaco topologico X.A componente conexa de x, o conjunto

Cpxq “

x1 P X t.q. x e x1 sao conexos em X(

,

e a reuniao dos subconjuntos conexos de X que contem x, i.e. o “maior” subconjunto conexo deX que contem o ponto x.

As componentes conexas de X definem portanto uma particao de X composta por subconjuntoconexos maximais. O numero das componentes e um invariante topologico de X. O espacotopologico X e conexo sse possui uma unica componente conexa.

O espaco topologico X e dito totalmente desconexo se a componente conexa de todo pontox P X e txu.

Cada componente conexa Cpxq de X e um subconjunto fechado de X, porque a aderencia deum subconjunto conexo e conexa. Um subconjunto nao vazio, fechado, aberto e conexo do espacotopologico X e uma componente conexa de X.

eg As componentes conexas de um espaco topologico podem nao ser abertas. Por exemplo, acomponente conexa de r P Q em Q e tru, que nao e um subconjunto aberto de Q.

ex Um espaco discreto e totalmente desconexo (se o espaco so contem um ponto, e tambemconexo!).

ex Um espaco metrico enumeravel e totalmente desconexo.

ex O subconjunto Q da recta real e totalmente desconexo.

ex O conjunto de Cantor K Ă r0, 1s e totalmente desconexo.

Teorema 7.7 (conexoˆ conexo “ conexo). O produto topologico de uma famılia finita de espacosconexos e conexo.

Demonstracao. Sejam X e Y espacos topologicos conexos. Sejam px, yq e px1, y1q dois pontosarbitrarios do produto X ˆ Y . O subespaco C “ txuˆ Y e homeomorfo a Y , e portanto e conexo.O subespaco D “ Xˆty1u e homeomorfo a X, e portanto e conexo. A intersecao CXD “ tpx, y1qunao e vazia, logo px, yq e px1, y1q pertencem a mesma componente conexa. O teoema segue porinducao.

7 CONEXIDADE 33

ex Se o produto topologico X ˆ Y e conexo entao X e Y sao conexos.

ex Rn e r0, 1sn

sao conexos.

eg Subconjuntos convexos de Rn. Um subconjunto S do espaco euclidiano Rn e convexo se,dados x, x1 P S, o segmento

xx1 “

p1´ tqx` tx1 com t P r0, 1s(

esta contido em S.Um subconjunto de R e convexo sse e conexo.Um subconjunto convexo de Rn e conexo.De um exemplo de um subconjunto conexo de R2 que nao seja convexo.

ex Se n ě 2, o espaco Rnz txn “ 0u nao e conexo, e o espaco Rnz txn´1 “ xn “ 0u e conexo.Utilize a transitividade do grupo afim AffpRnq no espaco dos subespacos afins de Rn para deduzirque, se V e um subespaco afim de Rn, o espaco RnzV e conexo sse n´ dimpV q ą 1.

eg Grupo linear. O grupo linear GLnpRq e um subconjunto desconexo de Rn2

. De facto, afuncao contınua

A ÞÑdetA

|detA|

envia GLnpRq sobre o espaco discreto t´1, 1u. O mesmo argumento prova que o grupo ortogonalOpnq e desconexo.

eg Curvas. Sejam X um espaco topologico, e I um intervalo da recta real. A imagem ϕpIq deuma funcao contınua ϕ : I Ñ X e um subconjunto conexo de X.

Por exemplo, a esfera S1 e um subconjunto conexo de R2. Se x P S1, entao tambem S1z txu econexo.

eg Graficos. Seja f : X Ñ Y uma aplicacao contınua do espaco conexo X no espaco topologicoY . O grafico de f ,

graphpfq “ tpx, yq P X ˆ Y t.q. fpxq “ yu

e um subconjunto conexo do produto topologico X ˆ Y . De facto, e a imagem da aplicacaox ÞÑ px, fpxqq, que e um homeomorfismo de X sobre graphpfq.

ex Teorema do valor intermedio. A imagem fpXq de uma funcao contınua f : X Ñ Rdefinida no espaco conexo X e um intervalo.

ex Teorema de ponto fixo. Seja I um intervalo compacto da recta real, e f : I Ñ R umafuncao contınua tal que fpIq Ă I. Entao f tem um ponto fixo.

ex Seja f : S1 Ñ R uma funcao real contınua definida na circunferencia S1 “

x P R2 t.q. |x| “ 1(

.Prove que existe um ponto x P S1 tal que fpxq “ fp´xq.

eg Esferas. Seja Sn “

x P Rn`1 t.q. |x| “ 1(

Ă Rn`1 a esfera unitaria de dimensao n ě 1.A aplicacao f : Rn`1z t0u Ñ Sn, definida por x ÞÑ x{ |x|, e contınua e sobrejectiva. Portanto, aesfera Sn e conexa se n ě 1.

Uma demonstracao alternativa e a seguinte. Dado x P Sn, o espaco Snz txu e homeomorfo aRn, que e conexo. Portanto Sn, a aderencia de Snz txu em Sn, e conexo.

Por outro lado, a esfera S0 “ tx P R t.q. |x| “ 1u “ t´1, 1u nao e conexa.

eg Espacos projetivos reais. O espaco projetivo real RPn e conexo. De facto, e a imagemda esfera Sn pela aplicacao quociente π : Sn Ñ RPn definida por x ÞÑ πpxq ““recta passante por0 e x em Rn`1”.

7 CONEXIDADE 34

eg Intervalos homeomorfos. Um intervalo nao trivial da recta real e homeomorfo a um, e soum, dos tres “modelos” seguintes:

s0, 1r » R r0, 1s s0, 1s » Rě0

Os intervalos abertos da recta real sao homeomorfos a recta real. Por exemplo, x ÞÑ arctanx eum homeomorfismo da recta sobre s´1, 1r, x ÞÑexpx e um homeomorfismo da recta sobre s0,8r, e t ÞÑ p1´ tqa` tb e um homeomorfismo de s0, 1rsobre sa, br.

Um intervalo compacto, ou seja fechado e limitado, da recta e um intervalo trivial, i.e. umponto, ou e homeomorfo a r0, 1s (o homeomorfismo pode ser uma aplicacao afim).

Um intervalo nao aberto (em R) e nao compacto da recta real e homeomorfo a s0, 1s. Defacto, x ÞÑ log x e um homeomorfismo de s0, 1s sobre s´8, 0s, e as outras possibilidades podem serverificadas por meio de homeomorfismos afins.

Falta provar que os tres modelos sao distintos.R e s0, 1s nao sao homeomorfos a r0, 1s, porque nao sao compactos. Por outro lado, se f :

s0, 1s Ñ R fosse um homeomorfismo, a restricao fˇ

ˇ

s0,1szt1u seria um homeomorfismo do espacoconexo s0, 1r sobre o espaco desconexo s´8, fp1qr Y sfp1q,8r.

eg O problema do homeomorfismo. Um dos problemas da topologia e decidir se doisespacos topologico sao homeomorfos. Propriedades e invariantes topologicos, como a compacidade,a conexidade e o numero das componentes conexas, permitem, por vezes, provar que dois espacosnao sao homeomorfos.

O intervalo I “ r0, 1s nao e homeomorfo a esfera S1, embora os dois espacos sejam conexose compactos. Pois, se ϕ : I Ñ S1 fosse um homeomorfismo, a restricao ϕ

ˇ

ˇ

Izt0.5u : Iz t0.5u ÑS1z tϕp0.5qu seria um homeomorfismo de um espaco desconexo sobre um espaco conexo.

A recta real R nao e homeomorfa ao espaco euclidiano Rn se n ą 1. De facto, ao retirar umponto, a recta real fica desconexa, e isto nao acontece aos espacos euclidianos de dimensao superior.

ex Seja Hλ a hiperbole

x P R2 t.q. x1x2 “ λ(

. Diga para que valores de λ e conexa e para quevalores de λ e homeomorfa a R.

ex Diga se os seguinte subconjuntos do plano euclidiano R2 sao conexos:

X “ B1pp´1, 0qq YB1pp1, 0qq X Y tp0, 0qu X

Y “ R2z

x P R2 t.q. x2 “ 0(

Y Y tp0, 0qu

Qˆ R R2zS1

ex A recta real R nao e homeomorfa ao espaco euclidiano Rn se n ą 1.

ex A esfera S1 nao e homeomorfa a esfera Sn se n ą 1 (observe que, se x P Sn, entao Snz txu ehomeomorfo a Rn).

ex Se f : Rn Ñ Rn e uma aplicacao contınua e bijectiva tal que f`

Sn´1˘

“ Sn´1, entaof pB1p0qq “ B1p0q.

ex Seja X a reuniao das esferas de raio 1 e centros p´1, 0q e p0, 1q no plano euclidiano. Proveque X nao e homeomorfo a S1 nem a r0, 1s.

ex Prove que o cilindroX “

x P R3 t.q. x21 ` x22 “ 1

(

e o cone Y “

x P R3 t.q. x21 ` x22 ´ x

23 “ 0

(

em R3 nao sao homeomorfos.

7 CONEXIDADE 35

ex Flores. Seja Fn a “flor com n petalas”, o subespaco do plano euclidiano definido por Fn “ϕ pr0, πsq onde ϕ : RÑ R2 e a funcao

t ÞÑ p|sinpntq| cos 2t , |sinpntq| sin 2tq

Prove que Fn nao e homeomorfo a Fm se n ‰ m.

Conexidade local. O espaco topologico X e localmente conexo em x P X se toda vizinhanca dex contem uma vizinhanca conexa de x. O espaco topologico X e localmente conexo se e localmenteconexo em todos os seus pontos.

eg Um espaco discreto e localmente conexo, mas nao e conexo se contem mais do que um ponto.

ex Seja X o subespaco da recta real definido por

X “ t1{n com n P Nu Y t0u

Prove que X e totalmente desconexo. Prove que X nao e localmente conexo, e que Xz t0u elocalmente conexo.

eg Um espaco conexo que nao e localmente conexo. Existem espacos conexos que nao saolocalmente conexos. O exemplo standard e o subconjunto X “ AYB do plano euclidiano, onde

A “

x P R2 t.q. x1 ą 0 e x2 “ sinp1{x1q(

e B “

x P R2 t.q. x1 “ 0 e ´ 1 ď x2 ď 1(

O espaco X e conexo, porque e igual ao fecho de A, e A e o grafico da funcao contınua t ÞÑ sinp1{tqdefinida no intervalo s0,8r. Toda bola aberta suficientemente pequena centrada, por exemplo, em0 P X e desconexa, portanto X nao e localmente conexo em 0.

Conexidade por arcos. Seja X um espaco topologico. Um arco (ou caminho) entre os pontosx e x1 de X e uma aplicacao contınua ϕ : r0, 1s Ñ X tal que ϕp0q “ x e ϕp1q “ x1.

O espaco topologico X e conexo por arcos se para todos x, x1 P X existe um arco entre x e x1.

Teorema 7.8 (conexo por arcos ñ conexo). Um espaco topologico conexo por arcos e conexo.

Demonstracao. A imagem ϕ pr0, 1sq do arco ϕ : r0, 1s Ñ X e um subconjunto conexo de X quecontem ϕp0q e ϕp1q. Portanto, todos os pontos de um espaco conexo por arcos pertencem a mesmacomponente conexa.

Teorema 7.9 (f contınua ñ f(conexo por arcos) “ conexo por arcos). Seja f : X Ñ Y umaplicacao contınua. Se X e conexo por arcos, entao fpXq e conexo por arcos.

Demonstracao. Sejam y e y1 dois pontos de fpXq, e sejam x P f´1 tyu e x1 P f´1 ty1u. Seϕ : r0, 1s Ñ X e um arco entre x “ ϕp0q e x1 “ ϕp1q, entao f ˝ ϕ : r0, 1s Ñ Y e um arco entrey “ f ˝ ϕp0q e y1 “ f ˝ ϕp1q.

Em particular, “ser conexo por arcos” e uma propriedade topologica: se f : X Ñ Y e umhomeomorfismo e X e conexo por arcos entao Y e conexo por arcos.

7 CONEXIDADE 36

Componentes conexas por arcos. Se ϕ : r0, 1s Ñ X e um arco entre os pontos x e x1, eφ : r0, 1s Ñ X e um arco entre os pontos x1 e x2, entao e possıvel definir um arco entre os pontosx e x2, por exemplo a aplicacao φ ˚ ϕ : r0, 1s Ñ X, definida por

t ÞÑ

"

ϕp2tq se t P r0, 1{2sφp2t´ 1q se t P r1{2, 1s

Por outro lado, se ϕ : r0, 1s Ñ X e um arco entre os pontos x e x1, entao ϕ : r0, 1s Ñ X, definidopor t ÞÑ ϕ p1´ tq, e um arco entre os pontos x1 e x. Evidentemente, um arco entre x e x existe,por exemplo um arco constante. Portanto, a existencia de um arco entre x e x1 e uma relacao deequivalencia em X. Em particular, a reuniao de uma famılia de subconjuntos de X conexos porarcos e conexo por arcos se a intersecao nao e vazia.

As classes de equivalencia definem uma particao de X em subconjuntos conexos por arcos, ditascomponentes conexas por arcos. A componente conexa por arcos do ponto x P X, o conjunto

Capxq “

x1 P X t.q. existe um arco entre x e x1 em X(

,

e o “maior” subconjunto de X conexo por arcos que contem o ponto x. O espaco topologico X econexo por arcos sse possui uma unica componente conexa por arcos.

ex Conexo por arcos ˆ conexo por arcos “ conexo por arcos. Prove que o produtotopologico X ˆ Y e conexo por arcos sse X e Y sao conexos por arcos.

ex Convexo ñ conexo por arcos. Um subconjunto convexo do espaco euclidiano Rn e conexopor arcos. Em particular, Rn e as bolas de Rn sao conexos por arcos.

De um exemplo de um subconjunto de Rn conexo por arcos que nao seja convexo.

ex Um subconjunto aberto e conexo do espaco euclidiano Rn e conexo por arcos. (se A e um sub-conjunto aberto de Rn, e x P A, considere o conjuntoB “ tx1 P A t.q. existe um arco entre x e x1 em Au,e utilize a convexidade das bolas abertas para provar que B e AzB sao abertos em A).

ex A esfera Sn e conexa por arcos se n ě 1.

ex O espaco projetivo real RPn e conexo por arcos.

ex Seja X “ YαPZ2zt0uLα a reuniao das rectas

Lα “

x P R2 t.q. α1x1 ` α2x2 “ 0(

no plano euclidiano. Diga se X e conexo, conexo por arcos, localmente conexo. Diga se Xz tx2 “ 0ue conexo, conexo por arcos, localmente conexo.

eg Um espaco conexos por arcos que nao e localmente conexo. O “pente” e o subcon-junto do plano euclidiano definido por X “ Y Y pYnPNZnq, onde

Y “

x P R2 t.q. 0 ď x1 ď 1 e x2 “ 0(

e Zn “

x P R2 t.q. x1 “ 1{n e 0 ď x2 ď 1(

O espaco X e conexo por arcos, logo conexo, e e localmente conexo. O fecho de X no plano, oconjunto X Y

x P R2 t.q. x1 “ 0 e 0 ď x2 ď 1(

, e conexo por arcos mas nao e localmente conexo.

eg Um espaco conexo que nao e conexo por arcos. A reuniao X Y txu do pente X como “piolho” tx “ p0, 1qu e conexo, porque contem X e esta contida em X, mas nao e conexo porarcos. De facto, nao existe nenhum arco entre x e um ponto de X, pois toda funcao contınuaϕ : r0, 1s Ñ X Y txu tal que ϕp0q “ x e constante (todo ponto x1 P X numa vizinhanca Vsuficentemente pequena de x em X Y txu e desconexo de x em V ).

REFERENCIAS 37

Referencias

[CR48] R. Courant and H. Robbins, What is Mathematics?, Oxford University Press, London1948.

[Li93] E.L. Lima, Espacos metricos, Projeto Euclides, Rio de Janeiro 1993.

[Mu75] J.R. Munkres, Topology, A First Course, Prentice-Hall, Englewood Cliff, N.Y. 1975.

[Se94] E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, Torino 1994.

[Si63] G.F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill, Singapore1963.

[ST67] I.M. Singer and J.A. Thorpe, Lecture notes on elementary topology and geometry,Springer-Verlag, New York, 1967.

Braga, 13 de Dezembro de 2002sal.

mat - 2002/03 topologia e elementos de an alise...

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