DIMENSIONAMENTO PRATICO A FORÇA CORTANTE

DE SEÇOES DE CONCRETO ARMADO

Mario Terra Cunha

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTEN­ÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CltNCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

D i az

flui,,., M.,<.,O rk,.,_,_ k LaA,O 1w · e;: Prof. Antônio Clãudio F. Maia

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MAIO DE 1981

i i

CUNHA, MARIO TERRA

Dimensionamento Prãtico ã Força Cortante de Seções de Con­

creto Armado IRio de Janeiro!, 1981.

VIII, p. 29,7 cm (COPPE-UFRJ, ·M.Sc., Engenharia Ci-

vil, 1981)

Tese - Univ. Fed. Rio de Janeiro. Fac. Engenharia

l. F6rça Cortante

I. COPPE/UFRJ

II. TTtulo (Serie)

i i i

AGRADECIMENTOS

Ao professor Benjamin Ernani Diaz, pelo incenti­

vo e orientação prestada a este trabalho.

Ao professor Eduardo Christo Silveira Thomaz,

cujo apoio permitiu-me cursar o Programa de Pós-Graduação em

Engenharia.

A Bronislaw Klimovitsch, Luiz Cesar Kowalski e

Gilberto Martins dos Santos, pelo aux1lio na apresentação grã­

fica deste trabalho.

Aos colegas que, com incentivos e sugestões con­

tribuíram para a execuçao deste projeto.

i V

SUMIIRIO

Um processo prãtico para o dimensionamento a for

ça cortante de seções de concreto armado, com a utilização de

calculadora programãvel, é apresentado neste trabalho.

O processo e resultante de simplificações efetu~

das num modelo mecânico de uma chapa fissurada de concreto ar­

mado, de modo a adaptã-lo âs regras usuais de dimensionamento.

Com as simplificações adotadas, as tensões ditas

de cisalhamento, correspondentes ãs componentes

das tensões nas bielas de concreto, podem ser

através de uma seção equivalente de concreto.

tangenciais

determinadas

O método pode ser aplicado em seções retangula­

res, com qualquer distribuição simétrica de armadura, em rela­

ção ao eixo vertical z, e, por aproximação, em seçoes em que a

largura não varie bruscamente ao longo da altura, como por

exemplo, a seção circular.

Para a adaptação do método ã calculadoras progr~

mâveis, foi desenvolvido um programa para computador que gera

tabelas de deformações em seções de concreto armado, definidas

pela deformação axial no centrÕide da seção e pela curvatura.

V

ABSTRACT

Practical procedures for soear design of rein-

forced concrete members, with the aid of a programmable calcu­

lator, are hereby presented.

These procedures result from simplifications on

a mechanical model of a cracked reinforced concrete plate,

aiming its application to the usual design of reinforced con­

crete.

With the simplified model, shear stresses,corre~

ponding to the tangential components of the compressive stres­

ses on the concrete struts, may be determined through an equi­

valent concrete section.

The equivalent section method could be appl i ed

torectangular cross-section linear members with a vertical sy~

metry axis. The application of this method could be extended

to members with other cross-sectional shapes, provided that no

sharp variation occurs in their width and the symmetry in rela

tion to the z axis is maintained, as it occurs with the circu­

lar cross-section members.

ln order to permit the use of this method in pr~

grammable calculators, a computer program was developed in FOR

TRAN IV language, generating tables which allow the determina­

tion of the axial deformation and the curvature of circular and

rectangular section.

Vi

INDICE

CAPITULO I - INTRODUÇIIO ............................... .

CAPITULO II - REVIS/10 DA LITERATURA.................... 3

CAPITULO III - DESENVOLVIMENTO TEDRICO.. .. ... . . ........ 7

3.1 - Modelo Mecânico da Chapa Fissurada.. .. . . . ........ 7

3.2 - Adaptação do Modelo da Chapa Fissurada.ãs .Reoras

de Dimensionamento de Concreto Armado ........... .

3.3 - Método da Seção Equivalente ..................... .

3.4 - Aplicação do Método da Seção Equivalente em cale~

1 adoras Programãvei s ............................ .

CAPITULO IV - PROGRAMA PARA GERAÇ/10 DE TABELAS DE DE-

FORMAÇDES ............................... .

4 .1 - Descrição do Programa ........................... .

4.2 - Fluxograma do Programa .......................... .

4.3 - Sub-Rotinas Usadas pelo Programa ................ .

4.3.1 - Sub-Rotina PROC ............................... .

4.3.2 - Sub-Rotina INTEG .............................. .

4.3.3 - Sub-Rotina ACO ................................ .

4.3.4 - Sub-Rotina CONCR .............................. .

4.3.5 - Sub-Rotina CPAR ............................... .

20

25

29

39

39

42

53

53

56

58

61

63

Vi i

4.3.6 - Sub-Rotina LIMIT............................... 64

4.3.7 - Sub-Rotina ERROR............................... 66

CAPITULO V - PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO A FORÇA COR-

T ANTE .................................... .

5.1 - Descrição do Programa ........................... .

5.2 - Fluxograma do Programa de Dimensionamento ã Força

Cortante ........................................ .

CAPITULO VI - EXEMPLOS ................................ .

6.1 - Exemplo 1 ....................................... .

6.2 - Exemplo 2 ....................................... .

CAPITULO VII - CONCLUSOES ....................•.........

BIBLIOGRAFIA ...........•............•..................

APÊNDICES ............................................. .

A - PROGRAMA PARA GERAÇAO DE TABELAS DE DEFORMAÇOES ....

A.l - Cartões de Entrada de Dados para Geração das Ta-

belas ..•.........................................

A.2 - Mensagens de Erro Impressas pelo Programa ....... .

67

68

76

82

82

91

l O 1

105

109

11 D

11 O

11 7

V i i Í

A.3 - Listagem do Programa............................. 119

B - PROGRAMA PARA DIMENSIONAMENTO Ã FORÇA CORTANTE PARA

CALCULADORA PROGRAMIIVEL HP-41 C..................... 136

B.l - Programa SHEDR para Seções Retangulares.......... 136

B.l.l - Instruções para o Uso do Programa .............. 137

B.1.2 - Listagem do Programa ........................... 140

B.1.3 - Registros Alocados no Programa ................. 147

B. 2 - Programa SHEDC para Seções Circulares............ 149

8.2.l - Instruções para o Uso do Programa .............. 150

B.2.2 - Listagem do Programa........................... 151

B.2.3 - Registros Alocados no Programa................. 154

C - TABELAS DE DEFORMAÇDES EM SEÇDES DE CONCRETO ARMADO 155

C.l - Seção Retangular Cheia com Armadura Distribui da

em Igual Percentagem nos Quatro Lados - Aço CA-

508 .............................................. 155

C.2 - Seção Circular Cheia com Armadura Distribuída em

uma Camada - AÇO CA- 508.............. . . . . . . . . . . . . 206

D - EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DO PROGRAMA PARA DIMENSIONA -

MENTO Ã FORÇA CORTANTE PARA CALCULADORA PROGRAMIIVEL

HP-41C ............................................. 257

1

CAPITULO I

INTRODUÇAO

O desenvolvimento cada vez maior das calculado­

ras programãveis vem permitindo adotar-se na prãtica processos

sofisticados para o cãlculo de estruturas, antes sã acessiveis

atraves do uso de computadores. Deste modo, problemas ate en­

tão solucionados atraves de metodos simplificados, passaram a

ser analisados por metodos mais racionais, resultando em dimen

sionamentos mais fidedignos.

Com o objetivo de permitir uma anãlise prãtica e

consistente de peças de concreto armado submetidas a esforço

cortante, com auxilio de equipamento de processamento facilmen

te obtido, foi desenvolvido um programa para calculadora pro­

gramãvel de porte (tal como HP-41C), baseado no metodo da se­

ção equivalente proposto por DIAZ 4,

5,

6,

19• Este programa, com

algumas simplificações, pode ser implementado em calculadoras

programãveis de menor porte (tais como HP-67, HP-97, TI-59).

Anãlises mais completas, com base no citado meto

do, podem ser desenvolvidos em computadores, fugindo porem do

objetivo a que se propõe este trabalho.

O computador foi utilizado na geraçao de tabelas

de deformações em seções de concreto armado, que permitem, por

interpolação, a determinação da configuração deformada, no es-

2

tado limite ultimo, em uma seçao submetida ã flexão composta.

A utilização destas tabelas evitam um demorado processo itera-

tivo para a determinação da deformada, necessãria no

das tensões tangenciais pelo metodo adotado.

cãlculo

Tanto o programa de dimensionamento ã força cor­

tante, para calculadora programãvel, quanto o de geração de t~

belas de deformações, preparado para computador, foram desen-

volvidos para dois tipos de seção transversal, retangular e

circular, muito usados em pilares e estacas, peças em que a

adoção deste novo metodo se mostra necessãria. No entanto, com

pequenas modificações ambos os programas podem ser adaptados

para outros tipos de seção, com pelo menos um eixo de simetria.

Este trabalho tem, portanto, um carãter eminente

mente prãtico, pois, com as tabelas de deformações e o progra­

ma para calculadora programãvel e possível dimensionar ã esfor

ço cortante seções em concreto armado, num trabalho de rotina,

usando um processo de cãlculo razoavelmente sofisticado.

3

CAPrTULO II

REVISAO DA LITERATURA

O desenvolvimento da teoria clãssica de treliça

criada por Moersch, permitiu ãs normas a fixação de uma metodQ

logia no dimensionamento ã for~a cortante de vigas de concreto

armado, baseada no cãlculo de tensões de cisalhamento t, no es

tãdio III, isto e, no estado limite ultimo. Esta tensão, adota

da como referência por motivos histõricos, ê limitada .pelas

normas, com base em numerosos ensaios,de modo a garantir a se­

gurança de peça quanto ao esmagamento das bielas inclinadas de

concreto do modelo de treliça.

Em seçoes retangulares a tensão cisalhante ê cal

culada pela divisão do esforço cortante pela largura da seçao

e pelo braço de alavanca das forças internas, determinadas no

estãdio III.

De modo a levar em conta a parcela de força cor

tante resistida pela zona comprimida de concreto da seçao, e

outros fatores como o engrenamento entre fissuras, encavi 1 ha-

menta das armaduras e a menor inclinação das bielas de concre-

to em relação ao eixo da Viga , as normas, tais como as do

CEB 1 , N B-1 2 e DIN 1045 3 , admitem reduções na tensão ci sal hante

t para o cãlculo da armadura transversal.

4

No entanto, em vigas submetidas ã flexão compos­

ta, o conceito de tensão cisalhante baseado no braço de alava~

ca das forças internas perde o sentido. Isto é contornado nas

normas do CEB 1 e NB-1 2, definindo-se uma tensão cisalhante de

referincia, calculada em função da altura ~til da seção,e ado­

tando-se fatores de córreção na parcela de redução da tensão

para o cãlculo da armadura transversal. Pela norma DIN 1045 3,

a influincia do esforço normal pode ser desprezada se a linha

neutra permanece no interior da seção, não se admitindo porem

a redução na tensão cisalhante para o cãlculo da armadura,qua~

do a seção estã submetida ã força normal de tração. Quando a

linha neutra resulta fora da seção transversal, a norma reco­

menda a verificação de tensões no estãdio I, armando-se a se­

çao para a tensão principal de tração.

Baseados nesta formulação empírica, desenvolvida

a partir de ensaios realizados, fundamentalmente, em vigas de

seção retangular, T ou I, com armadura longitudinal concentra­

da junto ãs faces inferior e superior da peça, alguns autores

tendem a generalizar o conceito de tensão cisalhante para ou­

tras seções transversais com armadura longitudinal distribuída

em toda a altura da seção.

Para a seçao circular, por exemplo, OPLADEN 12

fornece uma tabela para o cãlculo do braço de alavanca z, no

estãdio III, para flexão simples, determinando a tensão cisa­

lhante através da fÕrmula t = V/b.z, sendo b a largura da se­

çao ao nível da linha neutra. Através de ãbacos, PERTZ 13 intra

5

duz uma correçao devida ã inclinação do estribo ao nível da

linha neutra no cãlculo da armadura transversal, baseado na

tensão cisalhante determinada a partir do braço de alavanca

das forças internas, em seçoes circulares submetidas a flexão

simples. LEONHARDT 15 sugere a adoção de um valor aproximado Pi

ra o braço de alavanca no cãlculo da tensão cisalhante em se­

çoes circulares e anelares.

A generalização de uma teoria em que a

de tensões tangenciais e feita independentemente do

anãl i se

esforço

normal e do momento fletor, com base em resultados experimen­

tais, pode levar a uma redução na margem de segurança estipuli

da pelas normas vigentes.

Visando uma anãlise consistente de tensões em p~

ças de concreto armado, COLLINS 16'17 desenvolveu uma teoria ra­

cional, baseada no estudo do estado plano de tensões de uma

chapa fissurada de concreto armado. No entanto, a completa ob­

servância desta teoria, implicaria numa reformulação nos meto­

dos atualmente adotados no dimensionamento de peças de concre­

to armado, exigindo, alem disso, o uso de programas de computi

dor.

Com base no modelo mecânico da chapa fissurada,

constituído por bielas de concreto e armações discretas de

aço, mantendo-se dentro dos princípios bâsicos de dimensiona­

mento da norma do CEB 1, DIAZ", 5

,6

,19 idealizou uma metodologia

para o dimensionamento ã força cortante atraves do cãlculo de

6

tensões, no estado limite ultimo, em uma seçao homogênea, por

ele denominada seção equivalente. Mesmo com as simplificações

feitas no desenvolvimento deste mêtodo, ele conduz a resulta­

dos que podem ser considerados bons, conforme mostrado por

SCHULZ 7, que o comparou a um processo mais completo, porêm mui

to mais oneroso, em vista dos custos de processamento envolvi­

dos, considerando inclusive o empenamento da seção transver­

sal apõs a deformação.

Baseado no mêtodo da seçao equivalente proposto

por DIAZ 4•

5•

6•

19 foi desenvolvido um programa de dimensianame~

to ã força cortante em seções retangulares e circulares de con

ereto armado, exposto a seguir.

7

CAPITULO III

DESENVOLVIMENTO TEDRICO

3.1 - MODELO MECÂNICO DA CHAPA FISSURADA

O modelo mecânico proposto para a anãlise de pe­

ças de concreto armado com seção transversal simétrica em rela

çao ao plano de atuação das cargas, adota as seguintes hipÕte­

ses bâsicas:

a) A anãlise é feita através de um estado plano de tensões, re

presentando portanto uma simplificação no estudo do compor­

tamento.espacial da peça. Desta maneira, apenas peças com

seção transversal em que a largura não sofre variações brus

cas ao longo da altura podem ser satisfatoriamente analisa­

das.

b) O material concreto nao resiste a tensões de tração.

c) As tensões de compressao no concreto sao consideradas orien

tadas na direção das fissuras, as quais variam de inclina­

ção ao longo da altura e do eixo longitudinal da peça, for­

mando bielas curvas de concreto entre elas.

d) As barras da armadura longitudinal sao consideradas discre­

tas ao longo da altura da peça.

8

e) A armadura transversal e constitu1da de estribos perpendic~

lares ao eixo longitudinal da peça, admitindo-se variãvel,

em cada n1vel, a sua inclinação em relação ao plano de sime

tria, como no exemplo da seção circular, dado na

(III.l).

• , X

, '

z

Figura Ill.l

Figura

f} Considera-se que a seçao analisada estã afastada das ''zonas

de perturbação de Saint-Venant", conforme são chamadas as

regiões de introdução de forças concentradas, como por exem

plo, os apoios da peça.

/ I'

I'

I' /

I'

9

/ I'

/ I'

I' =45º

Figura III.2

' ' ' ' ' ' '

g) Não sao levados em conta os efeitos de engrenamento

fissuras e de encavilhamento das armaduras.

h) Não sao admitidos deslocamentos relativos entre as

das armaduras e o concreto que as envolvem.

entre

barras

Com o propÕsito de simplificar as expressoes ma­

temãticas no desenvolvimento da teoria, não são descontadas as

areas de concreto ocupadas pela armadura. Entretanto, no pro­

grama de dimensionamento ã força cortante, elaborado para cal­

culadora programãvel, este desconto ê efetuado, como pode ser

visto no Cap,tulo V.

l o

ª1 t ª•

(l"<I>

7 ªh 1 t crh

1

1 cr, crv

Figura III.3

Considerando-se um elemento infinitesimal plano

da peça fissurada, conforme Figura (III.3), em que as fissuras

formam um ângulo <I> com o eixo longitudinal, as seguintes rela­

ções de equilibrio podem ser obtidas:

(III.l)

(III.2)

(III.3)

onde ªh' ªv e ªt sao as tensões correspondentes as componentes

horizontal, vertical e tangencial da tensão º<1> atuante na bie­

la de concreto.

l l

.r

Figura I II.4

De acordo com a hipÕtese d formulada, as barras

da armadura longitudinal são consideradas discretas ao longo

da altura da peça. Deste modo, a variação de tensões em um ele

mento de concreto em conjunto com a armadura transversal, con­

forme Figura (III.4), pode ser analisada sem interferência das

barras longitudinais. Sendo b a largura da peça ao nivel do

elemento, p a taxa de armadura transversal e o a tensão nes W SW

ta armadura, as equações diferenciais de equilibrio no elemen-

to sao:

(III.4) az ax

l 2

a(p ,b,cr ,cos w) + w sw = O (III.5)

az az

.r G1+õ.Gt

j j jlj' lcrsw+II08w

a.+11.a.

Figura III.5

A variação de tensões nas elevações em que se

concentram as barras da armadura longitudinal, se processa na

forma de acr~scimos discretos,conforme Figura (III.5). Sendo

As a ãrea de armadura longitudinal num determinado n'ível, e

ªs a tensão nesta armadura, as equações diferenciais de equill

brio nesta elevação, sao:

a(As·crs) 6(b,crt) + ~~~­

ax = o (III.6)

(III.7)

1 3

Nas equaçoes (11!.5) e (111.7), o ângulo w cor-

responde a inclinação das barras da armadura transversal em

relação ao eixo z, na elevação considerada, conforme

da Figura (III.l).

exemplo

O estado de deformação num elemento de chapa e

definido pela deformação longitudinal Eh' pela deformação

transversal Ev e pela distorção y, funções das deformações me­

dias u e w, nas direções x e z, respectivamente, conforme Fi­

gura (111.6)

X

l l l L _______ J dwl'az , , , ª"'ª·

Figura 111.6

y = au/az + aw/ax

Dj"1ax 1 1 1

1 I -- 1 +-+ --...i

3u/az

14

A deformação s5w numa barra da armadura transver

sal, considerando-se nula a deformação na direção y, conforme

Figura (III.?) e dada por:

.1

Figura III.?

De acordo com a hipÕtese h adotada para o mode­

lo, a deformação s5

em cada barra da armadura longitudinal e

igual ã deformação longitudinal no concreto ao nivel desta bar

ra. Assim:

A deformação s~ numa biela de concreto, inclin~

da de um ângulo~ em relação ao eixo longitudinal x, pode ser

obtida a partir da geometria das deformações, em função das de

formações sh e sv e da distorção y.

1 5

Atraves do principio do trabalho complementar ob

tem-se a expressao:

(III.11)

Derivando-se convenientemente as equaçoes

(III.8), (III.9) e (III. 10), obtem-se a equação de compatibili

dade das deformações sh, sv e y no estado plano de tensões:

az 2 ax 2 (III.12)

As relações tensão-deformação, definidas pela

norma adotada, para os materiais concreto e aço, sao utiliza­

das na solução do problema proposto. Assim, as seguintes equa­

ções constitutivas podem ser escritas:

(III.13)

(III.14)

(III.15)

Os dados do problema, alem da geometria da se-

çao, sao os esforços solicitantes M, N e V, conforme Figura

(III.8).

l 6

L dx , M V M+dM

.r -+i · :!f ..

Figura 11!.8

Como mostra a Figura (111.9), os esforços sol ic.:!_

tantes devem satisfazer ãs equações globais de equilTbrio na

seçao. Assim temos:

1 L b

1 L

=tdz y

/

/ '• .1 L +

z

Figura (III.9)

l 7

N = r crh.b.dz + z }

M = f oh . b. z. dz + l:

V = r ªt·b.dz

Tem-se ainda que:

dM V = dx

ªs . A (III.16) s

a .A . z (III.17) s s

{III.18)

{III.19)

Introduzindo-se as condições de contorno pode-se

resolver, de uma forma completa, o problema de uma chapa fiss~

rada de concreto armado, utilizando-se o conjunto de

apresentadas.

-equaçoes

No entanto, para o dimensionamento de peças de

concreto armado, ê importante poder-se analisar as seçoes iso­

ladamente, com seus esforços solicitantes.

Admitindo que a força normal e a força cortante

permanecem constantes no intervalo estudado, de modo a simpli­

ficar a formulação do mêtodo, SCHULZ 7 adotou uma função polinQ

mial para a deformação longitudinal sh' na solução, por um

processo numêrico, do conjunto de equações. A função adotada

foi do tipo:

n l

p=l

p-1 Ci .z

p (III.20)

18

levando, portanto, em consideração o empenamento da seçao

apôs a deformação- Baseado na hipõtese simplificadora de que

as forças normal e cortante permanecem constantes no interva­

lo, o problema pode ser analisado a n1vel de uma seção, obten­

do-se as derivadas das tensões e deformações, em relação a x,

a partir de funções polinomiais do 39 grau interpoladas entre

seções prõximas, conforme Figura (Ill.10).

5 s, s, s, 1

1

M M+V.llx M +2V. llx M+3V,II X

X lP lP lP lP: •

V V V V

z

, l llx , l llx , l llx , l

Figura III.10

Combinando-se as equaçoes (III.10) e

(III.11), obtêm-se:

tan 2<P (III.21)

Sendo Eh definido pela função polinomial (III.20),

l 9

observando-se as expressoes {111.2), {111.3) e {lll.l4), pode­

se escrever a equaçao (111.21) na seguinte forma:

tan 2 cj, = {111.22)

Portanto, conhecida a deformação longitudinal

Eh' a tensão ºte a armação transversal, o ãngulo e)> pode ser

determinado em cada nivel resolvendo-se, por um processo nume-

rico, a equação não linear a que se reduz a expressao

(111.22). As demais variãveis são obtidas atraves das equações

apresentadas.

Assim, através de um processo iterativo, a par­

tir de uma aproximação inicial para as tensões ºt' obtem-se as

tensões ao longo de toda a seção, dentro da precisão desejada.

Devido aos elevados custos de processamento, a

aplicação deste metada na prãtica fica restrita, servindo no

entanto para avaliar a precisão de outros metadas simplifica­

dos.

Uma simplificação sugerida por COLLINS 16 •17

, co~

siste em supor vãlida a hipÕtese de BERNOULLI, definindo assim

uma função linear para a deformação longitudinal Eh:

{111.23)

20

em que EO e a deformação longitudinal ao n1vel da origem doei

xo z e K e a curvatura da peça deformada.

A adoção desta hipótese, elimina a equaçao de

compatibilidade de deformações (111.12) do conjunto de equa-

ções necessãrias â solução do problema. Este procedimento foi

adotado por GUEDES & PRE 2 º em seus estudos, onde o elemento de

concreto armado utilizado diverge um pouco do modelo aqui em­

pregado.

No entanto, esta simplificação, isoladamente,não

acarreta reduções no custo de processamento capazes de viabili

zar o processo na prãtica.

3.2 - ADAPTAÇÃO DO MODELO DA CHAPA FISSURADA AS REGRAS DE DI­

MENSIONAMENTO DE CONCRETO ARMADO

Comparando-se o diagrama de tensões longitudi-

nais ºh' dado na Figura (111.9), com os usados no dimensiona­

mento â flexão de seções de concreto, de acordo com as diver­

sas normas vigentes, conforme mostra a Figura (III. 11), obser­

va-se de imediatoas discrepâncias existentes.

21

L b 1 Eh ªe

• 1 I

~

M+IIM

y

/

/

- + As .r F,

z

Figura III.11

Devido ao incremento de forças de tração na arma

dura longitudinal, necessãrio para equilibrar a componente ho­

rizontal da tensão de compressão nas bielas de concreto, ao

longo da altura da seção, as normas prescrevem um deslocamento

no diagrama de forças de tração na armadura ao longo da peça.

Na pratica, este deslocamento e comumente substituido por um

deslocamento no diagrama de momentos fletores, correspondendo

ã adoção de um acréscimo AM no momento fletor solicitante na

seçao . Conforme serã visto adiante, não sõ o momento fle-

tor, mas tambem o esforço normal devem ser corrigidos na se­

çao, para se levar em conta o efeito das tensões tangenciais no

dimensionamento ã flexão.

e 1

22

Procurando adaptar a teoria da chapa fi ssu rada

ãs regras usuais do dimensionamento ã flexão, DIAZ 4 , 5 , 6 , 19 adQ

tou algumas simplificações que permitem a definição de esfor­

ços incrementais ao momento fletor e força normal solicitantes

na seçao.

b " l Eh 0 hn aht ah ª, ' /

=$:dz M+M -M ..-.

+ i,;...-,-- +.N +. ,-A,

/ Fh Fh

Figura III.12

A principal simplificação introduzida correspon­

de a admitir que as tensões tangenciais ªt obtidas atravês das

expressões (111.4) e (111.6), a partir das componentes horizo~

tais ªh das tensões de compressão nas bielas, podem ser aproxl

madas por outras determinadas a partir de uma distribuição de

tensões ªhn' formulada de acordo com as regras usuais de dimen

sionamento ã flexão, conforme Figura {111.12). Assim, a expre~

são {111.4), ê substitu1da pela equação:

= o (111.24) ax

23

Isto pode ser feito, admitindo-se que a função

tensão-deformação do material concreto, definida pela equaçao

{III.14), pode ser utilizada para o cãlculo de ºhn' a partir

de Eh' ou seja:

(III.25)

Desta forma, de acordo com a Figura (III.12),

pode-se introduzir o conceito de tensões longitudinais comple­

mentares ºht' devidas ao esforço cortante V solicitante na se-

çao, que em conjunto com as tensões longitudinais de f 1 exã o

ºhn' obtidas com esforços solicitantes Me N incrementados de

Me N, reproduzem a distribuição de tensões longitudinais ºh

correspondente aos esforços solicitantes Me N. Assim:

{lll.26)

As equaçoes globais de equilibrio passam a ser:

Na = N + N = f ºhn.b.dz + E ºs .A s (III.27)

~1a = M + M = f ºhn"b.z.dz + E ºs·As.z (III.28)

{Ill.29)

sendo ºta tensão tangencial obtida a partir de ºhn"

24

Os esforços incrementais Me N sao determinados

através de um processo iterativo, a partir de uma aproximação

inicial M1 e N1. As deformações longitudinais sh,corresponden­

tes aos esforços incrementados Ma e Na em cada iteração, sao

determinadas através de um método de Newton-Raphson, apresenti

do no Capitulo IV, seguindo a expressão (III.23). Através das

equações (III.6) e (Ill.24), determina-se o fluxo de cisalha­

menta (b.crtl em toda a altura da seção. Com a equaçao (Ill.22)

determina-se o ângulo~ de inclinação das bielas de concreto,

em cada nivel, desde que a armação transversal Asw seja conhe­

cida. As componentes horizontais ªh das tensões de compressao

nas bielas é dada pela equação (Ill.l). Obtendo-se as tensões

longitudinais ªht' através da equação (111.26), determina-se,

por integração ao longo da altura, os esforços incrementais

Me N resultantes, os quais comparados aos valores iniciais

M1 e N1 indicam a necessidade ou não de uma nova iteração.

Ao final do processo iterativo, equilibrados os

esforços internos com os esforços solicitantes, pode-se redi­

mensionar a armadura transversal, com o auxilio das tensões

tangenciais ªt·

Como, por hipÕtese, a força cortante V é consta~

te no intervalo estudado, pode-se supor que o termo o(b.crt)/ax

na expressao (111.5) seja nulo, o que em conjunto com a equa­

ção (Ill.2), resulta em:

( I 11. 30)

25

expressao esta empregada usualmente no dimensionamento a força

cortante de peças de concreto armado.

Como,de um modo geral, a largura b da seçao, a

tensão tangencial ºt' o ângulo~ de inclinação das bielas de

concreto e o ângulo w de inclinação dos estribos variam ao lon

goda altura, o dimensionamento da armadura transversal deve

ser efetuada em vãrios n1veis para poder-se determinar a eleva

çao em que a armadura necessãria e mãxima.

As tensões de compressao o~ nas bielas de concre

to podem ser verificadas ao longo de toda a altura da

atravês da equação (Ill.3).

3.3 - METODO DA SECAO EQUIVALENTE

seçao

A partir das simplificações adotadas para adap­

tar a teoria da chapa fissurada ãs regras usuais de dimensiona

menta ã flexão, DIAZ 4,

5•

6•

19 desenvolveu um mêtodo para a de­

terminação do fluxo de cisalhamento ao longo da altura da se­

ção, denominado mêtodo da seção equivalente.

A hipõtese formulada de que a derivada parcial

da tensão tangencial ºtem relação a x e aproximadamente nula

no intervalo estudado, em virtude de ser suposta constante a

força cortante V, pode ser estendida ã derivada parcial da ten

são longitudinal ºtem relação a x. Assim:

26

(III.31)

Considerando-se que a força normal N tambêm nao

varia no intervalo, a expressão (III.31), em conjunto com as

equaçoes (III.16), {lll.17), {III.19), (III.26), (III.27) e

{III.28), conduz ãs seguintes equações de equilibrio:

a(N + N)/ax = O (III.32)

a{M + M)/ax = V (III.33)

A diferenciação sucessiva das equaçoes (III.13)

e (III.25) resulta em:

(III.34)

(III.35)

sendo E e E as inclinações das tangentes as curvas tensão-de-s c

formação dos materiais aço e concreto, nos pontos de deforma-

ções longitudinais Es e Eh' respectivamente. Como pode ser

visto nas Figuras {V.2) e (V.3), onde estão representadas as

curvas tensão-deformação do concreto e do aço tipo B, defini­

das pelas normas, Ec e Es podem ser nulos quando as deforma­

ções atingem os patamares existentes nas curvas dos dois mate­

riais.

27

A derivação da expressao (111.23) em relação a

x, conduz a:

(111.36)

onde k1 e k2 sao duas constantes a serem determinadas.

O desenvolvimento das equaçoes (111.32) e

(111.33), com o auxilio das equações (111.27), (111.28),

(111.34), (111.35) e (111.36), leva ã formulação das seguintes

expressoes:

(111.37)

(111.38)

nas quais Ae '

se e le sao dados por:

Ae = J E c.b.dz + l: Es.As (111.39)

se = J E c.b.z.dz + l: Es'As'z (111.40)

le = J Ec.b.z 2.dz + l: Es.As.22 (111.41)

As constantes k1 e k2 sao definidas através das

equaçoes (111.37) e (111.38), permitindo a determinação do flu

xo de cisalhamento v = b.ot' ao longo da altura da seção. A

y

28

partir das equaçoes diferenciais de equilibrio (III.4) e

(III.6), levando-se em consideração as condições

(III.35) e (III.36), obtem-se a expressao:

(III.31),

(III.42)

onde zs e a ordenada z correspondente ao bordo superior da se­

çao.

A seçao equivalente ê então definida como sendo

a seçao resultante da multiplicação da ãrea real de concreto e

aço pelos mõdulos tangente Ec e Es, correspondentes ãs deforma

ções longitudinais Eh e Es' ao longo da altura da seção, con­

forme mostrado na Figura (III. 13).

+

z

Figura (III.13)

nal

"y' na Figura

correspondente ao ponto

29

(III. 13), ê a deformação longitudl

inicial do patamar da curva ten-

são-deformação do aço utilizado.

Se a origem do eixo z for convenientemente esco-

- . e - . lhida, de modo a anular o momento estat1co S da seçao equiva-

lente, isto ê, coincidindo a origem com o centrÕide desta se­

çao, a constante k1 tambêm se anula, conforme mostra a equa­

ção {111.37). Desta maneira, com a constante k2 definida pela

equação (II 1.38), a expressão (III. 42) se transforma em:

v = {V S)/1 (111.43)

onde I e o momento de inercia da seçao equivalente em relação

ao seu centrÕide e Sê o momento estãtico das divisões elemen­

tares da seção equivalente, compreendidas entre o bordo supe­

rior e a elevação considerada, em relação ao centrÕide da se­

ção equivalente.

Portanto, uma vez definida uma configuração de­

formada da seção, pode-se determinar o fluxo de cisalhamento

em toda a sua altura, atravês da seçao equivalente correspon­

dente a esta deformada, usando a expressão {111.43).

3.4 - APLICAÇllO DO METODO DA SEÇ/10 EQUIVALENTE EM CALCULADORAS

PROGRAMllVEIS

A determinação das tensões tangenciais ºt•ª partir de uma

30

configuração deformada, pode ser feita, sem maiores dificulda­

des, em calculadoras programáveis, utilizando o mêtodo da se­

ção equivalente. Porem, a necessidade de processos iterativos

para o cãlculo dos esforços incrementais R e N, para a obten­

ção da configuração deformada correspondente aos esforços in­

crementados Ma e Na e, tambêm, para a definição do ângulo rp de

inclinação das bielas de concreto em cada elevação, tornam o

processo excessivamente demorado.

Com o objetivo de eliminar o processo iterativo

para a determinação da deformada da seção, definida pela defoi

mação relativa no centrÕide da seção e pela curvatura, foi de-

senvolvido um programa, para computador, de geração de tabe-

las de deformações para uma dada geometria de seçao, com va-

rias percentagens de armadura. Atravês de uma sub-rotina de in

terpolação, adaptada ao programa de dimensionamento preparado

para calculadora programãvel, obtêm-se, com razoãvel precisão,

a deformada correspondente a um par de esforços Ma e Na.

Nas Figuras (111.14), (111.15) e (111.16), estão

traçadas as curvas de mesma deformação axial no centrÕide da

seçao e as de mesma curvatura, para seções circulares de con­

creto armado, com três diferentes percentagens mecânica de ar­

madura, obtidas atravês das tabelas geradas por computador, e

incluídas no Apêndice C deste trabalho. Estas curvas dão uma

ideia das regiões onde a precisão da interpolação nas tabelas,

para determinação da deformada na seção, ê maio~ De um modo

geral, os resultados obtidos por interpolação nas tabelas sao

31

\t:~~~ -0,60 +-----ll---l,-\---t----".~-"'"',,~~._..,,..._,+----+---1

~

•e o "

s. (J./ ,.,?. q ' ~ ~ ~J ~

- 0,20 +-----t----t-+---+-t-----t----t-cc+----+---+-t-------l/-~---t-----:::-1

, / / L~---,

/ º·'

0,20

KND

0,2 0,3 /0,5~ ~ ~ o,s 0,9

/ , /~

CURVAS DE DEFORMAÇÃO AXIAL E CURVATURA EM SEÇOES DE CONCRETO ARMADO

SEÇÃO CIRCULAR CHEIA

AÇO CA-50 B llh/h , 0,10

1 w, o,s l

Figura III. 14

'·º KMD

32

-0,70

E:0 =·-2,0

~ t---... \

~ên: ~ \ ,~ r-.....

-0,60

\ ---~ ~ \ ""

~ ~ -0,50

\ Ea=-J,O \ .~ ~ 1

\ ~ N ~ 1

-0,40

' ' \ \~ \s 1

\ ' \ \"" -0,30

E: 0 =-015 \ ·" " - o o o

\ o 9-"O tJ

,,.-" " " " 9 " s ' s

-0,20

/ / J -) I

/ 1- / ri ' ) €.o:: o,O / I ~

-0,10

J-I

/ / / / A /

.L / --- ,'

/ o ··; 0,2 º; 0,4 0,5 / L v_/ ~ W' 1,0 KMD

I ,á º·º

0,10

I / / / ...... ~ / ~

/ L w 7 ~ V ' // ~ ~

V

/ ) / ~ ~ ~ ~

0,20

V, ~ ~ CURVAS DE DEFORMAÇÃO AXIAL E CURVATURA EM SEÇOÊS DE CONCRETO ARMADO

~ ---SEÇÃO CIRCULAR CHEIA

AÇOCA-50B llh /h = 0,10

0,30

Eo= 10,0 1w=1,01

KN D Figura III. 15

33

-0,60

~~ ;

\ i\~ ~ ' \ ~ ~~

-· -0,50

\ ""~ ~ ~ E:o=,-Jp \ "' '~ 1'. .

-0,40

\ -r\--~ """ 1

' \ \ ~ -0,30

1\ ' ~ .

\ " E0 =-0,5

'i 1\. !"-

-0,20

"' o o o ....,_ º- \ ô -- j cv- 1'f: ... "' .. ' " s si ..

" '9- '9- s s I / \

j I 1

-0,10

ls0 =0.0 ' / / / ) / I 0,1 / 0,2

0,3 / 0,4 º; 0,6

/ 0,7 0,8 'bÁ 1,0 KMD

/ º·º

0,10

I ja I / /~ ~ y J / / /__ V V

~ .A'

J So~\,O / ---t;7'" / ~ V ~ /

/ / ~ V:::: V ~ 0,20

) I// ~ ~ V

// Jb ~ ~ . ,,, CURVAS DE DEFORMAÇAO AXIAL E CURVATURA

7~ ~~ EM SEÇOES DE CONCRETO ARMADO SEÇÃO CIRCULAR CHEIA

0,30

.

~ AÇO CA-508 llh/h = 0,10 0,40

E:0 = 10,0 1 w = 2,0 1

KND

Figura III. 16

34

muito bons quando a seçao estã submetida a esforços normais de

compressao, reduzindo-se a precisão quando, associados a esfo~

ços normais de tração são aplicados momentos fletores que pro­

vocam deformações muito grandes na zona tracionada, aproximan­

do-se de um estado limite ultimo por deformação excessiva na

armadura tracionada.

A determinação do ângulo~ de inclinação das

bielas de concreto, em cada nivel, através da expressao

{III.22), uma vez conhecidas as deformações longitudinais sh e

as tensões tangenciais ªt' conduz a um processo numérico iter~

tivo, que, repetido ao longo de toda a altura de seção em cada

iteração necessãria ao cãlculo dos esforços incrementais M e

N, resulta no consumo de um intervalo de tempo excessivo para

o dimensionamento prãtico de seções em concreto armado. Pores

te motivo, foram adotadas simplificações no método exposto, ba

seadasem hipóteses conservadoras da teoria de concreto armado,

para a determinação do ângulo~ ao longo da altura da seção.

Na zona comprimida da seçao sera suposto que o

concreto se comporta como um material homogêneo, submetido as

tensões longitudinais ªhn e tangenciais ªt· Desta forma, admi­

tindo-se que a inclinação~ das fissuras coincidem com a dire­

çao das tensões principais de compressão, pode-se determinar

com o auxilio do circulo de Mohr a inclinação ~a das tensões

de compressao no concreto, em cada elevação, na parte comprimi

da da seção.

1·

35

De acordo com a hipõtese acima formulada, pode­

se supor que a inclinação <Pa = 45°, resultante ao nivel da 1 i­

nha neutra da seção, se mantem em toda a zona tracionada, uma

vez que são nulas, as tensões longitudinais ºhn nesta zona.

b

' í Eh Ohn oh! oh o,

• '

=fdr ,

+.:N f, "'

+ ~

Ao

Fh Fh

Figura III.17

Esta simplificação, associada ãquela desenvolvi­

da a partir da expressão (II!.25), resulta em uma distribuição

linear das tensões longitudinais ºh' nos trechos entre barras

longitudinais, na zona tracionada da seção, conforme mostra a

Figura (III.17).

A adoção de maiores inclinações para as bielas

de concreto ao longo da altura acarreta uma redução nas ten-

l,

36

soes longitudinais ºht' calculadas com o aux1lio das equaçoes

{III. 1) e (III.26). Para equilibrar os esforços externos M e

N serã necessãrio um acréscimo nas deformações longitudinais

Eh' correspondentes aos esforços incrementados Ma e Na' de mo­

do a aumentar a tensão tangencial ºt mãxima e, consequentemen­

te, as tensões longitudinais ºht" Desta forma, o dimensionamen

to da armadura transversal, através da expressão (III.30), ba

seado nesta hipÕtese simplificadora para a determinação do an-

gulo de inclinação das bielas de concreto, resulta conserva-

dor, requerendo uma maior taxa de armadura transversal que

aquele baseado no trabalho complementar minimo.

Esta diferença de inclinação nas bielas de con­

creto e levada em conta nos critérios de dimensionamento ã for

ça cortante, adotados pelas normas citadas neste trabalho,

inclu1da numa parcela a subtrair das tensões tangenciais no

cãlculo da armadura transversal. Uma vez que o valor da tensão

subtrativa é definido pelas normas, fundamentado principalmen­

te em ensaios de vigas de seção retangular, T ou I, com armadu

ra principal disposta junto ao bordo mais tracionado da se­

ção, não foram adotadas neste trabalho reduções nas tensões

tangenciais resultantes do processo simplificado adaptado para

calculadoras programãveis.

Entretanto, outros autores (ver DIAZ 4•

5•

6•

19) ai

vogam a adoção destas reduções, desde jã, a fim de que a ana­

lise por este processo conduza a resultados coerentes com os

37

critêrios das normas, para os casos mais simples de seçao

transversal. As normas alemãs DIN 1045 3 e DIN 4227 21 ,indireta­

mente, efetuam estas reduções em suas prescrições.

O mêtodo iterativo para o cálculo dos esforços

incrementais Me N não pode, entretanto, ser dispensado no pri

cesso de dimensionamento ã força cortante, por não ser

vel definir a priori um valor suficientemente aproximado

estes esforços, conforme pode ser visto no Exemplo 6.1,

sentado no Capitulo VI.

~ poss1-

para

apre-

A definição dos esforços adicionais Me N, nece~

sários para o dimensionamento da peça no sentido longitudinal,

permite que este cãlculo tambêm possa ser efetuado unicamente

com os esforços solicitantes na seçao, sem a necessidade de es

calonar o diagrama de armadura necessãria, conforme prescrito

pelas normas de concreto armado.

O desenvolvimento do programa de dimensionamento

ã força cortante, adaptado para a calculadora programãvel HP-

41C, ê apresentado no Capitulo V deste trabalho, segundo os

critêrios de segurança das normas do CEB 1 e NB-1 2 • Consistente

com a simbologia adotada por estas normas, uma vez que o dimen

sionamento ã força cortante pela teoria apresentada se proces­

sa no estado limite ultimo, as solicitações e resistências de

cálculo utilizadas no desenvolvimento do programa serão identi

ficadas pelo indice d. Esta identificação não foi utilizada no

desenvolvimento da teoria devido a generalidade da mesma, pois

38

tambem se aplica ã norma DIN 1045 3, a qual possui um criterio

de segurança diferente das outras duas normas, não utilizando

a mesma simbologia.

39

CAP!TULO IV

PROGRAMA PARA GERAÇAO DE TABELAS DE DEFORMAÇÕES

Com o objetivo de reduzir o tempo de processame~

to do programa de dimensionamento ã força cortante, desenvolvi

do para calculadoras programãveis, apresentado no Capitulo V

deste trabalho, foi elaborado um programa de computador, em

linguagem FORTRAN IV, para geração de tabelas de deformações

em seçoes de concreto armado, de acordo com os principios bãsl

cos do CEB 1• Por interpolação nas tabelas geradas para varia­

das percentagens mecânicas de armadura, pode-se determinar as

deformações, correspondentes aos esforços Ma e Na aplicados

a seção, necessãrias ao dimensionamento ã força cortante, con­

forme a teoria exposta.

4. 1 - DESCRIÇAO DO PROGRAMA

O programa gera tabelas adimensionais de deforma

çoes em seçoes de concreto armado, estando adaptado para nor­

mas que seguem os mesmos criterios de dimensionamento estabele

cidos pelo CEB 1, como ocorre com a norma NB-1 2 e DIN 1045 3 • No

estãgio atual, o programa admite dois tipos de seçoes:

1. Seção retangular cheia com qualquer percentagem de armadura

nas faces superior, inferior e laterais, mantida a simetria

em relação ao eixo vertical z.

40

2. Seção circular cheia com armadura uniformemente distribu1da

em uma camada.

Pode, no entanto, ser adaptado, com pequenas modificações,p~

ra outros tipos de seções com um eixo de simetria.

Alem da geometria da seçao, sao dados de entrada

do programa as caracter1sticas do aço da armadura longitudinal,

os coeficientes de segurança da norma adotada e as percentagens

mecânicas de armadura das tabelas a serem geradas.

A ideia bãsica do programa, cujo desenvolvimento

e apresentado no fluxograma inclu1do no 1tem 4.2, e na descri­

ção das sub-rotinas dada no 1tem 4.3, consiste em subdividir a

ârea interna de uma curva de interação (ver por exemplo GRAS-

SER 14), e calcular, através de um processo numérico iterativo,

a deformada da seção (definida pela deformação relativa no cen

trÕide da seção e pela curvatura) correspondente ao par momento

fletor-força normal relativo a cada subdivisão, como pode ser

visto na Figura (IV. l ).

Os parâmetros de entrada nas tabelas, KND e KMD,

correspondem ao esforço normal relativo e ao momento fletor re­

lativo, de câlculo, divididos pelos fatores CN e CM, definidos

na sub-rotina CPAR, que reduzem as curvas de interação para di­

ferentes percentagens de armadura, w, a uma mesma dimensão.

KNDmin

KNDj

o

41

b......___ KMDJim

"-.

~

"

Kf,l)k 1

À . . D-t7" / AKMD

\ld KNO=-

CN

CURVA DE INTERAÇÃO PARA UMA

NTAGEM MECÂNICA DE ' '\ PERCE

ARMA D URA W

'

' ,

7v 1,0 KMO, µd CM

Figura IV.l

As tabelas que fornecem a deformação relativa no

CG da seçao e a curvatura relativa da seção, em função do par

momento fletor relativo-força normal relativa, são geradas fi­

xando um valor de KND e incrementando o parâmetro KMD atê atin

girou ultrapassar uma configuração deformada limite, conforme

definida na sub-rotina LIMIT. Se a deformada resultante para o

par (KNDj' KMDk) conforme Figura (IV.l), ultrapassa uma confi­

guração limite, o programa determina o valor KMDlim' que em

conjunto com KNDj atinge esta configuração, atravês de subdivl

sões sucessivas do ultimo incremento 6KMD. O valor de KMDlim e

da deformada a ele correspondente são impressos entre parênte-

42

ses nas tabelas. Nestas, a deformada impressa para o par

(KNDj' KMDk), fora da curva de interação, ê resultante de uma

extrapolação, baseada no valor KMDlim' objetivando seu uso em

interpolações para valores prõximos ã curva de interação.

A deformada da seçao para um par de esforços so­

licitantes Na e Ma ê dada nas tabelas em função da deformação

relativa ao n1vel do centro de gravidade da seção, Eo (EPCG) e

da curvatura relativa~ (FI), correspondente ao produto da cui

vatura K pela altura total da seção h, conforme Figura (IV.2).

Em tabelas baseadas nos critérios da norma DIN

1045 3, que adota coeficiente de segurança variâvel no dimensio

namento ã flexão, os parâmetros de entrada são definidos em

função dos esforços em serviço, e não dos de calculo, conforme

aqui apresentados.

4.2 - FLUXOGRAMA DO PROGRAMA

A relação das principais variâveis utilizadas no

programa principal e inclu1das no fluxograma, assim como os

seus significados, e dada a seguir:

XMIX

XNMI

percentagem mecânica mâxima de armadura do con

junto de tabelas

numero de tabelas do conjunto

DMI

NMI

XMI

AREA

se

FCD8

FYD

CN

CM

43

variação da percentagem mecânica de

entre duas tabelas consecutivas

valor inteiro igual a XNMI

armadura

percentagem mecânica de armadura de uma tabela

area total de armadura, correspondente a per­

centagem mecânica XMI de cada tabela

areada seçao retangular de base e altura uni­

tãrias ou circular de diâmetro unitârio

resistência do concreto a compressao, conforme

Figura IV.7, adotada no programa igual a

0.05 * FYD, para fins numéricos

resistência de cãlculo do aço

fator que divide a força normal relativa de

câlculo para obtenção do parãmetro KND de en­

trada nas tabelas

fator que divide o momento fletor relativo de

câlculo para obtenção do parâmetro KMD de en­

trada nas tabelas

CANMIN

CANMAX

Xl

NN

NM

DND

DMD

CAND

XN

V

CAMD

44

parâmetro KND correspondente ã força normal ma

xima de compressão, conforme Figura (IV.l)

parâmetro KND correspondente ã força normal ma

xima de tração, conforme Figura (IV.l)

variãvel auxiliar para determinação dos valo­

res de KND

numero de divisões entre KND . e KND -m,n max

numero de divisões do parâmetro KMD

variação entre dois parâmetros KND consecuti­

vos

variação entre dois parâmetros KMD consecuti­

vos

parâmetro KND variando com o indice contador J

força normal de serviço, correspondente ao pa­

râmetro KND

coeficiente de segurança

parâmetro KMD variando com o indice contador K

XM

EMAXC

EMINC

EPCG

FI

IT

CAM

SI

45

momento fletor de serviço, correspondente ao

parâmetro KMD

deformação longitudinal relativa, ao n1vel do

bordo superior da seção de concreto

deformação longitudinal relativa, ao nível do

bordo inferior da seção de concreto

deformação longitudinal relativa, ao n1vel do

centro de gravidade da seção

curvatura relativa da seçao

variãvel que define a posição da deformada

correspondente aos esforços XN e XM em relação

as deformações limites estabelecidas pela nor­

ma adotada, conforme Figura (IV.9)

variãvel auxiliar na determinação do parâmetro

KMD correspondente a uma configuração deforma­

da limite

valor unitãrio cujo sinal indica um incremento

ou decremento no parâmetro KMD na pesquisa da

configuração deformada limite

I L

CAML

EPCGL

FIL

TESTE

46

expoente que reduz o incremento DMD em cada

passo da pesquisa da configuração deformada li

mite

parâmetro KMD que em conjunto com o parâmetro

KND atinge uma configuração deformada limite

deformação longitudinal relativa, ao nivel do

centro de gravidade da seçao, para a configuri

ção deformada limite

curvatura relativa da seçao, para a configura­

ção deformada limite

variãvel para definição da prõxima operaçao a

ser realizada pelo programa.

47

INICIO

Leitura das características

do aço e norma

Leitura da geometria da seção

e do numero de tabelas

DMI=XMIX/XNMI

I=l ,NMI

Impressão do título

no topo da pãgina

48

XMI=FLOAT(I)*DMI AREA=XMI*SC*FCD8/FYD

CALL CPAR (Câlculo de CN, CM,

CANMIN e CANMAX)

Impressão das características do aço, da seção e percentagem

mecânica de armadura

Xl=AINT(CANMIN*NN)/NN DND=l ./FLOAT(NN) DMD=l ./FLOAT(NM)

J=l ,NN

49

7

CAND=Xl+FLOAT{J-l)*DND XN=CAND*CN*SC*FCD8/V

K=O

51--------------i

K=K+l

CAMD{K)=DMD*FLOAT(K-1) XM=CAMD{K)*CM*SC*H*FCD8/V

CALL PROC (Cãlculo de EMAXC E EMINC)

EPCG(K)={EMAXC+EMINC)*500. Fl{K)=(EMINC-EMAXC)*lOOO.

8

50

CALL LIMIT (Cãlculo de IT)

=1

=3

CAM( 1 )=CAMD(K) SI=-1 I L = 1

=2

CAML=CAMl+SI*DMD/(2.**IL) XM=CAML*CM*SC*H*FCD8/V

CALL PRDC (Cãlculo de EMAXC e EMINC)

IL=IL+l SI= l

51

CALL LIMIT (Cãl culo de IT)

= l

=2

=3

EPCGL=(EMAXC+EMINC)*500. FIL=(EMINC-EMAXC)*lOOO.

Impressão de CANO, EPCG(K), Fl(K),

CAML, EPCGL e FIL

CONTINUE

IL=IL+l SI= -1

52

Impressão de

CANMAX, EPMAX e FIMAX

CONTINUE

=T =S

=E

FIM

53

4.3 - SUB-ROTINAS USADAS PELO PROGRAMA

4.3.l - Sub-Rotina PROC

r a sub-rotina que comanda o processo iterativo

para a determinação da configuração deformada da seção para um

dado

todo

par de esforços Na o

da matriz de rigidez

e M . Este processo ê baseado no ''mê ªo

tangente'', proposto por SANTATHADA-

PORN et al. 10, o qual tem sido utilizado por vãrios autores em

diversas anãlises em peças de concreto armado (ver, por exem­

P lo, GALGOU L 1 8) •

Considerando-se a hipõtese de linearidade de de­

formações longitudinais ao longo da altura da seção, conforme

Figura (IV.2), e devido ao comportamento não linear dos mate­

riais concreto e aço, os esforços Ma e Na são definidos como

funções da deformação longitudinal s 0 , na altura da origem dos

eixos de referência, e da curvatura K. Utilizando o mêtodo de

Newton-Raphson estas relações podem ser escritas em termo de

incrementos de forças e deformações pela equação:

llNa aNa aNa

liso as0 aK

= (IV.l)

llMa aMa aMa

llK as ªK

o

Esta equaçao pode ser escrita da forma:

54

{t,f} = [Q] {t,D} (IV .2)

A matriz [Q], cujos termos serao definidos na

descrição da sub-rotina INTEG, ê denominada matriz de rigidez

tangente uma vez que ela representa a tangente a curva tensão­

deformação dos materiais, assim como a rigidez da seção.

A partir de uma configuração deformada inicial,

E0 e K, a sub-rotina INTEG calcula os esforços M e N corres-a a

pondentes aquela configuração, assim como os termos da matriz

de rigidez tangente. Resolvendo-se a equaçao (IV.l ), onde

- N a

- M a '

obtem-se os incrementas 6Eo e 6K a serem somados aos ultimas

valores de Eo e K, determinando-se a deformada base de uma no­

va iteração.

Considera-se alcançada a convergência em

de um par de valores E0 , K, quando tanto 6Eo quanto 6K

torno

forem

inferiores a um valor minimo de tolerância. Quando esta conver

gência não ocorre apõs vinte iterações, o programa assume que

a deformada da seção para os esforços dados ultrapassa o esta-

do limite ultimo, hipõtese esta que terã que ser confirmada

posteriormente na pesquisa do momento Ma que, em conjunto com

o esforço normal Na dado, conduz a uma configuração deformada o

55

limite, conforme Figura (IV.9).

(J

y

/ -A91

+

z

Figura IV.2

Determinados os valores de Eo e K, a sub-rotina

calcula as deformações longitudinais ao nível dos bordos supe­

rior (EMAXC) e inferior (EMINC) da seção de concreto, seguindo

a hipõtese formulada de linearidade de deformações ao longo da

altura da seção, conforme a Figura {IV.2).

E= EÜ + K.Z (IV.3)

Da mesma forma sao calculadas as deformações ao

nível do eixo das armaduras mais prõximas dos bordos superior

{EMAXS) e inferior {EMINS) da seção.

Internamente, o programa considera a origem dos

eixos no nível do bordo superior, ao qual são referidos os es-

56

forços e as deformações na seçao.

Os valores das deformações nas extremidades da

seçao de concreto e da armadura, calculados pela sub-rotina

PROG, são utilizados na sub-rotina LIMIT para comparação com

as deformações limites impostas pela norma adotada.

4.3.2 - Sub-Rotina INTEG

Esta sub-rotina determina os esforços M e N re a a -

sultante da integração numérica dos diagramas de tensão no con

ereto e na armadura, para uma dada configuração deformada Eo

e K, conforme Figura {IV.3), usando as equações {IV.4) e

( I V . 5 ) .

y

z

Figura IV.3

57

n ns e Na = I o . 6Ac + I ºs .. 6As . {IV.4)

i = l e · i j = l l J J

n ns e Ma = I o . z . 6A + I 0 s.·zs.· 6As . (IV.5) e. e . e . i = 1 l l l j = l J J J

onde nc e ns sao o numero de elementos em que a seçao de con­

creto e aço, respectivamente, foram divididos para a execuçao

da integração numerica. As tensões ºe. e ºs. são obtidas, atri. l J

ves das sub-rotinas CONCR e ACO, respectivamente, entrando-se

nas curvas tensão-deformação dos materiais com as deformações

se. e ss.' calculadas pela equação (IV.3). l J

Alem dos esforços Ma e Na' a sub-rotina INTEG

tambem calcula os termos da matriz de rigidez tangente [Q], de

acordo com as seguintes equações:

3N n ns e a = I E . 6A + I E . 6A 3so i = l Ci e.

j = l s . s . l J J

{IV.6)

3N 3M n ns e a a = I E . z . 6A + I E . z . 6A = dK dEQ i = l e. Ci e .

j = l s . s . s . l l J J J

(IV.7)

n ns 3M e

= l E .z 2 .6A + l E . z 2 • 6A e. e. e. s . s . s . dK i = l l l l j = l J J J

(IV .8)

onde E e E sao as tangentes as curvas tensão-deformação do e. s. l l

concreto e do aço, respectivamente, calculados pelas sub-roti

nas CONCR e ACO.

58

4.3.3 - Sub-Rotina ACO

A sub-rotina ACO e usada para a determinação da

tensão

çao da

a no sj

elemento de armadura !1As.' assim como a inclina­J

tangente ã curva tensão-deformação do aço,

çao da deformação relativa

INTEG.

calculada pela

Es .' em fun­J sub-rotina

O diagrama tensão-deformação do aço adotado

definido pela variãvel TS.

-e

Para o aço de dureza natural, TS = l., a sub-roti

na utiliza o diagrama da Figura (IV.4),onde

f - resistência de cãlculo do aço yd

Es - mõdulo de deformação longitudinal do aço

Eyd - deformação relativa de escoamento do aço, valor de cãlcu

lo

E -deformação relativa limite do aço, definida pela s l i m

norma

adotada: CEB e NB-1 -E =0.010 s l i m

DIN 1045 -E =0.005 s l i m

-E lim

-,4 arclan(EulO)

59

ª•

Figura IV.4

-4 are tan ( E

6x 10 )

Neste diagrama, foi adotada uma pequena inclina­

çao na tangente ã curva para deformações maiores, em mõdulo,

que syd' com o objetivo de melhorar a convergência do proces­

so, sem acarretar contudo, diferenças significativas no cãlcu­

lo dos esforços Ma e Na.

Para o aço deformado a frio, TS = 2., o diagrama

da Figura (IV.5} e utilizado pelo programa. Neste diagrama, de

cãlculo, baseado no diagrama definido pelo CEB 1 , o trecho pari

60

bÕlico foi substituído por quatro segmentos de reta, ligando

pontos dessa parãbola, conforme Figura (IV.6). lambem foi ado­

tada uma pequena inclinação na tangente ã curva para deforma­

çoes maiores, em mõdulo, que (Eyd + 2 °100

).

VER FIGURA ( IV. 6 )

1yd --- --r-~-.=.=--;r-T"--="==i='=f=-= / I'

0,7 1yd

1 1 / I 1 / 1 1 /

-2%.,

-(E +2%.,) -E dl -CJlE d are tan

I E5 ,(

1 , ,

, , 1

{ : /1 1 1 1

/ 1 1 / 1 1

/ 1 1 / 1 1

/ 1

1 / 1

1 / 1 '/

I / /

0,7 E, eyd

2%.o

---- -0,7fyd

==d-li---~__jk,:=::::-:_J ----- - 1yd

-4 are tan (E9 xlO )

Figura IV.5

/ 1 / 1

/ 1 / 1

/ 1

/ 1 /

E., lim t;

61

º· ~ )5 E:,~+ 0,823 ( f -0,7 s Es yd

fyd

0,95 ty,1

0,90 fyd

-------~--;;;.-~----===-____ /

0,80 fyd

Q70 1yd

4.3.4 - Sub-Rotina CONCR

I ~ I

/

Figura IV .6

I

/ /

/ I

I I

/ /

I /

I

Esta sub-rotina calcula a tensão cr na area ele c. l

mentar de concreto 6A , assim como a c. inclinação da tangente ã l

curva tensão-deformação do concreto, E , c. 1

ção relativa E: , calculada em cada nivel Ci

INTEG.

a partir da deforma-

pela sub-rotina

A sub-rotina utiliza o diagrama tensão-deforma­

çao dado na Figura (IV.7), onde fcd corresponde ã uma resis­r

tência mãxima convencional do concreto ã compressao,para defor

- o -maçoes relativas maiores, em modulo, que 2 /00

, e que e defi-

62

nida conforme a norma adotada:

Para as normas do CEB 1 e NB-1 2:

Para a norma DIN 1045 3:

fcd =SR= 0.7 BwN (para BwN < 35.0 MPa) r

onde BwN e a resistência cúbica convencional definida por esta

norma.

Ec

-f d t r

-4 an: tan(E0 x 10 )

o

are tm ECo

-2.0 %o

Figura IV.7

-4 an: !an(E'ioxlO J

63

Neste diagrama, para facilitar a convergência do

processo, foi adotada uma pequena inclinação na tangente a cur

va para deformações positivas e menores que - 2 °;00

.

4.3.5 - Sub-Rotina CPAR

Esta sub-rotina determina os parâmetros CN e CM,

introduzidos nas tabelas de deformações com a finalidade de re

duzir a um mesmo tamanho as curvas de interação de uma seçao

de concreto com variadas percentagens mecânicas de armadura,

se usadas as mesmas escalas nos eixos verticais e horizontais

dos diagramas.

'

CN

CURVA DE INTERAÇÃO PARA UMA

PERCENTAGEM MECÃNICA D·E AR·MADURA

W : A, fyd

Ac fcdr

Mod µ: ----

Ae-h-fcdr

Figura IV .8

64

O cãlculo dos parâmetros CN e CM, conforme mos-

tra a Figura {IV.8) consiste na determinação do esforço normal

relativo mãximo de compressão, vd . m1n

e de tração, vd , e

momento fletor relativo mãximo, µd , max

nica de armadura w de cada tabela.

max para a percentagem

do

meca

De acordo com as configurações deformadas no es­

tado limite ultimo, estabelecidas pela norma adotada, conforme

Figura (IV.9), o cãlculo dos esforços normais mãximo de tração

e compressao se resume a determinação, pela sub-rotina INTEG,

dos esforços correspondentes a uma curvatura K nula e deforma­

çao longitudinal Eo igual ao limite de alongamento do aço na

tração, E , s 1 . ,m

conforme as Figuras (IV.4) e (IV.5) ou ao encur

tamento mãximo do concreto, em caso de compressão centrada, li

mitado pelas normas em 2 °100

. Utilizando a sub-rotina INTEG,

o programa pesquisa a configuração deformada correspondente ao

momento mãximo resistido pela seção, fixando a deformação no

bordo superior da seção de concreto em seu valor limite,

EMAXC = - 3.5 °100

, e incrementando a deformação mãxima na ar-

madura, EMINS, a partir de um valor inicial arbitrado em

4.3.6 - Sub-Rotina LIMIT

Esta sub-rotina tem por finalidade verificar se

a deformada calculada atraves da sub-rotina PROC, para um par

de esforços Ma e Na, ultrapassa as deformações limites no con-

ereto ou no aço, impostas pelas normas, conforme a Figura

..,

65

(IV.9).

r---------------------------1

A&.i!::-.--------------<--------f 'i;.m e: d L------------------~----------L----~---------'~

Figura IV.9

O resultado da verificação e transmitido pela va

riãvel IT como se segue:

IT = l - Significa que as deformações limites do concreto ou

do aço não foram atingidas.

IT = 2 - Significa que uma configuração limite foi atingida,

correspondendo na Figura (IV.9) a uma linha deformada

contida em uma das zonas numeradas de l a 5, passando

portanto por um dos pontos A, B ou C.

66

IT = 3 - Significa que pelo menos uma das deformações limites

do concreto ou do aço foi ultrapassada.

4.3.7 - Sub-Rotina ERROR

ta sub-rotina destinada a imprimir uma mensagem

de erro quando algo anormal ocorre na execuçao do programa,co~

forme a relação incluida no Apêndice A-2.

67

CAPTTULO V

PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO Ã FORÇA CORTANTE

Neste capTtulo serã apresentado um programa de d1 mensionamento ã força cortante, baseado no método da seção equ1

valente, exposto no CapTtulo III, desenvolvido para a calculado

ra programãvel HP-41C.

A listagem do programa, instruções para seu uso e

o conteúdo dos registros de memõria são fornecidos no Apêndice

B deste trabalho, em duas versões:

l. SHEDR - para dimensionamento de seçoes retangulares cheias

com armadura distribu1da nas quatro faces, admitindo qual-

quer distribuição percentual entre elas, desde que seja man­

tida a simetria em relação ao eixo vertical z.

2. SHEDC - para dimensionamento de seçoes circulares cheias com

armadura uniformemente distribu1da em uma camada.

Com algumas modificações, o programa pode ser

adaptado para outras seções, simêtricas em relação ao eixo z,

conforme pode ser visto na listagem do programa SHEDC, apresen­

tada na forma de alterações a serem introduzidas na listagem do

programa SHEDR.

O programa tambêm pode ser adaptado, sem maiores

dificuldades, para os critérios de segurança da norma DIN

68

1045 3, introduzindo-se a variação do coeficiente de segurança,

a partir da configuração deformada obtida por interpolação nas

tabelas de deformações, que seriam geradas de acordo com os

criterios desta norma, conforme visto no Capitulo IV.

5 .1 - DESCRI ÇJ!.O DO PROGRAMA

Para o dimensionamento ã força cortante, baseado

no mêtodo da seçao equivalente, o programa adota um processo

iterativo na determinação dos esforços incrementais Md e Nd,

resultantes das tensões longitudinais ºht' conforme figura

(III.12).

Com os valores iniciais de Md e Nd arbitrados l l

em O e 0,707.Vd , respectivamente, o programa procede a detei

minação das tensões ºht ao nivel de cada divisão da seção, a

partir das deformações longitudinais correspondentes aos esfor

ços incrementados Madl = Md + lild1

e Nadl = Nd + Nd1

·

Comparando-se os valores de Mad e Nad' obtidos

atravês dos esforços Md e Nd, resultantes da integração numêri

ca do diagrama de tensões longitudinais ºht' com os valores

iniciais Mad e Nad , constata-se a necessidade, ou nao, de l l

uma nova iteração.

Atravês de uma sub-rotina (•LBL R), o programa

determina a ãrea equivalente A~ de cada elemento em que a se­

ção foi dividida, conforme Figura (V. 1), baseada na deformação

69

l o n g i tu d i na l s2 m . a o n i v e l d o e i x o medi o d este e l emento. D e , acordo com a hipõtese adotada de linearidade de deformações ao

longo da altura da seção, a deformação s2 m. em cada nivel e , dada pela equação:

( V . l )

sendo z a denominação aqui dada ao eixo vertical, com a origem

na elevação do bordo superior da seção, adotado

no programa.

bm;

e , ...

.e

z

Figura V.l

internamente

Erm;

+

70

A ârea equivalente de cada elemento Af, e obtida

através da equaçao:

A~= 1

+ A • E s . s . (V. 2) 1 1

onde:

A - area de concreto do elemento, descontada a area ocupada Ci

p e 1 a armadura : A e. 1

E - inclinação da tangente ã curva tensão-deformação do con e . 1

ereto, no ponto de deformação s2m., conforme 1

(V. 2)

figura

A - areada armadura longitudinal no intervalo bz do elemen-s . 1

to

Es. - inclinação da tangente ã curva tensão-deformação do aço, 1

no ponto de deformação s- Para o aço tipo B, foi su-zm;

posta uma variação linear na inclinação da tangente a

curva, no trecho compreendido entre as deformações 0,7 Eyd

e (syd + 2 °/00

), conforme Figura (V.3~

-0,85 fcd

Ezmi

71

are tan Ec1

1 1

1 1 1 1 1

1 1

-2,0 %o

Figura V.2

-3,5 'Yoo

o,

fyd -----,--=-"T"'"------, 1, /1

0>7 fyd ----

/ 1 / 1

1 / t

1 1

1

1 / 1 1 / J

1 / 1 1 /

1 / I 1 I; 1

are tan1

E5 j 1 1 / I

0,7Eyd Eyd

2°/oo

Es +-----,...

0,7~

Figura V.3

72

A ãrea total da seçao equivalente Ae, a profundi -dade z do centrõide desta seçao e o momento de inercia!, em

relação a este centrõide, são obtidos, numa primeira etapa do

processo numerico, pelas equações:

n Ae = I A~

l 1 ( V • 3)

n - (I e - ) e z = Ai . zm. / A l 1

( V • 4)

n e -2 I = I A .. Z11 - Ae .22

1 ' . l 1 (V. 5)

onde n e o numero de elementos em que foi dividida a seçao.

Na segunda etapa do processo numerico, repete-se

o cãlculo da ãrea equivalente de cada elemento, para a determi

nação do momento estãtico Si em cada nivel da seção equivalen­

te, em relação ao seu centro de gravidade:

S = l: A~ (z i 1

(V. 6)

Com o valor do momento estãtico da seçao equiva-

lente pode-se determinar a tensão tangencial ªt., de 1

com a teoria exposta, pela equaçao

acordo

(V. 7)

sendo ªt. , inferior de

çao.

73

a tensão tangencial ao n1vel do bordo

cada elemento, e bi a largura da seçao nesta eleva

A tensão tangencial ªt ao nível do eixo mêdio mi

de cada elemento pode ser obtida por interpolação, usando a

tensão tangencial a do elemento anterior. tm. 1 , -

Com o valor da deformação longitudinal E-z em m. , cada nível, o programa determina a tensão l ongi tudi nal ªh no n. , concreto, usando a curva tensão-deformação do concreto, dada

na Figura (V.2).

Serã adotada aqui a hipõtese de que a inclina-

çao das fissuras se orientam de acordo com as tensões princi­

pais de compressao, supondo um comportamento homogêneo do mate

rial e atuantes somente as tensões ªhn e ªt no concreto, como

explicado no Capitulo III. O programa, atravês de equações ob­

tidas com o círculo de MOHR, determina a inclinação cJ>a. das , tensões de compressão na zona comprimida da seção. A tensão

longitudinal ªh. sera dada por: 1

G <j,. cos 2 cj,a. 1 ,

( V . 8)

Com a hipótese simplificadora dada acima quanto

ao ângulo cj,, prova-se (ver CEB 8,

9) que a tensão ª<P nas bielas

e numericamente igual a -( lcr 1 1 + lcr 11 1), onde cr 1 e ªII sao as

74

tensões principais fictícias obtidas com as tensões ªhn e ªt·

A tensão

forças incrementais Md

de ªh .. l

longitudinal ªht.' responsãvel pelos e~ l

e Nd pode ser obtida deduzindo-se ªh n .

l

Na zona tracionada da seçao, a inclinação$ das

bielas de concreto serã considerada igual a 45°, resultando:

equaçoes:

sendo que na

ªt. l

( V • 9)

Os esforços incrementais sao calculados pe 1 as

n = I (V.10)

1

(V.11)

equaçao (V.11) o momento fletor Md

estã referido a origem do eixo z.

Ainda na segunda etapa do processo numerico, o

programa pesquisa o valor mãximo da tensão tangencial ªt e o

parâmetro b.at.tan$/cosw que conduz ã mãxima armadura transver

sal, ao longo da altura da seção. Assim, para a seção circular

a pesquisa da armadura transversal mãxima deve levar em conta

a variação da largura bm. e do ângulo w de inclinação do estri l

75

bo em relação ao eixo z, conforme Figura (111.1).

A armadura transversal mãxima corresponderã ao

mãximo valor de -(ov.·bm_lcosw), onde

a V •

l

l l

= ºt. l

(V.12)

r de se notar que o valor ºt·tan~ ê numericamen­

te igual ao valor da tensão principal ficticia de tração o1

,

calculado supondo que~ seja igual a ~a' ângulo de inclinação

da tensão principal ficticia de compressão 0 11 , calculado com

a hipÕtese de material homogêneo sob a ação das tensões ºhn e

ºt·

Determinadas as tensões ao longo de toda a altu-

ra, o programa calcula os esforços incrementados Mad e Nad a

serem

caçao

comparados com os valores iniciais M d a 1

da convergência do processo iterativo.

e N d na verifi a 1

Atingido o equilibrio entre os esforços solici­

tantes Md e Nd e as tensões longitudinais ºh' o programa calcu­

la a armadura transversal mãxima, por comprimento unitãrio ao

longo do eixo da peça, necessãria na seção, pelas expressoes:

Para seçoes circulares:

A sw =

COSWi • f ywd (V.13)

76

Para seçoes retangulares:

A sw

ºt _.tan<Pa .. b 1 1

= ---'------

f ywd (V.14)

5.2 - FLUXOGRAMA DO PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO Ã FORÇA

TANTE

COR-

LBL SHEDR

L BL MAT

2 1--------i

LBL SEC

OMEG=(w)

T AB. 1

4

Entrada das propriedades dos materiais e fatores de segurança

Entrada da geometria da seçao

Percentagem mecânica de armadura

Entrada de w, CN e CM 1 1 1

4

N

s

T AB. 2

3 1--------i-----_J

LBL FORC

N

s

XEQ M

FL AG

5 \...-----...-+~----'

LBL DEF

6

77

Entrada dos esforços solicitantes

Esforços Mad e Nad 1 1

6

TAB. 1 XEQ K XEQ E

TAB.2 XEQ K XEQ E

XEQ I

EPCG=(E 0 ) FI=(,p)

7

78

Entrada dos parâmetros KM, KN, EP e FI

Entrada dos parâmetros KM,KN,EPeFI

Sub-rotina de interpolação

Deformações resultantes da interpolação

7

LBL C

XEQ R

e 'LA.

l e -

IA .. z111

• l l e _2

IA;. Zm;

DSE ndiv

Calculo de z e I

8

79

Sub-rotina para o calculo da ãrea equivalente, em cada nível zm;

_ e _ e z=( IA;. Zm; )/A

e _2 e _2 I=EA;.zm;-A .z

8

LBL D

XEQ R

cãlculo de

si, 0 t;•

ºt , ºI • max max

Nd e Mct(topo)

DSE ndiv

s

Cãl cul o de

Mad e Nad

9

N

80

1 O

e S; =l:A;. (z-zm·) , .':_t;=Si .Vd/(b.I)

Nd=l:( ºht; · b. ln)

Md=l:Nd; .Zm; (topo)

Esforços Mad e Nad resultantes

9

XEQ M

s 5 l---'--<

N

L B L RE S

G)----------t XEQ MAT

G)i-------------l XEQ SEC

0)--· -------t XEQ FORC

81

10

S - nova iteração a partir dos esforços Mad e Nad

Tensões e armadura transversal mãximas resultantes

Câlculo para novas propriedades dos materiais

Câlculo para nova geometria da seçao

Cãlculo para novos esforços

82

CAPTTULO VI

EXEMPLOS

6.1 - EXEMPLO 1

Neste exemplo serã estudado o comportamento dos

esforços internos adicionais Md e Nd, resultantes das tensões

longitudinais no concreto ºht' para uma força cortante Vd cons

tante e diversos pares Nd e Md, distribuidos no interior da

curva de interação para uma percentagem mecânica de armadura

w.

Dados: seçao circular cheia

Diâmetro: h = 1,0 m

Cobrimento: 6h = 0,10 m

Concreto: fck = 25,0 MPa

Aço CA-50B: fyk = 500,0 MPa,fywk = 420,0 MPa

Armadura: As = 0,012795 m2 + w = O, 5

Força cortante: V= 450 kN + fd = 675 kN

Os resultados obtidos atraves do processo itera-

tivo do programa SHEDC, para 20 pontos distribuidos no inte-

rior da curva de interação para w = 0,5 são dados na tabela

(VI.l).

Os pontos escolhidos, correspondentes aos esfor­

ços Md e Nd' sao mostrados na Figura (VI. l), juntamente com os

83

deslocamentos devidos aos esforços internos Md e Nd. Os pontos

deslocados correspondem portanto, aos esforços

Mad e Nad·

incrementados

Como pode ser observado na Figura (VI. l), existe

uma grande variação dos esforços incrementais Md e Nd em fun­

çao da deformação relativa ao nível do centro de gravidade s 0

e da curvatura relativa~. para uma mesma força cortante Vd.

Quando a linha neutra se encontra abaixo do cen­

tro de gravidade da seção, s 0 < O, os esforços Md e Nd aumen­

tam com s 0 e~. havendo porem uma mudança neste comportamento

quando a linha neutra se aproxima do bordo superior da seçao.

Assim,o esforço Nd passa a diminuir com o aumento da curvatura

relativa~ embora aumentando com a deformação relativa s 0 ,ati~

gindo seu valor mãximo, igual a Vd.cot $, no caso de tração

centrada, conforme mostrado por DIAZ 5• O esforço Md passa adi

minuir com o aumento da curvatura relativa~ e da deformação

relativa s 0 , atingindo valores negativos. Este comportamento

pode ser melhor entendido atraves das Figuras (VI .2) e (VI .3),

onde sao mostrados os diagramas de deformações e tensões longi

tudinais e tangenciais de duas das seções analisadas, apresen­

tando configurações deformadas próximas do estado limite Últi­

mo, com a linha neutra abaixo (seção 8) e acima (seção 15) do

centro de gravidade da seçao.

Nos casos em que a seçao estã toda

como, por exemplo, a seção 1, cujos diagramas de

comprimida,

deformações

84

e tensões sao mostrados na Figura (VI .4), os valores resultan­

tes para os esforços incrementais Md e Nd sao muito pequenos.

Devido ã pequena inclinação ~a das tensões de compressao em

quase toda a seção, as tensões longitudinais ºh' calculadas p~

la equação (V.8), resultam praticamente iguais ãs tensões lon­

gitudinais ºhn' ocasionando, desta forma, tensões longitudi­

nais ºht' responsãveis pelos esforços incrementais Md e Nd'

muito reduzidas.

SEÇ/10 Md{kNm) Nd{kN) Mad{kNm) Nad ( k N) Nd(kNm) Nd(kN)

1 458,0 -14003,7 461 , 6 -13951 ,3 3,6 52,4

2 686,9 -11849,3 690,9 -11788,5 4, O 60,8

3 1144,9 -11849,3 1156,2 -11774,9 11 , 3 74,4

4 11 44 , 9 - 8617,7 11 54, 1 - 8521 ,3 9 , 2 96,4

5 1831,9 - 8617,7 1870,4 - 8413,l 38,5 204,6

6 686,9 - 6463,3 695,7 - 6350,5 8,8 1 1 2 , 8

7 1602, 9 - 6463,3 1635,1 - 6235,0 32,2 228,3

8 2060,8 - 5386,0 2114,6 - 5019,7 5 3, 8 36 6, 3

9 1144,9 - 3231 ,6 11 80, 5 - 2868,0 35,6 363,6

1 O 2060,8 - 3231 ,6 2100,2 - 2783,8 39,4 447,8

TENSAO ºt MIIXIMA

z ( m) ot(kPa)

O, 6 50 1188,8

0,610 11 58, 1

0,690 l 30 2, 8

0,570 l 20 3, 6

0,550 1377,8

0,550 1133,6

0,470 1 3 28, 8

0,470 1260,8

O, 3 70 1254,2

0,390 1292,4

ARMADURA MIIXIMA

z (m) ºt·tan<j,a Asw(m2/m)

O, 71 O 1 11 , 6 0,00033

O , 71 O 1 2 5 , 7 0,00037

0,890 11 9, 6 0,00092

0,830 1 9 4 , 9 0,00071

O, 71 O 938,8 0,00274

0,870 1 44 , 3 0,00070

0,670 803,4 0,00229

0,550 1153,2 O ,00317

0,550 935,8 O, 002 5 7

0,450 1 2 38 , 1 0,00340

continua ...

00 o,

SEÇ)IO Md(kNm} Nd(kN} Mad(kNm} Nad (kN}

l l 458,0 - 2154,4 470,9 -1796,8

1 2 l 60 2, 9 - 2154,4 l 639, 6 -1686,8

l 3 1831 , 9 - 1077,2 1806,7 - 597 ,6

l 4 1144,9 0,0 1157,5 5 59, 9

l 5 l 60 2, 9 0,0 l 540 ,o 508,7

l 6 686,9 1077,2 675,4 l 7 08 , O

l 7 1373,9 1077,2 1267,0 1621,9

18 458,0 21 54, 6 44 7 ,o 2822,7

l 9 91 5, 9 21 54, 6 804, l 2769, 2

20 229,0 3231 ,6 223,5 3905,9

TENSAO ªt MÃXIMA

Nd(kNm) Nd(kN} z (m} crt(kPa)

l 2 , 9 357,6 0,390 1321 ,4

36,7 467,6 0,370 1187,7

-25,2 479,6 0,270 1824,2

l 2 , 6 559,9 0,290 1200,6

-62,9 508,7 0,230 2293,2

-1 l , 5 630,8 0,210 11 84, 8

-106,9 544,7 O , l 9 O 3013,2

-11 , O 668, l O, 4 30 1075,l

-111,8 614 , 6 O , l 7 O 2357,9

-5,5 6 7 4, 3 0,430 1096,3

Tabela VI.l

ARMADURA MÃXIMA

z (m} ªt·tan,j,a ASW(m2/m)

0,550 685,0 0,00188

0,430 1137,9 0,00313

0,330 1715,9 0,00488

O , 31 O 1197,2 0,00345

0,290 2071 ,5 0,00605

O , 21 O 11 84, 8 O ,00384

0,230 28 54 , O 0,00891

O , 11 O 464, 7 0,00358

O , l 70 2357,9 0,00858

0,230 987,7 0,00309

00

"'

-0,50

-0,30

0,0

0,10

0,30 +----'---....___-~-L----'

KND

87

~ SEÇÃO DE CONCRETO IL:LJ TODA COMPRIMIDA

0,9

CURVAS DE DEFORMAÇÃO AXIAL E CURVATURA EM SEÇOÊS DE CONCRETO ARMADO

SEÇÃO CIRCULAR CHEIA

AÇO CA-~08 t.h/h •0,10

! w, o,~ 1

1,0

Figura VI. 1

KMD

r z

"'

LINHA NEUTRA

'~

SEÇAO 8

a, <t "} o " IN

Nd'·

./ Md' 2060,B

lj), 5,293

kNm

E:, 2,390

DEFORMAÇO-ES LONGITUDINAIS

E: (%o)

TENSO-ES LONGITUDINAIS

oh

Figura VI. 2

Nad, - 5019,7 kN ---1-=

M0d, 2114,6 kNm

a, :2 <t ô " a1• tan <j,

0 1N

o1, 1260,B kPa

a1, 1153,2 kPa

TENSOES TANGENCIAIS

a,

co co

"' ,.._

"' ô " IN r

LINHA NEUTRA

,.

1

' Md e 16 02,9 kN

''

SEÇAO 15

+

E' 6,565

DEFORMAÇOES LONGITUDINAIS

E (%o)

___ ~s_o_a,_7_k_N __ _

M0d, 1540,0 kNm

TENSOES

LONGITUDINAIS

oh

Figura VI. 3

"' "' ô " IN

o1, 2293 kPa

o1, 2071 kPa

TENSOES TANGENCIAIS

ºt

L.,,,..

r '"--

,~ .

SEÇAO

E:•-2,135

E: 0 -2,0

tj)•l,296

•

E,,•-1,487

E:" -0,839

DEFORMAÇOES LONGITUDINAIS

E: (%o)

/ ah•-0,85 fcd

0hn~

" /J

li . f ~--

I I

I

TENSOES LONGITUDINAIS

ah

Figura VI. 4

1 1 1

' _\Nad•-13 ' r951,3kN1

Mad" 461,6 kNm 1

o· t

o IO <D

ô " IN

' ' ' 1

o1 a 1188,8 kPa ah

' TENSOES TANGENCIAIS

a,

<O o

91

6.2 - EXEMPLO 2

Este exemplo tem por final idade estudar a in-

fluência da força normal e do momento fletor no dimensionamen­

to ã força cortante. Serã analisada uma viga de seção retangu­

lar, com armadura distribuída nas quatro faces, bi-apoiada,com

uma carga concentrada no centro do vão, conforme Figura

(VI.5).

1 1 1

j P' 700 kN

h,~oo LS. 2 3 4 5 ~

l 1

s,oo l 1

5,00 l 1

6h ,Q,05

~ 1050 1400

SEÇÃO TRANSVERSAL

DIAGRAMA DE lilSMENTO FLE TOR

(kNm)

1750

3õ0~1 ___ + _________ ~ ..._ _____ ___,1350

DIAGRAMA DE FORCA CORTANTE

(k N)

Figura VI. 5

Dados: seçao retangular cheia

Base

Altura

Cobrimento

b = 0,40 m

h=l,DDm

6h = 6h' = 0,05 (distância do CG da arma­

dura ao bordo mais prõxi­

mo)

92

Concreto f ck = 30,0 MPa

Aço CA-50B f yk = 500,0 MP a, f ywk = 420,0 MPa

Armadura A 5 tot =0,01564m 2 '" w = l , o

Nesta anãlise, a armadura longitudinal sera con­

siderada constante em toda a extensão da viga. Cinco seçoes,

igualmente espaçadas de 1,0 m, serão dimensionadas para uma

força cortante constante, V= 350 kN, e diversas configurações

deformadas.

Com o objetivo de estudar a influência do esfor­

ço normal no dimensionamento a força cortante, para os mesmos

momentos fletores solicitantes serao aplicadas a viga diferen­

tes forças normais, de compressão, incrementadas atê atingir,

na seçao central, uma deformada prõxima do estado limite Ül ti­

mo.

Os resultados do dimensionamento ã força cortan

te das cinco seções estudadas, executados pelo programa SHEDR,

para cada força normal solicitante, são apresentados na Tabela

( V I . 2 ) .

Na seçao 5, onde existe uma variação brusca na

força cortante, as simplificações adotadas na teoria exposta

não se aplicam integralmente. Considerando-se que a fissura de

flexão, nesta seção, se forma perpendicularmente ao eixo da vi

g a , as tensões l o n g i tu d i na i s oh t , conforme F i g u r a ( I I I. l 2 ) , se

anulam. Neste caso, os esforços solicitantes Md e Nd não neces

93

sitam ser incrementados no dimensionamento ã flexão, ã seme-

lhança do processo de deslocamento do diagrama de força na ar­

madura baseado na teoria clãssica de treliça.

Nas seçoes adjacentes ã seçao 5, devido ãs ten­

soes tangenciais ºt' as inclinações das fissuras diminuem, au

mentando-se, consequentemente, as tensões longitudinais ºht'

responsãveis pelos incrementas Md e Nd.

O dimensionamento nesta zona de transição requer

uma anãlise mais detalhada da teoria exposta, levando-se em

consideração os efeitos da introdução da carga concentrada no

fluxo de cisalhamento da viga.

Neste exemplo foi adotada uma simplificação no

dimensionamento da seção central, ã força cortante, considera~

do-se as tensões longitudinais ºhn resultantes dos esforços so

licitantes Md e Nd.

Na Tabela (YI.3) sao tambem apresentados os re­

sultados do dimensionamento das seções a força cortante, para

os quatro casos de força normal, baseado na teoria de cisalha­

mento, pela qual as tensões cisal hantes, no estado 1 imite Ül ti

mo, são obtidas dividindo-se o esforço cortante pela largura

da seção e pelo braço de alavanca das forças internas. Devido

ao propÕsito comparativo deste dimensionamento, nenhuma redu-

ção foi feita nas tensões cisalhantes de cãlculo, conforme

prescrevem as normas de dimensionamento. Em virtude da indefi-

94

nição do conceito de braço de alavanca das forças internas em

seções inteiramente comprimidas, a seção não pode ser dimen-

sionada nos casos de forças normais mais elevadas.

Na Figura (VI.6) sao mostrados os desenvolvimen­

tos da linha neutra e das deformações longitudinais nos bordos

superior e inferior, ao longo da viga, para as diferentes for­

ças normais.

Nas tabelas apresentadas, observa-se que, na fl~

xao simples, a teoria de tensão cisalhante, baseada no braço

de alavanca das forças internas, fornece resultados compatí­

veis com o do metada da seção equivalente, enquanto não ocorre

a plastificação no concreto e as deformações no aço permanecem

na zona elãstica. No entanto, para seçoes em que as solicita­

ções conduzem a deformações longitudinais prõximas dos limites

admitidos para o concreto e o aço, a redução do braço de ala­

vanca das forças internas na flexão não corresponde ã redução

na ãrea equivalente, resultando portanto num sub-dimensionamen

to ã força cortante.

Devido ao criterio adotado para o cãlculo da

armadura transversal na zona comprimida da seção, baseado no

valor de ºt·tan~a' o esforço normal de compressao contribui,

de um modo geral, para a redução desta armadura. Porem esta re

dução nao se processa de uma forma uniforme, podendo, inclusi­

ve, reverter num acrescimo de armadura quando as solicitações

conduzirem a uma deformada mais prÕxima de um estado limite ul

95

timo, conforme pode ser visto nos resultados para a seçao 5,

na Tabela (VI.2).

SEÇIIO M(kNm) N ( kN) Mad(kNm) Nad(kN) EO X 1 0 3

1 350,0 0,0 540,0 4 7 6 , l 0,225

2 700,0 0,0 1078,0 436,4 0,324

3 1050,0 0,0 1607,3 416,4 0,453

4 1400 ,o o. o 2119,6 404,9 0,930

5 1 7 50 , O 0,0 - - l , 9 3 2

1 350,0 -1000,0 555,7 -1158,6 -0,085

2 700,0 -1000,0 1090,0 -1143,0 0,007

3 1050,0 -1000,0 1618,3 -1140,9 O , 1 O 1

4 1400,0 -1000,0 2143,2 -1142,0 O , 2 21

5 1750,0 -1000,0 - - 0,400

TENSJIO ªt MIIXIMA

iJ) X 1 0 3 - (m) ªt ( kPa) z

O, 9 87 O, 390 1689,2

1 , 889 O, 390 1 702, 1

2,893 O, 390 1722,3

5,008 0,330 1862,8

9,794 0,230 3314,8

0,705 0,410 1842,8

1 , 60 2 0,390 1747,9

2,534 0,410 1724,1

3,624 0,410 1 7 38, O

5,488 0,390 1835 ,8

MIIXIMA ARMADURA

z ( m) ªt·tan<j,a Asw(m2/m)

0,390 1689,2 0,00185

0,390 1702,l 0,00186

0,390 1722,3 0,00189

0,330 1862,8 0,00204

O , 31 O 2891,5 0,00317

0,630 1446,0 0,00158

0,510 1653,5 O ,00181

0,470 1697,7 0,00186

0,450 1725,9 0,00189

0,430 1827,7 0,00200

continua ...

<O m

lENSAO ºt MIIXIMA MIIXIMA ARMADURA

SEÇ/10 M(kNm) N(kN) Mad(kNm) Nad(kN) E:o X 1 0 3 1/) X 1 o 3 z (m) crt(kPa) -z ( m) ºt·tan<Pa ASW(m2/m)

1 350,0 -2000,0 542,0 -2820,9 -0,299 0,589 O , 51 O 1816,9 0,690 722,6 0,00079

2 700,0 -2000,0 1084,8 -2750,3 -0,262 1 , 36 7 0,450 1873,5 0,690 1305,8 0,00143

3 1050,0 -2000,0 1619,6 -2712,3 -0,194 2,299 O ,4 30 1789,3 0,590 1574,6 0,00172

4 1400,0 -2000,0 21 49, O -2693,8 -O, 127 3,323 0,450 1761 ,6 0,550 1668,8 0,00183

5 1750,0 -2000,0 - - -0,166 4,695 0,470 1808,7 0,550 1757,4 0,00192

1 350,0 -3000,0 5 31 , 3 -4387,7 -0,480 0,609 O , 51 O 1807, 1 O , 61 O 459,9 0,00050

2 700,0 -3000,0 1070,0 -4347,5 -0,486 1 , 2 71 0,490 1875,0 0,890 798,3 0,00087

3 1050,0 -3000,0 1611,3 -4291, 1 -0,460 2, 1 4 3 0,470 1863,9 0,730 1285,5 0,00141

4 1400,0 -3000,0 2147,7 -4250 ,8 -0,446 3,284 0,490 1828,4 0,650 1572,7 0,00172

5 1750,0 -3000,0 - - -0,640 5,037 0,550 1867,7 0,630 1803,0 0,00197

Tabela VI.2

SEÇI\O M(kNm} N ( k N} E:OX10 3 1/JX 1 0 3

1 350,0 0,0 O, 1 1 5 0,866

2 700,0 0,0 0,224 1 , 7 5 2

3 1050,0 0,0 0,330 2,675

4 1400,0 0,0 0,575 4 , 11 6

5 1750,0 0,0 1 , 9 3 2 9,794

1 350,0 -1000,0 -O, 1 36 0,627

2 700,0 -1000,0 -0,063 1 , 4 7 4

3 1050,0 -1000,0 0,024 2,397

4 1400,0 -1000,0 O , 1 21 3, 41 8

5 1750,0 -1000,0 0,400 5,488

Esupxl03 Einfxl03 zLN(m}

-0,318 0,548 0,367

-0,652 1 , 1 00 0,372

-1 , 008 1 , 66 7 0,377

-1 , 48 3 2,633 O, 360

-2,965 6,829 0,303

-0,450 O, 1 7 7 O , 71 7

-0,800 0,674 0,543

-1,175 1 , 2 2 2 0,490

-1 , 588 1 , 830 0,465

-2,344 3 , 1 44 0,427

z ( m} 'd=Vd/b.z

0,773 1697,9

0,772 1 700, 1

O , 7 71 1702,3

0,757 1733,8

O, 71 4 1838,2

O, 729 1800,4

0,755 1738,4

O , 7 61 1724,7

O , 7 61 1724,7

0,742 1 7 68 , 9

Asw(m2/m}

0,00186

0,00186

0,00186

0,00190

O ,00201

0,00197

0,00190

0,00189

0,00189

0,00194

continua ...

<O co

SEÇIIO M(kNm) N(kN) E0x10' ,Pxl0 3 Esupxl03 E; nfxl 0

3 zLN(m) z ( m) Td=V d/b .z Asw(m2/m)

l 350,0 -2000,0 -0,320 O, 5 71 -0,606 -0,034 l , 060 - - -

2 700,0 -2000,0 -0,303 l , 28 6 -0,946 0,340 0,736 0,723 1815,3 0,00199

3 1050,0 -2000,0 -0,250 2, l 81 -1 , 341 0,840 O, 61 5 0,744 1764,l 0,00193

4 1400,0 -2000,0 -0,194 3, l 84 -1 , 7 86 l , 398 O , 561 0,749 1752,3 0,00192

5 1750,0 -2000,0 -0,166 4,695 -2,514 2 , l 81 0,535 0,738 1778,4 0,00195

l 350, O -3000,0 -0,493 0,604 -0,795 -0,191 l , 31 6 - - -

2 700,0 -3000,0 -0,506 l , 2 4 5 -1,129 O, l l 6 0,906 0,680 1930,2 0,00211

3 1050,0 -3000,0 -0,496 2,067 -1 ,530 0,537 0,740 0,720 1822,9 0,00199

4 1400,0 -3000,0 -0,495 3 , l 7 6 -2,083 l , 09 3 O, 6 5 6 O, 728 1802,9 0,00197

5 l 7 50, O -3000,0 -0,640 5,037 -3,159 l , 8 78 0,627 O, 71 7 18 30, 5 0,00200

Tabela VI. 3

• 3-,0

-2,0

-1,0

o

E:suP C%ol

o

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

L.iNHA NEUTRA

-

2 3

Figuro VI. 6

-N=-3000kN -N= OkN -N=-2000kN

N=- 1 OOOkN

-----j-N= O kN

--------J- N=- 1 000 kN

-----J-N=-2000kN

----~--N=-3000kN

4 5

-N=- 1 OOOkN

~

o o

/

101

CAP1TULO VII

CONCLUS0ES

Foi analisado um problema de estado plano de te~

soes em uma chapa fissurada de concreto, com armadura transve~

sal continua e armaduras discretas longitudinais, tendo como

condicionante o afastamento da seção estudada das zonas de in­

trodução de cargas concentradas. A extensão desta analise a se

ções outras que não a retangular, com pequena largura, repre­

senta uma simplificação do comportamento espacial da peça.

A partir de simplificações na formulação deste

estado plano de tensões, no sentido de adapta-lo ãs regras

usuais de dimensionamento, obtem-se um processo iterativo pa­

ra a determinação das tensões tangenciais na seção, com o au­

xilio do computador, que conduz a resultados bastante satisfa­

tõrios quando comparados aos obtidos com o modelo completo,co~

forme mostrado por SCHULZ 7•

Este processo simplificado permite o dimensiona­

mento ã força cortante a partir da geometria da seção e dos

esforços nela solicitantes, sendo portanto adequado a um dimen

sionamento completo da seção, feito por computador, permitin­

do inclusive a pesquisa das armaduras longitudinais e transver

sais mais econõmicas quando analisadas em conjunto.

102

Baseado na consideração de que a armadura longi­

tudinal nao varia no intervalo considerado, foi mostrado por

DIAZ', 5 , 6 , 19 que as tensões tangenciais na seção podem ser ob­

tidas a partir de uma seção equivalente de concreto, de acordo

com a conhecida fórmula da resistência dos materiais:

T = (V.S)/(b.l)

A seçao equivalente ê obtida pela multiplicação

das ãreas reais de concreto e aço da seção pelo mõdulo tangen­

te de deformação longitudinal de cada material, obtidos nas

curvas tensão-deformação, definidas pelas normas, a partir das

deformações longitudinais que variam linearmente ao longo da

altura da seção, de acordo com a hipótese de Bernoulli formu­

lada no processo simplificado.

Adotando-se a hipótese conservadora de que a

inclinação das bielas de concreto coincidem com a direção das

tensões principais de compressao, a partir da suposição de que

o concreto se comporta como um material homogêneo submetido as

tensões longitudinais ªhn e tangenciais ªt' pode-se adaptar em

calculadoras programãveis de certo porte (tal como a HP-41C),

o processo iterativo para a determinação dos esforços incremen

tais Me N, usando o mêtodo da seção equivalente.

A definição desses esforços incrementais Me N,

a partir dos esforços solicitantes na seção, dispensa o artifi

103

cio usualmente empregado de escalonar o diagrama de armadura

necessária, o qual não consegue reproduzir o incremento de ar­

madura longitudinal realmente necessário no dimensionamento de

peças submetidas ã flexão composta, principalmente em casos

de seções tracionadas, em que a armadura do lado menos tracio­

nado é reduzida, ao invés de ser aumentada conforme requer o

equil1brio das tensões longitudinais na seção. Nestes casos,os

incrementos de esforços se aproximam dos valores N = V.cot~ e

M = O resultantes em seções submetidas ã tração centrada.

Em seçoes totalmente comprimidas, o art1fico de

escalonamento de armadura introduz uma excentricidade adicio­

nal na seção que, conforme mostrado neste trabalho, não se faz

necessária, pois os esforços incrementais Me N, nestes casos,

resultam praticamente desprez1veis.

Também foi mostrada a inadequação da generaliza­

çao do cálculo de tensões tangenciais a partir do braço de al~

vanca das forças internas, que apenas em casos especiais con­

duz a resultados corretos, nao sendo, portanto, compat1vel com

o dimensionamento geral de concreto armado no estado limite ul

timo.

Mesmo com as considerações simplificadoras adot~

das no seu desenvolvimento, o programa de dimensionamento a

força cortante com o aux1lio de calculadora programável, de-

monstra a possibilidade da introdução de processos mais sofis­

ticados na prática corrente nesta área do cálculo de estrutu-

104

ras de concreto armado.

Dentro do processo continuo de aperfeiçoamento

da têcnica de dimensionamento em concreto armado, contando, i~

clusive, com o apoio de modernos mini-computadores, o presente

trabalho procura contribuir para a introdução de um método con

sistente de dimensionamento ã força cortante em peças, com se­

ção transversal simétrica em relação ao eixo z, que possam ser

analisadas atravês de um estado plano de tensões.

Maiores estudos terão que ser desenvolvidos, na

teoria geral, no sentido de tentar analisar corretamente o

comportamento espacial das tensões em peças com seçao transver

sal qualquer, assim como a perturbação provocada pela introdu­

çao de cargas concentradas neste estado de tensões.

Outros aperfeiçoamentos poderão ser implementa­

dos no programa preparado para a calculadora programãvel HP-

41C, a fim de levar em conta a menor inclinação das bielas de

compressao em relação ao eixo longitudinal da peça. Isto pode­

ra ser obtido atravês de adaptações no processo para determin~

çao do ângulo~ a partir do principio do trabalho complementar

ou, procurando-se definir o valor de uma parcela subtrativa

das tensões tangenciais, conforme adotado nas normas vigentes,

baseado em pesquisas feitas por computador em um modelo com­

pleto para certas seçoes, como, por exemplo, aquelas adotadas

neste trabalho.

105

BIBLIOGRAFIA

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108

21. DIN 4227 - Spannbeton, Bauteilen aus Normalbeton

Beschraenkter oder voller Vorspannung, Koeln, 1979.

mit

109

APtNDI CES

11 O

APÊNDICE A

PROGRAMA PARA GERAÇAO DE TABELAS DE

DEFORMAÇOES EM LINGUAGEM FORTRAN IV

A. l - CARTOES DE ENTRADA DE DADOS PARA GERAÇAO DAS TABELAS

19 Cartão - Define as características do aço

6 1 O 20 30 40 50 ACO TS FY K EMS EA

(2A3) (4X) (Fl0.4) (Fl0.4) ( Fl O .4) (Fl0.4)

ACO - Nomenclatura dada ao aço. Ex: CA-50B

TS - Variãvel que define o tipo de aço

T S = 1 •

TS = 2.

aço de dureza natural (tipo A)

aço deformado a frio (tipo B)

FYK - Resistência característica do aço

EMS - Deformação mãxima de tração do aço, definida pela norma

a ser utilizada: CEB, NB-1 - EMS = 0.010

DIN 1045 EMS = 0.005

EA - MÕdulo de deformação longitudinal do aço

111

29 Cartão - Define os coeficientes de segurança, de

com a norma a ser utilizada

lo 20 30

GSS VI vs (Fl0.4) (Fl0.4) (Fl0.4)

acordo

GSS - Coeficiente que reduz a resistência característica do

aço: CEB, NB-1

DIN 1045

GS S = l . l 5

GS S = l . O O

VI - Coeficiente que reduz os esforços solicitantes no estado

ultimo, quando o alongamento mãximo da armadura de tra­

ção excede Es = 0.003, de acordo com a norma DIN 1045 :

VI=l.75

VS - Coeficiente que reduz os esforços solicitantes no estado

ultimo, quando a armadura não estã tracionada (Es < O.O),

de acordo com a norma DIN 1045: VS = 2.1

Para as normas do CEB e NB-1, VI deve ser igual

a VS, correspondendo ao coeficiente majorativo dos esforços s~

licitantes para obtenção dos esforços de cálculo. Em

CEB - VI = VS = l. 5

NB-1- VI= VS = 1.4

geral :

11 2

39 Cartão - Define a geometria da seçao

O programa admite atualmente dois tipos de se-

çao:

1. Seção retangular cheia (Figura A.1)

l o 20 30 40 50 PARS(l) RI RS PI PS

(Fl0.4) (Fl0.4) (Fl0.4) (Fl0.4) (Fl0.4)

PARS(l) = l. - Parâmetro que define o tipo da seçao

RI = Lih/h

RS = Lih' /h

Relação entre o cobrimento da armadura inferior

e a altura total da seção

Relação entre o cobrimento da armadura superior

e a altura total da seção

PI = As/As - Relação entre as areas da armadura inferior e tot

total

PS= A;/As - Relação entre as areas da armadura superior e tot

total

Por cobrimento entende-se a distância do centro

de gravidade da armadura ao bordo mais prõximo da seção.

113

A definição da geometria da seçao, aqui usada,

parte do princípio que a armadura superior corresponde ãquela

comprimida pelo momento fletor positivo , uma vez que

as tabelas geradas pelo programa sõ consideram este

para o momento fletor.

2. Seção Circular Cheia (Figura A.2)

1 O

PARS(l)

(Fl0.4)

20 RS

(Fl0.4)

PARS(l) = 2. - Parâmetro que define o tipo da seçao

sentido

RS = llh/h Relação entre o cobrimento da armadura e o diâ

metro da seção

Entende-se por cobrimento da armadura a distân­

cia entre a circunferência sobre a qual a armadura estã dispo~

ta e a borda da seção.

-

A~-/ \ t....

1

~ 1/

""

. Ai',.

Figura A.1

-

... A •101

11 4

Figura A.2

4Q Cartão - Define as percentagens mecânica de armadura (w)

das tabelas a serem geradas

1 O 20 21

XMIX XNMI TESTE

{Fl0.4) (Fl0.4) ( A 1 )

XMIX - Percentagem mecânica de armadura mâxima do conjunto de

tabelas

XNMI Numero de tabelas do conjunto. A percentagem mecânica

de armadura das tabelas varia com um incremento igual

a XMIX/XNMI. A n-esima tabela terâ uma percentagem me­

cânica de armadura igual a: wn = n{XMIX/XNMI). Se, por

erro de perfuração, XNMI exceder 50., o programa e i n­

terrompi do neste ponto, imprimindo uma mensagem de er­

ro, sem gerar as ta bel as

1 1 5

TESTE - Flag que define a continuação do programa apos a gera­

ção de um conjunto de XNMI tabelas

TESTE= T - O programa le dados para um novo conjunto

de tabelas a partir do 19 cartão, definin-

do-se as características do aço, norma,

geometria da seção e percentagens mecânica

de armadura.

TESTE= S - O programa le dados para um novo conjunto

de tabelas a partir do 39 cartão, manten­

do-se as características do aço e norma

utilizadas no conjunto anterior e definin­

do-se a nova geometria da seção, assim co­

mo as percentagens mecânicas de armadura.

TESTE= E - O programa termina a execuçao apos a gera­

çao deste conjunto de tabelas. Se a coluna

21, correspondente ao flag, não for perfura­

da, o programa termina a execução, impri­

mindo uma mensagem de erro, apôs a geraçao

dos conjuntos de tabelas definidas atê es­

te cartão.

Exemplo: Como exemplo de entrada de dados para geraçao de tabe

las de deformações em seções de concreto armado sera

incluída, a seguir, a listagem dos cartões necessa­

rios para a geraçao das tabelas componentes do Apêndl

ce C deste trabalho.

116

CA-50A 2. 500000. 0.01 210000000. 1. 1 5 1 • 'i 1 • 5 1 • o.os 0,05 0,25 0,25 2,5 25, s 1. O, 1 n. t 0,25 0,25 2,5 25. s 2, o.os 2,5 25. s 2. 0.1 2,5 25, E

11 7

A.2 - MENSAGENS DE ERRO IMPRESSAS PELO PROGRAMA

As mensagens de erro impressas pelo programa,

através da sub-rotina ERROR, tem o seguinte formato: UM ERRO -----FOI ENCONTRADO NA SUBROTINA nn NA DECLARACAO i i i i i, onde:

nn

i i i i i

r o numero que identifica a sub-rotina ou programa

principal, definido no inicio da listagem do progra­

ma, como se segue:

o - Programa principal

- Sub-rotina PROC

2 - Sub-rotina INTEG

3 - Sub-rotina ACO

4 - Sub-rotina CONCR

5 - Sub~rotina CPAR

6 - Sub-rotina LIMIT

7 - Sub-rotina ERROR

r o numero da declaração na qual a sub-rotina ERROR e

chamada quando o erro e detectado.

As mensagens, dadas pela ordem em que sao encon­

tradas no programa, assim como seus significados,são as segui~

t es:

l. ''UM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA O NA DECLARACAO 230"

O valor dado para o parâmetro PARS(l}, que define o tipo de

118

seçao no 39 cartão e diferente dos valores 1. e 2. e stabel e

cidos para as seçoes retangular e circular.

2. ''UM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA O NA DECLARACAO 260''

O numero de tabelas XNMI dado no 49 cartão ê maior que 50.

Verificar se houve erro de perfuração.

3. ''uM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA O NA DECLARACAO 240''

O programa não convergiu para um par de valores XN, XM em

que o estado limite não havia sido atingido, apõs 20 itera­

çoes. Isto significa que o método da matriz de rigidez tan­

gente nao se aplica para a seção dada, o que p~de ocorrer,

por exemplo, em seções retangulares com armadura de tração

concentrada em uma única camada.

4. ''uM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA O NA DECLARACAO 250''

A coluna 21 do 49 cartão, correspondente ao flag TESTE, não

foi perfurada, ficando indefinido o prõximo passo do progr~

ma.

5. "UM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA 1 NA DECLARACAO 435"

O determinante da matriz de rigidez tangente ê menor que

1 O - 6 •

A.3 - LISTAGEM DO PROGRAMA

FILE ~=lRrUNlT=R[ADER FILE h=lP,llNll=PRINTER e

11 9

C T[SE DE M.SC - MARIO TERRA CUNHA - CUPP[/UFRJ/1961 e C C.AL.,CULO DE Dl:fOR~iACOES EM S[Cüt::S Ili·. COl"Ci<ETO _A.RHAOíl C DE AC0RD1l COM OS PR1NC1PI0S ~ASICílS DO CFB e C f'O - Pé;OGRl1MA PRINCJ!'AL C P 1 - PR DC C !'2 • I N r !:G C r3 - .ACO C p11 " COi,CR C P', - CPAR C f' 6 - 1- I M l T C PI - ERROR e

ilI ME N s 1 o N L (l Q o ) , s e l o o l 1 ,: il e o (l n n ) • s A e (l ( 1 íJ o ) • /\ e o ( 2 ) 1 p AR 5 (l. o )

l.CA•1L)(20) 1 U-'CGC20),Fl(20J DATA ll]11,1IH,,TI1MD 1 TIH)[J/3HK•1 ,.3HKN ,31JKMD 1 3HK~ll)/ [)AT/; Tl, 12, T3/)i1T I HiS, )HF./-

1P=6 IR=;,

2 READC!R,l)ACO,TS,FYK,EMS,EA 1 FOR"AT(2AJ 1 4X,QFI0.4)

e

READ(IR,GJGSS,VJ,VS f'YD=FYf\/Ci:JS

C f'CDB - RESIS1ENC1A MAXIMA llE CALCULU Dll CONCRETO C rcoo = 0,5S*FC~/GC (CE[ E Ndll e

FCIJ8=0. O';i,FVD 3 t<EÁO(IR,11) (P.Ae)S0() ,K=l 1 8J li FORMAT(HflD.a)

e

l f' t,f/,::1' ARS C l. J IF(.TPAR.GT.2Jt;(J TO .~so r;o To ( l O • a o ) ! 11' AR

120

C IPAR=I - SECAO ~ETANGULAR C IPAH=2 - S[CAO ÇIRl:ULAR e 230 CALL ERROR[lP,0,230) 10 t,=l.

t1=1. RS::f'ARS (3] ·tH

Rl::H•PA!,S [2) *H Pl=PARS (ll) PS=P.hRS (5) PL=1.-r1-rs sc=tJ•H NC:::,Q tJA::50 Z(l)=O. SC1):0. Z(NCJ=M s crie J =o. UT::H/FLílAl(NC•2) Nc2=ric-2 no 30 J::1,Nc2 Z(J+l)=Ol/2.+FLCAT(J-IJ•IIT S(J+lJ=fi*!lT

30 COtJTINU( GOTO 50

2 O ti:: 1 • R::H/2. Ríi:PARS (;.!J ~ri RI=•,~RS SC:::3. J.Q1592*fl•R NC=~O NA:;SO Z(ll=O. S(!l=O. Z(NCJ::H SCNCJ=O. D1::H/FL0Al(NÇ~2J NC,~=NC•2 D O 11 O .J:: l , ~, C 2

l 21

l (J+)) =DT 12.+FLDAT (J-1 J •Dl A:::z c..;+i. l S LJ + l ) ::: s Q 1n (A" ( li - A) l *?. , * D T

qo CllNTINUE e C XMl - PERCtNTAGEM MECANJCA DE ARMADURA e 50 READ([R 1 lb)XMIX,XNM1,1ESTE 16 FORMAT(2Fl0,4,AIJ

IF(XNM!,LE.Sü.JGU TO s, 260 CALL ERROR[lP,0,260) '.JS ê!l"1I=XN11l

DMJ =Xr-n XI XNMJ. DO 100 J:J.,NMJ :iRITE(J.P,:õJ

5 FORMA1(1Hl,///,19X,9QHTABELAS UE OEFURMACOES EM SECOES DE C UNCRl:TO

l ARMADO,DE ACORDO ca:1 os PHlNC1Pl0S BASJC05 DO CEB,/J XMI=FLOAT lI) *DMl AREA:XM1*5C•FCOB/FYD GOTO (&0,70),IPAR

60 ZACll(\l=Fl5 SACO (1) =f'S•ARE/\ ZACrJ(NAl=Rl SACO(NA):PI•AREA D1ACO=(Rl-R5J/FLOA11NA-2) ê;A2=f'.IA-?. [)O eo·J=l,~1•2 ZACD(J+ll=R5tDTAC0/2.tfLOAT(J•J)•DTACU SACO(J+lJ:P~•AHEA/fLnAT(UA•2)

tlO CO'HJfl/UE GOTO llO

70 A=3,1415q2/FL0AT[NAJ I! ü 9 O J = 1. N 1\ B=A/2,•FLDAT(J•tJ•A ZACO[JJ:R-COS(B)•[H-RS) 3AGO[JJ=AHEA/FLOAT(NAl

90 COMTINUF: ) 10 XT1\:Q.

xrc;:o. DO 120 !\:1,NC AXX:eS (K) •l (K l XIA:::)OA+AXY. XlC=XlC•AXX•Z(K)

120 CONTINUE no 130 ~==l!NA A~X=lO,•SACO(K)•lACn(~) Xl.A=XIA+.AXX i1c~x1c+AX~tLACO(K)

130 CONTINUE e

l 2 2

C X• DISTANCIA ílü CG AO UORDU 5UPERIDR e

X =H / 2. e C CALCULO D09 PARAM[IRüS e~ E CM e

CALL CPAR(Z,5,NC 1 NA,X,EA,EMS,ZACU,5ACU,TS,H,FCOB,FVD,SC,RI, VI, VS,

1CN,CM 1 CANMIN 1 CANMAX) GO Tü(3~,2~) 1 1PAR ~~ITE(IP,6)ACü,PARS(2) 1 XMl,CN,CM

\

25 6 FOR~Al [lH ,BX,~6HSlCA0 CIRCULA~ CHtIA COM ARMADURA DISTRI8U IDA E!>i

CN=, 2F6,4,2X,JHCM=,Fb,Ql

Gü TO 115 :s 5 //RI T 1: ( l p, 1 ~ J A e o, !'AR s ( lí) , p ,\ R s e '.i) 1 p À R s ( 2) • p Afl s ( 3) ' UH I e N, e ,·-1

15 FORMAT(lH ,7X,29HSECAü RETA~GULAR cHtIA ~- ACO ,2A3,2x,3HAS= .,f-4;92,

l41itAST,2X,llHAS'=,f~,2,4H•AS1 1 2K,~HDH!H= 1 F4,2,2X,6HDH•IH=,F4 .2.,2x_,

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l 2 3

2ó6(2H ~JJ Gü TO l E, 11

135 WR1TEl1P 1 8J B FORMA1(1H0 1 20X 1 92HPARAM~1R0S DE ENTRADA : OMEG=AS•BETAS/CAC •BETARJ

1 , KN=N/(AC•UETAR*CN) E KM=M/(•C•H•HtTAR•CMJ,l/,&6(2H *1) 164 NM=IO

D~D=l,/FLOAT(NP1l NMl =t~M-i-J D D 11.15 K:: l , N r11

1as CAMD(K)=DMD•FLOAf(K-1) lflVS,NE.VllGO 10 J~~ 1'/ R t n: ( I P , 9 ) T .l T '1 [l , ( C AMO C K J , 1\::: \ , hJ M l J ~RITE(lP,ll)llTND GOTO 184

155 '1f/lH:(H' 1 'J)lI1M, íCAMDUO 1 K=,,r;;,,i) Y FORMA T ( 1 X , 1 H * , 3 X , A-~ , 3 X , !ri* , 1 O ( F b • 1 , 4 X) , F 6, l I t 3 X, 1 H • , / , E, 6 ( 2 H . ) )

1~ RI TE CIP, 1 J ) 11 HJ 11 fOHMAT(lX,JH•,9X,1H•,23X,?2HIODD•EPCG = DEFDRMACAO RELATIVA

AD NIV lEL DO CENIRO DE GR~VlDADE DA StCAD,~4X,IH•,l,1X,1H•,3X,A3,3

X, 1 H •, ?.'-!!XdF!1000«FJ : CURVATLIR/, X ALTURA D4 S[:CAQ,Q)X11.H*, l,66(2

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1 2 FOR 11 i1 1 ( 1 ;< , ) i'! * 1 ') )( 1 1 •! • , F 7 •. L l ). ?. X , 1 t1 * , I , 1 X , J. H * , F 7 , 3 , 3 H * , F 7 , 3 ,112X,

11 H * l IJN:2 O flNíl=l ,!f'LUAT (NNJ e =e ANM H~llHHJ y, i, = A l N r (e) /IH; un !,40 J=1, NN CAND=X!+FLUAT(J-l)*DND

e

l 2 4

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C Xt, - ESFORCO NOf<'Mi\L AiLIANTE DE SERI/ICO e

XN=CAND•CN•SC•FCD8/V IL=O K=O

1'50 t\=Ktl

e

t\ l::: K CAMD(K)=pr-1LJ•rLOA1 (~-1) IF(VS.NE,\/IlV=l.

C XM - MOMENTO A1UAN1E DE SERVICU,EM Ri:LACAO AO CG e

CALL PROC(Z,S,NC,N~,XN 1 XM,X,EA,15,tMAXC,EMINC,ZACO,SAC0, 1FCD5,FYD,H,Rl,RS,Vl,VS,JP,tMAXS,fN1N9,V,AREA1SC,XlA1XlC,IDD

IF(IDIJ.F.Ll.l)GO 10 160 . EPCG(K):(EMAXC+EMlNC)•SDO, Fl(K)=[EM!NC-E~AXC)•IDOO. FLG=O. CALL t..Iri1T(EMAXC 1 f:MJNC,EIIAXS 1 0\IN5 1 IT,i:M:1 1 1'LGJ r;o TO(l50 1 170,l6Ul,l'l

170 CAML=CAMD(K) GO H) 190

!hO ÇAíl!=CAMD(Kl SI::-111 I t.= 1

165 CAML=CAMJ+5I*üHDl(2.**1L) IF(ll .• t..E.20JGO TO 175 F!-G=l. CA1.L LIMIT(EMAXÇ 1 F.Hl~C 1 EMAXS 1 EMJNS,IT,tMS,fLG) IFCI1,ELl.2)GO 10 190

210 C4LL EHROR(1P,0,2QOJ l75 11.=lL

'I Ll

1 8 O

190

200 ) , FIL 210

3 X l '

J.FCVS.NE.\/Ilv:::1. XM~CAML•CM*SC•H•FCDBIV

1 2 5

CALL PRDC(l,S,NC,NA,XN,XM,X,EA,15,EMAXC,EMlNC,ZACO,SACO, lFCD8 1 FYD 1 H,RI,RS,Vl,VS 1 If',EMAX51tMINS,V,AREA 1 SC,XlA,xIC,1DD

IF(lDD,EQ.)lGü TO 10~ Fl-(;;::o, CALL LIM1TCEMAXC 1 E~INC,E•tAXS,EMINS 1 1T,tMS,FLGl GO TOC\ll0,190,1.8'.:í) ,I'T H.= lt ·>i s1=1, CAMl=CAfiL GO Hl 1.6'.i Il. = I :1 • l s1=-1. CAtll=CAML Gil TO 165 EPCGL=CEMAXC+EMlNC)•SOO, FIL=(EMINC•EMAXC)*IOQO. PR:; tcA,~D U.)-C.4~1D (K-1 l l / (CM11.-CAMl) u,-1) l EPCG(K)=EPCG(~•!J•CEPCG1.-EPCG(~-l))•PR F 1 C t( l :: F I C !\ - l l + C r l L -F I C K -1 ) l •PR K2=Kl-l GD T0(200,2íll,2Q2,20J,204,2QS 1 2Db,20/r20B,209J,K2 ,IR l T E ( 1 p • 2 1 o J e A M l •• ( E p e(; ( K ) ' K :: 1 , K ) ) ! [ f' e,; L , e A N D I e F 1 ( K ) • K = l ' K l

FORMA T ( ! X. , UH , 'J X I l!l • , 2 O X, 1 H C , F ó • .S, Hl l , 'il X , l 11 * , / , 1 X, l H • , 9 X, 1

1 2 ( F 7 , :~ , j X ) , ). H C I F h • -~ , Ht ) , 'l 1 X , l!-1 • , I , 1. X , ), H * 1 F 7 • 3 , 3 !-1 " , 2 ([' 7 , 3 ,

21H(,Fb • .S, lH) ,9\X, P·J•J GD 10 140

2 o l w R IT E (l p 1 2 ) 1 ) e AML ' Cf:. p e G ( K ) , K ::; l , K 1 J , t f' e G L, ' e A N D • ( F l ( K ) • K = 1 1 K l ),FIL 2 11 FORMA ·r C 1 X I l H * , 9 X , l :--1* , 3 O X , l H ( , F 6 • .5 , 1 !! l , o1 X I l H • , / , 1 X. , 1 H * 1 9 X I l

1 3 CF""/ • 3 , .S X ) 1 1 H ( r F h • 3, , Hi l , 5 ), X , l H •· , / , 1 X , l H :< , F 7 • 3 , :1 H •· , 3 ( I' 7 , 3 1

3 X l , 2),H(,Fb.3, 111) ,!ll~ .• 111*)

1 2 6

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3 X J ,

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3 X l ,

204 J , F l L 214

3 X J ,

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2 ! ri ( , F 6 , ', , ). H J 1 7 J. X , 111 * ) Gil ·10 140 ,i RI., E ( IP, 2 1 3) C: /\ M L , (, U' C G ( n , K = ). , 1( 1 ) , E PC G L I C ~ N D, ( F t ( K) , K: l , K l

F U R t,1 A ! ( l X 1 1 H * , 9 X , 1 !I * , '.1 O X , 111 ( , f ó , .5 , 1 H ) , ó ,X , 1 li* , / , ~ ~ 1 1. H * 1 9 X , 1

1 'i ( f 7 , 3, .l X) , 11 ! ( 1 F 6 , 3, HI) , ú 1 X , 1 H • , / , l X, HI • , F 7 • 3, 3 H *, 5 ( r 7 • 3,

2 1 H ( , F 6 • 3 , Hi J , 6 l. X , ) li* J GOTO 140 ,! RI TE ( l r 1 2 l /.!) ç M1L , ( E p r: G ( K ) , K:;: l ' ~ l ) 1 E p e(; L , e M~ D, ( F l ( !<) ' K:: 1 , K 1

f O R MA T l1 X , P; * , 9 X , l il * , h O X , 111 ( , F b, 5, 1 •i) , 'l ! X , J. H ·• , / , l X , 1 H * 1 9 X , l

1 6 ( F 7 , 3 , 3 X. l 1 \ H C , F b • 3 , .\ H) , ':, 1 X , l H * , / , 1 x , í •1 • , F 7 , 3 , 3 H * , (, C F 7 , 3 ,

21H(,Fb.3,IH),51X,IH•) GOTO 140

2 O 5 1! R 1 TE ( IP, 2 i 5 l C A. M !.. , ( F. f' C r, ( K) 1 K:: l , K l ) , E PC G 1. , C A N D , ( F l ,e K) , K = l , K 1 l ,Fli. 21 5 f' O R!I A T ( l X , l H * , 9 't.; l. f! * , 7 O X, ) H ( , F ó , .5, 1 H) , 111 X , 1 H * , / , l X , 1 H ~, 9 X , 1

3 X J ,

2 06 l , F 1 L 21h

3 X) ,

l 7 C F 7 , 3 , 3 X ) , 111 ( , F G , .5 , l H J , ti l Y. , l. H * , / , l X , 1 H * , F 7 • :; , 3 H * , 7 ( F 7 , 3 ,

2 l f! ( , F 6 • 3, n: J , a \ X, HI •) Gíl TO 140 WR J1 E (1 P, 2 1 6 J C AML. , CE PC G ( K) 1 1(: 1 , K l ) , 1:. !' C G L, C A N D , ( F l. ( K J , K: ! , K 1

F ü !! MA. T ( 1 X , ili• , g X , 1 H * , 8 O X, 1. H ( , F b • .5, ! ii J , 51 X , li i * , / , l XI l ri• , 9 X , 1

1 8 ( F 7 • .S , 3 X J I l H C , f 6 , 3 , 1 fl ) , 3 l )( , 1 H • , / , 1 X , l !1 * , F 7 , 3 , 3 H * , 1) ( f' 7 • 3 ,

207 l , f 1 L 217

3 X l ,

208 ) , F I L. 218 lH*,

?. 1 H ( , F 6 • 3 1 1 H) , 3 1 X 1 ! ,! * ) (;0 TO lll\)

127

rHl I r E ( l P , 2 ,\ 7 ) C AML , ( l PC G ( K J , ~ ;; 1 , K 1 l , f: PC G l. , C A N D , C F l ( K l , V. :: 1 , K 1

FORMA T ( 1 X , 1 H * , 9 X , :Ui* , CJ Q X , 1 H ( , F b • 3 1 1 H J , ,! 1 X I i H * , ! , 1 X , 1 H • , 9 X , 1

1 'l ( F 7 • 3, 3 X) , 1 i~ ( , F 6 , j, 1 H J , 2 U , l!i * , / , lX I t H * , F 7 , 3, 3 H * , 9 (F 7' • 3 1

2) H ( , F 6 • 3 1 1 H) , ?.1 X , P ! * l GO 'TO l'•O t!R I TE ( l p 1 2 18) e(\ ML' ( e p e G ( n I K = i ' K J ) ' E p C[; LI e A No • e F l ( !() , K = 1 , K l

F O 1' MA'! ( 1 X , 1 H * , '1 X 1 1!1 *, 1 O O X , ). H ( , F 6 • 3, HO , 11 X , ! H * , / 1 1 X , 1 H * , 9 X,

11 O ( F 7 • 3 , .5 X J , 1 t1 ( , F b • 3 , .1 H l , 1 l X , 1 H * , / 1 1 X , 1 H * , f' 7 • 3 , 3 H • , l O ( F 7 • 3,3Xl,

209 J,FlL. 219

1 ll o

2AH[,Fb,3,1Hl,11X,1H•) [;0 TO 140 . ,l R ln. ( 1 P, 21 9) C AJ,1[., (E.FC G l K) , K:: 1 , 1( ) .l , lê PC G ~ 1 C AC,!D , l F I ( K ) , K = 1 , K. 1

f O R MA T (1 )(, 1 H • , 9 Y. 1 ) H *, 11 O X , U1 ( , f 6. 3, 3 H) * , I, ~ X , .l H ~, 9 X , 1 H *, lll(F7,3,3XJ,lri[,,Fó,3,..iHJ *,/,JX,1H•,fl,3 1 .3H .. ,1).[f7,3,3X) 1

21H(,F6,3 1 3H) *) -CONTINU[ EP/-,íAX;f-M3*lOOO!' F H1A X= O. WRITE (IP, 1 ti)

lQ FORfi.AT(1X,1H•,9X 1 lHt,.!J9X,\i1*l NRITE(lP,12)EPM~X,CANMAX,FJMAX WRlTE(IP,13)

13 FORMAT(66(2H •)l 100 CONTINUE e C TF.STl:=T., NOVO:S DADOS,\ PARTIR DO TIPO l)E ACO C TESTE=S ~ NOVOS DADOS A PARTIR DA SECAO C TE51E=E • lERMINA A EXECUCAO e

rr ('Tt:STE ,E(J. Tl)GO ·ro 2 IF(TESTE.EQ,T2JGD 10 3

]28

1F(TESTE.E~.13)GO 10 220 250 CALL ERROR(IP,0,2SQ) 2;~0 STOP

[t,p SUORüUTINE PROC(Z,5,NC,NA,XN,XM,X,EA,lS,EMAXC,EMlNC,zACíl,SA

co, IFCílB 1 FYD,H,Rl,RS,Vl,VS,IP,EHAXS,[MINS,V 1 ARtA,SC,XIA,XIC,1DO

,IL) 0IHEíl5l0N Z(IOOJ,S(1DOJ,R(2,2),ZACüllDD) 1 SACü(100l

e C TRACAü E ALONGAMENTO POSITIVOS C XN E XM - E5F0RCü5 ATUANTES DE SlRVICD,EM HELACAO Aíl CG C 5PL E $XML• ESFURCüS UE SERVICD,EM RELACAü Aü BORDO SUPERI OR C PL E XML~ ESFORCOS DE RUPlliRA,EM RELACAü AO OORDO 9uPERI0R C DP E OQ ~ ACRE3C1M0B UE E5F0RC0S,CALCULA005 NA RUPTURA e

l~ID=O IDO::O DN:X ri DM::XMtDN*X RO:SQRT(DN*DN+DM•OM) lF(RO.LE.O,OllRO=!OOO.

qQl SIOE::SC+!O.•AREA AXX=(SIDE*XlC•XlA*XIA)*7~Q.•FCUij EM:::(DN*XIC•O!l*XIA)/AXX RDO=CDM•SJOE-DN*XIAl/AXX

'120 IND=IND+l IFCIND.NE.2DJGO TO 421 IDD=l GOTO 230

421 EMAX(:=l:M

YDJ

UHNC=EMtRílíli<H f. '1.A X 9 =EM •R üíl • R !i [;,iHi!i=EM•ROO•Rl CALL INTEG(Z,S 1 MC,NA,EA,PL,X~l,EM,RDO,Ll 1 TS,SAC0,ZACü,FCDD,F

IFCVI.EQ,VSIGO lU 507 lF((EMAX$,GF..O.).MJ!l,(Ernr,1S.GE.íi.))GO líl 505

129

1 F ( ( ( U1 ,;. X .'.l • O , O O 3 J • r; r, • O , ) • [JR , ( ( !:JH li S - O , O O 3 J , G [ • O • J J G O TO 5 OS H((l.Jl!AXS,Lf::,O.),A''/tl.(EMP.J.'.l.L{:,O.)JGO lí.1 '.,07 IF(El1AXS,LE,EMINS)GO TO ~Oj v=v1-cvs~v1l•tEMAXs-o.003J10.ou3 GO Tü 509

503 V-VI•(V5•Vl)*(EMINS•D,OD3)/0.0U] GOTO 509

505 v=vr GOTO '.i09

so1 v"'vs 509 SPL=P!-/V

SXML=XMLIV IF(SQRT((DN-5PL)•*2+(DM•SXMLJ••2J/R0-D,OQ01)230,23D,a3Q

a30 DP:(DN-SPLJ•V OGl:a (oi.1-sXMl.) •V üET:Q(1 1 1)•Q(2,?J-D(l,2)•LlC2 1 1) IF(ABSCDET)-1,ERbl43~,aJ~.43b

435 CALL ERRüR(IP,l,435) 436 üROO=CDQ*Q(2 1 2)-UP*0[1,2)J/DET

D EM: ( Q C 1 1 1 ) * ü P-Q (é', 1 J • D (l) / L' E T lF(l~.EQ,OJGO lD 437 DJV::AflS (DRDO) JF(ABS(l)EMJ,Gl,ABS(DROD)JDIV:AdS(OEM) lF(DIV.LT,O,QOO!JGü TO 437 R~SQRr(OROU•DRQO•DEM*DEM)/UlV (,0 10 43B

437 Fl=l. 438 ROíl=HOO+DRüD*R

EM::EM+PEMHi GO TD 420

~30 .RETURN END S U [) R íl LI f J N l: [í,j1 E G ( 7. 1 $ , N C, Í 1~ 1 fê A, p l I X ll[. 1 (: M, R Ü Ü, ll, T 5 1 S AC Ü I Z A(: Ü 1

fCOB, JFYD)

e C THACAO E ALONGAIIENTO POSITIVOS C FC08::0,85•FCKIGC (CES) e

130

D I ME N S l O!~ "/, ( 1 O (l ) 1 S l l O O ) , V ( l O J , Q ( 2 , 2 ) , LA C !J ( .1 O O ) 1 S t, C O ( 1 O O ) ~J::.). X!<::,1 DO 20 1=1,10

20 \i(l)::(i, DO 300 I=l,NC EPC::f.M+R00*2 () J CALL C0NCR(FCD8,EPC,FC 1 GC,X~) V C 1) =v ( 1 J +5 ll J *FC·•Z (I l V(2J::V(2)•S(I)*FC V(3)::V(3)+5lll•GC•Zlll••2 VC4)::V(4)+S(l)*GC*7.(Il VC~)::V(5l+S(l)•GC

300 cor{DNLIE DO 3U J=l,UA EPS=EH+RílO*ZACO(I) CALL ACO(TS,FYD,EPS,EA,FS,GS,XJ) V[&l:V(&)+SACO(JJ•FS•ZACO(ll V(7)::V[7)+3AC0(Il*F5 Vl8J::V(8J+SACOCil*GS•ZACO(ll**2 V(9)::V(9)+SACO[IJ•GS•ZACO(I) V(!O)::V(IO)+SACO(IJ•GS

31) CONTINUE XML=V C 1 l +V [!',J PL::V(2)+V(7) (< ( 1, l) ::\l ( 3) • V ( 1j)

r,c1,2J=vcaJ+V('JJ ll(2,1l=Q(l,2) Q (?., 2 l ::v ( '.i J ,j,\/ l\ O) RETlJRN E r,D SUBHOUllNE 1coc1:1,FYD,EPS,EA,FS,GS,XJ)

e C T~ACAO E ALDNGAMENlO POS1T1V0S e

E::f.õ ::r Y !) /!:A GO T0(100,13Dl,ITS

100 !F(ABS([PSJ.G!.F:lJGO TO 110

1 31

50 FS::EPS•EA G3ri[A H[ l UR~!

110 rs=FYD•lAB9llPS)-EEJ•EA/1DDO,*XJ FS=SlGII (F$ 1 EPS) GS:sEA/lOOQ,*XJ Rf.TURN

130 E!=0.7•EE E2=0.8*EE+0.00H23110DO. E3::0.9•EE+0.26j3h/1000, E4=0,9j*EE+O,B037111000. [5:::E[t0.002 l ~(A'IS(.E·ºS')•~·)~D "O 1r0 ,, ,I.,', .l [,.l ~ ,.)._, _')

150 !F(A[oS(EPS)•!::2Jlh0,16(1,l70 160 rs=.l*FYDt(ADS(EPS)-El)/(E2•El)+0,7*FYD

FS=SIGf·J CFS, EPSJ GS=.l*FV~/(E2-[t) ílf::lUllN

[70 1F(A1'S([PSJ-t3J!ll0 1 lll0 1 1'líl l B O F S::, l * F Y [) • CA G S ( F. PS l ~ E 2) / ( f: .1 • E 2) + CJ. ll * f' Y !l

FS::5IGr~ (FS, EPG) GS=.l•FYD1(E3•E2) RETURN

190 IFCASS(EPG)•Eíl)20D,2D0 1 21íl 200 rs::,0S*FYD*(AH5l[PS)•E3J/(E4•E5J+0,9•fyu

F!:i=SIG~Jlf Sr l:PS) GS=,OS*FYU!lE4-E3) fffTiJR~•

210 IF (/\t\S lf:PSJ "['5) 220, 1;~0, li'!O 220 FS:::.D5RFYU•l~BS(EPS)•t4)/(t5•[4)+0,~~RfYD

f!i::SIGNC!'S,EPSJ GS:::.05,FYO/(l:5-F.4) RETURN

120 rs::FYD+(AHS([PS)-E~)~E~/1000,*XJ rS==1HGN (f-S, [PSJ G!:i::(A/1000 .•·XJ fH~lURf\1 [ N tl !:iUDROUTINE CONCR(FCD6,EPC,FC,GC,X~)

13 2

e C TRACAU E ALUNGAM[NlO POSITIVOS C FC: TENSAO DO C~NCHETO C GC = DERIVADA ílA CURVA TEN3AO • uErUHMACAD e

lF[EPC)bOl,601,,nl 501 rc=FCD8•EPC*X~

GC::FCDB*XI~ ifflURN

601 JF(EPCt0,002)80! 1 8D1,701 701 rc=~FCD8*(\.-(1.•EPC*SJ(l,J••2J

GC:FCD8•C1000.+500DDO.•EPC) IF[GC.LT.fCDD•XKJGC=FCDH•XK rsETURN

601 FC:•FCDA+(O.OD2+lPC)tFCOB•XK (;e= r e a 8 * x 1< l<F.'TURi'J i:: '-l ll 5UURUUTINE CPAR(Z,S,1JC,NA,X,F.A,EMS,ZACU,saco,1·s,H,FC08,FYD,

SC 1 Rl, 1VJ 1 VS,CN,CM,CANH1N,(AN~AX)

D l'H: N SI íl N l l l O O l , S ( l O O J I Z AC O ( 1 ü O) , 5 AC O (l O O) , r.i r ~, ;; J ç C C/ll .. CULA OS PAYMH:TfWS CN E C'.1 e C CALCULO Díl NORflA!.. UINX:11J (COr,;PRESSAU) e

V[))

[M::-0.002 ROO=O. e A 1. ! • 1 N TE G ( z 1 :.l ' ri e , ri.A ' E A I p L , ~ ;-11. ' EM ' 11 o o I fl ' T s , $ A e o ' z A e D , F' e D 6 , F

XNMJr~=PL IF[VI.NE.VS)XNPIIN=PL/VS

e C CALCU~O DO NORMAL r1A~1,10 (TRACAOJ e

f.M::f:/1S CALL JNTEG(Z,S,NC,NA,EA,PL,XML,EM,RDO,W,TS,SACO,ZACO,Fcoõ,f

YD)

e

133

XNMAX=PL IF(Vl.NE.VS)JNMAX=PL/Vl tN=(XNMAX•XNMlN)/(SC*F~OB) CANMIN=XNMlN/(SC•FCDd*CN) ~A~MAX=XNMAX/(SC*FCOH*CN)

C CALCULO DO MOMENTO MAXIMO RESISTIDO i'ELA SECAO e

XMNAX=O. f.~AXC:•0.0035 EMINS=FYD/(CA•2.J [M=E~AXC

10 ROíl:(EMl~S~EMAXC)/RI CALL INTEG(Z 1S,NC,NA,EA,PL,XP1L,EM,RDU,íl,151SAC0,ZAC0,FCD8,F

YDJ e e PL r XML - [SFORCOS DE RUPTURA,EM RELACAO AO BORDO SuPERIOR e

lF(VI,EQ,VS)GO TO 6S IF((EMlNS-0,003).GE.O,)GO 10 ~U V=VI•(VS-Vll•(EM1NS•O.OOJ)/O.DD3 GCl TO 60

so v~vr 60 XNC=PL/V

XMC=XML/V•XNC•X e C MN~ E XMC • ES~OHCílS QE SERVICO,E11 RELACAO AO CG (NORMA DIN ) e

GOTO 70 b~ XNC=PL

~MC=XNL~XNC•X e e iNc E XMC - ESFORCUS DE RUl'TURA,EM RtLACAO AO CG (CER E NBl )

e 70 JF[XMC.Lí.XHMAX)Gíl 10 75

X~t•Ax~xHC EMINS=EMINS+0.0001

GO TO 1 O 75 CONTINUE

f<ETURN CND

134

SUDRUUTlNE LlMIT(E•!AXC 1 ~MJNC 1 EMAKS,EMlNS,11,EM5,FLG) e C ALONGAMENTO P05TT1Víl C l T:: ,\ - E 5 '1 A D O L 1'íl 1 E 1,1 A (J A TJ r,, G l D O C I1=2 • ESTADO LI~JTl ATJ'IG1Díl C IT:3 - ESTADíl L!;~J1E Ull'RAPASSAQO e

Tí.JL=O. 00000) IF (fLf; ,Nt::. Q.) 10L.:::TOi.·•50 l T:), lF(E'HIIJCl 10, J,O, 15

10 If'CABS(f.11,\XÇ,..EMl.'iCJ-TllUl.l.,11,l~ l ! I F (A tl S ( F. 'lA X C + O • O O 2 ) - TO 1- J 1 :l I l .S, 1 a 13 Il;;;,~

GO Tíl 200 14 JF((EMAXC+0,002).LT,U.)JT=.S

GO TD 200 1?. X!.=3,17,

f:PL::EMI\XC- CEMAXC~tr1Jr-1C) ~XL IF[ABS([PL+0,002)-TüLl2D,2ü,25

20 If((EMAXC•.0035),LT.TUL)GO 10 QO .(T:2 GOTO 200

25 IF(CEPL+0.002),LT,0.JTT=:s GOTO 200

15 JF(AUS(EMAXC+.00~5J-TOLJj0 1 30,i5 30 IF((EMINS-EMS1.~f,10L*2,JG0 Tíl 40

I T:: 2 GO TD 200

35 IF(EMAXC+.QOJ5Jao,qn,as 40 IT::S

GO lll 200 45 1F(A~StEMINS-EMSJ•TUL~2,)5U,S0,~~ SO IT=2

l 3 5

GOTO 200 55 lF((E~TNS~tMS).Gl-0,JIT=J 200 Rf.TURN

E 'JO SIJHROUTINE ERROR(!P,K,N) ,Y R T TE ( I P , 1 ) K , fJ

! FDl)MAT[2(/J,1X,.L!HU1·i Ermo FOI tNcoo,1r,ADO NA SUtlROTil~AdX,12 , 1 X ,

!!3HNA DfC!.ARAC40,1X,i:i,/,1X,58(1H:)) STOP END

136

. APÊNDICE B

PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO Ã FORÇA CORTANTE

PARA CALCULADORA PROGRAM~VEL HP~41C

B.l - PROGRAMA SHEDR PARA SEÇDES RETANGULARES

B. 1.1 - Instruções para Uso do Programa

B.1.2 - Listagem do Programa

B. 1.3 - Registros Alocados no Programa

l 3 7

INSTRUÇOES PARA O USO DO PROGRAMA SHEDR FOLHA_j_DE___.3_

ITEM OBSERVAÇOES DADOS FUNÇÃO RESULTADOS

01 SIZE 047 XEQ SHEDR

·02 •LBL MAT FCK? 03 fck R/S SFCO? 04 ·'!e R/S TS?

05 Tipo de aço da armadura longitudinal A ou B R/S FYK?

06 fyk R/S SFST? 07 'Is R/.S EST?

08 Es R/S SFL?

09 '!f R/S STFAC?

10 Relação entre as resistências dos aços das armaduras trans\lersal e

l ongi tudi nal STFAC R/S

11 • LBL SEC B?

12 b R/S H?

13 h R/S OH!?

14 llh R/S DHS?

15 llh' R/S AS?

16 As+-+ R/S %SUP? 17 As/Ast-+ R/S %INF?

18 As/As+-+ R/S OMEG=( w) 19 w=Astot·fyd/(0.85fcd·Ac) R/S OMEGl? 20 Se Jwi-w)!,,; O. 005 ~W=W1 W} R/S CM?

• a

21 CM R/S CN?

22 CN R/S 23 Se w = w• o programa salta para o

l' -item 27 OMEG2?

24 ' w; R/S CM?

25 CM R/S CN? 26 CN R/S 27 •LBL FORC M? 28 M R/S N? 29 N R/S V? 30 V R/S ITERAR?S/N

138

INSTRUÇOES PARA O USO DO PROGRAMA SHEDR FOLHA_l_DL ... L.

ITEM OBSERVAÇOES DADOS FUNÇÃO RESULTADOS

' iterativo (5) 31 Se for usado o processo o programa adota os valores iniciais

Madi=Yf,M e Nadi=Yf, (N+V.cos11/4); caso contrãrio (N}, o programa salta para o item 33 5 ou N R/5 Mact=(Mad1}

32 R/5 Nad=(Nad1)

33 • LBL DEF R/5 TAB; 1

34 O programa fornece os parãmetros KMD

e KND de entrada na tabela 1 (w 1} R/5 KM=(KMD}

35 R/5 KN=(KND)

36 R/5 KMl?

37 KMD1 R/5 KM2?

38 KMD2 R/5 KNl?

39 KND1 R/5 KN2?

40 KNDt R/5 EPl , 1?

41 EPCG1 .1 R/5 EPl ,2?

42 EPCG1 2 R/5 EP2, l'?

43 EPCG? 1 R/5 EP2,2?

44 EPCG2.2 R/5 Fil ,l?

45 FI 1 1 R/5 FI 1 ,2?

46 FI1 ? R/5 FI 2, l?

47 FI2 1 R/5 FI 2 ,2?

48 FI? ? R/5

49 Se W=W1 o programa salta p/- o itêm 51 TAB.2

50 Repetir os passos do item 34 ao 48, para a tabela 2'(w2) R/5 ...

5i Ü programa fornece OS Valores de E0, e~· resultantes da interpolação EPCG=(E 0} ~

'

52 R/5 FI=(i,0}

53 R/5

O programa executa o processo numêri-co para a determinação das tensões,. ao longo da altura da seção, para a configuração deformada resultante da

interool acão.

· 13 9

INSTRUÇOES PARA O USO DO PROGRAMA SHEDR FOLHA_3_DL . ..1_

ITEM 0BSERVAÇ0ES · DADOS FUNÇÃO RESULTADOS

Ao final da execução, o programa para

fazendo soar um sinal audível de

alerta ao operador . sinal sonoro .

54 Se o processo iterativo não foi ado-

tado, o programa salta para o item 51 Mad=(Mad2)

55 R/S Nad=(Nad2)

56 R/S ITERAR?S/N

57 Se for necessãri a uma nova iteração

(S), o programa retorna ao item 33

(•LBL DEF); caso contrãrio (N), o

programa continua no item 58 S ou N · R/S

58 • LBL RES MAX STRESS

59 R/S Z=( 2crtmaxl

60 R/S SGT = ( cr tmax l

61 R/S MAX REINF

62 R/S Z=(ZAswmav)

63 R/S SGI=(ªt.cos<I>,

64 R/S ASW=(Aswl

Para repetir os resultados finais, a

partir do item 58 XEO RES

Para executar o cãlculo para novos

esforços, a partir do item 27, manti -

da a seção transversal XEQ FORC

.

Para executar o cãlculo para uma nova

seção transversa 1, a partir do ·item ll XEQ SEC

Para executar o cãlculo, a partir do

item 02 , mudando, _i n c 1 us i ve, as pro-

priedades dos mate riais XEQ MAT

140

LISTAGEM DO PROGRAMA SHE DR · FOLHA_l___DE_L_

PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇUES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇUES .

001 •LBL SHEDR 051 PROMPT CLRG STO 32 RAD •LBL SEC 50 CF 02 STO 11 B? •LBL MAT 1

FCK? STO 20 PROMPT H? . 85 PH 1

010 * 060 STO 00 .. SFCO? RCL 11 PROMPT T / 2 STO 23 0.85fcd /

CF 00 STO 22 6z/2 A RCL 00 ASTO v DHI? AON PROMPT TS? -

020 PROMPT 070 STO 43 zl ASTO x OHS? AOFF PROMPT x=v? STO 44 ZS SF 00 AS? FYK? PROMPT PROMPT STO 24 SFST? 1 PROMPT "ICIIP? A~/Astot / PROMPT

030 STO 29 fyd 080 STO 46 EST? -PROMPT 'l!NF? As/Astot EEX 3 PROMPT / -STO 05 Es/1000 <;Tíl A~ %LAT / RCL 24 STO 06 Eyd (aço A) or, 29 FS? 00 * GTO 01 RCL 23

040 2 onn I

ST0+06 Eyd (aço B) or, 20 x~v I

. 7 RCL 00 * / Astot. fyd STO 30 EO. 7fyd (aço B) sTn 1 o ur=-o LBL 01 FTX ? 0.85fcd·b.h SFL? OMEG-PROMPT ARCL x STO 31 AV[EW

050 STFAC? 100 RIS

1 41

LISTAGEM DD PROGRAMA SHEDR FOLHA _2_DL .... l_

PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO 0BSERVAÇ0ES

101 .005 151 cos RCI 10 RCL ·33 OMEGl? * PROMPT ST0+41 Nadl =Nd+O. 707Vct. <;Tn 1 Q XEO M - SF 03 Processo iterativo ABS •LBL DEF x,;,y? 37 .1 SF 02 lw~wil,s.005=;. w=w1 STO 21

110 37. 1 160 TAB. 1 STO 21 AVIEW XEQ A RIS FS? 02 XEO K GTO FORC XED E OMEG2? . STO 17 EP1 PROMPT SF 01 RCL 19 XEO E - STO 18 Fll RCL 10 FS? 02

120 RCL 19 170 GTO 02 w ;=w1 - TAB.2 x~v AVIEW / R/5 STO 36 (w-wi)/( w2 -wi) XEO K XEO A XEQ E •LBL FORC STO 28 EP2 CF 03 RCL·· 17 M? STO 27 PROMPT RCL 36

130 RCL 31 180 STO 26

* XEO I STO 35 Md STO 17 EP STO 42 Mad1 SF 01 N? XEO E PROMPT STO 28 FI 2 RCL 31 RCL 18

* STO 27 STO 34 Nct RCL 36 STO 41 STO 26

140 V? 190 XEO I PROMPT STO 18 "FI RCL 31 •LBL 02 * RCL 17 STO 33 Vd EPCG= N ARCL x ASTO v AVIEW XEO 1T RIS PI 2 4 *

150 / 200 RCL 18

l 4 2

LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR FOLHA......LDE_L_

PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES .

201 FI= 251 STO ?6 ARCL x C::Tn ·?7 AVIEW or, 11

R/S c::r n 2 i; ndiv - or, ??

. 2 r~c:: I C::T/1 nA

STO 09 Esup=(2tcG + \D) 12 •LBI n or1 -lA v.n o

210 RCL 00 260 RCL 08 / RCL 04 STO 03 K"lj) /h -o RCL 07 STO 01 *

STO+lO e - -

STO 02 S;=l:A;.(z -.Zm;l STO 17 RCL 10 STO 18 RCL 33 STO 19 * RCL 11 RCL 19

220 STO 25 ndiv 270 / ,

RCL 22 RCL 20 CHS / crt;=S;. Vd/(b.I) STO 04 ENTER

.

•LBL C ENTER XEO R RCL 14 RCL 07 -STO+l7 l:A~ 3 Uf"I 04

1 7

* -230 STO+ 18 e - 280 STO 14 l:A; • Zm; ªtm;

LAST x Dr!~

* x>v? STO+l9

e -2 GTO 09 l:A;.zm; ªt >cr

DSE 25 x-;v max tm;

GTO C C::Tn 13 ªt =0:tm· RCL 18 Rr, nA max - ,

RCL 17 C::T/1 ,i; z(ªtmaxl I el RI OQ STO 08 z . = (l:Ar .Zm; )/Ae RCL 21

240 <' 290 X>O? RCL 17 GTO 10 Ezm;>O = ªhn;=O

* / -2

ST0-19 I e_i e--2 x>v? = IA; .Zm--A .z

o . 1 GTO 11 Ezm;<-2 =, O"hn;=s85fCd STíl 01 x-:.y ~Tn íl? ENTER STO 10 X 2 .

STO 13 4 . STO 14 7 i

250 STO 16 300 + Ezm-+Ezm-/4 , ,

l 4 3

LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR FOLHA __A_DE __l_

PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES

301 GTO 12 351 x>.v? •LBL 10 GTO 13 ªr<ªr o x::.v max

GTO 12 STO 16 a aLBL 11 RCL 04 lmax

-1 STO 17 z(Aswmaxl •LBL 12 • LBL 13 RCL 23 0.85fcd DSE 25

* raro n 310 STO 07 ªhn; 360 FIX 3

STO 12 TONE 9 2 FC? 03 I GTO RES ENTER RCL 35 x2 RCL 26 RCL 14 -x2 RCL 27 + RCL 00 SORT *

320 + ªr. 370 2 STO 02 1 / ST0-12 0 II · =a hn · - 0 I · + - -RCL 14 1 1 1 STO 42 Mad=Md-Mci+Nci.h/2 #O? RCL 34 GTO 03 ªtm; t O RCL 27 EEX-90 - -+ STO 41 Nad=Nd-Nd •LBL 03 XEO M / s

330 ATAN ~a;=arc tan(a1;/crtm;l 380 ASTO v CDS XEO IT x2 CF 03 RCL 12 • LBL RES RCL 02 FIX 3 - :i. MAX STRESS

* ªh i =( a II; - a 1; ) . cos~a; AVIEW RCL 07 RIS - ªht; =ah;-ªhn; Z= RCL 20 ARCL 15

340 * 390 AVIEW RCL 22 RIS * SGT= 2 ARCL 13 * AVIEW ST0+27 Nd0 =l:(crht; .b.LIZ) RIS RCL 04 MAX REINF * AVIEW - -ST0+26 Md =Nd· .Zm, (topo) RIS RCL 02 1 1 Z=

350 RCL 16 400 ARCL 17

144

LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR · FOLHA_S_· OE___l__

PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES

401 AVIEW 451 • LBL 01 -RIS o RCL 16 GTO 03 SGI= •LBL 02 ARCL x

1 ••,•

AVIEW . •LBL 03 R/S RCL 24 i RCL 20 * IA5 .

RCL 01 o l . ···' '.•

* l i-1 410 RCL 29 460 - As-=f.As-- r.As·

RCL 32 STO 02 l o .l o l

* STO+Ol / A5w=cr 1 . b/ ( f yd. STFAC) ST0-07 Ac-=Ai-A5 .

FIX 5 •LBL 04 l l

ASW= -2 ARCL x RCL 09 AVIEW RCL 03 RIS Rrl 04 GTO RES *

420 RTN 470 + •LBL R Sub-rotina para o STO 21 Ezmi RCL 22 cãlculo aa ãrea · " x>O? 2 equivalente GTO 05 Ezm; >0= Ec; =O * X(,y? RCL 20 GTO 05 Ezm·,;-2= Ec-=0 * 2

l l

STO 07 A· l / RCL 22 1 ST0+04 - +

430 ST0+04 Zm; 480 RCL 23 Ezm· RCL 04 * Ec; =O .85f cd. (T-+ 1) + z; =zm;+llz/2 ST0*07 e RCL 44 GTO 06 Ac. =Ac .. Ec. X>V? i •LBL 05 l l l

r:;To 01 - - = IA5 .=0 n z;<zs

x-;v o l ST0*07 RCL 43 el BL 06 x,:.v? i RrL 06 GTO 02 - -

> IAs. =Ast t RCL 21 zr~zI 440 RDN o l o nnn ªBS

Para zpz."s ou Zi <z1 X>V?

-, -RCL 44 1 GTO 07 1 Ezm;f>Eyd > Esi =O RCL 43 i z:-z. FS? 00

IA . = S l ' - .AsLAT+As GTO 08 Aço A o S1 - -/ zçz1 RCL 30 RCL 45 X>V?

* GTO 08 1Ezmil"E0.7fy/ >Es;=O RCL 46 -+ RCL 06

450 GTO 03 500 RCL 30

145

LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR FOLHA_6_DE_7_

PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇllES

501 - 551 RCL 20 entrada em cada tabela / , RCL 00 RCL 05 * * • RCL 23 . . CHS * RCL 05 ' STO 04 ' . - - -

+ .-1; Esi / GTO .09 RCL 00 • LBL 07 I

510 o 560 RCL IND 21 GTO 09 / 2

•LBL 08 KM= KM=Md/{b.h.0.85fcd) RCL 05 ARCL x • LBL 09 e AVIEW ST0*02 As. =As . . Es. RIS RCL 02

l l l ISG 21 e e e ST0+07 Ai=Aci+ASi RCL 41 RTN RCL 04 • LBL IT Sub-rotina para /

520 ADN condução do processo · 570 RCL IND 21 ITERAR?S/N iterativo / PROMPT KN= KN=Nd/(b.h.0.85fcd) ASTO x ARCL x AOFF AVIEW x=y? R/S GTO DEF ISG ti RTN STO 13 KN •LBL M Sub-rotina para x-:v Mad= impressão dos es forgJs KMl?

530 ARCL 42 Mad e Nad resultantes 580 PROMPT AVIEW em cada iteração -RIS LAST x Nad= CHS ARCL 41 KM2? AVIEW PROMPT R/S + RTN /

•LBL A Sub-rotina para STO 12 RM={KM-KM1)/(KM2-KM1) CM? arquivar os parâmetro, RCL 13

540 PROMPT CM e CN das tabe 1 as a 590 KNl? STO IND 21 serem utilizadas PROMPT "

ISG 21 -CN? LAST x PROMPT CHS STO IND 21 KN2? ISG 21 PROMPT RTN + •LBL K Sub-rotina para a 7 FIX 3 defi rii ção dos · STO 13 RN=(KN-KN1)/(KN2-KN1)

550 RCL 42 narãmetros KM e KN de 600 RTN

146

LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR' FOLHA_7_DE_7_

PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES

601 •LBL E Sub-rotina para 651 RCL 26 FS?í:01 entrada dos valores * GTO 02 de EP e FI para a RCL 27 EPl. l? interpolação + f"KI I IYll-'

0

1 RTN STíl 14 l'N n EPl ,2? PROMPT STO- 15

610 EP2,l? PROMPT STO 27 EP2.2? PROMPT STO 28 GTO 03

. •LBL 02 FTl 17 PROMPT

620 STO 14 FI 1 .2? PROMPT STO 15 FI2.1? PROMPT STO 27 FI2 .2? PROMPT STO 28

630 • LBL 03 RCL 12 STO 26 XEO I STO 16 llrl 14 STO 27 RCL 15 STO 28 XEO I

640 STO 27 RCL 16 ,

STO 28 RCL 13 STO 26 XEíl I EP{FI) IITN

•LBL I Sub-rotina de RCL 28 interpolação linear RCL 27

650 -

l 4 7

REGISTROS ALOCADOS NO PROGRAMA SHEDR

, REGISTRO TIPO CONTEUDO

00 p h 01 T E Ao; 02 T As;,ª!; 03 p K

-04 T Zm; 05 p Es/1000 06 p Evd(%,) 07 T

,e. Ac, , · A; , ªhn,

08 p z

09 p ES ( %, ) 10 T S; 11 p nct;v 12 T O TT.; ' RM

13 T ªt-,v• KN, RN 14 T ªtmi 15 T z(Gt_,.,) 16 T of ___ 17 T EAT, z( Asw--.,) 18 T e -EA;.Zm,

19 T Ae -2 t '\.;·. z ...... ' I

20 p b 21 T Ezm, ( %o)

22 p fii./2 23 p 0.85fcd 24 p A.~,~ 25 T nct; \/ 26 T MÁ. (topo) 27 T 'iifct, 28 T 29 p fvd 30 p EQ.7f--Â 31 p Yf 32 p STFAC

TIPO P - PERMANENTE T - TEMPORÁRIO

FOLHA_l_DE_..2_

OBSERVAÇOES

RM=(KM-KMl)/(KM2-KMl) RN=(KN-KNl )/(KN2-KN1)

) Regist= """" " ;"1,-rotioo E

f Regi st,os usados nas sub-rotinas E e I

148

REGISTROS ALOCADOS NO PROGRAMA SHEDR

, REGISTRO TIPO CONTEUDO

33 p Vn=Yf.V

34 p Nn=Y f .N

35 p Mn=Yf.M

36 p {W-W1) / (i.LJ2-W1)

37 p CM1

38 p CN,

39 p CM2

40 p CN2

41 T Nad

42 T Mad

43 p ZT 44 p zs 45 p %LAT

46 p %SUP

TIPO P - PERMANENTE

T - TEMPORÁRIO

FOLHA_l_DE_.2_

OBSERVAÇOES

149

B.2 ~ PROGRAMA SHEDC RARA SEÇÕES CIRCULARES

B.2.1 ~ r~~tf~~6~~ pafa ·d Uso dd Programa

B.2.2 - Listagem do Programa

B.2.3 - Registros Alocados no Programa

150

INSTRUÇOES PARA O USO DO PROGRAMA SHEDC FOLHA_.l_DE_i_

ITEM OBSERVAÇOES DADOS FUNÇJl:O RESULTADOS .

01 SIZE 043 XEQ SHEDC

As instruções para o uso do programa SHEDC são as mesmas do programa SHEDR, exceto as referentes ãs dimensões da seção transversal, correspondentes aos itens 11 a 18, substitui dos pelos seguintes:

,

D? 11 • LBL SEC 12 h R/S OH?

13 t,h R/S AS?

14 As R/S OMEG=(w)

.

-

l 51

LISTAGEM DO PROGRAMA SHE DC FOLHA_l_DE---3_

PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO I NST RUÇlíO OBSERVAÇÕES

001 • LBL SHEDC A- listagem do progra- RCL 04 245 a 279 ma SHEDC e, em sua -maior parte, a mesma 250 RCL 07 do programa SHEDR: As *

si =EA1. (z-Zmi l modificações a serem STO+lO introduzidas no pro- RCL 10 grama SHEDR são as RCL 33 seguintes: * RCL 19

053 • LBL SEC Substituir os passos / CF 02 053 a 095 do programa 2 D? SHEDR pelos passos / PROMPT 053 a 080 260 RCL DO 2 xz / RCL 04 STO 00 Rc RCL 22

060 RCL l l + z; =zmi+llz/2 / RCL 00 STO 22 llz/2 -RCL 00 x" OH? -PROMPT EEX-4 - 270 X>y? STO 20 Rs GTO 07 AS? RDN

bi/2= /Rt-(zi-R,) 2 PROMPT SQRT 070 STO 24 /

RCL 29 GTO 08 ºti=Si .Vd/{bi .!) * • LBL 07 RCL 23 o / • LBI 08 PI 279 ENTER / RCL 00 x" As. fyd 334 • LBL 03 Substituir os passos / / 327 a 372 do programa w=

-- 2 080 STO 10 O .85f cd-1T. Rc ATAN SHEDR pelos passos CDS 334 a 392 x2

194 RCL 18 Substituir os passos RCL 12 RCL 00 209 a 212 do programa 340 RCL 02 / SHEDR pelos passos -2 194 a 199 * ºhi=(crJI, -cr 1.) .cos~ªi / RCL 07 , ,

199 STO 03 K= ,P/2.Rc - 0 ht ·=oh· - ºhn · RCL 28

, , -~, *

245 • LBL D Substituir os passos RCL 22 XEO R 258 a 273 do programa * :.Nd;=E{crhti .bi .fiz) RCL 08 SHEDR oelos oassos ST0+27

l 5 2

LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDC FOLHA_2_DE_3_

PASSO JNSTRUÇIIO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇIIO OBSERVAÇOES

350 RCL 04 426 RCL 16

* 427 RCL 29 - -STo+26 Mcti =N di . Zmi (topo) RCL 02 orL 00 438 •LBL R Substituir os passos or1 04 RCL 22 421 a 464 do programa - 440 ST0+04 SHEDR pelos passos ABS ST0+04 438 a 487 Rfl ?/l RCL 00 x,;,y? 2

360 GTO 13 1 Rc-Zm-1 "Rs~ * /

1 o <o RCL 04 ASJN

I Imax -cos LAST x / *

bmi/2=/tmi(2.Rc-zmi) RCL 28 SQRT

* 450 4 2 * / a 1 ./bi . coswi STO 28 2 .bmi RCL 16

, RCL 22

370 x>v? * GTO 13 STO 07 Ai =bmi . t,z x:y RCL 00 STO 16 RCL 04 RCL 04 -STO 17 z(Aswmax) RCL 2Z RCL 02 460 -STíl 1 8 º1(Aswmax) RCL 20 •LBL 13 x,;,y? DSE 25 GTO 01 Rç-z; >Rs '* As.=O

380 GTO D CHS . , i

FIX 3 x>v? Zi-Rc>Rs~ r.As-=As TONE GTO 02

o ,

FC? 03 / GTO RES CHS

S=arc cos [{Rc-Zi )/Rs] RCL 35 ACOS RCL 26 470 GTO 03 - •LBL 02 RCL 27 PI RCL 00 •LBL 03

390 * RCL 24 + * - -

392 STO 42 Mact=Mct-Mct+Nct. Rc PI hsi=As.S/1T /

RCL 01 o

421 R/S Substituir os passos - i i-1 SGI= 402 a 410 do programa 480 STO 02 As-=IAs.- 'f.As· ARCL 18 SHEDR pelos passos STO+Ol

, o , o ,

AVIEW 421 a 427 ST0-07 Aci=Ai-Asi 425 R/S 483 GTO 04

153

LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDC FOLHA _3_ 0E _____3___

PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES

484 • LBL 01 o STO 02

487 • LBL 04

571 •LBL K Substituir os passos FIX 3 548 a 562 do programa RCL 42 SHEDR pelos passos PI 571 a 588 RCL 00 x' * RCL 23 *

580 STO 04 / RCL 00 2 * / RCL IND 21 /

KM=Mct/(2rr.R~.0.85fcct) 588 KM=

l 5 4

REGISTROS ALOCADOS NO PROGRAMA SHEDC

' REGISTRO TIPO CONTEUDO

00 p Rc .

16 T (b;.crI;/cosw;lmax

18 T I:Ai .zm;, ªI (Aswmav)

20 p Rc

28 T 2bm;

43

44 45 46

TIPO P - PERMANENTE T - TEMPORÁRIO

FOLHA_l_DE_l_

OBSERVAÇOES

Os registros alocados no programa SHEDC. são, em sua qúase totalidade os mesmos do programa SHEDR. As

alterações, devidas ãs diferenças na geometria das seções, são as seguintes:.

Não existem no programa SHEDC

l 5 5

APtNDICE C

TABELAS DE DEFORMAÇ"OES EM SEÇTIES

DE CONCRETO ARMADO

C.l - SEÇÃO RETANGULAR CHEIA COM ARMADURA DISTRIBU1DA EM IGUAL

PERCENTAGEM NOS QUATRO LADOS - AÇO CA-50B

fAeELA5 ú[ .O[íO~KiCC[~ E~ S[C0[5 ílE CONCll[ríl AR~AOU.QE AC~Ml)O COM os PR[NCl~IOS e~SICílS DO C[B

SECAO R[TANG!ILAR CHlfA - ACO CA-~QB AS=0.25•~!T AS 1 =0.l~•Ast O!l/~=11.uS OH 1 /~~c,.os OM[G=~.l CN=l.1863 CH=0.150q

• •

""º • • • • -0.915

• . • •0.900

• • -O.dS,0 • • -o.eoo • • -0.7SO •

• •

• •

•

.;o.roo

-o .ó5 O

-o.sso

• -o.soa •

-0.450 • • -o.i.oo • • • -o .350

•O .100 ..

• • -o .zso • •

• -o .200

• -0.150 • • -0.100

• -0.050

• • o·ºº' • • • o .o 'j o •

. . . . . o.o o. 1

•••••••• ......

-2.000 0 • 001]

-1.771 • 0.000

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25 7

APÊNDICE D

EXEMPLO DE UTILIZAÇIIO DO: PRDGRA!>',A\PARA DIMENSIONAMENTO

li FORÇA CORTANTE PARA CALCULADORA PROGRAMIIVEL HP-41C

Dados: Seção Circular Cheia

Diãmetro Cobrimento Concreto Aço CA-50B Armadura Esforços

h = l , Om llh=0,05m

fck=25,0MPa fyk=500,0MPa A =O Ol60m2 s , M=l600,0kNm N=-3200 ,OkN V=SOO,OkN

A entrada de dados e os resultados de cada iteraçãti,

ate obter-se a convergência no processo de determinação dos

esforços incrementados Mad e Nad' são fornecidos a seguir.

As Tabelas 0.1 e D.2 são utilizadas na da deformada da seção em cada iteração.

determinação

258

EXEMPLO DE UTILIZAÇAO DO PROGRAMA SHEDC FOLHA _j_D[_.3__

ITEM OBSERVAÇOES DADOS. FUNÇÃO RESULTADOS

01 XEQ SHEDC FCK?

Propriedades dos materiais 25000. R/S SFCO?

1.5 R/S TS?

B R/S FYK?

05 500000. R/S SF/H?

1.15 R/S EST? 210000000. R/S SFL?

. 1.5 R/S STFAC?

Geometria da seção 0.84 R/S D?.

10 1.0 R/S DH?

0.05 R/S AS?

0.0160 R/S OMEG=0.63 R/S OMEGl?

Parâmetros da Tabela D. l 0.6 R/S CM?

15 o. 2487 R/S CN?

2. 125 7 R/S OMEG2?

Parâmetros da Tabela D.2 0.7 R/S CM?

O. 27 39 R/S CN?

2.3129 R/S M?

20 1600. R/S N?

-3200. .R/S V? 800. R/S ITERAR?S/N

1 ª Iteração s R/S Mad=2400.00 R/S Nad=-3951.47

25 R/S TAB .1

Valores da Tabela D. l R/S KM=O. 867

R/S KN=-0.167 R/S KMl?

0.8 R/S KM2?

30 0.9 R/S KNl? -0.2 R/S KN2?

-O. 15 R/S EP 1 , 1? -0.235 R/S EPl ,2?

-0.206 R/S EP2,l?

35 -0.038 R/S EP2,2?

259

EXEMPLO DE UTILIZAÇAD DO PROGRAMA SHEDC FOLHA_2_DE_3_

ITEM OBSERVAÇllES DADOS. FUNÇ1'i0 RESULTADOS

36 0.046 R/5 Fll,l?

3.802 R/5 Fll,2?

4. 786 R/5 FI2,l?

3.973 R/5 FIZ ,2?

40 5.085 R/5 TAB.2 Valores da Tabela 0.2 R/5 KM=D.788

R/5 KN=-0. 154

R/5 KMl?

0.7 R/5 KM2?

45 0.8 R/5 KNl?

-0.2 R/5 KNZ?

-o. 15 R/5 EP 1 , 1?

-0.301 R/5 EPl ,2?

-0.279 R/5 EP2,l?

50 "º .125 R/5 EP2,2?

-0.083 R/5 Fll,l?

3.097 R/5 FI 1 ,2?

3.839 R/5 FI2,l?

3.256 R/5 F I 2 ,2?

55 Deformada da seção 3.954 R/5 EPCG=-0. 072

.R/5 FI=4.438

Esforços resultantes R/5 Ma d=2496. 34

R/5 Nad=-4053.23 R/5 ITERAR?S/N

60 zª Iteração s R/5 TAB. 1 Valores da Tabela D .1 R/5 KM=D.902

R/5 KN=-0. 171 R/5 KMl?

0.8 R/5 KM2? -

65 0.9 R/5 KNl?

-0.2 R/5 KN2?

-O. 15 R/5 EPl , 1?

-0.206 R/5 EPl ,2?

-O. 149 R/5 EP2,l? 70 -0.046 R/5 E P2 ,2?

260

EXEMPLO DE UTILIZAÇ~O DO PROGRAMA SHEDC FOLHA_3_DE_3_

ITEM OBSERVAÇOES DAOOS. FUNÇÃO RESULTADOS

71 0.246 R/S Fll,l? 4.786 R/S FI l , 2?

6.732 R/S Fl2,l?

5.085 R/S Fl2,2?

75. 7. 571 R/S TAB.2 Valores da Tabela D.2 R/S KM=0.819

R/S KN=-0 .158

R/S KMl?

0.8 R/S KM2? 80 0.9 R/S KNl?

-0.2 R/S KN2?

-O .15 R/S EP 1 , 1 ?

-0.279 R/S EPl ,2?

-0.267 R/S EP2,l? 85 -0.083 R/S EP2,2?

-0.023 R/S Fll,l?

3.839 R/S FI 1 ,2?

4.818 R/S Fl2,l?

3 .954 R/S Fl2,2? 90 Deformada da seção 4 .. 993 R/S EPCG=-0.070

R/S FI=4.785 Esforços resultantes R/S Mad=2497 .68

( = l ª Iteração) R/S Nad=-4051 .98 R/S ITERAR?S/N

95 Resultado~ finais N R/S MAX STRESS

R/S Z=0.430 RIS SGT=l967 .324 R/S MAX REINF R/S Z=O. 530

l 00 R/S SGl=l819.783

Armadura transversal (m 2 /m) RIS ASW=0.00498

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