2018.12018.1

F u n

d a m e n

t o s

D E

C I Ê N C I A S

E X A T A S

Maricélia SoaresMaricélia SoaresUAM – Universidade AnhembiUAM – Universidade Anhembi

MorumbiMorumbi

Raimundo AlmeidaRaimundo AlmeidaUNIFACS – Universidade SalvadorUNIFACS – Universidade Salvador

1

Material referencial para uso na Material referencial para uso na disciplina Fundamentos de Ciências Exatas.disciplina Fundamentos de Ciências Exatas.

Contribuições:Contribuições:

Danilo Sande

Hugo Vasconcelos

Ivana Barreto Matos

João Tiago Assunção

Julianna Pinele Porto

Ricardo Noburo Igarashi

2

SUMÁRIOSUMÁRIO

Fundamentos ..................................................................................................... 0

1 ARITMÉTICA .............................................................................................. 6

Números Fracionários ........................................................................... 6

1.1.1 Operações com Frações ................................................................ 7

Potenciação em Z ............................................................................... 11

1.2.1 Propriedades da Potenciação em Z .............................................. 12

Radiciação em Z ................................................................................. 13

1.3.1 Propriedades da Radiciação em Z ................................................ 14

1.3.2 Simplificação de Radicais ............................................................. 15

1.3.3 Operações com Radicais .............................................................. 16

2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E POLINÔMIOS ....................................... 24

Definição: Expressões Algébricas e Polinômios ................................. 24

2.1.1 Divisão de Polinômios .................................................................. 24

3 GRANDEZAS, PADRÕES E UNIDADES .................................................. 31

Introdução ........................................................................................... 31

O Sistema Internacional de Unidades (SI) .......................................... 31

Algarismos Significativos ..................................................................... 34

3.3.1 Determinando os algarismos significativos de um número ........... 36

Arredondamento de Números ............................................................. 37

Potências de Base 10 ......................................................................... 38

3.5.1 Prefixos das Potências de Base 10 .............................................. 39

Notação Científica ............................................................................... 40

Ordem de Grandeza............................................................................ 41

D07. Cálculo da quantidade de soja exportada pelo Brasil. ...................... 52

D08. Cálculo do volume do reservatório que atenderá às necessidades deuma família. ............................................................................................... 53

4 FUNÇÕES: NOÇÕES GERAIS ................................................................. 55

Conceito .............................................................................................. 55

4.1.1 Intervalos numéricos ..................................................................... 55

Noção intuitiva de função .................................................................... 56

Definição de função............................................................................. 56

4.3.1 Definição .......................................................................................... 57

4.3.2 Domínio, Contradomínio e Imagem .................................................. 58

3

A aplicação apresentada pode ser classificada como uma função? Nessecaso, através do diagrama de Venn (figura 3) é possível determinar o seudomínio, contradomínio e imagem? .............................................................. 58

Plano Cartesiano e esboço de gráfico de funções .............................. 59

Construção Gráfica ............................................................................. 60

Toda curva esboçada num plano representa o gráfico de uma função? ...... 61

Análise do gráfico de uma função ....................................................... 62

Movimentação gráfica ......................................................................... 64

4.7.1 Movimentos de Translações: ........................................................... 64

4.7.2 Movimentos de Reflexões: ............................................................... 64

Gráficos de funções elementares ........................................................ 66

5 FUNÇÕES AFINS E QUADRÁTICAS ....................................................... 81

Função Afim ........................................................................................ 81

5.1.1 Raiz de uma função afim .............................................................. 81

5.1.2 Gráfico de uma função afim .......................................................... 82

5.1.3 Crescimento e Decrescimento de uma função afim ..................... 83

Função Quadrática .............................................................................. 84

5.2.1 Raízes de uma Função Quadrática .............................................. 84

5.2.2 Gráfico de uma função quadrática ................................................ 85

6 CINEMÁTICA: NOÇÕES GERAIS ............................................................ 93 Introdução ........................................................................................... 93

Conceitos Fundamentais ..................................................................... 93

7 MOVIMENTOS RETILÍNEOS ................................................................. 106

Movimento Uniforme ......................................................................... 106

7.1.1 Funções Horárias ....................................................................... 106

Movimento Uniformemente Variado .................................................. 114

7.2.1 Funções Horárias ....................................................................... 114

8 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS ......................................................... 121

Funções Exponenciais ...................................................................... 121

Gráfico de uma função exponencial .................................................. 121

Logaritmos ........................................................................................ 123

Propriedades dos Logaritmos ........................................................... 125

Funções Logarítmicas ....................................................................... 126

O Número de Nepper ........................................................................ 128

9 TRIGONOMETRIA .................................................................................. 134

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo .......................... 134

Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades) ............. 135

Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis ........................... 135

4

Estudo da Circunferência Trigonométrica ......................................... 144

9.4.1 Introdução ................................................................................... 144

9.4.2 Conceitos Trigonométricos Básicos ............................................ 144

9.4.3 Circunferência Trigonométrica .................................................... 150

9.4.4 Arcos Côngruos ou Congruentes................................................ 151

Funções Trigonométricas .................................................................. 155

9.5.1 Função seno ............................................................................... 155

9.5.2 Função cosseno ......................................................................... 156 9.5.3 Função tangente ......................................................................... 157

9.5.4 Outras funções Trigonométricas ................................................. 158

10 GEOMETRIA ....................................................................................... 163

Formas Geométricas Bidimensionais ............................................ 163

10.1.1 Triângulo ................................................................................. 163

10.1.2 Paralelogramo ......................................................................... 164

10.1.3 Trapézio .................................................................................. 165

10.1.4 Polígonos ................................................................................ 165

10.1.5 Círculo ..................................................................................... 167

Formas Geométricas Tridimensionais............................................ 170

10.2.1 Prisma ..................................................................................... 170

10.2.2 Pirâmide .................................................................................. 172

10.2.3 Cilindro .................................................................................... 174

10.2.4 Cone ........................................................................................ 174

10.2.5 Esfera ...................................................................................... 175

Resumo .......................................................................................... 179

11 VETORES ........................................................................................... 180

Noção Intuitiva ............................................................................... 180

12 LEIS DE NEWTON .............................................................................. 187

Introdução ...................................................................................... 187

Força .............................................................................................. 187

12.2.1 Força Resultante ..................................................................... 188

Equilíbrio ........................................................................................ 188 Princípio da Inércia ou 1ª Lei de Newton ....................................... 189

Massa de um Corpo ....................................................................... 190

Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de Newton ............. 191

Medida de uma Força .................................................................... 192

Princípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de Newton ......................... 192

Forças Especiais ............................................................................ 194

5

12.9.1 A Força Peso ........................................................................... 194

12.9.2 Força de Atrito ......................................................................... 195

12.9.3 Força de atrito estático ............................................................ 195

12.9.4 Força de atrito cinético ............................................................ 196

13 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON .............................................. 203

Introdução ...................................................................................... 203

Equilíbrio ........................................................................................ 203

Equilíbrio Estático .......................................................................... 204 Equilíbrio Dinâmico ........................................................................ 207

Dinâmica ........................................................................................ 209

13.5.1 Plano Horizontal ...................................................................... 209

13.5.2 Plano Inclinado ........................................................................ 211

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................... 219

6

11 ARITMÉTICAARITMÉTICA

Números FracionáriosNúmeros Fracionários

Números fracionários são números que representam uma

ou mais partes de uma unidade que foi dividida em partes iguais.

Os números fracionários são representados por dois

números inteiros (termos da fraçãotermos da fração) separados por um traço

horizontal (traço de fraçãotraço de fração).

O número de cima (numeradornumerador) pode ser qualquer

número inteiro e o número de baixo (denominadordenominador) deverá ser

diferente de zero.

Exemplos de alguns tipos de fração:

• Fração Própria: o numerador é menor que o denominador. Exemplo:43

.

• Fração Imprópria: o numerador é maior que o denominador. Exemplo:29

.

• Fração Mista ou Numeral Misto: constituída por uma parte inteira e uma fracionária.Exemplo:

31

2 .

• Frações Equivalentes: frações que mantêm a mesma proporção de outra fração. Exemplo:

25

e4

10.

• Fração Irredutível: não pode ser simplificada. Exemplo:34

.

• Fração Decimal: o denominador é uma potência de base 10. Exemplo:100

8.

Qualquer número escrito na forma de fração Qualquer número escrito na forma de fração é um númeroé um númerofracionário?fracionário?

Pode parecer estranho, mas a resposta é nãonão!

Primeiro porque a definição diz que números fracionários são números querepresentam uma ou mais partes de um todo.

Por exemplo, o número2

10, que está escrito na forma de fração não é um

número fracionário, porque representa o número 5 e este não é parte de um todo.

Também o número32 está escrito na forma de fração, mas não é um número

fracionário, porque o numerador não é um número inteiro.

7

1.1.11.1.1 Operações com FraçõesOperações com Frações

AdiçãoAdição

A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo

denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que

realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.

Exemplos:a) Adição de frações com os mesmos denominadores:a) Adição de frações com os mesmos denominadores: ?

73

72

71

=++

Podemos observar que todas elas possuem o denominador 7.

Neste caso a fração final terá como numerador a soma dos números 1, 2 e 3, assim como

terá o mesmo denominador 7.

Portanto:76

7321

73

72

71

=++

=++

b) Adição de frações com denominadores distintosb) Adição de frações com denominadores distintos

Através de Frações Equivalentes:Através de Frações Equivalentes: ?

5

4

3

2=+

O uso das frações equivalentes para somar ou subtrair frações é um recurso muito bom.

Vamos analisar passo a passo o procedimento.

1º Passo1º Passo: As frações não possuem o mesmo denominador. Então precisamos encontrar um

denominador igual (comum) que é um múltiplo de 3 e 5 ao mesmo tempo.

Múltiplos de 3 e 5 (sem considerar o zero): 15, 30, 45,...

Logo um desses múltiplos pode ser o denominador das frações equivalentes. Vamos escolher o

número 1515.

2º Passo2º Passo: Nessa etapa vamos descobrir o termo que falta para tornar as frações equivalentes.

32 =

15?

(33 5 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 5 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por

55).

É o número 1010. Então32 será substituída por

1510

.

54 =

15?

(5(5 3 = 15 3 = 15. Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por Logo o numerador da fração equivalente deve ser multiplicado por 33).

É o número 1212. Então54 será substituída por

1512

.

8

Deste modo, a soma54

32

+ será substituída por1522

1512

1510

=+ .

Através do MMC (Mínimo Múltiplo Através do MMC (Mínimo Múltiplo Comum):Comum): ?133

52

31

=++

Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores.

Primeiramente devemos converter todas as frações ao mesmo denominador.

O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comum dos denominadores.

Deste modo o MMC(3, 5, 13) = 195 e todas as frações terão este denominador comum.

O novo numerador de cada uma delas será apurado, dividindo-se 195 pelo seu denominador

atual e em seguida multiplicando-se o produto encontrado pelo numerador srcinal.

• Para31temos que: 195 ÷ 3 × 1 = 65, logo:

19565

31

= .

• Para52

temos que: 195 ÷ 5 × 2 = 78, logo:

19578

52

= .

• Para133 temos que: 195 ÷ 13 × 3 = 45, logo:

19545

133

= .

Obtemos assim, três frações equivalentes às frações srcinais sendo que todas contendo o

denominador 195. Agora resta-nos proceder como no primeiro exemplo:

195188

195457865

19545

19578

19565

=++

=++

No caso de adição de frações mistas devemos colocar a parte fracionária toda com o

mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a soma das partes inteiras e das partes

fracionárias:

2419

9243

52416

481

532

4 =+=+

Podemos também transformar as frações mistas em impróprias antes de realizarmos a operação

de soma:

24235

24123112

841

314

81

840

32

312

81

532

4 =+

=+=

++

+=+

3, 5, 13

1, 5, 13

1, 1, 13

1, 1, 13

3

5

13

3·5·13 =3·5·13 = 195195

=

9

SubtraçãoSubtração

A diferença ou subtração de frações, assim como a adição, também requer que todas as

frações contenham um denominador comum.

Quando as frações possuírem um mesmo denominador, temos apenas que subtrair um

numerador do outro, mantendo-se este denominador comum.

Exemplos:a) Subtração de frações a) Subtração de frações com os mesmos denominadores:com os mesmos denominadores: ?

92

91

98

=−−

Observamos que todas as frações possuem o denominador 9.

Neste caso a fração final terá como numerador a diferença dos numeradores, assim como

irá manter o denominador 9.

Portanto:95

9218

92

91

98

=−−

=−−

b) Subtração de frações b) Subtração de frações com denominadores distintos:com denominadores distintos: ?72

31

98

=−−

Como as frações não possuem todas o mesmo denominador, primeiramente devemos

apurar o MMC(9, 3, 7) para utilizá-lo como denominador comum.Sabemos que o MMC(9, 3, 7) = 63. Logo utilizaremos 63 como o denominador comum.

Como já visto, para encontrarmos as frações equivalentes às do exemplo, que possuam o

denominador igual a 63, para cada uma delas iremos dividir 63 pelo seu denominador e em

seguida multiplicaremos o resultado pelo seu numerador.

• Para98temos que: 63 ÷ 9 × 8 = 56, logo:

6356

98

= .

• Para31

temos que: 63 ÷ 3 × 1 = 21, logo:

6321

31

= .

• Para72temos que: 63 ÷ 7 × 2 = 18, logo:

63

18

7

2= .

Finalmente podemos realizar a subtração:

6317

63182156

6318

6321

6356

72

31

98

=−−

=−−=−−

Assim como na adição, no caso da subtração de frações mistas também devemos colocar a

parte fracionária toda com o mesmo denominador e depois realizarmos separadamente a subtração

das partes inteiras e das partes fracionárias:

10

203

4205

3208

741

352

7 =−=−

Alternativamente podemos transformar as frações mistas em impróprias antes de

realizarmos a operação de subtração:

2083

2065148

413

537

41

412

52

535

41

352

7 =−

=−=

+−

+==−

MultiplicaçãoMultiplicação

Ao menos conceitualmente, a multiplicação ou produto de frações, talvez seja a mais

simples das operações aritméticas que as envolvem.

Diferentemente da adição e da subtração, a multiplicação não requer que tenhamos um

denominador comum. Para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus

numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relação aos seus denominadores.

Exemplos:

a)a)105

8753421

74

52

31

=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

b)b)

27

40

333

425

3

4

3

2

3

5=

⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

c)c)

3211

2032651

842131

821

431

85

243

7 ==⋅

⋅=⋅=⋅

DivisãoDivisão

A divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu

numerador pelo seu denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações.

Exemplos:

a)a)154

65

7

13

2

5

11

1

13

7:

5

2:

11

1=⋅⋅=

b)b)2740

333425

34

32

35

=⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅

c)c)3211

2032651

842131

821

431

85

243

7 ==⋅

⋅=⋅=⋅

=

A multiplicação de fraçõesmistas deve ser precedida daconversão das mesmas em

frações impróprias.

A divisão de frações mistassegue o mesmo princípio, noentanto devemos primeiramente

convertê-las em fraçõesimpróprias.

11

Múltiplas OperaçõesMúltiplas Operações

Assim como nas operações aritméticas com números naturais também nas operações

aritméticas com frações a multiplicação e a divisão têm precedência sobre a adição e a subtração.

Por isto, em expressões compostas que envolvam múltiplas operações, devemos primeiro realizar

as operações de multiplicação e de divisão e por último as operações de soma e subtração.

Exemplo:

1155454

1155195264385

7713

358

31

1113

71

358

31

1311

:71

358

31

1311

:71

7542

31

1311

:71

74

52

31

=−+

=−+

=⋅−+

=−+

=−⋅

⋅+

=−⋅+

Potenciação em ZPotenciação em Z

Potenciação é uma operação unária1 usada em Aritmética para indicar a multiplicação de

uma dada basebase por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoenteexpoente. O uso desta operação é

muito costumeiro, tendo em vista que as potências estão envolvidas em grande variedade de

problemas de cálculo e técnicas estatísticas.

Dados dois números naturais aa e nn, chama-se potência nn de aa, e representa-se por aann, ao

número obtido efetuando o produto de nn fatores iguais a aa.

aann = = aa a a a a ... ... a a

1 Em Matemática, denominamos de unária à operação que possui apenas um operador, ou seja, trata-se de uma função com somenteuma variável de entrada.

Primeiramente executamos a multiplicação.

Em seguida, executamos a divisão.

Agora podemos utilizar o MMC(3, 35, 77) = 1155 como o

denominador comum das frações e realizarmos a soma e a subtração.

n parcelas iguaisn parcelas iguais

12

Chamamos aa de base, nn de expoente e ao resultado da operação aann denominamos potência.

Decorrentes da definição e das propriedades da multiplicação têm-se que:

• 1n = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ... ⋅ 1 = 1

• 0n = 0

1.2.11.2.1 Propriedades da Potenciação em ZPropriedades da Potenciação em Z

Das propriedades básicas da potenciação de números inteiros, destacamos as seguintes:

Produto de potências de mesma base: Produto de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:

aamm a ann = a = am + nm + n

Exemplos: a)a) 23 ⋅ 24 = 23+4 = 27 b)b) 3-3 ⋅ 34 = 3-3+4 = 31 = 3 c)c) 105 ⋅ 103 = 108

Quociente de potências de mesma base: Quociente de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:

nnmmnn

mm

aaaaaa

−=

Exemplos: a)a) 2

12

2

2 14

3

== − b)b) 33333

3 143)4(34

==== +−−−−

−

−33

c)c) 100101010

10 2353

5

=== −

Distributiva em relação ao produto e divisão: Distributiva em relação ao produto e divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que:

(a(a b) b)mm = a = amm b bmm emm

mmmm

bb

aabbaa

=

Exemplos: a)a) (2 ⋅ 3)3 = 23 ⋅ 33 = 8 ⋅ 27 = 216b)b)

33751

1251

271

5

1

3

153)53(

33333 =⋅=⋅=⋅=⋅ −−−

c)c)925

3

535

2

22

==

d)d)278

3

232

3

33

==

13

Potência de potência: Potência de potência: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:

(a(amm))nn = a = amm n n

Exemplos: a)a) (23)2 = 26 = 64 b)b)729

1

3

13)3(

6623 === −− c)c) (102)3 = 106 = 1.000.000

Atenção:Atenção:

• Observe a diferença entre as expressões nm )a( e nma .

Por exemplo: 6422)2( 62323 === ⋅ , enquanto que

512222 93332

=== ⋅ .

• Se n = 1, então: a1 = a. Por exemplo43

43

1

−=

− .

• Se n = 0 e a ≠ 0, então: a0 = 1. Por exemplo 143

0

=

− .

• Se n = -1 e a ≠ 0, então:a1

a 1 =− .

Exemplos: a)a)31

3 1 =− b)b)35

5 / 31

53

1

==

−

c)c)23

3 / 21

32

1

−=−

=

−

−

Radiciação em ZRadiciação em Z

O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que, se fornecida uma potência

de um número e o seu grau, pode-se determinar esse número, ou seja, uma operação recíproca à

potenciação.

Dados três números naturais a, b, n tais que a = b

n

. O número b é dito raiz de índice n de ae representa-se pelo símbolo nn aa .

Assim, a = ba = bnn implica que bbaann = ,

onde aa é dito radicando e nn índice do radical, a bb chamamos de raiz enésima.

14

1.3.11.3.1 Propriedades da Radiciação em ZPropriedades da Radiciação em Z

Das propriedades básicas da radiciação, destacamos as seguintes:

Distributiva em relação ao produto e à Distributiva em relação ao produto e à divisão:divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que:

nnnnnn bbaabbaa ⋅=⋅

e

nn

nnnn

bb

aabbaa

=

Exemplos: a)a) 333 1025 =⋅ b)b)

32

27

8278

3

33 ==

∀a, m, n ∈ Z, temos que:

( ) nn mmnn aaaa =m

Exemplos: a)a) ( ) 222 3 333 ==

b)b) ( ) 32288 5533 5 ===

c)c) ( ) 2555555555 3 33 33 333 663 =⋅=⋅=⋅==

∀a, m, n ∈ Z, temos que:

nn

mmnn mm aaaa =

Exemplos: a)a) ( ) 2222 13

333 === b)b) 8222 33

93 9 ===

∀a, m, n ∈ Z, temos que:

15

nnmmmm nn aaaa ⋅=

Exemplos: a)a) 22646464 6 66233 ==== ⋅

b)b) 10000.10000.10 4 ==

c)c) 63 2525 =

As propriedades são válidas apenas para as divisões e radiciações possíveis.

1.3.21.3.2 Simplificação de RadicaisSimplificação de Radicais

Para viabilizar o trabalho com radicais é conveniente transformá-los, colocando-os na

forma mais simples possível. Essa forma simplificada é obtida através das propriedades dos

radicais.

Vejamos alguns exemplos:

a)a) 10410252252252160 2445 =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=

160

80

40

20

10

5

1

2

2

2

2

2

5

160 = 2160 = 255 · · 55

16

b)b) 333 33 33 43 222222216 =⋅=⋅==

1.3.31.3.3 Operações com RadicaisOperações com Radicais

Para operar com radicais, usamos suas propriedades e as propriedades operatórias da adição

e multiplicação de números reais (comutativa, associativa e distributiva).

Vejamos alguns exemplos:

a)a) 575)236(525356 =−+=−+

Lembre-se que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo radicando.

b)b) 2182621222323483184 =+=⋅+⋅=+

Observe que neste exemplo, fez-se necessário, inicialmente, o processo de simplificação de

radicais, tendo em vista que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e mesmo

radicando.

c)c) ( ) 33333 61532)53(3523 =⋅⋅⋅=⋅

Lembre-se que só é possível o produto de radicais com mesmo índice.

d)d) 2236

24

32

6432:64 ===

De igual modo ao produto, só é possível o quociente de radicais com mesmo índice.

16

8

4

2

1

2

2

2

2

16 = 216 = 244

17

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Calcule as expressões numéricas e apresente a resposta na forma de fração irredutível:

a)a)

=+− 2

3

1

7

3

b)b) =−83

85

c)c)

=−+

3

2

4

1

6

3

d)d) =+75

43

e)e) =−+91

93

92

f)f) =−125

2 g)g) =+−107

32

154

1h)h)

=+53

251

3

i)i)

=−+109

221

1

j) j)

=−+−43

65

31

21

E02.E02. Efetue as multiplicações e apresente a resposta na forma de fração irredutível:

a)a) =21

.43 b)b) =

43

.79 c)c) =

87

.58 d)d) =

174

.7

17 e)e) =58

.41

.32

f)f) =6

49.

7

2.

5

14 g)g) =16

45.

3

1.

15

8 h)h) =3

14.

9

4.

7

3 i)i) =2

9.

3

25.

5

6 j)j) =8

5.

14

7.

15

16

E03.E03. Efetue as divisões e apresente a resposta na forma de fração irredutível:

a)a) =32:

54 b)b) =

314:

97 c)c) =

83:

43 d)d) =

1512:

524

e)e) =726

f)f) =2:54 g)g) =

95

:3

10 h)h) =54

:2 i)i) =1725

:34

100

j) j) =

83

2412

E04.E04. Calcule:

a)a) =

2

21

b)b) =

4

31

c)c) =

0

32

d)d) =

5

32

e)e) =

2

23

f)f) =

3

21

1 g)g) =

2

34

h)h) =

0

911

i)i) =

3

21

j)j) =

2

47

2

k)k) =

3

313 l)l) =

2

65 m)m) =

3

87 n)n) =

4

52 o)o) =

1

72

18

E05.E05. Calcule o valor das expressões numéricas:

a)a) =

−+

−

32

45

52

23

b)b) =

−+

−

97

98

65

87

c)c) =

−−

−+

45

47

51

21

1

d)d) =

+−+

+

61

21

241

31

e)e)

−+

−−−

43

131

123

67

=

f)f)

=+

−−+

+

32

85

141

31

21

g)g) =

−−

+

32

45

52

23

h)h)

411

153

:2

13.

16912

22

−

+

=

i)i) =

−

+ 8

778

.34

43

j) j)37

.23

52

.31

53

.21

+− =

k)k)

+−−

51

21

.4

13211

7 =

l)l)

+−

+

51

.21

61

.51

31

.21

51

.21

=

m)m)

+

+

++

41

3.31

12.21

123

=

n)n) 45.

25

7

10

3.

3

2

2.143

74

.23

+

+

−

=

o)o)

=

−

+

43

.21

2:57

.7

1053

.31

p)p) =

61

:2527

:53

2

E06.E06. Observe o gráfico ao lado e responda:

a)a) Qual é a fração que representa o todo-referência?

b)b) Qual é a fração que está faltando?

E07.E07. Em uma caixa foram colocadas 120 bolinhas coloridas. Dessas bolas:

• 61

é azul; • 52

são vermelhas; • 103

são verdes;

• O restante é amarela.Com as informações acima, determine a quantidade de bolinhas de cada cor:

a)a) azuis; b)b) vermelhas; c)c) verdes;

d)d) amarelas.

19

E08.E08. Uma prova para selecionar candidatos para trabalhar em um banco era formada por

questões de Português, Matemática e Sistema Bancário. Nessa prova,52

do total das questões

eram de Matemática e31

de Português.

a)a) Qual é a fração que representa a parte das questões de Português e Matemática?

b)b) Qual é a fração que representa a parte das questões sobre o Sistema Bancário?

E09.E09. Considere os seguintes números:

Escreva as frações em ordem crescente.

E10.E10. Num quintal há 60 árvores. As mangueiras representam52

das árvores, as jaqueiras,41

e o

restante das árvores são goiabeiras.

a)a) Que fração representa a soma das mangueiras e das jaqueiras? _____________

b)b) Que fração representa as goiabeiras? ____________

c)c) Quantas mangueiras há? ________________

d)d) Quantas jaqueiras há? __________________

E11.E11. Classifique como VV (verdadeiro) ou FF (falso) as afirmativas abaixo:

________ Em duas frações de mesmo denominador, a maior é a que possui maior numerador.

________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui menor denominador.

________ Em duas frações de mesmo numerador, a maior é a que possui maior denominador.

________73

52

21

=+ .

________ 200de%60 tem o mesmo valor que o triplo da quinta parte de 200.

________ Na malha ao lado estão pintados

4

1

16

3+ do total de quadradinhos.

E12.E12. Classifique as seguintes frações como próprias, impróprias ou aparentes:

45

1012

1003

47 2

1 54

53

20

E13.E13. Passe para a forma mista as seguintes frações impróprias:

a)a) 526

b)b) 13

147 c)c)

8125

d)d) 259

e)e) 647

f)f) 25

1313

E14.E14. Transforme as frações mistas em frações impróprias.

a)a) 31

2 b)b) 31

1 c)c) 72

1

d)d) 53

2 e)e) 72

4 f)f) 115

3

E15.E15. Coloque um dos sinais de ordem (<, >, =) entre as frações, tornando a relação verdadeira:

a)a) 7

1 ____14

2 b)b) 6

32 ____

8

52 c)c)

2

3 ____3

4 d)d) 4

11 ____3

4

e)e) 52 ____

73 f)f)

47 ____

58 g)g)

410 ____

615 h)h)

41

3 ____41

2

E16.E16. Usando a equivalência de frações, descubra o número que deve ser colocado no lugar da

letra x para que se tenha:

a)a) x

1497 = b)b)

28x

74 = c)c)

12x

27 = d)d)

2x

3015 =

e)e) x

9

11

3= f)f)

40

x

8

1= g)g)

x

1

18

6= h)h)

x

10

12

40=

E17.E17. Reduza as frações ao mesmo denominador comum:

a)a) 8

1,

4

1,

2

1 b)b) 9

1,

3

1,

6

1 c)c) 5

9,

2

3,

4

5 d)d) 5

2,

6

5,

15

4,

10

7

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01.

a)a) 2144

b)b) 41

c)c) 121

d)d) 2841

e)e)94

f)f) 1219

g)g) 65

h)h) 529

i)i)5

13 j)j)

41

21

E02.E02.

a)a) 83

b)b) 2827

c)c) 57

d)d) 74

e)e)154

f)f) 1598

g)g) 21

h)h) 98

i)i) 45 j) j)31

E03.E03.

a)a) 56

b)b) 61

c)c) 2 d)d) 6

e)e) 73

f)f) 52

g)g) 6

h)h) 25

i)i) 2

j) j)34

E04.E04.

a)a) 41

b)b) 811

c)c) 1

d)d) 24332

e)e)49

f)f) 827

g)g) 9

16

h)h) 1i)i)

81

j)j)16225

k)k) 27

1000 l)l)

3625

m)m) 512343

n)n)62516

o)o)72

E05.E05.

a)a) 60

101

b)b) 7211

c)c) 54

d)d) 49

e)e) 121

f)f) 8

11

g)g) 6079

h)h) 4

133

i)i) 224125

j) j)3

11

k)k) 40

151

l)l) 100

13

m)m) 471

n)n) 56239

o)o) 6588

p)p) 2

E06.E06. a)a)1212

b)b)

61

E07.E07. a)a) 20 b)b) 48 c)c) 36 d)d) 16

22

E08.E08. a)a) 1511

b)b)

154

E09.E09.47

45

1012

54

53

21

1003

<<<<<<

E10.E10. a)a) 2013

b)b)

207

c)c) 24 d)d) 15

E11.E11. V – V – F – F – V – V

E12.E12. Própria – Aparente – Própria – Imprópria – Aparente – Própria – Aparente.

E13.E13.

a)a) 51

5 b)b) 134

11 c)c) 85

15

d)d) 21

29 e)e) 65

7 f)f) 2513

52

E14.E14.

a)a) 3

7

b)b) 3

4

c)c) 7

9

d)d) 5

13 e)e)

730

f)f) 1138

E15.E15.

a)a) 71 =

142 b)b)

63

2 <85

2 c)c) 23 >

34 d)d)

411 >

34

e)e) 52 <

73 f)f)

47 >

58 g)g)

410 =

615 h)h)

41

3 >41

2

E16.E16.

a)a)

18

14

9

7= b)b)

28

16

7

4= c)c)

12

42

2

7= d)d)

2

1

30

15=

e)e) 339

113

= f)f) 405

81

= g)g) 31

186

= h)h) 3

101240

=

E17.E17.

a)a) 81

,82

,84

b)b) 182

,186

,183

c)c) 2036

,2030

,2025

d)d) 3012

,3025

,308

,3021

23

E18.E18. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), considerando as propriedades da potenciação:

a) ______a) ______ 60203 222 =⋅

d) ______d) ______449

72

2

=

−

b) ______b) ______ 333 32)32( +=+

e) ______e) ______ ( ) 1642 55 =

c) ______c) ______ ( ) 632 33 =

f) ______f) ______ 72

5

33

3=

−

E19.E19. Efetue, observando as definições e propriedades:

a)a) ( ) =−32 _______

b)b) =201 _________

c)c) =1500 ________

d)d) =0100 ________

e)e) =30 _________

f)f) =

−1

34

______

g)g) =− 15 ________

h)h) =−32 ________

i)i) ( ) =−43 ________

j) j) ( ) =35,0 ________

k)k) =− 215 ________

l)l) =090 ________

m)m) =200 ________

n)n) =

−1

21

________

o)o) =

−2

32

________

p)p) =

3

54

________

E20.E20. Calcule o valor da expressão

323

52

23

)2(−

+

−+− .

E21.E21. Efetue as adições algébricas com radicais, observando as propriedades estudadas:

a)a) =−+ 56553 b)b) =+−+ 5555 3323235

c)c) =+−+ 39223624 d)d) =−++− 45254 33

e)e) =++− 55 33333232 f)f) =−++ 25723

E22.E22. Reduza os radicais a uma expressão na forma ba , com a e b inteiros, fazendo uso de

simplificação de radicais:

a)a) =+ 4520 b)b) =−+ 81850

c)c) =− 125272 d)d) =− 7634

e)e) =−+ 729850 f)f) =++ 1087512

E23.E23. O valor da expressão 2112 )2()2()2()2( −+−+−+− −− é igual a:

a)a) -1 b)b) -3 c)c) 49

− d)d) 47

e)e) 0

24

22 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E PLI!"MISEXPRESSÕES ALGÉBRICAS E PLI!"MIS

Definição: Expressões Algébricas e PolinômiosDefinição: Expressões Algébricas e Polinômios

Chama-se expressão algébricaexpressão algébrica qualquer agrupamento de letras e números ligados por

sinais de operações. O elemento fundamental da expressão algébrica é o termotermo, ou seja, um

conjunto de letras e números ligados por operações quaisquer, exceto a adição e a subtração.

Exemplo:Exemplo: Expressão Algébrica:Expressão Algébrica: ab2

xy3

yx2ba

222

−+ . Termos:Termos: ba

2

; yx22

;

ab2xy3 2

−

Chama-se polinômio de grau npolinômio de grau n (n inteiro e positivo) na variável x, a expressão algébrica

do tipo:

P( x) = a0( x)n + a1( x)n−1 + a2( x)n−2 + ... + an−1( x) + an, onde a0, a1, a2, ..., na são números quaisquer

e a0 ≠ 0.

2.1.12.1.1 Divisão de PolinômiosDivisão de Polinômios

A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enunciá-lo como sendo a

divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo a obter os polinômios

Q(x) e R(x). Esse algoritmo da divisão pode ser expresso pelo Método de Descartes também

conhecido como Método dos coeficientes determinantes, da seguinte forma: E(x) × Q(x) + R(x)

= D(x), ou seja: Quociente × Divisor + Resto = Dividendo.

♦ Método da Chave:Método da Chave: neste método, realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e a

divisão de potências de mesma base, conservando a base e subtraindo os expoentes. Quando

trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo.

Observe o seguinte esquema:

Quociente × Divisor + Resto = Dividendo

Vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo

operatório.

25

Exemplo 01:Exemplo 01: Dividir o polinômio 12x3 + 4x2 – 8x por 4x.

Resolução:Resolução:

Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor, comvistas a obter o dividendo como resultado.

Verificando: QuocienteVerificando: Quociente Divisor + Resto = Dividendo Divisor + Resto = Dividendo

4x × (3x² + x – 2) + 0 =

= 12x³ + 4x² – 8x12x³ + 4x² – 8x

Caso isso ocorra, a divisão está correta.

Exemplo 02:Exemplo 02: Dividir o polinômio 10x2 – 43x + 40 por 2x – 5.

Resolução:Resolução:

Verificando: QuocienteVerificando: Quociente Divisor + Resto = Dividendo Divisor + Resto = Dividendo

(2x – 5) × (5x – 9) + (–5) =

= 10x² – 18x – 25x + 45 + (–5) =

= 10x² – 43x + 45 – 5 =

= 10x² – 43x + 4010x² – 43x + 40

Exemplo 03:Exemplo 03: Dividir o polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 por 2x2 – 4x + 5.

Resolução:Resolução:

26

Verificando: QuocienteVerificando: Quociente Divisor + Resto = Dividendo Divisor + Resto = Dividendo

(3x² + x – 1) × (2x² – 4x + 5) + 0 =

= 6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5 =

= 6x6x44 – 10x³ + 9x² + 9x – 5 – 10x³ + 9x² + 9x – 5

Exemplo 04:Exemplo 04: Dividir o polinômio 12x3 – 19x2 + 15x – 3 por 3x2 – x + 2.

Resolução:Resolução:

Verificando: QuocienteVerificando: Quociente Divisor + Resto = Dividendo Divisor + Resto = Dividendo

(4x – 5) × (3x² – x + 2) + (2x + 7) =

= 12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7) =

= 12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7 =

= 12x³ – 19x² + 15x – 3= 12x³ – 19x² + 15x – 3

♦ Dispositivo de Briot-Ruffini:Dispositivo de Briot-Ruffini: a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (x –

a) também pode ser feita utilizando-se o dispositivo de Briot-Ruffinidispositivo de Briot-Ruffini. Este algoritmo secaracteriza pela sua agilidade na divisão de polinômios por binômios do 1º grau do tipo (x – a).

Vamos analisar o exemplo detalhado, apresentado em Barroso (2008, p.178):

Exemplo:Exemplo: Vamos determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x 3 – 4x + 1 por D(x) =

x – 4, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.

Resolução:Resolução: Inicialmente, colocamos os coeficientes de P(x) em ordem decrescente segundo o

grau do termo e completamos com zero, caso necessário. Assim, temos P(x) = 2x3 + 0x2 – 4x +

1.

Dispomos os valores que participam do

cálculo para montar o dispositivo.

27

Repetimos o coefiente dominante do

dividendo P(x) na linha de baixo.

Multiplicamos o valor de a por esse

coeficiente e somamos o produto obtido

com o próximo coeficiente de P(x),

colocando o resultado abaixo dele.

Multiplicamos o valor de a pelo resultado

que acabamos de obter, somamos o

produto com o próximo coeficiente de

P(x) e colocamos esse novo resultado

abaixo desse coeficiente.

Repetimos o processo até o último

coefiente de P(x), que está separado, à

direita.

Fonte: Barroso et al, 2008, p.174.

O último resultado é o resto da divisão, e os demais números obtidos são os coeficientes

do quociente, dispostos ordenadamente segundo as potências decrescentes de x.

Dessa forma, no exemplo apresentado no quadro acima, temos que Q(x) = 2xQ(x) = 2x22 + 8x + 28 + 8x + 28 e

R(x) = 113R(x) = 113.

2.1.1.12.1.1.1 FatoraçãoFatoração

Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la num produto utilizando, em geral, a lei

distributiva.

Exemplo:Exemplo: A3B + A2C – A2D = A2⋅(AB + C – D) → neste caso, o fator comum A2 foi colocado

em evidência.

28

1º Caso:1º Caso: Fator ComumFator Comum

2ax3 + 6bx2 = 2⋅a⋅x⋅x2 + 2⋅3⋅b⋅x2 = 2x2⋅(ax + 3b)

2º Caso:2º Caso: AgrupamentoAgrupamento

ax + bx + ay + by = x⋅(a + b) + y⋅(a + b) = (a + b)⋅(x + y)

3º Caso:3º Caso: Diferença de QuadradosDiferença de Quadrados

a2 – b2 = (a + b)⋅(a – b)

4º Caso:4º Caso: Quadrado PerfeitoQuadrado Perfeitoa2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

5º Caso:5º Caso: Cubo PerfeitoCubo Perfeito

a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3

6º Caso:6º Caso: Soma e Diferença de CubosSoma e Diferença de Cubos

a3 + b3 = (a + b)⋅(a2 – ab + b2)

a3 − b3 = (a − b)⋅(a2 + ab + b2)

7º Caso:7º Caso: Trinômio do 2º GrauTrinômio do 2º Grau

ax2 + bx + c = a⋅(x – x1)⋅(x – x2), onde x1, x2 são raízes da equação ax2 + bx + c = 0.

2.1.1.22.1.1.2 Frações AlgébricasFrações Algébricas

São frações que contém expressões algébricas no numerador e no denominador. Se for

possível fatorar o numerador e o denominador e a fatoração apresentar fatores iguais, então

podemos cancelar os fatores comuns.

Exemplo:Exemplo: 1x2x3

)1x2(x3x3

x3x6 2

−=−⋅

=− CORRETOCORRETO

1x6x3

x3x6 22

−=− INCORRETOINCORRETO

29

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Efetue as operações:

a)a) (2x2 – 3x + 1) + (2x – 3) + (4x2 + 5)

b)b) (2x2 – 6x – 5) − (x2 – 3x – 5)

c)c) (2x – 1)(x2

– 3x + 5)d)d) (x – 3y)(x2 – 3xy + y2)

e)e) (3x – 1)(x + 2) – (x – 2)2

f)f) 2(x – 2)3 – (x – 2)2 – 3(x – 2)

g)g) (x + 2y)3

h)h) (s + 7)(s – 2)

i)i) (u – 3)(u + 3) j) j) (c – 9)(c – 6)

k)k) (a + b)(a – b)

l)l) (3y + 2)(3y – 2)

E02.E02. Efetue as divisões:

a)a) 6x2 – x + 2 por 3x – 2

b)b) 4x4 – 10x – 9x2 – 10 por 2x + 3

c)c) 16x – 5x3 – 4 + 6x4 – 8x2 por 2x – 4 + 3x2

d)d) x3 – 8 por x – 2

E03.E03. Fatore:

a)a) 2x2 – 10x

b)b) 2x2y – 12xy2

c)c) a(x + y) – b(x + y)

d)d) 2x2y – 12xy2

e)e) x3 – x2 + x – 1

f)f) a2 – 1

g)g) a4 – 1

h)h) x2 – 2xy + y2

i)i) x2 + 2x + 1

j) j) 4a2 + 20ab + 25b2

k)k) 16x2 – 56x + 49

l)l) 4

yxy3x9

22 ++

E04.E04. Simplifique as frações:

a)a)2)3x(

3x

+

+

b)b))5y(2

)5y(8 2

−

−

c)c)3

2

)7x(x6

)7x(x2

+

+

d)d)4x2x2x2

−

−

e)e)y3

y3y9 2+

f)f)9x6x

9x2

2

++

−

g)g)22

22

xy6yx4

y9x4

+

−

h)h)y3xy

y3x3xyx 2

+

−+−

i)i)23

23

x4x12

x10x28x6

−

−+

j) j)4x

8x2

3

−

−

k)k))3x(x4

6x2)3x(x4

12x4−

−−

−

−

l)l) 2)1x(9

2)1x(6

5

−+

−

30

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01.

a)a) 6x2 – x + 3

b)b) x2 – 3x

c)c) 2x3 – 7x2 + 13x – 5

d)d) x3 – 6x2y + 10xy2 – 3y3

e)e) 2x

2

+ 9x – 6f)f) 2x3 – 13x2 + 25x – 18

g)g) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

h)h) s2 + 5s – 14

i)i) u2 – 9

j) j) c2 + 5c + 54

k)k) a2 – b2

l)l) 9y2 – 4

E02.E02.

a)a) Q(x) = 2x + 1 R = 4

b)b) Q(x) = 2x3 – 3x2 – 5 R = 5

c)c) Q(x) = 2x2 – 3x + 2 R = 4

d)d) Q(x) = x2 + 2x + 4 R = 0

E03.E03.

a)a) 2x(x – 5)

b)b) 2xy(x – 6y)

c)c) (x + y)(a – b)

d)d) (x + y)(a + b)

e)e) (x – 1)(x2 + 1)

f)f) (a + 1)(a – 1)

g)g) (a2 + 1)(a + 1)(a – 1)

h)h) (x – y)2 i)i) (x + 1)2

j) j) (2ª + 5b)2

E04.E04.

a)a)3x

1+

b)b) 4(y – 5)

c)c)2)7x(3

x

+

d)d)2x

e)e) 3 + y

f)f)3x3x

+

−

g)g)xy2

y3x2 −

h)h)y

yx −

i)i)x25x+

j) j)2x

4x2x 2

+

++

k)k)x21

l)l)2)1x(18

11x15

−

−

31

## GRA!$E%AS& PA$RÕES E '!I$A$ESGRA!$E%AS& PA$RÕES E '!I$A$ES

IntroduçãoIntrodução

Quando falamos em ciências, sempre nos vêm à mente os métodos científicos que lançam

mão de medidas para interpretar, analisar e compreender os fenômenos que são pertinentes a cada

ciência.

Especificamente no caso da Física, faz-se necessário:

1.1. determinar qual fenômeno físico pretende observar, dentro do “rol” (conjunto) de

fenômenos físicos possíveis de serem medidos (esses fenômenos físicos serão

denominados de variáveis);

2.2. nomear o fenômeno físico, isto é, dar um nome para esta variável e

3.3. encontrar uma unidade para este fenômeno físico (variável), para que possamos medi-

lo.

Grandeza física é alguma coisa que pode ser medida, isto é, que pode ser representada por

um número e uma unidade. Veja alguns exemplos:

• A distância da bola à barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros.

• A bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramas.

• O tempo de uma partida é de 90 minutos.

Nesses exemplos estão três grandezas fundamentais: comprimento, massa e tempo. A partir

dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outras que, por isso, chamam-se grandezas

derivadas. São exemplos de grandezas derivadas a área de uma superfície, o volume e a densidade

de um corpo, a velocidade e aceleração de um automóvel, a força exercida por um motor e muitas

outras.

Até há algum tempo, não havia ainda um conjunto de unidades fundamentais que fosse

reconhecido e adotado em todo mundo. A partir de 1948, esse conjunto começou a ser

estabelecido e, em 1960, recebeu o nome de Sistema Internacional de Unidades (SI). Atualmente,

só os Estados Unidos ainda não adotam o SI, mas passarão a utilizá-lo em breve.

O Sistema Internacional de Unidades (SI)O Sistema Internacional de Unidades (SI)

O SI estabelece 7 grandezas físicas fundamentais das quais são derivadas todas as outras.

32

COMPRIMENTO COMPRIMENTO MASSA MASSA TEMPOTEMPOCORRENTECORRENTEELTRICAELTRICA

TEMPERAT!RATEMPERAT!RA"!ANTI#A#E"!ANTI#A#E#E MATRIA#E MATRIA

INTENSI#A#EINTENSI#A#EL!MINOSAL!MINOSA

Os padrões de comprimento, o metro e, de tempo, o segundo, têm definições muito

complicadas devido às exigências da Ciência e da Tecnologia modernas. O padrão de massa é o

mais antigo, criado em 1889, e também o mais simples (Quadro 01).

"!A#RO 01 $ TR%S !NI#A#ES &!N#AMENTAIS #O SI"!A#RO 01 $ TR%S !NI#A#ES &!N#AMENTAIS #O SI

'RAN#E(A 'RAN#E(A NOME NOME S)M*OLO S)M*OLO #E&INI+,O#E&INI+,O

Comprimento Metro mm Distância percorrida pela luz, no vácuo, numintervalo de tempo de 1/299792458 s.

Massa Quilograma kgkgMassa de um cilindro padrão de platina-irídioconservada no Bureau Internacional de Pesos eMedidas em Sèvres, na França.

Tempo Segundo ssDuração de 9.192.631.770 períodos da radiação detransição de dois níveis do estado fundamental doátomo do Césio 133.

Observação: Note que os símbolos não são abreviaturas, por isso não têm ponto final.

Cada país deve ter laboratórios capazes de reproduzir os padrões ou cópias devidamente

aferidas e cuidadosamente guardadas. No Brasil essa tarefa é desempenhada pelo Inmetro –

Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial, do Ministério da Indústria

e do Comércio.

Não é necessário saber essas definições, entretanto é importante saber que existem os

padrões, as unidades fundamentais e derivadas e formas corretas de expressá-las (Quadro 02).

"!A#RO 02 $ AL'!MAS !NI#A#ES #ERI-A#AS #O SI"!A#RO 02 $ AL'!MAS !NI#A#ES #ERI-A#AS #O SI

'RAN#E(A 'RAN#E(A NOME NOME S)M*OLOS)M*OLO

Área Metro quadrado mm22

Volume Metro cúbico mm33

Velocidade Metro por segundo mm ss

Aceleração Metro por segundo ao quadrado mm ss22

Densidade Quilograma por metro cúbico kgkg mm33

Existem inúmeras unidades práticas ainda em uso devido ao costume ou às suas aplicações

tecnológicas. Muitas dessas unidades, principalmente as de srcem inglesa, tendem a desaparecercom o tempo e serem substituídas por unidades do SI. Por enquanto elas ainda são muito usadas

e é interessante conhecê-las (Quadro 03).

"!A#RO 0 $ AL'!MAS !NI#A#ES PR/TICAS MAIS !SA#AS"!A#RO 0 $ AL'!MAS !NI#A#ES PR/TICAS MAIS !SA#AS

'RAN#E(A 'RAN#E(A NOME NOME S)M*OLOS)M*OLORELA+,O COM A !NI#A#ERELA+,O COM A !NI#A#ECORRESPON#ENTE #O SICORRESPON#ENTE #O SI

Comprimento Milímetro mmmm 0,001 m

33

Centímetro Quilômetro Polegada Pé Jarda Milha

cmcmkmkmininftftydydmimi

0,01 m1.000 m

0,0254 m ou 2,54 cm0,3048 m ou 30,48 cm0,9144 m ou 91,44 cm1.609 m ou 1,609 km

Massa

Grama Tonelada Quilate Libra

Arroba

ggtt

lblb

0,001 kg1.000 kg

0,0002 kg ou 0,2 g0,454 kg ou 454 g

14,688 kg

TempoMinuto Hora Dia

minminhhdd

60 s60 min ou 3.600 s24 h ou 86.400 s

ÁreaHectare Alqueire (SP) Alqueire (MG, RJ e GO)

haha 10.000 m2 2,42 ha4,84 há

Volume Litro ll 0,001 m3 ou 1.000 cm3

VelocidadeQuilômetro por hora Milha por hora Nó

kmkm hhminmin hh

(1/3,6) m/s1,609 km/h1,852 km/h

Legenda: Submúltiplos do SI Múltiplos do SI Unidades não pertencentes ao SI

Curiosidade:Curiosidade: O Quilate é tanto uma medida de massa quanto uma medida de composição

em ligas de ouro. A palavra vem do grego keratio, significando uma semente que era usada como

unidade de peso na antiga Grécia. Em função das disparidades de valores do quilate como unidade

de massa, em 1907 foi adotada a correspondência de 200 miligramas (0,2 gramas) para cada

quilate, que passou a ser desde então, o valor usado em joalherias. Desta forma a seguinte frase

está correta: "20 quilates de ouro 14", significando o mesmo que "4 gramas de ouro cuja liga é 14

quilates".

Apesar de alguns autores indicarem ct (do inglês carat ) como sendo símbolo de quilate

métrico, esta forma não existe na língua portuguesa, portanto indicamos que se use o termo por

extenso, ou a abreviação ql, tal como citado no site da Academia Brasileira de Letras.

Observe, no Quadro 03, que algumas unidades têm símbolos

diferentes, como a polegada, o pé e a jarda.

Essas unidades foram adaptadas do inglês: polegada éinches, daí o símbolo in; pé é feet, por isso seu símbolo é ft

e a jarda é yard , por isso seu símbolo yd.

Atualmente é comum utilizar o símbolo polpol para indicar

polegada.

34

Algarismos SignificativosAlgarismos Significativos

Quando se trabalha com medidas quase sempre aparece uma dúvida: com quantos

algarismos se escreve uma medida?

Tente medir o diâmetro do seu lápis. Que resultado você obteve?

7 mm? 7,1 mm ? 7,15 mm ?

Essa pergunta tem inúmeras respostas, e todas podem estar certas!

Se você mediu com uma régua comum, provavelmente achou 7 mm, ou talvez 7,5 mm ou

ainda 0,7 cm. Se você dispõe de um instrumento mais preciso, como um micrômetro ou um

paquímetro, pode ter achado 7,34 mm ou 7,4082 mm. Se você repetir a medida várias vezes pode

ser que em cada uma ache um valor diferente!

Como saber qual é o valor correto? Como escrever esse valor?

Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma só forma de escrevê-lo. O valor

de uma medida depende do instrumento utilizado, da escala em que ele está graduado e, às vezes,

do próprio objeto a ser medido e da pessoa que faz a medida. Por exemplo, a medida do diâmetro

do lápis com uma régua comum será feita na escala em que ela é graduada (centímetros ou

milímetros) e dificilmente alguém conseguirá expressá-la com mais de dois algarismos. Nesse

caso, certamente o segundo algarismo é avaliadoavaliado ou duvidosoduvidoso. Se for utilizado um instrumento

mais preciso, é possível fazer uma medida com um número maior de algarismos e, ainda,

acrescentar mais um, o duvidoso.Todos os algarismos que se obtêm ao fazer uma medida, incluindo o duvidoso, são

algarismos significativosalgarismos significativos. Se outra pessoa fizer a mesma medida, talvez encontre um valor um

pouco diferente, mas, ao escrevê-lo, deverá utilizar o número correto de algarismos significativos.

Figura 01: Paquímetro Digital – Instrumento de Precisão

35

Uma régua comum não permite medidas muito precisas porque não há como subdividir oespaço de 1 mm: a distância entre os traços é muito pequena. O paquímetro e o micrômetro são

instrumentos que utilizam duas escalas, uma fixa, semelhante à escala de uma régua comum e

uma escala móvel que, de maneira muito engenhosa, permite dividir a menor divisão da escala

fixa. No paquímetro, essa escala corre junto à escala fixa, enquanto que no micrômetro ela está

gravada numa espécie de cilindro móvel que gira à medida que se ajusta ao instrumento para

efetuar a medida.

Imaginemos agora, a seguinte situação: ao medir o diâmetro de um lápis com um

paquímetro, um aluno encontre o valor 7,34 mm enquanto que outro aluno, efetuando a mesma

medição, encontre 7,37 mm. Pelo resultado, percebe-se que eles têm certeza do 7 e do 3, mas o

último algarismo é incerto. Imagine agora que eles resolvam entrar num acordo e considerar,

como melhor medida, um valor que seja igual à média aritmética dos seus resultados, obtendo,assim 355,7

2

37,734,7=

+. Estaria correto expressar o diâmetro do lápis acrescentando ainda um

terceiro algarismo oriundo da média? É certo que não! Se cada um só tinha certeza de dois

algarismos e avaliaram, discordando quanto à segunda casa após a vírgula, não tem sentido dar

uma resposta com três casas após a vírgula!

Nesse caso, para manter a coerência e expressar a medida com o número correto de

algarismos significativos, deve-se desprezar o último algarismo obtido no cálculo da média

aritmética.

É comum utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo (o que deve ser desprezado) for

maior ou igual a 5 acrescenta-se 1 ao último algarismo que restou.

Teremos então 7,355 mm ≅ 7,36 mm, que é a melhor forma de expressar a média aritmética

das medidas de ambos os alunos: mantêm-se os mesmos dois algarismos dos quais têm certeza, o

7 e o 3, mas o algarismo duvidoso passa a ser o 6. É provável que esse valor seja, provisoriamente,

o melhor valor dessa medida. Se outras pessoas participarem e fizerem outras medidas, a média

aritmética terá um número muito maior de parcelas e o seu valor representará melhor o diâmetro

do lápis.

Figura 02: Micrômetro Digital – Instrumento de Precisão

36

3.3.13.3.1 Determinando os algarismos significativos de um númeroDeterminando os algarismos significativos de um número

No item anterior verificamos que, para entender o conceito de números significativos de

uma medida física, é necessário compreender que os resultados físicos que utilizamos são obtidos

através de medições que os cientistas realizam. Logo, para efetuar essas medições os cientistas

utilizam aparelhos que possuem incertezas, isto é, uma medida física nunca é exata e, sim, tem

um erro do próprio instrumento de medida, que é determinado pela metade da menor medida do

instrumento.Vejamos agora um exemplo de como determinar os algarismos significativos de um

número.

Quando medimos o tamanho do lápis com a régua escolar e verificamos que este tem 15,1

cm, o valor que se deve expressar é: 15,1015,10 0,05cm 0,05cm.

Observe que temos um valor de 0,05 cm (metade da menor medida indicada na régua) para

mais ou para menos em relação ao tamanho do lápis, isto é, o tamanho do lápis está com certeza

entre 15,05cm e 15,15cm, por causa do instrumento utilizado na medição, que neste caso, é a

régua.

Pelo fato de uma medida física possuir incerteza, a utilização do conceito de algarismos

significativos se torna importante, pois quando efetuamos operações com números decorrentes de

medições precisamos escrever o resultado de forma que este expresse o valor mais coerente com

as certezas dos instrumentos utilizados para a determinação dos valores utilizados nas operações.

Portanto, para determinar a quantidade de números significativos de uma medida física é

necessário que:

• Inicialmente apresente o valor da medida física em notação científica (veja o item 4.3, na

página 12).

• Verifique quantos números aparecem no primeiro fator (mantissa) da notação científica

(desconsiderando a vírgula).

• A quantidade de algarismos significativos é exatamente igual ao resultado obtido no item

anterior, ou seja, na mantissa da expressa numérica em notação científica.

Vejamos alguns exemplos:

a)a) 230.000.00030.000.000 = 22,3 × 1088, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de

2.

b)b) 0,000 000 000 000 1000 000 000 000 148 = 11,48 × 10 -13-13, portanto o número de algarismos significativo

nesse valor é de 3.

c)c) 0,0606289 = 66,289 × 10-2-2, portanto o número de algarismos significativo nesse valor é de

4.

37

d)d) 795.000.000.000.000 = 77,95 × 101414, portanto o número de algarismos significativo nesse

valor é de 3.

Observação:Observação: Quando fazendo operações com números (multiplicação, divisão adição e

subtração) a resposta final deve ter o mesmo número de algarismos significativos que o valor de

menor algarismo significativo, isto é, o resultado não pode ser mais preciso que a pior precisão

que temos.

Arredondamento de NúmerosArredondamento de Números

As regras de arredondamento estão estabelecidas pela Resolução 886 de 06.10.66 do IBGE

que corroboram com a Norma ABNT NBR 5891, de 1977.

Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conversado for

inferior a 5, superior a 5 ou igual a 5, estabeleceremos as regras de arredondamento que seguem

na tabela abaixo.

CON#I+,O PROCE#IMENTOCON#I+,O PROCE#IMENTOEEMPLOEEMPLO

ARRE#ON#AMENTO PORARRE#ON#AMENTO PORCENTSIMOCENTSIMO

3 43 4 O último algarismo a permanecer fica inalterado. 567567 201201 567 567

9 49 4 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. 677677 2020 678 678

: 4: 4

(ii) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismodiferente de zero, aumenta-se uma unidade noalgarismo a permanecer.

46744674 405405 467 467

(iiii) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguiremzeros, o último algarismo a ser conservado só seráaumentado de uma unidade se for ímpar.

26152615 400400 2615 2615

26112611 400400 2612 2612

As grandezas e as medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se cada vez

mais variadas e complexas, porém, toda medida resulta de um esforço do

homem para compreender e interpretar a natureza.

Fomos nós, seres humanos, que criamos as grandezas, os padrões, as unidades

e os instrumentos de medida.

Portanto, nenhuma medida é a expressão da verdade, independentemente do

número de algarismos significativos que possua.

Há, certamente, medidas e instrumentos mais confiáveis, processos de medição

mais adequados a determinados fins; é importante distinguir uns dos outros.

38

Gostaria de mais informações sobre o conteúdo estudado? Seguem dicas de vídeo-aulas

sobre o tema.

Potências de Base 10Potências de Base 10

Observe, na tabela abaixo, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros positivos

e a quantidade de zeros da potência.

EPOENTE INTEIROEPOENTE INTEIROPOSITI-O nPOSITI-O n

IN#ICA+,O #E 10IN#ICA+,O #E 10nn POT%NCIA RES!LTA#OPOT%NCIA RES!LTA#ON;MERO #E (EROS #AN;MERO #E (EROS #A

POT%NCIAPOT%NCIA

1 101 10 1

2 102 100 2

3 103 1.000 3

4 104 10.000 4⋮ ⋮ ⋮ ⋮ N 10n 100...0

n

Agora observe, nesta outra tabela, algumas potências de base 10, seus expoentes inteiros

negativos e a quantidade de algarismos à direita da vírgula.

EPOENTE INTEIROEPOENTE INTEIRONE'ATI-O nNE'ATI-O n

IN#ICA+,O #E 10IN#ICA+,O #E 10nn POT%NCIA RES!LTA#OPOT%NCIA RES!LTA#ON;MERO #E AL'ARISMOSN;MERO #E AL'ARISMOS

< #IREITA #A -)R'!LA< #IREITA #A -)R'!LA

-1 10-1 0,1 1

-2 10-2

0,01 2-3 10-3 0,001 3

-4 10-4 0,0001 4⋮ ⋮ ⋮ ⋮ n 10n 0,00...1

N

Dicas de vídeos sobre o assunto desta aula:

Grandezas Físicas e Unidades de Medidas:

https://www.youtube.com/watch?v=LZPiq8RK9j0

Múltiplos e Submúltiplos das Unidades de Medidas:

https://www.youtube.com/watch?v=lQfZ_aSJ7xU

n zeros

n algarismos

39

A observação feita a partir dessas tabelas vai auxiliá-lo a escrever potências de base 10 na

representação decimal e vice-versa.

Por exemplo:

a)a) 1.000.000.000.000 = 1012 b)b) 10-8 = 0,00000001

O uso das potências de base 10 é tão difundido nas Ciências Exatas, que alguns múltiplose submúltiplos decimais recebem denominações especiais, conforme apresentamos no item

abaixo.

3.5.13.5.1 Prefixos das Potências de Base 10Prefixos das Potências de Base 10

É comum utilizar prefixos para expressar números escritos em potência de 10, como, por

exemplo, uma massa de 3.000 g, que pode ser expresso em potência de 10 como 3 × 103 g ou

utilizando prefixo como 3 kg, em que o prefixo quiloquilo (k) equivale a 103.

Abaixo é apresentada uma tabela com a relação dos principais prefixos.

NOME S)M*OLONOME S)M*OLO POT%NCIA #E *ASE #E(POT%NCIA #E *ASE #E(

exaexa E 1018

petapeta P 1015

teratera T 1012

gigagiga G 109

megamega M 106

quiloquilo k 103

hectohecto h 102

decadeca da 101

100

decideci d 10-1

centicenti c 10-2

milimili m 10-3

micromicro μ 10-6

nanonano n 10-9

picopico p 10-12

femtofemto f 10-15

attoatto a 10-18

12 zeros12 zeros 8 algarismos8 algarismos

40

Notação CientíficaNotação Científica

Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000.000.005 cm ou que uma

dada célula tem cerca de 2.000.000.000.000 de átomos dificilmente assimilaremos essas ideias,

pois nossos sentidos não estão acostumados a perceber esses números. Eles estão fora do nosso

quadro de referências.

Dada a abrangência da Física atual micro-macro cosmo, é importante compreender

números nessas ordens. A notação científica, ou seja, a escrita de um número com o auxílio dea escrita de um número com o auxílio depotências de base 10potências de base 10, é um recurso comum para a representação simplificada de números muito

grandes ou muito pequenos, tendo em vista a facilidade de operar com esses números ante a seus

equivalentes numéricos. Na utilização dos computadores ou máquinas de calcular, por exemplo,

a notação científica tem uso regular, tornando os cálculos mais rápidos devido às propriedades da

potenciação.

Um número escrito em notação científica segue a seguinte configuração:

m · 10m · 10 ee

Onde:

• mm é denominado mantissa e corresponde a um valor numérico 1 ≤ mm < 10.

• ee, dado sob a forma de expoente, é denominado ordem de grandeza.

Vejamos alguns exemplos e sua resolução:

a)a) 230.000.00030.000.000 = 22,3 × 1088

A vírgula se “deslocou” em 8 casas para a esquerda; o expoente da base 10 indica o deslocamento

da vírgula e seu sinal é positivo.

b)b) 0,000 000 000 000 1000 000 000 000 148 = 11,48 × 10-13-13

A vírgula se “deslocou” em 13 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento

da vírgula e seu sinal é negativo.

c)c) 0,0606289 = 66,289 × 10-2-2

A vírgula se “deslocou” em 2 casas para a direita; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento

da vírgula e seu sinal é negativo.

41

d)d) 795.000.000.000.00095.000.000.000.000 = 77,95 × 101414

A vírgula se “deslocou” em 14 casas para esquerda; o expoente da base 10 é igual ao deslocamento

da vírgula e seu sinal é positivo.

Observe outros exemplos de números grandes e pequenos, expressos em notação científica:

• 600.000 = 6 · 10 5

• 30.000.000 = 3 · 10 7

• 500.000.000.000.000 = 5 · 1014

• 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 7 · 1033

• 0,0004 = 4 · 10 -4

• 0,00000001 = 1 · 10 -8

• 0,0000000000000006 = 6 · 10 -16

Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem

de representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos, em detrimento de seus

equivalentes numéricos que trazem pouco significado prático.

Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na

vida cotidiana. Porém, em áreas como Física, Química e Engenharias de um modo geral, esses

valores são frequentes. Também na área de Economia, ao se fazer referência a um valormonetário, em bilhões de dólares, por exemplo, é comum o uso da notação científica.

Ordem de GrandezaOrdem de Grandeza

Muitas vezes, ao trabalharmos com grandezas físicas, apenas algumas casas decimais são

relevantes, devido a imprecisões nos aparelhos de medida.

Nesses casos é suficiente conhecer a potência de 10 que mais se aproxima do seu valorconhecer a potência de 10 que mais se aproxima do seu valor.

Essa potência é denominada ordem de grandeza da medida.

Ordem de grandeza de um número é Ordem de grandeza de um número é uma estimativauma estimativa

de potência de base 10 mais próxima deste número.de potência de base 10 mais próxima deste número.

Para determinação da ordem de grandeza de um número usaremos a fronteira numérica de

16,310 ≅ . Observe os exemplos.

Qual a ordem de grandeza das seguintes medidas?

42

• 3 × 10-3 m → 3 < 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10 -3.

• 4 × 102 m → 4 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10 3.

• 7 × 10-6 m → 7 > 3,16 , logo a ordem de grandeza é 10 -5.

• 0,00022 = 2,2 × 10-4 → 2,2 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 10 -4.

• 174.500.000 = 1,745 × 108 → 1,745 < 3,16, logo a ordem de grandeza é 10 8.

Não devemos nos preocupar em estabelecer critérios rigorosos para

determinar a potência de base 10 mais próxima do número, pois o conceito deordem de grandezaordem de grandeza, por sua própria natureza, é uma avaliação aproximadaavaliação aproximada,

na qual não cabe nenhuma preocupação com rigor matemático.

Por essa mesma razão, quando o número estiver aproximadamente no

meio, entre duas potências de 10, será indiferente escolher uma ou outra para

representar a ordem de grandeza daquele número.

(MÁXIMO; ALVARENGA, 1992, p. 11.)

43

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Calcule quantos metros estão contidos em:

a)a) 108 km b)b) 103 cm c)c) 10-2 mm

E02.E02. Transforme em quilômetros:a)a) 3600 m b)b) 2.160.000 cm c)c) 0,03 m

d)d) 5.780 dm e)e) 27.600 m f)f) 5.800 mm

E03.E03. A espessura de uma folha de papel é de 0,05 mm. Seiscentas mil folhas iguais a essa foram

empilhadas até atingirem uma altura h. Determine o valor de h em metros.

E04.E04. Sabendo que a distância entre a Terra e a Lua é de 384.000 km, aproximadamente, e que

entre a Terra e o Sol é de 150.000.000 km, aproximadamente, quantas vezes a primeira distância

está contida na segunda?

E05.E05. Calcule quantos gramas estão contidos em:

a)a) 75 kg b)b) 0,8 mg c)c) 10-5

kg

E06.E06. Sabendo que 1 tonelada (1 t) equivale a 1.000 quilogramas (103 kg), determine o número de

pessoas de 50 kg e o de 80 kg que podem viajar juntas em um bondinho do tipo teleférico, que

transporta no máximo 60 pessoas ou 4,2 t.

E07.E07. Calcule o número de segundos de:

a)a) 1 minuto b)b) 1 hora c)c) 1 dia d)d) 1 mês de 30 dias

E08.E08. Qual é a duração de um espetáculo teatral que se inicia às 19h20min10s e termina às

22h12min15s?

E09.E09. Podemos considerar o átomo de hidrogênio como uma esfera com diâmetro de 10 -10 m.

Admitindo que pudéssemos enfileirar esses átomos, quantos seriam necessários para cobrir a

distância de 1 mm?

E10.E10. No século III a.C., Erastótenes, astrônomo egípcio, determinou o valor do raio da Terra com

grande precisão: 6.370 km. Escreva esse número em metros, fazendo uso de notação científica.

44

E11.E11. Um fumante consome por dia vinte cigarros de 100 mm. Imagine que fosse possível

enfileirar os cigarros que esse fumante consome num período de dez anos. Qual seria, em metros,

o comprimento dessa fila?

E12.E12. Uma dona de casa curiosa teve a ideia de descobrir a massa de um grão de feijão. Utilizando

uma balança descobriu que a massa de 1.000 grãos era de 0,57 kg. Determine a massa, aproximada,

de um único grão, em miligramas.

E13.E13. Um analgésico deve ser ingerido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose

administrada não pode exceder 200 mg. Cada gota contém 5 mg do remédio. Quantas gotas devem

ser prescritas a um paciente de 80 kg?

E14.E14. No estádio do Morumbi 120.000 torcedores assistem a um jogo. Através de cada uma das 6

saídas disponíveis podem passar 1.000 pessoas por minuto. Qual o tempo mínimo necessário para

esvaziar o estádio?

---------

E18.E18. Escreva os expoentes das potências de 10 conforme a indicação abaixo:

a)a) 23.856 = 23,856 × 10__________ b)b) 23.856 = 2385,6 × 10__________

c)c) 23.856 = 238,56 × 10__________ d)d) 23.856 = 2,3856 × 10__________

E19.E19. Coloque a vírgula nos números abaixo conforme a indicação das potências de 10, para que

a igualdade seja válida:

a)a) 7,82 × 103 = 78200 × 102 b)b) 7,82 × 103 = 78200 × 101

c)c) 7,82 × 103 = 78200 ×104 d)d) 7,82 × 103 = 78200 × 10-1

E20.E20. Escreva os números abaixo em notação científica:

a)a) 529 = __________________

b)b) 7.843 = _________________

c)c) 5.971.432 = ______________

d)d) 73 = ______________

e)e) 0,7 = ______________

f)f) 0,52 = ______________

g)g) 0,278 = _________________

h)h) 0,05697 = _______________

i)i) 749 × 107 = ______________

j) j) 59,47 × 10-9 = ____________

k)k) 0,38 × 104 = ____________

l)l) 0,7159 × 10-12 = _________

E21.E21. Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de para que se tenha:

a)a) 56,754 · = 567.540 c)c) · 23 = 0,000023

b)b) 0,003 · = 30 d)d) · 4,5 = 0,00045

45

E22.E22. Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica:

a)a) =⋅

⋅− 2,110

106,32

4

b)b) =⋅

⋅−

−

7,010

101,23

2

E23.E23. Diga, em cada caso, a quantidade de algarismos significativos:

a)a) 1,324 × 104 b)b) 0,324 × 105

c)c) 1200 × 10-2

d)d) 0,000424 × 105

E24.E24. Efetue as operações abaixo e responda utilizando os algarismos significativos na resposta:

Lembre-se de que a resposta não pode ter mais algarismos significativos do que a menor quantidade de algarismos

significativos dos números envolvidos nas operações.

a)a) (0,07⋅10-3) × (7⋅10-5) = b)b) =⋅

⋅− 5

3

1003,0

109

c)c) (0,6⋅10-3) + (4⋅10-5) = d)d) (1,09⋅10-3) − (87⋅10-5) =

E25.E25. Indique a ordem de grandeza em cada um dos itens abaixo:

a)a) 1,324 × 104 b)b) 0,324 × 105

c)c) 1200 × 10-2 d)d) 0,000424 × 105

E26.E26. Uma partida normal de futebol é disputada em 90 min. O estádio do Morumbi, em São

Paulo, já recebeu cerca de 30 milhões de torcedores desde sua abertura, em 1960. A média de

torcedores por partida é de aproximadamente 28 mil. Então, qual é a ordem de grandeza do total

de minutos de futebol já jogados no Morumbi?

E27.E27. Em um hotel com 200 apartamentos, o consumo médio de água por apartamento é de 100

litros por dia. Qual a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório do hotel, em

metros cúbicos, para abastecer todos os apartamentos durante um dia?

------

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01. a)E01. a) 108.000 m b)b) 10 m c)c) 10-5 m

E02. a)E02. a) 3,6 km b)b) 21,6 km c)c) 3,0 ⋅ 10-5 km

d)d) 0,578 km e)e) 27,6 km f)f) 5,8 ⋅ 10-3 km

E03.E03. 30 m

E04.E04. 390,625 vezes

46

E05. a)E05. a) 7,5 ⋅ 104 g b)b) 8,0 ⋅ 10-4 g c)c) 10-2 g

E06.E06. 40 pessoas de 80 kg e 20 pessoas de 50 kg.

E07. a)E07. a) 60 s b)b) 3.600 s c)c) 8,64 ⋅ 104 s d)d) 2,592 ⋅ 106 s

E08.E08. 2h 52min 5s

E09.E09. 107 átomos

E10.E10. 6,37 ⋅ 106 m

E11.E11. 7.300 m

E12.E12. 570 mgE13.E13. 40 gotas

E14.E14. 20 min

E15. a)E15. a) F b)b) F c)c) V d)d) V e)e) F f)f) V

E16. a)E16. a) -8 b)b) 1 c)c) 500 d)d) 1 e)e) 0 f)f) 3/4

g)g) 1/5 h)h) 1/8 i)i) 81 j) j) 1/8 k)k) 1/225 l)l) 1

m)m) 0 n)n) 2 o)o) 9/4 p)p) 64/125

E17.E17. 79/8

E18. a)E18. a) 3 b)b) 1 c)c) 2 d)d) 4

E19. a)E19. a) 78,2 × 102 b)b) 782,0 × 101 c)c) 0,782 × 104 d)d) 78200, × 10-1

E20. a)E20. a) 5,29 × 102

b)b) 7,843 × 103 c)c) 5,971432 × 106

d)d) 7,3 × 10

e)e) 7 × 10-1

f)f) 5,2 × 10-1

g)g) 2,78 × 10-1

h)h) 5,697 × 10-2 i)i) 7,49 × 109

j) j) 5,947 × 10-8

k)k) 3,8 × 103

l)l) 7,159 × 10-13

E21. a)E21. a) 104 b)b) 104 c)c) 10-6 d)d) 10-4

E22. a)E22. a) 3 × 106 b)b) 3 × 10

E23. a)E23. a) 4 b)b) 3 c)c) 2 d)d) 3

E24. a)E24. a) 5 × 10-9 b)b) 3 × 1010 c)c) 6 × 10-4 d)d) 2,2 × 10-4

E25. a)E25. a) 104 b)b) 105 c)c) 10-1 d)d) 102

E26.E26. 105

E27.E27. 101

E28. a)E28. a) 52−

b)b) 5 36

c)c) 22315 +

d)d) 3 538 +−

e)e) 335 5 +

47

f)f) 2410 −

E29. a)E29. a) 55

b)b) 26

c)c) 34−

d)d) 711

e)e) 26

f)f) 313

Testes:Testes:

T01.T01. Um caminhão consegue transportar 3,9 toneladas de carga. Sabendo que uma laranja pesa

130 gramas, quantas laranjas o caminhão pode carregar?

a)a) 30 b)b) 300 c)c) 3.000 d)d) 30.000 e)e) 300.000

T02.T02. Em uma área disponível em formato retangular, de 3 metros por 4 metros, eu pretendo cavaruma cisterna para guardar 15.000 litros de água. A qual profundidade, em centímetros, eu devo

cavar?

a)a) 1,25 cm b)b) 12,5 cm c)c) 125 cm d)d) 1.250 cm e)e) 12.500 cm

T03.T03. Um aquário tem o formato de um paralelepípedo retangular, de largura 50 cm, comprimento

32 cm e altura 25 cm. Para encher 3/4 dele com água, quantos litros de água serão usados?

a)a) 0,03 b)b) 0,3 c)c) 3 d)d) 30 e)e) 300

T04.T04. Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata de refrigerante de 350 ml.

Perguntando à menina o que ela estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para

secar a enchente. Sabendo que o volume da enchente era de 70.000 m3

, quantas viagens a meninateria que fazer para secar toda a água?

a)a) 2⋅102 b)b) 2⋅104 c)c) 2⋅106 d)d) 2⋅108 e)e) 2⋅1010

T05.T05. Muitos remédios são tomados em doses menores que o mg. Um comprimido de certo

remédio tem 0,025 mg de uma certa substância. Com 1 kg desta substância, quantos comprimidos

podem ser feitos?

48

a)a) < 1 b)b) 40 c)c) 40.000 d)d) 40.000.000 e)e) 400

T06.T06. Uma sala tem o formato aproximado de dois paralelepípedos grudados. Um destes tem

largura de 4 metros e comprimento de 3 metros, e o outro tem largura e comprimento iguais, de

2 metros. A altura da sala é de 2,5 metros. Eu quero comprar um ar condicionado para resfriar

esta sala, e cada ar condicionado indica o volume, em litros, que ele consegue refrigerar. Então,

é preciso comprar o menor ar condicionado, dentre aqueles que tem capacidade de resfriar esta

sala. Das opções abaixo, qual é a mais indicada?

a)a) 10.000 l b)b) 20.000 l c)c) 50.000 l d)d) 70.000 l e)e) 100.000 l

T07.T07. Fui colocar gasolina no meu carro, que estava com o tanque pela metade. Coloquei 35 litros

e enchi o tanque. Qual é a capacidade do tanque em m3?

a)a) 0,07 m3 b)b) 17,5 m3 c)c) 70 m3 d)d) 17.500 m 3 e)e) 175.000 m 3

T08.T08. Um avião decolou às 15 horas e 30 minutos, e a viagem durou 17.358 segundos.

Determine o horário em que o avião chegou.

a)a) 18 horas, 17 minutos, 16 segundos

b)b) 19 horas, 20 minutos, 19 segundos

c)c) 20 horas, 19 minutos, 18 segundos

d)d) 20 horas, 21 minutos, 22 segundos

e)e) 20 horas, 22 minutos, 24 segundos

T09.T09. O produto 0,000015 · 0,000000002 é igual a:

a)a) 3⋅10-40 b)b) 3⋅10-14 c)c) 30⋅10-14 d)d) 30⋅10-13 e)e) 3⋅10-4

--------

T11.T11. (UFPE) Em um hotel com 500 apartamentos, o consumo médio de água por apartamento é

de cerca de 170 litros por dia. Qual a ordem de grandeza do volume que deve ter o reservatório

do hotel, em metros cúbicos, para abastecer todos os apartamentos durante um dia de falta de

água?

a)a) 101 b)b) 102 c)c) 103 d)d) 104 e)e) 105

T12.T12. Qual é a ordem de grandeza do número de voltas dadas pela roda de um automóvel, com

diâmetro de 80 cm, ao percorrer uma estrada de 200 km?

49

a)a) 102 b)b) 103 c)c) 105 d)d) 1010 e)e) 109

T13.T13. Um recipiente cúbico tem 3,000 m de aresta, n é o número máximo de cubos, de 3,01 mm

de aresta, que cabem no recipiente. A ordem de grandeza de n é:

a)a) 106 b)b) 107 c)c) 108 d)d) 109 e)e) 1010

T14.T14. A ordem de grandeza em segundos, em um período correspondente a um mês, é:

a)a) 10 b)b) 103 c)c) 106 d)d) 109 e)e) 1012

T15.T15. Supondo-se que um grão de feijão ocupe o espaço equivalente a um paralelepípedo de

arestas 0,5 cm × 0,5 cm × 1,0 cm, qual das alternativas abaixo melhor estima a ordem de

grandeza do número de feijões contido no volume de um litro?

a)a) 10 b)b) 102 c)c) 103 d)d) 104 e)e) 105

T16.T16. O fumo é comprovadamente um vício prejudicial à saúde. Segundo dados da Organização

Mundial da Saúde, um fumante médio, ou seja, aquele que consome cerca de 10 cigarros por dia,

ao chegar à meia-idade terá problemas cardiovasculares. A ordem de grandeza do número de

cigarros consumidos por este fumante durante 30 anos é de:

a)a) 102 b)b) 103 c)c) 104 d)d) 105 e)e) 106

T17.T17. O censo populacional realizado em 1970 constatou que a população do Brasil era de 90

milhões de habitantes. Hoje, o censo estima uma população de 150 milhões de habitantes. A

ordem de grandeza que melhor expressa o aumento populacional é:

a)a) 106 b)b) 107 c)c) 108 d)d) 109 e)e) 1010

50

Questões DesafiosQuestões Desafios

D01.D01. Relação entre volumes de Relação entre volumes de reservatórios.reservatórios.

Técnicos concluem mapeamento do aquífero

Guarani: O aquífero Guarani localiza-se nosubterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil,

Paraguai e Uruguai, com extensão total de

1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais

840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil.

O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros

cúbicos de água e é considerado um dos maiores

do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas

referências à água, são usadas as unidades metro

cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A

Companhia de Saneamento Básico do Estado

de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo,

um novo reservatório cuja capacidade de

armazenagem é de 20 milhões de litros.

Respostas dasRespostas das

Questões Desafios:Questões Desafios:

01. E01. E

02. B02. B

03. E03. E

04. E04. E

05. B05. B

06. B06. B

07. C07. C

08. A08. A

Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:

01. D01. D

02. 02. C C 11. 11. BB

03. 03. D D 12. 12. CC

04. 04. D D 13. 13. DD

05. 05. D D 14. 14. CC

06. 06. C C 15. 15. DD

07. 07. A A 16. 16. DD

08. 08. C C 17. 17. CC

09. B09. B

51

Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a

capacidade do aquífero Guarani é:

a)a) 1,5 × 102 vezes a capacidade do reservatório novo.

b)b) 1,5 × 103 vezes a capacidade do reservatório novo.

c)c) 1,5 × 106 vezes a capacidade do reservatório novo.

d)d) 1,5 × 108 vezes a capacidade do reservatório novo.

e)e) 1,5 × 109 vezes a capacidade do reservatório novo.

D02. CáD02. Cállculo do peso mínimo de um carro de fórmula 1 culo do peso mínimo de um carro de fórmula 1 para percorrer um certo número depara percorrer um certo número de

volta.volta.

Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de

605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos

quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo

traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para

cada 100 km.

Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade

de 750 g / l , esteja

no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar

mais 16 voltas, aoser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:

a)a) 617 kg b)b) 668 kg c)c) 680 kg d)d) 689 kg e)e) 717 kg

D03.D03. CáCállculo de elementos indicadores de peso e gordura corporal dado o IMC de umaculo de elementos indicadores de peso e gordura corporal dado o IMC de uma

pessoa.pessoa.

Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras

restrições

teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP),

de acordo com o

modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável

de dimensõescúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices

são:

52

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual

a:

a)a) 3 / 1kg

cm4,0 b)b)

3 / 1kg

cm5,2 c)c)

3 / 1kg

cm8 d)d)

3 / 1kg

cm20 e)e)

3 / 1kg

cm40

D04. CáD04. Cállculo da escala de um culo da escala de um mapa.mapa.

Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade AA, localizada no estado de São Paulo,

a uma cidade BB, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2.000 km. Um estudante, ao analisar

um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, AA e BB, era 8 cm. Os

dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de:

a)a) 1 : 250

b)b) 1 : 2.500 c)c) 1 : 25.000

d)d) 1 :

250.000

e)e) 1 :

25.000.000

D05. Conversão de unidades de medidas de posição dada por um GPS.D05. Conversão de unidades de medidas de posição dada por um GPS.

PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado).

Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua

localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de

Posicionamento Global) com longitude de 124o3’0’’ a leste do Meridiano de Greenwich. A

representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é:

Dado: 1o equivale a 60’ e 1’ equivale a 60’’.

a)a) 124,02o b)b) 124,05o c)c) 124,220 o d)d) 124,30o e)e) 124,50o

D06. Cálculo do tempo mínimo para todos os espectadores de um show entrarem numD06. Cálculo do tempo mínimo para todos os espectadores de um show entrarem num

estádio.estádio.

Um show especial de Natal teve 45000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio

de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em

cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente

dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva

entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram ingressos irão ao show e que

todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicadas. Qual é o tempo mínimo para que

todos passem pelas catracas?a)a) 1h b)b) 1h15min c)c) 5h d)d) 6h e)e) 6h15min

D07. Cálculo da quantidade de soja exportada pelo Brasil.D07. Cálculo da quantidade de soja exportada pelo Brasil.

As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de

2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma

baixa em relação ao mês de maio de 2012.

53

(Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.)

A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de:

a)a) 4,129 ×

103

b)b) 4,129 ×

106

c)c) 4,129 ×

109

d)d) 4,129 ×

1012

e)e) 4,129 ×

1015

D08. Cálculo do volume do reservatório que atenderá às necessidades de uma família.D08. Cálculo do volume do reservatório que atenderá às necessidades de uma família.

Para economizar em suas contas mensais de água, uma família de 10 pessoas deseja construir um

reservatório para armazenar a água captada das chuvas, que tenha capacidade suficiente para

abastecer a família por 20 dias. Cada pessoa da família consome, diariamente, 0,08 m3 de água.

Para que os objetivos da família sejam atingidos, a capacidade mínima, em litros, do reservatório

a ser construído deve ser:

a)a) 16.000 b)b) 8.000 c)c) 1.600 d)d) 800 e)e) 16

54

ANEXO AANEXO A

Medidas de Medidas de ComprimentoComprimento

Unidade Símbolo Equivalência

Gigametro Gm 1 Gm = 109 m

Megametro Mm 1 Mm = 106 m

Quilômetro km 1 km = 103 m

Hectômetro hm 1 hm = 102 m

Decâmetro dam 1 dam = 101 m

Metro Metro m m 1 1 m m = = 101000 m m

Decímetro dm 1 dm = 10-1 m

Centímetro cm 1 cm = 10-2 m

Milímetro mm 1 mm = 10-3 m

Micrômetro µm 1 µm = 10-6 m

Nanômetro nm 1 nm = 10-9 m

Ångströn Å 1 Å = 10-10 m

Picômetro pm 1 pm = 10-12 m

Medidas de MassaMedidas de Massa

Unidade Símbolo Equivalência

Tonelada t 1 t = 103 kg

Quilograma kg

Grama g 1 g = 10-3 kg

Miligrama mg 1 mg = 10-6 kg

Medidas de Intervalo de TempoMedidas de Intervalo de Tempo

Unidade Símbolo Equivalência

Segundo s

Minuto min 1 min = 60 s

Hora h 1 h = 3.600 s

55

(( )'!*ÕES+ !*ÕES GERAIS)'!*ÕES+ !*ÕES GERAIS

O conceito de função é um dos mais importantes para a Matemática e Ciências Aplicadas.

Ele está presente na maioria das vezes que queremos relacionar grandezas. Neste capítulo

apresentaremos o conceito de função e seus elementos principais e, além disso, você aprenderá

duas formas de representar e estudar funções: Através da sua lei (expressão algébrica) e, também,

pela interpretação gráfica.

ConceitoConceito

Antes de iniciarmos o estudo de funções, vamos entender o conceito de intervalo e suas

notações. Isto será fundamental para a compreensão das próximas definições.

4.1.14.1.1 Intervalos numéricosIntervalos numéricos

Os intervalos reais são conjuntos numéricos que obedecem alguma relação de

desigualdade. Para as definições a seguir, considere os números e reais e com .

Intervalo aberto:Intervalo aberto: Conjunto de números reais entre e , excluindo estes dois extremos.

Notação: , ∈ |

As “bolinhas” abertas indicam que os pontos não pertencem ao intervalo.

Intervalo fechado:Intervalo fechado: Conjunto de números reais entre e , incluindo estes dois extremos.

Notação:Notação: , ∈ |

As “bolinhas” fechadas indicam que os pontos pertencem ao intervalo.

Intervalo semi-aberto:Intervalo semi-aberto: Conjunto de números reais entre e , incluindo apenas um dosextremos.

Notação:Notação: , ∈ | Notação:Notação: , ∈ |

56

Intervalos infinitos:

Notação:Notação: , ∞ ∈ |

Notação:Notação:

, ∞ ∈ |

Notação:Notação: ∞, ∈ |

Notação:Notação:

∞, ∈ |

Noção intuitiva de funçãoNoção intuitiva de função

Vejamos um exemplo ilustrativo: O valor a ser pago pela corrida de taxi é dada por uma

tarifa inicial fixa de R$ 4,00 e acrescido de um valor variável por km rodado, num valor de R$

0,40 por km. Com essa informação podemos construir uma tabela que relaciona o número de km

rodados num taxi com o valor a ser pago pela corrida:

Distância percorrida (km) 1 2 3 4 ... x

Preço a ser pago (R$) 3,40 3,80 4,20 4,60 ... 3,00 + 0,40 x

Observe que o preço a ser pago pela corrida é dado em função da distância percorrida:

Preço a ser pago (R$) = 3,00 + 0,40 x.

Dessa forma, a lei da funçãolei da função é dada por y(x)= 3,00 + 0,40 x, em que y representa o valor a ser

pago e x representa a distância percorrida.

Definição de funçãoDefinição de função

Consideremos os exemplos a seguir.

ExemploExemplo

Considere a relação que associa, a cada elemento do conjunto A = {-2,-1,0,1,2}A = {-2,-1,0,1,2}, o seu dobro,

localizado no conjunto B = {-4,-2,-1,0,1,2,3,4}B = {-4,-2,-1,0,1,2,3,4}, ou seja, queremos uma função entre os conjuntos

AA e BB cuja lei é dada pela fórmula 2.

Observação:Observação: Existem outras formas de denotarmos intervalos abertos e semi-abertos,usando-se parênteses em vez de colchetes. Por exemplo:, , , , , ,

57

∈ A ∈ B

-2 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

Figura 1: Diagrama de VennFigura 1: Diagrama de Venn

Exemplo:Exemplo:

Sejam A = {0,1,2}A = {0,1,2} e B = {-1,2,5}B = {-1,2,5} dois conjuntos que se relacionam através do diagrama de Venn,

a seguir.

Figura 2: Diagrama de VennFigura 2: Diagrama de Venn

4.3.1 Definição4.3.1 Definição

Dados dois conjuntos não-vazios AA e BB, uma função de AA em BB é uma relação que associa

a cada elemento ∈ AA, um e somente um ∈ BB. Usamos a notação a seguir:

Observação:Observação: Verificamos, através do diagrama de Venn, que:• Todos os elementos de A têmtêm algum correspondente em B.

• A cada elemento de A estamos associando apenas umapenas um elemento de B.

Nesse caso, temos uma função de A em Bfunção de A em B, expressa pela lei 2 , apesar de algunselementos estarem sem correspondente no conjunto A.

Observação:Observação: Nesse caso não temos uma função de AA em BB, pois o elemento 0 não se

relaciona com nenhum elemento de BB e o elemento 1 se relaciona com mais de umelemento em BB.

58

: A A → B,B,

em que lê-se: é uma função de A em B.

Para cada elemento ∈ A, identificamos por o elemento ∈ B associado a . Por

exemplo, no Exemplo 1, mostrado anteriormente, podemos afirmar que: 2 !, " 2, # #, " 2 e 2 !.

4.3.2 Domínio, Contradomínio e Imagem4.3.2 Domínio, Contradomínio e Imagem

Dada uma função : AA → BB, o conjunto A chama-se domínio da função, $, e oconjunto B chama-se contradomíniocontradomínio da função, %$. Para cada elemento ∈ A, o elemento

∈ B é chamado de imagem deimagem de pela função pela função . O conjunto de todos os valores de B que

possuem relação com algum elemento de A é chamado de conjunto imagem de de , &' . Exemplo:Exemplo:

Considere a relação entre os conjuntos A e B descritos pelo diagrama de Venn a seguir, cuja lei é

dada por 2 .

Figura 3: Diagrama de VennFigura 3: Diagrama de Venn

A aplicação apresentada pode ser classificada como uma função? Nesse caso,A aplicação apresentada pode ser classificada como uma função? Nesse caso,através do diagrama de Venn (figura 3) é possível determinar o seu domínio,através do diagrama de Venn (figura 3) é possível determinar o seu domínio,contradomínio e imagem?contradomínio e imagem?Nesse caso, é uma função de A em B, pois cada elemento de A está associado a um, esomente um, elemento de B.Sim, é possível verificar através do diagrama de Venn que:

• ( ), 2,",*, que são todos elementos do conjunto A.• O contradomínio são todos os elementos do conjunto B, dado por: +( ,2,",#,",,*,-

• E finalmente, obtemos a imagem verificando todos os elementos do conjunto B, que

se relacionam com os elementos do conjunto A. Portanto, a imagem da função é dada

por: / ,#,,-.

59

Exemplo:Exemplo:

Seja a lei da função dada por 013 . Verifique, que o único número que não pode ser

substituído na expressão é o número 2, pois teríamos o denominador igual a zero, que não éconsiderado um número real. Nesse caso, consideraremos o domínio da função todos os números

reais exceto o 2, ou seja, ( ∈ 4 | 5 2 .

Plano Cartesiano e esboço de gráfico de funçõesPlano Cartesiano e esboço de gráfico de funções

O sistema cartesiano ortogonal é um sistema de referência formado por um par de eixos

perpendiculares, O (eixo das abscissas) e O (eixo das ordenadas), que se encontram no ponto

chamado de Origem O.O. Tais eixos são orientados e medidos em unidades. O plano que contém

tais eixos é chamado de plano cartesiano.

Usamos o sistema cartesiano para localizar pontos no plano. Dado um ponto PP (como mostra a

figura abaixo), dizemos que os números aa (abscissa) e bb (ordenada) são as coordenadas do ponto

PP e denotamos por P(a,b)P(a,b).

Observação:Observação: Quando não temos de modo explícito o domínio de uma função , devemosconsiderar este como o maior conjunto possível que contém valores aos quais podemosassociar uma imagem.em BB.

Observação:Observação: Há outras situações, que resulta em um número não pertencentes ao conjuntodos números reais, tais como:

• Raízes com o índice par, cujo radical é negativo, 6 789 .

• Nos números representados por logaritmo, ;<=> , para # , o número não

pertence ao conjunto dos números reais. Portanto, o logaritmando, , só pode ser

maior do que zero.

Exemplo:Exemplo:

Vamos localizar num plano cartesiano os

pontos A(1,2)A(1,2), B(-1,3) B(-1,3), C(0,5)C(0,5), D(-4,0) D(-4,0),

E(0,0)E(0,0) e F(-3,-4) F(-3,-4). Verifique na figura 5 a

marcação de cada um desses pontos.

Observe que o ponto A possui abscissaigual a 1 e ordenada igual a 2, portanto,

com coordenadas iguais a (1,2).

Construção GráficaConstrução Gráfica

O gráficográfico de uma função : X → Y é o conjunto dos pares ordenados , para ∈ X. Para traçar o gráfico de uma função dada por , devemos construir uma tabela com

alguns valores de e suas respectivas imagens e associar cada par ordenado a um ponto do

plano cartesiano e, por fim, esboçar o gráfico.

Exemplo:Exemplo:

Considere a função : 4 → 4 dada por 2 .

Observação:Observação: Os eixos O e O dividem o plano em quatro quadrantes, a saber:

• No 1º quadrante: # e #.

• No 2º quadrante: # e #.

• No 3º quadrante: # e #.

• No 4º quadrante: # e #.

PASSO 1: Vamos construir uma tabela com alguns valores de (escolhidos aleatoriamente) e

suas respectivas imagens:

-1 ? @ A ? B )

0 C @ A C B 2 1 ? @ A ? B "

2 B @ A B B !

PASSO 2: Vamos marcar os 4 pontos, no plano cartesiano.

PASSO 3: Traçar o gráfico, ligando os

pontos, que nesse caso estão contidos em

uma reta.

Toda curva esboçada num plano representa o gráfico de uma função?Toda curva esboçada num plano representa o gráfico de uma função?Nem toda curva esboçada num plano cartesiano representa gráfico de uma função.Já vimos que, para uma relação entre dois conjuntos seja considerada uma função,é necessário que para cada valor de associemos um e apenas um valor de .Sendo assim, para que uma curva no plano represente o gráfico de uma função,qualquer reta perpendicular ao eixo O deve intersectar o gráfico em um único ponto.

ExemploExemplo:

O gráfico acima não é de uma função, pois

existem retas perpendiculares ao eixo O

que intersectam o gráfico em mais de um

ponto.

O gráfico acima é de função, pois toda reta

perpendicular ao eixo O que intersecta o

gráfico, intersecta apenas em um ponto. Ou

seja, para cada valor de , temos associado

um, e somente um, valor de .

Análise do gráfico de uma funçãoAnálise do gráfico de uma função

Através do gráfico de uma função podemos analisar o seu crescimento, ou seja,

determinar o conjunto de valores de para os quais a função é crescente (se 0 3, então

0 3), os valores de para os quais a função é decrescente (se 0 3, então 0

3) e os valores para os quais

é constante (

0 3, D 0, 3 ∈ ( .

Exemplo:Exemplo:

Observe que no gráfico da função (figura 10), considerando os pontos E"," F G, ,verifica-se que:

Se 0 " 3 , então 0 " 3 . Nesse caso, a função é crescentecrescente, por

definição.

Observação:Observação: Algumas vezes não é possível construir o gráfico de uma funçãoatravés da marcação de pontos tomados aleatoriamente no plano. Muitas vezes, adepender do tipo de função é necessário tomar pontos de forma estratégica, paraconseguir o esboço do seu gráfico. Tais funções: linear, quadrática, logarítmica,exponencial, trigonométricas etc., serão estudadas posteriormente, e você terácondições de compreender melhor a construção gráfica de cada uma delas.

Exemplo:Exemplo:

Observe que no gráfico da função (figura11), considerando os pontos:

E"," F G, , verifica-se que: se 0 " 3 , então

0 " 3 .Nesse caso, a função é decrescentedecrescente, por definição.

De modo análogo, a partir do gráfico de uma função podemos estudar o sinal da função, ou seja,

determinar o conjunto de valores de para os quais a função é positiva ( #, negativa

( # e nula ( #).

Exemplo:Exemplo:

Verifique no gráfico da função 3 2 figura 12), que representa uma parábola. Para

qualquer valor de x menor -2, e maior que 2, o valor da f(x) será maior do zero, portanto a função

é positiva. Similarmente, se tomarmos qualquer valor para x entre -2 e 2, a f(x) será negativa.

Movimentação gráficaMovimentação gráfica

Dado uma função e, considerando H ∈ F H # , podemos construir gráfico por

movimentação do gráfico de funções elementares, apenas modificando ligeiramente a sua lei.

Veja os movimentos, que podemos obter a seguir:

4.7.1 Movimentos de Translações:4.7.1 Movimentos de Translações:

Translação para cima: H

Translação para baixo: H

Translação para a direita: H Translação para a esquerda: H

4.7.2 Movimentos de Reflexões:4.7.2 Movimentos de Reflexões:

Em relação ao eixo OX:

Em relação ao eixo OY:

Parcial: ||

Observação:Observação: Os valores de para os quais # são chamados de raízes ouzeros da função. Graficamente, as raízes das funções podem ser encontradasobservado as interseções do gráfico da função com o eixo O. No exemplo 10,acima, as raízes da função são 2 e 2, que podem ser identificadasgraficamente através da interseção do gráfico com o eixo Ox.

Exemplo:Exemplo:

Vamos tomar como exemplo a Função Modular, definida da seguinte forma: : → , || , cujo domínio ( I JKL=IK / M. O módulo ou valor

absoluto de um número é definido por:

|| N , OF #, OF # P

Observe, que ao associarmos alguns pontos, podemos obter o gráfico elementar dessa função.

Verifique nos gráficos abaixo, como as modificações na lei da função modular resulta na

movimentação do seu gráfico do plano cartesiano.

Translação Translação para para cima cima Translação Translação para para baixobaixo

Translação Translação para para a a direita direita Translação Translação para para a a esquerdaesquerda

∈ Q ∈ Q

-3-3 3

-2-2 2

-1-1 1

00 0

11 1

22 2

33 3

Reflexão Reflexão em em relação relação ao ao eixo eixo OX OX Reflexão Reflexão em em relação relação ao ao eixo eixo OYOY

Gráficos de funções elementaresGráficos de funções elementares

A seguir apresentaremos os gráficos de mais algumas funções elementares, e vale ressaltar

que a movimentação gráfica vale para todos os tipos de funções. Posteriormente, nos próximos

capítulos, você estudará as particularidades de cada função elementar.

Função Potência:Função Potência: R, S TUVOWVWF.Se p é um inteiro positivo par, S 2,! ,XY As funções são pares e simétricas em relação a #Z

e sempre passa pelos pontos "," e ",".

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

5

6

y = x^2y = x^2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

5

6

7

y = x^4y = x^4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−1

1

2

3

4

5

6

7

y = x^6y = x^6

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

5

6

y = x^2y = x^2

y = x^4y = x^4y = x^6y = x^6

Observação:Observação: Na figura 19, a reflexão em relação ao eixo OY, não ocasiona efeito demovimentação do gráfico na função modular. O gráfico permanece o mesmo dafunção elementar, pois || | |, para todo x pertencente a .Similarmente, acontece com o movimento de reflexão parcial: | | ||||.

Se p é um inteiro positivo ímpar, S ",,)... As funções são ímpares, simétricas em relação a

srcem e sempre passa pelos pontos "," e ",".

Se p é um inteiro negativo par, S 2,!,XY As funções são pares, simétricas em relação

a OY, sempre passa pelos pontos (1,1) e (-1,1) e é interrompido na srcem.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = x^3y = x^3

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = xy = x

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = x^5y = x^5

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = xy = x

y = x^3y = x^3

y = x^5y = x^5

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

5

6

y = x^-4y = x^-4

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−1

1

2

3

4

5

6

y = x^-2y = x^-2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

y = x^-2y = x^-2

y = x^-4y = x^-4

y = x^-6y = x^-6

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

5

6

y = x^-6y = x^-6

Se p é um inteiro negativo ímpar, S ",,)Y . As funções são ímpares, simétricas em

relação a srcem, sempre passa pelos pontos (1,1) e (-1,-1) e é interrompido na srcem. O gráfico "[ é chamado hipérbole equilátera.

Se S "[V, V ",2,,. . ., \] 6 ]

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = x^-1y = x^-1

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = x^-3y = x^-3

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = x^-5y = x^-5

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = x^-1y = x^-1

y = x^-3y = x^-3

y = x^-5y = x^-5

y = x^-3y = x^-3

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = root(3,x)y = root(3,x)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4y = -root(3,x)y = -root(3,x)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−4

−3

−2

−1

1

2

y = -sqr(x)y = -sqr(x)

Função Exponencial:Função Exponencial: : Q → Q, ^, # L 5 "

Função Crescente: " Função Decrescente: # "

Função LogarítmicaFunção Logarítmica: : QM_ → Q, `ab ^ , # L 5 "

Função Crescente: " Função Decrescente: # "

Exemplos:Exemplos: Verifique os gráficos abaixo e as movimentações gráficas

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

y = (1/2)^xy = (1/2)^x

−6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3

−1

1

2

3

4

5

6

y = 2^xy = 2^x

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

y = log(1/2,x)y = log(1/2,x)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−2

−1

1

2

3

4

5

y = ln(x)y = ln(x)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

y = (x+2)^3+1y = (x+2)^3+1

y = x^3y = x^3

y = x^3y = x^3

(x,y) = (-2,1)(x,y) = (-2,1)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

y = 1/(x-1)+2y = 1/(x-1)+2

y = 1/xy = 1/x

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Preencha cada espaço sinalizado na tabela a seguir (tarjas cinzas), com o intervalo sinalizado

em cada linha de acordo com o tipo de notação indicada nas colunas.

Notação Tipo 1 Notação Tipo 2 Representação Gráfica" 2,!

2 ∈ |2 !

"

," 2

T" T2 ∈ | " !

T

c" c2 c

F"

∞,#

F2 F

" 2

E02.E02. Uma empresa que realiza serviços de manutenção de edifícios organizou a tabela abaixo que

indica o número de funcionários necessários para a realização do serviço em função do número

de andares do prédio a ser construído.

Nº de andares Nº de funcionáriosNº de funcionários

11 6

22 12

33 18

44 2455 30

66 36

...... ...

Sendo nn o número de andares do edifício e NN o número de funcionários a ser disponibilizado para

a obra, qual a variável independente? Qual a variável dependente?

2

-8 2

-3

(a) Qual é a fórmula (lei da função) que associa NN a nn?

(b) Quantos funcionários seriam necessários para realizar o serviço em um prédio de 17 andares?

(Resolva esse exercício utilizando a expressão da letra a.)

(c) Sendo enviados 126 funcionários para a manutenção de um edifício, quantos andares, no

máximo, seriam possível realizar o serviço? (Resolva esse exercício utilizando a expressão da

letra a.)

E03.E03. Dados os conjuntos A = {a,b,c} e B = {d,e,f,g}, considere a relação descrita através dastabelas abaixo. Esboce, usando diagrama de Venn, cada relação dada e, por fim, avalie se a relação

é ou não de função.

(a) Relação 1

A B

b f

c g

(b) Relação 2

A B

a d

b f

b g

c e

(c) Relação 3

A B

a e

b f

c g

(d) Relação 4

A B

a e

c f

E04.E04. Identifique se cada relação dada abaixo, através dos diagramas de Venn, se a aplicação é ou

não uma relação de função. Em caso positivo, indique o domínio, contradomínio e a imagem da

função. Caso não seja função, justifique a sua resposta.

(a) (b)

(c) (d)

E05.E05. Explicite o domínio de cada função abaixo:

d131e (b) f 6 ) (c) g 6 2 *h

E06.E06. Identifique os pares ordenados de cada um dos pontos representados no plano cartesiano

abaixo.

E07.E07. Represente os pares ordenados abaixo por pontos no plano cartesiano.

A(1, 3)

B(-3, 5)

C(3, -2)

D(-4, -1)

E(0,1)

F(-3,0)

G(-3,5 ; 1)

H(-2,3 ; 0,5)

I(0, π)

J(π,π)

E08.E08. Esboce o gráfico da função 3 ".

Através do gráfico de uma função podemos, em alguns casos, determinar o domínio e a imagem

da função projetando o gráfico nos eixos coordenados, portanto:

( iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii / iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii E09.E09. Identifique se cada gráfico abaixo é ou não gráfico de função. Em caso positivo,

Identifique o domínio e a imagem.

(a)

É função?

Não ( ) Sim ( )( /

(b)

-2

-1

0

1

2

É função?

Não ( ) Sim ( )( /

E10.E10. Considere o gráfico a seguir. Estude o sinal da função, determine os intervalos em que a

função é crescente e os intervalos em que a função é decrescente. A função tem raiz(es)? Qual(is)?

Estudo do sinal da função:

(a1) Se _______________ , então #.

(a2) Se _______________ , então #.

(a3) A função tem raízes? ( ) Sim, se ______________, então # ( ) Não.

(a4) Raízes: ___________________ ____________________________________ __

Estudo do crescimento da função:

(b1) Se _______________ , então

#.

(b2) Se _______________ , então #.

(b3) A função tem raízes? ( ) Sim. Se ______________, então # ( ) Não.

(b4) Raízes: __________________________________ _____________________ __

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01.

Notação Tipo 1 Notação Tipo 2 Representação Gráfica

" 2,!

2 ∈ |2 !

"

," 2 ∈ | "

T" " ,! T2 ∈ | " ! T

c"

j , 2

c2 ∈ | j 2

c

F" ∞,#

F2 ∈ | #

F " ∞,

2 ∈ |

E02.E02. (a)

k X A V (expressão)

(b) k X A V X A "* "#2 funcionários

(c) k X A V l "2X X A V l V 03mm 2" LnoLpIq

E03.E03.

(a) (b)

(c) (d)

42

0

-8 2

-3

-1 4

-3 1

E04.E04.

(a)(a) Representa uma função: ( , , +( T,,f , / , f

(b)(b) Não representa uma função, pois o elemento b possui duas imagens.

(c)(c) Representa uma função: ( ,,T , +( T,,f , / T,,f

(d)(d) Não representa uma função, pois o d pertencente ao conjunto A não se relaciona com nenhum

elemento de B.

E05.E05.r ( ∈ | 5 [2

s ( ∈ | )

t (

E06.E06.

A(-4; 3)

B(4; 0)

C(0; -2)

D(5; -3)

E(0;0)

F(0;3,5)

G(1 ; -2,5)

H(-3 ; -1)

I(-2,5; 5)

J(-5;0)

E07.E07.

E08.E08.

( /

-2 5-1 2

0 1

1 2

2 5

E09.E09.

(a) É gráfico de uma função. ( e /

(b) Não é gráfico de uma função.

E10.E10.

(a1) Se # , então #.

(a2) Se 2 , então #.

(a3) A função tem raízes? ( x ) Não.

(b1) Se X , então #.

(b2) Se 2 , então #.

(b3) A função tem raízes? ( x ) Sim.

Se " F " , então #.(b4) Raízes: " F ".

TestesTestes

T01.T01. O serviço de água e esgoto de uma cidade cobra R$ 1,50 pelos primeiros 10 m3 de água

consumida e mais R$ 0,25 por metro cúbico que exceder essa quantia. Verifique qual é a função

do 1o grau abaixo que define a quantia a serem pagos por um consumo de x metros cúbicos acima

dos 10 m 3.

(a) y = – 1,50 + 0,25 x

(b) y = 1,50 + 0,25 x

(c) y = 10 + 0,25 x

(d) y = 1,50 – 0,25 x

(e) y = – 10 + 0,25 x

T02.T02. Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a

essa pessoa R$ 250,00 por semana, e, como um estímulo, também propôs que ele pagaria 1,4 real

por cada produto vendido. Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu ficar

com um salário de R$ 390,00. Quantos produtos esse funcionário vendeu?

(a) R$ 60,00.

(b) R$ 180,00.

(c) R$ 172,00.(d) R$ 100,00.

(e) R$ 120,00.

T03.T03. As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo

também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação

de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais

pela compra de n quilogramas desse produto é:

(a) (b) (c) (d) (e)

T04.T04. Através dos dois esquemas de flechas a seguir, em que {3,1,5,2} A = e { 2,5,0 ,1,6,3 } B = − , avalie os

seguintes itens:

Esquema de flexa (1)

Esquema de flexa (2)

I. O esquema de flexa (1) não define uma função porque o elemento 1 do conjunto B não corresponde com

nenhum elemento do conjunto A.

II. O esquema de flexa (1) não representa uma função devido ao fato do elemento 5 do conjunto A estar

relacionado com mais de um elemento do conjunto B.

III. O esquema de flechas (2) representa uma função mesmo que elementos do conjunto B não se corresponda

com nenhum elemento do conjunto A.

Está (ão) correta (s) apenas a (s) alternativa(s):

(a) I e III (b) I (c) II e III (d) II (e) I, II e III

T05.T05. Através dos dois esquemas de flechas a seguir, em que { 1,0, 1, 2} A = − e { 2, 1,0 ,1,2 ,3} B = − − , avalie os

seguintes itens:

Esquema de flexa (1) Esquema de flexa (2)

- 7979 -

I. O esquema de flexa (1) não define uma função porque o elemento 1 do conjunto A possui duas imagens.

II. O esquema de flexa (1) não representa uma função devido ao fato do elemento 3 do conjunto B estar

relacionado com o elemento 1 e 2 ambos pertencentes ao conjunto A.III. O esquema de flechas (2) não representa uma função, pois todos os elementos do conjunto A possuem uma

mesma imagem (elemento 1 pertencente ao conjunto B).

Está (ão) correta (s) apenas a (s) alternativa(s):

(a) I e III (b) I (c) II e III (d) II (e) I, II e III

T06.T06. Quais dos intervalos abaixo, representam o domínio da função2 2

( )1

x f x

x

+=

−?

(a) ]",∞ (b) #," (c) ",∞ (d) ∞," (e) ∞,∞

T07.T07. (Unicap-PE) Um estudo das condições ambientais de um município indica que a taxa média de monóxido de

carbono no ar será de () 0,5 1C p p= − ppm (partes por milhão) quando a população for de p milhares de habitantes.

Sabendo que daqui a t anos, a população será de 2() 10 0,1 p t t = + , calcule qual é a taxa de monóxido de carbono no

ar, atualmente. O valor encontrado é:

(a) ) SS/ (b) SS/ (c) 4 ppm (d) 1 ppm (e) 2 ppm

- 8080 -

T08. (Adaptada ENADE 2008)T08. (Adaptada ENADE 2008) Apesar do progresso

verificado nos últimos anos, o Brasil continua sendo um

país em que há uma grande desigualdade de renda entre

os cidadãos. Uma forma de se constatar este fato é por

meio da curva de Lorenz, que fornece, para cada valor de

x entre 0 e 100, o percentual da renda total do país

auferido pelos x % de brasileiros de menor renda. Por

exemplo, na Curva de Lorenz para 2004, apresentada ao

lado, constata-se que a renda total dos 60 % de menor

renda representou apenas 20 % da renda total.

De acordo com o mesmo gráfico, o percentual da renda

total correspondente aos 40 % de maiormaior renda foi,

aproximadamente, igual a:

(a) 2# u (b) !# u (c) 50 % (d) 60 % (e) 80 %

Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:

T01. bT01. b

T02. dT02. dT03. eT03. e

T04. cT04. c

T05. bT05. b

T06. aT06. a

T07. cT07. c

T08. eT08. e

- 8181 -

,, )'!*ÕES A)I!S E -'A$R.TICAS)'!*ÕES A)I!S E -'A$R.TICAS

Função AfimFunção Afim

O salário de um funcionário é composto de uma parte fixa no valor de R$ 2300,00, e uma parte que varia em

função do número de clientes atendidos pelo funcionário. Para cada cliente atendido, é adicionado ao salário do

cliente um valor de R$ 20,00, ou seja:

SALÁRIO = R$ 2300,00 + (nº de clientes atendidos)

vR$ 20,00.

Nesse sentido, o salário mensal do funcionário é descrito pela função 2# 2##, em que representa o salário do funcionário num mês em que foram atendidos clientes.

A relação acima é chamada de função afim.

Uma função : 4 → 4 é dita uma função afim se existirem dois números e tais que . Neste

caso, a constante é chamada de coeficiente angular e a constante é chamada de coeficiente linear.

No exemplo do salário do funcionário, a função afim possui coeficiente angular igual a 20 e coeficiente linearigual a 2300.

5.1.15.1.1 Raiz de uma função afimRaiz de uma função afim

Como já foi definida anteriormente, uma raiz de uma função é um valor ∈ ( para o qual a função se

anula, ou seja, #. De modo geral, para encontrar o conjunto de raízes de uma função, igualamos a sua lei a 0

(zero) e resolvemos a equação obtida.

Por exemplo, se e3 ", podemos calcular a raiz da função da seguinte forma:

# →2 " →

2 " → " A

2 →

2.

Logo, possui uma única raiz: 3e.

- 8282 -

5.1.25.1.2 Gráfico de uma função afimGráfico de uma função afim

O gráfico de uma função afim é uma reta cuja posição no plano w depende dos seus coeficientes angular e

linear.

Por exemplo, para esboçar o gráfico da função 2 2 , determine alguns pontos que pertencem ao

gráfico da função, marque esses pontos no plano cartesiano e, por fim, trace a reta que representa o gráfico procurado:

B B

? " 2" 2 !

C # 2A # 2 2

? " 2 A " 2 #

B 2 2 A 2 2 2

Observe que a reta acima intersecta o eixo w no valor da raiz de e intersecta o eixo w no valor para o qual

#, ou seja, no ponto #, . Sendo assim, para esboçar o gráfico de uma função afim, podemos, no primeiromomento, identificar os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados e tentar traçar o gráfico da função.

Exercício Resolvido:Exercício Resolvido:

Considere a função afim , com , ∈ 4 . Sabendo que " X e 2, determine a

lei de .

Solução:

Como " X, então:

" → X l X A " .

De modo análogo, como 2, então:

→ 2 l 2 A .

Com isso, obtemos o sistema

N X 2 .

Resolvendo-se o sistema acima, obtemos que 2 e !. Desse

modo, a lei da função é 2 ! .

- 8383 -

5.1.35.1.3 Crescimento e Decrescimento de uma função afimCrescimento e Decrescimento de uma função afim

Já vimos que o gráfico de uma função afim, , é uma reta. A partir do valor do coeficiente angular

podemos determinar o comportamento da reta quanto ao seu crescimento:

^ C

A reta não possui inclinação. Neste caso, sua representação

no plano cartesiano será uma reta horizontal (paralela ao eixow) e que passa no eixo w no valor .

^ C A reta é crescente.

^ C A reta é decrescente.

- 8484 -

Função QuadráticaFunção Quadrática

Uma função : 4 → 4 é chamada de função quadrática se 3 T, em que ,,T ∈ 4 , com 5 #.

O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada de parábola.

Para exemplificar, considere a função quadrática 3 j "2 ( " , j e T "2 . Vamos

atribuir valores para a variável e obter os respectivos valores para a variável . Identificando os pontos ,

encontrados e ligando-os de modo a formar a curva, obtemos um esboço do gráfico de

:

B x ?B

C # #3 j A # "2 "2

B 2 23 j A 2 "2 #

y ! !3 j A ! "2 !

z X X3 j A X "2 #

x j j3 j A j "2 "2

5.2.15.2.1 Raízes de uma Função QuadráticaRaízes de uma Função Quadrática

Para calcular as raízes de uma função quadrática, 3 T, usamos a Fórmula de Bháskara:

{ 6 2 , em que 3 !T, chamado de discriminante.

Exemplo:Exemplo:

Vamos usar a Fórmula de Bháskara para calcular as raízes da função

3 ) !.

Note que os coeficientes da função são ", ) e T !. Dessa forma, )3 ! A" A! - . Substituindo na

fórmula, encontramos:

) { 6 -2 A " ){2

}

" ou ! .

- 8585 -

Sendo assim, concluímos que a parábola que representa o gráfico de , intersectará o eixo w nos pontos ",# e

!,#.

Encontradas as raízes de 3 T, a saber 0 e 3, podemos decompor (fatorar) a função com:

A 0 A 3. Por exemplo, a função anterior, 3 ) !, pode ser decomposta como

" A ~ "• A ~ !•

" A !.5.2.25.2.2 Gráfico de uma função quadráticaGráfico de uma função quadrática

Para auxiliar na construção do gráfico de uma função quadrática, vamos pontuar quatro fatos:

1. O sinal do coeficiente indica a concavidade (abertura) da parábola:

^ C

(concavidade voltada para cima)(concavidade voltada para cima)

^ C

(concavidade voltada para baixo)(concavidade voltada para baixo)

- 8686 -

2. O sinal de indica o número de raízes (interseções com o eixo w):

^ C ^ C

C

duas raízes reais e distintas

C

duas raízes reais e iguais

C

a função não possui raiz

real

3. O gráfico de sempre intersecta o eixo w no

ponto de coordenadas #,T :

4. O vértice (ponto € , em que a função

atinge seu valor máximo ou mínimo) pode ser

calculado através das fórmulas a seguir:

2

!

- 8787 -

Observação: O vértice de uma função quadrática é o ponto no qual a parábola muda

de comportamento quanto ao seu crescimento:

# → N a função é crescente no intervalo , ∞a função é decrescente no intervalo ∞ ,

# → N a função é crescente no intervalo ∞ , a função é decrescente no intervalo

, ∞

O vértice de uma função quadrática também é chamado de ponto mínimo ( #)

ou ponto máximo ( #). Dizemos que é o valor mínimo ( #) ou valor máximo

( #) de .

- 8888 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Responda os itens a seguir:

a)a) dada a função 2 , determine ".

b)b) dada a função ! ) , determine o valor de tal que *.

E02.E02. Escreva a função afim,

, sabendo que :

a)a) " ) e

*

b)b) " * e

2 "

c)c) " ) e

2 !

E03.E03. Para cada função a seguir, calcule a raiz (se existir), determine as interseções com os eixos coordenados e

esboce o gráfico.

a)a) 2 ) b)b) † c)c) ) d)d) 13 " e)e) f 3e 0‡

E04.E04. A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos 2,X e ),# . Determine essa função e calcule

"X.

E05.E05. Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cadaunidade por $ 5,00, o lucro final ˆ será dado em função das unidades vendidas. Responda:a)a) Qual a lei dessa função ;

b)b) Para que valores de têm #? Como podemos interpretar esse caso?c)c) Para que valores de haverá um lucro de $ 315,00?d)d) Para que valores de o lucro será maior que $ 280,00?

E06.E06. Dadas às funções e ‰, descubra o ponto de intersecção dos respectivos gráficos.a)a) 2 )

e f 2 )

b)b) e

f 2 X

c)c) ! e

f

E07.E07. Seja a função afim definida por ! " e cujo gráfico é a reta Š. Determinar a função afim f cuja reta correspondente passa por ", " e é paralela à reta Š.

E08.E08. Assinale as alternativas cujas funções correspondam a funções quadráticas, em caso positivo, indique oscoeficientes , e T.

a)a) b)b) 3 c)c) 21 d)d) 3 "2 e)e) 3

E9.E9. Quais dos pontos pertencem à parábola 3 2 ?

a)a) # , b)b) " , ! c)c) ‹ 3e ,2Œ d)d) ,# e)e) ! ,

- 8989 -

E10.E10. Determine o vértice da parábola que representa a função definida por:

a)a) 322 −−= x x y b)b) 1582 −+−= x x y c)c) 962 +−= x x y d)d) 652 +−= x x y e)e) 243 x x y −=

E11.E11. Para cada função a seguir, calcule a raiz (se existir), determine as interseções com os eixos coordenados e

esboce o gráfico.

a)a) 122 +−= x x y b)b) x x y 22 −−= c)c) 243 2 +−= x x y

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01.

a)a) 1 b)b) 1/2

E02.E02.

a)a)

2 b)b)

2 ) c)c)

2

E03.E03.

a)a)

Raiz: )[2

Interseções com os eixos: ‹d3 , #Œ e # ,)

b)

Raiz: †

Interseções com os eixos: † , # e # , †

- 9090 -

c)c)

Raiz: )[

Interseções com os eixos: ‹ de ,#Œ e # ,)

d)

Raiz: 2

Interseções com os eixos: 2 , # e # , "

e)e)

Raiz: [j

Interseções com os eixos: ‹e ,#Œ e ‹# , 0‡Œ

E04.E04.

a)a) - !) e "X --

E05.E05.

a)a) ) 2# b)b) Para !X c)c) Para "#- d)d) Para "#2

E06.E06. a)a) # , ) b)b) 2 , "# c)c) #,X Ž 2,!

E07.E07.

a)a) !

- 9191 -

E08.E08.

a)a) Não b)b) Sim; " , #

e T #

c)c) Não d)d) Sim; ,

# e T "2

e)e) Sim; " , "

e T #

E09.E09.

a), b) e d)

E10.E10.

a)a) " ,! b)b) ! , " c)c) , # d)d) ‹d3 , 0‡Œ e)e) ‹e , 0mŒ

E11.E11.

a)a) b)b) c)c)

Testes:Testes:

T01. (PUC)T01. (PUC) Considere um terreno retangular que pode ser cercado com 50m de corda. A área desse terreno expressa

como função do comprimento de um dos lados é:

a)a) A(x) = -x2 + 25x para x ≥ 0 d)d) A(x) = -3x2 + 50x para 0 < x < 50/3

b)b) A(x) = -3x2 + 50x para x ≥ 0 e)e) A(x) = 3x2 + 50x para 0 < x < 50/3

c)c) A(x) = -x2 + 25x para 0 < x < 25

T02. ( FUVEST)T02. ( FUVEST) O gráfico de B ‘ , onde e ‘ são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2).

Então 2[ vale:

a)a) -2/9 b)b) 2/9 c)c) -1/4 d)d) 1/4 e)e) 4

- 9292 -

T03.T03. (VUNESP)(VUNESP) O gráfico ao lado mostra o resultado

de uma experiência relativa à absorção de potássio

pelo tecido da folha de certo vegetal, em função do

tempo e em diferentes condições de luminosidade.

Nos dois casos, a função linear, , ajustou-se

razoavelmente bem aos dados, daí a referência de

como taxa de absorção (geralmente medida em

micromols por unidade de peso por hora). Com base

no gráfico, se

0 é a taxa de absorção no claro e

3 é a

taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas

taxas é:

a)a) 0 3 b)b) 3 20 c)c) 0 A 3 " d)d) 0 A 3 " e)e) 0 23

T04.T04. (UFRRJ)(UFRRJ) O custo de produção de um determinado artigo é dado por C(x) = 3xC(x) = 3x22 – 15x + 21 – 15x + 21. Se a venda de xx unidades é dada por V(x) = 2xV(x) = 2x22 + x + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x)L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:

a)a) 20 unidades b)b) 16 unidades c)c) 12 unidades d)d) 8 unidades e)e) 4 unidades

T05.T05. Uma barra de ferro foi aquecida até uma temperatura de 30ºC e a seguir foi resfriada até a temperatura de –6ºC.Depois de quanto tempo, em minutos, após o início do resfriamento, a temperatura da barra atingiu 0ºC?

a)a)

1 b)b)

2 c)c)

3 d)d)

4 e)e)

5

T06.T06. (UNESP)(UNESP) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:

a)a) 23 2 !

b)b) 3 2 !

c)c) 3 2

d)d) 23 2 !

e)e) 23 2 2

Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:

01. C01. C

02. A02. A

03. E03. E

04. D04. D

05. E05. E

06. D06. D

- 9393 -

// CI!EM.TICA+ !*ÕES GERAISCI!EM.TICA+ !*ÕES GERAIS

IntroduçãoIntrodução

Nessa disciplina, nosso objetivo será estudar um dos vários ramos da Física: a Mecânica, que em termos muito

simples, estudará os movimentos e as condições em que eles se realizam, sempre relacionando três grandezas físicas

fundamentais: o comprimento, a massa e o tempo.

Didaticamente dividimos a Mecânica em três partes:

Nesta Unidade estudaremos a CinemáticaCinemática, porém, inicialmente existe a necessidade de conhecermos alguns

conceitos que serão utilizados neste estudo.

Conceitos FundamentaisConceitos Fundamentais

Ponto Material:Ponto Material: Suponha um carro percorrendo uma estrada muito extensa. Se compararmos as dimensões do

carro com o comprimento total da estrada veremos que uma medida é muito menor que a outra. Nessa situação,

podemos desprezar as dimensões do carro e denominá-lo ponto materialponto material ou partículapartícula.

Suponha agora o mesmo carro estacionado numa garagem. Nesse caso as dimensões do carro não podem ser

desprezadas, pois elas não são muito menores que as dimensões da garagem. Nessa situação, o carro é chamado de

corpo extensocorpo extenso.

Referencial:Referencial: Para determinar se um corpo se encontra ou não em movimento, é necessário ver a posição desse

corpo em relação a outros corpos que o rodeiam. Pense na seguinte situação: um homem sentado na poltrona de um

trem, que anda para a direita, acena para uma mulher na estação. Quando tomamos o trem em movimento como

referência, a posição do homem sentado na poltrona, em relação ao trem, não varia. Dizemos que o homem está em

repousorepouso em relação ao trem. Se tomarmos como referência a mulher na estação, verificamos que a posição do homem

está em movimentomovimento em relação à mulher.

CINEMÁTICA:CINEMÁTICA:estuda o movimento sem considerarsuas causas, isto é, sem se preocupar

como o que o produziu.

ESTÁTICA:ESTÁTICA:

estuda os corpos em equilíbrio.

DINÂMICA:DINÂMICA:estuda os movimentos dos corpose as causas que os srcinam, isto

é, as forças.

Ponto material é todo corpo cujasPonto material é todo corpo cujas

dimensões não interferem no estudodimensões não interferem no estudo

de um determinado fenômeno.de um determinado fenômeno.

- 9494 -

O corpo que tomamos como referência para dizer se um outro corpo está em movimento ou em repouso é

denominado referencialreferencial.

Note que, no exemplo dado, um mesmo corpo pode estar em repouso ou em movimento, dependendo do

referencial adotado. Portanto, os conceitos de repouso e de movimento são relativos.

A escolha do referencial é arbitrária, e só depois que ele for escolhido é que podemos dizer se um corpo está

em repouso ou em movimento.

Trajetória:Trajetória: Imagine um ciclista andando sobre a areia e deixando nela a marca do pneu de sua bicicleta. Esta

marca sobre a areia representa o caminho percorrido por ele em relação a uma pessoa parada no solo. Essa marca é

denominada trajetóriatrajetória.

A trajetória depende do referencial adotado. Suponha, por exemplo, um avião voando com velocidade

constante. Se num certo instante ele abandonar uma carga, ela cairá segunda uma trajetória vertical em relação às

pessoas do avião.

De acordo com a trajetória, os movimentos recebem as seguintes denominações:

Movimento retilíneo: Movimento retilíneo: a trajetória é uma reta;

Movimento curvilíneo: Movimento curvilíneo: a trajetória é uma curva.

Para um observador parado no solo, que observa o avião de lado, a trajetória

da carga será parabólica.

Um corpo está emUm corpo está em repousorepouso quando a posição desse corpo quando a posição desse corpo

em relação ao referencial não varia com o tempo.em relação ao referencial não varia com o tempo.

Um corpo está emUm corpo está em movimentomovimento quando a posição desse quando a posição desse

corpo em relação ao referencial varia com o tempo.corpo em relação ao referencial varia com o tempo.

Trajetória é a linha determinadaTrajetória é a linha determinada

pelas diversas posições que um corpopelas diversas posições que um corpo

ocupa no decorrer do tempo.ocupa no decorrer do tempo.

- 9595 -

Na Cinemática Escalar, estudamos o movimento de um ponto material ao longo de sua trajetória considerando

a posição do ponto material, sua velocidade e aceleração como grandezas escalares.

Posição Escalar:Posição Escalar: Quando conhecemos a forma da trajetória de um corpo, podemos determinar sua posição no

decorrer do tempo por meio de um único número.

Como exemplo, vamos considerar um corpo movimentando-se sobre a trajetória da figura.

Para localizarmos esse corpo num determinado instante, adotamos arbitrariamente um ponto O sobre a

trajetória, ao qual chamamos srcem das posiçõessrcem das posições , e orientamos a trajetória – nesse ponto, positivamente para a

direta – a partir de O.

Para conhecer a posição do corpo, num certo instante, precisamos conhecer sua distância em relação ao ponto

O. Essa posição será positiva se o corpo estiver à direita da srcem, e negativa se estiver à esquerda. Costumamos

representar a posição de um corpo num dado instante pela letra s.

Na trajetória a seguir, temos:

• a posição do corpo no instante t = 1h é s = -4 km;

• a posição do corpo no instante t = 2h é s = 3 km.

Função Horária:Função Horária: No estudo da Cinemática não existe preocupação em explicar o movimento, mas somente em

descrevê-lo no sentido estritamente geométrico. Esse estudo se restringe à escolha de um referencial e ao registro, em

termos matemáticos, das sucessivas posições ocupadas por um corpo no decorrer do tempo.

Assim, partindo da posição atual do corpo, num certo referencial, pode-se determinar a sua posição futura no

mesmo referencial.

A partir do aqui e do agora do corpo – posição e instante iniciais – para um dado observador, podemos prever

o ali e o depois – posição e instante finais – do corpo em relação ao mesmo observador.

Para prevermos o ali e o depois usamos a função horária, que relaciona a posição s ocupada pelo corpo com o

tempo t. Toda função horária é do tipo s = f(t).

Como exemplo, vamos considerar um móvel percorrendo a trajetória retilínea indicada na figura, seguindo a

função horária s = 2 + 3t (no SI).

- 9696 -

• Quando t = 0 → s0 = 2 m. • Quando t = 4s → s4 = 14 m.

Portanto, s0 é a posição do móvel no instante zero e s 4 a posição no instante 4s.

Deslocamento Escalar e Distância Percorrida:Deslocamento Escalar e Distância Percorrida: Consideremos um móvel percorrendo uma pista circular com

srcem no ponto O e orientada em sentido anti-horário.

Suponha que o móvel tenha partido do ponto A,

deslocando-se 10 metros ( l 1) para o ponto B e, em seguida, 7

metros ( l 2) para o ponto C.

Chamamos de distância percorridadistância percorrida (d) pelo móvel, no

movimento de A a C, a soma dos arcos l 1 + l 2 (10m + 7m =

17m). O arco l 3, cuja medida é 3m (10m – 7m) representa o

deslocamento escalardeslocamento escalar (∆s) do móvel de A a C.

O deslocamento escalar é dado pela diferença entre a posição final sf e a posição inicial s i: s = ss = sf f - s - sii.

O sinal algébrico do deslocamento escalar indica em que sentido ocorreu o deslocamento: se no mesmo sentido

da trajetória (movimento progressivomovimento progressivo) ou em sentido contrário (movimento retrógradomovimento retrógrado).

• Se o movimento for no sentido positivo da trajetória (sf > si), ∆s será positivo:

∆s = sf – si ∆s = 40 – 10 = +30 km (O móvel deslocou-se no sentido positivo).

• Se o movimento for contrário ao sentido positivo da trajetória (sf < si), ∆s será negativo:

Observe que deslocamento escalardeslocamento escalar e

distância percorridadistância percorrida são conceitos

físicos diferentes.

- 9797 -

∆s = sf – si ∆s = 30 – 50 = -20 km (O móvel deslocou-se no sentido negativo)

Se o móvel mudar de sentido, teremos deslocamentos escalares positivos e negativos. Nesse caso, a distânciatotal percorrida (espaço percorrido) é igual à soma dos módulos de cada um dos deslocamentos.

Velocidade Escalar:Velocidade Escalar:

Velocidade Escalar Média:Velocidade Escalar Média: Suponha um carro percorrendo um trecho de estrada entre duas cidades. Sabemos que

o carro não mantém sempre a mesma velocidade durante o trajeto, isto é, sua velocidade varia com o tempo.

Na prática, para estudar o movimento do carro é interessante conhecer e tratar o movimento de uma forma

global e não detalhar esse estudo em cada ponto da estrada.

A velocidade escalar média (vm) é uma informação sobre o movimento global. Para obtê-la, dividimos o

deslocamento escalar pelo tempo gasto na viagem.

Como exemplo, imagine que numa viagem de São Paulo a São José dos Campos um carro se deslocasse 100

km em 2 h.

50km/h2h

100km v

percursonogastotempotodeslocamen

v mm ==→=

É óbvio que, durante o trajeto, a velocidade do carro, em cada instante, às vezes foi maior e outras vezes menor

do que 50km/h. A velocidade escalar média representa a velocidade constante que o carro deveria manter para,

partindo da mesma posição inicial, chegar à mesma posição final gastando o mesmo tempo.

A velocidade escalar média também pode ser definida num intervalo de tempo. Como por exemplo, vamos

considerar um carro percorrendo a trajetória indicada na figura.

Suponhamos que, para percorrer a variação de espaço ∆s = s2 – s1, o carro leve o tempo ∆t = t2 – t1.

- 9898 -

• Observe que, se o carro se movimentar no sentido positivo da trajetória, teremos:

• Se o carro se movimentar no sentido contrário ao sentido positiva da trajetória, teremos:

Velocidade Escalar Instantânea:Velocidade Escalar Instantânea: Imagine-se dirigindo um carro numa viagem. A partir de certo instante, você olha

para o velocímetro, consulta o relógio e começa a anotar as velocidades indicadas no decorrer do tempo.

Suponha que os valores anotados sejam os da tabela ao lado.

Observe que para cada instante podemos associar um valor para a velocidadedo carro. A cada valor indicado pelo velocímetro num dado instante denominamos

velocidade instantâneavelocidade instantânea.

Dependendo do sinal da velocidade escalar instantânea, podemos ter dois

tipos de movimento: movimento progressivo e movimento retrógrado.

• Movimento Progressivo:Movimento Progressivo: quando o móvel caminha no mesmo sentido da orientação da trajetória, isto é, as posições

crescem algebricamente no decorrer do tempo. Neste caso, dizemos que a velocidade do móvel é positiva.

• Movimento Retrógrado:Movimento Retrógrado: quando o móvel caminha no sentido contrário da orientação da trajetória, isto é, as

posições decrescem algebricamente no decorrer do tempo. Neste caso, dizemos que a velocidade do móvel é negativa.

Tempo Velocidade(km/h)(km/h)

8h 80

8h 10min 60

8h 25min 90

8h 30min 100

8h 40min 40

Movimento Progressivo: v > 0Movimento Progressivo: v > 0

Movimento Retrógrado: v < 0Movimento Retrógrado: v < 0

ss22 > s > s11 s > 0s > 0 v vmm > 0 > 0

ss22 < s < s11 s < 0s < 0 v vmm < 0 < 0

Define-se como velocidade escalar médiavelocidade escalar média do carro, entre os

instantes t1 e t2, a grandeza vm dada por:

12

12m tt

ssΔtΔs

v−

−==

A unidade de velocidade no SI é o metro por segundo (m/s).

Podemos, também, utilizar o quilômetro por hora (km/h).

- 9999 -

Aceleração Escalar:Aceleração Escalar:

Aceleração Escalar Média:Aceleração Escalar Média: Consideremos um carro cujo velocímetro indica, num certo instante, uma velocidade

de 10 km/h. Se, por exemplo, 1 s após pisar no acelerador o velocímetro indicar 30 km/h, podemos afirmar que a

velocidade do carro aumentou de 20 km/h em 1 s. Assim, dizemos que o carro recebeu uma aceleração.

A aceleração é relacionada com uma variação de velocidade. Para definirmos a aceleração escalar média,

vamos considerar um móvel percorrendo a trajetória da figura:

Observando a velocidade escalar de um móvel em movimento, podemos afirmar:

• se a velocidade for constante, isto é, for sempre a mesma, o movimento será uniformeuniforme;

• se a velocidade variar, isto é, não for sempre a mesma, o movimento será variadovariado.

Num certo intervalo de tempo de um movimento variado pode ocorrer aumento ou diminuição da velocidade,

com maior ou menor rapidez.

A aceleração escalar média mede a rapidez dessa variação da velocidade.

A aceleração escalar média é A aceleração escalar média é numericamente igual ànumericamente igual à

variação de velocidade na unidade de tempo.variação de velocidade na unidade de tempo.

Aceleração Escalar Instantânea:Aceleração Escalar Instantânea: A aceleração escalar média indica o que ocorre com a velocidade num intervalo

de tempo. Para o conhecimento mais preciso do comportamento da velocidade dentro desse intervalo de tempo, ou

seja, em cada instante, é necessário reduzi-lo cada vez mais, aproximando-o do zero.

Assim, chega-se ao valor da aceleração instantânea, cuja definição é:

v1: velocidade no instante t1.

v2: velocidade no instante t2.

∆v = v2 – v1: variação de velocidade.∆t = t2 – t1: intervalo de tempo na variação ∆v.

Define-se como aceleração escalar média, entre os

instantes t1 e t2, a grandeza am, dada por:

12

12m tt

vvΔtΔv

a−

−==

A unidade de aceleração no SI é o

metro por segundo ao quadrado (m/s2).

A aceleração escalar instantânea é o limite

para o qual tende a aceleração escalar média

quando ∆t tende a zero.

m0Δt0Δtalim

ΔtΔv

lima→→

==

- 100100 -

De acordo com os sinais da velocidade e da aceleração, podemos ter dois tipos de movimento: movimentomovimento

aceleradoacelerado e movimento retardadomovimento retardado.

• Movimento Acelerado:Movimento Acelerado: quando o módulo da velocidade aumenta no decorrer do tempo. Isso ocorre quando a

velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal.

Movimento Acelerado: vMovimento Acelerado: v a > 0 a > 0

Por exemplo, um carro percorrendo a trajetória no sentido indicado na figura e o motorista pisando no

acelerador.

• Movimento Retardado:Movimento Retardado: quando o módulo da velocidade diminui no decorrer do tempo. Isso ocorre quando a

velocidade e a aceleração têm sinais contrários.

Movimento Retardado: vMovimento Retardado: v a < 0 a < 0

Por exemplo, um carro freando ao se aproximar de uma pessoa.

t (h)t (h) 0 1 2 3 4 5

v (km/h)v (km/h) 20 40 60 80 100 120

v > 0

a > 0v ⋅ a > 0

t (h)t (h)0 1 2 3 4 5

v (km/h)v (km/h) 80 70 60 50 40 30

v > 0

a < 0v ⋅ a < 0

- 101101 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Uma pessoa movimenta-se do ponto A para o ponto C e depois para D, descrevendo a trajetória da figura.

a)a) Qual a posição inicial da pessoa? E a posição final?b)b) Qual o módulo do deslocamento efetuado pela pessoa?

c)c) Quantos metros ela percorreu no total?

E02.E02. Dizemos que os conceitos de movimento e repouso são relativos, pois dependem do sistema de referência

estabelecido. Com base nisso é correto afirmar que:

I)I) um corpo parado em relação a um referencial pode estar em movimento em relação a outro referencial.

II)II) um livro colocado sobre uma mesa está em repouso absoluto, pois, para qualquer referencial adotado, sua

posição não varia com o tempo.

III)III) em relação a um edifício, o elevador estacionado no terceiro andar está em repouso. Porém, em relação ao

Sol, o mesmo elevador encontra-se em movimento.

E03.E03. Observe as figuras abaixo e, em cada caso, classifique o movimento em progressivo ou retrógrado e em

acelerado ou retardado.

- 102102 -

E04.E04. A tabela indica a posição de um móvel, no decorrer do tempo, sobre uma trajetória retilínea. Determine o

deslocamento efetuado pelo móvel entre os instantes:

E05.E05. A tabela mostra os valores dos instantes t, em segundos, e das posições s, em metros, referentes ao movimento

de um ponto material sobre uma trajetória retilínea.

a)a) Verifique se houve mudança de sentido do movimento.

b)b) Qual o espaço percorrido de 0 a 6 s?

c)c) Qual o módulo do deslocamento de 0 a 6 s?

E06.E06. Um ônibus sai de São Paulo às 8 horas e chega a Jabuticabal, que dista 350 km da capital, às 11h 30min. No

trecho de Jundiaí a Campinas, de aproximadamente 45 km, a sua velocidade foi constante e igual a 90 km/h.

a)a) Qual a velocidade média, em km/h, no trajeto São Paulo — Jabuticabal?b)b) Em quanto tempo o ônibus cumpre o trecho Jundiaí — Campinas?

E07.E07. Um dos fatos mais significativos nas corridas de automóveis é a tomada de tempos, isto é, a medida do intervalo

de tempo gasto para dar uma volta completa no circuito. O melhor tempo obtido no circuito de Susuka, no Japão,

pertenceu ao austríaco Gerard Berger, piloto da equipe McLaren, que percorreu os 5.874 m da pista em cerca de 1min

42s. Com base nesses dados, responda:

a)a) 0 e 2 s

b)b) 4 s e 9 s

- 103103 -

a)a) qual o deslocamento do automóvel de Gerard Berger no intervalo de tempo correspondente a uma volta completa

no circuito?

b)b) qual a velocidade escalar média desenvolvida pelo carro do piloto austríaco, em sua melhor volta no circuito?

E08.E08. Se um ônibus durante uma viagem entre duas cidades, distantes 400 km, gasta exatamente 5 horas, qual valor

de sua velocidade média?

E09.E09. Durante uma viagem de carro, você observa que passou pelo km 20, às 7h e pelo km 170, às 10h. No km 100,

uma pequena parada de 10 minutos foi feita para descanso. Determine a velocidade escalar média no intervalo de

tempo das 7h às 10h.

E10.E10. Um motociclista percorre 54 km em 30 minutos. Determine sua velocidade escalar média, expressando-a em

km/h e m/s.

E11.E11. Em uma corrida, um atleta percorre 3600 m em 12 minutos. Determine sua velocidade escalar média em m /s e

km/h.

E12.E12. Um ciclista profissional, em treinamento, pedalou 5000 m, mantendo uma velocidade constante de 36 km/h.

Calcule o intervalo de tempo, em segundos, gasto para percorrer essa distância.

E13.E13. Um fabricante de veículos anuncia que seu carro faz do repouso até atingir 108 km/h em apenas 10 segundos.

Determine, em unidades do SI, a aceleração escalar média deste carro.

E14.E14. Um carro com velocidade constante de 90 km/h, trafega por uma avenida, quando, em um certo instante, o

motorista percebe o sinal vermelho à sua frente. Imediatamente aciona os freios, parando em 5 segundos. Determine

a aceleração adquirida pelo carro em m/s2 e diga o significado do sinal negativo encontrado.

E15.E15. Um estudante de Física foi aferido por seu professor da seguinte forma: “A Terra está em movimento ou em

repouso?”. Obteve como resposta: “Depende do referencial adotado”.

A esse respeito, julgue os itens a seguir:

I)I) Um passageiro que viaja sentado numa poltrona em um trem em movimento está em repouso quando o

sistema de referência é o próprio trem.

II)II) Um cachorro que acabou de fazer xixi num poste se afasta dele. O posto está em repouso em relação ao

cachorro, pois não pode segui-lo.

III)III) Um ponto material qualquer está em movimento em relação a um determinado referencial quando sua

posição nesse referencial varia no decurso do tempo.

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01. a)E01. a) si = -40 m e sf = -120 m b)b) 80 m c)c) 320 m

- 104104 -

E02.E02. I e III

E03. a)E03. a) Movimento Progressivo e Retardado b)b) Movimento Retrógrado e Acelerado

c)c) Movimento Retrógrado e Acelerado d)d) Movimento Progressivo e Retardado

E04. a)E04. a) 12 m b)b) 30 m

E05. a)E05. a) Não, movimento retrógrado. b)b) 110 m c)c) 110 m

E06. a)E06. a) 100 km/h b)b) 30 min

E07. a)E07. a) 5874 m b)b) 207,36 km /h

E08.E08. 80 km/h

E09.E09. 50 km/hE10.E10. 30 m/s

E11.E11. 18 km/h

E12.E12. 500 s

E13.E13. 3 m/s2

E14.E14. -5 m/s2, o que significa que o módulo da velocidade está diminuindo no decorrer do tempo.

E15.E15. V – F – V

TestesTestes

T01.T01. (UFMS) Um corredor percorre 0,2 km em linha reta, em um intervalo de tempo de 6,0 minutos. Qual é a sua

velocidade média em km/h?

a)a) 1 b)b) 2 c)c) 3 d)d) 4 e)e) 5

T02.T02. (ESPM-SP) A distância da faculdade até a zona leste da cidade é de 24 km. Considerando a velocidade máxima

permitida de 80 km/h, quantos minutos, no mínimo, uma pessoa deve gastar no percurso em trânsito completamente

livre?

a)a) 10 b)b) 12 c)c) 14 d)d) 16 e)e) 18

T03.T03. (Cesgranrio-RJ) Uma pessoa, correndo, percorre 4,0 km com velocidade escalar média de 12 km/h. O tempo do

percurso é de:

a)a) 3,0 min b)b) 8,0 min c)c) 20 min d)d) 30 min e)e) 33 min

T04.T04. (PUC-MG) Num passeio promovido pelo Jeep Clube de Minas Gerais, o navegador recebe uma planilha em que

se diz que um trecho de 10 km deve ser percorrido a velocidade média de 30 km/h. Se o veículo iniciar o trajeto às

11h00min, ele deverá chegar ao final do referido trecho às:

a)a) 11h30min b)b) 11h10min c)c) 12h40min d)d) 11h20min e)e) 14h00min

- 105105 -

T05.T05. (FEI-SP) Um carro faz uma viagem de 200 km a uma velocidade média de 40 km/h. Um segundo carro, partindo

uma hora mais tarde, chega ao ponto de destino no mesmo instante que o primeiro. Qual é a velocidade média do

segundo carro?

a)a) 45 km/h b)b) 50 km/h c)c) 55 km/h d)d) 60 km/h e)e) 80 km/h

T06.T06. Um objeto percorre 250 m de um trajeto com uma velocidade média de 25 m/s e os 50 m restantes com uma

velocidade média de 10 m/s. Determine a velocidade média no percurso total.

a)a) 12,5 m/s b)b) 15 m/s c)c) 17,5 m/s d)d) 20 m/s e)e) 22,5 m/s

T07.T07. Quando um motorista aumenta a velocidade escalar de seu automóvel de 60 km/h para 78 km/h em 10 s, ele

está comunicando ao carro uma aceleração escalar média, em m/s2, de:

a)a) 18 b)b) 0,2 c)c) 5 d)d) 1,8 e)e) 0,5

T08.T08. (FGV-SP) Um avião parte do repouso e depois de 20 s decola com velocidade de 360 km/h. Admitindo-se

constante a aceleração, qual o seu valor, em m/s2?

a)a) 2 b)b) 5 c)c) 10 d)d) 18 e)e) 72

T09.T09. (UFPE) Durante o teste de desempenho de um novo modelo de automóvel, o piloto percorreu a primeira metade

da pista na velocidade média de 60 km/h e a segunda metade a 90 km/h. Qual a velocidade média desenvolvida

durante o teste completo, em km/h?

a)a) 50 b)b) 65 c)c) 72 d)d) 80 e)e) 92

Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:

01. B01. B

02. E02. E

03. C03. C

04. D04. D

05. B05. B

06. D06. D

07. E07. E

08. B08. B

09. C09. C

- 106106 -

00 MIME!TS RETIL!ESMIME!TS RETIL!ES

Movimento UniformeMovimento Uniforme

No nosso cotidiano, é muito comum exemplos de vários tipos de movimento. Basta olharmos para qualquer

lugar e sempre observaremos alguém ou algo se deslocando. Neste momento, interessa-nos um destes movimentos

em especial, o Movimento Uniforme.

Para entendermos um pouco melhor, imagine alguns exemplos:

• Um ônibus que em um trecho curto da viagem consegue manter a velocidade constante de 80 km /h.

• Um avião, no meio do caminho entre Porto Alegre e Recife, onde o piloto automático é ligado e a velocidade

se mantêm constante em 350 km/h.

• Um metrô em movimento entre duas estações, após adquirir sua velocidade máxima, a mantém constante

durante certo tempo em 36 km/h, até se aproximar da próxima estação onde precisará diminuir essa velocidade

até parar por completo.

Poderíamos citar vários outros exemplos, mas já podemos observar que em todos eles, sempre citamos que

durante um certo tempo (para nós é mais correto dizer: intervalo de tempo), a velocidade do objeto se manteve

constante, isto é, não mudou. Todos esses movimentos são, portanto, exemplos de Movimento Uniforme.

No movimento uniforme, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais.

O movimento da Terra em torno do seu eixo, o movimento dos ponteiros de um relógio também são exemplos

bem próximos de movimento uniforme. Na prática, os movimentos não são perfeitamente uniformes.

Se a trajetória for retilínea, o movimento será chamado movimento retilíneo e uniforme (MRU).

7.1.17.1.1 Funções HoráriasFunções Horárias

Conhecidas as características do movimento, vamos agora estabelecer as leis que regem o movimento

uniforme. Se a forma da trajetória for conhecida, essas leis permitirão determinar, em cada instante, a posição, a

velocidade e a aceleração de um corpo em movimento.

Posição em função do tempo [s = f(t)]Posição em função do tempo [s = f(t)]

Seja um móvel percorrendo com movimento uniforme (velocidade escalar constante igual a v) a trajetória dafigura.

- 107107 -

• s0: a posição do móvel no instante t0 = 0.

• s: a posição do móvel no instante t.

A velocidade escalar média do móvel no intervalo de tempo ∆t = t - t0 = t é:

0

0m tt

ssΔtΔsv

−−== , em que vm = v = constante.

s = ss = s00 + v + v tt

A função horária das posições de um móvel em movimento uniforme em relação ao tempo é função do 1º grau.

Essa função permite obter a posição de um móvel em movimento em qualquer instante.

Velocidade em função do tempo [v = f(t)]Velocidade em função do tempo [v = f(t)]

v = f(t) = constante ≠ 0 (o móvel tem, em toda trajetória, a velocidade do início do movimento).

Aceleração em função do tempo [v = f(t)]Aceleração em função do tempo [v = f(t)]

a = f(t) = 0 (não existe variação de velocidade durante o movimento)

Conclusões sobre o Movimento Uniforme:Conclusões sobre o Movimento Uniforme:

• Em intervalo de tempos iguais, o móvel realiza deslocamentos iguais.

• Para qualquer instante de tempo, a velocidade instantânea é sempre

igual à velocidade média do móvel.

• A aceleração de um móvel em Movimento Uniforme é nula, pois não

houve variação na velocidade.

• Se a trajetória for uma linha reta, o movimento é chamado de

Movimento Retilíneo e Uniforme (MRU).

- 108108 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Um caminhão movimenta-se sobre uma trajetória retilínea segundo a função horária s = 10 + 2t (no SI).

Determine:

a)a) a posição inicial;

b)b) a velocidade;

c)c) a posição no instante t = 3s;d)d) o espaço percorrido após 6s;

e)e) o instante em que o ponto material passa pela posição 36 m;

E02.E02. Um móvel desloca-se com movimento retilíneo segundo à lei horária s = 20 + 8t (no SI). Determine:

a)a) a posição inicial do móvel;

b)b) a posição do móvel quando t = 5 s;

c)c) o instante em que o móvel passa pela posição 100 m;

d)d) a distância percorrida pelo móvel durante o 10º segundo;

e)e) o módulo do deslocamento e do espaço percorrido pelo móvel no intervalo de 5 s a 20 s.

E03.E03. Um ciclista A está com velocidade constante vA = 36 km/h, um outro ciclista B o persegue com velocidadeconstante vB = 38 km/h. Num certo instante, a distância que os separa é 80 m.

a)a) A partir desse instante, quanto tempo o ciclista B levará para alcançar o A?

b)b) Determine a posição dos ciclistas quando se encontrarem.

c)c) Calcule a distância que cada ciclista percorreu até o encontro.

E04.E04. Dois motociclistas A e B percorrem uma mesma pista retilínea representada pelo eixo orientado.

No início da contagem dos tempos suas posições são A = 10 m e B = 80 m. Ambos percorrem a pista no sentido

positivo do eixo com velocidades constantes, sendo vA = 30 m/s e vB = 20 m/s. Pedem-se:

a)a) o instante em que A alcança B;

b)b) a posição do encontro em relação ao marco zero da pista.

- 109109 -

E05.E05. Quanto tempo gasta um trem com 400 m de comprimento e velocidade de 20 m/s, para atravessar um túnel de

1.800 m de comprimento?

E06.E06. Um trem viaja por estrada retilínea com velocidade constante de 36 km/h. Calcule o comprimento do trem,

sabendo que ele leva 15 s para atravessar uma ponte de 60 m de comprimento.

E07.E07. Os móveis A, B e C partem de um mesmo ponto, com movimento retilíneo uniforme, em momentos diferentes.

B parte 2 minutos após A, e ambos desenvolvem a mesma velocidade. C parte por último, gastando 10 minutos para

alcançar B e mais 5 minutos para alcançar A. Determine, em minutos, o tempo decorrido entre a partida de A e a de

C.

E08.E08. No instante t0 = 0, a distância entre dois carros A e B é de 375 km. Eles se movem um ao encontro do outro

com velocidades constantes e de módulos respectivamente iguais a 60 km/h e 90 km/h, descrevendo uma mesma

trajetória retilínea.

Com a trajetória orientada conforme indica a figura e adotando como srcem dos espaços a posição inicial de A,

pedem-se:

a)a) as funções horárias dos espaços que descrevem os movimentos dos carros A e B;b)b) o instante em que os carros se encontram;

c)c) a posição do ponto de encontro.

E09.E09. Dois trens, A e B, de comprimentos iguais a 40 m e 50 m, respectivamente, percorrem linhas retilíneas e

paralelas com movimentos uniformes e velocidades constantes: vA = 90 km/h e v B = 72 km/h. Determine o tempo

gasto durante a ultrapassagem, sabendo que eles se movem em sentidos contrários.

E10.E10. Um móvel realiza um movimento uniforme num determinado referencial. Seus espaços variam com o tempo

segundo os dados da tabela:

t(s)t(s) 0 1 2 3 4 5

s(m)s(m) 160 120 80 40 0 -40

a)a) Determine o espaço inicial s0 e a velocidade escalar v do movimento.

b)b) O movimento é progressivo ou retrógrado?

c)c) Qual é a função horária do movimento?

- 110110 -

E11.E11. É dada a função horária do movimento de um móvel s = 100 + 80 t, onde s é medido em metros e t em segundos.

Determine:

a)a) o espaço inicial e a velocidade escalar;

b)b) o espaço quando t = 2s;

c)c) o instante em que o móvel se encontra a 500 m da srcem dos espaços;

d)d) se o movimento é progressivo ou retrógrado.

E12.E12. É dada a função horária do movimento de um móvel S = 60 – 12t, na qual s é medido em quilômetros e t em

horas. Determine:a)a) o espaço inicial e a velocidade escalar;

b)b) o espaço quando t = 3 h.

c)c) o instante em que o móvel passa pela srcem dos espaços;

d)d) se o movimento é progressivo ou retrógrado.

E13.E13. Dois móveis percorrem a mesma trajetória e seus espaços estão medidos a partir do marco escolhido na

trajetória. Suas funções horárias são:

SA = 30 – 80t e S B = 10 + 20t

Nestas funções, t é o tempo em horas e SA e SB são os espaços em quilômetros.

Determine o instante e a posição de encontro.

E14.E14. Duas pessoas partem simultaneamente de um mesmo ponto, seguindo trajetórias perpendiculares entre si, com

velocidades escalares constantes de 1,2 m/s e 0,9 m/s, respectivamente. Determine a distância que as separa após 10s.

E15.E15. Duas pequenas esferas A e B percorrem uma mesma trajetória retilínea com movimentos uniformes e

velocidades escalares 8,0 m/s e 6,0 m/s, respectivamente. No instante t = 0s, as esferas estão posicionadas conforme

a figura abaixo.

Determine em que instantes a distância entre as esferas é de 4,0 m

E16.E16. Um atirador aponta para um alvo e dispara um projétil, que sai da arma com velocidade de 300 m/s. O impacto

do projétil no alvo é ouvido pelo atirador 3,2 s após o disparo. Sendo de 340 m/s a velocidade de propagação do som

no ar, calcule a distância do atirador ao alvo.

E17.E17. Durante um nevoeiro, um navegador recebe dois sinais expedidos simultaneamente por um posto na costa, um

deles através do ar e outro através da água. Entre as recepções dos dois sons, decorre o intervalo de tempo ∆t = 4 s.

- 111111 -

Nas condições de experiência, a velocidade do som tem as grandezas 300 m/s no ar e 1.500 m/s na água. Determine

a distância entre o barco e o posto emissor dos sinais, conforme os dados acima.

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01. a)E01. a) 10 m b)b) 2 m/s c)c) 16 m d)d) 12 m e)e) 13 s

E02. a)E02. a) 20 m b)b) 60 m c)c) 10 s d)d) 80 m e)e) 120 m

E03. a)E03. a) 144 s b)b) 1520 m c)c) A: 1440 m e B: 120 m

E04. a)E04. a) 7 s b)b) 220 mE05.E05. 1min 50s

E06.E06. 90 m

E07.E07. 12,14 min

E08. a)E08. a) sA = 60t; sB = 375 – 90t b)b) 2,5 h c)c) 150 km

E09.E09. 2 s

E10. a)E10. a) 160 m; -40 m/s b)b) Retrógrado c)c) s = 160 – 40t

E11.E11. a)a) 100 m e 80 m/s b)b) 260 m c)c) 6,25 s d)d) Progressivo

E12. a)E12. a) 60 km e -12 km/h b)b) 24 km c)c) 5 h d)d) Retrógrado

E13.E13. 0,2 h e 14 km

E14.E14. 15 m

E15.E15. 3,0 s; 7,0 s

E16.E16. 510 m

E17.E17. 1.500 m

- 112112 -

TestesTestes

T01.T01. Dois móveis partem simultaneamente de dois pontos, A e B, e deslocam-se em movimento uniforme sobre a

mesma reta, de A para B, com velocidades escalares de 20 m/s e 15 m/s. Se o encontro ocorre 50 s após a partida,

podemos afirmar que a distância inicial entre os mesmos era de:

a)a) 250 m b)b) 500 m c)c) 750 m d)d) 900 m e)e) 1025 m

T02.T02. Dois móveis, ambos com movimento uniforme, percorrem uma trajetória retilínea conforme mostra a figura.

Em t = 0, eles se encontram, respectivamente, nos pontos A e B na trajetória. As velocidades escalares dos móveis

são VA = 50 m/s e VB = 30 m/s no mesmo sentido.

Em qual ponto da trajetória ocorrerá o encontro dos móveis?

a)a) 200 m b)b) 225 m c)c) 250 m d)d) 300 m e)e) 150 m

T03.T03. Um movimento uniforme é descrito por s = 20 + 5t, onde s está em metros e t em segundos. O espaço inicial,a velocidade e o tipo de movimento serão, respectivamente:

a)a) 20 m, 5 m/s, movimento progressivo;

b)b) 5 m, 20 m/s, movimento progressivo;

c)c) 20 m, 5 m/s, movimento retrógrado;

d)d) 5 m, 20 m/s, movimento retrógrado;

e)e) 20 m, 5t m /s, movimento progressivo.

T04.T04. A tabela fornece, em vários instantes, a posição s de um automóvel em relação ao km zero da estrada em que

se movimenta.

t(h)t(h) 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

s(km)s(km) 200 170 140 110 80 50

A função horária que nos indica a posição do automóvel, com as unidades fornecidas, é:

a)a) s = 200 + 30t b)b) s = 200 – 30t c)c) s = 200 + 15t d)d) s = 200 – 15t e)e) s = 200 – 15t 2

- 113113 -

T05.T05. (UFPA) O gráfico representa os deslocamentos de duas partículas, A e

B. Pela interpretação do gráfico, podemos garantir que:

a)a) as partículas partem de pontos diferentes com velocidades diferentes;

b)b) as partículas partem de pontos diferentes com a mesma velocidade;

c)c) as partículas partem do mesmo ponto com velocidades diferentes;

d)d) as partículas partem do mesmo ponto com a mesma velocidade;

e)e) as partículas partem de pontos diferentes com velocidades distintas e conservam suas velocidades.

T06.T06. (Fuvest-SP) Um automóvel faz uma viagem em 6,0 h e sua velocidadeescalar varia em função do tempo aproximadamente como mostra o gráfico.

A velocidade escalar média do automóvel na viagem é de:

a)a) 35 km/h b)b) 40 km/h c)c) 45 km/h d)d) 48 km/h e)e) 50 km/h

T07.T07. Qual é o tempo gasto para que uma composição de metrô de 200 m, a uma velocidade de 180 km/h, atravesse

um túnel de 150 m, expressando sua resposta em segundos?

a)a) 5 b)b) 6 c)c) 7 d)d) 8 e)e) 9

T08.T08. Dois móveis A e B percorrem uma mesma trajetória e suas posições são dadas, a partir da mesma srcem dos

espaços, por SA = -30 + 10t e SB = -10 – 10t (com S em metros e t em segundos). O instante e a posição de encontrosão iguais, respectivamente, a:

a)a) 1s; -20 m b)b) 2s; -10 m c)c) 3s; -40 m d)d) 4s; 20 m e)e) 5s; -60 m

T09.T09. (UFRN) Um trem parte de Natal com destino a Recife às 6h, com velocidade constante de 60 km/h.

Uma hora depois, parte de Natal, numa linha paralela, um segundo trem,

mantendo uma velocidade constante de 75 km/h. Sabendo que a distância Natal-

Recife é de 300 km, podemos afirmar que:

a)a) o segundo trem ultrapassará o primeiro a 70 km de Recife;

b)b) o segundo trem ultrapassará o primeiro a 80 km de Recife;

c)c) o segundo trem ultrapassará o primeiro a 100 km de Recife;

d)d) o segundo trem ultrapassará o primeiro a 120 km de Recife;

e)e) os dois trens chegarão a Recife ao mesmo tempo.

Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:

01. A01. A

02. D02. D

03. A03. A

04. D04. D

05. A05. A06. B06. B

07. C07. C

08. A08. A

09. E09. E

60

30

- 114114 -

Movimento Uniformemente VariadoMovimento Uniformemente Variado

Nos movimentos que observamos diariamente, as velocidades em geral não permanecem constantes, variando,

portanto, no decorrer do tempo. São os chamados movimentos variadosmovimentos variados.

Por outro lado, se num movimento a velocidade variar uniformemente no decorrer do tempo, isto é, se

ocorrerem variações de velocidade sempre iguais em intervalos de tempo iguais, o movimento será denominado

movimento uniformemente variadomovimento uniformemente variado (MUV).

Para que isso ocorra em qualquer intervalo de tempo, a aceleração escalar média deve ser constante, diferente

de zero e igual à aceleração escalar instantânea.

aamm = a = constante = a = constante 0 0

Observe a tabela, ao lado, que registra a velocidade indicada pelo velocímetro de um

automóvel no decorrer do tempo.

Note que a partir da velocidade inicial v0 = 8 km/h, a velocidade varia de 4 km/h a cada

segundo decorrido. Portanto, a aceleração escalar média é igual à aceleração escalar

instantânea.

s4km/h

a 01812

a ΔtΔv

aa m =→−

−=→==

Então, esse automóvel executa um movimento uniformemente variado.

No caso de a trajetória ser retilínea, o movimento será denominado movimento retilíneo uniformementemovimento retilíneo uniformemente

variadovariado (MRUV).

7.2.17.2.1 Funções HoráriasFunções Horárias

Vamos estudar agora as funções que permitem a descrição matemática de um movimento uniformemente

variado.

Velocidade em função do tempo [v = f(t)]Velocidade em função do tempo [v = f(t)]

Seja um móvel percorrendo, com movimento uniformemente variado, a trajetória da figura.

tt (s) vv

(km/h) 0 8

1 12

2 16

3 20

4 24

5 28

6 32

No movimento uniformementeNo movimento uniformementevariado a velocidade escalarvariado a velocidade escalar

é variável e a aceleração escalar éé variável e a aceleração escalar é

constante e não-nula.constante e não-nula.

- 115115 -

• v0: a velocidade do móvel no instante t0 = 0.

• v: a velocidade do móvel no instante t.

A aceleração média do móvel no intervalo de tempo ∆t = t – t 0 = t é:

0

0m tt

vvΔtΔv

a−

−== , em que am = a = constante.

atvvtvv

a 00 +=→

−= v = vv = v00 + a + a tt

Observe que essa é uma função polinomial do 1º grau em relação à t.

Posição em função do tempo [s = f(t)]Posição em função do tempo [s = f(t)]

Seja um móvel percorrendo, com MUV, a trajetória da figura.

• s0: posição do móvel no instante t0 = 0.

• v0: velocidade do móvel no instante t0 = 0.

• s: posição do móvel no instante t.

• v: a velocidade do móvel no instante t.

• a: aceleração.

O gráfico da função v = v0 + at, representado por uma reta, é uma

função polinomial do 1º grau.

A área do trapézio fornece o espaço percorrido ∆s no intervalo de tempo ∆t = t – t 0.

ss

tt

vv

vv00

0

vv

tt

- 116116 -

t2

vvs 0 ⋅

+=∆ ()

Como v = v0 + at e ∆s = s – s 0, substituindo em (), temos:

t2

vatvss 00

0 ⋅++

=− → 2

attv2ss

20

0

+=− → 22

0000 atat2211

ttvvssss ++=

Observe que esta é uma função polinomial do 2º grau em relação a t.

Aceleração em função do tempo [a = f(t)]Aceleração em função do tempo [a = f(t)]

a = f(t) = constante ≠ 0

Portanto, a aceleração (variação da velocidade) em todo o percurso é a mesma do início dele.

Lei de Torricelli:Lei de Torricelli:

Temos até agora duas funções que nos permitem saber a posição do móvel e a sua velocidade em relação ao

tempo. Torna-se útil encontrar uma fórmula que possibilite conhecer a velocidade de um móvel sem saber o tempo.

A fórmula de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo móvel. É obtida eliminando-se o

tempo entre as funções horárias da posição e da velocidade.

200 at

21

tvss ++= (11) atvv 0 += (22)

Isolando-se o tempo t em (22):a

v-vt 0=

Substituindo-se t em (11):

Δsa2vv

)s(sa2vv

vv)s(sa2

vvv2vv2v-v2)s(sa2

a2

vvv2v

a

vv-vss

a

vvv2v

2a

a

vv-vss

a

vv-a

21

a

vv-vss

20

2

02

02

2200

200

22000

200

2200

0

2

200

2200

0

200

00

⋅+=

−⋅+=

+−=−⋅

+−+=−⋅

+−+=−

+−⋅+=−

⋅+⋅+=

Δss2a2avvvv 22

0022 ⋅+=

- 117117 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Um ciclista desloca-se numa trajetória retilínea segundo a função horária s = −24 – 5t + t 2 (no SI).

a)a) Qual o tipo de movimento executado pelo ciclista: MU ou MUV?

b)b) Qual a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração do ciclista?

c)c) Determine a função horária da velocidade do ciclista.

d)d) Dê o instante em que o ciclista passa pela srcem das posições da trajetória.

E02.E02. Um automóvel está parado diante de um semáforo. Imediatamente após o sinal ter aberto, um caminhão o

ultrapassa com velocidade constante de 20 m/s. Nesse exato instante, o motorista do automóvel arranca com uma

aceleração de 4 m/s2 em perseguição ao caminhão.

a)a) Após quanto tempo o automóvel alcançará o caminhão?

b)b) Quantos metros terá percorrido o automóvel?

E03.E03. Um móvel desloca-se sobre uma reta, obedecendo à função horária s = 6 – 5t + t 2 (no SI). Determine:

a)a) a função v = f(t);

b)b) o instante em que o móvel inverte o sentido do seu movimento;

c)c) o espaço percorrido entre os instantes 4s e 9s.

E04.E04. Com a vigência do novo Código Brasileiro de Trânsito, atravessar um sinal vermelho constitui infração

gravíssima. Ao perceber um semáforo fechado à frente, o motorista de um carro, movendo-se a 20 m/s, aplica a este

uma desaceleração de 5 m/s2. Determine:

a)a) o tempo gasto durante a freada;

b)b) a distância mínima do carro ao semáforo para não ocorrer a infração.

E05.E05. Um motorista está dirigindo um automóvel a uma velocidade de 54 km/h. Ao ver o semáforo fechado, pisa no

freio. A aceleração máxima para que o automóvel não derrape tem módulo igual a 5 m/s 2. Qual a menor distância

que o automóvel irá percorrer, sem derrapar e até parar, a partir do instante em que o motorista aciona o freio?

E06.E06. Ao iniciar a travessia de um túnel retilíneo de 200 m de comprimento, um automóvel de dimensões desprezíveis

movimenta-se com velocidade de 25 m/s. Durante a travessia, desacelera uniformemente, saindo do túnel com

velocidade de 5 m/s. Qual o módulo de sua aceleração escalar nesse percurso?

E07.E07. Um veículo parte de um ponto A para um ponto B e gasta 40 s nesse percurso, com uma aceleração de 3 m/s 2

e velocidade inicial de 4 m/s. Qual a distância entre os pontos A e B?

- 118118 -

E08.E08. Uma bala, que se move a uma velocidade escalar de 200 m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre

um muro, é desacelerada uniformemente até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco,

se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10 cm?

E09.E09. Uma norma de segurança sugerida pela concessionária de uma auto-estrada recomenda que os motoristas que

nela trafegam mantenham seus veículos separados por uma “distância” de 2 s.

a)a) Qual é essa distância, expressa adequadamente em metros, para veículos que percorram a estrada com a velocidade

constante de 90 km/h?

b)b) Suponha que, nessas condições, um motorista freie bruscamente seu veículo até parar, com aceleração constante

de módulo 5 m/s2, e o motorista de trás só reaja, freando seu veículo, depois de 0,5 s. Qual deve ser a aceleração

mínima do veículo de trás para não colidir com o da frente?

E10.E10. A velocidade de um móvel em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, obedece à função horária v = 2

+ 3t, com as unidades no SI. Para este móvel, determine:

a)a) a velocidade escalar inicial e a aceleração escalar;

b)b) a velocidade 10 segundos após o início do movimento;

c)c) se o movimento é acelerado ou retardado no instante 10 s.

E11.E11. O espaço de um móvel em MRUV obedece à função horária s = 4 + 3t + 2t 2, com unidades no SI. Para este

móvel, determine:

a)a) o espaço inicial;

b)b) a velocidade escalar inicial;

c)c) a aceleração escalar;

d)d) o espaço ocupado após 2 segundos de movimento.

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01. a)E01. a) MUV b)b) −24m, −5 m/s, 2 m/s2 c)c) v = -5 + 2t d)d) 8s

E02. a)E02. a) 10 s b)b) 200 m

E03. a)E03. a) v = −5 + 2t b)b) 2,5 s c)c) 40 m

E04. a)E04. a) 4s b)b) 40 m

E05.E05. 22,5 m

E06.E06. 1,5 m/s2 E07.E07. 2560 m

E08.E08. 10-3 s

E09. a)E09. a) 50 m b)b) 3,125 m/s2

E10. a)E10. a) 2 m/s, 3 m/s2 b)b) 32 m/s c)c) Acelerado

E11. a)E11. a) 4 m b)b) 3 m/s c)c) 4 m/s2 d)d) 18 m

- 119119 -

TestesTestes

T01.T01. A equação horária do m ovimento de um móvel é dada por s = 12 – 2t + 4t 2. A equação da velocidade escalar

desse móvel será:

a)a) v = 12 – 2t b)b) v = 8t – 2 c)c) v = 2 + 4t d)d) v = -2 + 2t e)e) v = 12 – 4t

T02.T02. Um móvel efetua um movimento retilíneo uniformemente variado obedecendo à função horária s = 10 + 10t –

5t2, onde o espaço s é medido em metros e o instante t em segundos. A velocidade do móvel no instante t = 4 s, em

m/s, vale:a)a) 50 b)b) 20 c)c) 0 d)d) -20 e)e) -30

T03.T03. Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera a 2 m/s2. Pode-se dizer que sua velocidade e a

distância percorrida, após 3 s, valem, respectivamente:

a)a) 6m/s; 9m b)b) 6m/s; 18m c)c) 3m/s; 12m d)d) 12m/s; 36m e)e) 2m/s; 12m

T04.T04. (PUC-PR) Um móvel parte do repouso e desloca-se em

movimento retilíneo sobre um plano horizontal. O gráfico representa

a aceleração (a) em função do tempo (t).

Sabendo-se que no instante t = 0 a velocidade do móvel é nula,

calcular a velocidade no instante t = 5s.

a)a) 36 m/s b)b) 6 m/s c)c) 24 m/s d)d) 15 m/s e)e) 30 m/s

T05.T05. Um móvel tem movimento com velocidade descrita pelo gráfico

abaixo.

Após 10 s, qual será sua distância do ponto de partida?

a)a) 500 m b)b) 20 m c)c) 75 m d)d) 25 m e)e) 100 m

T06.T06. (UFRGS) Um automóvel que anda com velocidade escalar de 72 km/h é freado de tal forma que, 6,0 s após oinício da freada, sua velocidade escalar é de 8,0 m/s. O tempo gasto pelo móvel até parar e a distância percorrida até

então valem, respectivamente:

a)a) 10s; 100m b)b) 10s; 200m c)c) 20s; 100m d)d) 20s; 200m e)e) 5s; 150m

aa (m/s2)

tt (s) 0 5

vv (m/s)

tt (s) 0 5

10 •

6

- 120120 -

T07.T07. (UFSC) Um carro está a 20 m de um sinal de tráfego quando este passa de verde a amarelo. Supondo que o

motorista acione o freio imediatamente, aplicando ao carro uma desaceleração de 10 m/s2, calcule, em km/h, a

velocidade máxima que o carro pode ter, antes de frear, para que ele pare antes de cruzar o sinal.

a)a) 36 b)b) 54 c)c) 72 d)d) 90 e)e) 108

T08.T08. (UEPB) Dois automóveis, A e B, deslocam-se um em direção ao outro numa competição. O automóvel A

desloca-se a uma velocidade de 162 km/h; o automóvel B, a 108 km/h. Considere que os freios dos dois automóveis

são acionados ao mesmo tempo e que a velocidade diminui a uma razão de 7,5 m/s, em cada segundo. Qual é a menor

distância entre os carros A e B para que eles não se choquem ?

a)a) 135 m b)b) 60 m c)c) 210 m d)d) 195 m e)e) 75 m

T09.T09. (UEL-PR) Um corpo é abandonado a partir do repouso e atinge o chão com velocidade de 20 m /s. Considerando

g = 10 m /s2, o corpo caiu da altura de:

a)a) 200 m b)b) 100 m c)c) 50 m d)d) 20 m e)e) 10 m

T10.T10. (UECE) Uma pedra, partindo do repouso, cai de uma altura de 20 m. Despreza-se a resistência do ar e adota-se

g = 10 m /s2. A velocidade da pedra ao atingir o solo e o tempo gasto na queda, respectivamente, valem:

a)a) 20m/s; 2s b)b) 20m/s; 4s c)c) 10m/s; 2s d)d) 10m/s; 4s e)e) 15m/s; 2s

Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:

01. B01. B

02. E02. E

03. A03. A

04. E04. E

05. E05. E

06. A06. A

07. C07. C

08. D08. D

09. D09. D

10. A10. A

- 121121 -

33 EXP!E!CIAIS E LGARITMSEXP!E!CIAIS E LGARITMS

Funções ExponenciaisFunções Exponenciais

Diversas situações do nosso cotidiano são descritas matematicamente por funções do tipo potência que

possuem expoente variável, são as chamadas funções exponenciais, as quais serão definidas a seguir.

Fixado um número real , com " 5 # , definimos a função exponencial de base como 1, ou

seja:

: ’ → ’ 1 Ž com ∈ ’M_ e 5 ".

Exemplos:Exemplos:

21 (função exponencial de base 2)

‹edŒ1 (função exponencial de base )“ )

#,22 1 (função exponencial de base 0,22)

† 1 (função exponencial de base †)

Gráfico de uma função exponencialGráfico de uma função exponencial

Considere a função exponencial 21. Vamos atribuir alguns valores para a variável independente e

calcular suas respectivas imagens ou .

@ 2e ”"2e ?x

B 2 23 ”"23 ?y

? " 20 ?B

C # 2– ?

? " 20 B

B 2 23 y

@ 2e x

Identificando os pontos no plano cartesiano e ligando-os, obtemos a representação gráfica da função.

- 122122 -

De modo geral, o gráfico de uma função exponencial, 1 , pode ter dois comportamentos distintos a

partir do valor da base :

1º CASO: " (função crescente) 2º CASO: # " (função decrescente)

A partir dos gráficos ilustrados acima, podemos verificar algumas propriedades

da função exponencial.

1. ( ’ 2. / ’M_

3. # " #," ∈ fŠ

- 123123 -

LogaritmosLogaritmos

Considere e dois números reais positivos, com 5 " (ou seja: # e " 5 # ). Definimos o logaritmo

de na base como o expoente real ao qual se eleva para obter :

—Uf˜ ™ 1 , com # e " 5 # .

Neste caso, é chamado de logaritmando, de base e de logaritmo. As condições # e " 5 # são

chamadas de condições de existência dos logaritmos.

—Uf d 2) 2

Exemplos:Exemplos:

—Uf32 ) (pois 2d 2)

—Uf32 " (pois 20 2)

—Ufe 0 2 (pois 3 " -“ )

Observação:Observação:

Por convenção, quando estivermos trabalhando com logaritmos de base 10, omitimos a indicação da base na

escrita do logaritmo. Por exemplo: —Uf indica —Uf0– .

Exercício Resolvido:Exercício Resolvido:

Determine os possíveis valores de para que exista cada logaritmo a seguir.

a) —Uf 2 b) —Uf1d c) —Uf31*

Solução:Solução:

Para resolver, devemos identificar os valores de para os quais as condições de existência dos logaritmossejam satisfeitas.

a) Utilizando a condição de existência do logaritmando, obtemos:

2 # l 2 l 2 . Logo, 3e .

base logaritmo

logaritmando

- 124124 -

b) Utilizando a condição de existência da base de um logaritmo, obtemos:

(I) ) # l ) (II) ) 5 " l 5 ) "

l 5 X

Como ambas as equações precisam ser satisfeitas simultaneamente, obtemos que X 5 ) .

c) Neste exemplo, observe que a variável se encontra no logaritmando e na base do logaritmo, então as duas

condições de existência precisam ser analisadas.

(I) 2 # l –3

l #

(II) 2 5 " l 5 03 (III) * # l *

l *Logo, # * e 5 03.

A partir da definição de logaritmo, podemos concluir algumas verdades imediatas:

1) —Uf˜ " # 2) —Uf˜ " 3) š›œ>

Exercício Resolvido:Exercício Resolvido:

Calcule, aplicando a definição de logaritmo:

a) —Uf "### b) —Uf3#,"2) c) 3Mš›œžŸ

Solução:Solução:

a) —Uf "### l "# 1 "### l "# 1 "#e l .

b) —Uf3 #,"2) l 2 1 #,"2) l 2 1 03d0––– l 21 0 l 21 2e l .

c) 3Mš›œžŸ 3 A š›œžŸ - A * X .

- 125125 -

Propriedades dos LogaritmosPropriedades dos Logaritmos

Todas as propriedades listadas no quadro a seguir são consequências da definição de logaritmo.

Propriedades dos logaritmos

P1Logaritmo do produto

—Uf> A T —Uf > —Uf>T

P2

Logaritmo do quociente

—Uf> ”T —Uf > —Uf>T

P3Logaritmo da potência

—Uf> T A —Uf>

P4

Mudança de base

—Uf˜ —Uf—Uf

Exercícios Resolvidos:Exercícios Resolvidos:

1. Sabendo que

—Uf> ",

—Uf> 2 e

—Uf>¡ ", calcule o valor de

—Uf> A e¡3 . Solução:Solução:

—Uf> A e¡3 —Uf > A e —Uf >¡3 —Uf > —Uf>e —Uf >¡3

—Uf> —Uf>2—Uf >¡ " A 2 2 A " @.2. Se —Uf e —Uf ) , calcule

—Ufe""2#. Solução:Solução:

Como as bases dos logaritmos fornecidas no enunciado é 10, vamos utilizar a propriedade P4 para escrever ologaritmo na referida base.

—Ufe""2# —Uf ""2#—Uf . Fatorando o número 1120, obtemos:

—Ufe""2# —Uf ""2#—Uf —Uf 3 A )e—Uf 2—Uf —Uf )—Uf B^@^ .

(P2) (P1) (PTal

- 126126 -

Funções LogarítmicasFunções Logarítmicas

Chamamos de função logarítmica de base " 5 # a função que associa a cada elemento # o

seu logaritmo de base : : ’ → ’ —Uf > Ž com ∈ ’M_ e 5 ".

Exemplos:Exemplos:

—Uf 3 (função exponencial de base 2)

—Uf (função exponencial de base "#)

—Uf ¢ (função exponencial de base †)

Gráfico de uma função logarítmicaGráfico de uma função logarítmica

Considere a função logarítmica —Uf 3. Vamos atribuir alguns valores para a variável independente

e calcular suas respectivas imagens ou (lembre-se que a variável só poderá assumir valores maiores

ou iguais que zero).

C,B£ #,2) ”"!

23 —Uf323 2 A — Uf 32 2 A " B

C, £ #,) ”"2 20 —Uf320 " A — Uf 32 "A " ?

? " —Uf 3" C

B 2 —Uf 32 "

y ! —Uf3! —Uf 323 2A —Uf 32 2 A " B

x j —Uf3j —Uf 32e A —Uf 32 A " @

Identificando os pontos no plano cartesiano e ligando-os, obtemos a representação gráfica da função.

- 127127 -

De modo geral, o gráfico de uma função exponencial, —Uf >, pode ter dois comportamentos distintos

a partir do valor da base :

1º CASO: " (função crescente)

2º CASO: # " (função decrescente)

- 128128 -

A partir dos gráficos ilustrados acima, podemos verificar algumas propriedades

da função logarítmica.

1. ( ’M_

2. / ’

3. # " #," ∈ fŠ

O Número de NepperO Número de Nepper

Assim como o número †, um outro número de igual importância aparece diversas vezes quando tentamos

resolver problemas que envolvem cálculo: o número F (número de Nepper ou número Nepperiano). A atenção ao

número Nepperiano surgiu da tentativa de se calcular a área entre a curva " “ e o eixo das abscissas, na qual se

observou que o resultado de tal área já aparecia em estudos de matemática financeira como resultado do limite

;JK1→M¤ ”" "1 2,*"j2jY F.

Utilizando o número F, podemos definir duas das principais funções utilizadas em problemas de ciências

exatas:

• a função exponencial natural: F1

• e a função logaritmo natural: ;n —Uf ¥.

Observe que, como F " , as funções exponencial e logaritmo naturais são funções crescentes, cujos gráficos

são os dados a seguir:

F1 ; n

- 129129 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Resolva, em ’, as seguintes equações exponenciais:

a)a) !1 "2j b)b) 2*e1 00¦ c)c) )310 0d d)d) ‹edŒ31 " e)e) "###1 #,#"

f)f) 2110 ! g)g) 21e 21‡ 213 210 "! h)h) ) )1 )1M0 )13 2# A )10

E02.E02. Esboce o gráfico de cada função a seguir. Por fim, indique o conjunto domínio e o conjunto imagem.

a)a) ‹e3Œ1 b)b) † 1 c)c) f )1 d)d)f ‹3eŒ1 " e)e) g F1 2

E03.E03. O número de bactérias em um determinado meio de cultura cresce aproximadamente segundo a função VW 2###A –,–‡§ , sendo W o número de dias após o início do experimento. Calcule:

a)a) o número V de bactérias no início do experimento;

b)b) em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.

E04.E04. Calcule o valor dos logaritmos a seguir:

a)a) =36log6 b)b) =22log4

1 c)c) =32 64log d)d) =000064,0log 5 e)e) =3

49 7log

f)f) =25,0log 2 g)g) —Ufd) h)h) —Uf0Ÿ" i)i) ;n " j)j) —Uf "

E05.E05. Resolva as equações a seguir.

a)a) 113

log3 =−

+

x

x

b)b) 2)1(log3

1 −=− x c)c) 2

91

log = x d)d) 216log −= x

e)e) 1)(log 212 =− x x

E06.E06. Determine os possíveis valores de para que exista cada logaritmo a seguir.

a)a) —Uf31) b)b) —Uf1M3 c)c) —Ufe)

E07.E07. Sabendo-se que: ,8log =a x 2log =b x e 1log =c x , calcule:

a)a) 42

3

logcb

a x

⋅ b)b)

c

ab x

3

log

E08.E08. Esboce o gráfico de cada função a seguir. Por fim, indique o conjunto domínio e o conjunto imagem.

a)a) —Uf e b)b) —Uf–,e c)c) ; n d)d) —Uf3 2 e)e) —V "

E9.E9. Determine o valor de cada expressão a seguir.

a)a) 6427

log1log64log3

483

2 +−= E b)b) ( )81loglog3001,0log 3433log

103 −−= E

c)c) ( ) 274

4log410 7log16log31000log 3 +−−= E

- 130130 -

E10.E10. Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente.

Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:

a)a) o capital acumulado após 2 anos;

b)b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital

inicial.

(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477).

. 1100

t i

M C

= +

¨: Montante=Capital Acuula!o" ©:ta#a !e $uros" +: Capital" W: tepo

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01.

a)a) * 2“ b)b) - c)c) # d)d) - 2“ e)e) "

f)f) " ou 2 g)g) ) h)h)

E02.E02.

a)a) b)

c)c) d)

- 131131 -

e)e)

E03.E03.

a)a) 2000 bactérias

b)b) W 2)

E04.E04.

a)a) 2b)b)

43

− c)c) 2 d)d) - 6

e)e)61

f)f) - 2 g)g) " h)h) # i)i) # j)j) #

E05.E05.

a)a) ª b)b) ª "# c)c) ª "[ d)d) ª "[! e)e) ª Ž !

E06.E06.

a)a) ª ∈ ’ | # e 5 " b)b) ª ∈ ’ |# 2 e 5 " c)c) ª « ∈ ’| )“ ¬

E07.E07.

a)a) 16 b)b) 7/3

E08.E08.

a)a) b)

- 132132 -

c)c) d)

e)e)

E09.E09.

a)a)

" b)b)

® £ @ 6 @ c)c)

" !“

E10.E10.

a)a) R$ 13.996,80

b)b) 10 anos

Testes:Testes:

T01T01. !EL. !EL O valor da O valor da exress!oexress!o

8log.641

log

01,0log1log

42

3 + " #" #

a)a) 0 b)b) " “ c)c) ! -“ d)d) 2 “ e)e) 1

T02. ( MACK)T02. ( MACK) O valor da expressão x x ee + , para x = ln 2 é igual a:

a)a) 0 b)b) 2 c)c) 4 d)d) 6 e)e) 8

T03.T03. (GV-03)(GV-03) A equação log(x + 2) + log(x – 2) = 1:

a)a) tem duas raízes opostas

b)b) tem uma única raiz irracional

- 133133 -

c)c) tem uma única raiz menor que 3

d)d) tem uma única raiz maior que 7

e)e) tem conjunto solução vazio

T04T04.. (MACK-01)(MACK-01) Se log α = 6 e log β = 4, então 4 2 . β α é igual a :

a)a) β b)b) 24 c)c) 10 d)d) 42

β α + e)e) 6

T05T05. (PUC). (PUC) log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 é igual a :a)a) 1 b)b) 3 c)c) 5 d)d) 10 e)e) 1000

T06.T06. (ITA-98)(ITA-98) Assinale a alternativa que corresponde ao valor de y ∈ R que satisfaz a igualdade

7log7log49log 22 y y y += .

a)a) 1/2 b)b) 1/3 c)c) 3 d)d) 1/8 e)e) 7

Respostas dosRespostas dos

Testes:Testes:

01. C01. C

02. C02. C03. A03. A

04. A04. A

05. C05. C

06. D06. D

- 134134 -

44 TRIG!METRIATRIG!METRIA

Relações Trigonométricas no Triângulo RetânguloRelações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Vamos definir seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos. Se ABC é um triângulo

retângulo em A, temos:

•• a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto);

•• b e c são as medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto);

•• Be Csão ângulos agudos;

•• AC é o cateto oposto ao ângulo B;

•• AB é o cateto adjacente ao ângulo B.

Consideremos agora um ângulo θ=COA , com 0o < θ < 90º, e tracemos, a partir dos pontos C, E, G, etc. da

semirreta OA, as perpendiculares CD, EF, GH, etc., à semirreta OB.

Essa relação depende apenas do ângulo θ (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual θ é um dos ângulos

agudos). Ela é chamada seno deseno de e escrevemos:

oo 900 com,hipotenusadamedida

ânguloaoopostocatetodomedida

OC

CD)(sen <θ<

θ==θ

De modo análogoanálogo, da semelhança de triângulos obtemos as relações:

)(constante ...

OG

OH

OE

OF

OC

OD===

)(constante ...OH

GH

OF

EF

OD

CD===

que também dependem apenas do ângulo θ e que definimos, respectivamente, como cosseno do ângulocosseno do ângulo e tangentetangente

do ângulodo ângulo :

Os triângulos OCD, OEF, OGH, etc. são semelhantes por terem os

mesmos ângulos. Podemos, portanto, escrever:

)(constante ...OGGH

OEEF

OCCD ===

- 135135 -

oo 900 com,hipotenusadamedida

ânguloaoadjacentecatetodomedida

OC

OD)cos( <θ<

θ==θ

oo 900 com, ânguloaoadjacentecatetodomedida

ânguloaoopostocatetodomedida

OD

CD)(tg <θ<

θ

θ==θ

Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades)Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades)

As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de várias formas, como veremos a seguir:

Relação fundamental do triângulo retângulo: sen2 α + cos2 α = 1, (0o < α < 90º).

α

α=α

cossen

tg , (0o < α < 90º).

Se dois ângulos, α e β, são complementares (α + β = 90°), então sen α = cos β (o seno

de um ângulo é igual ao cosseno do ângulo complementar, e vice-versa). Dessa propriedade

surgiu o nome cossenocosseno: seno do complemento.

Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos NotáveisSeno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são chamados ângulosângulos

notáveisnotáveis, ou seja, ângulos que merecem atenção especial. Para os

estudos de Trigonometria, é essencial que tais valores sejammemorizados. A tabela ao lado resume esses valores.

Observe na tabela que a sequência de valores da linha do

seno aparece invertida na linha do cosseno. Isso não é

coincidência. Ocorre porque 30º e 60º são complementares, e 45º

é complementar a si mesmo.

Assim:

As razõesOC

CD)(sen =θ , OC

OD)cos( =θ e

OD

CD)(tg =θ

são chamadas razões trigonométricasrazões trigonométricas com relação ao ângulo θ.

- 136136 -

•• sen 30º = cos 60º (30º + 60º = 90º)

•• sen 45º = cos 45º (45º + 45º = 90º)

•• sen 60º = cos 30º (60º + 30º = 90º)

Além disso, os valores da linha da tangente equivalem à razão dos valores do seno e do cosseno, pois

)xcos()x(sen

)x(tg = .

Por exemplo, na coluna do 45º, temos:

•• sen 45º =22

•• cos 45º =22

•• tg 45º = 12

222

22

22

=⋅=

Dessa forma, nos exercícios que envolvem ângulos notáveis, você deve usar os valores memorizados e, nos

demais exercícios, usar uma calculadora científica (lembre -se de que muitos modelos de celulares possuem esse tipo

de calculadora).

De onde vem o nomeDe onde vem o nome seno

“Quando estudei Trigonometria no colégio, meu professor ensinou que seno vem

do latim sinus, que significa seio, volta, curva, cavidade (como nas palavras enseada,

sinuosidade). E usou o gráfico da função, que é realmente bastante sinuosos, para

justificar o nome.Mais tarde vim a aprender que não é bem assim. Sinus é a tradução latina da palavra

árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isso não tem nada a

ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa, que

infelizmente, durou até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, seria

jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra). Uma

explicação para esse erro é proposta po A. Aaboe (Episódios da história antiga da

Matemática, p.139): em árabe, como em hebraico, é frequente escreverem-se apenas as

consoantes das palavras; o leitor se encarrega de completar as vogais. Além de jiba e jaib

terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha

sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito.

Evidentemente, quando se buscam as srcens das palavras, é quase inevitável que

se considerem várias hipóteses e dificilmente se pode ter certeza absoluta sobre a

conclusão. Há outras explicações possíveis para a palavra seno. Uma delas é de que se

teria srcinado da abreviatura s. ins. (semicorda inscrita).”

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada

(IMPA) e Vitae – Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social, 1991, p.187.

- 137137 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos Exercícios 01 a 14 extraídos da obra:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicaçõesMatemática: contexto & aplicações. Vol. 1. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.

E01.E01. Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz

ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que

sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros

verticalmente?

E02.E02. Um navio está situado exatamente 10 milhas a

leste de um ponto A. Um observador, situado

exatamente ao sul do navio, vê o ponto A sob um ângulo

de 40º. Calcule a distância entre o observador e o navio.

E03.E03. Em um exercício de tiro esportivo, o alvo se

encontra em uma parede e sua base está situada a 20 m

do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um

ângulo de 10º em relação à horizontal, calcule a que

distância o centro do alvo se encontra do chão.

E04.E04. Para determinar a altura de uma torre, um

topógrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém

um ângulo de 30º, conforme mostra a figura.

Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo,

qual é aproximadamente a altura da torre?

E05.E05. Na figura abaixo, qual é a altura do avião em

relação ao chão?

E06.E06. Observe a figura a seguir e responda às questões:

a)a) Qual é o comprimento da escada?

b)b) Qual é o ângulo formado pela escada e o chão?

E07.E07. Queremos saber a largura l de um rio sem

atravessá-lo. Para isso, adotamos o seguinte processo:

• marcamos dois pontos, A (uma estaca) e B (uma

árvore), um em cada margem;

• marcamos um ponto C,

distante 8 m de A, onde

fixamos o aparelho para

medir ângulos (teodolito), de

- 138138 -

• obtemos uma medida de

70º para o ângulo ACB.

Nessas condições, qual é a largura l do rio?

E08.E08. Em Física muitas grandezas são representadas por

vetores, que são segmentos de reta orientados que

possuem um tamanho (módulo), uma direção e um

sentido (indicado pela flecha na ponta do vetor).

Quando a direção desses vetores não é nem horizontal

nem vertical, eles podem ser decompostos em outrosdois vetores, sendo um horizontal e outro vertical. Na

figura a seguir, observa-se um vetor V, de módulo

(tamanho) 10, cuja direção está inclinada 30° em

relação à horizontal. Usem seus conhecimentos de

Trigonometria para calcular qual é o módulo (tamanho)

do vetor V x na horizontal e do vetor Vy na vertical.

E09.E09. As ruas Canário e Tico-Tico são perpendiculares.

A distância entre os pontos A e B é de 50 m. As ruas

Canário e Sabiá cruzam -se em B formando um ângulo

de 60º. Qual é o perímetro do triângulo ABC

determinado pelos cruzamentos dessas três ruas?

(Use 7,13 ≅ )

E10.E10. Na construção de um telhado foram usadas telhas

francesas e o “caimento” do telhado é de 20º em relação

ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa,

foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do

teto, a casa tem 3 m de altura, determine a que altura se

encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa.

tal modo que o ângulo no

ponto A seja reto;

E11.E11. Um avião levanta voo em A e sobe fazendo um

ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura

estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar

uma torre situada a 2 km do ponto de partida?

E12.E12. Calcule a medida x indicada na figura abaixo:

E13.E13. Um segmento AB de 10 cm faz um ângulo agudo

a com a horizontal. Sua projeção A’B’ na horizontal

mede 35 cm. Qual é o valor do ângulo α?

E14.E14. Um arame de 120 m de comprimento é esticado do

topo de um prédio até o solo. Calcule a altura do prédio

sabendo que o arame forma com o solo um ângulo de

25º.

- 139139 -

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01. 5 m

E02.E02. 12,05 milhas

E03.E03. 3,6 m

E04.E04. 59,7 m

E05.E05. 2500 m

E06. a)E06. a) 8m b)b) 30º

E07.E07. 22 m

E08.E08. Vx = 35 e Vy = 5

E09.E09. 235 m

E10.E10. 5,04 m

E11.E11. h = 540 m e d = 2.062 m

E12.E12. 350

E13.E13. α = 30º

E14.E14. 50,4 m

- 140140 -

TestesTestes

T01.T01. Acredita-se que a necessidade de avaliar distâncias

inacessíveis tenha colaborado para o surgimento do cálculo

trigonométrico, já que essas medidas podem ser estimadas com

o auxílio da Trigonometria no triângulo retângulo. Atualmente,

um instrumento óptico bastante usado para esse tipo de trabalho

é o teodolitoteodolito, que permite medir ângulos verticais e horizontais.

a)a) 10 m b)b) 8 m c)c) 8,65 m d)d) 5,78 m e)e) 6,56 m

T02.T02. Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante

de 15º com a horizontal. A 2 km de B se encontra a projeção

vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura,

conforme figura. Considerando cos 15º ≅ 0,97; sen 15º ≅ 0,26;

tg 15º ≅ 0,27, é correto afirmar que:

a)a) não haverá colisão do avião com a serra;

b)b) haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura;

c)c) haverá colisão do avião com a serra em D;

d)d) se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra.

T03.T03. Em uma aula prática de seu curso de Engenharia Civil, Edmílson teve de determinar a altura de um prédio

situado em terreno plano. Instalado o teodolito em um ponto do terreno, o estudante conseguiu ver o topo do prédiosob ângulo de 60°. Afastando-se o aparelho mais 5 m do edifício, seu topo passou a ser visto sob ângulo de 45°.

Considerando que o teodolito tem uma altura de 1,17 m e tomando 1,732 como aproximação para 3 , a altura do

edifício é:

a)a) 9 m b)b) 6,82 m c)c) 11,83 m d)d) 13 m e)e) 11 m

Usando um teodolito a partir do segmento AB

apresentado na fotografia ao lado, foi possível

medir dois ângulos: o90CAB = e o30ACB = .

Como foi obtida a distância AB = 5 m, e

tomando 1,73 como aproximação para 3 , a

distância entre os pontos A e C é:

- 141141 -

T04.T04. (Enem-2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a noroeste de São Paulo), na noite do

último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando

agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina,

Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento

do tempo previsto de medição.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma

estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob

um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical

do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido,

conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a)a) 1,8 km b)b) 1,9 km c)c) 3,1 km d)d) 3,7 km e)e) 5,5 km

T05.T05. De um ponto A no solo, vistam-se a base B e o topo C de um bastão

colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30º e 45º,

respectivamente. Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina,

em metros, é igual a:

a)a) 3

b)b) 2

c)c) 32

d)d) )13(2 +

e)e) )33(2 +

T06.T06. (Enem-2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte

procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo

o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no

entanto sob um ângulo visual 2 α. A figura ilustra essa situação:

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e,

ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido

a distância =AB 2000 m. Com base nesses dados e

mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até

o ponto fixo P será:

a)a) 1000 m b)b) 31000 m c)c) 33

2000 m d)d) 2000 m e)e) 32000 m

- 142142 -

T07.T07. Topografia é área do conhecimento que trabalha com levantamento de dados para a representação gráfica

detalhada de uma região da superfície terrestre (distâncias, relevo, formas, etc.). Esse nome vem do idioma grego,

em que topos significa ‘lugar’ e graphein significa ‘descrever’: “descrição de um lugar”. Desde as civilizações mais

antigas, os povos já demarcavam a posição e limitavam a extensão de suas terras aplicando técnicas rudimentares de

Topografia.

Imagine que Thaís, estudante do curso de Engenharia Civil, cursando a disciplina de Topografia, caminha em uma

pequena estrada retilínea paralela a uma praia, quando vê, da estrada, um grande barco parado no mar. Curiosa, quer

saber a distância do barco à estrada. Pega seu teodolito no carro e verifica que a reta que une o barco ao ponto onde

ela está forma 45° com a estrada. Após percorrer mais 1.350 m na estrada, Thaís verifica que a reta que une o barco

ao novo ponto onde ela está forma com a estrada um ângulo de 30°; com essas informações, calcula a distância

desejada. Se ela usou 1,7 como aproximação para 3 e acertou todos os cálculos, a distância que encontrou foi:

a)a) 5 km b)b) 2,5 km c)c) 0,5 km d)d) 0,25 km e)e) 0,05 km

T08.T08. (Enem-2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou

como herança um terreno retangular de 3 km × 2 km que contém

uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo

de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado

o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em

repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte

da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde,

aproximadamente, a:

≅ 58,0

33

Considere

a)a) 50% b)b) 43% c)c) 37% d)d) 33% e)e) 19%

T09.T09. Um observador, no ponto B da figura ao lado, vê um prédio de modo que o

ângulo ABC é de 105°. Se esse observador está situado a uma distância de 8 m do

prédio e a uma altura de 8 m, qual é a altura do prédio? (Use 7,13 ≅ )

a)a) 21,6 m

b)b) 17 m

c)c) 18,6 m

d)d) 25,5 m

e)e) 30,6 m

- 143143 -

T10.T10. Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício

conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos

somar 1,65m a:

a)a) b⋅cos(α)

b)b) a⋅cos(α)

c)c) a⋅sen(α)

d)d) b⋅tg(α)

e)e) b⋅sen(α)

Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:

01. C01. C

02. B02. B

03. D03. D

04. C04. C

05. D05. D

06. B06. B

07. C07. C

08. E08. E

09. A09. A

10. E10. E

- 144144 -

Estudo da Circunferência TrigonométricaEstudo da Circunferência Trigonométrica

9.4.19.4.1 IntroduçãoIntrodução

Os ângulos aparecem nos registros da Grécia antiga associados ao estudo dos elementos de um círculo,

relacionados com arcos e cordas. As propriedades dos ângulos centrais de uma circunferência eram conhecidas desde

o tempo de Eudoxo — astrônomo, matemático e filósofo grego que viveu no século IV a.C. —, que teria usado

medidas de ângulos em diversos cálculos, como a determinação das dimensões da Terra e da distância relativa entre

o Sol e a Terra.

Acredita-se que os sumérios e os acadianos, antigos povos habitantes da Mesopotâmia (3500 a.C.), já sabiam

medir ângulos — é atribuída aos sumérios a criação da escrita cuneiforme, a mais antiga de que se tem notícia. Feita

com o auxílio de uma cunha, a escrita cuneiforme era composta de traços verticais, horizontais e oblíquos.

A divisão do círculo em partes iguais, obtida por meio de ângulos centrais congruentes, aparece bem mais

tarde. Hipsicles (século III a.C.) foi um dos primeiros astrônomos gregos a dividir o círculo em 360 partes iguais,

mas não há evidência científica da escolha desse número. O que pode tê-la influenciado é o fato de já se saber que o

movimento de translação da Terra em torno do Sol se realizava em um período de aproximadamente 360 dias. Mas

a hipótese mais provável é ter havido a influência do sistema de numeração de base sexagesimal (base 60), utilizado

na Babilônia, justificando também as subdivisões das medidas dos ângulos, que seguem essa base.

A Trigonometria, como seu nome sugere, é o estudo das medidas envolvidas no triângulo. Seu propósito inicial

é, portanto, a resolução de problemas relacionados a triângulos.

Já estudamos as relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo, as razões trigonométricas.Agora, vamos estender esses conceitos a ângulos maiores do que 180°, e para isso contaremos com o apoio de uma

circunferência, chamada circunferência trigonométrica, na qual serão considerados os ângulos centrais.

9.4.29.4.2 Conceitos Trigonométricos BásicosConceitos Trigonométricos Básicos

Neste tópico vamos fazer um estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, uma necessidade mais

recente da Matemática. Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições necessárias e

precisamos estabelecer um novo “ambiente” para a Trigonometria: a circunferência trigonométricacircunferência trigonométrica.

Para isso, vamos relembrar alguns conceitos necessários:

Arco geométricoArco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, incluindo-os. Se os dois pontoscoincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta.

- 145145 -

Medida e comprimento de um arco:Medida e comprimento de um arco: considere um

ponto A sobre uma circunferência de raio r e centro O.

Deslocando-se o ponto A sobre a circunferência, ele

percorre uma distância l ao mesmo tempo em que gira um

ângulo α em torno do centro O.

Esse movimento do ponto A descreve um arcoarco de circunferência de medidamedida α e comprimentocomprimento l .

Para a medida α usam-se geralmente unidades como o grau e o radiano.

Para o comprimento l usam-se em geral unidades como metro, centímetro, quilômetro, etc.

•• Medida de uma circunferência em grausMedida de uma circunferência em graus: 360°. •• Comprimento de uma circunferência de raio rComprimento de uma circunferência de raio r: C = 2πr .

Arco e ângulo central:Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem a mesma medida do ângulo central que o subtende.

Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos):Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos): As unidades mais usadas para medir arcos de

circunferência (ou ângulos) são o graugrau e o radianoradiano.

GrauGrau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um

grau (1°). Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário:

O comprimentocomprimento l depende

do raio da circunferência,mas a medidamedida α não.

Arco:Arco:

Medida de AB = α

Ângulo Central:Ângulo Central:

Medida de = α

Considere cinco circunferências

concêntricas de raios diferentes

e um mesmo ângulo central

subtendendo arcos em todas elas.

Os cinco arcos terão a Os cinco arcos terão a mesma medida?mesma medida?E terE terão o ão o mesmesmo como comm rimrimentento?o?

arco AB de 270ºarco AB de 270º(três quartos de volta)

arco AB de 90ºarco AB de 90º(um quarto de volta)

arco AB de 180ºarco AB de 180º(meia volta)

arco AB de 360º ou 0arco AB de 360º ou 0oo (uma volta ou nulo)

O grau foi dividido em 60 partes

menores denominadas minutominuto.

O minuto foi dividido também em 60

partes menores denominadas segundosegundo.

Assim, um arco de dois graus, trinta e

cinco minutos e quarenta segundos é

re resentado or: 2°35’40’’.

- 146146 -

RadianoRadiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência.

Isso deve ser interpretado da seguinte forma:

Se temos um ângulo central de medida 1 radiano, então ele subtende um

arco de medida 1 radiano (lembre que a medida do arco é igual à medida do

ângulo central) e comprimento de 1 raio.

Se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele subtende um

arco de medida 2 radianos e comprimento de 2 raios.

Se temos um ângulo central de medida α radianos, então ele subtende umarco de medida α radianos e comprimento de α raios. Assim, se a medida α

do arco for dada em radianos, teremos l = α⋅r.

Relação entre as unidades para medir arcos (ou ângulos):Relação entre as unidades para medir arcos (ou ângulos): Lembre-se de que o comprimento C da

circunferência de raio r é igual a C = 2πr, em que π = 3,141592... Como cada raio r corresponde a 1 rad, podemos

afirmar que o arco correspondente à circunferência mede: 2πr = 2π⋅1 rad = 2 π rad.

Sabendo que um arco de 180º mede π rad , podemos fazer a conversão de unidades usando uma regra de três

simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer as principais conversões entre grau e radiano

mentalmente, sem recorrer à regra de três.

Existem outras unidades para medirarcos, por exemplo, o gradogrado, que é um

arco obtido a partir da divisão dacircunferência em 400 partes iguais.

Porém, as unidades mais usadas são ograugrau e o radianoradiano.

- 147147 -

Esse procedimento é muito simples se observarmos que:

90º é21

de 180º; logo, é21

de π rad → 90º =2π

rad.

30º é61

de 180º; logo, é61

de π rad → 30º =6π

rad.

60º é31

de 180º; logo, é31

de π rad → 60º =3π

rad.

45º é41

de 180º; logo, é41

de π rad → 45º =4π

rad.

Você pode (e deve!)memorizar estas relações para

agilizar as conversõesconversões.Veja outro exemplo:

120º é o dobro de 60º, então:

120º =3

23

2 π=

π⋅ rad.

- 148148 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos Exercícios 01 a 14 extraídos da obra:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicaçõesMatemática: contexto & aplicações. Vol. 2. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.

E01.E01. Se o comprimento de uma circunferência é 2π cm, qual seria o comprimento de um arco de:

a) a) b) b) c) d)c) d)

e) e) f) f) g)g)

E02.E02. Converta em radianos:

a)a) 210º b)b) 300º c)c) 120º d)d) 115º e)e) 270º f)f) 135º g)g) 150º

E03.E03. Expresse em graus:

a)a) 6π

b)b) 65π

c)c) 4π

d)d) 45π

e)e) 34π

f)f) 56π

g)g) 72π

E04.E04. Determine a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento contido em uma circunferência de raio8 cm.

E05.E05. Qual e o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 45° contido em uma circunferência

de raio 2 cm?

E06.E06. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 15 cm contido

numa circunferência de raio 3 cm.

E07.E07. Determine o ângulo, em radianos, em cada item:

a) b)a) b)

- 149149 -

E08.E08. Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de

60°. Qual é o comprimento do arco que a extremidade do pêndulo descreve?

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01.

a)a) cmπ

b)b) cm2π

c)c) cm3π

d)d) cm6π

e)e) cm3

2π

f)f) cm3

4π

g)g) cm23π

E02.E02.

a)a) rad6

7π

b)b) rad3

5π

c)c) rad3

2π

d)d) rad3623π

e)e) rad2

3π

f)f) rad4

3π

g)g) rad6

5π

E03.E03.

a)a) 30º

b)b) 150º

c)c) 45º

d)d) 225º e)e) 240º

f)f) 216º

g)g) 34317

360 o ′=

E04.E04. rad2

5π

E05.E05. cm2π

E06.E06. rad5

E07.E07.

a)a) rad,21

b)b) rad

3

2π

E08.E08. cm7,15

- 150150 -

9.4.39.4.3 Circunferência TrigonométricaCircunferência Trigonométrica

À circunferência trigonométrica de centro O, vamos associar um sistema

de coordenadas cartesianas ortogonais, fixando o ponto A de coordenadas (1,

0) como srcem dos arcos (conforme figura ao lado).Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes

congruentes chamadas quadrantesquadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de

A, no sentido positivo.

Os pontos A, B, A’ e B’ são pontos dos eixos e por isso não são considerados pontos dos quadrantes.

Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência trigonométrica, temos -1≤ x ≤ 1 e -1≤ y ≤ 1.

Denomina-se circunferência trigonométricacircunferência trigonométrica à circunferência

orientada, de centro na srcem do sistema de coordenadas

cartesianas ortogonais, cujo raio tem 1 unidade de comprimento e

na qual o sentido positivo é o anti-horário.

- 151151 -

9.4.49.4.4 Arcos Côngruos ou Arcos Côngruos ou CongruentesCongruentes

Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para dois arcos diferentes

(por exemplo, 0 e 2 π), chamamos esses arcos de arcos côngruosarcos côngruos ou congruentescongruentes.

É conveniente notar que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 2π, que é o comprimento

de cada volta.

Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, teríamos o

seguinte:

na primeira figura, o ponto deslocou-se3π

ou 60° de A até B;

na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira (2π ou 360°) e mais

3

πou 60°; ou seja, deslocou-se

3

7πou 420°;

na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (2 ⋅2π ou 2 ⋅ 360°)

e mais3π

ou 60°; ou seja,3

13π ou 780°.

Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB seria

escrito assim:

Zkcom ,360k60ou2k3

oo ∈⋅+π⋅+π

Podemos então definir:

Dois arcos são cDois arcos são côngruos ouôngruos ou

congruentes quando suas medidascongruentes quando suas medidas

diferem em um múltiplo dediferem em um múltiplo de

22 rad ou 360°. rad ou 360°.

- 152152 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Escreve a expressão geral dos arcos congruentes a:

a)a) 60º b)b) 120º c)c) 45π

rad d)d) 6

11πrad

E02.E02. Dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremidades nos pontos indicados, considerando a srcem em A:

a) b) c)a) b) c)

d) e) f)d) e) f)

E03.E03. Encontre a 1ª determinação, ou seja, o menor valor não negativo côngruo ao arco de:

a)a) 780º b)b) 1140º c)c) -400º d)d) 2

15π rad e)e)

310π

rad f)f) 2

9πrad

E04.E04. “Em 1792, durante a Revolução Francesa, houve na França uma reforma de pesos e medidas que culminou na

adoção de uma nova unidade de medida de ângulos. Essa unidade dividia o ângulo reto em 100 partes iguais,

chamadas gradosgrados. Um grado (1 gr) é, então, a unidade que divide o ângulo reto em 100 partes iguais, e o minuto

divide o grado em 100 partes, bem como o segundo divide o minuto também em 100 partes. Tudo isso para que a

unidade de medição de ângulos ficasse em conformidade com o sistema métrico decimal. A ideia não foi muito bem-

sucedida, mas até hoje encontramos na maioria das calculadoras científicas as três unidades: grau, radiano e grado.”

(DANTE, 2013, p.34)

Com base no texto acima, responda:

a)a) A quantos grados equivale meia volta de circunferência? E uma volta inteira?

- 153153 -

b)b) Em qual quadrante termina o arco trigonométrico de 250 gr?

c)c) A quantos grados equivale 1 rad?

d)d) A quantos graus equivale 1 gr?

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01.

a)a) π+π k23 ou 60º + 360ºk; com k ∈ Z.

b)b) π+π

k23

2

ou 120º + 360ºk; com k ∈ Z.

c)c) π+π

k24

5

ou 225º + 360ºk; com k ∈ Z.

d)d) π+π

k26

11

ou 330º + 360ºk; com k ∈ Z.

E02.E02.

a)a) Z.kcom,k26

6

30o ∈π+π

→π

=

b)b) Z.kcom,k24

4

54 )P( o1 ∈π+

π→

π=

Z.kcom,k24

5 4

5252 )P( o2 ∈π+π→π=

c)c) Z.kcom,k24

4

54 )P( o1 ∈π+

π→

π=

Z.kcom,k24

7

47

153 )P( o2 ∈π+

π→

π=

d)d) Z.kcom,k23

2

32

120o ∈π+π

→π

=

e)e) Z.kcom,k23

5

35

30060 oo ∈π+π

→π

==−

f)f) Z.kcom,k26

6

03 )P( o1 ∈π+

π→

π=

Z.kcom,k26

5 6

5150 )P( o2 ∈π+

π→

π=

Z.kcom,k26

7

67

102 )P( o3 ∈π+

π→

π=

Z.kcom,k25

11

511

303 )P( o4 ∈π+

π→

π=

E03.E03.

a)a) 60º

b)b) 60º

c)c) 320º

d)d) rad23π

e)e) rad34π

f)f) rad2π

E04.E04.

a)a) 200 gr e 400 gr

b)b) 3º quadrante

c)c) 63,7 gr

d)d) 0,9º

- 154154 -

TestesTestes

T01.T01. (PUC-MG) Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de oscilação, que

é típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de 400 m descreve um arco de

o

21

, a

medida do arco descrito por esse ponto, em metros, é:

a)a) π b)b) 43π

c)c) 34π

d)d) 9

10π e)e) 10

11π

T02.T02. (Enem-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado

“Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo

atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar

em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:

a)a) uma volta completa.

b)b) uma volta e meia.

c)c) duas voltas completas.

d)d) duas voltas e meia.

e)e) cinco voltas completas.

- 155155 -

Funções TrigonométricasFunções Trigonométricas

Nesta seção vamos estender os conceitos de OFV¯, TUO¯ e Wf¯ para todos os valores reais do

número ¯. Dessa forma, vamos definir o seno, cosseno e tangente como funções reais ais quais chamamos de

funções trigonométricas.

9.5.19.5.1 Função senoFunção seno

Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ângulo (ou arco) de x radianos:

Definimos a função trigonométrica senofunção trigonométrica seno como a função que associa a cada número real x o valor real de sen(x),

ou seja : ’ → ’ → OFV

GráficoGráfico

Calculando os valores do seno de x para alguns valores de x, vemos que o gráfico da função OFV tem o seguinte aspecto:

.

PeriodicidadePeriodicidadeObservando o gráfico da função seno, vemos que a função repete periodicamente seus valores nos

intervalos Y , 2†,# , #,2† ,2†,!†,Y Daí dizemos que a função seno é periódica. Observemos que

OFV OFV 2† OFV !† ° , SŠ WUcU ∈ ’

dessa forma, dizemos que o período da função seno é 2† e indicamos por S 2† .

A curva acima é chamada de senoidesenoide.

- 156156 -

SinalSinal

Para analisar o sinal da função seno recorremos ao ciclo trigonométrico, vemos que a função seno épositiva para os valores do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes.

Observações Observações

1) O domínio da função seno é o conjunto dos números reais e a imagem é o intervalo ",".2) OFV #, para H† , com H ∈ ±.

OFV #, para no 1º e 2º quadrantes e para ¢3 2H†, com H ∈ ±.

OFV #, para no 3º e 4º quadrantes e para e¢3 2H† , com H ∈ ±.

9.5.29.5.2 Função cossenoFunção cosseno

Dado um número real x, também podemos associar a ele o valor do cosseno de um ângulo (ou arco) de x

radianos. Definimos a função trigonométrica cossenofunção trigonométrica cosseno como a função que associa a cada número real x o valor

real de cos(x), ou seja : ’ → ’ → TUO

GráficoGráfico

Calculando os valores do cosseno de x, para alguns valores de x, vemos que o gráfico da função TUO tem o seguinte aspecto:

Observe que o gráfico da função cosseno é simétrico em relação ao eixo y. Além disso, a curva definida pela

função TUO é a curva senoide transladada¢3 unidades para a direita.

- 157157 -

SinalSinal

Analisando o sinal da função cosseno, vemos que a função cosseno é positiva para os valores do 1º e 4º

quadrantes e negativa para valores do 2º e 3º quadrantes.

Observações Observações

1) O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais e a imagem é o intervalo ",".2) A função cosseno é periódica de período S 2†

3) TUO #, para H ¢3 ,com H ∈ ±.

9.5.39.5.3 Função tangenteFunção tangente

Definimos a função trigonométrica tangentefunção trigonométrica tangente como a função que associa a cada número real

o valor real de

Wf, ou seja

Wf OFV²<q

para 5 ¢3 H†, ∈ ±.

GráficoGráfico

Calculando os valores do seno de x, para

alguns valores de x, vemos que o gráfico da função Wf tem o seguinte aspecto:

Observe que o gráfico da função tangente é simétrico em relação à srcem.

- 158158 -

SinalSinal

Pela definição da função Wf , vemos que a função tangente é positiva para os valores do 1º e 3º

quadrantes e negativa para valores do 2º e 4º quadrantes.

Observações Observações

1) O domínio da função tangente é o conjunto ∈ ’Ž 5 ¢3 H†,∈ ± e a imagem é o conjunto dos

números.

2) A função tangente é periódica de período S †

9.5.49.5.4 Outras funções TrigonométricasOutras funções Trigonométricas

Funções Funções Recíprocas Recíprocas GráficoGráfico

1.1. Função cossecanteFunção cossecante

TUOOFT "OFV

• (U/ ∈ ’Ž 5 H†,H ∈ ±

• / ’ ","

2.2. Função secanteFunção secante

OFT "TUO

• (U/ « ∈ ’Ž 5 ¢3 H†,H ∈ ± ¬

• / ’ ","

- 159159 -

3.3. Função cotangenteFunção cotangente

TUWf "Wf

• (U/ ∈ ’Ž 5 H†,H ∈ ±

• / ’

Funções Funções Inversas Inversas GráficoGráfico

1.1. Função arcosenoFunção arcoseno

ŠTOFV OFV 0

• (U/ ","

• / †[2,†[2

2.2. Função arcocossenoFunção arcocosseno

ŠTTUO TUO 0

• (U/ ","

• / # , †

3.3. Função arcotangenteFunção arcotangente

ŠTWf Wf0

• (U/ ’

• / †[2,†[2

- 160160 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Determine os valores reais de / para os quais as seguintes equações tenham solução:

a) OFV 2 / *

b) OFV / 2

c) OFV /3 "

d) !/ OFV "

E02.E02. Determine os valores reais de

/ para que exista um número real

que satisfaça as seguintes igualdades:

a) TUO 2 / )

b) TUO / !

c) TUO " /3

d) TUO )/ X

E03.E03. Considerando e f funções de ℝ em ℝ tal que OFV e f TUO :

L Calcule †, f†, ‹¢eŒf‹ ¢‡Œ , ³‹ µŒœ‹µŒ ,‹ e¢‡ Œ F f ‹ e¢‡ Œ;

¶ Determine ∈ #,2† tal que fŽ ² Determine se existe ∈ ’ tal que

¢3 † e f (justifique sua resposta).

E04.E04. Considere as funções e f definidas por OFV ! e f " TUO. Determine:

a) ‹¢3Œ

b) f† c) ‹¢mŒ

d) (U/f

e)

/f

f) ∈ #,2† tal que "

E05.E05. Construa o gráfico (um período completo) e dê o domínio, a imagem e o períoso de cada função. (Sugestão:

para construí-lo, reveja os gráficos de seno e cosseno.)

a) ²<q b) f |qIn| c) 2OFV

E06.E06. Qual o domínio das seguintes funções reais?

a) Wf

b) f Wf ‹2 ¢eŒ

E07.E07. Para que valores de ¯ existe tal que Wf 6 3 )¯ !?

E08.E08. Em cada caso, determine o conjunto ao qual / deve pertecencer de modo que exista satisfazendo a

igualdade .

a) TUWf 6 2 / b) OFT / 2 c) TUOOFT 3·00e·

- 161161 -

TestesTestes

T01.T01. (UFRGS-RS) Se OFV tem como gráfico:

Então:

a) 2 F "

b) " F 2

c) " F "

d) " F 2

e) 2 F "

T02.T02. Uma bomba de água aspira e expira água a cada três segundos. O volume de água da bomba varia entre um

mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o

volume (y) de água na bomba em função do tempo (t).

a) 2 2OFV ¹‹¢eŒ ¸ Wº b)

2 2OFV ¹‹3¢e Œ ¸ Wº

c) OFV ¹‹¢eŒ ¸ Wº

d) OFV ¹‹3¢e Œ ¸ Wº

e) 2OFV ¹‹¢eŒ ¸ Wº

T03.T03. (Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente dezenas de certo tipo de peça. Sabendo-se que o custo de

produção + e o valor de venda € são dados, + 2 TUO‹ 1¢m Œ e € 6 2OFV‹ 1¢03Œ, # X . O

lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:

a) 500

b) 750

c) 1000

d) 2000

e) 3000

- 162162 -

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01.

a)a) / ∈ ’ [ / !

b)b) / ∈ ’ [ "[ / "

c)c) #

d)d) »/ ∈ ’ [ 6 2 / 6 2¼

E02.E02.

a)a)

/ ∈ ’ [ / 2

b)b) / ∈ ’ [)[ / "

c)c) »/ ∈ ’ [ 6 2 / 6 2¼

d)d) / ∈ ’ [ " / *[)

E03.E03.

a)a) #,", 6 e6 33 , 6 ee , 6 33 , 6 33

b)b) ¢‡ ou d¢‡

c)c) Não existe.

E04.E04.

a)a) 0

b)b) 2

c)c) 6 [2

d)d) ℝ

e)e) #,2 f)f) ¢ ou d¢ ou ¢ ou 0e¢

E06.E06.

a)a) (U/ « ∈ ’Ž 5 ¢m ½¢e , H ∈ ± ¬

b)b) (U/ « ∈ ’Ž 5 d¢03 ½¢03 , H ∈ ± ¬

E07.E07. ¯ " ou ¯ !

E08.E08.

a)a) / 2

b)b) / 0d ou / "

c)c) # / 0e ou0e / 3d

Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:

T01.T01. d)

T02.T02. d)

T03.T03. c)

- 163163 -

1515 GEMETRIAGEMETRIA

Neste capítulo, estudaremos as principais figuras geométricas planas (bidimensionais) e espaciais

(tridimensionais), com o intuito de listar as principais relações envolvendo seus elementos. Para isto realizar,

dividiremos as formas geométricas em duas classes dependendo de seu caráter dimensional. Ao final do capítulo,

você encontrará duas tabelas com as fórmulas de área e de volume mais utilizadas.

Formas Geométricas BidimensionaisFormas Geométricas Bidimensionais

Inicialmente, analisaremos as figuras que podem ser desenhadas em um plano. Apresentamos

individualmente certas propriedades associadas a cada forma geométricas como, por exemplo, relações entre ângulos,

perímetros, áreas, etc. Além disso, exibimos os casos particulares de maior destaque.

10.1.110.1.1 TriânguloTriângulo

Figura geométrica composta de 3 (três) lados e 3 (três) vértices.

Exemplos: Esquadro, placas de transito, metade de um sanduíche, etc.

Relações envolvendo ângulos:Relações envolvendo ângulos:

Soma dos ângulos internos: ¾ ¿ À "j# Á

Lei dos cossenos: ²3 L3 ¶3 2L ¶ ²<qÀ

Lei dos senos:Â¥ÃÄ> Â¥ÃŘ Â¥ÃÆ

Perímetro:Perímetro: (Soma dos lados) T

Área:Área:03 x (Base) x (Altura) ˜Ç3

Vale registrar outras identidades para encontrar a área:

- 164164 -

Fórmula de Heron:Fórmula de Heron: ÈÉÊË Ì ÍÍLͶͲ , em que Í ÎMÏMÐ3

Fórmula dos Lados:Fórmula dos Lados: ÁÉÊË ÎÏ ÑÒÓÔ3

Classificação:

Equilátero:Equilátero: Triângulo cujos lados têm mesmo comprimento ou em que todos os ângulos são iguais;

Isósceles:Isósceles: Triângulo com 2 (dois) lados iguais ou 2 (dois) ângulos iguais;

Escaleno:Escaleno: Triângulo onde todos os lados possuem tamanhos distintos;

Retângulo:Retângulo: Triângulo com 1 (um) ângulo de 90o graus. Em particular, os lados de um triângulo retângulo verificam

uma importante identidade:

Teorema de PitágorasTeorema de Pitágoras 3 3 T3.

10.1.210.1.2 ParalelogramoParalelogramo

Lugar geométrico composto de 4 (quatro) lados e 4 (quatro) vértices, cujos lados opostos devem ser paralelos ou

possuir tamanhos iguais.

Exemplos: Quadro, mesa, televisão, etc.

- 165165 -

Ângulos:Ângulos: ¯ Õ Ö × X# ›

Perímetro:Perímetro: (Soma dos lados) 2 2

Área:Área: E g

Abaixo destacamos os casos particulares importantes:

Retângulo:Retângulo: Paralelogramo com todos os ângulos de 90º graus ou¢3 radianos.

Losango:Losango: Paralelogramo com todos os lados de mesmo comprimento.

Quadrado:Quadrado: Paralelogramo cujos lados têm mesmo comprimento e em que todos os ângulos são de 90º graus ou¢3

radianos.

10.1.310.1.3 TrapézioTrapézioFigura formada por 4 (quatro) lados e 4 (quatro) vértices, onde somente dois lados opostos são paralelos.

Exemplos: Bolsa, telha, etc.

Perímetro:Perímetro: (Soma dos lados) T c

Área:Área: 03 [(Base Maior) + (Base Menor)] x (Altura) >M˜3 g

10.1.410.1.4 PolígonosPolígonos

Região planar composta por V lados e V vértices.

- 166166 -

As formas mais comuns são dadas quando os lados e os ângulos são todos iguais, também denominados de

polígonos regulares. Na realidade, conectando cada vértice ao centro de um polígono regular concluímos que este é

formado pela união de triângulos isósceles, cuja altura é denominada de apótema.

A partir disto, valem:

Ângulos:Ângulos: (Soma dos ângulos internos) V 2 "j#›

Perímetro:Perímetro: (Número de Lados) x (Lado) V— Área:Área: (Número de Lados) x

03 x (Lado) x (Apótema) V š>3

Exemplos:

Pentágono Regular:Pentágono Regular: polígono de 5 (cinco) lados e 5 (cinco) vértices.

Hexágono Regular:Hexágono Regular: Polígono de 6 (seis) lados e 6 (seis) vértices.

- 167167 -

10.1.510.1.5 CírculoCírculo

Lugar geométrico dos pontos que tem a mesma distância Š a partir de um centro +. Em particular, não possui

lados nem vértices.

Exemplos: Anel, prato, relógio, etc.

Perímetro:Perímetro: 2† x (Raio) 2†Š

Área:Área: † x (Raio) 2 †Š3

Tal figura pode ser seccionada em sub-regiões, a saber:

Setor Circular:Setor Circular: Região de um círculo situada entre dois raios com ângulo Ø entre estes.

Exemplo: Fatia de pizza.

Comprimento de Arco:Comprimento de Arco: (Ângulo do Setor) x (Raio) ØŠ

Área:Área:03 x (Raio)2 x (Ângulo do Setor) 03 Š3Ø

ou 03 x (Raio) x (Comprimento de Arco) ÙÚ3 .

- 168168 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos Exercícios extraídos da obra:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicaçõesMatemática: contexto & aplicações. Vol. 2. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.

E01.E01. Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os dados indicados na figura abaixo. Nessas condições

qual é a área do terreno?

E02.E02. Na figura abaixo, (¨Û ¨kÛ k+Û . Calcule a área da região colorida dessa figura.

E03.E03. Um terreno tem forma de um trapézio de bases 20m e 14 m e altura 11m. Nesse terreno , construiu-se uma

piscina retangular de 8m por 5m. No restante do terreno foram colocadas pedras mineiras. Qual foi a área onde se

colocou pedra?

E04.E04. De uma placa de alumínio foi recortada uma região triangular equilátera de lado 20 cm. Qual a área dessa região

que foi recortada?

E05.E05. Qual á a área do material usado para fazer as quatro bandeirinhas abaixo?

E06.E06. Determine a área da região triangular abaixo:

- 169169 -

E07.E07. Qual é a área da região limitada por um paralelogramo cujos lados medem 10 cm e 16 cm, sabendo que formam

um ângulo de 30º?

E08.E08. As diagonais de um paralelogramo medem 10 cm e 8 cm e formam um ângulo de 60º. Determine a área dessaregião limitada pelo paralelogramo.

E09.E09. Um piso de cerâmica tem a forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8 cm. Qual a área desse piso?

E10.E10. Um bloco retangular é um sólido formado por 6 retângulos. Determine a área total da superfície do bloco

retangular da figura abaixo.

E11.E11. Qual é a área de toda a parte colorida da figura ao lado? Qual é a área da região não colorida?

E12.E12. Um terreno tem formato triangular e as medidas dos seus lados são 17 m, 15 m, 8 m. Qual a área desse terreno?

E13.E13. Calcule a área de um círculo que tenha 10 decímetros de diâmetro.

- 170170 -

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01. 22# /3

E02E02. !# T/ 3

E03E03. "!* /3

E04E04. "##6 T/3

E05E05. !6 T/3

E06E06. )6 T/3

E07E07. j# T/3

E08E08. 2#6 T/3

E09E09. -X6 T/3

E10E10. -! T/3

E11E11. j T/3

E12E12. X# /3

E13E13. 2)† c/3

Formas Geométricas TridimensionaisFormas Geométricas Tridimensionais

Nesta segunda parte, estudaremos as figuras que não conseguem “viver” dentro de um plano, são as chamadas

figuras tridimensionais. Mais uma vez, focaremos nossa atenção nos objetos geométricos que mais aparecem em

nosso cotidiano.

10.2.110.2.1 PrismaPrisma

Estrutura composta por 2 (duas) faces poligonais paralelas e V (número de lados do polígono) faces

retangulares.

Em particular, são V arestas e 2V vértices.

Área:Área:

2 (Área do Polígono Base) + n x (Área da Face Retangular)

Volume:Volume: (Área do Polígono Base) x (Altura).

Tais estruturas podem ser classificadas de duas formas:

- 171171 -

Prisma Reto:Prisma Reto: Faces laterais perpendiculares (ângulo

de -#›) com a base.

Prisma Oblíquo:Prisma Oblíquo: Faces laterais possuem ângulo

diferente de -#› com relação à base.

Exibimos abaixo alguns tipos específicos de primas retos.

Prisma Triangular:Prisma Triangular: Estrutura composta por 2 (duas) faces triangulares e 3 (três) faces retangulares, ou seja, 9 (nove)

arestas e 6 (seis) vértices.

Exemplos: Lentes de telescópio, prima de refração da luz, etc.

Paralelepípedo:Paralelepípedo: Prisma reto composto somente por faces retangulares. Em particular, as faces opostas sempre sãoparalelas. Em particular, possui 6 (seis) faces, 12 (doze) arestas e 8 (oito) vértices.

Exemplos: Caixa de sapato, estojos, etc.

Área Total:Área Total:

2 (Área da Face Retangular 01) x 2 (Área da Face Retangular 02) x

x 2 (Área da Face Retangular 03)

Volume:Volume: (Lado 01) x (Lado 02) x (Lado 03)

Cubo:Cubo: Um paralelepípedo onde as faces são quadrados idênticos ou cujas arestas possuem o mesmo tamanho —. Exemplos: Dado, Cubo de Rubrik, etc.

- 172172 -

Área Total:Área Total: 6 x (Lado) 3 X—3

Volume:Volume: (Lado) e —e

10.2.210.2.2 PirâmidePirâmide

Figura geométrica formada por 1 (uma) face poligonal e n (número de lados do polígono) faces triangulares.

Uma pirâmide sempre possui 2V arestas e V " vértices.

Área Total:Área Total: (Área do Polígono Base) + n (Área da Face Triangular)

Volume:Volume:0e (Área do Polígono Base) x (Altura)

Destacamos alguns casos particulares de pirâmides.

Tetraedro:Tetraedro: Pirâmide de base triangular, cujas 6 (seis) arestas tem mesmo tamanho —. Exemplos: Molécula de metano, etc.

- 173173 -

Altura:Altura: 6 me (Lado) 6 me —3

Área da Base:Área da Base: 6 e‡ x (Lado)2 6 e‡ —3

Área Total:Área Total: ! (Área da Base) 6 —3

Volume:Volume: 0e x (Área da Base) x (Altura) 6 303 —e

Pirâmide Retangular:Pirâmide Retangular: Pirâmide cuja base é um quadrado de lado —. Exemplos: Necrópole de Gizé, etc.

Ao considerar secções da pirâmide, obtemos novas regiões espaciais, chamadas de tronco de pirâmide.tronco de pirâmide.

Troco de Pirâmide:Troco de Pirâmide: Forma geométrica obtida ao dividir uma pirâmide por um plano paralelo a base, eliminando a

pirâmide menor formada por este divisão.

Exemplos: Cajon, embalagem de comida chinesa, etc.

Área:Área: (Área da Base Maior) + (Área da Base Menor) + (Área Lateral)

Volume:Volume: 0e x (Altura) x [(Área da Base Maior) + Ì ÈpIL oL ÜLqI ÝLJ<p x

x Ì ÈpIL oL ÜLqI ÝIn<p + (Área da Base Menor)] =

" g~ EÞ Ì EÞ E˜ E˜•

- 174174 -

10.2.310.2.3 CilindroCilindro

Forma geométrica gerada pela rotação de um quadrado em torno de um eixo central.

Exemplos: Cano, Mangueira, etc.

Área da Lateral:Área da Lateral: 2† x (Raio da Base) x (Altura) 2†Šg

Área Total:Área Total: 2 (Área da Base) + (Área Lateral) 2†Šg Š

Volume:Volume: (Área da Base) x (Altura) †Š3g10.2.410.2.4 ConeCone

Estrutura geométrica gerada pela rotação de um triângulo isóscele em torno de uma bissetriz.

Exemplos: Funil, Casquinha de sorvete, etc.

Área da Lateral:Área da Lateral: † x (Raio da Base) x ‹Ì 4©U c GOF 3 E—Wߊ3Œ =

†Š ‹Ì Š3 g3Œ

Área Total:Área Total: (Área da Base) + (Área Lateral) †Š~6 Š3 g3 Š•

Volume:Volume:0e † x (Raio da Base)2 x (Altura) 0e †Š3g

Tronco de Cone:Tronco de Cone: Região espacial obtida após descartar um cone menor formado pela intersecção de um cone srcinal

por um plano paralelo a base.

Exemplo: Abajur.

- 175175 -

Área da Lateral:Área da Lateral: † x (Lado) x [(Raio Maior) + (Raio Menor)] †f4 Š

Volume:Volume:0e †

x (Altura) x [(Raio Maior)2 + (Raio Maior) x (Raio Menor) +

+ (Raio Menor)2] =

" †g43 4Š Š 3

10.2.510.2.5 EsferaEsfera

Objeto geométrico formado por todos os pontos que possuem a mesma distância Š com respeito a um ponto

fixo +, chamado de centro.

Exemplos: Bola de futebol, globo terrestre, etc.

Área Total:Área Total: !† x (Raio)2 !†Š 3

Volume:Volume:‡e † x (Raio da Base)3 ‡e †Še

- 176176 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos Exercícios 01 a 18 extraídos da obra:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicaçõesMatemática: contexto & aplicações. Vol. 2. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013.

E01.E01. Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo reto retangular no qual as dimensões são 10 cm, 6 cm e 8 cm?

E02E02. Um cubo tem "#6 cm de aresta. Calcule a medida da sua diagonal.

E03E03. Quantos centímetros quadrados de papelão são gastos para fazer uma caixa de sapatos do tipo e tamanhos a

seguir?

E04E04. Quantos centímetros quadrados de papel adesivos são gastos para cobrir a superfície total de uma peça sextavada

cuja forma e medidas estão na figura abaixo?

E05E05. Qual o volume do cubo de aresta )6 T/?

E06E06. Quantos litros de água são necessários para encher uma caixa-d’água cujas dimensões são: 1,20 m por 0.90 m

por 1 m? (Lembre-se que 1000 litros = " /e).

E07E07. Qual é o volume de um sólido cuja forma e medidas estão na figura baixo?

- 177177 -

E08E08. Calcule o volume de uma peça de metal cuja forma e medidas estão na figura abaixo.

E09E09. A lateral de um prisma triangular regular é de X T/3. A altura do prisma é o triplo da aresta da base. Calcule

o volume do prisma.

E10E10. Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais e a área da base é igual a 16 T/3. Qual é a área

total da pirâmide?

E11E11. Uma pedra preciosa tem a forma da figura abaixo. Sabendo que a pedra tem 6 mm em todas as arestas, calcule

o volume da pedra.

E12E12. Uma peça de cristal tem a forma e as medidas da figura abaixo. Qual o volume do cristal empregado para

fazer essa peça se a sua altura é de 15 cm?

E13E13. Sabe-se que a área lateral de um cilindro é de 2#† T/ 3. Se o raio da base é de 5 cm, calcule a medida h da

altura e a área total do cilindro.

E14E14. Uma ponte de concreto tem a forma da figura a seguir. Suas dimensões estão assinaladas na figura. Qual o

volume de concreto utilizado para construir a ponte? Use † .

- 178178 -

E15E15. Quantos centímetros quadrados de cartolina serão gastos para fazer o chapéu de palhaço cujas medidas estão

na figura abaixo?

E16E16. Um reservatório cônico tem água até metade de sua altura, conforme a figura. Qual é o volume de água?

E17E17. O diâmetro de uma esfera de ferro fundido mede 6 cm. Qual o volume dessa esfera?

E18E18. O volume de uma esfera éd30e T/e. Calcule o raio e a área da superfície esférica.

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01. "#6 2 T/

E02E02. # T/

E03E03. 22X! T/ 3

E04E04.

#,2! "j# 6 T/e

E05E05. *)6 T/e

E06E06. "#j# —

E07E07. ")# T/e

E08E08. "2X##6 T/e

E09E09. !j# T/3

E10E10. "X" 6 T/3

E11E11. "##,j //e

E12E12. "j)## T/ e

E13E13.

g 2 T/ F E *#† T/3

E14E14. "##j /e

E15E15. 2X#† T/ 3

E16E16. 2X,2)† / e

E17E17. """,#! T/ e

E18E18.g ! 6 2ž T/ F E X!† 6 !ž T/3

- 179179 -

ResumoResumo

Nomes Nomes Figuras Figuras FórmulasFórmulas

Triângulo E g2 Ì SS S S T

Paralelogramo E g

Trapézio E 2 g

Polígono E V —2

Círculo E †Š3

Prisma € E˜g

Pirâmide € " E˜g

Tronco de pirâmide" g~ EÞ Ì EÞ E˜ E˜•

Cilindro € †Š 3g

Cone € " †Š3g

Tronco de cone € " †g43 4Š Š 3

Esfera € ! †Še

- 180180 -

1111 ETRESETRES

Noção IntuitivaNoção Intuitiva

Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente

definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa,

temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3m de

comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm 3 ou que a temperatura ambiente é de 30º C, estamos

determinando perfeitamente estas grandezas.

Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo

número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente

caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força,

velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais.

Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as ideias de

direção e de sentido.

A figura ao lado apresenta três retas. A reta r1 determina, ou define, uma

direção. A reta r2 determina outra direção, diferente da direção de r1. Já a

reta r3, por ser paralela a r1, possui a mesma direção de r1. Assim a noção

de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. Quer

dizer, retas paralelas têm a mesma direção.

Nesta outra figura, apresentada abaixo, a direção é definida pela

reta que passa pelos pontos A e B. O deslocamento de uma pessoa nessa

mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de A para B

ou no sentido contrário, de B para A. Portanto, a cada direção podemos

associar dois sentidos. Fica claro então que só podemos falar em

“sentidos iguais” ou em “sentidos contrários” caso estejamos diante da

mesma direção.

Alguns exemplos:

Situação 01:Situação 01: Consideremos um avião com uma velocidade constante de 400 km/h, deslocando-se para nordeste, sob

um ângulo de 40º (na navegação aérea, as direções são dadas pelo ângulo considerado a partir do norte (N), emsentido horário). Esta grandeza (velocidade) seria representada por um segmento orientado (uma flecha – figura

abaixo), sendo o seu módulo dado pelo comprimento do segmento (no caso, 4 cm, e cada 1 cm corresponde a 100

km/h), com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40º. O sentido será indicado por uma seta na extremidade

superior do segmento.

r2

r1

r3

A B

- 181181 -

Observemos que no caso de o ângulo ser 220º (40º + 180º), a direção continua sendo a mesma, porém, o sentido

é o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor.

Situação 02:Situação 02: Analisando o deslocamento de um carro de um ponto ao outro em uma estrada, podemos representar

esse movimento por um segmento de reta orientado, terminado em ponta de flecha, conforme mostra a figura abaixo.

O segmento de reta orientado aponta no sentido em que o carro se desloca e possui um comprimento que meça a

velocidade real dentro de uma escala conveniente, assim como no exemplo anterior.

Esse segmento de reta representa o vetor-velocidade do carro.

O vetor-velocidade é um dos vários exemplos de vetores desse tipo que podem ser encontrados dentro da

Física.

Os vetores nos permitem raciocinar sobre problemas no espaço sem a ajuda de eixos de coordenadas. Dado

que as leis fundamentais da física não dependem de uma posição particular no espaço dos eixos de coordenadas, os

vetores são instrumentos adaptados à formulação dessas leis.

Abstendo-se da ideia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento orientado

(um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo).

Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma

direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um

mesmo vetor. Na figura ao lado, todos os segmentos orientados paralelos, de

mesmo sentido e mesmo comprimento de EG, representam o mesmo vetor, que

será indicado por EGà ou G â E, onde E é a srcem e G a extremidade do

segmento. O vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula

encimada por uma flecha, tal como ãá.

N

40º

N

S

LO

A

B

- 182182 -

Quando escrevemos ãá EGà , estamos afirmando que o vetor ãá é determinado pelo segmento orientado AB.

Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de EG representa também

o vetor ãá.

Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como srcem de um

segmento orientado que é representante do vetor ãá. Esta é a razão de o vetor também ser

chamado de vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua srcem colocada em

qualquer ponto.

O módulo, a direção e o sentido de um vetor ãá é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus

representantes. Indica-se o módulo de ãá por ãá ou ãá .

♦ Dois vetores ßà e ãá são paralelos, e indica-se por ßà // ãá, se os seus representantes tiverem a mesma direção.

♦ Dois vetores ßà e ãá são ditos iguais, e indica-se por ßà = ãá, se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido.

A

B

- 183183 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. A figura é constituída de nove quadrados congruentes. Associe V (verdadeiro) ou F (falso) a cada uma das

seguintes afirmações:

a)a) ( ) OFAB = b)b) ( ) PHAM = c)c) ( ) OPBC =

d)d) ( ) MCBL −= e)e) ( ) EDDE −= f)f) ( ) MGAO =

g)g) ( ) FIKN = h)h) ( ) HI // AC i)i) ( ) LD // JO

j) j) ( ) FG // AJ k)k) ( ) EGAB ⊥ l)l) ( ) BLAM ⊥

m)m) ( ) ECPE ⊥ n)n) ( ) NBPN ⊥ o)o) ( ) AMPN ⊥

p)p) ( ) FPAC = q)q) ( ) MFIF = r)r) ( ) ACAJ =

s)s) ( ) NP2AO = t)t) ( ) BLAM =

10.5.2. Operações com vetores10.5.2. Operações com vetores

Adição de VetoresAdição de Vetores

Consideremos os vetores ßà e ãá, cuja soma ßà + ãá pretendemos encontrar.

Tomemos um ponto E qualquer e, com srcem nele, tracemos um segmento

orientado EG representante do vetor ßà .

Utilizemos a extremidade G para traçar o segmento orientado G+

representante do vetor ãá. O vetor representado pelo segmento orientado de

srcem E e extremidade + é, por definição, o vetor soma de ßà e ãá, isto é, ßà ãá E+à ou EGà G+à E+à .

Sendo ßà // ãá, a maneira de se obter o vetor ßà + ãá é a mesma e está ilustrada abaixo:

A B C D

L M N E

K P O F

J I H G

A

ßßàà

ããáá

ßßà à ããáá

B

C

ßßà à ããáá

ßßàà ããáá

ßßàà e ããáá de mesmo sentido

ßßàà

ããáá

ßßà à ããáá

ßßàà e ããáá de sentidos contrários

- 184184 -

No caso de os vetores ßà e ãá não serem paralelos, há uma outra

maneira de se encontrar o vetor soma ßà ãá. Representam-se ßà EGà e

ãá E(à por segmentos orientados de mesma srcem E. Completa-se o

paralelogramo EG+( e o segmento orientado de srcem E, que

corresponde à diagonal do paralelogramo, é o vetor ßà ãá, isto é, ßà ãá E+à , ou EGà E(à E+à .

Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo e, em particular, se a

extremidade do representante do último vetor coincidir com a srcem do representante do primeiro, a soma deles será

o vetor zero.

Multiplicação de um vetor por um escalarMultiplicação de um vetor por um escalar

Dado um vetor ãá 5 # e um número real H 5 #, chama-se produto do numero real H pelo vetor ãá, o vetor Hãá, tal que:

a)a) módulo: Hãá = Hãá, isto é, o comprimento de Hãá é igual ao comprimento de ãá multiplicado por H;

b)b) direção: Hãá é paralelo a ãá;c)c) sentido: Hãá e ãá têm o mesmo sentido se H #, e contrário se H #. Se H # ou ãá #à , então Hãá #à .

A figura apresenta o vetor ãá e alguns de seus

múltiplos:

Ângulo de dois vetoresÂngulo de dois vetores

O ângulo entre os vetores não-nulos

ßà e

ãá é o ângulo

Ø formado por duas

semi-retas Ew e wG de mesma srcem w, onde ßà wEà , ãá wGà e

# ( em radianos) ou #ä "j#ä.

Se ßà [[ãá e ßà e ãá têm o mesmo sentido, então #. É o que ocorre, por exemplo, com os vetores ßà e 2ßà que têm o

mesmo sentido. Se ßà [[ãá e ßà e ãá têm sentidos contrários, então "j#ä. É o caso de ßà e ßà.

A

B

C

D

ßßàà

ããáá

ßßàà + ããáá

ßßàà

ããáá

ßßàà + ããáá ååàà

ßßàà + ããáá + ååàà

ßßàà

ããáá

ååàà

WWáá ßà + ãá + åà + Wá = #à

O

B

A

θ

ßßàà

ããáá

- 185185 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01.E01. Com base na figura ao lado, determinar os vetores abaixo, expressando-os com srcem no ponto A:

a) CNAC + b) BDAB + c) DCAC +

d) AKAC + e) EOAC + f) BLAM +

g) ANAK + h) OEAO − i) NPMO −

j) CBBC − k) NFPNLP ++ l) PBBNBL ++

E02.E02. Com base na figura ao lado, determinar os vetores abaixo,

expressando-os com srcem no ponto A:

a) CGAB + b) DEBC + c) EHBF +

d) BCEG − e) EHCG + f) FBEF −

g) AEADAB ++ h) FHDAEG ++

E03.E03. Dados dois vetores

ßà e

ãá não-paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores

ßà ãá,

ßà ãá,

ãá ßà,

ßà ãá

todos com srcem em um mesmo ponto.

E04.E04. A figura ao lado apresenta o losango EFGH inscrito no retângulo

ABCD, sendo O o ponto de intersecção das diagonais desse losango.

Associe V para verdadeiro e F para falso a cada uma das seguintes

afirmações:

a) ( ) OGEO = b) ( ) CHAF =

c) ( ) HGDO = d) ( ) BOOC −=− e) ( ) DHOH −=−

f) ( ) COEH −=− g) ( ) BDAC = h) ( ) DB21

OA =

i) ( ) CD // AF j) ( ) HG // GF k) ( ) OC // AO

l) ( ) OHAB ⊥ m) ( ) CBEO ⊥ n) ( ) HFAO ⊥

o) ( ) FEOB −=

E05.E05. Associe V ou F a cada uma das afirmações:

a) ( ) Se uρ

= vρ

, então uρ

= vρ

.

b) ( ) Se uρ

= vρ

, então uρ

= vρ

.

A B C D

L M N E

K P O F

J I H G

A B

CD

EF

GH

A F B

D H C

E O G

- 186186 -

c) ( ) Se uρ

// vρ

, então uρ

= vρ

.

d) ( ) Se uρ

= vρ

, então uρ

// vρ

.

e) ( ) Se wρ

= uρ

+ vρ

, então wρ

= uρ

+ vρ

.

f) ( ) Se wρ

= uρ

+ vρ

, então uρ

, vρ

e wρ

são paralelos.

g) ( ) Se DCAB = , então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo.

h) ( ) v5ρ

= v5ρ

− = 5 vρ

.

i) ( ) Os vetores v3ρ

e v4ρ

− são paralelos e de mesmo sentido.

j) ( ) Se uρ

// vρ

, uρ

= 2 e vρ

= 4, então vρ

= u2ρ

ou vρ

= u2ρ

− .

E06.E06. Com base na figura da questão 01, determinar os vetores abaixo, expressando-os com srcem no ponto A:

a) CHOC + b) FGEH + c) AF2AE2 + d) EFEH + e) BGEO +

f) OC2OE2 + g) EHBC21

+ h) FGFE + i) HOOG − j) AOFOAF ++

E07.E07. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD , sendo M e N pontos médios dos lados DC e

AB, respectivamente. Determinar:

a)a) ABAD + b)b) DABA + c)c) BCAC −

d)d) BCAN + e)e) MBMD + f)f) DC21

BM −

E08.E08. Apresentar, graficamente, um representante do vetor ßà − ãá nos casos:

(aa) (bb) (cc) (dd)

E09.E09. Determinar o vetor á nas figuras:

(aa) (bb) (cc) (dd)

E10.E10. Sabendo que o ângulo entre os vetores ßà e ãá é de 60º, determinar o ângulo formado pelos vetores:

a)a) ßà e ãá b)b) ßà e 2ãá c)c) ßà e ãá d)d) ßà e )ãá

A B

CD

•

N

M

•

ßßàà

ããáá ããáá

ßßàà

ããáá

ßßàà

ßßàà ããáá

á

á á

á

ßà

ßà

ßà

ßà

ãá ãá

ãá ãá

- 187187 -

1212 LEIS $E !E6T!LEIS $E !E6T!

IntroduçãoIntrodução

Quando empurramos um carro, arrastamos uma caixa, saltamos

ou pulamos algum obstáculo, estamos exercendo forças nesses

corpos. Em todos esses casos, há relação entre as forças que estão

agindo e as alterações que sofre o estado de movimento do corpo em

questão.Nessa Unidade, nosso objetivo é tentar explicar as causas dos

movimentos estudando o conceito de força e as Leis de Newton.

A preocupação do homem em tentar explicar as causas dos movimentos dos corpos terrestres e celestes

remonta há pelo menos 2000 anos. Mas foi Isaac Newton, que nasceu na Inglaterra no dia do Natal do ano de 1642,

quem primeiro apresentou uma teoria que realmente explicava as causas do movimento. Publicou no ano de 1686

seu principal trabalho: Princípios Matemáticos da Filosofia Natural. Sua contribuição foi de enorme importância

para o desenvolvimento da Física, a tal ponto de receber uma homenagem da tripulação da Apolo XI: “Queremos

agradecer à pessoa que tornou possível essa viagem: Isaac Newton”.

A Mecânica Clássica ou Newtoniana continua válida até hoje para explicar as causas dos movimentos.

Estudaremos as três Leis de Newton, mas antes é necessário conhecermos o conceito de força.

ForçaForça

Chutar, amassar, puxar, empurrar, deformar, arremessar, segurar, bater: são ações muito comuns em nossas

vidas e que estão associadas à grandeza física força. Até hoje, não temos uma definição exata desta grandeza, mas,

com facilidade, podemos observar suas causas e seus efeitos. O físico francês Henry Poincaré (1854 – 1912), fez sua

tentativa: “A ideia de força é uma noção primitiva, irredutível e indefinível. Ela deriva de uma noção de esforço, que

nos é familiar desde a infância”.

Já Isaac Newton escreveu: “Uma força imprimida é uma ação exercida sobre um corpo a fim de alterar seu

estado, seja de repouso, ou de movimento”.

Atualmente, vários cientistas, afirmam que:

Em Dinâmica vamos tratar de forças cujo efeito principal é causar variações na velocidade de um corpo, isto

é, aceleração.

ForçaForça é um agente físico que surge da interação

entre no mínimo dois corpos, capaz de produzir

alterações em seu estado de movimento (variações

de velocidade) ou deformação.

- 188188 -

Tal qual a aceleração, a força é uma grandeza vetorialgrandeza vetorial, exigindo, portanto, para ser caracterizada, uma

intensidade, uma direção e um sentido.

A unidade de força no Sistema Internacional

(SI) é o Newton (N): uma força de 1 N é a força que

aplicada a um corpo de 1 kg, provoca uma aceleração

de 1 m/s2. Abordaremos novamente este assunto mais

adiante.

12.2.112.2.1 Força ResultanteForça Resultante

Seja uma partícula na qual estão aplicadas várias forças. Esse sistema de forças pode ser substituído por uma

única força, a força resultanteforça resultante, que é capaz de produzir na partícula o mesmo efeito que todas as forças aplicadas.

EquilíbrioEquilíbrio

Um ponto material está em equilíbrio quando a resultante das forças que nele atuam é nula. Podemos distinguir

dois casos:

Equilíbrio Estático: Equilíbrio Estático: um ponto material está em equilíbrio

estático quando se encontra em repouso, isto é, sua velocidade

vetorial é nula no decorrer do tempo.

Equilíbrio Dinâmico:Equilíbrio Dinâmico: o equilíbrio é dito dinâmico quando o

ponto material está em movimento retilíneo e uniforme, isto é,sua velocidade vetorial é constante e diferente de zero.

O conceito científico para grandeza étudo o que pode ser medido.

Grandeza escalarGrandeza escalar é aquela que ficaperfeitamente caracterizada quando

conhecemos um número e uma unidade.Grandeza vetorialGrandeza vetorial é aquela que somentefica caracterizada quando conhecemos,

pelo menos, uma direção, um sentido, um

número e uma unidade.

REPOUSOREPOUSO

MRUMRU

- 189189 -

Princípio da Inércia ou 1ª Lei de NewtonPrincípio da Inércia ou 1ª Lei de Newton

Considere um corpo não submetido à ação de força alguma. Nessa condição esse corpo não sofre variação de

velocidade. Isso significa que, se ele está parado, permanece parado e, se está em movimento, permanece em

movimento e sua velocidade se mantém constante.

Podemos interpretar seu enunciado da seguinte maneira: todos os corpos são “preguiçosos” e não desejam

modificar seu estado de movimento: se estão em movimento, querem continuar em movimento; se estão parados,

não desejam mover-se.

Os físicos chamam essa “preguiça” de inérciainércia, característica de todos os corpos dotados de massa.

O princípio da inércia pode ser observado no movimento de um ônibus. Quando o ônibus “arranca” a partir do

repouso, os passageiros tendem a deslocar-se para trás, resistindo ao movimento. Da mesma forma, quando o ônibus

já em movimento freia, os passageiros deslocam-se para frente, tendendo a continuar com a velocidade que possuíam.

Para Galileu, o natural era o movimento – e não o repouso, como afirmava Aristóteles. Ao observar o

movimento de um corpo, sua questão era “por que para” e não “por que se move”.

A afirmação de que “um corpo parado permanece parado se não agir sobre ele alguma força” pode facilmente

ser compreendida em nossa vida prática (um corpo não se move por si só, é necessário aplicar-lhe uma força).

Tal princípio, formulado pela primeira vez por Galileu e depois

confirmado por Newton, é conhecido como primeiro princípio da

Dinâmica (1ª Lei de Newton) ou Princípio da InérciaPrincípio da Inércia.

G a r f i e l d –

J i m D a v i s ®

- 190190 -

Já a afirmação de que um corpo em movimento mantém velocidade constante se não atuarem forças sobre ele

é menos intuitiva. Com efeito, um corpo em movimento não permanece sempre em movimento: depois de certo

tempo – mais ou menos longo – o corpo para. Uma bolinha jogada sobre um plano horizontal para depois de percorrer

poucos metros, mesmo que aparentemente não aja força alguma sobre ela.

Na realidade existe uma força de freamento, indicada genericamente com o nome de atritoatrito. Porém, no caso

de essas forças não existirem ou serem reduzidas ao mínimo, o princípio da inércia é verificado plenamente.

Por exemplo, uma nave espacial que se move no espaço interplanetário, por exemplo, não encontra atrito; por

isso não tem necessidade de motor e, pelo princípio da inércia, continua a mover-se em linha reta com a velocidade

com a qual foi lançada inicialmente.

Os referenciais em que o princípio da inércia se verifica são chamados referenciais inerciais. Tais referenciais

são fixos em relação às estrelas distantes ou se movem com velocidade constante em relação a elas, isto é, possuem

aceleração vetorial nula.

Para movimentos de pequena duração (menor que 24h), podemos desprezar os efeitos de rotação da Terra econsiderar sua velocidade como constante durante o movimento de translação. Nessas condições a Terra pode ser

considerada um referencial inercial.

Massa de um CorpoMassa de um Corpo

Sabemos que os corpos que apresentam maior inércia são aqueles de maior massa. Por exemplo, é mais fácil

empurrar um carrinho vazio do que um carrinho cheio de compras.

O carrinho com compras oferece maior resistência para sair do repouso.

Podemos, então, associar a massa de um corpo à sua inércia, dizendo que a massa de um corpo é a medida

numérica de sua inércia.

No Sistema Internacional de unidades (SI), a massa tem como padrão o quilograma.

G a r f i e l d –

J i m D a v i s ®

- 191191 -

O submúltiplo e o múltiplo usuais do quilograma são, respectivamente, o grama (g) e a tonelada (t), sendo que

1 g = 10 -3 kg e 1 t = 103 kg.

Princípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de NewtonPrincípio Fundamental da Dinâmica ou 2ª Lei de Newton

A experiência nos mostra que uma mesma força produzirá diferentes acelerações sobre diferentes corpos. Uma

mesma força provoca uma aceleração maior numa bola de tênis do que num automóvel, isto é, quanto maior a massa

de um corpo mais força será necessária para produzir uma dada aceleração. Esse princípio estabelece uma

proporcionalidade entre causa (força) e efeito (aceleração).

Isaac Newton estabeleceu esta lei básica que analisa as causas gerais dos movimentos, relacionando as forças

aplicadas a um ponto material de massa m constante e as acelerações que a provocam. Considerando comoRF a soma

vetorial (resultante) de todas as forças aplicadas e a a aceleração adquirida, a segunda Lei de Newton estabelece:

No Sistema Internacional de unidades (SI) a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de aceleração

é o metro por segundo ao quadrado (m/s2).

Aplicando o princípio fundamental da Dinâmica, temos a unidade de força newton (N).

amFR

ρ⋅=

1 N = 2s

m

kg⋅

Um newton (N) é a intensidade da força que, aplicada à massa de 1 kg, produz na sua direção e no seu sentido

um movimento de aceleração de 1 m/s2.

No sistema CGS a unidade de massa é grama (g), a unidade de aceleração e o centímetro por segundo ao

quadrado (cm/s2) e a unidade de força e o dina (dyn).

A resultante das forças aplicadas a um ponto material é igual ao

produto de sua massa pela aceleração adquirida.

Isso significa que a força resultanteRF produz uma aceleração a com a

mesma direção e mesmo sentido da força resultante e suas intensidades

são proporcionais.

- 192192 -

2s

cmgdyn ⋅=

A relação entre o newton e o dina é: 1 N = 10 5 dyn.

Medida de uma ForçaMedida de uma Força

Podemos medir a intensidade de uma força pela deformação que ela produz

num corpo elástico.

O dispositivo utilizado é o dinamômetrodinamômetro, que consiste numa mola helicoidal

de aço envolvida por um protetor. Na extremidade livre da mola há um ponteiro

que se desloca ao longo de uma escala.

A medida de uma força é feita por comparação da deformação causada por

essa força com a de forças padrão.

Princípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de NewtonPrincípio da Ação e Reação ou 3ª Lei de Newton

Quando dois corpos interagem aparece um par de forças como resultado da ação que um corpo exerce sobre o

outro. Essas forças são comumente chamadas de ação e reação.

O princípio da ação e reação estabelece as seguintes propriedades das forças decorrentes de uma interação

entre os corpos:

A toda ação corresponde uma reação, comA toda ação corresponde uma reação, com

a mesma intensidade, mesma direção ea mesma intensidade, mesma direção e

sentido contrário.sentido contrário.

- 193193 -

Imagine dois patinadores, de massas inerciais iguais, parados um em

frente ao outro numa superfície horizontal de gelo.

Se um empurrar o outro, os dois adquirirão movimento na mesma

direção e em sentidos opostos, e os deslocamentos serão efetuados no

mesmo intervalo de tempo, sugerindo que as forças aplicadas são opostas.

Essa situação ilustra a Terceira lei de Newton, chamada Lei da ação e reação. Sempre que dois corpos quaisquer

A e B interagem, as forças exercidas são mútuas. Tanto A exerce força em B, como B exerce força em A. A interação

entre corpos é regida pelo princípio da ação e reação.

Toda vez que um corpo A exerce uma força æáç num corpo B, este

também exerce em A uma força æáÞ tal que essas forças:

• Tem a mesma intensidade èæáçè èæáÞè æ;

• Tem a mesma direção;

• Tem sentidos opostos;

• Tem a mesma natureza, sendo ambas de campo ou ambas de contato.

ObservaçãoObservação: As chamadas forças de ação e reação não se equilibram, pois estão aplicadas em corpos diferentes.

Vamos analisar duas situações identificando as forças de reação aplicadas num determinado corpo:

- 194194 -

Força Normal Força Normal ~éà •:: Toda força trocada entre superfícies sólidas que se

comprimem. Sua direção é perpendicular à linha que tangencia as superfícies no

ponto de apoio:

Força de tração Força de tração ~êà •:: Força que um fio aplica em um corpo preso a ele. A essa força corresponde uma reação ëà ,

aplicada no fio.

Forças EspeciaisForças Especiais

Formalizando o conceito de força, é o resultado da interação entre corpos, podendo ela produzir uma variação

de velocidade, equilíbrio e deformação. Força é uma grandeza vetorial.

12.9.112.9.1 A Força PesoA Força Peso

A força peso ~ìà • é uma força de campo, pois ocorre pela ação a distância entre os corpos. Imagine a seguinte

situação, duas bolas de massas m1 e m2, foram abandonadas do repouso no mesmo nível e estão em queda livre

vertical próximo à superfície da Terra.

Nesta situação, a única força que atua sobre cada bola é a força gravitacional ìà . A intensidade de ìà pode ser

calculada multiplicando a massa mm pela intensidade da aceleração da gravidade ‰à :: ì /. f

De acordo com a Lei Fundamental da Dinâmica, a força ìà é resultante e tem a mesma direção e sentido da

aceleração fá.

O peso de um corpo não deve ser confundido com sua massa: enquanto a massa é uma propriedade da matériae seu valor é constante em qualquer lugar, o peso é uma força e sua intensidade varia dependendo do local onde o

corpo se encontra.

No SI, a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de peso é o newton (N).

- 195195 -

12.9.212.9.2 Força de AtritoForça de Atrito

A força de atrito pode ser encontrada frequentemente em nosso cotidiano: quando caminhamos, acendemosum palito de fósforo, escovamos os dentes, escrevemos, etc.

Mas, o que são forças de atrito?

São forças tangenciais que aparecem quando há escorregamento (ou tendência) entre superfícies sólidas que

comprimem. A ocorrência desse fenômeno depende, entre outras coisas, do estado de polimento e da natureza das

superfícies.

12.9.312.9.3 Força de atrito estáticoForça de atrito estático

A força de atrito estático ocorre quando existe uma tendência a um deslizamento relativo entre duas superfícies

que se comprimem.

Na figura a seguir temos um bloco apoiado numa superfície horizontal, nele é aplicada uma força solicitadora

de movimento ~æá• também horizontal.

Enquanto o bloco permanece em repouso temos æç æ .

Aumentando gradativamente a intensidade da força æá, o bloco continua

em repouso até que æá atinja o valor limite entre o repouso e o

movimento iminente. Nesse momento, o bloco se encontra na

iminênciaiminência de movimento.

Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes leis para o atrito:

força de atrito estático varia de zero até o valor máximo de æáç • A intensidade da

• A intensidade da força de atrito máxima é diretamente proporcional à intensidade da

força normal ~kà • que a superfície aplica sobre o bloco: æç í¥ . k, sendo í¥ o

coeficiente coeficiente de de atrito atrito estáticoestático.• O coeficiente de atrito estático depende do estado de polimento e da natureza das duas

superfícies em contato.

• A intensidade da força de atrito estático é independente da área de contato entre as

superfícies sólidas que se comprimem.

Uma unidade de força muito utilizada na engenharia é o

quilograma-forçaquilograma-força (kgf), definido com a intensidade da força peso

de um corpo de 1 kg de massa, próximo à superfície terrestre:

1 kgf = 9,8 N1 kgf = 9,8 N

As faces de contato do bloco e da superfície são comprimidas, trocando forças

normais. A compressão dessas faces é devida ao peso do bloco, que representa a

atração que a Terra exerce sobre ele.

- 196196 -

12.9.412.9.4 Força de atrito cinéticoForça de atrito cinético

Quando a força solicitadora do movimento ~æá• atinge o valor da força de atrito máxima, o bloco fica na

iminência de deslizamento. A partir daí, um pequeno acréscimo na intensidade da força solicitadora produz o

movimento do bloco, ocorrendo, então, a força de atrito cinético ~ æáçî•. Experimentalmente, verifica-se que, quando

o bloco está em movimento, a força de atrito é constante e não depende da velocidade de escorregamento das

superfícies, desde que essa velocidade não atinja valores muitos elevados.

O gráfico seguinte mostra de que maneira variam os atritos estático e cinético entre as superfícies.

Para a força de atrito cinético, temos: æçî íî . k, em que í é o coeficiente decoeficiente de atrito cinéticoatrito cinético. Comparando

os coeficientes estático e cinético, temos: í¥ íî

- 197197 -

- 198198 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

Exercícios TeóricosExercícios Teóricos

E01E01. Nas figuras abaixo, representamos as forças que agem nos blocos de massa igual a 2,0 kg. Determine, em cada

caso, o módulo da aceleração que esses blocos adquirem.

E02E02. Um ponto material de massa igual a 2 kg parte do repouso sob a ação de uma força constante de intensidade

6N, que atua durante 10 s, após os quais deixa de existir. Determine:

a)a) a aceleração nos 10 s iniciais;

b)b) a velocidade ao fim de 10 s.

E03E03. Uma partícula de massa 0,50 kg realiza um movimento retilíneo uniformemente variado. Num percurso de 4,0

m sua velocidade varia de 3,0 m/s a 5,0 m/s. Qual o módulo da força resultante que age sobre a partícula?

E04E04. Determine a aceleração de um bloco de massa 2 kg e que desliza, num plano horizontal sem atrito, nas situaçõesindicadas abaixo:

E05E05. Uma partícula de massa 0,20 kg é submetida à ação das forças 1F,

2F , 3F e4F , conforme indica a figura. Determine a aceleração da

partícula.

E06E06. Submete-se um corpo de massa igual a 5.000 kg à ação de uma força constante que, a partir do repouso, lhe

imprime a velocidade de 72 km/h, ao fim de 40 s. Determine:

a)a) a intensidade da força;

b)b) o espaço percorrido.

- 199199 -

E07E07. Qual o valor, em newtons, da força média necessária para fazer parar, um percurso de 20 m, um automóvel de

1,5⋅103 kg a uma velocidade de 72 km/h?

E08E08. Duas forças, 1F e 2F , aplicadas a um mesmo ponto, são perpendiculares entre si. Sabendo que suas intensidades

são respectivamente iguais a 12 N e 16 N, determine:

a)a) a intensidade resultante das forças;

b)b) a aceleração da partícula, que tem 4 kg de massa.

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:E01.E01. a)a) 2 m/s2 b)b) 3,5 m/s2 c)c) 0,50 m/s2 d)d) 2,5 m/s2

E02. a)E02. a) 3 m/s2 b)b) v = 30 m/s

E03.E03. æÙ ",# k

E04. a)E04. a) 5 m/s2 b)b) 3 m/s2

E05.E05. 10 m/s2 E06.E06. a)a) 2500 N b)b) 400 m

E07.E07. 1,5⋅104 N

E08. a)E08. a) =RF 20 N b)b) 5 m/s2

- 200200 -

TestesTestes

T01T01. Um corpo de massa m = 0,5 kg está sob a ação das duas forças colineares,

æ0à 2# k F æ3à ") k, indicadas na figura. De acordo com a segunda lei de

Newton, a aceleração resultante, em m/s2, é de:

a)a) 0 b)b) 10 c)c) 30 d)d) 40 e)e) 70

T02T02. (UEL–PR) Sob a ação exclusiva de duas forças, æ0à F æ3à , de mesma direção, um corpo de 6,0 kg de massa adquireaceleração de módulo igual a 4 m/s2. Se o módulo de æ0à vale 20 N, o módulo de æ3à , em newtons, só pode valer:

a)a) 0 b)b) 4,0 c)c) 44 d)d) 40 e)e) 4,0 ou 44

T03T03. Um corpo de massa igual a 2 kg encontra-se inicialmente em repouso

sobre uma superfície horizontal sem atrito. Aplica-se uma força horizontal

sobre o corpo (conforme o gráfico). A velocidade do corpo, após percorrer

4 m, será de:

a)a) 3 m/s

b)b) 4 m/s

c)c) 5 m/s d)d) 6 m/s

e)e) 2 m/s

T04T04. (UFAL) Um carrinho de massa m = 25 kg é puxado por uma força resultante horizontal F = 50 N. De acordo

com a Segunda lei de Newton, a aceleração resultante no carrinho será, em m/s2, igual a:

a)a) 1250 b)b) 50 c)c) 25 d)d) 2 e)e) 0,5

T05T05. (Fatec-SP) Uma motocicleta sofre aumento de velocidade de 10 m/s para 30 m/s enquanto percorre, em

movimento retilíneo uniformemente variado, a distância de 100 m. Se a massa do conjunto piloto + moto é de 500

kg, pode-se concluir que o módulo da força resultante sobre o conjunto é:

a)a) 200 N b)b) 400 N c)c) 800 N d)d) 2000 N e)e) 4000 N

T06T06. (UFPE) Um objeto de 2,0 kg descreve uma trajetória retilínea, que obedece à equação horária s = 7t2 + 3 t + 5,

na qual s é medido em metros e t em segundos. O módulo da força resultante que está atuando sobre o objeto é:

a)a) 10 N b)b) 17 N c)c) 19 N d)d) 28 N e)e) 35 N

ææ33àà

ææ00àà

- 201201 -

T07.T07. Abaixo, apresentamos três situações do seu dia-a-dia que devem ser associados com as três leis de Newton.

I)I) Ao pisar no acelerador do seu carro, o velocímetropode indicar variações de velocidade.

A)A) Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia.

II)II) João machucou o pé ao chutar uma pedra.B)B) Segunda Lei de Newton ou Princípio Fundamentalda Dinâmica.

III)III) Ao fazer uma curva ou frear, os passageiros deum ônibus que viajam em pé devem se segurar.

C)C) Terceira Lei de Newton ou Lei da Ação e Reação.

A opção que apresenta a sequência de associação correta é:

a)a) A-I, B-II, C-III

b)b) A-II, B-I, C-III

c)c) A-II, B-III, C-I

d)d) A-III, B-I, C-II

e)e) A-III, B-II, C-I

T08.T08. Dadas as afirmações:

I.I. Um corpo pode permanecer em repouso quando solicitado por forças externa.

II.II. As forças de ação e reação têm resultante nula, provocando sempre o equilíbrio do

corpo em que atuam.III.III. A força resultante aplicada sobre um corpo, pela Segunda Lei de Newton, é o

produto de sua massa pela aceleração que o corpo possui.

Podemos afirmar que é(são) correta(s):

a)a) I e II b)b) I e III c)c) II e III d)d) I e)e) I, II e III

T09T09.. (UFMG) Todas as alternativas contêm um par de forças ação e reação, exceto:

a)a) A força com que a Terra atrai um tijolo e a força com que o tijolo atrai a Terra.

b)b) A força com que uma pessoa, andando, empurra o chão para trás e a força com que o chão empurra a pessoa

para a frente.

c)c)

A força com que um avião empurra o ar para trás e a força com que o ar empurra o avião para a frente. d)d) A força com que um cavalo puxa uma carroça e a força com que a carroça puxa o cavalo.

e)e) O peso de um corpo colocado sobre uma mesa horizontal e a força normal da mesa sobre ele.

- 202202 -

T10.T10. (UFAL 96) Um corpo de massa 250 g parte do repouso e adquire a velocidade de 20 m/s após percorrer 20 m em

movimento retilíneo uniformemente variado. A intensidade da força resultante que age no corpo, em Newtons, vale:

a)a) 2,5 b)b) 5,0 c)c) 10,0 d)d) 20,0 e)e) 25,0

T11.T11. Um corpo de massa M = 4 kg está apoiado sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito estático entre

o corpo e o plano é de 0,30, e o coeficiente de atrito dinâmico é 0,20. Se empurrarmos o corpo com uma força F

horizontal de intensidade F = 16 N, podemos afirmar que: (g = 10 m/s2)

a)a) a aceleração do corpo é 0,5 m/s2.

b)b) a força de atrito vale 20 N.

c)c) a aceleração do corpo será 2 m/s2.

d)d) o corpo fica em repouso.

e)e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

T12.T12. Um bloco de madeira pesa 2,00 × 103 N. Para deslocá-lo sobre uma mesa horizontal com velocidade constante,

é necessário aplicar uma força horizontal de intensidade 1,0 × 102 N. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco

e a mesa vale:

a)a) 5,0 ×10-2 b)b) 1,0 ×10-1 c)c) 2,0 ×10-1 d)d) 2,5 ×10-1 e)e) 5,0 ×10-1

T13.T13. Um corpo desliza sobre um plano horizontal, solicitado por uma força de intensidade 100 N. Um observador

determina o módulo da aceleração do corpo: a = 1,0 m/s2. Sabendo-se que o coeficiente atrito dinâmico entre o bloco

e o plano de apoio é 0,10, podemos dizer que a massa do corpo é: (g = 10 m/s2)

a)a) 10 kg b)b) 50 kg c)c) 100 kg d)d) 150 kg e)e) 200 kg

T14.T14. Dois corpos A e B (mA = 3 kg e mB = 6 kg) estão ligados por um fio

ideal que passa por uma polia sem atrito, conforme a figura. Entre o corpo

A e o apoio, há atrito cujo coeficiente é 0,5. Considerando-se g = 10 m/s2, a

aceleração dos corpos e a força de tração no fio valem:

a)a) 5 m/s2 e 30 N.

b)b) 3 m/s2 e 30 N.

c)c) 8 m/s2 e 80 N.

d)d) 2 m/s2 e 100 N.

e)e) 6 m/s2 e 60 N.

- 203203 -

T15.T15. (EFU-MG) O bloco da figura abaixo está em repouso e tem massa igual

a 2 kg. Suponha que a força F = 4 N, representada na figura, seja horizontal

e que o coeficiente de atrito estático das superfícies em contato vale 0,3. O

valor da força de atrito é: (g = 10 m/s2.)

a)a) 4 N b)b) 6 N c)c) 2 N d)d) 10 N e)e) 20 N

T16.T16. Dois blocos idênticos, ambos com massa m, são ligados por um fio

leve, flexível. Adotar g = 10 m/s2. A polia é leve e o coeficiente de atrito

do bloco com a superfície é m = 0,2. A aceleração dos blocos é:

a)a) 10 m/s2

b)b) 6 m/s2

c)c) 5 m/s2

d)d) 4 m/s2

e)e) Nula

T17.T17. No esquema ao lado, considere desprezíveis a massa da roldana, a massa

dos fios e o atrito. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e t o

instante em que os blocos A e B passam pela posição esquematizada. De

acordo com todas as informações, inclusive as do esquema, a tração no fio F,em newtons, no instante t, é igual a:

a)a) 40

b)b) 48

c)c) 60

d)d) 96

e)e) 100

Resposta dos Testes:Resposta dos Testes:

T01. T01. B B T10. T10. AA

T02. T02. E E T11. T11. CC

T03. T03. B B T12. T12. AAT04. T04. D D T13. T13. BB

T05. T05. D D T14. T14. AA

T06. T06. D D T15. T15. AA

T07. T07. D D T16. T16. DD

T08. T08. B B T17. T17. BB

T09. ET09. E

- 204204 -

1#1# APLICA*ÕES $AS LEIS $E !E6T!APLICA*ÕES $AS LEIS $E !E6T!

IntroduçãoIntrodução

No capítulo anterior verificamos que a segunda lei de Newton nos fornece que a força resultante que atua em

um corpo é igual a massa do corpo vezes a aceleração adquirida. Assim, neste capítulo iremos estudar algumas

aplicações das leis de Newton. Primeiramente vamos apresentar as condições segundo as quais os corpos, na natureza,

podem ser mantidos continuamente em repouso ou em movimento uniforme. Depois, estudaremos os casos onde uma

força resultante em um corpo fornece uma aceleração constante diferente de zero neste corpo.

EquilíbrioEquilíbrio

Vamos considerar na figura o caso onde um homem tenta empurrar

uma caixa, sendo que a caixa não sai do lugar. Primeiramente, devemos

saber quais são as forças que atuam na caixa. Para isso usamos o diagrama

de força na figura 2. Na vertical existem a força normal e peso. Enquanto

na horizontal um homem aplica uma força para a direita, contudo existe uma

força de atrito entre a caixa e o chão.

Nesta situação notamos que a força normal para cima deve ser igual a força peso para baixo na direção vertical.

Na direção horizontal a força do homem (FH) para direita deve ser igual a força de atrito (f at) para a esquerda.

Lembrando que a força por ser uma grandeza vetorial, podemos garantir para que um corpo não tenha movimento

translacional a soma vetorial de todas as forças deve ser nula.

0FR

ρρ= . (1)(1)

A equação (1)(1) pode ser colocada em cada direção, neste caso, teremos FRx = 0 e FRy = 0, isto é, a somatória de

todas as forças que atuam no eixo x deve ser zero (o mesmo acontecendo em y).

Nas próximas seções apresentaremos os dois tipos de equilíbrio que podem surgir através da condição dada

na equação (1)(1).

Estar em equilíbrio significa dizer que a fEstar em equilíbrio significa dizer que a força resultante que age em um corpo é orça resultante que age em um corpo é nula.nula.

Figura 1: O homem empurra a caixa para direitasendo que a caixa fica parada.

- 205205 -

Equilíbrio EstáticoEquilíbrio Estático

A condição de equilíbrio mostrado na Figura 1, onde

não existe movimento, será chamado de equilíbrio estático.

Esta situação é de muita importância na área de Engenharia,

onde muitas vezes você está interessando em estudar os

efeitos de forças externas em estruturas que não possuem

movimento como mostrado na Figura 2.

Primeiramente para analisarmos sistemas em equilíbrio

estático devemos considerar que a dimensão do corpo será

desconsiderada, isto é, podemos representar este corpo como

sendo um ponto com uma massa m. Para analisar os efeitos de

força externa frequentemente desenhamos um diagrama de corpo

isolado. Neste diagrama, o corpo é representado por um ponto e

cada força externa que atua no corpo é representado por um vetor

com srcem nesse ponto. Para ilustrar o diagrama de corpo

isolado levamos em conta o exemplo do homem empurrando

uma caixa mostrada na Figura 1.

Vamos a seguir ilustrar o conceito de equilíbrio em alguns exemplos:

Exemplo 01:Exemplo 01: Considere um móbile preso a um teto, com duas peças metálicas

presas por uma corda de massa desprezível, conforme a figura ao lado. Calcule a

tensão na corda inferior e na corda superior. Levar em conta que g = 10m/s2.

Resolução:Resolução: Para resolvermos esse problema vamos rotular m1 = 3,5 kg e m2 = 4,5

kg, assim, P1 = 3,5 ⋅ 10 = 35N e P2 = 4,5 ⋅ 10 = 45N.

Agora devemos desenhar o diagrama de forças para cada uma dessas massas. Na

figura abaixo a tensão na corda inferior será chamado de T2 e na corda inferior T1.

Figura 3: Diagrama de forças atuando sobre a caixa.

Figura 2: A grua quando parada mantém o pesoiçado em equilíbrio estático.

- 206206 -

Como o sistema está em equilíbrio estático devemos usar o somatório de forças igual à zero.

• Começando com a massa m2 temos: .N45TPT0PT0F 22222Ry =→=→=−→=

• Fazendo a análise de forças para a massa 1: .N804535TTPT0PTT0F 1211121Ry =+=→+=→=−−→=

Exemplo 02:Exemplo 02: Determine as trações nas cordas 1 e 2 da figura abaixo.

O peso do bloco será de 600 N.

Resolução:Resolução: O primeiro passo seria desenhar o diagrama de forças para esse

sistema. Em problemas que envolvem fios devemos escolher o ponto onde os fios

se encontram; na figura do problema seria o ponto A.

As forças ficam da seguinte forma:

Usando o conhecimento adquirido no capítulo anterior, sobre Trigonometria do Triângulo Retângulo, temos:

110

1y1

110

1x1

T71,071,0T45senTT

T71,071,0T45cosTT

===

===

Devemos fazer o mesmo para T2:

220

2y2

220

2x2

T71,071,0T45senTT

T71,071,0T45cosTT

===

===

Agora podemos fazer a soma de todas as forças em x e y:

.600T71,0T71,00600T71,0T71,00F

0T71,0T71,00F

2121Ry

21Rx

=+→=−+→=

=−→=

Obtivemos um conjunto de equações lineares. Na literatura existem várias maneiras de resolver sistemas de equações,

aqui usaremos a mais tradicional.

Veja que temos que fazer a somatória das forças em x e y, contudo, devemos

calcular as componentes das forças em x e y.

Devemos reparar que a força peso já está colocada no eixo y (lembre-se que

a força peso sempre aponta para baixo).

- 207207 -

Usando a equação em x:2212121Rx TT

71,071,0

TT71,0T71,00T71,0T71,00F ==→=→=−→= .

Vamos substituir a relação acima na resultante em y:

( )

.N5,42242,1

600T600T42,1

600T71,0T71,0600T71,0T71,060T71,0T71,0

22

222221

==→=

=+→=+→=+

Para calcular a tração T1 devemos usar a relação: N5,422TT 21 == .

Exemplo 03:Exemplo 03: Um corpo de peso 80 N é mantido por fios ideias,

conforme indica a figura ao lado. Determine as intensidades das

trações suportadas pelos fios AB e AC.

Resolução:Resolução: O primeiro passo seria desenhar o diagrama de forças

para esse sistema. Em problemas que envolvem fios devemos

escolher o ponto onde os fios se encontram. Na figura do problema

seria o ponto A.

As forças ficam da seguinte forma: Construindo o diagrama de força teremos:

Veja que temos que fazer a somatória das forças em x e y, contudo, devemos calcular as componentes das forças

em x e y. Usando a mesma metodologia do exemplo anterior:

110

1y1

110

1x1

T5,05,0T30senTT

T87,087,0T30cosTT

===

===

Devemos fazer o mesmo para T2:

220

2y2

220

2x2

T87,087,0T60senTT

T5,05,0T60cosTT

===

===

Agora podemos fazer a soma de todas as forças em x e y:

.80T87,0T5,0080T87,0T5,00F

0T5,0T87,00F

2121Ry

21Rx

=+→=−+→=

=−→=

Usando a equação em x:2212121Rx T57,0T

87,05,0

TT5,0T87,00T5,0T87,00F ==→=→=−→= .

Vamos substituir a relação acima na resultante em y:

- 208208 -

( )

.N7,73085,180

T80T085,1

80T87,0T285,080T87,0T57,05,080T87,0T5,0

22

222221

==→=

=+→=+→=+

Para calcular a tração T1 devemos usar a relação:

( ) N85,367,7357,0T57,0T 21 =⋅==

Equilíbrio DinâmicoEquilíbrio Dinâmico

A condição de equilíbrio colocado na equação (1)(1) mostra que a força resultante é igual à zero. Contudo,

voltando ao exemplo do homem empurrando a caixa, mostrado na Figura 1, vamos supor agora que o homem apliqueuma força de tal forma que a caixa se movimente em linha reta com velocidade constante. Lembrando que quando a

velocidade é constante a aceleração será nula. Deste modo, novamente chegamos no resultado da equação (1)(1), pois

0FamF RR

ρρρρ=→= .

O sistema acima também está em equilíbrio,

contudo, chamamos de equilíbrio dinâmico. No

equilíbrio dinâmico necessariamente há movimento. Por

exemplo, uma bicicleta sem condutor e parada não se

mantém em equilíbrio na posição vertical, mas quando

está em movimento dado pelo condutor esse equilíbrio é

possível. Cabe observar que o movimento da bicicleta

envolve muitas variáveis. Por essa razão, ao citá-lo como

exemplo de equilíbrio dinâmico, é preciso deixar claro

que se está referindo a uma situação particular: a

bicicleta está em linha reta e velocidade constante. Nessa

situação, a força resultante é nula.

Agora faremos alguns exemplos referentes ao equilíbrio dinâmico.

Exemplo 04:Exemplo 04: Um homem empurra uma caixa de 50 kg com velocidade

constante uma caixa com velocidade constante. Supondo que o coeficiente de

atrito dinâmico entre a superfície é a caixa seja de 0,2. Calcule a força

necessária que o homem deve aplicar a caixa. Considere que g = 10m/s2.

Resolução:Resolução: O diagrama de forças é mostrado logo abaixo:

Figura 4: Para que a ciclista esteja em equilíbrio dinâmico énecessário que ela pedale em MRU.

- 209209 -

Podemos verificar pelas equações acima que se calcularmos a força de atrito encontraremos a força do homem (FH).

.N10010502,0Ff Ndat =⋅⋅=⋅µ=

Aqui usamos o fato que a força normal é igual ao peso (P = 500N).

Assim FH = 100N.

Exemplo 5:Exemplo 5: Um helicóptero da força área brasileira transporta uma carga de

2000 kg içando-a de um local ao outro, como ilustra a figura abaixo.

Considerando que o helicóptero mantém altitude e velocidade constantes,

determine a tensão que a corda deverá suportar nestas condições (considere

g = 10 m/s2).

Resolução:Resolução: Novamente devemos fazer o diagrama de forças para esse

sistema. Colocando a caixa na srcem do diagrama de forças encontraremos:

Assim, verificamos que a tração será igual ao peso: T = m ⋅ g = 2000 ⋅ 10 = 20.000 N ou T = 20 kN.

Observação:Observação: Lembre-se da tabela que apresenta o prefixo da notação cientifica, pois k = 1000.

Exemplo 06:Exemplo 06: Um garoto puxa um treno com um peso de 40 N

por uma superfície horizontal, com velocidade constante. A

tração na corda será de 25 N. Calcule:

a)a) A força de atrito.

b)b) A força normal.

Usando as condições de equilíbrio devemos ter:

PF0PF0F

f F0f F0F

NNRy

atHatHRx

=→=−→=

=→=−→=

- 210210 -

Resolução:Resolução: Novamente devemos fazer o diagrama de forças para esse sistema. Escolhendo o trenó para colocar na

srcem do diagrama de forças teremos:

Na figura acima já apresentamos as componentes Tx e Ty. Os valores de Tx e Ty serão dados por:

N5,1230sen25T

N7,2130cos25T0

y

0x

=⋅=

=⋅=

Nesta situação a velocidade é constante, assim podemos usar as equações de equilíbrio para resolver esse problema.

a)a) A soma das forças em x fornece: N7,21f 0f T0F atatxRx =→=−→= .

b)b) Para calcular a força normal devemos levar em conta T y. Assim, a soma das forças no eixo y fornece:

N5,275,1240TPF0PTF0F yNyNRy =−=−=→=−+→=

DinâmicaDinâmicaConsideraremos agora o caso onde exista uma força resultante constante (não nula) atuando no ponto material.

Nesta situação, onde a força resultante é constante a aceleração vai ser constante. Assim, poderemos usar as equações

do MRUV.

Sa2VV

atVV

at21

tVSS

20

2

o

2o0

∆+=

+=

++=

(2)(2)

Deste modo, usaremos o conjunto de equações acima junto com a segunda lei de Newton. Nossa ênfase aqui

será em aplicações onde o ponto material está em um plano horizontal e depois em um plano inclinado.

13.5.113.5.1 Plano HorizontalPlano Horizontal

Exemplo 07:Exemplo 07: Seja um corpo de massa 2 kg, em repouso, apoiado

sobre um plano horizontal sob a ação das forças horizontais F1 e F2

de intensidades 10N e 4N, respectivamente, conforme indica a

figura.

- 211211 -

a)a) Calcule a aceleração adquirida pelo corpo.

b)b) Calcule a velocidade e o espaço percorrido pelo corpo 10s após o início do movimento.

Resolução:Resolução: Nesta situação veja que a força peso será igual a força normal, deste modo, essas forças não

influenciam no movimento do ponto material na direção horizontal. Na direção horizontal a força resultante será

.N6410FFF 21Rx =−=−=

Através destas informações conseguimos calcular a aceleração:

a)a) .s / m326

aa26amF 2Rx ==→=→⋅=

b)b) Para calcular a velocidade podemos usar a função horária da velocidade: s / m301030atVV 0 =⋅+=+=

o espaço percorrido será dado pela função horária da posição .m150)10(321

Sat21

tVSS 2200 ==→++=

Exemplo 08:Exemplo 08: Um foguete experimental pode partir do repouso e alcançar a velocidade de 1600 km/h em 1,8 s, com

aceleração constante. Calcule a intensidade da força necessária, se a massa do veículo é 500 kg.

Resolução:Resolução: Neste caso diferentemente do caso anterior devemos calcular a aceleração. Depois podemos usar a

segunda lei de Newton para calcular a força resultante.

2s / m9,2468,144,444

tV

a ==∆

∆=

.kN5,123N450.1239,246500FamF RR ==⋅=→⋅=

No cálculo da aceleração transformamos a velocidade de km/h para m/s.Outra observação que faremos seria que o movimento no plano se refere aqui a movimento em uma

dimensão, pois neste caso o foguete teria movimento na direção horizontal.

Exemplo 09:Exemplo 09: Se as rodas de um carro ficam “travadas” (impedidas de girar) durante uma frenagem de emergência, o

carro desliza na pista. Pedaços de borracha arrancados dos pneus e pequenos trechos de asfalto fundido formam as

“marcas da derrapagem” que revelam a ocorrência de soldagem a frio. O recorde de marcas de derrapagem em via

pública foi estabelecido em 1960 pelo motorista de um Jaguar na rodovia M1, na Inglaterra: as marcas tinham 290 m

de comprimento. Supondo que o coeficiente de atrito cinético seja igual a 0,60 e que a aceleração do carro se manteve

constante durante a frenagem, calcule a velocidade do carro quando as rodas travaram.

Resolução:Resolução: Se fizermos o diagrama de forças para este sistema iremos encontrar:

- 212212 -

Desta forma, com as informações obtidas do enunciado V = 0, ΔS = 290m poderemos calcular V0 usando a equação

Sa2VV 202 ∆+= devemos calcular a aceleração do carro, neste caso pelo diagrama de forças verificamos que aforça resultante atuando no carro será Fr= −f at.

A força de atrito pode ser calculada através de 10m6,0gm6,0Ff Nat ⋅⋅=⋅⋅=⋅µ= , veja que usamos que a força

normal deve ser igual a força peso nesta situação.

Usando a segunda lei de Newton: .s / m6aam10m6,0amF 2R −=→⋅=⋅⋅−→⋅=

A aceleração neste caso fica negativa, pois o veículo tem velocidade final igual à zero. Além disso, veja que este

resultado independe da massa do carro.

Por fim, podemos calcular a velocidade inicial:

.h / km216s / m6029062V)290()6(2V0Sa2VV 02

022

02 ≈=⋅⋅=→⋅−⋅+=→∆+=

13.5.213.5.2 Plano InclinadoPlano Inclinado

Diariamente temos oportunidades de observar objetos em movimento ou em repouso sobre uma superfície

inclinada.

Figura 5: Objetos em planos inclinados.Como exemplo, na figura à esquerda, usamos o plano inclinado para facilitar as nossas tarefas.

Vejamos agora alguns exemplos de aplicação da segunda lei de Newton no caso do plano inclinado.

- 213213 -

Exemplo 10:Exemplo 10: Um corpo de massa 8 kg é abandonado sobre um

plano inclinado cujo ângulo de elevação é 30º. O atrito entre o

corpo e o plano é desprezível. Admitindo que g = 10m/s2, calcule:

a)a) a aceleração do corpo.

b)b) a força normal.

Resolução:Resolução: Por conveniência, desenhamos o sistema de coordenadas (diagrama de corpo livre) também inclinado.

Como o objeto está escorregando ao longo do plano vamos considerar que neste sentido a força será positiva. Assim,

veja que o peso tem uma inclinação igual ao do plano inclinado em relação ao eixo y. Desta forma, devemos

decompor a força peso nas direções x e y.

N3,6930cos108cosgmP

N4030sen108sengmP0

y

0x

=⋅⋅=θ⋅⋅=

=⋅⋅=θ⋅⋅=

Se você ficou com a dúvida da decomposição identifique quem são os catetos do triângulo retângulo.

Por fim, faremos as resultantes nas forças em x e y.

a)a) 2Rx s / m5aa840amF =→=→⋅=

b)b) N3,69F03,69F0F NNRy =→=−→=

Veja que a força resultante em y será igual a zero, pois o movimento do ponto é ao longo do plano.

Exemplo 11:Exemplo 11: Considere o mesmo plano inclinado do exemplo

anterior (θ = 300; m = 8 kg) preso a uma corda.

Calcule a tensão nesta corda e a força normal.

Resolução:Resolução: Neste caso temos o equilíbrio estático, assim a força

normal fica com o mesmo valor do exemplo anterior. Enquanto

na direção x teremos .N40TT400FRx =→−→=

O ponto importante que queremos mostrar, é que no plano inclinado devemos sempre fazer a decomposição da força

peso na direção x e y. A partir destas componentes devemos sempre utilizar a segunda lei de Newton para cada eixo

separadamente.

- 214214 -

Atividades de AprendizagemAtividades de Aprendizagem

E01.E01. Na figura o corpo suspenso tem massa igual a 2 kg. Os fios têm

pesos desprezíveis e o sistema está em equilíbrio estático (repouso).

Determine as trações nos fios AB e BC. (Considere: g = 10 m/s²)

E02.E02. No sistema em equilíbrio esquematizado, o fio BC deve

permanecer horizontal. Os fios e a polia são ideais.

Sendo M 1 = 3 kg e g = 10 m/s2, determine:

a)a) A tração no fio AB.

b)b) O peso do bloco 2.

E03.E03. Uma corda AB tem sua extremidade A fixa, enquanto a outra B

está ligada ao bloco M em forma de paralelepípedo de peso 120 N.

Esse bloco repousa sobre um plano horizontal. O coeficiente de atrito

entre o plano e o bloco é de 0,30. Em um ponto C da corda é

dependurado um peso Q tal que o ângulo formado pelo trecho AC com

a horizontal seja 60º; o trecho CB é horizontal.

Adotar g = 10 m/s².

a)a) Qual a força de atrito exercida pelo plano sobre o bloco quando ele estiver na iminência de movimento?

b)b) Qual o peso máximo que se pode pendurar em C?

E04.E04. Dez segundos após a partida, um veículo alcança a velocidade de 18 km/h.

a)a) Calcule, em m/s2, sua aceleração média nesse intervalo de tempo.

b)b) Calcule o valor médio da força resultante que imprimiu essa aceleração ao veículo, sabendo que sua massa é de

1,2⋅103 kg.

E05.E05. Você está à deriva no espaço, afastando de sua nave espacial. Por sorte, você tem uma unidade de propulsão

que fornece uma força resultante F por 3,0 segundos. Após 3,0 s, você se moveu 2,25 m. Se sua massa é 68 kg,

encontre F. Considere a velocidade inicial como sendo nula.

- 215215 -

E06.E06. Durante as férias de inverno, você participa de uma corrida de trenós. Calçando botas de neve, com travas que

permitem uma boa tração, você começa a corrida puxando uma corda atada ao trenó com uma força de 150 N a 25º

acima da horizontal. O trenó tem uma massa de 80 kg e não existe atrito entre as lâminas do trenó e o gelo.

Calcule:

a)a) a aceleração do trenó e

b)b) o valor da força normal exercida pela superfície sobre o trenó.

E07.E07. Consideremos um corpo de massa igual a 2 kg inicialmente em

repouso sobre um plano horizontal perfeitamente liso. Sobre o corpo passa

a atuar uma força FF de intensidade 16 N, conforme indica a figura.

Determine:

a)a) a aceleração do corpo.

b)b) a reação normal do plano de apoio (força normal).

E08.E08. Um carro de 900 kg, andando a 72 km/h, freia bruscamente e para em 4s.

a)a) Calcule o módulo da aceleração do carro.

b)b) Calcule o módulo da força de atrito que atua sobre o carro.

E09.E09. A figura ilustra uma jovem arrastando um caixote com uma corda, ao longo de uma superfície horizontal, com

velocidade constante. A tração que ela exerce no fio é de 20 N. Determine a força de atrito que atua na caixa.

E10.E10. Um corpo de massa 5 kg desce um plano inclinado que faz

um ângulo α com a horizontal. O coeficiente de atrito entre as

superfície s é 0,4. Considerando g = 10m/s2 e sendo sen α = 0,8

e cos α = 0,6, calcule:

a)a) a reação normal do apoio;

b)b) a aceleração do corpo.

- 216216 -

Respostas dos Exercícios Teóricos:Respostas dos Exercícios Teóricos:

E01.E01. TAB = 40 N TBC = 34,64N

E02. a)E02. a) 60 N b)b) 51,96 N

E03. a)E03. a) 36 N b)b) 62,3 N

E04. a)E04. a) 0,5 m/s2 b)b) 600 N

E05.E05. 34 N

E06. a)E06. a) 1,7 m/s2 b)b) 736,61 N

E07. a)E07. a) 4 m/s2 b)b) 6,14 N

E08. a)E08. a) 5 m/s2 b)b) 4500 N

E09.E09. 15,97 N

E10. a)E10. a) 30 N b)b) 5,6 m/s2

- 217217 -

TestesTestes

T01.T01. O sistema da figura encontra-se em equilíbrio estático.

Determine as trações T1 e T2, nos fios AB e AC, respectivamente. O

peso do corpo é 200N.

a)a) T1 = 200N e T 2 = 120N

b)b) T1 = 185N e T2 = 283N

c)c) T1 = 215N e T 2 = 325N

d)d) T1 = 283N e T2 = 200N

e)e) T1 = 300N e T 2 = 200N

T02.T02. Para tirar um carro de um atoleiro é necessário aplicar-lhe uma

força de módulo 6000N. Utilizando uma corda, como

esquematizado na figura, um motorista deverá puxá-la com uma

força FF, cujo módulo, no mínimo, é igual a:

a)a) 400 N

b)b) 800 N

c)c) 3.200 N

d)d) 11.980 N

e)e) 90.000 N

T03.T03. Dois blocos na posição vertical são ligados por uma corda. Outra corda é

amarrada ao bloco superior. A força FF (em kgf) necessária para manter o sistema

em repouso vale:

a)a) 2

b)b) 3

c)c) 4

d)d) 6

e)e) 4,5

- 218218 -

T04.T04. O corpo M representado na figura pesa 80 N e é mantido em equilíbrio por

meio da corda AB e pela ação da força horizontal FF de módulo 60 N.

Considerando g = 10m/s2, a intensidade da tração na corda AB, suposta ideal,

em N, é:

a)a) 60

b)b) 80

c)c) 100

d)d) 140

e)e) 200

T05.T05. Os blocos A e B da figura pesam, respectivamente, 980 N e 196 N.

O sistema está em repouso.

Considere os seguintes dados cos 45º = sen 45º = 0,707 e µ=0,3.

É correto afirmar que:

a)a) A força normal do plano sobre A, vale 196N.

b)b) A força de atrito estático entre A e a superfície horizontal vale 196N.

c)c) Há uma força de 294 N puxando o bloco A para a direita.

d)d) O bloco A não pode se mover porque não há força puxando-o para a direita.

e)e) O bloco B não pode se mover porque não há força puxando-o para baixo.

T06.T06. Uma força F de 70N, paralela à superfície de um plano inclinado

conforme mostra a figura, empurra para cima um bloco de 50 N com

velocidade constante. A força que empurra esse bloco para baixo, com

velocidade constante, no mesmo plano inclinado, tem intensidade de:

(Use cos 37º = 0,8; sen 37º = 0,6)

a)a) 40 N b)b) 30 N c)c) 20 N d)d) 15 N e)e) 10 N

T07.T07. Na figura m 1 = 100 kg, m2 = 76 kg, a roldana é ideal e o coeficiente

de atrito entre o bloco de massa m1 e o plano inclinado é µ=0,3.

Considerando que sen 30º = 0,5 e cos 30º = 0,86, o bloco de massa m 1 se

moverá:

a)a) para baixo, acelerado.

b)b) para cima, com velocidade constante.

c)c) para cima, acelerado.

d)d) para baixo, com velocidade constante.

- 219219 -

T08.T08. Um bloco de madeira de massa 400 g é arrastado sobre uma superfície horizontal, a partir do repouso, por uma

força constante de 2,0 N, também horizontal. Sabendo que a aceleração do corpo é 1,0 m/s2, a força de atrito entre o

corpo e a superfície horizontal, em newtons, vale:

a)a) 0 b)b) 0,4 c)c) 0,8 d)d) 1,6 e)e) 2,4

T09.T09. Um bloco de massa 5,0 kg é lançado horizontalmente, com uma velocidade inicial de 72 km/h, sobre uma

superfície horizontal, parando após percorrer 80m. Considerando que a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, o

coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície vale:

a)a) 0,10 b)b) 0,25 c)c) 0,40 d)d) 0,50 e)e) 0,75

T10.T10. Considerando o exercício anterior, marque a opção referente ao tempo que o bloco chegou a v = 0.

a)a) 8s b)b) 10s c)c) 14s d)d) 20s e)e) 23s

Respostas dos Testes:Respostas dos Testes:

01. D01. D

02. B02. B

03. D03. D

04. C04. C

05. C05. C

06. E06. E

07. C07. C

08. D08. D

09. B09. B

10. A10. A

- 220220 -

RE)ER7!CIAS BIBLIGR.)ICASRE)ER7!CIAS BIBLIGR.)ICAS

BARROSO, Juliane Matsubara et al. Matemática: construção e significadoMatemática: construção e significado. São Paulo: Moderna, 2008.

BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemática.Curso de Matemática. Vol. Único. 3ª Ed. São Paulo: Moderna, 2003.

___________________________________. Matemática.Matemática. Vol. 1. São Paulo: Moderna, 2004.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática.Matemática. Vol. 1, São Paulo: Ática, 1999.

__________________. Matemática.Matemática. Vol. 1, São Paulo: Ática, 2005.

GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática Aplicada: Economia, Matemática Aplicada: Economia, AdministraçãoAdministração

e Contabilidade.e Contabilidade. 8ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.GRAPES 6.71 ptGRAPES 6.71 pt. GRAph Presentation & Experiment System. Desenvolvedor: KATSUHISA, Tomoda com apoiode ISODA, Masami; BALDIN, Yuriko Yamamoto; YAHARA, Hiroki. (Software Freeware) Disponível paradownload em: <http://www.baixaki.com.br/download/grapes.htm>. Acesso em 01.08.2016.

HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações.Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7ª Ed. Rio deJaneiro: LTC, 2002.

LEITHOLD, Louis. Matemática aplicada à economia Matemática aplicada à economia e administração.e administração. São Paulo: Harbra, 1988. Tradução Cyrode Carvalho Patarra.

MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo: funções de uma e Cálculo: funções de uma e várias variáveis.várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.

PAIVA, Manoel. Matemática.Matemática. Vol. 1. São Paulo: Moderna, 2000.

_____________. Matemática.Matemática. São Paulo: Moderna, 2002.