Maria Magdalena Mischan Rodrigues

2 3 4 Total

Fase 1 7

Escolha entre utilização das linhas ou colunas 2 9através do critério do maior número de células.No exemplo citado, cada linha possui quatro 3 18casas enquanto cada coluna possui apenas três. Total 5 8 7 14Escolhemos como ponto de partida as linhas.

Método dos transportes

já que não foi demonstrado matematicamente,nem pesquisado dentro de um número estatis-ticamente significativo de casos.

Podemos dizer entretanto, com grande pro-babilidade, que ele permite atingir a soluçãoótima em mais de 90% dos casos, sendo portan-to um auxiliar valioso no desenvolvimento ma-nual dos problemas de transporte.

O presente trabalho propõe não um métodopronto e verificado, mas um princípio aberto àdiscussão e verificação por parte dos estudiososdo assunto, estando ainda por decidir-se o seuverdadeiro alcance.

2. TÉCNICA DE DESENVOLVIMENTO DASOLUÇA0 INICIAL

O método deve ser processado em duas etapas:na primeira será desenvolvido numa direção (porexemplo, escolhendo-se as linhas como ponto departida), e na segunda, de teste, em outra direção(pelas colunas, no exemplo citado). Na grandemaioria dos casos, a solução ótima é atingidaapós a realização da primeira fase, funcionando asegunda apenas como um teste de comprovaçãodo atingimento do objetivo.

Em alguns casos, entretanto, por causas nãoidentificadas, a solução ótima não é atingida naprimeira etapa, sendo a segunda absolutamentenecessária não só como teste, mas como re-veladora dessa solução final. Parecem, no entan-to, ser muito raros os casos enquadrados nessasegunda categoria (na pesquisa realizada atéagora localizamos dois exemplos nessas con-diçOes).

O ideal seria naturalmente que as causas emquestão fossem identificadas e que o métodopudesse funcionar apenas em uma etapa; essa éuma das limitações do presente trabalho e umdos pontos abertos a futuras investigaçOes.

2.1 Fases do método. Primeiro exemplo!

Trata-se de um problema de transporte de umaempresa que tem três fábricas e quatro depósitosregionais. Conhecendo-se o custo unitário detransporte de cada fábrica para cada depósito eas necessidades de cada depósito juntamentecom a capacidade de produção de cada fábrica, oproblema é determinar quais as fábricas quedevem suprir tais depósitos, a fim de que o custototal de transporte seja mínimo.

Quadro 1

DepósitosFábricas

2 3 41 Total

1 ~ ~ ~ ~ 7

2 ~ ~ ~ s> 9

3 ~ ~ ~ ~ 18

Total 5 8 7 14 34

Fase 2Soma dos custos unitários das células para cadalinha e escolha daquela que possuir o maior valorpara início dos cálculos.Primeira linha: 19 + 30 + 50 + 10 = 109Segunda linha: 70 + 30 + 40 + 60 = 200Terceira linha: 40 + 8 + 70 + 20 = 138

A ordem a ser observada será a seguinte :segunda linha, terceira linha e primeira linha,respectivamente.Fase 3Comparação entre os valores unitários das cé-lulas de cada linha com os menores valores dasrespectivas colunas e escolha da célula querevelar a menor diferença relativa.

Iniciando pela segunda linha, efetuamos adiferença entre cada valor dessa linha e o menorvalor da respectiva coluna:

70 - 19 = 5130 - 8 = 2240 - 50 = - 1060 - 10 = 50

A menor diferença é -10, portanto, alocamos àcélula de custo unitário $40 o máximo possívelde unidades que, no caso, são sete.

Restam duas unidades para completar a se-gunda linha, que serão alocadas na casa querevelar a segunda menor diferença (22). Trata-seda célula de custo unitário $30.

Quadro 2

41

Métodos dos transportes desenvolvimento de uma nova solução inicial Maria Magdalena E. Mischan Rodrigues

Preenchida a segunda linha, efetuamos osmesmos cálculos para a terceira. Teremos:

40 - 19 = 218 - 30 = - 22

20 - 10 = 10

(A terceira célula foi eliminada dos cálculos polsa terceira coluna já se encontra totalmente preen-chida.)

A menor diferença sendo -22, alocamos àcélula de custo $8 o máximo pennitido pelacoluna de seis unidades. As 12 unidades restan-tes serão alocadas na célula de custo $20, queapresentou a segunda menor diferença.

Quadro 3

1 2 3 4 Total

1 5 2 72 2 7 93 ~ ~ 18

Total 5 8 7 14

42

A primeira linha é preenchida automaticamen-te, com cinco unidades na primeira casa e duasna quarta.

Essa solução nos dá o custo total de: 5(19) ++ 2 (30) + 6(8) + 7(40) + 2(10) + 12(20) = $743

Trata-se da solução ótima procurada; o testepara verificação desse fato poderá ser feito daforma tradicional ou, caso se prefira, por umacomprovação através do mesmo método reali-zado a partir das colunas (conforme será exem-plificado posteriormente, no item 2.4).

2.2 Segundo exemplo

Trata-se da seguinte matriz, extraida do livro deKaufmann, Máthod •• at modtles de la rechercheoperationnene:

Quadro 4

40 50 70 90 90

100120120

Revista de Administração de Empresas

Primeiro passo:Escolha das linhas como ponto de partida, já queelas apresentam maior número de células.Segundo passo:Soma dos custos

Primeira linha: 22Segunda linha: 25Terceira linha: 25

Esse caso apresenta uma coincidência nosdois maiores valores de custos das linhas. Quan-do isso ocorrer optamos pela realização dos cál-culos das duas linhas em conjunto.Terceiro passo:Realização dOS cálculosComo no exemplo em questão a segunda e a ter-ceira linhas serão consideradas conjuntamente,utilizaremos apenas o menor valor entre as duaspara a realização dos cálculos.

Considerando, portanto, a primeira célula,temos os valores 6 e 5 na segunda e terceira li-nhas, respectivamente; escolhemos o valor 5 eefetuamos a diferença com o terceiro valor dacoluna correspondente (5 - 4 = 1).

Para efeito de organização, separamos emduas colunas os valores da segunda e da terceiralinha: .

Quadro 5

Sej;lunda Terceiralinha linha

5-4-12-1 -1

3-2-1 4-6-27-9-2

Vê-se, portanto, que se as duas menores di-ferenças (-2) foram obtidas para o valor $4 da ter-ceira linha e $7 da segunda. Alocamos então nes-sas duas casas o máximo permitido, que são 90unidades para cada célula.

Quadro 6

100

~30..lJ

90 120

~90 12040 50 70 90 90

Restam 30 unidades para serem alocadas emambas as linhas; quanto à segunda linha, não hádúvida: as 30 unidades serão alocadas na célulade custo unitário $3.

Com relação à terceira linha, nota-se que existeuma coincidência de valores, revelando tanto aprimeira célula quanto a segunda uma diferença

de uma unidade com relação às células corres- Quadro 9pondentes da primeira linha.

Nesse caso, como a primeira linha deve ser aúltima a ser considerada (e, portanto, preenchidaautomaticamente), podemos alocar indiferen-temente as 30 unidades restantes na primeira ouna segunda célula da terceira linha. Conforme acélula escolhida teremos duas soluções finais, oque aliás constitui uma vantagem do método emquestão: evidenciar duas soluções ótimas alter-nativas ao mesmo tempo.

As duas matrizes a seguir revelam as duassoluções alternativas:

Quadro 7

~10 ~ 50.1..J 40 ...§J

~ 100.§J ~ ~ 30 2.J .lJ90 120

í130 .lJ ~...iJ

90 -ª--' 120

40 50 70 90 90

~ ~ ~ tu 21 4-i.l .LI ~ uu 2J 7

~ ~ ~ ~ ~ 6

1 3 5 2 6

A ordem será portanto: terceira, segunda eprimeira linha, respectivamente.3. Realização dos cálculos:

Terceira linha {J~~: r8 - 1 = 76 - 2 = 4

Alocamos portanto uma unidade à primeira cé-lula, de custo $3, três unidades à segundacélula, de custo $6, e as duas unidades restantesdeverão ser alocadas ou à terceira ou à quintacélula, que apresentam ambas uma diferença dequatro unidades.

Custo total da pri mei ra alternativa: 4(10)+1(50)+ Quad ro 10+ 2(40) + 3(30) + 7(90) + 5(30) + 4(90) = 1 400.

Quadro 8

~40 tu 20 ~40 ~ ~ 100.§J

~ ~30 2J .1J90 120

~ 2J30 ~ .iJ90 ~ 120

40 50 70 90 90

Custo total da segunda alternativa: 4(40) ++ 1(20)+ 2(40)+ 3(30) + 7(90)+ 2(30)+ 4(90)= 1400.

Nesse exemplo também a solução ótima é en-contrada na primeira etapa, o que entretanto nãoelimina a necessidade de realização de um teste.

2.3 Terceiro exemplo

(ExtraídodeSimmonnard, Michel. Programmatlonlinéaire.)

1. Escolha das linhas com ponto de partida.2. Soma dos custos:

Primeira linha: 29Segunda linha: 32Terceira linha: 35

4

7

~1..§J ~3 ~ 6

1 3 5 2 6

Nesse caso, o mais interessante é deixar essasduas unidades em suspenso por enquanto e pas-sar para a linha seguinte.

{8 - 9 = -1

Segunda Hnha 11 - 1 = 102 - 5 = -3

Alocamos então seis unidades na célula decusto $2 e uma unidade na de custo $8.

43

Quadro 11

~ ~ ~ W ~ 42 2-i.l 2..l

~1 ,!1J 216 7

~1 ~3 ~2 ~..§j

6

1 3 5 2 6

Método dos transportes

Voltamos então à terceira linha e verificamosque as duas unidades que faltaram deverão seralocadas à terceira célula, de custo $12, jâ que aquinta coluna foi totalmente preenchida.

A primeira linha será preenchida automati-camente, com duas unidades na terceira célula eduas na quarta.

Trata-se também da SOlUÇa0ótima, de custoigual a $85.

É interessante agora retornar ao inicio dos cál-culos e ver o que aconteceria, caso tiyéssemoscolocado as duas unidades restantes da terceiralinha na quinta célula (de custo $6).

Nesse caso obterlamos a seguinte matriz, tam-bém de custo total igual a $85. O empate entreas duas diferenças indicava também a existên-cia de duas soluções ótimas alternativas.

Quadro 12

3 2 6

6

4

4 7

2

5

2.4 Quarto exemplo

Caso em que há necessidade de reallzação dasegunda etapa do método.

Trata-se de uma matriz extralda de Lima Puc-cini, Abelardo de. Introdução à programaçãolinear. (Problema 4.2, p, 116).

44 Quadro 13

4 6 2 4 2

9

5

6

2

4

1. Escolha das linhas como ponto de partida.2. Soma dos custos:

Primeira linha: 55 (1.°)Segunda linha: 34 (4.°)Terceira linha: 45 (2.0)Quarta linha: 39 (3.°)

Revista de Administração de Empresas

3. Realizaçao dos cálculos:

Primeira linha {1~ ~ !~~9 - 2 = 710 - 5 = 5

A menor diferença é 2; alocamos portanto àterceira célula, de custo $9, cinco unidades.

Terceira linha {J~!~~3 - 2 = 111 - 5 = 6

Alocam-se duas unidades à primeira célula, decusto unltárlo $6.

Quarta linha {1~ ~ ~ ~ ;:2 - 5 = -310 - 5 = 5

Alocamos primeiramente duas unidades naquarta célula (custo $2), em seguida, quatrounidades na quinta célula (custo $2), duas uni-dades na primeira (custo $6) e uma unidade naterceira célula (custo $11).

Quadro 14

5

6

2

9

64 2 4 24

A terceira linha será preenchida automatica-mente, com quatro unidades na segunda célula eduas unidades na sexta.

Custo total dessa SOlUÇa0:9(5) + 3(4) + 5(2) + 6(2) + 6(2) + 11(1) ++2(2) + 2(4) = 114.

A SOlUÇa0encontrada não é ainda a SOlUÇa0ótima. O teste poderá ser feito através da apll-cação do mesmo método, realizado através dascolunas. Trata-se de um caso em que há neces-sidade de realização da segunda etapa do mé-todo. .

Segunda etapa. Soma dos custos das colunas: Quadro 17

Primeira coluna: 28 (segundo lugar)Segunda coluna: 28 (segundo lugar)Terceira colina: 36 (primeiro lugar)Quarta coluna: 26 (terceiro lugar)Quinta coluna: 19 (quarto lugar)Sexta coluna: 36 (primeiro lugar)

Iniciaremos pela terceira e sexta colunas,tratadas conjuntamente (conforme foi exem-plificado no item 2.2).

Quadro 15

Terceira Sextacoluna coluna

9-6-3 5-3-29-3-6 10- 2- 8

A menor diferença foi obtida na segunda célulada sexta coluna. Alocamos aí, então, o máximoposslvel de duas unidades.

Após preencher a sexta coluna, torna-se ne-cessário completar os cálculos para a terceiracoluna:

{

9-6=37 - 3 = 49 - 3 = 6

11 - 2 = 9

Alocamos então cinco unidades na primeiracélula e uma na segunda.

Quadro 16

~5 5

W1 [IJ2 629

4 4 6 2 4 2

Em segundo lugar, houve também um empateentre a primeira e a segunda colunas, ambas comum custo de $28:

Primeira Segundacoluna coluna

-- --3- 5--25-3- 26-2-4

A menor diferença foi obtida para a segundacélula da segunda coluna; alocamos então trêsunidades na segunda célula e uma na terceira.

Quadro 18

4 4 6 2

5

2 6

9

2 4

Refazendo os cálculos para a primeira coluna,tem-se:

6 - 3 = 36 - 2 = 4

Alocamos uma unidade à terceira célula etrês unidades à quarta.

A quarta e a quinta colunas serão preenchidasautomaticamente.

Custo total dessa solução:9(5) + 3(3) + 7(1) + 5(2) + 6(1) + 6(3) ++ 2(2) + 2(4) = 112

Esse foi, portanto, um dos dois casos pes-quisados que necessitaram de uma segundaetapa para fornecer a solução ótlma.! Todos osdemais casos pesquisados até agora fornecerama solução ótima já no decorrer da primeira etapa.

3. CONCLUSÕES FINAIS: VANTAGENS ELIMITAÇÕES DO MÉTODO

O método proposto apresenta vantagens eviden-tes de simplificação dos cálculos, pois, namaioria dos 'casos, permite encontrar a soluçãoótima sem precisar refazer a matriz, dispensandoos cálculos tradicionais, os quais necessitammuitas vezesde seis, sete ou mais matrizes inter-mediárias. .

Além disso, é de aplicação muito simples; ocaso mais complexo, por nós pesquisado, foi o

Método dos transportes

45

citado no item 2.4, que parece ser um dos menosadequados à aplicação do método e que, jus-tamente por esse fato, julgamos obrigatórioapresentá-lo na presente exposição.

Nos demais casos, ele simplifica grandementeos cálculos, alcançando a solução ótima mesmoem matrizes grandes e complexas; aliás, pareceque, em se tratando de matrizes quadradas, ométodo funciona perfeitamente, alcançando asolução ótima sempre na primeira etapa, pormaior e mais complexa que seja a matriz emquestão (nesse caso - matriz quadrada - so-mam-se os custos das linhas e das colunas, es-colhendo o maior entre eles).

Quanto às suas IimitaçOes, já foram expostasquando citamos o fato de a pesquisa não ter sidorealizada ainda em número significativamentegrande de casos. Por esse motivo não sabemosse o método poderá falhar, mesmo após aaplicação de uma segunda etapa. Entretanto,mesmo que isso aconteça, não será invalidado, jáque não pretende ter validade universal e ab-soluta, mas apenas fornecer uma solução inicialsimples e o mais próximo posslvel da soluçãoótima.

Caso fique comprovado o não funcionamentodo método, mesmo após a segunda etapa, elepoderá funcionar portanto apenas na primeiraetapa, como auxiliar nos cálculos tradicionais,fornecendo uma solução bastante próxima dasolução final."

Além disso, como já dissemos, sua maior van-tagem parece estar no fato de abrir uma série depossibilidades alternativas para o desenvolvi-mento de outras soluçOes iniciais, baseadas noprincípio exposto neste trabalho, e que talvezpossam vir a ser demonstradas matematicamen-te.

Várias outras soluções já foram pesquisadaspelo autor, e não foram expostas nesse trabalhopara não complicá-lo desnecessariamente, vistoque a exposta presentemente parece ser a maissimples delas. •

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BIBLIOGRAFIA (de onde foram extraídas asmatrizes pesquisadas):

Ackoff, Russel L. & Sasieni, Maurice W. Pesquisaoperacional. Rio de Janeiro, Livros Técnicos eCientíficos Editora Ltda. ; e São Paulo, Editora daUniversidade de São Paulo, 1971. capo 5.

Dantzig, George B. Linear programmlng and ex-tensions. Princeton, New York, Princeton Univer-sity Press, 1963.

Revista de Administração de Empresas

Enrick, Norbert L. Planejamento administrativo.São Paulo, Editora Atlas, 1972. capo8 e 17.

Frazer, J. Ronald. Applied linear programming.New Jersey, Prentice-Hall, Inc., 1968. capo 6.

Gass, S.1. Linear programming: mathods and ap-plications. McGraw-Hill Book Co., 2. ed. capo 10.

Kaufmann, A. Méthodes at modiles de la rechar-che operationnalla. Paris, Dunod, 1962-64. capo2, parte 17, p. 49-64.

Loomba, V. Paul. Linear programming: an in-troductory analysis. New York, McGraw-Hill,1964. capo 10, p. 160-213.

Puccini, Abelardo de Lima. Introdução à pro-gramação linear. Rio de Janeiro, Livro Técnico,1972. capo 4, p. 95-118.

1 Estamos desenvolvendo um estudo comparativo entre ométodo aqui exposto e o de Vogel, visto que apresentam al-guma analogia, embora se diferenciem bastante e conduzama soluções diferentes.Sobre o método de Vogel, ver a seguinte bibliografia: Ackoff& Sasieni. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro, 1971. p.147-9; Riggs, James L. Economlc declslon models. Mc-Graw-Hill, p. 102; e Loomba, N. Paul. Linear programmlng.p. 171 e sego2 Exemplo extraido do livro de Russell L Ackoff & MauriceW. Sasieni, Pesquisa operacional, capo 5, p. ·144, da tra-dução portuguesa.3 O outro caso em que esse fato ocorreu foi na seguintematriz, também extraida de Abelardo de Lima Puccini, In-trodução • programação linear, p. 103. Não conseguimosaté o presente momento encontrar uma caracterlstica co-mum a esses dois casos, que os diferenciasse dos demais.Esse é um ponto que permanece aberto aos estiJdlosos doassunto.

Quadro 19

~ ~ ~ W 9

~.!.J W .u 10

~ W ~ W 8

7 6 10 4

-4 Nos dois casos em que houve necessidade da aplicaçãoda segunda fase, a primeira fase Jã nos forneceu uma so-lução distante da ótima apenas em duas ou três unidades.