manual teórico práctico del módulo autocontenido … matemáticas discretas con base en métodos,...

Colegio Nacional de Educación Profesional Tècnica

PT Bachiller en Informática

Manual Teórico Práctico del Módulo Autocontenido Específico

Matemáticas Discretas

PROFESIONAL TÉCNICO BACHILLER EN INFORMÁTICA

Capacitado por:

Educación-Capacitación Basadas en Competencias Contextualizadas

e-cbcc

Informática

Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica


PT Bachiller en Informática 1

TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN

Capacitado por:

Educación-Capacitación Basadas en Competencias Contextualizadas

e-cbcc

Informática




PARTICIPANTES Suplente del Director General Joaquín Ruiz Nando Secretario de Desarrollo Académico y de Capacitación Marco Antonio Norzagaray Director de Diseño de Curricular de la Formación Ocupacional Gustavo Flores Fernández Coordinadores de Área Tecnologías de la Información Ma. Cristina Martínez Mercado

Grupo de Trabajo para el Diseño del Módulo Especialistas de Contenido

Asociación Mexicana de Ingenieros Mecánicos y Electricistas (AMIME) Adriana Morales Ramírez y Jesús Castillo Reyes Especialistas Pedagógicas Asociación Mexicana de Ingenieros Mecánicos y Electricistas, A. C. (AMIME) Sandra Rubio Rosete y Ana Ma. Villafranco Tinoco Revisor de contenido Sandra Luz Lozano Ramírez (CONALEP) Revisión Pedagógica Patricia Toledo Márquez (CONALEP) Revisores de la Contextualización

Agustín Valerio (CONALEP) Guillermo Armando Prieto Becerril (CONALEP)

Tecnologías de la información Manual del curso – módulo Autocontenido Específico “Matemáticas Discretas” Informática D.R. © 2004 CONALEP. “Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, incluida la portada, por cualquier medio sin autorización por escrito del CONALEP. Lo contrario representa un acto de piratería intelectual perseguido por la Ley Penal”. E-CBCC Av. Conalep N° 5, Col. Lázaro Cárdenas, C.P. 52140 Metepec, Estado de México. www.conalep.edu.mx

Informática




ÍNDICE

PÁG. I Mensaje al capacitando 4 II ¿Cómo utilizar este manual? 5 III Propósito del Módulo Autocontenido 9 IV Normas de Competencia Laboral 10 V Especificaciones de evaluación 11 VI Mapa curricular del Módulo 12

Capítulo 1 Empleo de métodos de conteo, recursividad y grafos. 13 1.1 Uso de métodos matemáticos mediante gráficas, árboles y

ordenamientos. 14

1.2 Realizar conteo de números de acuerdo con las técnicas de conteo y recursión.

29

1.3 Convertir sistemas numéricos binario, octal, hexadecimal mediante operaciones aritméticas.

30

Prácticas y Listas de Cotejo 61 Capítulo 2 Aplicación de álgebra booleana. 84

2.1 Manejar la teoría de conjuntos con base a operaciones, relaciones y funciones.

86

2.2 Utilizar lógica matemática mediante los principios de tablas de verdad. 115 2.3 Manejar circuitos lógicos de acuerdo con los principios de álgebra

booleana. 128

Prácticas y Listas De Cotejo 174

Capítulo 3 Resumen 182

Capítulo 4 Autoevaluación de Conocimientos 184 Respuestas a la Autoevaluación de Conocimientos 187 Glosario de Términos 191 Referencias Documentales 199 Anexos

Informática




I. MENSAJE AL CAPACITANDO ¡CONALEP TE DA LA BIENVENIDA AL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO ESPECIFICO MATEMÁTICAS DISCRETAS! EL CONALEP, a partir de la Reforma Académica 2003, diseña y actualiza sus carreras, innovando sus perfiles, planes y programas de estudio, manuales teórico-prácticos, con los avances educativos, científicos, tecnológicos y humanísticos predominantes en el mundo globalizado, acordes a las necesidades del país para conferir una mayor competitividad a sus egresados, por lo que se crea la modalidad de Educación y Capacitación Basada en Competencias Contextualizadas, que considera las tendencias internacionales y nacionales de la educación tecnológica, lo que implica un reto permanente en la conjugación de esfuerzos. Este manual teórico práctico que apoya al módulo autocontenido, ha sido diseñado bajo la Modalidad Educativa Basada en Competencias

Contextualizadas, con el fin de ofrecerte una alternativa efectiva para el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que contribuyan a elevar tu potencial productivo y, a la vez que satisfagan las demandas actuales del sector laboral, te formen de manera integral con la oportunidad de realizar estudios a nivel superior. Esta modalidad requiere tu participación e involucramiento activo en ejercicios y prácticas con simuladores, vivencias y casos reales para promover un aprendizaje integral y significativo, a través de experiencias. Durante este proceso deberás mostrar evidencias que permitirán evaluar tu aprendizaje y el desarrollo de competencias laborales y complementarias requeridas. El conocimiento y la experiencia adquirida se verán reflejados a corto plazo en el mejoramiento de tu desempeño laboral y social, lo cual te permitirá llegar tan lejos como quieras en el ámbito profesional y laboral.

Informática




II. CÓMO UTILIZAR ESTE MANUAL Las instrucciones generales que a continuación se te pide que cumplas, tienen la intención de conducirte a vincular las competencias requeridas por el mundo de trabajo con tu formación de profesional técnico.

• Redacta cuáles serían tus objetivos personales al estudiar este curso-módulo autocontenido.

• Analiza el Propósito del curso-módulo autocontenido que se indica al principio del manual y contesta la pregunta ¿Me queda claro hacia dónde me dirijo y qué es lo que voy a aprender a hacer al estudiar el contenido del manual? Si no lo tienes claro, pídele al docente te lo explique.

• Revisa el apartado Especificaciones de evaluación, son parte de los requisitos por cumplir para aprobar el curso-módulo. En él se indican las evidencias que debes mostrar durante el estudio del mismo para considerar que has alcanzado los resultados de aprendizaje de cada unidad.

• Es fundamental que antes de empezar a abordar los contenidos del manual tengas

muy claros los conceptos que a continuación se mencionan: competencia laboral, competencia central, competencia básica, competencia clave, unidad de competencia (básica, genéricas específicas), elementos de competencia, criterio de desempeño, campo de aplicación, evidencias de desempeño, evidencias de conocimiento, evidencias por producto, norma técnica de institución educativa, formación ocupacional, módulo autocontenido, módulo integrador, unidad de aprendizaje, y resultado de aprendizaje. Si desconoces el significado de los componentes de la norma, te recomendamos que consultes el apartado Glosario, que encontrarás al final del manual.

• En el desarrollo del contenido de cada capítulo, encontrarás ayudas visuales como las siguientes, haz lo que ellas te sugieren. Si no lo haces no aprendes, no desarrollas habilidades, y te será difícil realizar los ejercicios de evidencias de conocimientos y los de desempeño.

• Analiza la Matriz de

. Recuerda que en la educación basada en normas de competencia laborales la responsabilidad del aprendizaje es tuya, pues eres quien desarrolla y orienta sus conocimientos y habilidades hacia el logro de algunas competencias en particular. • Analiza el apartado Normas Técnicas

de Competencia Laboral, Norma

Informática




contextualización del curso-módulo autocontenido. Puede ser entendida como la forma en que, al darse el proceso de aprendizaje, el sujeto establece una relación activa del conocimiento y sus habilidades sobre el objeto desde un contexto científico, tecnológico, social, cultural e histórico que le permite hacer significativo su aprendizaje, es decir, el sujeto aprende durante la interacción social, haciendo del conocimiento un acto individual y social.

• Realiza la lectura del contenido de cada capítulo y las actividades de aprendizaje que se te recomiendan.

Técnica de Institución Educativa. Revisa el Mapa Curricular del

curso–módulo autocontenido. Esta diseñado para mostrarte esquemáticamente las unidades y los resultados de aprendizaje que te permitirán llegar a desarrollar paulatinamente las competencias laborales requeridas por la ocupación para la cual te estás formando.

Revisa la Matriz de Competencias del curso-módulo autocontenido. Describe las competencias laborales, básicas y claves que se contextualizan como parte de la metodología que refuerza el aprendiza lo integra y lo hace significativo.

IMÁGENES DE REFERENCIA

Estudio individual

Consulta con el docente

Comparación del resultado con otros compañeros

Investigación documental

Redacción de trabajo

Repetición del ejercicio

Informática




Trabajo en equipo

Realización del ejercicio

Observación

Investigación de campo

Sugerencias o notas

Resumen

Consideraciones sobre seguridad e higiene

Portafolio de evidencias

Informática




III. PROPÓSITO DEL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO

Al finalizar el módulo, el alumno desrrollrá destrezas en la aplicación de matemáticas discretas con base en métodos, aspectos discretos y álgebra booleana para la formulación de algoritmos.

Informática




IV. NORMAS TÉCNICAS DE COMPETENCIA LABORAL

Para que analices la relación que guardan las partes o componentes de la NTCL o NIE con el contenido del programa del curso–módulo autocontenido de la carrera que cursas, te recomendamos consultarla a través de las siguientes opciones:

• Acércate con el docente para que

te permita revisar su programa de estudio del curso-módulo autocontenido de la carrera que cursas, para que consultes el apartado de la norma requerida.

• Visita la página WEB del CONOCER en www.conocer.org.mx en caso de que el programa de estudio del curso - módulo ocupacional esta diseñado con una NTCL.

• Consulta la página de Intranet del

CONALEP http://intranet/ en caso de que el programa de estudio del curso - módulo autocontenido está diseñado con una NIE.

Informática




V. ESPECIFICACIONES DE EVALUACIÓN

Durante el desarrollo de las prácticas de ejercicio también se estará evaluando el desempeño. El docente, mediante la observación directa y con auxilio de una lista de cotejo, confrontará el cumplimiento de los requisitos en la ejecución de las actividades y el tiempo real en que se realizó. En éstas quedarán registradas las evidencias de desempeño. Las autoevaluaciones de conocimientos correspondientes a cada capítulo, además de ser un medio para reafirmar los conocimientos sobre los contenidos tratados, son también una forma de evaluar y recopilar evidencias de conocimiento.

Al término del curso-módulo deberás presentar un Portafolios de Evidencias1, el cual estará integrado por las listas de cotejo correspondientes a las prácticas de ejercicio, las autoevaluaciones de conocimientos que se encuentran al final de cada capítulo del manual y muestras de los trabajos realizados durante el desarrollo del curso-módulo, con esto se facilitará la evaluación del aprendizaje para determinar que se ha obtenido la competencia laboral. Deberás asentar datos básicos, tales como: nombre del alumno, fecha de evaluación, nombre y firma del evaluador y plan de evaluación.

1 El portafolio de evidencias es una compilación de documentos que le permiten al evaluador, valorar los conocimientos, las habilidades y las destrezas con que cuenta el alumno, y a éste le permite organizar la documentación que integra los registros y productos de sus competencias previas y otros materiales que demuestran su dominio en una función específica (CONALEP. Mtodología para el diseño e instrumentación de la educación y capacitación basada en competencias, Pág. 180).

Informática




VII. MAPA CURRICULAR

1.1 Uso de métodos matemáticos mediante gráficas, árboles y ordenamientos.

10 hrs.


10 hrs.


10 hrs.


15 hrs.

2.2 Utilizar lógica matemática mediante los principios de tablas de verdad.

15 hrs.

2.3 Manejar circuitos lógicos de acuerdo con los principios de álgebra boleana.

12 hrs.


1. Empleo de métodos de conteo, recursividad y grafos

30 hrs.

2. Aplicación de álgebra booleana

42 hrs

42 hrs.

Unidad de

Aprendizaje

Módulo

Resultados de Aprendizaje

Informática




EMPLEO DE MÉTODOS DE CONTEO, RECURSIVIDAD Y GRAFOS

Al finalizar la unidad, el alumno realizará conteo y recursión de números utilizando métodos matemáticos, técnicas de conteo y operaciones aritméticas para la elaboración de algoritmos.

Informática






10 hrs.


10 hrs.


10 hrs.


15 hrs.


15 hrs.


12 hrs.


1. Empleo de métodos de conteo, recursividad y grafos.

30 hrs 30 hrs.


42 hrs 42 hrs.

Unidad de

Aprendizaje

Módulo


Informática




1. EMPLEO DE MÉTODOS DE CONTEO, RECURSIVIDAD Y GRAFOS. Sumario Teoría de grafos Métodos de conteo Permutaciones y Combinaciones Recursión Sistemas numéricos Conversiones y Operaciones de sistemas numéricos.

RESULTADO DE APRENDIZAJE 1.1 Uso de métodos matemáticos mediante gráficas, árboles y ordenamientos. 1.2 Realizar conteo de números de acuerdo con las técnicas de conteo y recursión. 1.3 Convertir sistemas numéricos binarios, octal, hexadecimal mediante operaciones

aritméticas. 1.1.1 Teoría de grafos.

Conceptos

La importancia de la matemática en el contexto del desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinada por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de los objetos estudiados por las diferentes ramas de la ciencia y la técnica es decir, describir mediante el lenguaje vigoroso de la matemática, las propiedades de los objetos reales. Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos, usados en las ciencias de la computación, en la informática, así como en la modelización de diversos fenómenos mediante el ordenador, ha dado lugar a un traslado de énfasis en la matemática actual hacia la matemática discreta. La Teoría de Grafos juega un papel importante en la fundamentación matemática de las Ciencias de la Computación. Los grafos constituyen una

herramienta básica para modelizar fenómenos discretos y son fundamentales para la comprensión de las estructuras de datos y el análisis de algoritmos. Un grafo es un objeto matemático que se utiliza para representar circuitos, redes, etc. Los grafos son muy utilizados en computación, ya que permiten resolver problemas muy complejos. Imaginemos que disponemos de una serie de ciudades y de carreteras que las unen. De cada ciudad saldrán varias carreteras, por lo que para ir de una ciudad a otra se podrán tomar diversos caminos. Cada carretera tendrá un coste asociado (por ejemplo, la longitud de la misma). Gracias a la representación por grafos podremos elegir el camino más corto que conecta dos ciudades, determinar si es posible llegar de una ciudad a otra, si desde cualquier ciudad existe un camino que llegue a cualquier otra, etc.

Informática




El estudio de grafos es una rama de la algoritmia muy importante. Un grafo consta de vértices (o nodos) y aristas.

Vértice Los vértices son objetos que contienen información, para representarlos se suelen utilizar puntos.

Arista Aristas son conexiones entre vértices. Para representarlas se suelen utilizar líneas para las conexiones.

Gráfica dirigida

En una gráfica dirigida cada arco está representado por un par dirigido <v1,v2>. v1 es el tail y v2 es el head del arco. Por lo tanto <v1,v2> y <v2,v1> representan diferentes arcos.

Las gráficas G1 y G2 son no dirigidas y G3 es una gráfica dirigida.

V(G3)=1,2,3 E(G3)= ( < 1,2 >, < 2,1 >, < 2,3>)

Lazo (Arco) En general, los árboles constan de nodos, que están conectados mediante arcos. Todos los arcos que tienen asociado un sentido se le denomina arco dirigido. En la representación gráfica de un árbol, el sentido de los arcos es, por convención, desde la parte superior hacia la inferior.

Camino Un camino es una secuencia de arcos en que el extremo final de cada arco coincide con el extremo inicial del siguiente en la secuencia.

Informática




Un camino es simple si no se repiten vértices, excepto posiblemente el primero y el último.

Circuito

Un circuito es un camino simple y cerrado. (Circuito en rojo)

Un camino tal que u1,u2,...,up-1 son distintos y up=u1 lo llamamos un circuito, es decir, un circuito es un camino cerrado. Si el circuito contiene todos los vertices de V decimos que el circuito es hamiltoniano. Si G contiene un circuito hamiltoniano decimos que el grafo es hamiltoniano. Dodecaedro: ejemplo de grafo hamiltoniano. Un circuito o ciclo hamiltoniano es un ciclo simple que contiene todos los vértices de G. Lo anterior quiere decir que

un circuito hamiltoniano es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice, no tiene aristas repetidas y pasa por cada vértice una sola vez. Ejemplo: ¿Cuál de los grafos siguientes admite un circuito hamiltoniano? v1 v2 e1 e2 e6 e3 e5 e4 v4 v3 (a) v2 v3 e2 e1 e5 e3 e4 v1 v4 (b) Solución

a) No admite circuitos hamiltonianos. El razonamiento es el siguiente: Si se empieza en v1, v2, v3, v4 y si se está en los demás vértices, en el v5 se estará dos veces.

b) Si se empieza en v5, para luego ir a

los vértices v1 o v4 ó a v3 o v2 respectivamente, se tendrá que pasar de nuevo por v5 (puesto que se empezará en v5).

Para completar el circuito, se debe regresar a v5, por lo que se pasa tres veces por él. Un ciclo hamiltoniano es:

Informática




v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v1

Gráfica conexa

Sea G un grafo conexo con n vértices, donde n≥3. Si la suma de los grados de cada par de vértices no adyacentes es mayor o igual a n, entonces G tiene un circuito hamiltoniano. Trabajo en equipo

Competencia Analítica

Ubicar la utilización de grafos en un caso caso práctico. El alumno: • Integrará un equipo de trabajo de

cuatro participantes. • Cada uno de los integrantes del equipo

investigará las calles y construcciones que se encuentran en los cuatro puntos cardinales que circundan su escuela.

• Los nodos serán las construcciones y las aristas las calles.

• Una vez obtenida esta información, el equipo elaborará un grafo donde se muestren con circulos color azul los nodos y con líneas rojas las aristas.

Los grafos se utilizan mucho para modelar problemas pertenecientes a muchos

campos. La construcción de un modelo es, en esencia, un proceso consistente en decidir cuales son las características o aspectos de un problema o aplicación del mundo real que hay que representar para su análisis o estudio. El modelo de la aplicación dependerá mucho del punto de vista u objetivo que tenga quien haga el modelo de dicha aplicación. Los buenos modelos capta la esencia del mundo real que resulta interesante ( esto es, tiene el punto de vista de quien hace el modelo) e ignoraran los detalles irrelevantes para ese punto de vista. Además los buenos modelos son robustos, esto es, siguen siendo relevante aun cuando cambien las aplicaciones.

Informática




Árbol Uno de los tipos de grafos más importantes son los árboles, los árboles se utilizan en muchos campos de aplicación. Como por ejemplo, en las ciencias de la Computación los árboles se utilizan para organizar información de tal forma que sea posible efectuar eficientemente operaciones que involucren a esa información. Por otra parte, es frecuente que resulte muy posible el desglosar los problemas complejos y representarlos mediante una estructura en forma de árbol. Y lo que es más, los árboles surgen en redes que se modelan mediante grafos. En una red de comunicaciones, por ejemplo, puede ser necesario que toda pareja de nodos de la red esté conectada con el mínimo costo posible. Donde la solución de este problema implica la construcción de otra clase de árbol, que se denomina árbol de expansión. Un árbol es un grafo acíclico, conexo y no dirigido. Es decir, es un grafo no dirigido en el que existe exactamente un camino entre todo par de nodos. Esta definición permite implementar un árbol y sus operaciones empleando las representaciones que se utilizan para los grafos.

Propiedades: Si G = (VA) es un árbol de n vértices, entonces:

a. Para todo par de vértices x e y existe un único camino de x a y.

b. Todas las artistas de G son puentes.

c. | A | = n – 1.

d. Todo árbol tiene al menos dos hojas

(vértices de grado uno). La terminología que por lo regular se utiliza para el manejo de árboles es la siguiente: HIJO. X es hijo de Y, sí y solo sí el nodo X es apuntado por Y. También se dice que X es descendiente directo de Y. PADRE. X es padre de Y sí y solo sí el nodo X apunta a Y. También se dice que X es antecesor de Y. HERMANO. Dos nodos serán hermanos si son descendientes directos de un mismo nodo. HOJA. Se le llama hoja o terminal a aquellos nodos que no tienen ramificaciones (hijos). NODO INTERIOR. Es un nodo que no es raíz ni terminal.

Informática




GRADO. Es el número de descendientes directos de un determinado nodo. GRADO DEL ÁRBOL Es el máximo grado de todos los nodos del árbol. NIVEL. Es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar a un determinado nodo. Por definición la raíz tiene nivel 1. ALTURA. Es el máximo número de niveles de todos los nodos del árbol. PESO. Es el número de nodos del árbol sin contar la raíz. LONGITUD DE CAMINO. Es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar desde la raíz al nodo X. Por definición la raíz tiene longitud de camino 1, y sus descendientes directos longitud de camino 2 y así sucesivamente. Realización del ejercicio

Competencia de Información

Identificar las estructuras de datos de forma gráfica. El alumno: • Consultará con sus padres como se

integra su familia (abuelos, tios, primos).

• Con esta información. Elaborará un grafo donde se muestre el árbol genealógico de su familia.

Subgráfica

Un grafo H se dice que es un subgrafo de G si todos los vértices y ramas de H son vértices y ramas de G. 1.1.2 Árboles Definimos a un árbol como un grafo (no dirigido) conexo que no contiene circuitos. Y una colección de árboles disjuntos es llamado bosque y ya que un árbol es un grafo conexo damos por hecho que existe un paseo entre cualesquiera 2 vértices. No obstante si hubiera 2 o más paseos entre un par de vértices entonces diríamos que existe un circuito en ese árbol. En general, los árboles constan de nodos, que están conectados mediante arcos. Todos los arcos que tienen asociado un sentido se le denomina arco dirigido. En la representación gráfica de un árbol, el sentido de los arcos es, por convención, desde la parte superior hacia la inferior.

Si existe un arco que va del nodo i al nodo j, entonces se dice que i es un padre de j, y que j es un hijo de i. En la figura anterior, por ejemplo, b es padre de d y e, y a es padre de b y c. El nodo c solo tiene un hijo. Los nodos hijos se denominan hojas,

Informática




mientras que todos los demás nodos se denominan nodos rama. En la figura anterior, a,b y c son nodos rama, y d,e y f son hojas. El nodo raíz es el único nodo que no tiene padre. Todo nodo de un árbol posee un nivel. El nodo raíz del árbol tiene el nivel 1. Los hijos de un nodo de nivel n tienen el nivel n+1. Por consiguiente, los hijos del nodo raíz tiene el nivel 2, los nietos del nodo raíz están en el nivel 3, y así sucesivamente. En general, cada generación corresponde a un nivel. La altura de un árbol es el máximo nivel que se encuentre en ese árbol. El árbol vacío tiene una altura cero. Es definición de la palabra altura resulta cómoda para las demostraciones matemáticas y se utiliza en textos de orientación matemática; dicho de otra manera la altura de un árbol se define, como el número de pasos que hay que dar desde el nodo raíz hasta alcanzar el nodo que tenga el mayor nivel. La única excepción es el árbol vacío, para el cual el nivel es igual a cero por cualquiera de las dos definiciones anteriores. Un árbol binario es un árbol ordenado en el cual cada nodo tiene como máximo dos hijos. Típicamente los nodos hijos son llamados izquierdo y derecho.

Ejemplo sencillo de árbol binario Un árbol binario es un grafo conectado acíclico tal que el grado de cada vértice no es mayor a 3. Un árbol binario con enraizado es como un grafo que tiene uno de sus vértices de grado no mayor a 2 el cual se llama raíz. Con la raíz escogida, cada vértice tendrá un único padre, y mas de dos hijos. Tipos de árboles binarios: Un Árbol binario es un árbol con raíz en el cual cada nodo tiene como máximo dos hijos. Un Completo Árbol binario es un árbol en el que cada nodo tiene cero o mas hijos. Un Perfecto árbol binario es un Completo Árbol binario en el que las hojas (vértices con cero hijos) están a la misma profundidad que (distancia de la raíz, también llamados altura). A veces un perfecto árbol binario es llamado un completo árbol binario. Algunos otros definen un completo árbol binario como un árbol binario lleno en el que todos los hijos son de profundidad n o n-1 para alguno n

Informática




Redes Mínimas

Caracterizaciones

Caracterizaciones: Un grafo G=(V,A) es un árbol ⇔ Para todo par de vértices x e y existe un único camino de x a y ⇔ G es conexo y todas las aristas son puentes ⇔ G es acíclico y maximal (la adición de una arista nueva origina un ciclo) ⇔ G es conexo y |A| = n - 1 ⇔ G es acíclico y | A| = n - 1

Árboles Generadores Un árbol generador (o de expansión) de un grafo G, es un subgrafo que es árbol y contiene a todos los vértices del grafo. Un árbol T, subgrafo de un grafo G que contenga todos los vértices de G se denominan Árbol Generador de G. A esta característica general es posible agregar ciertos teoremas de modo de detallar aún más el alcance de la definición. Es así como el Grafo que contiene a T debe ser conexo, pues de lo contrario no existiría un subgrafo que contuviera todos sus vértices. En general un grafo G tendrá varios árboles generadores, como el del siguiente ejemplo, el cual tiene a lo menos dos árboles generadores T1 yT2.

Grafo G

Árbol T1

Árbol T2 Algoritmos para hallar un árbol generador, que se base en el teorema de que el grafo G debe ser conexo, pueden ser los que se realizan a través de los métodos llamados buscar primero a lo ancho, buscar primero a lo largo y el de regreso al nivel anterior.

Árboles Generadores mínimos. Un Árbol Generador Minimal es el que resulta de la construcción en primer lugar de un Árbol generador, pero con la característica de ser el de menos peso del grafo al cual genera. Por ejemplo sea un grafo ponderado (con peso) con cinco vértices. La idea es construir un subgrafo que una a todos los puntos pero con el mínimo de peso (el peso se refiere al valor que se le da a cada uno de los lados de un grafo). Este subgrafo debe ser un árbol generador, ya que debe unir todos los vértices, debe ser conexo y debe haber un único camino entre cada par de vértices, por lo tanto, lo que se necesita es un árbol generador con el mínimo de peso, es a

Informática




esto lo que se llama árbol generador minimal. Def.: Sea G un grafo con peso. Un árbol generador mínimal de G es un árbol generador de G con peso mínimo. Ej.: Sea el Grafo G :

Árbol T1

Árbol T2

Los Árboles T1 y T2 son árboles generadores de G, sin embargo el peso de ambos es distinto (T1=32 y T2=41). Por lo tanto el Árbol Generador Minimal de G es T1.

Algoritmo de Kruskal Un algoritmo que origina un árbol generador minimal en un grafo G de n vértices, conexo y con peso es el Algoritmo de Kruskal.

Éste parte con un grafo T que contiene inicialmente todos los vértices y ningún lado. en cada iteración se agrega un lado a T de peso mínimo, tal que no complete un circuito en T. Cuando T tenga n-1 lados, se termina. Observación


Analizar la estructura del algoritmo de Kruskal. El alumno: • Observará como se desarrolla paso a

paso el algoritmo de Kruskal.

Informática




La secuencia del algoritmo de Kruskal es la siguiente: Paso 1: Se selecciona el arco (a,b) cuyo peso es 1

Paso 2: Se selecciona el arco (c,d) cuyo peso es 1

Paso 3: Se selecciona el arco (b,d) cuyo peso es 2

Paso 4: Se selecciona el arco (d,f) cuyo peso es 2

Paso 5: Se selecciona el arco (d,e) cuyo peso es 4. Antes se intentó seleccionar los arcos (a,c) y (c,f) cuyo peso es 3 pero forman ciclo. Debido a que todos los nodos están conectados el algoritmo termina.

Informática




Costo = (a,b)+(b,d)+(d,c)+(d,e)+d (f) = 1 + 2 + 1 + 4 + 2 = 10 Trabajo en equipo


Analizar la estructura del algoritmo de Kruskal El alumno: • Integrará un equipo de trajo con otro

compañero. • Analizará el siguiente grafo.

• Mostrará en grafos independientes la

secuencia para la elaboración del grafo antes mostrado según el algoritmo de Kruskal.

Consulta con el docente

Competencia para la Vida

Confirmar la exactitud de la elaboración del ejercicio. El alumno: • Mostrará al P. S. A. el resultado del

ejercicio para confirmar la exactitud de sus respuestas.

La ruta más corta

La ruta más corta es la suma de los costos de los arcos del camino (a veces la longitud de camino denota el número de arcos en el camino) El algoritmo de Dijsktra se basa en el hecho de que tal vez sea más económico pasar a través de uno o más nodos para ir del vértice origen a algún otro, en vez de ir directamente. Considere la siguiente figura:

Informática




En particular pueden ocurrir dos cosas, que sea más económico ir directamente del vértice i al vértice j (i.e., costo (i,j) < costo (i,k) + costo (k,j) o sea más económico pasar por el vértice k antes de llegar al vértice j (i.e, (costo (i,k) + costo (k, j) < costo (i,j))

Ordenamientos Los árboles desde el punto de vista matemático pertenece a la teoría de grafos; desde el punto de vista informático son estructuras de datos, lo que significa que cada elemento, denominado nodo u hoja, contiene un valor. Los nodos que “cuelgan” de otros se denominan hijos. Cada hoja puede tener un máximo de hijos (si no tiene ninguno se dice que es un nodo terminal). Son especialmente interesantes y útiles los árboles ordenados. Esto significa que para su construcción, los nodos que se van agregando no se colocan al azar, colgando de cualquier nodo existente, sino según un criterio que tiene en consideración el “valor” de la hoja. Es decir: que se establezca una regla por la que se pueda determinar de forma inequívoca si dos valores son iguales, o

desiguales, y en este último caso cual precede en el orden. Creación.- Hemos dicho que los árboles son estructuras generalmente ordenadas; aunque pueden no estarlo, la mayoría de sus aplicaciones requieren que lo estén. Es importante señalar que la disposición final de los nodos depende del orden de creación. Una vez establecido el criterio de ordenación que se utilizará, el proceso de construcción es el siguiente: El primer elemento se coloca como nodo raíz; a continuación se añade el segundo elemento, que colgará de la rama derecha si es mayor que el raíz, y del izquierdo en caso contrario igual o menor. A continuación se añade el tercero, que se colocará en la rama izquierda si es mayor que el raíz y en la derecha si menor o igual. El proceso sigue indefinidamente hasta que se han colocado todos los elementos del árbol. En la siguiente figura se muestra el aspecto de un árbol de 6 elementos, suponiendo un orden de colocación numérico. Se han colocado elementos con valores 6, 8, 9, 10, 12 y 14 en el orden de creación siguiente: 10, 8, 9, 12, 6, 14. Si el orden de inserción hubiese sido ligeramente distinto, por ejemplo: 8, 9, 12, 6, 14, 10, el aspecto sería:

Informática




A su vez, en la siguiente figura se muestra el aspecto con un tercer orden de creación, cambiando solo el orden del segundo y tercer elementos del caso anterior: 8, 12, 9, 6, 14, 10. En la siguiente figura se muestra un caso extremo; el aspecto del árbol con un orden de creación 6, 8, 9, 10, 12 y 14, es decir: cuando los elementos han sido previamente ordenados. Como puede observarse, con independencia de cual sea el orden de creación, ocurre que en cualquier nodo del árbol ordenado, los elementos de la rama inferior derecha (caso de existir) son mayores que el elemento del nodo, y los de la rama inferior izquierda son menores

o iguales (suponiendo también su existencia). Equilibrio: La forma de un árbol ordenado depende exclusivamente del orden de introducción de los nodos. Cuando el árbol adopta la forma aproximada de la figura 8 se dice que

Informática




está equilibrado; por el contrario, el de la figura 9 está desequilibrado. A su vez, el caso representado en la figura 11 ha degenerado en una simple lista. Habrás observado que el árbol más desequilibrado (degenerado) se obtiene precisamente cuando se suministran los datos ordenados, y que los mejores resultados, en cuanto al equilibrio, se obtienen con un orden aleatorio. En realidad la cuestión del equilibrio no es de tipo estético sino práctico. El número de saltos para encontrar un dato en un árbol depende de su altura (número de niveles), que es menor cuanto más equilibrado esté. Cuando se trata de árboles de cientos o miles de nodos en los que se repiten cientos o miles de accesos, las diferencias globales pueden ser muy significativas. Por ejemplo, para encontrar un dato en un árbol de 1.024 elementos los valores teóricos medios oscilan entre 10 pasos si está equilibrado y 512 si degenera en una lista. Puede concluirse por tanto, que un árbol equilibrado es una buena estructura desde la óptica de los mecanismos de acceso a la información. Recorrido de un árbol: Suponiendo un árbol ordenado, como el de la figura 12, existen tres formas estándar de recorrer la totalidad de sus nodos: inorden, preorden y postorden. La diferencia está en el criterio seguido en uno y otro caso para recorrer las ramas. El primero es el que produciría una salida ordenada de los valores de sus nodos.

La secuencia de los recorridos en los tres casos serían:

Inorden A D E b e g k Preorden: b D A E g e k Postorden: A E D e k g b


Competencia Lógica

Determinará la importancia del uso de árboles para la solución de un problema. El alumno: • Analizará el siguiente planteamiento:

En las semifinales y finales de una competencia de tenis en Wimbledon, en la cual participaron cuatro de las mejores jugadoras en la historia del tenis, en Wimbledon, cuando una jugadora pierde, queda fuera del torneo. Las ganadoras continúan jugando hasta que solo queda una, la campeona (este tipo de competencia se llama torneo de eliminación simple.)

• Elaborará un árbol que muestre que:

en las semifinales, Mónica Seles

Informática




derrotó a Martina Narvatilova y Steffi Graf derrotó a Gabriela Sabatini. Luego jugaron las ganadoras que fueron Seles, y Graf, donde Graf derrotó a Seles. Por lo tanto Steffi Graf, al ser la única jugadora que no fue derrotada, se convirtió en la campeona de Wimbledon.

• Mostrará al P.S.A. la solución del

ejercicio. Uno de los tipos de grafos más importantes son los árboles. Los árboles se utilizan en muchos campos de aplicación . Como por ejemplo , en las ciencias de la Computación los árboles se utilizan para organizar información de tal forma que sea posible efectuar eficientemente operaciones que involucren a esa información. Por otra parte , es frecuente que resulte muy posible el desglosar los problemas complejos y representarlos mediante una estructura en forma de árbol . Y lo que es más, los árboles surgen en redes que se modelan mediante grafos. En una red de comunicaciones, por ejemplo, puede ser necesario que toda pareja de nodos de la red esté conectada con el mínimo coste posible.

Informática




Donde la solución de este problema implica la construcción de otra clase de árbol, que se denomina árbol de expansión. Definimos a un árbol como un grafo (no dirigido) conexo que no contiene circuitos. Y una colección de árboles disjuntos es llamado bosque y ya que un árbol es un grafo conexo damos por hecho que existe un paseo entre cualesquiera 2 vértices. No obstante si hubiera 2 o más paseos entre un par de vértices entonces diríamos que existe un circuito en ese árbol. 1.2.1 Conteo

Concepto En muchos problemas podemos establecer un espacio muestral equiprobable y entonces el problema de calcular probabilidades se convierte en un problema de contar de cuántas maneras se puede hacer algo. Para empezar con algo sencillo, veamos este problema. Tengo tres progamas para ver correo electrónico: Mail, Pine y ZMail; además recibo dos tipos de mensajes: de trabajo y personales. Ud. me sorprende viendo un mensaje y anota el tipo de programa y el tipo de mensaje que estoy viendo. ¿Cuántos puntos tiene el espacio muestral? Casi automáticamente hemos contestado que son 6. Si alguien no nos cree, podemos escribirle cuales son.

Sin saberlo hemos estado haciendo uso de lo que se llama Principio Fundamental del Conteo.

Características

Regla de la suma : Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda se puede efectuar de n maneras, y no se pueden realizar las dos a la vez, entonces tenemos un repertorio de m+n maneras de realizar una tarea. Ejemplo: Cinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entre Mérida y México. Tres empresas de aviación tienen vuelo diario entre Mérida y México. En consecuencia, hay 5+3 maneras de ir de Mérida a México en avión o en autobús.

Informática




En los problemas de conteo, la palabra "o" se traduce en suma. Regla del producto : Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden designado, de m·n maneras. Ejemplo: ¿Cuántas cadenas de longitud 4 pueden formarse mediante las letras ABCDE si no se permiten repeticiones? ¿Cuántas cadenas de la parte (a) comienzan con la letra B? ¿Cuántas cadenas de la parte (a) no comienzan con la letra B? (a) Utilizamos el principio de multiplicación. Una cadena de longitud 4 puede construirse en cuatro pasos sucesivos: se elige la primera letra, luego la segunda letra, luego la tercera letra y finalmente la cuarta letra. la primera letra puede escogerse de 5 maneras. Una vez elegida la primera letra, la segunda puede seleccionarse de cuatro formas, una vez elegida la segunda letra, la tercer puede escogerse de 3 maneras. Una vez elegida la tercera letra, la cuarta puede seleccionarse de 2 formas. Entonces por el principio de multiplicación existen: 5 * 4 * 3 * 2 = 120 cadenas. (b) Las cadena que comienzan con la letra B pueden construirse en 4 pasos: Se elige

la primera letra, luego la segunda, luego la tercera y por último la cuarta. La primera letra (B) puede escogerse de una manera, la segunda de cuatro formas, la tercera de 3 formas y la cuarta de 2 formas. Así, por el principio de multiplicación, existen: 1 * 4 * 3 * 2 = 24 cadenas que comienzan con la letra B. (c) La parte (a) muestra que existen 120 cadenas de longitud 4 que pueden formarse mediante las letras ABCDE y la parte (b) muestra que 24 de ellas comienzan con la letra B. Esto implica que existen 120 – 24 = 96 cadenas que no comienzan con la letra B.

Informática





Competencia Lógica

Visualizar la aplicación de la lógica matemática relacionada con las permuaciones y combinaciones. El alumno: • Analizará el siguiente planteamiento:

El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas maneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre?

• Para la solución de este ejercicio, aplicará la regla del producto.

• Para su comprobación elaborará un grafico donde muestres la solución.

Conteo Lineal

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante. Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2. Si el término inicial de una progresión aritmética es a y la diferencia común es d, entonces el término n-ésimo de la sucesión viene dada por a + nd, n = 0, 1, 2, ... si el término inicial se toma como el cero.

a + (n - 1)d n = 1, 2, 3, ... si el término inicial se toma como el 1º. La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma S de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula: S = ½n(a1 + an) donde a1 es el primer término y an el último.

Informática




Por ejemplo, para hallar la suma de los n primeros enteros positivos:

lo que también se conoce como número triangular.

Conteo Geométrico En matemáticas, una secuencia de números en la que la proporción entre cualquier número y el número siguiente es constante. Por ejemplo, {1,2,4,8,16,...} es una progresión geométrica con proporción constante de 2. La progresión puede representarse de forma recursiva con la siguiente ecuación:

t1 = t1 tn = ptn-1

donde t es cada término, n el puesto que ocupa en la progresión, y p la proporción constante. También puede representarse de forma explícita con la siguiente ecuación:

tn = t1rn-1 1.2.2 Permutaciones y Combinaciones

Combinaciones Se llama combinaciones de n elementos tomados de k en k (k ≤ n) a todas las clases posibles que pueden hacerse con los n elementos de forma que:

Cada agrupación está formada por n

elementos distintos entre sí Dos agrupaciones distintas se

diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.

Ejemplo: Un grupo de 5 estudiantes, María, Beto, Rosa, Alma y Norma, ha decidido hablar con el director de la escuela. El director ha avisado que hablará con 3 estudiantes ¿ De cuántas maneras pueden elegir estos 5 estudiantes a 3 de ellos para hablar con el director? Para resolver este problema, no debemos tomar en cuenta el orden. ( por ejemplo, no importa si la jefa habla con María, Alma y Norma o con Norma,

Informática




María y Alma.) Si enumeramos las posibilidades, vemos que existen 10 maneras en que los 5 estudiantes pueden elegir a 3 de ellos para hablar con la jefa y son: MBR MBA MRA BRA MBN MRN BRN MAN BAN RAN

Permutaciones

Existen 4 candidatos para un puesto de elección: Zeke, Yung, Xeno y Wilma. Para que las posiciones de los nombres en la boleta electoral no influyan sobre los votantes, es necesario imprimir boletas con los nombres enumerados en todos los ordenes posibles ¿Cuántas boletas distintas puede haber? Podemos utilizar el principio de multiplicación. Podemos formar una boleta en cuatro pasos: se elige el primer nombre por enumerar, se elige el segundo nombre, se elige el tercer nombre y finalmente se elige el cuarto nombre. El primer nombre puede elegirse de 4 formas. Una vez elegido el primer nombre, el segundo nombre puede elegirse de 3 formas. Una vez elegido el segundo nombre, el tercero puede elegirse de 2 formas. Una vez elegido el tercer nombre, el cuarto puede elegirse de una sola forma. Por el principio de multiplicación, el número total de boletas es: 4 * 3 * 2 * 1 = 24 Un ordenamiento de objetos, como los nombres en la boleta, es una permutación.

Se llama permutación simple de n elementos tomados de k en k (k < n) a los distintos grupos formados por k elementos de forma que:

Los k elementos que forman el grupo son distintos (no se repiten)

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados (influye el orden).

Aquí, no se utilizan todos los elementos.

Si elegimos un primer elemento, lo podemos hacer de n formas. Quitamos el elemento elegido y elegimos otro de entre los n-1 que quedan. Esto podrá hacerse de n-1 formas. Quitamos también este elemento y nos quedamos con n-2, de entre los que elegimos el tercero. Esto lo podremos hacer de n-2 formas.

Informática




Según la regla del producto, las maneras de escoger k elementos de entre un total de n según un determinado orden, será igual al producto de:

( ) ( ) ( )1...21 +−⋅⋅−⋅−⋅ knnnn Notación. Pn,k denota el número de permutaciones de n elementos distintos tomados de k en k. Para llegar a una versión simplificada se opera así: n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-(k-1))•(n-k)(n-(k+1))...(3)(2)(1) = n! = Pn,k (n-k)(n-(k+1))...(3)(2)(1) (n-k)! Ejemplo. P10,4 son las permutaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos: P10,4 = 10! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 5,0 (10-4)! 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 Entonces podemos formar 5,040 subgrupos diferentes de 4 elementos a partir de los 10 elementos.

Permutaciones con repetición Se llaman Permutaciones con repetición de n elementos tomados de k en k a los distintos grupos formados por k elementos de manera que:

Los elementos que forman los grupos pueden estar repetidos.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que éstos están colocados (influye el orden)

Notación. PRn, k denota el número de permutaciones con repetición de n elementos distintos tomados de k en k

PRnk = nk Ejemplo. ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1 y 2? Solución: 2 3 = 8 Son permutaciones con repetición de n elementos, no todos distintos. Todas las agrupaciones de n elementos, formadas por aquellos, están dispuestos linealmente y sin que ninguno haga falta. El número de permutaciones con repetición que pueden realizarse con n elementos, donde existen �1, �2, �3,... �m elementos iguales entre sí (de una misma clase) y el resto distintos entre

Informática




sí y distintos también a los anteriores es: Pn∝1,∝2,∝3,...∝m = n! ∝1!x∝2!x...x∝m!

Ejemplo 1. Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones:

400,302!3!2

!10103,2 =

×=P

Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.

Si en cada agrupación figuran todos o algunos de los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones.

Si en cada agrupación figuran todos

o algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones.


Competencia Lógica

Visualizar la aplicación de la lógica matemática relacionada con las permutaciones y combinaciones. El alumno:

• Eligirá 3 compañeros cuyos nombres empiecen uno con A, otro con B y otro más con C.

• Existen 6 permutaciones de 3 elementos.

• ¿Cuales son dichas permutaciones? • Tres parejas de amigos se sientan en

una mesa circular. • ¿De cuántas formas se pueden sentar?

Triangulo de Pascal Blaise Pascal fue un matemático y físico francés que vivió de 1623 a 1662. Trabajó en distintas áreas de las matemáticas pero uno de sus descubrimientos más famosos es el conocido "triángulo de Pascal". Como su nombre nos lo dice, construiremos un triángulo formado por números de la siguiente manera.

Informática




Empezamos dibujando un triángulo formado por tres 1.

El siguiente renglón lo obtendremos continuando con la forma del triángulo, escribiendo primero el número 1, después el 2, que es el resultado de sumar los dos 1 que están justo encima de él y por último otro 1.

Si observamos con cuidado el siguiente dibujo podrás darte cuenta de que todos los renglones del triángulo de Pascal se construyen de la misma manera: Empiezan y terminan con un 1 y cada uno de los número siguientes se obtiene sumando los dos números que están justo arriba en el renglón anterior.

El triángulo de Pascal es el triángulo generado por dos números de la siguiente forma: - a b a a+b b a 2a+b 2b+a b a 3a+b 3a+3b 3b+a b a 4a+b 6a+4b 4a+6b a+4b b Se puede ver que cada número es la suma de los dos que están inmediatamente por encima de él. Cuando a y b son 1, se obtiene el llamado triángulo de Tartaglia, que representa los coeficientes combinatorios.

Informática




1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Estudio individual

Competencia Tecnológica

Utilizar el equipo de computo como una herramienta de trabajo. El alumno: • Accederá a un ordenador que cuente

con conexión a Internet. • Ingresará a la siguiente dirección. http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/ap_tpi/Page2.htm [Consulta: 22 febrero 2005]. • Realizará la actividad que se indica en

la página.

Coeficientes biominales y teorema del binomio. Se podría decir a primera vista, la expresión (a + b)n no parece tener mucho que ver con las combinaciones, pero como veremos a continuación, podemos obtener una fórmula para desarrollar (a + b)n utilizando la fórmula para el número de r-combinaciones de n objetos. Con frecuencia, podemos relacionar una expresión algebraica con algún proceso de

conteo. Varias técnicas avanzadas de conteo utilizan estos métodos. Los números C(n,r) se llaman Coeficientes Binomiales, pues aparecen en el desarrollo del binomio (a+b) elevado a una potencia. La interrelación entre los números que aparecen en los problemas de conteo y los que aparecen en expresiones algebraicas tiene importantes implicaciones. Por ejemplo , en el análisis de un problema de conteo se pueden deducir algunas relaciones algebraicas que producen una solución al problema original. Unaidentidad que es una consecuencia de algún proceso de conteo se denomina identidad combinatoria y el razonamiento que lleva a su formulación se conoce como razonamiento (o argumento) combinatorio.

Informática




El Teorema del Binomio proporciona una fórmula para los coeficientes en el desarrollo de (a + b)n. Como (a + b)n = (a + b)(a + b)...(a + b)

factores de n el desarrollo surge al elegir a o b en cada uno de los n factores, multiplicando las selecciones entre ellas, y luego sumando todos los productos obtenidos de esta manera. Por ejemplo, en el desarrollo de (a + b)3, se elige a o b en el primer factor (a + b) ; a o b en el segundo factor (a + b), y a o b en el tercer factor (a + b); se multiplican las selecciones entre ellas y luego se suman los productos obtenidos. Si elegimos a en todos los factores y multiplicamos, obtenemos el término aaa. Si elegimos a en el primer factor, b en el segundo factor y a en el tercer factor y multiplicamos , obtenemos el término aba. La tabla muestra todas las posibilidades. Si sumamos los productos de todas las selecciones, obtenemos

(a+ b)³ = (a + b)(a + b)(a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb = a³ + a² b + a²b +ab² + a²b + ab² + ab² + b³ = a³ + 3ª²b + 3ab² + b³ En el teorema del binomio, un término de la forma an-kbk surge de elegir b en k factores y a de los otros n-k factores . Pero esto puede realizarse de C(n,k) formas , pues C(n,k) cuenta el número de formas de elegir K cosas de n elementos. Así , an-

kbk aparece C(n,k) veces. Esto implica que

(a+b)n=C(n,0)anb0+C(n,1)a1bn-1 + C/n,n)a0bn Este resultado se conoce como el teorema del binomio. Teorema del Binomio. Si a y b son números reales y n es un entero positivo , entonces n

(a+b)n = ∑ C(n,k)nn-kbk k-0 DEMOSTRACIÓN. La demostración aparece antes del enunciado del teorema. El teorema del Binomio también puede demostrar por inducción sobre n.

Informática




Selección

del 1er. Factor

(a + b)

Selección del

2º. Factor (a + b)

Selección del

3er. Factor (a + b)

Producto de

Selección

a a A aaa = a3 a a B aab = a2ba b A aba = a2ba b B abb =ab2 b a a baa =a2b b a b bab =ab2 b b a bba =ab2 b b b bbb =b3

Cálculo de (a + b)1 Los números C(n,r) se conocen como los coeficientes binomiales, pues aparecen en el desarrollo de la ecuación: Ejemplo: Tomando n = 3 de acuerdo con el teorema se obtiene (a+b)³=C(3,0)a³+C(3,1)a²b+C(3,2)ab²+C(3,3)b³ = a³ + 3ª²b + 3ab² + b³ si se toma a = b = 1 en el teorema, da como resultado la siguiente identidad n

2n = (1,1)n = ∑ C(n,k) k-0 en esta ecuación también se puede probar mediante un razonamiento combinatorio. Las Permutaciones y Combinaciones nos sirven para distribuir y seleccionar n objetos de diferentes maneras de acuerdo a reglas establecidas usando procedimientos sistemáticos . 1.2.3 Recursión

Concepto Recursión es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición. Siendo un poco más precisos, y para evitar el aparente circulo sin fin en esta definición, las complejas instancias de un proceso se definen en términos de instancias más simples, estando las finales más simples definidas de forma explícita.

Sucesiones de números.

Se entenderá por sucesión una colección de números dispuestos uno a continuación de otro.

Sirvan de ejemplo: a) –3, 0, 1/5, √2, 7, Π, 13...

Informática




b) -1, 3, 7, 11, 15... c) 3, 6, 12, 24, 48...

En el primero no es posible averiguar qué número seguiría a 13 (no se encuentra una regla que indique la relación entre los términos). En el segundo, a 15 le seguirían 19, 23, 27... (cada término es cuatro unidades mayor que el anterior). En el tercero, al término quinto, que es 48, le seguiría 96 (cada término es el doble del anterior). Cuando se habla de una sucesión cualquiera, la forma más usual de referirse a ella es escribir a1, a2, a3, a4, ..., an - 2 , an - 1

, an , ... donde los subíndices determinan el lugar que cada término ocupa dentro de la sucesión, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los números.

Es también frecuente encontrar una

sucesión simbolizada por (an)nN, o

simplemente (an).

Término general de una sucesión. El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término n-ésimo.

De entre los muchos ejemplos que se podrían citar, valgan los siguientes:

1, 3, 3, 4, ... an = n

2 2 4 5 n + 1 4, 4, 16, 25, ... bn = (n + 1)² 2 3 4 n 1, 1, 9, 1, 25, ... cn = n2 2 8 32 2n Sucesiones Aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d .

Así, si (an) es una progresión aritmética, se verifica que:

an = an - 1 + d

Informática




Término general de una progresión aritmética La fórmula del término general de una progresión aritmética (an) se encuentra sin más que observar que:

a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2 d a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d

Nótese que en todos los casos el término correspondiente es la suma de dos cantidades:

- La primera es siempre a1 - La segunda es el producto (n - 1) d . an = a1 + (n - 1) d

· Si la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el anterior.

· Si la diferencia de una progresión aritmética es cero, la progresión es constante, es decir, tiene todos sus términos iguales.

· Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior. Términos equidistantes de una progresión aritmética El interés de las progresiones aritméticas no acaba en el cálculo del término general.

Estudiando más detalladamente algunos modelos de progresiones aritméticas, se pueden deducir propiedades de enorme interés: Propiedad: Si an es una progresión aritmética de diferencia d y r + s = u + v, entonces ar + as = au + av.

Demostración: ar = a1 + (r – 1) d as = a1 + (s – 1) d ar + as = 2ª1 + (r + s –2) d au = a1 + (u – 1) d av = a1 + (v – 1) d au + av = 2ª1 + (u + v – 2) d Estos dos resultados son iguales por ser r + s = u + v.

Informática




Sucesiones Geométricas Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, y que se representará por la letra r . Así, si (an) es una progresión geométrica, se verifica

an = an - 1 · r

Término general de una progresión geométrica La fórmula del término general de una progresión geométrica (an) se encuentra sin más que observar que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r

2 a4 = a3 · r = (a1 · r

2) · r = a1 · r3

a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r

4 Nótese que, en todos los casos, el término correspondiente es el producto de dos cantidades:

- La primera es siempre a1 - La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto número, que se obtiene restando una unidad al subíndice.

En definitiva, la expresión del término general es:

an = a1 · rn - 1

· Si la razón de una progresión geométrica es mayor que uno, la

progresión es creciente, es decir, cada término es mayor que el anterior. · Si la razón de una progresión geométrica está comprendida entre cero y uno, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior. · Si la razón de una progresión geométrica es igual a uno, la progresión es constante, es decir, tiene todos los términos iguales. · Si la razón de una progresión geométrica es menor que cero, la progresión es alterna, es decir, sus términos son alternativamente positivos y negativos.

Sucesiones Binarias

Denotemos por A al conjunto de todas las sucesiones binarias de longitud n.

Informática




Sea Å una operación binaria sobre A tal que para x y y en A, x Å y es una sucesión de longitud n que tiene números uno en las posiciones donde x y y difieren y números cero en las posiciones donde x y y son iguales. Por ejemplo, sea x = 00101 y y = 10110 , entonces x Å y = 10011 . Una palabra con únicamente ceros es la identidad, y que cualquier palabra es su propio inverso en (A,Å). Sea x una palabra en A . Definimos el peso de x, denotado por w(x) , como la cantidad de números uno en x . Así, el pero de 1110000 es igual a 3 , al igual que el de 1001100 . Para x y Y en A, definimos la distancia entre x y y, denotada por d(x,y), como el peso de x Å y , w(x Å y) . Por ejemplo la distancia entre 1110000 y 1001100 es 4 , y la distancia entre 1110000 y 0001111 es de 7. Observamos que en la distancia entre las dos palabras es exactamente el número de posiciones en las cuales éstas difieren.

Fiobonacci

Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21=13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21=55.

Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci. Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano. La sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión:

Informática




t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

Si sumas los cuatro primeros términos y añades 1, obtendrás el sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, obtendrás el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13). Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) obtienes el sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) obtienes el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21). Si sumas los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades 1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8 + 1 =13). Si sumas los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y añades 1, obtienes el noveno término (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).

Propiedades. La sucesión de Fibonacci tiene muchas propiedades curiosas: La suma de los n primeros términos

es: a1 + a2 +... + an = an+2 – 1 La suma de los términos impares es:

a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n La suma de los términos pares es: a1

+ a4 +... + a2n = a2n+1 - 1 La suma de los cuadrados de los n

primeros términos es: a12 + a2

2 +... + an

2 = anan+1 Si n es divisible por m entonces an es

divisible por am

Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre si.

La propiedad mas curiosa de esta sucesión es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima a la razón áurea. Esto es: an+1/an tiende a (1 + � 5)/2.

Cuyos valores comienzan con 1, 1, 3,5,8,13,..... y fue llamada así en honor a Leonardo Fibonacci. Desde este momento en adelante denotaremos la sucesión de la siguiente manera:

f1,f2.... Esta sucesión queda definida mediante las siguientes ecuaciones:

f1 = 1 f2 = 2 fn = fn-1 + fn-2 ,n ≥ 3

Informática




La sucesión de Fibonacci surge en los lugares menos esperados. Como por ejemplo, el número de espirales realizadas en el sentido de las manecillas del reloj y el número de las espirales realizadas en sentido contrario al de las manecillas del reloj y el número de espirales realizadas en sentido contrario al de las manecillas del reloj formadas por las semillas de ciertas variedades que aparecen en la sucesión de Fibonacci. EJEMPLO La sucesión de Fibonacci (explicada anteriormente), se define mediante la siguiente relación de recurrencia

fn = fn-1 + fn-2, n ≥ 3 con la siguientes condiciones iniciales

f1 = 1 f2 = 2

Recurrencia

Todo surge debido a que en muchos de los problemas del cálculo, algunas veces en muchos más fácil el obtener la especificación de una función numérica en términos de una relación de recurrencia, que obtiene una expresión general para el valor de una función numérica ; y por lo tanto es obvio que en una relación de recurrencia podemos llevar acabo un cálculo paso por paso para de esta manera llegar a determinar el valor . Una relación de recurrencia utiliza valores anteriores en una sucesión para calcular el valor actual. Un algoritmo recursivo utiliza instancias menores de la entrada actual para calcular ésta. Y en su caso el paso inductivo en una demostración por

inducción matemática supone la verdad de instancias anteriores del enunciado, para demostrar la verdad del enunciado en cuestión. Una relación de recurrencia que define una sucesión se puede convertir de manera directa en un algoritmo para el cálculo de la sucesión.

La torre de Hanoi La torre de Hanoi es un juego que consta de tres postes montados sobre un tablero y n discos de diversos tamaños con agujeros en sus centros. Se supone que si un disco está en algún poste, sólo se puede colocar sobre tal disco otro con diámetro menor.

Informática




Dados todos los discos apilados en un poste, como en la figura, el problema consiste en transferir los discos a otro poste, moviendo un disco a la vez. Daremos la solución y luego determinaremos una relación de recurrencia y una condición inicial para la sucesión c1,c2,.. donde cn denota el número de movimientos necesarios en nuestra solución del problema con n discos. Luego mostraremos que nuestra solución optima; es decir, mostraremos que ninguna otra solución utiliza menos movimientos.

Daremos un algoritmo recursivo. Si sólo existe un disco, basta moverlo al poste deseado. Si tenemos n > 1 discos en el poste 1, como en la figura anterior, primero llamamos de manera recursiva a nuestro algoritmo, para mover los n – 1 discos superiores al poste 2 (véase la siguiente figura).Durante estos movimientos, el disco inferior en el poste 1 permanece fijo. A continuación movemos el disco restante del poste 1 al poste 3. Por último, de nuevo llamamos de manera recursiva a nuestro algoritmo para mover los n – 1 discos del poste 2 al

poste 3. Con esto hemos podido mover n discos del poste 1 al poste 3.

Si n > 1 , resolvemos dos veces el problema con ( n – 1 ) discos y movemos de manera explícita un disco. Por tanto,

cn = 2cn-1 + 1, n>1 por lo tanto la condición inicial es

c1 = 1 La solución que nosotros consideraremos como óptima .

Informática




Sea dn el número de movimientos necesarios por una solución óptima. Utilizaremos la inducción matemática para mostrar que

cn = dn, n ≥ 1 (a) PASO BASE ( N = 1 ). Por inspección:

c1 = 1 = d1 De modo que la ecuación (a) es verdadera para n = 1. PASO INDUCTIVO .- supongamos que la ecuación (a) es verdadera para n – 1. Consideremos el momento de una solución óptima para el problema con n discos en que el disco de mayor tamaño se mueve por vez primera. Este disco debe estar sólo en un poste (para que pueda moverse) y otro poste debe estar vacío ( de modo que este poste pueda recibir el disco de mayor tamaño). Así los n – 1 discos menores deben estar apilados en un tercer poste. En otras palabras, debe haberse resuelto el problema con n - 1 discos, lo cual requería al menos dn-1 movimientos. Luego se mueve el disco mayor, para lo cual se requiere de un movimiento adicional. Por último, en algún momento, los n – 1 discos se colocan sobre el disco mayor, lo que requiere al menos dn-1 movimientos adicionales. Todo lo anterior implica

dn ≥ 2dn-1 + 1 Por la hipótesis de inducción cn-1 = dn-1 . Así

dn ≥ 2dn-1 +1 = 2cn-1 + 1 = cn (b) la última igualdad es consecuencia de la relación de recurrencia para la sucesión c1,c2,... Por definición, ninguna solución puede realizarse en menos movimientos que la solución que hemos considerado como óptima, de modo que

cn ≥ dn (c) Combinamos las desigualdades de las ecuaciones (b) y (c) para poder obtener

cn = dn Hemos concluido el paso inductivo. Por lo tanto queda demostrado que la solución es óptima.

Informática






Utilizar el equipo de computo como una herramienta de trabajo. El alumno: • Accederá a un ordenador que cuente

con conexión a Internet. • Ingresará a la siguiente dirección:

http://www.acertijos.net/juegos/tower/ [Consulta: 22 febrero 2005]

• Realizará la actividad que se solicita en dicha página.

La leyenda

Este juego fue ideado por el matemático francés Éduard Lucas y fue también quién llamo la sucesión 1,1,3,5,... sucesión de Fibonacci. Se creó la siguiente leyenda para acompañar el juego. Se decía que el juego se había deducido de una mítica torre de oro con 64 discos. Los 64 discos debían ser trasladados por monjes, de acuerdo con las reglas ya establecidas. Se decía que antes de que los monjes terminasen de mover la torre, ésta caería y el mundo llegaría a su fin. Como al menos necesitan: 264 – 1 = 18,446,744,073,709,551,615

movimientos para resolver el juego con 64 discos, podremos estar seguros de que algo ocurriría a la torre antes de que se moviera por completo. La definición de relación de recurrencia se puede ampliar para incluir funciones con índices dados por n-adas de enteros positivos. EJEMPLO. La función de Ackermann se puede definir mediante las relaciones de recurrencia A(m,0) = A(m-1,1) m = 1,2,. . . . , (X) A(m,n) = A(m-1,A(m,n-1) )m = 1,2, . . . . , n = 1,2,. . . . , (Y) por lo tanto las condiciones iniciales son A(0,n) = n+1 n = 0,1, . . . . (Z)

Informática




La función de Ackermann tiene importancia teórica debido a su rápida tasa de crecimiento. Las funciones relacionadas con la función de Ackermann aparecen en la complejidad del tiempo de ciertos algoritmos, como el tiempo para ejecutar algoritmos de unión y búsqueda . El cálculo es por tanto A(1,1) = A(0,A(1,0)) por la ecuación (Y ) = A(0,A(0,1)) por la ecuación ( X) = A(0,2) por la ecuación ( Z ) = 3 por la ecuación ( Z )

El juego Determine una fórmula explícita para cn, el número mínimo de movimientos en que puede resolverse el juego de la Torre de Hanoi con n discos. En la relación de recurrencia de la ecuación:

Cn = 2cn-1 + 1 donde la condición inicial es: c1 = 1 Al aplicar el método iterativo a la ecuación, obtenemos

Cn = 2cn-1 + 1 = 2(2cn-2 + 1) + 1 = 22 cn-2 + 2 + 1 =23 cn-3 + 22 + 2 + 1 . . . =2n-1c1+ 2n-2 + 2n-3 + ... + 2 + 1 = 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 +... + 2 + 1 =2n-1

el último paso surge de la fórmula para la suma geométrica. EJEMPLO: Podemos resolver la relación de recurrencia Pn = a – b pn-1

k para el precio pn en un modelo económico si lo realizamos por medio del método de iteración. Pero para que la notación nos resulte más sencilla, hacemos s = -b/k Pn = a + spn-1 = a + s (a + spn-2) = a + as + s2 pn-2

= a + as + s² (a + spn-3) = a + as + as² + s³ pn-3 . . .

Informática




= a + as + as² + ... + asn-1 + sn p0 = a – asn + sn p0 = a – asn + sn p0 1 - s = sn –a + p0 + a 1-s 1-s = - b n -ak + p0 + ak k k+b k+b (M)

observamos que si b/k < 1, entonces el término - b n -ak + p0 k k-b es cada vez más pequeño conforme n crece, de modo que el precio tiende a estabilizarse en aproximadamente ak/(k + b). Entonces si b/k = 1, la ecuación (M) muestra que pn oscila entre p0 y f(x) = 1 / ( 1 - x ) . Si b/k > 1 , la ecuación (3.3.8) muestra que las diferencias entre los precios sucesivos aumentan.

Método de la burbuja Bubble sort (Ordenamiento de burbuja). El método de burbuja va comparando cada elemento del arreglo con el siguiente; si un elemento es mayor que el que le sigue, entonces se intercambian; esto producirá que en el arreglo quede como su último elemento, el más grande. Este proceso deberá repetirse recorriendo todo el arreglo hasta que no ocurra ningún intercambio. Los elementos que

van quedando ordenados ya no se comparan. El bubble sort, también conocido como ordenamiento burbuja, funciona de la siguiente manera: Se recorre el arreglo intercambiando los elementos adjacentes que estén desordenados. Se recorre el arreglo tantas veces hasta que ya no haya cambios. Prácticamente lo que hace es tomar el elemento mayor y lo va recorriendo de posición en posición hasta ponerlo en su lugar. Supongamos que se desea clasificar en orden ascendente el vector o lista, 50 15 56 14 35 1 12 9 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Los pasos a seguir son: - Comparar A[1] y A[2] si están en orden, se mantienen como están, en caso contrario se intercambian entre si.

Informática




- A continuación se comparan los elementos 2 y 3; de nuevo se intercambian si es necesario. - El proceso continua hasta que cada elemento del vector ha sido comparado con sus elementos adyacentes y se han realizado los intercambios necesarios. Un ejemplo en seudo código es: desde I 1 hasta 7 hacer si elemento [I] <elemento [I + 1] entonces intercambiar (elemento [I] , elemento [I + 1] fin_si fin_desde Las relaciones de recurrencia no sólo aparecen en el análisis de complejidad, sino además en muchos otros campos, tanto dentro de las ciencias de la computación como fuera de ellas. Por ejemplo, el crecimiento de una población suele darse en términos de una relación de recurrencia. El modelo de crecimiento más sencillo está basado en la suposición consistente en que la población crece un factor constante a cada año. 1.3.1 Sistemas numéricos.

Concepto En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números.

Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. Los símbolos numéricos que hoy se utilizan fueron introducidos por los matemáticas árabes, quienes los habrían tomado de los hindúes.

Números decimales (Base 10). Los símbolos numéricos que hoy se utilizan fueron introducidos por los matemáticas árabes, quienes los habrían tomado de los hindúes. Los símbolos que se usan actualmente en el sistema de numeración decimal son los siguientes: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}

Informática




A estos símbolos básicos indoarábicos se les llama también dígitos. Características principales del Sistema de Numeración Decimal. En un numeral, cada dígito tiene un valor relativo y un valor posicional. La base del sistema decimal es diez. Diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediatamente superior. En un numeral, cada posición es diez veces mayor que la que está inmediatamente a su derecha. El valor de los dígitos según su posición en un numeral, hasta la centena de millar, aparece en el cuadro siguiente:

6ª Posición

5ª Posición

4ª Posición

3ª Posición

2ª Posición

1ª Posición

centenas de mil

decenas de mil

unidades de mil

centenas decenas unidades

CM DM UM C D U

Números binarios (Base 2). El sistema de numeración binario o de base 2 es un sistema posicional que utiliza sólo dos símbolos para representar un número. Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden forman la unidad de orden superior siguiente. Este sistema de numeración es sumamente importante ya que es el utilizado por las computadoras para realizar todas sus operaciones.

6ª Posición

5ª Posición

4ª Posición

3ª Posición

2ª Posición

1ª Posición

1 1 1 1 1 1

Valor Valor Valor Valor Valor Valor

32 16 8 4 2 1

La computadora utiliza el sistema numérico binario para realizar sus operaciones. Es importante porque posee dos dígitos que facilitan el manejo de datos. La computadora considera los números 0 y 1. Observarás que la presencia de una corriente eléctrica = 1 (encendido), o que la ausencia = 0 (apagado). Cuando la corriente eléctrica pasa a través de la computadora, ésta lee un 1 cuando percibe la corriente eléctrica y un 0 cuando no hay corriente eléctrica.

Informática




Números decimales del 0 al 15 y sus equivalentes en sistema binario.

Decimal Binario 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111

Números octales (Base 8). El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. El sistema de numeración octal usa la notación posicional. Números decimales del 0 al 15 y sus equivalentes en sistema numérico octal.

Decimal Octal 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 10 9 11 10 12 11 13 12 14 13 15 14 16 15 17

Informática




Números hexadecimmales (Base 16).

Por su parte, el sistema hexadecimal, como su propio nombre indica, es un sistema de codificación análogo al anterior, con la diferencia de que su base es 16. Como el sistema de representación arábigo (que utilizamos) solo tiene 10 dígitos (0 al 9), para su representación se han utilizado además las seis primeras letras del alfabeto: A,B,C,D,E,F (en algunos sistemas pueden utilizarse tanto mayúsculas como minúsculas). Resulta así que los dígitos de este sistema van del 0 al F (sus valores decimales son respectivamente 0 y 15). La representación de cualquier cantidad sigue las mismas reglas que la codificación decimal, con la diferencia de que la base es ahora 16. Números decimales del 0 al 15 y sus equivalentes en hexadecimal.

Decimal Hexadecimal 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 A 11 B 12 C

13 D 14 E 15 F

1.3.2 Conversiones y Operaciones de sistemas numéricos.

Conversión decimal a binario. Para convertir números enteros de decimal a binario, la forma más simple es dividir entre 2 sucesivamente al numero decimal y los cocientes que se van obteniendo hasta que una de las divisiones resulte 0. La unión de todos los residuos obtenidos escrito en orden inverso nos proporcionan el número inicial expresado en el sistema binario. Ejemplo: si queremos convertir el número 75 (decimal) a binario decimos que:

Informática




División entre 2 75 1 Base del sistema 37 1 Binario 18 0 9 1 4 0 2 1 0 Nuestro número decimal 75 = 1 0 0 1 0 1 1 Para convertir de un número binario a decimal y nuevamente recordando que el valor de la posición de cada número es el valor que adquiere decimos que: 1001011= 1 0 0 1 0 1 1

(26)+(25)+(24)+(23)+ (22)+ (21)+ (20) 26 = 64 23 = 8 21 = 2 20 = 1 64 + 8 + 2 + 1 = 75 Solo usamos las posiciones que contienen nuestro código 1, pues el cero significa que no tiene valor dicha posición.

Conversión decimal a octal. Para convertir de decimal a octal, usamos la misma forma que el sistema binario con la diferencia que la división será entre 8, esto es, dividimos el número decimal entre ocho, moviendo el residuo a la posición derecha, hasta que nuestro cociente sea cero o ya no se pueda dividir. La unión de todos los restos obtenidos escritos en

orden inverso, nos proporcionan el número inicial expresado en el sistema octal. Ejemplo: si queremos convertir el número 75 (decimal) a octal decimos que: División entre 8 75 3 Que es la base 9 1 Del sistema 1 Octal. Nuestro número decimal 75 = 1 13 en sistema octal. Para convertir de un número octal a decimal y nuevamente recordando que el valor de la posición de cada número es el valor que adquiere decimos que: 113 = 1 1 3

(82) + (81) + (80)

Informática




82 * 1 = 64 81 * 1 = 8 80 * 3 = 3 64 + 8 + 3 = 75 Elevamos el número ocho a la potencia que corresponde según la posición del dígito y el resultado lo multiplicamos por su valor absoluto.

Conversión decimal a hexadecimal. Para convertir de decimal a hexadecimal, usamos nuevamente la misma forma que las planteadas en los sistemas binario y octal con la diferencia que la división será entre 16, esto es, dividimos el número decimal entre 16, moviendo el residuo a la posición derecha, hasta que nuestro cociente sea cero o ya no se pueda dividir. La unión de todos los restos obtenidos escritos en orden inverso, nos proporcionan el número inicial expresado en el sistema hexadecimal. Ejemplo: si queremos convertir el número 75 (decimal) a hexadecimal decimos que: División entre 16 75 11 que es la base 4 del sistema Hexadecimal. Recordemos que el valor 75 = 4 B del número nos lo da la posición Para convertir de un número hexadecimal a decimal y nuevamente recordando que el valor de la posición de cada número es el valor que adquiere decimos que:

4 B = 4 B

(161) + (160) 161 * 4 = 64 160 * 11 = 11 64 + 11 = 75 Aquí elevamos el número 16 a la potencia que corresponde según la posición del dígito y el resultado lo multiplicamos por su valor absoluto. Como se habrá observado se puede usar cualquier base numérica y la metodología de conversión es la misma. Las bases numéricas que aquí se exponen son las que se usan normalmente en informática. Esto es porque así lo requieren los ordenadores.

Informática




Investigación documental


Visualizar un caso práctico donde se usa el sistema numérico hexadecimal. El alumno: • Integrará equipo de trabajo con uno

de sus compañeros. • Seleccionará los tres colores favoritos

de cada uno de los integrantes del equipo.

• Accederá a un ordenador con conexión a Internet.

• Localizará en algún buscador como www.google.com o www.altavista.com los códigos en hexadecimal de los colores que fueron seleccionados.

• Esta es una utilización práctica del uso del sistema numérico hexadecimal.


Competencia Lógica

Convertir números de un sistema numérico a otro. El alumno: • Como sabemos, los ordenadores

obedecen a un lenguaje binario en el que 1 Kb equivale a 1024 bytes.

• Convertirá este número a sistema numerico binario.

• Convertirá el mismo número a sismtema numérico octal.

• Convertirá nuevamente el mismo número a sistema numérico hexadecimal.

Operaciones aritméticas.

Suma binaria: En binario, la cifra más alta es el 1, por lo tanto, cuando en la suma encontramos dos unos resulta 1 + 1 = 10, entonces se deja el 0 y se arrastra el 1 para ser sumado a la izquierda. Debido al 1 de arrastre pueden juntarse tres unos, con lo que obtenemos.

Informática




1 + 1 + 1 = 11 luego dejaremos un 1 y arrastramos otro 1 a la izquierda. Resta binaria: Se ha puesto un ejemplo de resta en decimal como punto de referencia para restar en binario. Vea que empezando por la derecha, en cuarto lugar encontramos que de 7 a 13 van 6 y arrastramos 1 a la izquierda que se suma al 4 (quedando 5 y faltando 3 para llegar a 8). En sexto lugar encontramos que de 9 a 15 van 6 y arrastramos 1 a la izquierda que se suma al 9. Esto hace que 9 + 1 = 10, con lo que queda 0 (de 0 a 4 van 4) y se arrastra el 1 para sumarse al 1 del extremo izquierdo, con lo que de 2 a 5 van 3. En el ejemplo binario, en cuarto lugar comenzando por la derecha, encontraremos que de 1 a 10 (será 2 pasado a decimal) va 1 y se arrastra 1 a la izquierda para sumar al 0. En sexto lugar volvemos a encontrar que de 1 a 10 va 1 y se arrastra 1 a la izquierda para sumar al 1 (esto desencadena otro arrastre hasta la última posición.

Producto binario: La multiplicación es tan sencilla que no se necesita explicación. Si sabemos multiplicar en sistema decimal

no encontraremos ningún problema para hacerlo en binario. Si el número de cifras es grande, es posible que se junten muchos unos en las sumas finales, por ejemplo 5 unos cuya suma binaria es 101, en cuyo caso queda 1, se arrastra un 0 a la izquierda (que no afecta) y se arrastra un 1 dos lugares a la izquierda.

Informática




División binaria: En este ejemplo, hay que comenzar cogiendo 4 cifras del dividendo para sobrepasar al divisor. Así resulta que 1011 entre 111 toca a 1 (solo puede ser 1 o 0). 1 por 111 es 111 y falta 100 hasta llegar a 1011. Bajando la siguiente cifra (un 0) resulta que 1000 entre 111 toca a 1. Así sucesivamente.

La suma de números hexadecimales puede realizarse teniendo en cuenta los siguientes pasos: 1. En cualquier columna de la suma se presenta el valor decimal de los dígitos hexadecimales. 2. Si la suma de los dos dígitos es 1510 o menor, se pasa al dígito hexadecimal correspondiente. 3. Si la suma de los dos dígitos es mayor

que 1510, se reduce la suma que excede de 16 pasando acarreo de 1 a a la siguiente columna. Ejemplo de suma hexadecimal, sumar los números DF16 + AC16:

Pasos realizados:

En la columna derecha: F16 + C16 = 1510 + 1210 = 2710 (el número es mayor de 1510 por lo que aplicamos el paso 3) 2710 – 1610 = 1110 = B16 (con acarreo de 1 a la siguiente columna)

Informática




En la columna izquierda: D16 + A16 + 116 = 1310 + 1010 + 110 = 2410 (el número es mayor de 1510 por lo que aplicamos el paso 3) 2410 – 1610 = 810 = 816 (con acarreo de 1 a la siguiente columna).

Como se habrá notado, la lógica para realizar operaciones aritméticas en cualquier sistema numérico, es la misma que en base decimal, la diferencia es que debemos respetar la base en la que estamos realizando las operaciones.

Anteriormente describimos paso a paso como se realizan las operaciones aritméticas con números binarios, y también expusimos la suma en sistema numérico hexadecimal. Realización del ejercicio.

Competencias Emprendedoras

Practicar la realización de operaciones aritméticas con los sistemas numércios (binario, octal y hexadecimal). El alumno: • Realizará operaciones aritméticas con

los sistemas numéricos binario, octal y hexadecimal, con cifras elegidas por él para lograr el dominio de los sistemas numéricos usados en informática.

Sugerencias o Notas

Competencia Ambiental

Proteger los recursos naturales. • El alumno, usará las hojas de papel por

ambos lados. • Depositará las hojas de papel de

desperdicio en los recipientes destinados para su reciclaje.

Sugerencias o Notas

Competencia de Calidad

Realizar el trabajo en forma eficiente y oportuna. • El alumno, realizará los ejercicios y

prácticas incluídas en este manual con orden, limpieza, eficiencia y responsabilidad.

Informática




Practicas de Ejercicio y listas de cotejo


Unidad de aprendizaje:

1

Práctica número: 1 Nombre de la práctica:

Resolución de problemas de combinación y permutación

Propósito de la práctica:

Al finalizar la práctica el alumno realizará ejercicios de combinaciones y permutaciones por medio de fórmulas para obtener su solución.

Escenario: Aula. Duración: 6 hrs.

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Hojas

• Lápiz

• Goma

Informática




Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene. • Evitar la manipulación de líquidos. • Tener condiciones adecuadas en el aula (iluminación, ventilación y limpieza).

PERMUTACIÓN 1. Escribir “ ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila? 2. Escribir “ La primera persona puede ocupar uno de los 5 puestos y, una vez que se ha

situado en uno de ellos” 3. Escribir “ La segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc.” 4. Escribir “ Se podrán colocar de 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120 “ 5. Escribir “ P5 = 5! = 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120” COMBINACIÓN 6. Escribir “ ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5 biólogos

de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos? 7. Escribir “ Cada grupo de 4 químicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 biólogos

de los 5” 8. Escribir “Por lo tanto el número de grupos es = 6C4 por 5C3 = 15 por 10 = 150” 9. Repetir los procedimientos en varias ocasiones con asesoría del PSA. Nota: El instructor deberá adecuar la práctica al equipo con el que se cuenta.

Separar los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y colocar los desechos en el lugar indicado).

Informática




Lista de cotejo de la práctica número 1:

Resolución de problemas de combinación y permutación

Nombre del alumno: Instrucciones: A continuación se presentan los criterios que van a ser

verificados en el desempeño del alumno mediante la observación del mismo. De la siguiente lista marque con una aquellas observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño

Desarrollo Sí No No

Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene. • Evitó la manipulación de líquidos. • Tuvo condiciones adecuadas en el aula (iluminación,

ventilación y limpieza.

PERMUTACIÓN 1. Escribió “ ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5

personas en una fila?

2. Escribió “ La primera persona puede ocupar uno de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de ellos”

3. Escribió “ La segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc.”

4. Escribió “ Se podrán colocar de 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120 “

5. Escribió “ P5 = 5! = 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120” COMBINACIÓN

Informática




6. Escribió “ ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar

con 6 químicos y 5 biólogos de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos?

7. Escribió “ Cada grupo de 4 químicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 biólogos de los 5”

8. Escribió “Por lo tanto el número de grupos es = 6C4 por 5C3 = 15 por 10 = 150”

9. Repitío los procedimientos en varias ocasiones con asesoría del PSA.

Separó los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y colocar los desechos en el lugar indicado).

Observaciones:

PSA:

Hora de

inicio: Hora de

término: Evaluación:

Informática





1


Algoritmo del método de burbuja.


Al finalizar la práctica, el alumno resolverá el algoritmo de la burbuja realizando una prueba de escritorio para conocer el procedimiento de ordenación.

Escenario: Aulas. Duración: 6 hrs.


• Lápiz

• Goma

Procedimiento

Informática





1- Escribir un algoritmo guardando la sangría debida entre cada instrucción. 2. - Escribir “Inicio” 3. - Escribir “i se le asigna 1” 4. - Escribir “repetir” 5. - Escribir “NoIntercambio se le asigna trufe” 6. - Escribir “desde j se le asigna hasta n-i hacer” 7. - Escribir “sí A[j] > A[j+1]” 8. - Escribir “entonces Intercambio (A[j], A[j+1])” 9. - Escribir “NoIntercambio se le asigna false “ 10. Escribir “fin-si” 11. Escribir “fin-desde” 12. Escribir “i se le asigna y+1” 13. Escribir “hasta-que NoIntercambio = Trufe“ 14. Escribir “Fin” 15. Realizar una prueba de escritorio a este algoritmo.



Algoritmo del método de burbuja.

Nombre del alumno:

Informática




Instrucciones: A continuación se presentan los criterios que van a ser verificados en el desempeño del alumno mediante la observación del mismo. De la siguiente lista marque con una aquellas observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeño



ventilación y limpieza).

1.- Escribió un algoritmo guardando la sangría debida entre cada instrucción.

2. – Escribió “Inicio” 3. – Escribió “i se le asigna 1” 4. – Escribió “repetir” 5. – Escribió “NoIntercambio se le asigna trufe” 6. – Escribió “desde j se le asigna hasta n-i hacer” 7. – Escribió “sí A[j] > A[j+1]” 8. – Escribió “entonces Intercambio (A[j], A[j+1])” 9. – Escribió “NoIntercambio se le asigna false “ 10.–Escribió “fin-si” 11.– Escribió “fin-desde” 12.– Escribió “i se le asigna y+1” 13.– Escribió “hasta-que NoIntercambio = Trufe“ 14.– Escribió “Fin” 15.– Realizó una prueba de escritorio a este algoritmo.

Separó los residuos recuperables (usó las dos caras de las hojas y colocó los desechos en el lugar indicado).

Observaciones:

PSA:

Informática




Hora de inicio:

Hora de término:

Evaluación:

Informática





1


Conversión de números de sistema numérico decimal a sistema numérico binario y biceversa.


Al finalizar la práctica el alumno realizará converciones de números de sistema numérico decimal a sistema numérico binario y de sistema numerico binario a decimal.



• Lápiz

• Goma

Informática




Procedimiento


Considerar el número decimal 2,870 (este número fue seleccionado al azar, puede usarce cualquier número) el cual se encuentra en sistema numérico decimal. 1. Dividir el número seleccionado entre 2 hasta que ya no se pueda dividir. 2. Colocar los residuos (1 o 0) de derecha a izquierda empezando por el primero obenido

y adicionando el último cociente al final (último número de la izquierda). 3. Obtener el número en sistema numérico binario (101100110110). 4. El número binario que se obtuvo, elevar el número 2 a la potencia correspondiente

según su posición para realizar la comprobación. 5. Obtener el siguiente resultado: 2048 + 512 + 256 + 32 + 16 + 4 +2 = 2870

• Repetir el procedimiento modificando las cifras a convertir.


Informática





Conversión de números de sistema numérico decimal a sistema numérico binario y biceversa.






1. Dividió el número seleccionado entre 2 hasta que ya no fue

posible dividir.

2. Colocó los residuos (1 o 0) de derecha a izquierda empezando por el primero obenido y colocó el último cociente al final (último número de la izquierda.

3. Obtuvo el número en sistema numérico binario 101100110110. 4. Elevó el número 2 a la potencia correspondiente según su

posición para realizar la comprobación.

5. Obtuvo el siguiente resultado: 2048 + 512 + 256 + 32 + 16 + 4 +2 = 2870

• Repitió el procedimiento modificando las cifras a convertir. Separó los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y colocar los desechos en el lugar indicado).

Observaciones:

PSA:

Informática




Hora de

inicio: Hora de


Informática





1


Conversión de números de sistema numérico decimal a sistema numérico octal y biceversa.


Al finalizar la práctica el alumno realizará converciones de números de sistema numérico decimal a sistema numérico octal y de sistema numerico octal a decimal.



• Lápiz

• Goma

Informática




Procedimiento


Considerar el número decimal 250 (este número fue seleccionado al azar, puede usarce cualquier número) el cual se encuentra en sistema numérico decimal. 1. Dividir el número seleccionado entre 8 hasta que ya no se pueda dividir. 2. Colocar los residuos (0 al 7) de derecha a izquierda empezando por el primero obenido

e incluyendo el último cociente obtenido (último número de la izquierda). 3. Obtener el número en sistema numérico octal (372). 4. El número octal que se obtuvo, elevar el número 8 a la potencia correspondiente según

su posición para realizar la comprobación. 5. Obtener el siguiente resultado: 3 x (82) + 7 x (81) + 2 x (80) = 3 x 64 + 7 x 8 + 2 x 1 =

250



Informática





Conversión de números de sistema numérico decimal a sistema numérico octal y biceversa.







posible dividir.

2. Colocó los residuos (0 al 7) de derecha a izquierda empezando por el primero obenido y adicionó el último cociente (último número de la izquierda).

3. Obtuvo el número en sistema numérico octal 372. 4. Elevó el número 8 a la potencia correspondiente según su

posición y lo multiplicó por el valor absoluto del número para realizar la comprobación.

5. Obtuvo el siguiente resultado: 3 x (82) + 7 x (81) + 2 x (80) = 3 x 64 + 7 x 8 + 2 x 1 =250

• Repitió el procedimiento modificando las cifras a convertir. Separó los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y colocar los desechos en el lugar indicado).

Observaciones:

Informática




PSA:

Hora de

inicio: Hora de


Informática





1


Conversión de números de sistema numérico decimal a sistema numérico hexadecimal y biceversa.


Al finalizar la práctica el alumno realizará converciones de números de sistema numérico decimal a sistema numérico hexadecimal y de sistema numerico hexadecimal a decimal.



• Lápiz

• Goma

Informática




Procedimiento


Considerar el número decimal 1485 (este número fue seleccionado al azar, puede usarce cualquier número) el cual se encuentra en sistema numérico decimal. 1. Dividir el número seleccionado entre 16 hasta que ya no se pueda dividir. 2. Colocar los residuos (0 al 9 y si es mayor las letras correspondientes A B C D E F) de

derecha a izquierda empezando por el primero obenido e incluyendo el último cociente obtenido (último número de la izquierda).

3. Obtener el número en sistema numérico hexadecimal (5BC). 4. El número hexadecimal que se obtuvo, elevar el número 16 a la potencia

correspondiente según su posición para realizar la comprobación. 5. Obtener el siguiente resultado: 5 x (162) + 12 x (161) + 13 x (160) = 5 x 256 + 12 x 16 +

13 x 1 = 1485



Informática





Conversión de números de sistema numérico decimal a sistema numérico hexadecimal y biceversa.







posible dividir.

2. Colocó los residuos (0 al 9 y si es mayor consideró las letras correspondientes A B C D E F) de derecha a izquierda empezando por el primero obenido y adicionó el último cociente (último número de la izquierda).

3. Obtuvo el número en sistema numérico hexadecimal 5BC. 4. Elevó el número 16 a la potencia correspondiente según su

posición y lo multiplicó por el valor absoluto del número para realizar la comprobación.

5. Obtuvo el siguiente resultado: 5 x (162) + 12 x (161) + 13 x (160) = 5 x 256 + 12 x 16 + 13 x 1= 1485

• Repitío el procedimiento modificando las cifras a convertir. Separó los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y colocar los desechos en el lugar indicado).

Observaciones:

Informática




PSA:

Hora de

inicio: Hora de


Informática




APLICACIÓN DE ÁLGEBRA BOOLEANA

Al finalizar la unidad, el alumno aplicará lógica, conjuntos y álgebra booleana con base a sus principios y teorías para la elaboración de rutinas de programación.

Informática






10 hrs.


10 hrs.


10 hrs.


15 hrs.


15 hrs.


12 hrs.


72 hrs.

1. Empleo de métodos de conteo, recursividad y grafos.

30 hrs.


42 hrs.

Unidad de Aprendizaje

Módulo


Informática




2 APLICACIÓN DE ÁLGEBRA BOOLEANA. Sumario Teoría de conjuntos Operaciones con conjuntos Relaciones Funciones Tablas de verdad Proposiciones Conectivos Álgebra Booleana Circuitos Lógicos Funciones booleanas RESULTADO DE APRENDIZAJE

2.1 Manejar la teoría de conjuntos con base a operaciones, relaciones y funciones. 2.2 Utilizar lógica matemática mediante los principios de tablas de verdad. 2.3 Manejar circuitos lógicos de acuerdo con los principios de álgebra booleana.

2.1.1 Conjunto.

Definición

Un Conjunto es una colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, una multiplicidad vista como unidad; entidad completa bien determinada. Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos del conjunto o miembros del conjunto. Por colección entenderemos a una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso. Todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección de objetos es un conjunto.

Informática




Para representar los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia, mediante símbolos, tendremos en cuenta las siguientes convenciones:

a) Los conjuntos se designan con letras

mayúsculas. b) Los elementos que forman el

conjunto se encierran entre llaves. c) Los elementos se designan con letras

minúsculas. d) Para indicar que un elemento

pertenece al conjunto se escribe el signo ∈. Para indicar que un elemento no pertenece a cierto conjunto, se escribe el signo ∉.

e) Tipos

Vacío.

Es un conjunto que carece de elementos. Se le llama conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }. Ejemplos A = { Los perros que vuelan } A = { } A = ØB = { x / x es un mes que tiene 53 días} B = { } B = Ø

C = { x / x3 = 8 y x es impar } C = { } C = ØD = { x / x es un día de 90 horas } D = { } D = Ø

Finito Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. En caso contrario, el conjunto es infinito. Ejemplos

M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto finito N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto infinito P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito

Universal

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es un término relativo. Se le denota por la letra U. Ejemplos: Sean los conjuntos:

Informática




A = {aves} B = {peces} C = {conejos} D = { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es U = { animales }

Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

Sean los conjuntos: E = { mujeres } F = { hombres }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Es U = {seres humanos}

Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

Subconjunto Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A es un elemento de B. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Realización del ejercicio


Reconocer las relaciones que existen entre los diferentes elementos de los conjuntos y sus propiedades. El alumno: • Elaborará gráficamente con sus

compañeros de equipo un conjunto que contenga los meses del año que terminan con la letra A.

• (b) Elaborará gráficamente un conjunto finito por cada semestre que cursará en el CONALEP, cada

Informática




conjunto contendrá las materias que cursará en el semestre. • identificará los gráficos del punto (b)

como un conjunto universal.

Propiedades.

Pertenencia Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.

∈

Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano} B= índice, entonces

AB∈

Cuando un elemento no esta en el conjunto dicho elemento no pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera

∉ Ejemplo, A = {x/x es mes del año}

B = índice, entonces

AB∉

Igualdad

Dos conjuntos son iguales cuando están formados por los mismos elementos.

La igualdad de conjuntos cumple las propiedades: Reflexiva: Todo conjunto es igual a si mismo.

Simétrica: Si un conjunto A es igual a otro conjunto B, el conjunto B es igual al conjunto A.

Transitiva: Si un conjunto es igual a otro, y éste último es igual a un tercero, el primer conjunto es igual al tercer conjunto.

Informática




a

Contención

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a � A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a� A.

Se puede definir un conjunto:

o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo: A := {1,2,3, ... ,n} B := {p� Z | p es par} Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A � B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a � A � a � B. Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A � B y

B � A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica). 2.1.2 Operaciones con conjuntos.

Unión

Se llama unión o reunión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, o a B o a ambos.

A ∪ B = { x ∈ U / x ∈ A ∨ x ∈ B } La unión de dos conjuntos, lo mismo que la intersección, es una operación binaria definida en el conjunto de partes de U. De acuerdo con la definición, podemos escribir: U A B a ∈ A ∪ B ⇒ a ∈ A ∨ a ∈ B El "o" utilizado es incluyente, y pertenecen a la unión aquellos elementos de U para los cuales es verdadera la disyunción; entonces un elemento pertenece a la unión si y sólo si pertenece a alguno de los dos conjuntos.

Informática




Es claro, además, que todo conjunto es contenido en su unión con cualquier otro. x ∈ A ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B Propiedades de la unión de conjuntos Unicidad: Dados dos conjuntos A y B, el resultado de la unión de los conjuntos A y B es un único conjunto C y no puede ser otro distinto.

Propiedad conmutativa: Si se cambia el orden de los conjuntos, el conjunto unión no se altera.

Propiedad asociativa: Si en la unión de 3 conjuntos se reemplaza a dos de ellos por su conjunto unión el resultado no se altera.

Elemento neutro: El elemento neutro de la operación unión es el conjunto vacío.

Intersección Supongamos los conjuntos:

A = {Libros de tu biblioteca} B = {Libros de matemática}

y que un compañero te pidió prestado algunos libros de matemáticas. En este caso, el Referencial en el cual vas a buscar sería el total de libros que tienes en tu casa. Ahora bien, está claro que, como vos

también tienes libros prestados por otros, sólo le podrás prestar sólo aquellos que son

Informática




de tu biblioteca. Por lo tanto, los libros que vas a buscar deben cumplir dos condiciones: pertenecer al conjunto A y, además, pertenecer al conjunto B. Por lo tanto, estos elementos forman un nuevo conjunto que se llama Intersección entre los conjuntos A y B.

A B

A ∩ B

Definición: Intersección de dos conjuntos A y B se llama al conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

A ∩ B = { x ∈ U / x ∈A ∧ x ∈ B }

La intersección entre dos conjuntos es una operación binaria, pues a partir de dos conjuntos se obtiene un tercero. La propiedad que caracteriza a los elementos de la intersección es la de pertenecer simultáneamente a los dos conjuntos, y se establece en términos de la conjunción. La definición de intersección establece:

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B Si la intersección de dos conjuntos es vacía dichos conjuntos se llaman disjuntos.

A y B son disjuntos ⇔ A ∩ B = ∅ Ejemplo.

A = { números pares } B = { números impares }

A ∩ B = ∅ pues no existe ningún número que sea par e impar a la vez. Propiedades de la intersección de conjuntos Unicidad: Dados dos conjuntos A y B, el resultado de la intersección de los conujntos A y B es un único conjunto C y no puede ser otro distinto.

Propiedad conmutativa: Si se cambia el orden de los conjuntos, el conjunto intersección no se altera.

Propiedad asociativa: Si en la unión de 3 conjuntos se reemplaza a dos de

Informática




ellos por su conjunto intersección el resultado no se altera.

Elemento neutro: El elemento neutro de la operación intersección es su conjunto universal.

Complemento

Dado un Referencial U y un conjunto A, queda determinado otro conjunto formado por todos los elementos del Referencial que no pertenecen a A. Se llama complemento de A y se designa A' o A (es el área coloreada del dibujo)

Definición: Complemento de A es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a U y no pertenecen a A.

A' = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A }

U Ejemplo. Sea A = { Libros de mi biblioteca que son de matemáticas }

Sobreentendemos que en este caso el Referencial o universal es el conjunto de libros de mi biblioteca. Por lo tanto, el complemento del conjunto A es el conjunto total de libros de mi biblioteca excepto aquellos que son de matemática, es decir: A' = { Libros de mi biblioteca que no son de matemática }

Trabajo en equipo

Competencia Lógica

Identificar las propiedades existentes entre conjuntos.

El alumno:

• Integrará un equipo de trabajo con tres

participantes. • Realizará un inventario de los libros de

texto que tengan cada uno. • Elaborará conjuntos de libros por tema.

A A'

Informática




• Realizará un gráfico donde se

muestren dichos conjuntos, representando las propiedades de pertenencia, igualdad y contención.

2.1.3 Relaciones

Definición Las relaciones entre dos o más conjuntos son frecuentes tanto en las Matemáticas como en sus aplicaciones, especialmente en Informática. Ejemplos prácticos de relaciones son las de orden y divisibilidad entre números, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada de un programa en cuanto a la detección de posibles errores de programación (validación de programas), la relación de dependencia entre las distintas fases producción en una industria o la agrupación de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia entre sus campos. Desde el punto de vista matemático, estas relaciones se pueden describir simplemente como subconjuntos de un cierto producto cartesiano. De entre los diversos tipos de relaciones, las funciones pueden considerarse un caso especial en donde se interpreta que uno de los campos es el resultado de realizar una cierta operación con el resto. Asimismo, las relaciones de equivalencia describen similitudes entre elementos con respecto a una propiedad particular, y las relaciones de orden establecen una jerarquía con respecto a un criterio fijado. Por último, las relaciones entre múltiples conjuntos son el fundamento matemático del modelo relacional de bases de datos,

que es el más extendido hoy en día por su simplicidad, su potencia y su coherencia teórica y práctica. El producto cartesiano de dos conjuntos A x B es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar con un elemento perteneciente al conjunto A y un elemento del conjunto B.

Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden y recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.

Informática




Como ejemplo:

Se define como relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto:

Como ejemplo:

El conjunto de pares ordenados que forman parte de R están formados por un elemento del primer conjunto y un elemento del segundo conjunto, en ese orden y satisfacen la condición que define esa relación:

Al cambiar el orden de los elementos del par ordenado, debe invertirse la definición de la relación para que el resultado sea verdadero, obteniéndose una relación inversa a la dada.

Para el ejemplo anterior:

Informática





Competencia Lógica

Identificar las relaciones entre conjuntos. El alumno: • Analizará el siguiente planteamiento. Sean los siguientes conjuntos : A = { Jóvenes del CONALEP} A = { Andrés, Carolina, Manuel, Fabián, Norma, Esteban } B = { Colegios existentes en la zona} B = { Escuela Nacional Preparatoria, Colegio de Bachilleres, CETIS, CONALEP} . Del conjunto Jóvenes, tenemos que Norma estudia en el Colegio de Bachilleres, Manuel en el CETIS y los demás jóvenes estudian en CONALEP.

• Ilustrará gráficamente la correspondencia entre los elementos del conjunto A y los de B, bajo el criterio "Estudiar en".

Dominio

El conjunto de salida es aquel del cual salen las flechas que representan la relación.

Informática




El conjunto de llegada es aquel al cual llegan las flechas que representan la relación.

El dominio es el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado. De cada elemento del dominio sale por lo menos una flecha. El dominio es un subconjunto del conjunto de salida, ya que algunos elementos de la salida pueden no formar parte de la relación.

Rango

El rango o codominio es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado. En una relación, a cada elemento del rango llega por lo menos una flecha. El rango o codominio es un subconjunto del conjunto de llegada, ya que algunos elementos de la llegada pueden no formar parte de la relación.

Relaciones de Equivalencia Una relación de equivalencia es aquella que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Informática




o Propiedad reflexiva:

o Propiedad simétrica:

o Propiedad transitiva:

Propiedades: Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, tendremos un subconjunto del producto cartesiano A x A. Las propiedades fundamentales puede presentar este tipo de relación son: Propiedad reflexiva: Cuando todo elemento del conjunto está relacionado con sí mismo. Propiedad simétrica: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero.

Propiedad asimétrica: Cuando ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica. Propiedad antisimétrica: Cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos. Propiedad transitiva: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con otro, y éste está relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. Casos especiales: Como casos especiales de las relaciones en un conjunto se define:

Informática




Relación de equivalencia: Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto mediante su clasificación, determinando una partición del mismo en clases de equivalencia. Relaciones de orden: Permite ordenar los elementos a través de la relación. Pueden definirse dos tipos de relación, de orden amplio y de orden estricto. Las relaciones como su nombre lo indica es la relación que existe entre dos conjuntos un ejemplo práctico de relaciones son las que existen entre hijos y padres, clima y vegetación, suelo y cultivos etc. Realización del ejercicio

Competencia Lógica

Identificar las relaciones de equivalencia entre conjuntos. El alumno: • Analizará el siguiente planteamiento: Sea el conjunto A = Mujeres que asisten al CONALEP y B= Hombres que asisten al CONALEP. Considerando que los elementos de ambos conjuntos tienen una edad promedio de 16 años, cuentan con el mismo nivel de

estudios, visten ambos uniforme y estudian carreras diferentes. • Localizará las relaciones de equivalencia

existentes entre ambos conjuntos y mostrarlas gráficamente.

2.1.4 Funciones

Definición Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto.

Informática




Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha. No estamos en presencia de una función cuando: ⌦ De algún elemento del conjunto de

partida no sale ninguna flecha. ⌦ De algún elemento del conjunto de

partida salen dos o más flechas. Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor. A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función. Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función. Esto se expresa:

Se observa que: De cada elemento de la salida sale a lo sumo una flecha. De cada elemento del dominio sale una y sólo una flecha.

Dominio

Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio, generalmente cuando se habla del

Informática




plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje de las Y´s.

Contradominio (codominio o rango de la función). El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función,, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s. También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores que puede tomar la otra. Ejemplo 1. Suponga que el conjunto A es A = {1,2,3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0,4,6,8,10,12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". decidir si esta relación es una función de A en B y determinar su dominio y recorrido. Solución. A los elementos 1,2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4,8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B). Dominio = {1,2,3} Recorrido = {4, 8, 12} Observar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}


Competencia Lógica

Identificar los elementos de una función. El alumno: • Resolverá el siguiente ejercicio: Ejercicio: Sea X = {-4, -1, 0, 4, 9} , Y = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es "asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada".

Informática




• Determinará si esta regla constituye

función de X en Y.

Tipos de funciones

Inyectiva Función inyectiva: a elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos diferentes en un conjunto de llegada. Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten. Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no. Ejemplo:

Suprayectiva Función suprayectiva: a elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (tambien llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento

de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f . A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio. Ejemplo: A = { a , e , i , o , u } B = { 1 , 3 , 5 , 7 } f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) } Simbólicamente: f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva Ejemplo:

X Y Z

1 2 3 4

A B

X Y Z

1 2 3 4

A B

Informática




Biyectiva Función biyectiva: es inyectiva y sobreyectiva a un mismo tiempo. Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez . Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA. Ejemplo: A = { a , e , i , o , u } B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } f = { ( a , 5 ),( e , 1 ),( i , 9 ),( o , 3 ), ( u , 7 ) } Teorema: Si f es biyectiva , entonces su inversa f – 1 es también una función y además biyectiva. Ejemplo:

ones

Suma de funciones: Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g) (x) = f(x) + g(x) Resta de funciones: Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f – g) (x) = f(x) – g(x) Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. Producto de funciones: Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se

X Y Z Q

1 2 3 4

A B

Informática




llama función producto de f y g a la función definida por

(f ⋅ g (x) = f(x) ⋅ g(x) Cociente de funciones: Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

f (x) = f(x) g g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Producto de un número por una función: Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a⋅f) (x) = a⋅f(x) COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)]. La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

R f R g R x f(x) g[f(x)]

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos: 1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x). 2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente. Ejemplo: Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2. Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3. Resolución: •(g o f) (x)=g[f(x)]=g[(x+3)]=(x + 3)²

R f R g R x f(x) = x + 3

g[f(x)] = g(x + 3)= (x + 3)2

La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es: (g o f) (1)=g[f(1)]=g(1+3)=g(4)=4²=16 (g o f) (1)=g[f(0)]=g(0+3)=g(3)=3²=9 (g o f) (-3)=g[f(-3)]=g[(-3)+3]=g(0)=0² =0

Informática




Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular: a) (g o f ) (x) b) (f o g ) (x) c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1) d ) El original de 49 para la función g o f. Resolución: a) La función g o f está definida por:

R f R g R x f(x) = x² + 1 g[f(x)] = g(x² + 1) = 3(x² + 1)-2= = 3x² + 3 – 2 = 3x² + 1 b) La funcion f o g está definida por:

R f R g R x g(x) = 3x - 2 f[g(x)] = (3x – 2)² + 1 = = 9x² +4 –12x + 1 = 9x² - 12 x + 5 Observese que g o f ≠ f o g. c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores: (g o f) (1) = 3⋅ 1² + 1 = 4 (fog) (-1) = 9⋅(-1)² - 12(-1) + 5 = 26

d) El original de 49 para la función (g o f) (x) = 49

Informática




(g o f ) (x) = 3x2 + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación. 3x² + 1 = 49 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ± 4 Las funciones matematicas, en terminos simples, corresponden al proceso logico comun que se expresa como “depende de”. Este proceso logico se aplica a todo lo que tiene relacion a un resultado o efecto sea este medible o no en forma cuantitativa. Las funciones matematicas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el valor del consumo mensual de agua potable que depende del número de metros cúbicos consumidos en el mes; el valor de un departamento que depende del número de metros cuadrados construidos; la sombra proyectada por un edificio que depende de la hora del día; el costo de una llamada telefónica que depende de su duración; el costo de enviar una encomienda que depende de su peso; la estatura de un niño que depende de su edad. 2.2.1 Tablas de Verdad.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

Por ejemplo:

p: La tierra es plana.

q: -17 + 38 = 21

Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha:

Los proposiciones anteriores sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas.

Una Tabla de Verdad nos permite mostrar gráficamente el valor de dichas proposiciones.

Concepto. La interpretación de una fórmula queda completamente determinado por los valores de verdad de las variables proposicionales (VP) que dicha interpretación asigna a las letras

Informática




enunciativas que aparecen en esa fórmula. Una vez que conocemos el valor de verdad que la interpretación asigna a cada VP y tenemos presentes las definiciones de los conectivos resulta fácil determinar el valor de verdad que le corresponde a la fórmula completa. El procedimiento de determinación requiere ir por pasos, estableciéndolos valores correspondientes a los diferentes niveles de subfórmulas (indicados por los paréntesis) hasta alcanzar el nivel de la fórmula completa. Así obtenemos una tabla de verdad para la fórmula en cuestión. Una tabla de verdad establece las diferentes posibles combinaciones de valores de verdad de las VP de una fórmula y determina los valores correspondientes a esa fórmula para cada una de esas combinaciones, es decir, cada renglón será una interpretación posible para esa fórmula a partir de las diferentes combinaciones de valores de verdad para las VP que la compongan. Cada tabla requiere un número de interpretaciones que se corresponde con el número de combinaciones de valores de verdad para las VP que aparezcan en la fórmula. El criterio para determinar cuantas interpretaciones posibles tiene una fórmula depende del número de VP distintas que aparezcan en ella. Dado que según el Principio de Bivalencia que rige la Lógica Clásica una fórmula sólo puede tener dos valores de verdad (a saber, V o F) para una fórmula que

contenga n VP, ese número es 2n. Así la tabla de verdad de una fórmula que tenga 2 variables tendrá 22 = 4 renglones, una que tenga 3, tendrá 23 = 8, una que tenga 4 24 = 16 y así sucesivamente.

Luego de calcular el número de renglones necesarios (en este caso hay sólo dos VP, luego serán 4 renglones) procedo de la siguiente manera: Paso 1: La columna 1 corresponde a la asignación de todas las combinaciones de valores de verdad posibles de las VP que aparecen en la fórmula.

Informática




Paso 2: Calculo el valor de Verdad correspondiente a las negaciones de VP. Paso 3: Calculo los conectivos binarios que afecten directamente a VP o a negaciones de VP. Paso 4: Calculo conectivos binarios que afecten a los resultados del paso anterior hasta llegar al conectivo principal de la fórmula. El resultado de la tabla aparecerá reflejado debajo del conectivo principal.

El resultado de la tabla de verdad de una fórmula es la última columna (correspondiente al conectivo principal de la fórmula molecular). Como se habrá observado pueden ocurrir tres casos: a) el resultado final de la tabla sólo arroja signos de V. b) el resultado final de la tabla solo arroja signos de F. c) el resultado final presenta signos de V y signos de F indistintamente. Se dice que una fórmula es una TAUTOLOGÍA sí y solo si su valor de verdad es siempre V para toda interpretación posible. Es decir, si el resultado de la tabla arroja solo V en su columna final. Esto significa que la fórmula es verdadera

independientemente de como sea el mundo (es decir, independientemente de los valores de verdad que tengan de hecho las VP componentes) y SOLAMENTE es verdadera por la contribución semántica de sus conectivos. Cada interpretación (renglón de la tabla) representa un modo posible de ser “el mundo” – para la fórmula considerada – donde el total de los mundos posibles está dado por el modo en que se “conectan” las VP. Si la tabla de verdad arroja solamente F entonces decimos que la fórmula es una CONTRADICCIÓN. Obviamente una fórmula resultará ser CONTINGENTE sí y solo sí su valor de verdad es F para al menos una interpretación y V para al menos otra.

Informática




Ejemplo:

El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

Sean

p: Salió electo Presidente de la República.

q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

p → q

Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

p q p → q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

Considere que se desea analizar si el candiato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p → q =1; significa

que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que p → q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p → q =1.


Competencia Lógica

Identificar los elementos que conforman las tablas de verdad.

Informática




El alumno: • Elaborará las tablas de verdad para

Demostrar: 1.- p ⇒ ( p ∨ q ) 2.- ( p ∧ q ) ⇒ p 3.- q ⇒ ( p ⇒ q ) 4.- p′ ⇒ ( p ⇒ q ) 5.- ( p ⇒ q ∧ p ⇒ r ) ⇒ ( p ⇒ ( q ∧ r ) ) Expresiones booleanas y tablas de verdad. Una expresión es una forma especial de asignación. Las expresiones son combinaciones de constantes, variables, símbolos de operación, paréntesis y nombres de funciones especiales. Una expresión lógica es una expresión que sólo puede tomar dos valores: verdadero y falso. Se denominan también expresiones booleanas en honor del matemático británico George Boole, que desarrolló el Algebra lógica o de Boole. Las expresiones lógicas se forman combinando constantes lógicas, variables lógicas y otras expresiones lógicas utilizando los operadores lógicos not, and y or, y los operadores relacionales ( de relación o comparación ) = , < , > , < = , > = , < > . Operadores de relación: Los operadores relacionales o de relación permiten realizar comparaciones de valores de tipo numérico o caracter. Los operadores de relación sirven para expresar las condiciones en los algoritmos.

Operador Significado

< menor que

> mayor que

= Igual que

< = menor o igual a

> = mayor o igual a

< > Distinto de

El formato general para las comparaciones es: Expresión 1 operador de relación Expresión 2

Informática




y el resultado de la expresión será verdadero o falso. Así, por ejemplo, si A = 4 y B = 3, entonces A > B es verdadero mientras que ( A - 2 ) < ( B - 4 ) es falso Los operadores de relación se pueden aplicar a cualquiera de los cuatro tipos de datos estándar: enteros, real, lógico, carácter. La aplicación a valores numéricos es evidente. Los ejemplos siguientes son significativos.

N1 N2 Expresión lógica Resultado

3 6 3 < 6 verdadero

0 1 0 > 1 falso

4 2 4 = 2 falso

8 5 8 < = 5 falso

9 9 9 > = 9 falso

5 5 5 < > 5 falso

Para realizar comparaciones de datos tipo caracter, se requiere una secuencia de ordenación de los caracteres, similar al orden creciente o decreciente. Esta ordenación suele ser alfabética, tanto mayúsculas como minúsculas, considerándolas de modo independiente, pero si se consideran caracteres mixtos, se debe recurrir a un código normalizado como es el ASCII. Aunque no todas las computadoras siguen el código normalizado en su juego completo de caracteres, si son

prácticamente estándar los códigos de los caracteres alfanuméricos más usuales. Operadores lógicos. Los operadores lógicos o booleanos básicos son not (no) and (y) or (o). La tabla a continuación recoge el funcionamiento de dichos operadores:

Operador lógico

Expresión lógica

Significado

no ( not ) no p ( not p ) Negación de p

y ( and ) p y q ( p and q )

Intersección de p y q

o ( o ) p o q ( p o q ) unión de p y q

Las definiciones de las operaciones no, y, o se resumen en unas tablas conocidas como tablas de verdad.

Informática




a no b verdadero falso falso verdadero no (6 >10) es verdadera ya que (6>10) es falsa a b a y b verdadero verdadero verdadero verdadero falso falso falso verdadero falso falso falso falso a y b es verdadero sólo si a y b son verdaderos. a b a o b verdadero verdadero verdadero verdadero falso verdadero falso verdadero verdadero falso falso falso a o b son verdaderas cuando a, b o ambas son verdaderas. En las expresiones lógicas se pueden mezclar operadores de relación y lógicos. Así, por ejemplo: ( 1 < 5 ) y ( 5 < 10 ) es verdadera ( 5 > 10 ) o ( ‘A’ < ‘B’ ) es verdadera, ya que ‘A’ < ‘B’ La siguiente tabla resume una serie de aplicaciones de expresiones lógicas.

Expresión lógica

Resultado Observaciones

(1 > 0) y (3 = 3) Verdadero

no PRUEBA Falso * PRUEBA es un valor lógico falso

(0 < 5) o (0 > 5) Verdadero * número es una variable entera de valor 5

(5 < = 7) y (2 > 4)

Falso

no (5 < > 5) Verdadero

(número = 1) o (7 > = 4)

Verdadero

Prioridad de los operadores lógicos. Los operadores aritméticos seguían un orden específico o de prioridad cuando existían más de un operador en las expresiones. De modo similar los operadores lógicos y relacionales tienen un orden de prioridad.

Informática




Operador Prioridad no más alta (primera

ejecutada) /,*, div, mod, y +, -, o <, >,=,<=,>=,<> más baja (ultima

ejecutada) Al igual que en las expresiones aritméticas, los paréntesis se pueden utilizar y tendrán prioridad sobre cualquier operación. Ejemplo: no 4 > 6 produce un error, ya que el operador no se aplica a 4 no ( 4 > 14 ) produce un valor verdadero ( 1.0 < x ) y ( x < z + 7.0) si x vale 7 y z vale 4, se obtiene un valor falso.

Mapa de Karmaugh El mapa de Karnaugh es un dispositivo gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica o para convertir una Tabla de Verdad en su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado, aunque un mapa de Karnaugh se puede usar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada, su utilidad práctica se limita a seis variables. FORMATO DEL MAPA DE KARNAUGH. El mapa de Karnaugh, al igual que la Tabla de Verdad, es un medio para demostrar la relación existente entre las entradas lógicas y la salida que se busca.

Las Tablas de Verdad dan el valor de la salida X para cada combinación de valores de entrada. El mapa Karnaugh proporciona la misma información en un formato diferente. Cada caso en la Tabla de Verdad corresponde a un cuadrado en el mapa de Karnaugh.

La condición A=0, B=0 en la Tabla de Verdad corresponde al cuadrado AB negada en el mapa de Karnaugh. En forma semejante, la condición A=1, B=1 en la Tabla de Verdad corresponde

Informática




al cuadrado AB del mapa de Karnaugh ya que X=1 en este caso se coloca un 1 en el cuadrado AB, los otros cuadrados se llenan con ceros; este mismo procedimiento se realiza con los mapas de tres y cuatro variables. Los cuadrados del mapa de Karnaugh se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes difieran únicamente de una variable. Una vez que el mapa de Karnaugh se ha llenado con ceros y unos, la expresión en suma de productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos cuadrados que contienen un uno.

REPETICION:-La expresión de la salida X se puede simplificar adecuadamente combinando los cuadrados en el mapa Karnaugh que contengan unos el proceso para combinar estos unos se le llama repetición

Lo único que debemos tener en cuenta es que debemos seguir un procedimiento para ver lo que escogeremos Esto es llevando a cabo los siguientes puntos: Tratar de abarcar todos los unos con el MENOR número de agrupaciones Esto trae como consecuencia que formaremos los grupos de los mas grandes o sea de 8 y así ir bajando hasta abarcar todos los unos. Formar sólo grupos de dos, cuatro y ocho unos.

Informática




Redacción de trabajo

Competencia Emprendedora

Identificar las diferencias entre tablas de erdad y mapa de Kamaugh. El alumno: • Redactará un trabajo que contenga los

conceptos de las tablas de verdad, del mapa de Karnaugh.

• Comparará resultados y llegará a conclusiones


Competencia Científico - Teórica.

Realizar el mapa de Karnaugh partiendo de una función dada. El alumno: • Elaborará el mapa de Karnaugh la

siguiente función.

f(x, y, z) = x' y' z + x’ y z' + x y' z.

• Consultará con el P.S.A. la correcta elaboración del ejercicio.

2.2.2 Proposiciones Una proposición se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bien es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de dicha proposición se le llama su valor de verdad . Algunas proposiciones se pueden componer de dos o varias proposiciones simples, a los cuales, les llamaremos proposiciones compuestas . Comúnmente se suele denotar a las proposiciones mediante las letras: « p, q, r, s...etc. » A continuación, veremos algunos ejemplos muy simples, de manera que se comprenda que son las proposiciones en Lógica.

Informática




p: 7 es un número par; q: 2 + 2 = 4; r: 2 es un número impar. Como puedes darte cuenta, las proposiciones tanto p, q y r, tienen valores de verdad. De manera que la proposición p, su valor de verdad será Falso , pues 7 no es un número par. Para la proposición q, su valor de verdad será verdadero, siempre y cuando estemos hablando de el sistema decimal. El valor de verdad para r, será falso, pues 2 no es un número impar. Ahora observemos este otro ejemplo: ¿Cómo éstas? Observa que para esta expresión no es posible asignar un valor de verdad, no podemos decir que es falso, o bien, verdadero. De manera que no se trata de una proposición. Bueno, dejemos éste ejemplo, y ahora veamos este otro: Pedro está enfermo o viejo. Esta expresión está formada implícitamente por dos proposiciones simples: «Pedro está enfermo» y la otra proposición, «Pedro es viejo». Se trata de una proposición compuesta, donde su valor de verdad, está determinado por completo por el valor de verdad de cada uno de las proposiciones simples, y por el modo de como se les reúne para formar la proposición compuesta. De manera que, la primera proposición: «Pedro está enfermo», le podemos asignar

un cierto valor de verdad, o bien es verdadero, o bien es falso. Para la segunda proposición: «Pedro es viejo» también se le puede asignar su valor de verdad: falso o verdadero. La manera en que van a estar unidas ciertas proposiciones simples, para dar forma a proposiciones compuestas, será determinado rotundamente por el uso de conectivos. Conjunción. Anteriormente vimos que la unión de proposiciones simples dan lugar a proposiciones compuestas. El primer caso que veremos de proposiciones compuestas será la conjunción.

Informática




Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y » , la proposición compuesta resultante se le llama conjunción. Para la conjunción usaremos el símbolo lógico ^. De esta manera, se tiene que la nueva proposición p ^ q se llama conjunción de « p y q ». Ahora, el valor de verdad, para la conjunción de dos proposiciones cualesquiera, «p y q» será de la siguiente manera: p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente si, tanto p, como q, son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q , es falso. Veamos un par de ejemplos sencillos para comprender el estudio de la conjunción. 1.- Si p es la proposición: «1 es un número impar» y q es la proposición: «3 es un número primo», entonces p ^ q será la proposición: «1 es un número impar y 3 es un número primo». En donde se observa que p ^ q su valor de verdad es verdadero, pues tanto p: «1 es un número impar», como q: «3 es un número primo»,ambos son verdaderos. 2.- Si p es la proposición: «París está en Francia» y q es la proposición: «2 es un número impar», entonces la proposición: p ^ q será «París está en Francia y 2 es un número impar», donde su valor de verdad es: falso, pues el valor de verdad de q: «París está en Francia» , es verdadero, pero el valor de q: «2 es un número impar» es falso.

Disyunción. Se emplea la palabra «o» en el sentido inclusivo, como el término y/o. Entonces una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q ó ambas».Dado esto admitimos la frase compuesta como una proposición. Simbolicamente la denotaremos escribiendo p v q . A esta nueva proposición compuesta se le llama Disyunción, de modo que la proposición p v q se llama disyunción de p y q. El valor de verdad de la proposición compuesta p v q cumple la condición siguiente:

Informática




Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos, entonces p v q es verdadero; en cualquier otro caso p v q es falso. Es decir la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa. Veamos a continuación los siguientes ejemplos: 1.- Si p es la proposición «2 es un número par» y q es la proposición «3 es un número primo», entonces la disyunción p v q será la proposición «2 es un número par o 3 es un número primo».Donde el valor de la disyunción es verdadero pues tanto p y q son ambas verdaderas. 2.- Si p es la proposición «2 < 3» y q es la proposición «4 es un número primo». Entonces la disyunción p v q es la proposición:«2 < 3 o 4 es un número primo». Donde el valor de verdad de p v q es verdadero, pues p «2 < 3» es verdadero, y q «4 es un número primo» es falso. Con esto se observa: si al menos una de las proposiciones que forman la disyunción p v q es verdadera, entonces el valor de la disyunción es verdadera. 3.- Si p es: «París se encuentra en Inglaterra» y q es: «2 + 2 = 5», luego entonces el valor de la disyunción p v q será falso, pues tanto p como q, ambas son falsas. Negación. Si p es una proposición fundamental, de ésta se puede formar otra proposición, que se le llama Negación de

p, escribiendo: «Es falso que» antes de p, ó, cuando es posible, se inserta en p la palabra «No». Simbólicamente denotaremos a la negación por ~p, aunque existen varias maneras de hacerlo, algunos autores usan las notaciones para la negación de una proposición p como: ¬p ,-p , etc...., nosotros utilizaremos la notación ~p. El valor de verdad de la negación de una proposición fundamental depende de la condición siguiente: Si p es verdadero, entonces ~p es falso; si p es falso, entonces ~p es verdadero. Es decir el valor de verdad de la negación de una proposición fundamental es siempre opuesto del valor de verdad de la proposición. Consideremos los siguientes ejemplos: 1.- Si p es la proposición «Alemania se encuentra en Europa»,entonces la negación de p, ~p, será la proposición: «Es falso que Alemania se encuentre en Europa» Es obvio que el valor de verdad para ~p es falso, pues la proposición p: «Alemania se encuentra en Europa» es verdadero. Tambien se pudo haber expresado la negación de p como:«Alemania no se encuentra en Europa». 2.- Si p es la proposición: «2 * 3 = 7», entonces ~p es la proposición: «2 * 3 /= 7», donde el valor de verdad de ~p es verdadero, pues p«2 * 3 = 7», es falso.

Condicionales

Informática




En matemáticas se suele utilizar muy frecuentemente la proposición «Si p, entonces q». Tales proposiciones se llaman condicionales y se le denota por: p --> q El condicional p --> q también se puede expresar de las siguientes maneras: a. p implica q b. p solamente si q c. p es suficiente para q d. q es necesario para p Veamos un ejemplo, el cual te ayudara a comprender las maneras en que una proposición condicional se puede expresar: Por ejemplo, cuando decimos: Mi automóvil funciona si hay gasolina en el tanque. Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras: a) Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automóvil funciona. Observa que en este caso la proposición condicional es del caso: «Si p, entonces q». b) Mi automóvil sólo funciona si hay gasolina en el tanque. En este caso la proposición condicional es del caso: «p solamente si q».

Informática




c) Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automovil funcione En este caso la condicional es de la forma: «p es suficiente par q». d) Para que mi automóvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque. Para este caso la proposición condicional es de la forma: «q es necesario para q». e) Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione. En este caso la condicional es de la forma: «p implica q». El valor de verdad de la proposición condicional p --> q está dada de la siguiente condición: El condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir, una proposición verdadera no puede implicar una falsa. La proposición condicional juega un papel muy importante en matemáticas, en particular, en la demostración matemática. Veremos mas adelante cuando lleguemos a este tema, que los teoremas, corolarios,.etc,etc...vendrán dadas por una serie de condiciones a la que llamaremos: Hipótesis o antecedentes, lo cual implican un consecuente. En el condicional p --> q a p se le llama el antecedente, y a q el consecuente.

También, es muy importante comprender el carácter que tiene el condicional p --> q, es decir, si llegara a ocurrir p....entonces q, no es necesario a que siempre ocurra p para que entonces q. Veamos algunos ejemplos para aclararte esto: 1.- Si mañana llueve, entonces hará frío. Se observa, de que, si llega a ocurrir de que el día de mañana llueva, entonces el día de mañana será frío. Ahora, para saber el valor de verdad de esta proposición, depende de los factores climatológicos que se presenten para el día de mañana.

Informática




Es decir, puede ser que mañana llueva, pero no haga frío, en este caso dado la ley del valor de verdad de la condicional, sería falsa. Pues una proposición verdadera no implica una proposición falsa. 2.- Si a y b son números pares, entonces la suma (a+b) también es un número par. Para este caso, si se tienen que dos números son pares entonces su suma son otro número par, es decir, no afirma que para cualesquiera dos números la suma de estos es un número par. Otra observación interesante que hay que notar, es como ya dijimos anteriormente de que el valor de verdad de la proposición condicional p --> q es falso, si p es verdadero y q es falso. Ahora puede ser que te sorprenda de que el valor de verdad de la condicional p --> q es verdadero, dado que q es falsa y q verdadera, o más aún, es verdadero, dado que p es falsa y también q es falsa. Realización del ejercicio

Competencia Analitica

Razonar el concepto de proposición condicional y su correspondiente notación. EL alumno: • Analizará la siguiente proposición.

Sea la proposición condicional: «Si 4 es un número primo, entonces 6 es un número primo». • Con los conceptos expuestos en el tema

de proposición condicional, elaborará la proposición antes enunciada.

Equivalencia lógica

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p ≡ q.

Informática




Un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p→q) y (q’→p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p→q) ≡ (q’→p’) Reglas de inferencia Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración. Ejemplo 1 ¿Es valido el siguiente argumento? Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico. Si se hace usted rico, entonces será feliz. ___________________________________________ ∴Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz. Sea: p: Usted invierte en el mercado de valores. q: Se hará rico. r: Será feliz De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera: p → q

q → r ______ ∴ p → r En una demostración no solamente hay tautologías e hipótesis, también existen reglas de inferencia que permiten obtener nuevas líneas válidas, esta es la parte en donde la mayoría de alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar para resolver un determinado problema. A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración. Adición Conjunción p p _______ q ∴p∨q _________ ∴ p ∧q Simplificación Modus pones p ∧q p ____________ p→q ∴ p _________ ∴ q Silogismo disyuntivo Modus tollens p∨q p→q p’ q’ _________ ___________ ∴ q ∴ p’ Silogismo hipotético p→q q→r ________ p→r

Informática






Razonar sobre el concepto de proposiciones equivalentes, sus reglas de inferencia y su correspondiente notación. El alumno: • Analizará el siguiente argumento: Si bajan los impuestos, entonces se eleva el ingreso El ingreso se eleva. ___________________________________ ∴Los impuestos bajan • Determinará la validez del mismo. • Representará en notación lógica el

argumento antes enunciado y su correspondiente demostración.

Cuantificadores Los cuantificadores permiten expresar propiedades de grupos completos de objetos. La lógica de primer orden consta de dos cuantificadores estándar, denominados Universales: Equivale a la conjunción de todas las oraciones que se obtienen al sustituir el nombre de un objeto por la variable que aparece en la expresión

Informática




Existenciales: Sirve para realizar afirmaciones acerca de algún objeto en el universo sin tener que nombrarlo. Equivale a la disyunción de todas las oraciones obtenidas al sustituir el nombre de un objeto por la variable x. Esta oración es verdadera solo cuando una de las disyunciones es verdaderas. El orden de los cuantificadores es muy importante. Surge una dificultad que no es grave cuando se utilizan dos cuantificadores que tienen el mismo nombre de variable. La regla es que la variable pertenece al más interno de los cuantificadores que en ella se mencionan. El término fórmula bien configurada se emplea para calificar oraciones en las que todas sus variables se han introducido mediante un cuantificador. Cuantificador Universal (se escribe ∀ y se lee “para todo”): dada una función proposicional p (x) definimos la proposición cuantificada universalmente asociada a p (x) por

p ⇔ (∀x) p (x). Cuantificador existencial (se escribe ∃ y se lee “existe”): Dada una función proposicional p (x) definimos la proposición

p ⇔ (∃x) p (x) que es verdadera ssi podemos encontrar por lo menos un elemento que hace p (x) verdadero

Existencia y Unicidad: Se utiliza con frecuencia un cuantificador más: ∃!, que se lee “existe un único”. Dada una función proposicional p (x) (∃!x) p (x) es verdadero cuando hay exactamente un elemento que hace verdadero p (x). Los símbolos ∀ (cuantificador universal) y ∃ (cuantificador existencial) se utilizan en Matemáticas para enunciar proposiciones lógicas relativas a objetos matemáticos. Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento x. (1) Cuantificador universal : La expresión ∀ x ∈ A ⇒ p(x)

Informática




se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposición

{ x � A : p(x) } = A (2) Cuantificador existencial: La expresión

∃ x ∈ A | p(x) se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposición { x ∈ A : p(x) } ≠ ∅ La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la proposición p(x) y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa. Así, la negación de la proposición "∀ x ∈ A ⇒ p(x)" es "∃ x ∈ A | p(x)' ", mientras que la negación de "∃ x ∈ A | p(x)" es "∀ x ∈ A ⇒ p(x)' " 2.2.3 Conectivos

Condicional A partir de el conjunto original de proposiciones fundamentales hemos formado un nuevo conjunto, aceptando en él toda combinación de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos lógicos ^, v, ~. Los elementos del último conjunto se le

llaman proposiciones compuestas. Podemos tener ahora proposiciones compuestas del tipo (p ^ q)v r. El valor de verdad que se asigna a una proposición compuesta suponemos que se asigna de acuerdo con la extensión natural de las hipótesis anteriores. Dichas hipótesis se resumen y se generalizan por medio de lo que se llama una tabla de verdad. Se puede conocer el valor de verdad de una proposición, que contiene conectivos, determinando el valor de verdad de cada una de las componentes. A una proposición p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden, debajo de la proposición p

Informática




. Las tablas de verdad para los conectivos ~, v, ^,-->, <--> se verán a continuación. Tabla de verdad para ~p. (~ Falso)

p ~p V F F V

Esta tabla nos hace recordar la definición que vimos anteriormente de la negación, que dice: si el valor de verdad de p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad de p es falso, entonces el valor de verdad de ~p es verdadero. Tabla de verdad para p v q. (Disyunción)

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

En esta tabla se observa: Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos p y q son verdaderos, entonces p v q es verdadero; en otro caso p v q es falso. Es decir, la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa. Tabla de verdad para p ^ q. (Conjunción)

p q p ^ q V V V V F F F V F F F F

Esta tabla nos hace ver la definición de la conjunción: Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero; en otro caso p ^ q es falso. Es decir, la conjunción de dos proposiciones es verdadera solamente si cada componente es verdadero. Tabla de verdad para p --> q. (Entonces)

P q p --> q V V V V F F F V V F F V

De la tabla anterior se observa que el condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso.

Informática




Es decir una proposición verdadera no puede implicar una falsa.

Bicondicional Otro tipo de proposición que se presenta con frecuencia es de la forma «p si, y solamente si, q» que se suele abreviar «p ssi q». Intuitivamente esta proposición parece ser la combinación de p --> q y q --> p A este conectivo lógico especial lo llamamos condicional y se denota por el simbolo <-->, entonces p <--> q es lo mismo que (p --> q) y (q --> p) o aplicando la definición de la conjunción, que vimos en una de las secciones anteriores, (p --> q) ^ (q --> p). El valor de verdad de las proposiciones Bicondicionales p <--> q obedece a la condición: Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q, es verdadero. Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso. Dicho de otra manera: si tanto p como q son verdaderos, entonces p <--> q es verdadero. Si tanto p como q son falsos, entonces p <--> q también es verdadero. Si p es verdadero y q falso, entonces p <--> q es falso. Si p es falso y q verdadero, entonces p <--> q también es falso Veamos los ejemplossiguientes: 1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8.

Si se toma p como: «3 + 2 = 7» y q como: «4 + 4 = 8», entonces el valor de verdad de p, es falso, pero el valor de verdad de q es verdadero, luego entonces la bicondicional p <--> q es falsa. 2.- Londres está en Inglaterra si, y solamente si, París está en Francia. Sea p «Londres está en Inglaterra» y q «París está en Francia», entonces tanto el valor de p, como de q, son verdaderos,es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p <--> q es verdadera.

Informática




3.- 10 es un número impar si, y solamente si, 6 es un número primo Si p es: «10 es un número impar» y q es: «6 es un número primo», entonces se observa que tanto el valor de verdad de p, como de q, son falso, es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p <--> q es verdadera. Tabla de verdad para p <--> q. (Bicondicional)

p q p <--> q V V V V F F F V F F F V

De la anterior tabla se puede observar que: Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q es verdadero; si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso.

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para eterminar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

2.3.1 Álgebra Booleana. Concepto. Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la

Informática




máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole. Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito (bits), por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Evidentemente los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios. Todas las operaciones (representadas por símbolos determinados) pueden ser materializadas mediante elementos físicos de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos, neumáticos o electrónicos) que admiten entradas binarias o lógicas y que devuelven una respuesta (salida) también binaria o lógica. Ejemplos de dichos estados son: Abierto/Cerrado (interruptor). Encendida/Apagada (bombilla). Cargado/Descargado (condensador).

Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica de un circuito semiconductor), etcétera. El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Informática




Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

Elementos Basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores: o Los dos posibles valores en el sistema

booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.

o El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.

o El símbolo El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.

El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A. o Si varios operadores diferentes

aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico

AND como el OR son asociativos por la izquierda.

o Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.

Utilizaremos además los siguientes postulados: P1.- El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2.- El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero.

Informática




No existe elemento de identidad para el operador NOT P3.- Los operadores · y + son conmutativos.

P4.- - y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5.- Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.

P6.- - y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

Expresiones booleanas Las expresiones booleanas se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero o falso, y el resultado de su evaluación es un valor de verdad. Los operandos de una expresión booleana pueden ser cualquiera de los siguientes: Expresiones relacionales: que comparan dos valores y determinan si existe o no una cierta relación entre ellos (ver más adelante), tal como mfn<10; Funciones booleanas: tal como p(v24), que regresa un valor de verdad (estos se explican bajo "Funciones booleanas"). Las expresiones relacionales permiten determinar si una relación dada se verifica entre dos valores. La forma general de una expresión relacional es: expresión-1 operador-de-relación expresión-2 donde: expresión-1 es una expresión numérica o de cadena

operador-de-relación es uno de los siguientes: = Igual <> No igual (diferente de) < Menor que <= Menor o igual que > Mayor que >= Mayor o igual que : Contiene (puede ser usado sólo en expresiones de cadena)

Informática




expresión-2 es una expresión del mismo tipo que expresión-1, o sea, expresión-1 y expresión-2 deben ser ambas expresiones numéricas o ambas expresiones de cadena. Los operadores de relación = <> < <= > >= tienen su significado convencional cuando se aplican a expresiones numéricas (dentro de los límites de precisión de los valores numéricos definidos bajo "Expresiones numéricas". Cuando se comparan expresiones de cadena, se aplican las siguientes reglas: Excepto por el operador ":" (contiene), las cadenas se comparan exactamente en la forma en que ocurren, o sea, las letras mayúsculas y minúsculas se comparan de acuerdo con el código ASCII que les corresponde (p.ej. A será considerada menor que a); Dos expresiones de cadena no son consideradas iguales, a menos que tengan la misma longitud. Si dos expresiones generan cadenas de diferente longitud que son idénticas, carácter por carácter, hasta el total de la longitud de la más corta, entonces, la más corta será considerada menor que la más larga. El operador: (contiene), busca una cadena de caracteres (definida por expresión-2) en otra cadena (definida por expresión-1). Si el segundo operando existe en cualquier parte del segundo operando, el resultado es Verdadero (TRUE). Este operador es insensible al hecho de que los caracteres se hallen en mayúsculas o minúsculas: por lo que las letras minúsculas se consideran

iguales a su letra mayúscula correspondiente. Por ejemplo, el resultado de: v10: 'química' será Verdadero (True) si, y sólo si, el campo 10 contiene la cadena química. en caso contrario, el resultado será Falso (False). Nótese que el segundo operando puede ser cualquier cadena o carácter, y no necesita ser una palabra como tal. Por lo tanto, en este ejemplo, el resultado será Verdadero no sólo si el campo 10 contiene la palabra química, sino también si contuviera bioquímica, fotoquímicas, químicamente, etc. Los operandos de una expresión booleana pueden combinarse con los operadores siguientes:

Informática




NOT (NO) Este operador produce el valor Verdadero, si su operando es Falso; y el valor Falso, si su operando es Verdadero. El operador NOT sólo puede usarse como operador signo +, o sea, siempre se aplica a la expresión booleana que le sigue. AND (Y) Este operador produce el valor Verdadero si ambos operandos son Verdadero. Si cualquiera de los dos operandos es Falso, entonces el resultado será Falso; OR (O) Este operador realiza una operación O-inclusivo. El resultado es Verdadero si cualquiera de los dos operandos, o ambos son Verdadero. En caso contrario, es Falso. Al evaluar expresiones booleanas, y en ausencia de paréntesis, CDS/ISIS ejecutará las operaciones NOT en primer lugar, después las operaciones AND, y finalmente las OR. Las series de dos o más operadores del mismo nivel, se ejecutan de izquierda a derecha. Se pueden usar paréntesis para alterar el orden de evaluación: las expresiones dentro de paréntesis se evalúan antes, y las expresiones entre paréntesis internos a otros, son evaluadas antes que las expresiones externas a los paréntesis. La siguiente tabla presenta ejemplos de expresiones booleanas. Expresión Valor mfn = 4 Verdadero not mfn = 4 Falso not (not min = 4) Verdadero v24 = ‘plants’ Falso

v24:’plants’ Verdadero v24:’PLANTS’ Verdadero v44.6 =’method’ Falso v44.6=’Method’ Verdadero v24:’plants’ and v44:’method’

Verdadero

Expresiones booleanas simples Las expresiones booleanas simples pueden ser: constantes y variables booleanas; referencias a funciones booleanas; expresiones de la forma

expresión-1 operador-relacional expresión-2

Informática




donde expresión-1 y expresión-2 son del mismo tipo y el operador-relacional puede ser cualquiera de los siguientes:

Operador Relacional

Definición

< Es menor que

> Es mayor que

= Es igual a

<= Es menor que o igual a

>= Es mayor que o igual a

<> No es igual a Los operadores relaciones pueden usarse con los tipos integer, real, boolean y char (y también con otros tipos ordinales como se verá más adelante). Para establecer un orden en el conjunto de caracteres se usan los códigos ASCII y EBCDIC. En cualquier caso, las letras están en orden alfabético y los dígitos en orden numérico. Por tanto, 'A' < 'F' '6' < '4' son expresiones booleanas ciertas. Para los valores booleanos, la constante false (falso) es menor que la constante true (verdadero).

Para los datos numéricos, los operadores relacionales son los estándar usados para comparar números. Expresiones booleanas compuestas Las expresiones booleanas compuestas se forman combinando expresiones booleanas usando los operadores booleanos NOT, AND y OR. Las definiciones de los operadores booleanos se resumen en las siguientes tablas de verdad:

NOT

true false

false true

OR

true true true

true true true

false true true

false false false

AND

true true true

true true false

false true false

false false false En una expresión booleana que contengan algunos de estos operadores, las

Informática




operaciones se ejecutan en el orden NOT, AND, OR. Se pueden usar paréntesis para indicar subexpresiones que deben evaluarse primero. La evaluación de una expresión booleana que contiene operadores aritméticos, operadores booleanos y operadores relacionales se lleva a cabo usando los siguientes niveles de prioridad:

Operador Prioridad

NOT 1 la más alta (ejecutada primero)

/, *, DIV, MOD, AND 2

+, -, ORD 3

<, >, =, <=, >=, <> 4, la menor (ejecutada en último lugar)

Teoremas

Los teoremas booleanos son enunciados siempre verdaderos, lo que permite la manipulación de expresiones algebraicas, facilitando el análisis ó síntesis de los circuitos digitales. Los teoremas booleanos son los siguientes: Teorema 1. X + X = X Teorema 2. X + 1 = 1 Teorema 3. X·0 = 0 Teorema 4. X·1 = X Teorema 5. (X’)’=X Teorema 6. X + 0 = X Teorema 7. X·X = X Teorema 8. X + X’ = 1

Informática




Teorema 9. X.X’= 0 Teorema 10. X + XY = X Teorema 11. X +X’·Y = X + Y Teorema 12. X·Y + X·Y’ = X (Teorema de combinación) Teorema 13. (X +Y)(X + Y’) = X + X·Y’ + X·Y = X Teorema 14. X·Y + X·Z + Y·Z’ = XZ + Y·Z’ (Consenso) El teorema 12 se conoce como la ley distributiva para tres variables. Demostración teorema 12: X·Y + X·Y’ = X Utilizando la ley distributiva para tres variables X·Y + X·Y’= X·(Y+Y’) Aplicando el teorema 8 se tiene, X·Y + X·Y’= X·1 Dando como resultado, X·Y + X·Y’= X

Esta expresión indica que la suma de dos productos canónicos adyacentes, es decir que difieren en una sola de las variables, se reduce al producto de los demás términos suprimiéndose dicha variable. El teorema 13 es otro caso del teorema de combinación.

Leyes

Asociativa Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Conmutativa

Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.

Distributiva Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. Redacción de trabajo

Competencia de Información

Reconocer la definición de expresiones booleanas.

Informática




El alumno: • Elaborará trabajo escrito sobre el tema,

resaltando los conceptos más importantes del álgebra booleana, ejemplificará estos conceptos con casos relacionados con su vida cotidiana.

ALGEBRA BOOLEANA: El álgebra del mecanismo lógico y de toma de decisiones desarrollada por el matemático inglés George Boole. De ella depende la capacidad que muestra el ordenador a la hora de tomar decisiones. Asimismo, gran parte de la fuerza del ordenador para demostrar un comportamiento inteligente reside en el uso del Algebra Booleana. Nos permite inferir, a partir de un conjunto de premisas, cuáles son las conclusiones a las que se puede llegar de una manera lógica. Y dado que una conclusión puede ser verdadera o falsa (2 estados), esta álgebra puede representarse mediante el uso de interruptores. 2.3.2 Circuitos lógicos

Compuertas Los circuitos cuyos componentes realizan operaciones análogas a las que indican los operadores lógicos se llaman "circuitos lógicos" o "circuitos digitales". Los operadores lógicos básicos son "Y", "O" y "N", los cuales se representan respectivamente con los símbolos: ∧, ∨ y ~. Por eso, los componentes que realizan operaciones análogas se llaman

"componentes básicos". Los componentes que resultan de la combinación de dos o más componentes básicos se llaman "componentes combinados". Todos los componentes arrojan una señal de salida, pero pueden recibir una o dos señales de entrada. En general, se los llama "compuertas" (en inglés, gates). Las compuertas se construyen con resistores, transistores, diodos, etc., conectados de manera que se obtengan ciertas salidas cuando las entradas adoptan determinados valores. Los circuitos integrados actuales tienen miles de compuertas lógicas. En el cuadro siguiente se presenta la lista completa de los componentes de los circuitos lógicos.

Informática




CONECTOR/COMPUERTA, ENTRADA(S), SALIDA CONNECTOR/GATE, INPUT(S), OUTPUT

NOMBRE NAME

TABLA DE VERDAD TRUTH TABLE

AMORTIGUADOR BUFFER

A Z 0 01 1

Y AND

A B Z 0 0 01 0 00 1 01 1 1

O (O, en sentido inclusivo) OR

A B Z 0 0 01 0 10 1 11 1 1

OE (O, en sentido exclusivo) XOR (EXCLUSIVE-OR)

A B Z 0 0 01 0 10 1 11 1 0

N, NEG o INVERSOR NOT or INVERTER

A Z 0 11 0

NY (N Y) NAND (NOT AND)

A B Z 0 0 11 0 10 1 11 1 0

NO (N O) NOR (NOT OR)

A B Z 0 0 11 0 00 1 01 1 0

NOE (N OE) NXOR (NOT EXCLUSIVE-OR)

A B Z 0 0 11 0 00 1 01 1 1

De la asociación de componentes resultan elementos más complejos que ya no se llaman "componentes" sino, por ejemplo: "sumadores" (adders); "decodificadores" (decoders); "multiplexores" (multiplexers);

"memorias" (memories); "microprocesadores" (microprocessors). Para representar un circuito lógico se pueden emplear símbolos para componentes (básicos y combinados) y elementos complejos, pero siempre esa representación se puede reducir a otra que sólo incluya los componentes básicos.

Simples Los circuitos lógicos simples son los que nos permiten representar las operaciones boolenas con los operados binarios negación, suma y multiplicación, es decir que estos combinan dos o más variables para conformar funciones lógicas. Una compuerta es un circuito útil para realizar las operaciones anteriormente mencionadas.

Informática




Inversión o negación (complemento). Esta operación se indica con una barra sobre la variable o por medio de un apóstrofe en el lado superior derecho de la variable. El apóstrofe (’) es un operador algebraico que invierte el valor de una variable, es decir, si X denota la señal de entrada de un inversor, entonces X’ representa el complemento de tal señal. Ejemplo Sí X = 0 entonces X’ = 1. En la siguiente tabla de verdad se muestra el resultado de la inversión lógica.

Ecuación Entrada A Salida B

B=A’ 0 1 1 0

El símbolo lógico de la negación booleana se representa:

Suma booleana. La representación matemática de una suma booleana de dos variables se hace por medio un signo más entre las dos variables. Ejemplo La suma booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma, X = A + B La suma booleana es 1 si alguna de las variables lógicas de la suma es 1 y es 0 cuando todas las variables son 0. Esta operación se asimila a la conexión paralela de contactos.

La tabla de verdad de la suma se muestra en la tabla .

Entrada A Entrada B Salida X

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1 Tabla de Verdad de la función OR

En circuitos digitales, el equivalente de la suma booleana es la operación OR y su símbolo lógico se representa:

Con la correspondiente ecuación X= A + B. El inverso de la función OR es la función NOR. La tabla de verdad.

Informática





0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0 Tabla de verdad de la función NOR

El símbolo lógico de la compuerta NOR se representa:

Símbolo lógico para la compuerta NOR

Con la correspondiente ecuación X= (A+B)’ La suma booleana difiere de la suma binaria cuando se suman dos unos. En la suma booleana no existe acarreo. Multiplicación booleana La representación matemática de una multiplicación booleana de dos variables se hace por medio un signo punto (·) entre las dos variables. La multiplicación booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma, X = A · B La multiplicación booleana es 1 si todas las variables lógicas son 1, pero si alguna es 0, el resultado es 0. La multiplicación booleana se asimila a la conexión serie de contactos. La tabla de verdad de la multiplicación booleana

Entrada A Entrada B Salida X0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1 Tabla de verdad de la función AND

En circuitos digitales, el equivalente de la multiplicación booleana es la operación AND y su símbolo se representa:

Símbolo lógico de la función AND

Con la correspondiente ecuación X= A·B El inverso de la función AND es la función NAND. La tabla de verdad se muestra

Informática





0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0 Tabla de verdad de la función NAND

El símbolo lógico de la compuerta NAND se representa:

Símbolo lógico de la función NAND

Leyes asociativas en tres variables Ley asociativa de la adición, se escribe en forma algebraica de la siguiente forma A + ( B + C ) = ( A + B ) + C Se muestra la aplicación de la propiedad a las compuertas OR,

Ley asociativa de la adición

Ley asociativa de la multiplicación A·( B· C) = ( A·B )· C Se muestra la aplicación de la propiedad a las compuertas AND,

Ley asociativa de la multiplicación

Ley distributiva para tres variables En el álgebra de Boole, la multiplicación lógica se distribuye sobre la suma lógica, A·( B + C ) = A·B + A·C

En la figura se muestra la aplicación de la propiedad a las compuertas AND y OR,

Ley distributiva para tres variables

Teoremas de DeMorgan

Los teoremas de DeMorgan demuestran la equivalencia entre las puertas NAND y negativa - OR, y las puertas NOR y negativa – AND. El complemento de la suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables. (X1 + X2 +.....+ Xn)’ = X1’ · X2’ · ..... · Xn’

Informática




En el caso de dos variables se tiene, (X + Y)’ = X’ · Y’ El circuito equivalente a la ecuación anterior se muestra en la figura.

Símbolo lógico para la compuerta NOR. Ejemplo. Obtener una compuerta OR utilizando compuertas NAND. Y = (A + B) = [(A + B)’]’ = (A’·B’)’

Compuerta OR utilizando compuertas NAND El complemento del producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables. (X1 · X2 ·.....· Xn)’ = X1’ + X2’ + .....+ Xn’ En el caso de dos variables se tiene, (X · Y)’ = X’ + Y’ El circuito equivalente en dos variables a la ecuación se muestra en la figura.

Símbolo lógico para la compuerta NOR.

Ejemplo Obtener una compuerta AND utilizando compuertas NOR. Y = A·B = [(A.B)’]’ = (A’+B’)’

Circuito lógico para la compuerta AND Simplificación de Expresiones Lógicas El objetivo de la simplificación de expresiones lógicas es reducir la expresión al menor número posible de términos. Las expresiones lógicas se pueden simplificar utilizando los teoremas anteriores.

Informática




Ejemplo F = A·B’·C + A·B’C’ F = A·B’·(C + C’) F = A·B’ Ejemplo F= (A’+B)·(A+B’) F = A·A’ + A’·B’ + A·B + B·B’ F = A’·B’ + A·B Ejemplo F = [(A’ + C)·(B + D’)]’ F = (A’ + C)’+(B + D’)’ F= A·C’ + B’·D Ejemplo F = (X + Z’)·(Z + W·Y)’ + (V·Z + W·X’)·(Y + Z)’ F = (X + Z’)·[Z’·(W’ + Y’)] + [(V·Z + W·X’)·(Y’·Z’)] F = (X + Z’)·(Z’·W’ + Z’·Y’) + V·Y’·Z·Z’ + W·X’·Y’·Z’ F = W’·X·Z’ + X·Y’·Z’ + Z’·Z’·W’ + Z’·Z’·Y’ + W·X’·Y’·Z’ F = W’·X·Z’ + X·Y’·Z’ + W’·Z’ + Y’·Z’ + W·X’·Y’·Z’ F = W’·Z’·(1 + X) + Y’·Z’·(1 + X) + W·X’·Y’·Z’ F = W’·Z’ + Y’·Z’ + W·X’·Y’·Z’ F = W’·Z’ + Y’·Z’·(1 + W·X’) F = Z’·(W’ + Y’) Implementación de Funciones Lógicas mediante Compuertas. La forma más fácil de encontrar la expresión de un circuito lógico consiste en

comenzar con las entradas situadas más a la izquierda e ir avanzando hasta la salida de cada compuerta lógica, obteniendo la expresión para cada una de ellas. Al final del recorrido se debe tener la expresión para todo el circuito. La expresión resultante podemos simplificarla para obtener una más sencilla y así obtener un circuito más reducido. Ejemplo Encontrar la expresión para el circuito de la figura.

Símbolo lógico para la compuerta NOR.

Informática




La expresión de la compuerta NOR situada a la izquierda cuyas entradas son A y B es (A+B)’. Esta es la primera entrada de la compuerta AND situada a la derecha. La expresión de la compuerta AND cuyas entradas son (A+B)’ y C es (A+B)’·C. La salida de la compuerta AND es la primera entrada de la compuerta OR del extremo derecho. Por lotanto, la expresión de esta compuerta OR es [(A+B)’·C]+D.

Combinatorios (Combinacionales) Los circuitos lógicos para sistemas digitales pueden ser combinacionales o secuenciales. Un circuito combinacional consta de compuertas lógicas cuyas salidas en cualquier momento están determinadas en forma directa por la combinación presente de las entradas sin tomar en cuenta las entradas previas. Un Circuito combinacional realiza una operación específica de procesamiento de información, especificada por completo en forma lógica por un conjunto de funciones booleanas. Los circuitos secuenciales emplean elementos de memoria (celdas binarias) además de las compuertas lógicas. Sus salidas son una función de las entradas y el estado de los elementos de memoria. Síntesis se entiende como la obtención de circuitos lógicos, a partir de una descripción inicial que utiliza el lenguaje convencional y luego es transferida a una tabla de verdad.

Una tabla de verdad es una representación básica de una función lógica, en la cual se listan las salidas del circuito lógico para las posibles combinaciones de entrada. Las combinaciones de entrada están ordenadas por renglones (líneas) y cada renglón contiene su salida respectiva. Por ejemplo, la tabla de verdad para una función lógica de 3 variables, tendrá 8 líneas para 8 combinaciones de entrada, conteniendo cada línea, su salida respectiva. En la tabla se ilustra una función de 3 variables para el caso mencionado.

Informática




Renglón o línea

A B C Función de salida

Mintér-mino

Maxtér-mino

0 0 0 0 F(0,0,0) A'·B'·C' A+B+C 1 0 0 1 F(0,0,1) A'·B'·C A+B+C' 2 0 1 0 F(0,1,0) A'·B·C' A+B'+C 3 0 1 1 F(0,1,1) A'·B·C A+B'+C'4 1 0 0 F(1,0,0) A·B'·C' A'+B+C 5 1 0 1 F(1,0,1) A·B'·C A'+B+C'6 1 1 0 F(1,1,0) A·B·C' A'+B'+C7 1 1 1 F(1,1,1) A·B·C A'+B'+C'Funciones de salida, maxtérminos y

Mintérminos En general, la tabla de verdad para una función lógica de n variables tendrá 2n líneas. Métodos para Sintetizar Circuitos Lógicos: Los métodos para sintetizar circuitos lógicos requieren en primer lugar, la comprensión de algunos conceptos, entre ellos: Literal: Variable o el complemento de una variable. Ejemplo: X’, Y’, X, Y. Dominio de una expresión booleana: Es el conjunto de variables contenido en una expresión booleana. Ejemplo: Determine el dominio de la expresión X’·Y·Z + X·Y’·Z·W. El dominio es X, Y, Z, W. Término normal: Un producto o término suma en donde ninguna variable aparece repetida. Ejemplo de término repetido: X·Y·Y, Z·X’·X’·Y Ejemplo de término no repetido: X’·Y·Z, Z·Y’·X

Término producto: Un solo literal o el producto lógico (multiplicación booleana) de dos o más literales. Ejemplo: X’, X·Y’, Z·Y, X·Y’·Z Un término producto es 1 sólo para una combinación de valores de las variables. Ejemplo: El término producto X·Y'·Z es 1 sólo para X=1, Y=0 y Z=1 y es 0 para el resto de combinaciones. El valor en binario será 101 ó 5 en decimal. Término suma: Un solo literal o una suma lógica (suma booleana) de dos o más literales. Ejemplo: X, X + Y’,X’+Z’, X+Y+Z, X+Y’+Z’

Informática




Un término suma es 1 cuando cualquier literal que lo compone es 1. Ejemplo: El término X+Y’+Z’ es 0 para X=0 ó Y=1 ó Z=1 y es 1 para el resto de combinaciones. El valor en binario será 011 ó 3 en decimal. Suma de productos: Suma lógica de términos productos (Ver tabla anterior). Ejemplo: X’+ X·Y’ + Z·Y + X·Y’·Z Forma estándar de la suma de productos Una suma de productos no se encuentra en su forma estándar cuando alguno de los términos producto no contiene alguna de las variables del dominio de la expresión. Ejemplo X’·Y·Z + X·Y’·Z·W. El dominio es X, Y, Z, W. El primer término producto no contiene el literal W ó W'. Ejemplo X'·Y·Z'.W + X·Y·Z·W. En cada uno de los términos de la expresión aparecen todas las variables del dominio. Por lo tanto, la suma de productos está en su forma estándar. Producto de sumas: Producto lógico de términos suma (Ver tabla anterior). Ejemplo: X·(X+Y’)·(X’+Z’)·(X+Y+Z)·(X+Y’+Z’). Forma estándar del producto de sumas. Un producto de sumas no se encuentra en su forma estándar cuando alguno de los

términos suma no contiene alguna de las variables del dominio de la expresión. Ejemplo (X’+W+Z')·(X'+Y’+Z+W')·(X+Y). El dominio es X, Y, Z, W. El primer término suma no contiene el literal Y ó Y'. El tercer término suma no contiene los literales Z ó Z' y W ó W'. Ejemplo (X'·Y·Z'.W)·(X·Y'·Z·W). En cada uno de los términos de la expresión aparecen todas las variables del dominio. Por lo tanto, el producto de sumas está en su forma estándar. Mintérmino: Es un término de producto con n literales en el cual hay n variables. De n variables obtenemos 2n mintérminos.

Informática




Ejemplo de mintérminos de 3 variables: X’·Y’.Z’, X’.Y’.Z, X’.Y.Z’, X’.Y.Z, X.Y’.Z’, X.Y’.Z, X.Y.Z’, X.Y.Z. Maxtérmino: Es un término de suma con n literales en el cual hay n variables. De n variables obtenemos 2n maxtérminos. Ejemplo de maxtérminos de 3 variables: X+Y+Z, X+Y+Z’, X+Y’+Z, X+Y’+Z’, X’+Y+Z, X’+Y+Z’, X’+Y’+Z, X’+Y’+Z’. Los métodos existentes para sintetizar circuitos lógicos son: Suma de productos (SDP). Producto de sumas (PDS). Mapas de Karnaugh 4. Algoritmo de Quine McCluskey 5. Método de Suma de Productos (SDP). La suma de productos de una función lógica es la suma de los mintérminos correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida igual a 1. La función obtenida es la suma de productos. Ejemplo. Obtener la suma de productos para la función lógica de la tabla:

Línea A B C Función de salida F1

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1 Tabla de verdad para la función lógica F1 La función puede ser expresada conformando un término mínimo por cada combinación de variables que producen un 1 en la función para luego obtener la suma de todos los términos. La función lógica para la tabla anterior se determina expresando las combinaciones 010, 100, 101 y 111 como A'·B·C', A·B'·C', A·B'·C y A·B·C: F1= S A,B,C( 2,4,5,7)= A'·B·C' + A·B'·C' + A·B'·C + A·B·C. Cada mintérmino de la función anterior representa una compuerta AND de tres entradas y la implementación de la función es posible a través de la

Informática




aplicación de la operación OR a las salidas de las cuatro compuertas AND. Por tanto, el número total de compuertas AND dependerá del total de mintérminos de la expresión. El circuito se muestra en la figura.

Circuito lógico para la función lógica F1. En una suma de productos se cumple la igualdad de la función al valor lógico 1 si al menos uno de sus términos productos es igual a 1. Ejemplo. Obtener la suma de productos para la función lógica de la tabla.

A B F2

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0 Tabla de verdad de la función F2. En la tabla de verdad existen dos condiciones para las cuales la salida es 1. Estas son las siguientes: La primera se presenta cuando A es Bajo(0) y B es Alto(1). El resultado 1 de

esta condición se puede expresar como el producto lógico: A’·B La segunda condición se presenta cuando A es 1 y B es 0. Esta condición ocasiona un resultado 1, si el producto lógico es: A·B’ Como cualquiera de estas 2 condiciones hace que la salida sea 1, entonces la función lógica que los representa es la suma lógica de los productos anteriores: F2= A’·B + A·B’ = A Å B La representación de la función anterior con compuertas OR y AND se muestra en la figura.

Función F2 utilizando compuertas AND Y OR

Informática




Esta función corresponde a la función OR exclusiva, cuya compuerta se representa en la figura.

Ejemplo. Obtener la función SDP para la función lógica de la tabla Simplificar la función y dibujarla.

A B F3

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1 Tabla de verdad de la función F3 Utilizando suma de productos para las líneas 1 y 4 de la tabla se obtiene, F3=A'·B'+ A·B, simplificando F3=(A+B)’ + A·B F3= (A Å B)' El circuito lógico de la función anterior se muestra en la figura.

Función F3 utilizando compuertas AND, NOR y OR. El símbolo lógico de la compuerta NOR - Exclusiva se muestra en la figura.

Conversión de una expresión lógica a formato de suma de productos. La metodología empleada en la transformación de una suma de productos a su forma estándar se basa en el teorema 6 (Ver lección 1 parte 2), que establece que una variable sumada con su complemento es siempre igual a 1; A + A' = 1. Los pasos son los siguientes: Los términos producto que no contengan la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos por un término formado por dicha variable más el complemento de la misma (teorema 6). Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Resolver los términos intervenidos.

Informática




Ejemplo. Convertir la expresión booleana A·B.C' + B·C + A' a su forma estándar. El dominio de la expresión es el conjunto de variables A, B y C. Se observa la falta de formato estándar para el segundo y tercer término producto. Sobre ellos se aplicará el procedimiento, para luego volver a agrupar toda la expresión: Término B·C B·C = B·C ·(A+A') = A·B·C + A'·B·C Término A A' = A'·(C+C') = A'·C+A'·C' ; la expresión aún no tiene el formato estándar, entonces multiplicamos cada término por (B+B') A'·C·(B+B') +A'·C'·(B+B') = A'·B·C + A'·B'·C + A'·B·C' + A'·B'·C' La expresión en su formato estándar es: A·B.C' + B·C + A' = A·B·C + A'·B·C + A'·B·C + A'·B'·C + A'·B·C' + A'·B'·C' Método de producto de sumas (PDS). El producto de sumas de una función lógica es la multiplicación de los maxtérminos correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida igual a 0. La función obtenida es el producto de sumas. Ejemplo. Obtener el producto de sumas para la función lógica de la tabla.

Renglón o línea

A B C Función de salida F4

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

2 0 1 0 1

3 0 1 1 0

4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1 Tabla de verdad para la función lógica F4 La función puede ser expresada conformando un término máximo para cada combinación de variables que producen un 0 en la función y luego obtener el producto de todos los términos. La función lógica para la tabla se determina expresando las combinaciones 000, 001, 011 y 110

Informática




como (A+B+C),(A+B+C'),(A+B'+C') y (A'+B+C). La función lógica es la siguiente: F4= S A,B,C( 0,1,3,4)= (A+B+C)·(A+B+C')·(A+B'+C')·(A'+B+C). Cada maxtérmino de la función anterior representa una compuerta OR de tres entradas y la implementación de la función es posible a través de la aplicación de la operación AND a las salidas de las cuatro compuertas AND. Por tanto, el número total de compuertas AND dependerá del total de mintérminos de la expresión. El circuito se muestra en la figura.

Circuito lógico para la función lógica F4 Un producto de sumas es igual a 0 si al menos uno de los términos suma es igual a 0. Ejemplo. Obtener el producto de sumas para la función lógica de la tabla.

A B F5

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0 Tabla de verdad de la función OR -

exclusiva Considere el complemento de la función de Boole F5. Este puede obtenerse de la tabla formando un término mínimo por cada combinación que produce un cero y luego haciendo la suma de los términos. El complemento de F5 se expresa así: F5' = A'·B' + A·B La expresión F5 se obtiene la negar F5': F5 = (F5')' = (A'·B' + A·B)' =(A'·B')'·(A·B)' = [(A')'+(B')']·(A'+B') = (A+B)·(A'+B') Si cualquiera de los términos del PDS es cero, la función es cero. De los 2 métodos anteriores, se pueden escoger algunos criterios para aplicar un método u otro, siendo estos los siguientes:

Informática




Si en la última columna de la tabla de verdad, o sea en la columna que indica los resultados, sí predominan los ceros es más conveniente utilizar las suma de productos. Si en la columna que indica los resultados, predominan los unos, es más conveniente utilizar el método del producto de sumas.

Mapas de Karnaugh Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de una función lógica a partir de una tabla de verdad. El número de celdas del mapa es igual al número de combinaciones que se pueden obtener con las variables de entrada. Los mapas se pueden utilizar para 2, 3, 4 y 5 variables. Mapa de Karnaugh empleando Suma de Productos (SDP). La simplificación de expresiones lógicas mediante el mapa de Karnaugh utiliza un método gráfico basado en la Suma de Productos. Mapa de Karnaugh de tres variables El mapa de Karnaugh se construye a partir de la tabla de verdad de la función lógica. El mapa por medio de una matriz de 8 celdas, representa los ocho mintérminos posibles que se pueden obtener con tres variables, en un arreglo de una matriz de 2x4. Por tanto, la primera fila contiene el primer valor posible ("0") y la segunda fila el valor ("1"). Las variables 2 y 3 se agrupan por columna y se distribuyen en las cuatro columnas de acuerdo a las combinaciones posibles para obtener los mintérminos requeridos. Sus valores son 00, 01, 10 y 11. Por ejemplo, la celda m2 corresponde

al mintérmino 2, ubicado en la fila 0 y la columna 10. La unión de estos dos números da el número 010, cuyo equivalente es el término A’·B·C’ ó el decimal 2. La tabla muestra el mapa de Karnaugh para 3 variables.

LíneaA B C

Mintérmino Mintérmino mx

Función de Salida

0 0 0 0 A’·B’·C’ m0 F(0,0,0)

1 0 0 1 A’·B’·C m1 F(0,0,1)

2 0 1 0 A’·B·C’ m2 F(0,1,0)

3 0 1 1 A’·B·C m3 F(0,1,1)

4 1 0 0 A·B’·C’ m4 F(1,0,0)

5 1 0 1 A·B’·C m5 F(1,0,1)

6 1 1 0 A·B·C’ m6 F(1,1,0)

7 1 1 1 A·B·C m7 F(1,1,1) (a)

(b) (c) La característica de ordenamiento de un mapa de Karnaugh radica en el cambio de un solo bit en los términos de las celdas adyacentes de filas y columnas. En la tabla anterior las entradas BC se colocan secuencialmente, cambiando cada vez una sola variable, por eso resulta el orden: 00, 01, 11 y10. Por ejemplo, la variable C está negada en m4 y m5 no lo está, mientras que A y B no cambia. Las celdas de los bordes superior e inferior e izquierdo y derecho también cumplen esta condición al agruparlas unas

Informática




a otras. En el teorema 12 de la lección 1, se demuestra que la suma de los términos mínimos en celdas adyacentes pueden ser simplificadas en un término AND de dos literales. Por consiguiente, aplicando el teorema para los términos m4 y m5 del mapa se tiene: m4 + m5 = A·B’·C’ + A·B’·C = A·B’·(C’+C) = A·B Los términos m4 y m6 se pueden asociar de la misma forma: m4 + m6 = A·B’·C’ + A·B·C’ = A·C’·(B’+B) = A·C’ Ejemplo Simplificar la función F1= Σ(m3, m4, m5, m6, m7). F1 = Σ(m3, m4, m5, m6, m7) = A’·B·C + A·B’·C’+ A·B’·C + A·B·C’+ A·B·C F1 = Σ(m3, m4, m5, m6, m7) = Σ(m4, m5, m6, m7) +Σ(m3, m7) = [A·B’·C’+ A·B’·C + A·B·C’+ A·B·C] + [A’·B·C + A·B·C]. El primer término en la sumatoria es el grupo 1 y el segundo término corrresponde al grupo 2. En un mapa de karnaugh, los mintérminos de cada grupo se relacionarían a través de lazos independientes. Desarrollando la expresión, F1 = [A·B’·(C’+C) + A·B·(C’+ C)] + [B·C·(A’+A)]= A·B’·(1) + A·B·(1) + B·C·(1) = A·(B’+B) + B·C = A + B·C. El mapa se construye colocando un 1 en las celdas correspondientes a los mintérminos presentes en la función de salida. Por ejemplo, para el término

F(1,1,0)= A·B·C’ = 1 se situaría un 1 en la celda 110. Para los mintérminos

Informática




no presentes en la función se pone un 0. Por ejemplo el término F(0,0,1)= A’·B'·C = 0, será una celda con valor 0 en la celda 001. Después de situar los unos en el mapa, se procede con la agrupación de 1s, la determinación del término producto correspondiente a cada grupo y la suma de los términos producto obtenidos. La determinación del término producto se realiza de acuerdo los siguientes criterios: 1.Una celda representa un mintérmino, dando como resultado un término de cuatro literales. 2. Dos celdas agrupadas pueden representar la asociación de dos mintérminos, dando como resultado un término de dos literales. 3.Cuatro celdas agrupadas pueden representar la asociación de cuatro mintérminos, dando como resultado un término de un literal. 4. Ocho celdas agrupadas representan un valor de función igual a 1. Ejemplo Sea la función del ejemplo anterior, simplificarla por medio del método del mapa. La tabla de verdad del ejemplo anterior es la siguiente:

Línea A B C Salida F

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 1 5 1 0 1 1

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

Tabla de verdad de la función F1. El mapa de Karnaugh se configura de acuerdo a los mintérminos iguales a 1 y las celdas se agrupan.

Mapa de Karnaugh de la función F1. El primer grupo se forma con los mintérminos m4, m5, m6 y m7 y el segundo grupo con los mintérminos m3 y m7.

Informática




Del primer grupo resulta el término A ya que para las cuatro columnas de la tabla existen transiciones entre las variables B y C. El segundo grupo da como resultado el término BC por el cambio existente en la variable A. En total, la función queda reducida a la expresión: F1 = A + B·C Mapas de Karnaugh empleando Producto de Sumas (PDS). La simplificación de expresiones lógicas mediante el mapa de Karnaugh también es posible mediante el método de producto de sumas. En este método, cada celda representa un maxtérmino. La construcción del mapa es similar a la suma de productos. La diferencia radica en que cada celda representa un maxtérmino. Por ejemplo, la celda m2

corresponde al maxtérmino 2, ubicado en la fila 0 y la columna 10. La unión de estos dos números da el número 010, cuyo equivalente es el término A+B’+C. La figura muestra el mapa de Karnaugh para 3 variables.

Mapa de tres variables. La representación de la función lógica se hace simplemente copiando los ceros de la tabla de verdad en las celdas del mapa. Este método es más apropiado cuando en

la columna de resultados de la tabla de verdad predominan los ceros. Ejemplo. Utilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el producto de sumas, F3 = (A+B+C)·(A’+B+C)·(A+B’+C)·(A’+B’+C) Los maxtérminos se trasladan a cada una de las celdas del mapa de Karnaugh y las celdas se agrupan tal como en la figura.

Mapa de Karnaugh de la función F3

Informática




El término suma para cada grupo se muestra en la figura y la suma de productos resultante es: F3 = C Ejemplo. Utilizar el mapa de Karnaugh para minimizar el producto de sumas, F4 = (A+B+C+D)·(A+B’+C)·(A+B’+C’+D’)·(A’+B’+C+D’)·(A’+’B+C’+D’)·(A’+B+C+D’)·(A’+B+C’+D’)·(A’+B'+C+D’) El segundo término tiene que ampliarse a (A+B’+C+D)·(A+B’+C+D’). La función completa se pasa al mapa de karnaugh mostrado en la figura.

Mapa de Karnaugh de la función F4 El término suma para cada grupo se muestra en la figura 2.4.5. y el producto de sumas resultante es: F4 = (A+C+D)·(B'+D')·(A'+D') Condiciones de No Importa. Hasta el momento se ha asumido que la función es igual a 0 en los casos donde la función no

es igual a 1. En algunas aplicaciones esta suposición no es siempre verdadera ya que existen combinaciones de entrada que no presentan. En un mapa de Karnaugh estas combinaciones de entrada sirven de herramienta para simplificar la función y su representación se hace por medio de una X en la celda del mapa. Según la agrupación que convenga se asume un valor de 1 ó 0 para la X con el fin de obtener la expresión más simple. Ejemplo. Simplificar la función de Boole F5 =Σ(m0, m4, m7, m9) con condiciones de importa, NI = Σ(m1, m5, m11, m14). Los mintérminos se marcan con un 1, las condiciones de no importa con una X y las celdas restantes con 0.El mapa de Karnaugh de la función F5 se muestra en la figura.

Informática




Mapa de Karnaugh de la función F5 En suma de productos obtenemos, F5 = A’·C’·D’ + A'·B’·C’ + A’·B·C·D + A·B'·D Algoritmo de Quine – McCluskey. El empleo del mapa de Karnaugh es conveniente cuando la función a minimizar no contiene más de cinco o seis variables. En estos casos, empleamos un procedimiento sistemático, llamado el algoritmo de Quine–McCluskey, el cual produce una expresión normalizada y simplificada. El algoritmo debe obedecer a un conjunto de pasos que se verán a través de un ejemplo. Ejemplo. Simplificar la función de Boole usando el algoritmo de Quine-McCluskey. F1 = ∑ (m1, m2, m3, m6, m7, m8, m9, m10, m15)

F1 =

A’·B’·C’·D + A’·B’·C·D’+ A’·B’·C·D + A’·B·C·D’+ A’·B·C·D + A·B’·C’·D’ + A·B’·C’·D + A·B’·C·D’+ A·B·C·D.

Enumerar en una tabla todos los mintérminos en forma binaria,

organizados según el número de unos que contenga. La aplicación de este paso se muestra en la tabla.

Mintérminos A B C D Grupo

1 0 0 0 1

Grupo 1 2 0 0 1 0

8 1 0 0 0

3 0 0 1 1

Grupo 2 6 0 1 1 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

7 0 1 1 1 Grupo 3

15 1 1 1 1 Grupo 4 Mintérminos agrupados según la cantidad

de unos Entre los grupos adyacentes buscar los mintérminos que sólo difieren en un bit en la misma posición, para hallar los primeros implicantes primos.

Informática




La metodología consiste en comparar el primer mintérmino con el resto de los términos del segundo grupo. Así, los términos del segundo grupo se comparan con los mintérminos del grupo siguiente. De la forma anterior, se procede con los demás mintérminos de los demás grupos. Los mintérminos utilizados se les pone una marca (√) con el fin de ir diferenciando los términos utilizados y la variable apareada en el proceso se reemplaza con un guión para denotar la eliminación de la variable. Los términos no marcados en la tabla son los primeros implicantes primos (PIX). Los mintérminos utilizados se les pone una marca (√) con el fin de ir diferenciando los términos utilizados y la variable apareada en el proceso anterior se reemplaza con un guión para denotar la eliminación de la variable. Min ter mi no

A

B

C

D

Min ter mino

A

B

C

D

Plx

Min ter mino

A

B

C

D

Plx

1 0 0 0 1 1-3 0 0 - 1 PI2

2–6 - 3-7 0 - 1

- PI1

2 0 0 1 0 1-9 - 0 0 1 PI3

2-3 - 6-7 0 - 1

-

8 1 0 0 0 2-3 0 0 1 - 3 0 0 1 1 2-6 0 - 1 0 6 0 1 1 0 2-10 - 0 1 0 PI4 9 1 0 0 1 8-9 1 0 0 - PI5 10 1 0 1 0 8-10 1 0 - 0 PI6 7 0 1 1 1 3-7 0 - 1 1 15 1 1 1 1 6-7 0 1 1 - 7-15 - 1 1 1 PI7

Implicantes primos de la función F1 Construir una tabla que enumere los implicantes primos y los mintérminos contenidos por cada implicante primo. La letra X en la tabla siguiente indica el mintérmino contenido en cada implicado por fila. Por ejemplo, en la tabla se observa en el primer renglón los mintérminos 2, 3, 6 y 7 para el primer

implicante primo. El resto de la tabla se construye de forma similar.

Implicante Primo

1 2 3 6 7 8 9 10 15

* PI1 X X X X

PI2 X X

PI3 X X

PI4 X X

PI5 X X

PI6 X X

* PI7 X X

Selección de implicantes primos esenciales

Informática




En la tabla se seleccionan las columnas de los mintérminos que contengan solamente una cruz. En este ejemplo, hay dos mintérminos cuyas columnas tienen una sola cruz: 6 y 15. Es decir, la selección del primer implicado PI1 (A’·C) garantiza que el término mínimo 6 está incluido en la función. De la misma forma, el término mínimo 7 está cubierto por el primer implicado PI7 (A'·B·C·D). Los primeros implicados que cubren los mintérminos con una sola cruz, se llaman primeros implicados esenciales (en la tabla se encuentran marcados con un asterisco) y son indispensables en la construcción de la función. Seleccionar en cada columna los mintérminos que estén cubiertos por los primeros implicados esenciales. Por ejemplo, el primer implicado esencial * PI1 (A’·C) cubre los mintérminos 2, 3, 6 y 7. De la misma forma, el primer implicado esencial *PI7 (A'·B·C·D) cubre los mintérminos 7 y 15. Hasta el momento la selección de primeros implicados cubre los mintérminos 2, 3, 6, 7 y 15 excepto 1, 8, 9 y 10. Estos términos mínimos deben ser seleccionados por medio de otros primeros implicados esenciales. En la tabla 2.5., la selección de los primeros implicados PI3 y PI6 garantiza el cubrimiento de los términos mínimos 1, 8, 9 y 10. En la tabla . se muestra el proceso de selección.

Implicante Primo 1 8 9 10

PI2 X

*PI3 X X

PI4 X

PI5 X X

*PI6 X X Selección de primeros implicados

esenciales La función simplificada se obtiene de la suma de los primeros implicados hallados: F= PI1 + PI3 +PI6 + PI7 F= (0-1-) + (-001) + (10-0) + (-111) F = A'·C + B’·C’·D + A·B’·D’ + B·C·D Circuitos Lógicos Combinatorios Sumador y Restador de Cuatro Bits. Las operaciones aritméticas se pueden implementar mediante circuitos lógicos. El nivel de sencillez obtenido en los circuitos está dado por la técnica de diseño utilizada. La implementación de una unidad aritmética que realice las operaciones de suma y resta en un sólo circuito, es más simple comparándola con una de dos circuitos para las mismas funciones. En la lección se verán los métodos de diseño de circuitos lógicos para sumar y restar números binarios de cuatro bits. La suma de dos números binarios de cuatro bits se realiza de derecha a izquierda, teniendo en cuenta los correspondientes posiciones significativas y el bit de arrastre (acarreo Cinx). El bit de

Informática




arrastre generado en cada posición se utiliza en la siguiente posición significativa. La siguiente figura muestra la suma de dos números de cuatro bits.

Suma binaria de cuatro bits

En un sumador completo, la suma de un par de bits genera un bit de acarreo. Un sumador de 2 números de n bits se puede implementar de la forma descrita a continuación. Los bits de la posición menos significativa se suman con un acarreo inicial de 0, generando el bit de suma y el de acarreo. El bit de acarreo generado es usado por el par de dígitos en la siguiente posición significativa. La suma se propaga de derecha a izquierda según los acarreos generados en cada sumador y los sumandos presentes. Por consiguiente, la suma de dos 2 números binarios de n bits se puede implementar mediante la utilización de n sumadores completos. Así, para números binarios de dos bits se necesitan dos sumadores completos; para números de cuatro bits cuatro sumadores. En la siguiente figura se muestra un sumador de cuatro bits.

Símbolo lógico del sumador en paralelo de

cuatro bits

Informática




El símbolo lógico del sumador de cuatro

bits se muestra en la siguiente figura.

Circuito lógico del sumador en paralelo de

cuatro bits La resta de dos números A y B se puede realizar sumando el complemento a dos de B a A. Un sumador se puede modificar en forma de sustractor invirtiendo cada bit del sustraendo y sumando 1 al establecer un acarreo de entrada Cin1. Observese el complementador de la siguiente figura. Si la entrada de control es igual a S=0, la entrada de datos I pasa sin ningún cambio a la salida. Si S=1, la entrada de datos se complementa.

Diagrama de bloque de un

complementador El funcionamiento de este elemento se describe en la siguiente tabla de verdad.

Entradas Salida Descripción

S I Y

0 0 0 Pasa a Y

0 1 1 Pasa a Y

1 0 1 Complemento a Y

1 1 0 Complemento a Y

Tabla de verdad de un complementador De la tabla de verdad se observa que Y = S Å I. La siguiente figura muestra la función OR - Exclusiva como complementador.

Una sola entrada de control S con n líneas de entrada de datos Ii sirve para

Informática




complementar o no complementar la entrada, según la operación de resta o suma binaria. La siguiente figura ilustra un complementador de 4 bits.

El circuito completo de un sumador/restador de 4 bits se representa en la figura.

Sumador/restador de 4 bits


Competencia Lógica

Desarrollar un circuito lógico para una expresión booleanada dada.

El alumno: • Elaborará el circuto lógico para la

siguiente expresión booleana: _

p ∨ q ∧ r

• Consulta con el P.S.A. docente la

correcta elaboración del ejercicio.

Diseño de circuitos El diseño de un circuito combinacional se inicia con las especificaciones verbales de una función requerida y culmina con un conjunto de funciones booleanas de salida o un diagrama lógico. El análisis de un circuito combinacional es en cierta forma el proceso inverso. Principia con un diagrama lógico dado y termina con un conjunto de funciones booleanas, una tabla de verdad o una explicación verbal de la operación del circuito.

Informática




Si el diagrama lógico que va a analizarse se acompaña con una función nombre o una explicación de lo que se supone que realiza, entonces el problema del análisis se reduce a una verificación de la función enunciada. El primer paso en el análisis es tener la seguridad de que el circuito dado es combinacional y no secuencial. El diagrama de un circuito combinacional tiene compuertas lógicas sin trayectorias de retroalimentación o elementos de memoria. Una trayectoria de retroalimentación es una conexión de la salida de una compuerta a la entrada de una, segunda compuerta que forma parte de la entrada a la primera compuerta. Las trayectorias de retroalimentación o elementos de memoria en un circuito digital definen un circuito secuencial. Una vez que se ha verificado que el diagrama lógico es un circuito combinacional, puede procederse a obtener las funciones booleanas de salida y/o la tabla de verdad. Si el circuito está acompañado por una explicación verbal de su función, entonces las funciones booleanas o la tabla de verdad son suficientes para la verificación. Si la función del circuito está bajo investigación, entonces es necesario interpretar la operación del circuito mediante la tabla de verdad derivada. El éxito de tal investigación se favorece si se tiene experiencia previa y familiaridad con una amplia variedad de circuitos digitales. La habilidad para correlacionar una tabla de verdad con una tarea de procesamiento de información es un arte que se adquiere con la experiencia.

Para obtener las funciones booleanas de salida de un diagrama lógico, se procede como sigue: 1. Se etiquetan con símbolos arbitrarios todas las salidas de compuerta que son una función de las variables de entrada. Se obtienen las funciones booleanas para cada compuerta. 2. Se etiqueta con otros símbolos arbitrarios las compuertas que son una función de las variables de entrada y/o compuertas previamente etiquetadas. Se encuentran las funciones booleanas para esas compuertas. 3. Se repite el proceso delineado en el paso 2 hasta que se han obtenido las salidas del circuito. 4. Por sustitución repetida de las funciones previamente definidas, se obtienen las funciones booleanas de salida en términos sólo de las variables de entrada. 2.3.3 Funciones booleanas Una función booleana es una expresión formada por variables binarias. Ejemplo: F1 = xyz’ Para F1 considerar que es igual a 1 si: x = 1; y = 1 ; z’ = 1; de otra manera F1 = 0. Por lo tanto tendremos que una función booleana también puede representarse en una tabla de verdad. Para representar una función booleana en una tabla de verdad se necesita una lsit de 2ncombinaciones

Informática




de 1 y 0 de las n variables binarias, y una columna que muestra combinaciones para las cuales f es igual a 1 ó 0. x y z F1 F2 F3 F4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 F1 = x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’ = x’y (z+z’) + xz’ (y+y’) = x’y + xz’

F2 = x’y’z + x’yz + xyz’ + xyz = x’z (y+y’) + xy (z+z’) = x’z + xy

F3 = x’y’z’ + x’yz + xy’z + xyz’

F4 = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz = xy’ (z+z’) + xy (z+z’) + x’yz = xy’ + xy + x’yz = x (y+y’) + x’yz = x + x’yz Funciones Logicas

Informática




Manipulación algebraica. Cuando una función se incrementa con compuertas lógicas, cada literal en la función denota una entrada a una compuerta. 1. Cada literal denota la entrada a una compuerta. 2. Cada termino se implanta con una compuerta. Minimización por literales. Por lo cual debe quedar muy claro que en la manipulación algebraica no hay reglas especificas a seguir a que garanticen la respuesta final. Ejemplo: Reducir las siguientes funciones booleanas. 1. x (x’+y) = xx’ + xy = xy 2. x’y’z + x’yz + xy = x’z (y+y’) + xy = x’z + xy 3. x + x’y = (x+x’)(x+y) = x+y

Complemento de una función. El complemento de una función F es F’ obteniendose por el intercambio de 1’s y 0’s y de 0’s y 1’s. Ejemplo: (A+B+C)’ = (A+X)’ para X = B+C A’ . X’ ? A’ . (B+C)’ ? A’ . B’ .C’ (A+B+C+D+E+F+……..I) (A’.B’.C’.D’.E’.F’…….I’) La forma generalizada de D’Morgan enuncia que el complemento de una función se obtiene del intercambio de los operadores AND y OR y complementando cada literal. F1 = (x’yz’ + x’y’z)’ = (x+y’+z . x+y+z’) F2 = ? x (y’z’+yz)? = x’ + ? x (y+z).(y’+z’)? Otra forma más simple para derivar el complemento de una función es tomar

Informática




el dual de la función y complementar cada literal. Hay que recordar que el cual de una función se obtiene por el intercambio de los operadores AND y OR y los 1’s y los 0’s. Ejemplo: F1 = x’yz’ + x’y’z el dual: F1 = (x+y’+z) . (x+y+z’) Las variables pueden ser normales (x) ó complemento (x’). Cuando tenemos un conjunto de n variables nosotros podemos formar 2n miniterminos de acuerdo a la siguiente tabla: Para n=3 2n-1 combinaciones iniciando a partir de cero. xyz Término Desig-

nación Término Desig-

nasión 000 x’y’z’ m0 X+y+z M0

001 x’y’z m1 X+y+z’ M1

010 x’yz’ m2 X+y’+z M2

011 x’yz m3 X+y’+z’ M3

100 xy’z’ m4 X’+y+z M4

101 xy’z m5 X’+y+z’ M5

110 xyz’ m6 X’+y’+z M6

111 xyz m7 X’+y’+z’ M7

Suma de Productos productos de sumas Cada minitérmino lo obtenemos de un término AND de las n variables y complementado cada variable si el número binario que representa es un 0 y no complementando si es un 1.

Cada minitermino se representa por mj donde j representa el equivalente decimal del número binario del minitermino de la misma forma podemos tener los maxiterminos con las n variables formando un término OR para cada maxitermino. En estas se hace la consideración de que cada variable no complementada corresponde al bit 0 y complementada al bit 1.

Informática




x y z F1 F2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

F1= x’y’z + xy’z’ + xyz = m1+m4+m7 F2= x’yz + xy’z + xyz’ + xyz = m3+m5+m6+m7 F1’= x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’ (F1’)’ = (x+y+z) . (x+y’+z) . (x+y’+z’) . (x’+y+z’) . (x’+y’+z) = M0 . M2 . M3 . M5 . M6 El complemento de una función booleana lo podemos obtener al formar miniterminos para cada combinación que produce un cero en la función y aplicando el operador OR a esos términos. Las funciones booleanas expresadas como una suma de miniterminos o productos de maxiterminos se dice que esta en forma canónica.

Simplificación de funciones Suma de miniterminos. Como sabemos cualquier función booleana puede expresarse como una suma de miniterminos. La suma de estos elementos que son los que definen una función booleana son aquellos que dan los 1’s de la función en una tabla de verdad.

Algunas veces es conveniente expresar la función booleana en la forma de suma de miniterminos. Si no puede hacerse en esta forma entonces puede realizarse primero por la expansión de la expresión en una suma de los términos AND. Después cada término se inspecciona para ver si contiene todas las variables, si se han perdido una o más variables, se aplica el operador AND con una expresión x+x’ en donde x es una de las variables perdidas. Ejemplo: Expresar la función F = A+B’C en una suma de miniterminos. F= A+B’C F(A,B,C) A= A(B+B’) = AB+AB’

Informática




= AB(C+C’) + AB’(C+C’) = ABC + ABC’ + AB’C +AB’C’ B’C = B’C (A+A’) = AB’C + A’B’C F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+AB’C+A’B’C F = A’B’C+AB’C’ +AB’C+ABC’+ABC F = m1+ m4+m5+ m6+ m7 F(A,B,C)=SUM(1,4,5,6,7) La SUMatoria representa al operador OR que opera en los términos y números siguientes son los minitérminos de la función. Las letras entre paréntesis que siguen a F forman una lista de las variables en el orden tomado cuando el minitérmino se convierte en un término AND. Producto de los maxitérminos. Para expresar una función booleana como un producto de maxitérminos, primero debe llevarse a una forma de términos OR. Esto es posible al uso de la ley distributiva; esto es si x+yz = (x+y) (x+z); para cualquier variable perdida x en cada término se opera a OR con xx’. Ejemplo: F = (x’+y) (x+z) (y+z) (x’+y) = x’+y+zz’ = (x’+y+z) (x’+y+z) (x+z) = x+z+yy’ = (x+y+z) (x+y’+z) (y+z) = y+z+xx’ = (x+y+z) (x’+y+z) F = (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z) (x+y+z) (x’+y+z) F = (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z) F = (x+y+z) (x+y’+z) (x’+y+z) (x’+y+z’)

M0 M2 M4 M5 F(x,y,z) = PI(0,2,4,5) El operador PI denota la operación AND de maxitérminos; y los números son los maxitérminos de la función. Conversión entre formas canónicas. El complemento de una función expresada como suma de minitérminos es igual a la suma de los minitérminos perdidos de la función original. Ejemplo: F(A,B,C) = SUM(1,4,5,6,7) F’(A,B,C) = SUM(0,2,3) = m0+m2+m3 Si obtenemos el complemento de F’ porque el teorema de D’Morgan se obtiene F en una forma diferente.

Informática




(F’)’ = (m0+m2+m3)’ = m0’.m2’.m3’ = M0 . M2 . M3 = PI(0,2,3) = (x+y+z) . (x+y’+z) . (x+y’+z’) F = A’D+BD+B’D A’D = A’D(B+B’) = A’BD+A’B’D = A’BD(C+C’) = A’BCD+A’BC’D = A’B’D(C+C’) = A’B’CD+A’B’C’D BD = BD(A+A’) = ABD+A’BD = ABD(C+C’) = ABCD+ABC’D = A’BD(C+C’) = A’BCD+A’BC’D B’D = B’D(A+A’) = AB’D+A’B’D = AB’D(C+C’) = AB’CD+AB’C’D = A’B’D(C+C’) = A’B’CD+A’B’C’D F = A’BCD+A’BC’D+A’B’CD+A’B’C’D+ABCD+ABC’D+AB’CD+AB’C’D Mapas de Karnaugh 2m = 22 = 4

0 1 0 0 1 1 2 3

0 1 0 m0 m1

1 m2 m3

23 = 8

00 01 11 10 0 0 1 3 2 1 4 5 7 6

00 01 11 10

0 m0 m1 m2 m3

1 m4 m5- m6 m7 24 = 16

00 01 11 10 00 0 1 3 2 01 4 5 7 6 11 12 13 15 14 10 8 9 11 10

25 = 32

000 001 011 010 110 111 101 100 00 0 1 3 2 6 7 5 4 01 8 9 11 10 14 15 13 12 11 24 25 27 26 30 31 29 28 10 16 17 19 18 22 23 21 20 26 = 64

000 001 011 010 110 111 101 100000 0 1 3 2 6 7 5 4 001 8 9 11 10 14 15 13 12 011 24 25 27 26 30 31 29 28 010 16 17 19 18 22 23 21 20 110 48 49 51 50 54 55 53 52 111 56 57 59 58 62 63 61 60 101 40 41 43 42 46 47 45 44 100 32 33 35 34 38 39 37 36

Informática




F(w,x,y,z) =∑(0,2,3,7,9,11,12,13)

00 01 11 10 00 1 0 1 1 01 0 0 1 0 11 1 1 0 0 10 0 1 1 0

F = wxz’ + w’yz+wxz+wxy’ F(w,x,y,z) = ∑(1,3,5,7,9,11,13,15)

00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 0 1 1 0

F = z W x y z f1 f2 f3

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1

00 01 11 10 00 01 1 1 1 11 10 1 1

fa = w’xy’z+w’xy+wx’y’

00 01 11 10 00 1 1 1 01 1 11 10 1

fb = w’xy’z’+x’y’z+w’x’y

00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 11 10 1

fc = w’y’z’+w’yz+x’y’z’

00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 11 10 1

fd = w’z’+x’y’z’ Simplificar la siguiente función de Boole usando el método del taulado. f(w,x,y,z) =∑(0,1,2,8,10,11,14,15)

Informática




f(w,x,y,z) = ∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15) Método del tabulado. w x y z w x y z 0 0 0 1 0 0 0 1 (1,9) - 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 (8.10) 1 0 - 0 0 1 1 0 1 0 0 0 (8,9) 1 0 0 - 0 1 1 1 0 1 1 0 (8,10) 1 0 - 0 1 0 0 0 1 0 0 1 (6,7) 0 1 1 - 1 0 0 1 1 0 1 0 (9,11) 1 0 - 1 1 0 1 0 0 1 1 1 (10,11) 1 0 1 - 1 0 1 1 1 0 1 1 (7,15) - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (11,15) 1 - 1 1 w x y z 1 0 - - 1 0 - - Implicantes primos F = x’y’z+w’xz’+wxy+xyz+wyz+wx’ 1 4 6 7 8 9 10 11 15

3 1,9 X 3 4,6 X X

6,7 X X 3 7,15 X X

11,15 X X 3 8,9,10,11 X X X X

3 3 3 3

Gráficas

Normal disyuntiva

Una función de Boole se llama forma normal disyuntiva o polinomio normal en n variables x1, x2, ... , xn (n>0) si es una , o bien un polinomio en cada uno de cuyos

términosde las constantes 0 figuran las n variables xi y ninguna otra letra (y en particular, no hay constantes); y cada uno de los términos es único. Ejemplos: x +y’ , x’y + xy’ . La forma normal completa disyuntiva en n variables x1, x2, ...,xn resulta desarrollando (x1 + x1’). ... .(xn + xn’) = 1 y para cada sistema de reemplazos de las variables x1, x2, ...,xn por las constantes 0 y 1, uno y uno sólo de los términos da 1 y los demás 0. Se dice que una expresión lógica está en forma normal disyuntiva si está escrita como una disyunción, en la cual todos los términos son conjunciones de letras de variables proposicionales. Una función An hacia se denomina función booleana si puede ser especificada mediante una expresión

Informática




booleana sobre ({ 0,1 }, � ,� ,¯ ) está en su forma normal disyuntiva si es una adición de minterms . Por ejemplo : _ _ _ _ _ x1∧x2∧x3 ∨ x1∧x2∧x3 ∨ (x1∧x2∧x3) es una expresión booleana en forma normal disyuntiva. Más aún existen 3 minterms en la expresión, a saber, _ _ _ _ _

x1∧x2∧x3,x1∧x2∧x3,x1∧x2∧x3

Normal conjuntiva Una función de Boole se llama forma normal conjuntiva o producto normal en n variables x1, x2, ... , xn (n>0) si es una , o bien una forma lineal o un producto de formasde las constantes 0 lineales en cada uno de cuyos factores figuran las n variables xi y ninguna otra letra (y en particular, no hay constantes); y cada uno de los términos es único. Ejemplos: xy’, (x’ + y) . (x + y’). La forma normal completa conjuntiva en n variables x1, x2, ...,xn resulta desarrollando (x1 . x1’)+ ... +(xn . xn’) = 0 y para cada sistema de reemplazos de las variables x1, x2, ...,xn por las constantes 0 y 1, uno y uno sólo de los factores da 0 y los demás 1. Se dice que una expresión lógica está en forma normal conjuntiva si está escrita como una conjunción de disyunciones de letras de variables proposicionales. Diremos que una expresión booleana de n variables x1,x2,...,xn es un maxterm si es de la forma _ _ _

x1∨x2∨...∨xn _ donde nuevamente usamos xi para denotar ya _ sea xi o bien xi. Se dice que una expresión booleana sobre ({ 0,1 }, ∨ ,∧ ,¯ ) está en su forma normal conjuntiva si es una multiplicación de maxterms . Por ejemplo : _ _ _ _ x1∨x2∨x3 ∧ x1∨x2∨x3 ∧ x1∨x2∨x3 _ _ _ _ ∧ x1∨x2∨x3 ∧ x1∨x2∨x3 es una expresión booleana en forma normal conjuntiva consistente en 5 maxterms .

Informática




Un tipo especial de funciones son las denominadas funciones booleanas. Su especificidad se centra en el hecho que su dominio e imagen se basan en el conjunto {0,1}. Su importancia radica en el hecho que son imprescindibles en la era digital: forman parte del núcleo que permite comprender, más allá de los requerimientos meramente tecnológicos, las bases de la Informática. La raíz de las funciones booleanas está en la denominada álgebra booleana, o álgebra de Boole (gran matemático del s. XIX que desarrollo este área). El álgebra de Boole contiene las bases de la lógica binaria, en las que el 0 representa el valor lógico "falso", y el 1 representa el valor lógico "verdadero". Las variables lógicas, cuyos valores son los anteriores, se combinan mediante los llamados conectores u operadores lógicos para dar lugar a expresiones complejas; a partir de los valores iniciales de las variables lógicas puede calcularse el valor de la expresión compleja, expresión que se denomina función booleana. Sugerencias o Notas

Competencia Ambiental

Proteger los recursos naturales. • El alumno, usará las hojas de papel por

ambos lados.

• Depositará las hojas de papel de desperdicio en los recipientes destinados para su reciclaje.

Sugerencias o Notas

Competencia de Calidad

Realizar el trabajo en forma eficiente y oportuna. • El alumno, realizará los ejercicios y

prácticas incluídas en este manual con orden, limpieza, eficiencia y responsabilidad.

Informática




Practicas de Ejercicio y listas de cotejo



2


Multiplicación de dos matrices cuadradas.


Al finalizar la práctica, el alumno realizará la multiplicación de dos matrices cuadradas tomando en cuenta los índices para su multiplicación.



• Lápiz

• Goma

Informática




Procedimiento


1. - Escribir la matriz A que tiene los siguientes índices (a11=5, A12=3,A13=-1, A21=0,

A22=1, A23=-3). 2. - Escribir la matriz A que tiene los siguientes índices (a31=-2, A32=0, A33=-1, A41=1,

A42= -1, A43=-3). 3. - Escribir la matriz B que tiene los siguientes índices (a11=2, A12= 0, A21= -3, A22=4,

A31= -1, A32= 3). 4. - Multiplicar AB, P11 = (5) (2)+(3) (-3)+ (-1) (-1)= 10-9+1=2 5. - Multiplicar AB, P12 = (5) (0)+(3) (4)+ (-1) (3)= 0+12-3=9 6. - Multiplicar AB, P21 = (0) (2)+(1) (-3)+ (-3) (-1)=0-3+3=0 7. - Multiplicar AB, P22 = (0) (0)+(1) (4)+ (-3) (3)=0+4-9=-5 8. - Multiplicar AB, P31 = (-2) (2)+(0) (-3)+ (1) (-1)=-4+0-1=-5 9. - Multiplicar AB, P32 = (-2) (0)+(0) (4)+ (1) (3)=0+0+3=3 10. - Multiplicar AB, P41 = (1) (2)+(-1) (-3)+ (3) (-1)=2+3-3=2 11. - Multiplicar AB, P42 = (1) (0)+(-1) (4)+ (3) (3)=0-4+9=5 12. - Escribir el resultado AB = (a11=2, a12=9, a21= 0, a22=-5, a31=-5, a32=3, a41= 2,

a42=5).


Informática





Multiplicación de dos matrices cuadradas.






1. - Escribió la matriz A que tiene los siguientes índices (a11=5, A12=3,A13=-1, A21=0, A22=1, A23=-3).

2. - Escribió la matriz A que tiene los siguientes índices (a31=-2, A32=0, A33=-1, A41=1, A42= -1, A43=-3).

3. - Escribió la matriz B que tiene los siguientes índices (a11=2, A12= 0, A21= -3, A22=4, A31= -1, A32= 3).

4. – Multiplicó AB, P11 = (5) (2)+(3) (-3)+ (-1) (-1)= 10-9+1=2 5. – Multiplicó AB, P12 = (5) (0)+(3) (4)+ (-1) (3)= 0+12-3=9 6. – Multiplicó AB, P21 = (0) (2)+(1) (-3)+ (-3) (-1)=0-3+3=0 7. – Multiplicó AB, P22 = (0) (0)+(1) (4)+ (-3) (3)=0+4-9=-5 8. – Multiplicó AB, P31 = (-2) (2)+(0) (-3)+ (1) (-1)=-4+0-1=-5 9. – Multiplicó AB, P32 = (-2) (0)+(0) (4)+ (1) (3)=0+0+3=3 10. – Multiplicó AB, P41 = (1) (2)+(-1) (-3)+ (3) (-1)=2+3-3=2 11. – Multiplicó AB, P42 = (1) (0)+(-1) (4)+ (3) (3)=0-4+9=5 12. - Escribió el resultado AB = (a11=2, a12=9, a21= 0, a22=-5,

a31=-5, a32=3, a41= 2, a42=5).


Observaciones:

Informática




PSA:

Hora de

inicio: Hora de


Informática





2


Aplicar el teorema 1 y teorema 2 del álgebra boolena


Al finalizar la práctica, el alumno manejará impresoras de acuerdo con los procedimientos y normas establecidas en los manuales del fabricante.


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Hojas • Lápiz • Goma

Informática




Procedimiento


TEOREMA 1 1. - Comprobar “x+x=x” 2. - Escribir “x+x= (x+x) por 1” 3. - Escribir “(x+x)(x+x’). 4. - Escribir “x+xx’ “ 5. - Escribir “x+0” 6. - Escribir “ x” TEOREMA 2 7. - Adquirir una hoja de papel 8. - Comprobar “x+1=1” 9. - Escribir “x+1=1 por (x+1). 10.- Escribir “ = (x+x’) (x+1)” 11.- Escribir “ = x+x’ por 1” 12.- Escribir “ x+x’ “ 13.- Escribir “ 1 “


Informática





Aplicar el teorema 1 y teorema 2 del álgebra boleana.




Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene. • Evitó la manipulación de líquidos. • • Tuvo condiciones adecuadas en el aula (iluminación,


TEOREMA 1 1. – Comprobó “x+x=x” 2. – Escribió “x+x= (x+x) por 1” 3. – Escribió “(x+x)(x+x’). 4. – Escribió “x+xx’ “ 5. – Escribió “x+0” 6. – Escribió “ x” TEOREMA 2 7. – Adquirió una hoja de papel 8. – Comprobó “x+1=1” 9. – Escribió “x+1=1 por (x+1). 10. – Escribió “ = (x+x’) (x+1)” 11. – Escribió “ = x+x’ por 1” 12. – Escribió “ x+x’ “ 13. – Escribió “ 1 “


Observaciones:

Informática




PSA:

Hora de

inicio: Hora de


Informática




RESUMEN Las matemáticas discretas proporcionan los fundamentos teóricos apropiados para la solución de problemas cotidinos que se deben resolver en el campo de la informática. Por medio de la inducción matemática se pretende ayudar a entender de una mejor manera el razonamiento de las matemáticas, ya que la inducción de cualquier término hace cualquier tipo de matemáticas fácil de comprender. Principios de conteo: De los procesos físicos se observará el gran número de resultados obtenibles por medio de reglas establecidas y se encontrarán los procedimientos sistemáticos que generan de manera exhaustiva todas las maneras de distribuir n objetos y también las maneras de seleccionar n objetos. Relaciones de recurrencia: Todo surge debido a que en muchos de los problemas del cálculo, algunas veces en muchos más fácil el obtener la especificación de una función numérica en términos de una relación de recurrencia, que obtener una expresión general para el valor de una función numérica ; y por lo tanto es obvio que en una relación de recurrencia podemos llevar acabo un cálculo paso por paso para de esta manera llegar a determinar el valor. Grafos: En la mayoría de los problemas donde se involucran objetos discretos y relaciones binarias, una representación gráfica (GRAFOS) de los objetos sobre los mismos conjuntos resultan una forma de representación muy conveniente, lo cual nos conduce de una forma natural al estudio de la Teoría de los Grafos . Árboles: Los empleamos porque nos ayuda a determinar con cierta rapidez el valor o el lugar de un objeto en particular dependiendo de la ordenación que la estructura (árbol) tenga y también de los objetos (nodos) que contenga. Relaciones: Surgen como consecuencia de que debido a que las relaciones comparten muchas de sus propiedades, se puede entonces comprobar que hay cierta correspondencia uno a uno entre los elementos de dos relaciones, siempre y cuando exista una función biyectiva involucrada. Álgebra booleana: Con las expresiones booleanas podremos obtener un circuito electrónico que tenga las mismas entradas y salidas que tiene la expresión original. Donde los conceptos de izquierda y de derecha puede ser intercambiados en situaciones encontradas en donde nosotros podremos refrasear el significado o el sentido de la expresión. A lo cual determinaremos que existe libertad suficiente para construir multitudes de álgebras boleabas diferentes.

Informática




AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

1. ¿Cuál es la definición de grafo? 2. ¿Cuáles son los elementos que integran un grafo? 3. ¿Para qué nos sirve un grafo? 4. ¿En informática a qué llamamos árbol? 5. ¿Qué es un árbol generador? 6. ¿Qué es un árbol generador mínimo? 7. ¿Cómo podemos describir el algoritmo de Kruskal? 8. ¿De qué manera están conectados los árboles? 9. ¿Cuándo decimos que dos nodos son hermanos? 10. ¿ Para qué nos sirven la regla de la suma y la regla del producto? 11. ¿ Qué nos dice la regla de la suma ? 12. ¿ Qué nos indica la regla del producto ? 13. ¿Cuál es la regla de la suma? 14. ¿Cuál es la regla del producto? 15. ¿Qué es una progresión aritmética? 16. ¿Qué es una progresión geométrica? 17. ¿Cuál es la definición de permutaciones? 18. ¿A qué llamamos combinaciones? 19. ¿De cuantas maneras se pueden dividir un grupo de 10 personas en 2 grupos si

cada grupo debe contener al menos una persona ? 20. ¿Cuál es la forma más conocida en que podemos escribir los coeficientes

binomiales ? 21. ¿Cómo podrías definir con tus propias palabras la relación de recurrencia? 22. ¿Cuáles son los símbolos usados en sistema numérico binario?

Informática





23. ¿De cuantos símbolos consta el sistema numérico octal? 24. ¿Cuáles son los símbolos usados en el sistema numérico hexadecimal? 25. ¿A que llamamos conjunto vacío? 26. ¿Cuándo decimos que un conjunto es finito? 27. ¿Con que letra identificamos a un conjunto universal? 28. ¿Con que símbolo identificamos la relación de pertenencia entre conjuntos? 29. Definición de Relación. 30. ¿Qué es el dominio en la teoría de conjuntos? 31. ¿Qué es el Rango en la teoría de conjuntos? 32. ¿Qué propiedades debe cumplir la relación de equivalencia? 33. ¿Qué es una función en el álgebra de Boole? 34. ¿Cuáles son los tipos de función que existen? 35. ¿Para que nos sirven las tablas de verdad? 36. ¿Para qué nos sirve un Mapa de Karnaugh? 37. ¿Qué es una proposición? 38. ¿ Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y » , la

proposición compuesta resultante se le llama? 39. ¿Simbólicamente como denotamos una disyunción? 40. ¿Cómo se denota una proposición condicional? 41. ¿Cuáles son los cuantificadores? 42. ¿Cuántos valores admiten las variables y constantes del álgebra booleana y

cuales son? 43. ¿Para qué se usan las expresiones booleanas? 44. ¿Qué son los teoremas booleanos?

Informática





45. ¿Cuáles son las leyes booleanas? 46. ¿Qué es una compuerta? 47. ¿Qué es un circuito lógico simple? 48. ¿ A qué corresponde una señal de salida de la compuerta OR ? 49. ¿ Qué función realiza la compuerta NOT ? 50. ¿ A qué corresponde una señal de salida de la compuerta AND ? 51. ¿ Qué hace una compuerta AND ? 52. ¿ Qué es una función booleana? 53. ¿Cómo podemos expresar una función booleana?

Informática




RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 1. Un grafo es un objeto matemático que se utiliza para representar circuitos, redes,

etc.

2. Un grafo consta de vértices (o nodos) y aristas.

3. Los grafos permiten resolver problemas muy complejos, por medio de ellos podemos elegir el camino más corto para la solución del problema.

4. Es un conjunto de grafos que nos permiten organizar información de tal forma

que sea posible efectuar eficientemente operaciones que involucren a esa información.

5. Un árbol generador (o de expansión) de un grafo G, es un subgrafo que es árbol

y contiene a todos los vértices del grafo.

6. Un árbol Generador mínimo es el que resulta de la construcción en primer lugar de un árbol generador, pero con la característica de ser el de menos peso del grafo al cual genera.

7. Un algoritmo que origina un árbol generador minimal en un grafo G de n

vértices, conexo y con peso es el Algoritmo de Kruskal.

8. Por medio de arcos.

9. Si ambos nodos son descendientes directos del mismo nodo. 10. Nos sirve para poder contar el número de permutaciones . 11. Indica que si hay 2 conjuntos que contengan n1 y n2 elementos , y si no hay

elementos comunes en ambos conjuntos , el resultado es la unión de n1 + n2 elementos .

Informática




RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

12. Indica que el número de pares ordenados que se pueden formar a partir de los 2 conjuntos A y B , de tal manera que el primero provenga de A y el segundo provenga de B.

13. Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una egunda se puede efectuar de n maneras, y no se pueden realizar las dos a la vez, entonces tenemos un repertorio de m+n maneras de realizar una tarea.

14. Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden designado, de m·n maneras.

15. Es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante.

16. Una secuencia de números en la que la proporción entre cualquier número y el número siguiente es constante.

17. Son maneras de distribuir objetos. 18. Son maneras de seleccionar objetos sin importar el orden . 19. 210 –2 = 51 20. Es el Triangulo de Pascal. 21. 22. 0 1 23. De 8 24. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 25. Es un conjunto que carece de elementos. 26. Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es

decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar

27. Con la letra U

Informática




RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 28.

∈ 29. Se define como relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del

producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B.

30. El dominio es un subconjunto del conjunto de salida, ya que algunos elementos de la salida pueden no formar parte de la relación.

31. El rango o codominio es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado.

32. Propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. 33. Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando

cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto.

34. Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva. 35. Una tabla de verdad establece las diferentes posibles combinaciones de valores

de verdad de las Variables Proposicionales de una fórmula y determina los valores correspondientes a esa fórmula para cada una de esas combinaciones

36. El mapa de Karnaugh, al igual que la Tabla de Verdad, es un medio para demostrar la relación existente entre las entradas lógicas y la salida que se busca.

37. Una proposición se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bien es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de dicha proposición se le llama su valor de verdad

38. Conjunción. 39. Escribiendo p v q 40. p --> q 41. Universales, Existenciales, Existencia y Unicidad.

Informática




RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 42. Admiten solo uno o dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o

Verdadero/Falso. 43. Se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero

o falso, y el resultado de su evaluación es un valor de verdad. 44. Son enunciados siempre verdaderos, lo que permite la manipulación de

expresiones algebraicas, facilitando el análisis ó síntesis de los circuitos digitales.

45. Asociativa: Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Conmutativa: Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Distributiva: Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

46. Una compuerta es un circuito lógico cuya operación puede ser definida por una función del álgebra lógica.

47. Los circuitos lógicos simples son los que nos permiten representar las operaciones boolenas con los operados binarios negación, suma y multiplicación, es decir que estos combinan dos o más variables para conformar funciones lógicas.

48. Corresponde a una proposición la cual es la disyunción de las proposiciones correspondientes a las señales de entrada.

49. Es un circuito que tiene una entrada y una salida. 50. Corresponde a una proposición la cual es la conjunción de las proposiciones

correspondientes a las señales de entrada . 51. Es un circuito que tiene dos entradas y una salida. 52. Una función booleana es una expresión formada por variables binarias. 53. Como una suma de miniterminos

Informática




GLOSARIO DE TÉRMINOS ÁLGEBRA BOOLEANA: El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. ALGORITMO: Una posible definición de algoritmo es un conjunto de reglas que permiten obtener un resultado determinado a partir de ciertas reglas definidas ALGORITMO DE DIJKTRA: Se basa en el hecho de que tal vez sea más económico pasar a través de uno o más nodos para ir del vértice origen a algún otro, en vez de ir directamente. ALGORITMO DE KRUSKAL: Parte con un grafo T que contiene inicialmente todos los vértices y ningún lado. en cada iteración se agrega un lado a T de peso mínimo, talque no complete un circuito en T. Cuando T tenga n-1 lados, se termina. ALTURA (árbol). Es el máximo número de niveles de todos los nodos del árbol. ÁRBOL: Grafo acíclico, conexo y no dirigido. ÁRBOL BINARIO: Árbol con raíz en el cual cada nodo tiene como máximo dos hijos ÁRBOL GENERADOR: Un árbol generador (o de expansión) de un grafo G, es un subgrafo que es árbol y contiene a todos los vértices del grafo. ÁRBOL GENERADOR MINIMAL: Es el que resulta de la construcción en primer lugar de un Árbol generador, pero con la característica de ser el de menos peso del grafo al cual genera. ARISTA: Conexiones entre vértices. Para representarlas se suelen utilizar líneas para las conexiones. ARCO: (Lazo) Los árboles constan de nodos, que están conectados mediante arcos. BICONDICIONAL: Otro tipo de proposición que se presenta con frecuencia es de la forma «p si, y solamente si, q» que se suele abreviar «p ssi q». Intuitivamente esta proposición parece ser la combinación de p --> q y q --> p

Informática




GLOSARIO DE TÉRMINOS

BINARIO: (base 2) Sistema numérico que consta de dos símbolos que son 0 y 1. CAMINO (árbol): Secuencia de arcos en que el extremo final de cada arco coincide con el extremo inicial del siguiente en la secuencia. CIRCUITO HAMILTONIANO: Si el circuito contiene todos los vértices de V decimos que el circuito es hamiltoniano. CIRCUITO LÓGICO COMBINACIONAL: Un Circuito combinacional realiza una operación específica de procesamiento de información, especificada por completo en forma lógica por un conjunto de funciones booleanas. COMBINACIÓN: Todas las combinaciones posibles que pueden hacerse con los nelementos de un grupo. COMPLEMENTO CONJUNTO: Complemento de A es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a U y no pertenecen a A. COMPUERTA LÓGICA: Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico que es la expresión física de un operador booleano en la lógica de conmutación. Cada puerta lógica consiste en una red de dispositivos interruptores que cumple las condiciones booleanas para el operador particular. Son esencialmente circuitos de conmutación.. CONDICIONALES (PROPOSICIONES): En matemáticas se suele utilizar muy frecuentemente la proposición «Si p, entonces q». Tales proposiciones se llaman condicionales. CONECTIVO: A partir de el conjunto original de proposiciones fundamentales hemos formado un nuevo conjunto, aceptando en él toda combinación de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos lógicos ^, v, ~. CONTEO: Método para distribuir n objetos de acuerdo a reglas establecidas. CONJUNCIÓN: Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y » , la proposición compuesta resultante se le llama conjunción. CONJUNTO: Ccolección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo.


Informática




CONJUNTO FINITO: Conjunto que consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. CONJUNTO VACÍO: Es un conjunto que carece de elementos. CONTRADICCIÓN: Si la tabla de verdad arroja solamente F entonces decimos que la fórmula es una contradicción. CONTRADOMINIO FUNCIÓN: El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la función,, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función. CUANTIFICADORES: Los cuantificadores permiten expresar propiedades de grupos completos de objetos. CUANTIFICADORES UNIVERSALES: Equivale a la conjunción de todas las oraciones que se obtienen al sustituir el nombre de un objeto por la variable que aparece en la expresión. CUANTIFICADORES EXISTENCIALES: Sirve para realizar afirmaciones acerca de algún objeto en el universo sin tener que nombrarlo. Equivale a la disyunción de todas las oraciones obtenidas al sustituir el nombre de un objeto por la variable x. Esta oración es verdadera solo cuando una de las disyunciones es verdaderas. CIRCUITO LÓGICO SIMPLE: Nos permiten representar las operaciones boolenas con los operados binarios negación, suma y multiplicación, es decir que estos combinan dos o más variables para conformar funciones lógicas. Una compuerta es un circuito útil para realizar las operaciones anteriormente mencionadas. EQUIVALENCIA LÓGICA: Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p ≡ q.

Informática





EQUIVALENCIA RELACIÓN: Una relación de equivalencia es aquella que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. DISYUNCIÓN: Se emplea la palabra «o» en el sentido inclusivo, como el término y/o.Entonces una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q ó ambas.DOMINIO CONJUNTOS: El dominio es el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado. DOMINIO FUNCIÓN: Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra Correspondencia en el conjunto llamado codominio. EXPRESIÓN BOOLEANA: Expresión que sólo puede tomar dos valores: verdadero y falso. FIBONACCI. Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente al romano. FUNCIÓN: Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. FUNCIÓN ACKERMAN: Utilizada en la teoría de la computación, es una función recursiva que toma dos números naturales como argumentos y devuelve un número natural. FUNCIÓN BIYECTIVA: es inyectiva y sobreyectiva a un mismo tiempo. FUNCIÓN BOOLEANA: Una función booleana es una expresión formada por variables binarias. FUNCIÓN INYECTIVA: A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos diferentes en un conjunto de llegada.

Informática





FUNCIÓN SUPRAYECTIVA (sobreyectiva): a elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. GRADO (árbol). Es el número de descendientes directos de un determinado nodo. GRADO DEL ÁRBOL Es el máximo grado de todos los nodos del árbol. GRAFO: Un grafo es un objeto matemático que se utiliza para representar circuitos, redes, etc. HERMANO (árbol). Dos nodos serán hermanos si son descendientes directos de un mismo nodo. HEXADECIMAL: (base 16) Sistema numérico que consta de 16 símbolos que son: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F. HIJO (árbol). X es hijo de Y, sí y solo sí el nodo X es apuntado por Y. También se dice que X es descendiente directo de Y. HOJA (árbol). Se le llama hoja o terminal a aquellos nodos que no tienen ramificaciones (hijos). INTERSECCIÓN CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección del conjunto A con el conjunto B al conjunto formado por todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B. Lazo: (Arco) Los árboles constan de nodos, que están conectados mediante arcos. LONGITUD DE CAMINO. Es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar desde la raíz al nodo X. MAPA DE KARMAUGH: Es un dispositivo gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica o para convertir una Tabla de Verdad en su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado. NIVEL (árbol). Es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar a un determinado nodo. Por definición la raíz tiene nivel 1.


Informática




NODO INTERIOR (árbol). Es un nodo que no es raíz ni terminal. OCTAL: (base 8) Sistema numérico que consta de 8 símbolos que son: 0 1 2 3 4 5 6 7 ORDENAMIENTO: Orden en el que se elabora un árbol (adicionan los nodos). Esto significa que para su construcción, los nodos que se van agregando no se colocan al azar, colgando de cualquier nodo existente, sino según un criterio que tiene en consideración el “valor” de la hoja. PADRE (árbol) . X es padre de Y sí y solo sí el nodo X apunta a Y. También se dice que X es antecesor de Y. PASCAL: Clermont-Ferrand, Francia, 1623-París, 1662) Filósofo, físico y matemático francés. PASCAL: Lenguaje de programación. PERMUTACIÓN: Un ordenamiento de n objetos. PESO (árbol) . Es el número de nodos del árbol sin contar la raíz. PROGRESIÓN ARITMÉTICA: Sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante. Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: Secuencia de números en la que la proporción entre cualquier número y el número siguiente es constante. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA: Cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos. PROPIEDAD ASIMÉTRICA: Cuando ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica. PROPIEDAD PERTENENCIA: Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto.

Informática





PROPIEDAD REFLEXIVA: Cuando todo elemento del conjunto está relacionado con sí mismo. PROPIEDAD SIMÉTRICA: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero. PROPIEDAD TRANSITIVA: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con otro, y éste está relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. PROPOSICIÓN: Frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bien es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas RANGO (codominio): El rango o codominio es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado. RECURSIÓN: Forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición. RECURRENCIA: Se utilizan instancias menores de la entrada actual para calcular ésta. En una relación de recurrencia podemos llevar acabo un cálculo paso por paso para de esta manera llegar a determinar el valor buscado. SUBCONJUNTO: Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A es un elemento de B. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. SUBGRAFO: Un grafo H se dice que es un subgrafo de G si todos los vértices y ramas de H son vértices y ramas de G. SUCESIÓN DE NÚMEROS: Se entenderá por sucesión una colección de números dispuestos uno a continuación de otro. TABLA VERDAD: Tabla que nos permite mostrar gráficamente el valor de dichas proposiciones F (falso) V (verdadero).

Informática





TAULOGÍA: Sí y solo si su valor de verdad es siempre V para toda interpretación posible. Es decir, si el resultado de la tabla arroja solo V en su columna final. TRIÁNGULO PASCAL: Triángulo formado que se construye desde la cúspide hacia abajo. El primer elemento es el número 1, formando la fila 0. La fila 1 está formada por dos elementos, ambos también el número 1. A partir de aquí, la construcción es como sigue: cada fila está formada por un elemento más que la anterior. El elemento primero y último de cada una siempre será el número 1, y cada elemento interior será el número resultado de sumar los dos elementos que se sitúan encima de él y adyacentes en la fila superior. TORRE HANOI: Juego que consta de tres postes montados sobre un tablero y n discos de diversos tamaños con agujeros en sus centros. UNIÓN CONJUNTOS: Se llama unión o reunión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, o a B o a ambos. VÉRTICE: objeto que contienen información, para representarlos se suelen utilizar puntos.

Informática




REFERENCIAS DOCUMENTALES

• Grimaldi.Addison-Wesley, Ralph P. Matemáticas Discreta y Combinatoria

E.U.A., Iberoamericana, 1989.

• Johnsonbaugh, Richard. Matemáticas Discretas. México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1988.

• Lipschutz, Seymour. Matemática Discreta. Madrid España, Mc. Graw-Hill,

1990.

• Universidad Nacional de Colombia, Electronica Digital I, Disponible en:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2000477/index.html [Consulta: 20 febrero 2005].

• Rivas Miranda, Blanca Selene, El Triangulo de Pascal, Disponible en:

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/ma2_01.htm [Consulta: 20 febrero 2005]..

• Acertijos.net, La Torre de Hanoi, Disponible en:

http://www.acertijos.net/juegos/tower/ [Consulta: 20 febrero 205].

manual teórico práctico del módulo autocontenido … matemáticas discretas con base en métodos,...

Documents