manual de referÊncia eros 3 -...

Modelo deerosão/sedimentação

MANUAL DE REFERÊNCIAEros 3.0

DOCUMENTO EM REVISÃO

Instituto de Hidráulica Ambiental da Universidade da Cantábria (IH-Cantábria) Universidade da Cantábria Laboratório de Oceanografia Costeira - Universidade Federal de Santa Catarina Instituto Oceanográfico – Universidade de São Paulo Informações da pessoa de Contato Professor: Mauricio González Endereço: c/Isabel Torres nº 15 Parque Científico e Tecnológico da Cantábria 39011 Santander Espanha E-mail: [email protected] Tel.: +34 942 201 616 Fax: +34 942 266 361 http.//www.Ihcantabria.com Professor: Antonio Henrique da Fontoura Klein Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Filosofia e Ciências Humanas Departamento de Geociências Campus Universitário - Trindade Florianópolis, SC- Brasil - CEP: 88040-900 E-mail: [email protected] Tel.: 55-48-37212577 http://loc.ufsc.br/ Professor: Moysés Gonsales Tessler Universidade de São Paulo Endereço: Rua Anna Nastari Brunetti, 62 Granja Viana, Cotia, São Paulo - Brasil. CEP: 06709-135 E-mail: [email protected] Tel.: 55-11-98381-8410 http://ldc.io.usp.br/ Adalberto Eberhard (Diretor)/ Leila Swerts (Gerente) / Márcia Oliveira (Analista Ambiental) Ministério do Meio Ambiente Esplanada dos Ministérios, Bloco B, sala 950 Brasília - DF - Brasil - CEP: 70068-900 E-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected] Tel.: 55- 61- 2028-1161 / 55-61-2028-1364 http://www.mma.gov.br/ Observação Jurídica Nenhum dos participantes, nem as instituições as quais representam no desenvolvimento do SMC-Brasil, são responsáveis pela utilização dada a esta publicação.

Contribuições e Desenvolvimento Instituto de Hidráulica Ambiental da Cantábria (IH-Cantábria) Universidade da Cantábria Instituição líder do projeto: Mauricio González (principal pesquisador do projeto), Raúl Medina, Omar Gutiérrez (Coordenador do projeto), Nabil Kakeh, Cynthia Martínez, Roland Garnier, Lara Ruiz, Jara Martínez, Verónica Canovas, Laura Ribas de Almeida, Belén López, Fernando Méndez, Antonio Espejo, Melisa Menéndez, Ana Abascal, Sonia Castanedo. Laboratório de Oceanografia Costeira - Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) Líder local do projeto: Antonio Klein (principal pesquisador do projeto), Clarissa Brellinger De Luca, Priscila Hoerbe Soares, Paula Gomes da Silva, Jonas Gomes Oliveira, Maiara Werner Pinto, Charline Dalinghaus, Caio Trajano Siqueira Salgado e Julia Gil dos Santos. Instituto Oceanográfico – Universidade de São Paulo (USP) Líder local do projeto: Moyses Gonsalez (Principal pesquisador), Samara Cazzoli Y Goya. Financiamento do projeto Agência Espanhola de Cooperação Internacional para o Desenvolvimento – AECID Ministério do Meio Ambiente- MMA Brasil Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão/Secretaria de Patrimônio da União- MP-SPU Brasil. Colaboração (Fornecimento de dados) Marinha do Brasil Instituto Nacional de Pesquisas Hidroviárias (INPH)

ÍNDICE

(MANUAL DE REFERÊNCIA)

MANUAL DE REFERÊNCIA

Capítulo 1. SOBRE ESTE MANUAL 1. SOBRE ESTE MANUAL ...............................................................................1.1 1.1 Objetivos ...............................................................................................1.1 1.2 Conteúdo ...............................................................................................1.1 Capítulo 2. APRESENTAÇÃO TEÓRICA DO PROBLEMA 2. APRESENTAÇÃO TEÓRICA DO PROBLEMA .........................................2.1 2.1 Introdução .............................................................................................2.1 2.2 Modelo de Evolução Morfodinâmica Eros ...........................................2.3 2.2.1 Estrutura do modelo Eros ..........................................................2.3 2.2.2 Modelo de propagação de onda Oluca-MC ...............................2.5 2.2.3 Modelo de propagação de onda Oluca-SP .................................2.5 2.2.4 Modelo de correntes geradas por quebra Copla-MC/SP ...........2.5 2.2.5 Modelo de transporte de sedimentos .........................................2.6 2.2.6 Modelo de conservação e estabilidade do sedimento ..............2.13 2.2.7 Modelo de perturbação de onda Oluca-Q ................................2.13 2.2.8 Modelo de perturbação das correntes gera das pela quebra Copla-Q ......................................................................................................................2.16

(MANUAL DE REFERÊNCIA)

Capítulo 3. FORMULAÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA 3. FORMULAÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA .........................................3.1 3.1 Introdução .............................................................................................3.1 3.2 Discretização do domínio .....................................................................3.1 3.3 Equação de conservação do sedimento ................................................3.2 3.3.1 Passo de tempo morfológico ......................................................3.3 3.3.2 Condições iniciais e de contorno ...............................................3.5 3.3.3 Filtros espaciais .........................................................................3.5 3.4 Modelo Oluca-Q ...................................................................................3.6 Capítulo 4. VALIDAÇÃO DO MODELO Eros 4. VALIDAÇÃO DO MODELO Eros ................................................................4.1 Capítulo 5. BIBLIOGRAFIA 5. Bibliografia ......................................................................................................5.1

CAPÍTULO 1

SOBRE ESTE MANUAL

(MANUAL DE REFERÊNCIA) CAPÍTULO 1

-- 1.1 --

1. SOBRE ESTE MANUAL 1.1 Objetivos Este manual inclui uma descrição geral das equações e formulações numéricas aplicadas no modelo Eros (modelo bidimensional e horizontal de evolução morfológica de uma praia), bem como a estrutura do programa. O programa Eros faz parte do MODELO INTEGRAL de evolução Morfológica de uma praia devido à ação de ondulação e às correntes de rebentação (Mopla). Existem duas versões do modelo com base no que estamos considerando: ondas monocromáticas (Eros-MC) ou ondas irregulares (Eros-SP). Os principais objetivos deste manual são: 1. Proporcionar uma ideia geral ao usuário das equações aplicadas no modelo Eros,

sem aprofundar nas deduções teóricas, mas considerando muito claramente as hipóteses nas quais se fundamentam e seu âmbito de aplicação. Se o usuário pretender examinar mais detalhadamente alguns desses aspectos, ao final do texto é apresentada uma lista de referências para cada um dos tópicos.

2. Descrever a estrutura global do modelo, bem como detalhar as interações entre

seus diversos módulos. 1.2 Conteúdo No capítulo 2 é apresentado teoricamente o problema da evolução morfológica de uma praia. No capítulo 3 é apresentado o modelo numérico de discretização das equações, geração das malhas e condições de contorno. No capítulo 4 se valida o modelo com um caso teórico. No capítulo 5 estão incluídas as referências.

CAPÍTULO 2

APRESENTAÇÃO TEÓRICA DO PROBLEMA


-- 2.1 --

2. APRESENTAÇÃO TEÓRICA DO PROBLEMA 2.1 Introdução O modelo Eros é um modelo numérico que resolve as equações do fluxo de sedimentos dentro da zona de rebentação, bem como as alterações na batimetria associadas às variações espaciais do transporte de sedimentos. Considera como dados de entrada o seguinte: Dados de saída de ondulação calculados pelo modelo Oluca1 (ver Manual de

Referência do Oluca-MC e Manual de Referência do Oluca-SP); Dados de saída do campo de correntes geradas por quebra das ondas calculados

pelo modelo Copla2 (ver Manual de Referência do Copla-MC e Manual de Referência do Copla-SP);

Dados de características do sedimento da praia.

Os modelos morfodinâmicos para a zona de rebentação são utilizados para prever a evolução morfológica de uma praia em planta (em curto prazo) submetida à ação de determinadas condições de ondulação. O conceito de “curto prazo” deve ser entendido com a escala de tempo de validade do modelo (horas – dias). Ou seja, estes modelos são úteis para simular o comportamento em planta de uma praia submetida à ação de uma tempestade (por exemplo, um estado do mar de 8 horas de duração, com Hrms = 3 m e Tp = 10 s). Os modelos morfodinâmicos baseiam-se na modelagem de processos físicos que afetam a praia, propagação de ondulação, correntes geradas pela quebra, transporte de sedimentos e variação da batimetria. Em função da interação entre esses componentes podem-se definir dois tipos de modelos: Modelos de erosão – sedimentação inicial; Modelos de evolução morfodinâmica.

Os modelos de erosão-sedimentação inicial (ESI) avaliam a variação da batimetria sem levar em conta a interação entre componentes. Isto é, não consideram

1 Oluca-MC para ondas monocromática e Oluca-SP para ondas irregulares 2 Copla-MC para ondas monocromática e Copla-SP para ondas irregulares


-- 2.2 --

a influência da variação do fundo na hidrodinâmica (ondulação e correntes), conforme apresentado no fluxograma da Figura 2.1.

Figura 2.1. Fluxograma dos modelos ESI e MEM

Os modelos de evolução morfodinâmica (MEM) levam em conta a interação entre a variação do fundo e as condições hidrodinâmicas. Em geral, admitem-se algumas condições hidrodinâmicas estacionárias durante um intervalo de tempo específico, dando origem a uma variação do fundo. Com a nova batimetria são recalculadas as condições hidrodinâmicas e os novos fluxos de transporte. Este ciclo fechado é realizado até a finalização do evento que se deseja simular.

ESI MEM

BATIMETRIA

TRANSPORTE DESEDIMENTOS

CAMPO DECORRENTES

CAMPO DE ONDAS

VARIAÇÃODO FUNDO

BATIMETRIAFINAL

BATIMETRIA


CAMPO DECORRENTES

CAMPO DE ONDAS

VARIAÇÃODO FUNDO

BATIMETRIAFINAL

INTERVALO DETEMPO

MORFOLÓGICO


-- 2.3 --

O modelo Eros permite a simulação morfodinâmica tanto no modo ESI como no MEM. O modo ESI permite, rapidamente, conhecer a tendência inicial de erosão-sedimentação de uma praia submetida a determinadas condições hidrodinâmicas. O modo MEM é utilizado quando se quer ter uma estimativa das variações da batimetria de uma praia frente à ação de uma tempestade. É importante salientar que o tempo computacional no modo MEM é muito maior do que o modo ESI, uma vez que se deve recalcular tanto as ondulações como as correntes. 2.2 Modelo de evolução morfodinâmica Eros 2.2.1 Estrutura do modelo Eros Na simulação da evolução morfológica de uma praia é necessário que cada um dos elementos que modelam os processos físicos esteja perfeitamente integrado, dado a forte dependência existente entre eles: Ondulação Correntes Transporte de sedimentos Variações do fundo

O modelo Eros é alimentado pelos resultados da ondulação (Oluca-MC/SP) e das correntes (Copla-MC/SP). Com estas condições hidrodinâmicas (a batimetria inicial e as características do sedimento) o programa calcula o transporte de sedimentos. A partir dos fluxos de transporte é obtida a taxa de tempo de variação do fundo. Neste ponto, cabem duas possibilidades: simulação no modo ESI e simulação no modo MEM. No modo ESI é resolvida a equação de conservação do sedimento aceitando que no intervalo de duração do evento, tf - t0, as condições hidrodinâmicas não variam. No modelo MEM, entretanto, a passagem do tempo morfodinâmico, tm, depende dos critérios de estabilidade: Critérios de estabilidade numérica de Courant de migração das formas de leito.

Máxima variação admitida do fundo. A estrutura do Eros é a seguinte:


-- 2.4 --

Uma vez definido o passo de tempo se resolve a equação de conservação do sedimento. Ao alterar a batimetria, as características hidrodinâmicas do sistema são alteradas, sendo necessário, portanto, voltar a calcular a ondulação e as correntes de quebra. O modelo finaliza após a conclusão da duração do evento que está sendo simulado. Em seguida, passa a descrever de forma resumida as características de cada um dos módulos que compõem o modelo Eros.

BATIMETRIAINICIAL


VARIAÇÃO DOFUNDO

t0

CORRENTES

ONDULAÇÃOOluca-MC (SP)

Copla-MC (SP)

PASSAGEM DO TEMPOMORFOLÓGICO

ONDULAÇÃO

CORRENTESCopla-Q

Oluca-Q

BATIMETRIAFINAL tfMODO ESI

BATIMETRIAFINAL tfMODO MEM

Eros-MC (SP)

Mopla-MC (SP)


-- 2.5 --

2.2.2 Modelo de propagação de onda Oluca-MC O modelo Oluca-MC está detalhadamente descrito no Manual de Referência do Oluca-MC. O modelo resolve a aproximação parabólica da equação de declive suave que inclui os processos de empolamento da onda, refração, difração e dissipação de energia pela rebentação. O modelo dá como resultado o campo de ondulação (altura da onda e direção da frente) em todo o domínio do cálculo. 2.2.3 Modelo de propagação de onda Oluca-SP O modelo Oluca-SP está detalhadamente descrito no Manual de Referência do Oluca-SP. O modelo resolve a aproximação parabólica da equação de declive suave que inclui os processos de empolamento, refração, difração e dissipação de energia pela rebentação para um espectro de energia quantizado em frequências e direções. A dissipação de energia por rebentação é modelada conforme diversos modelos coletados no estado da arte (Battjes e Janssen, 1978; Thornton e Guza, 1983; Rattanapitikon e Shibayama, 1998). O modelo apresenta como resultado o campo de ondulação (altura da onda significante e direção do fluxo médio de energia) em todo o domínio do cálculo. 2.2.4 Modelos de correntes geradas por quebra Copla-MC e Copla-SP Os modelos Copla-MC e Copla-SP estão descritos detalhadamente nos Manuais de Referência do Copla-MC e Copla-SP. Este modelo resolve as equações de Navier-Stokes integradas na vertical e na média no período de ondulação. O termo êmbolo que induz o campo de correntes e as variações do nível médio são os gradientes do tensor de radiação. Os resultados do modelo são o campo vetorial de velocidades e o campo de


-- 2.6 --

níveis. 2.2.5 Modelo de transporte de sedimentos O módulo de transporte determina o transporte de sedimentos baseado no campo de ondas e no campo de correntes. Optou-se por duas formulações amplamente aceitas no estado da arte: Bailard (1981) Soulsby – Van Rijn (1997)

As duas formulações computam o transporte total, soma do transporte em suspensão e do transporte de fundo. Abaixo é realizada uma breve descrição de cada uma delas. 2.2.5.1 Formulação de Bailard A fórmula derivada por Bailard (1981) pode ser escrita como a soma de quatro termos:

sssobsbot qqqqq

com:

uutansg

Cq Bf

bo

2

)1(

iutansg

tanCq Bf

bs

3

2)1(

uuwsg

Cq

s

sfso

3

)1(


-- 2.7 --

iuwsg

tanCq

s

sfss

5

2

2

)1(

onde: g = aceleração da gravidade (m/s2)

s = w

s

, é a densidade relativa

s = densidade do sedimento (ton/m3) w = densidade da água (ton/m3) Cf = coeficiente de atrito, tal que uuC f

= tensão tangencial no fundo (Nw/m2) u

= velocidade no fundo devido à ação conjunta de onda-corrente (m/s) = ângulo de atrito interno do sedimento (º) tan = inclinação do leito (-) i

= vetor unitário na direção de inclinação acima (-) ws = velocidade de queda de grão (m/s) B = fator de eficiência do transporte pelo fundo (=0.1) s = fator de eficiência do transporte em suspensão (=0.02) <.> = é uma média de tempo

= valor absoluto

Os termos representam:

tq

= transporte total de fundo e suspensão (qx, qy)

boq

= transporte de fundo sobre leito plano

bsq

= transporte de fundo devido ao efeito da inclinação

soq

= transporte em suspensão sobre o leito plano

ssq

= transporte em suspensão devido ao efeito da inclinação.

O vetor de velocidade no fundo pode ser expresso da seguinte maneira:

uuu orb

onde:


-- 2.8 --

orbu

= é o vetor de velocidade no fundo devido à ondulação (uorbx, uorby)

u

= é o vetor de velocidade média integrada na vertical (corrente de rebentação), ),( vu .

Admitindo uma decomposição da velocidade conforme os eixos x e y temos:

ivuiuuu yorbxorb

)()( ,,

onde a velocidade orbital na teoria linear é definida como:

)senh(khT

Huorb

sen;cos ,, orbyorborbxorb uuuu onde k é o número de onda, T é o período, h é a

profundidade, H é a altura da onda, é o ângulo de incidência da ondulação. Para ondulação irregular, Soulsby (1997) propõe utilizar os parâmetros espectrais de período de pico, Tp, e altura de onda quadrática média, Hrms para substituir T e H. Além disso, neste modelo se pressupõe que o ângulo de incidência da ondulação, , corresponde com a direção do fluxo médio de energia, m. 2.2.5.2 Formulação de Soulsby – van Rijn Soulsby (1997) sugere uma expressão analítica experimental que se aproxima bastante da formulação para onda-corrente de Van Rijn (1993). A fórmula avalia tanto o transporte de fundo como por suspensão sobre o fundo horizontal.

4.2

2

1

22 018.0

crrms

Dst UU

CUUAq

onde:


-- 2.9 --

),( yxt qqq

sssbs AAA

2.150

2.1

50

1

005.0

Dgs

hDh

Asb

2.150

6.0*50

1

012.0

gDs

DDAss

U velocidade média na vertical ),( vu

rmsU velocidade orbital quadrática-média, rmsyorborbrms vuU ),( ,

2

1ln

40.0

o

D

zh

C = coeficiente de atrito devido à corrente

crU velocidade crítica de início do movimento, (assumindo a rugosidade efetiva

Ks = 3D90, D90 = 2D50)

mmDD

hDU

mmDD

hDU

cr

cr

25.04

log)(5.8

5.01.04

log)(19.0

5090

106.0

50

5090

101.0

50

h = profundidade

D50 = diâmetro médio do sedimento

D90 = diâmetro que excedido em 10% no peso

z0 = rugosidade do fundo ( 0.006 m)

s = densidade relativa

g = aceleração da gravidade


-- 2.10 --

= viscosidade cinemática da água ( = 2 · 10-6 m2/s)

50

31

2*

)1(D

sgD

2.2.5.3 Influência da inclinação do fundo O modelo Eros considera o efeito da inclinação do fundo no início do transporte (ver Van Rijn, 1993). Assim, o efeito que a tensão crítica apresenta em uma inclinação longitudinal, é:

sen

)sen( K

cr

cr fluxo na direção da inclinação )1( K

sen

)sen( K

cr

cr fluxo contra inclinação )1( K

onde: = inclinação longitudinal do fundo = ângulo de atrito interno cr = esforço crítico do início do movimento no fundo plano

))(( 50gDscrcr

cr = parâmetro crítico do início do movimento de Shields cr = esforço crítico de início do movimento em inclinação longitudinal

O efeito que a tensão crítica tem sobre uma inclinação transversal é o seguinte:

cos1

21

2

2

tan

tanK

cr

cr

onde:


-- 2.11 --

= inclinação transversal ao fluxo

cr = esforço crítico de início do movimento no fundo com inclinação transversal.

O efeito combinado pode ser aproximado da seguinte maneira:

KKcr

cr ·

Ou seja, a tensão crítica do início do movimento depende de dois fatores, K e K, onde cada um avalia o efeito que tem a inclinação do fundo sobre um fluxo longitudinal e transversal, respectivamente. 2.2.5.4. Diâmetro equivalente para o transporte As formulações de transporte apresentadas avaliam as taxas de transporte para um determinado tamanho de grão. No entanto, as praias apresentam distribuições granulométricas muito distintas da homogênea, portanto, representar o transporte através de um único parâmetro, D50 pode levar a resultados errados. Van Rijn (1993) obteve o diâmetro equivalente para o transporte em suspensão de forma que este diâmetro transportado, irá corresponder a distribuição granulométrica:

25

250)25)(1(011.01

50

50

TD

TDTD seq

onde:

16

50

50

84

2

1

D

D

D

Ds


-- 2.12 --

crb

crbcbT,

,',

2

', '

C

Ugcb

9010 3

12log18'

D

hC

U velocidade média na profundidade

KKocrbcrb ··,,,

500,, )(· Dg scrcrb

)02.0exp(1055.02.11

3.0*

*

DDcr

50

31

2*

)1(D

sgD

2.2.6 Modelo de conservação e estabilidade do sedimento 2.2.6.1 Equação de conservação do sedimento Uma vez calculado o vetor transporte de sedimentos, ),( yxt qqq

, é resolvida

a equação de conservação do sedimento:

y

q

x

q

nt

h yx

1

1

onde: h = calado (m)


-- 2.13 --

n = porosidade (-) 2.2.6.2 Critérios de estabilidade Aplicou-se um critério físico, baseado na estabilidade de encostas: se a inclinação em algum ponto da batimetria exceder o ângulo de atrito interno do sedimento, é produzido um desmoranamento de material até que se alcance o equilíbrio. 2.2.7 Modelo de perturbação de onda Oluca-Q Os Modelos de Evolução Morfológica MEM recalculam continuamente o campo de ondas retardando a simulação. Sempre que se calcula o transporte e as variações da batimetria, as características da onda (magnitude e direção) variam. Com o objetivo de simplificar a tarefa de cálculo, o Grupo de Engenharia Oceanográfica e Costeira (G.I.O.C.) desenvolveu um modelo, Oluca-Q, o qual, a partir do campo de onda inicial obtém os novos campos de ondas (Méndez e Medina, 2001). É importante destacar que o modelo proposto assume a onda monocromática. Isto é, as variáveis utilizadas são H, T, e k. Se a onda foi calculada com o Oluca-SP, assume-se que as variáveis utilizam o modelo Oluca-Q são Hrms, Tp, m e kp(número de onda associado ao período de pico). No desenvolvimento apresentado abaixo são omitidos os sub-índices, não fazendo distinção entre ondas monocromáticas e espectrais. O requisito indispensável para a aplicabilidade do modelo é que as variações máximas na batimetria entre duas etapas do modelo morfodinâmico devem ser pequenas até 10 cm. Com esta condição, podem-se admitir as variações da batimetria, como uma perturbação:

h h + h onde:


-- 2.14 --

h = profundidade em um ponto do domínio (m) h = perturbação do fundo induzida pelo transporte (m). Se o calado variou de forma infinitesimal, o campo de onda também foi perturbado da mesma maneira:

H H + H

+ donde: H = altura de onda (m) H = variação da altura de onda induzida pelas variações do fundo (m) = ângulo da onda = variação do ângulo induzida pelas variações do fundo A hipótese fundamental do modelo é que as variações do campo de onda, induzidas pelas variações do fundo, se devem somente aos fenômenos de refração e empolamento; ou seja, não considera a difração. Sob esta hipótese, se deve utilizar as seguintes equações para obter H e : irrotacionalidade do número de onda:

0)cos()sen(

y

k

x

k

conservação do fluxo de energia:

0)sen()cos(

gg EC

yEC

x

onde: k = número de onda que cumpre a relação de dispersão gktanhkh2

= frequência angular da onda Cg = celeridade de grupo


-- 2.15 --

ncCg ·

c = celeridade da onda kc

khsinh

khn

2

21

2

1

E = energia da onda 2

8

1gHE

As equações em perturbação são:

0)sencos(cossen kky

kkx

)sencoscos( ggg ECCECEx

HECCECEy ggg

0)cossensen(

onde:

hkhkhsinh

kk

22

2 2

kk

c 2

khtanh

kh

khsinh

hkkhn

2

21

2

knk

nk

Cg 2

gHHE 8

12

Resolve-se o sistema de equações em perturbação, ao se obter a H e .


-- 2.16 --

Finalmente, após as variações do fundo o novo campo de ondulação fica assim:

'

' HHH

2.2.8 Modelo de perturbação das correntes geradas pela quebra Copla-Q De forma paralela como ocorre com a ondulação, as variações do fundo juntamente com as mudanças na altura de onda e direção, modificam as correntes geradas pela quebra da onda e o nível médio, tensor de radiação é alterado. Para um trem de onda monocromática o resultado é:

2

1cos2 nnESxx

2sen1cos2

1cos 22 EnnEnnESxx

2

1sen2 nnESyy

2sen)1(sen2

1sen 22 EnnEnnESyy

cossenESxy

2coscossen EESxy

Assim, o modelo Copla-Q resolve as correntes geradas pela quebra (ver o Manual de Referência do Copla-MC) a partir do novo tensor de radiação:


-- 2.17 --

xxxxxx SSS '

yyyyyy SSS '

xyxyxy SSS '

obtendo o novo campo de correntes:

UUU '

VVV '

'

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA


-- 3.1 --

3. FORMULAÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA 3.1 Introdução Neste capítulo será descrito a resolução numérica dos problemas, cujas equações foram apresentadas no capítulo anterior. Na segunda seção é descrita a discretização do domínio. Na terceira seção as equações de conservação do sedimento são discretizadas, estabelecidas as condições iniciais, bem como as de contorno e a estabilidade numérica do modelo é analisada. Na quarta seção é mostrado o esquema numérico adotado no modelo Oluca-Q. 3.2 Discretização do domínio Para a aplicação do modelo em um caso geral, as equações apresentadas no capítulo anterior são resolvidas através de um método de diferenças finitas sobre uma malha retangular. A resolução numérica das equações necessita transformar o domínio contínuo em domínio discreto, formado por uma rede mais ou menos densa de pontos ou nós que definem cada uma das variáveis envolvidas no problema. Dado que o modelo Eros-MC/SP utiliza os resultados da propagação do modelo Oluca-MC/SP e os resultados das correntes geradas por quebra de onda do modelo Copla- MC/SP, as malhas com a batimetria são as mesmas. Na Figura 3.1 é apresentado um esquema da malha de referência com a orientação do sistema dos eixos de referência e dimensionamento.

x

y

DX

DY?

(i=1,j=1)?

(i=1,j=NY)


-- 3.2 --

Figura 3.1

3.3 Equação de conservação do sedimento A equação de continuidade do sedimento é resolvida utilizando um esquema explícito centrado no espaço e adiantado no tempo, (FCTS=Forward – Time Central – Space). Para corrigir a difusão numérica gerada por este esquema, são afetadas as taxas de transporte qx e qy de um fator que depende da inclinação do local e que corrige a difusão:

x

hqq xx 1

* 1


-- 3.3 --

y

hqq yy 1

* 1

onde: **, yx qq é o vetor de transporte que será introduzido na equação de conservação do

sedimento e 1 é um coeficiente que pode ser aproximado como:

h

yx

2

,21

sendo: 2 = coeficiente (1 – 5) = potência da fórmula (3-4) h = profundidade x, y = tamanho da célula. Finalmente, resulta em:

y

qq

x

qq

nt

hh jiyjiyjixjix

m

tij

tij

*1,,

*,,

*,1,

*,,

1

1

1

3.3.1 Passo de tempo morfológico 3.3.1.1 Critério de Courant Ao utilizar um esquema explícito na resolução numérica da equação de conservação do sedimento, o número de Courant deve ser menor que um (1). Para um número de Courant dado, a máxima passagem de tempo é:

bC

xt


-- 3.4 --

onde: = número de Courant (-) Cb = celeridade de propagação das variações do leito. Assumindo que Cb pode ser expresso em função da potência da fórmula de transporte () e do fluxo de transporte (qt) Cb resulta em:

hn

qC t

b )1(

Finalmente, o passo ideal de tempo é:

tq

hxt

·1

O valor mínimo de t1 ao longo de todo o domínio do cálculo determina o passo de tempo morfodinâmico pelo critério de Courant. 3.3.1.2 Máxima perturbação admissível do fundo Como já visto no capítulo 2, o modelo Oluca-Q calcula as variações do campo de ondas inicial, a partir dessa, juntamente com as variações da batimetria. Para poder aplicar este modelo é necessário que as variações do fundo sejam suficientemente pequenas para admitir a teoria das perturbações. Nos testes realizados foi comprovado que para uma variação máxima do fundo na ordem de hmax = 10 cm (5 cm – 30 cm), os resultados do campo de ondas perturbado são satisfatórios. Se a variação máxima do fundo permitida é hmax, o passo de tempo morfodinâmico t2 pode ser calculada como:

y

q

x

q

n

ht

y

q

x

q

nt

h

sx

maxsxmax

1

11

12

2


-- 3.5 --

Ou seja, o valor máximo em todo o domínio da divergência do campo vetorial de transporte define a passagem do tempo t2. Uma vez definidos os dois critérios de estabilidade, o passo de tempo morfodinâmico é definida como:

),( 21 ttmintm

3.3.2 Condições iniciais e de contorno A condição inicial é a batimetria inicial no domínio do cálculo. As condições de contorno são fixadas pelo modelo Copla-MC/SP. Se o contorno é fechado, então:

qn= 0

onde n é a direção perpendicular ao contorno. Se o contorno é aberto, deve-se cumprir:

0n

q

3.3.3 Filtros espaciais Com o objetivo de reduzir os ruídos numéricos inerentes a todo esquema numérico, é realizado um filtro nas variáveis calculadas. O filtro foi escolhido, de forma que seja produzida uma redução máxima dos erros numéricos sem perder as informações do processo calculado. Para toda variável X, obtém-se:

)5.05.0()21( 21,

2,, jijiji XXX


-- 3.6 --

)5.05.0()5.05.0( 2,1

21, jiji XX

)5.05.0()25.0()25.0( 2

,12

1,12

1,1 jijiji XXX

)25.0()25.0( 2

1,12

1,1 jiji XX

com = 0.5 resulta:

jijijijijiji XXXXXX ,1,11,1,,, 8

1

4

1

1,11,11,11,116

1 jijijiji XXXX

3.4 Modelo Oluca-Q Dalrymple (1988) resolve a propagação de um trem linear de ondas sobre um fundo irregular considerando os efeitos de refração e empolamento. O esquema numérico adotado pelo autor é o mesmo utilizado para resolver as equações em perturbação:

0

y

B

x

A

0

y

D

x

C

cossen kkA sencos kkB

sencoscos ggg CCEECC

cossensen ggg ECCEECD

Com a equação que tem as variáveis A e B se resolve e com a equação em C e D se resolve H. O esquema numérico adotado baseia-se no salto do cavalo, como pode ser observado na Figura 3.2.


-- 3.7 --

Figura 3.2

jijiijijkjiij BBBBAA 111

onde se isola ij :

kijijijij

jijiijijijkjiijijij kk

BBBkAk

sencos

cossen 111

sendo y

xk

2

1 e 1 si 0ij , ou 1 se 0ij .

Por outro lado,

jijiijijFjiij DDDDCC 11

x

y

i,ji,j-1

i-1,ji-1,j-1i-1,j i-1,j+ 1

i,j+ 1i,j

ij> 0 ij< 0


-- 3.8 --

onde se isola ijH :

ijgijFijgijij

jijiijFjiij CCH

DDDFCEH

sencos211111

onde:

y

xF

2

1

)sencos(2

1 ijijgijijijij CCHE

)cossen(2

1 ijijgijijijij CCHF

CAPÍTULO 4

VALIDAÇÃO DO MODELO EROS

4. VALIDAÇÃO DO MODELO EROS


-- 4.1 --

O modelo Eros foi validado a partir do caso teórico apresentado em Nicholson et al (1997): Praia de inclinação uniforme: 1/50. Comprimento do quebra mar = 300 m. Distância do quebra mar até a linha de costa = 220 m. Tamanho do sedimento =0.25 mm. Período de pico = 8.0 s. Altura média quadrática de onda incidente = 2.0 m. Validação do Modo ESI Na Figura 4.1 é mostrado o campo vetorial de transporte inicial do modelo de Danish Hydraulic Institute e sobre o mesmo (em vermelho) os resultados obtidos com o Eros, através da formulação de Soulsby - van Rijn. Como pode ser observado, tanto na direção como na magnitude, os resultados são muito similares.

Figura 4.1


-- 4.2 --

Validação do Modo MEM A complexidade de uma modelagem a respeito da evolução morfológica de uma praia faz com que, no momento, a validação deva ser realizada a partir de um ponto de vista qualitativo. Em Nicholson et al. (1997) são apresentados os resultados dos modelos de vários dos principais grupos europeus de pesquisa, nos quais se pode apreciar a forte divergência existente entre eles. Assim, é apresentado o resultado da evolução morfológica após 72 horas de ação ininterrupta das condições hidrodinâmicas externas. Na Figura 4.2 é mostrado o resultado dos 5 modelos apresentados em Nicholson et al. (1997). Como se podem ver, todos tendem a acumular material na área sombreada, tentando formar um tombolo. Na Figura 4.3 são mostrados os resultados do Eros-MC, baseados na formulação de Soulsby – Van Rijn (24 h) e Bailard (72 h).

Figura 4.2

(a Danish Hydraulic Institute(Dinamarca)(b Delft (Holanda(c) Wallingfor (Reino (d) Serviço Técnico Central de Portos marítimos (França)(e) Universidade de Liverpool (Reino Unido)


-- 4.3 --

Figura 4.3

O modelo reproduz qualitativamente os resultados dos modelos apresentados na Figura 4.2. No caso da formulação de Soulsby – Van Rijn a execução foi parada em 24 h já que para todos os casos que haviam sido testados, tal formulação “transporta” na ordem de 5 vezes mais rápido que Bailard.

100

200

300

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

100

200

300

Formulação de Soulsby - van Rijn. 24 horas de simulação

100

200

300

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

100

200

300

Formulação de Bailard. 72 horas de simulação


-- 4.4 --

Na Figura 4.4 são mostrados os resultados obtidos com o Eros-SP para o mesmo caso. A formulação de transporte utilizada é a de Soulsby-Van Rijn e a duração do evento são de 72 horas. Como pode ser observado, a inclusão da ondulação irregular melhora os resultados significativamente. Cabe destacar que os modelos dos grupos europeus a,b,c, e e realizaram a simulação com ondulação irregular (variação suave do fundo).

Figura 4.4

100200

300500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

CAPÍTULO 5

BIBLIOGRAFIA


-- 5.1 --

5. BIBLIOGRAFIA Azuz, I.A., (1997). “Modelo morfodinámico de evolución del fondo en zona costera”. Tese de doutorado. Universidade Politécnica da Cataluña. 476 pp. Battjes, J. y Janssen, J.P.E.M., (1978). “Energy loss and set-up due to breaking of random waves”. ICCE 1978, pp. 569-587. Blankers, G., (1999). “Equilibrum bays”. Documento técnico del proyecto SASME del programd MAST-III, TU Delft. Bos, K.J., Roelvink, J.A. y Dingemans, H.W., (1996). “Modelling the impact of detached breakwaters on the coast”. ICCE 1996, pp. 2022 – 2035. De Vriend, H.J., Zyserman, J., Nicholson, J., Roelvink, J.A., Pechon, P. y Southgate, H.N, (1993). “Medium – term 2DH coastal area modeling”. Coastal Engineering (21), pp. 193-224. Johnson, H., Broker, I. y Zyserman, J.A., (1994). “Identification of some relevant processes in coastal morphological modeling”. ICCE 1994, pp. 2871-2883. Méndez, F.J. y Medina, R. (2001). “A perturbation method for wave and wave-induced current computations in beach morphology models”. Proc. Coastal Dynamics 2001. Lünd (Suecia). En prensa. Nicholson, J, Broker, I,. Roelvink, J.A., Price, D., Tanguy, J.M, y Moreno, L., (1997). “Intercomparison of coastal morphodynamic models”. Coastal Engineering (31), pp. 97-123. Péchon, P. y Teisson, C. (1996). “Numerical modelling of bed evolution behind a detached breakwater”. ICCE 1996, pp. 2050-2062. Péchon, P., Rivero, F., Johnson, H., Chesher, T., O’Connor, B., Tanguy, J.M., Karambas, T., Mory, M. Y Hamm, L., (1997). “Intercomparison of wave-driven current models”. Coastal Engineering (31), pp. 199-215. Rattanapitikon, W. y Shibayama, T., (1998). “Energy dissipation model for regular and irregular waves”. Coastal Engineering Journal, Vol. 40 Nº4, pp. 327-346.


-- 5.2 --

Soulsby, R. (1997). “Dynamics of marine sands”. Thomas Telford Publications, Londres. Thornton, E.B. y Guza, R.T., (1983). “Transformation of wave height distribution”. J. Geophys. Res. 88, pp. 5925-5983. Van Rijn, L.C. (1993). “Principles of sediment transport in rivers, estuaries and coastal seas”. Acqua Publications, Amsterdam.

manual de referÊncia eros 3 -...

Documents