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8/13/2019 Mal_ditas

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Cydara C. Ripoll IM/UFRGS

Mal ditas frases encontradas em livros didticos deMatemtica para a Escola Bsica 1

Cydara Cavedon Ripoll 2Instituto de Matemtica UFRGS

[email protected]. r

Resumo:

Esta palestra motivada pela necessidade de se fazer um alerta aos atuaisestudantes de matemtica e, principalmente, aos professores de Escola Bsicasobre a realidade que estamos hoje enfrentando no pas, no que diz respeito a

! frases encontradas em livros didticos ou utilizadas pelosprofessores em sala de aula que, seja por sua m redao, seja pelos errosmatemticos que envolve, seja pelo inadequado encaminhamento matemtico quedo ao assunto, so precursoras de vcios (relacionados a conte dos de

matemtica! evidenciados em alunos calouros de cursos de ci"ncias e#atas (entreeles, principalmente e mais $ravemente, de matemtica!%! conte dos errados divul$ados amplamente e descontroladamentena &nternet, inclusive em stios do 'E )

1 *alestra proferida (com sucessivas atualiza+es! ememana -cad"mica da ./*el(0112!

emana -cad"mica da ./34 5 outubro de (0116! 7 Bienal da B', ./*B 8 outubro de 0191 &7 emana da :icenciatura em 'atemtica 8 outubro de 0199

2 *rofessora da ./34 , atuante nas disciplinas de formao matemtica do curso de:icenciatura em 'atemtica e do 'estrado em Ensino de 'atemtica)
mailto:[email protected]:[email protected]

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Introduo:

;uero aqui nesta palestra alertar os ouvintes (principalmente alunos de:icenciatura em 'atemtica e professores de matemtica da Escola Bsica! parao uso crtico de duas coisas que hoje em dia facilmente temos < mo= os livrosdidticos de matemtica e os materiais disponibilizados na &nternet nos maisvariados stios) >urante esta palestra, ficar clara a justificativa do ttulo damesma= ?mal ditas@ 5 separadoA, que, ao lon$o da palestra, se transformar em?malditas@ 5 juntoA

Motivao:

- motivao para esta palestra que, quando terminei meu curso de :icenciatura,eu tinha plena consci"ncia sobre o meu total despreparo para a anlise de umlivro didtico, aspecto que muito me preocupava) om um p s8$raduaototalmente voltado para a matemtica pura, esta preocupao ficou ?de molho@,voltando < tona com a minha atuao no 'estrado em Ensino criado na ./34em 011C, quando ento, nas disciplinas que l passei a lecionar, sempre tenteiincluir esta atividade% e acho que conse$ui melhorar neste aspecto e hoje tenho oprop sito de aqui discuti8lo, pois vejo que muitos cursos de :icenciatura, apesarda $rande melhora que apresentam (em relao ao meu curso de :icenciatura! aoenvolverem em seus currculos disciplinas de :aborat rio de 'atemtica, aindamuito dei#am a desejar quanto a esta atividade to importante no dia8a8dia de um

professor= anualmente professores das escolas p blicas t"m que decidir o livrodidtico que ser adotado em suas e escolas no ano se$uinte, para que o 'Epossa providenciar o envio dos e#emplares em tempo hbil)

Qual a realidade atual dos livros didticos brasileiros?

/alarei aqui apenas sobre livros que passaram pela anlise do 'E , atravs do*D:> (*lano Dacional do :ivro >idtico!= e#iste, da parte do 'E , um esforo emselecionar os livros didticos mais adequados, constituindo re$ularmentecomiss+es que analisam os livros que lhe so encaminhados, via Edital, ereceberam ento um ?carimbo@ do 'E ) -pesar deste esforo e dos esforos dosmembros destas comiss+es, muitas frases mal ditas ainda podem ser encontradasnestes livros, como ficar claro com esta palestra)

, na minha opinio, de suma importFncia e#por al$umas destas frases aqui, umavez que, conforme o 4uia de :ivros >idticos 5 *D:> 0112 (p)G!=

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?H livro IdidticoJ precisa assumir a funo de texto de referncia tanto para o aluno, quanto para o docente@) &nfelizmente, a realida8de que, para a $rande maioria dos professores de Escola Bsica,o livro didtico assume, de fato, a funo de nico referencial ,

tanto no que diz respeito < matemtica que o professor vai usar emsuas aulas quanto ao conhecimento de matemtica que o profes8sor traz consi$o sobre os assuntos tratados na Escola Bsica)*ortanto, so inadmissveis contradi+es, confus+es e erros con8ceituais em tais te#tos, especialmente por terem sido aprovadospelo 'E , o que, em teoria, deveria $arantir a qualidade e corre8o dos mesmos)

*ara corroborar o que afirmo acima, cito uma passa$em nos * D (9662!=

Do tendo oportunidade e condi+es para aprimorar suaformao e no dispondo de outros recursos para desenvolver as

prticas da sala de aula, os professores ap iam8se quase e#clusi8vamente nos livros didticos que, muitas vezes, so de qualidadeinsatisfat ria@) (B3- &:, 9662 p)09800!)

Este quadro, por si s j crtico, serve de motivao para uma tomada de atitudeemer$encial na tentativa de reverter o quadro mostrado no E#ame *isa, queconfere ao Brasil a pen ltima colocao no ranKin$ em desempenho dematemtica de um aluno de 9C anos)

rinc!pio universal do rofessor de Matemtica

-ntes de proceder < lista$em de al$umas frases mal ditas, comento uma que to8dos os presentes certamente concordaro tratar8se de um princpio universal=

Lodo professor de 'atemtica deve dominar o conte do quepretende ensinar a seus alunos)@

Do entanto, e#istem entendimentos diferentes sobre o mesmo= o que oschamados ?matemticos da academia@ entendem por tal frase pode diferir muitodo entendimento de muitos educadores) *ara os chamados ?matemticos daacademia@, no e#iste uma ?matemtica da academia@= para eles a matemtica uma s , uma ci"ncia que faz uso sim de e#emplos motivadores, de intuio, demais e#emplos de teste, mas que nunca pra por a, simplesmente porque'atemtica no uma ci"ncia emprica, como a /sica, por e#emplo) -'atemtica uma ci"ncia que faz uso do m"todo dedutivo , e portanto, na$rande maioria dos casos, nada podemos concluir a partir de apenas al$unse#emplos ou testes) Eis a o primeiro $rande vcio com que nos che$am os alunos

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na .niversidade= pensar8se que para comprovar a veracidade de uma afirmaoque envolve um n mero infinito de casos, basta comprov8la em al$uns e#emplos)3esumindo o vcio=

e vale para um e vale para dois ento vale sempreA

omo ?testar al$uns casos@ ou mesmo ?testar muitos casos@ nunca dei#ar de ser?testar um n mero finito de casos@, obviamente estaremos, no caso de umaafirmao que diz respeito a um n mero infinito de casos, dei#ando de testartodos os casos, e portanto estaremos sempre correndo o risco de no termosescolhido para teste precisamente talvez o nico contrae#emplo para talafirmao, cuja e#ist"ncia j suficiente para torn8la uma afirmao falsa)

Estaramos, neste caso, tirando uma concluso errada sobre uma tal afirmao)

'inha e#peri"ncia com os calouros de 'atemtica=

8 ao serem per$untados

? oma de pares parM@,

ouo se$uidamente como tentativa de resposta completa= ? Sim, pois por exemplo, 2 par, 4 par e 2+4=6, que tambm par. @ Esta apenas uma aborda$emincompleta para uma afirmativa verdadeira, faltando raciocinar e ar$umentar$enericamente= para dois n meros (inteiros! pares quaisquer, que sabemospodem ser representados por 0 k e 0s (com k e s inteiros!, temos

2k+2s=2(k+s),

e como k+s um inteiro, conclumos que 2(k+s) um interio par)

8 j para a questo

@7 ou /M Nustifique) eaOn 2 ento aOn@

se continuarem respondendo apenas ? Sim, pois por exemplo 2|16 e 2|4, 5|1 e5|1 @ sem se preocuparem em raciocinar $enericamente estaro incorrendo emerro , pois esta afirmativa falsa, como bem nos mostra o contrae#emplo

9PO9P, mas no verdade que 9POQ AAAAA

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Este ?pecado matemtico@ se torna um vcio que frequentemente constatado noscalouros, e revela8se para muitos deles bem difcl de ser corri$ido) &nfelizmente,em muitos cursos de matemtica, os alunos no so alertados para isso, e j tive

a oportunidade de constatar tal vcio tambm entre professores j formados)R muitos anos atrs, ao constatar tais vcios dando aulas a calouros, eu culpavaos professores da Escola Bsica que no estariam, a meu ver, bem preparados,permitindo que os vcios se instalassem na cabea de seus alunos) 'inha opiniomudou com minha atuao no 'estrado em Ensino de 'atemtica da ./34 ,quando comecei a tomar maior contato com livros didticos da Escola Bsica, eento percebi que muitos destes vcios esto su$eridos e re$istrados em vriosdeles e 5 o que piorA 5 em livros que so apro!a"os pelo #$%&&&&&*ortantoi$ualmente ou mais $rave encontrarmos tais mal ditas frases re$istradas emlivros didticos, em uma quantidade tal que, se estivssemos falando de uma

ci"ncia emprica, como a /sica, tais afirma+es ficariam le$itimadas pelo princpio'ox populi !ox "ei.

Roje costumo ter a se$uinte prtica com os calouros= lo$o nas primeiras aulas de/undamentos, depois de comentar sobre a prtica do ?7ale para um, vale paradois ento vale sempreA@ e mencionar a eles a e#ist"ncia de outras mal ditasfrases em livros didticos, proponho8lhes um desafio= encontrar mal ditas frasesnos livros de matemtica para a Escola Bsica, e propositalmente su$iro8lhescomearem por aqueles que eles t"m em casa (propositalmente porque os livrosque eles t"m em casa provavelmente so os livros nos quais eles estudaram naEscolaA! &nicialmente eles ficam visivelmente espantados e incomodados, mas

muito motivados para esta tarefa= ficam curiosos em saber se sero capazes deretornar a estes livros e a$ora apontar pelo menos al$umas de suas ?mal ditasfrases@) E na primeira vez que propus esta atividade quem ficou espantada com oretorno fui eu, tamanha foi a quantidade de situa+es em que a prtica do ?7alepara um, vale para dois ento vale sempreA@ utilizadaAAA

#ma classificao para as mal ditas frases

E#istem nos livros didticos frases ?mal ditas@,

ou por envolverem erros de matemticaou por serem amb$uasou por mera conseqS"ncia da falta de viv"ncia ou familiaridade do autor

com o mtodo matemtico)ou por mal encaminhamento do conte doou por misturarem vrios dos itens apontados acima)

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-presento aqui al$uns e#emplos coletados em livros de Ensino /undamental(incluindo sries iniciais, e sem abordar quest+es sobre o uso de calculadora!, amaioria deles dizendo respeito a n meros reais ) empre que possvel, aponto um

vcio constatado que pode ter a a sua ori$em) - partir de a$ora, frases entreaspas referem8se sempre a cita+es literais retiradas de al$um livro didticoaprovado no *D:>) &nfelizmente, o fato de me concentrar aqui em Ensino/undamental no si$nifica que a situao dos livros de Ensino 'dio sejadiferente)

Mal ditas frases decorrentes da falta de prtica com o m"todo

matemtico por parte de muitos autores de livros didticos - recorrente prtica j apontada acima= o mtodo dedutivo, base do

pensamento matemtico, no permite le$itimar a validade de uma afirmaoapenas verificando al$uns casos) preciso verificar a veracidade para to"os os

poss !eis asos, mesmo que infinitos) /az parte deste ?pecado@ a utilizao do?olhTmetro@ como instrumento irreprovadamente confivel, bem como omto"o"a tentati!a e erro como incio e fim da comprovao de um resultado matemtico)

-utores que no se preocupam em provar que no e#iste racionalcujo quadrado 0, t"m a tend"ncia de afirmar=

U 2 n*o tem representa *o "e imal peri "i a, e por isso um n-mero irra ional U) ($rifo meu!

'as))) como se prova que 2 no tem representao decimal peri dicaM - faltade preocupao com a comprovao de validade da afirmao ocasionou aredao de uma frase errada= no

2 n*o tem representa *o "e imal peri "i a 2 um n-mero irra ional

mas sim 2 um n-mero irra ional

2 n*o tem representa *o "e imal peri "i a

om relao ao mesmo assunto, encontramos em outro livro=

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U%om o aux lio "e on/e imentos matem0ti ossuperiores aosque estudamos at agora , po"e se mostrar que o pro esso"e mel/oria "as aproxima es "e 2 n*o termina nun a.U

:o$o a se$uir, no entanto, este autor e#plora a fatorao em primos para decidirse um n mero inteiro ou no um quadrado perfeito))) &sto evidencia a falta depreocupao do autor em analisar a prova da irracionalidade de 2 , que podefazer uso e#clusivamente da fatorao em primos, mais precisamente, daconta$em do n mero de fatores primos envolvidos nas fatora+es dos n merosenvolvidos em uma certa i$ualdade)

H n mero muitas vezes introduzido de uma forma altamenteimprecisa, pois no se informa claramente que 5 a$ora simA 8 matemticosprovaram que constante o quociente entre o permetro do crculo e o

comprimento do seu diFmetro, e tal ar$umentao envolve conhecimentos noadequados a este nvel de ensino) *recisamente falando, a prtica comum tomar8se vrios quocientes que so apro#imadamente i$uais (mas sapro#imadamenteA! e depois afirmar8se (acompanhe na /i$ura 9 abai#o!

UEsse n-mero /ama"o "e $

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%i&ura 1Live a notcia de que este livro no foi mais selecionado no *D:> de 0191)Do entanto, outro, que o foi (veja /i$ura 0!, alm de no informar que constanteo quociente do comprimento de uma circunfer"ncia pelo seu diFmetro, aindainforma=

? o quo iente aproximado entre "uas me"i"asrela iona"as e uma ir un3er n ia@ ($rifo meu!

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%i&ura '

Hutro autor comea se preocupando em procurar um n mero x talque x =2) >a, faz estimativas, tais como

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(1,4) =1, 6 e (1,5) =2,25,

che$ando < escrita x=1,414... e a se$uir informa=

U 7"iante !eremos que x a rai8 qua"ra"a "e "ois (...) U,

como se o problema ori$inal no fosse precisamente este, por definio de raizquadrada)))

-lm disso, parece que este autor est su$erindo que a lista 9,Q9Q)))sozinha (isto , sem levarmos em conta sua proced"ncia! determina com precisoum s n mero, uma s quantidade))) -lis, este aspecto diz respeito ao v!cio dese ima$inar que a escrita V,0C))) diz respeito a um s n mero real, quando, naverdade, a escrita 9= V,0C))) deve ser interpretada como

9 um n mero real maior ou i$ual a :,25 e menor ou i$ual a :,26,sendo que nada sabemos dizer sobre os demais al$arismos da sua parte decimal,podendo inclusive ocorrer de serem todos i$uais a zeroAAA e assim no fosse (isto, se W fosse um n mero bem determinado!, saberamos dizer quem o pr #imod$ito de sua e#panso decimalA)))

Hutro v!cio relacionado com este=

9 X V,0V2CGP6))) 9 irracional

E#emplo contundente= e#perimentem calcular os dez primeiros d$itos dae#panso decimal de

""#

*rovavelmente voc"s vo se contentar com os 2 d$itos que nos mostra o visor deuma calculadora=

""# X1,1C220VC)))

&sto no entanto est lon$e da concluso de que todo n mero da forma1,1C220VC))) irracionalA

Lambm relacionado com uma falta de discusso matemtica=o que si$nifica 3atorar ompletamenteM

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Duma quinta srie si$nifica decompor um n mero em seus fatores primos, masem um livro de oitava srie pede8se para ?fatorar completamente@ a e#presso

1 x ;x 12,e l apresentada como resposta nica (5x+4)(2x :). 'eus comentrios=

! para um aluno cujo universo numrico j no mnimo o conjuntodos n meros racionais, como que no se aceitaYno se estimula fatora+esenvolvendo racionaisM *or e#emplo,

"$%&!#%!"2= 2 '%&!#2

%!(

! levando em conta que na oitava srie ensina8se tambm af rmula BasKhara, muito mais relevante seria a fatorao

"$%&!#%!"2= "$ %! )'

%! *2

que e#plicita as razes da equao

"$%&!#%!"2 = $

Ento, repito a per$unta= o que si$nifica 3atorar ompletamenteM - e#presso3atorar ompletamente diz respeito ao estudo de uma estrutura al$brica chamada"om nios 3atoriais, que no objeto de estudo da Escola Bsica e deve ser alievitada quando fora do universo de n meros inteiros)

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Mal ditas frases de conte(do errado

&ncoer"ncia dos autores com si pr prios= em um livro aprovado no*D:> 0191, encontramos, no incio do captulo sobre n meros reais=

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e che$a < incoer"ncia de pedir, nos e#erccios, que o aluno calcule a frao$eratriz de 4, ... apresentando como resposta no :ivro do *rofessor

'" AA

.ma tal resposta nos leva a concluir que, aplicando o mtodo das divis+essucessivas aos inteiros C e 9, vamos che$ar < e#panso decimal 4, ... &&&&

3elacionada < propriedade de "ensi"a"e do conjunto dos n merosracionais, encontramos a frase

U%omo entre "ois ra ionais sempre /0 um outro n-merora ional, no possivel es re!er to"os os elementos "o

on@unto D "os n-meros ra ionais.A($rifo meu!

'ostra8se a uma confuso entre os conceitos de "ensi"a"e e de enumerabili"a"e A ; sim denso e tambm sim enumervel)

usual, entre as pessoas que pensam pela primeira vez na propriedade deenumerabilidade, ape$ar8se, ao tentar listarYenumerar os elementos de umconjunto numrico, < ordem natural que e#iste neste conjunto) E a neste est$io(inicial! que se encontra o autor do livro acima mencionado, achando que impossvel enumerar os elementos positivos do conjunto ;) impossvelenumer8los em ordem crescente, mas no impossvel enumer8los, noAAAA

obre a e#presso 3ra *o equi!alente, encontramos o se$uintee#erccio=

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H que pode s parecer um erro de nomenclatura causador, na minha opinio, dov!cio de se acreditar que racional, pois esta $eneralizao e#cessiva danomenclatura d mar$em ao se$uinte raciocnio= a partir "os 3atosF

1. o conjunto dos n meros racionais o conjunto das fra+es2. frao qualquer quociente3. o quociente entre o comprimento da circunfer"ncia e o diFmetro docrculo

po"emos "e"u8ir que racional AAA

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Mal ditas frases amb!&uas)imprecisas

.m vcio re$istrado em livro didtico do *D:> 0191 diz respeito a, se testamos sua efici"ncia com os ne$ativos=

8 ao teclarmos mdc(VQC,8VQC! ele nos devolve como resultadoVQC, oKA8 mas ao teclarmos mdc(8VQC,8VQC! ele nos devolve como re8 sultado ZE3H AAAAA

Encerramento:

/spero 0ue1 com tudo isto1 ten a ficado claro o recado 0ue eu 0ueria passar com este meurelato3 4 este o sentido 0ue os c amados -matemticos da academia 0uerem passar aodi5er 0ue1 antes de mais nada1 um professor de Matemtica tem 0ue dominar a matemtica

0ue 0uer ensinar. 6ior ainda se 0uiser dei%ar registrada em um livro uma proposta sua deensino. 6or e%emplo1 se a0uele autor 0ue se confundiu com -enumera ilidade e-densidade tivesse feito uma disciplina de 7nlise Real em sua gradua89o1 4 em provvel0ue ele :amais escrevesse a0uela frase. ;9o estou com isto 0uerendo di5er 0ue soudefensora da inclus9o no currac ar4is1 mas n9o sou favorvel ? e%clus9o do curr

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