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Função Exponencial naBase e

Sumário

17.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

17.2 A Função Exponencial de Base e . . . . . . . . . . . 2

Unidade 17 Introdução

17.1 Introdução

Na unidade anterior, iniciamos os estudos sobre o número e e as funções

logaritmo e exponencial com esta base, de�nindo o número e como a base do

logaritmo natural, e provando que

limn→+∞

(1 +

1

n

)n

= e e limn→+∞

(1 +

x

n

)n= ex, ∀x ∈ R.

Nesta unidade, damos continuidade a estes estudos. Começamos obser-

vando um exemplo em que o número e (ou as exponenciais de base e) aparece

em um problema de juros. Considere uma aplicação �nanceira que rende juros

α em certo período de tempo (por exemplo, um ano). Suponha que esta apli-

cação seja de tal forma que, cada vez que o investidor faz uma retirada antes

do �nal do período, ele recebe uma fração da quantia que receberia ao �nal

do período, proporcional ao tempo de aplicação (como se a aplicação rendesse

juros simples dentro do período). Neste caso, quanto mais o investidor resgata

e reaplica imediatamente a quantia retirada, maior será o total acumulado ao

�nal do período (pois juros simples rendem mais que juros compostos para pe-

ríodos da aplicação menores que 1, como mostra o Exercício 1). Entretanto,

o valor acumulado não aumenta inde�nidamente � a razão entre este valor e o

investimento inicial se aproxima e é limitado superiormente por eα. Podemos

dizer que eα corresponde à taxa de juros compostos continuamente acumulados,

em uma situação limite (se fosse possível resgatar e reaplicar a cada instante).

Na segunda parte da unidade, mostramos que a derivada de uma função

exponencial é proporcional à própria função. Esta propriedade é responsável

pela grande importância da função exponencial para a modelagem de fenômenos

em que a taxa de crescimento de uma grandeza é proporcional ao seu próprio

valor. Há muitos exemplos de fenômenos com esta propriedade, na Física e em

outras ciências.

17.2 A Função Exponencial de Base e

O número e, base dos logaritmos naturais, foi de�nido na unidade anterior

como o único número real positivo tal que a área da faixa de hipérbole He1

é igual a 1. Em seguida, mostramos que esse número é também o limite de

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Unidade 17Função Exponencial na Base e

(1 + 1n)n quando n tende ao in�nito. Nesta unidade, daremos exemplo de uma

situação da vida real que leva à consideração do limite acima.

Por sua vez, a função exponencial x 7→ ex, de base e, pode ser de�nida por

meio do limite ex = limn→∞(1 +xn)n ou então, geometricamente, pelo fato de

que y = ex é o único número real positivo tal que a área da faixa de hipérbole

Hy1 é igual a x. Mostraremos que as funções de tipo exponencial, f(x) = beαx,

com base e, surgem em questões naturais e calcularemos a taxa de variação

instantânea dessas funções.

Exemplo 1Um investidor aplica um capital c0 a uma taxa de k por cento ao ano. Se

escrevermos, por simplicidade, α = k/100, por cada real aplicado, o investidor

receberá, no �nal de um ano, 1 + α reais, de modo que o total a ser resgatado

será c0(1 + α) reais. O acréscimo c0 · α (juro) é uma espécie de aluguel do

dinheiro.

Sendo assim, raciocina o investidor: se eu resgatar meu capital depois de um

semestre, terei direito a metade do juro (aluguel) anual, logo receberei c0(1+ α2)

reais. Então reinvestirei esta soma por mais um semestre e, no �nal do ano,

em vez de c0(1+α), vou receber c0(1+ α2)2, que é uma quantia maior. (Nosso

investidor sabe que (1+ α2)2 > 1+α, pela desigualdade de Bernoulli.) Pensando

melhor, diz o investidor, posso resgatar e reinvestir meu capital mensalmente

recebendo, no �nal de um ano, o total de (1 + α12)12.

Como o número α = k/100 lhe é conhecido, o investidor, com auxílio da

calculadora, veri�ca imediatamente que (1+ α2)2 < (1+ α

12)12. Animado com o

resultado, nosso ambicioso investidor imagina que, resgatando e reaplicando seu

dinheiro num número n cada vez maior de intervalos de tempo iguais, poderá

aumentar ilimitadamente seu capital.

Na verdade, fazendo o que imagina, no �nal do ano o investidor receberá o

total acumulado igual a

c0 · limn→∞

(1 +

α

n

)n= c0 · eα.

Nosso personagem estava certo ao pensar que, para todo n ∈ N e todo

α > 0, se tem (1 +

α

n

)n<

(1 +

α

n+ 1

)n+1

Mas, infelizmente, se enganou ao acreditar que a sequência de termo geral

(1 + αn)n é ilimitada. Com efeito, todos esses termos são menores do que eα.

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Unidade 17 A Função Exponencial de Base e

Seja como for, ao conceber esse processo imaginário de resgatar e reinvestir

a cada instante seu capital, nosso investidor foi conduzido à noção de juros

compostos, acumulados continuamente.

O mesmo raciocínio é válido se considerarmos, para um número real arbitrá-

rio t > 0, o capital c0 aplicado durante t anos, à mesma taxa α. Se tivéssemos

juros simples, no �nal desses t anos o capital resultante seria c0(1 + αt). Di-

vidindo o intervalo [0, t] em n partes iguais, resgatando e reinvestindo n vezes,

no �nal de t anos obteríamos c0(1 + αtn)n, fazendo n crescer inde�nidamente,

chegamos a

c(t) = c0eαt = c0 · lim

n→∞

(1 +

αt

n

)ncomo o resultado da aplicação do capital c0, durante t anos, a uma taxa de

α = k/100 ao ano, de juros compostos, acumulados continuamente.

Em particular, o capital de 1 real aplicado a uma taxa de 100% ao ano, com

juros acumulados continuamente, gera no �nal de um ano um total de e reais.

Evidentemente, a expressão f(t) = c · eαt pode também ser escrita sob

a forma f(t) = c · at, onde a = eα, portanto α = ln a. Ou, se houver

preferência por uma determinada base b, pode-se sempre escrever f(t) = c · bβt,com β = α

ln b. As vezes é conveniente tomar a base 2, de modo que se tem

f(t) = c · 2βt, onde β = α/ ln 2.

Matemáticos e cientistas que se utilizam da Matemática preferem geral-

mente escrever as funções do tipo exponencial sob a forma f(x) = b · eαx, coma base e, porque esta expressão exibe explicitamente não apenas o valor inicial

b = f(0) como também o coe�ciente α, que está intimamente ligado à taxa de

crescimento de f , conforme mostraremos agora.

A taxa de crescimento de uma função f no intervalo de extremidades x, x+h

é, por de�nição, o quociente

f(x+ h)− f(x)h

.

Este quociente pode também ser interpretado como a inclinação da secante

que liga os pontos (x, f(x)) e (x+ h, f(x+ h)) do grá�co de f .

No caso particular da função f(x) = beαx, temos

f(x+ h)− f(x)h

= beαxeαh − 1

h= f(x) · e

αh − 1

n.

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Unidade 17Função Exponencial na Base e

Figura 17.1: Acréscimo de uma função

Lembremos que chama-se derivada da função f no ponto x ao limite da taxa

[f(x+h)−f(x)]/h quando h tende para zero. Este número, cujo signi�cado é o

de taxa instantânea de crescimento de f no ponto x, é representado por f ′(x).

Ele é o número real cujos valores aproximados são obtidos pelos quocientes

[f(x + h) − f(x)]/h para valores muito pequenos de h. Geometricamente, a

derivada f ′(x) é a inclinação da reta tangente ao grá�co da função f no ponto

x.

Figura 17.2: Reta tangente ao grá�co de f em um ponto

O sinal e o valor da derivada f ′(x) indicam a tendência da variação de f

a partir do ponto x. Se f ′(x) > 0 então f(x + h) > f(x) para pequenos

valores positivos de h. Se f(x) < 0, tem-se, ao contrário, f(x + h) < f(x)

para h pequeno e positivo. Se f ′(x) é um número positivo grande, então f

cresce rapidamente a partir de x. E assim por diante. A derivada é a noção

fundamental do Cálculo In�nitesimal. Sua descoberta, há três séculos e meio,

teve uma grande repercussão e provocou um progresso extraordinário na Ciência

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Unidade 17 A Função Exponencial de Base e

e em toda a civilização a partir daquela época.

Mostraremos agora que a derivada da função f(x) = beαx é igual a α ·f(x).Noutras palavras, a taxa instantânea de crescimento de uma função do tipo

exponencial é, em cada ponto x, proporcional ao valor da função naquele ponto.

E o coe�ciente α é precisamente o fator de proporcionalidade.

Assim, por exemplo, no caso do investimento, em que c(t) = c0 · eαt, se, apartir de um dado instante t0, considerarmos um intervalo de tempo h muito

pequeno, teremos aproximadamente [c(t0 + h) − c(t0)]/h ∼= α · c(t0), logo

c(t0 + h)− c(t0) = c(t0) · αh.Usando a interpretação geométrica do logaritmo natural, é fácil calcular a

derivada da função f(x) = b · eαx.O ponto de partida consiste em mostrar que se tem

limh→0

eh − 1

h= 1.

Para vermos isto, lembramos que a faixa de hipérbole Heh

1 tem área igual

a h. Esta faixa está compreendida entre um retângulo de área (eh − 1)/eh e

outro de área eh − 1. Portanto

eh − 1

eh< h < eh − 1.

Figura 17.3:

Aqui estamos supondo h > 0. Dividindo as duas desigualdades por eh − 1,

obtemos1

eh<

h

eh − 1< 1, para todo h > 0.

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Unidade 17Função Exponencial na Base e

Quando h → 0, a potência eh tende a 1. Segue-se das desigualdades acima

que limh→0[h/(eh − 1)] = 1, logo

limh→0

eh − 1

h= 1.

O caso em que h→ 0 por valores negativos se trata de modo análogo.

Agora é imediato ver que

limh→0

ex+h − ex

h= ex lim

h→0

eh − 1

h= ex

e, mais geralmente,

limh→0

eα(x+h) − eαx

h= eαx lim

h→0

eαh − 1

h= α · eαx · lim

h→0

eαh − 1

αh.

Escrevendo k = αh, vemos que h→ 0⇔ k → 0. Portanto

limh→0

eα(x+h) − ex

h= α · eαx · lim

h→0

ek − 1

k= α · eαx.

Isto conclui a demonstração de que a derivada da função f(x) = eαx é

f ′(x) = α · f(x), logo é proporcional ao valor f(x) da função f , sendo α o

fator de proporcionalidade.

É óbvio que o mesmo vale para uma função do tipo f(x) = b · eαx.

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Unidade 17 A Função Exponencial de Base e

Exercícios Recomendados

1. Considere uma aplicação que rende juros α > 0 em uma unidade tempo

T = 1 (por exemplo, um mês, um ano, etc.). Isto é, se uma quantia c0é investida nesta aplicação pelo período T , então o valor resgatado será

c = c0(1 + α). Suponha que um investidor resgate a quantia c0 em um

tempo t < T .

(a) Qual será o valor resgatado se a aplicação rende juros simples para

t < T?

(b) Qual será o valor resgatado se a aplicação rende juros compostos

para t < T?

(c) Em qual das duas opções acima o investidor resgatará um valor

maior?

(d) A conclusão do item anterior também é válida para t > T?

2. A lei de desintegração do elemento Rádio no tempo t > 0 é dada por

M(t) = Ce−kt, onde M(t) é a quantidade de Rádio no tempo t, C e

k são constantes positivas. Se a metade da quantidade inicial M(0) se

desintegra em 1600 anos, qual é a quantidade desintegrada em 100 anos?

3. O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à funçãoX(t) =

Cekt, onde X(t) é o número de bactérias no tempo t >, C e k são

constantes positivas. Veri�cando-se que o número inicial de bactérias

X(0) duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no �m de 6

horas?

4. Nesta seção, provamos que a derivada de uma função exponencial é pro-

porcional ao valor da própria função. Você acha que a recíproca desta

a�rmação é verdadeira? Isto é, é verdade que se a derivada de uma função

é proporcional ao próprio valor da função, então esta é uma função ex-

ponencial? Que ferramentas matemáticas são necessárias para responder

esta pergunta?

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