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Função Logarítmica

Sumário

14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

14.2 A Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

14.3 Caracterização da Função Exponencial . . . . . . . 7

14.4 Funções Exponenciais e Progressões . . . . . . . . . 9

14.5 Textos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Unidade 15 Introdução

15.1 Introdução

Nesta unidade, começamos a estudar as funções logarítmicas, de�nidas

como inversas das funções exponenciais. No começo da Seção 2, são apre-

sentadas as relações algébricas que decorrem diretamente da de�nição como

inversa da função exponencial:

aloga x = x loga (ax) = x.

É apresentada também a ideia fundamental para o conceito de logaritmo:

loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o resultado x.

Os logaritmos talvez correspondam a um dos tópicos mais arti�cialmente

misti�cados no Ensino Médio, devido à ênfase excessiva em procedimentos re-

petitivos apresentados de forma mecanizada (tais como a resolução de equações

logarítmicas por meio de truques algébricos particulares) � em detrimento do

enfoque no próprio conceito.

Sendo assim, na abordagem de logaritmos no Ensino Médio, é fortemente

recomendada a ênfase na ideia fundamental de que o logaritmo é o expoente

em uma exponenciação. Esta ideia pode facilitar consideravelmente a com-

preensão das propriedades e características básicas das funções logarítmicas:

propriedades algébricas fundamentais, variação de sinal, limites no in�nito e em

0, comportamento grá�co (também estudadas na Seção 2 desta unidade).

É interessante ainda chamar a atenção para o fato de que a propriedade

algébrica fundamental dos logaritmos � transformar produtos em soma � está

no centro de sua origem histórica. Observe que, sem o auxílio de calculadoras e

computadores, com os quais estamos cada vez mais acostumados, efetuar uma

multiplicação é muito mais trabalhoso que efetuar uma adição, principalmente

no caso de números com muitos algarismos decimais. Por isso, uma ferramenta

matemática que permitisse reduzir o trabalho de fazer uma multiplicação ao de

uma adição era muito importante no passado.

Outra observação importante, feita na Seção 2, diz respeito ao crescimento

da função logarítmica. Ao contrário do caso da função exponencial, o cres-

cimento da função logarítmica é extremamente lento. Por exemplo, no caso

da função logarítmica decimal, cada vez que multiplicamos a variável indepen-

dente por 10, somamos apenas 1 unidade ao valor da variável dependente. De

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Unidade 15Função Logarítmica

forma mais geral, passos multiplicativos na variável independente de uma função

logarítmica correspondem a passos aditivos na variável dependente.

Na Seção 3, é apresentada uma caracterização com base nas propriedades

algébricas da função. Observe a importância da hipótese de monotonicidade e

da densidade dos racionais na demonstração deste fato.

15.2 Funções Logarítmicas

Vimos na Unidade 14 que, para todo número real positivo a 6= 1, a função

exponencial f : R → R+, f(x) = ax, é uma correspondência biunívoca entre

R e R+, crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1, com a propriedade

adicional f(x + y) = f(x) · f(y) para quaisquer x, y ∈ R. Segue-se que f

possui uma função inversa.

A inversa da função exponencial de base a é a função

loga : R+ → R,

que associa a cada número real positivo x o número real loga x, chamado o

logaritmo de x na base a. Por de�nição de função inversa, tem-se

aloga x = x e loga(ax) = x.

Assim, loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número

x. Ou seja,

y = loga x ⇔ ay = x.

Segue-se imediatamente da relação au · av = au+v que

loga(xy) = loga x+ loga y

para x e y positivos quaisquer. Com efeito, se u = loga x e v = loga y então

au = x e av = y, logo

xy = au · av = au+v,

ou seja,

loga(xy) = u+ v = loga x+ loga y.

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Unidade 15 Funções Logarítmicas

Esta propriedade de transformar produtos em somas foi a motivação original

para a introdução dos logaritmos, no início do século 17, e de sua popularidade,

até bem recentemente, como um e�ciente instrumento de cálculo.

O uso generalizado das calculadoras, cada vez mais desenvolvidas, fez com

que essa utilidade inicial dos logaritmos perdesse o sentido. Entretanto, a fun-

ção logaritmo continua extremamente importante na Matemática e em suas

aplicações.

Essa importância é permanente; jamais desaparecerá porque, sendo a inversa

da função exponencial (portanto equivalente a ela), a função logaritmo está

ligada a um grande número de fenômenos e situações naturais, onde se tem

uma grandeza cuja taxa de variação é proporcional à quantidade da mesma

existente no instante dado.

A função loga : R+ → R é crescente quando a > 1 e decrescente quando

0 < a < 1. Como a0 = 1, tem-se loga 1 = 0. É importante ressaltar que

somente números positivos possuem logaritmo real, pois a função x 7→ ax

somente assume valores positivos.

As funções logarítmicas mais utilizadas são aquelas de base a > 1, espe-

cialmente as de base 10 (logaritmos decimais), base 2 (logaritmos binários) e

base e (logaritmos naturais, às vezes chamados neperianos). Estes últimos são

os mais adequados cienti�camente, e voltaremos a eles logo mais.

Como loga x é uma função crescente de x quando a > 1, e como loga 1 = 0,

segue-se que, para a > 1, os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo

negativo e os maiores do que 1 têm logaritmo positivo. Ao contrário, se 0 <

a < 1 então loga x é positivo quando 0 < x < 1 e negativo quando x > 1. A

Figura 15.1 mostra os grá�cos das funções f(x) = log2 x e g(x) = log1/2 x.

Se tivéssemos traçado os grá�cos das funções y = loga x e y = logb x, com

a > 1 e 0 < b < 1 quaisquer, as �guras obtidas teriam mesmo aspecto. Mais

precisamente, existiriam constantes positivas c, d tais que loga x = c · log2 x e

logb x = d · log1/2 x para todo x > 0.

Com efeito se u = loga x e v = log2 x então au = x e 2v = x. Portanto, se

escrevermos c = loga 2 teremos ac = 2, logo

x = au = 2v = (ac)v = acv

portanto u = cv, isto é, loga x = c · log2 x para todo x > 0, onde a constante

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c é igual a loga 2. A igualdade

loga x = loga b · logb x

é válida em geral (mesmo raciocínio) e se chama a fórmula de mudança de base

para logaritmos. Quando a e b são ambos maiores ou ambos menores do que 1

então loga b > 0. Se um dos números a, b é maior e o outro é menor do que 1

então loga b < 0. A fórmula acima diz que duas funções logarítmicas quaisquer

diferem por um fator constante.

Figura 15.1: Grá�cos das funções logarítmicas

Como loga : R+ → R é uma correspondência biunívoca, portanto sobre-

jetiva, segue-se que y = loga x é uma função ilimitada, tanto superiormente

quanto inferiormente. Mais precisamente, tem-se, para a > 1

limx→+∞

loga x = +∞ e limx→0

loga x = −∞.

A primeira destas igualdades signi�ca que se pode dar a loga x um valor

tão grande quanto se queira, desde que x seja tomado su�cientemente grande.

A segunda quer dizer que, dado arbitrariamente A > 0, tem-se loga x < −Adesde que x seja um número positivo su�cientemente pequeno.

Ao contrário da função exponencial, que cresce rapidamente, loga x tende

a +∞ muito lentamente quando x → +∞. Com efeito, dado um número

M > 0, tem-se loga x > M ⇔ x > aM . Assim, por exemplo, se quisermos que

log10 x seja maior do que mil, será preciso tomar um número x cuja expressão

decimal tenha pelo menos mil e um algarismos.

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Unidade 15 Caracterização das Funções Logarítmicas

Esse crescimento lento do logaritmo, que contrasta com o crescimento rá-

pido da exponencial, é bem ilustrado pelos grá�cos das funções y = ax e

y = loga x, que, como sabemos, são simétricos em relação à diagonal de R2,

pois uma função é a inversa da outra.

Figura 15.2: Crescimento do logaritmo

15.3 Caracterização das Funções Logarítmi-

cas

Provaremos a seguir que, entre as funções monótonas injetivas de R+ e R,somente as funções logarítmicas têm a propriedade de transformar produtos em

somas. Antes observemos que se f : X → Y é sobrejetiva e g : Y → X é tal

que g(f(x)) = x para todo x ∈ X, então tem-se necessariamente f(g(y)) = y

para todo y ∈ Y e g = f−1, já que dado qualquer y ∈ Y existe x ∈ X tal que

f(x) = y e, consequentemente,

f(g(y)) = f(g(f(x)) = f(x) = y.

Assim, se g : R+ → R é tal que g(ax) = x para todo x ∈ R então g(y) = loga y

para todo y ∈ R+, já que f : x ∈ R 7→ ax ∈ R+ é sobrejetiva (estamos supondo

a > 0 diferente de 1).

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Teorema 1Caracterização das

Funções Logarítmicas

Seja f : R+ → R uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou

decrescente) tal que f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y ∈ R+. Então

existe a > 0 tal que f(x) = loga x para todo x ∈ R+.

DemonstraçãoPara �xar as ideias, admitamos f crescente. O outro caso é tratado igual-

mente. Temos f(1) = f(1 · 1) = f(1) + f(1), logo f(1) = 0. Provemos o

teorema inicialmente supondo que exista a ∈ R tal que f(a) = 1. Depois mos-

traremos que isto sempre acontece, logo não é uma hipótese adicional. Como

f é crescente e f(a) = 1 > 0 = f(1), tem-se a > 1. Para todo m ∈ N vale

f(am) = f(a · a · · · a)= f(a) + f(a) + · · ·+ f(a)

= 1 + 1 + · · ·+ 1 = m.

Assim,

0 = f(1) = f(am · a−m)= f(am) + f(a−m) = m+ f(a−m),

donde f(a−m) = −m. Se r = m/n com m ∈ Z e n ∈ N então rn = m,

portanto

m = f(am) = f(arn) = f((ar)n) = n · f(ar)

e daí f(ar) = mn= r.

Se x ∈ R é irracional então, para r e s racionais tem-se

r < x < s ⇒ ar < ax < as ⇒ f(ar) < f(ax) < f(as)⇒ r < f(ax) < s.

Assim todo número racional r, menor do que x, é também menor do que f(ax)

e todo número racional s maior do que x é também maior do que f(ax). Com

isto, f(ax) = x. Caso contrário, f(ax) < x ou x < f(ax). Se f(ax) < x,

pela densidade de Q em R, existiria s ∈ Q com f(ax) < r < x. Como todo

racional menor do que x é também menor do que f(ax), isto não pode ocorrer.

De modo análogo, não pode ocorrer x < f(ax).

Consideremos agora o caso geral, em que se tem uma função crescente

g : R+ → R tal que

g(xy) = g(x) + g(y),

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sem mais nenhuma hipótese. Então g(1) = 0 e, como 1 < 2, devemos ter

g(2) = b > 0. A nova função f : R+ → R, de�nida por f(x) = g(x)/b,

é crescente, transforma somas em produtos e cumpre f(2) = 1. Logo, pela

primeira parte da demonstração, tem-se f(x) = log2 x para todo x > 0. Isto

signi�ca que, para todo x > 0, vale

x = 2f(x) = 2g(x)/b = (21/b)g(x) = ag(x),

com a = 21/b. Tomando loga de ambos os membros da igualdade ag(x) = x

vem, �nalmente, g(x) = loga x.

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Exercícios Recomendados

1. Use as aproximações log10 2 ∼= 0, 301, log10 3 ∼= 0, 477 e log10 5∼= 0, 699

para obter valores aproximados para:

(a) log10 9

(b) log10 40

(c) log10 200

(d) log10 3000

(e) log10 0, 003

(f) log10 0, 81

2. Uma interpretação do logaritmo decimal é a sua relação com a ordem de

grandeza, isto é, com o número de algarismos na representação decimal.

As questões a seguir exploram esta relação.

(a) Considere o número x = 58.932, 1503. Qual é a parte inteira de

log10 x?

(b) Considere x > 1 um número real cuja parte inteira tem k algarismos.

Mostre que a parte inteira de log10 x é igual a k − 1.

(c) Generalizando o item anterior, considere o sistema de numeração

posicional de base b ≥ 2. Mostre que, se a representação de um

número real x > 1 nesse sistema tem k algarismos, então, a parte

inteira de logb x é igual a k − 1.

3. Considere x, y ∈ R tais que x = 10ky, com k ∈ Z. Qual é a relação

entre log10 x e log10 y?

4. (a) Mostre que uma função logarítmica transforma toda progressão ge-

ométrica em uma progressão aritmética.

(b) Interprete a propriedade acima com base no crescimento da função

logarítmica.

(c) A propriedade demonstrada no item (a) pode ser considerada uma

caracterização para as funções logarítmicas, isto é, é verdade que

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uma função é logarítmica se, e somente se, transforma toda pro-

gressão geométrica em uma progressão aritmética?

5. (UNIRIO/1994) Um explorador descobriu, na selva amazônica, uma es-

pécie nova de planta e, pesquisando-a durante anos, comprovou que o

seu crescimento médio variava de acordo com a fórmula A = 40 (1, 1)t,

onde a altura média A é medida em centímetros e o tempo t em anos.

Sabendo-se que log10 2∼= 0, 30 e log10 11

∼= 1, 04, determine:

(a) a altura média, em centímetros, de uma planta dessa espécie aos 3

anos de vida;

(b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1, 6m.

6. (UERJ/2008) Admita que, em um determinado lago, a cada 40cm de

profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com

a equação I = I0 0, 8k/40, onde I é a intensidade da luz em uma pro-

fundidade h, em centímetros, e I0 é a intensidade na superfície. Um

nadador veri�cou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em

um ponto P , é de 32% daquela observada na superfície. Determine um

valor aproximado para a profundidade do ponto P .

7. O acidente do reator nuclear de Chernobyl, URSS, em 1986, lançou na at-

mosfera grande quantidade do isótopo radioativo estrôncio-90, cuja meia-

vida é de vinte e oito anos. Supondo ser este isótopo a única contami-

nação radioativa e sabendo que o local poderá ser considerado seguro

quando a quantidade de estrôncio-90 se reduzir, por desintegração, a116

da quantidade inicialmente presente, em que ano o local poderá ser

habitado novamente?

8. Os grá�cos a seguir foram desenhados por um programa de computa-

dor, em eixos x′y′ com escalas logarítmicas decimais. Isto é, se xy é o

sistema de coordenadas cartesianas convencional, então x′ = log10 x e

y′ = log10 y. A janela grá�ca é 0, 1 ≤ x′ ≤ 10 e 0, 1 ≤ y′ ≤ 10.

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(a) O grá�co acima, à esquerda, representa a família de curvas y = k x,

em que k ∈ N varia de 1 a 10. Explique por que as curvas têm este

aspecto.

(b) O grá�co acima, à direita, representa a família de curvas y = xk,

em que k ∈ N varia de 1 a 10. Explique por que as curvas têm este

aspecto.

(c) Observe que os intervalos escolhidos para ambos os eixos nessa es-

cala começam em 0, 1. Como você justi�caria essa escolha? Faria

sentido começar os eixos em 0?

(d) Nesses eixos, cada unidade linear corresponde a uma multiplicação

por 10. Explique esta a�rmação.

9. Em algumas situações, para expressar certas grandezas, é mais conveni-

ente empregar as chamadas escalas logarítmicas do que as escalas lineares

convencionais. Este é o caso, por exemplo, da escala Richter de terre-

motos. Na escala Richter, a intensidade I de um terremoto, expressa em

graus, é de�nida da seguinte forma:

I =2

3log10

(E

E0

)Em que E representa a energia liberada pelo terremoto, medida em kWh,

e E0 = 10−3kWh.

(a) Qual é a energia liberada por um terremoto de 3 graus na escala

Richter? E por um terremoto de 9 graus?

(b) Qual é a relação entre a energia liberada por um terremoto de grau

k e a energia liberada por um terremoto de grau k + 1 na escala

Richter?

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(c) Por que você acha que o uso de uma escala logarítmica é conveni-

ente, no caso da medição de intensidade de terremotos?

(d) Pesquise outros exemplos de situações em que o uso de escalas

logarítmicas é mais conveniente.

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