13

1

Introduo s Funes

Exponenciais

Sumrio

12.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

12.2 Funes Polinomiais vs Polinmios . . . . . . . . . . 4

12.3 Determinando um Polinmio a Partir de Seus Valores 6

12.4 Grcos de Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . 8

12.5 Exerccios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . 12

Unidade 13

Introduo

13.1 Introduo

Nesta unidade, daremos incio ao estudo das funes exponenciais, introdu-

zindo-as por meio de uma propriedade relativa sua variao. Nas unidades

seguintes, veremos como essa propriedade caracteriza uma famlia de funes

que sero estudadas.

Como j foi discutido na Unidade 9, as funes ans podem ser caracteri-

zadas como aquelas para as quais a variao da varivel dependente depende

somente da variao da varivel independente. Assim, dada f : R R, temosque f am se, e somente se, existe a R tal que f(x + h) f(x) = a hpara qualquer variao h da varivel x. Dizemos que esta uma caracteriza-

o das funes ans, pois todas as funes ans, e nenhuma outra, tm essa

propriedade.

Nesta unidade, comeamos a discutir uma caracterizao para a funo

exponencial com base na ideia de variao como segue:

Para cada variao da varivel independente h xada, a variao correspon-

dente da varivel dependente f(x+h)f(x) proporcional ao valor da prpriavarivel dependente f(x), sendo a constante de proporcionalidade dependente

de h.

Equivalentemente, podemos dizer que a razo

f(x+ h)

f(x)depende apenas

de h, e no de x. Uma importante consequncia para o clculo innitesimal

que as funes exponenciais so aquelas para as quais a taxa de variao

instantnea (isto , a derivada) proporcional ao valor da prpria funo.

Essas propriedades podem ser percebidas intuitivamente em situaes em

que uma grandeza varia em funo do tempo de tal forma que o acrscimo

sofrido a partir de um determinado instante proporcional ao valor da prpria

grandeza naquele instante este o caso, por exemplo, dos juros compostos

e do decaimento radioativo, tratados nesta unidade. As demonstraes para

essas propriedades sero dadas nas prximas unidades.

Na Seo 3, discute-se a extenso da denio de exponenciao com ex-

poente natural, que se baseia na ideia de multiplicao de fatores repetidos,

para expoentes inteiros, em primeiro lugar, e depois expoentes racionais.

Evidentemente, a denio de exponenciao com base na ideia de multi-

plicao de fatores repetidos no pode ser generalizada nem para expoentes

2

Unidade 13

Introduo s Funes Exponenciais

inteiros negativos, nem para expoentes racionais. Em ambos os casos, as

denies generalizadas so as nicas possveis, de modo a preservar as pro-

priedades fundamentais da exponenciao.

No nal da Seo 3, demonstrado um Lema que ser importante para a

extenso da exponencial para expoentes reais, que ser discutida na prxima

unidade.

Veremos que as extenses da exponenciao de N para Z e de Z para Qso baseadas em propriedades algbricas. Entretanto, a extenso de Q para Renvolve necessariamente alguma ideia de continuidade ou convergncia, o que

torna este passo conceitualmente mais delicado.

13.2 Dois Exemplos Fundamentais

Vimos na Unidade 9 que se f : R R uma funo am, ento o acrscimof(x + h) f(x), sofrido por f , quando se passa de x para x + h, dependeapenas do acrscimo h dado a x mas no depende do prprio valor de x. Isto

bvio, uma vez que f(x) = ax + b implica f(x + h) f(x) = ah. Omais importante, tendo em vista as aplicaes, que quando f montona

crescente, ou decrescente, vale a recproca: se f(x + h) f(x) no dependede x, ento f am.

O Exemplo 1 da Unidade 9 dizia respeito a uma quantia x, investida durante

um prazo xo e determinado, gerando no nal desse perodo o valor f(x).

Constatou-se ali que f(x) uma funo linear de x.

Exemplo 1

Consideraremos agora uma situao, mais vantajosa para o investidor do

que a anterior, em que uma quantia c0 aplicada a juros xos, capitalizados

continuamente.

Se chamarmos de c(t) o capital gerado a partir daquela quantia inicial depois

de decorrido o tempo t, claro que c(t) uma funo crescente de t.

Notamos ainda que se t < t ento o acrscimo c(t+h) c(t), experimen-tado pelo capital aps o decurso de tempo h, a partir do momento t, maior

do que o rendimento c(t+ h) c(t) depois de decorrido o mesmo tempo h, apartir do momento anterior t, pois o capital acumulado c(t), sendo maior do

que c(t), deve produzir maior renda.

3

Unidade 13 Dois Exemplos Fundamentais

Assim, c(t) no uma funo am de t, j que c(t + h) c(t) dependeno apenas de h mas de t tambm. Esta concluso negativa indica que se deve

buscar outro instrumento matemtico, diferente da funo am, para modelar

a presente situao.

Analisando este problema mais detidamente, vemos que podemos considerar

a diferena c(t + h) c(t) como o lucro obtido quando se investiu a quantiac(t) durante o prazo h. Portanto, como vimos acima, c(t + h) c(t) deve serproporcional quantia aplicada c(t), ou seja, c(t + h) c(t) = c(t), ondeo fator de proporcionalidade = (h) depende evidentemente do prazo h. A

armao de que (h) = [c(t+ h) c(t)]/c(t) no depende de t a expressomatemtica do fato de que os juros so xos. Como [c(t + h) c(t)]/c(t) =[c(t+h)/c(t)]1, esta armao equivale a dizer que o quociente c(t+h)/c(t)no depende de t.

Portanto, quando os juros so xos, se c(t1 + h)/c(t1) = 2, por exemplo,

ento c(t2 + h)/c(t2) = 2 para qualquer t2 (e o mesmo h). Isto quer dizer que

o tempo h necessrio para que um capital seja dobrado o mesmo em todas

as ocasies e para qualquer valor desse capital, pequeno ou grande.

Vemos ento que o modelo matemtico conveniente para descrever a vari-

ao de um capital aplicado a juros xos, em funo do tempo, deve ser uma

funo crescente c(t) tal que o acrscimo relativo [c(t+h)c(t)]/c(t) dependaapenas de h mas no de t.

Conforme ser estabelecido futuramente, as nicas funes com estas pro-

priedades so as da forma c(t) = c0 at.

Uma situao anloga ocorre quando se estuda a desintegrao radioativa,

conforme veremos no prximo exemplo.

Exemplo 2

Os tomos de uma substncia radioativa (como o rdio e o urnio, por ex-

emplo) tendem a se desintegrar, emitindo partculas e transformando-se noutra

substncia. As partculas emitidas no alteram consideravelmente a massa to-

tal do corpo mas, com o passar do tempo, a quantidade da substncia original

diminui (aumentando, consequentemente, a massa da nova substncia trans-

formada). Isto ocorre de tal modo que, em cada instante, a quantidade de

matria que se est desintegrando naquele momento proporcional massa da

substncia original que ainda resta.

4

Unidade 13

Introduo s Funes Exponenciais

Assim sendo, se chamarmos (como fazem os cientistas) de meia-vida de

uma substncia radioativa o tempo necessrio para que se desintegre a metade

da massa de um corpo formado por aquela substncia, constatamos que a meia-

vida um nmero intrinsecamente associado a cada substncia radioativa: o

tempo necessrio para reduzir metade a radioatividade de uma tonelada de

urnio igual ao tempo que leva um grama da mesma substncia para ter sua

metade desintegrada.

A propsito: os vrios istopos do urnio tm meia-vida da ordem de 109

anos. Enquanto isso, a meia-vida do rdio 224 de 3 dias e 15 horas.

De um modo geral, se designarmos por m = m(t) a massa da substncia

radioativa presente no corpo no instante t, veremos que m uma funo de-

crescente de t e, alm disso, a perda relativa [m(t+ h)m(t)]/m(t), ocorridaaps o decurso do tempo h, depende apenas de h mas no do instante inicial

t, ou seja, da massa m(t) existente naquela ocasio.

Outra vez constatamos a necessidade de uma funo real de varivel real

m : R R, que seja montona (desta vez, decrescente) e tal que a variaorelativa [m(t+ h)m(t)]/m(t) dependa apenas de h. Ou, equivalentemente,que a razo m(t+ h)/m(t) no dependa de t, mas somente de h.

Mostraremos na prxima unidade que as nicas funes com essas pro-

priedades so as do tipo m(t) = b.at (com 0 < a < 1). Os exemplos que

acabamos de mencionar ilustram algumas das inmeras situaes em que ocor-

rem as funes do tipo exponencial, que estudaremos agora.

Comearemos nosso estudo com uma reviso das potncias com expoente

racional.

13.3 Potncias de Expoente Racional

Seja a um nmero real positivo. Para todo n N, a potncia an, de base ae expoente n, denida como o produto de n fatores iguais a a. Para n = 1,

como no h produto de um s fator, pe-se a1 = a, por denio.

A denio indutiva de an : a1 = a e an+1 = a an.Para quaisquerm,n N tem-se aman = am+n, pois em ambos os membrosdesta igualdade temos o produto de m + n fatores iguais a a. Segue-se ento

5

Unidade 13

Potncias de Expoente Racional

que, para m1,m2, . . . ,mk quaisquer em N, vale

am1 am2 amk = am1+m2++mk .

Em particular, se m1 = = mk = m, temos (am)k = amk.Se a > 1 ento, multiplicando ambos os membros desta desigualdade por

an, obtemos an+1 > an. Portanto,

a > 1 1 < a < a2 < < an < an+1 < .

Alm disso,

0 < a < 1 1 > a > a2 > > an > an+1 > ,

como se v multiplicando ambos os membros da desigualdade a < 1 pelo

nmero positivo an.

Portanto, a sequncia cujo n-simo termo an crescente quando a > 1 e

decrescente se 0 < a < 1. Para a = 1, esta sequncia constante, com todos

os seus termos iguais a 1.

Existem sequncias crescentes que so limitadas superiormente. Um exem-

plo disso a sequncia

1

2,2

3,3

4, . . . ,

n

n+ 1, . . . ,

onde se tem

n

n+ 1< 1, para todo n N.

Entretanto, se a > 1, a sequncia formada pelas potncias an, n N, ilimitada superiormente, isto , nenhum nmero real c, por maior que seja, pode

ser superior a todas as potncias an. Noutras palavras, dado arbitrariamente

c R, pode-se sempre achar n N tal que an > c.Para provar isto, escrevemos a = 1 + d, d > 0. Pela desigualdade de

Bernoulli

1

temos an > 1 + nd. Logo, se tomarmos n > (c 1)/d, teremos1 + nd > c e, com maior razo, an > c.

1

A desigualdade diz exatamente que se d > 0, ento (1+d)n > 1+nd para todo nmero

natutal n > 2. Deixamos como exerccio a demonstrao por induo dessa desigualdade.

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Unidade 13

Introduo s Funes Exponenciais

Exemplo 3

Seja a = 1, 000001 (um inteiro e um milionsimo). As potncias sucessivas

a, a2, a3, . . ., a princpio prximas de 1, podem tornar-se to grandes quanto

se deseje, desde que o expoente seja tomado sucientemente grande. Se us-

armos o argumento acima para obter uma potncia de a que seja superior a 1

bilho, devemos tomar um expoente da ordem de 1014. Na realidade, usando

uma calculadora, vemos que para ter (1, 000001)n > um bilho, basta tomar

n > 21 milhes. E que, ao demonstrarmos que as potncias sucessivas de um

nmero maior do que 1 crescem acima de qualquer nmero real pr-xado, nos

preocupamos mais em usar um raciocnio simples e claro do que obter o menor

expoente possvel.

Para exprimir que a sequncia crescente (an) ilimitada superiormente

(supondo a > 1!), escrevemos

limn

an =

e dizemos que an tende ao innito quando n cresce indenidamente.

De modo anlogo, se 0 < a < 1 ento as potncias sucessivas a, a2, a3, . . .

decrescem abaixo de qualquer cota positiva: xado arbitrariamente um nmero

c > 0, por menor que seja, pode-se sempre achar um expoente n N tal quean < c.

Com efeito, sendo 0 < a < 1, se escrevermos b = 1/a, teremos b > 1.

Logo, pelo que acabamos de ver, podemos achar n N tal que bn > 1/c, ouseja,

1an> 1

c, donde an < c.

Este resultado signica que, quando 0 < a < 1,

limn

an = 0

(A expresso limn an = 0 l-se o limite de an, quando n tende ao innito,

igual a zero).

Procuremos agora atribuir um signicado potncia an, quando n um

nmero inteiro (que pode ser negativo ou zero). Isto deve ser feito de modo

que seja mantida a regra fundamental am an = am+n.Em primeiro lugar, qual deve ser o valor de a0 ? Como a igualdade a0 a1 =

a0+1 deve ser vlida, teremos a0a = a. Logo a nica denio possvel a0 = 1.

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Unidade 13

Potncias de Expoente Racional

Em seguida, dado qualquer n N, devemos ter an an = an+n = a0 = 1,assim, an =

1

an.

Portanto, se quisermos estender o conceito de potncia do nmero real

a > 0, para admitir expoentes inteiros quaisquer e ainda preservar a igualdade

am an = am+n, a nica denio possvel consiste em pr a0 = 1 e an = 1/anpara todo n N.A funo f : Z R, dada por f(n) = an, n Z, alm de cumprir aigualdade fundamental

f(m+ n) = f(m) f(n),

ainda crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1.

Em particular, para a > 1 e n N, tem-se an < 1 < an e, para 0 < a < 1,tem-se an < 1 < an, pois n < 0 < n e a0 = 1.De am an = am+n segue-se que (am)n = amn ainda quando m, n Z.Prosseguindo, vejamos que sentido pode ser dado potncia ar quando

r = m/n um nmero racional (onde m Z e n N), de modo que continuevlida a regra ar as = ar+s, onde s tambm um nmero racional. Destaigualdade resulta, que se deve ter, para r = m/n:

(ar)n = ar ar ar = ar+r++r = arn = am.

Portanto ar o nmero real positivo cuja n-sima potncia igual a am. Por

denio de raiz, este nmero

nam, a raiz n-sima de am. Assim, a nica

maneira de denir a potncia ar, com r = m/n, m Z, n N, consiste empr

am/n = nam.

Depois de dar esta denio, h alguns detalhes que devem ser examinados.

Em primeiro lugar, como se tem m/n = mp/np para todo p N, precisomostrar que

nm = np

amp a m de que a denio no seja ambgua. Em

segundo lugar, deve-se mostrar que a denio dada assegura a validez da

regra ar as = ar+s para r, s Q. E nalmente, cumpre provar que a funof : Q R+, denida por f(r) = ar, crescente quando a > 1 e decrescentequando 0 < a < 1. Esses fatos so deixados como exerccios a cargo do leitor.

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Unidade 13

Introduo s Funes Exponenciais

Dado a > 0, a funo f : Q R+, denida por f(r) = ar, no sobre-jetiva. Noutras palavras, xado a > 0, nem todo nmero real positivo da

forma ar com r racional. Isto ca evidente se observarmos que, como Q umconjunto enumervel, o mesmo deve ocorrer com sua imagem f(Q), porm R+

no enumervel. De um modo mais elementar, este fato pode ser ilustrado

mediante um exemplo. Tomemos a = 10 e indaguemos se existe algum nmero

racional r = m/n tal que 10m/n = 11 ou seja, tal que 10m = 11n, onde m,

n N. claro que, para qualquer m N, 10m se escreve como 1 seguido dem zeros enquanto 11n no pode ter esta forma. Logo o nmero real positivo

11 no pertence imagem da funo r 7 10r, de Q em R+.As potncias ar, com expoente racional, embora no contenham todos os

nmeros reais positivos, esto espalhadas por toda parte em R+, desde que sejaa 6= 1. Noutras palavras, {ar; r Q} denso em R+. Este o contedodo lema abaixo. A demonstrao do mesmo, embora elementar, um tanto

tcnica e pode ser omitida numa primeira leitura.

Lema 1

Fixado o nmero real positivo a 6= 1, em todo intervalo no degenerado deR+ existe alguma potncia ar, com r Q.

+ Para Saber Mais - Demonstrao do Lema - Clique para ler

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Unidade 13

Potncias de Expoente Racional

Exerccios Recomendados

1. Como voc explicaria a um aluno no Ensino Fundamental que a0 = 1? E

que an =1

an?

2. Como voc explicaria a um aluno no Ensino Fundamental que a12 =a ?

E que amn = m

an = ( m

a)

n?

3. Mostre que para todo p N, tem-se que nm = npamp.

4. Mostre que a funo f : Q R denida por f(r) = ar crescente sea > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

5. Uma alga cresce de modo que, em cada dia, ela cobre uma superfcie

de rea igual ao dobro da coberta no dia anterior. Se esta alga cobre a

superfcie de um lago em 100 dias, qual o nmero de dias necessrios

para que duas algas, da mesma espcie da anterior, cubram a superfcie

do mesmo lago? E se forem quatro algas? Voc consegue responder a

esta pergunta para 3 algas?

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Unidade 13

Introduo s Funes Exponenciais

13.4 Textos Complementares

Para Saber MaisDemonstrao do Lema

Dados 0 < < , devemos achar r Q tal que a potncia ar pertena aointervalo [, ], isto , 6 ar 6 . Por simplicidade, suporemos a e maioresdo que 1. Os demais casos podem ser tratados de modo anlogo. Como as

potncias de expoente natural de nmeros maiores do que 1 crescem acima de

qualquer cota pr-xada, podemos obter nmeros naturais M e n tais que

< < aM e 1 < a