ma091_2014_12_polinomios

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Trilha sonora

Compositor: Frederic Chopin

Noturno no.1 em Si bemol menor, Op.9/1

Noturno no.2 em Mi bemol maior, Op.9/2

Piano: N. Freire

Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)MA091 Matematica basica Marco de 2014 1 / 23

MA091 Matematica basicaAula 12 Polinomios. Expressoes. Produtos notaveis. Fatoracao.

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Marco de 2014


Roteiro da aula

1 Polinomios e expressoes algebricas

2 Exerccios


Polinomios e expressoes algebricas

Polinomios

Polinomio

Um polinomio na variavel x e uma expressao na forma

anxn + an1xn1 + + a1x + a0,

em que

a0, a1, , an sao coeficientes reais, com an 6= 0.n e um numero inteiro nao negativo.

Cada termo aixi e um monomio.

O grau do polinomio e n, o maior expoente de seus monomios.

O monomio a0 e chamado termo constante.



Sera que e polinomio?

Expressoes

(a) 3x 2(b) y6 3y4 + 4y(c) 8 + 2b2 5b b3(d)x + 8

(e) y2/3 + y 1(f) 3

(g) 4x 1x(h) 2w3 3w + 12

Das expressoes ao lado, quais saopolinomios?

A) Todas

B) (a), (b), (c), (e), (f), (g), (h)

C) (a), (b), (c), (e), (f)

D) (a), (b), (c), (f), (g)

E) (a), (b), (c), (f), (h)



Soma e subtracao de expressoes algebricas

(6x2 2x + 3) + (x3 + 2x2 + 3x + 1)= x3 + (6x2 + 2x2) + (2x + 3x) + (3 + 1)= x3 + (6 + 2)x2 + (2 + 3)x + (3 + 1)= x3 4x2 + x + 4.

(2x4 3x3 + 5x2 + x 5) (3x3 + x2 + 2x 8)= 2x4 3x3 + 5x2 + x 5 + 3x3 x2 2x + 8= 2x4 + (3x3 + 3x3) + (5x2 x2) + (x 2x) + (5 + 8)= 2x4 + (3 + 3)x3 + (5 1)x2 + (1 2)x + (5 + 8)= 2x4 + 4x2 x + 3.



Produto de expressoes algebricas

Regra do chuveirinho

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd.

(x 3)

(4 2

x

)=x 4 +x

(2x

) 3 4 3

( 2x

)

= 4x 2

x

x 12 + 6

x



Produtos notaveis

Produtos notaveis

Sejam a e b numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas.

Produto Exemplo

1. Quadrado da soma(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (7 + 3)2 = 72 + 2 7 3 + 32 = 100

2. Quadrado da diferenca(a b)2 = a2 2ab + b2 (5 4)2 = 52 2 5 4 + 42 = 1

3. Produto da soma pela diferenca(a + b)(a b) = a2 b2 (5 + 3)(5 3) = 52 32 = 16



Exemplos

(2x + 5)2 = (2x)2 + 2 2x 5 + 52

= 4x2 + 20x + 25

(x 2)2 = x2 2 x 2 + 22= x2 4x + 4

(5 4

y

)2= 52 2 5 4

y+

(4

y

)2= 25 40

y+

16

y2



Exemplos

(4x 6y)(4x + 6y) = (4x)2 (6y)2

= 16x2 36y2

(x +

2)(x

2) = (x)2 (

2)2

= x 2 (supondo que x 0)



Fatoracao de expressoes

Fatoracao

Sejam a, b e c numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas.

Forma fatorada Exemplo

1. ab + ac = a(b + c) 10x + 20 = 10 x + 10 2 = 10(x + 2)2. ab ac = a(b c) 5 20x2 = 5 1 5 4x2 = 5(1 4x2)

7x2 21x3 = 7 x x 3 7 x x x= 7x2 1 7x2 3x= 7x2(1 3x)



Exemplos

2xy48xy2z6xy3z2 = 2xy2 y22xy2 4z2xy2 3yz2= 2xy2(y2 4z 3yz2)

(3x 5)2 (3x 5)2x = (3x 5) (3x 5 2x)= (3x 5)(x 5)

4x2 20x2x

=4x x 4x 5

2x

=4x(x 5)

2x

=2x

2x 2(x 5)

1= 2(x 5)



Reconhecendo produtos notaveis

Fatoracao usando produtos notaveis

Sejam a e b numeros reais, variaveis ou expressoes algebricas.

Forama fatorada Exemplo

1. Quadrado perfeito da soma

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

2. Quadrado perfeito da diferenca

a2 2ab + b2 = (a b)2 y2 8y + 16 = (y 4)23. Diferenca de quadrados

a2 b2 = (a + b)(a b) x2 4 = x2 22 = (x 2)(x + 2)



Diferenca de quadrados

4x2 9 = (2x)2 32= (2x 3)(2x + 3)

y2

16 25 =

(y4

)2 52=

(y4 5

)(y4

+ 5)

x2 3 = x2 (

3)2

= (x

3)(x +

3)



Trinomios quadrados perfeitos

9x2 30x + 25 = (3x)2 2 3x 5 + 52= (3x 5)2

8 + 8x2 + 2x4 = 2 4 + 2 4x2 + 2 x4= 2(4 + 4x2 + x4)

= 2(22 + 2 2 x2 + (x2)2)= 2(2 + x2)2


Exerccios

Exerccio 1

Produtos notaveis

Calcule o produto(3x + 8)2

A) 9x2 + 64

B) 9x2 + 48x + 64

C) 3x2 + 48x + 64

D) 3x2 + 16x + 64

E) 9x2 + 24x + 64


Exerccios

Exerccio 2

Produtos notaveis

Calcule o produto(2 x)2

A) 4 x2B) 4 x2C) 4 4x + x2D) 4 + 4x + x2E) 4 + 4x + x2


Exerccios

Exerccio 3

Produtos notaveis

Calcule o produto(

2x 1)2

A) 1 22x + 2x2B) 4x2 4x + 1C) 2

2x2 22x + 1

D) 2x 1E) 2x2 1


Exerccios

Exerccio 4

Produtos notaveis

Calcule o produto(x + 5)(

x 5)

A) x 10x + 25B) x2 25C) x 25D) 2

x + 25

E) 2x 25


Exerccios

Exerccio 5

Fatoracao

Fatore4y2 5

A) (4y 25)(4y + 25)B) (4y 5)(4y +5)C) (2y 5)2D) (2y 5)(2y +5)E) (2y 5)2


Exerccios

Exerccio 6

Fatoracao

Fatore36

y2 1

9

A) 3y21

B) 3y2

C) ( 6y 13)2

D) ( 2y 1)( 2y + 1)E) ( 6y 13)( 6y + 13)


Exerccios

Exerccio 7

Fatoracao

Fatore4x2 + 20x + 25

A) (2x + 5)2 + 20x

B) 2(x + 5)2

C) 4(x + 5)2

D) (5 + 2x)2

E) (4x + 5)2


Exerccios

Exerccio 8

Fatoracao

Fatore

x2 x + 14

A) (x 12)(x + 12)B) (x 12)2C) 12(x 1)2D) (x2 1)2E) 2(x2 1)2


Polinmios e expresses algbricasExerccios

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