Imagine a seguinte situao: voc deseja vender um produto qualquer e sabe que o seu custo de R$30,00. A, voc pesquisou e identificou que seus concorrentes vendem esse mesmo produto a R$55,00. Diante deste cenrio, voc definiu que o venderia a R$45,00 para se destacar frente a concorrncia e assim, ganhar mercado.

Analisando os valores definidos por voc, teramos uma importante pergunta: qual ser o valor do lucro que voc obteria? Temos aqui, um problema matemtico. Conhecemos alguns dados ou valores, como o caso do custo do produto e do valor final de venda. E queremos identificar o valor do lucro obtido na venda desse produto.

Pois bem, esse problema matemtico ilustra bem o tema da nossa aula. O valor do lucro que desejamos saber, em Matemtica, costuma-se dizer que ser a incgnita do problema.De forma mais especfica, trata-se de um valor que queremos descobrir e para isso, vamos dar um nome a esse valor que ainda no conhecemos, o que tambm pode ser chamado de varivel.

Voc est indo trabalhar e ouve pelo rdio a seguinte previso: neste exato instante os termmetros registram 28 graus e a para a tarde do dia de hoje, a previso que a temperatura aumente em 4 graus. Com a chegada do final de ano, voc decidiu pintar a sua casa e quer saber quantos litros de tinta sero necessrios para pintar 72m2 de parede. Para este clculo, voc se lembrou que o vendedor da loja de tintas, lhe informou que com 1 litro de tinta da marca A, voc conseguiria pintar 18m2.

Quando temos uma incgnita ou varivel para representar um valor que queremos descobrir, o mais comum denominarmos essa incgnita de x. O famos x da questo a ser descoberto, ou melhor, calculado.

Problema 1: Venda de um produto.

Custo do produto: R$30,00

Valor final para venda: R$45,00

Lucro obtido?

Como queremos calcular o valor do lucro, ento vamos representar-lo pela varivel x.

Sendo assim, sabemos que o custo de um produto mais o lucro obtido nos d o valor final para venda do produto.

Representando esse matematicamente a linha de raciocnio acima, temos:

Custo do produto + Lucro obtido = Valor final

Substituindo pelos valores conhecidos:

30 + Lucro obtido = 45

Lembra-se que iramos representar o lucro atravs da varivel x? Pois bem, agora chegamos a:

30 + x = 45

Disto provavelmente voc j deve se recordar. Mas acalme-se, que vamos resolv-lo facilmente, basta um pouco de ateno para no errar nenhum passo.

Problema 2: Temperatura ao final do dia.

Temperatura atual: 28 graus

Aumento da temperatura: 4 graus

Temperatura ao final da tarde?

Sabemos que a temperatura ao final ser a temperatura atual mais o aumento da temperatura. Levando isso para a representao matemtica temos:

Temperatura final = temperatura atual + aumento

Aplicando os valores que o problema nos forneceu:

Temperatura final = 28 + 4

Como queremos obter o valor da temperatura ao final da tarde, ento vamos represent-lo por x.

x = 28 + 4

Pronto, agora s calcular o valor de x e isso veremos daqui a pouco. Mas antes, vamos montar a representao do ltimo problema.

Problema 3: Quantidade de litros de tinta para pintar uma rea estipulada.

rea estipulada: 72

Rendimento da tinta: 18

Quantidade de litros?

Observe que o rendimento nos diz o quantos metros quadrados conseguimos pintar com 1 litro de tinta. Sendo assim, com 2 litros de tinta, vamos pintar 2 vezes a rea do rendimento, com 3 litros, 3 vezes a rea. Em outras palavras, a quantidade de litros multiplicada pelo rendimento da tinta ser igual a rea pintada, que transcrita ficaria:

quantidade de litros . rendimento da tinta = rea estipulada

quantidade de litros . 18 = 72

Note que estamos empregando o smbolo de . para representar a multiplicao. E como queremos saber justamente a quantidade de tinta:

x . 18 = 72

Podemos agora dizer que x vezes o rendimento ser igual a rea a ser pintada. Nos resta ento, resolver o clculo para identificarmos o valor de x que ao ser multiplicado por 18 ser igual aos 72 m2 de rea a ser pintada.

Em todos os 3 problemas apresentados, notamos a presena de um valor que pretendemos descobrir, no caso, denominado de x. E mais importante, em todos os casos notamos o smbolo de igualdade = .Agora sim chegamos ao ponto central da nossa aula de hoje: a igualdade, pois ela e o uso de letras para representar uma incgnita so as bases do que conhecemos por equaes.

Chamamos equao do 1 grau na incgnita x toda equao que pode ser escrita na forma:ax + b = 0, onde a, b representam nmeros reais e a diferente de 0.

Observe na figura as reas indicadas pelas setas. Essas reas so preenchidas por nmeros e assim temos as equaes do 1o grau, por exemplo:

2x 5 = 0, onde a = 2 e b = -5.

-3x + 12 = 0, onde a = -3 e b = 12.

x + 8 = 0, onde a = 1 e b = 8.

-x - 7 = 0, onde a = -1 e b = -7.

5x = 0, que equivale a 5x + 0 = 0, onde a = 5 e b = 0.

Desta forma, podemos identificar qualquer equao do 1o grau, pois ela sempre ter um nmero multiplicando o x (a) e outro valor sendo somado ou subtrado da incgnita (b).Agora que j sabemos identificar o que uma equao do 1o grau, vamos treinar a sua resoluo.

Para iniciarmos a resoluo de uma equao, antes precisamos destacar o objetivo desta tarefa, que identificar o valor de x. Nesse instante, iremos empregar todos os conhecimentos j vistos at ento:Regras de sinais, operaes aritmticas, fraes, etc. Aplicaremos tudo isso sempre que necessrio para encontrarmos o valor da nossa incgnita.

Vamos agora montar um passo a passo:

1-Identificar a incgnita, os nmeros que representam a e b.

2-Isolar a incgnita, por exemplo, o que mais comum, deix-la a esquerda da equao.

3-Aps ter isolado a incgnita, teremos o resultado final, ou seja, o valor que buscvamos.

Exemplo 1: x + 5 = 0

Incgnita: x, a = 0 e b = 5.

Isolar x

x + 5 = 0

Temos que passar o nmero 5 para o lado direito da igualdade.

x = 0 5

Para fazermos isso, o +5 ser substitudo por -5 ao passar para o lado direito da igualdade.

x = -5

Ao realizarmos a subtrao, temos igualdade final.

O resultado final 5. A nmero que buscvamos era 5.

Exemplo 2: x 7 = 3

Vamos isolar o x passando -7 para o lado direito.

x = 3 + 7

Observe que ao passarmos o nmero para a direita, invertemos a operao que do lado esquerda era uma subtrao e do lado direito se tornou uma soma. Na prtica: passamos o nmero para o outro lado e invertemos o sinal.

x = 10

Resultado final: o valor que procurvamos era o nmero 10.

Exemplo 2: x 7 = 3

Vamos isolar o x passando -7 para o lado direito.

x = 3 + 7

Observe que ao passarmos o nmero para a direita, invertemos a operao que do lado esquerda era uma subtrao e do lado direito se tornou uma soma. Na prtica: passamos o nmero para o outro lado e invertemos o sinal.

x = 10

Resultado final: o valor que procurvamos era o nmero 10.

Exemplo 3: 2x = 8

Observe que neste caso, do lado esquerdo, temos apenas o nmero 2 multiplicando x. Mas precisamos isolar x, ou seja, passar o nmero 2 para a direita da igualdade.

O truque nesta passagem que ao passarmos o 2 para o outro lado da igualdade, invertemos a operao. Do lado esquerdo, 2 estava multiplicando, ao passarmos para o lado direito, 2 ir dividir o contedo do lado direito.

x = 4

Valor final: 4.

Exemplo 4: 3x + 17 = 2

Vamos passar o valor 17 para o outro lado da igualdade.

3x = 2 17

Era +17, ao ir para a direita, se tornou -17.

3x = -15

Aps termos calculado a subtrao do lado direito, vamos passar o 3 para a direita. Note que ele est multiplicando x e ir dividir o lado direito.

Calculando a frao...

x = -5

Temos o resultado final -5.

Substituindo o valor encontrado para testar se est correto

Aps encontrarmos o valor de x, podemos substituir o valor encontrado na equao e ento iremos descobrir que trata-se de uma brincadeira de lgica em matemtica.

Exemplo:

2x 5 = 3Trata-se de uma equao e o nmero desconhecido (incgnita) x.

2x = 3 + 5

2x = 8

x = 4

Por termos chegado ao resultado final 4, podemos concluir que se substituirmos o x pelo seu respectivo valor encontrado: 4, ento teremos:

2 . ( x ) - 5 = 3

2 . ( 4 ) - 5 = 3

2 . 4 5 = 3

8 5 = 3

3 = 3

Note que temos uma verdade, 3 igual a 3. Isso significa que o resultado obtido para x, ou seja, 4, est correto para a equao testada.

No fundo, podemos interpretar a equao como uma pergunta: qual valor ao substituir x e realizar o clculo: 2x 5, ser igual a 3?Neste caso, o nico nmero que resultaria ao final em 3 = 3, seria x = 4. Confirmando que a resposta correta 4. Por isso, sempre que for solucionar uma equao do 1o grau, aps ter encontrado o valor de x, substitua a incgnita pelo valor que voc encontrou, faa as contas e se a igualdade final for verdadeira, ento a sua resposta est correta.

mais fcil comear a resolver esta equao passando primeiro o nmero que est sozinho para o outro lado do igual.

Faa a conta.

Agora, o nmero 3 que multiplica passa para o outro lado do igual dividindo.

Esta a soluo!

Passe o nmero que est sozinho para o outro lado do igual.

Faa a conta.

Agora, o nmero 3 que multiplica passa para o outro lado do igual dividindo.

Faa a diviso.

Esta a soluo!

Coloque todos os termos que envolvem x do mesmo lado do igual.

Subtrai-a os dois termos com x.

Passe o nmero que est sozinho para o outro lado do igual.

Faa a soma.

Agora, o nmero 3 que multiplica passa para o outro lado do igual dividindo.

Faa a diviso.

Esta a soluo!

Coloque todos os termos que envolvem x do mesmo lado do igual.

Subtrai-a os dois termos com x.

Passe o nmero que est sozinho para o outro lado do igual.

Faa a subtrao.

Como o termo com x negativo, multiplique toda a equao por (-1).

Agora, o nmero 4 que multiplica passa para o outro lado do igual dividindo.

Faa a diviso.

Esta a soluo!

Multiplique os termos dentro dos parnteses por -5

Coloque todos os termos que envolvem x do mesmo lado do igual

Some e subtraia os termos com x

Passe o nmero que est sozinho para o outro lado do igual

Faa a soma

Agora, o nmero 4 que multiplica passa para o outro lado do igual dividindo

Faa a diviso

Esta a soluo!