SISTEMA DE EDPS COM DOIS POTENCIAIS ACOPLADOS

Luiz Antonio Righi – DESP/CT - 07.10.2013

ORGANIZAÇÃO

Eletromagnetismo e as EDPs Tensor de relutividade ou permeabilidade Forma fraca do método de Elementos Finitos Proposta de EDP com dois potenciais Questões para discussão

ELETROMAGNETISMO E AS EDPS - 1

O eletromagnetismo se estabelece a partir das quatro equações diferenciais de Maxwell

H – campo magnético [A/m] B - indução magnética [T] E – campo elétrico [V/m] D – indução elétrica [C/m2]

vD

t

BE

B

t

DJH

0

Eletrostática Magnetostática

ELETROMAGNETISMO E AS EDPS - 2

Considerando as derivadas parciais no tempo muito pequenas, podemos separar as equações de Maxwell em dois grupos:

0

B

JH

vD

E

0

LEIS DO MAGNETISMO

Regra da mão direita

H

Lei de Gauss do magnetismo

Elas são totalmente independentes!

ELETROMAGNETISMO E AS EDPS - 3

A solução de cada problema é feito com um potencial escalar ou vetorial.

Na magnetostática (nossa área de interesse), utilizamos principalmente o potencial vetor magnético A e o tensor de relutividade.

0

B

JH

JA

AB

BH

TENSORES DO MAGNETISMO - 1

O tensor (termo mais geral) é a relação entre os dois campos vetoriais, que modelam o sistema físico real.

No magnetismo: tensores de relutividade ou permeabilidade

HB

BH

1

TENSORES DO MAGNETISMO - 2

A dimensão do tensor depende do tipo de problema: 1D, 2D ou 3D.

Qualquer relação entre dois vetores pode ser escrita como:

ROTAÇÃOXGANHOou

• Esta regra vale em 1D, 2D ou 3D.• Outras matrizes podem ser

“diagonalizadas” em uma matriz de rotação.

TENSOR=GANHO X ROTAÇÃO

TENSORES DO MAGNETISMO - 3

No caso 2D (mais didático), a matriz de rotação é

cossen

sen-cosROTAÇÃO

• E o tensor característico do material pode ser o tensor de relutividade

• Os termos da matriz são obtidos com o modelo de histerese.

-

TENSORES DO MAGNETISMO - 4

Modelo de histerese: Langevin + “Histerese”

Y

X

H(x,y)

B(x,y)

CALCULANDO O TENSOR ANALITICAMENTE

Considerando duas funções escalares f(x,y) e g(x,y), podemos calcular os termos do tensor, fazendo as derivadas parciais de f e g ...

LAPLACIANO ENTRE DUAS FUNÇÕES

Em que situações isto é ou não é válido?

TENSOR = RELAÇÃO ENTRE “STREAM” E “EQUIPOTENTIAL LINES”

O tensor relaciona duas funções quaisquer,

que têm derivadas parciais contínuas,

e uma relação entre seus laplacianos.

Isto permitiria montar um sistema de equações diferenciais parciais, tendo os dois potenciais como incógnitas.

FORMA FRACA DO MEF - 1

Vamos considerar o potencial vetor e a densidade de corrente J no caso 2D, orientado segundo o eixo z

JA

JA

• E ainda, desconsiderando os termos fora da diagonal principal da matriz de rotação, tem-se o laplaciano ou Eq. de Poisson:

Jy

A

x

A

2

2

2

2

FORMA FRACA DO MEF - 2

Adotando elementos finitos triangulares, o potencial em cada nó pode ser a equação de um plano

• E, como a indução B é o rotacional de A:

qx

AB

ry

AB

y

x

ryqxpA

FORMA FRACA DO MEF - 3

Podemos definir o funcional, correspondendo a um estado de mínimo. JABBF

2

1

• cuja derivada de em relação a A resulta no sistema matricial JAM

onde: [M] é a matriz de rigidez; [A] é o vetor dos potenciais (incógnitas); e [J] é o vetor das fontes.

PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 1 Barra imantada (B.D.Cullity):

a formulação clássica de A não se aplica neste caso!?

• O campo magnético obtido pelo MEF é:

BBH

PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 2 Casos onde H e B não são colineares: campo girante de máquinas elétricas cantos de núcleos de transformadores presença de saturação e histerese.

PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 3 Campos H e B colineares (dois

potenciais ortogonais):

PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 4 H e B não colineares (os dois

potenciais não são ortogonais):

PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 5 Forma fraca com f(x,y) e g(x,y)

PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 6

AB

H

1. Potencial escalar magnético2. Potencial vetor magnético.

PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 7 Sistema linear para [A] e [phi]:

onde:

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO

Existe forma forte? Como seria possível obter a forma

forte? Quais as aplicações do modelo? Existem outras equações semelhantes? Como obter uma solução

analiticamente, para uma configuração mais simples?

Seria aplicável a outros métodos numéricos, como das diferenças finitas?

OBRIGADO PELA ATENÇÃO.

Prof. Luiz Antonio Righi

www.ufsm.br/righi (55) 3220 8147