luísa amélia a matemática de alguns jogos fernandes de faria … · quem tem mais possibilidades...
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Universidade de Aveiro
2012
Departamento de Matemática
Luísa Amélia
Fernandes de Faria
Casanova Afonso
A Matemática de alguns Jogos
Universidade de Aveiro
2012
Departamento de Matemática
Luísa Amélia
Fernandes de Faria
Casanova Afonso
A Matemática de alguns Jogos
Dissertação apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos
requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre (Mestrado em
Matemática e Aplicações), realizado sob a orientação científica dos
Doutores Manuel António Gonçalves Martins e Rui Filipe Alves Silva
Duarte, Professores auxiliares do Departamento de Matemática da
Universidade de Aveiro
Ao meu marido e filhos Luís Carlos e Daniel
O júri
Presidente Doutor Paulo José Fernandes Almeida
Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro
Doutor Altino Manuel Folgado dos Santos
Professor Auxiliar da Universidade de Trás–os-Montes e Alto Douro
Doutor Manuel António Gonçalves Martins
Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro
Doutor Rui Filipe Alves Silva Duarte
Professor Auxiliar da Universidade de Aveiro
Agradecimentos
Quero exprimir o meu agradecimento aos professores, orientadores deste
trabalho, Doutor Manuel Martins e Doutor Rui Duarte, pela confiança,
incentivo, conselhos, sugestões, criticas, pela leitura crítica e atenta e
pela disponibilidade que sempre demonstraram, ao longo do
desenvolvimento deste trabalho.
Ao meu marido pela paciência, motivação e incansável apoio na
realização deste trabalho e nas traduções onde senti mais dificuldades.
Palavras-chave
Teoria dos jogos, jogos combinatórios e jogos lógicos.
Resumo
A definição de jogo continua ainda a ser muito vaga, dependendo de
quem o define. Neste trabalho são apresentados alguns conceitos de jogo
segundo a perspetiva de diferentes autores.
Os jogos combinatórios caracterizam-se por serem jogos onde não há
interferência do acaso, são imparciais e terminam sempre com a vitória
de um dos jogadores. Para alguns jogos é fácil encontrar a estratégia
vencedora, como no jogo do NIM; o jogo do SIM e do Hex são jogos
que nunca terminam empatados, o jogo da família dos Mancala, Ouri, é
um jogo que quando bem jogado termina no empate.
Os jogos lógicos são muito importantes para o desenvolvimento do
raciocínio lógico dedutivo. A utilização do cálculo proposicional e da
teoria dos grafos em algumas situações simplifica a resolução deste tipo
de jogos.
keywords
Game theory, combinatorial games and logic games.
abstract
The definition of game remains very vague, depending on who defines it.
In this paper are presented some concepts of the game according to the
perspective of different authors.
Combinatorial games are characterized by being games where there is no
interference of chance, are imparcial and always end with the victory of
one of the players. For some games it is easy to find a winning strategy,
as in the game of NIM; the game of SIM and Hex are games that never
end up tied, the game of Mancala, Ouri, is a game that when well-played
ends in a tie.
Logical games are very important to the development of logical
deductive reasoning. The use of propositional calculus and graph theory
in some situations simplifies this type of games.
i
ÍNDICE
Introdução ..........................................................................................................................1
1. Os Jogos e a Matemática ...........................................................................................3
1.1. O que é um jogo? .............................................................................................3
1.2. Tipos de jogos..................................................................................................6
1.3. Formas de representação de um jogo ................................................................7
1.4. Teoria de grafos ............................................................................................. 10
2. Jogos Combinatórios ............................................................................................... 17
2.1. Jogo do NIM .................................................................................................. 18
2.1.1. Introdução ...................................................................................................... 18
2.1.2. Regras do jogo NIM ....................................................................................... 19
2.1.3. Estratégia vencedora para o jogo NIM ............................................................ 20
2.2. Jogo do SIM .................................................................................................. 26
2.2.1. Introdução ...................................................................................................... 26
2.2.2. Regras do jogo ............................................................................................... 27
2.2.3. Exemplo de um jogo utilizando seis vértices: ................................................. 27
2.3. Jogo do Hex ................................................................................................... 32
2.3.1. Introdução ...................................................................................................... 32
2.3.2. Apresentação do jogo ..................................................................................... 34
2.3.3. Regras do jogo ............................................................................................... 34
2.3.4. Algumas estratégias do Hex ........................................................................... 35
2.3.5. Quem tem mais possibilidades de ganhar o jogo Hex? .................................... 38
2.4. Jogos Mancala ............................................................................................... 43
2.4.1. Um pouco de história ..................................................................................... 43
ii
2.4.2. Ouri ................................................................................................................ 45
2.4.2.1. Um pouco de história do Ouri .............................................................. 45
2.4.2.2. Apresentação do jogo........................................................................... 45
2.4.2.3. Regras do jogo ..................................................................................... 46
2.4.2.4. Algumas dicas para ganhar uma partida de Ouri .................................. 48
3. Jogos Lógicos ......................................................................................................... 50
3.1. Introdução ..................................................................................................... 50
3.2. Problema da Travessia de Ilha para Ilha ......................................................... 52
3.3. Problema dos Canibais e dos Missionários ..................................................... 55
3.4. O Jogo de Grafos de Ehrenfeucht-Fraïssé ....................................................... 60
3.4.1. Um pouco de história deste jogo ..................................................................... 60
3.4.2. Objetivo do jogo ............................................................................................. 61
3.4.3. Definição do jogo ........................................................................................... 61
3.4.4. Regras do jogo ............................................................................................... 62
3.4.5. Exemplos e situações de jogo ......................................................................... 63
Considerações finais ........................................................................................................ 73
Referências ...................................................................................................................... 75
1
INTRODUÇÃO
Nesta dissertação são apresentados alguns jogos combinatórios e jogos lógicos. Como não
existe ainda uma definição em concreto de jogo, existindo várias consoante o seu autor,
começamos por apresentar algumas definições de diferentes autores. Seguidamente são
definidos alguns tipos de jogo e formas de representação dos mesmos.
O objetivo desta dissertação é mostrar a importância da Matemática na procura de uma
estratégia para que um determinado jogador seja vencedor. Nos jogos estudados nesta
dissertação cada jogador tem apenas um objetivo: ganhar o jogo. Para alguns jogos, a
procura de uma estratégia que leve à vitória fica mais facilitada com a aplicação da teoria
dos grafos. A teoria dos grafos pode ser aplicada nos jogos combinatórios e nos jogos
lógicos. Também são considerados jogos de soma nula e de soma não nula, o conhecido
“Dilema do Prisioneiro”.
Os jogos combinatórios estudados são o NIM, o SIM, o Hex e o Ouri (jogo da família
Mancala). O jogo do NIM é um jogo de informação perfeita, para apenas dois jogadores,
que nunca acaba empatado. O jogo do SIM e o do Hex são jogos onde se pode aplicar a
teoria de grafos e, onde o empate nunca acontece. O Ouri é um jogo que exige um
elaborado pensamento estratégico para poder ser bem jogado. Se o Ouri for bem jogado
termina num empate, não havendo nem vencedores nem vencidos.
Os jogos lógicos implicam um raciocínio lógico dedutivo, e a aplicação da teoria dos
grafos facilita a resolução dos mesmos. O jogo de Ehrenfeucht-Fraïssé mostra a estreita
relação que existe entre alguns conceitos lógicos mais complexos e o desenvolvimento de
atividades lúdicas.
2
3
1. OS JOGOS E A MATEMÁTICA
Tentativa de uma rigorosa definição de jogo
1.1. O que é um jogo?
Não existe uma definição rigorosa de jogo. São apresentadas abaixo algumas
definições de jogo da literatura:
"Um jogo é uma forma de brincar com objetivos e estrutura." (Kevin Maroney)
“Um jogo é uma atividade ou ocupação voluntária exercida dentro de certos e
determinados limites de tempo e espaço, segundo regras livremente
consentidas, mas absolutamente obrigatórias, dotado de um fim em si mesmo,
acompanhado de um sentimento de tensão e alegria e de uma consciência de
ser diferente de vida quotidiana”. (Huizinga) [8]
"A nível mais elementar, podemos definir jogo como um exercício de sistemas
de controlo voluntário em que há uma oposição entre forças, confinados por
um procedimento e as regras a fim de produzir um resultado de desequilíbrio".
(Elliot Avedon e Brian Sutton-Smith).
"O jogo é um tipo de atividade que alia raciocínio, estratégia e reflexão com
desafio e competição de uma forma lúdica muito rica. Os jogos de equipa
podem ainda favorecer o trabalho cooperativo”. (Currículo Nacional do
Ensino Básico - Competências Específicas de Matemática)
“Os jogos são caracterizados por um número fixo de jogadores ou tomadores
de decisões que interagem, possivelmente se ameaçam e formam coligações,
4
agem sob condições incertas, e por fim recebem algum benefício ou prejuízo,
financeiro ou de outro tipo.” (Thomas Ferguson) [5]
"Um jogo é uma forma de arte na qual os participantes, denominados
jogadores, tomam decisões, a fim de gerir os recursos através de elementos de
jogo na busca de um objetivo." (Greg Costikyan)
Segundo Brígida Sartini [18], um jogo tem os seguintes elementos básicos:
um conjunto finito de jogadores, representado por nj...,,j,jJ 21
cada jogador Jij possui um conjunto finito de estratégias
iime...,,ie,ieiE 21 , designadas estratégias puras do jogador ji , com
2im .
um vetor nnke,...,ke,kee
21 21 , ii mk 1 onde iike é uma estratégia
pura para o jogador Jij é designado por perfil de estratégia pura. O
conjunto de todos os perfis de estratégia pura formam o produto cartesiano
nE...EEn
iiEE
211
, denominado espaço de estratégia pura do
jogo.
para cada jogador Jji , existe uma função vencedora
eve
IRE:v
i
i
que associa o ganho (pagamento) evi do jogador ij a cada perfil de
estratégia pura Ee .
Jouko Väänänen [19], dá uma formulação geral para os jogos de informação
perfeita para duas pessoas:
Considere-se, a formulação mais simples de um jogo em que existem dois
jogadores I e II, um domínio A e um número natural n que representa o
comprimento do jogo.
5
O jogador I começa o jogo, escolhendo um elemento x0 A. Depois o jogador
II escolhe y0 A. Depois de terem sido jogados xi e yi, com i + 1 < n, o
jogador I escolhe xi+1 A e depois o jogador II escolhe yi+1 A. Após n
rondas o jogo termina.
Para decidir quem ganha fixa-se à partida um conjunto de sequências W A2n
1100 nn y,x,...,y,x
e declara-se que o jogador II ganha o jogo se a sequência formada durante o
jogo estiver em W senão o jogador I ganha.
Estudando apenas para o caso de dois jogadores, I e II. Um jogo de um dos
jogadores é qualquer sequência 10 nx,...,xx de elementos de A. Uma
sequência 1100 ny,nx,...,y,xy,x , de elementos de A chama-se um
jogo (de Gn(A,W)). Portanto, pode ser definido o conceito de jogo sem
qualquer referência a jogar o jogo. O jogo y,x é uma vitória para o jogador
II se 1100 nn y,x,...,y,x ∈ W e caso contrário uma vitória para o jogador I.
Tendo em conta as definições de jogo apresentadas acima, dadas por diferentes
autores, podemos considerar que um jogo consiste numa atividade lúdica ou num
desafio em que participam um determinado número de jogadores com um objetivo
comum, ganhar o jogo, e para tal cada jogador, em cada jogada, tem um conjunto
finito de opções. Num jogo temos jogadores e regras que são comuns para todos.
Diz-se que um jogador tem uma estratégia1 vencedora se tiver uma maneira de jogar
que lhe garanta uma vitória certa, isto é, o seu oponente perde qualquer que seja o
movimento que faça. Considerando sempre que um jogador quando participa num
determinado jogo o faz com o objetivo de ganhar, então ele tentar tomar a decisão
mais correta, em cada jogada de forma a ser o vencedor, isto é, vai tentar encontrar
uma estratégia vencedora. Em jogos para dois ou mais jogadores, cada jogador na
sua vez de jogar vai ter que, se necessário, mudar de estratégia pois a sua próxima
jogada depende da(s) última(s) jogada(s) do(s) adversário(s). Portanto, um jogo
1 Uma estratégia é um conjunto de meios e planos para atingir um objetivo
6
consiste num conjunto finito de jogadores com o objetivo único de ganhar e de um
conjunto de estratégias para cada jogador.
No final de um jogo pode acontecer uma das três situações para cada um dos
jogadores: ganhar, perder ou empatar. No entanto há jogos em que nunca se verifica
uma situação de empate, isto é, jogos onde o que um jogador ganha é equivalente ao
que o outro perde, ou seja, um jogador só tem uma de duas possibilidades: ganhar ou
perder. Falaremos mais à frente em jogos deste tipo, por exemplo o NIM.
Em alguns jogos além de ganhar ou perder o jogo estão associados pagamentos
(payoffs), que se podem traduzir em pontos ou em quantidades de dinheiro, estes
jogos são conhecidos por jogos de soma nula. Nos jogos de soma nula pode haver
empates, isso acontece quando ambos os jogadores ganham zero.
Vamos estudar com algum detalhe jogos em que o número de jogadores é dois, n=2,
pois para este tipo de jogo (jogos com apenas dois jogadores) os conceitos são mais
claros e as conclusões mais imediatas.
Por vezes, ao consultar alguma literatura, surge a expressão árvore do jogo. A árvore
do jogo é um diagrama que inclui todas as posições possíveis de todas as partidas
possíveis, isto é, considerando a posição inicial de um qualquer jogo, o primeiro
jogador tem um conjunto de jogadas possíveis que pode escolher; para cada jogada
escolhida pelo primeiro jogador o segundo jogador tem novamente um conjunto de
opções e assim sucessivamente. Se se desenhasse este diagrama para incluir todas as
jogadas possíveis dos dois jogadores ao longo das jogadas (terminando quando se
chegasse ao fim da partida, sendo ela uma vitória, empate ou uma derrota para o
primeiro jogador) obteríamos então uma árvore do jogo.
1.2. Tipos de jogos
Há uma infinidade de jogos, de todos os tipos e formas, desde os tradicionais de
tabuleiro, a jogos com sons e cores, jogos de cartas, jogos corporais, jogos de
computador, jogos apenas com papel e lápis, e outros mais.
Por detrás de um jogo combinatório está sempre implícita uma estratégia vencedora,
que na maioria das vezes pode ser explicada utilizando teoria matemática. Vão ser
7
estudados alguns jogos combinatórios e lógicos, e para tal vamos começar por definir
alguns conceitos que são essenciais para este tipo de jogos.
Em teoria dos jogos, diz-se que um jogo tem informação perfeita se todos os
jogadores conhecem os movimentos prévios feitos por todos os outros jogadores
(seus adversários), caso contrário diz-se de informação imperfeita. Os jogos de
informação perfeita representam um pequeno subconjunto de jogos. Vamos estudar
mais à frente alguns jogos de informação perfeita, o NIM, o SIM, o Hex e o Ouri.
Um exemplo de jogos de informação imperfeita são os jogos de cartas, onde cada
jogador só sabe as cartas que tem na sua mão desconhecendo as cartas dos outros
jogadores.
Designam-se por jogos simultâneos (ou estáticos) aqueles em que se está perante
uma situação em que ambos os jogadores se movem simultaneamente ou não se
movem simultaneamente mas desconhecem as jogadas anteriores dos seus
adversários. Os jogos sequenciais (ou dinâmicos) são aqueles em que o jogador
conhece as jogadas anteriores do seu adversário; os movimentos de cada jogador
seguem uma determinada ordem. Portanto, apenas os jogos sequenciais podem ser
jogos de informação perfeita; os jogadores movem-se sequencialmente, estando cada
um deles consciente das ações anteriores dos outros, enquanto nos jogos simultâneos
nenhum jogador conhece a ação do outro.
Existem jogos em que há apenas um vencedor, isto é, a vitória de um dos jogadores
implica a derrota dos restantes, independentemente da estratégia adotada por cada
jogador. No caso de jogos com apenas dois jogadores em que um ganha e o outro
perde, temos como exemplo de jogo do NIM.
Nos jogos de soma não nula, ou de soma variável, há ganhos e perdas diferenciados,
pois os interesses dos jogadores não são completamente opostos – existe a
possibilidade de cooperação, um exemplo deste tipo de jogo é “O Dilema do
Prisioneiro”, que será analisado mais à frente pois necessita de alguns conceitos que
vão ser abordados a seguir.
1.3. Formas de representação de um jogo
8
As formas de representação mais utilizadas para representar um jogo são a forma
normal e a forma extensiva.
John von Neumann e Oskar Morgenstern [11] são considerados os criadores da
distinção entre representação de um jogo na forma extensiva e representação na
forma normal, defendendo que o estudo dos jogos na forma normal facilita a sua
compreensão.
A forma extensiva é utilizada nos jogos onde a ordem é importante, logo é ideal para
representar jogos sequenciais. Nesta forma os jogos são apresentados como árvores,
utilização de grafos, onde cada vértice representa um ponto de decisão para o
jogador.
As representações na forma normal são apresentadas sob a forma de matrizes, muitas
vezes conhecidas como matrizes de ganhos. A matriz mostra os jogadores, as
estratégias e os pagamentos (payoffs). Na matriz as linhas correspondem a um dos
jogadores e as colunas ao outro jogador. Os pagamentos são registados no interior da
matriz, onde as entradas da matriz são pares ordenados, em que o primeiro valor
corresponde ao pagamento recebido pelo jogador da linha e o segundo valor ao
jogador da coluna. Estas matrizes podem ser de grande utilidade quando se querem
identificar estratégias estritamente dominantes2.
Se se compararem as duas formas de representação de jogos (normal e extensiva)
verifica-se que na forma normal perde-se alguma da informação, pois a forma
extensiva inclui todas as estratégias de cada jogador juntamente com as suas
recompensas.
Quando um jogo é apresentado na forma normal, presume-se que cada jogador atua
simultaneamente ou, ao menos, sem conhecer a ação dos outros. Se os jogadores têm
2 Designa-se por estratégia estritamente dominante aquela estratégia que confere ao jogador um
payoff sempre superior ao propiciado pela estratégia alternativa, independentemente do que os
restantes jogadores possam fazer.
9
alguma informação acerca das escolhas dos outros jogadores, o jogo é habitualmente
apresentado na forma extensiva.
Vamos agora tentar explicar um pouco o Dilema do Prisioneiro para se perceber
porque é que este jogo não é um jogo de soma nula.
Resumidamente o Dilema do Prisioneiro [1] pode ser dado da seguinte forma:
Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia não tem provas
suficientes para os condenar, então separa os prisioneiros em duas celas
diferentes e oferece a ambos um acordo:
Se um dos prisioneiros confessar (trair o outro) e o outro prisioneiro
permanecer em silêncio, o que confessou sai em liberdade enquanto o
outro cumpre uma pena de 10 anos.
Se ambos ficarem em silêncio (colaborarem um com o outro), a polícia
só pode condená-los a um ano cada um.
Se ambos confessarem, cada um leva 5 anos de cadeia.
Cada prisioneiro decide sem saber a escolha do outro, pois não podem
conversar. Como será que vão reagir os prisioneiros?
Neste jogo o recurso a uma representação na forma normal, sob a forma de matriz,
torna mais fácil a sua perceção assim como as condições impostas. Para distinguir os
prisioneiros estes vão ser designados por Prisioneiro A e Prisioneiro B.
Prisioneiro B
Colaborar
(silêncio)
Trair
(confessar)
Prisioneiro A
Colaborar
(silêncio) (1, 1) (10, 0)
Trair
(confessar) (0, 10) (5, 5)
Na matriz, ao par ordenado apresentado corresponde o tempo em anos da
condenação dos prisioneiros, a primeira coordenada corresponde ao prisioneiro A e a
segunda coordenada corresponde ao prisioneiro B.
10
Analisando pormenorizadamente a situação trair ou ficar em silêncio para cada um
dos prisioneiros chegamos à conclusão que trair é a melhor opção, isto porque:
O Prisioneiro A tem de considerar duas opções:
se o Prisioneiro B escolher trair então o prisioneiro A ou escolhe
colaborar e leva dez anos de prisão ou escolhe trair ficando com uma
pena de 5 anos. Nesta situação, para o Prisioneiro A, trair é a melhor
opção.
se o Prisioneiro B escolher colaborar, então o prisioneiro A ou escolhe
colaborar e leva um ano de prisão ou escolhe trair e sai livre. Nesta
situação, para o Prisioneiro A, trair é a melhor opção.
Do ponto de vista do Prisioneiro B este também tem duas opções:
se o prisioneiro A escolher trair, então ou o prisioneiro B escolhe
colaborar e tem uma pena de dez anos ou escolhe trair e tem uma pena
de 5 anos. Nesta situação, para o Prisioneiro B, trair é a melhor opção.
se o Prisioneiro A escolher colaborar, então ou o prisioneiro B escolhe
colaborar e leva um ano de prisão ou escolhe trair e sai livre. Nesta
situação, para o Prisioneiro B, trair é a melhor opção.
Como se pode verificar pela análise acima, trair o companheiro parece ser a melhor
opção e cada um fica com uma pena de 5 anos mas, analisando a matriz, esta não é a
melhor opção, pois se ambos ficarem em silêncio, são condenados apenas a 1 ano
cada.
Para alguns jogos, a busca de uma estratégia vencedora ou de uma resolução rápida é
mais fácil utilizando a teoria dos grafos, desde que isso seja possível.
1.4. Teoria dos grafos
11
A teoria dos grafos3 é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos
de um determinado conjunto. Para tal são empregadas estruturas designadas por
grafos. O primeiro e um dos mais famosos problemas da teoria dos grafos, o
problema das Pontes de Königsberg4, foi resolvido por Euler em 1736.
Designa-se por grafo [2] uma estrutura tripla da forma G = (V(G), A(G), G) tal que
V(G) é um conjunto finito e não vazio de vértices, A(G) é o conjunto das arestas e G
é uma função de incidência que a cada aresta do grafo G associa um conjunto de um
ou dois vértices de G.
Exemplo 1: Considere-se o grafo G = (V(G), A(G), G), representado abaixo
Figura 1 – Exemplo de um grafo
onde V(G) = {v1, v2, v3, v4}, A(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} e G é definida por
G (e1) = {v1,v2}, G (e2) = {v2,v3}, G (e3) = {v2,v3},
G (e4) = {v1,v3}, G (e5) = {v1,v4}, G (e6) = {v4}
Aos elementos de V(G) dá-se o nome de vértices e aos elementos de A(G) dá-se o
nome de arestas. Normalmente representam-se os vértices por círculos e as arestas
entre dois vértices, a e b, pelo conjunto {a, b}.
A ordem de um grafo G corresponde ao número de vértices desse grafo e representa-
se por GV . A dimensão de um grafo é o número de arestas desse grafo,
3 A teoria dos grafos tem uma origem relativamente recente (século XVIII) na história da Matemática.
De entre os primeiros cientistas a trabalhar nesta área destacaram-se Leonhard Euler, Gustav
Kirchhoff e Arthur Cayley.
4 “Na cidade de Konisberg existe uma ilha chamada Kneiphof, com dois braços do rio Pregel a
contorná-la. Existem sete pontes. A questão consiste em saber se uma pessoa pode planear um
caminho, de tal modo que atravesse cada uma das pontes exatamente e apenas uma única vez.”
12
simbolicamente por GA . Se um grafo não tiver arestas diz-se que é nulo, isto é,
tem dimensão nula.
Uma aresta que une dois vértices de um grafo diz-se incidente em cada um dos seus
vértices, isto é, uma aresta e é incidente a um vértice v se v pertence a G (e). Dois
vértices dizem-se adjacentes quando existe uma aresta a uni-los, analogamente, duas
arestas dizem-se adjacentes se tiverem um vértice em comum.[2]
Por vezes em alguns grafos aparecem duas arestas com extremos iguais, isto é,
existem e, f A(G) tais que G(e)= G(f), neste caso diz-se que as arestas são
paralelas; quando uma aresta tem ambos os extremos no mesmo vértice de um grafo
esta designa-se por lacete.
Figura 2 - Exemplo de um grafo que contém lacetes e arestas paralelas
Se um grafo não tem arestas paralelas nem lacetes diz-se simples, caso contrário
designa-se por multigrafo.
Designa-se por grau ou valência de um vértice v, e representa-se por g(v) o número
de arestas de G incidentes nesse vértice. Se não incide nenhuma aresta em v, isto é,
se 0vg , o vértice diz-se um vértice isolado. Se 1vg , significa que em v
incide apenas uma aresta e o vértice diz-se terminal. Na determinação do grau de um
vértice o lacete conta duas vezes. Um vértice que está ligado a cada um dos outros
vértices designa-se por vértice anti-isolado.
A matriz de incidência do grafo G é uma matriz bidimensional, M(G)=[mij] em que
as entradas mij correspondem ao número de vezes que o vértice vi incide na aresta ej.
Por outro lado, designa-se por matriz de adjacência do grafo G à matriz, também
bidimensional, |V(G)| |V(G)|, Ad(G) = [aij], em que os aij correspondem ao número
de arestas que ligam os vértices vi e vj.
13
Lema: Em qualquer grafo a soma dos graus dos vértices é igual ao dobro do número
de arestas, ou seja, em qualquer grafo G = (V(G), A(G), G) é satisfeita a igualdade
Vv
GAvg 2 .
Prova:
Considere-se a matriz de incidência M(G). A soma das entradas numa linha
corresponde precisamente ao grau do vértice, e
)G(A
jj iijm
i jijm
i
)iv(g
Vv
vg 22
é justamente a soma de todas as entradas em M(G).
Logo
Vv
GAvg 2 .
A matriz de incidência do grafo do exemplo 1 é dada por
e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1 1 0 0 1 1 0
v2 1 1 1 0 0 0
v3 0 1 1 1 0 0
v4 0 0 0 0 1 2
Por um lado, g(v1) = 3, g(v2) = 3, g(v3) = 3 e g(v4) = 3, logo 12Vv
vg . Por outro
lado, |A(G)|=6, isto é o grafo tem apenas seis vértices e a soma dos graus de todos os
vértices é 12, logo
Vv
GAvg 2 .
Um grafo simples G, com n vértices, diz-se um grafo completo, e representa-se por
Kn, quando todos os pares de vértices são adjacentes, isto é, todos os vértices têm
grau n - 1. Num grafo completo todos os vértices são anti-isolados.
14
No jogo do SIM apresentado mais à frente, na secção dos jogos combinatórios, são
usados grafos completos.
Por vezes, por uma questão de nomenclatura ou para uma interpretação mais clara
(como é o caso da notação usada no jogo Ehrenfeucht-Fraïssé), designa-se por
vértice popular um vértice em que todos os (outros) vértices do grafo são adjacentes
a esse vértice ou são adjacentes a um vértice adjacente a esse vértice. É apresentado
abaixo um grafo em que o vértice a é popular.
Figura 3 - Grafo em que existe um vértice popular a
Um grafo diz-se bipartido ou bigrafo quando o conjunto dos seus vértices V puder
ser dividido em dois subconjuntos V1 e V2, tais que qualquer aresta em A tem uma
extremidade em V1 e outra em V2. Um grafo bipartido é representado normalmente
por ;A;V,VG 21 . Quando nV 1 , mV 2 e 1Vu e 2Vv ,
GAv,u o grafo denota-se por m,nK e designa-se por grafo bipartido
completo.
Um isomorfismo entre dois grafos simples G e H é uma bijeção f de V(G) em V(H)
tal que dois vértices u e v são adjacentes em G se e somente se f(u) e f(v) são
adjacentes em H [4], isto é, {u, v} A(G) se e só se {f(u), f(v)} A(H) para todos u,
v V(G).
Dois grafos dizem-se idênticos ou isomorfos se existir um isomorfismo entre eles.
Esta noção vai ser utilizada no jogo dos grafos de Ehrenfeucht-Fraïssé.
Em teoria de grafos, um subgrafo de um grafo G é um grafo G’=(V(G’), A(G’), G’)
cujo conjunto de vértices de G’ é um subconjunto do conjunto de vértices de G
15
(V(G’) V(G)) e o conjunto de arestas de G’ é um subconjunto de arestas de G com
os extremos em V(G´) (A(G’) A(G)).
Seja S um subconjunto não vazio de V(G). O subgrafo G' de G diz-se gerado por S se
V(G')=S e se A(G') é o conjunto das arestas de A(G) que possuem ambos os extremos
em S.
16
17
2. JOGOS COMBINATÓRIOS
A teoria de jogos combinatórios é um ramo da matemática aplicada e das ciências da
computação que estuda jogos de informação perfeita, tratando apenas de jogos em que as
jogadas de cada jogador são do conhecimento do adversário. Assim sendo, um jogo
combinatório é um jogo de informação perfeita em que nenhuma das jogadas é aleatória,
isto é, não depende da sorte.
Nos jogos combinatórios podemos ainda falar de jogos imparciais, em que o conjunto de
jogadas a partir de uma dada posição é o mesmo para qualquer jogador, qualquer peça
disponível para um jogador deve estar disponível para os restantes, e, de jogos parciais, em
que cada jogador tem um conjunto diferente de possibilidades de jogadas a partir de uma
dada posição, como por exemplo no xadrez e nas damas.
Nos jogos para dois jogadores, escolhe-se o jogador que irá iniciar o jogo e efetuar as suas
jogadas alternadamente com o adversário até que se chegue a uma posição terminal. A
posição terminal é aquela em que um dos jogadores é declarado vencedor e o outro
perdedor ou então a situação de empate, em que não há vencedores nem perdedores.
A teoria de jogos combinatórios surgiu como forma de explicar a teoria de jogos
imparciais. Um exemplo deste tipo de jogo é o NIM, que será visto mais tarde. A teoria de
jogos tenta determinar a melhor sequência de estratégias para cada jogador de forma que se
tenha uma jogada ideal até ao final do jogo e que seja atingido o objetivo inicial, ganhar o
jogo. Por vezes é difícil determinar essa sequência, a menos que o jogo seja simples. Para
tal vão ser estudados jogos em que o número de jogadores é dois. Dentro do grupo dos
jogos combinatórios vão ser estudados o NIM, o SIM, o Hex e o Ouri (da família dos jogos
Mancala).
18
2.1. Jogo do NIM
2.1.1. Introdução
O NIM é um jogo para dois jogadores, em que os objetos que podem ser removidos
por um jogador também podem ser removidos pelo outro, sendo assim um jogo
imparcial. Neste jogo perde aquele jogador que já não puder efetuar uma jogada, ou
seja, ganha o jogador que retirar a última peça.
A designação de NIM foi proposta por Charles Bouton o qual publicou um artigo
[3] onde estuda a teoria matemática subjacente a este jogo. A teoria desenvolvida
nesse artigo está relacionada com a aritmética dos números naturais no sistema de
numeração binário (composta apenas por 0 e 1).
Segundo Paulo Figueiredo [17] o NIM é um dos exemplos mais importantes dos
jogos de estratégia imparciais, tendo em conta que é:
um jogo de apenas dois jogadores, onde estes jogam alternadamente;
de informação perfeita, pois os jogadores sabem todas as jogadas efetuadas até
ao momento;
um jogo onde o factor sorte não existe, isto é, é um jogo determinístico;
imparcial pois para cada posição de jogo, o acesso é igual para os dois
jogadores;
um jogo que tem um número finito de movimentos.
O NIM foi o primeiro jogo a ser estudado matematicamente e é considerado um dos
jogos mais antigos que se conhecem mas, a sua origem ainda é desconhecida; no
entanto Charles Bouton considera que este jogo teve origem na China, apesar de ser
jogado na Europa desde o séc. XVI.
A palavra “NIM” significa “roubar” ou “retirar” e é um termo que foi utilizado por
Shakespeare e, se fizermos uma rotação de 180º à palavra NIM, obtém-se a palavra
WIN que significa vencer [17].
19
Há diversas variantes do jogo NIM. Segundo Rego & Rego [16], as mais usadas
são: o jogo das correntes, o tabuleiro circular, o tabuleiro em estrela, o jogo das
torres e o jogo da rainha.
Figura A – Jogo das correntes
Figura B – Tabuleiro circular
Figura C – Tabuleiro em
estrela
Figura D – Jogo das torres Figura E – Jogo da rainha
Figura 4 – Variantes do NIM mais utilizadas, segundo Rego & Rego [16]
Vamos debruçar-nos essencialmente no jogo das torres, o qual designamos apenas
por NIM. Este jogo, NIM, pode ser jogado com pilhas de peças, é muito jogado na
praia, no Brasil, em que as peças são pedras ou pauzinhos.
2.1.2. Regras do jogo NIM
1. Os jogadores definem o número de pilhas de peças assim como o número de
peças de cada pilha;
2. Os dois jogadores escolhem/sorteiam o jogador que inicia o jogo (jogador I);
3. Os jogadores efetuam as suas jogadas alternadamente;
4. Os jogadores só podem retirar peças de uma pilha à sua escolha, no mínimo
de uma peça e no máximo de todas as peças da pilha;
5. Ganha o jogador que retirar a última peça.
20
Como mencionado nas regras do jogo, os jogadores no início do jogo é que definem o
número de pilhas de peças. Uma vez que o número de pilhas de peças pode variar, depende
da escolha dos jogadores, pretende encontrar-se a estratégia vencedora mediante o número
de pilhas.
2.1.3. Estratégia vencedora para o jogo NIM
Para um jogo constituído apenas por uma pilha de peças
Com apenas uma pilha de peças, o jogador I pode retirar todas as peças e ganha
numa só jogada, tornando-se assim o jogo trivial.
Figura 5 – Jogo do NIM constituído apenas por uma pilha de cinco peças
Um jogo constituído por duas pilhas de peças
No caso de duas pilhas de peças, se estas tiverem o mesmo número de peças o
jogador II ganha desde que copie na segunda pilha as mesmas jogadas do jogador
I.
Se o número de peças das pilhas for diferente, a estratégia vencedora consiste em
retirar de uma delas o número de peças necessárias para igualar as duas pilhas e a
partir daí repetir sempre as jogadas do jogador II, de forma a deixar sempre iguais
as duas pilhas de peças. Quando o jogador II retirar todas as peças de uma pilha, o
jogador I retira todas as peças da outra pilha e ganha o jogo.
Figura 6 – Jogo do NIM, constituído por duas pilhas de peças
21
O jogo é constituído por três ou mais pilhas de peças
Com três ou mais pilhas, a estratégia vencedora é um pouco mais complexa. Para
definir a estratégia vencedora temos de introduzir o conceito soma nim. Para tal o
número de peças de cada pilha é escrito na forma binária (zeros e uns) e é feita a
respetiva soma.
Seja N0 = {0,1,2,3,4,…}. Podemos definir a soma nim () para pares de inteiros
não negativos
0 1
0 0 1
1 1 0
e essa operação goza das seguintes propriedades [12]:
1. Comutativa: x y = y x, para todo o x, y N0
2. Associativa: x (y z ) = (x y) z, para todo o x, y, z N0
3. 0 é o elemento neutro: x 0 = x, para todo o x N0
4. Cada número é o seu próprio inverso: x x = 0, para todo o x N0
Considerem-se três pilhas de peças, por exemplo:
Figura 7 – Jogo do NIM, constituído por três pilhas de peças
Defina-se o número de peças de cada pilha como uma soma de potências de base
2,
Pilha 1 01 22123
Pilha 2 02 22145
Pilha 3 012 2221247
22
Supondo que as potências de base 2 que não aparecem na representação de um
número estão a ser multiplicadas por zero, pode escrever-se
01 212111213
012 21202111415
012 2121211121417
Escrevendo somente os coeficientes obtemos as representações de 3, 5 e 7 na base
2, como
3 1 1 5 1 0 1 7 1 1 1
ou seja,
3 = (1 1)2 5 = (1 0 1)2 7 = (1 1 1)2
Representamos assim os números 3, 5 e 7 recorrendo a zeros e uns.
Charles Bouton [3] mostrou que os jogadores devem calcular a soma nim dos
números de peças das diferentes pilhas. Se esse número for diferente de zero, o
jogador deve procurar uma jogada de forma a deixar ao adversário pilhas de peças
com soma nim nula. Quem proceder desta forma em todas as jogadas vence o jogo
com toda a certeza.
Calculando a soma nim [15] coordenada a coordenada das três pilhas de peças
(compostas por três, cinco e sete peças) vem,
(0 1 1)2 (1 0 1)2 (1 1 1)2 = (0 0 1)2.
A jogada vencedora é a que retira uma peça. A peça a retirar pode ser de qualquer
pilha de peças, como se pode ver abaixo.
1ª situação - Se retirar uma peça à pilha com três peças, ficamos com duas,
cinco e sete peças em cada pilha, respetivamente, e a soma nim é
(0 1 0)2 (1 0 1)2 (1 1 1)2 = (0 0 0)2.
2ª situação - Se retirar uma peça à pilha com cinco peças, ficamos com três,
quatro e sete peças em cada pilha, respetivamente, e a soma nim é
(0 1 1)2 (1 0 0)2 (1 1 1)2 = (0 0 0)2.
23
3ª situação - Se retirar uma peça à pilha com sete peças, ficamos com três,
cinco e seis peças em cada pilha, respetivamente, e a soma nim é
(0 1 1)2 (1 0 1)2 (1 1 0)2 = (0 0 0)2.
Como se pode verificar pelas somas nim calculadas acima, a peça a retirar pode
ser de qualquer pilha de peças, pois obtemos sempre a soma nim nula.
Considera-se uma combinação segura aquela que obtiver como soma nim apenas
o dígito zero. Logo, a estratégia vencedora é passar o jogo ao adversário em que a
soma nim seja nula, isto é, deixar uma combinação segura.
Charles Bouton [3] enunciou um teorema que diz:
Teorema B1: Se o jogador I deixar uma combinação segura (soma nim nula) após
a sua jogada, então o jogador II não conseguirá deixar outra combinação segura na
sua vez, isto é, a soma nim não é nula.
Prova:
Se o jogador I deixou uma combinação segura, o jogador II, na sua vez de
jogar, pode apenas mexer numa pilha e tem que retirar pelo menos uma peça
dessa pilha. Assim, se partirmos, por exemplo, da combinação (segura)
(0 1 0)2 (1 0 1)2 (1 1 1)2 = (0 0 0)2 soma nim nula
Começando na pilha com menos peças (pilha 1), retirando apenas uma peça,
tem-se
Pilha 1 Pilha 2 Pilha 3 SOMA NIM
(0 0 1) (1 0 1) (1 1 1) (0 1 1)
Mas, se retirarmos duas peças na mesma pilha em vez de apenas uma, fica
Pilha 1 Pilha 2 Pilha 3 SOMA NIM
(0 0 0) (1 0 1) (1 1 1) (0 1 0)
24
Podemos resumir na tabela seguinte todas as jogadas possíveis:
Pilha1| Pilha2| Pilha3 Pilha 1 Pilha 2 Pilha 3 Soma nim
POSIÇÃO INICIAL 3 5 7 (0 1 1) (1 0 1) (1 1 1) (0 0 1)
JOGADA 1 2 5 7 (0 1 0) (1 0 1) (1 1 1) (0 0 0)
PO
SS
ÍVE
IS J
OG
AD
AS
1 5 7
0 5 7
(0 0 1) (1 0 1) (1 1 1)
(0 0 0) (1 0 1) (1 1 1)
(0 1 1)
(0 1 0)
2 4 7 2 3 7
2 2 7
2 1 7
2 0 7
(0 1 0) (1 0 0) (1 1 1) (0 1 0) (0 1 1) (1 1 1)
(0 1 0) (0 1 0) (1 1 1)
(0 1 0) (0 0 1) (1 1 1)
(0 1 0) (0 0 0) (1 1 1)
(0 0 1) (1 1 0)
(1 1 1)
(1 0 0)
(1 0 1) 2 5 6
2 5 5
2 5 4 2 5 3
2 5 2
2 5 1
2 5 0
(0 1 0) (1 0 1) (1 1 0)
(0 1 0) (1 0 1) (1 0 1)
(0 1 0) (1 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
(0 1 0) (1 0 1) (0 1 0)
(0 1 0) (1 0 1) (0 0 1)
(0 1 0) (1 0 1) (0 0 0)
(0 0 1)
(0 1 0)
(0 1 1) (1 0 0)
(1 0 1)
(1 1 0)
(1 1 1)
Como se pode verificar, em nenhuma das possíveis jogadas se obtém
novamente uma soma nim nula. Efetivamente, quando se obtém uma soma nim
nula, ela será inevitavelmente desfeita na jogada seguinte pois a jogada
conduzirá a uma alteração da posição do(s) digito(s) “1” que constarem na
representação binária correspondente à pilha onde for realizada a jogada,
alterando desse modo a soma nim.
Como vimos no teorema anterior, se o jogador I deixar uma combinação segura o
jogador II não consegue manter essa combinação pois a soma nim após a sua
jogada é não nula. Será que o jogador I pode voltar a encontrar uma combinação
segura, na sua vez de jogar? A resposta a esta questão é dada por Charles Bouton
através do seguinte teorema:
Teorema B2: Se o jogador I deixar uma combinação segura e o jogador II retirar
peças de uma determinada pilha, então o jogador I poderá recompor uma
combinação segura retirando peças de uma das outras pilhas.
Prova:
Suponhamos que o jogador I deixou uma combinação segura.
25
Então, como se viu no Teorema B1, o jogador II não consegue manter a
combinação segura (soma nim nula). Qualquer que seja a sua jogada, irão
aparecer na soma nim alguns dígitos “1”. Tudo o que o jogador I tem a fazer
para restaurar a soma nim nula é retirar peças numa das outras pilhas, de modo
que os dígitos “1” que passaram a aparecer na soma nim possam ser
“anulados” por “1” que deverão aparecer na pilha alterada. Temos então dois
subproblemas: o primeiro é o da escolha da pilha onde devem ser retiradas as
peças e o segundo problema é o modo como as peças serão retiradas (isto é,
qual o número de peças a retirar).
Relativamente à pilha a escolher, terá de ser aquela cuja representação binária
do número de peças respetivo tenha “1” na mesma posição que o dígito “1”
situado mais à esquerda na soma nim, porque quando um número diminui, a
mudança que ocorre na sua representação binária, olhando da esquerda para a
direita, é a passagem de algum “1” para “0”.
No que diz respeito ao número de peças a retirar para voltar a ter uma
combinação segura, basta que o jogador retire um número de peças tal que a
representação binária do número resultante passe a ter “0” na posição onde
anteriormente estava “1” e alterar ou não os dígitos à direita desta casa,
consoante o dígito correspondente da soma nim, de modo a obter uma soma
nim nula.
Este teorema pode ser verificado no exemplo seguinte.
Consideremos um jogo com 3 pilhas e 16, 12 e 28 peças, respetivamente.
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 1 1 0 0
0 0 0 0 0
(-1 peça)
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 1 0 1 1
0 0 1 1 1
(-1 peça)
1 0 0 0 0
0 1 0 1 1
1 1 0 1 1
0 0 0 0 0
O jogador II retirou uma peça à pilha 3, obtendo uma soma nim não nula. Para
obter novamente uma combinação segura, o jogador I retirou então 1 peça na
segunda pilha. Repare-se que o jogador I:
26
i) escolheu a segunda pilha, que era a única onde aparece o dígito “1” na mesma
posição que o dígito “1” mais à esquerda na soma nim;
ii) retirou um número de peças tal que houvesse alteração no dígito “1” na mesma
posição que o digito “1” mais à esquerda da soma nim, alterando também os dois
“0” à direita para “1”, de forma a garantir uma soma nim nula.
Está assim mostrado, neste caso particular, que o jogador I pode voltar a recompor
uma combinação segura, mas tem que ter em atenção a pilha que escolhe para
retirar as peças bem como o número de peças a retirar dessa pilha.
Podemos concluir que se o jogador I deixar uma combinação segura, pelo teorema
B1 o jogador II não consegue manter a jogada segura, pois tem de diminuir o
número de peças de uma das pilhas. Na jogada seguinte o jogador I pode
conseguir uma combinação segura retirando o número de peças necessários de
uma das pilhas para que a soma nim seja nula.
Assim sendo, o jogador que conseguir manter uma soma nim nula ganha o jogo.
Se a primeira disposição de peças nas pilhas for uma combinação segura, o
jogador I desmancha essa combinação, mas o jogador II tem possibilidade de
recompor uma combinação segura (pelo teorema B2 de Bouton). Se o jogador II
conseguir manter sempre uma combinação segura ganha o jogo.
Tendo em conta que os jogadores no início do jogo escolhem o número de pilhas
e o número de peças de cada pilha, se a primeira disposição de peças nas pilhas
não for uma combinação segura, e o jogador I conseguir uma combinação segura,
logo na primeira jogada e conseguir manter sempre essa combinação, então ganha
o jogo.
2.2. Jogo do SIM
2.2.1. Introdução
O “SIM” é um jogo de informação perfeita sendo jogado por dois jogadores que
têm conhecimento das jogadas do adversário antes de efetuar a sua própria jogada.
Trata-se de um jogo de lógica que foi descrito em 1969 por Gustavus J. Simmons.
27
Para este jogo são necessários lápis de cores diferentes, um para cada jogador e um
papel onde estão marcados os vértices de um polígono.
Os polígonos mais adequados para jogar o SIM são os de seis vértices, porque é o
menor número de vértices para o qual o jogo não termina empatado (como veremos
mais à frente).
O objetivo do jogo, para cada jogador, consiste em traçar segmentos de reta que
unam dois vértices do polígono, de tal forma que não se formem triângulos com os
três lados da mesma cor e cujos vértices coincidam com 3 dos 6 vértices marcados
inicialmente.
2.2.2. Regras do jogo
1. Escolhe-se aleatoriamente o jogador que inicia o jogo;
2. Desenham-se num papel os vértices de um polígono, de forma a que
quaisquer três vértices sejam não colineares;
3. Alternadamente, os jogadores traçam um segmento de reta, unindo dois
pontos quaisquer do polígono;
4. Perde o primeiro jogador que formar um triângulo com os três lados da cor
que utiliza e cujos vértices do triângulo construído sejam 3 dos 6 vértices
marcados inicialmente.
2.2.3. Exemplo de um jogo utilizando seis vértices:
Suponhamos que o primeiro a jogar é o vermelho.
Figura 8 – Algumas jogadas do jogo do SIM
Após algumas jogadas em que nenhum dos jogadores ainda completou um
triângulo, chegamos à seguinte situação
28
Figura 9 – Uma posição possível do jogo
Ao analisar a figura anterior podemos verificar que há apenas dois pares de vértices
que ainda não foram unidos, que são os que aparecem na figura a seguir a tracejado.
Figura 10 – Indicação, a tracejado, das únicas jogadas que ainda podem ser efetuadas
O jogador que utiliza a cor vermelha já efetuou sete jogadas e o jogador que utiliza
a cor preta efetuou apenas seis jogadas. Como o jogador que iniciou o jogo foi o
que utiliza a cor vermelha, o jogador a efetuar a próxima jogada é o que tem a cor
preta.
Os segmentos de reta que faltam unir são [FB] e [FD]. Se o jogador com a cor preta
desenhar o segmento de reta [FB] completa um triângulo, que é o triângulo [BCF],
se desenha o segmento de reta [FD] não completa nenhum triângulo com a sua cor.
Logo, para não perder, a jogada deste jogador será unir os vértices F e D.
Figura 11 – Posição do jogo, antes da jogada do jogador vermelho
O jogador que utiliza a cor vermelha tem apenas uma possibilidade de jogo que é
unir os pontos F e B. Este jogador ao efetuar esta jogada vai completar um triângulo
com a sua cor, cujos vértices são os pontos A, B e F.
29
Assim sendo o jogador que utilizou a cor vermelha perdeu o jogo, porque foi o
primeiro a completar um triângulo cujos lados são da sua cor.
Enquanto no jogo NIM, apresentado anteriormente, ganha o jogador que retirar as
últimas peças, aqui o jogador que completa o triângulo da sua cor é que perde,
ganhando o jogador que não completa o triângulo, ou seja, o último jogador a
efetuar a sua jogada é aquele que perde.
No exemplo apresentado anteriormente o jogador que utilizou a cor vermelha
perdeu o jogo. Será que existe sempre um vencedor ou o jogo pode terminar
empatado?
Em cada vértice são incidentes cinco arestas. Como só temos duas cores e com
essas temos que representar as cinco arestas de cada vértice, podemos assim
concluir que, para cada vértice, têm de existir pelo menos três arestas com a mesma
cor. Estamos deste modo a utilizar o princípio da gaiola dos pombos.
Teorema (Princípio da Gaiola dos Pombos): Se n caixas são ocupadas por n+1
objetos, então pelo menos uma caixa deverá conter pelo menos dois objetos.
Prova:
Se cada caixa tivesse no máximo um objeto, nas n caixas haveria no máximo n
objetos. Como temos n+1 objetos, logo, pelo menos uma das caixas terá de ter
dois objetos.
O Princípio da Gaiola dos Pombos pode ser generalizado:
Teorema (Generalização do Princípio da Gaiola dos Pombos). “Se n caixas são
ocupadas por kn+1 objetos, então pelo menos uma caixa deverá conter pelo menos
k+1 objetos.”
Prova:
Se cada caixa tivesse no máximo k objetos, as n caixas teriam no máximo kn
objetos. Como temos kn+1 objetos, então pelo menos uma caixa terá no mínimo
k+1 objetos.
30
No jogo SIM abordado inicialmente temos seis vértices. Assim, dado um vértice,
uma vez que o seu grau é cinco e como só temos duas cores, então pelo teorema
anterior, desse vértice saem pelo menos três arestas da mesma cor.
Para podermos responder à questão sobre a possibilidade de empate no jogo do
SIM, vamos utilizar a teoria de Ramsey. A teoria de Ramsey deve-se ao
matemático Frank Plumpton Ramsey, e é um ramo da matemática que estuda em
que condições uma determinada ordem ocorre num conjunto. Em 1930 Ramsey
publicou estudos sobre esta teoria (teoria de Ramsey) baseando-se na teoria de
conjuntos. Atualmente a forma mais comum de estudar a teoria de Ramsey é
baseada na teoria dos grafos, pois é mais intuitiva e palpável que a teoria dos
conjuntos.
Pretende mostrar-se que o jogo do SIM nunca termina num empate e para tal vamos
utilizar a teoria dos grafos. Vamos supor que o jogo pode acabar empatado. Então
podemos colorir as arestas de K6 com duas cores de tal modo que não haja um
triângulo com as arestas da mesma cor
Para ser mais fácil de responder a este problema vamos considerar GV o grafo
constituído por todos os seis vértices mas cujas arestas apenas são as vermelhas e
GP o grafo constituído por todos os seis vértices do polígono mas cujas arestas são
as pretas.
Dado um vértice x do grafo, o grau de x em GV somado com o grau de x em GP
totaliza 5, então pelo princípio da gaiola dos pombos um dos graus é pelo menos
três.
Considere-se que x é adjacente a três dos vértices, por exemplo y, z e w, do grafo,
em GV. Se existirem pelo menos dois desses vértices que sejam adjacentes, isto é
{y, z} ou {y, w} ou {z, w}, então eles formam um triângulo com x em GV, caso
contrário, {y, z}, {y, w} e {z, w} estão em GP, ou seja, os três vizinhos de x formam
um triângulo em GP. Assim sendo, está mostrado que este jogo nunca termina
empatado, isto é, tem sempre um vencedor.
31
Este jogo foi apresentado utilizando um polígono com seis vértices e verificamos
que nesta situação existe sempre um vencedor. E se o número de vértices for
inferior a seis?
Considerando que um polígono tem pelo menos três vértices, a utilização no jogo
de um polígono com três vértices, leva obrigatoriamente à condição de empate pois
os dois jogadores apenas podem construir três arestas no total (duas para um dos
jogadores e uma para o outro jogador) e o jogo termina antes de ser possível
construir um triângulo da mesma cor.
Quando se utilizam polígonos com quatro vértices, considerando o grafo completo
K4, de cada vértice saem três arestas, sendo sempre possível cada jogador escolher
um vértice de modo que não se obtenha um triângulo, conduzindo assim a uma
situação de empate, como se pode verificar pela figura abaixo.
Figura 12 - Posição de empate num grafo de quatro vértices
Figura 13 – Posição de empate num jogo com um polígono de cinco vértices
Na figura 13 apresentamos um polígono de cinco vértices onde podemos verificar
que estes são insuficientes para garantir a existência de um triângulo cujas arestas
sejam todas da mesma cor, pois em cada vértice incidem quatro arestas, podendo
ser duas de cada cor. No caso apresentado acima, polígono de cinco vértices, houve
uma situação de empate, de notar que do mesmo vértice saem duas arestas
vermelhas e duas pretas. No entanto, nos polígonos de cinco vértices pode haver
32
um vencedor, como na figura apresentada abaixo, em que ganha o jogador que joga
com a cor preta, pois o vermelho construiu um triângulo da sua cor.
Figura 14 – Posição, num polígono de cinco vértices, em que ganhou o
jogador que utilizou a cor preta
Tendo em conta que o objetivo de cada jogador é ganhar o jogo, a utilização de
grafos com seis ou mais vértices permite-nos concluir que o jogo do SIM nunca
termina empatado, havendo sempre um vencedor. Dependendo do número de
vértices (seis ou mais) que se utilize, como se está a trabalhar com grafos completos
e apenas com duas cores, utilizando o Princípio da Gaiola dos Pombos, podemos
garantir que o jogo nunca termina empatado.
2.3. Jogo do Hex
2.3.1. Introdução
Como refere Valter Nunes [14], o Hex, é um jogo de conexão em que competem
dois jogadores pela construção de uma cadeia contínua que liga dois lados opostos
de um tabuleiro. Neste jogo conta-se apenas com a inteligência para se vencer, não
havendo interferência de fenómenos aleatórios, sendo assim considerado um jogo
combinatório.
O Hex é um jogo de tabuleiro cuja forma é a de uma grelha hexagonal, com m
linhas e n colunas. Normalmente m = n, formando assim a disposição dos
hexágonos a forma de um losango. O tabuleiro mais habitual entre os praticantes
deste jogo é o tabuleiro 11x11, conhecido por tabuleiro em forma de losango, como
apresentado a seguir.
33
Figura 15 - Tabuleiro do Hex 11 x 11
Este jogo foi inventado pelo matemático, físico e poeta dinamarquês Piet Hein que
o descreveu num artigo que publicou no jornal diário dinamarquês “Politiken” a 26
de dezembro de 1942, que o designou por “Polygon”. Piet Hein comercializou este
jogo com o nome de “Con-tac-tix” vendendo-o num tabuleiro de madeira 12 por 12
em forma de losango.
Figura 16 – Imagens do jogo comercializado por Piet Hein, através da Parker Brothers
Em 1948, o matemático John Nash inventou de novo (reinventou) este jogo, sem ter
conhecimento da invenção de Piet Hein, enquanto preparava o seu doutoramento na
universidade de Princeton nos Estados Unidos da América. Após a reinvenção de
John Nash este jogo também foi conhecido por John e por Nash, em sua honra.
Após algumas controversas relativas ao nome do jogo, a empresa “Parker
Brothers”, em 1952, comercializou uma versão deste jogo tendo chamado o mesmo
de Hex, nome pelo qual é conhecido atualmente.
34
A popularidade deste jogo deve-se também a Martin Gardner [7] que escreveu
alguns artigos sobre o mesmo numa coluna da revista “Scientific American”
designada por “Mathematical Games”, onde o popularizou ao longo dos tempos.
2.3.2. Apresentação do jogo
O Hex é um jogo de estratégia abstrata pertencendo à categoria dos jogos de
conexão, pois está intimamente ligado quer à teoria da computação quer à teoria de
grafos. Este jogo envolve dois jogadores com peças de cores diferentes, por
exemplo, um jogador joga com peças vermelhas e o outro com peças azuis. Vamos
debruçar o nosso estudo para um tabuleiro 11 x 11. Cada um dos jogadores possui
lados opostos no tabuleiro. O objetivo de cada jogador é unir as duas margens da
mesma cor através de um caminho. Para tal cada jogador possui 60 peças da sua
cor.
2.3.3. Regras do jogo
As regras deste jogo são simples; nele, participam dois jogadores que dispõem de
peças de cores diferentes e a cada um deles correspondem os dois lados do tabuleiro
da sua cor. Inicialmente o tabuleiro está vazio. Os jogadores começam por escolher
quem é o primeiro a jogar, podendo para tal ser lançada uma moeda ou acordarem
mutuamente.
Os jogadores, alternadamente, colocam uma peça da sua cor num hexágono vazio
do tabuleiro. O tabuleiro é preenchido alternadamente com as peças dos dois
jogadores. Ganha o jogador que primeiro conseguir criar um caminho que una as
duas margens da sua cor.
35
Figura 17 – Apresentação de um jogo em que ganham as azuis
2.3.4. Algumas estratégias do Hex
John Nash provou que um jogo de Hex não pode terminar empatado, e que para um
tabuleiro simétrico, n x n, existe uma estratégia vencedora para o jogador que faz o
primeiro movimento. Segundo John Nash para tabuleiros que têm no máximo sete
linhas e sete colunas o primeiro a jogar tem uma estratégia vencedora, tendo assim
o primeiro jogador uma vantagem em relação ao segundo a jogar. A justificação
deste argumento é de que se a jogada for feita nas casas centrais do tabuleiro, o
primeiro jogador fica com uma grande vantagem relativamente ao adversário;
segundo Valter Nunes [14], jogar a primeira peça na casa F6 é das jogadas mais
“fortes” no início do jogo. Para reduzir esta vantagem inicial do primeiro jogador é
implementada ao jogo uma regra adicional que consiste em dar a possibilidade de,
na primeira jogada do segundo jogador, em vez de este ocupar um dos hexágonos
livres, trocar de cor (se vir vantagem nisso) com o seu adversário ficando com a
jogada do adversário, isto é, troca a peça do adversário por uma das suas. Esta regra
designa-se por regra do equilíbrio e serve para garantir que o primeiro jogador não
tem vantagem, isto é, o primeiro jogador ao efetuar a sua primeira jogada, como
não sabe se o adversário a vai aproveitar não pode fazer uma jogada muito
ambiciosa, ficando assim um jogo mais equilibrado. John Nash considera que a
única maneira de evitar que o adversário crie um caminho que una as duas margens
36
é este também formar um caminho. Para tabuleiros com 8 ou mais linhas e 8 ou
mais colunas não se conhece nenhuma estratégia vencedora.
Valter Nunes, na sua tese, “O Jogo Hex” [14] definiu como posição válida num
jogo Hex, a diferença entre o número de peças azuis e vermelhas num tabuleiro ser
de zero ou um e o caso de os dois jogadores terem a possibilidade de ganhar;
considera ainda que o tabuleiro vazio também é uma posição válida. Na mesma,
referiu ainda que o limite mais alto de posições válidas para este jogo, no tabuleiro
11 x 11, é de aproximadamente 2,38 x 1056
. Sendo o número de posições válidas
tão elevado, a complexidade de combinações compromete a sua jogabilidade no
computador, pois o esquema completo é demasiado grande para poder ser
processado pelas diferentes técnicas de processamento das máquinas.
A teoria de grafos está subjacente nas jogadas do Hex. Como o objetivo de cada
jogador é ligar dois lados opostos do tabuleiro, o Hex é considerado um jogo de
conexão. As jogadas do Hex podem ser explicadas utilizando pontes e conexões.
Uma ponte é uma ligação robusta e consiste em ter duas peças que partilham a
vizinhança de dois hexágonos, como se pode ver na figura seguinte, em que as
peças azuis fizeram uma ponte e partilham como vizinhos as casas B e D.
Figura 18 – Pontes e conexões
Diz-se que duas peças estão conectadas/ligadas se qualquer jogada que o adversário
faça nada possa impedir o jogador que tem a ponte de ganhar. Considerando a
figura anterior o jogador com as peças azuis fez uma ponte, o adversário pode
colocar uma peça em B ou em D, ficando o hexágono restante para o jogador das
37
peças azuis; considera-se que B e D formam um duo que garante a segurança da
ponte, do jogador com as pedras azuis, podendo assim unir a ponte que tinha
anteriormente. Durante o jogo esta estratégia torna-se bastante útil.
Quando se está perante uma situação de ponte, o adversário, se possível, pode fazer
uma jogada ameaçadora/estratégica noutro ponto do tabuleiro de forma a obrigar o
adversário a distrair-se desta ligação. A elaboração de pontes ao longo do tabuleiro
pode ser considerada uma jogada estratégica pois permite um aceleramento de
ligações ao longo do mesmo. As pontes são melhores que as jogadas adjacentes5
pois permitem ao jogador o dobro da rapidez, na construção de um caminho que
una as duas margens. Como o objetivo do jogo é construir um caminho que ligue as
margens opostas, os caminhos de cada jogador vão ter que se cruzar, e é neste
cruzamento que os jogadores têm que definir melhor as suas estratégias de jogo. A
luta por uma boa jogada na zona de cruzamento dos caminhos não pode ser feita em
detrimento do restante caminho pois o adversário pode aproveitar para colocar
peças defensivas de forma estratégica que poderão ter um grande impacto no que
resta do jogo.
Figura 19- Posição de um jogo em que está em disputa a casa central
Valter Emerenciano, no capítulo de Estratégia do Jogo Hex [14], definiu algumas
estratégias deste jogo. As estratégias mencionadas referem-se:
à expansão através das pontes, como referido acima, as pontes ocupam o
dobro da distância comparativamente às jogadas adjacentes, permitindo ao
jogador obter o caminho pretendido com mais rapidez, consideradas tão
boas ou melhores que as jogadas adjacentes;
5 Jogadas adjacentes – jogadas em casas contíguas/adjacentes
38
à maximização da conectividade/minimização das capacidades do
adversário, a força da posição de um jogador na construção de um caminho
depende da conetividade das suas peças ao longo do tabuleiro,
principalmente onde os caminhos se cruzam;
ao bloqueio iniciado à distância, o jogador para bloquear uma ligação do
adversário deve jogar próximo da peça mais avançada do seu ataque;
através do posicionamento do jogo, as peças colocadas ao longo do
tabuleiro que ocupam a diagonal mais curta, entre os cantos obtusos,
constituem uma posição considerada forte e, a jogada na casa F6 é a jogada
de abertura mais forte.
a jogar à defesa, o jogador deve identificar as ameaças do adversário e
impedir a sua concretização, assim como fortalecer e expandir a sua ligação
através de uma jogada posicional;
a escadas, designação que se dá a um tipo de jogada que consiste na
construção de paredes de defesa pelo adversário.
2.3.5. Quem tem mais possibilidades de ganhar o jogo Hex?
Sem a regra do equilíbrio, John Nash provou a existência de uma estratégia
vencedora para o primeiro jogador, através de uma demonstração por absurdo que é
a seguinte: “… nenhum jogo de Hex pode terminar empatado, logo, ou o primeiro
ou o segundo jogador tem uma estratégia vencedora. Suponhamos que era o
segundo jogador que, jogando perfeitamente, tem a vitória assegurada. Então o
primeiro começa por jogar aleatoriamente, e a partir desse momento ignora a
jogada que fez, encarando-se como segundo jogador, roubando-lhe a estratégia
vencedora que se supôs existir. Sempre que tiver de jogar onde, por acaso, já o
tinha feito, torna a jogar à sorte… Assim, tem a vitória garantida, partindo do
princípio de que há estratégia vencedora para o segundo. Resumindo: se
admitirmos que o segundo jogador vai ganhar então… o primeiro ganha! Absurdo.
Como alguém tem de dispor de uma estratégia vencedora, terá de ser o primeiro.
Este argumento é agora clássico, e aplica-se a muitos jogos, tendo ficado
conhecido por «argumento do roubo de estratégia».” [12]
39
David Gale provou que este jogo nunca termina empatado e que existe uma
explicação matemática para a não existência de empates neste tipo de jogo. Para tal
criou um caminho com as arestas dos hexágonos, esse caminho é escolhido de
forma a que passe sempre entre um hexágono vermelho e um azul, não se podendo
percorrer essa aresta nos dois sentidos, em momentos consecutivos. Esta
demonstração pode ser consultada nas páginas 58 a 60 da tese de Valter Nunes
[14].
“É óbvio que, quando o tabuleiro está cheio, se as peças vermelhas forem pensadas
como água e as peças azuis forem pensadas como terra, então acontece uma das
duas situações seguintes: ou a água corre entre as duas margens vermelhas
pertencentes ao jogador vermelho, ou o canal de água está obstruído por terra
formando um caminho de peças azuis entre as duas margens desta cor.” [14]
Através de um raciocínio geométrico, David Gale [14] provou que não há empates
no Hex. Para tal construiu triângulos equiláteros a unir os centros dos hexágonos,
ficando com uma grelha do tipo apresentado abaixo.
Figura 20 - Construção dos triângulos equiláteros sob os hexágonos, imagem
retirada da Tese de Valter Nunes
Depois atribuiu aos vértices dos triângulos números 0 e 1, o 0 aos de uma cor e 1
aos da outra cor. Considerou que as arestas dos triângulos eram portas de passagem
se os vértices onde essas arestas incidissem tivessem valores diferentes. É
40
apresentado abaixo um esquema representativo de um caminho que liga duas
margens.
Figura 21 - Exemplo de um caminho unindo as duas margens, imagem retirada da tese de Valter Nunes
Valter Nunes, na sua tese, utilizou o facto da inexistência de empate no jogo do
Hex para fazer a demonstração do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.
Normalmente, o teorema de Brouwer é provado através do recurso a um resultado
combinatório. Contudo, David Gale demonstrou que esse resultado pode ser
substituído pelo facto de que o jogo Hex não pode terminar num empate.
Teorema do Ponto Fixo de Brouwer: Suponhamos que X é um conjunto não
vazio, compacto e convexo de R2. Se a função XX:f é contínua, então existe
um ponto x tal que xxf .
Prova[14]:
A prova deste teorema restringe-se ao campo bidimensional, isto é, ao conjunto
X I 2 = [0, 1] x [0, 1].
Considere-se d > 0.
Seja ON o conjunto de todo x I2 cujas imagens por f estão a uma distância de
x superior a d em direção a norte.
41
Seja XE o conjunto de todo x I2 cujas imagens por f estão a uma distância de
x superior a d em direção a este.
Seja OS o conjunto de todo x I2 cujas imagens por f estão a uma distância de
x superior a d em direção a sul.
Seja XW o conjunto de todo x I2 cujas imagens por f estão a uma distância de
x superior a d em direção a oeste.
A figura abaixo (a) dá-nos um exemplo de como estes conjuntos podem
parecer. A área não sombreada S, no diagrama, é o conjunto de todo o x I 2
que não pertence a nenhum dos quatro conjuntos ON, OS, XE ou XW.
(a) (b)
Figura 22 – Imagens da demonstração do teorema do Ponto Fixo de
Brouwer, imagem retirada da tese de Valter Nunes
Se S é não vazio, então tem de haver pelo menos um x em I 2 cujas imagens por
f não estão muito longe em nenhuma das direções. De facto f(x) deve pertencer
a um quadrado de lado 2d centrado em x. O ponto x está portanto “quase fixo”
(tal ponto pode ser encontrado, por mais pequeno que seja d). A compacidade
de X e a continuidade de f implicam a existência de um ponto fixo x. O
problema é, desta forma, reduzido à demonstração de que S nunca é vazio. Isto
será provado, através de redução ao absurdo e utilizando o jogo Hex.
42
Suponhamos que S é vazio para algum d > 0. Então cada x I 2 estaria num
dos dois conjuntos O = ON OS ou X = XE XW. Cubramos I 2 com uma
grelha Hex muito reduzida, como na figura anterior (b). Cada peça desta grelha
é agora marcada com um círculo ou uma cruz, dependendo se ela está no
conjunto O ou no conjunto X. Se estiverem em ambos os conjuntos, marcamos
aleatoriamente cruz ou círculo. Essa grelha fica então toda preenchida e, como
já sabemos que no jogo Hex existe sempre um vencedor, terá de haver um
caminho ininterrupto de cruzes ou de círculos a ligar duas margens opostas.
Sem perda de generalidade, suponhamos que o vencedor é o jogador II pois
une as suas duas margens com cruzes.
Uma peça mais a Oeste da rota vencedora do jogador II deve estar em XE.
Uma peça mais a Este da rota vencedora do jogador II deve estar em XW.
Note-se que não existe nenhum x que pertença simultaneamente a XE e a XW
(por “construção” destes).
Algures no meio, deve estar um par de peças adjacentes x e y, das quais uma
pertence a XW e a outra pertence a XE. Isto significa que a imagem de x por f,
está a uma distância de pelo menos d para oeste e, simultaneamente, a imagem
de y, (adjacente a x) por f, está a uma distância de pelo menos d para este.
Então f (x) e f (y) estão a uma distância de pelo menos 2d.
Dado que a distância entre x e y pode ser tão pequena quanto nós queiramos,
através de uma redução suficientemente pequena da grelha do tabuleiro Hex,
que o mesmo não se verifica para as imagens, temos uma contradição para a
hipótese de que f é contínua. Logo, chegamos a um absurdo, e portanto S é não
vazio. E como X é compacto e f contínua, então está provada a existência de
um ponto fixo x.
Fica então assim demonstrado o Teorema de Brouwer, com recurso ao jogo
Hex.
Tendo em conta que se trata de um jogo que não termina empatado, um ganha e o
outro perde, pode classificar-se o Hex como um jogo, para duas pessoas, finito,
determinista e de estratégia.
43
2.4. Jogos Mancala
2.4.1. Um pouco de história
Mancala é uma família de jogos de tabuleiro jogados em todo o mundo. Estes jogos
são também conhecidos por jogos de semeadura ou ainda jogos de contagem e de
captura. É conhecido por jogo de semeadura porque as peças são distribuídas no
tabuleiro como se se estivesse a semear; de contagem porque é utilizada a contagem
das peças para se escolher a melhor jogada e de captura porque ao longo do jogo, e
em determinadas situações, se fazem capturas de peças das casas para os depósitos.
Os tabuleiros podem ser construídos de diversos materiais. Por vezes os jogos são
jogados com buracos escavados na terra ou esculpidos na pedra.
A palavra Mancala, vem do árabe naqala (que significa “mover”). A sua origem
não é muito exata mas supõe-se que tenha acontecido no continente africano, há
alguns milhares de anos. Estes jogos são considerados os mais antigos do mundo.
Os jogos da família Mancala mais conhecidos no mundo ocidental são o Oware,
Kalah, Sungka, Omweso e Bao. Desta família de jogos o mais conhecido em
Portugal é o Ouri, também conhecido por “Oware”, que é a versão do Mancala
jogada em Cabo Verde
O tabuleiro desta família de jogos consiste em alguns buracos todos iguais,
designados por casas e de outros buracos ligeiramente maiores designados por
depósitos. Inicialmente os jogos da família Mancala eram jogos para dois
jogadores, e o tabuleiro era constituído por duas filas de casas com um depósito em
cada topo como se pode ver pela figura seguinte (figura acima da esquerda) onde é
apresentado um tabuleiro para dois jogadores, mas com a evolução dos tempos já se
podem encontrar tabuleiros para mais do que dois jogadores. Um tabuleiro tem
tantos depósitos quanto o número de jogadores ao qual vai ser aplicado.
44
Foto: http://escolajosemendesmartins.blogspot.pt
Foto: http://luduslila.wordpress.com
Formatos de tabuleiros para dois jogadores
Foto: http://megajogos.blog.br
Formato de tabuleiros para quatro jogadores
Figura 23 – Formatos de tabuleiros para dois e quatro jogadores
Em geral, o jogo começa com 4 peças em cada casa. Cada jogador escolhe uma das
suas casas e retira as sementes distribuindo-as pelas outras casas, uma por casa, no
sentido anti-horário (em algumas versões é no sentido horário). Ganha o jogador
que obtiver mais peças no final do jogo. Neste jogo não está envolvida a sorte mas
sim o raciocínio lógico e matemático.
Uma das versões mais comuns é jogada no tabuleiro tradicional, com duas fileiras
de seis buracos (casas) e um buraco maior (depósito) que ocupa as duas fileiras em
cada ponta, como apresentado na figura abaixo.
Figura 24 – Tabuleiro do Ouri, em madeira, que pode ser adquirido em lojas da especialidade
45
Segundo a literatura, existem mais de duzentos jogos desta família. O tabuleiro
mais utilizado é o de duas filas, no entanto estes podem ser de uma a seis filas, nas
versões que se conhecem até ao momento.
2.4.2. Ouri
2.4.2.1. Um pouco de história do Ouri
O Ouri pertence à família de jogos Mancala. Pensa-se que tenha sido inventado
pelos egípcios e levado mais tarde para a Ásia e a África Subsariana. No século
XVI chegou à América levado pelos escravos negros. Trata-se de um jogo de
captura.
O Ouri é tradicionalmente jogado na África Ocidental (por exemplo Senegal, Mali
ou em Cabo Verde) e em parte das Caraíbas (principalmente nas ilhas inglesas),
por isso é também conhecido por “Wari”, “Awari”, “Aware”, “Awele” ou
“Oware”.
Trata-se de um jogo milenar que possui uma forte componente abstrata, não
utilizando componentes aleatórios, sendo portanto um jogo da família dos jogos
combinatórios.
2.4.2.2. Apresentação do jogo
O Ouri é um jogo de tabuleiro com 14 buracos (12 buracos circulares com o
mesmo diâmetro, designados por casas, e dois outros buracos, designados por
depósitos, de igual dimensão) como se pode ver pela figura seguinte.
Figura 25 – Apresentação dos buracos de um Tabuleiro do Ouri
Este jogo é para dois jogadores que jogam alternadamente e é jogado num
tabuleiro como o apresentado acima, utilizando 48 peças pequenas (algumas das
46
vezes utilizam-se feijões, grão de bico, pedras, avelãs, etc, …). Ganha o jogador
que recolher mais sementes do que o adversário, isto é, vence o jogador que
obtiver 25 ou mais peças. No entanto este jogo também pode terminar empatado,
este resultado acontece quando cada jogador recolhe 24 peças.
2.4.2.3. Regras do jogo
As regras deste jogo são um pouco complexas.
O tabuleiro é constituído por 12 casas e 2 depósitos. A cada jogador
correspondem 6 casas e um depósito, destinado a guardar as peças capturadas
ao adversário durante o jogo. O depósito de cada jogador é o que fica à sua
direita.
Figura 26 – Apresentação das casas e respetivo depósito de um dos jogadores
O jogo é jogado sempre no sentido anti-horário.
No início do jogo são colocadas 4 peças em cada uma das 12 casas.
Figura 27 – Posição inicial do jogo do Ouri
O jogador que inicia o jogo recolhe todas as peças de uma das suas casas e
distribui-as, uma a uma, nas casas seguintes, no sentido anti-horário.
Não se podem tirar peças de casas que contenham apenas uma peça, enquanto
houver casas com duas ou mais peças.
Os jogadores podem capturar peças nas seguintes situações:
quando ao colocar a última peça numa casa do adversário, esta ficar com
duas ou três peças, o jogador retira-as e coloca-as no seu depósito. Mas se a
casa ficar com uma, quatro ou mais peças o jogador não as pode capturar.
47
se a(s) casa(s) anterior(es) à casa onde é colocada a última peça também
tiver(em) duas ou três peças, o jogador captura-as e coloca-as no seu
depósito. A captura é interrompida na primeira casa que não tenha esse
número de peças.
Como fazer quando um jogador fica sem peças nas suas casas?
Quando um jogador realiza uma jogada e fica sem sementes, o adversário é
obrigado a efetuar uma jogada de forma a introduzir uma ou mais peças nas
casas desse jogador.
Se um jogador efetuar uma captura e deixar o adversário sem peças, é
obrigado a jogar novamente, de forma a colocar uma ou mais peças nas
casas dele.
A partida termina:
quando um jogador capturar 25 ou mais peças. A partida termina e esse
jogador ganha.
quando um jogador fica sem peças e o adversário não pode jogar de forma a
colocar algumas peças nas casas desse jogador. A partida termina e o
adversário recolhe as peças que estão nas suas casas para o seu depósito;
ganha quem tiver 25 ou mais peças.
quando existem poucas sementes no tabuleiro e se está perante uma situação
que se repete ciclicamente, sem que os jogadores possam evitar. Cada
jogador recolhe as peças que estão nas suas casas e coloca-as no seu
depósito; ganha o jogador que tiver mais peças.
A contagem é muito importante no Ouri, no sentido em que, dado um número de
peças de uma determinada casa é importante saber em que casa irá ficar a última
peça, no caso de estas serem distribuídas.
Durante o jogo, saber o número de peças que cada jogador precisa para ganhar é
determinante na escolha da jogada seguinte. Também é importante ter a noção de
quantas jogadas se podem fazer sem distribuir peças no lado adversário. No final,
quando existem poucas peças no tabuleiro é necessário muito cuidado a gerir as
jogadas que cada jogador possui, pois daí pode ser decidida a vitória ou a derrota
da partida.
48
2.4.2.4. Algumas dicas para ganhar uma partida de Ouri
Começar por distribuir as peças que se encontram nas casas mais à direita do
tabuleiro, isto é, as casas que se encontram mais perto do adversário – desta
forma garantimos mais jogadas nas nossas casas a médio prazo porque as casas
mais à esquerda vão ter bastantes sementes logo de início.
Ter em conta as jogadas do adversário pois as decisões deste têm reflexo nas
jogadas seguintes.
Evitar começar a perder vantagem no número de capturas de peças, pois a
recuperação das peças pode ser difícil, ao longo da partida.
Manter o maior número de peças nas nossas casas, isto é, evitar distribuir
peças nas casas do adversário – para se poder controlar melhor os movimentos
do inimigo e esperar pelo momento certo para fazer o “ataque” ao inimigo.
São consideradas aberturas seguras6 as casas A, C e E, ou as casas B, D e F,
relativamente às capturas, no entanto é difícil manter estas casas vazias pois
dificulta a distribuição de peças em casa.
Ter sempre em atenção se a distribuição de peças na qual obtemos captura será
a melhor jogada, pois por vezes a captura pode tornar-se uma armadilha no
sentido em que pode ser uma jogada benéfica para o adversário.
É importante criar uma casa com muitas sementes para mais tarde se poder
efetuar capturas na casa do adversário. Esta casa deve ser o mais à direita
possível do tabuleiro – para poder ter uma posição mais segura para o final da
partida, ou no caso de estarmos numa posição em que não tenhamos muitas
peças para distribuir, a distribuição das peças destas casas podem voltar a dar-
nos vantagem. O ideal é que o número de peças dê para dar duas voltas ao
tabuleiro, podendo em alguns casos significar a captura de todas as peças do
6 Aberturas seguras – não ter duas casas consecutivas com poucas ou nenhumas peças.
49
adversário. Quanto mais à direita estiver essa casa, menor é o número de peças
necessário para realizar as duas voltas à fila do adversário.
Se conseguirmos chegar à fase final com uma casa com muitas peças e o
adversário com poucas peças no seu lado, é muito provável que consigamos
criar uma posição que nos permita capturar um grande número de peças e
assim ganhar a partida.
Uma questão que se nos pode ser colocada é “Como pode um jogador, que tem
poucas peças em jogo impedir o adversário que tem muitas peças numa só casa
capturar peças do seu lado do tabuleiro?”.
Para evitar que o adversário dê uma volta completa e entre novamente no nosso
lado do tabuleiro, uma das nossas casas deve ter duas peças, para que na segunda
volta ao distribuir as peças uma das casas fique com quatro peças quebrando a
sequência de capturas.
A saber …
Na Holanda, em 2002, John Romein e Henri Bal para determinarem a árvore de
jogo do Ouri montaram 144 computadores em rede e criaram um sistema paralelo
de computação. Os computadores demoraram 51 horas no processamento para
calcular a árvore do jogo. Concluíram que existem 889 063 398 406 posições
possíveis de distribuírem as 48 peças pelas 12 casas segundo as regras do Ouri.
Em resumo …
Se o jogo do Ouri for bem jogado termina sempre num empate (24 peças para
cada jogador). Temos de ter sempre em conta que jogar bem não é sinónimo de
jogar de forma perfeita. Apesar de teoricamente o resultado final deste jogo ser o
empate, como qualquer jogador não consegue memorizar uma árvore de jogo com
a dimensão apresentada anteriormente, no final de cada partida podemos ter uma
das três situações: vitória, empate ou derrota para um dos jogadores. Este jogo
exige um elaborado pensamento estratégico para poder ser bem jogado.
50
3. JOGOS LÓGICOS
3.1. Introdução
A lógica é uma ciência de índole matemática e com uma forte ligação à filosofia.
Como o pensamento é a manifestação do conhecimento, e o conhecimento busca a
verdade, é necessário estabelecer algumas regras para que essa meta seja atingida.
Para o pensamento lógico são bastante importantes os jogos com regras bem
definidas, pois a aplicação sistemática das regras leva a que o jogador estabeleça
algumas deduções, na procura da estratégia vencedora. Os jogos são muito
importantes para o desenvolvimento do raciocínio lógico dedutivo. A
responsabilidade do cumprimento das regras e zelo pelo seu cumprimento leva a que
os jogadores estejam mais atentos ao desenvolvimento da jogada.
Os jogos com regras são importantes para o desenvolvimento do pensamento lógico,
pois a aplicação sistemática das mesmas conduz a deduções, sendo bastante
adequados para o desenvolvimento de habilidades de pensamento. As regras e os
procedimentos têm de ser apresentados aos jogadores antes da partida assim como
devem ser estabelecidos os limites e as possibilidades de ação de cada jogador. O
cumprimento de normas e a obrigatoriedade de zelar pelo seu cumprimento encoraja
o desenvolvimento da iniciativa, da mente e da confiança em dizer honestamente o
que pensa.
Um dos jogos lógicos mais conhecidos é o da travessia de um rio, onde existe apenas
um barco, um homem (H), um lobo (L), uma ovelha (O) e uma couve (C). O homem
conduz o barco e só pode levar um dos restantes passageiros. No entanto, o lobo não
pode ficar sozinho com a ovelha e a ovelha não pode ficar sozinha com a couve. Este
problema levanta questões interessantes. Por exemplo, na solução do problema, o
elemento chave será a ovelha porque esta poderá comer a couve ou ser comida pelo
lobo. Assim, será a ovelha o primeiro passageiro do barco (no primeiro movimento)
e também estará na última viagem realizada, como podemos ver no esquema
seguinte.
51
HLOC
LC HO
LC H
O
L HC
O
L HO
C
O HL
C
O H
CL
HO
CL
HLOC
A teoria dos grafos, por vezes, simplifica a resolução de um problema. A seguir vão
ser apresentados três jogos lógicos: o Problema da Travessia de Ilha para Ilha, o
Problema dos Canibais e dos Missionários e o Jogo de Grafos de Ehrenfeucht-
Fraïssé.
52
3.2. Problema da Travessia de Ilha para Ilha
Três amigas, a Ana, a Berta e a Cátia encontram-se numa ilha com as respetivas
malas de viagem.
A Ana pesa 100 kg e a sua mala 40 kg.
A Berta pesa 50 kg e a sua mala 15 kg.
A Cátia pesa 75 kg e a sua mala 25 kg.
Pretendem atravessar para outra ilha e para tal têm um barco, mas existem duas
condicionantes.
- o barco leva no máximo 140 kg;
- Nenhuma das amigas deixa que a sua mala fique com outra das amigas na sua
ausência.
Perante estas condicionantes, como devem as três amigas fazer a travessia?[13]
Considerem-se as seguintes abreviaturas:
A: “Ana”, B: “Berta” C: “Cátia”
MA: “mala da Ana”; MB: “mala da Berta” MC: “mala da Cátia”.
Tendo em conta as restrições do problema podemos construir a tabela abaixo:
A
100 kg
B
50 kg
C
75 kg
MA
40 kg
MB
15 kg
MC
25 kg
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1
Este jogo pode ser interpretado utilizando o cálculo proposicional, nas mesmas linhas
que o artigo de Hernandez e Martins [9].
Neste problema temos que considerar doze variáveis: seis para cada ilha. As seis
variáveis correspondentes à ilha X são AX, BX, CX, MAX, MBX e MCX tendo como
significado que a Ana está na ilha X, a Berta está na ilha X, a Cátia está na ilha X, a
mala da Ana está na ilha X, a mala da Berta está na ilha X e a mala da Cátia está na
ilha X, respetivamente.
53
Relativamente à ilha Y também vamos considerar seis variáveis, a saber, AY como a
Ana está na ilha Y, BY como a Berta está na ilha Y, CY como a Cátia está na ilha Y,
MAY como a mala da Ana está na ilha Y, MBY como a mala da Berta está na ilha Y e
MCY como a mala da Cátia está na ilha Y.
Existem algumas condicionantes neste problema que podem ser expressas nas
fórmulas que envolvem as variáveis definidas anteriormente. [9]
a) o barco transporta no máximo 140 kg (uma das amigas tem que ir no barco);
O barco pode transportar as cargas seguintes:
A e MA B e MB C e MC B e C e MB
A B C
b) a mala de uma amiga nunca pode ficar sozinha com uma das outras amigas, em
qualquer das ilhas;
XBXX BMA ; YBYY BMA ;
XCXX CMA ; YCYY CMA ;
XAXX AMB ; YAYY AMB ;
XCXX CMB ; YCYY CMB ;
XAXX AMC ; YAYY AMC ;
XBXX BMC ; YBYY BMC ;
c) cada intervenientes só pode estar numa das ilhas, isto é, não podem estar
simultaneamente nas duas ilhas, logo as fórmulas são as seguintes:
AYAXYXYXYX MMCCBBAA
CYCXBYBX MMMM
Tendo em conta que as amigas e respetivas malas estão na ilha X, inicialmente
atribui-se às variáveis AX, BX, CX, MAX, MBX e MCX o valor 1, pois todos os
elementos estão na ilha X, e às variáveis AY, BY, CY, MAY, MBY e MCY o valor 0,
pois ainda não chegaram à ilha Y. No final às variáveis AX, BX, CX, MAX, MBX e MCX
atribui-se o valor 0, pois já nenhum dos elementos está na ilha X e às variáveis AY,
BY, CY, MAY, MBY e MCY o valor 1, pois todos os elementos encontram-se na ilha Y.
54
Podemos assim construir uma sequência de viagens que conduz à solução do
problema, utilizando sequências de valorações, 0 e 1, que obedeçam às condições
impostas pelo problema na travessia entre as duas ilhas.
A tabela abaixo mostra uma sequência de valorações que resolve o problema das três
amigas e respetivas malas.
AX BX CX MAX MBX MCX ~ ~ ~ AY BY CY MAY MBY MCY
1 1 1 1 1 1 ~ ~ ~ 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 0 ~ ~ ~ 0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 0 ~ ~ ~ 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 ~ ~ ~ 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 ~ ~ ~ 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 ~ ~ ~ 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1 ~ ~ ~ 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 ~ ~ ~ 1 1 1 1 1 0
0 0 1 0 0 1 ~ ~ ~ 1 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0 ~ ~ ~ 1 1 1 1 1 1
Note-se que de uma valoração para outra se está a ter em conta as restrições ao peso
que pode ser transportado pelo barco.
Analisando a tabela acima podemos apresentar as viagens das três amigas da
seguinte forma:
Viagem n.º Margem de saída Viagem Margem de chegada
Início A B C MA MB MC
1ª (ida) A B MA MB C MC
2ª (regresso) A B MA MB C MC
3ª (ida) A MA B C MB MC
4ª (regresso) A MA C MC B MB
5ª (ida) C MC A MA B MB
6ª (regresso) C MC B MB A MA
7ª (ida) MC B C MB A MA
8ª (regresso) MC C A B MA MB
9ª (ida) C MC A B MA MB
Fim A B C MA MB MC
Este jogo é um jogo lógico onde se utiliza o cálculo proposicional, também podia ser
explicado utilizando a teoria dos grafos. Como este problema tem um número
55
significativo de variáveis, o mesmo não foi resolvido utilizando a teoria dos grafos
pois o grafo aplicado a este jogo iria ser grande e difícil de representar.
3.3. Problema dos Canibais e dos Missionários
Um grupo formado por três canibais e três missionários viajam juntos e chegam à
margem, esquerda, de um rio. Eles desejam atravessar para a outra margem,
margem direita, para, desta forma, continuarem a viagem. O único meio de
transporte disponível é um barco que transporta no máximo duas pessoas. Há uma
outra dificuldade: em nenhum momento o número de canibais pode ser superior ao
número de missionários pois desta forma os missionários estariam em grande perigo
de vida. Como se deve efetuar a travessia?
Sabe-se à partida que o número de viagens vai ser em número ímpar, pois o barco
parte de uma margem e tem que transportar os canibais e os missionários para a outra
margem. Depois de terminada a travessia o barco não pode voltar à margem de
origem pois não atravessa o rio sem pessoas a bordo.
Vamos tentar resolver este problema utilizando a teoria dos grafos. Como o problema
trata de canibais e missionários, não havendo distinção entre os canibais e entre os
missionários, vamos considerar as variáveis c e m correspondentes aos números de
canibais e aos missionários numa determinada margem, respetivamente. Tendo em
conta o número de canibais e de missionários podemos condicionar o valor de c e de
m, sendo 30 c e 30 m . Como, quando numa das margens estão canibais e
missionários, o número de canibais nunca pode ser superior ao dos missionários,
podemos impor ainda a condição mc quando m 0.
Como nas margens podem ocorrer várias situações referentes ao número de canibais
e de missionários, vamos definir o triplo (c, m, b), onde c e m representam os
números de canibais e missionários, respetivamente, na margem de partida, e b
representa o número de barcos na margem de partida, b toma o valor 1 quando o
barco está na margem de partida e 0 quando está na margem de chegada. Por
exemplo, o triplo (2, 3, 1) significa que na margem de partida estão dois canibais,
56
três missionários e o barco, já o triplo (1, 3, 0) significa que na margem de partida
estão apenas um canibal e três missionários.
Pretende-se construir um grafo que represente o percurso desde o triplo (3, 3, 1),
todos os canibais e missionários encontram-se na margem de partida, assim como o
barco, até ao triplo (0, 0, 0), já todos se encontram na margem direita, incluindo o
barco, isto é, atravessaram o rio.
Tendo em conta apenas os canibais e os missionários temos 32 estados possíveis, que
são:
(3, 3, 1) (2, 3, 1) (1, 3, 1) (0, 3, 1)
(3, 3, 0) (2, 3, 0) (1, 3, 0) (0, 3, 0)
(3, 2, 1) (2, 2, 1) (1, 2, 1) (0, 2, 1)
(3, 2, 0) (2, 2, 0) (1, 2, 0) (0, 2, 0)
(3, 1, 1) (2, 1, 1) (1, 1, 1) (0, 1, 1)
(3, 1, 0) (2, 1, 0) (1, 1, 0) (0, 1, 0)
(3, 0, 1) (2, 0, 1) (1, 0, 1) (0, 0, 1)
(3, 0, 0) (2, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 0)
Considerando as restrições do problema, em que numa ilha se tivermos canibais e
missionários, o número de canibais não pode ser superior ao número de missionários;
logo podemos retirar alguns dos possíveis estados
(3, 3, 1) (2, 3, 1) (1, 3, 1) (0, 3, 1)
(3, 3, 0) (2, 3, 0) (1, 3, 0) (0, 3, 0)
(3, 2, 1) (2, 2, 1) (1, 2, 1) (0, 2, 1)
(3, 2, 0) (2, 2, 0) (1, 2, 0) (0, 2, 0)
(3, 1, 1) (2, 1, 1) (1, 1, 1) (0, 1, 1)
(3, 1, 0) (2, 1, 0) (1, 1, 0) (0, 1, 0)
(3, 0, 1) (2, 0, 1) (1, 0, 1) (0, 0, 1)
(3, 0, 0) (2, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 0)
57
Tendo em conta que os triplos
(2, 1, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1), (3, 1, 0), (3, 2, 1) e (3, 2, 1)
não se podem verificar devido às condições do problema, o número de canibais não
pode ser superior ao número de missionários, então os triplos complementares
(1, 2, 1), (1, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1) e (0,1, 0),
também não se verificam. Ficamos assim apenas com vinte possíveis estados.
(3, 3, 1) (2, 3, 1) (1, 3, 1) (0, 3, 1)
(3, 3, 0) (2, 3, 0) (1, 3, 0) (0, 3, 0)
(3, 2, 1) (2, 2, 1) (1, 2, 1) (0, 2, 1)
(3, 2, 0) (2, 2, 0) (1, 2, 0) (0, 2, 0)
(3, 1, 1) (2, 1, 1) (1, 1, 1) (0, 1, 1)
(3, 1, 0) (2, 1, 0) (1, 1, 0) (0, 1, 0)
(3, 0, 1) (2, 0, 1) (1, 0, 1) (0, 0, 1)
(3, 0, 0) (2, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 0, 0)
Analisando o esquema acima podemos concluir que o número de missionários numa
margem pode tomar os valores m = c ou m = 0 ou m = 3, sendo que 0 é o valor
mínimo e 3 o valor máximo.
Considerando ainda que o barco transporta no máximo duas pessoas e no mínimo
uma, podemos considerar os seguintes pares ordenados relativamente ao número de
pessoas a transportar pelo barco:
(1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1) e (0, 2).
Estamos então em condições de definir os vértices do grafo como sendo
013210 ,b,,,m,c|b,m,cV .
É apresentado a seguir um grafo onde os vértices são formados por triplos, sendo as
duas primeiras coordenadas correspondentes ao número de canibais e missionários
na margem de partida, respetivamente, e a última coordenada corresponde à posição
do barco. No esquema apresentado a cada aresta corresponde um determinado par
58
ordenado. O par ordenado associado a cada aresta corresponde ao número de
canibais e missionários que são transportados pelo barco entre as duas margens.
O grafo a seguir apresenta todas as soluções possíveis para este problema, tendo em
conta todos os triplos que verificam o problema.
Figura 28 – Grafo correspondente ao jogo dos canibais e dos missionários
Analisando a figura anterior, verificamos que alguns dos vértices do grafo são
isolados.
Para ser mais fácil de analisar a solução do problema considere-se o subgrafo gerado
apenas pelos vértices que não são isolados.
59
Figura 29 – Apresentação de todas as possíveis soluções do problema
No grafo anterior é possível encontrar quatro caminhos com o mesmo comprimento
que nos levam a uma solução do problema.
Figura 30 – Apresentação de uma solução do problema
No grafo acima a primeira viagem é feita por dois canibais e no grafo seguinte a primeira
viagem é efetuada por um canibal e um missionário.
60
Figura 31 – Apresentação de uma segunda solução do problema
O número mínimo de viagens que o barco deve fazer para transportar os três canibais
e os três missionários é onze, podendo no entanto efetuar mais viagens se tivermos
em conta que, no grafo da figura 29, existem dois circuitos. Nada impede que o jogo
possa ter mais movimentos do que o número mínimo indicado.
3.4. O Jogo de Grafos de Ehrenfeucht-Fraïssé
3.4.1. Um pouco de história deste jogo
Em 1930 Alfred Tarski formulou a equivalência elementar entre dois grafos
simples G e G’ como sendo estruturas elementarmente equivalentes. Em
Princeton, em 1946, descreveu esta noção e expressou a vontade de que fosse
possível desenvolver uma teoria sobre a noção de isomorfismo no jogo de
Ehrenfeucht-Fraïssé.
O jogo de grafos de Ehrenfeucht-Fraïssé é composto por dois grafos e dois
jogadores. Um dos jogadores quer mostrar que os dois grafos são diferentes e o
outro jogador quer mostrar que eles de certa forma são semelhantes. Os
jogadores jogam alternadamente. Um dos jogadores escolhe um vértice de um
dos grafos e o outro jogador escolhe um vértice do outro grafo. O segundo
jogador ganha se existir um isomorfismo entre os subgrafos induzidos pelos
61
vértices escolhidos nos dois grafos. A duração do jogo é um número fixo de
passos, sendo esse número decidido no início do jogo.
O franco-argelino, Roland Fraïssé, desenvolveu um método para verificar a
condição necessária e suficiente para que dois grafos sejam elementarmente
equivalentes [6]. Esta teoria de Fraïssé foi redescoberta alguns anos mais tarde
pelo lógico A. D. Taimanov e reformulada em termos de jogo lógico por
Andrzej Ehrenfeucht. Daí a designação de jogo de Ehrenfeucht-Fraïssé.
Também é conhecido como jogo de vai-e-vem. Normalmente os jogadores
designam-se por Spoiler e Duplicator, aparecendo Spoiler como sendo o
jogador masculino e Duplicator como o jogador feminino.
Este jogo pode ser simultaneamente simples e complexo e é ótimo para ser
jogado entre amigos.
3.4.2. Objetivo do jogo
O jogador I tem como objetivo mostrar que os dois grafos são diferentes e o
objetivo do jogador II é mostrar que são ”semelhantes”.
3.4.3. Definição do jogo
O jogo de Ehrenfeucht-Fraïssé sobre G e G’ aparece na literatura com a
notação EFn (G,G’), onde G e G’ são os dois grafos simples do jogo e n, fixo, é
o número de jogadas, para cada jogador. O número de jogadas tem de ser no
máximo metade da soma dos números de vértices dos dois grafos. Durante o
jogo, o jogador I escolhe n vértices, distintos, x0,…,xn-1 dos grafos. Ao mesmo
tempo, alternando com o jogador I, o jogador II também escolhe n vértices,
distintos, y0,…,yn-1 também dos dois grafos, mas yi é escolhido do grafo ao qual
xi não pertence.
A seguir apresentamos o jogo de Ehrenfeucht-Fraïssé, segundo Jouko
Väänänen [19].
62
Definição: Suponhamos que G = (V,A) e G’ = (V’,A’) são grafos simples tais
que V∩V’= e n ∈ . O jogo Ehrenfeucht-Fraïssé EFn(G,G’) é o jogo
Gn(V V’,W), onde W é o conjunto dos 2n-uplos (x0, y0,…,xn-1,yn-1) tais que:
(G1) Para todo i < n : xi ∈ V yi ∈ V’.
(G2) Se denotarmos vi e vi’ como:
∈ ∈
e ∈
∈
então
(G2.1) vi = vj se e só se vi’ = vj’.
(G2.2) {vi, vj} A se e só se {v’i, v’j} A’.
Se as jogadas estiverem em W, então o jogador II ganha.
Os vértices vi e v’i definidos acima designam-se por vértices correspondentes.
3.4.4. Regras do jogo
Cada jogada consiste num movimento do Jogador I seguido de um
movimento do Jogador II;
O jogador I escolhe um vértice de um dos grafos e o jogador II escolhe um
vértice do grafo que o jogador I não selecionou, e que não tenha sido
escolhido anteriormente;
Na jogada i+1, o vértice selecionado pelo jogador I denota-se por xi e por yi
o vértice selecionado pelo jogador II;
O jogador II ganha se existir um isomorfismo entre os subgrafos gerados
pelos vértices escolhidos nos dois grafos, caso contrário ganha o jogador I;
O jogo termina ao fim de um determinado número de jogadas, n, onde
)'G(V),#G(V,#)V(G'# V(G)#
minn
2
.
63
3.4.5. Exemplos e situações de jogo
Exemplo [19] de um jogo em que ganha o jogador II.
Suponham-se os grafos a seguir G = (V, A) e G’ = (V’, A’).
Figura 32 – Grafos iniciais para um jogo de EF4(G, G’)
Neste exemplo n = 4. O jogador I escolhe quatro vértices dos grafos, x0, x1, x2 e
x3, alternando com o jogador II que também escolhe quatro vértices, y0, y1, y2 e
y3.
Uma posição do jogo encontra-se na figura seguinte:
Figura 33 – Uma posição do jogo EF4(G, G’)
De notar que o jogador I indicou os seus dois primeiros elementos no grafo G,
o terceiro em G’ e o último em G. Respetivamente, o jogador II indicou os seus
dois primeiros vértices em G’, o terceiro em G e o último em G’. O jogador II
fez sempre as suas jogadas no outro grafo relativamente ao qual o jogador I fez
a sua jogada, com o objetivo de tentar imitar os movimentos do jogador I. De
notar, neste jogo, EF4(G, G’), que existe uma aresta entre quaisquer dois
vértices de G se e só se existir uma aresta entre os vértices correspondentes no
grafo G’. Então, isto significa que o jogador II ganhou o jogo porque conseguiu
64
provar que existe um isomorfismo entre os subgrafos gerados pelos vértices
por si escolhidos.
No exemplo acima o número de vértices dos dois grafos era igual. E se por
acaso tivermos a situação em que o número de vértices dos dois grafos é
diferente?
Situação 1:
O grafo G tem um vértice isolado e o outro grafo não tem vértices isolados.
O jogador I tem uma estratégia vencedora, nesta situação, pois pode fazer a sua
primeira jogada x0 no vértice isolado e depois do jogador II ter escolhido y0 (o
qual não pode ser isolado…), o jogador I escolhe x1 que esteja ligado por uma
aresta a y0. O jogador II está em desvantagem na escolha seguinte pois não
pode escolher y1 para o unir com x0, porque este último é um vértice isolado.
Verifica-se assim a vitória do jogador I.
Figura 34 – Posição de um jogo EF2(G, G’) em que ganha o jogador I
Situação 2:
O grafo G tem um vértice anti-isolado e o grafo G’ que não tem vértices anti
isolados.
Nesta situação o jogador I também tem uma estratégia vencedora. Para tal deve
fazer a sua primeira jogada, x0, no vértice anti-isolado. De seguida, o jogador II
escolhe arbitrariamente y0. O jogo prossegue até atingir a posição representada
abaixo. O jogador II perde porque não consegue provar a existência de um
isomorfismo entre os dois grafos.
65
Figura 35 – Posição de um jogo EF2(G, G’) em que ganha o jogador I
Jouko Väänänen, refere no seu livro “Models and Games” [19] que se nenhum
dos grafos tiver vértices isolados ou anti-isolados, o jogador II tem uma
estratégia vencedora em EF2(G, G’).
O que acabamos de provar está expresso na proposição seguinte:
Proposição[19]: Sejam G = (V,A) e G’ = (V’,A’) grafos tais que V∩V’= .
Então, o jogador II tem uma estratégia vencedora em EF2(G, G’) se e só se as
condições abaixo se verificarem:
(1) G tem um vértice isolado se e só se G’ tem um vértice isolado.
(2) G tem um vértice anti isolado se e só se G’ tem um vértice anti isolado.
(3) G tem um vértice que não é nem isolado nem anti isolado se e só se G’
tem um vértice que não é nem isolado nem anti isolado.
Considere-se um caso especial neste jogo para depois se poder introduzir um
teorema relativo à estratégia vencedora do jogador II.
Suponhamos então que o jogador II tem uma estratégia vencedora em
EF3 (G, G’). A afirmação simples z x y (x A y z A y). Note-se que esta
afirmação diz que existe um vértice a tal que todo o vértice tem um vizinho
que é vizinho de a.
Queremos mostrar que se G satisfaz a condição z x y (x A y z A y) então
G’ também a satisfaz. Para isso, suponhamos que G satisfaz realmente a
condição z x y (x A y z A y). Assim, G tem um vértice, popular, a:
66
Figura 36 – Posição inicial de um jogo EF3 (G, G’), onde o grafo G’ é
construído durante o jogo
Para mostrar que G’ satisfaz a condição z x y (x A y z A y) consideramos
que o jogador I começa o jogo EF3 (G, G’) com a jogada x0 = a. O jogador II
responde de acordo com a sua estratégia de vitória através de um elemento a’
de G’:
Figura 37 – Posição ao fim de uma jogada para cada jogador
É preciso mostrar que a’ é um vértice popular de G’. Portanto, vamos tomar
um elemento b’ de G’ e vamos tentar encontrar um vizinho que também seja
vizinho de a’:
Figura 38 - Posição do jogo antes da segunda jogada do segundo jogador
67
O truque é continuar o jogo EF3 (G, G’) deixando que o jogador I jogue x1 = b’
em G’. O jogador II responde de acordo com a sua estratégia vencedora com
um elemento b de G:
Figura 39 - Posição ao fim de duas jogadas para cada jogador
Uma vez que a é “popular” em G, então o vértice b tem um vizinho c o qual é
também um vizinho de a:
Figura 40 - Posição do jogo antes no final da segunda jogada do jogador I
Concluímos o jogo EF3 (G, G’) deixando o jogador I fazer a jogada x2 = c em
G. O jogador II responde de acordo com a sua estratégia vencedora com um
elemento c’ de G’:
Figura 41 – Apresentação dos vértices do grafo G’
68
Uma vez que é uma estratégia vencedora e c é um vizinho tanto de a como de
b, então c’ é um vizinho tanto de a’ como de b’:
Figura 42 – Posição terminal do jogo
A linguagem de 1ª ordem de grafos constrói-se a partir de equações do tipo y=x
e de afirmações de adjacência x A y, chamadas fórmulas atómicas, através das
operações proposicionais , , e dos quantificadores x x, sendo x uma
variável que toma valores no conjunto dos vértices.
Define-se uma atribuição de G como uma função f cujo domínio é um
conjunto finito de variáveis e cujos valores são elementos de G. Escreve-se
G ⊧s
se a fórmula for verdadeira no grafo G, quando as variáveis livres que
ocorrem em são interpretadas de acordo com s, isto é, uma variável x é
interpretada como s(x) V.
A atribuição s[a/x] define-se como:
xyseys
xyseax/as
Com este conceito, a condição de verdade das fórmulas quantificadas pode ser
dada facilmente por
G ⊧s x existe um vértice v tal que G ⊧s[v/x] .
O número de variáveis de uma fórmula é definida pelo número total de
variáveis distintas que ocorrem na fórmula (uma ou várias vezes).
69
Suponha-se que
p = (x0, y0,…, xi-1, yi-1)
é uma posição do jogo EFn (G, G’). Chamamos mapa da posição p do jogo
EFn(G, G’) ao correspondente conjunto de pares
fp = {(v0, v’0), …, (vi-1, v’i-1)}.
Note-se que, a não ser que o jogador II já tenha perdido o jogo, fp é uma função
onde o dom(fp) VG e Cdom(fp) VG’, onde dom(fp) é o domínio de fp e
Cdom(fp) é o contradomínio de fp.
O grau de quantificação de uma fórmula , denota-se por QR() e define-se
do seguinte modo:
QR(x=y) = QR(x A y)=0;
QR()=QR();
QR( )= QR( )=max{QR(),QR()};
QR(x)= QR(x)= QR()+1
De forma mais simplificada, o grau de quantificação de uma fórmula é a
profundidade de aninhamento dos seus quantificadores.
Alguns exemplos:
Uma frase com grau de quantificação 2:
∀x ∃y R(x, y)
Uma fórmula com grau de quantificação 1:
∀x R(y, x) ∧ ∃x R(x, y)
Uma fórmula com grau de quantificação 0:
R(x, y) ∧ x ≠ y
Uma fórmula de grau de quantificação 3:
xRzzxyRxyxzyx
70
Uma fórmula, equivalente à anterior, porém com grau de quantificação 2:
xRzzxzyRxyxyx
Teorema C1: Suponhamos que G e G’ são dois grafos simples. Se o jogador II
tiver uma estratégia vencedora em EFn (G, G’) na posição p = (x0, y0, …, xn-k-1,
yn-k-1), então G ⊧s se e só se G’ ⊧ spf para todas as fórmulas , sem
variáveis livres, com grau de quantificação inferior ou igual a k e todas as
atribuições s de G tais que Cdom (s) dom (fp).
Prova:
A demonstração faz-se por indução sobre k. Para k = 0, nada há a
demonstrar. Consideremos que a afirmação é verdadeira para k, como
hipótese de indução e vamos demonstrá-lo para k+1. Seja = (0, …, k)
uma estratégia vencedora do jogador II em EFn (G, G’) na posição p = (x0,
y0, …, xn-k-2, yn-k-2). Suponhamos que é uma fórmula com grau de
quantificação inferior ou igual a k+1 e seja s uma atribuição de G tal que
Cdom(s) dom (fp). Vamos mostrar: G ⊧s se e só se G’ ⊧ spf .
Caso 1:
Se é atómica e s satisfaz em G, então o jogador que efetuou a última
jogada ganha. O que se quer mostrar segue do facto de que o jogador II
ainda não perdeu o jogo.
Caso 2:
= x, onde tem grau de quantificação inferior ou igual a k. A hipótese
de indução aplica-se a .
Assume-se que G ⊧s x e vamos mostrar que G’ ⊧ spf x.
71
Seja então a VG tal que G ⊧s[a/x] . O nosso objetivo é encontrar um b
VG’ tal que G’ ⊧ ]x/b[)spf( . Joguemos EFn (G, G’) na posição p de
modo que o jogador I escolha em primeiro lugar xn-k-1 = a VG e depois o
jogador II usa a sua estratégia vencedora para escolher yn-k-1 = b VG’.
Temos assim uma nova posição p’ = (x0, y0, …, xn-k-1, yn-k-1) e o jogador II
mantém ainda uma estratégia vencedora na posição p’. Pela hipótese de
indução, G ⊧s[a/x] implica que G’ ⊧ ])x/a[s()'pf( . Como, após a jogada
do jogador I, o jogador II ainda dispõe de uma jogada, tem-se (fp’) o (s[a/x])
= (fp o s)[b/x]), o que significa que o jogador II ainda mantém uma
estratégia vencedora. Assim, G’⊧ ]x/b[)s'pf( , como pretendíamos.
De modo idêntico se poderia começar em G’ ⊧ spf x e obter G ⊧s x.
Caso 3:
é uma de , , de x. Então o que queremos demonstrar
segue dos casos 1 e 2. Vejamos:
Se = , então o jogador que tem disponível a jogada (, s), permite a
jogada (, s) ao outro jogador, o que significa que o jogador II ainda não
perdeu.
Se = , então o jogador que pode fazer a jogada (, s), passa a ter
disponíveis (, s) ou (, s) e o outro jogador é que decide.
Se = , então o jogador que detém a jogada (, s), passa a ter
disponíveis (, s) ou (, s), e pode ele próprio decidir a jogada.
Se = x, então o jogador que tem disponível a jogada (, s), passa a
dispor de (, s[v/x]) para algum v e o outro jogador decide para qual v.
Tendo em conta a demonstração acima prova-se o seguinte teorema:
72
Teorema C2: Suponhamos que G e G’ são dois grafos. Se o jogador II tiver
uma estratégia vencedora em EFn (G, G’), então os grafos G e G’ satisfazem as
mesmas sentenças com grau de quantificação inferior ou igual a n.
73
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os três tipos de jogos aqui estudados poderão ser usados em atividades letivas dirigidas aos
alunos tendo em conta as suas faixas etárias e os objetivos pedagógicos pretendidos. Os
jogos em que é fácil descortinar uma estratégia vencedora mobiliza recursos do raciocínio
conducentes à descoberta. Os jogos que nunca terminam empatados fornecem sempre uma
solução para um dos jogadores. Este fator pode ter bons resultados pedagógicos motivando
o aluno para a pesquisa e obtenção de uma solução, que se sabe existir, para um problema.
Finalmente, os jogos que terminam sempre empatados, quando bem jogados, obrigam ao
desenvolvimento de estruturas cognitivas de forma a tentar inverter essa situação. Outro
jogo de raciocínio lógico que motiva algumas discussões matemáticas importantes é o
Sudoku. Um desses problemas é saber se existirá um número mínimo de casas que deva
estar inicialmente preenchido no jogo, abaixo do qual será impossível concluir o tabuleiro,
ou seja, trata-se do problema do número mínimo de pistas de um Sudoku [10].
Tal como é preconizado no Currículo Nacional do Ensino Básico - Competências
Específicas de Matemática, cremos que a introdução de jogos no ensino, ao aliar
competências essenciais de raciocínio, estratégia e reflexão, é um fator benéfico para a
aprendizagem de conteúdos de Matemática, desde que adequadamente utilizados. Sugere-
se assim a continuação deste trabalho, procurando aliar o estudo de alguns dos jogos aqui
realizado à lecionação de conteúdos de Matemática.
74
75
REFERÊNCIAS
[1] A.N.d. Almeida, Teoria de Jogos: As origens e os fundamentos da Teoria de Jogos,
UNIMESP - Centro Universitário Metropolitano de São Paulo, São Paulo, 2006.
[2] J.A. Bondy, and U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications, The Macmillan
Press Ltd., Great Britain, 1976.
[3] C.L. Bouton, Nim, A Game with a Complete Mathematical Theory, in The Annals
of Mathematics, 2, Annals of Mathematics, 1901-1902, pp. 35-39.
[4] P. Feofiloff, Y. Kohayakawa, and Y. Wakabayashi, Uma Introdução sucinta à
Teoria dos Grafos, 2011.
[5] T.S. Ferguson, Game Theory, UCLA - University of California at Los Angeles,
2008.
[6] R. Fraïssé, Sur quelques classifications des relations, basées sur des isomorphismes
restreints, in Mathematique, Publications Scientifiques Université d'Alger, Alger,
1955.
[7] M. Gardner, Mathematical Puzzles and Diversions, Scientific American, CON-
TAC-TIX A PIET HEIN Game, 1968.
[8] J. Huizinga, Homo Ludens: O jogo como elemento da cultura, São Paulo, 2007.
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