ludwig krippahl, 2007 programação para as ciências experimentais 2006/7 teórica 6

Ludwig Krippahl, 2007

Programação para as Ciências Experimentais

2006/7

Teórica 6

Ludwig Krippahl, 2007 2

Na aula de hoje...

Anúncios Métodos estocásticos (Monte Carlo)

• Calculo de áreas

• Integração de funções

• Unidades formadoras de colónias

• Formação de nanoestruturas

Trabalho 1 (dúvidas, etc...)


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Entrega do trabalho 1: dia 27, 9:00h As aulas dessa semana não são para

tirar dúvidas sobre o trabalho 1.

Alunos do P5: combinar aula para compensar o feriado (no final desta)


Monte Carlo

Nome cunhado pelo matemático Nicholas Constantine Metropolis(1915-1999)

Conjunto de métodos baseados em números aleatórios.


Calcular uma área

x>1

y<x-1y2+x2<4


Calcular uma área

x>1

y<x-1y2+x2<4

Área?


Algoritmo

Pontos ao acaso no quadrado -2, 2.

Área?


Algoritmo

Contamos os pontos dentro e fora.

Área?


Algoritmo

Contamos os pontos dentro e fora. A fracção de pontos dentro da área será

a proporção entre a área a medir e a área do quadrado.

Quanto mais pontos melhor.


Implementação

Separar as tarefas:• Dentro ou fora?

• Uma função que recebe x, y e devolve true ou false conforme x, y está dentro da área que queremos.

• Contar os pontos• Outra função que recebe o nome da função que

testa, o rectângulo que inclui a área a medir, e o número de pontos, e devolve a área pretendida.


Implementação

Função triangcirc testa se está dentro do triângulo e circulo

function dentro=triangcirc(x,y)

dentro= ( x^2+y^2<4 && x>1 && y<x-1);

endfunction


Implementação

Função areamc:• devolve área

• recebe• nome da função teste (string, para o feval)

• mínimos de x e y

• máximos de x e y (definem o rectângulo)

• número de pontos


Implementação

Função areamc:

function a=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)

• valor a devolver com a área


Implementação

Função areamc:


• string com o nome da função que testa cada ponto


Implementação

Função areamc:


• rectângulo que contêm a área a determinar


Implementação

Função areamc:


• número de pontos a testar


Implementação

Função areamc:• área (variável a) começa a zero

• calcular a largura e altura do rectângulo

• ciclo para testar o número especificado de pontos.

• no final, a área é o número de pontos dentro a dividir pelo total de pontos e multiplicar pela área do rectângulo


Implementação

Função areamc:• ciclo para testar o número especificado de

pontos.• criar coordenadas x,y aleatórias, de minx a maxx,

e miny a maxy respectivamente.

• se feval(testefn, x, y) for verdadeiro então incrementar a variável a (para contar o número de pontos dentro da área)


Implementação

Para fazer os gráficos:• Além da área devolver também duas matrizes

com as coordenadas x,y dos pontos dentro e fora.

function [a,dentros,foras]=areamc(testfn,minx,miny,maxx,maxy,pontos)


Exemplo de utilização

octave:13> areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,1000)

ans = 1.7440

Nota: chamando assim ignora os outros valores devolvidos, dentros e foras.


Exemplo de utilização

pontos=1000;[a,ds,fs]=areamc("triangcirc",-2,-2,2,2,pontos);hold offaxis("equal") eixos iguaistitle([num2str(pontos)," pontos"]);plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;");hold on;plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");“or;;” – circulo, red, ;; indica que não tem legenda


Dicas

Mais pontos, mais rigor:


Dicas

Mais pontos, mais rigor. O rectângulo convêm estar o mais

próximo possível da área que queremos.• Em vez de (-2,-2) a (2,2), usar (1, -2) a (2,1)


Dicas

• Em vez de (-2,-2) a (2,2)

usar (1, -2) a (2,1)

• Área=1.7


Integrar função


Integrar função

O integral de f(x)=-exp(x3) não tem solução analítica.

Mas o integral é a área:


Integrar função

Podemos usar a areamc, só precisamos de uma função nova:

function dentro=expxcubo(x,y)

dentro=y<=exp(-x^3);

endfunction


Integrar função

Basta usar:

areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,5000);

ans= 0.89952

Nota: neste caso só é devolvido o primeiro valor (a).


Integrar função Para fazer o gráfico:pontos=5000;[a,ds,fs]=areamc("expxcubo",0,0,2,1.2,pontos);clearplotaxis("equal")title([num2str(pontos)," pontos"]);plot(ds(:,1),ds(:,2),"og;;");hold on;plot(fs(:,1),fs(:,2),"or;;");


Contar microorganismos no ar

Bomba aspira ar. Orifícios sobre placa. Contar colónias. Estimar UFCs.


Contar microorganismos no ar

Problema:• Podem entrar vários esporos ou bactérias

pelo mesmo orifício, resultando numa só colónia.

Ar


Simulação

Temos N orifícios e X UFCs. Cada UFC pode entrar por qualquer dos

N orifícios. O número de colónias será o número de

orifícios diferentes por onde entraram UFCs


Algoritmo

Para cada UFC seleccionar um orifício aleatoriamente e marcar esse orifício.

Contar o número de orifícios marcados. Repetir um número grande de vezes (50,

100, ...) e tirar o valor médio.


Implementação

Função

function cs=colonias(buracos,ufcs,tentativas)

• Devolve o número de colónias


Implementação

Função


• Número de orifícios


Implementação

Função


• Número de UFCs no ar


Implementação

Função


• Número de vezes que repete a simulação para calcular a média


Implementação

Dois ciclos for:• número de tentativas e, para cada tentativa

• número de ufcs.

A cada tentativa somar a um contador o número de orifícios marcados.


Implementação

Os orifícios podem ser representados como um vector de zeros, e marcados com 1.

O total de orifícios marcados é o somatório do vector.


Implementação

Como seleccionar o orifício aleatoriamente.• É preciso arredondar:

• round(x) inteiro mais próximo de x

• floor(x) maior inteiro menor que x

ix=floor(rand*buracos)+1; (de 1 a buracos)

Nota: o rand nunca devolve 1. Ver help.


Problema real

A função colonias dá-nos o número de colónias formadas na placa sabendo as UFCs no ar.

O problema real é o inverso: as colónias na placa é o que se observa, e o que queremos saber é as UFCs do ar.


Algoritmo

O número de colónias será sempre igual ou inferior ao número de UFCs no ar.

Começar por UFCs= colónias, e ir incrementando os UFCs até obter da função colonias o número certo de colónias.


Implementação

Função contaufcs

function u=contaufcs(buracos,cs,tentativas)• Recebe o número de orifícios, colónias

observadas, e o número de tentativas para estimar as colónias para cada valor de u.


Implementação

Função contaufcs• u = cs

• Enquanto o número estimado de colónias for inferior a cs, incrementar u e recalcular a estimativa

• Para estimar o número de colónias em função de u usar a função colonias, com o número de tentativas no argumento do contaufcs


Formação de nanoestruturas

Controlled Synthesis of 2-D and 3-D Dendritic PlatinumNanostructures, Yujiang Song et al, JACS 23/12/2003


Simular difusão em 2D

Movimento aleatório da partícula



Superfície maior: cyclic boundary



Regras de movimento:• partícula está em x, y.

• escolher aleatoriamente -1, +0, +1 para cada



Regras de movimento:• partícula está em x, y.

• escolher aleatoriamente -1, +0, +1 para cada

• sai por um lado, entra pelo outro:• se >tamanho, coordenada = 1

• se <1, coordenada = tamanho

• Atenção• round(rand*2) ou floor(rand*3)?

• O round dá 50% de probabilidade de ser 1...



Função movexy

function [x,y]=movexy(x,y,tamanho)

• Recebe coordenadas x, y e tamanho.

• Devolve coordenadas x, y depois de modificadas.

• Precisa de saber o tamanho para “dar a volta” se a coordenada sai da grelha.


Inicio da trajectória

A partícula vai começar no limite da grelha:



A partícula vai começar no limite da grelha:• Escolher x e y ao acaso , entre 1 e tamanho.

• x e y têm que ser inteiros.

• Escolher um r ao acaso entre 0 e 1.

• Conforme o r é <0.25, <0.5, <0.75 ou else x=1, x=tamanho, y=1, y=tamanho



• Conforme o r é <0.25, <0.5, <0.75 ou else x=1, x=tamanho, y=1, y=tamanho

25% probabilidade para cada lado



Função inicio

function [x,y]=inicio(tamanho)

• Recebe o tamanho da grelha e devolve as coordenadas iniciais da partícula geradas aleatoriamente, na fronteira da grelha.



A estrutura vai-se formando conforme partículas difundem pela membrana e se agregam.

Algoritmo: quando o movimento de uma partícula a levaria a uma posição da grelha já ocupada, a partícula fica imobilizada como parte da estrutura


Implementação

Função crescimento

function parts=crescimento(tamanho,particulas)

• Recebe o tamanho da grelha e o número de partículas na nanoestrutura. Devolve uma matriz de 2 colunas com as coordenadas x e y das partículas na estrutura.


Implementação

Exemplotamanho=20;

parts=crescimento(tamanho,40);

title([num2str(length(parts))," particulas"]);

axis([1,tamanho,1,tamanho],"equal");

plot(parts(:,1),parts(:,2),"or;;");


Implementação

Exemplo


Implementação

Representação da estrutura:• Matriz de duas colunas x, y.

Problema:• Para detectar se uma célula da grelha está

ocupada temos que ver todas as partículas já na estrutura. Isto cada vez que se move uma partícula. Pouco eficiente


Implementação

Representação da estrutura:• Matriz de duas colunas x, y.

Solução:• Representar também a grelha com uma

matriz de zeros, de tamanho x tamanho, em que colocamos 1 em cada célula ocupada.

• Para detectar ocupação da célula x, y é só consultar matriz(x,y)


Implementação

Função crescimento• Criar grelha e vector partículas

• Colocar a primeira partícula no centro da grelha

• Para cada partícula da segunda em diante:• Usar inicio para escolher o ponto inicial.

• Repetir:• movexy e verificar se novo x, y está ocupado. Se

está guardar o x, y corrente na partícula e marcar a grelha.


Como fazer estes gráficos?

Próxima aula....


Trabalho 1

Parte 1• Quase o mesmo que o zero do polinómio,

mas em vez do polinómio usa a função que calcula o desvio ao equilíbrio.

Parte 3• Quase o mesmo que extrair os elementos da

fórmula química

Partes 2 e 4: usar o resto.


Dúvidas

ludwig krippahl, 2007 programação para as ciências experimentais 2006/7 teórica 6

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