los sistemas de numeración
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TRABAJO:
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
PROFESOR:
JOSÉ CALIXTO SALAS GONZÁLEZ
SEMESTRE: ESPECIALIDAD:
3° MATEMÁTICAS
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN A LO LARGO DE LA HISTORIA
Cuando los hombres empezaron a contar usaron losdedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en unacuerda y algunas otras formas para ir pasando de unnúmero al siguiente. A medida que la cantidad crece sehace necesario un sistema de representación máspráctico. En diferentes partes del mundo y en distintasépocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanzaun determinado número se hace una marca distintaque los representa a todos ellos.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de lascivilizaciones han contado enunidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de lamisma forma que seguimos haciéndolo hoy.
Sin embargo la forma de escribir los números ha sidomuy diversa y muchos pueblos han visto impedido suavance científico por no disponer de un sistema eficazque permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan conexactitud los números enteros, aunque en algunospueden confundirse unos números con otros, peromuchos de ellos no son capaces de representar grandescantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolosque los hace poco prácticos.
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN BINARIO
El sistema de numeración binario o de base 2 es un sistemaposicional que utiliza sólo dos símbolos para representarun número. Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dosunidades de un orden forman la unidad de orden superiorsiguiente. Este sistema de numeración es sumamenteimportante ya que es el utilizado por las computadoraspara realizar todas sus operaciones.
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN OCTAL
El sistema de numeración octal es también muy usadoen la computación por tener una base que es potenciaexacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característicahace que la conversión a binario o viceversa sea bastantesimple.
El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen elmismo valor que en el sistema de numeración decimal.
Los números octales pueden construirse a partir denúmeros binarios agrupando cada tres dígitosconsecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) yobteniendo su valor decimal.
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL
Un gran problema con el sistema binario es laverbosidad. Para representar el valor 20210 serequieren ocho dígitos binarios, la versión decimal sólorequiere de tres dígitos y por lo tanto los números serepresentan en forma mucho más compacta conrespecto al sistema numérico binario.
El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base16, resuelve este problema (es común abreviarhexadecimal como hex aunque hex significa base seis yno base dieciseis).
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN ADITIVOS
Para ver cómo es la forma de representación aditivaconsideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cadaunidad se escribe un trazo vertical, por cada decena unsímbolo en forma de arco y por cadacentena, millar, decena y centena de millar y millón unjeroglífico específico.
Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas lasunidades están físicamente presentes.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan lossímbolos de todas las unidades, decenas... como seannecesarios hasta completar el número.
Una de sus características es por tanto que se puedenponer los símbolos en cualquier orden, aunque engeneral se ha preferido una determinadadisposición. Han sido de este tipo las numeracionesegipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca(de base 20), romana y las alfabéticas de losgriegos, armenios, judíos y árabes.
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN EGIPCIO
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistemadescribir los números en base diez utilizando los jeroglíficosde la figura para representar los distintos ordenes deunidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y sepodían escribir indistintamente de izquierda a derecha, alrevés o de arriba abajo, cambiando la orientación de lasfiguras según el caso.
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN GRIEGO
El primer sistema de numeración griego se desarrollóhacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal queusaba los símbolos de la figura siguiente pararepresentar esas cantidades. Se utilizaban tantas deellas como fuera necesario según el principio de lasnumeraciones aditivas.
Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usabantrazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientesa la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil(khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo elsigno de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principiomultiplicativo. Progresivamente este sistema ático fuereemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras delalfabeto griego junto con algunos otros símbolos según latabla siguiente
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN HÍBRIDOS
En estos sistemas se combina el principio aditivo con elmultiplicativo. Si para representar 500 los sistemasaditivos recurren a cinco representaciones de 100, loshíbridos utilizan la combinación del 5 y el 100.
Pero siguen acumulando estas combinaciones de signospara los números más complejos. Por lo tanto siguesiendo innecesario un símbolo para el 0. Para representarel 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es ahorafundamental para evitar confusiones, se dan así los pasospara llegar al sistema posicional, ya que si los signos del10, 100 etc.
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN CHINO
La forma clásica de escritura de los números en China seempezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es unsistema decimal estricto que usa las unidades y los distintaspotencias de 10.
Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación delos números hasta el diez con la decena, centena, millar ydecena de millar para según el principio multiplicativorepresentar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hacefundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que75.
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES
Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son losposicionales. En ellos la posición de una cifra nos dice si sondecenas, centenas... o en general la potencia de la basecorrespondiente. Sólo tres culturas además de la indialograron desarrollar un sistema de este tipo.Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron almismo principio.
La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollocompleto hasta la introducción del mismo. Los sistemasbabilónico y maya no eran prácticos para operar porque nodisponían de símbolos particulares para los dígitos, usandopara representarlos una acumulación del signo de la unidad yla decena.
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN BABILÓNICO
Entre las muchas civilizaciones que florecieron en laantigua Mesopotamia se desarrollaron distintossistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventóun sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicionalpara números superiores.
Para la unidad se usaba la marca vertical que sehacía con el punzón en forma de cuña.
Se ponían tantos como fuera preciso hasta llegar a10, que tenía su propio signo. De este se usaban losque fuera necesario completando con las unidadeshasta llegar a 60.
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómobase auxiliar. La unidad se representaba por un punto.Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4.El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntosnecesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usabandos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, concuatro rayas.
LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN MAYA