Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa

Lógica CP: semântica

• ModeloUma interpretação que atribui o valor de verdade true auma fórmula

• Tautologia (fórmula válida)Fórmula verdadeira para todas as interpretações

• Contradição (fórmula inconsistente)Fórmula falsa para todas as interpretações

• ContingênciaFórmula verdadeira para umas interpretações e falsapara outras.

(P ∨ ¬P)

(P ∧ ¬P)

(P ∨ Q)

Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa

Lógica Equivalências

• Duas proposições p e q dizem-se logicamente equivalentes se é uma tautologia.p → q

p ⇔ qUsa-se a notação:

• Modo de provar: usando tabelas de verdade. - como funciona? - porque funciona?

Exemplo: (p → q) ⇔ (¬p ∨ q)

Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa

Lógica Equivalências

Equivalências Nome

Leis de Identidade

Leis de Dominância

Leis da Idempotência

Lei da Dupla Negação

Leis da Comutatividade

Leis da Associatividade

Leis da Distributividade

Leis de De Morgan

p ∧ T ⇔ p

p ∨ F ⇔ p

p ∨ T ⇔ T

p ∧ F ⇔ F

p ∨ p ⇔ p

p ∧ p ⇔ p

¬(¬p) ⇔ p

p ∨ q ⇔ q ∨ p

p ∧q ⇔ q ∧ p

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r )

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )

¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q

¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa

Lógica CP: Dualidade

• Princípio da Dualidade

Sejam F e G são duas FBFs equivalentes eF’e G’ duas FBFs que se obtêm de F e de G,trocando true por false e false por truee ainda ∨ por Λ e Λ por ∨ .

Então F’ e G’ são equivalentes.

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Lógica CP: Equivalência

Regra da Substituição

Qualquer sub-FBF de uma FBF pode ser substituidapor outra FBF equivalente, sem alterar o valor deverdade da FBF original

• Aplicações

(a) provar equivalência entre FBFs sem recursoa tabelas de verdade

(b) definir o estatuto de uma FBF (tautologia,contradição, contingência) sem recurso a tabelas deverdade.

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Lógica CP: equivalência

• Exemplo (a)

A → (B → C) ⇔ B → ( A → C)

A → (B → C) ⇔ ¬A ∨ (¬B ∨ C) ⇔(¬A ∨ ¬B) ∨ C ⇔ (¬B ∨ ¬A) ∨ C ⇔¬B ∨ (¬A ∨ C) ⇔ ¬B ∨ (A → C) ⇔B → (A → C)

Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa

Lógica CP: Equivalência

• Exemplo (b) - Método de Quine

• Visualização gráfica: árvore binária

((A ∧ B → C) ∧ (A ∧ B)) → (A → C)

P → Q ∧ P

true → Q ∧ true

true → Q

false → Q ∧ false

false → false

trueQ

true false

P=true P=false

Q=true Q=false

Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa

Lógica CP:Formas Normais

• Literal

• Mintermo

• Forma Normal Disjuntiva (FND)

• Maxtermo (cláusula)

• Forma Normal Conjuntiva (FNC)

Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa

Lógica CP: FND

• Teorema: toda a FBF é equivalente a uma FND

• Algoritmo:

1) Eliminar equivalências2) Eliminar implicações3) Aproximar negações (criar literais)4) Aplicar propriedade distributiva

• Exemplo

((P ∧ Q) → R) ∧ S ⇔(¬(P ∧ Q) ∨ R) ∧ S ⇔(¬P ∨ ¬Q ∨ R) ∧ S ⇔(¬P ∧ S) ∨ (¬Q ∧ S) ∨ (R ∧ S)

Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa

Lógica CP: FNC

• Teorema: toda a FBF é equivalente a uma FNC

• Algoritmo:

1) Eliminar equivalências2) Eliminar implicações3) Aproximar negações (criar literais)4) Aplicar propriedade distributiva

• Exemplo

((P ∨ Q) → R) ∨ S ⇔(¬(P ∨ Q) ∨ R) ∨ S ⇔((¬P ∧ ¬Q) ∨ R) ∨ S ⇔((¬P ∨ R) ∧ (¬Q∨ R)) ∨ S ⇔(¬P ∨ R ∨ S) ∧ (¬Q ∨ R ∨ S)

Lógica: Equivalências Proposicionais 2000, Ernesto Costa

Lógica CP: conjuntocompleto

• Necessitamos dos 5 conectores lógicos?

- equivalência

- implicação

• necessitamos dos restantes ?

• Bastam dois?

- NAND

• Conjuntos funcionalmente completos!

¬,∨{ }¬,∧{ }