lm edo

Director da colecção Manual. Prof. Paulo Manuel de Araújo de SáProjecto gráfico. IncomunImpressão e acabamentos. marca-ag.com1: edição. 20002: edição. 20043: edição. 2010Depósito legal n.? 206 451/04ISBN978-972-752-124-1© Luísa Madureira . 2000© Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Rua Dr. Roberto Frias. 4200-465 Portohttp://feupedJe.up.pt

lodo os direitos reservados. Nenhuma parte deste livropod 5 r reproduzida por processo mecânico, electrónicoou outro sem autorização escrita do editor.

Luísa Madureira

roblemas de equaçõesiferenciais ordináriastransformadas de Laplace

3.a edição

li dice

Pr fácio. 11

Introdução. 13

Capítulo 1

quações diferenciais de primeira ordem. 151.1 Equações diferenciais de variáveis separáveis. 15

1.2 Equações diferenciais homogéneas. 20

1.2.1 Equações redutíveis a homogéneas. 26

1.3 Trajectórias ortogonais. 30

1.1]·Equações diferenciais exactas. Factor integrante. 34

1.4.1 Factor integrante. 38

I. quações diferenciais lineares. 42

1.5.1 Equação de Bernoulli. 48

1.5.2 Equação de Riccati. 52

I. qu cõ s n o r solvidas em ordem à derivada. 56

1.6.1 EqLI c o d L gr ng . 60

1.. I 1~lil (o d Clt ir ut. 3

Capítulo 2

Equações diferenciais de ordem superior à prim2.1 Redução da ordem das equações diferenciais 67

2.2 Equações diferenciais lineares de ordem n. 72

2.2.1 Soluções da equação homogénea e não homogénea. 73

2.2.2 Equações diferenciais lineares homogéneas de coeficientes constantes. 75

2.2.3 Equações diferenciais lineares não homogéneas de coeficientesconstantes. 81

2.3 Equações de Euler. 93

2.4 Soluções de equações diferenciais em séries de potências. 96

2.4.1 Soluções em série de potências em torno de um ponto não singular. 97

2.4.2 Soluções em série de potências generalizada. Método de Frobenius. 103

Capítulo 3

Sistemas de equações diferenciais lineares. 1113.1 Sistemas de equações diferenciais lineares homogéneos de coeficientes constantes.

Método de Euler. 113

3.2 Sistemas de equações diferenciais lineares não homogéneos de coeficientesconstantes. 125

Capítulo 4

Transformadas de Laplace. 1334.1 Definição, existência e propriedades da transformada de Laplace. 133

4.2 Transformada de Laplace da derivada. 140

4.3 Inversa da transformada de Laplace e aplicação às equações diferenciais. 1434.4 Primeiro e segundo teoremas da translação 150

4.5 Transformada de Laplace da "função" Delta de Dirac. 159

4.6 Transformada de Laplace do integral. 162

4.7 Derivada e integral da transformada de Laplace. 165

4.8 Teorema da convolução. 170

., I

) . 1 7I 11111'1111 d', ti! IlIilol íun tl uac dif r nç . 178

" I I I Ili'l! 1I tI~ jltlltl tl fi nt .178

, I 'I I ililli'ilC,tlS nu i dif r nças divididas. 179

" I I I qUtlr, s cI drf r ncas. 180

I I ,11111t,,1o ti qu ç o de diferenças. 180

" 1'1 d valor inicial. 180

I II qlltl~ dif r nças lineares homogéneas de coeficientes constantes. 182

',11 d p ssoapasso.183

" I) D l rmin ção da solução geral como combinação linear de soluções. 183

I, I ',oluV1 d quação de diferenças não homogénea. Método dos coeficientes

111111'1 rrnin dos. 188

' •. 1\ l rminação de uma solução particular. 189

fia. 193

Itldl r missivo. 195

'I11111

I r fácio

NrI últimas décadas tem-se assistido ao extraordinário desenvolvimento das capacida-

des computacionais existentes e o crescente acesso a poderosos produtos que

nos permitem facilmente executar tarefas outrora ciclópicas ou irrealizáveis. É as-

sim possível hoje em dia, com recurso a essesprodutos, resolver numericamente

sistemas de milhares de equações diferenciais não lineares que caracterizam um

vasto número de problemas com que nos deparamos na Engenharia. Estes no-

vos paradigmas geram a necessidade de, em muitos aspectos, reequacionarmos

a forma como o estudo da Matemática deve ser ministrado aos cursos de Enge-

nharia mas também, indubitavelmente, reforçam a necessidade de se adquirir

um conhecimento sólido dos princípios elementares da Matemática, no sentido

de se ser capaz de desenvolver, interpretar e correctamente utilizar essas novas

ferramentas. Há etapas da aprendizagem que não devem ser queimadas sob

pena de se hipotecar o desenvolvimento dessascompetências.

O livro da Prof." LuísaMadureira, Problemas de Equações Diferenciais Ordinárias e Trans-

formadas de Laplace, pretende ser um contributo nalgumas dessasetapas fun-

damentais. Escrito numa linguagem acessível, mas com rigor, visa sobretudo

fornecer ao aluno um conjunto variado de problemas que lhes permitam melhor

compreender aqueles assuntos que são ministrados nas aulas teóricas e práticas

nos prim ires anos dos cursos de Engenharia. E permanecerá para os alunos

futuros ngenheiros como uma fonte de consulta onde poderão encontrar

inform c út is p ra a solução de muitos problemas que enfrentarão no seu

(utur I lud nt profissionai .

I( " ,( ",di <11' ,

(1'1111 (!lII'lIlo1I11 ( 11.1 I !lI til<lolcll' di' 111111 1111011101 cloI lJlllvl'I',lcloIill cio I ()J to)

a equação resolve-se integrando ambos os membros de (2)

J g(y) dy = J !(x) dx + C (4)

onde C é uma constante arbitrária.

Problema 1.1Calcular a solução da equação diferencial (I - cosx) y' = sen x . y

Resolução

Escrevendo a equação na forma

dy senx dxy 1- cosx

integrando tem-se

Inlyl = In 11- cos x] + In C

R olvendo em ordem a y

y = C (I - cos x)

Problema 1.2Determinar a equação da curva que tem a propriedade do declive da tangente em

qualquer dos seus pontos ser n vezes maior que o declive da recta que une esse

ponto à origem das coordenadas.

Resolução

o declive da tangente à curva é dado por dy e o declive da recta que une umdx

ponto (x,y) ao ponto (O, O) dado por Zx

fl1l,

d y y-=n-dx x

e separando variáveis obtém-se

dy dx-=n-y x

e portanto

o que conduz a

In Iyl= lnlx"l + In C

A solução é então

y = C x"

Prohlema 1.3I . acordo com a lei de Newton a velocidade de arrefecimento de um corpo é

proporcional à diferença entre a temperatura T desse corpo e a temperatura am-

hi .nte To. Sabendo que uma dada substância se encontra à temperatura 100°C e é

colocada num ambiente à temperatura 20°C tendo arrefecido até 80°C ao fim de

minutos, determinar quanto tempo será necessário para que a temperatura seja

I xluzida para 40°C.

Resolução

A relação de proporcionalidade descrita tem a expressão

dT = k (T - 20)di

p rando v riáv is obtém-se

d'f'- t: di'r - ()

I'ntlfl"<!)I,I(dlllltll"('d(lI1'.t,H1IP ',IIJ1'''V(/QIl( 1,11'" (), I 11I11,1111,

ti" (11 I (lO" '

T (0)=20 + C1

obtendo-se assim o valor da constante

Tem-se então T (t) = 20 + 80 il

Determine-se agora o, valor de k. Sabendo que para t = 2 o valor de T é de

80°C, tem-se

( )k2T 2 = 80 = 20 + 80 e

o que é equivalente a

k2 80 - 20e

80

e portanto

k = ..!..ln 80 - 20 = ..!.. In 22 80 2 4

Finalmente para um valor da temperatura igual a 40°C tem-se

40 = 20 + 80 eO,5 In (3'1/4)

ou

0,5In(3'1/4) 1e =-4

o que conduz a

t = 9,638 min

Problemas1.4 Resolva as equações diferenciais:

a y'. .r: li

\')(I+er)YY'=ex

11) \ Ji:I + yy'~1 + x2 =0

\ I' I' (I + y') = I

I} v' + 5 x 4 i = O, y (O) = I

11m ponto material de massa I g está animado de movimento rectilíneo, sob

1I 11\'I,'lIO de uma força directamente proporcional ao tempo decorrido desde o mo-

1111 1110 I = O e inversamente proporcional à velocidade do ponto. Sabe-se que no

11 11li 11 .nto 1= 10 s a velocidade era de 0,5 m/s e a força era de 4x 10-5N. Qual será

11 wlo 'idade do ponto I minuto após o início do movimento?

I/I I 'termine a funçãof(x) que satisfaz a condição: f(x) = 2 + f ;'f(t)dt.1.7 I 'termine f(x) que satisfaz a condição:

F(x)+2xef(x)=0 e f(O)=OI H Uma curva de equação cartesiana y = f(x) passa na origem. Linhas traçadas

1'" li 'lamente aos eixos coordenados a partir de um ponto arbitrário da curva de-

1111 'Ill um rectângulo conjuntamente com os eixos coordenados. A curva divide o

I \ túngulo em duas áreas uma das quais é n vezes superior à da outra. Determine

, til" ':io/(x).1.1' IJm tanque tem uma secção quadrangular de 60 em de lado. A água escoa-se

1111IV:S de um orifício na base de 10 em? de área. Se o nível inicial da água estiver

11 rt() '111 de altura qual o tempo necessário para se situar a 30 em?

oluções1,tl

3 4) -=':::""-+C

4

b)y. (x_l)eX

) ,I~ • '4' In (I + e,l )

ti) JII \ 1 I JI I I' •

1f)y=--

x5 + 1x 1

g) are tg e = 2 + C2 sen y

1.5 v = so.J2gem /s

1.6 f(x) = 2 /<-I}

J17 y=Jn --

x2 +1

1.8 Y = kx" ou y=kX'/"

1.936,897 s

1.2 Equações diferenciais homogéneas

Uma função M (x,y) diz-se homogénea de grau n se para qualquer À positivo se tem

Uma equação diferencial homogénea é do tipo

M (x,y)dx+ N(x,y)dy = O

em que M (x, y) e N (x,y) são funções homogéneas do mesmo grau n,Neste caso a substituição Y = ux transforma a equação (6) numa equação de variáveis

separáveis em u e x. Analogamente, a substituição x = vy transforma a equação

(6) numa equação de variáveis separáveis em v e y.

Se e equação (6) for escrita na forma

dy = _ M (x,y)dx N(x,y)

pod -s substituir por Àx I por À , se À>O. Tom nd t r À v I r

.1 \!l1l .IIIVIl nu .1' \ III'q"llvo, 11'111 ,I'

IM(l,Y/X)

M(x,y) M(Àx,ÀY) N(1,y/x)'x>O

N(x,y) = N(Àx,ÀY) = M(-l,-y/x)

(.x e O

N -l,-y/x)

(8)

1111 VI "fica-se que o resultado se pode escrever como uma função de 1'. e portanto

" equação diferencial (7) pode ser escrita na forma x

(9)

o que permite concluir que se a equação diferencial y' = F(x,y) é tal que

F(Àx,ÀY) = F(x,y) (10)

então ela é homogénea.

11 011 ma

I I!''Iu cáo diferencial y' = F (x, y) é homogénea então a mudança de variável y = uxti nsforma esta equação numa equação diferencial em LI, de variáveis separá-

vis.

(5) I «111 n tração

"1 "(, [u cão é homogénea pode ser escrita como

(6)I ""',leI r - e agora a mudança de variável y = ux. Tem-se

lIy du-u+x-

tlx dx

port nto

dll111-;(- - FCu)

lx(7)

e separando variáveis tem-se

du dxF(u)-u x

que é uma equação de variáveis separáveis podendo portanto ser integrada

como descrito em 1.1, após o que se substitui u por I.x

Problema 1.10Resolver a equação diferencial xi = y(lny-lnx)+ y

ResoluçãoVerificando que a equação é homogénea começa-se por escrevê-Ia na forma

, y (ln y - In x + 1)Y =

x

Fazendo a substituição de x por Âx e y por Ây

, Ây(lnÂy-lnÂx+I) y(lny+lnÂ-lnx-lnÂ+I) y(lny-lnx)+yy = = =

Âx x x

efectuando a mudança de variável y = UX, tem-se

dy du-=u+x-dx dx

A equação escreve-se

du ux ln u + uxu+x-=

dx x

ou simplificando

du Iu+x-=u nu+udx

5 P rando vari v is obtém-s

rllI

/I 11111

•

1111(' r ndo tem-se

11I111l1I1=lnlxl+lnC

I) 'lu equivalente a

IIlH=Cx

I' 1 olucão da equação é

Crli-e

1111 Imente substituindo u por 2'. obtém-se a solução,x

I'. Hhll'lIIa 1.11

1 I 01 v 'r a equação diferencial xel (xdy - ydx) = l dy.

R solução

taz ndo a substituição de x por Âx e y por ÂyÀ,2x2

).l,2( )?2Âxe ) Âxdy - Âydx = Â -y dy

lU quivalente a

, implificando verifica-se que a equação é homogénea.

Jl d m o screver-se a equação na forma

\ 2

til .1 o / _ y2•dv \.'

,.1"'1,1'

Neste caso efectua-se a mudança de variável x = vy e tem-se

dx dv-=v+y-dy (If

e a equação em v e y escreve-se

que é equivalente a

dv 1y-=--

dy vev2

Separando as variáveis tem-se

2 dve" dv =-~

y

e integrando obtém-se

ou

E finalmente tem-se a soluçãox2

ProblemasR 'solv 'r as s iuint s quaçõ s dif r n .iuis:

1.11\'

1.I.ll- 2xy+x2y' = O

1.14 \I' = y_~x2 +l

II .\(y+4x)y'+y(x+4y)=0

I 17 1/2 ()1/4• I dx+ xy dy=O, y(0)=1

1.1 K Iy' = Y - ~ x2 +l efectuando a mudança para coordenadas polares

1" (r y + xy cos Z)y' = x2 cos Z + xy +l cos Zx x x

11 tly = y(i +x2)+ 2x2ytil" 2x3

oluções

1.12 x2+i =Cx4

Cx2

113 y=--Cx+l

I 11\ x2 + 2Cy = C2

1.1 4 4 ( )3X Y = x+ Y

I,I! '/'----1+ scn@

. + l Z)X

I () ,)

1.2.1 Equações redutíveis a homogéneas

Considere-se a equação não homogénea

(11)

na qual se efectua a mudança de variável

(12)

Tem-se então

dYl = dy = F ( ai xI + ai II + bl YI + bl k + cI )

dXI dx a2xI +a2II+b2YI +b2k+c2(13)

Ao escolher II e k tal que

{a1h+ blk + CI = Oa2II+b2k+C2 =0

(14)

e sendo o sistema tal que

(15)

obtém-se a equação diferencial homogénea em xI e YI

(16)

Se não se verificar a condição (15) então

e (11) pode escrever-se

Fazendo a mudança de variável z = alx + bl)' tem-se

I! qlldC,dO diferencial resultante em z e x é de variáveis separáveis.

"1\

(19)

I ,,!tI. 11111 1.21

- dif . I ' x + Y - 3-quaçao rrerencia Y = --'---x- y-I

li. \ lução

( !1I1',!cI re-se a mudança de variável

1111,0

tI"I •• xI + II + YI + k - 3rlrl XI + II - YI - k-l

().."l ma que determina h e k é

(17)

I' 11"'1"'11"

{" 1-1<-3=0"-/(-1=0

t' t m como solução II = 2 e k = 1. A mudança de variável é então

\ -XI +2

"-YI + I

quação toma a forma

rlYI _ xI + YIdx, XI - YI

h mo n a e portanto aplica-se a mudança de variável )'1 = uXI'

cr v -s

(I )

tllI .1I 111'11i I11

(li I \ I 1/\ I

du 1+ u2

-x,=--dx, l-u

Separando as variáveis tem-se


Então a solução é

1 arctgu Ct=r = x,~l+u~

e nas variáveis iniciais x e y tem a expressão

Problema 1.22

I~ I - dif . I dy 2x + y - I"eso ver a equaçao lierenCla - = ---"--dx 4x+2y+5

Resolução

Como a,b2 = a2b,. faz-se a mudança de variável

z = 2x+ y

e a equação toma a forma

dZ_2=~dx 2z+ 5

Separando as variáveis Tem-se

2z+5--dz=dx5z+9

Cill' C[IIÍVtll('lll \"

[\~ldz=dx

5z+9

I' mt grando obtém-se

7::+ -lnI5z+ 91= x+ C

25

ou, nas variáveis iniciais,

.1'+IOy+71nIIOx+5y+91 = C

1'1 Ul!h'IIIl1S

I I nlv 'r as seguintes equações diferenciais:

1'\(lly+l)dx+(2x+2y-l)dy=O

I' I 3y-7x+7\' - --=-----3x-7y- 3

I,' (I t-2y+l)dx-(2x+4y+3)dy=O

l'fI(l 2y+l)dx-(2x-3)dy=O

I I 1 t-y-2+(I-x)y'=O

1'1((\ ry)dx+(x+y-l)dy=O

I I) y-5+(3x+2y-5)y'=O

luções

1. x+2y+ Inlx+y-21=C

I I 4y+51.261n2x-3 ---=C

2x- 3

1.27 Y = 1+(x-l)lnC(x-l)

1.28(x+y)2_2y=C

? ?1.29 r+3xy+x--5x-5y=C

1.3 Trajectórias ortogonais

Considere-se uma família de curvas no plano a um parâmetro C

f(x,y,C) = O (20)

sendofdiferenciável. Calculando a diferencial tem-se

af _ af ,-(x,y,C)+-(x,y,C)y =0ax ay (21)

e eliminando C nas duas últimas equações obtém-se a equaçâo diferencial

I (x ,y,y') = O (22)

nl- o assim por este processo determinada a equaçâo diferencial que tem como so-

lução geral uma família de curvas dada inicialmente. É de especial importância

a família das trajectórias ortogonais a essascurvas. Cada curva da família inicial

é intersectada perpendicularmente por todas as curvas da família designada por

família das trajectórias ortogonais. Isto significa que as tangentes às curvas noponto de intersecção são perpendiculares.

O d s duas curvas F(x'YI)=ü e G(x,Y2)=ü a relação de perpendicularidade entrerectas tangentes a essascurvas é dada pela equação

, JY2 =r+;

YI(23)

A tr j tória ortogon

nt O obti dum famfii d curvas r pres ntada por j(x, y, ) - O s o

(24)

I" lo ~ u integral geral.

I 1 •• 11" 11I11 1.30

Ii I 1I11 uur a equação da família de curvas ortogonais à seguinte família

I \ 2((.\"

H \ lução

f\ l.unllla dada é uma família de circunferências com centros no eixo Ox e

11111(1ntes ao eixo Oy (Fig. 1.1).

y

1------~--~--~--I-7x

11'1 I I

" 1'<i1111Ç

111I'llIllI

dif rencial que as caracteriza é obtida por derivação de ambos os,d quação. Obtém-se então

I \ I 1/ _ 2 I

,1111'11111111I O v I r d C/ que se obtém da equação inicial

,1

, y2 _X2y=--

2.xy

Então a equação diferencial das trajectórias ortogonais é tal que y~rt =-~y'

, 2xyYort =--2--2

y -x

que é homogénea. A sua solução é

que é a família de circunferências de centros no eixo Oy e tangentes ao eixo

Ox que se pode ver representada na Figura 1.2.

y

1--f--I--7

x

Fig. 1.2

Problema 1.31Determinar as trajectórias ortogonais à família de parábolas x=ai.

Resolução

Derivando ambos os membros da equação tem-se

I ",2ayy'

(\ \IiIllÍl1dllCl

III'

11111'1l1 '.

I'

I1111 nuund y' por ":"; obtém-se a equação diferencial das trajectórias

y111111'11 lI,lI

y

'1111' '11m quação de variáveis separáveis e integrando conduz a

'1"" 11m família de elipses (Fig. 1.3).

y

x

IIq 1 1

1', ,,1111'111111/

II II 1111111 11' (I • [uação las trajectórias ortogonais às seguintes famílias de curvas:

1\ -O, {/>O

l/I"

li I I

1.36 cosxchy = a

1.37 xi - 4ax2 = O

1.38 x = ae-/

1.39 y c axe"

Soluções

2 ?1.32 2x +y- = C

? 21.33 X- + ny = C

1.34 xy = C se k = 2 e /-k = x2-k + C se k '" 2

1.36 senxsenhy = C

2

1.37 x2+L=C2

1.38 Y = Cex'

1.39 i = -2x + In (I + x)2 + C

1.4 Equaçõesdiferenciais exactas. Factor integrante

Uma equação diferencial exacta é do tipo

M (x,y)dx+ N(x,y)dy = O (25)

se o primeiro membro de (25) for a diferencial de uma função U(x, y), isto é

(/U M (.\ ,y)dr N(.r,y)rty (2 )

'I'!lel

au auAI (.r,y) =- e N(x,y) =-õx õy

I' P t t nto a equação (25) é do tipo

tllJ audx+-dy=Oi), ay

I' () u integral é então

ll(x,y)=C

vondo U (x,y) obtido por

x Y{/ (.r, y) = J M (t ,y) dt + J N (Xo ,t) dt

Yo

ou por

x YU(x,y)= J M(t,Yo}dt+ JN(x,t)dt

Yo

I, 111 r

11111,1 (011 liç o necessária e suficiente para que exista uma função U(x, y) tal que a

ndição (26) se verifique é que

íJM( ,y)oy

aN(x,y)ax

( , funçõ s M (x,y) e N(x,y) sejam contínuas num domínio simplesmente

n xo.

1', ullh'lIIl1 1.40I',"v 11 que ti S' iuint quaçã é diferencial exacta e calcular a sua solução geral.

I , ',I I\I (

''''IIr/1I AI \'0 \ I \ \ '\' li N \ 1_ v I I di ul.un ',(\ ,I', (/I'r/Vddtl', 11t111itlh

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

aM = 3x2ay

aN = 3x2

axDado que são iguais verifica-se que a equação é exacta. Então existe uma

função U(x, y) tal que

au 2-=cosx+3x yaxe

au 3 2-=x -yay

Tem-se então, admitindo um percurso de integração com y constante,


U(x,y) = senx+x3y+ f(y)

em que f (y) é calculado de modo a que

Então tem-se

if(y)=--+C3

e está encontrada a função U(x, y).

3U(x,y) = senx+x3y- L+c

3

A solução da equação diferencial é

3senx+x3y-L = C

3

I IlIhh 1II11/!

I I I 11 1/11' as seguintes equações diferenciais são exactas e calcular as suas solu-

II 11 til\

I1 dy =0

v~

(I I 'v)d.r+ydyII --=0

(\ I. .1')2

,,,.:}m:(I-:;)dY'O com y(0).2

I I (\ I 1')"1 I (x+2y)dy=0

I h

11 ,/1' I'fN - (xdy - ydx)/(x2 + l)'\ / 1,1)1111-(1/ y_3x2

/ / )dy=O

"I tlll tll\l' 'osxdx=3cos3ycos2xdy

I1

I', /111\ ',111-

I I I'

11'1')

X~ ? C'I .11 + Xv + v~ =2 . .

1.47 x2 +l- 2 arctg (y / x) = C

,3.\ Y 11.4 --xy--+-sen2y = C

324

I. O 'os2x sen3y = C

1 2 2 y yI.' 1 x'y+4x y -12e +12ye =C

I .11. 1 tor integrante

',I' 11 ('lJllde, (2) não for uma equação diferencial exacta é possível em certos casos

11,111 f rmá-Ia numa equação exacta multiplicando-a por uma função particular.

I)" 111 11111 ,LI (x,y) é um factor integrante da equação não exacta se multiplicando a

qu c o por esta função

It(.r,y)[ M (x,y)dx+N(x,y)dy] = O (33)

I s reduz a uma equação diferencial exacta. Como as equações (25) e (33) são

quivalentes então têm a mesma solução geral.

(' 1 quação (33) é exacta então

B a-;-(I-LM) = -(.uN)()y ax (34)

ou

(iiM BN) a/-! aI-"1' --- -N--M-

iJy ãs fi fly (35)

dAI IiN

ti" d\

dl'N (1\

1'

111'M ily _ N íll n 1' _ M ri In ,LI

l' cJx ()y(36)

tlIII tld I''1IIt1I,.í( ( ) P lv I d t rminarfactores integrantes. Os casos mais simples

1i 11<111('1(' -rn qu o f tor integrante é uma função só de x ou só de y.

111111

11 ItllllllltlO (J11 quação diferencial (25) é não exacta, se

(37)

1111lima função só de x, sejaf(x), o factor integrante é

() f /(x)dxI' \ -(' , (38)

1111 1111110 laoo se tem que

I (()M ON)/11 ()y OX

(39)

I' 11111,1 função só de y, seja g(y), então o factcr integrante é

() - f f;( )')dvI' Y -(' .. (40)

111111111'1' O

IljI'"II111 ',I' prim iramente que fL = ,u (x), então : = O e a equação (36) escreve-se

I (fiM _(W)=dIIl/-!=f(x) (41)N (I)' õx dx

"P Itlnl

(42)

" () Id( tOI ínt r nt função só de x

(38)

1111'111111 I'

(43)


ln u = - f g(y)dy (44)

o factor integrante neste caso é então dado pela função só de y

(40)

•

Problema 1.52Resolver a equação diferencial (x4ln x - 2xy3)dx+ 3x2ldy = O,

Resolução4 3 2 ?Neste caso M = x In x - 2xy e N = 3x y- Então

aM aN 2 2--- = -6xy -6xyay õx

Dividindo por N tem-se

f(x) =-~x

e o factor integrante é

4J --dx/-l(x)=e x

ou

()Inx-4

/-l x = e


()-4

1' ' -

Mlllilplll tllldo ,lInl)

( I ' 2 -3 3) d 3 -2 2d O11);- X Y x+ x y y=

integrando obtém-se a solução da equação dada

I -? 3 Cx nx-x+x -y =

I'whlcma 1.53I I 01ver a equação diferencial cos xd.x + (y + senx) dy = O,

Resolução

C I I d aM aN di 'd"cu an o - - - e IVI Indo por M tem-seay õx

~(aM _ aN) =_1_( -cosx) =-1M ay õx cosx

I m-se neste caso a considerar Il; como função de y

Após multiplicação da equação diferencial por este factor integrante a equa-

çtlo screve-se

I' mt r ndo obtém-se a solução

1'111""'11I111>

I, ItI '11 IISS' iuint s equações diferenciais:

( \ ' I li \) 1\ \)1 rly - ()

I..(,\,' '.1' • c" \ .om y. ()par;1 .r. ()

I.5X (y / x)dx+(i -In x)dY = O

1.60 (I - x tg x + seny) dx + cos y tg xdy = O

(2.1' ) 11.61 e - yx dx = -2,xdy

Soluções

21.54 y+x = Cy

31.55 Y3 -31nlxl=C

x

1 56 3x 2x. y=e -e

C -x'/2 2 21.57 Y = e +x-1 2

1.58 -lnlxl+L=Cy 2

C+e-x1.59y=ln Fx

1.60 x cos x + senysenx = C

1 11 2x1.61 ln x + - ye - = C2

1.5 Equações diferenciais lineares

Um equ ç o diferencial linear de primeira ordem em y é do tipo

(1\ )

IJIII 11 111\11011 I 111

1111111111.1'. IlIlIll I

!I. I 1',11 lil' () (.1') • O ,1

',I'Jldl, v('i li/-

I' I' I" POdl'lld II( \) , J( \) 'I qutli lU I íun do ,«1t11111 I,

quaçc lrc nsf rm - numa equação diferencial de variáveis

qu

I" I 1'(.\).1' - O (46)

d qu ão homogénea associada a (45). Note-se que esta equação não é

lic 111 n a no sentido referido em 1.2. (equação (6)). No entanto é costume

11',,11 a m sma terminologia para designar a equação (46). A solução desta

I'CJlI,IÇ que se designa por Yh é obtida por integração de

til' - -I (x)dxI'

(47)

1111 ,1'1'111,

1111.1'1- - f P(x)dx (48)

I Jl rt nto a solução da equação homogénea é

I'" - (49)

I J 1111111 () m todo da variação da constante é possível determinar a solução geral da

I'ql1tlÇ o não homogénea. Considera-se que a solução geral tem a forma

( )-fp(r\AxI'.C x e -r- (50)

I' I m-s

li. "(x)e- f P(x)dx _ p(x)C(x)e- f P(x)dx (51)

1111 1lIllillc1o n quação (45) obtém-se

c (01')('- f IJ(x)dx _ p(x)C (x)e- f P(x)dx + p(x)C (x) e- f P(x)dx = Q(x) (52)

I' !l011,'1 l

(o/ ) ( ) f 1'( \) d.\. .1 {' (53)

(111' P '1IIIill' lil lIltll '(.\)

Fin 1m nte a solução da equação (45) é então

(55)

Problema 1.62R 'solver a equação diferencial xy' = x3 - 2y.

Resolução

A quação pode escrever-se como

, 2 2y+-y=xx

e a equação homogénea associada é

, 2 OY +-y=X

Separando variáveis tem-se~;, f


Inlyl = -2Inlxl+ ln C

ou

C -2y" = x

Procurando agora a solução geral na forma

tcmso. d riv ndo m ord m x

H1'1111,101111

(" I) \ '

ul: 1IIIIIIIdn 1101 ('qUtlc,t 1111 I I l m

, 11111111111 ()

\ ~

Inlll!,')O ntão

I IlIhl. 111111.(13I. "I 11\ -quação diferencial x(x+l)y'+y=x(x+l)2senx.

II luç o()/I\ ndo por escrever a equação na forma

I1'/ I (--) Y = (x + 1)senx

.r x+ I

/\ ('C/LI o homogénea associada é

1I" I y=O

.I'(x+ I)I' ~ p r ndo variáveis tem-se

ti \I c/x

x( + I)11\\ 'c) nd obt m-se

I'" lu d

I'",.\ I

onsid r - agora omo solução da equação dad

x+1y=C(x)-

x

e portanto

Substituindo y e y' na equação tem-se

C' (x) x + 1 = (x + 1)senxx

e portanto

C'(x)=xsenx

donde se obtém para C (x)

C (x) = -x cos x + senx + C

Finalmente a solução é

x+l ) x+ly = C -- - (x + 1 cos x + -- senxx x

Problemas1.64 Resolver as seguintes equações diferenciais tendo em conta as condições

iniciais dadas:

) , 3 2x y=O para x=O e x E ]-oo,+oo[a y- y=e ,

~ b) xy'-2y=x5, y=l para x = 1 e x E ]O,+oo[

dx 21X = 1 t=O t E ]-00, + oo[~ c) -+x=e , para e

dt

.& d) y' + xy = x3, y=O para x=O e x El-oo,+oor

1.65 rráflco duma fun ã .l x) passa por PO. (O, I) '1'\ (I, () , I 111'1Ilodo

O ponto urhilrllio (ln 'lII'ViI, p( I', y),lI .urvu stlÍ SilU11(11Ipw 111111di 1'(\1dI Ih/),

I 10 I \( I li \ I '1'111\1'\lilll1l" '1Ididll snrrc li 'UI'VII ' ti corda li)p é igual a .1'.1,

11 I, 111111111I 1t111~'!0./'(,1),

"" li. 11uulnnr li sulução ) irul da equação y'scn .r « ycosx = I para x E ]O,Jí[.

s di ferenciais:

I" \ ' I I' 'ot '\' - S n 2x

') ,I I' +.I"Y=2x

I U \ \1' I \' - 4e \~111 11" __ Y_.I".1e.l"

I!I 1'1os s 'guintes problemas:

I' 'I' iundo ti lei de Newton, a taxa de variação da temperatura de um cor-

I'" I tlllI'l'l!Im .nrc proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio

111111\1111'(s '.ia k a constante de proporcionalidade). Se y = f(r) é a temperatura

" I IlIlh -cida) do corpo no instante teM (t) designa a temperatura (conhecida) do

111'1IIIIIIIli '111.cscrever a equação diferencial que traduz a referida lei de Newton.

I' 11111obj 'cio arrefece de 200°C a 120°C em meia hora num meio com tempe-

11111111I 11IIslunlc de 60°C.I) \11"iI temperatura do objecto ao fim de t minutos?

11) uul () tempo necessário para que o objecto atinja a temperatura T?I ) I ct .rminar o tempo ao fim do qual a temperatura do objecto é de 90°C.

I 1111Itll'IlIll(.JO que a temperatura do meio ambiente embora a 60°C quando o ob-

I \111 11 \ 00° diminui de JOC em cada 10 minutos, determinar a nova lei que

I 1111'111'1111ratura do objecto ao fim de t minutos.

I 11 d -xint • 'ração do elemento rádio é tal que são necessários aproximadamen-I 11.1111 lHOSpara que uma dada quantidade se reduza a metade. Determinar qual

I I" \1\ 1\1\ ' '1\\ de uma dada quantidade de rádio que se desintegra em 100 anos,

"" IId\1qu ' 11V lo 'ida le de desintegração do rádio é directamente proporcional à1111111 1\110instante considerado.

',Olll

11111li) \' (,\\ a \

2 2 1 5b)y=-x+-x3 32 -t 1 21

C) X = -e +-e3 3

_x2

d) y = 2e2 + x2- 2

?1.65 Y = 5x - 6x- + 1

x+C1.66 y=--

senx

I ( ,.2 I)1.67 Y = - Ce --x2 22 2 C

1.68 y=-sen x+--3 senx

1.69 y=2+C~

? 2 r1.71 Y = Cx- + X e

1.72 y' = -k(Y- M (t))

1.73

a) T = 140e-kl + 60

b) T=~[lnI40-ln(T-60)]k

C) 54,542 minutos

(1 ) -kl t 1d) T = 140-- e +60--+-

10k 10 10k

1.74'" 4,2%

1.5.1 Equ ç O d B rnoulli

li I'q\loIl .lO dill'll'll< 1011 cll·111 111<1\1111 I' dI) Ilpo

kIn7 -ln3

Nota: =---30

y' + p(x)y = Q(x)yP (56)

com P(x) e Q(x) contínuas num domínio D, e no caso de p '" O é redutível a

uma equação diferencial linear de primeira ordem por uma mudança de variável.

Sendo p = O ou p = 1 a equação (56) é linear.

1 orema

onsidere-se a equação (56). Ao efectuar a mudança de variável

(57)

a equação transforma-se numa equação diferencial linear de primeira ordem

em v e x.

monstração

nsidere-se a mudança de variável v = yl-p Obtém-se

(58)

e ao multiplicar a equação (56) por (I - p) y- (J tem-se

(59)

e é equivalente a

v' + p (x)( 1 - p) v = (1 - p) Q (x) (60)

que é uma equação linear de primeira ordem. Após obter a solução v desta

quação e usando (57) tem-se a solução da equação (56) em y.

lli) ,1 o d P > O a equação (56) admite sempre como solução y == O. •

1'/'c,hh'IIIH 1.75I kl 1 minur 11 S ilu 'I O la IUH '130 Iif rCI1 ial y' - 2yeX = 2JYex

.

NI"dl' (d',O 11

1'-.1'

I I =; I

li ••• - V -)12 -

I

multiplicando a equação por ~ y - 2 obtém-se2

I II -2 I -2 x x-y y-y e =e2

é equivalente a

que é uma equação linear de primeira ordem em v. A sua solução é

v = Cee' -1

e as soluções da equação inicial, nas variáveis dadas, são

( ,_ )2Y = Ce" - 1 ; Y'= O

Problemas

Determinar a solução das seguintes equações diferenciais:

1.76 y' - 4y = 2eXy.Y,

o 1.77 y' - y = -/ (x2 + x + J)

1.78 xy' - 2y = 4x3yh

1.80 y' + y = /

1.81 3y' + y = (I - 2x) l

oProblemas de equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace

I, ,

Ii 'I' I' I"

\1"' ('\

I' I'.1'

11( hl"l x~y II -Oy

I 1((, I" I ytgx+2y2scnx=0

I li tl'l'nlinar a solução das seguintes equações diferenciais com os valores iniciais

dlldllS:

1.1'7 vy'+x/-x = O; y(O) =-1J

LXX 2/+3-Y-=3y3; y(e)=Oxlnx

Soluções

1.76 Y = (ce2x- eX t; y = O

1.77 Y = (ce-x + x2- x + 2 r'; y = O

1.78 Y = (cx + x3 t; y = O

x2

1.79 y=--; y=Oc-x

I1.80 y=--; y=O

I+Cex

1.81 y-3 =Cex -2x-l; y=O

I C1.82/ =-senx+--

2 senx

x2

1 83 . Y = O. y = C - eX (x3 - 3x2 + 6x - 6) ,

51Equações diferenciais de primeira ordem

x2

1.84 y=--; y=Oc :>1.85 i = __ 1_; y=O

x2 +Cxcosx

1.86 Y = 2 ' Y = OC+sen x

J 1.87 y=-1

2

1.88 y3 =X(l __ l_)Inx

1.5.2 Equação de Riccati

A equação de Riccati é do tipo

/+p(x)y+Q(x)/ = R(x) (61)

com P(x) , Q(x) e R(x) contínuas num domínio D. Para esta equação não é

possível descrever um método de calcular a solução geral. No entanto, no caso

de ser conhecida uma solução particular a integração da equação já é possível

por um processo simples.

Teorema

Considere-se a equação de Riccati (61). No caso de ser conhecida uma solução particu-

lar u (x) a mudança de variável

1y=u(x)+-Z

(62)

transforma a equação numa equação diferencial linear de primeira ordem em

z ex.

Demonstração

Considere-se a mudança de variável y = LI (x) +~. Entãoz

, ,() I ,y=u --zz2

111l~lilll"lCjCl 1'111 (rI I) ollt '111 ',1'

(64)

simplificando esta equação e considerando que u (x) é solução de (61) tem-se

1I'(X)+P(X)U(X)+Q(X)U2 (x)+I I 1 I- - z' + P (x) - +2Q(x) U(x) - +Q(x)? = R (x)

z2 Z Z z"(65)

e portanto

I I 1 I-?z' + p(x)-+ 2Q(x )u(x)-;+ Q(x)2" = Oz- z ~ z

(66)

I Iljl( a-se então que ela se reduz a uma equação diferencial linear de primeira ordem

mz

~' -[P(x)+2Q(x)u(x)]z = Q(x) (67)

•

1'10111 'ma 1.89I· lucão d -,2211 1\'lmlllar a so uçao a equaçao xy - y + y = x .

Resolução

Uma solução da equação é y = x como facilmente se verifica. Considere-se

ntão

Iy •• x+-• Z

inda

, I I ,Y - -2"zz

\11 tituindo na quação e simplificando obtém-se

.v I - I~'--+-+--O

~ ,,(. z

1(\ I' ,I' jl 1(1 ('~ I 'V 'I om

Considerando a equação homogénea associada

2x-]z'---z=O

x

vai obter-se

d: 2x-1-=--dxz x

o que integrando conduz a

Usando o método da variação da constante considera-se a solução na forma

e2xZ=C(X)-

x

e substituindo na equação homogénea em z e x tem-se a equação em C' (x)

C'(x) = e-2x

e portanto

()1 -2x CC x =--e +-2 2

I

o que dá como solução da equação em z

1 c>z=--+--2x 2x

e portanto as soluções da equação inicial são

2xy=x+_ ;y=x

Ce2x -1

ProblemasResolver as seguintes equações diferenciais considerando que admitem uma so-

lução constante:

1.'>0 v' I \' I v

t ,I) 1 y' + xy + xl = 6x

I I volver as seguintes equações diferenciais sabendo que admitem a solução uti nln,

1.1'2/=x3(y_x)2+x-ly; u=x

I 'I,' ' - r 2 r .r••, •• y = e 'y + y - e'; u.= e

I,W, v' cosx = cos2X - ysenx+ i; u = senx

Ju=-

xI

u=-x

Soluções

Ce3x +21,90y= ;y=1;y=-2Ce3x -1

51,91y=2+---;y=2;y=-35x2

Ce 2 -1

N problemas 1,92 a 1,98, as solucões incluem também as funções u dadas,

5x1.2 y=x+--

C_x5

I1.31-1+----

l-x+Ce-x

I. t]. _ex + 2-~r

19' Y -.r l-I2

'(' I -I

I I) 1 \" "\I \ I('1\1 \ "11\

Ce3X2 -1+ 6x1.97 v= ,3x-Cxe -x

C l-aX +a

1.98 y = ( )X Cxl-a +1

1.6 Equações não resolvidas em ordem à derivada

Considere-se a equação diferencial

f(x,y,y') = O

Supondo que não é possível resolvê-la em ordem à derivada e tomando

y'= p

tem-se

f(x,y,p)=O

e derivando em ordem a x obtém-se

af + af p + af dp = Oõx ay õp d.x

Eliminando x e d.x usando as equações (69) e (70) obtém-se a nova equação diferencial

f(y,p,dy,dp) = O

ou em alternativa, eliminando y e dy

f(x,p,dx,dp) = O

o que integrando conduz a

FI (y,p)=C

011

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

"1I11i'II'llle eliminando p de (70) e (74) (ou (75)) obtém-se

FI (x,y,C) = O (76)

que é o integral geral da equação dada.

I'tllhh'ma 1.99II ulvcr a equação diferencial 2y,2 -2xy' _2y+x2 =0.

Resolução

Hesolvendo a equação em ordem a y tem-se

2,2 , xY=y -xy +-. 2

lomando y' = p obtém-se

22 X\'=p -xp+-

2

derivando em ordem a x

dp dpp = 2p-- p-x-+x

dx dx

qu é equivalente a

{2p_x)dp =2p-xdx

C n id rem-se agora dois casos possíveis.

1.° C o:p-x O t rn-se

I' P II"'II!

p=x+C

que conduz a

ou

2X 2y=Cx+-+C2

2.0 caso:

Se 2 p - x = O tem-se

xp=-

2

e portanto vai obter-se o integral singular

ou

que deve sempre confirmar-se se é solução da equação.

Problema 1.100

2ty'Integrar a equação y = -'-2 .

1+ y'

Resolução

Fazendo y' = p tem-se

2xpy=--

1+ p2e derivando em ordem x obtém-

/1 I - /1 d/I/1- , I ••\ ,

I I // (I I ,,') 111

ou

v' - P 1- p2 dp--=2x -I + ,} (1+ p2)2 dx

l' equivalente a

ou ainda a

=, 2dp =0r p( 1+ p2)

que é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Integrando, a solução

d sta equação é dada por

ou

C(I + p2)\ c -'--;,----'-

p2

Iliminando p usando esta equação e a seguinte

2xp\'.--

1+ p2

ol l m-se

N so de p = ±I tem-se

I' inl r I ingul r é

I" - \ - - ()

ProblemasResolver as seguintes equações diferenciais:

1.101 y,2 - (2x+ y) y' + x2 + xy = O

1.104 y,2 _ yy' + e' = O

1.106 y = y,2 + 2lny'

Soluções

x21.101 y=-+c, y=Cex-x-1

2x

102 lnCy =x±2e2, y = O

( )2 2 2.105 y-ax-C =Cl sen x

12

x=2p--+C1.106 p

Y = p2 + 21n p

1.6.1 Equação de Lagrange

A equação de Lagrange é do tipo

(11)

( m cp(y') ••v'."""1\(10 y' = p a equação escreve-se

(78)

( derivando em ordem a x obtém-se

1'=cp(p)+XCP'(p)dp + ll/(p)dpdx dx

(79)

dxI I .lllwlldo em ordem a - tem-se

dp

lIx

IIp(80)

que é uma equação diferencial linear de primeira ordem em x com p como

v riável independente. Integrando esta equação e eliminando p obtém-se o

Integral geral.

1'1 uhlcrna 1.107I I ,\1v 'r li equação diferencial y = x (I + y') + y'2.

Resolução

tornando y' = p a equação escreve-se

( d rivando em ordem a x tem-se

dp dp11.I+p+x-+2p-

dx dx

qu quival nte à equação diferencial linear de primeira ordem

dI' .r-- prlli

Â 1I11( tjl,l , [.'1

'/, I' I ) I II

Então a solução da equação diferencial é dada por

ou

Jy=[Ce-P+2(1-P)](1+p)+p2

lx=ce-P+2(J-p)

ProblemasResolver as seguintes equações de Lagrange:

1 (, 4)1.108 y=2"x y +7

( ') ,21.109 y= l+y x+ y

,2 J1.110 y = xy - =;y

, 11.111 y = 2xy - (i

Y

Soluções

x2

1 108 y=C+-, y=±2x. C

{

x=ce-P -2p+21.109 ? 2

y=C(J+p)e-1 -p +2

Cp2 +2p-lx = 2

2p2(p-l)

Cp2+2p-l1y= 2 --

2(p-l) P

1.110

{

2 2 -3x= Cp" + P1.111 I 2

y-2 17- +317-

I .2 Equação de Clairaut

I'qllação de Clairaut é um caso particular da equação de Lagrange

y = xy' + lJ.!(y') (81)

e resolve-se fazendo a substituição

y'=p (82)

111'llv,mdo em ordem a x tem-se

dp ,() dpp = p+x-+1jJ p-dx dx

(83)


dp = O se x + lJ.!'(p ) ",.Odx

(84)

e integrando tem-se

p=C (85)

() 1111' ral geral é então

(86)

d x + 1// (p) = O obtém-se a solução singular.

I'whlcma I.U2

I I ulv 'I' H quação diferencial y = xy' - b.1+y,2

lu

I( m.md y' - p qu

\' 'li J 1i I

I, 1I

e derivando em ordem a x obtém-se

dp r.-21

2 P dp-'\j1+p -p

dp dx ~l+p2 dx0= x- ---------'-~--

dx 1+ p2

o que conduz a

dp = O se x - 1 3/2 '" Odx (I+ p2)

Por integração obtém-se

e portanto a solução geral é

Para se obter a solução singular elimina-se p das duas seguintes equações

p J

y=xp- ~l+/ e x= (J+p2t'2

A segunda equação pode escrever-se

e substituindo na primeira tem-se

p p

(. 2 )3/2J+ py = ( 2 )3/2

1+p (2 )1/21+ p

Finalmente, das duas últimas equações resulta

ProblemasRes Iver as seguintes cquaçõ s dif r nciais:

I.IIJ I'l

11" I

1,114 y=xy'+y'2

I. H 5 v = xy' + ~. y'

1.I1(, v = xy' +~. ?y'-

1.117 y = xy' +a~1 + y'2

Soluções

31.113 y=Cx+-

2C'

1.114 y=Cx+x2,

I115 y=Cx+-

C'

?y- = 6x

2Y =4x

1.116 Y = Cx + ~ 4i = 27ax2

C2 '

1.117 y=Cx+a~1+C2, x2+/ =c?

Capítulo 2quações diferenciais de ordem superior à primeira

NI'~t capítulo são estudadas as equações diferenciais de ordem n geralmente repre-

sentadas por

F( ,,, (n))_ox,y,y ,y , ... ,y - (1)

.1 Redução da ordem das equações diferenciais

1111 di jun casos é possível reduzir a ordem de uma equação diferencial do tipo (1) ob-

l ndo equações diferenciais de ordem inferior que sejam mais fáceis de resolver.

" I) de i os casos mais simples em que esta redução de ordem se aplica.

, I d',O:

d tipo (2), isto é, não aparecem y, y', ... , y(k-I) explicitamente

1,'( (1.) (I.,.i) (/1))-0\. Y ,.I' , ... , I (2)

I, 1111 111110

(3)

a ordem da equação é reduzida em k unidades obtendo-se

F(- ' (n-k))_oX,Z,z, ... ,Z -(4)

que integrando conduz à solução

(5)

Integrando em seguida a equação (3) k vezes obtém-se

(6)

2.0 caso:

A equação é do tipo

F( ,,, (/1))-0y,y ,y , ... ,y -(7)

isto é, não contém a variável independente x. Neste caso faz-se a substituição

(8)z(y)=/

e tem-se

, dyy =-=z

dx

(9)

" d: d: dy d;y =_=--=z-

dx dy dx dy

y"'=~(ZdZ\=~(ZdZ\dY = ((dZ\2 +zd2z1zdx dy) dy dy) dx dy) di

1,1 suh lillliç, O condu/ a urn r duc d um unideo n or m d eu c o d d()I)I '111',1' 1111Itll'q\l.l<", (l <I\I('101\(1.l111,1 Vtlt!, vol ln 1('1' 'nu '111( )1.

", uhlcma 2.1I I ulvcr a equação diferencial x2y'" + xy" = 1.

Resolução

Considerando

z = y"

tem-se a equação

.2 ,.\ Z + xz= 1

que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.I

Começando por

I so ver a equação homogénea associada

2 dz.v -+xz = Odx

ou

d; dx

" x

qu integrando conduz a

P lo método da variação da constante tem-se _ C (x)obt rn- e z - -x- e na equação inicial

,I' ( , (x)x-C(X)) C(x)2 +x--=]

x x

() qu C nduz a

('(.I')-Inlxl

I' 1)()II,1\\1 ) ,,~ I\lç, 1,\ uaç,I

\

Para obter a solução y(x) basta integrar duas vezes. Após a primeira integra-

ção tem-se

e integrando novamente tem-se

que é a solução geral da equação dada.

Problema 2.2Resolver a equação diferencial yy" - y'(1 + y') = o.

Resolução

.. d dySubstituin o - por z. tem-sedx

d: ( )yz-- z l+z = Ody

e esta equação integra-se por separação de variáveis

dz = dyl+z y

e a solução é

S b. . dy

u strtui-se agora z por -dx

que integrando conduz a

1',1 II-VI'IUI!)1'111111<11'11101 \'lIhll'lll ',i li '1011, ,lO',\ t ('


1','HhlcmasI I',olver as seguintes equações diferenciais:

,\ \ /' + y' = 1 + x2

,I \.1''' = y' + x2

,, " 'I Y,~, \.1' =y n-

x

,71"(I+(y')2)=ay"

,M I'.\''' + (yf - (y')3 In y = O

,')y"=(yf-y, y(l)=-~ e y'(I)=~4 2

,lI) .li" + y' = xex

I cxulver o seguinte problema:.11 Uma partícula move-se ao longo de uma linha recta de tal modo que o pro-

dl1to (h aceleração pela velocidade é constante e igual a 2 cm2s-3. Determinar a

posi ·rroe a velocidade da partícula no instante t = 9 s sabendo que partiu do re-P0l1S0 no instante t = O s e que se encontra nesse instante afastada 5 em da origemdlls .spaç s.

luç

\

') .1'-.\' .:) , ',lnll'l·'

1\

2 6 X C,.ul I eC,X+1 + C. y=-e -2 2CI CI

2.7 x+C2 =aln\sen(~+c[)\

2.8X=cll+ylny+C2

x2 12.9Y=4-"2

I .\ 3 \ C -~\ C2.10 y=-xe --e - [e + 22 4

2.11 s=4Icm, v=6cms-1

2.2 Equações diferenciais lineares de ordem n

As equações diferenciais lineares de ordem 11 são do tipo

ao (x)y(n) + ai (X)y("-I) + ...+a,,_1 (x)y' +a" (x)y = f(x)

comao(x)",OEstaequação é linear em y e nassuasderivadas. Oscoeficientes ao (x), ai (x),

ef(x) são funções contínuas num dado domínio.

No caso de f (x) '" O a equação diz-se homogénea e escreve-se

... , an (x)

( ) (n) () (,,-I) (-)' (-) - Oao x y + a[ x y + ...+ a,,_1 x Y + a" x y-

TeoremaConsiderando a equação (12) nas condições descritas, se Xo é um ponto do domínio de

ao (x), ai (x), ... , a" (x)ef(x)edadosvaloresreaisko, k[, ... , kn_l,existeuma

única solução y(x)de (12)tal que y(xo) = ko,y' (xo) = kl, .)"-1) (xo) = k"_I·

(12)

(13)

1 Soluções da equação homogénea e não homogénea

111 I ma

, ,I', lunções YI, Y2, ... , )'/11 são m. soluções particulares da equação (13) então qual-

quer combinação linear dessas soluções é também solução da equação homo-

génea.

li, 1,1 nstração

li, ',111'1 -se por z(x) a combinação linear das 1'1"1. soluções

;:= C\y\ + C2Y2 + + C"'Y/llz' = Clyí + C2)'2 + + C,,,y;,,

7(") - C (Il) C (11) C (,,),. - 1)'1 + 2Y2 + ...+ /IIY/II (14)

ulr.utuindo no primeiro membro de (13) obtém-se

ao (c\yin) + C2Y~") + ...+ C",y}~'))+ ai (clyf"-I) + C2y~'-I) + ...+ C",y}:,,-I)) +

+ ...+ a" (CIYI + C2Y2 + ...+ CII/Y/II)

(15)


(16)

como YI , Y2, ... , Ym são soluções de (13) pode ver-se que esta soma se anula

portanto a equação é verificada pela solução z(x) que é a combinação linear

d YI, Y2, ... , )'/11. •

I,!ll rnr11 ''',11" oluç s d ção homogénea (13) é um espaço de dimensão 1"1.,

rd m 17 h /I soluções line rm nte independentes

\'1' 11, ... ,.v" lI!llqUI lu p rti ul rd u ç (13)p d r xpr

«)III) (Unl)I"" d( 11I\(ltll ri ".' ••\, /I '. íuc ',1111 111 111(\111I{ I ( 11I nl ,1111, ,\

(1111,IIIJI'IIII dl' (I I) d,ulll 11(11

Um processo de determinar a independência linear de n funções fi, h, ...,J;., é através

do cálculo do seguinte determinante designado por Wronskiano

fi ./2 J;,

w (.ti ,h, ...,./;,)= fi ./2 j,.;

Ali-I) Ali-I) J;(II-I)(18)11

TeoremaO Wronskiano de n soluções da equação diferencial linear homogénea (13) é ou nulo

em todos os pontos ou nunca se anula em nenhum ponto. Quaisquer soluções

de (13) são linearmente independentes se e só se o Wronskiano é diferente de

zero em todos os pontos do domínio.

Considere-se agora a equação não homogénea (12)

TeoremaSe Y (x) é uma solução particular da equação (12) e YI , Y2, ... , Yn são ri soluções line-

armente independentes da equação homogénea associada (13) então a solução

geral da equação não homogénea é

DemonstraçãoSeja y(x) a solução geral da equação (12) e Y(x) uma sua solução particular. Então

ao (x)y(n) + ai (x)i'-I) + ... +an_1 (x)y' +an (x)y = f(x)

e

ulJII "I" lo rI~ <1\1. " lU" ~ \)1 m

(17)

(19)

(20)

(21)

(22)


(lo (x)(y - y)H + ai (x)(y - y)(II- I) + ...+ ali (x)(y - y) = O (23)

donde se conclui que y - Y é solução da equação homogénea associada (13) e

portanto se pode escrever como

(24)

IllIoIlIn nte obtém-se a expressão da solução geral y

y = clYI + c2Y2 + ...+ c"y" + Y (25)

•

Equações diferenciais lineares homogéneas de coeficientesconstantes

I I" 1',1<1 re-se a equação diferencial de ordem /1

(11). (n-i) ,00Y -t- a,y + ...+ al1_IY + any = O (26)

onde ao, ai, ... , an são constantes reais e ao "O. Estudando primeiramente o

C so de equações de segunda ordem, procuram-se soluções da forma

''',y=e (27)

1111"'1'

(28)

( bl rn- a equação característica

(29)

""(' I ld( 11'1 111 l 1,,1/(",

J) 'I, " ",11' I dl',IIIII.I',

o que conduz às soluções er,x e e'iX linearmente independentes e portanto a

solução geral é uma combinação linear destas duas funções

(30)

ii) ri raiz real duplaentão pode verificar-se que er,x e xer,x são soluções e portanto, como são line-

armente independentes, a solução geral é dada por

iii) ri , r2 são complexas conjugadas isto é

ri =a+if3r2 = a - if3

. _. (a+i{3)x (a-i{3)xentão as soluções são comblnaçoes lineares de e e e

Usando as igualdades

e(a+i{3)x = eax (cos f3x + isenf3x)

e

e(a-i{3)X = eCLt (cos f3x - isenf3x)

podem fazer-se as seguintes combinações lineares que são também soluções

(a+i{3)x (a-i{3)xe + e = eax cos f3x

2

e

(a+i{3)x (a-i{3)xe - e = eaxsenf3x

2i

Usando agora eCLt cos f3x e e= senf3x como soluções linearmente independentes ob-

tém-se a solução geral

(31 )

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

1'111,\ obter a solução da equação (26) de ordem l1j;)asta determinar a equação carac-terística - -

(38)

e calcular as suas n raízes. A partir destes valores obtêm-se as soluções como

no caso 11= 2.Ilo caso de uma raiz r ter multiplicidade m as soluções linearmente independentes a

considerar são

rx ~ rx 2 I:re,xe,xe, (39)

I'rnhlcma 2.12I h'l .rrninar a solução geral da equação diferencial ym + 4 y" + 4 y' = O.

Resolução

O polinómio característico é dado por

e as raízes da equação característica calculam-se a partir de

las são

r ~ O e r = -2 dupla

ntão são soluções eOx, e-2x e xe-2x A solução geral escreve-se

1'llIlIh'lIIlI .I.Il! II 1IIlilHII' li s()hl '! ) dn cqun 't () dif r n .iul

I (O)"+ 4 ' + 6 - O com y (O) = O c

I. II\VI'I' \l~ S' iuint 'S prohl I1111S:

lU 111111 l'\II'VII 1111' '1'111 ,li - /I (,I) la iquu 'fio difcrcn 'iul )/" - )/' + 29 - O in-

I I 1111 1111\1 ('111 VII illl 'PI'I" I' 1'( I do 'q li [1\', o di!"1' '11 'ill; 11" • v' I. \1- () 1111

1'11 1111 ti 11 I 1III I I 111 Il 111\' IIIIl ti '\'li '111 111 i '('111 I kl '11:1i1l11l ;, ' I' M'

------------------------------~~~~'~(,~/")~--------

ResoluçãoO polinómio característico é

e as raízes da equação característica são

r=-2±.J2i

sendo portanto a solução dada por

( )-?r t: -2, i:Y x = Cle - cON2x + C2e . sen,,2x

Usando agora as condições iniciais tem-se

e portanto a solução é da forma

e como

( )_1, c; r; -2, t:y' x = -2C

2e -~selN2x + ,,2C2e . cos ,,2x

tem-se

e portanto

Finalmente a solução é

ProblemasI 'solver as seguintes equações diferenciais:

.\4 y" -4y=0

.\5 y" + y = O

.I (, y" - 5y' + 6y = O

) .\7 y" - y' = O

.\Xy"+2y'+y=0

.\1.1 y" + 4 y' + 13y = O

11 y"+2.J3y'+3y=0

• \ v"'-13y"+12y'=0

I""-y' = O

. J ,,'"+ y=O

,,'" - 3y" + 3y' - y = O

" \,'" - y" + y' - y = O

, 'f, \,(11') - 2y''' + y" = O

'.IH 1,(11') -l- I" - 12y = O

"I \,(lI') I I() ," + 25y - O

2.31 Em cada caso deduzir a equação diferencial linear de 2: ordem que tem como

soluções particulares:

a) YI = eX; Y2 = e-x

b)2x 2x

YI = e ;Y2 =xex x

c) YI = e 2 cos x; Y2 = e 2 sen x

Soluções

2 14 C 2x C -2x. y = le + 2e

JJ

CXC xC2x2.24 Y = te + 2xe + 3x e

')) Y- I 4

2 28 C J3x C -J3x C 2 C 2. Y = le + 2e + 3cOS x+ 4sen x

2 3 () I 2r-n: () 5 -(?r+n:)R . O u x = - e' sen 5x; v x = - e _. sen 3x

2 6o 2.31

JJ a) y"- y =0

~ b) y"-4y'+4y=0

)" I 5 O"\ C Y +y +-y=

4

.2.3 Equações diferenciais lineares não homogéneas de coeficientesconstantes

"('Ia agora a equação

(40)

onde aI ,a2' ... ,an são constantes reais e em que J(x) é uma função contínua

num dado domínio I. Como foi anteriormente demonstrado e usando (19), a

solução geral de (40) é dada por

y= y" +yP (41)

m que y" é a solução da equação homogénea associada e yp é uma solução

p rticular da equação (40).

1111, o após resolver a equação homogénea associada, calculando a sua solução Yh

(42)

,1P n n C ss rio d terminar uma solução particular yp e somar ambas.

111 ·,1'11\11(1. m nt I r nt d dois método distintos para o cálculo da solução.

Método de WronskiEste método é o método da variação das constantes. Considera-se que a solução geral

de (40) é dada por

sendo ul' u2, ... .u., as soluções da equação homogénea e C1 (x), C2 (x),... ,C" (x) funções a determinar.

A equação (43) pode ser escrita como um ~odu~o~scalar

y = (c,u) (44)

onde

o vector C vai ser escolhido tal que o produto escalar satisfaz a equação não homogé-

nea.

Calculando a primeira derivada de y tem-se

y' = (C,u')+ (C',u)

e impõe-se que

(C',u)= O

Tem-se então

y'=(C,u')

Igualmente para y" tem-se derivando a expressão (48)

y" = (C,u")+(C',u')

e impõe-se

( ',1/') - O

1'111"""1\1111\1111dllllll' ,1110111111111\1"1" li', dl'IIVII<lII', "l'tlllIlIll" 11'111',I'

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

desde que

(52)

I oram consideradas então n-I condições em C'. Derivando novamente obtém-se

(,,)= (C (")) (C' (,,-I))y .u + .u (53)

e desta vez impõe-se

(C',U(,,-I)) = f(x) (54)

e portanto

(55)

I ',(I vendo agora a equação diferencial com estas expressões para as derivadas y{k)

obtém-se

[(C,u(Il))+ f(x)]+a, (C,u("-I))+ ...+([,,_1 (C,u')+(l" (C,u) =

= CI (uf") + ([Iuf"-I) + + (/,,-ILlí+(["UI)+

+ C2 (u~,,)+ alu~,-I) + + (l,,_IU; + a"u2 ) +

+...+ C" (u~,) +alu,V'-I) + ...+ a,,_lu;, +a"u,,)+ f(x) = f(x) (56)

uma vez que ul, u2' .,', u/! são soluções da equação homogénea .

• /I condições impostas conduzem à resolução do seguinte sistema de n equações em

í,Cí, ""C:1

í',' I +C;u2 +",+C:,un =0í"í + 2"'2 + ...+ C:,u;, = O

(57)

, (11-1) _ j'( _)11"11 - X

IIIIP"' \lo',',IVI'I <11'11'1111111<11"',0111(••1 m um v / eu O d t rmin nt dos

101'11111'1111"I 11WIIIII',~ 1,111111'I' 1l.1111Hllo

Note-se ainda que este método, pelo que ficou mostrado, se aplica igualmente a equa-

ções diferenciais lineares de coeficientes não constantes.

Problema 2.32Calcular a solução geral da equação diferencial ylll - 2y" + y' = xex

.

ResoluçãoSeja a equação característica

e das suas raízes O e 1, sendo esta dupla, obtém-se a solução da equação

homogénea

A solução geral pelo método da variação das constantes é

o sistema que determina Cí (x), C; (x) e C3 (x) é

\

Cí(X)+C2(x)ex +C3(x)xeX =0

O + C; (x) eX + C3 (x) ( eX + xex) = O

O+ C; (x) e' + C3 (x) (2ex + xex) = xex

e tem Wronskiano

1 x xexew(x)= O eX (x+ 1)eX 2x=e

O eX (x+2)e"

nl< I m·

O eX xxeO eX (x+ 1) eX

xex x (x+2)eXeCí (x) =

e2x

1 O xxeO O (x+ l)eX

O xex (x+ 2)eX

Cí (x) =e2x

I eX O

O eX O

O eX xexC3 (x) = '----.--!

e2x

obtendo-se

e portanto

C()fX < x-I X = xe dx = xe' - e + CI

li m-se ainda

2 (x) = -(l+x)x

donde se obtém

2 3. (,)= f -(x+l)xdx=-~-~+C2

2 3

(I fin 1m nt sendo

'\(.1")- .

I ,III'V!'I H1(1 IIIJ(lI li ,I ,ol! /(,' (I til li '111',(


sendo

1 2 x I 3 xy=--xe +-xe2 6a solução particular.

ProblemasResolver as seguintes equações diferenciais:

/ 233 y" + y = tg x

~ 234 y'" + y' = sec x

-x2.35 y" + 2y' + y = ~

x

236 y" - 6y' + 9y = e3xln x

2.37 y" + 9y = sec 3x

j 23ã, y" - 2y' + 5y = 2xex

x239 y"_2y,+y=_e_

x2 +x

2.40 y'" - y' = eX + e-x

J QY"_y=_2_'l ~ l+ex

Soluções

, 2.34 Y = CI + C2senx+ C3 cos x+ Injsec.c-s tgxl+ senx ln Icosxl-xcosx

3x 3x 3 2 3 r X2

3 r2.36 y=Cle +C2xe --x e' +-Inxe'4 2

I I2.37 Y = CI cos 3x+ C')sen3x+ -cos 3x ln Icos3xl+ -xsen3x

- 9 3

2.39 Y = Cle·r +C2xex _ex Inlx+ q+xex ln~x+l

2 40 C C -.r C .r X -r X r. y = I + ? e . + 3e' + - e . + - e"- . 2 2

241 y=Cle-x +c2ex+(ex _e-x)ln(l+ex)_(I+xer

)

Modo do anulador

I onsidere-se uma equação diferencial linear de coeficientes constantes (40) e seja o

operador diferencial

L DI'I DI'I-I D= +a1 + ...+a,,_1 +a"

sendo o operador D dado por

D=~dx

1111,10 equação diferencial (40) pode ser escrita como

L(y) = .f(x)

,I I" d ar o operador diferencial A, de coeficientes constantes, tal que

A [.l(x)] = O

11l dil u A111 'llil)1 \lI) (' 11IdÇ(

nul ar d f(x). Aplicando o operador A a ambos os

ir r n i I (O) bt m-

(58)

,\ I ( i' ()

(59)

(60)

(61)

( )

ou seja, obteve-se então uma equação diferencial linear homogénea de

coeficientes constantes cuja solução y* contém a solução y" da equação

homogénea associada a (60) e portanto considerando a parcela

(63)

tal que satisfaz (60) está encontrada a solução particular desta equação. Basta

então encontrar uma solução yp de AL(Y) = O tal que

(64)

e obtém-se uma solução particular de (60). A sua solução geral é então a soma

da solução y" da equação homogénea associada com a solução particular yp'Existem anuladores de algumas funções que são simples de calcular Por exemplo o

anulador de k.x é 02

(65)

Generalizando (sem efectuar agora a demonstração que deverá ser feita pelo método

de indução) deduz-se que o anulador de kx" é 0"+ I.

(66)

No caso de funções exponenciais tem-se que o anulador de keax

é O - a

Se considerarmos xeax o anulador é (O - a)2 como se pode verificar e no caso de

n ax I d ,(O )"+1X e o anu a or e - a .No caso das funções senf3x ecos f3x o anulador é D

2 + 132

e no caso de eaxsenf3x e eax cos f3x o anulador é 02

- 2aO + a2

+ 132

Resumem-se na tabela seguinte (Tabela 2.1) os anula dores de algumas funçõ s

(67)

função anulador

1 O

x 02

kx" 0"+1

keax O-a

kx"eax (o-a)"+1

cos f3x 02 + f32

senf3x 02 + f32

keax cos f3x 02 -2aO+a2 +rP

keaxsenf3x2 ? 2O -2aO+a- +f3

kx" eax cos f3x ( 2 ? 2 )"+1O -2aO+a-+f3

kx" e" senf3x ( 2 ? 2)"+1O -2aO+a-+f3

(68)

Tabela 2.1

I'mhlcma 2.42I "ulver a equação diferencial y" + 2y' + y = eX + e-x.

Resolução

Começando por resolver a equação homogénea associada

/,+2y'+y=0

t1 solução é obtida a partir da equação característica

r + 21'+ I = O

m r iz -1 dupla. Então a solução é

I )1'11'111111101 ,I' ,1'III1Ic1oillll'IIII' I) oilllll,,,lc)) cio ',I''1I1IHlo 1111'11111111'\ I I' \ I"(

A=(D-l)(D+l)

após o que se escreve a equação inicial como L(Y) = .t(x), isto é,

e aplica-se a ambos os membros o operador A obtendo-se a nova equação

diferencial homogénea

que se pode escrever

Determina-se agora a solução desta equação homogénea e obtém-se

x -x -x 2 -xy* = ae + be + cxe + dx e

É necessário seguidamente determinar uma solução particular da equação

inicial que é obtida da expressão

e portanto procura-se a solução particular yp que satisfaz essa equação

Substituindo na equação obtém-se

(Xx x 2 x) (x x 2 x)ae +Zde" -4dxe- = dx e- +2 ae +Zdxe" -dx e- +

x 2 -x x -x+ae +dx e =e +e

ou, simplificando

4aex + 2d -x _ ,x + -x

-,

1 1a=- b=-

4' 2

e portanto

j x 1 2-xy=-e+-xep 4 2

sendo a solução geral dada por

I'rublemasI) 'terminar os anuladores das seguintes funções:

.43

b) y = 3ex

ti) y = cos2x

,) y = xcos2x

I') Y = 6 + e2x

.) y=(sen3x+cos3x)eX

I " ulv r as s uintes equações diferenciais:

.11 v" - y' - ,\

2.46 y" + y = xexsen2x

(4) -,2.47 y - y = xe .

2.48 ylll +9y' = 18sen3x+9

2.49 v" - 2y" + 5y' = 3+ 30x2

2.50 y" + y = senx + 2 cosx

2.51 y" + y = 1 + senx

Soluções2.43

a) (D -I)

bl(D -I)

f) D (D-2)

_, ,x -x X x2.45 Y = CI + C2 e ~ + C3 e + - e + - e2 2

s n r ( - I -) e'• O •

7.11 Y - I '( S .r

~ I v ('11" 1 ("1" 1 ('I 'O, \ 1(',1 eu \

'OS r C (\- 1~)X) e s n s

1 _\ I '(' \\ (' \K K

2.48 Y = CI + C2 COS 3x + C3senx + x - xsen3x

J2.50 y=CI cosx+C2senx+xsenx--xcosx

21

2.51 Y = CI COSX + C2senx+ 1 - -x cosx2

Equações de Euler

1\', equações de Euler são equações diferenciais de ordem n com coeficientes não cons-

tantes do tipo

ali (a + f3x)" y(lI) + ali_I (a + f3x )(11-1) y(II-I) + "'+ ai (a + f3x) y' + C/oY = .r (x)(69)

e resolvem-se por uma mudança de variável.

I 111\ iderando a + f3x > Ofaz-se

(70)

e f é a nova variável independente. Converte-se assim a equação (69) numa

equação diferencial linear de ordem n de coeficientes constantes.

,ti rivadas de y são substituídas por

y' = dy dt = dy f3e-1dt dx dt

(71)

,,_ d2y 13 -113 -I dy 13 -{ dt 132 -21 (d2y dY)Y -- e e -- e -= e ---

dl2 dt dx dt2 dt(72)

.vIII - f3 (73)

te.

11111 d',l di (( I (li () el'vI' I'Ii 1(ldl ',e' d ~1I1l tit'li, (J. (I. - -e',

Problema 2.52Resolver a equação diferencial x2 y" - 3xy' + 4 y = O.

ResoluçãoNeste caso a = O, f3 = 1 e portanto a + f3x = x. Tem-se

, dY-Iy =-e

dt

e também

y" = (d2 Y _ dY)e-21

dt2 dt

Efectuando a substituição x = el a equação toma a forma

21[ -21 (d2y

dY)] 3 I -I dy 4 Oe e --- - e e -+ y=dr2 dt dt

ou simplificando

cuja solução é

C 2t C 21Y = je + 2te

Finalmente na variável x tem-se

Problema 2.53Determinar a solução da equação diferencial (1+ x)2 y" + 3(1 + x) y' + y = (1+ x?

Resolução

Tome-se

I·\ox./

',1111'.1111111\(111 \' ,,' 1'1'101" 11"'1'1 (1IVoI', 1)(111{l',', (",01 ('qllol ,10 \(111101 01 [0111'01

21 -21 (d2y dY) 3 I -[ dy 31e e --- + ee -+y=edt2 dt dt

e reduz-se a

A solução desta equação é dada por

C -I C -I 1 31y= le + 2re +-e16

ou na variável inicial

1 In(l+x) 1 3y=CI--+C? +-(I+x) x>-l

1+x - 1+x 16 '

ProblemasI) 'terminar as soluções das seguintes equações diferenciais:

.54 x2 y" + xy' + 4 y = O

SS 2" 4 . 6.• xy- xy+ y=x

"''' 3... 3 2 " 6 ' 6 O.cn x y - x y + xy'- y =

3 d3y 2 d2y dy 4.57 x -3 +4x -? -5x--15y=x

dx dx: dx

li a , • 2 2••o x- y - xy + y = 1+ ln x

.. 9 x2y" - 3xy' + 3y = lnx, Y(l) = 1 y'(I) = 2

,(,1) x·y'''+2x2y''+xy'-y=15cos(2lnx), Y(I)=2, y'(1)=-3, Y"(I)=-3

.(11 ( + x)2 y" + ~ y = 2 + x4

,(, (I 2·)2y"+2(1+2x)y'-ln(I+2x)

Soluções

2.54 y=CI cos(21nx)+C2sen(21nx), x>O

? 3 O2.56 y=CIX+C2,C +C3x , x >

I x4

2.57 y=CIX3+?[C2cos(lnx)+C3sen(lnx)]+-, x>Ox- 37

]J 2

2.58Y=X[Clcos(lnX)+C2sen(lnx) +1+lnx+2:1nx, x>O

2.59 y=~(5x3+4+1nX3), x>O

2.60 Y=X+coS(lnX2)-2Sen(lnX2), x c- O

2.61

4y = C

I.J2+x cos[ln(2+x)]+ C2.J2 +xsen[ln(2 + x)] + 5(2+ x),

2.62 Y = CI ln (I + 2x) + C2 + ;4 ln3

(I + 2x), x> - ~

x > -2

2.4 Soluções de equações diferenciais em séries de potências

o método das soluções em forma de séries de potências permite resolver equações

diferenciais de ordem n e de coeficientes não constantes.

Dado que as equações mais usuais na prática são de segunda ordem, será seguidamen-

te considerado apenas o caso n = 2 em que a equação se pode escrever

(74)

(7 )

2.4.1 Soluções em série de potências em torno de um ponto nãosingular

Teorema

e os coeficientes da equação (74) são funções analíticas num intervalo contendo Xo e

se Xo é um ponto não singular de (74), isto é, se

(76)

Ientão esta equação admite duas soluções analíticas representadas por séries de

potências com a forma

y (x) = 2: c" (x - Xo )",,~o

(77)

que convergem num dado intervalo Ix - Xo I< r a determinar. Este valor de r é

quando muito a distância de Xo ao ponto singular mais próximo. A solução geral

é dada pela combinação linear destas duas soluções.

) coeficientes cn calculam-se considerando na equação diferencial dada as expressões

co,~ ( ),,-1Y = L.; nc" x - Xo

,,~I(78)

oon ~ ( ) ( )n-1y = L.; n n - 1 c; x - Xo -

n~2

(79)

obtendo-se

cc

ao (x) 2: n(n-l)cn (x-xO)"-2 +al (x) ~ =; (x-xO)"-1 +n~2 ,,~I

a2 (x) 2: c" (x - xo)" = O11~0

(80)

A JlMtir desta equação e por um método de coeficientes indeterminados para séries de

potências são calculados os valores de cn de forma recorrente. Os valores de <oti -o tomados como constantes arbitrárias e por uma fórmula de recorrência

bt m-s o v lor 5 d '2,'3,'" em termos de Co e cl· Isto é imediato se as

m do con id r r

i) m ",Illl (1)(11 )( 111 I cI

ii) para todas as séries deve tomar-se o índice n a começar no maior dos valores

iniciais presentes nas séries anteriormente consideradas.Sea equação diferencial for de ordem n podem arbitrar-se Co,cl , ... ,cl1-1 e obtêm-se os

seguintes valores ck recursivamente. A solução da equação diferencial em série

de potências está então determinada

Problema 2.63Determinar a solução em série de potências em torno de Xo = O da equação

(1 + x2) y" - 2 y = O.

ResoluçãoConsidere-se a solução y na forma

co

~ "y = ~ c"x,,=0

então

co

~ ( ) 11-2y" = ~ n n - I C"X

11=2

e tem-se

co

(1 + x2) 2: n (n -1) c"x"-2 - 2 2: c,,x" = O1/=2 ,,=0

que pode escrever-se como

f n(n-l)c"x"-2 + f n(n-l)cl/x" -2 f c"x" =0,,=2 11=2 11=0

ou ainda tomando em todas as séries o mesmo expoente de x

f n(n_l)c"xn-2 + f (n-2)(n-3)cl_2X"-2

-2co -2Clx

11=2 n=400

2: 11-2 O- 2 c 2x =n-,,-4

rin ilm nt O L rmo m pI()d'!', ti',', 'li,,,, «()III(I(,tlIHlo 111/1 I\.

d x d or m cr nt

00

(-2co + 2C2) + (6C3 - 2cI ) X + 2: [n (n -1) <, + (n2 - 5n + 6 - 2) c,,_2 ]x"-2 = O11=4

Igualando a zero todos os coeficientes obtém-se

n (n - 1) c" = -c,,_2 (n2- Sn + 4), in e 4)

Esta última igualdade pode escrever-se como

n(n -l)c" = -c,,_2 (n - J)(n - 4)

ou

n-4cn = -clI_2--n

e portanto tem-se (para n = 4,5,6,7,8, ...)

1 1<s= -Cj--

35

1 1 3 1 1c7=cl---=Cj--

357 57

C8 = O

1 1 5 1 1'9 = -CI --- = -cl --

579 79

, J-I)k+1(~k",1 ---

4k -I

I( 1Yl1ll<1 ('o ('I m f) con t nto d int r cão éri d potências temti ('XI)! (\l)',.!

(

cc ( )k+1 1<o (I+X2)+CI x+ 2: --=';-x2k+1

k=14k -I

Usando o critério de D'Alembert para o estudo da convergência tem-se

I x 12k+2+1

. 4 (k + 1)2 -1 . 4k2

- I I 12 I 12lirn = 11m ? x = X

k ....•ca I X 12k+1 k ....•'" 4(k + It-1

4k2 -1

e portanto a série converge para Ixl < I.

Problema 2.64Determinar a solução em série de potências em torno de Xo = O da equação(1_ x2 )y" +xy' - y = Ocom as condições y(O)= 1e y'(O) =-1

ResoluçãoConsiderando a solução na forma

e usando as condições dadas pode concluir-se que

Co = 1

por outro lado tem-se

00 00 00 00

2:n(n-l)c"xn-2- 2: n(n-l)c"x" + 2:nc"xn- 2:C/1X

I1=O,,=2 11=2 /1=1 1l=0

ou, tomando em todas as séries o mesmo expoente de x

'" '" '"2: n(n-l)c"x"-2 - 2: (n-2)(n-3)c,,_2X,,-2 + 2: (n-2)c"_2X"-2,,-2 11-4 ".3

("" x" 2_01/-

I' qlll' I l'qlilvlill'llll' ,I

11=4

Tem-se então

Ic2 =-

2

e também

I[n(n-I)C" +(_n2 +6n-9)c"_2 ]x"-2 =011=4

e portanto

_ (n_3)2c" - C

II-2 -'---:----'--

n(n -I)

donde se obtém

I IC4 =---

2 4x 3

1 I 32

c6=-----24x36x5

I 1 32 52c8=-------

2 4x3 6x5 8x7

1 1 32 52 72CIO = ----------

24x36x58x71Ox9

A soluçá o da equação é então

I I.1'-1-.1'.1--.1' '" .1'4

I 1

2. /'61

Ixk 1

I' p()III' 1",( 11'Vi'1 ,I' ( 1111111

Usando o critério de convergência

(2(k+ 1))'1XI2k+

2

lim [2k+I(2k+l)(k+I)Y = lim (2k+2)(2k+l)(2k-lllxI2 =IXI2k~oo (2k)!IXI2k k~"'22(2k+l)2(k+I)(k+l)

-')

[2k (2k-l)k!r

conclui-se finalmente que a série converge se Ixl< I, e está determinada a

solução da equação diferencial.

ProblemasDeterminar uma solução em série de potências em torno cio ponto Xo para cada

uma das seguintes equações diferenciais:

2.65 y' = x + y, Xo = ° e y (O) = I

2.67 y=c)I+3I (x_2)2k ]+CI[(X-2)-(X-2)3] 1<x<3l k~0(2k-3)(2k-l) ,

'" 2k+1 ')k 00 2k(k+I)! 2k+12.68Y=C02:-k-

l(x+3)- +CI2: I (x+3) ,

k~O 2 k. k~O (2k+ I).

Ixl< 5

,4.2 Soluções em série de potências generalizada. Método de

2 66 I 2 ° Frobenius• y = xy, xo =

2.68 y"-(x+3)y'-3y=0, xo =-3

2.69 (25-x2)/'+2Y=0, Xo =0

2.70 (1-x2)i'-2XY'+2Y=0, Xo =0

2.71 (x+l)y'-(2x+3)y=0, Xo =0

d2y dy2.72 -+x~+y=O, xo =0dx? dx

lu

( ()ll~idere-se que Xo é um ponto singular da equação (75)

ao (x) y" + ai (x) y' + a2 (x) y = ° (75)

111\,1 não é possível determinar uma solução em série de potências de x - xo. Sob cer-

tas condições a solução toma no entanto a forma

co

y = Ix - xo r 2: c" (x - xo )",,~o

(81)

nde r é uma constante real ou complexa.

( 111110 0o(x) uma função não nula a equação diferencial (75) pode ser escrita na

r rm

(82)

~ (x) = ai (x)ao (x)

Se Xo é um ponto tal que pelo menos uma das funções PI (x) e P2 (x) é não analítica em

xo. diz-se que Xo é um ponto singular da equação (75) Se as funções definidas

pelos produtos

são ambas analíticas em xo. então Xo diz-se um ponto singular regular da equação

(75). Se pelo menos um dos produtos em (84) é uma função não analítica em xo·diz-se que xo é um ponto singular irregular da equação (75).

Teorema

Seja Xo um ponto singular regular da equação (75). Então esta equação tem pelo menos

uma solução não trivial da forma

00

y=lx-xol' 2: c" (x-xo)",,=0

onde r é uma constante real ou complexa a determinar e a solução é válida para algum

intervalo O < Ix - xo I< R (R> O)

Método de Frobenius

Pretende-se procurar soluções de (75) em algum intervalo da forma O < Ix - Xo 1< R.Considere-se que a solução da equação (75) é da forma

00

y = (x - xo r 2: CII (x - Xo )"11=0

com Co ;é O. Escrevendo na forma

00"( rv= ~ c" x-xon=O

e derivando termo a termo obtém-se

, ~ ( ) ( )"+1-1Y - ~ 11 + r '11 - - x()

"••O

",, II'· (1/ I I )( 1/ I I - Ih,(I

• .J

1/ 1I

111(f lli 1\ l/i

\ I1I' 111111'/',(1) -/,

\ 11

(83)

(84)

(81)

(85)

(86)

(87)

(1lH)

e portanto substituindo na equação (75) e dividindo por ao (x ) x' tem-se

I(n+r)(n+r-I)cn (X-XO)"-2 + ai (x) I(n+r)cn (X-XO)"-I +11=0 ao (x) 11=0

a2(X)~ ( )"+ a (x) ~ CII x-xo =0 (89)

o 11=0

I~screvendo a equação em soma de três séries de potências e igualando a zero os

coeficientes associados a cada potência de x encontram-se os valores de c OI/'

número r é determinado a partir da equação indicial

r (r - I) + ar + f3 = O (90)

em que

(91)

que se obtém de igualar a zero o coeficiente do termo de menor grau em x - xc)'

As raízes r1 e r2 desta equação são tais que Re(rl) ""Re(r2) e conduzem a duas solu-

ções distintas linearmente independentes se a diferença 'i - ''2 for diferente de

um número inteiro positivo e de zero. No caso de a diferença ser zero apenas se

pode construir uma série e no caso de a diferença considerada ser um número

inteiro positivo não é em geral possível construir mais que uma série.

Problema 2.73Determinar a solução em série de potências em torno de xo = O da equação de11 .ssel x2y" + xi + (x2 - p2)y = O onde p é uma constante.

Resolução

Neste caso tem-se

I~(x)-- ex

e portanto a equação indicial

r (r-I) + ar + (3 = O

toma a forma

Então

A primeira solução particular da equação de Bessel tem a forma de série de

potências generalizada dada por

00

y=x" 2: c"x",,~O

Substituindo y, y' e y" na equação obtém-se

00 00

2" ()( ) ,,+,,-2 "( ) ,,+p-IX ~ c" n.+ p n + P - I x + x ~ c" n + p x +

,,~ k~00

+ (x2 - p2) 2: c"x,,+p = O,,~O

Dividindo por x'' tem-se

~ c" (n+ p)(n + p -I )x" + ~ c" (n + p )x" + ~ cnx"+2 - p2 ~ x" = OIl~O Il~O Il~O n~O


~Cn[(n+p)2_p2]XIl+ ~cllxn+2=0k~O n~O

Esta igualdade é verificada se e só se todos os coeficientes de todas as potên-

cias de x forem z ro portanto t m-s

(p2 _ p2)cO =0

[(1+ p)2 _ p2]c1 =0

[(2+ p)2 - p2 ]C2 +co = O

[(3+p)2_/]C3+CI =0

[( 4 + p)2 _ p2 ] c4 + c2 = O

donde resulta que Co é qualquer e cl = O. Da terceira equação obtém-se

Da quarta e sexta equações e assim sucessivamente conclui-se que

Da quinta equação obtém-se o valor de C4

Os coeficientes de índice par vão então ter a forma

c _ (-1)" Co2" - 2" ( ) ( ) ( )2 p+l p+2 ... p+n n!

No caso de r = - p a segunda solução particular da equação de Bessel é dada

por

00

y-x-P 2: d"x",,-o

(/'1/11 (), 1/ n,l, ....

(-1)" dO,2nd211= 2 x , n = 0,1,2, .--

2"(-p+l)(-p+2) ... (-p+n)n!

A solução da equação é então

7~ (-Irc, 211

y=X' ~ x +11=0 2211 (p+I)(p+2) ... (p+n)n!

(-1)" c2 x21l

2211(-p+l)(-p+2) ... (-p+n)n!

Pode introduzir-se uma notação diferente que permite simplificar estas expres-

sões. Considera-se então a função Gama

( ) f 00 - r 1'-'rv= Oex dx

e as suas seguintes propriedades

i) r(v + 1) = VI (v)

ii)r(l)=I

iii) r (v + n + I) = (v + 1)(v + 2) ...(v + n)r( v + I), se n for inteiro positivo

iv) r (n + 1) = n!, se n for inteiro positivo

Aplicando estas propriedades os coeficientes podem escrever-se na forma

(-I)"c - ----=------~"--------

211 - 221l(p+l)(p+2) ... (p+n)n!2pr(p+l)

(-Ir

Para cada raiz p da equação indicial a correspondente solução particular da

equação de Bessel é usualmente representada por Jp e designa-se por função

de Bessel de primeira espécie de ordem p

00

./ 1' (x) - XII 2:11 11

(-I)" X 11

1/1 1' ,,!t' (11 , /I , I)

l'luhlcmasII indo o método de Frobenius determinar uma solução em série de potências

I 1\1 torno do ponto singular xo para cada uma das seguintes equações diferenciais:

.74 2x2 y" + xy' + (x2 -I) y = O

.75 x2y" -xy' +(x2 +%)y = O

.7() 3xy" -(x- 2)/ -2y = O

.77 x2 y" + xy' + (x2 - ±)y = O (EqUaçãO de Bessel de ordem ~)

.7M xy" _(x2 +2)y' +xy= O

.71) 9x(I-x)y"-12y'+4y=O

Soluções

( 2) ~( 2)3x o 7x 5x2.76 y=c, l+x+-. -+ ...+c2x~ 1+-+-+ ...

10 12 36

2.78 y=c, (I + ~ ~~n )+c2X3(1+ ~ __ x_21_'__ )11=,2 n! 11=15·7·9· ... (2n+3)

.I

I ) 7 (I, 'I, 7 \ 1 H,\ H,11,\, ,,,' '(', \ I, ,

\ ,(, ') I() I() , I \

pítulo 3istemas de equações diferenciais lineares

li formulação do problema do comportamento de um sistema físico com n graus de

liberdade conduz a um sistema de n equações diferenciais simultâneas em que

a variável independente é normalmente o tempo.

Np~le terceiro capítulo vão ser apenas considerados sistemas lineares na variável de-

pendente constituídos por n equações diferenciais envolvendo n incógnitas

xí = aI 1 (t) XI + a]2 (t )X2 + + ai" (t) x" +ti (t)Xl = a21 (t)XI +a22 (t)X2 + +a2/1 (t)x" +12 (I)

(1)

r ma (Existência e unicidade da solução)

',I' fiei ntes aij (I) e as funções!; (t) forem contínuos num intervalo I, to E I e

k, ,k , ... , k" for mil constantes arbitrárias, então em I existe uma só solução

.1"1(I), 2 (I), ... , ,,(I) t I qu XI (lO) = kl ,x2 (10) = k2, ... .x; (to) = k"1',Ir uma ~ll i 1 r 1,1 (o IW LJ cõ dif r nci i lin r s d ord m n os

',I',fPlllol', <li( 'I '1\ i,lI', 1I1H',lI(I', doi m \ 11101 lei I. r, l v rifi - qu u

equação diferencial linear de ordem n pode sempre transformar-se num sistema

linear de n equações diferenciais.

Seja então a equação

),,) + ai (t) y(n-I) + a2 (t) y(I!-2) + ...+ aI! (t) Y = f (t)

Escrevendo YI = Y e introduzindo novas funções incógnitas para cada uma das deriva-

das seguintes

YI =Y, Y2 =yj, Y3 =Y2' ... , y" =Y;,-I

obtém-se o sistema

yj =Y2

Y2 = Y3

Y;,-I =y"Y;, = -ai (t )y" - a2 (t)Y"_1 - ... - a" (t) YI + f(l)

Inversamente é quase sempre possível de um sistema diferencial linear de n equações

obter uma equação diferencial de ordem 17.

Seja o seguinte sistema

{x~ = 3xI + 8x2

x2 = -xI - 3x2

Da segunda equação do sistema obtém-se

e por derivação tem-se

xi = -3X2 -x2

Substituindo (6) e (7) em (5) obtém-se

(2)

(3)

(4)

(9)

Uma solução geral desta equação de segunda ordem é

(10)

(5)

(6)

(7)

(8)

e portanto substituindo em (6) tem-se

(11)

(12)

Ilá no entanto casos em que não é possível reduzir um sistema de n equações a uma só

de ordem 17, por exemplo o sistema

(13)

ste método conhecido como método de substituição pode ser usado como processo

de resolução de sistemas de equações diferenciais, não sendo no entanto o que

será aqui aplicado.

guidamente serão considerados apenas sistemas de equações diferenciais lineares de

coeficientes constantes e será exposto um outro método de resolução.

3.1 Sistemas de equações diferenciais lineares homogéneos decoeficientes constantes. Método de Euler

ja o sistema de equações diferenciais homogéneo de coeficientes constantes escrito

em forma matricial

x'=Ax (14)

onde A é uma matriz constante (de dimensão n x n) e

x=

.XII

Considerem-se soluções da forma

sendo v um vector constante e í\. um escalar.

Substituindo (16) em (14) tem-se


(A - í\.I)v = O

Então (16) será uma solução do sistema (14) se í\. é um valor próprio da matriz A e v é

o vector próprio correspondente.

Considerando inicialmente apenas as soluções de sistemas de segunda ordem, são en-

tão dois os casos a estudar

i) Os valores próprios í\.1 e À:2 são reais ou complexos e distintos e vI e v2 são os

correspondentes vectores próprios.

São soluções do sistema

e são linearmente independentes. Então a solução geral é da forma

ii) O valor próprio í\. real tem multiplicidade dois e u é o único vector próprio

correpondente (no caso de haver dois vectores próprios reduz-se ao caso

anterior)

uma solução é

(15)

I rocurando agora outra solução na forma

(16)

(22)

(17)

(18)

e derivando e substituindo em (14) obtém-se

í\.}CI( ) AI AAI( )e ut + v + lle = e ut + v (23)

(19)

(20)

(11)

.>

onsiderando agora que

Au = í\.ll (24)

uma vez que í\. é valor próprio de A, simplificando em (23) obtém-se

(A-í\.I)v=u (25)

As duas soluções obtidas, que são linearmente independentes, são então

(1) AI (2) AI ( )x = e u e x = e ut + v (26)

A solução geral é combinação linear destas duas soluções

(27)

No caso de o sistema ser de ordem três e o valor próprio í\. ter multiplicidade três são os

seguintes os dois casos distintos

<I) há um só vector próprio LI

t ntão a segunda solução é da forma

(28)

com v tal que

(A - í\.1) v = II (25)

i l m rrnit e leul r o v ctor v qu se d signa por veetor generalizado.

luç(o l(l(l, I 01

/'/ (1/ ',' I ,t' I 11')

com w tal que

(A -AI)w = v (30)

As três soluções são linearmente independentes e a solução geral é

(31)

b) há dois vectores próprios linearmente independentes ul e u2·

Duas soluções são

A terceira solução é

tomando-se para vector li

e sendo v um vector tal que

(A - AI) v = u

o v lares kl e k2 são tais que se obtém uma solução não trivial v. As três soluções são

linearmente independentes e a solução geral é

Problema 3.1

. _ {XI = 6xI - 3x2I 'I rminar a solução do isterna de equaçoes, .

x2 = 2xI +x2

R íuçI (I('v('IHlo () '.1' 1('111.1 "" 10"11" .\,'.. X t '111

(32)

(33)

(34)

(35)

( ;; H ~ ~3)(;; 1Seguidamente calculam-se os valores próprios de A.


e os valores próprios são AI = 3 e ~ = 4.

(

ulO vector próprio associado ao valor próprio AI = 3 é

u2

ou seja

{6UI - 3u2 = 3uI

ç;, ul = u22uI +u2 = 3u2

O vector próprio poderá ser então o vector ( : )-

Calculando agora o vector próprio para o valor próprio ~ = 4 tem-se


{

6UI - 3u2 = 4uIç;, 2ul - 3u2 = O

2uI +u2 = 4u2

Pode então tomar-se para vector próprio o vector ( ~ ).

A solução é então

Problema 3.2

. _. _ {XI = 3xI + 2x2Determinar a soluçao do sistema de equaçoes I • •

x2 = -5xl +x2

ResoluçãoCalculam-se os valores próprios da matriz dos coeficientes através da equação

det ( A _ ,u) = \ 3 - À. 2 \ - O-5 1- À.


e portanto os valores próprios são À.I = 2 + 3i e ~ = 2 - 3i.

Para o valor próprio À, • 2 + }; o vector próprio (

(~5 ~)(:; ].(2+3;)( :; ]e tem-se

{3UI +2u2 =(2+3i)ul

-5ul + u2 = (2 + 3i)U2


(1-3i)ul +2u2 =0

podendo então tomar-se para vector próprio o vector ( 2 ).-1 + 3i

o vector próprio associado ao valor próprio conjugado é o conjugado deste

vector próprio, é

São soluções

x{I) = e(2+3i)1 ( 2 )-1+ 3i

e x(2) = e(2-3i)1 ( 2 )-I - 3i

A solução é dada por

2 ) + C2e(2-3i)1 ( 2 )-1+ 3i -I - 3i

É necessário agora obter a solução real e não complexa. Tem-se

X(l) = e(2+3i)1 ( 2 )=e21(cos3t+isen3t)( 2 )=-I + 3i -I + 3i

2 COS 31- cos 3t - 3sen3t

2sen3t )3cos 3t - sen3t

e no caso de

X(2) = e(2-3i)1 ( 2 )-1- 3i

obtém-se o conjugado do anteriormente obtido

2t ( 2 cos 3t ). 21 ( 2sen31 )e -Ie- cos 3t - 3sen3t 3 cos 3t - sen31

Considerando agora as seguintes soluções reais .é') e x(2) combinações line-ares de x(l) e x(2)

x(t)=x(I)~x(2) =e21( 2cos2t )- cos 3t - 3sen3t

e também

X(2) = x(t) - x(2) = e2t ( 2sen3t )2i 3 cos 3t - sen3t

pode verificar-se que x(l) e x(2) constituem soluções linearmente independen-

tes e portanto a solução pode ser dada por

2 OS 31 ) + Be21 (- ·O~. 1 - s n. 1

2sen3tos 1- s n t )

( li

XI = 2e2t (A cos 3t + Bsen3t)

x2 = e2t (A (- cos 3t - 3sen 3t ) + B (3 cos 3t - sen3t ))

Problema 33

_. _ {Xí = 4xI - x2Determinar a soluçao do Sistema de equaçoes I 2'

x2 =xl + x2

ResoluçãoCalculando os valores próprios da matriz A

( )\

4-À. -I \det A-Àl = =0I 2-À.

para o que se determinam as raízes da equação

(LlI 1e portanto À. = 3 com multiplicidade dois. O vector próprio é Ll2 tal que


{

4UI - Ll2 = 3uI~ LlI =u2

ul +2u2 = 3u2

e portanto pode tomar-se para vector próprio o vector ( ~ )-

Uma solução do sistema é

e outra solução linearmente independente é dada por

(

1'11'111 qlll' () VI" 1111

I',1(' Itll qlll'

/

ou


Uma solução é vI = I, v2 = O e então a solução do sistema é dada por

ou ainda

ProblemasI cterminar a solução geral dos seguintes sistemas de equações diferenciais:

jdXI = xl - X?

J.4 dt -dx?-- =X2-4xjdt

dx-= 3x-y+zdt

• 5 dy -.'. -=-x+=>y-zdr

dz 3-=x-y+ Zdi

J'(lj~;;=x-5y

~-2di

Ir- ,\'1',11

11\.7tl»

I I' Irll

{Y; = Y2.l.H ,Y2 = YI

{VI' = -2Y219 .

•. Y2 = 2YI

{Y; = -4YI - 6Y2

.l.1I ,Y2 = YI + Y2

{VI' = 4YI + Y?.1.13 ., -Y2 =-YI +2Y2

1< -sotvcr 01' H' 'uilll's pl'Ohl'IlHlN ti, valor ini .iul:

jdX-= 3x+8y

3.20 dtdy-=-x-3ydt

com x(0)=6 e y(0)=-2

3.21

dx-=8ydidy-=-2z com x(0)=-4, y(O)=O e z(O)= Idtdz~ = 2x+ 8y-2zdI

{'- 23.22 y~ - Y2

Y2 = 2YIcom YI (O) = -9 e Y2 (O) = I5

3.23 {YI,' = 2YI + 4Y2 ( )com YI O = -4 eY2=YI+2Y2

Y2(0)=-4

com YI (0)=3 e Y2(0)=4

x(o)=( ~~)

Soluções

3.6\'- 'I ·OH./ :; ',s'n./, .1'- l(-os3/+3scn3/)+ 2(scn3/-3cos3t)

l I \ 'I t (' ,I 1,11. \' , ( , ,) 1II I ,I ,/ I'

3.9 Y, = Acos2t+Bsen2t Y2 = Asen2t - Bcos2t

I B 1Y2 = A e sent - ecOS t

1 3C 71Y3 = -C2e + 3 e

(-3cos2t-2sen2t )el +C

2( 2cos2t-3sen2t )el

3.16 x=C, 2 sen2tcos t

(1 ) 1 ( I - 2f ) -I

3.17 x=C, -1 e- +C2 2f e

_ (3cost-sent )+C (Cost+3sent)3.18 x-C, 2 5sent5cost

. 21 ?I C 21 23.19 x, =2C\e +2C2e- t+ 3e t

I -I I-I3.20 x=4e +2e , y=-e -e

3.21 x=-4e-21 -2scn4t, y=e-21 -cos4t, z=e-21

-2scn4t

('- (

('I ('.Y -~('

\',,I', -I "

3.24 y, = _e-51 + 4e2t -51 3 21Y2 =e + e

)e-31

326X-'-'[ ~~2lH'[~1

3.25 X=lO( cost-senf4 cos t - 3sent

3.2 Sistemas de equações diferenciais lineares não homogéneos decoeficientes constantes

Considere-se o sistema diferencial linear não homogéneo de coeficientes constantes

X' = Ax+ !(t) (36)

tal que os coeficientes da matriz nx.n A(t) e as componentes do vector

de funções! (t) são contínuos num intervalo r Analogamente à teoria das

equações diferenciais lineares a solução geral é dada pela soma da solução da

equação homogénea com uma solução particular

(37)

sendo x" a solução em I do sistema homogéneo

x'=Ax (14)

e x p uma solução particular em I.

Seguidamente é apresentado um método para determinação de soluções particulares

de sistemas diferenciais não homogéneos.

Método da variação das constantes

.• ,.11

11(38)

li ',ohl<"illl'llll do ,1'.11'11111IiOIIlIHI'III'II (111) !lO!!I' '11'1I"l( 1111111" fOIlIl"

x, -[e I e .n

HI "

IIel ]_x(t)C f: = 3x2 +30IXI + ...+ "xI xI",xI

(39)x2 = -3xI - 3t

e I e .n xl x" e"IX,,+"'+ "x" .: Il

Resolução

Na forma matricial o sistema escreve-se

onde X (f) é a matriz de colunas xl , ...,x", chamada matriz fundamental, e C

um vector constante.

O método da variação das constantes consiste em considerar a solução geral da forma

X=X(t)lI(t) (40)

Substituindo (40) em (36) obtém-se

X'lI+ Xu' = A Xu + f (41)

e como X' = AX uma vez que as colunas de X são soluções do sistema

homogéneo, pode concluir-se que

Xu' = f

e portanto

li' = X-I f

X-I existe em I uma vez que X é a matriz fundamental de x' = Ax e as soluções

xl, ...,x" são linearmente independentes.

Então por integração e omitindo todas as constantes de integração, uma vez que se

pretende apenas uma solução particular, obtém-se

li (t ) = f X- I (t)f ( t ) dt

e portanto

xp = X(t) f X-I (I )f(t)dt

I'rollh-IIIII J. 7'<I OIH'III I '1111111' I h'lllIl di' I',!11 I I1\' dil '\'11\ i li '

Começa por resolver-se o sistema homogéneo associado. Então, calculando os

valores próprios da matriz dos coeficientes

obtém-se

(42)

que tem como raízes À = ±3i.Calculando agora os vectores próprios, seja À = 3i. Tem-se

(43) o que conduz ao sistema

{3U2 = 3ü~1

-3ul = 3lU2

e portanto pode considerar-se para vector próprio o vector ( : ) O outro

vector próprio será o conjugado ( ~l ) e a solução do sistema homogéneo é

(44)

(I IHlIltlllln li .olu ,111 dll ,1,1111101111111111111'11\(111 1 dlic11i l"ll

(45) Par ncontrar agora solução na forma real calcula-se

1,111 ( " ) _ ( 'OS, "1 is 'li ,) ( I, ) _ ( S 31 ) + i ( . 1131 )I I -s'n.1 'os.,

(XI 1= C

I( COS 3t )+ C2 ( sen3t )

X2 -sen3t cos 3t

Considerando agora a matriz fundamental

x _( cos 3t sen3t)-sen3t cos 3t

e calculando a inversa obtém-se

X-I = del·tX ( cos 3t-sen3t

cos 3t -sen 3t )sen3t cos3t

sen3tcos3t

Seja então

f X-I (t)j(t)dt = f( -sen 3t )(COS31 )

dt = f ( 30 cos 31+ 3tsen3t }"30sen3t - 3t cos 3t

[

33:~n31-'WS31 1-3 cos 31 - tsen3t

cos 3tsen3t

30-3t

A solução particular calcula-se através do produto

X1

=X(t)fX-I(t)j(t)dt=( cos3t sen3t)[I -sen3t cos 3t

31 1- sen3t - t cos 3t331-3cOS 3t -tsen3t

e obtém-se

Finalmente a solução geral é dada pela soma da solução do sistema homogé-

n o com a oluç o p rticul r

\'0, \1\'11 \1

H 'I) I

\'0 \1

ProblemasDeterminar as soluções dos seguintes sistemas de equações diferenciais:

I' 3 6 -21YI = - YI + Y? - e3.28 -Y2 =YI-3Y2+2e-21

1' 6 ?I3.29 YI = Y2 + e-, 3 21Y2 = YI - e

3.30 {Y: = 2YI + 3Y2 - 2 e-I

Y2 =-YI -2Y2 +1

1, 5 -31YI = - YI - Y2 + e

331, -31

Y2 =2YI-3Y2-e

j-I, e

XI =XI -X2 +--?.D3 I+r

2 -I

xl = 2xI - 2X2 + _e -1 +t2

{Xí = x2

J.37'- XI-'

Ilí - ,11- 1 I I.UH

I'. 1i I I I 11/,1

Soluções

C -2/ C -4/ 2 -2/ 2 -2/3.28 YI = le + 2e - te - e

-21 C -41 2 -21 2 -21Y2 = Cle - 2e - te + e

C I C -I 3 213.29 YI = le + 2e + e

3 I -I 3 -I 3_13.30 YI = Cle +C2e - «te +-e

2

/ C -t 2 -I I -IY2 =-Cle - 2e + -te --e2

-41 -41 I -313.31 YI = Ae cost + Be sent +-e

2

-4/ ( ) B -4/ ( )Y2 =Ae sent-cost + e -sent-cost

332 x=cle-I( ~ )+c2el( )+( -;~t )

333(~: l'cI(: )+C2,-'( ~ ).,-'""g,( ~)334 x=e21 (1+1nt)( !)3.35

_/2_ 1+4(1 1)ln\1

-I -I I Iln\1 1\1/ (

/+1

3.36 y, = 4e61 +el +t2 -5, Y2 = él -/-t

1 -21 1 I 4 I3.37x,=--e +-te--e18 3 9'

1 -21 I I 1 Ix? = -e +-te --e- 9 3 9

C 31 31 4 1 I3.38 xI = le +C2te ----e9 4 C 31 31 ( ) 1 1 Ix2 =- le =C,« t+l +---e- 9 4

3 39 A -31 (. -31 o. XI = e -cost-sent)+Be (-sent+cost)+(-3-t)e-JI

31" 3 3X2 = Ae- COSI + Be I sent+(2+t)e- I

3.40 XI = Ae -t (-2sen2t) + Se -/ (2 cos 2t) - te-I sen2t -!e -/ cos 2t2

A -/ 2 B -I 1 -I l_Ix2 = ecos t+ e sen2t+-tcos2te +-e2 4

Capítulo 4Transformadas de Laplace

A transformada de Laplace é uma ferramenta particularmente útil na resolução de equa-

ções diferenciais lineares de coeficientes constantes. A sua aplicação permite

converter um problema de valor inicial na variável t num problema algébrico na

variável s e é através deste que se determina a solução da equação diferencial.

Problemas com funções descontínuas podem ser considerados, como por exem-

plo a função de Heaviside ou a "função" õ de Dirac (função impulso).

4.1 Definição, ~xistência e propriedades da transformada de laplace

Dada uma função de variável real f (t) com t <!: O a transformada de Laplace é dada por

F(s) sendo s real

F(s) = J ;f(t)e-'w dt (1)

TeoremaA transformada de Laplace existe se a função f (t) for contínua por secções em cada in-

tervalo O :s r :s b e de ordem exponencial eYI. Significa isto que deve verificar-se

a condição

para algum y eM.

DemonstraçãoUsando a definição de transformada de Laplace e uma importante propriedade dos

integrais pode escrever-se a desigualdade

Usando (2) tem-se

12{J(t)}l= J 00 MeYle-sl dt = lim J A MeYle-sl dt =O A--+oo o

M -(,-y)A M= lim --e· ---

A--+ooy-s y-s

Se .I' > Y o limite indicado é zero, tem-se

e portanto o integral é convergente. Então a transformada de Laplace existe

para s > y. •

Problema 4.1ai ular a transformada de Laplace da seguinte função f (t) = 1

R solução

U t nd a d finiç O d Ir n f rm d d I

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

( )

M. M -sI . 1 _.

= lirn J e dt = lim --e .\1M --+oc O M --+00 S o

1. I -sM I= l Hl --e +-

M --+00 S S

e então se s > O o limite indicado é zero e tem-se

52{I} = ~s

Problema 4.2Calcular a transformada de Laplace da função f (r) = e -(11.

Resolução

Calculando 52{J (r)} através do integral

í~{ -at} ioo -at -sI Ir~ e = e e Go

e tem-se

J 00 -(.1"+(/)1 Ir I· J M -(.1"+(/)1 dte G = Il'Il e 1=O M --+00 O

= lim (__ I_e-(·\+{/)I)M = lim (__ l_e-(.I"+(I)M +_1_)=M --+00 S + a O M --+00 S + a s + a

1se s >-a

s+a

Problema 43'alcular a transformada de Laplace da função f (t) = cos at.

Resolução

P I d finiç- O d transformada de Laplace tem-se

I{ 'OSU/}- Jo COS(UI) e-S/ dl=

_ lim J M cos(al) e-s/ dt = lim [(~sen(al)e-s/)M - J AI -~sen(al).\" .\1 IIM 00 O M -+00 a o o a

. [ I - 5M (( cos at +st )M J M cos at ( 2 -SI) 11_ 11m-sen(aM)e' + --se - --2 -s e di-M 00 a a2 o o a

(I sM scos(aM)e-SM

s JM i () =st 1= lim -sen(aM)e- - +1- 2cos at e' dt -

M 00 a a2 a- O a

R parando agora que o último integral a calcular é novamente a transformada

d Laplace de j (t) = cos at tem-se

. e-sM (asenaM -scosaM) s S20{ }_ IIITI +---,l.2, cosatM 00 a2 a2 a2

pode escrever-se

(s2) { } . e-SM(asenaM-scosaM) s

I + - 5! cos at = hm 2 + 2a2 M-+oo a a

ou ainda considerando s > O e calculando o limite

(I + s: ) 5! {cos at} = s2

a a

Conclui-se então que

s.I! { cos at } = -2--2 se s > O

a +s

Problemas'ai .ular .I!{j(t)} em cada um dos seguintes casos:

Q 4.4/(/)=/2

4.5/(1) - s nat

4.6 / (I) - s 'nhOI

{() < I.7 /(1) ;1:

4.N f(/)-t. () : ..

I

4.9 f(l) = t - 2 sabendo que r(n) =J; X"-I e" dx e r(~)=.J;

4.10 j(t)=jcos(t- 2;), t » 2;2n

O, t<-3

Soluções

24.4 --:3

sa

4.5 -2--2s +a

a4.6~

s -a

4.7 ~(l- e-2S)

1 e-2.1' e-2s4.87+-----

s: s s2

49~21<

4.10 e-3s ss2+ 1

Problema 4.11Calcular a transformada de Laplace da função j(t) = 2sent + senht.

Resolução

Para a resolução deste problema começa-se por utilizar a propriedade da line-

aridade da transformada de Laplace que resulta imediatamente da definição.

Tem-s então

I{ S nl s nh/}- I{S n/}+2{ enht} =

_ I!{S'Il/}II{I(/ (II)}_ l{sn/}+~I{/}-±2{e-/}=

Aplicando agora os valor s nh id d tr n I 1111!idol dI' '''11101 'tld [un-

ções seno e exponencial tem-se

1 ! 1 ! I=2--+-------=

s2 + I 2 s - 1 2 s + !

3s2- J

= s4 -1

Problema 4.12

Mostrar por indução matemática que 52 {til} = ~ com n inteiro positivo.S"+

Resolução

Deve provar-se primeiramente a igualdade para n = O.

52{tO}=fool'e-Sldt= lim fMe-Sldt=o M -->x o

= lirn(_~e-.\I)M = lirn_~e-MI +~=~M -->00 sOM -->00 S S s

Suponha-se agora a igualdade verdadeira para n, isto é .2 {til} = ~ eSIl+1

calcule-se

52{tl+I}=fOOt"+le-Sldt= lirn fM t"+le-SI dt=o M -->00 o

,. (I _SII1+I)M n+1 I' fM li -s'd=Im--e t +--Im te t=M -->00 S O S M -->oc O

o que após determinar o valor do primeiro limite conduz a

_n+1 Il{ li}---~ tS

Aplicando agora a hipótese de indução obtém-se

n + 1 n!

que é a expressão para 2{t"+I}.

Como sumário destes Iculo ncontra-s no fin I d t I ítul urna t b I

li n [ rm d (To b I 1J.1)ront nd , 1'1111(111<11'111,111 [ rrn d

1'I'\lhl '1llU/,

'J .•IIIlt!O li pro] ricda Ic da Iincaridadc da transformada de Laplace calcular:

r.u I {4r1 - 3cos 21 + Se-I}

1.14 .\! {cosh 2 21}

,15 .\! {cos2 aI}

Soluções

24 3s 54.13 ----+--

s4 s2+4 s+!

S2 - 84.14

s( s2 -16)s2 + 2a2

4.15s( i +4a2)

2a24.16

s(s2 +4a2)

4.17,6a3

(s2 +a2)( s2 +9a2 )

4. Tr n form da de Lapl ce d d rivada

I

\f (I) um funç o ontfnua de ordem exponencial em [0,(0) cuja derivad é l m-

b m d ordem exponencial eyl e contínua por secções em [0,(0) então a tran •

form da de Laplace da derivada f' (t) existe para s > y e

)!{r(l)} = s2{f(t)}- f(O)

monstração

1,11 monstra r o teorema pode supor-se que a derivada tem um salto finito em I = 'o(A demonstração é suficiente para o caso de haver um número finito de saltos).

Então tem-se

~{r(t)} = f ;f'(t')e-sldt =

= lim (fIO-Ef'(t)e-S1dt+fM f'(t)e-S1dt)=M ---+00 E to +E

E-O

e usando integração por partes

. (( )10 -E f I -E ()M= 11m f(t)e-SI - o -se-S1f(t)dt+ f(t)e-SI _M ---+00 E li lO +E

c-O

f M -f(t) se-SI dt) = (10)lo +1:

= ~i~je-slõ f(to)- f(O+)e-s.o+ +s f :O-E f(t)e-s1dt+ f(M)e-SM +E-O .

-e-sl~f(tõ)+sfl~ f(t)e-S1 dt) (11)

An lisando agora cada um dos limites tem-se

Iim f (M) e-sM = °M 00

por a funçãofser de ordem exponencial e

p r/ I ntínua,

r II1"IIIU'I\I(\ ',ClItI,II1Clo ()~ 1111(qloli', ( ,I lIl,I1(1 Iin1i I (", I ("01,1111(", I( '111 "C'

(7)

(8)

(9)

(12)

•

Corolário 1

/(1) e .l'(I) são funções contínuas de ordem exponencial em [0,(0) e se f"(t) é

também de ordem exponencial e contínua por secções em [O ,00) então

2{f"(t)} = s22{f(t)} - sf(O)- f'(0) (13)

Demonstração

Calcule-se 2 {f" (t)} usando o teorema

(14)

e usando novamente o teorema tem-se

= s(s2{f(t)}- f(O))- f'(0)

= s22{f(t)} - sf(O)- f'(0)

(15)

(16)

•

Corolário 2

Se f (t), f' (t ~' ... ,in-

1) (t) são fu~ções contínuas de ordem exponencial em [0,(0)

e se f 11) (t) é de ordem exponencial e contínua por secções em [0,(0) então

2 {i") (t)} = sn2{f(t)}- s,,-lf(O) _s,,-2 f'(0) - ... - .l,-I) (O) (17)

Problema 4.19Calcular a transformada de Laplace da função f(t) = sen2at.

Resolução

C nsid r ndoqu f'(I)=2a.enatcosatef(0)=Otem-se

e pode escrever-se

o { 2} 52 { sen2at }A:, sen at = a ---'~-~

s

ou ainda usando a expressão da transformada de Laplace de sen2at

2íl { 2} 2a~ sen at = (2 2 )s s + 4a

ProblemasUsando o teorema da transformada de Laplace da derivada calcular:

, 4.21 .\!{Icost}

4.22 .\! {rl'/}4.23,\!{rcoshat}

4.25 ,\! {sen2 at cos-l calculando previamente 2{sen3ar}

Soluções

3!4.204"

ss2 _]

4.21 2

(i + I)I

11.22 2(.1'-0)

S2 - 84.24 ( )s s2 -16

4.3 Inversa da transformada de Laplace e aplicação às equaçõesdiferenciais

o problema da determinação da inversa da transformada de Laplace consiste em dada

uma função F (s) determinar a função f (t) que tem F (.'I) por transformada de

Laplace. A inversa que é designada por Z-I {F (.'I)} é f (r)A inversa da transformada de Laplace, se for contínua, é única e possui também a pro-

priedade da linearidade.

Problema 4.27

Calcular a inversa da seguinte transformada de Laplace .í!(s) = (I )'.'I i+1

Resolução

Começando por reduzir (? ) a fracções simples, tem-se.'I .'1- + 1

1 A Bs+C--;--:----;- = - + ---S ( .'1

2 + 1) s i + 1e portanto

C'JU 11 IUI

/111/ ()(' ()

A decomposição em fracções simples é então

1 S---,-------.-= - - --S ( s2 + 1) S s2 + 1e portanto

"'{+;+l)}s'm~,,'VJ·= 1- cost

Problemasalcular a inversa das seguintes transformadas de Laplace:

94.2S 3 2

.I' + 3sI

" 4.29 -2--.I' +25

8s4.30 -2--

S +16I,. 4.315 s124.32 --

4 - 3s

3s+74.33 --:?::-----

s: - 2s- 3I

,. 4.34 3 2s + 4s + 3s

Soluções

4.28 3t + e-31 -1

I4.29 -sen5t

5

11.308 ' s41

I ,I1li

4-I

4.32 -4e3

4.33 4e31 - e-I

I e-I e-314.34 ---+-

3 2 6

Apresenta-se agora como a transformada de Laplace pode ser aplicada na resolução de

problemas de valor inicial consistindo numa equação diferencial linear de ordem

n de coeficientes constantes

d"y d,,-Iy dy .ao - + ai --I + ...+ a,,_1 - + ally = j (t)

dt" dt"- dt(18)

com as condições iniciais

y(O) = co, /(0) = cl, ...y(II-1) (O)= clI_1 (19)

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros de (18) tem-se

{

[11 } {dll-I} { [ }I C. Y I Y I c.y \I _ I .'a02 - +a12 --I +...+°11_1,12 - +all~{y}-2{j(r)}

dt" ar: dt(20)

com

52{dlly

} = s"2{y(t)} - s"-ly(O)- s"-2/(0)- ... - },,-I) (O) =dt"

_ "íf{ ()}_ 11-1_ ,11-2 __ .- s ~ Y t cos clS ... (11_1 (21)

(23)

D si na- agora 2{Y(I)} por Y(s), para simplificação de notação, e 52{J(t)} por

r(s) nt O (20) tom a xpressão

1\ C'Cluac;ão (24) é uma equação algébrica que pode ser resolvida em ordem a Y (s)calculando-se depois

obtendo-se assim a função y(t) que é a solução da equação diferencial (18) com

s condições iniciais dadas por (19)

Prnhlcma 4.35?

I -rcrminar a solução da equação diferencial d-; _2dy

-8y= 8 com y(0)=3 ey' (()) = 6. dt dt

Resolução

Começando por aplicar a transformada de Laplace a ambos os membros da

equação tem-se

),!,{d2y

}_ 22{dY 1J - 82{y} = 2{8}dt2 dt

o que conduz a

s2y (s)- sy(O)- y'(0)-2(sY (s)- y(0))-8Y(s) = ~s

Aplicando agora os valores iniciais obtém-se

(.1'2 - 2.1' - 8) y (s) - 3s - 6 + 6 = ~

m rd m Y (.I')

I)

Será então através de 5!:! { Y (s)} = y (t) que irá obter-se a solução da equação

diferencial. Para o cálculo da inversa é necessário reduzir a expressão de Y (s)a fracções simples obtendo-se

(24)8+3i A B C

? =-+--+--s: - 2s - 8 s s +2 s - 4

o que conduz a

A (s + 2) (s - 4) + Bs (s - 4) + Cs (s + 2) = 8 + 3i

(25)

e portanto

lA+B+C = 3

-2A-4B+2C=0

-8A = 8

cuja solução é

5 7A=-I B=- e C=-

3 3

Calculando então a inversa da transformada

obtém-se a solução da equação diferencial

5 -21 7 41y=-l+-e +-e3 3

Problema 4.36

{y' + x = sent

Resolver o sistema de equações diferenciais I com as condições

() ()x+y=O

x O = O e y O = O.

R soluç

1\ li ndI I m (I

II an r rm d d L pl c ambos os membros das equações

lSY(S)- y(O)+ X(s) =-+-S +1

sX ( S ) - x (O) + Y ( s ) = O

e aplicando as condições iniciais o sistema em X (s) e Y (s) escreve-se

lX(S)+SY(S)=+S +1

sX(s)+Y(s)=O

Resolvendo agora o sistema obtém-se

X(s) =

1-- Ss2 + 1

O 1

s l -(i+I)(I-s2)S I

e também

1 1s2 + 1

Y (s) =s O -s

l ~ l(i +1)(l-i)

s

Reduzindo agora estas expressões a soma de fracções simples obtém-se

111- - -

X(s) = _2_+ ---±-+---±-s2 +1 l'-s l+s

e ainda

1 1 1--s - -Y(s)=_2-. ----±-+---±-

s2 +1 1- s 1+s

Finalm nte calculam-se as inversas de X(s) e Y (s) e obtém-se a solução do

ist ma

I '{, (.I')}- I s'n/, 1(.' ,.\ ,,-I11 I

'I I \ I I II ) ( )I )I II I I' I I"

ou ainda

1 1 1 1x = -sent + -cosht e y = --cost - -senht

2 2 2 2

ProblemasResolver os seguintes problemas de valor inicial:

i? 4.37 dy _2y=e51, y(O)= 3dtd2y dy

ctl 4,38 -2 -5-+6y=0, y(0)=ley'(0)=2dt dtd3y d2y dy

4.39 -+2----2y=lOcost y(O)=O, y'(0)=0 ey"(0)=3dt3 dt2 dt '

4.40 y"+y=t, y(O)=\ ey'(0)=-2

4.41 y"+9y=cos2t, y(0)=1 eY(~)=-1

4.42 y"-3y'+2y= 12e-21, y(0)=2 ey'(0)=6

jdX I--6x+3y=8e

4.43 dt x(O)=-1 ey(O)=Ody I--2x- y= 4edt

jdX = 2x- 3y

4.44 dt x(O) = 8 e y(O) = 3dy-=y-2xdt

{

X' = 2x+4y4.45 I x(O) = y(O) =-4

y = x+ 2y

jX' + y' = 2senht

4.46 y'+z'=/. x(O)=y(O)=l e z(O)=O

x' + Z' = 2el + e-t

{x" + y = -5 cos2t

4.47" 5 x(O)=l,x'(O)=l,y(O)=-ley'(O)=1y +x = C s2/

lu 1,'/', '/{/)rll. " (71)

H ~I I I11. / Y - (' + e I I

11 8 .v-e I (28)

•3 I -21 -I 4 I 211. Y == - - e + e + - e - sent - cos 1

3 3

11.40 Y = COs/- 3sent + t Problema 4.48Calcular .2 { eGI sen 2bt }.

4144.41 )1 = - sen 3t + - cos 2t + - cos 3t

. 5 5 5

I 71 -2111.42 y=-6e +7e- +e Resolução

Sabendo que

A 3 4, 5 -I 2 41 5-111.'-14x = e + e y = - e + e

2b 1- cos2btsen t = .2

calcula-se

4.45.x=2-6e41 y=-1-3e41

F( s) = .2{1-COS2bt} = ~.2{1}- ~.2{cos2bt} =2 2 2

1 1 1 s= 2"-;- 2 s2 +4b2

4.46 x=el y=e~1 z =-e-I +el

4.47 x = sen/ + cos 2t y = sent - cos 2t

após o que basta efectuar a translação

4.4 Primeiro e segundo teoremas da translação

1 I s-aF (s - a) = (.) 2 2

2 s - a 2 (s - a) + 4b

Problema 4.49r ma (Primeiro teorema da translação)

./ (I) contínua por secções e de ordem exponencial em [0,(0) com transformada d

L place dada por F (s) para s > y. Então para qualquer aCalcular Z-I {2 s } .

s + 6s+ 13

~ { e(ll./ (I)} = F (s - a) se s > y + a (26) Resolução

m

I'IHI

sEscrev ndo 2 ' como

s .+6s+ 13

.I'~'•

(.1' I J) I II .1' I ,) 1 (.1' ~ .) ~ 11·

tem-se que2s+ 7

4.57 4(S + 3)

4.55(,I' I n) 4, - (. -4/)('1 s n/- OSI

Resolver as seguintes equações diferenciais:

Usando o primeiro teorema da translação tem-se 4.58 y"+2y'+y=te-I, y(O)=l ey'(0)=-2

0-1 1 s + 3 ]_ -31 0-1 { S } - -31 2Ao - e Ao -- - ecos t(s+3f +22 i +22

e também

4.59 ylll-Sy"+7y'-3y=20sent, y(O)=y'(O)=O ey"(0)=-2

S!;I f 22

] = e-31S!;1 {~} = e-31sen2tl(s+3) +22 s +2

e finalmente a inversa pretendida é dada por

4.60 ylll- 3y" + 3y' - y = (2e', y(O) = 1, y'(0) = O e y"(O) =-2

{

, 2 2 -314.61 x + x + y = e3x'+x+y'+3y=O'

x(O) = y(O) = O

Soluções~I{ S }=e-31cos2t-2e-31sen2ts2 +6s + 13 2 .1'+1

4.50 -,?:----

s: +2s + 5

Problemas'ulcular a transformada de Laplace das funções: 4.51

4i -4.1'+2(s _ 1)3

4.50 f(t)=e-t cos2t .1'+44.52 -,?:-----

.1'-+8s+ 12

4.53 e-31 (COSI- 3sent)

4.52 f(t)=e-4t cosh2t2 -2/ 3 1 -2/4.54 ecos t+-e sen3t

3

'alcular a inversa da transformada de Laplace nos seguintes casos:

4.54 2s+ 5,\.2 +4.1'+13

s4. 3 2

(.1'+3) +1

3 -1t e _I -t4.58 y= --+e -te

!

4.61 x=e-'sen2t y=2e-31 -e-I (2 cos2t + sen2t) 52 { f (t - a) LI (t - a)} = e-as F (s) (31)

onsidere-se agora para uma função f(t) uma translação no eixo dos tt e a sua im-

plicação na transformada de Laplace. Seja por exemplo a função de Heaviside

(função em degrau), (Fig. 4.1)

( ) {O, 0< t < a

LI t -a =I, t > a

que é uma translação de a unidades para a direita na função f (t) = I com t ~ O

Demonstração

Aplicando a definição de transformada de Laplace obtém-se

B{f(t-a)u(t-a)}= J ;f(t-a)u(t-a)e-Sldt= (32)(29)

J co ( ) -'I= f t -a e . dta

(33)

u(t-a)

Il) I

a

Fig.4.1

Fazendo a mudança de variável T = t - a tem-se

(34)

•

ja agora um caso mais geral de translação de a para a direita numa função f (t) e

designe-se essa nova função por (Fig. 42)

Problema 4.62Calcular 2{u (1 - a)}.

.( ) ( ) j O, 0< t < ajt-aut-a= f(t-a), t » a

Resolução

(30)I

Neste caso f(t - a)= I. Como 2{1} = F(s) = - tem-ses

que graficamente tem a representação seguinteB{u(t_a)}=e-

a." s s O

sf(1) f(t-a)u(t-a)

l~ ) t

12, 0< t < 11:

Calcular B{f(t)} sendo f(t) = O, 11: < t < 211:.

sent, t > 211:

Problema 4.63

aFig.4.2

/ Resolução

Consid r -se a função f(t) escrita em termos da função de Heaviside. Para

0<1 -cst funç O d finid porf(/)=2[u(t-0)-u(t-11:)]queénulaforad int IV, I I(), I. Adi ion ndo guid mente função igual a senr para

JI(\lllIldildld l' QI,II(~V(III'~ 1/,1 m- !lt,

T ar ma (Segundo teorema da translação)

/(1) continua por secçõ s de ordem expon ncial m [0,00) om transform d d

L pl C d d por F(.I'). Con id r ndo funç o

j O, () 1 (/1(1 (1)11(1-11) () , 111,1'11,' li

.t(t) = 2u(t) - 2u (t - n) + sentu (t - 2n)


.t(t) = 2u(t) - 2u (t -n)+sen(t - 2n)u (t - 2n)

e calculando a transformada de Laplace obtém-se

2 e-ns -2ns 12{.t(t)}=--2-+e -

s S s2 + 1

Problemas.alcuíar as seguintes transformadas de Laplace:

4.64 ~{(t -~) u (t -~)}4.65 ~{(t_l)2 u(t-l)}

4.66 ~{cos(t- n) u (t - n)}

4.6752{/-2u(t-2)}

4.6952{costu(t-n)}

4.70 52 {g (t)} com g (t) = t se ° < t < 1 e zero para os outros valores

4.71 ~{g(t)} com g(t) = / se ° < t < 1e zero para os outros valores

4.72 ~ { J (t)} com g (t) = t se ° < t < a e zero para os outros valores

4.73 1{g (I)} com g (t) = 2 cos ia, 1 < t < 2 e zero para os outros valores

{} {O, 0<t<5

4.74 I .f(t) sendo .t(r) = ( )/ - 5 + 2, I> 5

l0, O / n4.75 \! {f(/)f ,1'11 lo f(/)

II\'11(,

/

4.82 y"+4y=r(t) com y(0)=2, y'(0)=0 e r(t)={-4t+sn, 0<t<2nO, t > 2n

lO, 0<t<44.762{f(t)} sendo j'{z}» t-4, 4<t<7

3, t > 7

Calcular Z-1 {F (s)} nos seguintes casos:

1+ e-n.1

4.79 2S +4


4.80 y"+9y=r(t) com y(O)=O, y'(0)=4 e r(t)={ssent,O,

11,

4.81 y"+4y'+5y=r(t) com y(O)=O, y'(0)=1 e r(t)=O,

4.83y"-y=r(t) com y(O)=y'(O)=O e r(t)={4ef

,

O,°« t «se

Soluções

1--."I

e 24.64-2-

s

2! ~-s4.65 --

s'

,1'1,-1/,\11 ()( I I

,\ I I

° -ct c rct >n

0<1 <~2n

t> -2

t >n

e-2s4.67 --

s-l {

Sen3t+sent, 0< t < n:4.80 Y = 4

-sen3t, t> se3

4.68 el/2

I--se 2

s-1 4.81

-ltS-se4.69 -2-

s +1

1-1+ 2n+ ~sen2t + (2 - 2n) cos2t,

4.82 Y = 2(2 - 2n)cos 2/,

° « t < 2n

t > 2Jt

j-el + 21e' + e-I , °< t < n4.83 y =

21e' +e-I -2(I-n)e' _e-I+

2n, t s- r:

4.711 e-s

---e--s-1 s-I

1 e-os e-(IS

4.72 -----a--s2 i s

4.5 Transformada de Laplace da "função" Delta de Dirac

Considere-se a função/i, (t) definida por (Fig. 43)

{

Ij. ()_ -, a s r s a v k

k 1 - kO, outros valores

(35)

si--sse 2

4.75 -2--s + 1

que representa uma força lI.. cujo impulso no intervalo [a,a+ k] é representado

pelo integral definido de lI.. nesse intervalo, com valor 1.

-4.1 -7se -es2

. {O, 0< t < n4.77 f t =. () -5cos3t-2sen3t, t i- r:

4.76

lO,

11.78 ./ (I) = n-21-, ( 2) (2 os 1 - scn I),

a a+k°« t <~2 /

Fig.4.3

n1>-

2Esta função pode ser representada por

() - 1.tk{/)- ~rlf(/-(f)-If(/-(f-k)] (36)() ! I S 11 I,

11.1 f' 1

('11'1. I' 01 ',111111111,1 ll1tlolc1d dI' I IIpld( ( I d,lcld pOI

(

-as -(a+k)S] l-ks(/ {j' ( )} _ 1 e e _ -as - e~ k t -- -- -e--k s s ks

(37)

1\ "função" delta de Dirac é definida pelo limite

c5 (t - a) = lim fdt )k-->O

(38)

f cto, não pode ser considerada uma função mas sim uma distribuição e a sua trans-

formada de Laplace é dada por

-ks -ksq {>: ( )} I' -as 1- e -as I' se -as~ U t - a = 1m e -- = e 1m -- = e

k -->0 ks k -->0 S(39)

Problema 4.84R 'solver a equação diferencial y'" - y" - y' + y = 4e' + o (t - 4) com y (O) = y' (O) = O, .1'" (()) = 2,

ResoluçãoAplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação

obtém-se

.\3y (s) _ s2y(0)- sy'(O) - y"(O) -( iy (s) - sy(O) - y'(O))

- (sY (s) - y(O))+ y (s) = ~+ e-4ss-1

e seguidamente substituem-se os valores iniciais

(3 2 ) () 4 -4sS -s -s+1 Y s -2=-+e

s-l

F ctorizando obtém-se

(s -I? (s + l)Y(s) = ~+2 +e-4ss-1

u ainda r solvendo em ord m a Y (s)

Y (.I') - ~(.1'-1) (.I' I)

-4"

I)

A segunda fracção tem de ser decomposta nas seguintes fracções simples

(A B C 1 -4sS-I+(s_I)2+s+1 e

1 1 Iencontrando-se os valores A = - -, B = - e C = -,424Tem-se então que a solução da equação diferencial é dada por

y=~1 f_2 __ ~e-4S _1_+~e-4S _1_+~e-4S _1_) =l(s - 1)3 4 s - 1 2 (s _1)2 4 s + 1

2, I 1-4 ( ) I 1-4 ( ) ( ) 1 -(/-4) ( )=f e --e u t-4 +-e t-4 u t-4 +-e u t-4424ou finalmente

lt2 e' , O < t < 4

y(t) = 2 1 9 1-4 1 1-4 1 -(1-4)t e - - e + - te + - e t > 44 2 4 '

Problemas

1{_S+2}4.85 Calcular it' e'\ -- ,s+l


4.86 y" + 2y' + 5y = 25t -c5(t- n), y(O) = -2 e y'(O) = 5

4.87 y" + 4 y' + 5 y = O (t -1) , Y (O) = O e y' (O) = 3

/

4.88 y"+2y'+2y=c5(t-2n), y(O)=ley'(O)=-l

4.89 yll+2y'-3Y=-8e-l-o(t-~), y(0)=3ey'(0)=-5

oluç

{

5t - 2, O < t < n4.86 y (t) = 1 -(I-n)5t-2--e sen2t t z- it2 '

() 13e-2Isent, 0< t < I

4.87 Y t =3e-21sent + e2e-21sen (t - I) , t > I

() je -I cos t, O < f < 2n4.88 y t =

e-I cos t + e2Jf e-t senr, t > 2n

12 -I -31 O Ie +e , <t<-

4.89y(t)= I_I -3(1_1) 22 -I -31 I 2 I ? Ie +e --e +-e - t>-

4 4 ' 2

4.6 Transformada de Laplace do integral

rema

Ic I (I) contínua por secções em [O ,00) e de ordem exponencial. Então a transforma-

da de Laplace de f ~f (x)dx é dada por

~{f ~f(X)dX} = ~52{J(t)} (40)

monstração

mo ./ (t) é contínua por secções em [0,(0) e de ordem exponencial, a função

F (I ) = f ~f (x) dx é contínua em [0,(0) e de ordem exponencial. Então pode

plicar-se o teorema da transformada de Laplace da derivada

I {I(t)} = 2{F'(t)} = s52{ F(t)} - F(O) =

- ,I' I {f ~f (x) dX} - f ~f (x) dx

(41)

(42)

por nt l rn-

(11 )

Pretende-se calcular ss-I {~F(S)} com F(s) = -2-1

-.s s + 4

ou

52{f ~f(X)dX} = ~F(S)

Problema 4.90

Resolução

Tem-se então

f(t)=±sen2t

e como

obtém-se

fI I - - (I _)I-sen2t dt = - -cos 2t02 4 °1 ?

= -sen-t2

ProblemasCalcular:

/ 4.91 52{f ~i3e-2i di}

4.92 2{e-1 f ~iidi}

4.":\ I I I i 1I I

\ ,I 1,11

(44)

•

1- cos 2t4

4.1)4 >.:1 {_3_}S2 + s

4.1)5 >.:1 {_4_}S3 +4s

4.% ~I { 4 8 2}S -4s

Soluções

64.91 4

s(s+2)

14.92 -,2=----

S (s+l)

14.93 -2 (1- coswt)

W

4.943-3e-t

4.95 1- cos 2t

4.96 scnh2t - 2t/

I ( 21 2)/1.. 7 '8 ' - I - 21 - 21

t1 H I

JI JI

4.99 1+ t - cos t - sent

4.7 Derivada e integral da transformada de laplace

Teorema (Derivação da transformada de Laplace)

Sejaf uma função contínua por secções em cada intervalo O :s;t :s;b e de ordem expo-

nencial eyt com 52{f(t)} = F(s) Então

52{(f'(t)} = -F'(s) (45)

Demonstração

Derivando a transformada de Laplace em ordem a .I' obtém-se

(46)


F'(s)=fOO ~(e-sl)f(t)dl=o as

= f; -rl(t)e-Sldl =-52{if(t)}

(47)

(48)

Estaequivalência obtém-se uma vez que a função if (t ) é também contínua por secções

e de ordem exponencial.

•

Problema 4.100Calcular a transformada de Laplace de f (t ) = tsenat.

Resolução

Pelo teorema tem-se

I{IS '11(t1} _ -I" (.I')

I { s+ I}Calcular Z- lo -- .s-I

(51)

F(s) =E{seoat} = ~s: +a

Teorema (Integração da transformada de Laplace)

Seja j uma função contínua por secções em cada intervalo O :5 t :5 b e de ordem expo-

entãonencial eYI com E{f(t)} = F(s). Se lim j(t) existe então

I~O t

52{f~t)}= fsooF(S)dsses>y (49)

e portanto Demonstração

Pela definição de transformada de Laplace tem-se

f 00 F(S)ds = f oo(f cce-'"'lf(t)dt)dS =S .\ o (50)

Prohlema 4.101

e como nas condições do teorema é possível trocar a ordem de integração então

pode escrever-se

e integrando em ordem a S obtém-se

Resolução

Pretende-se calcular f (t) tal que f00 e-sI

= j(t)-dl =O t(52)

{ }s+ 152 f(t) =10-s -1 (53)

•e então

52 {if (t)} = -~(10~)ds s-1 Problema 4.102

(li) 1 1- --- ------s+l s-1 s-1 s+1

{seot}Calcular E -t - .

portanto

( )I {I I} I -Itf I =Z- --- =e -e

s -I s+ I

/ Resolução

I

/'(1) (' -I'I

1Sendo F (s) = E{seot} = -2- e usando o teorema tem-se

s +1

I {s 101

} _ I.-~F(.i:)dsCon lul- nl O qu

I IIllt'I!I<lIIfIIl nlJl 111',I

f 00 1 ds ( _)00~ -- s = arctg s =.\. .1'2+ 1 s

4.106 2{t f ~e-3i cOS2tdt}

4.107 2{t f ~sen2t dt}n= - - arctg s = arc cotg s

2

I"'oblcma 4.103 4.108 Q-' 1++::))4.109 Z-I {are cotg; }

ResoluçãoU ando o teorema obtém-se

Usando a integração da transformada de Laplace calcular:

portanto

u

&'11) I { 1'- r I 'os I}

UU. '{I 'I"}/1,10

,I' + I ,1,2 +. ,\'+ 3

(s I I 1,1' I I ,\')

SoluçõesI I 1

- -1-sen3t = -tsen3t2 6

1'1·.,1)1 'masI Jsnn lo 11 ti riva .ão la transformada d Lapla c calcular:

/

(S_2)2_14.104 2

((S-2)2+1)

24.105 ---,

(s -l)j

K,I',

I 1(1101

1 (' ) 2,I' ,1'" I <I

_ - _ 'OSI!)I11

S 'llIOI11la

POI d d lr n r rm d d Laplac tem-se

~{I ':'g} = J ;(J ~f( T)g(t - T)dT )e-sl dt (56)

que pode ser escrito como

.1'2 +9'1,110111---

,I'

(57)

.\'+311,111are coto--I:> 2

Fazendo agora a mudança de variável

U =t-T11 I I Iscnh21 v= T (58)

3 (-( _?()1111 I e =e : que tem Jacobiano igual a 1 obtém-se, com os correspondentes novos limites

de integração em u e v2 - 2cos úJl11.1111----

(59)

/1..8 Teorema da convolução

e este integral pode ser escrito como

I)111 I IC o importante de determinação da inversa de transformadas de Laplace élad p lo teorema da convolução. A convolução de duas funçóesre g é defi-

l1id por

que é a expressão para 2{f(t)}>2{g(t)} Fica então provada a igualdade

PodI

)como o produto H (s) = F(s)G(s) com

.I' i+1I

/ II

2{f*g}=2{f}2{g},s>y (61)

•(54)

I do f g duas funções contínuas por secções em qualquer intervalo fechadoünito O :s;I :s b.

Problema 4.115

Determinar a inversa da transformada de Laplace (2 )'S S + I

1I I II III ( r m da onvolução)

,l'ltllll /1',lI lu 5 runçO contlnu por 5 co 5 em c d int rvalo O:s; I :s; bI'XpC 11 n i lerl nt

ord m / Resolução

( )

l'tll,l I YI,' ,1') «(;(s

,I

(' 1("1) ~(

l mb m

g (I) =,12"""'{-2-1-} = sent

s +J

ntão pelo teorema da convolução tem-se

u ainda uma vez que a convolução é comutativa

- f;,g(r)f(t-r)dr= f~ senr'ldr=l-cost

onclui-se então que

l!"' r (I I)= 1- cos t1.1' .1'2 + 1

Problema 4.116R .solvcr a equação diferencial y" + y = sect com as condições iniciais y( O) = 1 ev'(O)--2,

Resolução

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação

obtém-se

s2y (.1')- sy(O) - y'(0)+ Y(s) = Q{ sect}

usando os valores iniciais pode escrever-se

(,1,2 + I) Y (s) - .I' + 2 = Q { sec t} /

R olv ndo m ord ma Y (.I')

I{S"'}.1' ,I

Y (,I') "I',I' ,I ,I' ,I

inv r d tran r rm da d L place,

y='\:' {_.I'_. __ 2_+ i!.{sect}}, .1'2 + 1 i + J .1'2 + 1

ou ainda

Seja agora a terceira parcela escrita como um produto de transformadas de

Laplace

Q{ secr]----"c_-'- = Q{ sect }Q{ sent}

s2 +J

e portanto a sua inversa é a convolução

sect * sent = f >ec rsen (t - r )dr =

= f ~sec r (sentcos r - cos zserrrjzrt; =

fI ( senr)= sent-cost-- dr=O cos r

= (rsent + cos t log Icos rl)~ =

= tsent + cos t log [cos II

Tem-se então

y = E'" {_s_} _ 2E'" {-2-1_}+tsent+ cost logjcosr].1'2 + 1 .I' + 1

e finalmente

y = cos t - 2sent + tsent + cos t log Icostl

ProblemasCalcular a inversa das seguintes transformadas de Laplace:

4.1171/(.\')-,I' r : ,I', )

11

I 1'1i \' I' l( ( 'os 31 I S '/l.1 - I / 'os. I)54 18

4.125 y"+(a+h)y'+abY=f(t), y(O)=y'(O)=O

s

II.IIH " ,I) ./ (,I' ,• .1)

I1.114)/1(.1')_ -(,\.2 14 r

1/14.1)4 .I'= ~ f ~I(T)ellT senb(t -T)dT

4.125

y = _1_ fI (e-aT _ e-bT) l(t - T)dT = -]-f 1(e -a(/-T) - e -b(/-T))l( T )(hb-a O . b-a O .

3 ]4.126 Y = -cos2r + -sen2r - -cos2t loglsec2t + tg2rl4 4

'ul .ulnr a solução das seguintes equações diferenciais usando o teorema da con-volll '10:

f(t) F(s)

.r» -?I () '(O) O; + y = e - sent, y O = y =rI/-

.1 J \'''+4y'+13y=~e-2/sen3r, )'(0)=]

.1 elll

s-ae y'(0) =-2 til

sen ar

cos ar

4.126y"+4y=tg2/, )'(0)=-] e y'(O)=l e"1f(t) F(s-a)

Soluçõesu(t-a)

-ases

f(t-a)u(t-a)

4,118 ~(_1+3/+e-3/)

I1),,11 -(scn2t-2tcos2t)

16

F(s)G(s)

Tabela 4.1 Transformadas de Laplace

I I4,120 ---COSWI(i w2

/4,121 I 'OSú)/

I'l,ln .1'- X(S'I1/- 'OS/)

l' 1 (s '111H

'OS / )

diferenças finitas

Nas aplicações práticas as funções que são usadas em problemas de engenharia são na

maioria das vezes fornecidas por valores tabelados resultantes da observação

experimental, não se conhecendo a sua expressão analítica. Mesmo nos casos

em que essasfunções são conhecidas a resolução das equações diferenciais con-

duz à obtenção das soluções através de fórmulas exageradamente complicadas.

Cada vez mais frequentemente os métodos numéricos são necessários para a re-

solução de equações diferenciais para as quais não se consegue determinar uma

solução analítica. Neste capítulo é feita uma introdução à resolução numérica

de equações diferenciais em que as derivadas são substituídas por diferenças de

uma função em determinados pontos do respectivo domínio.

O método das diferenças finitas é um método de discretização que consiste em transfor-

mar um domínio contínuo da variável, por exemplo um intervalo I, numa malh

de n+ 1 pontos e uma equação diferencial é assim aproximada por um conjunto

de equações de diferenças mais simples de resolver. A solução da equação d

diferenças pode no entanto ser ou não convergente para a solução da equ çdiferencial.

, 1'1,1 y(x) uma função real de variável real e Xo ,xI 'X2' ... ,X" um conjunto discreto de

pontos que poderão ser considerados equidistantes, apenas por simplificação e

sem perda de generalidade.

k k-I k-I~)',,=~,,+I)'-~ )'" k=I,2, ... (5)

.1 Diferenças de uma função e equações de diferenças e assim sucessivamente podem definir-se diferenças de qualquer ordem ~ k pela

expressão

5.1.2 Diferenças centrais e diferenças divididasXI1

i = 0,1,2, ... (1)

Para algumas aplicações como em problemas de interpolação e na resolução numérica

de equações diferenciais é mais conveniente usar outro tipo de diferenças desig-

nadas diferenças centrais e que são definidas por

ntão

)'

o)'" =)' I -)' I11+- 11--

2 2

em que o ponto x, é central relativamente a x I e x I'i-- i+

2 2

(6)e o conjunto dos valores da função dado por

X

)'0A diferença central de segunda ordem é dada por

)'"

(2)',,=0,11 l-O)' I =()',,+I-y,,)-()',,-Y,,-I)=11+ 11- .

2 2(7)

= )',,+1 - 2)'" + )',,_1

.1.1 Diferenças para a frentediferenças divididas seja para a frente ou centrais (ou ainda para trás mas que

não são aqui referidas). Se os pontos de uma dada malha são igualmente

espaçados de uma quantidade h a diferença dividida para a frente é dada por

1\ designadas por diferenças para a frente de primeira ordem são dadas por

~)'" = )',,+1 - Yn (2)

~)' = )',,+1 - )'"

" h(8)

e no caso de diferenças de segunda ordem

r d m também definir-se as diferenças para a frente de segunda ordem considerando

que ( )

(3) Se forem consideradas diferenças centrais tem-se respectivamente para primeir

gunda ordem

\'''1 - 1'//11 I 11 óy" - (1 )

porte ruo

1\ I \'// ( \'//1 I \'// I I) (\'" I I \'//Oy I - ôy

111 11

/

(11 )

.1.3 Equações de diferenças

Urna equação de diferenças é urna equação que relaciona diferentes elementos de uma

sucessão de números

em que se pretende determinar todos os valores de Ywlx mplos de equações de primeira e segunda ordem podem ser a seguinte equação de

primeira ordem não linear e não homogénea

2y,,+, +0.9YI1 = 12 (12)

e ainda a equação de segunda ordem linear e não homogénea

(13)

.2 Solução de uma equação de diferenças

onsidere-se agora uma equação de diferenças linear de ordem k em que os coeficien-

tes podem ser constantes ou não (podem ser sucessões)

(14)

e a respectiva equação homogénea associada

aoY,,+k +a,Yn+k-' + ... +akYn =0 (15)

.. 1 Problema de valor inicial

IIJ)( 1I11i1 qu qlll t (8) d nd rd m p d ndo

1I",lllJd<i()',', '(JIIiIlI(II, Jld'd I'CJII<i(, I", rir or I Ir) li. II'IY1 ~

() (111)

Se forem dados os dois valores Yo e Yl como os dois primeiros elementos da sucessão

que é solução da equação, é possível obter Y2 em função de Yo e YI' depois Y3em função de Y2 e YI' e assim sucessivamente calculam-se todos os elementos

da sucessão por recorrência. O problema de encontrar a solução de uma equa-

ção de diferenças satisfazendo condições iniciais dadas é designado problema

de valor inicial. No caso geral de a equação ser de ordem n serão dados os

valores YO' YI'"'' Y,,- I'

Teorema

Seja a equação de diferenças linear não homogénea de coeficientes constantes (ou

coeficientes que são sucessõesdadas)

(17)

sendo ao, a I' a2 constantes e 1" uma dada sucessão. Se A e B são duas

constantes tais que Yo = A e Yl = B a solução de (11) (que no caso de ao = O

é uma equação de primeira ordem) existe e é única. À semelhança da teoria das

equações diferenciais o resultado é válido para equações de ordem n e ainda

para equações de coeficientes não constantes .

Teorema

Considere-se o Casoratiano de duas sucessõesun' vn definido por

(18)U" v"

Sejam duas sucessões Uw vn soluções de uma equação de diferenças linear e homo-

génea. Então o Casoratiano é sempre diferente de zero ou zero para todos O

valores de n. No primeiro caso as soluções são linearmente independentes e no

segundo linearmente dependentes.

Exemplificando com as sucessões 1 e 211 o Casoratiano é dado por

2" " I " "(2 -I) - 2" O" •.I

'1<'l\1ill(' rll! '1(1111(\(1(' Ir'IO,

I( r ma

',(' (lu sucessõesu.; VII são solução da equação (10) e são linearmente independentes

então qualquer solução wn de (10) pode ser escrita como

5.3.1 Método passo a passo

(19)

Dada a equação (14) e dois valores iniciais Yo, YI' podem obter-se por recorrência todos

os valores da sucessão calculando Y2 em função de Yo' YI' depois Y3 em função

de Y I' Y2' etc. Tem-se

onde c), c2 são constantes. As soluções un' v,[ são uma base de soluções e a

solução geral de (16) é dada por (19)

monstração

duas sucessões un' vn são ambas solução da equação homogénea (10) então tam-

bém é solução a combinação linear clu" + <: v". Basta então provar que qual-

quer solução wn se pode escrever nessa forma para determinados valores de c I'

('2' Considerando os dois primeiros valores da sucessão wo' W I tem-se

e assim sucessivamente, todos os termos vão sendo calculados. Este método é

portanto um método explícito

{

WO = cluO + c2 Vo

wl = clu) + c2vI

Problema 5.1Calcular os valores de y", n = 2,3,4,5 para o problema de valor inicial

Y,,+2 - 3Y,,+1 + 2y" = 0, com Yo = O'YI = 1.

(20)

e como o Casoratiano u" vlI+1 - u,,+1 v" é sempre diferente de zero para qualquer

/I também se tem Llo VI - LlI Vo " ° e portanto o sistema tem solução cl' c2' Mas

então tanto wn como clu" + c2 v" são soluções da equação de segunda ordem

com as mesmas duas condições iniciais e portanto pelo teorema de existência e

unicidade da solução são a mesma sucessão. •

Resolução

Calculando passo a passo tem-se que

.3 Equações de diferenças lineares homogéneas de coeficientesconstantes

( ( n id r m-se apenas equações de primeira ou segunda ordem da forma Ys = 3Y4 -2Y3 = 31

(21)

conform oco fi ciente aO é nulo ou não e todos os coeficientes são const nte .

po sfv I d finir um m lodo d c Icul r a solução geral d st tipo d quaçõ s

tm di d r pr nt do p ra qu cõ s d s und ord m o r sult d

podr-m CJ(11('I,lli/.1I ( 1"11,1 qualqu I I I m up ri I. ui I m nt t I

',1'11101<10',r!fl!', PIO( "',',0', cll'.!IIIIIl',

5.3.2 Determinação da solução geral como combinação linear desoluções

Considere-s a quação (14) e procurem-se soluções não nulas, Gá que a sucessão de

t rmo r ti m nt nulo é obvi m nt solução) na forma

\'" ,./1 (17)

r ••então é solução se

(23)

e portanto se for verificada a igualdade

como ri e r2 são diferentes uma das raízes terá de ser zero para a igualdade

se verificar. Mas então a2 seria zero e a equação já não era de segunda ordem.

Consequentemente o Casoratiano nunca pode ser zero e as soluções são

linearmente independentes.

ii) Se a raiz é dupla então prova-se que nr" é também solução. Substituindo no

membro esquerdo da equação tem-se

(24)

que é designada por equação característica associada. Para cada raiz r da

equação obtém-se uma dada solução e a solução geral é a combinação linear

dessas soluções desde que linearmente independentes. A solução geral da

equação de diferenças pode ser obtida de forma explícita calculando-se de uma

única vez para qualquer valor de n.

orema

1\ oluções da equação (14) podem ser obtidas a partir das raízes da equação caracte-

rística do seguinte modo:

i) Se as raízes são reais e distintas ri' r2

que é zero porque se r é raiz, pela equação característica o primeiro grupo de

parcelas é zero, e o segundo também porque sendo r uma raiz dupla se tem

ai ±.JOr=- .

2ao

Também se verifica a independência linear calculando o Casoratiano para estas

duas sucessões:

ii) Se a raiz é real e dupla ri = r2rl1 nr"

= r"rl!+1 (n+]- n) = r211+1 '" O(11. + I)rll+1

a solução geral é cl (ri r + c2nh)"

iii) Se as raízes são complexas conjugadas p ± iq iii) Neste caso uma solução é Y~/) = (p + iq)1I = ali (cos(n8) + isen(nfJ» com

a solução geral é a" (cl cos(nfJ) + c2sen(n8» a = ~ p2 +l e 8 = arctg 2.p

A conjugada y~2) = a" (cos(n8) - isen(n8» é também solução.

Fazendo as seguintes combinações lineares

onde a = ~ p2 + q2 e 8 = arctg 2.p

monstração

i) S s raízes s o r ais distintas verifica-se qu r( e /,~'

lin rm I t ind o nd nt , Suponh - por r duç o o

lil1('tllln 1I d P 11(1!lI , 111,0 ri ul ndooC I (i,nOI

qlldlqll 'I /I

(I) + (2)YII YI! = ali cos(n8)

2(I) (2)

YII - YII - alls n(n8)i

são soluç-o o

b urdo qu O

I' nulo p 11'(1

I I fi) 1,( dI, clutl' (111

.I Olllllllldl,,)O 1II1I'dl di' lIi1lhd',

lin arrn nt il d p nd nt oluç o ral

ProblemasResolver as seguintes equações de diferenças usando o método passo a passo:

Problema 5.2'ulcular a solução geral de

11) .\'//+2-3YI1+1 +2Y/1 =O,com Yo =O'YI =1

5.4 Y//+2 + 2Y,,+1 + 4 Y// = O com Yo = O YI = J3. Calcular Y2 ,Y3 ,Y4

5.5 Y//+2 -4)',,+1 +8)'" =0 com)'o = 1)'1 =0. Calcular Y2,Y3,Y4

,) 2\1//+2 - 2Y,,+1 + y" = OUsando a equação característica associada resolver as seguintes equações de di-ferenças:

Resoluçãoa) As raízes da equação característica são reais e distintas, e são 1 e 2; a solução

geral é

5.8 )'//+2+2Y//+1 +4y// =0 com Yo =0 YI =J3.Calcular Y2,)'3,Y4

5.9 )',,+2 -4)',,+1 +8y" =0 com y, =1 YI =0. Calcular Y2,)'3,Y4e usando os valores iniciais obtém-se o sistema

sendo portanto c[ = -1 e c2 = 1. A solução do problema de valor inicial é então: Soluções

)'" = -1+ 2" 5.3 Y2 =1'Y3 =7, Y4 = 13')'5 =55')'6 = 133 eY7 =463

b) Neste caso existe uma raiz dupla igual a .L A solução geral é:3

v; = CI (~r+c2 n(~r) I dI 1.

c A equação característica tem raízes comp exas conjuga as - ± -I. Então2 2

5.4 Y2 = -2J3, Y3 = O, )'4 = 8J3

5.5 )'2 = -8, )'3 = -32, )'4 =-64

~

I tt,.- -+ - e e = arctgl = - e portanto a solução geral é:

444

(I )// ( IIn IIn)// - 1: ('I 'Os 4 + c S n '"4

9 13 175.6 Y2 = 25 ' Y3 = 125 ' Y4 = 625

5.7 Y =-.!..C-2)" +.!..3""5 5

5 8 _ 2// (.!.., 2nn). // S n

'vII ( - J ,,( 'os li, 11 )s'"

5. Csen(n8) A cos(n8) + Bsen(n8)

(1)11 (1)/15.10 Yn = 5 +4n 5 5.4.1 Determinação de uma solução particular

5.4 Solução da equação de diferenças não homogénea. Método doscoeficientes indeterminados

o método dos coeficientes indeterminados permite calcular uma solução particular da

equação de diferenças para alguns tipos de sucessõesque figurem no segundo

membro da equação.

São cinco os casos considerados e dispostos na seguinte tabela:

1. C constante A

Forma da solução particular

T orema

a equação de diferenças não homogénea de coeficientes constantes

(25) 2. c,l (k inteiro)

3. Cb" Abll

orema1\ lução geral da equação (25) é dada pela soma da solução da equação homogénea

associada com uma solução particular.

4. C cos(n8) A cos(n8) + Bsen(n8)

o monstraçãoDigne-se por hn a solução da equação homogénea associada. SejaYn a solução geral

de (25) e Pn uma sua solução particular. Então tem-se

Os coeficientes considerados na forma da solução particular procurada são determina-

dos simplesmente substituindo na equação geral e resolvendo um sistema de

equações.

No entanto, no caso de a solução da equação homogénea conter um termo do mesmo

tipo da sucessãodo segundo membro a solução particular não deverá ser igual a

essa mas sim ainda do mesmo tipo e multiplicada pela menor potência de 11. que

elimina essa duplicação. Alguns exemplos para o caso de equações de segunda

ordem podem ser os seguintes

e também

ou s j oluç O

j~ Forma da solução particular sej;1(alguns exemplos) do mesmo tipo de h

1. C constante An

2. Cn3 (e hn = cJ +c 2n) (AI +A2n +A3n2 +A4n3)n2

3. b" Anb"

/I ' '(lH( 1/(1) /1/\ 'os( /lO) /ll3s n(/lO

"('\11(1/11) /I \'\I (1111) I ,,11 \'11(1/(1)

subtraindo as duas equações (para cada 11.) e sendo os coeficientes constantes,

o segundo membro é zero e portanto pode concluir-se que a sucessão YIl - p"solução da equação homogénea associada (21) tendo-se

h" = y" - p"

\'" -11,1 I I)"

Problema 5.11'alcular a solução geral de Y,,+2- 5aIY,,+1+ 6a2Y" = 2" + 3

Problemas

Calcular a solução geral das seguintes equações de diferenças

Resolução

Considerando a equação característica associada tem 'se

5.12 )',,+? + 4 Y,,+I+ 4y" = cos nn_. 4

5.13 Y,,+2- 3Y,,+1-IOy" = 3'2"

r2 - 5 r + 3 = O 5.14 Y//+2- Y,,+I- 6y" = 6n2

5.15 Y,,+2- 2Y,,+1+ y" = 2ne as raízes são 2 e 3. Então a solução da equação homogénea associada é

5.16 Y,,+2-2Y"+1 + y" = 12n2

e a solução particular é da forma A + 8n2". Determine-se então o valor dos

coeficientes A e 8 Soluções

8(n + 2)2"+2 -58(n+1)2,,+1 + 68n2" +(A-5A+6A)=2" +3 512 . (2)" . (2)" 4+4F2 nit 4+F2 nit. CI - +c211 - + cos-+ sen-

40 + 33F2 4 40 + 33F2 4

(B(n+2)x4-5B(n+l)x2+68n)2" +(A-5A+6A)=2" +3

Igualando coeficientes o sistema de equações é então 5.14 cl 3" + c2 ( -2)" - 112

- 311 + I

A-5A+6A = 3 2 I 35.15 cl +c2n-n +-n3

B(n+ 2)x 4 -5B(n+ l)x 2 + 6Bn = 1

j2A = 3

2Bx4-5Bx2=1

Bnx4-5Bnx2+6Bn=Oxn

j8B-lOB=1

48-lOB+6B=0

A = 3/2

Y" - ('I 11 (,.1/ - /I "

A solução é então dad por

IBibliografia

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WYLlE, C. Ray e BARRETI, Louis C. - Advanced Engineering Mathematics. Sixth editi\lj

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índice remissivo

A

Analíticas. 97,104.

Anulador de uma função. 87-90.

cCasoratiano. 181, 182, 184, 185.

Combinação linear. 73, 76, 97, 115.

Condições iniciais. 46, 78, 148, 172, 173.

Contínua por secções. 134, 141, 154, 162, 163, 165-167.

Convolução. 170, 172-174.

D

Determinante. 83, 84.

Diferenças centrais. 179.

Diferenças divididas. 179.

Diferenças para a frente. 178.Diferencial. 13-16, 18,20-24,26-29,31-57,59-65,67-72,74,75,77,79-81,

83,811,8 - 1,3- 8,102,109,111-113,121,12 -127,129,145-147,

l' ,1' I, 1 O 1 ,11 1 I' .

Redução da ordem de uma equação. 67.

Equação característica. 75, 77, 78, 84, 89, 184.

Equação de Bernoulli. 48.

Equação de Clairaut. 63.

Equação de diferenças. 177, 180, 181, 184, 188, 189.

Equação de Lagrange. 60, 63.

Equação de Riccati. 52.

Equação de variáveis separáveis. 20, 22, 33.

Equação diferencial exacta. 34, 38.Equação homogénea. 43-45, 54, 69, 73-75, 82-84, 88-90, 125.

Equação homogénea associada. 43-45, 54, 69, 74, 75, 88, 89.

Equação linear de primeira ordem. 49, 50.

Equações de Euler. 93.Equações diferenciais lineares de ordem n. 72, 111.

Equações não resolvidas em ordem à derivada. 56.

Equações redutíveis a homogéneas. 26.

LLinearmente independentes. 73-77, 105, 114-116, 119, 126.

MMatriz fundamental. 126, 128.

Método da variação da constante 43, 54, 69, 126.

Método de Euler. 113.

Método de Frobenius. 103, 104, 109.

Método de substituição. 113.

Método do anulador. 87.

Método dos coeficientes indeterminados. 90.

Método passo a passo. 183.

Mudança de variável. 21, 22, 24, 26-28, 49, 52, 93, 171, 172.

o

Factor integrante. 34, 38-41.

Família de curvas. 30, 31.

Fracçõessimples. 143, 144, 148, 161.

Função de Bessel. 108.

Função de Heaviside. 155, 156.

Função Delta de Dirac. 159.

Função Gama. 108.

Função homogénea de grau n. 20.

Operador diferencial. 87.

Ordem exponencial. 140, 150, 154, 155, 162, 163, 165-167, 170, 171.

Ordem superior. 67.

Ordinária. 13.

p

Polinómio característico. 77, 78.

Ponto não singular da equação não diferencial. 97.

Ponto singular da equação diferencial. 97, 103, 104, 109.

Primeiro teorema da translação. 150, 152.

Problema de valor inicial. 133.

11Homogénea. 20-23, 26, 27, 32, 43-45,54,69,72-75,81-84,88-90,128,129.

R

Int gral geral. 31, 57,61,63.

lnt gr I singular. 58, 59.

Int rpol c 0.17 .

lnv 1 ~ d tr n fim da d

S

. 11\·3, 1 ,171-17.

Segundo teorema da translação. 154.

S ri d p t nci .97-100,102, ios, 105, 106, 109.

li 1 1 t n ia '1 11 I"Ii/,1(1 . 'I ,'10.

11111111'.1111'1111 (OII! (l 1'1

Sistemas de equações diferenciais lineares homogéneos. 113.

Sistemas de equações diferenciais lineares não homogéneos. 125.

Solução geral. 35,43,44,47,64,70,73-77,82,84,91,97, 114-116, 121, 125,

126,128,129.

Solução particular. 52, 73, 74, 86, 88, 90,106-108,125,126,128,129.

T

Teorema da convolução. 170, 172, 174.

Teorema da existência e unicidade. 111.

Trajectórias ortogonais. 30, 32, 33.

Transformada de Laplace. 14, 133-136, 139-143, 145-148, 150, 152, 154-156,

159, 160, 162, 163, 165-176.

vValores próprios. 114, 115, 117, 118, 120, 127.

Variável dependente. 13, 111.

Variável independente. 13, 61, 68, 93, 111

Vectores próprios. 114-118, 120, 127.

W

Wronski. 82.

Wronskiano. 74, 83, 84.

lm edo

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derivando

de ordem expo

transformada

de ordem exponencial

seguintes

soluo da equao

xy

equao diferencial