lívro noções de probabilidade e estatística - magalhães parte 2 (1).pdf
TRANSCRIPT
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
1/97
t68
Captulo
6:
Variveis
Aleatras
Contnuas
ruxilia na atribuio
de
probabilidades.
Assim, paa
a
varivel
aleatria
contnua
X representando
a profundidade
do lenol
de
gua,
a
funo
densidade
f
dada
)0r
r(,)
:
{
tt:',
para2}
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
2/97
170
Captulo
6:
Variveis
Aleatriqs
&t
Introduao
,
rssim,
temos
que
P(C
J).{,,..
.
t
b.
p(l.
;
0l-r.
s).'
tr.
C"'irlcute
A4d(X),
E(X)
e
Vor(X)
.2 Prncipais
Modelos
Contnuos
5.
Numa
certa
regio,
fsseis
de pequenos
animais
so
freqentemente
encontrados
e
um
arquelogo
estabeleceu
o
seguinte
modelo
de probabilidade
para
o
comprimento,
em
centmetros,
desses
fsseis.
41 r
18:
8(z(10;
10(r(11;
(
h",
(*):J
i"
*
*'
[
il,'
a.
Faa
um grfico
da
funo
densidad;
''-
b.
Para
um
fssil
encontrado
nessa
regio,
determine
a probabilidade
do
comprimento
ser
inferior
a 6 centmetros?
E
de
ser
superioi
a
5 mas inferigr
a 10,5
cm?
(
c.
Encontre
o valor
esperado
para
o
comprirnento
dos
fsseis
da regio.
6.2
Principais
Modelos
Contnuos
Apresentamos,
nesta
seo,
os
principais
modelos
tericos
para
variveis
ttlcatrias
contnuas.
Vimos
que,
para
caracterizar
completamente
uma
varivel
ttlcatria
contnua,
precisamos
fornecer
sua
funo
denidade
de
probabilidade
11rrc,
segundo
sua
definio,
uma
funo
positiva
e
com
integral
igut
a
t.
DcfiniQo
6.4: Modelo
Uniforme
Contnuo
uma
varivel
aleatria
x
tem
distribuio
(Iniforme
contnua
no
irrtcrvalo
fa,bl,
a
< b, se
sua
funo
densidade
de
prbabiliooe
o dada
por:
caso
contrrio.
a1r1
caso
contrrio.
f
(")
:{
b-a'
0,
Usaremos
a
notao
X
-
[J[a,b]
para
t
lrriforme
Contnuo
no intervalo
considerado.
queXsegueomodelo
Note
que
no
h restrio
de
valores
paa
cL
e b,
exceto
o
fato
de a
0.
tr
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
6/97
t78
Captulo
6: Variveis
Aleatrias
Figura
6.7: Densidade
Ilnifurme
Contnua.
o modelo
uniforme
pressupe
que
os valores
possveis
para
a varil
aleatria tm todos a
mesma
probabilidade de ocorrncia.
seu vlor
esperado
sua
varincia
so
obtidos
atravs
do
clculo
de integrais,
de tal
forma
que:
f---_.
b2+ab+a2
-t
e}
logo,
b2+ab+a2
o2
:
E(xz)
-
p,
:
-(+)'
Exemplo
.5.'
com
o
objetivo
de
verificar
a
resistncia
presso
de
gua,
oi
tcnicos
de
qualidade
de
uma
empresa
inspecionam
os tubos
e
pvc
produzidos
os
tubos
inspecionados
tm
6
metros
de comprimento
e so
submetidos
a
presses
at,
o
aparecimento
do primeiro
vazamento,
cuja
distncia
a
uma
dag
extremidades
(fixada
priori)
anotada para
fins
de
anlise posterior.
Escolhe-se
um
tubo
ao
acaso para
ser
inspecionado.
Queremos
calcular
a
probabilidade
de
que
o
vazamento
esteja,
no mximo,
a
I
metro
das extremidades.
vamos
denotar
por
x
a varivel
areatria
que
indica
a distncie
correspondente
ao
vazamento.
Admitindo
igual
probabilidade
de
ocorrncia
em
,2
Principais
Modelos
Contnuos
179
torlos
os
pontos, temos
que X
-
U[0,6],
com
funo
densidade
de
probabilidade
clncla
por
r@)
:
{',3;
l,=*,.1;
Para
calcular
a probabilidade de
X
e {[0,1]U [5,6]],
podemos
obter
as
dras
dos
dois
retngulos
hachuriados
na
figura
a
seguir.
l@)
segrrc,
sem
maiores
dificuldades,
que a
probabilidade
desejada
113.
Esse
mesmo
clculo
poderia ser
feito atravs
de
integrais da seguinte
P(x
e
{[0,1]
u
[5,6]])
:
Note
que
os
intervaloj
[0,
1]
e
[5,6]
so
disjuntos
e,
portanto,
a
P(0
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
7/97
Definio
6.5:
fuIodelo
Exponencial
Uma
varivel
aleatria
contnua
X,
segue
o
modelo
Exponencial
"o_
puram.tro
,
180
A
densidade
est
X
-
Exp(a)
para
Captulo
6:
Varitiveis
Alecttrias
o
assumindo
valores
no
)
0
se
sua
densidade
)
0:
negati
representada
graficamente
na
Figura
6.2
e
adotaremos
a
not
ndicar
que
X
tem
distribui"
;;;;ju,
o"
parmerro
c.
r@):
f
ae-o*,
r
I
o,
",
aso
contrrio.
Fgura
6.2
:
Densdade
Exponencial.
(x)
.
para
calcular
probabilidades
com
a
integrll
correspondente,
j
qu"
no-t".1o.
exenrplos considerados
at
aqui.
arri.,
-'^'
Exponencial,
precisamos
resolver
g
as
figuras
geomtricas simples
doJ
Note
que
a
incluso
acirna.
Para
obter
a
;rnros,
porm,
no
P(n
7)
--+
P(x>st
-
.t"q
e-o''d,r
-7--
J"
ae-''"4,
_
-
r-"'ln._
e-a(i+")
-a-zl&
-
-
.
-
1."
e-4"
:0,67
.
e-1'4
:-
e-7
por
ou,.o
lado'
p(x
>
2)
pode
ser
carcurada
pero
comprementar
(x
+s)
-
PrxE)-
:e-at:p(X>t).
t^uP:ldo
que
X
represenra
o
tempo
de
vidz
seguinte'int"ror"u"
o nar^
4
6r^6-: ,t 9"
u3
equipamento,
podemog
'azer
a
seguinte
int
--rrvuv'r.
"
""t:.-Ylo
9"
um
equipamento,
podemog
p.ouauiriJae;;
"*,lfij:"r,l"ii^l,j1,'hoide
da
ri'
o"
memria:
a
robabilidade
do
equ'
--5*v
rqr4
4
Pr'opfledade
da
falta
de
memria:
a
l';;;'
ili
;:iffi;j:fi
ff'
:J::'*
","
,,
;r;i;"
",
;
:::,
j'
iguat
a
i,',iu"uirl;;
;"":'"'
t
+
s
anos,
sabendo-se
qu"
j
itnos'
Em
o.u.
puluurur.
"
;r*.-*:"::'ll:"to
novo
durar
pelo
rn*or'j
ii]_".'
P3
outras
palavras,
a
informaa-
"YurParrento novo
durar
pelo
meos-
csquecida
"
;
q*'ioor,u,
Dara
o
.ta,tn 1l_:ll3::.do
equipam".
p"J"-i,
il:ffii]#
Sue.imnorta,
para
o
"arc"r"
ai.ffi;'.ff"::1
ucremos
que
dure.
uantos
anos
a
mais
6,2
Principais Modelos
Contnuos
Dentre todos os
modelos tericos, sejam contnuos
ou
discretos,
o
mais
lmportante
o
modelo Normal.
Ele muito utilizado m
aplicaes
e
tambm
Eerve
como aproximao
para
muitas outras
distribuies.
Dcfinio
6.6: Modelo
Normal
Dizemos
que
uma varivel aleatria contnua
X
tem
distribuio
Normal
corn
parmetros
p
e 02, se
sua
funo densidade
dada
por:
f(n):+"-
,r'"P
lpata
-oo
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
9/97
fnpftub
6;
Vrtridvri,y
Alertttjrius
Ct
,.;+:i:=:'fii*.l,
l,',fj
n:,
oo
r:i,?:
interessado
poue
consu
rrar
imediatame
n^T1i,"
ilo
I
:
,
"
,rrer)
:
:;:o'tomos
que
x^-
u
1"-'oi\','r'),
N;ffiriveis"";;,r;_
a
rnregratda
funo
densidade
n;;;##;re
inreresse,
isro
,
P(o
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
10/97
7',
186
I
L
i,
Jr'
I
r''
Cup
tu
lo
;
Vl1
yi1lyt6,
i,1
A
I ett
t
riu;t
apresentar
tempo
d
il
t
t
l
I
,
n'.,
(
|
""s"ti,J,"li;"1*
:i',:?'
as.
probabilidades
de
intervlos
com
recurs
o
imporranre
"
"
::
"t::jl^",id,e
n tes.
.i
n
teruot
o.
n
o
0"."'
"r,,,
*
ecu
rs
o
i
mp
orran
re
n o
u
s o
a
u
t
aa
"r
i
.
affi
,
#
i
;:
i
;
."#
P(X>s):pX-tr,3-2,
-/
q
3
):P(Z>1/3)
.r,
i
:0,5_p(0
Szq7,
A
rabera
tu,,'ue-
^^r"
::
- '
.t'
:
0'5
-
0'7293
:0'3707'
cerra
probabiria"aa
lPt
pode
ser
utilizada
13^s1nti{o
inverso,
isro
,
dado
u
I", : :
o,
"
;"
(:,
i
;.5?;,
?;"1ffi
j:
1.:i
"."_o
r
o,
qu
i
iJ;'ro:1i1,,110,"_qu"
r,,
se
aproxima
de
0.4
o ?oo7.
^^__.,
p:
ou^
tob
ser
o
uutora"ll-'ror
e
aproxrma
de
0,4
0,3997;
""rr"r;;;;J;"t:r
Suponha,
ar
l
jt:"ffi
::x,;i;#l:fi
'lfr
,;::,:^P^,:,
probabiridade
0,8.
pera.
simet);
;,"u";;
f,Ji:
J*2,
g,$,
,m:X
::;:::^::,''l^:i::"':;;;il:o,u0"*;:';:-0,84
xemplo
.8..
Doente" cnfro-r^ r
"'v
wPurtanto
d:
-0184,
traram-ento;";;;,;r":,
sofrendo
o"
":11u
molsria,
so
submetidos
a
u
a"
- o-i'"'J::;H;:t*::
.'
'""a"r'"a"il,.
uu
*,idade
Normc
P(x>rT):11x-15
'
\/4-
77-
5
/4"J
-
P
(
A.probabilidade
de
ur
"\uct'-
((
u'
50)
-
P(Y
>
50,5)
=
P(Z
>
)
:0,9292.
Note
que,
com relao
a Y e Z,
indiferente se
a
desigualdade
inclui
ou no
o
sinal
de
igual.
Para
calcular
a
igualdade
a um valor,
digamos
X
:
50, criamos
um
intcrvalo
artificial, pois
com variveis contnuas
essa
probabilidade
seria
zero.
189
:::
r:
fl.';
:'1,:',":?,
ilj;.::
::'.'""
i
mp
ortan
re
s
em
Es
tars
ti
ca
M
;",i""1:ii:,,q"""'''''HJ'-iiJ;,"ffi
il';"r:H';;i
se
refere
c,,o ,,,,,1::
da
mdia.
Uma
outra
razo
daimnorn^i.
r^
r_
e_refere
sua
util'
""'"::l:u
razoda
importnciad;No;
prximo
"*;;;;,
"ffi:Xff,,fi|f'*ao
para
outras
-
disrribuies.
Exemnln
t
o,
,.-t-_:-
ara
aproximar
o
modelo
Bin;;;.
lxeryrto
6.9.' Estudo
do
sindicato
oo,
n-.n;;:;;
:,ooelo
smomial'
F':.',:*:'#:if
#ffi
"
j#l':',**fi
:,"":il::;
menos
50
com
"rru
o"nu
?
's'
Qual
seria
a
probabilidaJ"
";
Admitindo
o,ro
"."oo
ho-^:_i_
i:r:ii:$rnrrlJr*i'',
tr*#::r
;l:#,Tlt":*'il*l"
r":
.'r'":
ub1,:,i?que
conra
o
nmero
torar
r
;ifffrliil""""l:::;;;;;;;;J:::;;:,ff
:::;i:r:
1,ffJ[i:,i,il,;J,i']i1H"l
f#,"11;"'::i,?fi;
indicando
que
a
so,uo
ada
pela
distribuio
N;;;d
;
##X;
sera
u'e484;
indicando
que
a
soluo
histograma
d"
Bi;;iul
e
a
densirran.
n.
^1oi1"l'
Na.Figura
6.4,
representamos
o
istograma
da
Binmiar
"
"""rr;';""'"""e1'
Na
Figura
6.4,
representamo
o
basea
no
r"or",u
entral
do
Lmite
,,,''1o*l_:1r. zaaa,1a
aproxma";;;;
aseada
no
Teorema
;
*
-
_
uwrrrudue
oa
lorma
utili
flo
Canrrrt^
? E* _
Central
do
Lmite,
um
impo.tanie
P(x>50):f1zoo\
'tn\
n
)o'sro'7200-t'
P(x
>5o)
-
P(Y
>
4s,s)
:
P(z
>
W,
:
o,e4l4;
50,5
-
60
----------
\/
42
n
o
c
apru
r
o
7
.
Em
g"'ur,
q,
*'il
:
ffi ,'ftn"r;"i
r::
ilHf,ffi
:
;
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
12/97
FT
ap u o
6:
Vartdvels
Alearrlas
t9l
Assim,
P(X
:50)
-
p(4g,5
2).
b.
P(x
>
2).
c.P(1
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
14/97
5.
Sendo
X
-
Exp(I),
derermine:
a.P(0 312)
e
P(X
>
312)'
cl.
Obtenha
P(312
< X
p.r}.
Para
a:
0,03;
os
valores
pc1
tr
p",
so
calculados
atravs
de
P(
.
12}
'ir
uma
amostra
de
iamanho
25.
Deteimine
as
probabilidades
dos
erros
tipo I
oIL
..
urn
estudo
foi
desenvolvido
para
avaliar
o
salrio
de
empregadas
domsticas
ntr
cidade
de
so
p"rl;.
rorn
sorteadas
e
entrevistadas
200
trabalhadoras.
Admitaqueooesviopadrodessavarivelnacidadede0,8salrios
mnimos'
^
iotrh.icn rlo
el
'
possvel
fazgr
n.
Voc
conhece
a
distribuio
do
estimador
X?
Se
no
alguma
suPosio?
b.
Deseja_s"
tesi
se
a
mdia
igual
a
3
salrios
mnimos
ou
menor.
Formule
as
hiPteses
adequadas'
c.Paraumnveldesignificnciade3Eo,constfl]aareg|ocrtica.
d.
Se
u
u*orr.u
fo"""u
mdia
de
2'5 salrios
mnimos'
qual seria a
concluso?
4.oconsumomdiodegasolinanumcertotipodeautomvelde15km/litro,
segundo
ir.,ror-uo*
"da
montadora.
uma
revista
especializada
verificou
o
"oro-o
em
25
"..",
veculos,
escolhidos
ao acaso,
e
constatou
consumo
mdio
de
14,3
km/litro.
Admita
que
o
consumo
siga
o
modelo
Normal
com
varincia
igual
9
(km/litro)2'
a.
Teste,
uo
niu"i-J"
signficnciade
6vo,
a
afirmao
da
montadora
de
que
o
mdia
o"
"onrrr-o
iiguut
a 15
km/litro,
contra
a
alternativa
de
ser
igu^l
'
14
km/litro.
b.
Determine
a
probabilidade
do
erro
tipo
II'
5.Avidamdiadeumaamostradel00lmpadasdecertamarca1615horas.
por
similaridade
com
outros
processos
de
fabricao,
supomos
o
desvio
padro
igual
a 120
horas.
ilizando
a:57o,
desejamos
testar
se
a durao
mdia
de
todas
as
lmpadas
dessa
marca
igual
oo
dif"t"nte
de 1600
horas'
Qual
a
concluso?
o"t".rrrin"
tambm
u
puuuitiaade
do erro
tipo
II,
se a
mdia
fosse
1620
horas'
6.Umcriadortemconstatadoumaproporodelr}vodorebanhocomverminosc,
O
veterinrio
uri"
a
dieta
dos
animir
e
acredita
que
a
doena
diminuiu de
intensidade.Umexameeml00cabeasdorebanho,escolhidasaoacaso'
indicousdelas"o-u"''ninose'AonveldeZo,hindciosdequea
proPoro
diminuiu?
258 Capltulo
8:
l4ferncia
E$nt,ttlcet;
Te,rtes
rle
Iliprte
ll.
|
'l\'ste
l,(tftt
(t
Mfulirt
utttt
Vttri{lncit
Dcst.orthcte:itkt
.
259
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
46/97
8'3
Teste
para
a
Mdia
com
varincia
Desconhecida
os
testes
de
hipteses
e
intervalos
de
confiana
para
mdia,
q
:::"r'":T'^:j: iq":
pressupem
.qu:
o
valor
da
uurin"iu
popuru.ionai
conhecido'
Apesar
de
ser
um
caso
particular,
existem
vrias
,tr.ilr;
;i.:: :3:i:,: Tll"]..lly
exe3nro,
nump.rocesso
indusrriar,
se
puder
assegurar
que
uma
certa
mquina
fornece
*"idu,
"o-
fr""iro
const
:i:"1:,,:T1l11iL1gconhecida..
uma
ourra
situao sria aquela
em
odemos
utirizar
resultados
enconrrados
em
outros
trabarhos,
;:"ff#li
::ff:,:: :'-,.1,::1":.:l:",1*:,
que
manrenham
alguma
similaridade
com
o
roblema
de
interesse.
Entretanto,
'no
caso
mais
g"rul,
q#i;'#;
::ilol
nformao
sobre
a
varincia
da
varivel
.
areatria
q,r"
;J;
sendo
estudada,
precisamos
contornar
essa
dificurdade.
nicialmente,
ryanterqnos
a
suposio
do
ue
a varivel
aleatria
de
interesse
tem
distribuio
rmal.b."e "
no
Normal
er
comentado
no
final
da
seo.
--
--5*"
^
rvrr'*r'
v-
i;;] *s'V"lo.,l*:
1"'*"hecido,
ele
precisa
ser
estimado.
supondo
::
""'y
in1^:l :?r:r::"ju.r:p.r"::ntada
pero
veror
de
variveis
aleatriag
ffi:;;::#:
filizqt n
ri-oll^^*tr
^^.:,-,
r
-
,ilJ;'l',"i
Captulo
7
,
,
a
vafincia amosrra(
S,
: iXl
_
nX211n_
lt)
Definindo
agora
avarivel
ouA.onj
padroniZda
T:
X-l'
-X-'p
{-Lr
x-,
/S'/,
t
S/Jd
q;lt
vemos
que
T
tambm
uma
variver
ur"t-,:riu.
Entretanto,
apesar
de
x
ter
istribuio
Normar,
o
denominador
envolve
a
variver
areatriL's2,
que
far
com
ue
a
funo
densidade
de
?
seja
diferente
da
Normal.
Esta
nva
densidade,
que
ode
ser
deduzida
teoricamente,
denomi
\gjq
t
de
stqde4t
er*
pura-"tro
tem
o
\e\?de-slqusdcJiher4qde-nest{aso""pono""i"r;;;;;:-
1'
A
notao
utlizqda
Le -4
1,-1,e,
devido
a
"ompte*ia""
au
sua
funo
densidade,
as
probabilidades
so
ouiiau,
de
taberas
consrudas
numericamente.
A
xemplo
da
Normal,
o
modelo
t-student
tem
densidade
em
forma
de
sino,
gnlrqtaItto
as-cau-das
tem
4narol
mq$,s3
qUe
A_ry(0,
f)
(veja
a
fig"r"
S.Zl.
^^-..^_^Y,11"
x911f--99r
se
o
tamanho
4a [qrostra
aqruenta.,
a
dp1.1s-idadJ.sndent
orvgJge
par-?
a
Noirnal
p4dro.
porsia
raz,o,
as
taberas
conriruioa,
se
limitam
a valores
de
gr-auTel-iueraae
menores
ou
iguais
a
r20.p;;;
graus
superiores
a
120,
as
probabilidades
so
obtidas
da
tabela
da
distriio
Normal
e
-
reprcsentados
por
"oo"
na tabela
do
Apndice
A.
Tal
fato
r:rirrsistncia
do
estimador
52
para
o2,
que faz
com
que a
rrlrltrxime
de
Z
medida
que aumenta
o tamanho
da
amostra'
conseqncia
da
quantidade
?
se
Figura
8.7:
Densidade
t-
Student.
Diferentemente
do
teste
de
hipteses,
construdo
para o caso em
qUC
S
varincia
conhecida,
a regio
crtica
envolver
agora
o
termo,52,
que
umA
quantidade
aleatria.
Dessa
forma,
amostras
diferentes
podem fornecer regies
crticas
distintas
uma
vez
que,
possivelmente'
elas
produziro
estimativas
diferentes
para
o2.
S -Uq,
qguo{q
u
Jqi4fql41gq-dqqqouhesa'
optarmos
por
utilizar na
regio
crtica
valores
da
qlantidade
padronizadaT.
Apresentamos
esse
procedimento
no
prximo exemPlo'
Exemplo
8.5;
Deseja-se
investigar
se uma certa
molstia
que
ataca
o rim altera o
consumo
de
oxignio
desse
rgo. Pata
indivduos
sadios, admite-se
que
esse
consumo
tem
distribuio
Normal
com
mdia
12 cm3lmin'
Os
valores
medidos em
cinco
pacientes
com
a
molstia
foram:
14,4;
12,9;15,0;
I3,7 e 13,5'
Qual
seria
n
concluo,
ao
nvel
de
lvo
de
significncia?
?t
'u'o
I
:
qti,'\
O
teste
de
interesse
:
Hn
: Amolstia
no altera
a
mdia
de
consumo
renal
de oxignio;
1,
:
Indivduos
portadores
da molstia
tm
mdia
alterada'
260 Capltttlo
8; lttferncia
Esrnrl,rricn;
Trs,te,y
rle
iliyitere,r
.
u..l'l'esle
P(tr(t
(t
Melkt
t'ottt
Varlllnrht
I
)ttctnrltcciiltt
26l,
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
47/97
1)ea
Em
termos
da
mdia
populacional,
estamos
testando
as
hipteses:
Ho
: p,:12
versLts
Ho
:
pt
f
L2,
e
a
regio
crtica
da
forma
nC:{tRl
{t1ou
1>tz}.
Sendo
o2
desconhecido,
usaremos
o estimador
^g2
: rixr -
rxr,1n
_
quantidade
discutida
anteriormente.
sendo
n,
u"raulu,
t",'o.
x-tz
t:uru-tu)'
Logo,
l\T.
r)
:0,
0r/2
+
tt
:
_
4,604;
P(T
> z)
:
0,005
* tz
-
4,604;
sendo
o
varor
4,604
obtido
da
tabera
da
distribui
o
t-student,
com4
graus
de
iberdade.
Assim,
a
regio crtica.".Ouo
po.
RC
:
{te
Rl
,-E
,hsl
H,, verd.)
:2xp(X>9,11p:g)
:2
x P(Z
>
1,74)
:
0,0818'
Logo,
se
desejarmos
utilizar
um
nvel
de significncia
igual
a
0,05
concluiramos
pela
aceitao
da
hipte se
Ho, ao
passo que
um
nvel de
significncia
igual
a
0,10
nos
levaria a
rejeitar
a hiptese
Ho
(ver
Figura
8.10).
265
. ,n,\'a i^
/
",'1r,,
]
'
,
Se
lo6,
>
p.:
regio
desfavorvel
a ,,
Se
-xo6"
18,5
|
1,
verdadeiro).
As
probabilidades
acima
so
calculadas
da
maneira
usual
atravs
tabela da
Normal
padro.
Por exemplo,
da
P(C
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
54/97
aleatrias,
podemos
verificar se, para
todos os
possveis
valores
das
variveis,
o
produto
das
probabilidades
marginais
igual
probabilidade
conjunta.
Na situao mais comum
em
que
no
temos informao
sobre
a
ocorrncia conjunta das
variveis aleatrias,
o
procedimento
usual
coletar uma
amostra
anotando
a freqncia
conjunta
da ocorrncia
dos valores
das variveis.
Pode-se,
ento, utllizar
um teste
de hipteses
conhecido
como
Teste
de
Independncia.
Este
teste
ser
apresentado
atravs do
prximo
exemplo.
Exemplo
8.II:
A
tabela abaixo contm
r"-sottatos
obtidos
por
estudantes
do
ensino mdio, em
um
exame
com
questes
nas
disciplinas
de fsica
e
matemtica.
Deseja-se
testar
se
existe
dependncia
e." u\otas
dessas duas
disciplinas
que,
para
efeito de apresentao
na
tabela
e an{ise
de
comportamento,
foram
classificadas
nas categorias
alta, mdia
e
baixa.
\
Fsica
\ Matemtica
Alta
Mdia
Baixa
Total
Alta
56 7I L2
139
Mdia 47
163
38
248
Baixa
I4
42 85 L4L
Total
II7
276
135
528
Iremos testar
as
hipteses:
fI,
:
As notas de
fsica
e
matemtica
so
independentes;
fI"
:
Elas no
so
independentes.
De
modo
anlogo ao
que
fizemos
no
teste
de
aderncia,
vamos
construir
tabela
de
valores
esperados. Para
a
casela
(i,
j),
esse valor
:
uma
Total da
linha
i
x Total
da
coluna
j
T"t"t
C.*t
Note
que
os valores
esperados
so calculados
sob
a
hiptese
Ho de
independncia
e,
por
essa razo,
utilizamos os totais
de linha
e coluna
que
representam
as
freqncias
marginais
das variveis.
Por
exemplo,
para
a
casela
(7,2),
temos:
Total da linha
1
x
Total da
coluna 2
739
x
276
52g
:72'66
'
1 ,:
Total
geral
nula,
ou seja,
as
notas de
fsicn
8.5 Testes
QuQuadrado
275
A
tabela
completa de
valores esperados
Fsica
\
Matemtica Alta Mdia Baixa
Alta
30,80 72,66 35,54
Mdia
54,95 r29,64
63,4r
Baixa 3L,25
73,70 36,05
Para medir
a diferena
entre os
valores esperados
e observados,
usaremos:
n2 5l+-
(or,i
-
ei,)2
\{:..L*,
--
'i:t
i:l
"t'u
com r
e s
representando
o
nmero
de
linhas
e
de colunas,
respectivamente,
A
argumentao
para
sua utilizao
a mesma
j
apresentada
no teste de
aderncin
e,
para
um nmero
grande
de
observaes,
a
distribuio
de
Q2
se
comporta
como
um modelo
Qui-Quadrado
com
("
-
1)
x
(s
-
1)
graus
de
liberdade.
A rcgiio
crticacontm
valores
grandes
de
Q2,
isto
,
RC:{w:u}q,,},
com
qo
sendo determinado
pelo
nvel
de
significncia
do teste, ou
seja,
o:
P(Q2
)
q"lH'
verdadeiro).
Para
a:
0,01 a
tabela da
Qui-Quadrado
com 4
graus
de
liberdade
brnece
g"
:
L3,28.
Obtemos assim,
RC:{w:w>13,28}.
valor
observado de
Q2,
q?t"
Vamos calcular
o
_
(56
-
3o,Bo)2
30,90
(7L
-
72,66)2
(85
-
36,05)2
+.'.+
:
L45,78,
72,66 36,05
Conclumos
pela
rejeio da
hiptese
matemtica no
so
independentes.
e
tr
276
Captulo
8: Inferncia
Estatstica:
Testes
de
Hipteses
277
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
55/97
Na
construo
da tabela
de valores
esperados,
caso
alguma
casera
tenha
valor
menor
que
5, ser necessrio
agrupar
categorias.
Este
procedimento
visa
garantir
uma
melhor'aproximao para
o
uso do modelo
Qui-euadrado
para
e2
.
consideremos
agora
o
chamado
Teste
de
Homogeneidade.
Esse
testol
consiste em
verificar
se uma varivel
aleatria
se comporta
de modo
similar,
ou
homogneo,
em vrias subpopulaes.
Apesar
da
mecnica
de
realizao
do
testc
ser semelhante
a do Teste
de Independncia,
uma
distino
importante
se
refere
forma como
as amostras
so
coletadas.
No
teste de
homogeneidade,
fixamos
o
tamanho
da amostra
em cada
uma
das
subpo-pulaes'e,
ento,
selecionamos
u
amostra de cada
r
as subpopulaes
uma delas.
Na tabela
apresJiltaqa
a seguir,
as linh
;
e, as
colunas,
os diferentes
valor\s
ou categorias
,
Subpopulaes
Valores
da
varivel
total
de
linha
I
ott
otz
TL1
2
ozt ozz
TL2
total de coluna
total
Geral
delas
as represe
da varivel.
Fara
o clculo dos valores
esperados
(supondo
homogeneidade
entre
at
subpopulaes),
utilizamos, para
a casela
(i,,
j)
,
total da
coluna
j
i,.i
:
Tti
"
,rur
,"rur
O
total
de linha
ni
indica
o
tamanho da
amostra
da subpopulao
i,, ao
passo
qu
o quociente,
total
da
coluna
j
dividido
pelo
total
geral, representa
a
proporo
dc
ocorrncias
do valor
da varivel
correspondente
coluna
j.
caso haje
homogeneidade
de comportamento
da vrivel,
esperamos que
essa p.oporo
seja
a
mesma,
em
todas as subpopulaes.
No
prximo
exemplo,
apresentamog
mais detalhes.
Exemplo
8.12: Estamos
interessados
em
saber
se a
preferncia
por
certo
tipo
de
'ilme se
altera com
o
estado civil.
Selecionamos pessoas
em
cada
uma
dag
subpopulaes:
solteiro, casado,
divorciado
e vivo.
Os
resultados
esto
na tabela
a
seguir:
lJ.
5
Testes
QuQuadrado
Estado
Civil
\
Filme
Policial Comdia
Romance tam. amostra
Solteiro
45
25
30
100
Casado
36
61
43
L40
Divorciado
39 36
35
110
Vivo
I4
19
L7
50
total 134 t41.
t25
400
Na
tabela
anterior,
a
ltima
coluna
representa
o
tamanho
da
amostra
sclecionada
em
cada
subpopulao.
Observe
que
esses
valores
foram
fixados
lntes
da
coleta
ser
realizada.
As
hipteses
a serem
testadas so:
Hu
: Apreferncia
por
certo
tipo
de
filme
igual
para
qualquer estado
civil;
H;
: Apreferncia
muda.
A
proporo
dos
indivduos
que
preferem
filmes
policiais 1341400. Se a
varivel
Filme
for
homognea
entre
as
subpopulaes
de Estado
Civil, devemos
tcr essa
mesma
preferncia
por
filmes
policiais,
para qualquer estado
civil.
Logo,
o
valor
esperado
de
preferncia
pelo
gnero
Policial,
na
subpopulao
dos
solteiros,
deve
ser
I00xL341400.
Para
as
outras
subpopulaes,
multiplicamos
1341400
pelos respectivos
valores
do
tamanho
de
amostra,
que
so diferentes
tcsse
exemplo.
A tabela
de
freqncias
esperadas
apresentada
a
seguir:
Estado
Civil
\
Filme
Policial
Comdia
Romance
tam. amostra
Solteiro
33,50
35,25
37,25
100
Casado
46,90
49,35
43,75
t40
Divorciado
36,85
38,78
34,37
110
Vivo
16,75
L7.62
15,63
50
total
134
741
t25
400
Cirlculamos
a
quantidade
Q2
damesma
forma
como
fizemos
anteriormente,
isto
,
virmos
quantificar
a
"distncia"
entre
os
valores
observados
e
aqueles
esperados,
sC
houvesse
homogeneidade.
Assim,
''
'-
(oi,i
-
ei'.i)2
"-:LL
:r
i:L
et'i
para
um
nmero
grande de
observaes,
a
distribuio
de
Q2
Qui-
Quadrado
com
(r
-
1)
x
(r
-
1)
graus de
liberdade
(r,
nmero
de linhas
e s
de
colunas).
A
regio
crtica
contm
vnlores
grandes de
Q2,
isto
,
Cuptub
8:
InJrncia
Estatstiaa:
Testes
de
Hipteses
27,\
8.5 Testes
279
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
56/97
RC:{u:w}q"},
corn
q,
sendo
determinado
pelo
nvel
de
significncia
do
teste,
ou
seja,
a:
P(Q2
)
q.lHo
verdadeiro).
Escolhendo
a
:
0,05
obtemos,
da
tabera
da
densidade
eui-euadrado
com
6
graus
de
liberdade,
g"
:
I2,5g.
portanto,
-,,
RC:{w:w>I2,59j.
Para
o
valor
observado
de
2
temos:
--\
Q?,,,.
:(45
-
33,50)2
+
(36
-
46'90)2
+
...
-L
(rL.-
,r,ur;,
Y(,hs
-
33J0
-
--
46p0
-t_
..'f
:
13,29.
conclumos
pela
rejeio
da
hiptese
nula,
ou
seja,
a
preferncia
de
firmes
no
,
a
mesma
nas
diferentes
subpopulaes
definidas
pelo
estado
civil.
tr
Exerccios
da
Seo
8.5:
l.
utilizando
a
tabela
da
distribuio
eui-euadrado
determine
(aproxime
se
necessrio):
a. P(Xl
> 14,70).
b.
P(x],
>
3e).
c. P(Xr2,
0
(o
novo combustvel
aumenta
o
rendimento),
com
LLD
representando
o valor
esperado da
diferena
de
rendimento,
isto
,
po:E(Y-X).
Estaremos
assumindo
que a distribuo
de Di:Yi-X,i,
para'
:
I,
...
,12,
Normal
com mdia
pD
evarincia
o2o.
Com os
dados
observados,
obtemos ,6"
:
2,9
e
estimamos o
por
s2D
ru
:
2
14'
Logo,
sob
f/o'
tubr
:ut'",
P
:'''
.
o'
:
6148.
so,,o,l{n
r,551\/12
Com
a
:
0,05
e
utilizando
a
tabela
da
distribuio
-Student com
I I
graus
de
liberdade, obtemos
,,
resolvendo
a equao
P(T >
,,)
:
0,05.
Obtemos
t,,:
I,796
e como
t,,t*
)
,,,
conclumos
que o
novo
combustvel
eficaz
nA
14
E
5
o
c
.
12
c
o
cc
=-
298
2q9
A
('t,nt (t|(to
dct
lhms
Mllt,t
Captulo t);'ftplrct
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
66/97
similares.
melhora
do
rendimento,
acafretando
diminuio
do
consumo
pere
o
veculo
considerado
no
experimento.
caso
2.
Amostras
independentes
com
varincias
conhecidas
Consideramos
agora
o teste
relacionado
com
a situao
em quc
ql
::in;1,
T:1t1'^*
jf:
populaes
independ-entes,
quando
o,
.orrrrpu
varincias
so
conhecidas.
A
obteno
d
informa;
;;rp.t;';.
varincia populacional pode ser obtido
de
estudos
anteriores
ou
experimc;
Pol)tllnoes,
:u]tts
varrauvr.
4v
rasqrr
,rrr"
u*
g1g/elo
.-^- 2l
,,,r,,rs;
admitir
que
estas
duas
populaes
se
comportam
confc
ii:.",::iffi, ;;;
;;.
";;;;
t
;,
variveis
areatrias
representando
a
ttrrr.ircterstica
de
interesse'em
"du
o*u
das
populaes.
Segue,
.qotruilo,,
q:,::
comparar
dois
sl
foram
selecionadog
i
,E
E
I
E
)
F-
Exemplo
9.4:
Vimos
no
Exemplo
9.2
que,
para
operacionais,
dois
grupos
independentes
de
estuantes
tempo
necessrio
parurcalizar
a
tarefa
foi
anotado.
Os
dados
obtidos
foram
os
seguintes
(em
minutos):
Grupo
Tempo
182
185
193
175
184
tg2
92 76 76 90 97
90
175
173
I
t78
162
179
t64
182
I
86
93
100
115
85 80 90
86
auxiliar
eco
GruPos
[.)rrir's
medidas
descritivas
podem
ser
calculadas
para
auxiliar
na
comparao'
tr
utilizando
a
motivao
fornecida
pelo
exemplo
anterior,
poderrtot{
a realizer
-';'il;
geral.
Suponitu
.1,,"
desejamos
comparar
.dN
rru-:- llaS-
;
;;;;'n*.,-"'ii"'ra'cias
sao"
i
guais
u um
t
:,*:
iZ
^*:
^1:i1'j:i;
A
inspeo
visual
dos
dados
sugere
que
o
Grupo
B
tende
tarefa
num
tempo
inferior
quele
observdo
puru
o
Grupo
A.
para
anlise-
inicial,
podemos
construir
grficos
bx_ptot
puru'o,
g*po,
lado
a
lado
conforme
a
figura
u,"gui..
Podemos
observar
que'
para
os
alunos
considerados,
o
novo
sisteffi
_:::":1t_:r,::::",i1ior_
facilidade
de
aprendizdo
,
"urlut"rirado
aqui pelo
Note
que
o
valor
da
mediana
do
Grupo
B
inferior
ao
do
Grupo
A,
mas o
intervalo
enrre
o
primeiro.
e
.o.
rerceiro
quaitil
pr;i;;;;;u
o.
dois grupos,
dando
a idia
de
que
a variabilidade
do
tempo
de
aprendizao
semerhante
pare
ambos
os
sistemas
operacionais.
E
importante
ressaltar
que,
para
podermos
concluir
que
o novo
sistema
de
fato
eficaz,
precisamos
"*truplu,
as
concluses
anteriores
para
toda
a
populao
de
crianas
com
idade
entre
g
e
12
anos. Isto
pode
r",
r"ito,
realizando
o
teste
de
hipteses
que
ser
descrito
em
seguida
u.rr"
"*"pr,"-
A
B
tempo
de execo
de
certa
tarefa,
u.u
u",
qu
"
o
Uo*'_pio;;;;;
ensivelmente
mais
baixo.
;:i
lJ::u"
."'."****";
il
9e;:'
;":'"''
a3"'a'11:
1''1'::
l:}Jr""l
ti,
.:;;-i'',
::.,,
"),
representando
amostras
areatri
s,
--^r-^^
r^
^*^stf0
:ffi';:,fi':.i]ul'ou,
populaes.
Deve
ser
noiado
que os
ramanhos
de
amostrit
'il
1
a't72
podem,
eventualmente,
ser
iguais'
Queremos testar
-F1,
: As
mdias
populacionais
so
iguais;
f/"
: As
mdias
populacionais
no
so
iguais'
listas
hipteses
podem
ser
traduzidas
em
termo
s
de
pq e
1t2:
Ho
:
11,1
--
1-tz',
H':
t-tt, *
l.tz.
300
Captulo
9:
Tpicos
Especiais
9.2 Comparao de Duas
Mdias
30t
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
67/97
Se
a suspeita
sobre
a diferena
entre
as
mdias
de
que
a
mdiade
uma
populao
maior
(ou
menor)
do
que
a
mdia
da
outra,
podemos
reescrever
f/"
como
/-r1
>
ttz
(ou
ltt
5,99}.
J02
Captulo
9: Tpicos
Especiais
9.2 Comparao
de
Duas
Mdias 303
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
68/97
considerando
os
valores
amostrais
observados,
temos que
a
mdia para
o
grupo
A
L79,73 min
e,
para
o
grupo
B,
de
89,86 min.
Assim,
ob,
:
179,73
-
89,86
:
89,87.
como
or,
RC,rejeitamos
a hiptese
nula,
iy'to
,
a um
nvel
de significncia
de
\vo
conclumos
que,
para
alunos
.o-
/idud"
entre
g
e
12
anos
sem
conhecimento computacional prvio, o
tempo
d{
aprendizado
com
o
novo
sistema
operacional
menor.
consideramos,
agora,
a
situao
em que
as populaes
apresentam
mdias
desconhecidas
e varincias
populacionais
conhecidas, porm
com
valores
diferentes.
Nesse caso,
j
sabemos qu
as2a{ru)a{oes
so
difentes,
uma
vez quo
as
variabilidades
da
caracterstica
de inty'ress"
nui
duu, populaes
so
diferentes.
Ainda assim,
podemos
estar
interessad[s
em
verificar
se
as mdias
tambm
so
diferentes
e utilizar
a
teoria
de teste
de hipteses,
para
embasar
estatisticamente
a
deciso
a
ser tomada.
com
as
suposies
e a notao
j
apresentada
anteriormente,
temos
agora
que
X
-
N(px,
") "V -
N(py, o ,),
com
ox
*
oy.Ento,
N
-
N(p*,"/"r)
e
Y
-
N(tr",o/rz)
.
ParaD
-
X
-Y
eutilizando
a independncia
entre X
e
7,
temos
que
,,
Var(D)
:
Var(X)
+
Var(Y)
-
ok
+
o?,
fl,1
TL2
o, ento, D
-
N1tx
-
lry,o1ry
+
o ,1n2).A partir
daqui,
o teste prossegue
n&
lbrma
usual.
No
prximo
exemplo,
ilustramos
o
procedimento
apresentado,
de
vnrincias
conhecidas
porm
diferentes.
Ilxcntplo 9.6: uma
empresa avaliadora
de
imveis
est estudando
as
regieo
cclrtral
e oeste da cidade
de
So Paulo.
o objetivo
principal
verificar
se o preo
mdio, praticado
para
imveis
comerciais
de
um
dado
tamanho,
o mesm
ns
duas
reas.
De
levantamentos
anteriores,
a
empresa
sabe
que
a rea
oest
apresenta
uma
heterogeneidade
de
preos
imobilirios
(em
UpC-
unidade
padro
de
construo)
maior
do
que
a regio
central,
sendo
os desvios
padres
iguais
a
0,82 uPc para
a regio
oeste
e
0,71
UPC
para
a
regio
central.
para
verificar
sc
os preos
mdios
so
iguais
ou non
duas
amostras,
uma
de
tamanho
20
e
outra
de
turnnnho
18
foram
retiradas
aleatoriamente
de
cada regio.
Os
dados
so
og
segu
irr
tcs:
tr
Regio Central
4L,2
40,6
39,6
39,2
40,5
40,3
39,4 38,9 39,1
40,9
40,6
39,7
40,3
40,9
4L,2 40,4 40,0
39,6
39,7 4L,2
Regio
Oeste
37,2
34,9
38,1
37,4 36,1
35,9
35,4
35,7 37,7
36,9
37,4
37,5
36,4 36,6
36,1
38,0
36,8
36,4
Algumas medidas
resumo
so apresentadas
na
prxima
tabela:
Medidas
Descritivas
Regio
Central
Oeste
Arnbas
n
Mdia
Mediana
Desvio-Padro
Mnimo
Mximo
20
40,2
40,3
0,7
38,9
4L,2
18
36,7
36,7
0,9
34,9
38,0
38
38,5
39,0
1,9
34,9
4L,2
O comportamento
dos
dados
pode
ser visualizado
atravs
de
grficos
tipo
hox-plot, mostrados
a
seguir.
304
Captulo 9:
Tpicos
Especiais
9.2 Comparao
de
Duas
Mdias
305
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
69/97
Note
que
o
valor do
desvio
padro amostral
sugere, de fato,
que as
varincias
so
diferentes
nas duas
regies;
mais ainda,
a mdia de
preo na regio
central
parcce ser
superior
da
regio
oeste.
Para os dados observados,
a regio
central
tem, aparentemente,
preos
superiores
regio
oeste.
Alm
disso, a
variabilidade
observada
nos
imveis
da regio ogste
maior, o
que,
de certa
forma
confirma
a informao
fornecida
pela empfesa.
Em
resumo, para os
dados
apresentados
nas
duas amostras, temos
um maiof
preo mdio (amostral) para
a
regio
central.
Essas
concluses
so
vlidas aflnas
para
os
valores amostrais
observados.
Para
podermos
extrapolar
esta
conc\rso
para
as
regies como um
todo,
precisaremos
ltilizar
um
procedimento esthtstico
que
controle
os erros,
eventualmente,
cometidos.
Representando
a
informao
dos
preos naYegio
central
pela
varivel
aleatria
X e,
para a
regio oeste,
pela
varivel
aleatria
Y, assumimos
que
os
dados
so obtidos
de duas
populaes Normais
de
tal forma
que
X
-
N(px,ollzo)
e
Y
-
N(try,ol,1ts1.
Nosso
principar
in**'*
;:":"::"'"'
Ho:
Fx
*
ttv.
DefinindoD:X
-Ttemos
v
ar(D)
:
v
ar(X)
+
v
ar(Y)
:
+. Y
:
0,06.
Logo,
para a
:
0,05
vem:
P(rejeitar
H"
I
H,verdadeira)
=
P(D
e
RC
I
pt
-
tt'y
:
O)
:p(2.+ouZ>41:0,05.
/0,06
/0,06
Da
tabela
da
distribuio
Normal
padro
obtemos
os
valores crticos:
Consequentemente,
RC
:
{d
e
R :
d,
0,49}
Como
em nosso caso
u6*:40,2-
36,7:3,50 pertence
regio
crtica,
conclumos
que
os imveis
situados nas
regies
central
e oeste
tm preos
mdios
diferentes, ao
nvel
de
significnciade
57o.
El
caso
3A:
Amostras
independentes
com
varincias
desconhecidas
e iguais
No caso
anterior vimos que
informaes
adicionais
podem
fornecer
subsdios
para
o conhecimento
dos valores
das
varincias
populacionais.
Em
gerI,
contudo,
no temos
informaes
a respeito
do valor
das
varincias,
Entretanto,
os
processos
que geram
os dados podem
nos levar
a
crer que,
apesar
de
desconhecidas,
as
varincias
so
iguais
para
as duas populaes.
Exemplo
9.7: Digitadores
so treinados
em
uma
empresa
em duas
turmas
distintas.
Na
pri'neira,
denominada
Turma
J, utiliza-se
um
mtodo
japons
de
ensino,
ao
passo que
na
segunda
turma,
denominada
Turma
A, utiliza-se
um
mtodo
alemo.
Deseja-se
comparar
os dois
mtodos
e
para
tanto, 16
alunos
de
cada turma
foram
escolhidos
aleatoriamente
e uma
mesma
tarefa
foi
atribuda
a
cada um.
Ao final
do experimento,
o
tempo
gasto
na realizao
da
tarefa,
pam
cada
aluno, foi
anotado.
No
processo,
dois computadores
utilizados pelos
alunos
selecionados
da
turma
J e
trs da
turma A
apresentaram problemas
que
impediram
a
realizao
da tarefa; o
tamanho
da
amostra
foi assim
reduzido
para
14 e
18,
respectivamente,
para
as turmas
J e A.
Os dados
obtidos foram:
Turma
J
A
10139
15 L2 18
Tempos
(min)
10
L4 13
10 15
L2
16 15
L7
L7 15
16
109
1013L4
17
11 77
L4
Apesar
de no
conhecidas,
as varincias populacionais
para
as duas
turmas
so
consideradas
iguais
com
base
em estudos
anteriores.
tr
Para formalizar
a
situao
apresentada,
supomos que
os
dados
para
o
primeiro grupo
so
representados
por
variveis
aleatrias
independentes
Xt,
. . .
,
Xr,,r,
para
o segundo,
Yt,
..
.
,Yrr.
Almdisso,
assumimos
que
Xt
-
N(px,
o2),
i
:
I,...,flri
Yi
-
N(pv,o2),
j :
1,...,p2.
306
Caltulo 9:
Tpcos
Especiais
9.2 Comparao
de
Duas
Mdias
307
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
70/97
Para ambas
as
populaes, temos
a
mesma varincia o2
(desconhecida).
Suponha
que
nosso
interesse
testar
HoiFX:lJyi
Hu:
Fx
*
t"v.
Novamente,
considerams
o
estimador
D
definido
pela
difeenaX
-Y.
Dada
a
independncia
entre as
amostras,
segue
imediatamente
l6e
/1
1\ ,/
Var(D\:o2I:-+:-lr/
'
\nt
"'/(
Alm
disso, considerando
tambm a
normalidade do, ludor,
segue
que
e consequentemente,
Como
a
varincia
populacional
o2
desconhecida,
precisar
ser estimada. Tendo
em vista
que
S|
e ,5|
so
ambos
estimadores
no viciados dessa varincia,
usaremos
como estimativa
para
o2 umacombinao
deles, dada
por:
'nl
n2
Dx.u-N)'+DVi-T)'
-1 ;-1
,J-
L
D
-
N(p,x
-
py,o21t1n1+ rln2)).
D-(pt-pv)
:
^'
Arln
1\
o
1/Lln1*
If
n2
nL+n2-2
Note
que
S
:uma mdia
ponderada
entre
5|
e,Sfl, com
ponderao
dada
por
nt-I
c nz-
1.
Dessa forma,
estaremos utilizando
para
estimar
o2, toda
a
informao
disponvel
nas duas amostras.
Alm disso,
pode-se
mostrar
que
,9"2
no
viciado para
o2.
Da
mesma
forma
que
na Seo
8.3 do Captulo 8,
o
uso
do estimador
,9ul
nos
leva a
trabalhar
com a
distribuio -Student,
isto
,
D-(pr-pv)
T_
s"\FTTTM
tem, sob
f/,, distribuio
t-Student
com
nr
*
nz
-
2
graus
de
liberdade
Dada a
hiptese
alternativa
apresentada,
procedemos ao teste
bilateral
dn
forma
usual,
isto ,
fixado
a
encontra-se
o
valor , tal
que
a:
P(rejeitar
Ho
I
Il,verdadeira)
:P(7
1-t"ouT>t"lH").
A
quantidade "
ento
obtida da
tabela
da distribuio
-Student, com
nt
I
nz
-
2
graus
de
liberdade.
A
regio crtica
para
o teste
dada
por
RC
:{t
e
m.
: t
1
-
t"
ou t
>
t"}.
Uma
vez
obtidas
as amostras,
substituindo
as estimativas
de
D e S"
na expresSO
de
?, obtemos
o
valor
o6".
Rejeitamos
f/o
se
o6"
pertencer regio
crtica.
Exemplo
9.8:
Para o
Exemplo 9.7,
podemos
escrever
as
hipteses de interesse
como
Ho
i
Fx:
py
(os
dois
mtodos so
equivalentes);
Ho:
Px
*
l.tv,
om
p,y
e
py representando,
respectivamente,
o
tempo
mdio
populacional
pafn
alunos da
turma
J
e
da
turma
. As amostras
forneceram
os seguintes
valOres:
nt:
l4,Totts:11157
e sl"u":
4,L;
n2
:
L3,Tot
"
:15,38
e szy"u"
:
4,3
'
Ento,
ot,"
-2
5,',0"
Como
a
hiptese alternativa
apresentada
bilateral,
a
regio crtica tem a
brma
RC
:
{t
e
m
:t
1.
-t"
ou t)
"}.Logo,
parao-:0,01temos
0,01
:
P(rejeitar
Ho
I
H"verdadeira)
:P(7
1-t.ou
T>t"lH").
l)a
tabela
da distribuio
-Student
com
25
graus
de
liberdade,
obtemos
1,,,
:
2,79.
Conseqentemente,
:olts
-Tot,r:
LIr57
-
15,38
:
(rr-Dt*"*(n,
-t)t*"
6
-3,81
;
_
L3
x 4,I
+_L2
x 4,3
:
4.2
25
.08
Ct plt
tt
I o
g
: 7' pi
uts
Esltet:itt
ltt
, .
Ctttttpuru{lo
de Duets Mrlilt,r
.2
30e)
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
71/97
RC:
{te
m.:t1_2,7g
out}2,Tg}.
Utilizando
as
estimativas
calculadas
temos,
sob I1o,
-3,81
\/4,2(rlL4
+
1/13)
I
I
que
pertence
regio crtica
e,
assim,
conclumos
que os
mtodos
de
fato diferem,
a
um nvel
de
significnciade
LVo.
tr
.
dult"
-:
t?*"(rlu
+
Tlnz)
:
_4,93;
Caso
38:
Amostras
independentes
com
varincias
desnhecidas
e
diferentes
/
o teste para
o
caso
em que
as
varincias
so/esconhecidas
e
desiguais
consideramos
as
mesmas
hipteses
apresentadas
no\
quantidade
a
ser
usada
para
o
teste
ser
o teste para
o
caso
em que
as
varincias
s?dsconhecidas
e
desiguais
teoricamente
mais
envolvente.
Assim,
sem
"nfru.
em
maiores
detalhes,
consideramos
as
mesmas
hipteses
apresentadar
no\cu.o
3A,
s
qu",
ugoru,
4
,\
r:
D-(t"x-ttv)
sk/",
+
sl,ln2
A exemplo
do
caso
anterior,
tambm
tem
distribuio
-student,
mas
os
graus
de
liberdade
z
so
corrigidos
pela
expresso
(s'"1"t
A
seqncia
do
teste
similar
quela
apresentada
nos
casos
anteriores.
Na
Tabela
9.1
mostramos
um
resumo
dos
testes
considerados
nesta
seo.
Encerramos
esta
seo,
considerando
a situao
em
que
a
caracterstica
de
interesse
no
se
comporta
segundo
um
modelo
Normal.
Novmente,
a alternativa
ser
coletar
uma
amostra
de
tamanho
grande
o suficiente,
a
fim
de
utilizar
o
Teorema
Central do
Limite
e
obter
distribuies
amostrais
aproximadamente
Normais.
como
um exemplo
desse procedimento,
vamos
desenvolver
o
teste
para
n igualdade
de duas propores.
'j
Tabela 9.1: Comparao
de
mdias
para
duas
populages,
Exemplo 9.9.'
Num estudo
sobre
doenas
infantis,
desejamos
investigar se
a incidncia
de casos
de
contaminao
por
vermes
afetada
pela
idade.
Dois
grupos de
crianas,
um com
idades
de 2 a
4
anos
(Grupo
I) e outro, com
idades
de
7
a 9 anos
(Grupo
II)
foram
escolhidos
para
serem
examinados
quanto
i
ocorrncia
de vermes. Os
dados so
apresentados a seguir:
3t0
Cttptu\o
g:'l'pit
tts
l ,rpeciuis
- -
t).2
(:(,tnpuriltlo
de Duen
Mdhts
.1u
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
72/97
Grupo
Amostra
Proporo
comVerJnG
I
720
0,095
II
260
0,103
Para
saber
se
as
duas
faixas
etrias
acima
tm
o
mesmo
comportamento,
quanto
a
ncidncia
dessa
doena,
podemos
rearizar
;
;jJ,r,not"r".
"nutu.noo
ropores.
/
tr
'
Considere
que
desejamos
verificar
o
.o-ponlmento
de
uma
certa
caracterstica
em
duas
popuraes.
se
a
amostra
for
suficientemente
grande
sabemos,
pelo
Teorema
central
do
Limite,
que
a
distribuio
de
probabilidade
da
roporo
amostral
tem
um
comportamento
aproxim
qbamente
igual
ao
modelo
Normal.
Na
comparao
de
proiores
"n.,
;;r/d;s,
usaremos
como
estimador
a
diferena
enrre
as
respectivas
propges
u,norr.uir.
vo
oir"
verificar
que
ela
ser
um
estimadoinao
viesaoo
4Jr*""*
diferena
entre
as
propores
populacionais.
\
populao,
teremos
d'as propores
amostrais
independentes
e
a diferena
entre
elas
tambm
ter
distribui
aproximadamente
Normal.
Assim,
se
o interesse
testar:
Ho :
pt
:
Ih
versus
Ho
i
pt
# h,
ento
o
estimador
a
ser
utilizado
ser
fr,
-
fr,
cuja
distribuio
ser
aproximada
pela
Normal
cujos
parmetros
so
obtiio,
considerando-r"
u,
relaes:
E(6r-fr):pt-pz;
Var(fi
-
fr)
:
Var(f1)
+var(f2)
-
nQ
-
or)
*
m(L
-
m)
.
TL1
D2
Note
que,
para
calcular
a
^varincia,
a
independncia
entre
as
amostras
garantiu
a
independncia
entre
ft
"
fr
e,
portanto,
a
covarincia
entre
eres
se
anulou.
Sendo
a
hiptese
nula
verdadeira,
as
propores
populacionais
so
iguais.
Denotando
seu
valor
comum
por
p,
isto
pr
:
p2:
p,
foO"*os
obter
um
estimador
para
p
atravs
da
ponderao
dos
"rir*ur"r'no
viciad.,
;
,:
essa
forma,
obtemos
^ -ntfr.+n2fr,
p--nrTz'
Srrlrstituindo
os
valores
de
p1
e
Pz Porfl,na
exptesso
da V
ar(f1
-
fr),
podemos
cscrever,
sob
fIo,
Pt
-Pz
-
N(0,1).
F,,(L
-F)Gln,
+
Iln2)
l)irrir
concluir
o teste,
calculamos
a
quantidad zotts,
substituindo
bt
e
i
por
suas
crrrrespondentes estimativas.
Verificamos
se
zobs
peftence
regio crtica,
que
nO
clso
bilateral
dada
por
RC
:{z
e
IR
l,
1
r",
ou
z
>
z"r}.
l)aclo
um
nvel
de significncia
a, os
valores
zct
e zc2
so
obtidos
da tabela
dt
tlistribuio
Normal
padro.
Como
procedimento
alternativo,
podemos
tambm
usr
o nvel
descritivo
para
decidir
sobre
a aceitao
ou no
de Ho.
Ixemplo
9.10:
Parao
Exemplo
9.9,
testaremos
Ho:
pt
-
p2
versus
Ho:
Pt #
Pz,
com
p1
e
p2
representando
as
propores
de
crianas
com
verminosg
nn
populao
dos
grupos
I
e
I
I,
respectivamente.
Pelas
informaes
recebidns,
rt4
-
I20, nz
:
260,
fior,,
:0,085
e
frob"
:0,103'
Logo,
sob
'FIo
120
x
0,085
+260
x 0,103
:
,097;
120
+260
e tambm,
Fnr,"(L
-\r,",,,)(Llu
*
rlnz):
0,097
x
0,903
x
(LlL20
+
L1260)
:0,0011'
Segue
ento
que
Pt-Pz
-
t/(0,1).
Para
a: 0,08
os
valores
zct
e zc2
so
calculados
atravs
das
expresses
P((it
-DlJo,o}Lt
1
z.,lH,)
:0,04;
P(
(6t
-
D I
Jo,ooLL
)
z",l
Ho)
:
o,o4
.
nt
itot,"
*
Trz
?2ot'"
::
ltobs
n1
I
n2
Jt2
Captulo
9: Tpicos
Especiais
9.2
Comparao
de
Duas
Mdias
313
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
73/97
I
xams
escolares,
doze
alunos
pois
do
exame.
10
11
t2
Assim,
RC
:{z
e
R
I
z
"ft)
:
1
-
P(F
'
a .
p. -
=..
ir
=
:.
:,
:
^
i.
in
ii_
=.,.
-,1.
l,,,ut
f i
f f I :
:
s.-du.''
.-
i :i:B:f
1;
.
t
t
:,:'':,,
a
3
: : I
r
:g
*.
i
a.
aia
u.
s
a.
a=
.
:
i
:. : :
.-
.
-
-
d-
-'rl
-
--i
o
o
x'o
-
P
=l'l
gii'p:':':
: 54
s
p'x
p'x
l'*
I
g
g
B
e
o
il
.lJ
5
\
o
f
u
.eb
ctE
l+o
l"
b
lor
E
lzl
lri
lo*
O
o
l>P
lr
O)
lrr
I
L'-
lg;
oTt
IE,
IP
l?"
lol
l-c
l.e
ll
l6)
Ir
lo
lr
l(,
t:
l-o
ll-
l+
l
lo
ropDurruoueP
oP
ePDPreqll
ap
snotc
B
(
:
5
s
:
s
f
:
I
9.
;
:
:.
a
:-
:
;l
-l
=l
;l
;l
;l
:l
-81
:l
:l
:l
cl
JI
*l
:l
;l
-'l
'l
8
L'
Oo
E-
P
(l)o
E'
P;
o
E:
c)
ogT::
::=
o;
o3
E
..:::::
ut,
=
l
o
L
()
,-.
\
\
()
f
C'
.9
o
\U
q)
E
tn
()
l-
o
o
I
o
L,,
o
T
0)
c
v,
I
l-
q)
c
.2
u-
o
-o
o
ro
.
1"
f
-o
'tr
,2
o
t
,il
il
F
i
roPoultuouap
op
apopJaqtl
ap snDrc
-
5/20/2018 Lvro Noes de Probabilidade e Estatstica - Magalhes parte 2 (1).pdf
97/97
Apndice
B
Respostas
dos
Exerccios
Observaes:
1.
Nos
exerccios de
seo a
resposta
ser,
na
maioria
das
vezes,
acompanhadA de
indicaes
da
resoluo.
2.
Paru os
exerccios
de
fim
de captulo
exerccios mpares.
3. Os
exerccios
de computao
e
de
apresentadas.
4.
Pequenas diferenas
em algumas
aproximaes
e casas
decimais
utilizadas.
5.
Para no
tornar
muito
extenso esse
omitidos na apresentao
das respostas.
sero
apresentadas
as
respostas
para
os
demonstrao
no
tero
suas respostas
respostas
podero
refletir
diferentes
apndice,
os
grficos solicitados
foram