2. noções de probabilidade
DESCRIPTION
Probabilidade para simulação de sistemasTRANSCRIPT
Noções de Probabilide e Distribuições
Prof. Msc. Daniel [email protected]
02/2015
Fonte: www.deskeng.com
Fonte: 4dsysco.comFonte: www.ergodesign.nl
Conceitos básicos de probabilidade
2
} Experimento = qualquer atividade realizada, cujoresultado exato é incerto} Nos ambientes produtivos, muito provavelmente os
resultados serão incertos (estocásticos)
} Espaço Amostral = são todos os possíveis resultadosindividuais que podem ocorrer quando for realizada aatividade.} No caso de uma moeda = cara ou coroa} No caso de um dado = número 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
Conceitos básicos de probabilidade
3
} Evento = é um subconjunto do espaço amostral
} Probabilidade = é a possibilidade relativa da ocorrência de um evento.} Os valores sempre estarão presentes entre 0 e 1
Eventos podem ser definidos de
diversas maneiras
Estabelecer variáveis
randômicas
Simplificar e Quantificar
Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
Variáveis Aleatórias
Uma VARIÁVEL ALEATÓRIA é uma variável que assume valores associados com resultados aleatórios de um experimento, no qual um (e apenas um) valor numérico
é marcado para cada ponto da amostra.
Exemplos:
- cara / cara- cara / coroa- coroa / cara- coroa /coroa
Um experimento que visa contar o número de clientes atendidos em um banco durante os dias.
Durante o dia essa variável aleatória pode assumir diversos valores a depender do dia
(durante janela de atendimento)
Dois tipos de variáveis aleatórias
Variável Aleatória
DISCRETA
Variável Aleatória
CONTÍNUA
Quando uma variável aleatória é discreta, ela pode assumir um número contável de valores.
Exemplos: número de vendas de um vendedor, número de erros em uma página, número de consumidores que assumem que preferem um determinado produto, etc.
Quando uma variável aleatória é contínua, ela pode assumir infinitos valores em um determinado intervalo.
Exemplos: quanto tempo para produzir uma peça, o peso de um item de alimentação, quantidade de litros por abastecimento de carro, etc.
Variáveis Aleatórias
6
} Variáveis randômicas = número cujo valor édeterminado pelo resultado de um experimento, quepode ser pensado com a quantificação de um evento.} É uma regra ou mapeamento que atribui um número
para cada resultado possível de um experimento.
DISCRETA CONTÍNUA
Assume valores pontuais(ex. número peça expedidas, número
de peças inspecionadas)
Pode assumir qualquer valor real (ex. tempo e distância)
Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
Distribuição de Probabilidades para variáveis Aleatórias Discretas
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta é um gráfico, tabela ou fórmula que especifíca a probabilidade associada com cada valor possível que a variável aleatória pode assumir.
Cara = 1 / Coroa =0
P (x=o) = P (coroa-coroa) = oP (x=1) = P(coroa-cara) + P(cara-coroa) = 1P (x=2) = P (cara-cara) = 2
P(x)
Valores0 1 2
1/2
1/4
P(x) ≥ 0ΣP(x) = 1
Por que construir uma distribuição probabilidades?
No exemplo anterior derivamos uma distribuição de probabilidades para uma variável aleatória discreta. No entanto, para algumas situações na prática isso pode
ser muito mais difícil.
Felizmente, muitos experimentos de variáveis aleatórias discretas associadas aos negócios possuem características
idênticas.
Curvas de Distribuição de Probabilidade
9
Principais curvas de distribuição de probabilidades e que fazem parte do software Arena Simulation:
ü Normalü Betaü Gama ü Erlangü Exponencialü Johnsonü Lognormalü Poissonü Triangularü Uniformeü Weibull
REPRESENTAR UM FENÔMENO REAL E
ESTOCÁSTICO
Distribuição Normal
Uma das variáveis aleatórias contínuas mais comumente observadas tem umadistribuição de probabilidade em forma de sino. Ela é conhecida como variávelaleatória normal, e sua distribuição é chamada de distribuição normal.
- Participação importante na inferência estatística
- Muitos fenômenos de negócio geram variáveis aleatórias com distribuições de probabilidade que são bem próximas à normal
- Taxa mensal de retorno de ação
- Vendas semanais de uma empresa- Variação de dimensões de
produção de uma peça
A distribuição normal é perfeitamente simétrica em
torno de sua média μ.
Distribuição Normal
Fórmula para a distribuição de probabilidades normal:
Distribuição Normal
- Para conhecer as probabilidades, precisaríamos calcular a área sobre os intervalos desejados da função acima apresentada. É uma tarefa difícil!!
- Para isso existem tabelas que são construídas com base em uma distribuição norma padrão (μ=0 , σ=1 e z = variável aleatória normal padrão).
Distribuição Beta
13
} É definida por duas expressões} A fórmula geral:
Onde,
} A fórmula padrão:
Distribuição Beta
14
} A distribuição Beta é utilizada para representar tempos de conclusão de tarefas. Referente às atividades aderentesà Engenharia de Produção, pode ser utilizada para tempos em PERT/CPM.
Amostragem de dados
15
População
AMOSTRA
} Levantar os dados detoda uma populaçãopode ser oneroso(tempo, custo,recursos, esforços)
} Trabalhar com umaamostra querepresente toda apopulação
Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
Amostragem de dados
16
} Como saber se uma amostra é representativa?
SÃO REALIZADAS ANÁLISES ESTATÍSTICAS PARA ESTIMAR OS PARÂMETROS POPULACIONAIS
Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
Tamanho mínimo da amostra
17
} Para o cálculo do tamanho da amostra (aleatória simples) temos a seguinte fórmula:
Onde,n = tamanho da amostra
N = tamanho da populaçãoE0 = erro amostral tolerável
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
20
20
1
1*
EN
ENn
Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
Testes de Aderência
18
} Verificação da qualidade na escolha da distribuição que acredita-se ser a melhor representação da população.
} Podem ser utilizados métodos gráficos ou teóricos
Valor esperado
Valor obtido
ADERENTE NÃO ADERENTE
Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
19Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
Comportamento Transiente e em Regime
20
} Comportamento transiente: quando não existeconstância ou regularidade na flutuação estatística dodesempenho das variáveis do sistema.
} Comportamento em regime: comportamento médioestatístico do sistema não se altera durante o tempo
Comportamento em regime não significa que as observações do sistema são sempre as mesmas, mas sim, que terão a mesma distribuição
Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
Sistemas Terminais e Não Terminais
21
Simulação Terminal = possui um estado transiente. O sistema se inicia vazio, fica ocupado por um período e depois termina vazio.
Simulação Não Terminal = não existe um evento ou instante de tempo onde a simulação termina. Não significa que a simulação nunca vai terminar, mas que, teoricamente, a simulação pode transcorrer infinitamente sem afetar as saídas.
Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002
Bibliografia
22
} Esta apresentação foi preparada com base nos seguintesmateriais:
BUENO-DA-COSTA, M. A., Simulação de Sistemas, apostila didáticade apoio às disciplinas de Simulação para Engenharia deProdução, SIMUCAD, São Carlos: 2002.