livro mf principios&praticas 27setembro2013 tardedocx

DEPARTAMENTO ACADMICO DE MATEMTICA

JOSE DONIZETTI DE LIMA

Introduo Anlise Econmica de Projetos: Princpios e Prticas Prof. Jos DONIZETTI de Lima, Dr. Eng. Pgina 2

SUMRIO

Captulo 1 INTRODUO: PRINCPIOS, CONCEITOS E DEFINIES PRELIMINARES

Captulo 2 REGIMES DE CAPITALIZAO: SIMPLES, COMPOSTO E CONTNUO

2.1 Regime de Capitalizao Simples (Juros Simples).............................................................................xx

2.2 Regime de Capitalizao Composto (Juros Compostos) ..................................................................xx

2.3 Regime de Capitalizao Contnuo (Juros Contnuos) .....................................................................xx

Captulo 3 TAXAS DE JUROS

3.1 Taxa de juros nominal.......................................................................................................................xx

3.2 Taxa de juros efetiva.........................................................................................................................xx

3.3 Taxa de juros equivalente.................................................................................................................xx

3.4 Taxas proporcionais..........................................................................................................................xx

Captulo 4 SRIES DE PAGAMENTOS

4.1 Sries de pagamentos uniforme........................................................................................................xx

4.2 Sries de pagamentos no-uniforme................................................................................................xx

4.3 Sries perptuas................................................................................................................................xx

Captulo 5 SISTEMAS DE AMORTIZAO

5.1 Sistema Price (ou Sistema Francs)...................................................................................................xx

5.2 Sistema de Amortizao Constante (SAC)........................................................................................xx

5.3 Sistema de Amortizao Americana (SAA) ......................................................................................xx

5.4 Sistema de Amortizao Mista (SAM)..............................................................................................xx

5.5 Sistema de Pagamento nico (SPU) ................................................................................................xx

Captulo 6 ATIVIDADES PRTICAS SUPERVISIONADAS (APS)

6.1 Listas de exerccios-problemas propostos para a reviso dos conceitos..........................................xx


Captulo 1 PRINCPIOS, CONCEITOS E DEFINIES PRELIMINARES

A Matemtica Financeira no um conjunto de frmulas exticas para o clculo de juros, mas sim um mtodo de deciso entre alternativas de investimento e de financiamento. (MORGADO et al., 2008).

Introduo

A Matemtica Financeira (MF) estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Podemos iniciar o estudo sobre o tema com a seguinte frase:

No devemos operacionalizar quantias em dinheiro que no estejam na mesma data

Embora esta afirmativa, seja bsica e simples, absolutamente incrvel como a maioria das pessoas esquecem ou ignoram esta premissa. E para reforar, as ofertas veiculadas nas mdias reforam a maneira errada de se tratar o assunto. Por exemplo, uma TV que vista vendida por R$ 1.500,00 ou em 6 prestaes de R$ 300,00, acrescenta-se a seguinte informao ou desinformao: total a prazo R$ 1.800,00. O que se verifica que soma-se os valores em datas diferentes, desrespeitando o princpio bsico, citado anteriormente, e induzindo a se calcular juros de forma errada. Esta questo ser melhor discutida nos prximos captulos.

Pode-se conceituar os juros como sendo o pagamento pela oportunidade de se poder dispor de um capital em determinado perodo do tempo (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011).

Uma palavra que fundamental nos estudos sobre Matemtica Financeira (MF) JUROS. Cada um dos fatores de produo remunerado de alguma forma. Desta forma, os juros o que se paga pelo custo do capital, ou seja, o pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo. A propsito estamos acostumados com juros, lembrem dos seguintes casos: compras crdito, cheques especiais, prestao da casa prpria, desconto de duplicata, vendas prazo, financiamentos de automveis e emprstimos pessoais, por exemplo.

Como podemos ver o termo muito familiar se lembrarmos do nosso dia a dia. Podemos at no nos importar com a questo, mas a pergunta que se faz : O quanto pagamos por no considerarmos adequadamente a questo? E concluindo, nota-se a correspondncia entre os termos juros e tempo, que esto intimamente associados.

A taxa de juros e a unidade de tempo consideradas devem ser equivalentes, isto , devem ter uma unidade comum. Assim, as variveis taxa unitria ( i ) e nmero de perodos ( n ) devem sempre estar na mesma unidade de tempo. Dica: Sempre transforme n na mesma unidade da i .

Conceito de juro

Ao se emprestar certa quantia uma pessoa ou instituio, justo que se receba com a quantia emprestada, mais outro valor que representa o aluguel (ou prmio ou recompensa) pago pelo emprstimo (capital emprestado). A esse aluguel pago pelo valor emprestado denominamos juro. Matematicamente, podemos escrever:

JURO = BASE X TAXA

No prximo captulo, veremos que essa base pode ser constante (juros simples) ou ser atualizada a cada perodo (juros compostos) ou ainda ser corrigida continuamente (juros contnuos). Por outro lado, a taxa de juros , em geral, considerada como fixa.

Princpios

Para a realizao da anlise de viabilidade econmica de projetos de investimentos sejam eles tradicionais e/ou inovadores, alguns princpios fundamentais devem ser observados:

Considerar o valor do dinheiro ao longo de um escala de tempo: Devemos levar em considerao que o dinheiro possui um valor dependente do tempo, isto , receber hoje diferente do que


receber o mesmo valor em outro perodo (no prximo ano, por exemplo). Portanto, somente podemos considerar os mtodos de fluxo de caixa descontados, ou seja, os que levam em considerao o valor do dinheiro no tempo. Segundo Souza e Kliemann Neto (2012), para que a tomada de deciso seja realizada da forma mais correta possvel, tangenciando a realidade, a Engenharia Econmica sustenta suas bases no conceito do valor do dinheiro no tempo.

Todas as quantias de dinheiro devem ser referidas a uma data e somente podero ser transferidas para outra data considerando os juros envolvidos nessa transferncia/transao. (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Em outras palavras, no se soma valores que no estejam na mesma unidade de tempo e, claro, na mesma unidade monetria sem antes realizar uma converso adequada. Assim, no permitido, operar (somar ou subtrair, por exemplo) quantias de dinheiro que no esto na mesma data. O passaporte para viajar com o dinheiro ao longo do tempo a taxa de juros.

Apenas as diferenas entre as alternativas de investimentos so relevantes. Exemplificando: em uma anlise para a aquisio de um tipo de motor, no deve haver interessa sobre o consumo destes se forem idnticos.

Considerar o custo do capital (prprio e/ou de terceiros) como preconiza a teoria do Valor Econmico Agregado. Pgina 12-13 e pgina 157-162 do CORREIA NETO (2007).

importante ressaltar que, na anlise de um investimento, o investidor tambm deve levar em conta no s o aspecto econmico, mas tambm outros aspectos, como um maior nvel de qualidade agregado ao produto, uma vez que as mquinas proporcionam maior robustez ao processo produtivo.

Siglas e convenes

Usaremos as seguintes siglas para representar os elementos da Matemtica Financeira (MF):

Siglas Significado Breve explicao: ingls J Juros Interest

VP Capital ou Principal Value Present i Taxa de juros (taxa unitria) Interest rate n Nmero de perodos (tempo decorrido) Number of periods

VF Montante (valor futuro) Value Future FC Prestao (parcela ou pagamento ou fluxo de caixa) Payment ou Cash Flow

TMA Taxa Mnima de Atratividade ou Custo de Oportunidade Cost Oportunity

Adota-se a conveno de que todos os acontecimentos financeiros realizados em um perodo so considerados como realizados no instante final deste perodo. Assim, em geral, para a simplificao dos clculos, sem perda de generalidade, consideramos que os pagamentos e/ou recebimentos ocorrem no final de cada perodo. Para efeito de clculo considera-se, em geral: (i) ano comercial: 360 dias e; (ii) ms comercial: 30 dias.

Na frmula para o clculo do montante ou Valor Futuro (VF), independente do regime de capitalizao (simples, composto ou contnuo) aparecem quatro variveis: Valor Futuro (VF), Valor Presente (VP), Taxa de juros (i) e nmero de perodos (N). Podemos encontrar qualquer uma delas, desde que se conheam as outras trs. Logica anloga utilizada nos problemas que envolvem fluxo de caixa (FC), VF, i e N ou FC, VP, i e N.

No prximo captulo discutimos o que juros simples, compostos e contnuos. Nos prximos captulos, outros pontos importantes em Matemtica Financeira so retomados. Contudo, importante analisarmos os principais princpios desse ramo da Matemtica.

Questes que no querem calar


1) O que Fluxo de Caixa (FC)? Como um conceito geral, o Fluxo de Caixa (FC, em ingls, Cash Flow), a relao (diferena) entre as entradas e as sadas de recursos financeiros em determinado perodo (ano, ms ou dia, por exemplo), visando prever a necessidade de captar emprstimo ou aplicar excedentes de caixa nas operaes mais rentveis. O fluxo de caixa pode ser definido como o movimento do dinheiro que entra e sai de uma empresa, em decorrncia de suas atividades.

2) O que diagrama do Fluxo de Caixa? uma representao grfica do Fluxo de Caixa. A construo do diagrama do fluxo de caixa permite a visualizao grfica dos resultados dos exerccios, isto , explicita a diferena entre receitas e custos.

3) O que so indicadores econmico-financeiros? Os indicadores econmico-financeiros so valores quantitativos, ou seja, nmeros utilizados para identificar a situao e o desempenho econmico-financeiro da empresa ou de um projeto.

4) Custo/gasto/despesa: tratar todos como iguais? (i) Custo: dispndio de recursos monetrios necessrios; (ii) Gasto: Ver Bornia, Kliemann, UTFinova... Os custos so classificados em fixos, quando no se alteram de acordo com a quantidade produzida e variveis quando dependem do nvel de produo. Juro? Custo do capital = custo do dinheiro. Ao capital cabem juros.

5) Considerar/contemplar diversos aspectos? (i) tcnico; (ii) econmico; (iii) financeiro; (iv) ambiental/sustentabilidade; e (v) imponderveis. Anlise dos benefcios tangveis. Anlise dos benefcios no tangveis (estratgico/ambiental/sustentabilidade/MDL).

Prtica: Exemplos didticos para se calcular a taxa de juros em um perodo

1) Suponha que um determinado objeto tem como preo de etiqueta R$ 100,00 com as seguintes opes para o comprador: R$ 50,00 de entrada + R$ 50,00 (em 30 dias) ou R$ 90,00 vista.

Pergunta-se: Qual a taxa de juro mensal cobrada nessa transao comercial (compra)?

Soluo: Ao optar pela compra a prazo deixamos de desembolsar, no ato da compra, R$ 40,00 (R$ 90,00 R$ 50,00), sendo que por estes R$ 40,00 devemos pagar R$ 50,00 ao trmino de 30 dias, ou seja, devemos pagar R$ 10,00 de juros, o que representa em relao a R$ 40,00 uma taxa de 25%. Portanto, a taxa de juros de 25% ao ms. Para os menos avisado a taxa de 10% pois o valor se reduz de R$ 100,00 para R$ 90,00 em um perodo.

Nota: Alm disso, se atrasarmos o pagamento da prestao estaremos sujeito a cobrana de multa de 2% mais juros de 1% ao ms acrescido de atualizao monetria. Alm da possibilidade de incluso do nome nos cadastros dos Servios de Proteo ao Crdito (SPC ou SERASA, por exemplo).

2) Suponha uma compra no valor de R$ 100,00, com as seguintes opes: vista R$ 80,00 ou duas vezes de R$ 50,00 (entrada + 30 dias).

Qual a taxa de juro cobrada nessa transao comercial?

Soluo: 00,30 $ 50,00R$ - 80,00 $ RR Assim, optando pela compra parcelada, deixamos (no ato da compra) de desembolsar R$ 30,00 e por estes devemos pagar R$ 50,00 em 30 dias.

1a forma) Como a situao retrata apenas um perodo (1 ms) podemos fazer uso da seguinte frmula, deduzida no prximo captulo: niVPVF )1( em que: 30,00 R$ VP , 50,00 $RVF , 1n e pretendemos ( claro) determinar a taxa )(i .

1)1(3050 i 6667,0i ou %67,66i

2a forma) Poderamos determinar a taxa simplesmente fazendo 6667,13050

, ou seja, o aumento de

%67,66 e como temos um perodo apenas, e s por isto, a taxa de aproximadamente 66,67%.


Captulo 2 REGIMES DE CAPITALIZAO: SIMPLES E COMPOSTO

2.1 Regime de Capitalizao Simples: Juros Simples

No regime de capitalizao simples, somente o capital (ou principal) gera juros. Assim, utilizando o conceito de que juros o resultado do produto de uma base por uma taxa, nesse regime a base fixa (ou constante ou no atualizvel). Por outro lado, a taxa de juros mantida imvel.

Denominando:

VP : Valor Presente ou atual ou principal;

VF : Valor Futuro ou montante;

i : taxa de juros (efetiva ou real) por perodo (ou unidade de tempo); e

n : nmero de perodos de capitalizao.

Objetivo: Estabelecer uma relao matemtica entre VP, VF, i e n, considerando uma base fixa, ou seja, constante (ou no atualizvel). Para tanto, podemos utilizar o seguinte diagrama:

Vejamos na Tabela 1 o comportamento de um sistema de capitalizao pelo regime de juros simples. Observamos que esta sistemtica pode facilmente ser implementada em uma planilha eletrnica de clculos (MS-Excel, por exemplo).

Tabela 1 Detalhamento do regime de capitalizao simples Perodo (p) Juros (J) Valor Futuro (VF) Detalhamento do VF

0 =VP - 1 =VPi =VP(1+i) VP + VPi = VP (1+i) 2 =VPi =VP(1+i2) VP (1+i) + VPi = VP(1+2i) 3 =VPi =VP(1+i3) VP(1+2i) + VPi = VP(1+3i) ... ... ... ... j =VPi =VP(1+ij)

... ... ... n-1 =VPi =VP(1+i(n-1)) n =VPi =VP(1+ in)

Assim, a relao matemtica entre o Valor Presente (VP) e o Valor Futuro (VF) sob uma taxa de juros (i) e um nmero de perodo (n), no regime de capitalizao simples (juros simples), dada pela equao (01):

)ni1(VPVF (01)

Nota: A demonstrao completa ocorre por induo finita (MORGADO et al., 2005).

A equao (01) apresenta os seguintes desdobramentos (ou variaes), para a determinao do Valor Presente (VP), da taxa de juros por perodo (i) e do nmero de perodos (n), explcitos nas equaes (02), (03) e (04), respectivamente:

)ni1(VFVP

(02)


n

1VPVF

i

(03)

i

1VPVF

n

(04)

Em suma/sntese (frmulas de operacionalizao):

i

1VPVF

n

n

1VPVF

i

)ni1(VFVP

)ni1(VPVF

Exemplo ilustrativo

1) Consideremos: VP = R$ 100,00; VF = R$ 140,00; n = 4 perodos e i = 10% ao perodo. Em diagrama, temos:

Caso 1: Dados VP, i e n, determinar VF.

Caso 2: Dados VF, i e n, determinar VP.

Caso 3: Dados VP, VF e n, determinar i.

Caso 4: Dados VP, VF e i, determinar n.

Estes casos esto implementados em uma planilha eletrnica de clculos, como o MS-Excel, conforme observamos na figura a seguir.


2.2 Regime de Capitalizao Composto: Juros Compostos

No regime de capitalizao composto, a base atualizada no final de cada perodo. Assim, utilizando o conceito de que juros o resultado do produto de uma base por uma taxa e a base atualizada periodicamente, os juros incidem sobre o capital mais os juros gerados nos perodos anteriores. Por outro lado, a taxa de juros mantida constante dentro do horizonte de anlise.

Denominando:



i : taxa de juros (efetiva ou real) por perodo (ou unidade de tempo); e


Objetivo: Estabelecer uma relao matemtica entre VP, VF, i e n, considerando uma base mvel, ou seja, atualizada a cada perodo. Para tanto, podemos utilizar o seguinte diagrama:

Vejamos na Tabela 2 o comportamento de um sistema de capitalizao pelo regime de juros compostos. Observamos que esta sistemtica pode facilmente ser implementada em uma planilha eletrnica de clculo (MS-Excel, por exemplo).

Tabela 2 Detalhamento do regime de capitalizao composto Perodo (p) Juros (J) Valor Futuro (VF) Detalhamento do VF

0 =VP ----- 1 =VPi =VP(1+i) VP + VPi = VP(1+i) 2 =VP(1+i)i =VP(1+i)2 VP(1+i) + VP(1+i)i = VP(1+i)2

3 =VP(1+i)2i = VP(1+i)3 VP(1+i)2 + VP(1+i)2i = VP(1+i)3 ... ... ... ... j =VP(1+i)j-1i = VP(1+i)j

... ... ... n-1 =VP(1+i)n-2i = VP(1+i)n-1 n =VP(1+i)n-1i =VP(1+ i) n

Assim, a relao matemtica entre o Valor Presente (VP) e o Valor Futuro (VF) sob uma taxa de juros (i) e um nmero de perodo (n), no regime de capitalizao composto (juros compostos), dada pela equao (05):

n)i1(VPVF (05)

Nota: A demonstrao completa ocorre por induo finita (MORGADO et al., 2005).

Essa a principal frmula da Anlise Econmica de Projetos (AEP). As demais so desdobramentos ou consequncias desta.

A frmula (05) apresenta os seguintes desdobramentos (ou variaes), para a determinao do Valor Presente (VP), da taxa de juros por perodo (i) e do nmero de perodos (n), explcitos nas equaes (06), (07) e (08), respectivamente:


n)i1(VFVP

(06)

1VPVFi n (07)

i1logVPVFlog

n

(08)

Em suma/sntese (frmulas de operacionalizao):

i1logVPVFlog

n

1VPVFi

)i1(VFVP

)i1(VPVF n

n

n

Exemplo ilustrativo

1) Consideremos: VP = R$ 100,00; VF = R$ 146,41; n = 4 perodos e i = 10% ao perodo. Em diagrama, temos:

Caso 1: Dados VP, i e n, determinar VF.

Caso 2: Dados VF, i e n, determinar VP.

Caso 3: Dados VP, VF e n, determinar i.

Caso 4: Dados VP, VF e i, determinar n.

Estes casos esto implementados em uma planilha eletrnica de clculos, como o MS-Excel, conforme observamos na figura a seguir.

Notas importantes: n)i1( : fator de capitalizao; e n)i1(

1 : fator de descapitalizao.


Exemplos ilustrativos

1) Os juros produzidos pela caderneta de poupana so juros compostos, pois, aps cada ms, os juros so incorporados ao capital. Salienta-se ainda que a caderneta de poupana isenta do Imposto sobre as Operaes financeiras (IOF) e do Imposto de Renda (IR). Vale salientar que parte dos recursos gerados com a captao de dinheiro da caderneta de poupana serve para financiar a construo da cada prpria, evidenciando assim a importncia da mesma. Nessas condies, qual o montante produzido por R$ 1.000,00, em 12 meses, aplicado a 0,5% ao ms.

Soluo:

68,1061%5,011000 12 VF . Portanto, o montante na ordem de R$ 1.061,68.

Juros Simples (JS) x Juros Compostos (JC)

1) Suponhamos que voc tenha aplicado a importncia de R$ 100,00, pelo prazo de 4 anos, taxa de 10% ao ano (mantida constante). Baseando-se nesses dados, preencher as tabelas a seguir:

1a Tabela) Considere juros simples (base fixa), ou seja, juros no recebe juros.

Perodo Base de Clculo Juros de cada perodo Montante = Capital + Juros 0 R$ 100,00 R$ 0,00 R$ 100,00 1 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 110,00 2 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 120,00 3 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 130,00 4 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 140,00

2a Tabela) Considere juros compostos (base atualizada a cada perodo), ou seja, juros recebe juros. Perodo Base de Clculo Juros de cada perodo Montante = Capital +Juros

0 R$ 100,00 R$ 0,00 R$ 100,00 1 R$ 100,00 R$ 10,00 R$ 110,00 2 R$ 110,00 R$ 11,00 R$ 121,00 3 R$ 121,10 R$ 12,10 R$ 133,10 4 R$ 133,10 R$ 13,31 R$ 146,41

2) Elabore um grfico comparativo entre os crescimentos dos montantes para os sistemas de capitalizao: Juros Simples e Juros Compostos. Para isto considere um capital de R$ 100,00, uma taxa de 10 % ao perodo (ano, por exemplo), durante 12 perodos.


2.3 Regime de Capitalizao Contnuo: Juros Contnuos

O regime dos juros contnuos pode ser entendido como o princpio de capitalizao composta a um nvel infinitesimal de atualizao/correo. Neste regime, a capitalizao ocorre forma contnua, em intervalos infinitesimais de tempo. Segundo Motta e Calba (2002) os juros contnuos so empregados em mercados financeiros e substituio de equipamentos.

Denominando:



i : taxa de juros (efetiva ou real) por perodo (ou unidade de tempo, considerada infinitesimal); e


Objetivo: Estabelecer uma relao matemtica entre VP, VF, i e n, considerando uma base atualizada continuamente.

Inicialmente, vamos considerar que estamos fazendo uma aplicao de uma quantia (capital ou

principal) 0P em uma instituio financeira (banco, por exemplo) e que a taxa de

remunerao/variao do investimento (juros) dndP / proporcional ao saldo (montante ou valor

futuro) em cada instante )(nP . Diante destas consideraes/pressupostos, podemos descrever o

problema de encontrar )(nP como o problema de valor inicial:

0)0( PP

iPdndP

A resoluo desta Equao Diferencial Ordinria (EDO) resulta em:

niePP 0

em que:

t

t te

11lim

ou seja:

nieVPVF

Deduo: Vamos fazer a demonstrao por meio da resoluo de uma Equao Diferencial Ordinria (EDO) pelo mtodo da separao de variveis.

nn

n

nniPdnidP

PdnidP

PdniPdPiP

dndP

00

0

0||ln11

nion

nninn ePPP

PeniPPniPP

000 lnlnln



1) Quanto tempo um investimento leva para dobrar de valor se os juros anuais forem de 12%, capitalizados continuamente?

Soluo:

12,0%122, ieVPVFeVPVF ni

Logo,

5,7812,0

)2ln()(ln12,0)2(lnln)2(ln22 12,012,012,0 neneeeVPVP nnn

Se considerarmos n = 5, o capital no dobrar de valor. Portanto, n = 6 anos.

2) A Figura abaixo apresenta um breve comparativo entre os trs regimes de capitalizao (simples, composto ou contnuo). Para um exemplo ilustrativo, consideramos uma aplicao de R$ 100,00 a 10% ano perodo e um horizonte de tempo de 12 perodos.

Uma outra forma de demonstrao para a frmula dos juros contnuos

Fazer a demonstrao tambm por limites.


Captulo 3 TAXA DE JUROS

No captulo anterior, mostramos que a relao matemtica entre o Valor Presente (VP) e o Valor Futuro (VF) sob uma taxa de juros (i) e um nmero de perodo (n), no regime de capitalizao composto (juros compostos), dada por:

niVPVF )1( (09)

Algumas adaptaes na Frmula (09) permitem abordarmos taxa de juros, seja a converso entre duas taxas equivalentes ou a transformao de uma taxa nominal em uma taxa efetiva.

Diferentes operaes financeiras utilizam-se de diversos tipos de taxas. Existem taxas para descontos de duplicatas, taxas para cartes de crditos, taxas para financiamentos de curto prazo, taxas para financiamentos de longo prazo, taxas mnimas de retorno exigidas para diferentes tipos de investimentos, entre outras.

Tendo em vista que toda a Matemtica Financeira tem, por base, como insumo, a taxa de juro, sua especificao rigorosa fundamental para que se obtenham os resultados corretos. Contudo, qualquer que seja o tipo de operao financeira, a taxa de juro poder ser especificada em uma das seguintes formas: taxa nominal ou taxa efetiva.

3.1. Taxa Nominal____________________________________________________________________

No regime de juros compostos, uma taxa de juros chamada nominal quando o perodo a que a taxa se refere no coincidir com o perodo de capitalizao (perodos em que so feitos os clculos financeiros para a atualizao do capital). Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalizao mensal uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao perodo de um ano, mas a capitalizao dos juros realizada mensalmente.

A taxa de juros nominal a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilizao, pode conduzir a iluses sobre o verdadeiro custo financeiro da transao, pois os clculos no so feitos com taxa nominal.

Ao se depararmos com uma taxa nominal, para efeito de clculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da frmula (10):

nominal taxana contidos ocapitaliza de perodos de Nmeronominal Taxa=efetiva Taxa (10)

Desta forma, encontra-se a taxa efetiva de 1 (um) perodo, levando-a em n-perodos tem-se a taxa efetiva do perodo.

Alguns exemplos, a seguir, mostram a converso de taxa nominal para taxa efetiva.


1) Qual a taxa efetiva associada taxa de 24% ao ano com capitalizao mensal? Soluo: Converso da taxa nominal anual para a taxa efetiva mensal = %212/%24 * ao ms. * Em um ano esto contidos 12 meses.

2) Qual a taxa efetiva associada taxa de 18% ao ano com capitalizao trimestral? Soluo: Converso da taxa nominal anual para a taxa efetiva trimestral = %5,44/%18 * ao trimestre.* Em um ano esto contidos 4 trimestres.

3) Qual a taxa efetiva associada taxa de 12% ao semestre com capitalizao trimestral? Soluo: Converso da taxa nominal semestral para a taxa efetiva trimestral = %62/%12 * ao trimestre. * Em um semestre esto contidos 2 trimestres.


3.2. Taxa Efetiva_____________________________________________________________________

Uma taxa de juro denominada efetiva se o perodo a que ela estiver referenciada for coincidente com o perodo de capitalizao. Por exemplo, uma taxa de 3% ao ms com capitalizao mensal uma taxa efetiva. comum no caso de taxas efetivas, no se especificar o perodo de capitalizao, ou seja, a taxa anterior poderia simplesmente ser especificada como uma taxa efetiva de 3% ao ms.

A taxa efetiva a taxa que deve ser utilizada nos clculos das operaes financeiras. importante notar que essa taxa apresenta, de forma bem objetiva, o verdadeiro custo da operao financeira realizada. Os exemplos a seguir ajudam a ilustrar como aplicar esse conceito.


1) Qual o valor futuro de um capital de R$ 100,00 aplicado por um ano taxa de 24% ao ano com capitalizao mensal?

Soluo: Como mostrado anteriormente, 24% ao ano com capitalizao mensal corresponde a uma taxa efetiva de 2% ao ms. msao %212%24 82,126%)21(100 12VF R$ 126,82. Concluso: Uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalizao mensal, na verdade, representa um custo efetivo do capital (taxa de juros efetiva) de 26,82% ao ano.

2) Qual o valor futuro de um capital de R$ 100,00 aplicado por um ano taxa de 12% ao ano com capitalizao anual (ou, simplesmente, 12% ao ano)?

Soluo: 00,112%)121(100 1 VF reais.

3) Qual a taxa efetiva associada a taxa nominal de 96% ao ano com capitalizao mensal? Soluo: msao %812%96 82,251%)81(100 12VF 82,15110082,251 J ,

ou seja, i 151,82%.

4) Qual a taxa efetiva associada a taxa de 12% ao semestre com capitalizao trimestral? Soluo: %62%12 ao trimestre 36,112%)61(100 2VF 36,1210036,112 J ,

ou seja, i 12,36%

Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juros (Adaptado de: SHINODA, Carlos. Matemtica Financeira. 2 ed. So Paulo: Atlas, 1998. p. 59-60.)

Entendemos por taxa efetiva (ou real, paga) de juros a taxa verdadeira que onera o tomador ou remunera o financiador. J a taxa nominal de juros a taxa aparente, que pactuada entre as partes, constando at mesmo em contratos, podendo ser denominada de taxa contratual. Para que a taxa nominal e a taxa efetiva sejam a mesma, no pode haver nenhuma outra condio ou cobrana de despesa adicional aos juros da operao. Em geral, tem-se a relao matemtica entre a taxa de juros nominal e a taxa de juros efetiva, destacada na equao (10):

nominalTaxafetivaTaxa e (10)

A tributao do Imposto sobre Operaes Financeiras (IOF), por exemplo, que cobrada antecipadamente nas operaes de financiamento bancrio, reduz o valor liberado, elevando a taxa efetiva para o tomador. A exigncia de reciprocidade pela manuteno de um saldo mdio tambm gera um encarecimento da operao para o tomador, pois reduz o valor disponvel, fazendo com que o tomador capte recursos acima do nvel de necessidade.

Analisemos a seguir uma forma de elevao da taxa efetiva de juros, que tem sido praticada nas operaes de financiamentos bancrios: Taxa de Abertura de Crdito (TAC): A cobrana de uma taxa de abertura de crdito se faz no ato da liberao de um financiamento, como uma porcentagem do capital ou um valor fixo. Tal cobrana eleva a taxa efetiva da operao devido a reduo do valor liberado e a manuteno do valor do montante. Vale ressaltar que o IOF e a TAC incidem sobre as operaes de crdito para pessoas fsicas e jurdicas.


Converso de uma taxa nominal em efetiva

1) Qual a taxa efetiva anual equivalente a 15% ao ano capitalizados trimestralmente?

Soluo: Analiticamente, temos:

11 nominalefetiva

m

mii (11)

Em que m o nmero de perodos em que haver a capitalizao.

Para o nosso exemplo ilustrativo, temos que m = 4, pois em 1 ano h 4 trimestres. Assim, vamos a:

%87,1514%15111

4nominal

efetiva

m

mii

Obs.: Todos os clculos de capitalizao e descapitalizao devem ser feitos com a taxa efetiva.

3.3. Taxas equivalentes

Duas taxas de juros (i) so denominadas equivalentes se, ao serem aplicadas sobre um mesmo capital (VP), durante um mesmo perodo (n), produzirem o mesmo montante ou valor futuro (VF). Matematicamente, temos:

%87,1514%15111

4

conhecidaprocurada

conhecidaprocurada

nn

ii

Em que n o nmero de perodos (prazo).


1) Qual a taxa anual equivalente taxa de 3% ao ms com capitalizao mensal?

Soluo: 58,142%)31(100 12VF 58,4210058,142 J , ou seja, i 42,58%.

2) Qual a taxa mensal equivalente taxa de 16,50% ao ano com capitalizao anual?

Soluo: 28,101%)50,161(100 121

VF 28,110028,101 J , ou seja, i 1,28%.

Concluso: Para um investidor racional deveria ser absolutamente indiferente entre fazer uma aplicao a 16,50% ao ano, por um perodo de 1 ano, ou fazer uma aplicao a 1,28% ao ms por um perodo de 12 meses, dado que ambas as aplicaes produzem o mesmo valor futuro (valor de resgate).

3) Qual a taxa anual equivalente taxa de 72% ao ano com capitalizao mensal?

Soluo: msao %612%72 22,201%)61(100 12VF 22,10110022,201J%22,101i .

Problema 1: Transformar uma taxa mensal em uma taxa anual equivalente. Por exemplo: 1% ao ms equivalente a que percentual ao ano?

Soluo: Analiticamente e numericamente, temos:

%68,121%1111 112

conhecidaprocurada conhecidaprocurada

nn

ii (12)

Outra forma de resoluo: Taxa mensal em Taxa anual: im = 1% a.m => VP = 1; VF = (1 + 1%)12 => ia = VF VP => ia = (1 + 1%)12 1 = 12,68%.


Exemplo em uma planilha eletrnica de clculo, como o MS-Excel:

Problema 2: Transformar uma taxa anual em uma taxa mensal equivalente. Por exemplo: 12% ao ano equivalente a que percentual ao ms?

%95,01%12111 121

conhecidaprocurada conhecidaprocurada

nn

ii

Exemplo em uma planilha eletrnica de clculo, como o MS-Excel:

Outra forma de resoluo: Taxa anual em Taxa mensal: ia = 12% a.a => VP = 1; VF = 1,12 => im = (1,12)^1/12 1 = 0,95% a.m.

A Figura 1 mostra uma tela de um aplicativo escrito na planilha eletrnica de clculos MS-Excel que permite a converso entre duas taxas equivalentes. Por meio desse, taxas efetivas anuais, semestrais, trimestrais, bimestrais, mensais e dirias podem ser convertidas entre si, sendo essas as opes oferecidas aos usurios.

A Figura 2 ilustra a tela do aplicativo, tambm escrito no MS-Excel, o qual permite transformar uma taxa nominal em uma taxa efetiva.

Para implementar computacionalmente mais fcil substituir m por qp / , conforme ilustra a

equao (13), j apresentando um exemplo ilustrativo. Em que q um divisor de p . A funo programada permite os seguintes valores para o p: 360 (anual), 180 (semestral), 90 (trimestral), 60 (bimestral), 30 (mensal) e 1 (diria). J o q admite os valores: 180 (semestral), 90 (trimestral), 60 (bimestral), 30 (mensal) e 1 (diria).


%68,12112

%1211

30360

%1211112

30360

nominalefetiva

qp

qp

ii (13)

3.4. Taxas Proporcionais

Duas taxas de juros so denominadas proporcionais quando se indiferente quanto se efetuar os clculos financeiros em um perodo qualquer, usando-se uma taxa r , ou em um subperodo k vezes menor que o anterior, usando-se uma taxa kr / , e repetindo-se a aplicao por k subperodos. Assim, a taxa proporcional muito comum quando se est trabalhando sob o regime de juros simples. Para exemplificar, no regime de juros simples, um capital (VP) aplicado por 1 ano a uma taxa de 24% ao ano ( r ) produziria o mesmo resultado quando esse mesmo capital (VP) fosse aplicado a uma taxa de 2% ao ms ( ki ) por 12 ( k ) meses (subperodos), isto :

msaokrik %212

%24

em que ki e r so taxas proporcionais.

Exemplo ilustrativo

1) Compare o valor de resgate de uma aplicao de R$ 100,00, aps 3 (trs) anos, a uma taxa de 24% ao ano em regime de juros simples com uma aplicao de R$ 100,00 a uma taxa de juros de 2% ao ms aps 36 meses (juros simples).

Soluo: Clculo com 24% ao ano

172%)2431()1( VFniVF Clculo com 2% ao ms

172%)2361()1( VFniVF Concluso: Como as duas aplicaes, no regime de juros simples, produzem o mesmo montante aps trs anos (ou 36 meses) de imobilizao monetria, pode-se afirmar que as duas taxas (24% ao ano e 2% ao ms) so proporcionais.

Algumas taxas especiais utilizadas no Brasil e que interferem em decises sobre pessoas fsicas e jurdicas so detalhadas na sequncia.

Taxa Referencial (TR): A TR foi criada no Plano Collor II, destinada a ser uma taxa bsica referencial dos juros a serem praticados no ms iniciado e no como um ndice que refletisse a inflao do ms anterior. Ela deveria funcionar como uma Libor ou Prime Rate. utilizada como taxa mdia de remunerao dos CDBs mensais e prefixados, praticada entre 30 bancos selecionados. Como a TR serve tambm para financiar imveis, esta mdia ajustada por um redutor de forma a adequ-la ao custo do Sistema Financeiro da Habitao (SFH).

Taxa do Sistema Especial de Liquidao e Custdia do Banco Central (SELIC): a taxa que reflete o custo do dinheiro para emprstimos bancrios, com base na remunerao dos ttulos pblicos. Tambm conhecida como taxa mdia do over que regula diariamente as operaes interbancrias.

Caderneta de poupana

A caderneta de poupana foi criada em outubro de 1968. Os juros produzidos pela caderneta de poupana so juros compostos, pois, aps cada ms, os juros so incorporados ao capital. A caderneta uma das aplicaes financeiras mais tradicionais no Brasil. Utilizada, em geral, por pequenos e mdios investidores, ela considerada uma aplicao segura por ter garantia do governo federal. Alm disso, no tem incidncia de alguns encargos tributrios, como o Imposto de Renda (IR) e o Imposto sobre Operao Financeira (IOF). Essas peculiaridades, torna a poupana mais atrativa e popular,


principalmente entre as pessoas que no gostam de correr risco (averso ao risco). Vale salientar que parte dos recursos gerados com a captao de dinheiro da caderneta de poupana serve para financiar a construo da cada prpria, evidenciando assim a importncia da mesma.

Em geral, a poupana uma aplicao com baixo rendimento se comparado a outras opes disponveis no mercado de investimentos, como o caso das aplicaes nos fundos de renda fixa, fundos de aes, ttulos do tesouro, imveis e outros. Entretanto, essas afirmaes dependem do momento econmico em que o pas est inserido.

O rendimento da poupana j sofreu diversas alteraes ao longo do tempo. Atualmente utilizado uma metodologia mais ou menos varivel, na qual a frmula para clculo do rendimento da poupana pode ser diferente dependendo do resultado taxa Selic. Veja abaixo como funciona a regra para clculo do rendimento da poupana pela atual legislao. A atual taxa de remunerao da caderneta de poupana definida da seguinte forma:

Regra para remunerao dos depsitos de poupana: De acordo com a legislao atual, a remunerao dos depsitos de poupana composta de duas parcelas: (i) a remunerao bsica, dada pela Taxa Referencial (TR), e; (ii) a remunerao adicional, correspondente a: (a) 0,5% ao ms, enquanto a meta da taxa Selic ao ano for superior a 8,5%; ou (b) 70% da meta da taxa Selic ao ano, mensalizada, vigente na data de incio do perodo de rendimento, enquanto a meta da taxa Selic ao ano for igual ou inferior a 8,5%. Em suma, se o valor da taxa bsica de juros (SELIC) for menor ou igual a 8,5% ao ano, a remunerao da caderneta de poupana corresponde a 70% da SELIC mais a Taxa Referencial (TR). Por outro lado, para taxas de juros (SELIC) superiores a 8,50% ao ano, o rendimento da poupana fixo em 0,5% ao ms mais taxa de referncia (TR). Matematicamente, podemos escrever:

anoaoSELICsemsaoTRanoaoSELICsemsaoeequivalentSELICTR

Poupana%5,8,%5,0

%5,8,%70

Data Base: Outra caracterstica importante para ser considerada que o rendimento da caderneta de poupana ocorre de acordo com a data base, isto , se a data base for dia 04/09/2013 e o investidor fizer o saque da poupana no dia 03/10/2013, ento no haver nenhum rendimento pois no foi completado o perodo de 30 dias a partir da data base. Recomendamos consultar a ntegra da frmula no site do Banco Central: http://www4.bcb.gov.br/pec/poupanca/poupanca.asp.

Taxa de Juros de Longo Prazo (TJLP): Definida em novembro de 1994 pelo Conselho Monetrio Nacional (CMN), sua finalidade de estimular os investimentos nos setores de infraestrutura e consumo e, ao mesmo tempo, ajudar a inverter a curva de rendimento que at 1994 sempre privilegiou os investimentos de curto prazo com juros maiores. Seu clculo feito a partir da mdia ponderada de ttulos da dvida externa federal com peso de 75% no mximo, e ttulos da dvida pblica mobiliria interna federal, com peso de 25% no mximo.

Taxa Bsica do Banco Central (TBC): A TBF foi criada para mudar a forma de controle dos juros no mercado aberto adotando a estratgia de apenas sinalizar o patamar mnimo de juros, deixando que os bancos ajustem entre si as taxas do dia em funo da liquidez do mercado. Serve de parmetro para as intervenes dirias das Autoridades Monetrias (AM) no mercado, alm de corrigir todos os emprstimos de redesconto concedidos s instituies financeiras dentro do valor-base e desde que com garantias em ttulos pblicos federais livres, e, desta forma, ajuda a balizar o custo do financiamento dirio das carteiras de ttulos pblicos. Seu valor mensal e determinado pelo Comit de Poltica Monetria (COPOM) ao final do ms anterior ao de sua vigncia.


Captulo 4 SRIES DE PAGAMENTOS

4.1 Sries de pagamentos uniforme

Denominando:

VP : Valor Presente;

VF : Valor Futuro;

FC : Fluxo de Caixa, considerado constante, isto , uma srie uniforme de pagamento. FC representa o valor de cada pagamento (ou prestao ou parcela);

i : taxa de juros (efetiva ou real) por perodo (ou unidade de tempo);

n : nmero de perodos (ou pagamentos ou prestaes ou parcelas);

Objetivo 1: Determinar o Valor Presente (VP) de uma srie de pagamentos uniforme (FC), conhecendo a taxa de juros por perodo (i) e o nmero de perodos (n). Para tanto, utilizamos o diagrama exposto na Figura 1:

Problema: Dados i , n e FC , determinar VP , considerando uma srie de pagamento uniforme.

Representando no diagrama do fluxo de caixa, temos:

Soluo:

Do regime de capitalizao composto, sabemos que: nn

i)(1VFi)(1VP

VPVF .

Assim, podemos interpretar que cada valor FCFC j (pois todos so iguais) representa um valor futuro com posicionamentos diferentes. Neste contexto, podemos escrever:

n1nj32 )i1(FC

)i1(FC...

)i1(FC...

)i1(FC

)i1(FC

)i1(FCVP

(11)

Multiplicando a equao (11) por )i1( , temos:

1n2n2 )i1(FC

)i1(FC...

)i1(FC

)i1(FCFC)i1(VP

(12)

Subtraindo, termo a termo a equao (12) da equao (11), vamos a:


n

n

n

n

n )i1(]1)i1[(FCiVP

)i1(FC)i1(FCiVP

)i1(FCFCVP)i1(VP

n

n

)i1(i]1)i1[(FCVP

(13)

Desdobramentos/variaes:

)RaphsonNewtonmtodo(:numricoocessoPri

i1logiVPFC

FClogn

]1)i1[()i1(iVPFC

)i1(i]1)i1[(FCVP

n

n

n

n

Figura 2 Desdobramentos/variaes da relao matemtica entre VP e FC

Exemplos ilustrativos:

1) Considerando: VP = R$ 614,46; FC = R$ 100,00; n = 10 perodos e i = 10% ao perodo. Em diagrama e implementando em um planilha eletrnica de clculos, temos:

2) VP = ? se i = 10% ao perodo; FC1 = R$ 100,00; FC2 = R$ 100,00; FC3 = R$ 100,00; FC4 = R$ 100,00;

FC5 = R$ 100,00; FC6 = R$ 100,00; FC7 = R$ 100,00; FC8 = R$ 100,00; FC9 = R$ 100,00; FC10 = R$ 100,00. Neste caso, podemos descapitalizar cada FCj e depois calcular a soma. Entretanto, este trabalho facilitado com a utilizao de uma planilha eletrnica de clculos, como o MS-Excel.


Notas importantes:

Se a taxa de juros nula, isto : i = 0%, ento VP = n. FC. Entretanto, na prtica a taxa de juros diferente do valor nulo, justificando a utilizao da frmula deduzida anteriormente.

Podemos reescrever a equao (11) como:

n

1jji)1(

FCVP (14)

Podemos reescrever a equao (12) como:

1n

0jj)i1(

FC)i1(VP (15)

A complexidade das relaes entre FC e VP ou entre FC e VF reside na determinao da taxa de juros por perodo (i). Assim, no possvel escrever na forma explcita: i = f(VP,FC,n) e i = f(VF,FC,n), isto , no existe soluo algbrica para determinar a taxa de juros por perodo. Nesse caso, temos que trabalhar com a funo implcita e utilizar um processo numrico para determinar uma soluo aproximada para essa taxa. Portanto, precisamos recorrer mtodos de Clculo Numrico, como o mtodo de Newton-Raphson.

A frmula (13) importante para a Engenharia Econmica (EE), pois permite distribuir o Valor Presente Lquido (VPL) em uma srie de pagamentos uniforme, gerando o Valor Presente Lquido Anualizado (VPLA), tambm conhecido como Valor Anual Uniforme (VAU). Desta forma, substituindo VP por VPL e FC por VPLA e isolando o VPLA, vamos a:

1i)1()1(

nniiVPLVPLA (16)

Em que i = TMA (Taxa Mnima de Atratividade), melhor alternativa de investimento desde que apresente baixo risco para a empresa proponente do projeto.


Objetivo 2: Determinar o Valor Futuro (VF) de uma srie de pagamentos uniforme (FC), conhecendo a taxa de juros por perodo (i) e o nmero de perodos (n). Representando no diagrama do fluxo de caixa, temos:

Problema: Dados i , n e FC , determinar VF .

Soluo:

Sabemos da equao (01), que:

nn

i)(1VFi)(1VP

VPVF (17)

Por outro, provamos na equao (13), que:

n

n

iiiFCVP)1(

]1)1[(

(18)

Igualando as equaes (17) e (18), vamos a:

n

nn

n

n

n iiiFCiVF

iiiFC

iVF

)1(]1)1[()1(

)1(]1)1[(

)1(

=>

i]1)i1[(FCVF

n (19)

Desdobramentos/variaes:

)RaphsonNewtonmtodo(:numricoocessoPri

i1logFCVFi1log

n

]1)i1[(iVFFC

i]1)i1[(FCVF

n

n

Figura 3 Desdobramentos/variaes da relao matemtica entre FC e VF

Nota/aplicao: Gerao de um fundo de reserva para a substituio de equipamentos. Aplicar o valor da depreciao contbil para isto?



1) Considerando: FC = R$ 100,00; VF = R$ 1.593,74; n = 10 perodos e i = 10% ao perodo. Em diagrama e em uma planilha eletrnica de clculos, temos:

2) VF = ? se i = 10% ao perodo; FC1 = R$ 100,00; FC2 = R$ 100,00; FC3 = R$ 100,00; FC4 = R$ 100,00;

FC5 = R$ 100,00; FC6 = R$ 100,00; FC7 = R$ 100,00; FC8 = R$ 100,00; FC9 = R$ 100,00; FC10 = R$ 100,00. Neste caso, podemos que descapitalizar cada FCj e depois realizarmos a soma. Por fim, podemos transferir este valor para o futuro. Entretanto, este trabalho facilitado com a utilizao de uma planilha eletrnica de clculo, como o MS-Excel.


4.2 Sries de pagamentos no-uniforme

Denominando:


VF : Valor Futuro;

jFC : Fluxo de Caixa esperado para o perodo j.;


n : nmero de perodos (ou pagamentos ou prestaes ou parcelas);

Objetivo: Determinar o Valor Presente (VP) de uma srie de pagamentos no-uniforme (FCj, j = 1, 2, ..., j, ..., n-1, n), conhecendo a taxa de juros por perodo (i) e o nmero de perodos (n). Para tanto, utilizamos o diagrama abaixo:

Assim, cada FCj (j = 1 at n) pode ser interpretado como um VF. Nesse caso, fazemos:

nn

1n1n

jj

33

22

11

i)1(FC

i)1(FC...

i)1(FC

...i)1(

FCi)1(

FCi)1(

FCVP

(20)

Reescrevendo essa equao, utilizando a notao de somatrio, temos:

n

1jj

j

i)1(FC

VP (21)

Nota: Para a srie de pagamento uniforme, temos: FC1 = FC2 = ... = FCn = FC. Assim, podemos escrever:

n

1jji)1(

1FCVP ou nn

)i1(i]1)i1[(FCVP

(22)

Na Anlise Econmica de Projetos (AEP) mais comum encontrarmos uma srie de pagamentos no-uniforme. Assim, para calcular o VPL precisamos requer a equao (21). Por outro lado, conhecendo o VPL e querendo determinar o VPLA preciso utilizar a equao (22).


1) VP = ? se i = 10% ao perodo; FC1 = R$ 100,00; FC2 = R$ 200,00; FC3 = R$ 300,00; FC4 = R$ 400,00; FC5 = R$ 500,00; FC6 = R$ 600,00; FC7 = R$ 700,00; FC8 = R$ 800,00; FC9 = R$ 900,00; FC10 = R$ 1.000,00. Neste caso, podemos descapitalizar cada FCj e efetuar a soma. Entretanto, este trabalho facilitado com a utilizao de uma planilha eletrnica de clculos, como o MS-Excel.


2) Dado VP e o valor de cada FCj e a quantidade deste representando o n, como determinar o i? No

MS-Excel, devemos utilizar a funo TIR, como ilustra a Figura abaixo. Na HP-12C, temos que utilizar a funo IRR (Internal Rate Return, em ingls).


4.3 Sries Perptuas

Quando em uma srie uniforme, de pagamentos ou de receitas, o nmero de perodos muito grande, pode ser conveniente consider-la como infinita (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011). Essa srie denominada srie perptua, sendo tambm chamadas infinita ou custo capitalizado. Tal o caso dos fundos de aposentadorias, mensalidades de clubes, associaes, TV a Cabo e obras pblicas (PAMPLONA e MONTEVECHI, 1999; MONTANHINI, 2008; CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011).

Denominando:


FC : Fluxo de Caixa esperado para cada perodo e considerado constante;


n : nmero de perodos (ou pagamentos ou prestaes ou parcelas), considerado infinito;

Objetivo: Determinar o valor presente (VP) de uma srie uniforme e infinita, conhecendo a taxa de juros por perodo (i). Para tanto, utilizamos o seguinte diagrama:

A Frmula (22), deduzida anteriormente e reapresentada a seguir estabelece a relao entre as variveis definidas acima.

nn

)i1(i]1)i1[(FCVP

(22)

Aplicando o limite para n , temos:

nn

nn iiiFCVP)1(

]1)1[(limlim

(23)

nn

n

nn

n

n iiiiiFC

iiiFCVP

)1(1

)1()1(lim

)1(]1)1[(lim (24)

01

)1(11lim

iFC

iiiFCVP nn (25)

iFCVP (26)

e

iVPFC (27)

A frmula (27) bastante compreensvel, pois mostra que uma srie perptua corresponde aos juros da quantia devida. Uma pessoa que apenas paga os juros de uma dvida e no amortiza nada, nunca terminar de pagar a dvida (CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, 2011).



Equivalncia entre um Valor Presente (VP) e uma srie uniforme perptua, na qual o nmero de termos tende a infinito:

1) VP = ? se i = 10% ao perodo; FC = R$ 100,00. Neste caso, utilizamos diretamente a Frmula (26) deduzida anteriormente. Entretanto, este trabalho facilitado com a utilizao de uma planilha eletrnica de clculos, como o MS-Excel. Veja resoluo nas figuras abaixo.

2) Suponha que um investimento de R$ 100.000,00 gere retornos anuais de R$ 25.000,00. Para uma taxa mnima de 20% ao ano, qual o Valor Presente Lquido (VPL) para uma vida: (a) de 10 anos; (b) de 50 anos; (c) de 60 anos; (d) de 70 anos; e (e) infinita.

Soluo:

VPVPL toInvestimen (28)

Assim, temos para o item (a):

80,811.4$%)201(%20

]1%)201[(25000100000 1010

RVPL

Via planilha eletrnica, temos para todos os casos solicitados:

ATIVIDADES PRTICAS SUPERVISIONADAS PELO PROFESSOR/TUTOR/MONITOR (APS)

3) Quanto devemos depositar em um fundo com a finalidade de receber para sempre a importncia anual de R$ 12.000,00 considerando uma taxa anual de juros igual a 10%?

4) Qual a menor quantia que um grupo empresarial deve cobrar hoje, para oferecer uma renda anual de R$ 6.000,00?


Captulo 5 SISTEMAS DE AMORTIZAO

Introduo

O valor de um financiamento ou um emprstimo denominado pela literatura como principal. Ao valor principal dever ser acrescentado o reembolso do capital, isto , o pagamento dos juros que incidiro sobre o saldo devedor. Assim, cada prestao corresponder soma da parcela de amortizao da dvida com os juros decorrentes do perodo. Nesse contexto, a amortizao de uma dvida pode ser definida como um processo de sua extino por meio de pagamentos peridicos para a instituio financeira concessora. As formas de devoluo do principal agregadas com os juros denominam-se Sistemas de Amortizao (CASAROTTO e KOPITTKE, 2011).

De acordo com Casarotto e Kopittke (2011) os motivadores do estudo da amortizao de dvidas reportam a determinar o estado atual da dvida e calcular o que j foi amortizado at o momento atual. A amortizao corresponde parcela da prestao que descontada do principal (valor emprestado ou financiado). Segundo Pamplona e Montevechi (1999) para que um sistema de amortizao seja adequado o valor presente das prestaes, descontado taxa de juros do financiamento, deve ser igual ao principal (valor financiado).

Os principais sistemas de amortizao vigentes no Brasil so: (i) Sistema de Amortizao Constante (SAC), utilizado principalmente para financiamentos de longo prazo. Nesse sistema, o valor da amortizao obtido pela razo entre o valor financiado (principal) e o nmero de prestaes (N); (ii) Sistema Francs de Amortizao ou Sistema Price ou Sistema de Prestao Constante. Nesse sistema, as prestaes so constantes e correspondem a uma srie de pagamentos uniforme (exposto no captulo 4, seo 4.1); (iii) Sistema de Amortizao Americano. Nesse sistema, pagam-se somente os juros e o valor financiado devolvido no ltimo perodo; (iv) Sistema de Amortizao Misto (SAM). Os pagamentos so as mdias dos sistemas SAC e Price; e (v) Sistema de pagamento nico. Esse sistema utilizado principalmente para financiamentos industriais de capital de giro, sendo que os juros e o principal so devolvidos ao trmino do contrato (CASAROTTO e KOPITTKE, 2011). Ressalta-se que em todos os sistemas de amortizao, cada pagamento a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor.

Vejamos nas Tabelas 4, 5 e 6 o comportamento de cada sistema amortizao. Observamos que esta sistemtica pode facilmente ser implementada em uma planilha eletrnica de clculo (MS-Excel, por exemplo). Para tanto, consideramos os seguintes dados:

SD = Saldo Devedor; J = Juros; AMT = Amortizao; P = Prestao; n = nmero de perodos e i = taxa de juros por perodo

Sistema de Amortizao Constante (SAC)

Perodo (p) Amortizao (AMT) Juros (J) Prestao (P) Saldo Devedor (SD) Observao: 0 =SD0 ---- 1 =SD0/n =SD0i =AMT1 + J1 =SD0 AMT1 AMT1 = SD0/n e J1 = SD0i 2 =SD0/n =SD1i =AMT2 + J2 =SD1 AMT2 3 =SD0/n =SD2i =AMT3 + J3 =SD2 AMT3 ... ... ... ... ... j =SD0/n =SDj-1i =AMTj + Jj =SDj-1 AMTj

... ... ... ... ... n-1 =SD0/n =SDn-2i =AMTn-1 + Jn-1 =SDn-2 AMTn-1 N =SD0/n =SDn-1i =AMTn + Jn =SDn-1 AMTn = 0

Tabela 4 Modelagem Matemtica para o SAC


Sistema Price (Tabela Price)

Perodo (p) Prestao (P) Juros (J) Amortizao (AMT) Saldo Devedor (SD) Observao: 0 =SD0 1 =SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SD0i =P J1 =SD0 AMT1 P = SD0i (1+i)n/((1+i)n-1) 2 =SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SD1i =P J2 =SD1 AMT2 3 =SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SD2i =P J3 =SD2 AMT3 ... ... ... ... ... j =SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SDj-1i =P Jj =SDj-1 AMTj

... ... ... ... ... n-1 =SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SDn-2i =P Jn-1 =SDn-2 AMTn-1 n =SD0i(1+i)n/((1+i)n-1) =SDn-1i =P Jn =SDn-1 AMTn = 0

Tabela 5 Modelagem Matemtica para o PRICE

Sistema de Amortizao Americana (SAA)

Perodo (p) Juros (J) Prestao (P) Amortizao (AMT) Saldo Devedor (SD) Observao: 0 =SD0 1 =SD0i =J1 =0 =SD0 2 =SD0i =J1 =0 =SD0 3 =SD0i =J1 =0 =SD0 ... ... ... ... ... j =SD0i =J1 =0 =SD0

... ... ... ... ... n-1 =SD0i =J1 =0 =SD0 n =SD0i =J1 + SDo =SD0 =SD0 SD0 = 0

Tabela 6 Modelagem Matemtica para o SAA

A Figura 1 mostra uma tela de um aplicativo escrito na planilha eletrnica de clculos MS-Excel que permite a construo do quadro de amortizao de financiamentos para os trs sistemas abordados anteriormente. Por meio desse, escolhe-se um entre os Sistemas PRICE, SAC e SAA, sendo essas as opes oferecidas aos usurios.

Carncia

Na prtica diversos tipos de financiamentos apresentam um perodo de carncia, independente do sistema de amortizao que foi adotado. Dentro desse perodo pode haver o pagamento dos juros ou no. Se houver o pagamento dos juros o saldo devedor mantido constante at o inicio da primeira parcela de amortizao. Por outro lado, se no h pagamento dos juros, ento o saldo devedor dever ser atualizado pela taxa efetiva discriminada no contrato de financiamento.

Considere para efeito de ilustrao, um financiamento no qual concedido j perodos de carncia para um horizonte de planejamento de N perodos. A tabela financeira do financiamento pelo SAC, com carncia e pagamento dos juros incorridos nesse perodo, pode ser desenvolvida como apresentado na Tabela 7, sem o pagamento dos juros, isto , atualizando o saldo devedor posto na


Tabela 8. Desenvolvimentos anlogos podem ser feitos para o sistema Price, sendo apresentados nas Tabelas 9 e 10.

Perodo (k) Amortizao (Ak) Juros (Jk) Prestao (Pk) Saldo Devedor (SDk) 0 0 0 0 SD

Carncia 1 0 = SDi = SDi = SD Carncia 2 0 = SDi = SDi = SD

... ... ... ... ... Carncia j 0 = SDi = SDi = SD

1 = SD/n = SDi = A1 + J1 = SD A1 2 = SD/n = SD1i = A2 + J2 = SD1 A2 ... ... ... ... ... r = SD/n = SDr-1i = Ar + Jr = SDr-1 Ar ... ... ... ... ...

n = N j = SD/n = SDn-1i = An + Jn = SDn-1 An = 0 Tabela 7 Modelagem Matemtica para o SAC com perodo de carncia e pagamento de juros

Perodo (k) Amortizao (Ak) Juros (Jk) Prestao (Pk) Saldo Devedor (SDk) 0 0 0 0 SD

Carncia 1 0 = SDi 0 = SD(1+i) Carncia 2 0 = SD(1+i)i 0 = SD(1+i)2

... ... ... ... ... Carncia j 0 = SD(1+i)j-1i 0 = SD(1+i)j

1 = SD(1+i)j/n = SD(1+i)ji = A1 + J1 SD1 = SD(1+i)j A1 2 = SD(1+i)j/n = SD1i = A2 + J2 = SD1 A2 ... ... ... ... ... r = SD(1+i)j/n = SDr-1i = Ar + Jr = SDr-1 Ar ... ... ... ... ...

n = N j = SD(1+i)j/n = SDn-1i = An + Jn = SDn-1 An = 0 Tabela 8 Modelagem Matemtica para o SAC com perodo de carncia e sem pagamento de juros

Perodo (k) Prestao (Pk) Juros (Jk) Amortizao (Ak) Saldo Devedor (SDk) 0 0 0 0 SD

Carncia 1 = SDi = SDi 0 = SD Carncia 2 = SDi = SDi 0 = SD

... ... ... ... ... Carncia j = SDi = SDi 0 = SD

1 = SDi(1+i)n/((1+i)n-1) = SDi = P1 J1 = SD A1 2 = SDi(1+i)n/((1+i)n-1) = SD1i = P2 J2 = SD1 A2 ... ... ... ... ... r = SDi(1+i)n/((1+i)n-1) = SDr-1i = Pr Jr = SDr-1 Ar ... ... ... ... ...

n = N j = SDi(1+i)n/((1+i)n-1) = SDn-1i = Pn Jn = SDn-1 An = 0 Tabela 9 Modelagem Matemtica para o PRICE com perodo de carncia e pagamento de juros Perodo (k) Prestao (Pk) Juros (Jk) Amortizao (Ak) Saldo Devedor (SDk)

0 0 0 0 SD Carncia 1 0 = SDi 0 = SD(1+i) Carncia 2 0 = SD(1+i)i 0 = SD(1+i)2

... ... ... ... ... Carncia j 0 = SD(1+i)j-1i 0 = SD(1+i)j

1 = SD(1+i)ji(1+i)n/((1+i)n-1) = SD(1+i)ji = P1 J1 SD1 = SD(1+i)j A1 2 = SD(1+i)ji(1+i)n/((1+i)n-1) = SD1i = P2 J 2 = SD1 A2 ... ... ... ... ... r = SD(1+i)ji(1+i)n/((1+i)n-1) = SDr-1i = Pr Jr = SDr-1 Ar ... ... ... ... ...

n = N j = SD(1+i)ji(1+i)n/((1+i)n-1) = SDn-1i = Pn Jn = SDn-1 An = 0 Tabela 10 Modelagem Matemtica para o PRICE com perodo de carncia e sem pagamento de juros


Programando as carncias em uma planilha eletrnica de clculos

Utilizou-se a carncia at o perodo j, com as seguintes configuraes: (i) carncia com pagamento dos juros, isto , at o perodo j o saldo devedor permanece constante. A partir do perodo j+1 constri-se o sistema de amortizao SAC e/ou PRICE, conforme solicitado; (ii) carncia sem pagamento dos juros. Nesse caso, o saldo devedor receber um acrscimo por perodo igual a quantidade de juros do perodo. Isto deve ocorrer at o perodo j, na sequncia constri-se o sistema SAC e/ou PRICE, conforme solicitado. Veja a Figura 2, ilustrando as opes oferecidas aos usurios. Neste aplicativo, a amortizao de dvidas no sistema francs (tabela PRICE) e no sistema de amortizao constante (SAC) podem ser facilmente calculadas, permitindo ainda que se especifique um perodo de carncia e se este ser com ou sem capitalizao.


Captulo 6 ATIVIDADES PRTICAS SUPERVISIONADAS (APS): Adaptadas de Souza e Clemente (2008)

NOTA: Sugere-se a construo do diagrama do fluxo de caixa para todos os problemas.

JUROS SIMPLES Eu acredito que s se aprendi fazendo.

1) Qual o valor de resgate, aps 12 perodos, de um capital de R$ 200,00, aplicado a uma taxa de 5% ao perodo, no regime de juros simples? Resposta: R$ 320,00

2) Um capital de R$ 40,00, aplicado sob o regime de juros simples, aps 20 meses, foi resgatado por R$ 120,00. Qual a taxa de juros implcita nessa transao? Resposta: 10% ao ms

3) Um capital, aplicado a 5% ao ms sob o regime de juros simples, aps 40 meses, foi resgatado por R$ 300,00. Qual o valor do capital aplicado? Resposta: R$ 100,00

4) Quantos meses de imobilizao monetria sero necessrios para que um capital de R$ 100,00 aplicado a 4% ao ms, sob o regime de juros simples, seja resgatado por R$ 200,00? Resposta: 25 meses

5) Qual o tempo necessrio, em meses, para um capital (PV) dobrar de valor se o mesmo for aplicado a uma taxa de 5% ao ms em regime de juros simples? Resposta: 20 meses

6) Quanto se deve depositar hoje, em uma instituio financeira que remunera o capital a 2,5% ao ms em regime de juros simples, para se poder retirar R$ 460,00 aps seis meses e R$ 650,00 aps 12 meses? Resposta: R$ 900,00 (R$ 400,00 por 6 meses e R$ 500,00 por 12 meses)

7) Qual o capital a 4% ao ms em regime de juros simples, para se poder retirar R$ 224,00 aps trs meses, R$ 620,00 aps seis meses e R$ 680,00 aps nove meses?

Resposta: R$ 1.200,00 (R$ 200,00 por trs meses, R$ 500,00 por seis meses e R$ 500,00 por nove meses)

JUROS COMPOSTOS

8) Qual o valor de resgate, aps 12 perodos, de um capital de R$ 200,00, aplicado a uma taxa de 5% ao perodo, no regime de juros compostos? Resposta: R$ 359,17

9) Um capital de R$ 40,00, aplicado sob o regime de juros compostos, aps 20 meses, foi resgatado por R$ 120,00. Qual a taxa de juros implcita nessa transao? Resposta: 5,65% ao ms

10) Um capital, aplicado a 5% ao ms sob o regime de juros compostos, aps 40 meses, foi resgatado por R$ 300,00. Qual o valor do capital aplicado? Resposta: R$ 42,61

11) Quantos meses de imobilizao monetria sero necessrios para que um capital de R$ 100,00 aplicado a 4% ao ms, sob o regime de juros compostos, seja resgatado por R$ 200,00? Resposta: 18 meses

12) Qual o tempo necessrio, em meses, para um capital (VP) dobrar de valor se o mesmo for aplicado a uma taxa de 3,52% ao ms em regime de juros compostos? Resposta: 21 meses


13) Quanto se deve depositar hoje, em uma instituio financeira que remunera o capital a 2,5% ao ms em regime de juros composto, para se poder retirar R$ 460,00 aps seis meses e R$ 650,00 aps 12 meses? Resposta: R$ 879,97

14) Quanto se deve depositar hoje, em uma instituio financeira que remunera o capital a 4% ao ms em regime de juros composto, para se poder retirar R$ 224,00 aps trs meses, R$ 620,00 aps seis meses e R$ 680,00 aps nove meses? Resposta: R$ 1.166,89

15) Sonhe um pouco: Suponha que voc faz uma aplicao de R$ 100,00 em uma instituio financeira que promete duplicar o seu capital a cada ms. Nestas condies, quando voc ter R$ 1.000.000,00? Resposta: 14 meses

TAXAS DE JUROS

16) Sabendo que o dlar em 14/12/2.001 estava cotado em R$ 2,38 e, em 14/12/2.002 a sua cotao era de R$ 3,68. Pergunta-se:

a) Qual a taxa de variao no perodo? Resposta: 54,62%

b) Qual a taxa de variao mdia mensal? Resposta: 3,70% ao ms

17) Se contratarmos um emprstimo a 18% a.a. com capitalizao mensal, qual ser:

a) A taxa mensal de juros? Resposta: 1,5%

b) A taxa efetiva anual de juros? Resposta: 19,56%

18) A caderneta de poupana rende juros a 0,6% a.m. Qual o rendimento anual dessa aplicao? Resposta: 7,44%

19) Uma dvida corrigida diariamente a 0,1%. Qual ser o acrscimo desta dvida em seis meses? Resposta: 19,71%

20) Nos ltimos doze meses, o IPC (ndice de Preos ao Consumidor) acumulado foi de 7,4%. Qual foi o IPC mdio mensal? Resposta: 0,60%

SRIE UNIFORME

21) Suponha que um determinado objeto tem como preo de etiqueta R$ 100,00 com as seguintes opes para o comprador:

1. R$ 50,00 de entrada + R$ 50,00 (em 30 dias)

2. R$ 70,00 vista

Pergunta-se: Qual a taxa de juro mensal cobrada nessa transao comercial (compra)? Resposta: %150i ao ms

22) Vernica deseja fazer depsitos ao fim de cada ms, de modo a obter um montante equivalente a R$ 5.000,00, para trocar seus mveis, daqui a 24 meses. Sabendo-se que ela vai depositar na caderneta de poupana que tem remunerao mdia esperada de 1% ao ms, pergunta-se quanto ela dever depositar mensalmente sem entrada para obter o valor desejado? Resposta: R$ 185,37

23) Uma pessoa pretende formar um fundo de R$ 1.729,34 por meio de depsitos iguais e sucessivos de R$ 100,00 em uma instituio financeira que remunera o capital a 2% ao ms. Se o primeiro depsito for feito daqui a um ms, quantos depsitos sero necessrios para construir esse fundo?

Resposta: 15 depsitos


24) Qual o valor futuro de uma srie de 14 pagamentos iguais e mensais de R$ 50,00 aplicado a taxa de 7% ao ms?

Resposta: R$ 1.127,52

25) Uma loja vende um televisor 29 por R$ 1.000,00 vista ou em 15 pagamentos mensais e iguais (entrada + 14vezes) de R$ 100,00. Tomando como base essas informaes, determine a taxa de juro mensal que a loja est embutindo no preo a prazo?

Resposta: 6,53% a.m.

26) Uma loja vende um conjunto de som por R$ 300,00 de entrada e mais trs parcelas mensais de R$ 400,00. O preo a vista desse conjunto de som R$ 1.400,00. Qual a taxa de juro mensal que a loja est embutindo no preo a prazo? Resposta: 4,48% a.m.

27) Qual o valor presente do fluxo de caixa mensal a seguir a uma taxa de juro de 18% ao ano com capitalizao mensal?


28) Uma loja oferece as seguintes condies de venda: a vista, com desconto de 25%, ou em 5 vezes (1 + 4), com prestaes mensais e iguais. Calcule a taxa de juro mensal que a loja est cobrando.

Resposta: 16,88%

SRIE NO UNIFORME DE PAGAMENTOS

29) Qual o valor presente do fluxo de caixa mensal a seguir a uma taxa de juro de 18% ao ano com capitalizao mensal?

Resposta: R$ 960,70

30) Qual o valor presente do fluxo de caixa mensal a seguir a uma taxa de juro de 18% ao ano capitalizada mensalmente?



31) Qual o valor presente do fluxo de caixa anual a seguir, a uma taxa de juro de 12% ao ano?

Resposta: R$ 839,58

32) Qual a taxa de juro que relaciona o valor presente e os pagamentos do fluxo de caixa a seguir:

Resposta: 8,43% a.m.

SISTEMAS DE AMORTIZAO

33) Emprestamos R$ 5.000,00 com juros de 3% a.m., para pagar da seguinte maneira: Nos dois primeiros meses pagaremos apenas os juros (Sistema Americano) e nos quatro meses seguintes quatro parcelas iguais (Sistema PRICE). Preencha a planilha:

Perodo Prestao Juro Amortizao Saldo devedor

0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 5.000,00 1 2 1a 2a 3a 4a

Total

34) Uma empresa adquiriu um imvel por R$ 20.000,00 com 20% vista e o saldo em 8 prestaes mensais,

com juros de 2% ao ms. Calcular o valor de cada prestao e construir a planilha, considerando os sistemas: a) PRICE

Perodo Prestao Juros Amortizao Saldo Devedor

0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8

Total


b) SAC

Perodo Amortizao Juros Prestao Saldo Devedor

0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8

Total

c) SAA

Perodo Juros Prestao Amortizao Saldo Devedor

0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 1 2 3 4 5 6 7 8

Total

35) Questes conceituais: (i) O que juros? (ii) Qual a frmula matemtica para o clculo dos juros independente do regime de capitalizao? (iii) Qual(is) a(s) diferena(s) entre os sistemas de capitalizao: simples, compostos e contnuos.

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