livro de cézar

7/27/2019 Livro de Czar

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Fundamentos de Telecomunicacoes

Teoria Eletromagnetica e Aplicacoes

Antonio Cezar de Castro Lima

Universidade Federal da Bahia - UFBA


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c Copyright 2002 por Antonio Cezar de Castro Lima

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Conteudo

Notacao de Variaveis e Constantes xi

Prefacio xv

1 Ondas Eletromagneticas 1

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Equacoes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Equacao de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Solucao da Equacao de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Caractersticas de uma Onda Eletromagnetica . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Polarizacao de Ondas Eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Equacao de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Ondas Transversais Eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Impedancia e Admitancia Intrnsecas do Meio . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 Densidade de Potencia e Densidade Volumetrica de Energia . . . . . . 18

1.11 Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Ondas TEM num Meio Qualquer 25

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Meios Dieletricos e Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Equacao de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Impedancia Intrnseca e Velocidade de Fase . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Meios Dieletricos com Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Propagacao em Meios Dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Propagacao em Meios Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8 Profundidade de Penetracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.9 Velocidade de Fase e Impedancia num Condutor . . . . . . . . . . . . 33

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v CONTEUDO

4.11.1 Trecho de linha e toco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.11.2 Toco e trecho de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.12 Casamento com Dois Tocos e Trechos de Linha . . . . . . . . . . . . 864.13 Casamento com Tres Tocos e Trechos de Linha . . . . . . . . . . . . . 874.14 Casamento com Transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5 Parametros de Espalhamento 915.1 Dispositivos de Duas Portas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Parametros de Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Caracterizacao de Transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4 Amplificador de um Estagio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6 Guias de Onda e Cavidades Ressonantes 1036.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 Potenciais Vetores de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3 Modos de Propagacao num Guia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4 Campos num Guia de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4.1 Modo Transversal Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.2 Modo Transversal Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.5 Caractersticas de Ondas Guiadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.5.1 Constante de Propagacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.5.2 Comprimento de Onda Guiada e de Corte . . . . . . . . . . . 1126.5.3 Frequencia de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5.4 Velocidade de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5.5 Velocidade de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.5.6 Impedancias Modais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.6 Guia Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.6.1 Modo H (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.6.2 Modo E (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.7 Guia Cilndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.7.1 Modo H (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.7.2 Modo E (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.8 Atenuacao em Guias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.8.1 Atenuacao abaixo da Frequencia de Corte . . . . . . . . . . . 1266.8.2 Atenuacao acima da Frequencia de Corte . . . . . . . . . . . . 1276.8.3 Atenuacao num Guia Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.8.4 Atenuacao num Guia Cilndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.9 Cavidade Ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.9.1 Cavidade com Paredes Retangulares . . . . . . . . . . . . . . 132


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CONTE UDO vi

6.9.2 Cavidade Cilndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.9.3 Fator de Qualidade para Cavidades Cubicas . . . . . . . . . . 1366.9.4 Fator de Qualidade para Cavidades Cilndricas . . . . . . . . . 138

7 Processo de Radiacao 1417.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.2 Dipolo Infinitesimal ou Hertziano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3 Regioes de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.3.1 Campo Proximo Reativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3.2 Campo Proximo Irradiante (Regiao de Fresnel) . . . . . . . . 1477.3.3 Campo Distante (Regiao de Fraunhofer) . . . . . . . . . . . . 148

7.4 Radiador ou Antena Isotropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8 Caractersticas de uma Antena 1518.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2 Tipos de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.3 Dipolo de Comprimento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.4 Principais Parametros de uma Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.5 Intensidade de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.6 Diagrama de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.7 Potencia Radiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.8 Ganho Diretivo e Diretividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.9 Ganho de uma Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.10 Relacao Frente-Costas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.11 Feixe de Meia-Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.12 Impedancia de Entrada e Potencia Radiada . . . . . . . . . . . . . . 1668.13 Eficiencia de uma Antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.14 Area Eletrica e Comprimento Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.15 Largura de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.16 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.17 Temperatura de Rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9 Antenas Lineares 1779.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2 Caractersticas de um Dipolo de Comprimento Finito . . . . . . . . . 177

9.2.1 Campos Distantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.2.2 Intensidade de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.2.3 Diagrama de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.2.4 Potencia Radiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178


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vii CONTEUDO

9.2.5 Diretividade e Ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

9.2.6 Impedancia de Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.3 Impedancia Mutua entre Elementos Lineares . . . . . . . . . . . . . . 183

9.3.1 Campos Proximos para um Dipolo Finito . . . . . . . . . . . . 1849.3.2 Impedancia para Elementos Paralelos . . . . . . . . . . . . . . 1859.3.3 Impedancia para Elementos Colineares . . . . . . . . . . . . . 187

9.4 Plano Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.4.1 Dipolo na Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.4.2 Dipolo na Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.5 Dipolo Dobrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.6 Dipolo Cilndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10 Difracao de Ondas TEM 19710.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19710.2 Princpio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19710.3 Fonte de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19710.4 Difracao de F raunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20210.5 Difracao de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20410.6 Elipsoide e Zonas de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

11 Enlaces de Radio 213

11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21311.2 Form ul as de F ri i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21311.3 Formula de Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21511.4 Enlace Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

11.4.1 Obstaculos do Tipo Gume de Faca . . . . . . . . . . . . . . . 21611.4.2 Obstaculos Arredondados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

11.5 Enlace via Satelite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22211.5.1 Perdas no Espaco-Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22211.5.2 Figura de Merito do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.6 Reflexoes Ionosfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

11.7 Reflexoes no Solo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12 Casamento de Impedancia de Antenas 23112.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.2 Circuitos de Casamento com Tocos e Trechos de Linhas . . . . . . . . 23212.3 Casamento do Tipo T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23212. 4 D i pol o D obrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23512.5 Casamento do Tipo Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237


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CONTE UDO viii

12.6 Casamento do Tipo Omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

12.7 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2401 2 . 8 B a l u n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 2

12.8.1 Balun do Tipo Bazuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24312.8.2 Balun do Tipo Trombone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

12.9 Baluns com Nucleos de Ferrite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

13 Arranjos de Antenas 24713.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24713.2 Distribuicao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

13.2.1 Arranjo de Dois Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

13.2.2 Arranjo de N Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25013.2.3 Arranjo com um Numero Par de Elementos . . . . . . . . . . 25213.2.4 Arranjo com um Numero Impar de Elementos . . . . . . . . . 25313.2.5 Intensidade de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25313.2.6 Diretividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

13.3 Distribuica o P l a n a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 413.4 Arranjos Lineares de Dipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

13.4.1 Caractersticas de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25613.4.2 Impedancia de Entrada e Corrente nos Dipolos . . . . . . . . . 258

13.5 Arranjos Planares de Dipolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

13.5.1 Caractersticas de Radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26013.5.2 Impedancia de Entrada e Corrente nos Dipolos . . . . . . . . . 262

14 Antenas Direcionais 26314.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26314.2 Antena Yagi-Uda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

14.2.1 Yagi de Dois Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26414.2.2 Yagi de Tres Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26714.2.3 Yagi de N Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

14.3 Antena Log-Periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

14.3.1 Projeto de uma Log-periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27614.4 Antena Helicoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28114. 4. 1 Modo Norm al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28114.4.2 Modo Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

15 Antenas com Refletores 28715.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28715.2 Antena com Placas Refletoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287


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ix CONTEUDO

15.2.1 Refletor Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

15.2.2 Refletor de Canto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29015.3 Antena Parabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

15.3.1 Refletor Parabolico de Revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . 29615.3.2 Iluminacao do Refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29615.3.3 Campos Radiados por um Paraboloide . . . . . . . . . . . . . 29815.3.4 Diretividade e Largura de Feixe de Meia-Potencia . . . . . . . 300

Exerccios Propostos 305Exerccios dos Captulos 1 a 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Exerccios dos Captulos 4 a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Exerccios dos Captulos 7 a 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Exerccios dos Captulos 12 a 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

Bibliografia 335


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CONTE UDO x


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Notacao de Variaveis e Constantes

Segue abaixo a lista que identifica todas as variaves e constantes utilizadas nestelivro. Note que vetores e versores sao representados em negrito e escalares em fonte

normal. Algumas letras podem representar diferentes variaveis e constantes. Nestecaso, o significado e enfatizado no texto.

A - Potencial VetorA - Perdas, areaap - Versor espacial na direcao pa - Raio, largura de um guia de onda retangular, amplitude de ondaB ou B - Densidade de fluxo MagneticoB - Susceptancia, banda, largura de bandab - Raio, altura de um guia retangular, amplitude de onda

C - Capacitancia, constante de Euler, circunferenciac - Velocidade da luz no vacuoD ou D - Densidade de fluxo EletricoDo - DiretividadeDg - Ganho diretivod - Diametro, espacamento, distanciaE ou E - Campo eletricoE- Energiae - EficienciaF - Potencial Vetor

F - Figura de rudo, vetor potencialFA - Fator de arranjof - Frequencia de uma ondaG - Condutancia ou GanhoH ou H - Campo magneticoh - AlturaI - Corrente eletricaJ ou J - Densidade de corrente eletrica

xi


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NOTAC AO DE VARIAVEIS E CONSTANTES xii

j -

1

k e k - Vetor de onda e numero de ondaL - Indutancial - ComprimentoM ou M - Densidade de corrente magneticam - Massan - Indice de refracaoP - Potencia, permetrop - Velocidade relativa, razes da funcao de BesselQ - Fator de QualidadeR - Resistencia eletrica, espacamento

Rf c - Relacao frente-costasr - Raio ou distanciaS - Superfcie, parametros de espalhamentos - passo de uma heliceT - Perodo de uma onda, temparaturat - TempoUe - Densidade volumetrica de energia eletricaUm - Densidade volumetrica de energia magneticaU - Intensidade de radiacaoUo - Intensidade de Radiacao de uma antena isotropica

V - Volume, tensaov ou - Velocidade de propagacaof e g - Velocidade de fase e velocidade de grupoW e W - Vetor de Poynting e densidade de potenciaw - LarguraX - ReatanciaY - AdmitanciaZ - ImpedanciaZo - Impedancia caracterstica - Fator de atenuacao, angulo

pol - Perdas de polarizacao - Constante de fase, fase - Constante de propagacao - Defasagem ou comprimento eletrico - Defasagem entre duas ondasp - Profundidade de penetracao, r e o - Permissividade (ou constante dieletrica) absoluta, relativa e no vacuo - Emissividade


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xiii NOTAC AO DE VARIAVEIS E CONSTANTES

- Impedancia intrnseca de um meio

o - Impedancia intrnseca do vacuo - angulo, em geral, medido em relacao o eixo z - Fluxo magnetico - Comprimento de onda, r e o - Permabilidade magnetica absoluta, relativa e no vacuo - Potencial vetor de Hertz - Coeficiente de reflexao, densidade volumetrica de carga eletrica - Condutividade, desvio padrao, espacamento relativo em antenas log-periodicas - Coeficiente de transmissao, periodicidade em antenas log-periodicas - angulo, em geral, medido em relacao o eixo x

- Fase de um fasor - Fase de um fasor - Angulo solido - Frequencia angular de uma onda


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NOTAC AO DE VARIAVEIS E CONSTANTES xiv


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Prefacio

Este livro e resultado de oito anos de ensino na area de telecomunicacoes, em nvelde graduacao e pos-graduacao, no Departamento de Engenharia Eletrica (DEE)

da Universidade Federal da Bahia (UFBA). Nos ultimos anos, o numero de livrosdedicado ao ensino de engenharia eletrica, publicado em portugues pelas grandeeditoras, diminuiu substancialmente, restando ao nossos alunos a compra de ttulosimportados de custo elevado. A ideia de publicar um livro texto, na area de tele-comunicacoes, tem como objetivo preencher esta lacuna e propiciar aos alunos deengenharia eletrica de nossa universidade a oportunidade de ter um material focadoao conteudo das disciplinas oferecidas pelo DEE.

O livro esta organizado em quinze captulos onde sao apresentados teoria e ex-emplos envolvendo ondas eletromagneticas em dispositivos e sistemas de telecomu-nicacoes.O ultimo captulo contem um conjunto de exerccios propostos, agrupados

de acordo com captulos correlatos. As respostas destes exerccios se encontramno final deste ultimo captulo. Alguns exemplos e exerccios podem ser testadosutilizando-se um conjunto de subrotinas numericas desenvolvidas para o ambienteMATLAB, denominado RF Wave Toolbox. Este pacote de rotinas pode ser obtidoa partir do endereco www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange ou enviandoum e-mail para [email protected]. Com estes programas e possvel, por exemplo, fazeranalise e sntese de sistemas de casamento de impedancia, ou ainda, projetar antenase arranjos de antenas.

Os alunos de graduacao que estao cursando a disciplina Telecomunicacao III(ENG348) devem comecar a leitura deste livro a partir do primeiro captulo. O curso

de Telecomunicacoes III da UFBA pode ser dividido em tres modulos, comecandocom o estudo das equacoes de Maxwell, a analise de ondas eletromagneticas que sepropagam no espaco-livre e em diferentes meios. Estes topicos estao distribudos nosCaptulos 1, 2 e 3. O segundo modulo envolve o estudo de ondas confinadas, comopor exemplo, linhas de transmissao, guias de ondas e cavidades ressonantes, alemde tecnicas de casamento de impedancia e aplicacoes. Neste caso, o aluno deveraconsultar os Captulos 4, 5 e 6. No ultimo modulo sao abordados os conceitos deradiacao de ondas eletromagneticas, caractersticas basicas de antenas e enlace de

xv


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PREFACIO xvi

radio. Neste caso, o aluno devera ler os Captulos 7, 8, 10 e 11.

Para os alunos cursando a disciplina Propagacao e Antenas (ENG378), a leituradeste livro deve ser iniciada a partir do Captulo 7. Enquanto alunos, do Curso deEspecializacao em Engenharia de Telecomunicacoes, que estao cursando a disciplinaSistemas Irradiantes deverao focar atencao nos Captulos 4-6, 7-9 e 11-15.

Finalmente, gostaria de aproveitar esta oportunidade para agradecer publica-mente a todos que participaram e contriburam para a conclusao deste projeto.Particularmente, aos meus alunos da UFBA que durante todos estes anos me aju-daram a revisar texto, equacoes e figuras, e a minha esposa, Ana, pela revisaogramatical e ortografica das primeiras versoes deste livro.

A. C de C. Lima

Hamilton, Canada28 de Marco de 2002


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Captulo 1

Ondas Eletromagneticas

1.1 Introducao

O fenomeno de propagacao de ondas eletromagneticas e representado matema-ticamente por um par de equacoes diferenciais obtidas a partir das equacoes deMaxwell. Neste captulo sao estudadas ondas eletromagneticas propagando-se nummeio dieletrico isotropico sem perdas, ficando o processo de geracao ou radiacao

de ondas para captulos posteriores. Na Secao 1.2 sao mostradas as equacoes deMaxwell na sua forma integral e diferencial. A deducao do par de equacoes diferen-ciais que descrevem o fenomeno de propagacao de ondas eletromagneticas e expostona Secao 1.3. Enquanto que, as solucoes destas equacoes diferenciais sao obtidas naSecao 1.4. Logo em seguida sao apresentadas as principais caracteristicas de umaonda eletromagnetica, como amplitude e fase dos campos, velocidade de propagacao,frequencia, comprimento de onda, etc., assim como os tipos de polarizacao: elptica,circular e linear. As equacoes diferenciais que descrevem o comportamento ondu-latorio dos campos eletrico e magnetico, quando estes variam harmonicamente notempo, sao deduzidas na Secao 1.7. As equacoes resultantes desta deducao sao de-

nominadas de equacoes de Helmholtz, cujas solucoes sao funcoes que descrevem asvariacoes dos campos eletromagneticos no espaco. E demonstrado na secao seguinteque os campos eletrico e magnetico de uma onda eletromagnetica sao ortogonais outransversais a direcao de propagacao. A definicao de impedancia intrnsica de ummeio dieletrico e apresentada na Secao 1.9. Finalmente, nas ultimas duas secoes, saoencontradas as expressoes que fornecem a densidade de potencia associada a umafrente de onda eletromagnetica, a densidade volumetrica de energia, velocidade degrupo e ndice de refracao de meios dieletricos.

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CAPTULO 1. Ondas Eletromagneticas 2

1.2 Equacoes de Maxwell

As equacoes de Maxwell podem ser escritas na forma integral:S

D ds =

V

dV (1.1)

S

B ds = 0 (1.2)

C

H

dl = S

J + Dt

ds (1.3)e

C

E dl =

S

B

t ds (1.4)

Sendo D = E a densidade de fluxo eletrico, B = H a densidade de fluxo magnetico,H o campo magnetico, E o campo eletrico e J a densidade de corrente eletrica.

Aplicando-se o Teorema da Divergencia,

S

F ds =

V

( F) dV (1.5)

em (1.1) e (1.2) e o Teorema de Stokes,C

F dl =

S

( F) ds (1.6)

em (1.3) e (1.4), obtem-se as equacoes de Maxwell na forma diferencial, ou seja,

E =

(1.7)

H = 0 (1.8)

H = E + Et

(1.9)

e


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3 1.3. Equacao de Onda

E = Ht

(1.10)

sendo a densidade de corrente J = E. E importante salientar que estas equacoesfornecem informacoes sobre os campos eletrico e magnetico para qualquer ponto doespaco e instante de tempo.

As equacoes de Maxwell, na forma diferencial, podem ser simplificadas parapontos do espaco onde nao existem cargas e/ou correntes eletricas. Estas regioesserao denominadas a partir de agora de espaco-livre e as equacoes de Maxwell,associadas a elas, sao:

E = 0 (1.11)

H = 0 (1.12)

H = Et

(1.13)

e

E = Ht

(1.14)

Lembrando-se que = ro e = ro, sendo r a permeabilidade relativa do meioe r permissividade relativa.

1.3 Equacao de Onda

E possvel demonstrar matematicamente que campo eletrico variante no tempo geracampo magnetico variante no tempo, ou vice-versa. Isto pode ser facilmente en-tendido a partir de uma rapida analise das equacoes (1.13) e (1.14). Observe nalei de Ampere (1.13) que, se o campo eletrico varia no tempo, entao existira um

campo magnetico tambem variante no tempo, ortogonal ao primeiro. Isto ocorreporque o rotacional de H e proporcional a variacao de E. Algo semelhante e obitdoda lei de Faraday (1.14), ou seja, o rotacional de E e proporcional a variacao deH. Uma outra conclusao ainda mais relevante, obtida por Maxwell, a partir das leisde Ampere e Faraday, e o carater ondulatorio dos campos eletromagneticos. Estecarater ondulatorio pode ser confirmado a partir da equacao diferencial resultanteda demonstracao a seguir.

Aplicando-se o operador rotacional em ambos os lados da equacao (1.13), tem-se


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H = Et

= ( E)t

(1.15)

substituindo (1.14) em (1.15), obtem-se

H = 2H

t2(1.16)

Como

H = ( H) 2H (1.17)e H = 0, entao,

2H 2H

t2= 0 (1.18)

Partindo-se da equacao (1.14) e utilizando um procedimento semelhante ao ex-posto acima, pode-se obter a equacao diferencial

2E 2E

t2= 0 (1.19)

As equacoes diferenciais (1.18) e (1.19), envolvendo os campos eletrico e magnetico,representam de forma matematica um onda eletromagnetica propagando-se no espaco-livre. Uma equacao semelhante foi obtida pelo matematico frances DAlembert, em

1747, quando este tentava descrever o movimento ondulatorio em uma corda esti-cada. A equacao obtida por ele era algo parecido com

2y

x2 1

v22y

t2= 0 (1.20)

onde y e a posicao de um ponto qualquer da corda na direcao transversal a mesmae v a velocidade de propagacao da onda mecanica que surge nesta corda.

Uma comparacao entre as equacoes (1.18) ou (1.19) e (1.20) mostra que a ve-locidade de propagacao da onda eletromagnetica e dada por

v =

1

(1.21)Para o caso de ondas eletromagneticas que se propagam no ar ou no vacuo,

tem-se

c =1

oo(1.22)

sendo c a velocidade da luz no vacuo, cujo valor e aproximadamente 3 108 m/s.


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5 1.4. Solucao da Equacao de Onda

1.4 Solucao da Equacao de Onda

Para tornar o processo de obtencao da solucao da equacao de onda mais claro edidatico, e interessante tomar-se um exemplo pratico. Considere um dipolo, antenalinear constituda por duas hastes metalicas, orientado na direcao az e alimentadopor um gerador de sinais de RF (Radio Frequencia). A tensao alternada desenvolvidanos terminais do dipolo cria uma corrente de conducao nas hastes que varia notempo. Sabe-se, pela lei de Ampere, que esta corrente alternada produz campomagnetico no espaco em volta da antena, neste exemplo, orientado na direcao a.Este campo varia de acordo com a mesma funcao de variacao da corrente (figura edetalhamento teorico podem ser vistos no Captulo 7). Alem disso, foi visto na secao

anterior que campo magnetico variante no tempo produz campo eletrico variante notempo, neste caso, com orientacao na direcao az. Para um ponto de observacao muitodistante da antena dipolo, as frentes de onda podem ser consideradas praticamenteplanas e os campos podem ser representados neste caso pelas equacoes

2E

r2 1

c22E

t2= 0 (1.23)

e

2H

r2 1

c22H

t2= 0 (1.24)

onde c e a velocidade da onda eletromagnetica que se propaga na direcao ar, comcampo eletrico da forma

E = Ez(r, t) az (1.25)

e o campo magnetico

H = H(r, t) a (1.26)

A solucao da equacao (1.23) ou (1.24) pode ser obtida utilizando-se o metodo daseparacao de variaveis. Tomando-se por exemplo a equacao (1.23) e considerandoque

Ez(r, t) = f(t) g(r) (1.27)

Pode-se obter, atraves da substituicao de (1.27) em (1.23), o seguinte resultado

f(t)2g(r)

r2=

g(r)

c22f(t)

t2(1.28)

ou, dividindo-se toda a equacao por Ez(r, t),


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1g(r)

2

g(r)r2

= 1c2f(t)

2

f(t)t2

(1.29)

Observe que o lado direito da equacao (1.29) so sera igual ao lado esquerdoquando ambos forem iguais a uma constante. Portanto, pode-se escrever duasequacoes a partir de (1.29), ou seja,

1

g(r)

d2g(r)

dr2= k2 (1.30)

e

1c2f(t)

d2

f(t)dt2

= k2 (1.31)

onde o termo constante k2 foi escolhido dessa forma por conveniencia.As solucoes das equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem (1.30) e (1.31)

sao combinacoes lineares de duas funcoes ortonormais que, neste caso, sao respecti-vamente escritas como

g(r) = C1ejkr + C2 e

jkr (1.32)

ef(t) = C

3ej t + C

4ej t (1.33)

sendo

= k c (1.34)

Sera mostrado mais adiante que, para ondas propagando-se no sentido r+, o queneste caso equivale a onda sendo radiada pela antena, C1 e igual a zero e

g(r) = C2 ejkr (1.35)

Ja a variacao temporal pode ser escrita como,

f(t) = C3 ej t (1.36)

Sendo assim, a funcao que descreve a variacao do campo eletrico de uma onda planae da forma

Ez(r, t) = Eoej( tkr) (1.37)

neste caso, a amplitude Eo e considerada constante.


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7 1.5. Caractersticas de uma Onda Eletromagnetica

De maneira semelhante, pode-se obter a seguinte expressao para o campo magnetico:

H(r, t) = Hoej( tkr) (1.38)

sendo Ho constante.Os resultados apresentados em (1.37) e (1.38) representam os campos de uma

onda plana ideal. Na pratica, as amplitudes Eo e Ho diminuem com a distancia,como sera visto, em um estudo mais rigoroso, no Captulo 7.

Para se confirmar que (1.37) e (1.38) sao solucoes das equacoes de onda, bastaapenas substitu-las respectivamente em (1.23) e (1.24). Estas solucoes sao es-pecficas para este caso. Solucoes mais complexas podem ser obtidas a partir deuma combinacao linear de funcoes do tipo ejn( t

kr), isto e,

Ez(r, t) =N

n=0

Cnejn( tkr) (1.39)

e

H(r, t) =N

n=0

Dnejn( tkr) (1.40)

onde Cn e Dn sao constantes complexas.

1.5 Caractersticas de uma Onda Eletromagnetica

Analisando-se as caractersticas de uma onda plana, cujo campo eletrico e represen-tado matematicamente pelo fasor-vetor

E(z, t) = Eoejay = Eoe

j( tkz)ay (1.41)

ou, tomando-se apenas a parte real,

E(z, t) = Eo cos ay = Eo cos( t kz) ay (1.42)Pode-se verificar que, para um plano z fixo, o campo eletrico varia harmonicamenteno tempo. Da mesma forma tem-se para um instante de tempo t uma variacaoespacial do campo tambem harmonica. A variacao espacial, neste caso, ocorre aolongo de z. O valor maximo do campo, Eo, e chamado de amplitude, enquanto oargumento da funcao cossenoidal e chamado de fase da onda, ou seja, = t kz.A velocidade de propagacao da onda plana e igual a velocidade de um observador


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que acompanha o deslocamento de uma frente de onda cuja fase e, por exemplo, o,

isto e,

dodt

= k dzdt

= 0 (1.43)

ou

vf =dz

dt=

k(1.44)

ou na forma vetorial,

vf =

k az (1.45)Lembrando-se que vf, tambem denominada velocidade de fase da onda, dependedas caractersticas eletricas e magneticas do meio, como mostra a equacao (1.21).A propagacao da onda, neste caso, se da no sentido z+, como mostrado na Figura1.1a. Para ondas propagando-se no sentido contrario, tem-se

Ey(z)

z

vf

(a)

Ey(t)

t

(b)

Figura 1.1: Variacao da intensidade do campo eletrico no: (a) espaco; (b) tempo.

dodt

= + kdz

dt= 0 (1.46)

ou

vf = k

az (1.47)


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9 1.5. Caractersticas de uma Onda Eletromagnetica

A distancia entre duas frentes de onda de mesma fase, para um dado instante

de tempo, e denominada de comprimento de onda, representado pela letra grega (vide Figura 1.1a). Neste caso, a variacao entre as duas frentes e igual a 2, ouseja,

= k z = k = 2 (1.48)

e como consequencia, a razao entre e z e dada por

k =

z=

2

(1.49)

comumente chamada de numero de onda.

A variacao de fase de 2 que ocorre num intervalo de tempo t = T, para umdado plano z, e denominado de perodo da onda (vide Figura 1.1b). Portanto,

= t = T = 2 (1.50)

e como consequencia, a razao entre e t e dada por

=

t=

2

T(1.51)

denominada de frequencia angular da onda.Substituindo as equacoes (1.49) e (1.51) em (1.44), obtem-se

vf = f (1.52)

onde f = 1T

e chamada de frequencia da onda.

Exemplo 1.1 Duas antenas do tipo dipolo estao espacadas perpendicularmente emrelacao ao eixo z, como mostrado na Figura 1.2. Cada antena radia ondas eletro-magneticas de mesma intensidade e fase. Qual deve ser o espacamento mnimo paraque o campo, no ponto P, seja maximo?

Solucao: O campo eletrico no plano z = zo e obtido a partir de

E(zo, t) = Eo cos 1 + Eo cos 2

sendo, 1 = t kzo e 2 = t k(zo d) = 1 + kd. Pode-se facilmenteverificar que as ondas se superpoem quando 2 = 1 ou, de uma forma geral, quando2 = 1 + 2n. Portanto, a diferenca de fase e entao

= kd = 2n


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e

d =2n

k= n

o valor mnimo de d, diferente de zero, e .

z

0 1

2

P

d

zo

(z)E

Figura 1.2: Arranjo de antenas dipolos separadas por uma distancia d.

1.6 Polarizacao de Ondas Eletromagneticas

Uma onda esta polarizada linearmente quando o campo eletrico nao muda de direcaono espaco. No caso de uma onda plana propagando-se na direcao z+, com o vetorcampo eletrico apontando sempre na direcao y,

E = Eosen(t kz) ay (1.53)a polarizacao e dita linear na direcao y. O vetor campo eletrico poderia apontarem qualquer outra direcao no plano xy, para uma onda propagando-se na direcaoz, e ainda assim ser linearmente polarizada, desde que este n ao mude de direcao aolongo do sentido de propagacao.

O caso mais geral em termos de polarizacao ocorre quando o vetor campo eletricomuda de direcao ao longo da direcao de propagacao. Nesta condicao, a onda esta


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11 1.6. Polarizacao de Ondas Eletromagneticas

polarizada elipticamente ou circularmente, como sera visto mais adiante. Sendo

assim, pode-se classificar as ondas eletromagneticas de acordo com a direcao docampo eletrico ou polarizacao. Os tipos de polarizacao possveis sao mostrados naFigura 1.3, ou seja: elpticas (caso generico), circular e linear (casos particulares).

Uma onda elipticamente polarizada pode ser obtida a partir de duas ondas lin-earmente polarizadas, cujos campos eletricos sao ortogonais entre si. Por exemplo,

Ex = E1sen(t kz) (1.54)e

Ey = E2sen(t

kz + ) (1.55)

sendo a defasagem entre as duas componentes de campo. O campo resultante naforma vetorial e dado por

E = E1sen(t kz) ax+E2sen(t kz + )ay (1.56)Para o plano z = 0, tem-se

Ex = E1sen t (1.57)

e

Ey = E2sen(t + ) (1.58)

ou

Ey = E2 (sen t cos + sen cos t) (1.59)

onde

sen t =ExE1

(1.60)

e

cos t =

1

ExE1

2(1.61)

logo

EyE2

=ExE1

cos +

1

ExE1

2sen (1.62)


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ou

EyE2

ExE1

cos

2 1sen2

= 1

ExE1

2(1.63)

ou ainda

EyE2

2 2EyEx

E2E1cos +

ExE1

2cos2+

ExE1

2sen2 = sen2 (1.64)

Portanto,

EyE2

2 2EyEx

E2E1cos+

ExE1

2= sen2 (1.65)

Considerando-se

1

E21sen2

= a (1.66)

2cos

E2E1sen2= b (1.67)

e

1E22 sen

2= c (1.68)

obtem-se a equacao de uma elipse, ou seja,

aE2x 2bEyEx + cE2y = 1 (1.69)A equacao (1.69) representa a variacao do vetor campo eletrico no plano z = 0,

como mostrado na Figura 1.3a. Quando = 90 e E1 = E2 a equacao (1.65) sereduz a equacao de uma circunferencia, isto e,

E2

x + E2

y = E2

1 (1.70)neste caso, a variacao do campo eletrico no plano z = 0 e circular, como mostradona Figura 1.3b. O sinal de determina o sentido de giro do campo. Por exemplo,se = 90 entao,

Ex = E1sen t (1.71)

e


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13 1.6. Polarizacao de Ondas Eletromagneticas

z zz

y

x x x

y y

EE

E

E2

E1

(a) (b) (c)

Figura 1.3: Polarizacao: (a) elptica para direita; (b) circular para direita; (c) linear.

Ey = E1sen(t 2

) = E1cos t (1.72)

Portanto para t = 0, Ex = 0 e Ey = E1, enquanto para t = T4 , Ex = E1 eEy = 0. O resultado e mostrado na Figura 1.4a e a polarizacao e denominadacircular para direita. Quando = + 90, obtem-se uma onda polarizada no sentidocontrario, como visto na Figura 1.4b. Uma maneira simples de se associar o sentido

da polarizacao com o resultado grafico exposto pode ser obtida utilizando as maos.Com a mao semifechada e polegar apontando na direcao de propagacao obtem-se osentido da polarizacao. Por exemplo, quando os dedos da mao direita apontam nosentido de giro do campo, a polarizacao e para direita.

Para = 0 ou = 180 a equacao (1.65) se reduz a

EyE2

2 2EyEx

E2E1+

ExE1

2= 0 (1.73)

ou

EyE2

ExE1

2= 0 (1.74)

ou ainda

EyE2

= ExE1

(1.75)

Reescrevendo a equacao (1.75), obtem-se a equacao de uma reta, ou seja,


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(a) (b)

z x

y

E

z x

y

E

Figura 1.4: Polarizacao circular para: (a) direita; (b) esquerda.

Ey = E2E1

Ex (1.76)

neste caso, a variacao do campo eletrico no plano z = 0 e linear, como mostrado naFigura 1.3c.

Exemplo 1.2 Determine a polarizacao de uma onda eletromagnetica cuja variacaodo campo eletrico e representada por

E(z, t) = 2 sen( t kz) ax cos( t kz) aySolucao: Pela equacao acima, pode-se verificar que a onda se propaga no sentidoz+, uma vez que os sinais, nos argumentos das funcoes seno e cosseno, sao negativos.Observa-se tambem que as componentes de campo tem amplitudes diferentes e estaoem quadratura (defasagem de 90), cos( t kz) = sen( t kz+ /2) . Portanto,pode-se concluir que a onda esta elipticamente polarizada, pois a razao entre asamplitudes e diferente de 1 e a defasagem = 90. Entretanto, fica faltando saberse o sentido e para direita ou para esquerda. No plano z = 0, quando t = 0, Ex = 0

e Ey = 1, enquanto para t = T4 , Ex = 2 e Ey = 0, logo o sentido e para direita,como mostrado na Figura 1.3a.

1.7 Equacao de Helmholtz

Considerando-se que a variacao da onda eletromagnetica no domnio do tempo eharmonica, isto e, ej t, e que o campo eletrico pode ser escrito como o produto de


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15 1.7. Equacao de Helmholtz

uma funcao que depende somente do espaco com outra que depende so do tempo,

ou seja, E(r, t) = E(r) ej t, entao a equacao de onda (1.19) pode ser escrita como

ej t2E(r)+ 2

v2E(r) ej t = 0 (1.77)

ou

2E(r) + k2 E(r) = 0 (1.78)uma vez que

2E

t2

=

2E(r) ej t (1.79)

A equacao diferencial (1.78) e chamada de equacao de onda reduzida ou equacaode Helmholtz. A solucao de (1.78) fornece a variacao espacial do vetor campo eletricoda onda. De forma semelhante pode-se obter a equacao de Helmholtz para o campomagnetico,

2H(r) + k2 H(r) = 0 (1.80)A solucao da equacao de Helmholtz para uma onda eletromagnetica propagan-

do-se num dieletrico isotropico sem perdas pode ser obtida utilizando-se o metododa separacao de variaveis. Na forma vetorial, a solucao de (1.78) e do tipo

E(r) = Eo(r) ej k r (1.81)

Enquanto a solucao para (1.80) e

H(r) = Ho(r) ej k r (1.82)

sendo Eo e Ho os vetores amplitude, r o vetor posicao e k o vetor de onda que apontano sentido de propagacao. Em coordenadas retangulares, estes vetores podem serescritos como se segue:

Eo(r) = Exo(r) ax+Eyo(r) ay+Ezo(r) az (1.83)

Ho(r) = Hxo(r) ax+Hyo(r) ay+Hzo(r) az (1.84)

r = x ax+y ay+zaz (1.85)

ek = kxax+kyay+kzaz (1.86)


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Por exemplo, se uma onda plana se propaga na sentido z com campo eletrico

orientado na direcao y, entao a expressao do campo eletrico em funcao da posicaono espaco sera dada por

E(r) = (Eyoay) ej (kzaz) (xax+y ay+z az) = Eyo ej kzz ay (1.87)

1.8 Ondas Transversais Eletromagneticas

A solucao da equacao de Helmholtz para ondas propagando-se num espaco abertoe dada, no caso do campo eletrico, por (1.81). Sabe-se que, para pontos livres de

cargas eletricas,

E = 0 (1.88)logo,

Eo(r) ej k r = 0 (1.89)Utilizando-se a identidade vetorial

F F (1.90)sendo F uma funcao vetorial e uma funcao escalar, tem-se

Eo(r) ej k r = jE k = 0 (1.91)ou simplesmente

E k = 0 (1.92)Portanto, o produto escalar entre o vetor campo eletrico e o vetor numero de onda,que aponta na direcao de propagacao da onda, e zero. Este resultado indica que ocampo eletrico e ortogonal, ou transversal, a direcao de propagacao.

De maneira semelhante, substituindo (1.82) em (1.12), pode-se obter

H k = 0 (1.93)indicando que o campo magnetico tambem e transversal a direcao de propagacao.Por este motivo as ondas eletromagneticas, sejam elas planas, cilndricas ou esfericas,com os campos eletrico e magnetico ortogonais a direcao de propagacao, sao chamadasde ondas Transversais EletroMagneticas (TEM).


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17 1.9. Impedancia e Admitancia Intrnsecas do Meio

1.9 Impedancia e Admitancia Intrnsecas do Meio

Para ondas TEM, propagando-se num meio dieletrico isotropico homogeneo semperdas, as variacoes dos campos no espaco sao representadas matematicamente pelasequacoes (1.81) e (1.82). Sabe-se tambem que, para variacao harmonica no tempo,

H = Et

= j E (1.94)

e

E = Ht

= j H (1.95)Substituindo (1.81) em (1.95), tem-se

Eo(r) ejkr = j H (1.96)ou

H =j

Eo(r) ejkr (1.97)

De maneira semelhante, substituindo (1.82) em (1.94), pode-se obter

E = j Ho(r) ejkr (1.98)Utilizando-se a identidade vetorial

F F (1.99)pode-se reescrever as equacoes (1.97) e (1.98) como

H =j

Eo(r) ejkr = 1

k E (1.100)e

E =j

Ho(r) ejkr = 1

k H (1.101)

Considerando-se que n e um versor na direcao de propagacao, tem-se

H = Y n E (1.102)e


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E = Z n H (1.103)onde

Z = =k

=

(1.104)

e a impedancia intrnseca do dieletrico e

Y =1

=

k

=

(1.105)

a admitancia.

1.10 Densidade de Potencia e Densidade Volume-trica de Energia

Sabe-se que onde existe campo eletrico ha tambem energia e que a densidade volumetricade energia eletrica maxima e dada por

Uemax =1

2 E2o (1.106)

sendo Eo o valor de pico do campo eletrico. Enquanto seu valor medio e dado por

Ue =1

2 E2ef =

1

4 E2o (1.107)

onde Eef =Eo2

e o campo eletrico eficaz para campos que variam harmonicamenteno tempo.

Da mesma forma, pode-se afirmar que onde existe campo magnetico ha energiamagnetica e a densidade volumetrica de energia maxima e dada por

Ummax =

1

2 H

2

o (1.108)enquanto a densidade volumetrica media e fornecida por

Um =1

2 H2ef =

1

4 H2o (1.109)

sendo Hef =Ho2

o campo magnetico eficaz e Ho campo magnetico de pico. A energiaarmazenada num dado volume e fornecida pela expressao


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19 1.10. Densidade de Potencia e Densidade Volumetrica de Energia

E= V

U dV (1.110)

Portanto, a energia eletrica e magnetica armazenada num volume V sao forneci-das respectivamente por

Ee =

V

Ue dv =

4

V

E E dV (1.111)

e

Em = V

Um dv = 4

V

H H dV (1.112)

onde o asterisco indica complexo conjugado.Imagine agora uma onda eletromagnetica plana propagando-se na direcao z. A

densidade volumetica de energia media total associada a onda e dada por

Ut = Ue + Um =1

4 E2o +

1

4 H2o (1.113)

escrevendo a equacao (1.102) na forma escalar, tem-se

Ho = Y Eo (1.114)

Substituindo (1.114) em (1.113), obtem-se

Ut = 2Ue = 2Um =1

2 E2o =

1

2 H2o (1.115)

A densidade de potencia media num plano z qualquer e igual ao produto dadensidade volumetrica de energia total da onda pela velocidade de propagacao daenergia, isto e,

Wm = Ut v (1.116)

num dieletrico perfeito a energia associada a onda e transportada a uma velocidadeigual a velocidade de fase desta onda. Portanto,

Wm =1

2 E2o vf =

E2o2

(1.117)

ou ainda


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Wm = 12

H2o vf = H2o

2(1.118)

E importante salientar que existem meios onde o transporte de energia associadaa onda eletromagnetica nao ocorre a velocidade de fase.

Geralmente, a densidade de potencia e representada na forma vetorial, ou seja,

Wm =1

2E H (1.119)

sendo Wm denominado de vetor de Poynting medio. Para um meio qualquer, ondea impedancia intrnseca pode ser complexa, o vetor de Poynting e dado por

Wm =12

Re{ E H} (1.120)A potencia media associada a uma area S de uma determinada frente de onda e

fornecida por

Pm =

S

Wm ds (1.121)

Exemplo 1.3 Um copo dagua, com 10cm de diametro e 15cm de profundidade, ecolocado para esquentar dentro de um forno de microondas. O campo eletrico ger-

ado pelo forno tem valor maximo igual a 1kV/m e varia com uma frequencia de1GHz. Supondo-se que a onda eletromagnetica e plana e incide normalmente sobrea superfcie da agua, qual deve ser a energia absorvida por este lquido? Qual apotencia media que chega a superfcie dagua? Considere que o campo eletrico naagua diminui para 20% do seu valor maximo no ar. Nesta frequencia a permissivi-dade relativa da agua e igual 81.

Solucao: A energia pode ser calculada a partir da integracao da densidade volumetricade energia total, equacao (1.115). Neste caso, torna-se necessario encontrar o valordo campo eletrico maximo dentro d agua, este valor e 5 vezes menor (20%) que no

ar, isto e, 200V/m. Sendo assim,

Ut =1

2 r oE

2o =

1

2 81 8, 85 1012 (200)2 = 1, 43 105 J/m3

A energia e entao obtida a partir de

E=

V

Ut dV = Ut V = 1, 43105 (5102)21, 5101 = 1, 68108 J


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21 1.11. Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa

Finalmente, a potencia media que chega a superficie da agua e dada por

Pm =

S

Wm ds = E2o

2oS

Como a impedancia intrnseca do ar e o = 120, entao

Pm =(1 103)2

240 (5 102)2 = 10, 4W

1.11 Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa

Foi visto que, para meios dieletricos perfeitos, a velocidade de fase de uma ondaeletromagnetica e dada por

vf =1

(1.122)

e no espaco-livre, por

c =1

oo(1.123)

A velocidade relativa e definida como a razao entre a velocidade de fase da ondano meio dieletrico pela velocidade da onda no vacuo, ou seja,

p =vfc

=1

rr(1.124)

Observe que, quanto maior for a permissividade e/ou permeabilidade do meio, menorsera a velocidade relativa da onda. Para meios nao-magneticos, tem-se

p =1

r(1.125)

uma vez que a permeabilidade relativa e igual a unidade.Muitos materiais dieletricos sao classificados de acordo com uma grandeza chamada

ndice de refracao, que e definido como sendo o inverso da velocidade relativa da ondano meio, isto e,

n =1

p=

r (1.126)


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A velocidade de grupo esta associada a um grupo de ondas eletromgneticas de

frequencias distintas. Cada onda se propaga com velocidade de fase dada por (1.122)e velocidade de grupo

vg =d

d(1.127)

Para materiais dieletricos = k.A equacao (1.127) pode ser obtida como segue. Considere, por exemplo, duas

ondas eletromagneticas de frequencias distintas cujas expressoes dos campos eletricossao dadas por

E1(z, t) = Eoej(1tk1z)ay (1.128)

e

E2(z, t) = Eoej(2tk2z)ay (1.129)

Onde o campo eletrico resultante e

Et = Eo

ej(1tk1z) + ej(2tk2z)

ay (1.130)

Supondo que

1 = o (1.131)e

2 = o + (1.132)

sendo

o =1 + 2

2(1.133)

e

=2 1

2(1.134)

pode-se reescrever a equacao (1.130) como

Et = Eoej(otkoz) ej( tk z) + ej( tk z) ay (1.135)

ou


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23 1.11. Velocidade de Fase, de Grupo e Relativa

Et = 2Eoej(otkoz) cos( t k z)ay (1.136)Considerando-se apenas a parte real, tem-se

Et = 2cos(ot koz) cos( t k z)ay (1.137)O que lembra um sinal modulado em amplitude com portadora suprimida [33][21],onde a frequencia da portadora e o e do sinal modulador . A Figura 1.5 mostraa onda resultante indicando a velocidade de grupo e de fase.

Ey(z)

z

vgv

f

Figura 1.5: Onda resultante da superposicao de duas ondas de frequencias distintas.As velocidades de fase e grupo estao indicadas.

A velocidade do grupo de um conjunto de onda esta associada a envoltoria daonda resultante e e definida como sendo a velocidade de deslocamento de um dadoponto fixo desta envoltoria, ou seja,

vg

=

k(1.138)

ou

vg = lim 0

k=

d

dk(1.139)

A equacao (1.139) fornece a velocidade do grupo de ondas na frequencia o quee a media das frequencias de cada onda que compoe o grupo. Observe que, se apermissividade do meio nao varia com a frequencia, entao


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vg = vf (1.140)

pois, substituindo = vf k em (1.139), tem-se

vg =d

dk= vf + k

dvfdk

(1.141)

Se a permissividade nao varia com a frequencia, vf tambem nao varia com a frequenciae nem com o numero de onda, tornando o segundo termo da equacao (1.141) nulo.


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Captulo 2

Ondas TEM num Meio Qualquer

2.1 Introducao

O estudo de ondas eletromagneticas realizado no captulo anterior se deteve, emgrande parte tempo, na analise de ondas propagando-se no ar ou vacuo. Nestecaptulo serao abordados topicos referentes as ondas transversais eletromagneticaspropagando-se num meio qualquer. Na Secao 2.2 e apresentada uma classificacao dosmeios de acordo com as suas caractersticas eletricas, enquanto que nas duas secoesseguintes e feita uma generalizacao da equacao de Helmholtz, impedancia intrnseca e

velocidade de fase. No restante do captulo sao analisados o fenomeno de propagacaodos campos eletromagneticos em meios dieletricos quaisquer e condutores.

2.2 Meios Dieletricos e Condutores

Os meios podem ser classificados de acordo com suas caractersticas eletricas emagneticas, como permissividade, permeabilidade e condutividade. Eles podemser dieletricos perfeitos, dieletricos com perdas, quase condutores, condutores oucondutores perfeitos. A classificacao tambem depende da frequencia da onda eletro-magnetica que se propaga no meio. Um meio pode ser dieletrico para uma determi-

nada faixa de frequencia e condutor para outra.Sabe-se pela lei de Ampere que, para campos variando harmonicamente no

tempo,

H = E + j E (2.1)onde o primeiro termo do lado direito da equacao representa a densidade de correntede conducao do meio e, o segundo, a densidade de corrente de deslocamento. Se

25


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43/350

27 2.3. Equacao de Helmholtz

Exemplo 2.1 Uma onda eletromagnetica se propaga num meio com velocidade de

fase dada por

vf =C

onde C e uma constante qualquer. Que tipo de meio e esse?

Solucao: A partir da equacao (2.4), pode-se verificar que a velocidade de grupo

vg = vf dvfd

= vf +C

= 2vf

ou seja, a velocidade de grupo e duas vezes maior que a de fase, portanto, o meioe dispersivo anomalo. Na realidade, o meio e condutor, como sera visto na ultimasecao deste captulo.

2.3 Equacao de Helmholtz

Considere agora uma onda propagando-se num meio com condutividade , permis-sividade e permeabilidade . Se os campos variam harmonicamente no tempo,entao

H = ( + j) E (2.5)e

E = j H (2.6)Portanto, as equacoes de Helmholtz para os campos eletrico e magnetico, obtidas apartir das equacoes (2.5) e (2.6), sao dadas por

2E 2 E = 0 (2.7)

e

2H 2 H = 0 (2.8)onde

2 = j 2 (2.9)ou


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CAPTULO 2. Ondas TEM num Meio Qualquer 28

=

j k2 (2.10)sendo denominada de constante de propagacao. As solucoes das equacoes deHelmholtz (2.7) e (2.8) sao, respectivamente,

E(r) = Eo(r) e n r (2.11)

e

H(r) = Ho(r) e n r (2.12)

onde n e o versor que indica o sentido de propagacao da onda. De uma forma geral,

a constante de propagacao e um numero complexo representado por = + j,sendo = Re

j k2

e = Im

j k2

. Portanto, para uma onda

plana propagando-se no sentido z+, as solucoes (2.11) e (2.12) podem ser reescritas,respectivamente, como

E(z) = Eo e z ej z (2.13)

e

H(z) = Ho e z ej z (2.14)

onde e chamado de fator de amortecimento ou atenuacao da onda eletromagnetica,enquanto e denominado constante de fase. Pode-se concluir das equacoes (2.13) e(2.14) que, se a constante de propagacao e um numero complexo, entao, a onda sofreuma atenuacao ao longo da direcao de propagacao. O unico meio onde nao ocorreatenuacao das ondas eletromagneticas e o dieletrico perfeito sem perdas. Neste caso, = 0, = j = jk e o fator de atenuacao = 0.

2.4 Impedancia Intrnseca e Velocidade de Fase

Para ondas TEM, propagando-se num meio qualquer, a variacao do campo eletrico

no espaco e representada por (2.11). Portanto, pela lei de Faraday,

H =j

Eo(r) en r (2.15)

Utilizando-se um procedimento semelhante aquele apresentado na Secao 1.9, tem-se

H =j

n E (2.16)


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29 2.5. Meios Dieletricos com Perdas

e

H = Y n E (2.17)onde

=1

Y=

j

(2.18)

e a impedancia intrnseca do meio. Se for utilizada a lei de Ampere, obtem-se

=

+ j(2.19)

As expressoes (2.18) e (2.19), apesar de distintas, fornecem os mesmos valores.A velocidade de fase de um meio qualquer e obtida a partir de

vf =

=

Im

j k2 (2.20)

Exemplo 2.2 Mostre que, para um meio dieletrico sem perdas, as impedanciasfornecidas pelas equacoes (2.18) e (2.19) sao equivalentes.

Solucao: Se o meio e dieletrico sem perdas entao = 0 e = j. Sendo assim,

=

= vf =

=

Por outro lado, pode-se obter a partir de (2.19)

=

=

1

vf =

=

2.5 Meios Dieletricos com PerdasOs meios dieletricos com perdas possuem permissividade complexa, isto e, = j. Neste caso, e muito comum representar as caractersticas eletricas do materialatraves de duas grandezas: permissividade relativa r e tangente de perdas tg. Atangente de perdas e definida como sendo a razao entre o modulo da densidade decorrente de conducao e o modulo da densidade de corrente de deslocamento. Deuma forma geral, para um meio qualquer com perdas, tem-se


46/350


H = Jc+Jd (2.21)sendo

Jc = E (2.22)

e

Jd = j ( j) E (2.23)

Portanto, (2.21) pode ser reescrita como sendo

H = ( + j )E (2.24)onde = + e chamada de condutividade equivalente do material. Destaforma, a tangente de perda e representada como segue:

tg =|Jc||Jd| =

(2.25)

No caso de materiais dieletricos com perdas, a condutividade e geralmente de-sprezvel e a tangente de perdas pode ser expressa como

tg =

(2.26)

2.6 Propagacao em Meios Dieletricos

Quando uma onda eletromagnetica se propaga num meio dieletrico com perdas, oscampos eletrico e magnetico obedecem respectivamente as equacoes (2.13) e (2.14),onde o fator de atenuacao, nesta situacao, e dado por

= Re j ( j) (2.27)

ou

= Re

(jtg 1)

(2.28)

e a constante de fase por

= Im

(jtg 1)

(2.29)


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31 2.7. Propagacao em Meios Condutores

Se o valor da tangente de perdas for muito pequeno, a atenuacao no meio pode ser

desprezada. Neste caso, a onda eletromagnetica se propaga com variacao de faseproporcional ao numero de onda ( = k).

Exemplo 2.3 Uma onda eletromagnetica de 10GHz, e 1kV/m de campo eletricomaximo, propaga-se num meio dieletrico com permissividade relativa aproximada-mente igual a 4 e permeabildade igual a do vacuo. Qual deve ser a distancia percor-rida pela onda para que sua amplitude tenha 90% do seu valor inicial? Qual deveser a densidade volumetrica de potencia media dissipada pelo dieletrico em formade calor? Considere que o dieletrico tem tangente de perdas igual a 0,002.

Solucao: A atenuacao sofrida pela onda e obtida a partir da equacao (2.28), ouseja,

= Re

(j0, 002 1)

= 0, 42Np/m

Observe que, neste caso, = jtg , pois tg 1. Como a amplitude docampo eletrico cai de acordo com E(d) = Eo e

d, entao,

E(d)

Eo= 0, 9 = e z = d = 1

ln(0, 9) = 0, 25 m

A densidade volumetrica de potencia media, dissipada pelo dieletrico em forma decalor, e fornecida por

pm = Jef Eef = E2ef =

1

2 E2o

Como a condutividade equivalente = tg tg, entao

pm = 1010 4 8, 85 1012 0, 002 106 = 2224 W/m3

Observe que a condutividade foi desprezada por se tratar de um material dieletrico.

2.7 Propagacao em Meios CondutoresUma onda eletromagnetica propagando-se num meio condutor tem sua amplitudereduzida a medida que esta avanca dentro deste meio (vide Figura 2.1). A constantede propagacao, neste caso, e obtida de

j = (1 + j)

2(2.30)


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E(z)

z0

Figura 2.1: Propagacao num meio condutor, sendo z = 0 o plano de interface ar-condutor.

uma vez que a condutividade e alta, ou melhor, , tendo como consequencia k2. O fator de atenuacao associado a diminuicao de amplitude da onda e,portanto, dado por

=

2(2.31)

e a constante de fase tem o mesmo valor de . Sendo assim, pode-se representara variacao do campo eletrico de uma onda que se propaga no sentido z+como

E(z) = Eo e z ej z = Eo e

z/p ej z/p (2.32)

onde p = 1/ = 1/ e chamado de profundidade de penetracao.

2.8 Profundidade de Penetracao

Imagine uma onda eletromagnetica penetrando num meio condutor com amplitudede campo eletrico igual a 1V/m. Considere tambem que esta onda esta se propa-gando no sentido z+ e que o plano z = 0 e o plano de interface entre o ar e ocondutor. Qual deve ser a distancia do plano de interface ate o plano onde a ampli-tude de campo e igual a 36,8% do valor proximo a interface? A resposta e p, pois


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33 2.9. Velocidade de Fase e Impedancia num Condutor

Tabela 2.1: Profundidade de penetracao do cobre para algumas frequencias.f 60 Hz 6 kHz 6 MHz 6 GHzp 8,5 mm 0,85 mm 27m 0,85m

em z = 0 tem-se uma amplitude E(0) = Eo, e em z = tem-se

E() = Eo e 1 = 0, 368 Eo (2.33)

Esta distancia e chamada de profundidade de penetracao a 36,8% da amplitude decampo ou, simplesmente, profundidade de penetracao. Observe que p e inversa-mente proporcional a condutividade e a frequencia da onda, uma vez que

p =

2

=

1f

(2.34)

Portanto, quanto maior a condutividade e/ou frequencia, menor e a penetracao daonda no meio condutor. No caso do cobre, a profundidade de penetracao e dada por

p =6, 6 102

f(2.35)

A Tabela 2.1 mostra a variacao da profundidade de penetracao com a frequencia

para ondas propagando-se no cobre.

2.9 Velocidade de Fase e Impedancia num Con-dutor

Para ondas TEM, propagando-se num meio condutor, a velocidade de fase e dadapor

vf =

= p (2.36)

ou

vf =

2

=

4 vf

(2.37)

ou ainda


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vf = C

(2.38)

onde

C =4

(2.39)

Portanto, o meio condutor e um meio dispersivo anomalo, pois

dvfdo

= C2

= vf

< 0 (2.40)

A velocidade de grupo e entao dada por

vg = vf + vf

= 2vf (2.41)

O comprimento de onda no condutor e obtido de

c =2

= 2p (2.42)

e, finalmente, a impedancia e fornecida por

c =

j

j

j = j

(2.43)ou

c = (1 +j)

2=

45 (2.44)

Exemplo 2.4 Responda as perguntas do exemplo anterior considerando que a mesmaonda se propaga num meio condutor com condutividade igual a 107S/m e permeabil-idade igual a do vacuo.

Solucao: A atenuacao sofrida pela onda, neste caso, e = 1/p, ou seja,

=

f = 2 105 Np/m

Sendo assim,

E(d)

Eo= 0, 9 = e z = d = 1

ln(0, 9) = 1, 68 107 m


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35 2.9. Velocidade de Fase e Impedancia num Condutor

A potencia media dissipada por unidade de volume no condutor e fornecida por

pm =1

2 E2o

oupm = 5 106 106 = 5 1012W/m3

o que parece ser um valor absurdamente grande. Acontece que a amplitude do campoeletrico dentro do condutor, considerado neste exemplo, e muito grande. Como seravisto no proximo captulo, a amplitude do campo eletrico que consegue penetrarno condutor e muito pequena, pois a maior parte da energia da onda incidente erefletida na superfcie dos materiais condutores.


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Captulo 3

Propagacao em Meios Diferentes

3.1 Introducao

Neste captulo serao analisados alguns casos de ondas eletromagneticas planas, comdiferentes polarizacoes, propagando-se em meios diferentes. Inicialmente, o estudose concentrara nos casos onde a incidencia de ondas se faz perpendicular as interfacesentre os meios. O estudo de incidencia oblqua e feito nas ultimas secoes. Parametroscomo coeficiente de reflexao, transmissao e onda estacionaria serao introduzidos parafacilitar a determinacao de amplitude e fase das ondas refletidas e transmitidas,

numa transicao entre meios diferentes. Fenomenos como reflexao total, transmissaototal e formacao de ondas de superfcies serao abordados ao longo do captulo.

3.2 Incidencia Normal entre Dois Meios

A Figura 3.1 mostra um espaco constitudo de dois meios diferentes, separados peloplano z = 0. Uma onda plana linearmente polarizada, cuja fonte se encontra nomeio 1, incide normalmente sobre a interface de separacao dos meios. Nesta figuraencontram-se representados os vetores dos campos eletromagneticos das ondas inci-dente, refletida e transmitida. Observa-se que o vetor campo eletrico esta alinhado

na direcao x e o magnetico na direcao y. As ondas incidente e transmitida sepropagam no sentido z+, enquanto a refletida faz o sentido inverso, isto e, z. Sabe-se que, na interface entre os meios, os campos eletromagneticos tangenciais tem quesatisfazer as condicoes de fronteira:

Etan1 = Etan2 (3.1)

e

37


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CAPTULO 3. Propagacao em Meios Diferentes 38

Ei

z

Meio 1

0

x

y

Hi n 1

Meio 2

Er

Hrn

2

Et

Ht n 3

Figura 3.1: Onda plana incidindo normalmente sobre uma interface.

az Htan1 az Htan2 = J (3.2)Se nao houver corrente de conducao na interface, entao, a densidade de corrente Je nula e

Htan1 = Htan2 (3.3)

No caso da incidencia normal, todos os campos sao tangenciais, sendo que na fron-teira z = 0, tem-se

Ei + Er = Et (3.4)

e

Hi + Hr = Ht (3.5)

3.2.1 Transicao entre Dieletricos

Nos meios dieletricos, considerados meios nao-magneticos, a permeabilidade podeser considerada como o. Portanto, as impedancias intrnsecas nos meios 1 e 2 saofornecidas, respectivamente, por


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39 3.2. Incidencia Normal entre Dois Meios

1 = or1

= 120r1

(3.6)

e

2 =or2

=120

r2(3.7)

Os campos incidentes sao fornecidos por

Ei(z) = Ei ax = Eoi ej1z ax (3.8)

e

Hi(z) =1

1ay Ei(z) = Ei

1ay (3.9)

os refletidos por

Er(z) = Er ax = Eor ej1 z ax (3.10)

e

Hr(z) = 11

az Er(z) = Er1

ay (3.11)

Enquanto os transmitidos sao obtidos a partir de

Et(z) = Et ax = Eot ej2z ax (3.12)

e

Ht(z) =1

2az Er(z) = Er

2ay (3.13)

Sendo assim, para a interface z = 0, tem-se

Ei + Er = Et (3.14)

utilizando-se (3.4) e

1

1az Ei(z) 1

1az Er(z) = 1

2az Er(z) (3.15)

ou

Ei1

Er1

=Et2

(3.16)


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a partir de (3.5). Somando-se (3.14) e (3.16) obtem-se

2Ei =

1 +

12

Et (3.17)

ou

Et = 21Ei (3.18)

sendo

21 =EtEi

=22

2 + 1(3.19)

o coeficiente de transmissao do meio 1 para o meio 2 no plano z = 0. Pode-semostrar que, para onda incidindo na interface a partir do meio 2,

12 =21

2 + 1(3.20)

O coeficiente de reflexao, que e definido como a razao entre o campo refletido eo campo incidente, pode ser obtido dividindo-se (3.14) por Ei, isto e,

1 +ErE

i

=EtE

i

(3.21)

ou

1 + 21 = 21 (3.22)

Portanto,

21 = 21 1 = 2 12 + 1

(3.23)

O coeficiente de reflexao visto do meio 2 em direcao ao meio 1 e

12 = 12 1 = 1 22 + 1

(3.24)

3.2.2 Transicao Dieletrico-Condutor

Considerando-se que o meio 2 e um condutor perfeito, entao a impedancia intrnsecadeste meio e zero, o coeficiente de transmissao e nulo e o de reflexao igual a -1.Entretanto, se o condutor nao for perfeito, a impedancia e dada por (2.44), isto e,


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58/350


ou seja, a amplitude do campo eletrico refletido equivale a 80% do valor incidente.

Note que a onda sofre uma inversao de fase de 180.Para o caso da interface dieletrico-condutor, a impedancia do condutor e fornecida

por

= (1 + j)

f

= (1 + j) 7, 6 104 0

e o coeficiente de reflexao por

=(1 + j) 7, 6 104 377(1 + j) 7, 6 104 + 377 0.99999597

Como se pode observar, a amplitude da onda refletida e praticamente 100% do valorincidente.

3.2.4 Coeficiente de Onda Estacionaria

Voltando ao caso de uma onda plana incidindo sobre a interface dieletrico-condutor,sendo o condutor perfeito, tem-se como campo total no meio dieletrico

E = Ei + Er (3.30)

ou, para campos variando harmonicamente no tempo,

E = Eo sen (t z) + Eo sen(t + z) (3.31)Como = 1, entao

E = 2Eo cos t sen z (3.32)Observa-se em (3.32) que nao existe propagacao, portanto, a onda se encontra paradano espaco, variando sua amplitude no tempo e espaco de acordo com sen t e sen z,respectivamente. Este tipo de onda e denominada de onda estacionaria.

Se o meio 2 for um condutor qualquer, ou um outro dieletrico, entao, o coeficiente

de reflexao e diferente de -1. Sendo assim, o campo total pode ser escrito como

E = Eiosen (t z) + Erosen(t + z) (3.33)ou

E = (Eio + Ero) sen t cos z + (Eio Ero)cos t sen z (3.34)onde Ero = Eio.


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43 3.2. Incidencia Normal entre Dois Meios

Definindo-se

Eo cos = (Eio + Ero)cos z (3.35)

e

Eo sen = (Eio Ero) sen z (3.36)

tem-se

E = Eosen (t + ) (3.37)

sendo

Eo =

(Eio + Ero)

2 cos2 z + (Eio Ero)2 sen2 z (3.38)

e

= arctg

Eio EroEio + Ero

tg z

(3.39)

O campo eletrico da onda, representada por (3.37), tem amplitude maxima dadapor

Emax = |Eio| + |Ero| (3.40)

e mnima por

Emin = |Eio| |Ero| (3.41)

O coeficiente de onda estacionaria e definido como sendo

COE =EmaxEmin

=|Eio| + |Ero||Eio| |Ero| =

1 + ||1 || (3.42)

O termo SWR (Standing Wave Ratio) e muito empregado na pratica para designaro coeficiente de onda estacionaria. Como o modulo do coeficiente de reflexao variade 0 a 1, entao, 1 COE < .


60/350


61/350

45 3.3. Incidencia Normal com Propagacao em N Meios

como campos propagando-se na direcao z, sendo

n =2rn

o(3.47)

e

n =120

rn(3.48)

Mais uma vez, utilizando-se das relacoes de fronteira, obtem-se:

para a interface z = 0,

a1 + b1 = a2 + b2 (3.49)

e

a1 b1 = 12

( a2 b2) (3.50)

para z = d,

a2 ej2 d + b2 ej2 d = a3 ej3 d (3.51)

e

a2 ej2 d b2 e j2 d = 2

3a3 e

j3 d (3.52)

O coeficiente de reflexao na interface do meio 1 com o meio 2 e dado por

1(0) =b1a1

=eq 1eq + 1

(3.53)

onde eq e a impedancia intrnseca equivalente do meio 2 e 3 vista na interfacez = 0, no sentido z+. Enquanto o coeficiente de reflexao na interface do meio 2 com

o meio 3 e

2(d) =b2 e

j2 d

a2 ej2d=

b2a2

e2j2 d = 2(0) e2j2d (3.54)

Dividindo-se (3.49) por (3.50), tem-se

1 + 1(0)

1 1(0) =21

1 + 2(0)

1 2(0) (3.55)


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e

1 + 2(d)

1 2(d) =32

(3.56)

dividindo-se (3.51) por (3.52). Portanto, pode-se escrever a partir (3.56)

2(d) =3 23 + 2

(3.57)

Substituindo (3.53) e (3.54) em (3.55), obtem-se

eq

1=

2

1

1 + 2(d) e2j2d

1 2(d) e2j2d

(3.58)

ou

eq = 2ej2d + 32

3+2ej2d

ej2d 323+2

ej2d= 2

3

ej2d + ej2d

+ 2

ej2d ej2d2 (ej2d + ej2d) + 3 (ej2d ej2d) (3.59)

ou ainda

eq = 23 + j2 tg (2d)

2 + j3 tg (2d)(3.60)

O coeficiente de onda estacionaria no meio 1 e dado por

COE1 =1 + |1|1 |1| (3.61)

e, no meio 2, por

COE2 =1 + |2|1 |2| (3.62)

O campo refletido na primeira interface, num plano qualquer z 0 , e fornecidoa partir de

E1 (z) = b1 ej1z = 1(0) a1 e

j1z (3.63)

Enquanto o campo transmitido para o meio 2 e dado por

E+2 (z) = a2 ej2z =

1(0)

2(0)a1 e

j2z (3.64)

e o refletido


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E2 (z) = b2 ej2z = 1(0)2(0)2(0) a1 ej2z (3.65)

Finalmente, o campo transmitido para o meio 3 e obtido de

E+3 (z) = a3 ej3z =

1(0)

2(0)2(d) a1 e

j(23)d ej3z (3.66)

Sendo os coeficientes de transmissao, 1(z) e 2(z), dados respectivamente por

1(z) = 1 + 1(z) (3.67)

e

2(z) = 1 + 2(z) (3.68)

Exemplo 3.2 Uma onda plana de 10GHz incide normalmente sobre uma folha deplastico de 1cm de espessura. Qual o coeficiente de onda estacionaria na regiaoanterior a placa? Para que valores de espessura este coeficiente e unitario? Apermissividade relativa da placa e 4.

Solucao: Sabe-se que o COE nesta regiao depende do modulo do coeficiente de

reflexao na interface ar-dieletrico, que por sua vez depende da impedancia equiva-lente vista nesta interface, em direcao ao conjunto plastico-ar. Portanto, deve-secalcular a impedancia equivalente utilizando-se a equacao (3.60), ou seja,

eq = o + j tg (d)

+ jo tg (d)

onde a impedancia intrnseca do plastico e o argumento da tangente sao, respecti-vamente, fornecidos por

=o

r=

377

2= 188, 5

e

d =2

d =

2

ro

d =4

3

Sendo assim , o valor da impedancia equivalente e entao eq = 116 + j75 e ocoeficiente de reflexao

=eq oeq + o

=116 + j75 377116 +j75 + 377

0, 545 155


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Logo,

COE = 1 + ||1 || =

1 + 0, 5451 0, 545 = 3, 4

Observe que o COE e unitario quando o coeficiente de reflexao e nulo. Neste caso,a impedancia equivalente do conjunto plastico-ar tem que ser igual a impedancia domeio anterior a placa. Como este meio e o ar, entao, eq = o. E obvio que a identi-dade existe se o argumento da tangente na expressao da impedancia equivalente fornulo. Entretanto, isso significa dizer que a espessura d da folha, neste caso, e nula.A solucao geral para o problema e obtida quando se faz o argumento da tangenteigual a n, isto e,

d = 2ro

d = n = d = n o2

r= 3

4n cm

onde n e um numero inteiro positivo.

3.3.2 Propagacao em N Meios

A Figura 3.3 apresenta N meios de impedancias intrnsecas diferentes. Considerando-se que todos sao meios dieletricos sem perdas, tem-se para o meio n = 1, 2 N,

E+1

z

Meio 1

0

x

y

H+1 n 1

Meio 2 Meio N

E+N

H+N n

1

d1

E-

1

H-1n

2

E+2

H+2 n 1

E-2

H -2n

2

dN-2

Figura 3.3: Espalhamento em N meios.


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E+n (z) = an ejn z ax (3.69)e

H+n (z) =1

n

az E+n (z) =ann

ejn z ay (3.70)

como campos propagando-se na direcao z+ e, para o meio n = 1, 2 N 1,

En (z) = bn ejn z ax (3.71)

e

Hn (z) = 1

n

az En (z) = bnn

ejn z ay (3.72)

como campos propagando-se na direcao z. O coeficiente de reflexao na interfaceentre os meios N e N 1 e dado por

N1(zN1) =bN1 ejN1 zN1

aN1 ejN1zN1=

N N1N + N1

(3.73)

sendo

zN1 =

N1i=1

di (3.74)

Para m-esima interface (m = 1, 2 N 2), tem-se

m(zm) =bm e

jm zm

am ejm zm=

eqm meqm + m

(3.75)

onde

zm =m

i=1 di (3.76)e

eqm = m+1eqm+1 + jm+1 tg (m+1dm)

m+1 + jeqm+1 tg (m+1dm)

(3.77)

sendo

eqN1 = N (3.78)


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O campo refletido na primeira interface e dado por (3.63) e, o transmitido, por

(3.64), onde os coeficientes sao obtidos utilizando-se (3.75). Os demais campos saocalculados a partir de

E+n+1(z) = an+1 ejn+1 z =

n(dn1)n+1(dn1)

an ej(nn+1)dn1 ejn+1 z (3.79)

ou

E+n+1(z) = a1 ejn+1 z

ni=1

n(dn1)

n+1(dn1)ej(nn+1)dn1

(3.80)

e

En+1(z) = a1 n+1(dn1) ejn+1 z

ni=1

n(dn1)

n+1(dn1)ej(nn+1)dn1

(3.81)

sendo n = 1, 2 N 2, do = 0 e N(dN2) = 0.Exemplo 3.3 Determine, para uma onda de 10GHz, o coeficiente de reflexao naprimeira interface do conjunto ar-vidro-plastico-ar. Considere o mesmo plastico daquestao anterior e um vidro de meio centmetro de espessura com permissividade

relativa igual a 9.

Solucao: Como no problema anterior, o coeficiente de reflexao depende da impedanciaequivalente vista na primeira interface, em direcao ao resto do conjunto. Estaimpedancia pode ser obtida de forma recursiva, ou seja, primeiro se calcula aimpedancia equivalente na segunda interface, vista na direcao plastico-ar, paradepois se obter a impedancia na primeira interface. Portanto,

eq2 = po + jp tg (pdp)

p + jo tg (pdp)

eeq1 = v

eq2 + jv tg (vdv)

v + jeq2 tg (vdv)

onde os ndices p e v estao relacionados, respectivamente, com o plastico e o vidro. Aimpedancia intrnseca do plastico, calculada no exemplo anterior, e 188,5, enquantoa do vidro e dada por

v =o

r=

377

3= 125, 7


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51 3.4. Incidencia Oblqua entre Dois Meios

O argumento da tangente, no caso do vidro, e

vdv =2

dv =

2ro

dv =

Sendo assim, a impedancia equivalente na segunda interface e eq2 = 116 + j75,como calculado no exemplo anterior, e na primeira interface, eq1 = eq2, pois atangente de e zero. Portanto, o coeficiente de reflexao desejado e

=eq1 oeq1 + o

=116 + j75 377116 + j75 + 377

0, 545 155

Observe que o vidro nao exerceu nenhuma influencia sobre o resultado final, pois,

neste caso, sua espessura equivale a /2. Pode-se demostrar que, para espessurasiguais a multiplos de /2, a impedancia da primeira interface sera sempre igual ada segunda. Este resultado sera estudado com mais detalhes no proximo captulo.

3.4 Incidencia Oblqua entre Dois Meios

3.4.1 Ondas Linearmente Polarizadas - Caso Perpendicular

Uma onda eletromagnetica linearmente polarizada, com vetor campo eletrico per-pendicular ao plano de incidencia, incide obliquamente formando um angulo i, com

a normal da interface entre dois meios dieletricos sem perdas. A Figura 3.4 apresenta,alem do campo incidente, os campos refletidos e transmitidos. Considerando-se queo plano de incidencia seja o plano y = 0 e a interface se encontra no plano z = 0,tem-se:

Ei(r) = Eo ej1 n1 r ay (3.82)

e

Hi(r) =1

1

n1 Ei(r) = Eo1

ej1 n1 r ( cos i ax sen i az) (3.83)

como os campos incidentes,

Er(r) = Eo ej1 n2 r ay (3.84)

e

Hr(r) =1

1

n2 Er(r) = Eo1

ej1 n2 r (cos r ax sen r az) (3.85)


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Meio 2Meio 1

Ei

z

0

x

y

Hi n 1

r

Er

Hr

n2

i

rt

EtHt

n3

Figura 3.4: Incidencia Oblqua - Caso perpendicular.

como os campos refletidos, e

Et(r) = Eo ej2 n3 r ay (3.86)

e

Ht(r) =1

2

n3 Et(r) = Eo2

ej2 n3 r ( cos t ax sen t az) (3.87)

como os campos transmitidos. Os versores n1, n2 e n3 indicam a direcao depropagacao das ondas, e

1 n1 r = 1 zcos i + 1x sen i (3.88)

1 n2 r = 1 zcos r + 1x sen r (3.89)e

2 n3 r = 2 zcos t + 2 x sen t (3.90)


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fornecem as fases destas ondas.

Das condicoes de fronteiras (3.4) e (3.5) obtem-se, respectivamente,

ej1x seni + ej1x senr = ej2 x sen t (3.91)

e

cos i ej1x seni + cos r ej1x senr = 12

cos t ej2 x sent (3.92)

Para que exista continuidade na fronteira z = 0, os campos devem ter a mesmavariacao de fase, isto e,

ej1x seni = ej1x senr = ej2 x sent (3.93)

ou

1sen i = 1sen r = 2 sen t (3.94)

donde se conclui que

i = r (3.95)

A equacao (3.95) e conhecida como lei de Snell para reflexao. Voltando-se a atencaomais uma vez para equacao (3.94), tem-se

1sen i = 2 sen t (3.96)

ou, para meios dieletricos,

sen i =

21

sen t (3.97)

A expressao (3.97) e conhecida como lei de Snell para refracao.Considerando-se (3.94), a equacao (3.91) pode ser reescrita como

1 + = (3.98)

e a (3.92) como

cos i + cos r = 12

cos t (3.99)

Substituindo (3.98) em (3.99), tem-se


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= 2 cos i 1 cos t2 cos i + 1 cos t

(3.100)

ou, para meios nao magneticos sem perdas,

=cos i

21

sen2 icos i +

21

sen2 i(3.101)

3.4.2 Reflexao Total, Angulo Crtico e Onda de Superfcie

Observa-se em (3.101) que o coeficiente de reflexao e sempre um numero real desdeque a permissividade do meio 1 seja menor que a do meio 2, isto e, 2 > 1. Casocontrario, existirao certos angulos de incidencia que levarao o coeficiente de reflexaoa um valor complexo com modulo igual a um. A onda sera totalmente refletidaquando estes angulos forem iguais ou superiores a um certo angulo crtico c, dadopor

c = arcsen

21

(3.102)

Pode-se verificar que, para o angulo crtico

= 1 e o coeficiente de transmissao

= 2. Como foi dito, nenhuma onda se propaga no meio 2, ja que a reflexao etotal. Entretanto, este valor para o coeficiente de transmissao pode ser explicadocomo segue: se i c, entao

cos t = j

sen2 t 1 = j

12

sen2 i 1 (3.103)

Tomando-se

cos t = j12

sen2 i 1 (3.104)

o campo transmitido fica sendo expresso atraves de

Et = Eo ej2 z cos t ej2x sent = Eo e z ej2x sent (3.105)

onde

= 2

12

sen2 i 1 (3.106)


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o que corresponde a uma onda propagando-se no sentido x e com campo eletrico

decaindo exponencialmente na direcao z, dentro do meio 2. Esta onda e chamadade onda de superfcie.

E importante ressaltar que a reflexao total e, consequentemente, a formacao deonda de superfcie, pode tambem ocorrer no caso paralelo que sera visto a seguir,contanto que o meio 1 seja mais refringente que o meio 2.

Exemplo 3.4 Uma antena posicionada no fundo de um tanque de agua doce radiauma onda eletromagnetica de 300MHz, 200V/m de amplitude e polarizacao linearperpendicular ao plano de incidencia. A onda atinge a superfcie dagua com umangulo de 30 em relacao a normal desta superfcie. Qual deve ser a intensidadedo campo eletrico no ar a um metro de altura? A onda continua propagando-se pelo

ar? Para simplificar o problema, considere que a onda, quando chega na interfaceagua-ar, e praticamente plana. Despreze as reflexoes nas paredes do tanque.

Solucao: O primeiro passo e verificar se existe reflexao total, pois a agua e maisrefringente que o ar. Portanto, deve-se determinar qual o valor do angulo crticoque, nesta situacao, e

c = arcsen

1

81= arcsen

1

9= 6, 4

Como o angulo de incidencia e maior que o angulo crtico, entao, a onda e total-

mente refletida para dentro do tanque. Entretanto, existira campo eletrico no ardevido a onda de superfcie. Para se obter a intensidade deste campo e necessario sedeterminar a amplitude do campo transmitido proxima a interface agua-ar. Sabe-seque a amplitude da onda de superfcie e dada por

Et = || Eo e z

onde, neste problema, Eo = 200V/m, z corresponde a altura em relacao ao nvel daagua no tanque e

= 1 + =2cos i

cos i + 21

sen2 i=

2cos30

cos 30 +

81

sen2 30

1, 74 30

O valor da atenuacao, , e obtido de

=2

o

12

sen2 i 1 = 2

81sen2 30 1 = 27, 6Np/m

Sendo assim, a intensidade de campo a um metro da superfcie da agua e enta

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