LICENCIATURA EM BIO-

LOGIA

Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia de Alagoas

Departamento de Educação a Distância

Universidade Aberta do Brasil

Unidades

Unidade 1 - Conceitos prévios em Estatística

Introdução Histórica: O que é a estatística

População e Amostra

Censo x Amostragem

Dado e Variável

Atividades

Unidade 2 - Ferramentas necessárias ao Estudo de Estatística

Números Aproximados e Arredondamento de dados

Fração

Porcentagem

Somatórios

Atividades

Unidade 3 - Obtenção de Dados

Etapas do Método Estatístico

Apresentação Tabular

Análise e avaliação dos resultados obtidos

Tomada de Decisão

Aplicação do método estatístico através de um projeto de pesquisa

Elaboração de um questionário

Um aplicação de questionário

Codificação dos dados

Unidade 4 - Técnicas de Amostragem

Técnicas estatísticas de abordagem

Amostragem Casual ou Aleatória Simples

Amostragem Proporcional Estratificada

Amostragem de Conglomerados

Amostragem Sistemática

Atividades

Unidade 5 - Séries Estatísticas

Série Temporal ou Cronológica

Série Geográfica ou Territorial

Série Específica ou Qualitativa

Série Mista, Conjugada ou Composta

Série de Distribuição de Freqüências

Atividades

Unidade 6 - Distribuição de Frequências

Definições Básicas

Tipos de Freqüências

Distribuição de Freqüência para dados agrupados em intervalos de classe

Atividades

Unidade 7 - Gráficos Estatísticos

Gráficos de Linha

Gráficos de colunas ou em barras

Gráficos de colunas ou em barras múltiplas

Gráfico de colunas comparativas

Gráficos de setores

Gráfico Pictorial - Pictograma

Gráfico polar

Cartograma

Atividades

Unidade 8 - Medidas de Posição

Média Aritmética Simples (dados não agrupados)

Média Aritmética Ponderada (dados agrupados)

Mediana

Moda

Emprego das medidas de posição

Atividades

Unidade 9 - Medidas de Variabilidade

Amplitude total

Desvio

Desvio Médio

Variância e Desvio Padrão

Interpretação do Desvio Padrão

Coeficiente de variação

Atividades

Unidade 10 - Introdução a Probabilidade

Métodos de Contagem

Conceitos Básicos

Regras básicas de probabilidade

Regras Básicas do Calculo das Probabilidades

Distribuição de Probabilidades

Atividades

Unidade 11 - Correlação e Regressão

Correlação Linear

Coeficiente de correlação de Pearson

Regressão – Reta de Regressão

Atividades

Introdução

1.1 Introdução Histórica

As idéias fundamentais de estudos estatísticos como: contagem, enumeração, re-

gistros de dados, número de nascimentos e de óbitos, estimativas de estoques e recen-

seamentos, já se encontravam presentes nas civilizações antigas. Além da finalidade so-

cial e econômica, existia também a bélica. Por meio da estatística , o Estado sabia quan-

tos bens possuía, como estavam distribuídos e conhecia também sua população. Essas

informações auxiliavam a cobrança de impostos e também o recrutamento militar, pois,

com guerras constantes, era de suma importância avaliar o armamento , saber de quan-

tos jovens o Estado podia contar para treinamento.

A partir do século XVI, foi que surgiram as primeiras informações registradas e or-

ganizadas de fatos sociais em tabuas, isto é, batizados, casamentos, nascimentos, etc..

O termo estatística surge da expressão em latim statisticum collegium palestra

sobre os assuntos do Estado, de onde surgiu a palavra em língua italiana statista, que

significa "homem de estado", ou político, e a palavra alemã Statistik, designando a

análise de dados sobre o Estado. A palavra foi proposta pela primeira vez no século XVII,

em latim, por Schmeitzel na Universidade de Lena e adotada pelo acadêmico alemão

Godofredo Achenwall. Aparece como vocabulário na Enciclopédia Britânica em 1797, e

adquiriu um significado de coleta e classificação de dados, no início do século 19.

De acordo com a Revista do Instituto Internacional de Estatística, "Cinco homens,

Hermann Conring,Gottfried Achenwall, Johann Peter Süssmilch, John Graunt e William

Petty já receberam a honra de serem chamados de fundadores da estatística, por

diferentes autores.

Alguns autores dizem que é comum encontrar como marco inicial da estatística a

publicação do "Observations on the Bills of Mortality" (1662) de John Graunt.

As primeiras aplicações do pensamento estatístico estavam voltadas para as

necessidades de Estado, na formulação de políticas públicas, fornecendo dados

demográficos e econômicos. A abrangência da estatística aumentou no começo do

século XIX para incluir a acumulação e análise de dados de maneira geral. Hoje, a

estatística é largamente aplicada nas ciências naturais, e sociais, inclusive na

administração pública e privada.

O primeiro levantamento estatístico de que se tem conhecimento se deve a Heró-

doto e se refere a um estudo da riqueza da população do Egito, cuja finalidade era averi-

guar quais eram os recursos humanos e econômicos disponíveis para a construção das

pirâmides, isso no ano de 3050 a. C. No ano de 2238 a. C., o Imperador Chinês Yao orde-

nou a realização de uma Estatística com fins industriais e comerciais. No ano de 1400 a.

C., o famoso faraó egípcio Ramsés II ordenou um levantamento das terras do Egito. Exis-

tem ainda, outros casos de Estatísticas no período antigo da civilização.

Estatística é a ciência que trata do delineamento, coleta, organização, sumarização,

apresentação e análise de dados, bem como, na obtenção de conclusões válidas e toma-

das de decisões em diversos campos, a saber, engenharias, campo da saúde, biologia,

farmácia, biofísica etc. Algumas dessas ciências usam a estatística aplicada tão

extensivamente que elas têm uma terminologia especializada:

Bioestatística;

Contabilometria;

Controle de qualidade;

Estatística comercial;

Estatística econômica;

Estatística engenharia;

Estatística física;

Estatística populacional;

Estatística psicológica;

Estatística social (para todas as ciências sociais);

Física quântica;

Pesquisa operacional;

Análise de processo e quimiometria (para análise de dados da química analítica e

da engenharia química).

Estatística forma uma ferramenta chave nos negócios e na industrialização como

um todo. É utilizada a fim de entender sistemas variáveis, controle de processos

(chamado de "controle estatístico de processo" ou CEP), custos financeiros (contábil) e

de qualidade e para sumarização de dados e também tomada de decisão baseada em

dados. Em nessas funções ela é uma ferramenta chave, e é a única ferramenta segura.

O crescimento rápido e sustentados no poder de processamento dos computadores

a partir da segunda metade do século XX teve um forte impacto na prática da estatística.

Os modelos estatísticos mais antigos eram quase sempre lineares, mas os computadores

modernos junto com algoritmos numéricos apropriados, causaram um aumento do

interesse nos modelos não-lineares (especialmente redes neurais e árvores de decisão)

assim como na criação de novos tipos, como o modelo linear generalizado e o modelo

multi-nível.

O aumento na capacidade de computação também tem levado à popularização de

métodos que demandam muitos cálculos baseados em resampling, como testes de

permutação e bootstrap, enquanto técnicas como o sampling de Gibbs tem feito com

que os métodos de Bayes fiquem mais fáceis. A revolução informática também tem

levado a um aumento na ênfase na estatística "experimental" e "empírica". Um grande

número de softwares estatísticos, de uso tanto geral como específico estão disponíveis

no mercado. Na medida em que nossa sociedade se tornou muito mais diversificada, o

que comprova a grande importancia dessa ciencia antiga.

Há um século, H. G. Wells dizia: “Raciocinar estatisticamente será um dia tão neces-

sário quanto à habilidade de ler e escrever”. Hoje, problema não é de escassez de infor-

mação, mas como utilizar essas informações abundantes disponíveis para tomar as me-

lhores decisões.

Segundo Fisher (R. A. Fisher) Estatística é o estudo das populações, das variações e

dos métodos de redução de dados

A Estatística desempenha duas grandes funções: Descritiva e Indutiva ou Inferenci-

al.

a) Descritiva – descreve um conjunto de dados variáveis, reduzindo-os a um peque-

no número de medidas que contém toda a informação relevante. Utiliza número

para descrever fatos. Somente descreve e avalia certo grupo (amostra), sem tirar

quaisquer conclusões ou inferências sobre um grupo maior (população).

b) Indutiva ou Inferencial – diz respeito à análise e interpretação de dados amos-

trais. Consiste me obter e generalizar conclusões sobre a população a partir de

uma amostra. Utiliza-se da estimação de parâmetros e verificação de hipóteses,

esta por meio, da aplicação dos testes de significância. Auxilia no delineamento

de experimentos e levantamento para, dentro de uma precisão estipulada, obter-

se a informação desejada livre da influência de fatores perturbadores.

A Estatística fornece os preceitos da casualização, repetição, controle local, os deline-

amentos experimentais e os métodos de amostragem, ou seja, normas lógicas que garan-

tam a validez das comparações entre tratamentos e aumentem a precisão dessas compa-

rações.

1.2 População x Amostra

População (N): Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado fenô-

meno que possuem pelo menos uma característica em comum, a população é o

conjunto Universo, podendo ser finita ou infinita. População (universo) é a totalida-

de dos itens considerados no estudo

1. Finita - apresenta um número limitado de observações, que é passível de conta-

gem.

2. Infinita - apresenta um número ilimitado de observações que é impossível de

contar e geralmente esta associada a processos..

Uma população pode, mediante processos operacionais, ser considerada infinita,

pois a mesma irá depender do tamanho da amostra. Se a freqüência relativa en-

tre amostra e população for menor do que 5% ela é considerada infinita, se a fre-

qüência relativa for maior do que 5% ela é considerada finita.

Amostra (n): É um subconjunto da população e deverá ser considerada finita, a

amostra deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de

modo que ela represente todas as características da população como se fosse uma

fotografia desta. Amostra é a parte da população selecionada para análise

Parâmetros: são medidas populacionais quando se investiga a população em sua totali-

dade, neste caso é impossível fazer inferências, pois toda a população já foi investigada.

Estatísticas ou Estimadores são medidas calculada para descrever uma característica de

apenas uma amostra da população, torna-se possível neste caso utilizarmos as teorias de

inferências para que possamos fazer conclusões sobre a população

Amostra

População

^

22

pProporção

PadrãoDesvio

Variância

Média

estimados) valores(

Estimador

)reai valores(

Parâmetros

S

S

X

s

Exemplos:

1. Níveis de glicose no sangue de um grupo de 20 pacientes (amostra) selecionados

aleatoriamente de uma lista de pacientes diabéticos de um hospital Público (po-

pulação).

2. Tempos de resposta a um estímulo de um grupo de 30 ratos tipo rato-de-telhado

(Rattus rattus) (amostra) que, por suposição, representam todos os ratos tipo ra-

to-de-telhado (Rattus rattus) existentes (população).

3. Números de horas semanais dedicadas ao estudo de um grupo de 32 estudantes

de graduação do IFAL (amostra) escolhidos aleatoriamente do conjunto total de

estudantes de graduação do IFAL (população).

População Amostra

Parâmetros para estimar

atitudes

Estatísticas ou Estimado-

res para estimar atitudes

Conclusões sobre a População a partir da Amostra

1.3 Censo x Amostragem

Pesquisa Estatística: É qualquer informação retirada de uma população ou amostra,

podendo ser através de Censo ou Amostragem.

Censo: É a coleta exaustiva de informações das "N" unidades populacionais.

Amostragem: São o processo de retirada de informações dos "n" elementos amos-

trais, no qual deve seguir um método criterioso e adequado (tipos de amostragem).

1.4 Dados e Variáveis

Dados estatísticos: é qualquer característica que possa ser observada ou medida de al-

guma maneira. As matérias-primas da estatística são os dados observáveis.

Variável: É aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão, geral-

mente as variáveis para estudo são selecionadas por processos de amostragem. Os sím-

bolos utilizados para representar as variáveis são as letras maiúsculas do alfabeto, tais

como X, Y, Z, ... que pode assumir qualquer valor de um conjunto de dados. As variáveis

podem ser classificadas dos seguintes modos: Deste modo, é fundamental estabelecer-

mos o tipo de Variável, pois a sua identificação determinará o tipo de estatística utilizada

Tipos de Variáveis

Qualitativas (ou atributos): São características de uma população que não pode

ser medida.

Nominal: são utilizados símbolos, ou números, para representar determinado tipo de

dados, mostrando, assim, a qual grupo ou categoria eles pertencem.

Ordinal ou por postos: quando uma classificação for dividida em categorias ordena-

das em graus convencionados, havendo uma relação entre as categorias do tipo

“maior do que”, “menor do que”, “igual a”, os dados por postos consistem de valores

relativos atribuídos para denotar a ordem de primeiro, segundo, terceiro e, assim, su-

cessivamente.

Exemplos:

a) A cor dos olhos de estudantes de um curso de biologia – variável qualitativa

nominal.

b) Coleção de livros de biologia – variável qualitativa nominal.

c) Sexo dos estudantes de uma instituição, isto é, masculino ou feminino - variá-

vel qualitativa nominal.

d) Grau de instrução de pessoas que trabalham em um hospital – variável quali-

tativa ordinal.

e) Relação de classificados em um concurso público – variável qualitativa ordinal.

Quantitativas: São características populacionais que podem ser quantificadas,

sendo classificadas em discretas e contínuas.

Discretas: são aquelas variáveis que pode assumir somente valores inteiros num con-

junto de valores. É gerada pelo processo de contagem, como o número de veículos

que passa em um posto de gasolina, o número de estudantes nesta sala de aula.

Exemplo:

a) Número de filhos por casal – variável quantitativa discreta.

b) Número de pontos feitos em um paciente de um hospital – variável quantita-

tiva discreta.

c) Número de equipamentos em um laboratório - variável quantitativa discreta.

d) Número de estudantes que cursam Licenciatura em Biologia - variável quanti-

tativa discreta.

Contínuas: são aquelas variáveis que podem assumir um valor dentro de um intervalo

de valores. É gerada pelo processo de medição. Neste caso serve como exemplo o vo-

lume de água em um reservatório ou o peso de um pacote de cereal.

Exemplo:

a) Número de alimentos, em quilogramas, ingerida por estudantes num restau-

rante do IFAL, Campus Maceió - variável quantitativa continua.

b) Quantidade de dinheiro gasto por turistas em Maragogi – variável quantitativa

continua.

c) Volume de refrigerante, em ml, contido em um copo - variável quantitativa

contínua.

Atividade

1. Uma Empresa tem 3.500 clientes cadastrados. Para melhor atendê-los, foi pesquisada

a preferência em relação ao tempo de duração da viagem, ao preço dos pacotes, ao

número de acompanhantes, ao número de passeios e à qualidade dos serviços pres-

tados em uma viagem. Foram consultadas, de modo imparcial, 600 pessoas.

a) Qual a população pesquisada?

b) Quantas pessoas tem a população estatística envolvida nessa pesquisa?

c) A amostra pesquisada foi de quantas pessoas?

d) Quais foram às variáveis qualitativas pesquisadas?

e) Quais foram às variáveis quantitativas pesquisadas? Classifique-as como discreta

ou contínua.

2. Classifique a variável como qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua.

a) População: estudantes do IFAL.

Variável: cor dos cabelos

b) População: funcionários do IFAL.

Variável: idade

c) População: computadores produzidos por uma indústria de informática.

Variável: número de peças usadas na fabricação

d) População: pacientes de um hospital de Alagoas

Variável: número de leitos ocupados

e) População: jogadores de basquete de um clube brasileiro

Variável: massa dos jogadores

f) População: usuários de internet no Brasil

Variável: provedor usado

3. Para pesquisar o refrigerante preferido dos estudantes de um dos Campi do IFAL com

2.100 alunos, foram selecionados, de modo imparcial, 650 estudantes. Com base nes-

sas informações, responda:

a) Qual a população dessa pesquisa?

b) Quantas pessoas têm a população dessa pesquisa?

c) A amostra dessa pesquisa é formada de quantas pessoas?

d) Qual variável foi estudada nessa pesquisa?

4. Bernadete é dona de uma loja de brinquedos. Para ampliar a qualidade da loja, Ber-

nadete resolveu pesquisar o perfil dos clientes em relação à renda mensal, ao modelo

de brinquedo preferido, ao número de brinquedos que cada cliente compra e à quali-

dade dos serviços prestados pela loja. Dos 2.000 clientes cadastrados nessa loja,

1.200 foram entrevistados:

a) Qual a população dessa pesquisa?

b) Quantas pessoas tem a população dessa pesquisa?

c) A amostra pesquisada foi de quantas pessoas?

d) Determine as variáveis pesquisadas e classifique-as como qualitativa, quantitativa

contínua ou quantitativa discreta.

Ferramentas necessárias ao Estudo de Estatística

Apresentaremos alguns cálculos básicos que serão de extrema importância no es-

tudo da Estatística.

2.1 Números Aproximados e Arredondamento de dados

A norma NBR 5891 da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) estabelece as

regras fixas de arredondamento na numeração decimal, em uso na atualidade. Essas re-

gras estão de acordo com a Resolução 886/1966 do IBGE.

Sinais convencionais utilizados:

0,00 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de dado numéri-

co originalmente positivo.

- 0,00 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de dado numé-

rico originalmente negativo.

O arredondamento dos dados numéricos deve respeitar as diferenças significativas

(absolutas e relativas) existentes entre eles.

No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser abando-

nado for 0, 1, 2, 3 ou 4, deve ficar inalterado o último algarismo a permanecer.

Exemplos:

9,2377 (arredondado para número inteiro resulta 9);

9,2377 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 9,2);

21,0509 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 21,05).

No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser abando-

nado for 6, 7, 8 ou 9, deve-se aumentar de uma unidade o último algarismo a per-

manecer.

Exemplos:

399,85 (arredondado para número inteiro resulta 400);

399,86 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 399,9);

9,2377 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 9,24).

Quando o primeiro algarismo a ser abandonado no arredondamento é 5, há dois pro-

cedimentos:

Se após o algarismo 5 seguir em qualquer casa um número diferente de zero (0),

aumenta-se em uma unidade o algarismo que antecede o 5;

Exemplos:

237,85001 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 237,9);

5,5256 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 5,53)

Se após o algarismo 5 não seguir, em qualquer casa um número diferente de zero

(0), ao algarismo que antecede o 5 será acrescentada uma unidade, se for impar, e

permanecerá como está, se for par.

Exemplos:

246,35 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 246,4, pois o

número que antecede o 5 é impar);

246,85 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 246,8, pois o

número que antecede o 5 é par, desta forma, ele fica inalterado);

12,1250 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 12,12, pois o

número que antecede o 5 é par);

Observação: Nos softwares de computadores (como a planilha Excel) e calculado-

ras cientificas, porém, não é aplicado o critério indicado neste item. Nesse caso,

se o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, o arredondamento será feito

com o aumento de uma unidade ao algarismo que antecede o 5.

Exemplos:

246,35 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 246,4);

246,85 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 246,9);

12,1250 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 12,13);

2.2 Fração

É uma parte do todo ou seja um par ordenado onde o segundo número é diferen-

te de zero. b

a , com a Є IN e b Є IN*. (a pertence ao conjunto dos números naturais e b

pertence ao conjunto dos números naturais não nulos (com exclusão do zero).

Fração Própria – é aquela onde o numerador é menor que o denominador como por

exemplo: 17

13,

7

2,

5

3, etc.

Fração imprópria é aquela onde o numerador é igual ou maior que o denominador.

Exemplo: 4

12,

4

4,

2

7, etc.

Fração aparente é a fração onde o numerado é múltiplo do denominador.

Exemplo: 4

12 representa o número 3 pois 12:4 = 3; se o numerador é zero , a fração

apresenta o número zero. Assim 04

0 . Todo número natural pode ser apresentado

por uma fração com denominador 1. Assim 7 pode ser apresentado por 1

7.

Frações Equivalentes – duas frações são equivalentes quando os produtos do nume-

rador de um pelo denominador da outra são iguais.

Exemplo: para 2

1 e

4

2 onde temos: 1 x 4 = 2 x 2

Simplificação de frações - Basta dividir ambos os termos por um divisor comum.

Exemplo: 2

1

36

33

6

3

Fração irredutível é aquela que os números são primos entre si (isto é , não possui

outro divisor comum a não ser o número 1).

Exemplo: 17

7 é uma fração irredutível, pois 7 e 17 são números primos entre si.

Comparação de frações - Para compararmos duas ou mais frações deverão reduzi-la

ao mesmo denominador e lembrar que, de duas frações com o mesmo denomina-

dor, a maior é aquela que contém o maior numerador.

Operações com frações

Adição e subtração

a) Frações homogêneas – conserva-se o denominador e adicionam-se ou

subtraem os numeradores.

Exemplo: 5

9

5

7

5

2 ou

3

5

3

2

3

7

b) Frações heterogêneas – reduzem-se as frações ao mesmo denominador,

obtendo-se dessa forma frações homogêneas.

Exemplo: 15

22

15

10

15

12

15

52

15

34

3

2

5

4

4/

Reduzindo ao mesmo denominador – para isso, vamos calcular o mínimo múlti-

plo comum dos denominadores como no exemplo acima:

mmc de 3 e 5, isto é, mmc(3,5)=15

3 5 3

1 5 5

1 1 3x5

Logo m.m.c de 3 e 5 é 3x5 =15

Observe que reduzimos ao mesmo denominador 3 e 5 para 15.

Multiplicação de frações - Produto de numeradores por numeradores e denomi-

nadores por denominadores.

Exemplo: 21

12

37

43

3

4

7

3

, isto é, 3 x 4 = 12 e 7 x 3 = 21 o que resulta em

21

12.

O processo da multiplicação pode ser facilitado usando a simplificação pelo cancela-

mento dos fatores comuns dos numeradores e dos denominadores.

Exemplo:

5

3

3

2 , nesse caso é possível simplificar 3 por 3 ou seja 3:3 =1 ficando dessa forma 2

X 1 = 2 e 1 X 5 = 5 o que resulta em 5

2.

Divisão de frações - Produto da primeira pelo inverso da segunda.

Exemplo: 6

7

32

71

3

7

2

1

7

3

2

1

Potenciação de Frações - Devemos elevar o numerador e o denominador a esse

expoente.

Exemplo: 25

4

5

2

5

22

22

.

Nota: Sempre que possível simplificar o resultados como vimos no tópico de simplifica-

ção de frações.

2.3 Porcentagem ou Percentagem

O calculo da porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos

comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio do sinal

%, quando efetuamos um cálculo de porcentagem, na verdade estamos efetuando um

simples calculo de proporção. Podemos dizer também que são razões que consistem em

considerar um total qualquer igual a 100% e, através de uma regra de três simples, esta-

belecemos qualquer relação com as parcelas que compõem o total.

Uma forma de cálculo é a seguinte:

100

PercentualxValormPorcentage

Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes (ou denominador)

sejam iguais a 100.

Representação:

Em fração; 100

30 (trinta por cem ou vinte sobre cem);

100

20 (vinte por cem ou vinte sobre

cem),

Em forma unitária: 0,30 ( zero virgula trinta ou zero virgula três); 0,20 (zero vírgula vinte

ou zero virgula dois).

Em forma percentual:100

30 corresponde a 30% (trinta por cento);

100

20 corresponde a

20% (vinte por cento).

Exemplos:

1) Em uma classe de 30 estudantes, 15 foram aprovados. Qual a taxa percentual de

aprovação?

Valor Percentual

30 ------- 100%

15 ------ X (%)

onde: 30X = 100 x 15

30X = 1500 X = 1500/30 = 50%

Logo, foram aprovados 50% dos estudantes.

2) Ao comprar um livro , obtive um desconto de R$3,00. Qual o preço do livro saben-

do que a taxa de desconto foi de 5%?

Valor Percentual

3 ------- 5%

X ------ 100(%)

5X = 300

X = 300/5 = 60, isto é, o preço do livro foi R$60,00.

2.4 Somatórios

Muitas vezes necessitamos escrever expressões que envolvam somas com muitos

termos ou elementos, ou cujos termos ou elementos obedecem a certa lei de formação.

Por exemplo:

1 + 2 + 3 + 4 +....+ 50

Simbolizaremos por 1x o primeiro termo, 2x o segundo termo, 3x o terceiro

termo, 50x o qüinquagésimo termo. Assim, poderemos representar ix como sendo o i-

ésimo termo da soma. Chamaremos de n o número de termos da soma. Desta forma, na

ilustração, n=50.

A soma de n termos pode ser simbolicamente representada por

n

i

ix1

No caso do exemplo anterior termos 50 termos, então n=50 e a soma desses cin-

qüenta termos ou números será representada por

50

1i

ix

Vejamos as partes do símbolo do somatório

O símbolo é a letra grega sigma maiúscula.

A instrução para

somar

O primeiro elemento

dos termos a serem

somados

O n é o último termo ou ele-

mento a ser somado

x é o nome dos termos ou

elementos a serem somados

i é uma observação individual

ou índice para cada termo

n

i

ix1

Lê-se: “Somatório de ix , para i variado de 1 até n” ou “soma de ix , para i va-

riado de 1 a n”

Exemplo: Sendo 1;2;8;3;7 54321 xxxxx , calcule

5

1i

ix .

Solução:

21

,éisto,211283754321

5

1

i

i

i

x

xxxxxx

Propriedades:

I Se cada elemento da soma for multiplicado por um número (ou uma constante),

os elementos da soma podem ser somados, e depois a soma será multiplicada pe-

lo número (ou constante).

iixccx

iixx 22

II A soma de um número (ou constante) sobre n termos é igual a n vezes o número

(ou constante).

ncc

20210210

1

xi

III O somatório da soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) de somatórios.

iiii yxyx )(

IV O somatório de 2

ix

22

3

2

2

2

1

2

nixxxxx

Observação: 22)( ii

xx

Quando não houver possibilidades de dúvida, podemos eliminar os índices. As-

sim:

n

i

i

n

i

i xxxx1

2

1

2 ,deinvesaousados,serão,

Atividade

1. Qual o resultado de 3/4 + 4/5:

a. 31/20

b. 30/20

c. 22/20

d. 1/4

2. Quanto é 6/12 X 2/9:

a) 1/9

b) 2/3

c) 3/5

d) 1/25

3. Eu uma classe de 50 estudantes faltaram 15. Qual a quantidade de estudantes

presentes em porcentagem?

a) 30%

b) 70%

c) 25%

d) 35%

4. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter um lucro de

20% sobre o custo?

a) R$ 170,00

b) R$ 180,00

c) R$ 185,00

d) R$ 190,00

5. Calcule:

a) 2% de 458,94

b) 33% de 280

c) 100,4% de 110

d) 0,5% de 238

10 Sendo

1;2;8;3;7: 54321 xxxxxX

2;6;1;1;3: 54321 yyyyyY

Calcular:

a) ix

b) iy

c) )( ii yx

d) ii yx

e) )1( ix

f) 2

ix

g) 2

iy

Obtenção de Dados

A polêmica em torno de dados estatísticos é comum. Basta que seja divulgado os

resultados de uma pesquisa de intenção de votos, por exemplo, para que alguns candida-

tos envolvidos saiam contestando sua validade.

A Estatística é um instrumento eficiente para a compreensão e interpretação das

realidades e não deve ser subestimada.

Realmente, existem pesquisas feitas de forma incorreta e que, por isso, não são

confiáveis. Mas, em geral, quando um estudo estatístico é feito com bastante critério,

seus resultados permitem obter conclusões e prever tendências sobre fatos e fenômenos

estudados.

Entretanto, um estudo bem feito não elimina o erro, mas limita-o a uma margem

de erro, procurando torná-lo o menor possível.

3.1 Etapas do Método Estatístico

Vamos discutir nesta unidade a importância de cada etapa do método estatístico e

como falhas na sua execução poderá levar a resultados enganosos

Quando buscamos tomar decisões do nosso dia a dia estamos direta ou

indiretamente fazendo um levantamento de dados observados. A informação obtida de

cada elemento da população (ou da amostra) é gravada ou arquivada e apresentada na

ordem em que as entrevistas ou medidas são realizadas. Ao decidir, por exemplo, pela

compra de um determinado bem, procuramos veirificar se esse bem satisfaz as nossas

espectativas, se o seu preço é compativel com o nosso orçamento, além de outras

situações ou caracteristicas.

Para um estudo estatístico confiável depende do planejamento e da correta execu-

ção das etapas da pesquisa.

Desde a mais simples até a mais complexa pesquisa de mercado deve ser planejada

para evitar falhas de todos os tipos, desde a escolha incorreta do método a ser usado até

a importância das informações obtidas para o processo decisório.

3.1.1 O que devemos pesquisar – primeiramente, é preciso definir com clareza quais os

objetivos da pesquisa que queremos realizar, ou seja, o que se pretende apurar, que tipo

de problema está se buscando detectar.

Objetivo – quais perguntas a pesquisa vai responder.

EXEMPLO: Objetivo Geral: conhecer o perfil de trabalho dos funcionários de um de-

terminado hotel, para orientar políticas de gestão de pessoas.

Para podermos dar seqüência a esta pesquisa, precisamos especificar melhor o que

queremos conhecer da população de funcionários desse hotel, ou seja, os objetivos

específicos. Alguns destes objetivos específicos poderiam ser:

Conhecer o tempo médio de serviço dos funcionários neste hotel.

Conhecer a distribuição do grau de instrução dos funcionários.

Verificar o interesse dos funcionários em participar de programas de treinamento.

Avaliar o grau de satisfação dos funcionários com o trabalho que exercem no ho-

tel.

Verificar se existe associação entre o grau de satisfação do funcionário com a sua

produtividade.

A elaboração dos objetivos específicos deve ser feita, de tal maneira, que forneça

uma primeira indicação das características que precisamos observar. Por exemplo, para

atingir aos objetivos do problema em questão, precisamos levantar as seguintes caracte-

rísticas de cada funcionário: tempo de serviço, grau de instrução, interesse em participar

de treinamento, grau de satisfação com o trabalho e produtividade, etc.

3.1.2 Qual o Público-alvo?

Chamamos de publico alvo ou população alvo ao conjunto de elementos que quere-

mos abranger em nossa pesquisa. São os elementos para os quais desejamos que as con-

clusões vindas da pesquisa sejam válidas.

No exemplo anterior, a população alvo que será definida são todos os funcionários do

hotel. Entretanto, se a coleta de dados for feita no próprio local de trabalho e no período

de uma semana, os funcionários que neste período estão de férias ou de licença ficam de

fora do levantamento. Desta forma, as conclusões baseadas nesses dados não valem,

necessariamente, para todos os funcionários do hotel.

Assim, definimos como população acessível, ou simplesmente como população, o

conjunto de elementos que queremos abranger em nossa pesquisa e que são passiveis

de serem observados, com respeito às características que pretendemos levantar. Reali-

zando adequadamente a pesquisa, podemos garantir que os resultados serão validos

para este conjunto de elementos.

3.1.3 Como desenvolveremos o plano de pesquisa

Vejamos algumas questões importantes

a. Qual método de pesquisa será usado

b. Qual o Universo da Pesquisa

c. Qual a Amostra

d. Já existem pesquisas anteriores sobre o tema? Elas servem de referencia para as

pesquisas futuras? Que aspectos devem ser aprimorados ou modificados na nova

pesquisa?

e. De quanto tempo se dispõe para fazer a pesquisa? Que grau de precisão ele exi-

ge?

f. Quais os fatores relacionados ao objeto de estudo, ou que variáveis estão envol-

vidas no problema em questão?

3.1.4 Como a pesquisa será feita – è necessário elaborar uma estratégia para fazer o

levantamento de dados.

3.1.4.1 Quais os dados significativos para a pesquisa?

3.1.4.2 Existem dados disponíveis em algum órgão especializado, como por exemplo

IBGE ou outros?

3.1.4.3 Se não, como os dados serão obtidos? Diretamente, por exemplo, por meio de

questionários ou de entrevistas?

3.1.4.4 A coleta abrangerá toda a população pesquisada ou será parcial, isto é, será

feita a partir de uma amostra da população?

3.1.4.5 Deve-se considera que a escolha da amostra é fator muito importante para o

sucesso da pesquisa. Ela precisa retratar da melhor forma possível a popula-

ção pesquisada.

3.1.4.6 Em muitas pesquisas, os dados são obtidos por meio de entrevistas e questio-

nários. Alguns cuidados devem ser tomados na elaboração das perguntas.

Neste contexto, deve-se evitar questões abertas do tipo:

“Qual sua opinião sobre a situação econômica brasileira?”

È mais conveniente limitar as respostas. Por exemplo:

Na sua opinião a situação econômica brasileira:

( ) vai melhorar ( ) vai piorar ( ) não sabe/não respondeu

As vezes é interessante apresentar uma questão filtro, para que não se pergun-

tem coisas que o individuo não tenha condição de responder. Por exemplo:

Você lê jornal?

( ) sim ( ) não

Veja que a resposta dessa questão determina o rumo da entrevista, pois se for

sim, pode-se perguntar: Quais jornais? Com que freqüência você lê? Etc. Se for

não, pode-se perguntar: Por quê? Etc.

As perguntas devem ser claras e simples, a fim de não criar constrangimentos ao

entrevistado. A entrevista precisa ser curta, para não deixar o entrevistado ente-

diado.

Evita questões do tipo:

o Você toma banho todos os dias?

o Qual a sua renda mensal?

Informações pessoais podem ser obtidas de forma indireta, com questões do tipo:

o Tem casa própria? Automóvel? Eletrodomésticos?

o Quanto gasta com energia? E com água?

3.1.5 Organização e apresentação dos dados – Os dados coletados devem ser organi-

zados em tabelas que facilitem a visualização e o cálculo de medidas estatísticas

(médias, desvios e amplitude da amostra, etc.).

As tabelas podem ser representadas por meio de gráficos que permitem um exame

ainda mais rápido e fácil dos resultados da pesquisa

3.2 Apresentação tabular

Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado.

A elaboração de tabelas obedece à Resolução nº 886, de 26 de outubro de 1966, do Con-

selho Nacional de Estatística. As normas de apresentação são editadas pela Fundação

Brasileira de Geografia e Estatística (IBGE). IBGE. Centro de Documentação e Dissemina-

ção de Informações. Normas de apresentação tabular. 3. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 1993.

Tabela é a forma não discursiva de apresentar informações, das quais o dado numérico

se destaca como informação central.

3.2.1 Representação esquemática

Recomendações gerais – Recomenda-se que:

uma tabela seja elaborada de forma a ser apresentada em uma única página

o número de células com dado numérico seja superior ao número de células com

sinal convencional

a classificação outros ou outras quando existir, indique um dado numérico pro-

porcionalmente inferior aos dados numéricos indicados pelas demais classifica-

ções existentes

as tabelas de uma publicação apresentam uniformidade gráfica como, por exem-

plo, nos corpos e tipos de letras e números, no uso de maiúsculas e minúsculas e

nos sinais gráficos utilizados.

3.2.2 Elaboração geral

3.2.2.1 Topo ou Título– identificação da tabela. O título deve responder as se-

guintes questões:

- O que? (Assunto a ser representado (Fato));

- Onde? (O lugar onde ocorreu o fenômeno (local));

- Quando? (A época em que se verificou o fenômeno (tempo)).

3.2.2.2 Número – toda a tabela deve ter número, inscrito no topo, sempre que

um documento apresentar duas ou mais tabelas, facilitando a identifica-

ção e localização. A numeração deve ser arábica e seqüencial.

Tabela 1 –

Tabela 2 –

3.2.2.3 Moldura – elemento fundamental para estruturar a tabela. É composta

apenas de traços horizontais; o primeiro separa o topo, o segundo para

separar o espaço do cabeçalho e o terceiro para separar o rodapé. A

moldura não deve conter traços verticais que a delimitem à esquerda e à

direita.

3.2.2.4 Cabeçalho – elemento obrigatório para identificação do conteúdo das

colunas. Recomenda-se que a identificação com palavras seja feita por

extenso, sem abreviações. O cabeçalho, que é a apresentação do que ta

tabela está procurando representar, deve conter o suficiente para que

sejam respondidas as seguintes questões: O quê? (referente ao fato,

Onde? (referente ao lugar), Quando? (referente ao tempo).

3.2.2.5 Indicador de linha – a identificação do conteúdo das linhas deve ser fei-

ta de forma concisa e clara. Recomenda-se que a identificação com pala-

vras seja feita por extenso, sem abreviações.

3.2.2.6 Corpo: parte da tabela composta por linhas e colunas.

Linhas: parte do corpo que contém uma seqüência horizontal de infor-

mações.

Colunas: parte do corpo que contém uma seqüência vertical de informa-

ções.

Coluna Indicadora: coluna que contém as discriminações corresponden-

tes aos valores distribuídos pelas colunas numéricas.

3.2.2.7 Casa ou célula: parte da tabela formada pelo cruzamento de uma linha

com uma coluna.

3.2.2.8 Unidade de medida – deve aparecer inscrita no espaço do cabeçalho ou

nas colunas indicadoras. A indicação da expressão quantitativa ou me-

trológica dos dados numéricos deve ser feita com símbolos ou palavras

entre parênteses.

(m) ou (metro)

(t) ou (tonelada)

(R$) ou (real)

Quando uma tabela contiver dados numéricos divididos por uma constante, esta

deve ser indicada por algarismos arábicos, símbolos ou palavras, entre parênteses,

precedendo a unidade de medida quando for o caso.

(1 000 t) ou (1000t) = indica dados numéricos em toneladas que foram divididos

por mil

(R$1.000) ou (R$ 1.000) = dados em real que foram divididos por mil

(%) ou (percentual) = dados numéricos proporcionais a cem

(%o) ou (por mil) = dados numéricos proporcionais a mil

(1 / 1000) = dados numéricos que foram multiplicados por mil

3.2.2.9 Sinal convencional – a substituição de um dado numérico deve ser feita,

sempre que necessário por um dos sinais abaixo:

- Dado numérico igual a zero não resultante de arredondamento

.. Não se aplica dado numérico

... Dado numérico não disponível

x Dado numérico omitido a fim de evitar a individualização da informação

0

0,0 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de um dado

numérico originalmente positivo

0,00

etc.

-0

-0,0 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de um dado

numérico originalmente negativo

-0,00

etc.

3.2.2.10 Rodapé: É o espaço aproveitado em seguida ao fecho da tabela, onde

são colocadas as notas de natureza informativa (fonte, notas e chama-

das).

3.2.2.11 Chamada – uma tabela deve ter chamada, inscrita em qualquer um de

seus espaços, sempre que houver necessidade de se remeter algum de

seus elementos a uma nota específica.

Notas: Sinais convencionais utilizados:

... Dado numérico não disponível.

.. Não se aplica dado numérico.

A remissiva atribuída a algum dos elementos de uma tabela deve ser feita com al-

garismos arábicos em destaque: entre parênteses, entre colchetes, exponencial.

(1) Percentual de pessoas de 15 anos ou mais de idade procurando trabalho, em

relação às pessoas de 15 anos ou mais de idade economicamente ativas, na semana de

referência.

3.2.2.12 Fonte – toda a tabela deve ter fonte, inscrita na primeira linha do seu

rodapé, para identificar o responsável (pessoas física ou jurídica) ou res-

ponsáveis pelos dados numéricos (Fonte ou Fontes).

A identificação deve ser feita por extenso.

Quando todas as tabelas forem retiradas de uma única fonte, já identificada na

própria publicação, é dispensável aparecer em cada uma das tabelas.

Recomenda-se que, em tabelas com dados numéricos extraídos de um documento,

a identificação da fonte indique a referência bibliográfica do documento

Exemplo

Fonte: Pesquisa Industrial – 1982-1984. Dados gerais, Brasil. Rio de Janeiro: IBGE,

v.9, 410p.

3.2.2.13 Nota geral – uma tabela deve ter nota geral, inscrita no seu rodapé, logo

após a fonte, sempre que houver necessidade de se esclarecer o seu

conteúdo geral (Nota ou Notas).

Notas: Sinal convencional utilizado:

- Dado numérico igual a zero não resultante de arredondamento.

3.2.2.14 Nota específica – a nota específica (quando esta existir) deve aparecer

logo após a nota geral. Quando houver mais de uma, estas devem ser

distribuídas obedecendo à ordem de numeração da chamada.

3.2.3 Apresentação de tempo – toda a série temporal consecutiva deve ser apre-

sentada, em uma tabela, por seus pontos, inicial e final, ligados por hífen ( - ).

Quando uma tabela contiver dados numéricos de um período temporal dife-

rente do ano civil, isto deve ser indicado no título, em nota geral ou nota específica.

1981-1985 = indica dados numéricos para os anos de 1981, 1982, 1983 ,1984 e

1985.

OUT 1991-MAR 1992 = indica dados numéricos para os meses de outubro, no-

vembro e dezembro de 1991 e janeiro, fevereiro e março de 1992.

30.05.1991-06.06.1991 = indica dados numéricos para os dias 30 e 31 de maio de

1991 e 1, 2, 3, 4, 5 e 6 de junho de 1991.

1981/1985 = apresenta dados numéricos para os anos de 1981 e 1985, não sendo

apresentados dados numéricos de pelo menos um dos anos desta série temporal.

1988, 1990, 1991 = apresentam dados numéricos para os anos de 1998, 1990 e

1991.

Safra 91/92 = apresenta dados numéricos de uma safra iniciada em 1991 e termi-

nada em 1992.

3.2.4 Apresentação de classe de freqüência – deve ser apresentada em uma tabela

sem ambigüidade, por extenso ou com notação.

W a menos de Z

w|---- z. = 15 a menos de 30 bovinos por km².

Mais de W a Z

w----| z. = Mais de ¼ a ½.

W|----| z. = 40 a 49 anos.

Arredondamento numérico – os dados numéricos devem ser arredondados, em uma

tabela, sempre que houver necessidade de apresentá-los com um menor número de

algarismos. Isto deve ser indicado em nota geral ou nota específica.

Notas – Dados numéricos arredondados.

Sinais convencionais utilizados:

0,00 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de dado nu-

mérico originalmente positivo.

O arredondamento dos dados numéricos deve respeitar as diferenças signi-

ficativas (absolutas e relativas) existentes entre eles.

9,2377 = arredondado para número inteiro resulta 9

9,2377 = arredondado para número com uma casa decimal resulta 9,2

9,2377 = arredondado para número com duas casas decimais resulta 9,24

399,85 = arredondado para número inteiro resulta 400

399,85 = arredondado para número com uma casa decimal resulta 399,9

Quando houver divergência entre a soma das parcelas arredondadas e o total

arredondado, pode-se incluir uma nota geral esclarecendo a divergência.

3.2.5 Arredondamento de dado numérico – os dados numéricos devem ser arre-

dondados, em uma tabela, sempre que houver necessidade de apresentá-los

com um menor número de algarismos. Isto deve ser indicado em nota geral

ou nota específica.

Exemplo

Nota: Dados numéricos arredondados.

O arredondamento dos dados numéricos deve respeitar as diferenças significati-

vas (absolutas e relativas) existentes entre eles.

No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser arre-

dondado for 0, 1, 2, 3 ou 4, deve ficar inalterado o último algarismo a permane-

cer.

Exemplo

9,2377 – arredondado para o número inteiro = 9

9,2377 - arredondado para número com casa decimal = 9,2

21,0509 - arredondamento para número com duas casas decimais = 21,05

No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser aban-

donado for 5, 6, 7, 8 ou 9, deve-se aumentar de uma unidade o último algarismo a

permanecer

Exemplo

399,85 – arredondado para o número inteiro = 400

399,85 - arredondado para número com casa decimal = 399,9

9,2377 - arredondamento para número com duas casas decimais = 9,24

Quando em uma tabela, depois de feito o arredondamento dos dados numéricos,

houver divergência entre a soma das parcelas arredondadas e o total arredonda-

do, deve ser adotado um dos seguintes procedimentos

· Inclusão de uma nota geral esclarecendo a divergência

Exemplo

Nota: As diferenças entre a soma das parcelas e respectivos totais são proveni-

entes do critério de arredondamento.

· Correção na parcela (ou parcelas) em que for menor o valor absoluto da razão

entre a diferença de arredondamento (dado numérico original menos dado nu-

mérico corrigido) e o dado numérico original.

Exemplo:

Dado numérico original Dado numérico arredondado

7,6 7,6

11,6 11,6

20,2 20,2

--------- ----------

39,4 39

· Porém: 8 + 12 + 20 = 40

3.2.6 Diagramação da tabela – toda a tabela que ultrapassar as dimensões da pági-

na deve obedecer a:

cada página deve ter o conteúdo do topo e o cabeçalho da tabela ou o cabeçalho

da parte

cada página deve ter uma das seguintes indicações: continua para a primeira;

conclusão para a última e continuação para as demais

cada página deve ter colunas indicadoras e seus respectivos cabeçalhos

o traço horizontal da moldura que separa o rodapé deve ser apresentado somen-

te em cada página que contenha a última linha da tabela

o conteúdo do rodapé só deve ser apresentado na página de conclusão.

Quando a tabela ultrapassar a dimensão da página em número de linhas e tiver pou-

cas colunas, pode-se ter o centro apresentado em duas ou mais partes, lado a lado, na

mesma página, separando-se as partes por um traço vertical duplo e repetindo-se o ca-

beçalho.

Quando for grande o número de colunas e poucas linhas pode-se ter o centro apre-

sentado em duas ou mais partes, uma em baixo da outra, na mesma página, repetindo-se

o cabeçalho das colunas indicadoras e os indicadores de linha.

3.3 Análise e avaliação dos resultados obtidos

Depois de feitas a coleta e a apresentação dos dados, parte-se agora para a análise

dos resultados.

Esta é a fase mais importante do projeto de pesquisa: obter conclusões a partir da

pesquisa, para:

1. Encaminhar soluções para os problemas detectados. Por exemplo:

- o número de acidentes de trabalho num hotel é maior em determinados setores.

2. Verificar a validade de hipóteses. Por exemplo:

- um produto será bem aceito pelos hospedes?

3. Estabelecer parâmetros para a população como concentração de renda, nível de

emprego, condições de moradia, saúde, educação, etc.

3.4 Tomar as decisões

Uma das etapas mais difíceis de um trabalho de pesquisa, por isso requer que to-

dos os passos anteriores sejam bem aplicados e analisados.

3.5 Aplicação do método estatístico através de um projeto de pesquisa

Nesta seção apresentaremos um exemplo de um projeto de pesquisa relativa-

mente bem simples, desenvolvido co a participação de launos da disciplina de Estatística

do Curso de Gestão Ambiental do IFAL, semestre 2009-2, com finalidade puramente a-

cadêmicas:

O problema de pesquisa: a relação de um estudante do IFAL e o curso que está fazendo.

Objetivo geral: Num curso do IFAL, conhecer melhor a relação entre o estudante e o cur-

so que esta fazendo. Em particular, no Curso de Gestão Ambiental do IFAL.

Objetivos específicos:

I. Avaliar o grau de satisfação do estudante com o curso que está realizando.

II. Verificar se existe associação entre o grau de satisfação do estudante com

o seu desempenho no curso.

III. Levantar os aspectos positivos e negativosdo curso, na visão do estudante.

População: Estudantes que estavam cursando as três últimas fases do Curso de Gestão

Ambiental do IFAL, semestre 2009-2.

Amostra: Optamos por um processo rápido e fácil para a seleção da amostra. Tomamos

três disciplinas obrigatórias das três últimas fases e aplicamos o questionário em sala de

aula. A amostra foi, então, formada pelos estudantes presentes nos dia de aplicação dos

questionários.

Forma de mensuração das variáveis1

Satisfação com o curso: uma avaliação numérica numa escala de 1 (um) a 5 (cin-

co), de acordo com o grau que o estudante julgar que melhor se adapte à sua satisfação

com o curso em questão, complementando com avaliações de aspectos específicos do

curso, como seu corpo docente, recursos materiais disponíveis e sue conteúdo curricular.

Desempenho do estudante: Índice de aproveitamento acumulado, calculado pela

instituição, em função dos conceitos (ou notas) obtidos pelo estudante nas disciplinas

1 Estatiistica Aplicada as Ciências Sociais. Pedro Alberto Barbetta, pagina 29

cursadas. Então, os dados relativos a esta variável são dados secundários, isto é, devem

ser solicitados da instituição.

Aspectos positivos e negativos do Curso: serão observados de duas maneiras:

I. Avaliações numéricas, numa escala de um (1) a cinco (5, de acordo com o grau

que o estudante julgar que lhe melhor se adapte a sua concordância com alguns

aspectos do curso.

II. Deixar o estudante descrever livremente o principal aspecto positivo e negativo

do curso. Nesta segunda situação, as categorias destas duas variáveis serão cria-

das após a realização de uma analise das repostas dos questionários, isto é, as

respostas similares serão agrupadas numa única categoria.

Técnicas de Amostragem

Neste capitulo apresentaremos as técnicas de amostragem mais utilizadas no

cotidiano de estatistica. A amostragem é bastante usada em nossa vida diaria, por

exemplo, para verificar o temprero de um alimento em preparação, podemos provar

(observar) uma pequena porção deste alimento. Estamos fazendo uma amostragem, ou

seja, extraindo do todo (população) uma parte (amostra), com o proposito de avaliarmos

(inferirmos) sobre a qualidade de tempero de todo o alimento.

Num aeroporto internaciona, a escolha dos passageiros, para a revista da bagagem, é

feita por amostragem.

Nas pesquisas cientificas, em que se quer conhecer algumas caracteristicas de

uma população, também é muito comum se observar apenas uma maostra de seus

elementos e, a partir dos resultados dessa amostra, obter valores aproximados, ou

estimativas, para as caracteristicas populacionais de interesse. Este tipo de pesquisa é

usualmente cahmado de levantamento por amostragem.

Existem técnicas adequadas para recolher amostras, de forma a garantir (tanto

quanto possivel) o sucesso da pesquisa que ser quer realizar e dos resultados esperados.

Num levantamento por amostragem, a seleção dos elementos que serão

efetivamente observados, deve ser feita sob uma metodologia bem adequada, de tral

forma que os resultados da amostra sejam informativos para avaliar caracteristicas de

toda a população pesquisada.

Exemplos:

1. Numa pesquisa sobre lincenciados em biologia no Estado de Alagoas, a população

pode ser definida como todas as pessoas que se formaram em biologia no estado,

no momento da pesquisa. O principal pârametro a ser avaliado deve ser a

percentagem de pessoas que atuam no Estado.

2. Numa pesquisa eleitoral, a três dias de uma eleição municipal, a população pode

ser definida como todos eleitores com domicilio eleitoral no municipio. Os

principais parâmetros devem ser as percentagens de votos de cada candidato à

prefeitura, no momento da pesquisa.

3. Para planejar politicas de recursos humanos em empresas, com milhares de

funcionarios, podemos realizar uma pesquisa para avaliar alguns parâmetros da

população de funcionarios destas empresas, tais como: tempo médio de serviço

dos funcionários na empresa, percentagem de funcionários com nível de

instruçãosuperior, percentagem de funcionários com interesse num certo

programa de treinamento, etc..

Nos exemplos acima podemos perceber a dificuldade em pesquisar toda a população.

São situações típicas em que se recomenda utilizar amostragem. Observe a figura abaixo.

FIG – Ilustração de um levantamento por amostragem – exemplo 3

O termo inferencia estatistica refe-se ao uso apropriado dos dados da amostra para

se ter algum conhecimento sobre os parâmetros da população. Os valores calculados a

partir dos dados da amostra, com o objetivo de avaliar parâmetros desconhecidos, são

chamados de estimativas desses parâmetros.

Por que devemos estudar técnicas de amostragem?

Economia – O levantamento de dados sobre uma parte da população é mais

econômico que o levantamento de dados sobre toda a população.

Tempo – O levantamento de dados sobre uma parte da população é mais rápido

que o levantamento de dados sobre toda a população.

Confiabilidade dos dados – Quando se pesquisa um número reduzido de

elementos, pode-se dar mais atenção aos casos individuais, evitando erros nas

rspostas

Operacionalidade – É muito mais fácil realizar operações de pequena escala. Um

dos problemas típicos nos grandes censos é o controle dos entrevistadores.

Um problema fundamental da amostragem é garantir que as unidades escolhidas

representem a população. Por exemplo, se a população em foco são os turistas que

viajam ao exterior, um critério de seleção que exclua pessoas com mais de 50 anos pode

produzir informações não representativas, principalmente se a caracteristica em foco for

algo como a renda ou o consumo potencial do entrevistado ou de sua familia.

Estimativa de parâmetros populacionais

Tempo de serviço no hotel

Percentagem de funcionários com nivel de instrução superior, etc.

A inferência estatística

O processo de amostragem

POPULAÇÃO:

Todos os funcionários dos

hotéis

AMOSTRA:

Alguns funcionários do

hotel

Evidentemente, há várias maneiras se se extrair uma maotra de n unidades de um

apopulação de N elementos ou objetos. No entanto, os vários modos de seleção das

possíveis unidades de analise são agrupadas em dois processos básicos: o aleatório e o

não-aleatório (também denominados respectivamente de probabilistico e não-

probabilistico). Obviamente cada um deles tem suas vantagens e usos especificos.

Deve-se haver critério para a seleção desses elementos; cada elemento da

população deve ter a amesma chance de ser escolhido para garantir à amostra o caráter

de represenatividade.

As técnicas para a determinação da amostragem são:

Amostragem casula ou aleatória simples;

Amostragem proporcional estratificada;

Amostragem sistemática.

4.1 Amostragem Casual ou Aleatória Simples

Para a seleção de uma amostra casual ou aleatória simples precisamos ter uma

lista completa dos elementos da população (ou de unidades de amostragem

apropriadas). Este tipo de amostragem consiste em selecionar a amostra através de um

sorteio, sem restrição. É sempre recomendavel que a amostra contenha no mínimo 10%

da população pesquisada.

Inicialmente, devemos listar ou numerar de 1 a N a população a ser analisada, e

posteriormente selecionar uma amostra de n elementos da população mediante um

sorteio. Para evitar o desconforto de se escrever os números em pedaços de papel (todos

iguais), dobrá-los (todos iguais), colocá-los em uma urna e retirá-los um a um, podemos

utilizar tabelas para esse fim; são as chamadas tabelas de números aleatórios.

A amostargem aleatória simples tem a seguintes propriedade: qualquer

subconjunto da população, com o mesmo número de elemntos, tem a mesma

probabilidade de fazer parte da amostra. Em aprticular, temos que cada elemento da

população tem a mesma probabilidade de pesrtencer à amostra.2

2 Estas propriedades podem ser verificadas através do cálculo de probabilidade. A probabilidade de um

elemento particular da população pertencer à amostra e é dada por n/N.

As tabelas de números aleatórios facilitam o processo de seleção de uma amostra

aleatória.Estas tabelas são formadas por sucessivos sorteios de algarismos do conjunto

{0, 1, 2, 3, 4, ..., 9}. A leitura da tabela pode ser da direita para esquerda ou vice-versa, de

cima para baixo ou vice-versa, na diogonal, ou formando um caminho qualquer. O

caminho sempre dever ser definido com antecedência.

Exemplo: Com o objetivo de estudar algumas caracteristicas dos funcionários de uma

escola, vamos extratir uma amostra aleatória simples de tamanho cinco. A listagem dos

funcionários da escola é apresentado a seguir.3

Aristoteles Anastacia Arnaldo Bartolomeu

Bernardo Cardoso Carlito Claudia

Emilio Ercilio Ernesto Endevaldo

Francisco Felicio Fabricio Geraldo

Gabriel Getulio Heraldo João da Silva

Joana Joaquim Joaquina José da Silva

José de Souza Josefa Josefina Maria José

Maria Cristina Mauro Paula Paulo Cezar

Para utilizar uma tabela de números aleatória, precisamos associar cada elemnto da

população a um número. Vejamos

(1) Aristoteles (2) Anastacia (3) Arnaldo (4) Bartolomeu

(5) Bernardo (6) Cardoso (7) Carlito (8) Claudia

(9) Emilio (10) Ercilio (11) Ernesto (12) Endevaldo

(13) Francisco (14) Felicio (15) Fabricio (16) Geraldo

(17) Gabriel (18) Getulio (19) Heraldo (20) João da Silva

(21) Joana (22) Joaquim (23) Joaquina (24) José da Silva

(25) José de Souza (26) Josefa (27) Josefina (28) Maria José

(29) Maria Cristina (30) Mauro (31) Paula (32) Paulo Cezar

Para extrairmos uma amostra alaeatória simples de tamanho n=5, basta tomar cinco

números aleatórios do conjunto {1, 2, ..., 32}.

Números aleatórios extraídos da tabela 8, 30, 16, 2, 9

Amostra da população de funcionários (Claudia, Mauro, Geraldo,

Anastacia,Emilio).

3 Para facilitar a exemplificação das técnicas de amostragem, usaremos populações pequenas. Contudo,

não se costuma usar amostragem aleatória em população muito pequena

Na realidade, estamos interessados na observação de certas variáveis associadas

aos elemntos da amostra. No exmplo, poderiamos estar interessados na variável tempo

de serviço no hotel, em anos completos. Denominaremos esta variável de X. Para cada

funcionário da amostra, temos um valor para a variável X. O conjunto desse valores,

observado na amostra de funcionários, é chamada de amostra aleatória simples da

variável X.

Amostra aleatória simples de funcionários: {Claudia, Mauro,

Geraldo, Anastacia,

Emilio}

Amostra aleatória simples da variável X },,,,{ 54321 XXXXX

etc. Mauro, do serviço de tempo oéX Claudia, da serviço de tempoo é 21X

4.2 Amostragem Proporcional Estratificada

A amostragem prporcional estratificada considera a população dividida em

subconjuntos, em que cada subconjunto recebe o nome de estrato. Cada subconjunto

(chamado estrato) tem uma caracteristica comum entre seus elementos. Estes estratos

devem ser internamente mais homogêneos do que a população toda, com respeito às

variáveis em estudo. Por exemplo, para estudar o interesse dos funcionários, de uma

grande empresa, em realizar um programa de treinamento, podemos estratificar esta

população por nivel de instrução ou pelo nivel hierárquico, ou ainda, por setor de

trabalho.

Exemplo: Suponha uma escola com 84 funcionário, em que 25 pessoas são do

sexo feminino e as 59 restantes são do sexo masculino. A população é constituida de pelo

menos 84 funcionários: N=84 (100%). Um dos estratos é constituído pelos funcionários

do sexo masculino: %)70(591 N , o outro estrato é constituido pelos funcionários de

sexo feminino: %)30(251 N .

A composição dos elementos da amostra deve manter a mesma proporcionalidade

dos estratos, do estrato 1N serão retirados 70% dos elementos da amostra e o estrato

2N serão retirados 30% dos elementos da amostra. Desta forma, tomaremos n=9. Assim,

Estrato Proporção da população Sugrupo da amostra

Homens 59/84=0,70 (ou 70%) 6970,01 xn

Mulheres 25/84=0,30 (ou 30%) 3930,01 xn

Sendo dos nove elementos da amostra : 6 homens e 3 mulheres.

4.3 Amostragem de Conglomerados

Conglomerados são divisões populacionais tendo em conta a proximidade física dos

elementos. Por exemplo, a população brasileira pode ser conglomerada em Estados

(Alagoas, Bahia, Ceará, etc.); a alagoana pode ser conglomerada em cidades de Alagaos

(Maceió, Arapiraca, Maragogi e outras); a cidade de Maceio, em bairros (Tabuleiro,

Pajuçara, Ponta Verde, etc.); os bairros são conglomeráveis em quarteirões etc.

A vantagem dos conglomerados é a proximidade fisica dos individuos, fato que

facilita a coleta de dados (não se precisa ter uma listagem completa da população).

Observe-se que estratificar e conglomerar são etapas facilitadoras da amostragem.

Definidos os estratos ou conglomerados, os elementos a inspecionar serão mais

representativos se escolhidos mediante os critérios estabelecidos para a amostragem

aleatória.

Exemplo: Considere o problema de selecionar uma amostra de domicilios de uma cidade.

Podemos tomar as ruas como conglomerados, como indicado no quadro abaixo, onde A1

representa o primeiro domicilio da rua A, A2 o segundo, e assim por diante.

4 Grupos

foram

escolhidos.

Ruas Domicilios

A A1, A2, A3, A4, A5, A6

B B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8, B9, B10, B11, B12, B13, B14

C C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10

D D1, D2, D3, D4

E E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8

Selecionar uma amostragem de conglomerados, selecionando três ruas (primeiro

estagio) e, nas ruas selecionadas, uma fração de amostragem de 50% de domicilios

(segundo estagio).

4.4 Amostragem Sistemática

A amostragem sistemática toma por base de seleção algum critério de escolha dos

elemntos. Exemplos que podem ser citados desta amostragem: os prédios de uma rua, os

funcionários de um hotel, as linhas de produção, etc..

A amostragem sistematica é adequada a situações em que os individuos tendem a

se suceder no tempo, como clientes em filas de banco, espectadores em bilheterias de

teatros e eleitores aguardando sua vez de votar.

Exemplo: Uma empresa matém um arquivo contendo os registros de antigos parceiros.

Entre um total de 10.000 fichas, podemos tirar de forma sistemática uma ficha a cada 10,

totalizando uma amostragem de 1.000 fichas. Para garantir a mesma probabilidade para

cada ficha da amostra, deverá ser feito um sorteio da primeira ficha entre as 10

primeiras.

Intervalo de seleção: N/n

Nesse exemplo, o intervalo de seleção é 10, de acordo com o cálculo 10.000/1.000

= 10.

Supondo que a primeira ficha sorteada foi a de número 4, as fichas que compõem a

amostra são:

{4, 14, 24, 34, 54, 64, ...., 9.984, 9.994}

Atividade

1. Uma escola de ensino fundamental tem 1.000 alunos matriculados, sendo 200 na 1ª

série, 150 na 2ª série, 150 na 3ª série, 120 na 4ª série, 110 na 5ª série, 100 na 6ª sé-

rie, 90 na 7ª série e 80 na 8ªsérie. Obtenha uma amostra proporcional estratificada

de 60%.

2. Em uma academia há 450 pessoas matriculadas, sendo 220 no período da manhã,

180 à tarde e 50 à noite. Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 65%.

Séries Estatísticas

Uma série estatística é um conjunto de dados ordenados segundo uma característica comum, as quais servirão posteriormente para se fazer análises e inferências.

6.1 Série Temporal ou Cronológica: É a série cujos dados estão dispostos em correspon-

dência com o tempo, ou seja, varia o tempo e permanece constante o fato e o local.

Produção de Petróleo Bruto no Brasil de 1976 a 1980

Anos Produção

(1000 m³)

1976 9 702

1977 9 332

1978 9 304

1979 9 608

1980 10 562

Fonte: Conjuntura Econômica (fev. 1983)

6.2 Série Geográfica ou Territorial: É a série cujos dados estão dispostos em correspon-

dência com o local, ou seja, varia o local e permanece constante a época e o fato.

População Urbana do Brasil em 1980

Região População(x

1000)

Norte 3 037

Nordeste 17 568

Sudeste 42 810

Sul 11 878

Centro-Oeste 5 115

Total 80 408

Fonte: Anuário Estatístico (1984

6.3 Série Específica ou Qualitativa: É a série cujos dados estão dispostos em correspon-

dência com a espécie ou qualidade, ou seja, varia o fato e permanece constante a é-

poca e o local.

População Urbana e Rural do Brasil em 1980 (x 1000)

Localização População

Urbana 80 408

Rural 38 566

Total 118 974

Fonte: Anuário Estatístico (1984)

Número de passageiros de cruzeiros que partiram do Cabo Canaveral – Flórida, 1998

Cruzeiro Total de Passageiros

Canaveral 152.240

Carnival 480.924

Disney 73.504

Premier 270.361

Royal Caribbean 106.161

Sun Cruz Cassinos 453.806

Sterling Cruises 15.782

Topaz Internacional Ship-

ping

28.280

Fonte: McClave, 2001, p.61.

6.4 Série Mista ou Composta: A combinação de duas ou mais séries estatísticas constitu-

em novas séries denominadas compostas e apresentadas em tabelas de dupla entra-

da. O nome da série mista surge de acordo com a combinação de pelo menos dois e-

lementos

Local + Época = Série Geográfica Temporal

Local + Especifica = Série Geográfica Especifica

População Urbana do Brasil por Região de 1940 a 1980 (x 1000)

Anos R E G I Õ E S

N NE SE S CO

1940 406 3 381 7 232 1 591 271

1950 581 4 745 10 721 2 313 424

1960 958 7 517 17 461 4 361 1 007

1970 1 624 11 753 28 965 7 303 2 437

1980 3 037 17 567 42 810 11 878 5 115

Fonte: Anuário Estatístico (1984)

Número de Quartos e de Hotéis em Cidades dos EUA-1995

Cidade Quartos Hotéis

Las Vegas 93.719 231

Orlando 84.982 311

Los Angeles 78.597 617

Chicago 68.793 378

Washington D.C. 66.505 351

Nova York 61.512 230

Atlanta 58.445 370

São Diego 44.655 352

Anahein –Santa

Ana

44.374 351

São Francisco 42.531 294

Fonte: McClave, 2001, p.64.

6.5 Série de Distribuição de Freqüências: A Quarta e última espécie de série estatística

é, de longe, a mais importante e a mais utilizada em estatística. Na distribuição de

freqüência, os dados são ordenados segundo um critério de magnitude, em classes

ou intervalos, permanecendo fixos o fato, o local e a época. Isto é, embora o fenô-

meno estudado seja único, este poderá sofrer uma subdivisão em classes

Exemplo: Altura dos estudantes do Curso de Gestão Ambiental – 2009

Altura (m) N° de alunos

1,50 |--- 1,60 14

1,60 |--- 1,70 29

1,70 |--- 1,80 37

1,80 |--- 1,90 18

1,90 |--- 2,00 2

A quantidade de vezes que um determinado dado ou valor é repetido na amostra

é chamada de freqüência absoluta ou freqüência simples e será indicada por fi.

Atividade

Pesquise na internet ou em revistas séries estatísticas e classifique cada uma.

Distribuição de Frequências

Distribuição de Freqüências

Para que uma variável estudada seja observada mais adequadamente, podemos

dispor ordenadamente seus valores em uma tabela. Essa tabela é chamada de distribui-

ção de freqüências ou tabela de freqüências.

6.1 Definições básicas

Freqüência absoluta ou freqüência (𝑓𝑖 ): é a quantidade de vezes que um determinado

dado ou valor é repetido na amostra.

Dados brutos: são valores ou os dados originais ainda não numericamente organi-

zados após a coleta ou digitação.

Rol: é a ordenação dos valores ou dados obtidos (dados brutos) em ordem cres-

cente ou decrescente de grandeza numérica ou qualitativa.

Distribuição de Freqüência é uma série estatística onde os dados se encontram

dispostos em categorias ou classes juntamente com as respectivas freqüências. Dessa

forma, podemos dividir as distribuições de freqüências em dois tipos: distribuição de fre-

qüência de dados agrupados sem intervalo de classes e distribuição de freqüências de

dados agrupados em intervalos de classe.

Exemplo 6.1:

Construir a distribuição de freqüências para as idades, em anos, de um grupo de amigos

do IFAL.

Tabela 6.1 – Idades de 20 amigos do IFAL- dados brutos

14 15 16 16 16 14 14 15 17 14

15 16 17 17 16 15 14 15 15 15

Colocando em ordem crescente (rol) as idades, temos

Tabela 6.2 – Idades de 20 amigos do IFAL - rol

14 14 14 14 14 15 15 15 15 15

15 15 16 16 16 16 16 17 17 17

Tabela 6.3 - Distribuição de idade de 20 amigos do IFAL

Idade (em anos) Freqüência (fi)

14 5

15 7

16 5

17 3

Observação: De acordo com os dados organizados podemos ver facilmente que:

O grupo de amigos pesquisados é formado de 20 pessoas;

A pessoa mais velha tem 17 anos e a mais nova tem 14 anos;

A maioria tem 15 anos (7 pessoas);

A minoria tem 17 anos (3 pessoas).

6.2 Tipos de freqüências

6.2.1 Freqüência relativa

O quociente obtido entre a freqüência absoluta (𝑓𝑖 ) e o número de elementos (n) da

amostra é chamado de freqüência relativa: 𝑓𝑟 =𝑓𝑖

𝑛

Para que a interpretação dos dados se torne mais clara, a frequência relativa,

geralmente, é apresentada na forma de percentagem e é indicada por (𝑓𝑟 ) (%).

Exemplo 2: Os dados abaixo referem-se ao número de horas trabalhados por uma equipe

de enfermeiros em um hospital durante 2 fins de semana. Construir a tabela de

distribuição de freqüências com freqüências relativas em percentagem correspondente

aos dados fornecidos.

Tabela 6.4 – Número de horas trabalhadas por uma equipe de 30 enfermeiros

6 8 2 7 10 5 6 7 2 10

6 8 7 7 6 5 2 7 8 10

8 7 7 7 6 10 5 5 5 5

Colocando os dados em ordem crescente, temos:

Tabela 6.5 – Número de horas trabalhadas por uma equipe de 30 enfermeiros - Rol

2 2 2 5 5 5 5 5 5 6

6 6 6 6 7 7 7 7 7 7

7 7 8 8 8 8 10 10 10 10

Tabela 6.6 – Distribuição de frequencias em horas trabalhadas (de 30 enfermeiros de um

hospital)

Tempo (em horas) Freqüência (𝑓𝑖 ) Freqüência Relativa (𝑓𝑟 ) (%)

2 3 𝑓𝑟 =

3

30= 0,10 → 10%

5 6 𝑓𝑟 =

6

30= 0,20 → 20%

6 5 𝑓𝑟 =

5

30= 0,1667 → 16,67%

7 8 𝑓𝑟 =

8

30= 0,2667 → 26,67%

8 4 𝑓𝑟 =

4

30= 0,1333 → 13,33%

10 4 𝑓𝑟 =

4

30= 0,1333 → 13,33%

Total (n) 30

O que diferencia a freqüência absoluta (𝑓𝑖 ) da freqüência relativa (𝑓𝑟 ) é o fato de

que, na absoluta, trabalhamos com o número de elementos, enquanto que, na relativa,

trabalhamos com percentual de elementos.

6.2.2 Freqüências Acumuladas

A soma da freqüência absoluta do elemento considerado com todos os anteriores

é chamada de freqüência absoluta acumulada e pode ser indicada por 𝐹𝑎𝑐 ou 𝐹𝑖 .

A soma da freqüência relativa do elemento considerado com todos os anteriores

é chamada de freqüência relativa acumulada e pode ser indicada por 𝐹𝑎𝑟 ou 𝐹𝑟 .

As freqüências acumuladas tanto absolutas quanto relativas contribuem para a

interpretação dos dados organizados em uma tabela de distribuição de freqüências.

É a soma da freqüência simples deste elemento com as freqüências simples ante-

riores da série.

i21i fffF

È a divisão da freqüência acumulada deste elemento, pelo número total de ele-

mentos da série.

n

iFF

iR

Observe que a soma das freqüências é: 𝑛 = 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5 + 𝑓6

𝑛 = 3 + 6 + 5 + 8 + 4 + 4 = 30 𝑛𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑠𝑜 𝑛 = 30

Vejamos com o exemplo anterior.

A tabela abaixo referem-se ao número de horas trabalhados por uma equipe de

enfermeiros em um hotel durante 2 fins de semana. Construir a tabela de distribuição de

freqüências acumuladas, tanto absoluta quanto relativa.

Tabela 6.7 – Distribuição de frequencia acumulada (de horas trabalhadas por uma equipe

de 30 enfermeiros)

Tempo (em horas) Freqüência (𝑓𝑖 ) 𝐹𝑖 (Freqüência acumulada)

2 3 3

5 6 9 (=3+6)

6 5 14 (=3+6+5 ou =9+5)

7 8 22 (=3+6+5+8 ou =14+8)

8 4 26 (=3+6+5+8+4 ou =22+4)

10 4 30 (=3+6+5+8+4+4 ou =26+4)

Total n=30

Tabela 6.8 – Distribuição de frequencias relativas (de horas trabalhadas por uma equipe

de 30 enfermeiros)

Tempo (em

horas)

Freqüência

Relativa (𝑓𝑟 )

(%)

𝐹𝑟 (%) (Freqüência Relativa acumulada)

2 10 10 (=à primeira 𝑓𝑟)

5 20 30 (=10+20)

6 16,67 46,67 (=10+20+16,67) ou (=30+16,67)

7 26,67 73,34 (=10+20+16,67+26,67) ou (=46,67+26,67)

8 13,33 86,67 (=10+20+16,67+26,67+13,33) ou

(=73,34+13,33)

10 13,33 100 (=10+20+16,67+26,67+13,33+13,33) ou

(=86,67+13,33)

Total 100%

Observando os dados das tabelas, podemos concluir que:

A freqüência acumulada 14 poderá ser encontrada fazendo a soma da freqüência

acumulada anterior (9) com a freqüência correspondente à linha que queremos

encontrar (5).

A maior freqüência relativa apresentada é 26,67%, que corresponde a 8 enfermei-

ros que trabalharam 7 horas.

A menor freqüência relativa apresentada é 10%, que corresponde a 3 enfermeiros

que trabalharam 2 horas.

30% dos enfermeiros trabalharam menos do que 6 horas.

73,34% dos enfermeiros correspondem a 22 enfermeiros que trabalharam 7 ou

menos que 7 horas.

Exemplo 6.2: Considere a distribuição agrupada sem intervalo de classe:

Tabela 6.9 – distribuição de frequencias sem intervalos

ix if

2 3

3 7

4 8

6 6

7 1

Total 25

Freqüência relativa do primeiro elemento

%1212,025

3

n

ff 1

r1ou

Freqüência relativa do segundo elemento

%2828,025

7

n

ff 2

r2ou

Da mesma forma determinamos a freqüência relativa dos outros elementos

6.3 Distribuição de Freqüência para dados agrupados em intervalos de

classe

Utiliza-se este tipo de distribuição quando o número de observações é grande e o

numero de valores distintos que assume a variável também é grande; os resultados obti-

dos deverão ser dispostos em classes ou categorias que assumam amplitudes dentro das

quais se incluirão os dados. Devemos escolher apropriadamente o tamanho dos interva-

los

6.3.1 Elementos de uma Distribuição de Freqüência

6.3.1.1 Classes

São intervalos ou subdivisões dos elementos do conjunto. As classes são sempre

definidas por dois limites – inferior e superior.

Na tabela 6.1 as alturas de estudantes de um acampamento esta representada

por uma distribuição de cinco classes, isto é,

Tabela 6.10: Distribuição de freqüência das alturas de 50 estudantes

Altura dos estudantes (m) Freqüência (fi)

1,50 |--- 1,60 6 Primeira classe

1,60 |--- 1,70 11 Segunda classe

1,70 |--- 1,80 19 Terceira classe

1,80 |--- 1,90 10 Quarta classe

1,90 |--- 2,00 4 Quinta classe

Total 50

Vemos que a primeira classe é a que vai de 1,50m a 1,60m; a segunda classe vai

de 1,60m a 1,70m e assim por diante. A quinta classe vai de 1,90m a 2,00m.

%3232,025

8

n

ff 3

r3ou

%2424,025

6

n

ff 4

r4ou

%404,025

1

n

ff 5

r5ou

6.3.1.2 Intervalo de Classe

Existe uma diferença sutil entre o que entendemos por classe e por intervalo de

classe! Um exemplo simples elucidará o fato: se tomarmos, a quarta classe do nosso e-

xemplo (a altura dos estudantes) de distribuição de freqüências, vemos que esta classe

vai de 1,80m a 1,90m.

Tabela 6.11: Distribuição de freqüência das alturas de 50 estudantes

Altura dos estudantes (m) Freqüência (fi)

1,50 |--- 1,60 6 Primeira classe

1,60 |--- 1,70 11 Segunda classe

1,70 |--- 1,80 19 Terceira classe

1,80 |--- 1,90 10 Quarta classe

1,90 |--- 2,00 4 Quinta classe

Total 50

Eis a questão: um estudante que está medindo exatamente 1,90m integrará esta

quarta classe? Ora, se olharmos atentamente, vemos que este valor 1,90m também faz

parte da quinta classe (como limite inferior!). E então? O estudante com 1,90m será

computado na terceira ou na quarta classe? Aí é que entra o conceito de intervalo de

classe! Dependendo da nomenclatura utilizada pela questão para construir as classes,

teremos definidos os intervalos de classe, e saberemos responder à questão colocada.

São as seguintes

Limite inferior (Linf): o número menor é o limite inferior da classe (1,50 |--- 1,60, em que

𝐿𝑖𝑛𝑓1=1,50 é o limite inferior da primeira classe).

Limite superior (Lsup): o número menor é o limite inferior da classe (1,50 |--- 1,60, em

que 𝐿𝑠𝑢𝑝1=1,60 é o limite superior da primeira classe).

Este símbolo utilizado “|--- “ estabelece a inclusão do limite inferior e a exclusão

do limite superior do intervalo de classe.

O intervalo 1,50 |--- 1,60 indicam inclusão do limite inferior 1,50 (ou seja, a partir

da altura 1,50m exatos o estudante está incluído nessa classe) e indica exclusão do limite

superior (significa que a partir da altura 1,60m exatos a criança está excluída dessa clas-

se).

Segundo a resolução 886/1966 do IBGE, os intervalos de classe devem empregar o

símbolo de inclusão e exclusão (|---) entre os valores extremos de um intervalo.

6.3.1.3 Amplitude de um intervalo de classe (𝒉𝒊)

A amplitude de um intervalo de classe (ℎ𝑖 ) é a diferença entre o limite superior

(𝐿𝑠𝑢𝑝 ) e o limite inferior (𝑙𝑖𝑛𝑓 ) de uma classe.

ℎ𝑖 = 𝐿𝑠𝑢𝑝 − 𝑙𝑖𝑛𝑓

Na tabela 6.1: ℎ1 = 1,60 − 1,50 = 0,10𝑐𝑚

ℎ2 = 1,70 − 1,60 = 0,10𝑐𝑚

ℎ3 = 1,80 − 1,70 = 0,10𝑐𝑚

ℎ4 = 1,90 − 1,80 = 0,10𝑐𝑚

ℎ5 = 2,00 − 1,90 = 0,10𝑐𝑚

Neste caso, as amplitudes de cada intervalo são iguais, porém, não é obrigatório

que elas sejam; podemos ter eventualmente amplitudes diferentes ℎ1 ≠ ℎ2 ≠ ℎ3 ≠ ⋯

Embora as amplitudes possam ser diferentes, é mais conveniente que as classes

mantenham amplitudes iguais, pois facilita a visualização do fato pesquisado e agiliza os

cálculos realizados.

6.3.1.4 Amplitude total da distribuição (𝑨𝑻)

Amplitude total da distribuição (𝑨𝑻) é a diferença entre o Limite Superior da últi-

ma classe (𝐿𝑚𝑎𝑥 ) e o Limite Inferior da primeira classe (𝐿𝑚𝑖𝑛 ):

𝑨𝑻 = 𝑳𝒎𝒂𝒙 − 𝑳𝒎𝒊𝒏

Na tabela 6.1 temos que: 𝐴𝑇 = 2,00 − 1,50 = 0,50𝑐𝑚

6.3.1.5 Amplitude Amostral (𝑨𝑨)

Amplitude amostral (𝑨𝑨) é a diferença entre o Valor Máximo (𝑋𝑚𝑎𝑥 ) e o Valor

Mínimo (𝑋𝑚𝑖𝑛 ) dos dados colhidos na amostra:

𝑨𝑨 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏

No exemplo 2, observamos que o valor da amplitude amostral é:

𝑨𝑨 = 𝟏𝟎 − 𝟐 = 𝟖 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔

6.3.1.6 Ponto Médio de uma classe (𝑿𝒊)

Ponto médio de uma classe (𝑋𝑖) é o ponto que, por situar-se numa posição média

da distribuição de valores do intervalo de classe, divide o intervalo em duas partes iguais:

𝑋𝑖 =𝐿𝑖 + 𝑙𝑖

2

Na tabela 1 temos que:

O ponto médio da primeira classe é: 𝑋1 =1,60+1,50

2= 1,55𝑐𝑚

O ponto médio da segunda classe é: 𝑋2 =1,70+1,60

2= 1,65𝑐𝑚

O ponto médio da quinta classe é: 𝑋5 =2,00+1,90

2= 1,95𝑐𝑚

6.3.2 Construindo uma distribuição de freqüências com intervalos de classe

Quantas classes serão necessárias para representar o fato? Existem vários crité-

rios que podem ser utilizados a fim de possuirmos uma idéia do melhor número de clas-

ses, porém tais critérios servirão apenas como indicação e nunca como regra definitiva,

pois caberá sempre ao pesquisador estabelecer o melhor número, levando-se em conta o

intervalo de classe apropriado e a facilidade para os posteriores cálculos numéricos.

É importante a escolha do número de classes e da amplitude. Se o número de ob-

servações é pequeno, devemos restringir a amplitude; por outro lado, se o número de

observações é grande, as amplitudes também serão maiores.

Passaremos, por meio dos passos descritos abaixo, a conhecer a maneira conven-

cional utilizada na elaboração de uma distribuição de freqüências com intervalos de clas-

ses.

1°Passo: Definir o número de classes.

Para se determinar o número de classe (k) a partir do número de elementos ob-

servados (𝑛), podemos citar duas maneiras distintas:

a) Regra de Sturges: 𝑘 = 1 + 3,3 × log(𝑛)

b) Regra da raiz quadrada: 𝑘 = 𝑛

Empiricamente os agrupamentos devem definir a ordem de grandeza do número

de intervalos; o valor efetivo é o número inteiro mais conveniente, em torno do valor

calculado.

2°Passo: Definir a amplitude amostral.

A amplitude amostral, conforme visto anteriormente, nada mais é senão o pró-

prio tamanho do conjunto. É a diferença entre seu maior elemento (ou valor) e seu me-

nor elemento (ou valor).

Teremos que

𝑨𝑨 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏

3°Passo: Definir a amplitude do intervalo de classe.

Teremos que: ℎ𝑖 =𝐴𝐴

𝑘

Ou seja, a amplitude do intervalo de classe será o quociente entre a amplitude

amostral (segundo passo) e o número de classes das distribuição (primeiro passo).

Como se verifica nestes passos, a forma usual de trabalharmos com distribuições

de freqüências agrupados em intervalos de classes são orientadas no sentido de termos

todas as suas classes com a mesma amplitude.

4°Passo: Escolher os limites de classe

Os intervalos de classe são determinados da seguinte forma:

1°𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 ⊢ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + ℎ𝑖

2°𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + ℎ𝑖 ⊢ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 2ℎ𝑖

3°𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 2ℎ𝑖 ⊢ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 3ℎ𝑖

E assim por diante

5°Passo: Construir a tabela de distribuição de freqüências.

Exemplo 6.3: O quadro a seguir apresenta os dados de concentração de progesterona em

exames de pacientes de um laboratório, é medida em ng/ml. Construir a distribuição de

freqüências em intervalos de classes e os pontos médios de cada intervalo.

Tabela 6.12: concentração de progesterona de pacientes de um laboratório

7,62 25,14 9,07 6,33 11,57 11,31 52,22 36,25 15,12 8,38

11,44 7,80 17,85 7,57 7,74 6,73 29,53 8,96 60,50 12,49

8,88 10,99 12,01 12,61 19,80 7,90 19,01 57,05 39,00 17,48

5,94 15,65 8,22 71 6,93 8,70 8,56 19,80 15,38 7,54

7,60 9,00 12,00 70

Fazendo o rol, temos:

Tabela 6.13: concentração de progesterona de pacientes de um laboratório em ordem

crescente

5,94 7,57 7,9 8,88 11,31 12,49 17,48 25,14 57,05

6,33 7,6 8,22 8,96 11,44 12,61 17,85 29,53 60,5

6,73 7,62 8,38 9 11,57 15,12 19,01 36,25 70,00

6,93 7,74 8,56 9,07 12 15,38 19,8 39,00 71,00

7,54 7,8 8,7 10,99 12,01 15,65 19,8 52,22

1°Passo: Iremos determinar o numero de classes utilizando a Regra de Sturges

𝑘 = 1 + 3,3 × log 44 = 1 + 3,3 × 1,644439

𝑘 = 1 + 5,426647 = 6,426647

Como o número de classe é sempre um número inteiro e utilizando os critérios de

arredondamento, então 𝑘 = 6

2°Passo: Iremos determinar a amplitude amostral da distribuição:

𝑨𝑨 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟏𝟔 − 𝟓, 𝟗𝟒 = 𝟏𝟏𝟎, 𝟎𝟔

3°Passo: Determinar a amplitude do intervalo de classe (ℎ𝑖 ).

ℎ𝑖 =𝐴𝐴

𝑘=

65,06

6= 10,84

Convencionar como amplitude das classes o valor imediatamente superior ao en-

contrado, considerando o número de decimais dos dados. Desta forma,

ℎ𝑖 = 10,90

4°Passo: Escolher os limites de classe. Como são seis classes, temos então:

1°𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 ⊢ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + ℎ𝑖

5,94 ⊢ 5,94 + 10,90

5,94 ⊢ 16,84

2°𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + ℎ𝑖 ⊢ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 2ℎ𝑖

5,94 + 10,90 ⊢ 5,94 + 2 × 10,90

16,84 ⊢ 27,74

3°𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 2ℎ𝑖 ⊢ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 3ℎ𝑖

5,94 + 2 × 10,90 ⊢ 5,94 + 3 × 10,90

27,74 ⊢ 38,64

4°𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 3ℎ𝑖 ⊢ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 4ℎ𝑖

38,64 ⊢ 49,54

5°𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 4 ⊢ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 5ℎ𝑖

49,54 ⊢ 60,44

6°𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 5ℎ𝑖 ⊢ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 + 6ℎ𝑖

60,44 ⊢ 71,34

5°Passo: Construir a distribuição de freqüências.

Tabela 6.14 – Distribuição de frequencias com intervalos de classes e ponto médio

Intervalos de Classes Freqüência (𝑓𝑖 ) Ponto Médio (𝑋𝑖)

5,94 ⊢ 16,84 30 𝑋1 =

5,94 + 16,84

2= 11,39

16,84 ⊢ 27,74 6 𝑋2 = 22,29

27,74 ⊢ 38,64 3 𝑋3 = 33,19

38,64 ⊢ 49,54 1 𝑋4 = 44,09

49,54 ⊢ 60,44 2 𝑋5 = 54,99

60,44 ⊢ 71,34 2 𝑋6 = 65,89

Total 44

Atividade

1. Os dados abaixo representam o número de filhos por família de 32 famílias entrevis-

tadas em um determinado hospital de Maceió:

Tabela 6.15 – Número de filhos de 32 familias

0 1 2 0 3 3 0 1 4 2

1 2 1 3 2 4 1 3 1 2

1 3 2 3 1 3 0 2 2 1

2 2

Organize os dados e construa a tabela de distribuição de freqüências com dados agru-

padas sem intervalos de classes.

2. O quadro a seguir apresenta as notas obtidas por 132 pessoas, em um exame de se-

leção para candidatos a professor de Biologia de uma determinada cidade. Agrupe-

as em ordem crescente e depois construa uma distribuição de freqüências com in-

tervalos de classe.

Tabela 6.16 – Notas de 132 candidatos de um exame de seleção

78 83 77 74 79 77 76 82 75 77

74 80 76 80 75 84 77 76 81 79

83 76 81 82 79 75 78 82 79 81

79 81 85 78 78 75 85 79 80 79

76 75 85 80 82 84 75 79 78 87

77 80 78 75 72 79 78 71 81 70

85 79 80 73 76 75 85 80 82 84

75 79 76 78 80 82 76 80 76 71

77 79 78 74 84 76 74 79 73 73

74 76 88 74 77 84 77 83 78 79

77 74 82 80 74 73 80 75 79 78

77 84 76 77 74 77 77 72 79 80

86 76 79 76 70 73 76 71 79 89

86 85

Determine também;

a) A porcentagem de candidatos com nota abaixo de 79.

b) A porcentagem de candidatos com notas no intervalo 74 ⊢ 80.

c) O ponto médio de cada intervalo de classe.

d) A freqüência relativa da quinta classe.

3. As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:

1 2 3 4 5 6 6 7 7 8

2 3 3 4 4 6 6 7 8 8

2 3 4 4 5 6 6 7 8 9

2 3 4 5 5 6 6 7 8 9

2 3 4 5 5 6 7 7 8 9

a. Complete a distribuição de freqüência abaixo:

NOTAS xi fi

2 —׀ 0

4 —׀ 2

6 —׀ 4

8 —׀ 6

10 —׀ 8

1

....

....

....

....

1

....

....

....

....

∑fi = 50

b. Agora responda:

I. Qual a amplitude amostral?

II. Qual a amplitude da distribuição?

III. Qual o número de classes da distribuição?

IV. Qual o limite inferior da quarta classe?

V. Qual o limite superior da classe de ordem 2?

VI. Qual a amplitude do segundo intervalo da classe?

c. Complete:

I. h3 = .... II. n = .... III. l1 = .... IV. L3 = .... V. x2 = .... VI. f5 = ....

4. Complete a distribuição abaixo, determinando as freqüências simples:

xi fi Fi

2

3

4

5

6

....

....

....

....

....

2

9

21

29

34

∑ fi = 34

Gráficos Estatísticos

Gráfico é uma forma de apresentação de dados estatísticos, com o objetivo de

produzir no investigador ou no público em questão uma impressão mais rápida e com-

preensível do problema pesquisado, através dos gráficos podemos interpretar melhor as

séries estatísticas.

O gráfico deve ser composto de simplicidade, clareza e veracidade, ou seja deve

expressar a verdade e possibilitar um claro entendimento da pesquisa ao público inte-

ressado.

Diagramas: são gráficos de no máximo duas dimensões; para sua construção, em

geral, fazemos uso do sistema cartesiano.

Vamos apresentar os gráficos mais utilizados na hotelaria.

7.1 Gráfico em linha

Constitui uma aplicação do processo de representação de funções num sistema de

coordenadas cartesianas.

Fazemos uso de duas retas perpendiculares; as retas são o eixo x (eixo das abscissas)

e o eixo y (eixo das ordenadas).

Exemplo 7.1: Para o melhor entendimento vamos considerar a seguinte série estatística:

Tabela 7.1 Entrada de turistas argentinos no Brasil.

ANOS QUANTIDADE (x1.000)

1994 787,117

1998 1.467,922

1999 1.548,571

Fonte: OMT

787,117

1.467,921.548,57

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

1994 1998 1999

Grafico 7.1

Vamos considerar os anos como eixo x (abscissas) e as quantidades como orde-

nadas (eixo y). Assim um ano dado e sua respectiva quantidade formam um par ordena-

do.

7.2 Gráfico em colunas ou em barras

É a representação de uma série por meio de retângulas, dispostos verticalmente

(gráfico em colunas) ou na forma horizontal (gráfico em barras).

Exemplo 7.2:

Tabela 4.2 Visita de Turistas Estrangeiros ao Brasil

ANOS Número de Turistas (em milhões)

1994 1,8

1998 4,8

1999 5,1

2000 5,2

Fonte: Embratur

Veja abaixo as representações gráficas em colunas e barras em duas e três di-

mensões:

1,8

4,85,1 5,2

0

1

2

3

4

5

6

1994 1998 1999 2000

Número de Turistas (em milhões)

Gráfico 2

0

1

2

3

4

5

6

1994 1998 1999 2000

Número de Turistas (em milhões)

1994

1998

1999

2000

Gráfico 3

1,8

4,8

5,1

5,2

0 1 2 3 4 5 6

1994

1998

1999

2000

Número de Turistas (em milhões)

1994

1998

1999

2000

Gráfico 4

0 1 2 3 4 5 6

1994

1998

1999

2000

Número de Turistas (em milhões)

1994

1998

1999

2000

Gráfico 5

7.3 Gráficos em colunas ou em barras múltiplas

Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos representar dois

ou mais fenômenos estudados num mesmo gráfico com a finalidade de comparação.

Exemplo 7.3:

Tabela 7.3 Clientes de um restaurante de um hotel

Idade (anos) Hóspedes?

Sim Não

Até 25 20 31

De 31 até 45 49 70

Mais de 45 41 49

0

10

20

30

40

50

60

70

Até 25 De 26 até 35 Mais de 35

Hóspedes? Sim

Hóspedes? Não

Grafico 6

A construção do gráfico em colunas (ou barras) associa a variação ocorrida em re-

lação a hóspedes a uma cor de retângulos (azul), e a variação ocorrida a não hóspedes a

outra cor (vermelha); dessa forma, é possível a visualização e comparação das variações

ocorridas nesses dois casos. Este gráfico também poderia ter sido construído em barras

múltiplas.

7.4 Gráfico de colunas comparativas

a. Colunas Justapostas (gráfico comparativo)

Exemplo 7.4: População Urbana do Brasil por Região de 1940 a 1980 (x 1000)

Gráfico 7

b. Colunas Sobrepostas (gráfico comparativo)

Exemplo 7.5: População Urbana do Brasil por Região de 1940 a 1980 (x 1000)

Gráfico 8

7.5 Gráficos em Setores

Gráfico construído com base em um círculo, e é empregado sempre que deseja-

mos ressaltar a participação do dado no total.

O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas

são as partes.

Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando

que o total da série corresponde a 360º.

O gráfico em setores só deve ser empregado , quando há, no máximo sete dados;

Se a série já é apresentada de forma percentual, obteremos os seguintes valores em

graus multiplicando por 3,6.

Exemplo 7.6: Criação de gado nos Estados da Região Sudeste.

Tabela 7.4 – Quantidade de cabeças de gado dos estados da região Sudeste

ESTADOS QUANTIDADE (1.000 cabeças)

Minas Gerais 3.363,7

Espírito Santo 430,4

Rio de Janeiro 308,5

São Paulo 2.035,9

Total 6.138,5

Utilizando a regra de três:

6.138 -------- 360º

3.363,7-------- X

X 1 = 197º

X 2 = 25º

X3 = 18º

X4 = 120º

Com esses dados (valores em graus), marcamos num círculo de raio arbitrário,

com um transferidor , os arcos correspondentes , obtendo o gráfico abaixo:

QUANTIDADE (1.000 cabeças)

Minas Gerais

Espírito Santo

Rio de Janeiro

São Paulo

Grafico 9

7.6 Gráfico Pictorial – Pictograma

Tem por objetivo despertar a atenção do público em geral, muito desses gráficos

apresentam grande dose de originalidade e de habilidade na arte de apresentação dos

dados. Podem ser representados por diferentes formas de figuras, tais como pessoas,

objetos, etc.

Exemplo 7.7:

a) Evolução da matricula no Ensino Superior no Brasil de 1968 a 1994 (x 1000)

Grafico 10

b) Evolução da frota nacional de carros à álcool de 1979 à 1987

Gráfico 11

c) Os métodos mais eficientes para deixar de fumar segundo 30.000 fumantes entre-

vistados no Canadá

Gáfico 12

d) Devastação de Matas: extração de madeiras no Brasil

Grafico 13

7.7 Gráfico Polar

É o tipo de gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas, ou seja, toda a

série que apresenta uma determinada periodicidade.

Como construir um gráfico polar

a. Traça-se uma circunferência de raio arbitrário (preferencialmente, a um raio de

comprimento proporcional a média dos valores da série);

b. Constrói-se uma semi-reta (de preferência horizontal) partindo do ponto 0 (pólo) e

com uma escala (eixo polar);

c. Divide-se a circunferência em tantos arcos forem as unidades temporais;

d. Traça - se semi-retas a partir do ponto 0 (pólo) passando pelos pontos de divisão;

e. Marcam-se os valores correspondentes da variável, iniciando pela semi-reta hori-

zontal (eixo polar);

f. Ligam-se os pontos encontrados com segmentos de reta;

g. Para fechar o polígono obtido, emprega-se uma linha interrompida.

Grafico 14

7.8 Cartograma

É a representação de uma carta geográfica. Este tipo de gráfico é empregado

quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com as

áreas geográficas ou políticas

Dados absolutos (população) – usam-se pontos proporcionais aos dados.

Dados relativos (densidade) – usa-se hachaduras.

Tabela 7.5 – População dos estados da Região Sul

Estado População (hab.) Área (m²) Densidade

Paraná 9.137.700 199.324 45,8

Santa Catarina 4.461.400 95.318 46,8

Rio Grande do Sul 9.163.200 280.674 32,6

Fonte: IBGE

Grafico 15

Atividade

1) Utilizar um gráfico de setores e o gráfico de colunas para representar a série abaixo:

Tabela 7.6 – Meios de transportes utilizados por estudantes do IFAL

Meio de transporte Número de estudan-

tes (%)

Automóveis 20

Ônibus 58

Bicicletas 18

Moto 4

TOTAL 100

2. Represente a série abaixo usando o gráfico em linhas

Tabela 7.7 - Comércio exterior Brasil 1984-1993

ANOS Exportação

1984 141.737

1985 146.351

1986 133.832

1987 142.378

1988 169.666

1989 177.033

1990 168.095

1991 165.974

1992 167.295

1993 182.561

3) Usando o gráfico em barras, represente a tabela:

Tabela 7.8 - Produção de ovos de galinha Brasil – 1992

Regiões Quantidade (1.000 dúzias)

Norte 57.297

Nordeste 414.804

Sudeste 984.659

Sul 615.978

Centro-Oeste 126.345

4) A tabela abaixo representa o desmatamento detectado pela Secretaria de Meio Am-

biente do Mato Grosso (SEMA), no período de 2003 a 2005, faça os gráficos de seto-

res e de coluna:

Tabela 7.9

REGIÕES

ÀREA DESMATADA

( 2km )

Centro-Norte 13520

Noroeste 5792

Extremo Norte 5212

Nordeste 3575

Sudoeste 1791

Sudeste 1444

Sul 695

TOTAL

5) Os dados a seguir referem-se aos casos e incidência (por 100.000 habitantes) de tu-

berculose pulmonar por faixa etária no município X em 2002. Desenhe o grafico de

colunas para essa distribuição.

Tabela 7.10

Faixa etária (anos) fi

0 – 4 8

5 – 14 7

15 – 24 7

25 – 44 19

45 – 64 22

65 + 9

Total 72

Medidas de Posição

Medidas de Posição

Vimos anteriormente a sintetização de dados sob a forma de tabelas e gráficos.

Agora vamos aprender o cálculo de medidas que possibilitam representar um conjunto

de dados de forma reduzida, ressaltando as tendências de cada conjunto isoladamente

ou em confronto com outros. Tais medidas são chamadas de Medidas de Posição.

As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central

que recebem tal dominação pelo fato de que os dados observados tenderem, em geral, a

se agrupar em torno de valores centrais. Dentre as medidas de tendência central vere-

mos:

Média Aritmética

Mediana

Moda

8.1 Média Aritmética Simples (dados não agrupados)

A média aritmética simples de um conjunto de valores é igual ao quociente entre

a soma desses valores e o número total deles.

Sendo nxxxx ,,,, 321 os n valores da variável x, a média aritmética simples

desses valores e representada por X é definida por

n

xX

i

Exemplo 8.1 – Determine a média aritmética simples dos conjuntos de valores 3, 4, 5, 6,

7.

55

25

5

76543

X

8.2 Média Aritmética Ponderada (dados agrupados)

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência, usare-

mos a média dos valores nxxxx ,,,, 321 ponderados pelas respectivas freqüências

absolutas: nffff ,,,, 321

Assim:

i

ii

f

xfX , onde nf i

Exemplo 8.2 - Dados agrupados sem intervalos de classe

Os dados da distribuição de freqüências representam o número de filhos por família

de 32 famílias entrevistadas em um determinado ambulatório médico. Determine a mé-

dia aritmética dos dados da distribuição.

Tabela 8.1 – Número de filhos por familia

Nº de filhos por

família ( ix )

Famílias ( if ) ii fx

0 4 0

1 8 8

2 10 20

3 7 21

4 3 12

Total N=32 61

9,132

61

i

ii

f

xfX

Exemplo 8.3 - Dados agrupados com intervalo de classe

Foi feito um estudo sobre a concentração de nitratos na água de 100 bueiros que

deságuam em uma lagoa. Os resultados são apresentados na Tabela 8.2. Determine a

média aritmética dessa distribuição (nesse caso, o xi é o ponto médio da classe):

Tabela 8.2 – Concentração de nitrato na água de 100 bueiros

Concentração de Ni-

trato (mg/l)

Número de bueiros

( if ) ix ii fx

140 |--- 160 7 150 1050

160 |--- 180 20 170 3400

180 |--- 200 33 190 6270

200 |--- 220 25 210 5250

220 |--- 240 11 230 2530

240 |--- 260 4 250 1000

100 19500

195100

19500

i

ii

f

xfX

Logo, a média de concentração de nitrato na água é de 195mg/l

8.3 Mediana

É o elemento que ocupa a posição central de um conjunto de dados, cujos valores

estão colocados na ordem crescente. A mediana é representada por Md.

8.3.1 Determinação da Mediana para dados não agrupados

Quando o número de elementos for ímpar, a mediana será o elemento de ordem

2

1n, iso é,

2

1

nposiçãonaestáqueElementoMd

Quando o número de elementos for par, a mediana será a média aritméti-

ca dos elementos de ordem 2

n e 1

2

n.

2

122

nposiçãonaestáqueElemento

nposiçãonaestáqueElemento

Md

Exemplo 8.3 - Determine a mediana dos conjuntos de valores abaixo:

X (2, 3, 5, 6, 7, 8, 9)

Y (1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Como o número de elementos do conjunto X é ímpar (n = 7), a mediana é o elemento de

ordem

42

8

2

17

2

1

n , isto é, a mediana é o 4º elemento do conjunto, logo Md=6

Observamos que 50% dos elementos estão abaixo da mediana e 50% estão acima.

No conjunto Y, o número de elementos é par (n = 8), a mediana é a média dos elemen-

tos de ordem

51412

8

2

1e4

2

8

2

nn

Tomando então a média dos elementos que estão nas posições 4º e 5º, respectivamente,

temos que a mediana é

5,52

65

2

122

nposiçãonaestáqueElemento

nposiçãonaestáqueElemento

Md

8.3.2 Determinação da Mediana para dados agrupados sem intervalo de classe

Se os dados se agrupam em uma distribuição de freqüência, o cálculo de mediana se

processa de modo semelhante a aquele dos dados não agrupados, implicando, porém, a

determinação prévia das freqüências acumuladas, pois é ela que indica onde está a posi-

ção da mediana.

Exemplo 8.4 - Determine a mediana da distribuição abaixo:

Tabela 8.3 - Distribuição de frequencia do número de filhos por familia

Nº de Filhos fi Fac

0 3 3

1 2 5

2 4 9

3 6 15

4 3 18

5 2 20

Σ 20 -

Como n = 30, n é par, logo a mediana será a média aritmética entre os elementos de or-

dem

102

20

2

n e 111

2

201

2

n.

Assim, o 10º elemento corresponde a 3 e o 11º elemento corresponde a 3, logo:

32

33

2

122

nposiçãonaestáqueElemento

nposiçãonaestáqueElemento

Md

8.3.3 Cálculo da mediana para dados agrupados com intervalo de classe

Nesse caso a mediana é determinada pela seguinte fórmula:

i

i

antac

hf

Fn

lMd

2inf

Onde: 2

n é a posição da mediana

infl – Limite inferior da classe mediana

antacF – Freqüência acumulada anterior a classe mediana

if – Freqüência absoluta da classe mediana

ih – amplitude do Intervalo da classe mediana

Exemplo 8.5 - Determine a mediana da distribuição abaixo:

Tabela 8.4

Tempo de

Serviço fi Fac

2 |― 6 4 4

6 |― 10 7 11

10 |― 14 13 24

14 |― 18 9 33

18 |― 22 5 38

Σ 38

1º passo: calcular a posição da mediana, isto é, 192

38

2

n, logo a mediana está na dé-

cima nona posição.

2º passo: pela acF identifica-se a classe que contém a mediana ( acF = 24, cuja clas-

se é 10 |― 14).

3º passo: Determinar a freqüência acumulada anterior a freqüência da classe da media-

na, isto é, 11antacF

4º passo: Limite inferior da classe mediana, isto é, 10inf l

5º passo: Determinar a freqüência absoluta da classe mediana, isto é, 13if

6º passo: Determinar a amplitude do intervalo da classe mediana, isto é,

41014 ih

7º passo: utiliza-se a fórmula

i

i

antac

hf

Fn

lMd

2inf ,

Logo, 7,127,210413

1119102

inf

i

i

antac

hf

Fn

lMd

Dizemos então que 50% dos dados da distribuição está abaixo de 12,7 e os outros 50 %

estão acima.

8.4 Moda

É a mais simples das medidas de centro: é o valor que ocorre com maior freqüên-

cia num conjunto de valores, isto é, é o valor que aparece em maior número de vezes . É

representada por Mo.

8.4.1 Dados agrupados

Neste caso a moda é facilmente reconhecida de acordo com a definição, basta procu-

rar o valor que mais se repete.

Exemplo 8.6 - Determine a moda no conjunto de valores: 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Como o número 4 ocorre mais vezes, então a Mo = 4.

Quando na série não existe valor que apareça mais vezes que outros, dizemos en-

tão que a série não possui moda, isto é, ela é amodal.

Quando existe uma única moda, a série é modal.

Quando existem duas modas a série é bimodal.

Quando existe mais de duas modas a série chamasse multimodal.

8.4.2 Dados agrupados sem intervalo de classe

A determinação da moda é imediata, bastando localizar na tabela o valor que tem

maior freqüência.

Exemplo 8.7 - Vejamos: Determine a moda dos valores da tabela abaixo:

Tabela 8.5

Pontos fi

0 2

1 5

2 9

3 7

5 6

6 4

Σ 33

Mo = 2, pois o valor 2 aparece nove vezes, isto é, possui a maior freqüência (9).

8.4.3 Dados agrupados com intervalo de classe

A moda, nesse caso, é determinada através do método de CZUBER, cuja fórmula é a

seguinte:

ihdd

dlMo

21

1inf

Onde:

infl – Limite inferior da classe modal

1d – é a diferença entre a frequencia simple da classe modal e a frequencia simples an-

terior a classe modal, isto é, antMo ffd 1

2d – é a diferença entre a frequencia simple da classe modal e a frequencia simples pos-

terior a classe modal, isto é, postMo ffd 2

ih – amplitude do Intervalo da classe modal

Exemplo 8.8 - Determine a moda para a distribuição abaixo:

Tabela 8.6

Idades fi

20 |― 25 5

25 |― 30 8

30 |― 35 11

35 |― 40 6

40 |― 45 3

n 33

1º passo: indica-se a classe modal. No caso, a 3ª classe (30 |― 35), pois, tem a maior

freqüência (11).

2º passo: Determinar a freqüência simples (ou absoluta) anterior a freqüência da classe

modal, isto é, 8antf , e a freqüência simples (ou absoluta) posterior a freqüência da

classe modal, isto é, 6postf ,

3º passo: Determinar 1d e 2d , isto é

38111 antMo ffd e 56112 postMo ffd

4º passo: Limite inferior da classe modal, isto é, 30inf l

5º passo: Determinar a amplitude do intervalo da classe modal, isto é, 53035 ih

6º passo: aplica-se a fórmula de CZUBER

ihdd

dlMo

21

1inf

Logo, 9,130553

330

21

1inf

ih

dd

dlMo

Portanto, Mo=31,9

8.5 Emprego das Medidas de Tendência Central

A Média é utilizada quando:

a) Desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade.

b) Houver necessidade de um tratamento ulterior.

A Mediana é utilizada quando:

c) Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais.

d) Há valores externos que afetam de uma maneira acentuada a média.

e) A variável em estudo é salário.

A Moda é utilizada quando:

a) Desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição.

b) A medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.

Atividade

1- O quadro a seguir apresenta a faixa de renda dos pescadores de Marechal Deodoro.

Determine a média de salários, o salário mais freqüente e o salário mediano dos pes-

cadores.

Faixa de Renda: fi

de 50 à R$200 32

de 201 à R$350 24

de 351 à R$500 7

de 501 à R$700 1

Fonte: Alunos de Gestão Ambiental - 2007.1

2- Use a distribuição de freqüência dada abaixo, para determinar a idade média, a ida-

de mais freqüente e a idade mediana dos habitantes de Medicine Bow,Wyoming.

Idade Freqüência

0 --- 9 57

10 --- 19 68

20 --- 29 36

30 --- 39 55

40 --- 49 71

50 --- 59 44

60 --- 69 36

70 --- 79 14

80 --- 89 8

(Fonte: U.S. Bureau of the Census)

3. A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências dos dados de peso em kg de 20

crianças submetidas a um determinado tratamento no Hospital de clinicas de Uberlân-

dia, MG, 2006. Determine a freqüência relativa e as freqüências acumuladas e o peso

médio dessas crianças.

Pesos ( em kg) freqüência

38,5 |− 43,5 3

43,5 |− 48,5 4

48,5 |− 53,5 7

53,5 |− 58,5 4

58,5 |− 63,5 2

Total

Fonte: Hospital de clinicas de Uberlândia, MG – 2006

4. Os dados a seguir referem-se aos casos e incidência (por 100.000 habitantes) de tu-

berculose pulmonar por faixa etária no município X em 2002. Determinar as fre-

qüências relativas e acumuladas, a idade média, a idade mais freqüente e a idade

mediana dos habitantes com tuberculose desse município.

Faixa etária (anos) fi

0 – 4 8

5 – 14 7

15 – 24 7

25 – 44 19

45 – 64 22

65 + 9

Total 72

5. Os dados a seguir referem-se aos salários de uma empresa. Determinar as freqüên-

cias relativas e acumuladas e a média dos salários dessa empresa.

Salários (R$) fi

500 700 18

700 900 31

900 1.100 15

1.100 1.300 3

1.300 1.500 1

1.500 1.700 1

1.700 1.900 1

Total = 70

Medidas de Variabilidade

Medidas de Variabilidade

As medidas de tendencia central descritas anteriomente sãi uteis por identificarem

um valor “tipico” em um conjunto de dados. Por outro lado, as medidas de variabilidade

dizem respeito à descrição d eum conjunto de valores em termos da variabilidade

existenet entre os itens incluidos dentro do conjunto. São diponiveis diversas tecnicas

para a medida da variabilidade em um conjunto de dados. Serão descritos neste capituo

a amplitude total, o desvio médio, a variância, o desvio-padrão e o coeficeinte de

variação.

9.1 Amplitude total

A amplitude total, ou TA , é a diferença entre o maior valor e o menor valor de uma

distribuição de freqüência ou de uma série

minmax XXAT

sérienaobservadovalormaiorX max

sérienaobservadovalormenorX min

9.1.1 Amplitude total para dados não agrupados

Exemplo 9.1: O peso atingido por dois grupos de recém-nascidos prematuros de ex-

tremo baixo peso foi registrado em dez semanas consecutivas, conforme tabela abaixo.

Determinar a amplitude total de cada uma delas

Amplitude total de A = 670 – 560 = 110g

Amplitude total de B = 900 – 330 = 570g

A amplitude total é fácil de calcular porque só usa dois números do conjunto de da-

dos.

Tabela 9.1 – Peso de dois grupos de recem-nascidos prematuros

9.1.2 Amplitude total para dados agrupados sem intervalo de classe

Exemplo 9.2: Os dados da distribuição de freqüências representam o número de fi-

lhos por família de 32 famílias entrevistadas em um determinado hospital. Vamos deter-

minar a amplitude total desta distribuição

Tabela 9.2 – Distribuição do número de filhos por familia

Nº de filhos por família

(xi)

Famílias ( if )

0 4

1 8

2 10

3 7

4 3

Total N=32

Amplitude total = 4 - 0 = 4

9.1.3 Amplitude total para dados agrupados com intervalo de classe

Grupo B 560 330

560 420

570 480

580 520

610 570

630 670

630 670

670 770

670 820

670 900

Grupo A

Média = 615g

Mediana = 620g

Moda = 670g

Média = 615g

Mediana = 620g

Moda = 670g

A expressão minmax XXAT para os dados agrupados com intervalos de classe é

escrita da seguinte forma:

minmax LLAT

eL class últimadasuperior Limitemax

classeprimeiradainferiorLimitemin L

Exemplo 9.3: Foi feito um estudo sobre a concentração de nitratos na água de 100

bueiros que deságuam em uma lagoa. Os resultados são apresentados na Tabela:

Tabela 9.3 – Concentração de nitrato por bueiros

Concentração de Nitrato

(mg/l)

Número de bueiros ( if )

140 |--- 160 7

160 |--- 180 20

180 |--- 200 33

200 |--- 220 25

220 |--- 240 11

240 |--- 260 4

n 100

120140260minmax LLAT mg/l

Conhecer apenas a amplitude total da distribuição é levar em consideração somen-

te os extremos, sem considerar os termos internos, e, nesse caso, o resultado não repre-

senta se há equilíbrio ou não na distribuição dos termos da série.

9.2 Desvio

Para aprender a calcular medidas de variação que usem todos os valores do conjun-

to de dados, primeiro você precisa saber o que é um desvio

O desvio de cada valor x é a diferença entre o valor de x e a média do conjunto de

dados.

Em uma população, o desvio de cada valor x é: x

Em uma amostra, o desvio de cada valor x é: xx

Exemplo 9.4: Do exemplo 9.1, temos que:

Tabela 9.4 – Tabela de Desvios

x x x x

560 -55 330 -285

560 -55 420 -195

570 -45 480 -135

580 -35 520 -95

610 -5 570 -45

630 15 670 55

630 15 670 55

670 55 770 155

670 55 820 205

670 55 900 285

0)( x

A soma dos desvios é sempre zero.

9.3 Desvio Médio

9.3.1 Desvio Médio para dados não agrupados

O desvio médio, ou DM, é baseado na diferença entre cada valor de um conjunto

de dados e a média do conjunto de dados. O que é calculado é a média destes desvios

em valores absolutos (módulo).

Utilizando a população temos: N

xDM

Utilizando a amostra temos: n

xxDM

Exemplo 9.5: Durante certo mês, foi feito um estudo para determinar a concentra-

ção de progesterona na saliva de pacientes de determinado hospital, conformes os dados

a seguir: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. A média aritmética é 10,5 ng/ml. Assim, a tabela dos

desvios é dada por:

Tabela 9.5 – Concentração de progesterona na saliva de pacientes

x x x

5 -5,5 5,5

8 -2,5 2,5

8 -2,5 2,5

11 0,5 0,5

11 0,5 0,5

11 0,5 0,5

14 3,5 3,5

16 5,5 5,5

Total 21,0

Utilizando os cálculos da tabela, o desvio médio é calculado da seguinte forma:

mlngN

xDM /6,2625,2

8

0,21

Desta forma, podemos dizer que, em média, as concentrações de progesterona na

saliva de pacientes, diferem por 2,6 ng/ml da média aritmética do grupo, em ambas as

direções.

9.3.2 Desvio Médio para dados agrupados

Para dados agrupados em uma distribuição de freqüências, o desvio médio é dado

por:

: N

xfDM

i

se utilizarmos a população;

n

xxfDM

i se utilizarmos a amostra.

Exemplo 9.6: Os dados da distribuição de freqüências representam o número de fi-

lhos por família de 32 famílias entrevistadas em um determinado hospital. Vamos deter-

minar o desvio médio desta distribuição.

Tabela 9.6 – Número de filhos por familia

Nº de filhos por

família (x)

Famílias ( if ) ixf x xfi

0 4 0 1,9 7,6

1 8 8 0,9 7,2

2 10 20 0,1 1

3 7 21 1,1 7,7

4 3 12 2,1 6,3

Total N=32 61 ixf 29,8

A média é dada dividindo ixf por N, isto é, 1,90625. Logo, o desvio médio é da-

do por:

93,032

8,29

N

xfDM

i

9.3.3 Desvio Médio para dados agrupados em intervalos de classe

Para dados agrupados em uma distribuição de freqüências em intervalos de classe,

o ponto médio de cada classe é tomado pra representar todas as medidas incluídas no

intervalo de classe. Assim, o desvio médio é dado como a expressão anterior.

: N

xfDM

i

se utilizarmos a população;

n

xxfDM

i se utilizarmos a amostra.

Exemplo 9.7: Os dados, da distribuição de freqüências abaixo, representam o um

estudo sobre a concentração de nitratos na água de 100 bueiros que deságuam em uma

lagoa. A média de concentração de nitrato na água é 195mg/l. O desvio médio é calcula-

do da seguinte forma, partindo dos cálculos da tabela:Os resultados são apresentados na

Tabela:

60,19100

1960

N

xfDM

i

Tabela 9.7: Folha de calculo para determinar o desvio médio para dados agrupados

em intervalos de classe

Concentração

de nitrato

(mg/l)

Nº de bueiros

( if )

Ponto Médio

( x ) x xfi

140 |--- 160 7 150 45 315

160 |--- 180 20 170 25 500

180 |--- 200 33 190 5 165

200 |--- 220 25 210 15 375

220 |--- 240 11 230 35 385

240 |--- 260 4 250 55 220

100 1960

9.4 Variância e Desvio Padrão

A Variância é similar ao desvio médio no sentido de que é também baseado nas di-

ferenças entre cada valor do conjunto de dados e a média aritmética do conjunto de da-

dos. Ela difere do desvio médio uma vez que aquelas diferenças são elevadas ao quadra-

do antes de serem somadas. Para uma determinada população, a variância populacio-

nal:é representada pela letra grega minúscula 2 (ler “sigma quadrado” ou “sigma

dois”), sendo dadas pelas formulas:

N

x

2

2)(

, para dados não agrupados.

N

xf i

2

2)(

, para dados agrupados sem intervalos de classe.

N

xf ii

2

2)(

ou

2

2

N

xf

N

xf iiii , para dados agrupados em in-

tervalos de classe, onde ix indica o ponto médio de cada intervalo de classe.

Exemplo 9.8: Para os dados de concentração de progesterona nos pacientes do e-

xemplo 9.2, a média aritmética é 10,5 ng/ml. Considerando os dados como sendo uma

população estatística de interesse, a variância é determinada como segue, a partir da

tabela 9.8.

75,108

86)( 2

2

N

x

Tabela 9.8 – Calculo para determinar a Variância para dados não agrupados

x x 2)( x

5 -5,5 30,25

8 -2,5 6,25

8 -2,5 6,25

11 0,5 0,25

11 0,5 0,25

11 0,5 0,25

14 3,5 12,25

16 5,5 30,25

Total 86,00

Ao contrario da situação para outras estatísticas amostrais, a variância para uma

amostra não é, em termo computacional, exatamente equivalente à variância da popula-

ção. Antes, o denominador da fórmula da variância da amostra é ligeiramente diferente.

Essencialmente, é introduzido um fator de correção nesta expressão, de tal forma que a

variância amostral seja um estimador não tendencioso da variância populacional. A vari-

ância da amostra é representada por s², e suas fórmulas são dadas por:

1

)( 2

2

n

xxs , para dados não agrupados

1

)( 2

2

n

xxfs

i ou

n

xfxf

ns

i

i

2

22

1

1, para dados agrupados

sem intervalo de classe.

1

)( 2

2

n

xxfs

ii ou

n

xfxf

ns

ii

ii

2

22

1

1,para dados agrupados

em intervalos de classe, onde ix indica o ponto médio de cada intervalo de classe.

Exemplo 9.9: Para os dados, da distribuição de freqüências do exemplo 9.4, que re-

presentam a concentração de nitratos na água de 100 bueiros que deságuam em uma

lagoa, a média do valor das concentrações de nitratos é 195 mg/l. Considerando aqueles

dados como sendo uma amostra estatística de interesse, a variância é determinada como

segue, a partir da tabela 9.9:

93,59299

58700

1

)( 2

2

n

xxfs

ii

Tabela 9.9: Folha de calculo para determinar a variância para dados agrupados em

intervalos de classe

Concentração

de nitrato

(mg/l)

( if ) Ponto Médio

( x ) xx

2)( xx 2)( xxfi

140 |--- 160 7 150 -45 2025 14.175

160 |--- 180 20 170 -25 625 12.500

180 |--- 200 33 190 -5 25 825

200 |--- 220 25 210 15 225 5.625

220 |--- 240 11 230 35 1225 13.475

240 |--- 260 4 250 55 3025 12.100

100 58.700

Em geral, é difícil interpretar o significado do valor da variância porque as unidades

nas quais tal valor é expresso não são as mesmas do que as das observações do conjunto

de dados. Por esta razão, a variância não é muito utilizada para representar algo que o-

correu com os dados pesquisados. Desta forma, a mais utilizada é a medida relacionada

com a raiz quadrada da variância, representada pela letra grega para a população (ou

s para a amostra) e chamada de desvio padrão, é o que se utiliza com mais freqüência. As

fórmulas são:

Desvio padrão populacional para dados não agrupados:

N

x

2

Desvio padrão amostral para dados não agrupados

1

2

n

xxs

Desvio padrão populacional para dados agrupados:

N

xf i

2

ou

22

N

xf

N

xf iiii

Desvio padrão amostral para dados agrupados

1

2

n

xxfs

i ou

n

xfxf

ns

ii

ii

2

2

1

1

O desvio padrão é particularmente a medida mais usada na comparação de dife-

renças entre conjuntos de dados, por ter grande precisão, uma vez que é utilizada em

conjunção com numerosos métodos de inferência estatística. O desvio padrão determina

a dispersão dos valores em relação à média.

Exemplo 9.10: Para os dados, da distribuição de freqüências do exemplo 9.1, temos

o peso atingido por dois grupos de recém-nascidos prematuros de extremo baixo peso,

que foram registrados em dez semanas consecutivas. A média é 615g. Considerando a-

queles dados como sendo uma amostra estatística de interesse, o desvio-padrão é de-

terminado como segue, a partir da tabela.

73,1350,188

10

188502

N

xA

g

41,54930185

10

3018502

N

xB

g

Tabela 9.10: Indica os desvios padrões de cada grupo de prematuros

Grupo A Grupo B

x x ( x )² x x ( x )²

560 -55 3025

330 -285 81225

560 -55 3025

420 -195 38025

570 -45 2025

480 -135 18225

580 -35 1225

520 -95 9025

610 -5 25

570 -45 2025

630 15 225

670 55 3025

630 15 225

670 55 3025

670 55 3025

770 155 24025

670 55 3025

820 205 42025

670 55 3025

900 285 81225

18850

301850

9.5 Interpretação do Desvio Padrão

Há varias regras que permitem compreender o que revela o desvio-padrão. A Figura

abaixo mostra que para dados distribuídos de modo (pelo menos aproximadamente)

simétrico, tem-se:

68% das observações feitas estão a um desvio padrão da média (diz-se que

estão entre menos um e mais um desvio padrão da média), denominada de

zona de neutralidade ou normalidade.

95% das observações feitas estão a dois desvios padrão da média (diz-se que

estão entre menos dois e mais dois desvios padrão da média).

99% das observações feitas estão a três desvios padrão da média (diz-se que

estão entre menos três e mais três desvios padrão da média).

9.6 Coeficiente de Variação (C.V.)

Trata-se de uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos

relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. È dado por:

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

100.100. x

sVCouVC

Exemplo 9.11: Num hospital, o salário médio dos homens é de R$4.000,00, com

desvio-padrão de R$1.500,00, e o das mulheres é em média de R$3.000,00, com desvio-

padrão de R$1.200,00. Então:

Para os homens

Para as mulheres

Logo, podemos concluir que os salários das mulheres apresentam maior dispersão

relativa que os dos homens. Para obtermos o resultado do C.V. em porcentagens, basta

multiplicarmos o resultado por 100. No caso:

C.V. para homens 37,5%

C.V. para mulheres 40%

Exemplo 9.12: Para os dados, da distribuição de freqüências do exemplo 9.7, que a

média é 615g e o desvio padrão para A e B são, respectivamente, 13,73g e 549,41g. Con-

siderando esses dados como sendo uma amostra estatística de interesse, o coeficiente

de variação é determinado como segue,

%24,2100615

75,13

ACV

%33,89100615

41,549

BCV

Logo, o grupo mais homogêneo é o grupo A.

375,0000.4

500.1.

x

sVC

4,0000.3

200.1.

x

sVC

Atividade

1. O quadro a seguir apresenta a faixa de renda dos pescadores de Marechal Deodoro.

Determine o desvio médio, variância, desvio padrão, coeficiente de variação e o in-

tervalo da zona de neutralidade.

Faixa de Renda: fi

de 50 à R$200 32

de 201 à R$350 24

de 351 à R$500 7

de 501 à R$700 1

2. O quadro a seguir apresenta a faixa etária dos pescadores de Marechal Deodoro. De-

termine o desvio padrão, o coeficiente de variação, o intervalo da zona de neutrali-

dade e a amplitude dos 95% centrais desta distribuição.

Faixa Etária: fi

de 15 à 25: 6

de 26 à 30: 5

de 31 à 40: 17

de 41 à 50: 21

de 51 à 60: 13

de 61 à 70 13

Total 75

Introdução a Probabilidade

10.1 Métodos de Contagem

Os problemas de contagem são, em muitas vezes, considerados difíceis entre es-

tudantes e professores, apesar das técnicas matemáticas necessárias serem bastante

elementares: essencialmente, o conhecimento das operações aritméticas de soma, sub-

tração, multiplicação e divisão. O objetivo principal deste material é levar o estudante a

trabalhar com problemas de contagem e a ver que, afinal de contas, tais problemas po-

dem ser resolvidos com raciocínios simples na grande maioria dos casos, sem exigir o uso

de fórmulas complicadas. Veja os exemplos abaixo.

Exemplo 10.1. Um quadro com a forma abaixo vai ser pintado utilizando duas cores das

tres cores dadas.

Figura 10.1

a. Liste todos os possíveis quadros. Quantos são eles?

Solução. È importante ter um procedimento sistemático para listar todos os possíveis

quadros, sem repeti-los. Desta forma, devemos identificar as diferentes decisões a serem

tomadas e examinar todas as possibilidades para cada um deles. No caso deste proble-

ma, uma forma natural para planejar o preenchimento do quadro é:

Escolher a cor a ser utilizada para parte externa do circulo;

Em seguida, escolher a cor interna para o círculo.

A primeira decisão pode ser feita de 3 modos diferentes, já que a cor externa po-

de ser qualquer uma das disponíveis. Uma vez tomada esta decisão, a cor escolhida não

pode mais ser usada para o circulo interno. Por exemplo, se a cor amarela for escolhida

para a parte externa, a cor interna deverá ser verde ou branca.

Então, podemos listar todos os possíveis quadros, que são 6, de acordo com a fi-

gura abaixo.

Cor externa amarela

Cor externa branca

Cor externa verde

Figura 10.2

Um fato importante, que pode ser explorado na contagem eficiente do número

possível de quadro, é o seguinte: as cores disponíveis para pintar o circulo mudam de

acordo com a escolha da parte externa, mas a sua quantidade é sempre a mesma, já que,

qualquer que seja a cor externa escolhida. Portanto, poderíamos ter empregado o se-

guinte raciocínio para contar o número de possíveis quadros. Sem listá-los.

A cor externa pode ser escolhida de três formas diferentes. Qualquer que seja es-

ta escolha, a cor do circulo pode ser escolhida de duas formas. Logo, o número total de

possibilidades é 2+2+2=3x2=6.

procedimento acima nos mostra o Principio Multiplicativo ou Principio Funda-

mental da Contagem:

Se uma decisão 1D pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja esta escolha, a

decisão 2D pode ser tomada de q modos, então o número de maneiras de se tomarem

consecutivamente as decisões 1D e 2D é igual a pq.

Podemos ilustra o Principio Multiplicativo com o auxilio de uma árvore de enume-

ração como mostra a Figura 10.3 a seguir.

Figura 10.3

Problemas

1) De acordo com o quadro abaixo, quantos são os possíveis quadros no caso em

que 4 cores estão disponíveis?

2) Quantas são as formas de pintar o quadro a seguir utilizando 3 cores diferentes

dentre 4 dadas?

Cor externa

Cor do circulo

De acordo com o exemplo e os problemas acima, você deve ter percebido qual é a

estratégia para resolver problemas de contagem:

I. Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que está fazen-

do a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar.

Nas diversas situações, nós nos solocamos no papel da pessoa que deveria

colorir o quadro.

II. Divisão: devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem toma-

das em decisões mais simples, correspondentes às diversas etapas do pro-

cesso de decisão. Colorir o quadro foi dividido em colorir cada região.

III. Não adiar dificuldades: Pequenas dificuldades adiadas costumam se trans-

formar em imensas dificuldades. Se uma das decisões a serem tomadas for

mais restrita que as demais, essa é a decisão que deve ser tomada em

primeiro lugar.

Uma das principais aplicações das técnicas de contagem é a resolução de proble-

mas simples de Probabilidade. O interesse dos matemáticos no estudo sistemático de

probabilidades é relativamente recente e tem suas raízes no estudo dos jogos de azar.

O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na conservação diária para

sugerir certo grau de incertezas sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futu-

ro ou o que está ocorrendo no presente. O estudante poderá ficar contente porque acha

que sua “probabilidade“ de passar nas provas é grande. Os testes diagnósticos são uma

aplicação à medicina de probabilidade e baseasse no seguinte: Uma suspeita de que um

paciente padeça de certa enfermidade, que há uma incidência da enfermidade na popu-

lação (probabilidade de que a enfermidade atinja uma pessoa escolhida ao acaso.. Como

ajuda ao diagnostico da enfermidade, fazemos o paciente passar por uma série de provas

(testes) que dão como resultado : Positivo(+) ou Negativo (-).

A idéia de probabilidade desempenha papel importante em muitas situações que

envolvam uma tomada de decisão. Suponhamos que um empresário deseja lançar um

novo produto no mercado. Ele precisará de informações sobre a “probabilidade” de su-

cesso para seu novo produto. Os modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas

áreas do conhecimento humano, tais como: Biologia, Economia, Administração, Enge-

nharia e outros ramos da ciência.

Para avaliar a probabilidade de um evento, podemos basear-nos em duas escolas

de pensamento.

1º. A escola objetiva ou clássica, na qual as regras do calculo das probabilidades de-

vem ser aplicadas somente a eventos que podem ser repetidos indefinidamente

sob as mesmas condições. Tais fundamentos garantem que se duas pessoas, iso-

ladas e acuradamente, determinassem a probabilidade de certo evento, chegari-

am ao mesmo resultado. Por exemplo: Uma probabilidade associada ao fato de se

receberem duas figuras em um jogo de cartas, ou de ganhar numa loteria em que

15000 pessoas possuam bilhetes, pois os “experimentos” podem ser repetidos

sob as mesmas condições, e diferentes pessoas avaliariam com os mesmos valo-

res tais possibilidades. Adeptos dessa escola jamais cogitariam atribuir a “proba-

bilidade” de que o Flamengo ganhe no seu próximo jogo ou de que João seja pri-

meiro homem a pisar em Marte. Tais eventos não resultam de experimentos que

possam ser repetidos sob as mesmas condições.

2º. Para a avaliação desses experimentos, deveremos valer-nos dos fundamentos da

“escola subjetiva” ou personalista. Tal escola considera que a probabilidade de

certo evento é medida pelo grau de crença que cada pessoa atribui à ocorrência

desses eventos. Evidentemente, neste caso, teremos diferentes “possibilidades”

para um mesmo evento. Mesmo admitindo a dificuldade originada por diferentes

probabilidades ao mesmo evento, os defensores dessa escola crêem que as pes-

soas que se utilizam sistematicamente das probabilidades subjetivas conseguem

tomar decisões acertadas.

10.2 Conceitos básicos

10.2.1 Experimento Aleatório

Experimento Aleatório é aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições

indefinidamente. Tal experimento apresenta variações de resultados, não sendo possível

afirmar a priori qual será sua determinação antes que o mesmo tenha sido realizado. É

possível entretanto, descrever todos os possíveis resultados – as possibilidades.

A palavra Fenômeno significa experimento e a palavra aleatório significa causal.

As principais características de um experimento aleatório são:

Pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;

Em qualquer repetição do experimento, não sabemos, com certeza, qual particu-

lar resultado, de todos os possíveis, irá ocorrer, embora posamos precisar quais

sejam esses possíveis resultados.

Perguntas como as seguintes ilustram algumas situações imprevisíveis:

Quantas pessoas ganharão o premio da Mega Sena da próxima semana?

Lançando dois dados, qual será a soma dos pontos das faces superiores?

Quantos automóveis estarão circulando na cidade de Maceió em 2015?

Lançando uma moeda, que face ficará para cima , cara ou coroa?

O sorteio dos números das Mega Sena, o lançamento dos dois dados e da moeda e a

determinação do número de carros que circularão em Maceió em 2015 são fenômenos

que podem apresentar dois ou mais resultados: eles são considerados fenômenos aleató-

rios.

10.2.2 Espaço Amostral

Os resultados de uma experiência que envolve um fenômeno aleatório dependem do

interesse do pesquisador, isto é, e que o observador deseja focalizar sua atenção.

Como descrever matematicamente uma experiência desse tipo e seus resultados?

Parece natural nós falarmos de conjunto de resultados possíveis para um experimen-

to aleatório. Assim, utilizaremos conuntos para descrever esses possíveis resultados.

O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório chamará

Espaço Amostral e representaremos pela letra S.

Um espaço amostral S associado a uma experiência é um conjunto de tal modo

que:

1º.) todo resultado possível da experiência está em S;

2º.) todo elemento de S é algum resultado da experiência.

O número de elementos do espaço amostral S será indicado pó n(S).

Exemplo 10.2: Uma letra da palavra honestidade é sorteada ao acaso. Qual o espaço a-

mostral desse experimento?

S={h, o, n, e , s, t, i , d, a}

Exemplo 10.3: Retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas. Se o interesse do

jogador for observar o naipe da carta, qual o espaço amostarl?

S={ouros, copa, paus, espada}

10.2.3 Evento

É comum os pesquisadores estarem interessados em avaliar um resultado ou grupo

de resultados possíveis do espaço amostral. Os grupos de resultados que podem interes-

sar a alguém de algum modo são chamados Eventos. Podemos dizer também que, qual-

quer conjunto de resultados de um experimento será denominado de evento. Como e-

vento é um subconjunto de S, indicaremos os eventos por letras maiúsculas: A, B, C, etc.

Exemplo 10.4: Seja o experimento lançar um dado e seja A o evento sair um número par.

Assim,

Espaço amostral S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento A={2, 4, 6}

Evento simples é aquele formado por um único elemento do espaço amostral, en-

tretanto o evento que possui mais de um elemento é denominado de composto.

Diante do que foi exposto sobre o conceito de eventos, notamos que S (espaço

amostral) e o conjunto vazio também são eventos e são chamados respectivamente de

evento certo e evento impossível. Assim, o evento obter um naipe na retirada de uma

carta é um evento certo, enquanto que obter um oito no lançamento de uma dado cons-

titui um evento impossível.

Como evento é um conjunto, podemos realizar com eles as operações de união e

intersecção de conjuntos. Logo,

BA - é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem.

BA - é o evento que ocorre se A e b ocorrerem.

A - (lê-se A traço) é o evento que ocorre se A não ocorrer.

Exemplo 10.5: Seja E o experimento sortear um cartão dentre dez cartões numerados de

1 a 10. Sejam os eventos: A={sair o número cinco} e B={sair um número par}, então:

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A={5}, B={2, 4, 6, 8, 10}

}10,8,6,4,2,5{BA

BA (evento impossível)

}10,9,8,7,6,4,3,2,1{A , }9,7,5,3,1{B

Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se eles não puderem

ocorrer simultaneamente, isto é, BA . No exemplo anterior A e B são mutuamen-

te exclusivos, pois a ocorrência de A impede a ocorrência de B e vice-versa ( BA ).

10.3 Regra Básica de Probabilidade

A preocupação maior será avaliar a probabilidade dos eventos. Para isto, iremos

admitir que todos os elementos do espaço amostral têm a mesma chance, ou seja, os

resultados são igualmente prováveis. Insto significa que, se N for o número de elementos

de S, então a probabilidade de cada evento simples ocorrer será dada por N

1. Isto é, se

},,,,{ 321 naaaaS é um espaço amostral equiprovável, então a probabilidade de

cada evento simples é n

ap i

1)( .

Simbolizando um evento qualquer do espaço amostral de um experimento pela

letra A, define-se a probabilidade desse evento ocorrer como:

N

nAp A)( ,

onde A é um subconjunto do espaço amostral, An é o número de modos como A pode

ocorrer (ou total de pontos da amostra designada A) e N é o total de pontos possíveis do

experimento em questão (ou total de elementos da população que originou a amostra

A).

Exemplo 10.6: No lançamento de um dado se aposta na face ímpar. Qual a probabilidade

de vitoria?

Solução: No lançamento de um dado, o espaço amostral é:

S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Desse espaço amostral, são impares os pontos do subconjunto

A={1, 3, 5}

Como o número de elementos de S é 6 e o número de elementos de A é 3. Temos

que, a probabilidade de vitoria é:

%505,02

1

6

3)( Ap

Ou seja, obtêm a chance de vitoria dividindo o total de números ímpares no lan-

çamento de um dado isolado, pelo total de resultados que ele pode apresentar.

Exemplo 10.7: Em genética utilizamos a mesma linha de raciocínio.Qual a probabilidade

de um casal ter dois filhos do sexo feminino?

Solução: O nascimento da primeira filha não afeta a chance de o segundo filho ser

do sexo feminino, pois a segregação dos alelos de um gene é tão ao acaso quanto jogar

uma moeda para cima e obter “cara” ou “coroa”. Portanto:

Probabilidade de

ser menina

X Probabilidade

de ser menina

2

1

X

2

1

4

1

Resultado 1/4 ou 25%

10.4 Regras Básicas do Calculo das Probabilidades

Para maior facilidade na solução de problemas de probabilidades, devemos entender

as seguintes propriedades e regras:

1ª A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a zero e me-

nor ou igual a 1, isto é, 1)(0 AP .

2ª A probabilidade do evento certo é igual a 1, isto é, 1)( SP .

3ª A probabilidade do evento impossível é igual a zero, isto é, 0)( P .

4ª Regra da Soma das Probabilidades. Se A e B são dois eventos mutuamente exclu-

sivos (ou excludentes), isto é, BA , então

)()()()( BPAPBAPBAP

5ª Se A e B não forem mutuamente exclusivos (ou não excludentes), então:

)()()()( BAPBPAPBAP

6ª Se A é o evento complementar de A, então:

)(1)( APAP

Exemplo 10.8: Seja a experiência de lançar um dado. Dados os eventos A={sair o nú-

mero 3}, b={sair o número par} e C={sair um número ímpar}. Determinar:

a) )(AP ;

b) )(BP ;

c) )(CP ;

d) )( BAP ;

e) )( CAP ;

f) )(AP .

Solução: Como S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A={3}, B={2, 4, 6}; C={1, 3, 5}, então:

a) 6

1)( AP

b) 2

1

6

3)( BP

c) 2

1

6

3)( CP

d) 3

2

2

1

6

1)()()( BPAPBAP , observe que BA .

e) 6

1)(

Sdeelementosdenumero

CAdeelementosdenumeroCAP , observe que

}3{CA

f) 6

5

6

11)(1)( APAP , observe que }6,5,4,2,1{A .

Exemplo 10.9: Qual a probabilidade de um casal ter dois filhos, sendo um menino e

uma menina?

Solução: Para responder esta questão, utilizaremos as duas regras

Probabilidade

de ser menina

(1ºFilho)

X

Probabilidade

de ser menina

(2ºFilho)

OU

Probabilidade

de ser menina

(1ºFilho)

X

Probabilidade

de ser menina

(2ºFilho)

2

1

x

2

1

+

2

1

x

2

1

2

1

4

2

4

1

4

1

Resultado 1/2 ou 50%

10.4.1 Probabilidade Condicional

Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com 0)( BP , então a probabili-

dade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B, é indicada por )/( BAP e

definida pela expressão:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Podemos encontrar uma expressão mais pratica para o cálculo da probabilidade con-

dicional:

Beevntodoelementosnúmero

BAdeelementosdenumeroBAP

)/(

Exemplo 10.10: A tabela 1 apresenta o número de clientes de uma cantina de um

hospital. Qual a probabilidade de um cliente da cantina ser não-paciente do hospital,

dado que tem até 30 anos?

Tabela 10.1 – Clientes de uma Cantina.

Idade

Paciente?

Total Sim Não

Até 30 anos 22 30 52

De 31 a 40 anos 49 70 119

Mais de 40 anos 29 40 69

Total 100 140 240

Solução:

A={cliente da cantina com idade até 30 anos}

B={cliente do cantina não-paciente do hospital}

De acordo com a tabela 10.1, dos 240 clientes pesquisados, 140 são não-

pacientes, dos quais 30 têm até 30 anos. Isso significa que a probabilidade de se esco-

lher um cliente da cantina e ele:

a. Não ser paciente do hospital, é 140 (casos favoráveis) dividido por 240 (to-

tal de possibilidades), isto é, 140/240=7/12=0,5833=58,33%.

b. Além de não ser paciente do hospital, ter idade até 30 anos, é 30 (casos

favoráveis) dividido por 240 (total de possibilidades), isto é,

30/240=1/8=0,125=12,5%.

Nestas condições, a probabilidade de um cliente da cantina não ser paciente

do hospital com idade de até 30 anos é dada por:

%43,2114

3

140

30

140

240

240

30

240

140240

30

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Em síntese, o que a probabilidade condicional revela é quanto mais infor-

mação se tiver, menor será o espaço amostral de análise. No exemplo, em vez de

considerar todos os 240 clientes da cantina, basta avaliar os 140 não-pacientes do

hospital.

10.4.2 Regra do produto

A partir da definição de probabilidade condicional, podemos explicitar )( BAP

e encontrar a regra do produto para dois eventos, assim:

)/()()( BAPBPBAP ou )/()()( ABPAPBAP

Então, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos de um mesmo

espaço amostral é igual à probabilidade de um deles ocorrer, pela probabilidade con-

dicional do outro, dado o primeiro.

Exemplo 10.11: Retirar sem reposição duas células de uma amostra de 10 células,

onde 4 são benignas. Qual a probabilidade de que ambas sejam malignas?

Solução: Sejam os eventos

A={a 1ª célula ser maligna}

B={a 2ª célula ser maligna}

Desta forma, precisamos avaliar )( BAP .

3

1

9

5

10

6)/()()( ABPAPBAP

Observe que )/( ABP é a probabilidade de a 2ª célula ser maligna, dado que a 1ª foi

maligna.

10.4.3 Regra do produto para dois eventos independentes

Dois eventos são considerados de independentes se a probabilidade de ocorrên-

cia de um não altera a chance de ocorrência do outro. Em termos matemáticos,

isso permite escrever que )()/( APBAP , assim como que )()/( BPABP .

Por outro lado, fazendo algumas transformações elementares em

)(

)()/(

BP

BAPBAP

permitem escrever )/()()( BAPBPBAP . Nessa equa-

ção, fazer )()/( APBAP permite escrever que, para eventos independentes:

)()()( APBPBAP

Exemplo 10.12: Retira-se com reposição duas cartas de um baralho com 52 cartas.

Qual a probabilidade de que ambas sejam de copas?

Solução: Sejam os eventos:

A={a 1ª carta é de copas}

B={a 2ª carta é de copas}

Como A e b são independentes, a ocorrencia de um deles não está vinculado à ocor-

rência do outro. Veja que, o processo é com reposição, desta forma, o espaço amos-

tral não é alterado para o cálculo da probabilidade do outro evento. Assim,

6

1

52

13

52

13)()()( APBPBAP

10.5 Distribuição de Probabilidades

Apresentaremos três modelos teóricos de distribuição de probabilidade, aos quais

um experimento aleatório estudado possa ser adaptado, o que permitirá a solução de

grande número de problemas práticos.

10.5.1 Variáveis aleatórias

Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído

um número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória.

Muitas vezes não estamos interessados propriamente no resultado de um expe-

rimento aleatório, mas em alguma característica numérica a ele associada. Essa caracte-

rística será chamada variável aleatória.

Assim, se o espaço amostral relativo ao "lançamento simultâneo de duas moedas"

é S = {(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)} e se X representa o "número de caras" que aparecem, a cada

ponto amostral podemos associar um número para X, de acordo com a tabela abaixo (X é

a variável aleatória associada ao número de caras que foi observado):

Tabela 10.2 – lançamento simultâneo de duas moedas

Ponto Amostral X

( c,c ) 2

( c,k ) 1

( k,c ) 1

( k,k ) 0

Logo podemos escrever:

Tabela 10.3 – Probabilidade de sair cara

Números de caras ( X) Probabilidade (X)

2 1/4

1 2/4

0 1/4

Total 4/4 = 1

10.5.2 Variável Aleatória Discreta

Uma variável aleatória é denominada discreta quando se refere a experimentos

dos quais resultam valores contáveis ou pontos específicos em dado intervalo. Uma vari-

ável aleatória discreta conveniente é o conjunto dos números naturais, N={0, 1, 2, 3, ...,

n,...}.

A possibilidade de contar, de descrever variáveis por números, é estatisticamente

muito relevante. Mas, felizmente ou infelizmente, nem tudo são números. Há coisas que

simplesmente não se pode expressar por números. Como por exemplo, imagine se você

perguntar a um visitante: “Você se lembra de algum comercial sobre roupas veiculados

na TV local?” A resposta, nesse caso, não é um número; é um simples sim ou não. Você

pode taquigrafar o não com n e o sim com um s, assim como pode atribuir zero a quem

diz não e um a quem diz sim. Cada uma dessas formas tem suas virtudes e defeitos. As

atribuições n e s são auto-explicáveis; com os números zero e um podem-se fazer contas.

10.5.3 Variável Aleatória Continua

Diz-se que a variável aleatório é continua quando relativa a coisas mensuráveis, a

eventos que podem assumir qualquer valor numérico em dado intervalo. É especialmen-

te adequada a medidas de tempo, distâncias, velocidades, volumes e pesos.

Você poderá usar uma variável continua para monitorar o tempo entre atendi-

mentos no laboratório de analises clinicas, assim como pode para determinar a distancia

do ambulatório médico aos locais de exames.

Exemplo 10.3: Consideremos a distribuição de freqüências relativa ao número de aciden-

tes diários na Rodovia do SOL durante o mês de nov/97:

Tabela 10.4 – Distribuição do número de acidentes diários na Rodovia do Sol

Número de acidentes Frequência

0 22

1 5

2 2

3 1

Podemos então escrever a tabela de distribuição de probabilidade:

Tabela 10.5 – Probabilidade do numero de acidentes

Número de acidentes (X) Probabilidade (X)

0 0,73

1 0,17

2 0,07

3 0,03

Total 1,00

Construímos acima uma tabela onde aparecem os valores de uma variável aleatória

X e as probabilidades de X ocorrer que é a tabela de distribuição de probabilidades.

Atividade

Descreva o espaço amostral para os experimentos das questões 1 e 2:

1 Escolher dois estudantes, entre 4, para serem o presidente e o tesoureiro da comis-

são de formatura. Se cada comissão é representada por um para ordenado em que o

1º nome é o do presidente e o 2º é o do tesoureiro, o que significa o par (Maria, Jo-

ão) nesse experimento?

2. Faz-se um levantamento em famílias com 3 crianças e registra-se o sexo (M ou F)

das crianças em ordem decrescente de idade. O que significa a seqüência (MFF) nes-

se experimento?

3. Estilo de vida é um fator que agrega o modo como as pessoas vivem, como se vêem

e como querem que os outros as vejam . È também função de variáveis como renda,

ocupação, instrução e convivio social. Alguns estilos são especialmente interessan-

tes para quem gerencia atrações (ambientalistas gostam de zôos e passeios ecológi-

cos, etc). A tabela a seguir mostra o resultado de um teste de identificação de estilo

de vida com 150 pessoas aleatoriamente selecionadas.

Estilo de vida

Pesquisado Tipo A Tipo B Total

Homem 78 42 120

Mulher 19 11 30

Total 97 53 150

a) Escolhendo um dos questionários preenchidos pelos entrevistados sobre prefe-

rências por atrações turísticas, qual a probabilidade de ele se referir a alguém:

i) Do estilo de vida A?

ii) Do sexo feminino?

iii) Do Estilo B, dado que é mulher?

iv) Do sexo masculino ou que tenha estilo de vida Tipo B?

b) Os eventos sexo feminino e tipo A são mutuamente excludentes?

c) Os eventos tipo A e sexo masculino são independentes

2) Ao inspecionar 10.000 caixas de frutas recebidas dos produtores ECD e HND, um ata-

cadista constata o seguinte:

Caixas com Frutas

Fornecedor Caixas recebidas Danificadas Muito Maduras

ECD 6000 200 840

HND 4000 365 295

Total 10000 565 1135

Se o atacadista colocar à venda as 10.000 caixas nas condições recebidas:

a) Qual a probabilidade de uma caixa selecionada ao acaso:

i) Conter frutas danificadas?

ii) Conter frutas muito maduras?

iii) Ser do fornecedor HND ou do ECD?

b) Selecionada uma caixa com frutas muito maduras , qual a probabilidade de ser de

HND?

c) Qual a probabilidade de uma caixa conter frutas danificadas ou muito maduras,

supondo esses eventos mutuamente excludentes?

Correlação e Regressão

Em muitas situações do dia a dia, torna-se interessante e útil estabelecermos uma re-

lação entre duas ou mais variáveis. A matemática estabelece vários tipos de relações en-

tre variáveis, as relações funcionais e as correlações.

As relações funcionais são relações matemáticas expressas por sentenças matemáti-

cas. São exemplos já vistos anteriormente:

a) Área do retângulo (A = a.b) é a relação entre os lados do retângulo;

b) Densidade de massa (dm = m/V) é a relação entre a massa e o volume de um cor-

po;

c) Perímetro de uma circunferência (C = 2pi.R) é a relação entre o cumprimento da

circunferência e o valor do raio.

Pretende-se mostrar nesta unidade a natureza das relações estatísticas e verificar

quais variáveis explicam ou modificam os fenômenos estudados, onde se pode avaliar,

estimar e prever suas ocorrências futuras. Em razão disto, temos como objetivos mostrar

como:

Relacionar variáveis especificas, fato fundamental na tomada de decisões;

Determinar e explicitar as relações entre as variáveis que caracterizam os even-

tos;

Avaliar a qualidade das relações entre as variáveis;

Obter equações que relacionam as variáveis;

Analisar estatisticamente as referidas equações.

As analises em questão terão por base os modelos de regressão e seus coeficientes

de correlação. Observe-se que os referidos modelos são complementares, não antagôni-

cos. Isto é, enquanto o modelo de regressão define a relação matemática entre as variá-

veis, o coeficiente de correlação simplesmente diz quão forte é essa relação.

Relações estatísticas e correlações

São relações estabelecidas após uma pesquisa. Com base nos resultados da pesquisa,

fazem-se comparações que eventualmente podem conduzir (ou não) à ligação entre as

variáveis.

Exemplo: relação entre a idade e a estatura de uma criança ou a relação entre a classe

social de uma pessoa e o atendimento num hospital particular.

Em se tratando de licenciatura em biologia, podemos estabelecer relações que

envolvem variáveis como classe social, idade, sexo, cultura, situação econômica, salário,

peso, altura, etc.

No estudo estatístico, a relação entre duas ou mais variáveis denomina-se corre-

lação.

A utilidade e importância das correlações entre duas variáveis podem conduzir à

descoberta de novas situações e de novos métodos, cujas estimativas são vitais em to-

madas de decisões em pesquisas.

11.1 Correlação Linear

Correlação linear é uma correlação entre duas variáveis, cujo gráfico aproxima-se

de uma linha reta. È uma linha de tendência, pois procura acompanhar a tendência da

distribuição de pontos, que pode corresponder a uma reta ou uma curva. Por outro lado

é, também, uma linha média, porque procura deixar a mesma quantidade de pontos a-

baixo e acima da linha reta.

O sinal positivo do coeficiente de correlação linera indica que o sentido da corre-

lação corresponde a uma reta de inclinação decrescente, e o sinal negativo corresponde

a uma reta de inclinação crescente.

Figura 11.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6

Série1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6

Série1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

Série1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7

Série1

Correlação linear perfeita

negativa, isto é, r=-1

Fraca correlação negativa, r<0

Forte correlação positiva, r>0

11.2 Coeficiente de correlação de Pearson

O coeficiente de correlação linear pode ser apresentado como uma medida de

correlação, pois tem como objetivo indicar o nível de intensidade que ocorre na correla-

ção entre as variáveis. O coeficiente de correlação linear pode ser positivo ou negativo.

Coeficiente de correlação de Pearson (r) é dado por:

𝑟 =𝑛 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑛 𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖 2 𝑛 𝑦𝑖

2 − 𝑦𝑖 2

Onde:

r = o coeficiente de correlação de Pearson

n = o número de dados os de observações

𝑥𝑖 = a variável independente

𝑦𝑖 = a variável dependente

O valor do coeficiente de correlação r tem variação entre +1 e -1, ou seja, está li-

mitado entre os valores do intervalo −1, +1 .

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 1 2 3 4 5 6 7

Série1

Ausência de correlação

linear, r=0

Propriedades do Coeficiente de Correlação Linear

Carece de unidades de medidas (adimensional).

È invariante para as transformações lineares (mudança de origem e de escalas)

das variáveis.

Só assume valores compreendidos ente -1 e +1.

Quando |r| está próximo de um valor, afirma-se que há uma relação linear muito

forte entre as variáveis.

Quando 𝑟 ≈ 0, pode-se afirmar que não há relação linear entre ambas as variá-

veis . Desta forma, diz-se que as variáveis são não-correlacionadas.

Portanto, afirmar que 𝑟 = ±1 é o mesmo que dizer que as observações de ambas as va-

riáveis estão perfeitamente alinhadas.

11.3 Regressão – Reta de Regressão (ou Reta de Mínimos Quadra-

dos ou Reta de Ajuste)

Um dos maiores problemas para o investigador de fenômenos humanos ou físicos

é o estabelecimento de um modelo matemático que descreve e explique o fenômeno

ocorrido na vida real, com boa aproximação. A busca de uma relação funcional entre as

variáveis observadas que descrevem o fato é uma tarefa de muitos pesquisadores em

diversas áreas do conhecimento. Assim, por exemplo, o pediatra tem interesse em esta-

belecer uma relação funcional entre o peso de a altura do bebê; um economista busca

encontrar uma função que explique o comportamento das vendas em função do preço; o

médico tem interesse em relacionar através de uma função o volume do plasma sanguí-

neo e a superfície dos corpos dos pacientes, etc.

Seja Y uma variável que queremos estudar e cujo comportamento futuro deseja-

mos descobrir. É fácil identificarmos uma série de variáveis 𝑋𝑖 : ( 𝑋1, X2, X3, ⋯ , Xn que

influenciará o comportamento de Y, a variável dependente do modelo. A Estatística ofe-

rece meios de chegarmos à função entre a variável dependente (Y) e as variáveis inde-

pendentes ( 𝑋1, X2, X3, ⋯ , Xn através da análise de regressão. Quanto maior o numero

de variáveis explicativas, mais completo será o modelo. Todavia, sua solução será tam-

bém mais complexa e difícil. Em razão disso, nós apenas utilizaremos o modelo de duas

variáveis: a variável dependente Y e a variável independente X. Portanto, apresentare-

mos o estudo da função linear (ajustamento de uma reta) que é dada por:

𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋

Onde

𝑎 = constante (ponto em que a reta corta o eixo dos y)

𝑏 = constante = coeficiente de regressão.

Y = variável dependente

X= variável independente

Sendo a e b os parâmetros da equação da reta , estes podem ser calculados por

meio das expressões:

22

ii

iiii

xxn

yxyxna e

n

xa

n

yb

ii

Uma maneira simples para auxiliar na determinação da função entre as variáveis

dependentes e independentes é a construção do gráfico denominado “diagrama de dis-

persão”. Para construirmos o diagrama de dispersão devemos coletar uma amostra de

valores X e Y: 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 , 𝑥3, 𝑦3 , ⋯ , 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 , e depois marcar esses pontos no

sistema de coordenadas cartesianas.

Um exemplo simples consiste em considerar uma população formada por estudantes do

curso de Biologia, definindo sobre ela as variáveis

scentimetroemmedidaalturaX

metrosemmedidaalturaY

Veja que não é necessário fazer grandes esforço para intuir que a função entre ambas é

dada por:

100

XY

Obter essa função é menos evidente quando o que medimos sobre o mesmo grupo de

estudantes é:

scentimetroemmedidaalturaX

quilosemmedidopesoY

O fato é que, uma vez conhecida a altura ix de um estudante, não é certo que

possamos determinar, de modo exato, seu peso iy (por exemplo, dois estudantes que

medem 1,72 m podem pesar, respectivamente, 62 e 65 quilos). No entanto, alguma rela-

ção entre eles devem existir, pois parece muito mais provável que um individuo de 2 m

pese mais que outro cuja altura é 1,30 m. Pode nos parecer mais ou menos aproximada

uma relação entre ambas as variáveis.

Exemplo 11.1: Em um grupo de pacientes de um hospital, mediu-se as quantidades an-

tropométricas peso e idade, obtendo-se os seguintes dados:

Tabela 11.1 - Resultados das medições

X (idade) 12 8 10 11 7 7 10 14

Y (peso) 58 42 51 54 40 39 49 56

Responda:

a) Existe uma relação linear importante entre essas variáveis?

b) Calcule a reta de regressão da idade em função do peso e a do peso em função da

idade.

Solução:

a) Para sabermos se há uma relação linear entre as variáveis em estudo, calcularemos o

coeficiente de correlação de Pearson.

Para isto elaboraremos uma tabela contendo nas colunas as variáveis dependentes ( iy ),

as independentes ( ix ) e os produtos ii yx , 2

ix e 2

iy .

Tabela 11.2 – Relação estre as variaveis X e Y

X (idade) ( ix ) Y (peso) ( iy ), ii yx 2

ix 2

iy

12 58 696 144 3364

8 42 336 64 1764

10 51 510 100 2601

11 54 594 121 2916

7 40 280 49 1600

7 39 273 49 1521

10 49 490 100 2401

14 56 784 196 3136

79 389 3963 823 19303

Assim, o coeficiente de correlação de Pearson é:

222222 389193038798238

3897939638

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

9431,0663,1031

973

1064329

973

3103343

3073131704

r

Portanto o ajuste linear é muito bom.

b) Iremos calcular agora os coeficientes da equação

𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋

8367,2

343

973

798238

3897939638222

ii

iiii

xxn

yxyxna

6122,20875,98367,2625,488

798367,2

8

389

n

xa

n

yb

ii

Logo, XY 6122,208367,2

Exemplo 11.2: Determine o coeficiente de correlação e a equação da reta de regressão

da tabela abaixo, que trata de uma pesquisa entre o peso total do lixo descartado por dia

com o peso do papel contido no lixo.

Tabela 11.2 – Relação do peso total do lixo descartado por dia e o peso papel contido no

lixo

Peso to-

tal( ix )

10,47 19,85 21,25 24,36 27,38 28,09 33,61 35,73 38,33 49,14

Peso do

papel ( iy

)

2,43 5,12 6,88 6,22 8,84 8,76 7,54 8,47 9,35 11,43

Solução:

Para calcularmos o coeficiente de correlação de Pearson, necessitamos elaborar uma

tabela contendo nas colunas as variáveis dependentes ( iy ), as independentes ( ix ) e os

produtos ii yx , 2

ix e 2

iy .

Tabela 11.3 – Calculos para construção da reta de ajuste

( ix ) ( iy ) ii yx 2

ix 2

iy

10,47 2,43 25,4421 109,621 5,9049

19,85 5,12 101,632 394,023 26,214

21,25 6,88 146,2 451,563 47,334

24,36 6,22 151,519 593,41 38,688

27,38 8,84 242,039 749,664 78,146

28,09 8,76 246,068 789,048 76,738

33,61 7,54 253,419 1129,63 56,852

35,73 8,47 302,633 1276,63 71,741

38,33 9,55 366,052 1469,19 91,203

49,14 11,43 561,67 2414,74 130,64

288,21 75,24 2396,68 9377,52 623,47

9206,057,2478

83,2281

6143317

83,2281

59,57321,10710

92,2168475,23966

r

Portanto o ajuste linear é muito bom.

Para encontrar a equação da reta precisamos determinar:

213,0

21,10710

83,2281

0,830652,93775

92,2168475,2396622

ii

iiii

xxn

yxyxna

38,182,28213,052,7

n

xa

n

yb

ii

Logo, 213,038,1 XY

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