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LIVRO 1

SUMÁRIO

1. Assuntos Básicos........................................................................................................................ 02

2. Razão, Proporção e Regra de Três............................................................................................. 12

3. Geometria Plana.......................................................................................................................... 22

4. Geometria Espacial..................................................................................................................... 38

5. Estatística.................................................................................................................................... 55

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Os números decimais são formados por uma parte inteira e uma parte decimal.

1. Assuntos básicos 1.1. NUMERAIS DECIMAIS

1.1.1. Introdução

Qual o número que representa a parte retan-

gular azulada nas figuras abaixo?

a)

Nº misto 4

210

Nº decimal 2,4

b) Nº fracionário 7

10

Nº decimal 0,7

Exemplos:

1

10 = 0,1 um décimo.

1

100 = 0,01 um centésimo.

1

1000 = 0,001 um milésimo.

4

10 = 0,4 quatro décimos.

35

10 = 3,5 três inteiros e cinco décimos.

43

100 = 0,43 43 centésimos

353

100 = 3,53 3 inteiros e 53 centésimos.

237

1000 = 0,237 237 milésimos.

5329

1000 = 5,329 5 inteiros e 329 milésimos.

1.1.2. Notação Científica

Para escrevemos o número real em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro.

Exemplos:

a) 9.500.000.000.000 km = 1 ano-luz =

b) 0,00000000000000000000000165 g = massa do

próton =

c)1.392.000 km = diâmetro do Sol =

d) 0,000035 m = diâmetro de uma bactéria =

e) 1289,34 =

f) 0,0000221.1023 =

g) 12354,67.10-10 =

Inteiros 2

Fração do inteiro

4

10

Lê-se: dois inteiros e quatro décimos ou dois vírgula quatro.

Inteiros 0

Fração do inteiro

7

10

Lê-se: sete décimos ou zero vírgula sete.

Nas frações decimais, a quantidade de algarismos que fica depois da vírgula é a mesma quantidade de zeros do denominador.

Zeros Nome Notação

Científica 1 000 3 Milhar 103 1 000 000 6 Milhão 106 1 000 000 000 9 Bilhão 109 1 000 000 000 000 12 Trilhão 1012

N . 10n 1 N 10 e n Z

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1.2. DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES São aquelas que, depois de vírgula, só apre-sentam parte periódica.

Toda fração ordinária, que dá origem a uma dízima periódica, chama-se GERATRIZ. Para deter-minar a geratriz de uma dízima periódica simples, procede-se da seguinte maneira:

“ O numerador é formado pelos algarismos

do período (parte que se repete) e o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período. ” Exemplos: a) 0,555 ... = b) 0,3232 ... = c) 2,333 ... = d) 1,123123 ... =

1.3 POTÊNCIAS E RAÍZES 1.3.1 Propriedades das potências

P1 a° = 1

P2 a1 = a

P3 1n = 1

P4 n n

a b

b a

P5 am . an = am + n

P6 am ÷ an = am – n

P7 (am)n = am . n

P8 (a . b)n = an . bn

P9 (a ÷ b)n = an ÷ bn

1.3.2 Propriedades das raízes

P1 n m m na a

P2 n n na . b a .b

P3 n n na : b a :b

P4 n m n.ma a

P5 m

nn ma a

P6 n:pn m m:pa a

n

xaax nn

expoente índice raiz

base potência radicando

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1.4 PRODUTOS NOTÁVEIS 1.4.1 Quadrado da soma de dois termos

1.4.2 Quadrado da diferença de dois termos

1.4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos

1.5 FATORAÇÃO 1.5.1 Fator comum

1.5.2 Agrupamento 1.5.3 Diferença de dois quadrados 1.5.4 Trinômio quadrado perfeito 1.5.5 Trinômio do 2° grau com x1 e x2 sendo as raízes.

1.6 NÚMEROS PRIMOS

Números primos de números naturais são aqueles que podem ser divididos por apenas dois valoress: o número um e ele mesmo. Exemplos: a) O número 7 tem apenas dois divisores: o número um e ele mesmo. Portanto, ele é um número primo.

b) O número 4 tem quatro divisores: os números um, dois, três e ele mesmo. Dessa forma, ele não pode ser considerado um número primo, mas sim um nú-mero composto.

c) O número 23 tem apenas dois divisores: o número um e ele mesmo. Como resultado, ele é considerado um número primo.

OBSERVAÇÃO: É importante perceber que o núme-ro 1 não é considerado um número primo, porque ele é divisível apenas por ele mesmo e o número 2 é o único número primo que é par. Veja:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...}, onde P é o conjunto de números primos positivos.

1.7 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

→ Calcular o MDC e MMC de 45, 48 e 54?

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b).(a – b) = a2 – b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b).(x + y)

a2 – b2 = (a + b).(a – b)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

ax2y – bx + cx = x(axy – b + c)

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

ax2 + bx + c = a.(x – x1).(x – x2)

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1.8 DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL → Quantos e quais são os divisores de 90?

TESTES

01. Quantos algarismos tem o produto N = 9.7.281.572 ? a) 72 b) 77 c) 81 d) 155 e) 5832

02. Estima-se que a massa da Terra seja na ordem de seis setilhões de quilogramas, ou seja, 6.1024 kg, na notação científica. Já a massa do Sol está estima-da em 2 milhões de setilhões de quilogramas. Em notação científica, o produto que expressa a massa estimada do Sol, em quilogramas, é: a) 0,2 . 1031 b) 2,0 . 1030 c) 2,0 . 1033 d) 0,2 .1034 e) 20 . 1032

03. (UFRGS) Se x = 0,949494... e y = 0,060606..., então x + y é igual a a) 1,01. b) 1,11. c) 10/9. d) 100/99. e) 110/9. 04. (UFRGS) A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente 38.45.512 quilômetros. A notação científica desse nú-mero é a) 9,5.1010. b) 0,95.1012. c) 9,5.1012. d) 95.1012. e) 9,5.1014.

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05. (ENEM) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figu-ra, está indicada a proximidade do asteroide em rela-ção à Terra, ou seja, a menor distância que ele pas-sou da superfície terrestre.

Com base nessas informações, a menor dis-tância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a a) 3,25 . 102 km. b) 3,25 . 103 km. c) 3,25 . 104 km. d) 3,25 . 105 km. e) 3,25 . 106 km.

06. (UPF) Para os números a = 1,11, b 1, 2 e

10c

9 , temos:

a) a < b < c. b) b < a < c. c) b < c < a. d) c < b < a. e) c < a < b.

07. (ENEM – 2016 – 2ª aplicação) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza qua-tro dias consecutivos de atrações culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.

Uma representação possível do número es-perado de participantes para o último dia é a) 3 x 345 b) (3 + 3 + 3) x 345 c) 33 x 345 d) 3 x 4 x 345 e) 34 x 345 08. (ENEM – 2016 – 2ª aplicação) Para que o pouso de um avião seja autorizado em um aeroporto, a ae-ronave deve satisfazer, necessariamente, as seguin-tes condições de segurança: I. a envergadura da aeronave (maior distância entre as pontas das asas do avião) deve ser, no máximo, igual a medida da largura da pista; II. o comprimento da aeronave deve ser inferior a 60 m; III. a carga máxima (soma das massas da aeronave e sua carga) não pode exceder 110 t.

Suponha que a maior pista desse aeroporto tenha 0,045 km de largura, e que os modelos de avi-ões utilizados pelas empresas aéreas, que utilizam esse aeroporto, sejam dados pela tabela.

Os únicos aviões aptos a pousar nesse aero-

porto, de acordo com as regras de segurança, são os de modelos a) A e C. b) A e B. c) B e D. d) B e E. e) C e E.

Disponível em: http://notícias.terra.com.br (adaptado).

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09. (ENEM) A disparidade de volume entre os plane-tas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.

Revista Veja. Ano 41, nº. 26, 25 jun. 2008 (adaptado)

Seguindo o raciocínio proposto, quantas Ter-

ras cabem dentro de Júpiter? a) 406 b) 1 334 c) 4 002 d) 9 338 e) 28 014

10. (UEL) A fórmula D = 150 000 000.3 2

T fornece a

distância aproximada em quilômetros de um planeta até o Sol, em função do tempo T, em anos, de duração de sua órbita. A órbita de Saturno dura cerca de 27 anos. Sua distância até o Sol é aproximadamente: a) 4,5 x 109 Km b) 1,35 x 109 Km c) 4,5 x 108 Km d) 1,35 x 108 Km e) 1,5 x 107 Km

11. (UFRGS) O algarismo das unidades de (610 + 1) é a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 7

12. A figura representa a piscina de um clube, vista do alto. Ela é quadrada, e ao seu redor (a parte som-breada) há um piso que ocupa uma área de 160 m2. Calcule a medida x dos lados da piscina. a) 9 metros. b) 18 metros. c) 36 metros. d) 38,5 metros. e) 72 metros.

13. (ENEM – 2016) O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste cor-responde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas: a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquele posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidade de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à es-querda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual. Nessa disposição, o número que está representado na figura é a) 46 171. b) 147 016. c) 171 064. d) 460 171. e) 610 741. 14. (ACAFE – 2017 – outros cursos) Uma biblioteca possui 300 livros, todos do mesmo tamanho. Um fun-cionário pretende dividi-los igualmente entre as prate-leiras da loja. Sabendo que, se os livros forem igual-mente divididos entre 3 prateleiras a menos, cada prateleira receberá 5 livros a mais do que o previsto inicialmente. Assim, o número de prateleiras para colocar todos os livros é: a) Múltiplo de 4. b) Múltiplo de 3. c) Entre 10 e 12. d) Maior que 20.

2 m

2 m

2 m 2 m x

x

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15. (ENEM – 2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambien-te, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1080 cm, todas de mesma largura e es-pessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficas-sem com o maior tamanho possível, mas de compri-mento menor que 2 m.

Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpin-teiro deverá produzir a) 105 peças.}J b) 120 peças. c) 210 peças. d) 243 peças. e) 420 peças. 16. Três aviões com rotas diferentes e fixas, partem do aeroporto no mesmo horário. O primeiro avião retorna daqui a 8 horas, o segundo avião, daqui a 10 horas e o terceiro avião daqui a 12 horas. Daqui a quantas horas os aviões estarão juntos novamente no aeroporto? a) 40 b) 60 c) 80 d) 90 e) 120

TESTES DE FIXAÇÃO 01. (ENEM) O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é a) 2 614. b) 3 624. c) 2 715. d) 3 725. e) 4 162.

02. (ENEM) Pedro decidiu depositar moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cofre durante certo tempo. To-do dia da semana ela depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1, 5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim sucessivamente.

Se a primeira moeda depositada por Pedro foi numa segunda-feira, então ele conseguiu a quantia exata de R$ 95,05 após depositar a moeda de a) 1 centavo no 679° dia, que caiu numa segunda-feira. b) 5 centavos no 186° dia, que caiu numa quinta-feira. c) 10 centavos no 188º dia, que caiu numa quinta-feira. d) 25 centavos no 524º dia, que caiu num sábado. e) 50 centavos no 535 dia, que caiu numa quinta-feira.

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03. (ENEM) Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas ou-tras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milha-res. Na figura 1, o quipus representa o número decimal 2453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.

O número da representação do quipus da Fi-gura 2, em base decimal, é a) 364. b) 463. c) 3 064. d) 3 640. e) 4 603. 04. (ENEM – 2015) Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes devem ter espessuras mais próxi-mas possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm.

Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida será, em milímetros, de a) 2,099. b) 2,96. c) 3,021. d) 3,07. e) 3,10. 05. (ENEM – 2015) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012.

Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.

A quantidade, em quilogramas, de soja expor-tada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de a) 4,129 x 103 b) 4,129 x 106 c) 4,129 x 109 d) 4,129 x 1012 e) 4,129 x 1015

06. (ENEM) A contagem de bois Em cada parada ou pouso, para jantar ou dor-

mir, os bois são contados, tanto na chegada quanto na saída. Nesses lugares, há sempre um potreiro, ou seja, determinada área de pasto cercada de arame, ou man-gueira, quando a cerca é de madeira. Na porteira de entrada do potreiro, rente à cerca, os peões formam a seringa ou funil, para afinar a fila, e então os bois vão entrando aos poucos na área cercada. Do lado interno, o condutor vai contando; em frente a ele, está o marca-dor, peão que marca as reses. O condutor conta 50 cabeças e grita: – Talha! O marcador, com o auxílio dos dedos das mãos, vai marcando as talhas. Cada dedo da mão direita corresponde a 1 talha, e da mão esquerda, a 5 talhas. Quando entra o último boi, o marcador diz: – Vinte e cinco talhas! E o condutor completa: – E dezoito cabeças. Isso significa 1.268 bois.

Boiada, comitivas e seus peões. In: O Estado de São Paulo, ano VI. ed. 63. 21/12/1952 (com adaptações).

Para contar os 1.268 bois de acordo com o processo descrito no texto, o marcador utilizou a) 20 vezes todos os dedos da mão esquerda. b) 20 vezes todos os dedos da mão direita. c) todos os dedos da mão direita apenas uma vez. d) todos os dedos da mão esquerda apenas uma vez. e) 5 vezes todos os dedos da mão esquerda e 5 ve-zes todos os dedos da mão direita. 07. (ENEM – 2016 – 2 ª aplicação) A tabela apre-senta parte do resultado de um espermograma (exa-me que analisa as condições físicas e composição do sêmen humano).

Para analisar o exame, deve-se comparar os resultados obtidos em diferentes datas com o valor padrão de cada característica avaliada. O paciente obteve um resultado dentro dos padrões no exame realizado no dia a) 30/11/2009. b) 23/03/2010. c) 09/08/2011. d) 23/08/2011. e) 06/03/2012.

Corda principal

Quipus

Corda

pendente

Milhares

Centenas

Dezenas

Unidades

Figura 1 Figura 2

Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.

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08. (ENEM – 2016 – 2ª aplicação) O quadro apre-senta a ordem de colocação dos seis primeiros paí-ses em um dia de disputa nas Olimpíadas. A ordena-ção é feita de acordo com as quantidades de meda-lhas de ouro, prata e bronze, respectivamente.

Se as medalhas obtidas por Brasil e Argenti-na fossem reunidas para formar um único país hipoté-tico, qual a posição ocupada por esse país? a) 1ª b) 2ª c) 3ª d) 4ª e) 5ª 09. (ENEM – 2016 – 2ª aplicação) Um clube tem um campo de futebol com área total de 8 000 m2, corres-pondente ao gramado. Usualmente, a poda da grama desse campo é feita por duas máquinas do clube próprias para o serviço. Trabalhando no mesmo ritmo, as duas máquinas podam juntas 200 m2

por hora. Por motivo de urgência na realização de uma partida de futebol, o administrador do campo precisará solicitar ao clube vizinho máquinas iguais às suas para fazer o serviço de poda em um tempo máximo de 5 h.

Utilizando as duas máquinas que o clube já possui, qual o número mínimo de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar ao clube vizinho? a) 4 b) 6 c) 8 d) 14 e) 16

10. (ENEM – 2017 – 2ª aplicação) Os computadores operam com dados em formato binário (com dois valores possíveis apenas para cada dígito), utilizando potências de 2 para representar quantidades. Assim, tem-se, por exemplo: 1 kB = 210 Bytes, 1 MB = 210 kB e 1 GB = 210 MB, sendo que 210 = 1 024. Nesse caso, tem-se que kB significa quilobyte, MB significa megabyte e GB significa gigabyte. Entretanto, a maioria dos fabricantes de discos rígidos, pendrives ou similares adotam preferencialmente o significado usual desses prefixos, em base 10. Assim, nos produtos desses fabricantes, 1GB = 103 MB = 106 kB = 109 Bytes. Como a maioria dos programas de compu-tadores utilizam as unidades baseadas em potências de 2, um disco informado pelo fabricante como sendo de 80 GB aparecerá aos usuários como possuindo, aproxima-damente, 75 GB.

Um disco rígido está sendo vendido como pos-suindo 500 gigabytes, considerando unidades em po-tências de 10.

Qual dos valores está mais próximo do valor in-formado por um programa que utilize medidas basea-das em potências de 2? a) 468 GB b) 476 GB c) 488 GB d) 500 GB e) 533 GB 11. (ENEM – 2017) Às 17 h 15 min começa uma forte chuva, que cai com intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo retângulo, que se en-contrava inicialmente vazia, começa a acumular a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é cons-tante. Às 18h 40 min a chuva cessa e, nesse exato ins-tante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm.

O instante em que a água dessa piscina termi-nar de escoar completamente está compreendido entre a) 19 h 30 min e 20 h 10 min. b) 19 h 20 min e 19 h 30 min. c) 19 h 10 min e 19 h 20 min. d) 19 h e 19 h 10 min. e) 18 h 40 min e 19 h.

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12. (ENEM – 2017) Em um teleférico turístico, bondi-nhos saem de estações ao nível do mar e do topo de uma montanha. A travessia dura 1,5 minuto e ambos os bondinhos se deslocam à mesma velocidade. Qua-renta segundos após o bondinho A partir da estação ao nível do mar, ele cruza com o bondinho B, que havia saído do topo da montanha.

Quantos segundos após a partida do bondi-nho B partiu o bondinho A? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 13. (ENEM – 2017) Uma pessoa ganhou uma pulseira formada por perólas esféricas, na qual faltava uma das pérolas. A figura indica a posição em que estaria faltando esta pérola.

Ela levou a joia a um joalheiro que verificou que a medida do diâmetro dessas pérolas era 4 mi-límetros. Em seu estoque, as pérolas do mesmo tipo e formato, disponíveis para reposição, tinham diâme-tros iguais a: 4,025 mm; 4,100 mm; 3,970 mm; 4,080 mm e 3,099 mm.

O joalheiro então colocou na pulseira a pérola cujo diâmetro era o mais próximo do diâmetro das pérolas originais.

A pérola colocada na pulseira pelo joalheiro tem diâmetro, em milímetro, igual a a) 3,099. b) 3,970. c) 4,025. d) 4,080. e) 4,100.

14. (ENEM – 2017 – 2ª aplicação) Uma repartição pública possui um sistema que armazena em seu ban-co de dados todos os ofícios, memorandos e cartas enviados ao longo dos anos. Para organizar todo esse material e facilitar a localização no sistema, o compu-tador utilizado pela repartição gera um código para cada documento, de forma que os oito primeiros dígi-tos indicam a data em que o documento foi emitido (DDMMAAAA), os dois dígitos seguintes indicam o tipo de documento (ofício: 01, memorando: 02 e carta: 03) e os três últimos dígitos indicam a ordem do documen-to. Por exemplo, o código 0703201201003 indica um ofício emitido no dia 7 de março de 2012, cuja ordem é 003. No dia 27 de janeiro de 2001, essa repartição pública emitiu o memorando de ordem 012 e o enviou aos seus funcionários.

O código gerado para esse memorando foi a) 0122701200102. b) 0201227012001. c) 0227012001012. d) 2701200101202. e) 2701200102012. 15. (ENEM – 2018) Em um aeroporto, os passageiros devem submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raio-X disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, o tempo gasto por essas máquinas para escanear a bagagem de cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada fila estão apresentados em um painel, como mostrado na figura. 7 pessoas 40 segundos 4 pessoas

Um passageiro, ao chegar à sala de embarque desse aeroporto no instante indicado, visando esperar o menor tempo possível, deverá se dirigir à máquina a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

Máquina 1

35 segundos 5 pessoas

Máquina 2

25 segundos 6 pessoas

Máquina 3

22 segundos 7 pessoas

Máquina 4

40 segundos 4 pessoas

Máquina 5

20 segundos 8 pessoas

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16. (ENEM – 2018) Um edifício tem a numeração dos andares iniciando no térreo (T ), e continuando com primeiro, segundo, terceiro, ..., até o último andar. Uma criança entrou no elevador e, tocando no painel, seguiu uma sequência de andares, parando, abrindo e fechando a porta em diversos andares. A partir de onde entrou a criança, o elevador subiu sete andares, em seguida desceu dez, desceu mais treze, subiu nove, desceu quatro e parou no quinto andar, finali-zando a sequência. Considere que, no trajeto seguido pela criança, o elevador parou uma vez no último andar do edifício.

De acordo com as informações dadas, o últi-mo andar do edifício é o a) 16° b) 22° c) 23° d) 25° e) 32°

Gabarito

01 A 06 D 11 D 16 C

02 D 07 D 12 B

03 C 08 B 13 C

04 C 09 D 14 E

05 C 10 A 15 B

2. Razão, Proporção e

Regra de Três

2.1 RAZÃO

Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo, numa mesma unidade, com o segundo número diferente de zero.

Escrevemos:

Lemos: a está para b.

Assim, por exemplo, se numa turma de 40

alunos, há 30 moças e 10 rapazes, dizemos que: (i) A razão entre o número de moças e o total

de alunos é:

nº de moças 30 3

nº total de alunos 40 4

Isso significa que para cada 4 alunos, 3 são moças.

(ii) A razão entre o número de rapazes e o de

moças é:

nº de rapazes 10 1

nº de moças 30 3

Isso significa que para cada rapaz existem 3 mulheres.

2.1.1 Escala (E):

É a razão entre a medida de um comprimento no desenho (d) e a medida correspondente ao comprimento real (D), considerados na mesma unidade.

aou a : b

b

m edida do com prim ento no desenho dE

m edida do com prim ento real D

Matemática

13

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Exemplos:

1. Determinar a escala usada na planta de uma casa feito por um engenheiro em que a medida do comprimento é de 20 cm e a medida real é de 40 m. Também determine, neste mesmo desenho, a área da sala de jantar que aparece com 3 cm2.

20 cm 20 cm 1E

40 m 4000 cm 200

E = 1 : 200. Essa escala nos diz que 1 cm no desenho feito pelo engenheiro corresponde a 200 cm (2 m), na realidade.

Área da sala de jantar: 2

2desenho

rea l rea l

22 2

rea l

rea l

A 1 3 cm 1

A 200 A 200

3 cm 1A 120 000 cm 12 m

A 40000

2. A escala de um mapa é 1 : 1 000 000. Se a medida do comprimento no desenho é de 3 cm, qual é medida real.

1 3x 3 000 000 cm 30 km

1 000 000 x

2.2 PROPORÇÃO

Proporção é uma igualdade de duas razões.

Lemos: a está para b assim com c está para d.

Os termos a e d são chamados de extremos

e os termos b e c são os meios da proporção.

2.2.1 Propriedades das proporções:

1ª) a c

a .d b .cb d

Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Exemplo:

2 42 .10 5 . 4 20 20

5 10

2ª) a c a c

b d b d

2.2.2 Teorema de Tales

Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu, em Mileto, antiga colônia grega, na Ásia Menor, atual Turquia, por volta de 624/625 a.C..

Ele usou seus conhecimentos sobre

Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide.

Mais informações no site: www.matematica.com.br

Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, e daí concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos.

Quando tivermos que trabalhar com área, a escala deve ser elevado ao quadrado; se for volume,

deve ser elevado ao cubo.

a cou a : b c : d

b d

1º termo 2º termo 3º termo 4º termo

a : b = c : d

meios

extremos

3 m

1 m

1,5 m

0,5 m

Transformação de unidades de comprimento Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior

que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10.

Exemplo:

Transformar:

a) 5 000 000 cm em km.

b) 5 m em km.

c) 0,251 hm em cm.

d) 10,3 dam em m.

e) 237,1 dm para cm.

Múltiplos UF* Submúltiplos

km hm dam m dm cm mm

Matemática 14

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Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:

O teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte propriedade:

“Um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.” 2.2.3. Triângulos semelhantes

Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando têm seus pares de lados correspondentes ordenadamente proporcionais e os ângulos correspondentes iguais.

Se os triângulos ABC e MNP são

semelhantes (ABC MNP), então:

ˆ ˆA M

a b cˆ ˆB N e km n p

ˆ ˆC P

onde k é a constante de semelhança ou constante de proporcionalidade.

2.3 REGRA DE TRÊS

Existe uma regra prática que nos permite re-

lacionar dois valores de uma grandeza A com dois

valores, respectivamente, de outra ou outras grande-zas proporcionais à grandeza A.

Veja o passo-a-passo:

1º passo: Montamos uma tabela colocando em

cada coluna, ordenadamente, os valores de cada

grandeza.

2º passo: Escolhemos uma grandeza para servir

de referência, de preferência a que se quer saber o

valor.

3º passo: À grandeza de referência, associamos

uma seta com sentido para baixo (é só uma conven-

ção, poderia ser para cima).

4º passo: Comparamos esta grandeza de referên-

cia a cada uma das outras, isoladamente, identifican-do se há proporcionalidade direta (setas no mesmo

sentido) ou inversa (setas invertidas).

5º passo: Montamos a proporção. Para isso, colo-

camos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos a outra ra-

zão ou o produto das outras razões, caso tenha mais de uma outra, lembrando de sempre inverter a razão

correspondente à grandeza inversamente proporcio-

nal.

Se o problema envolve apenas duas gran-

dezas proporcionais, temos uma regra de três sim-ples. Caso o problema envolva mais de duas gran-

dezas proporcionais, tratar-se-á de uma regra de

três composta.

x a

y b

r // s // t (paralelas) t1 e t2 (transversais)

altura da pirâm ide a ltura da estaca

som bra da pirâm ide som bra da estaca

M

A

B C N P

a

b c

m

n p

O principal caso de semelhança de triângulos é quando dois triângulos têm dois ângulos ordenamente iguais (congruentes).

Se os polígonos são semelhantes com razão de semelhança k, a razão entre suas áreas é k2

.

Se os poliedros são semelhantes com razão de semelhança k, a razão entre seus volumes é k3.

y

x a

b

t1

r

s

t

t2

Matemática

15

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Exemplo a: O vinhedo do RS é muito valorizado em

todo o mundo. Os gaúchos produzem excelentes vi-

nhos, utilizando para isso ótimas uvas. Uma forma de você analisar a qualidade da uva, advém da área de

suas folhas, entre outros fatores. Pergunta-se: como um agrônomo poderia verificar a

área da folha de um parreral? Resolução:

Podemos obter essa área, colocando a folha

da parreira sobre um papelão, traçando o seu contor-

no. Nesse mesmo papelão, desenha-se um quadrado de lado 15 cm, como vemos abaixo:

Recortadas as duas figuras, elas são pesadas em balanças digitais de precisão, indicando uma mas-

sa de 3 g para o quadrado de lado 15 cm do papelão. A área desse quadrado é 152 = 225 cm2. Como os

“pesos” são proporcionais, o agrônomo pode determi-

nar a área da folha da parreira.

Pesando a folha da parreira recortada na pa-pelão, obteve a massa de 1,5 g.

Assim, usando uma regra de três simples, a

agrônomo teria:

Veja que as grandezas área e massa são dire-tamente proporcionais, ou seja, quanto menor a área,

menor é a sua massa. Daí:

2

225 3

x 1,5

3 . x 225 .1,5

x 112,5 cm

Exemplo b: Em uma tecelagem, 12 teares

produzem 600 m de tecido em 5 dias trabalhando 8

horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 15 teares para produzirem 1200 m do

mesmo tecido em 8 dias?

Resolução:

Como a situação apresenta mais de 2 grandezas, a regra de três é denominada composta.

8 15 600 8. . x 8 h

x 12 1200 5

TESTES: 01. (ENEM) Uma empresa europeia construiu um avião solar, como na figura, objetivando dar uma volta ao mundo utilizando somente energia solar. O avião solar tem comprimento AB igual a 20 m e uma enver-gadura de asas CD igual a 60 m.

Para uma feira de ciências, uma equipe de alunos fez uma maquete desse avião. A escala utili-zada pelos alunos foi de 3 : 400.

A envergadura CD na referida maquete, em centímetro, é igual a a) 5. b) 20. c) 45. d) 55. e) 80.

Área (cm2) Massa (g)

225 3 x 1,5

Teares comp. (m) dias horas

12 600 5 8

15 1200 8 x

15 cm

15 cm

Matemática 16

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02. (ENEM) Um pesquisador, ao explorar uma flores-ta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.

A largura e o comprimento reais da pegada, em centímetros, são, respectivamente, iguais a a) 4,9 e 7,6. b) 8,6 e 9,8. c) 14,2 e 15,4. d) 26,4 e 40,8. e) 27,5 e 42,5. 03. (ENEM) Em uma empresa de móveis, um cliente encomenda um guarda-roupa nas dimensões 220 cm de altura, 120 cm de largura e 50 cm de profundida-de. Alguns dias depois, o projetista, com o desenho elaborado na escala 1:8, entra em contato com o cliente para fazer sua apresentação.

No momento da impressão, o profisssional percebe que o desenho não caberia na folha de papel que costumava usar. Para resolver o problema, confi-gurou a impressora para que a figura fosse reduzida em 20%.

A altura, a largura e a profundidade do dese-nho impresso para a apresentação serão, respecti-vamente, a) 22,00 cm, 12,00 cm e 5,00 cm. b) 27,50 cm, 15,00 cm e 6,25 cm. c) 34,37 cm, 18,75 cm e 7,81 cm. d) 35,20 cm, 19,20 cm e 8,00 cm. e) 44,00 cm, 24,00 cm e 10,00 cm.

04. (ENEM7) Em uma de suas viagens, um turista com-prou uma lembrança de um dos monumentos que visi-tou. Na base do objeto há informações dizendo que se trata de uma peça em escala 1 : 400, e que seu volume é de 25 cm3.

O volume do monumento original, em metro cúbico, é de a) 100. b) 400. c) 1 600. d) 6 250. e) 10 000.

05. (UFSM) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m

06. (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.

A distância, em metros, que o paciente ainda de-ve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros b) 3,0 metros c) 5,4 metros d) 5,6 metros e) 7,04 metros

Barreira

2 m

30 m 24 m

56 m s

r

t

Rio

Matemática

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07. (FMJ – SP) A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é: a) 9 b) 15 c) 24 d) 30 e) 34 08. Numa grande gincana nacional, um prêmio de R$ 56.000,00 foi dividido entre Márcia e Wilson. A parte correspondente a cada um era inversamente proporci-onal ao número de erros cometidos nas provas. Sa-bendo que Márcia cometeu 6 erros e Wilson 8, deter-mine quanto recebeu cada um, respectivamente. a) R$ 32.000,00 e R$ 24.000,00 b) R$ 24.000,00 e R$ 32.000,00 c) R$ 30.000,00 e R$ 26.000,00 d) R$ 31.000,00 e R$ 25.000,00 e) R$ 26.000,00 e R$ 30.000,00 09. Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1 hora e 30 minutos. Quantas torneiras iguais a essas serão necessárias para encher o mesmo tanque em 54 minutos? a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 10. (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos pri-meiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arreca-dando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguin-tes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quanti-dade de alimentos arrecadados ao final do prazo esti-pulado seria de: a) 920 kg b) 800 kg c) 720 kg d) 600 kg e) 570 kg

TESTES DE FIXAÇÃO 01. (ENEM) Muitas medidas podem ser tomadas em nossas casas visando à utilização racional de energia elétrica. Isso deve ser uma atitude diária de cidada-nia. Uma delas pode ser a redução do tempo no ba-nho. Um chuveiro com potência de 4800 W consome 4,8 kW por hora. Uma pessoa que toma dois banhos diariamente, de 10 minutos cada, consumirá, em sete dias, quantos kW? a) 0,8 b) 1,6 c) 5,6 d) 11,2 e) 33,6

02. (ENEM) Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.

A razão que representa a quantidade de ca-deiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é a) 17/70 b) 17/53 c) 53/70 d) 53/17 e) 70/17 03. (ENEM) Para se construir um contrapiso, é co-mum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de ci-mento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma constru-tora encomendou um caminhão betoneira com 14 m3 de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido pela betoneira? a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00

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04. (ENEM) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga trans-portada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfe-go dentro dos limites legais de carga, o piso das es-tradas se deteriora com o peso excessivo dos cami-nhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da sus-pensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experi-ência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Considerando esse cami-nhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão? a) 300 tijolos b) 360 tijolos c) 400 tijolos d) 480 tijolos e) 600 tijolos 05. (ENEM) Uma torneira não foi fechada corretamen-te e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d‘água tem volume de 0,2 mL. Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros? a) 0,2 b) 1,2 c) 1,4 d) 12,9 e) 64,8 06. (ENEM) Nos Estados Unidos a unidade de medi-da mais utilizada em latas de refrigerantes é a onça fluída (fl oz), que equivale à aproximadamente 2,95 centilitros (cL). Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializado no Brasil tem capacidade de 355 mL. Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 mL, em onça fluída (fl oz), é mais próxima de a) 0,83. b) 1,20. c) 12,03. d) 104,73. e) 120,34.

07. (ENEM) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes esca-las.

Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse esta-do no mapa do Brasil. Esse número é a) menor que 10. b) maior que 10 e menor que 20. c) maior que 20 e menor que 30. d) maior que 30 e menor que 40. e) maior que 40. 08. (ENEM) A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a es-cola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1:25 000, por um período de cinco dias.

Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 b) 8 c) 16 d) 20 e) 40

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09. (ENEM) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há ne-cessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construíra um novo reserva-tório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a a) 2. b) 4. c) 5. d) 8. e) 9. 10. (ENEM) Um executivo sempre viaja entre as cida-des A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15 h e chega à cidade B às 18 h (respectivos horários locais).

Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13 h do dia seguinte (horário local de A).

Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo às(s) a) 16 h. b) 10 h. c) 7 h. d) 4 h. e) 1 h.

11. (ENEM) Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dis-postos em uma formação de base triangular, buscan-do derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desem-penho.

Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados: Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. Jogador V – Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas.

Qual desses jogadores apresentou maior desem-penho? a) I b) II c) III d) IV e) V 12. (ENEM) Alguns medicamentos para felinos são administrados com base na superfície corporal do animal. Foi receitado a um felino pesando 3,0 kg um medicamento na dosagem diária de 250 mg por metro quadrado de superfície corporal.

O quadro apresenta a relação entre a massa do felino, em quilogramas, e área de sua superfície corporal, em metros quadrados.

Massa (kg) Área (m2)

1,0 0,100

2,0 0,159

3,0 0,208

4,0 0,252

5,0 0,292

A dose diária, em miligramas, que esse felino deverá receber é de a) 0,624. b) 52,0. c) 156,0. d) 750,0. e) 1201,9.

Relação entre a massa de um felino e a área de sua superfície corporal

Norsworthy, G.D. O paciente felino. São Paulo: Roca, 2009

Matemática 20

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13. (ENEM) A Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) de São Paulo testou em 2013 novos radares que permitem o cálculo da velocidade média desen-volvida por um veículo em um trecho da via.

As medições de velocidade deixariam de ocorrer de maneira instantânea, ao se passar pelo radar, e seriam feitas a partir da velocidade média no trecho, considerando o tempo gasto no percurso entre um radar e outro. Sabe-se que a velocidade média é calculada como sendo a razão entre a distância per-corrida e o tempo gasto para percorrê-la.

O teste realizado mostrou que o tempo que permite uma condução segura de deslocamento no percurso entre os dois radares deveria ser de, no mínimo, 1 minuto e 24 segundos. Com isso, a CET precisa instalar uma placa antes do primeiro radar informando a velocidade média máxima permitida nesse trecho da via. O valor a ser exibido na placa deve ser o maior possível, entre os que atendem às condições de condução segura observadas.

Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado).

A placa de sinalização que informa a veloci-dade que atende a essas condições é a) b) c) d) e)

14. (ENEM) Para economizar em suas contas men-sais de água, uma família de 10 pessoas deseja construir um reservatório para armazenar a água captada das chuvas, que tenha capacidade suficiente para abastecer a família por 20 dias. Cada pessoa da família consome, diariamente, 0,08 m3 de água.

Para que os objetivos da família sejam atingi-dos, a capacidade mínima, em litros, do reservatório a ser construído deve ser a) 16. b) 800. c) 1600. d) 8000. e) 16000.

15. (ENEM) Alguns exames médicos requerem uma ingestão de água maior do que a habitual. Por reco-mendação médica, antes do horário do exame, uma paciente deveria ingerir 1 copo de água de 150 milili-tros a cada meia hora, durante as 10 horas que ante-cederiam um exame. A paciente foi a um supermer-cado comprar água e verificou que havia garrafas dos seguintes tipos:

Garrafa I: 0,15 litro

Garrafa II: 0,30 litro

Garrafa III: 0,75 litro

Garrafa IV: 1,50 litro

Garrafa V: 3,00 litros A paciente decidiu comprar duas garrafas do

mesmo tipo, procurando atender à recomendação médica e, ainda, de modo a consumir todo o líquido das duas garrafas antes do exame.

Qual o tipo de garrafa escolhida pela paciente? a) I b) II c) III d) IV e) V

25 Km/h

69 Km/h

90 Km/h

102 Km/h

110 Km/h

Matemática

21

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16. (ENEM) A Figura 1 representa uma gravura retan-gular com 8 m de comprimento e 6 m de altura.

Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel re-tangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm de cada margem, conforme a Figura 2.

A reprodução da gravura deve ocupar o má-ximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1.

PRADO, A. C. Superinteressante, ed. 301, fev. 2012 (adaptado).

A escala da gravura reproduzida na folha de

papel é a) 1:3. b) 1:4. c) 1:20. d) 1:25. e) 1:32.

17. (ENEM) Num mapa com escala 1 : 250 000, a distância entre as cidades A e B é de 13 cm. Num outro mapa, com escala 1 : 300 000, a distância entre as cidades A e C é de 10 cm. Em um terceiro mapa, com escala 1 : 500 000, a distância entre as cidades A e D é de 9 cm. As distâncias reais entre a cidade A e as cidades B, C e D são, respectivamen-te iguais a X, Y e Z (na mesma unidade de compri-mento). As distâncias X, Y e Z, em ordem crescente, estão dadas em a) X, Y, Z. b) Y, X, Z. c) Y, Z, X. d) Z, X, Y. e) Z, Y, X. 18. (PUC-RS) Duas rodas dentadas, que estão en-grenadas, têm 12 e 60 dentes, respectivamente. En-quanto a maior dá 8 voltas, a menor dará ________ . a) 1/5 de volta b) 8/5 de volta c) 5 voltas d) 40 voltas e) 96 voltas 19. Em uma obra, 10 homens concluíram um dos trabalhos em 6 dias, fazendo 8 horas diárias. Se ape-nas 5 homens estiverem trabalhando, quantos dias levarão para o mesmo trabalho ser concluído com execução de 6 horas por dia? a) 16 b) 12 c) 8 d) 6 e) 5

Matemática 22

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20. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150,000 im-pressões. Em quantos dias 3 impressoras, funcionan-do 8 horas por dia, produzirão 100,000 impressões? a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 e) 5

3. Geometria Plana

3.1. ÂNGULO

É uma abertura existente entre 2 semirretas distintas de mesma origem

e não colineares.

O ângulo pode ser indicado por uma letra

grega , pela notação Ô, ou por AÔB.

A origem comum às duas semirretas é o vér-tice (O) e as semirretas que formam o ângulo cha-

mam-se lados do ângulo ( OA e OB ).

3.2. CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

3.2.1 Ângulo agudo: é o ângulo cuja medida é maior

que 0º e menor que 90º.

0º < < 90º

3.2.2 Ângulo reto: é o ângulo cuja medida é igual a 90º.

= 90º

01 D 11 D

02 A 12 B

03 B 13 C

04 D 14 E

05 C 15 D

06 C 16 D

07 D 17 B

08 E 18 D

09 C 19 A

10 D 20 E

Gabarito

Transferidor:

instrumento usado para medir ângulos

O

●

●

A

B

Matemática

23

Doctor On

Jorge

3.2.3 Ângulo obtuso: é o ângulo cuja medida maior

que 90º e menor que 180º.

90º < < 180º

3.2.4. Ângulo raso: é o ângulo cuja medida é igual a 180°, com os seus lados são semirretas opostas.

= 180º

3.2.5. Ângulo giro ou completo: é o ângulo que cuja medida é igual a 360°.

= 360º

3.3. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (0.P.V.)

3.3.1 ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Podemos representar o cruzamento de duas retas,

usando duas retas concorren-tes num ponto.

Os ângulos e 180º – são formados pelas mesmas

retas e pelo mesmo vértice. Logo:

→ os ângulos são opostos pelo vértice V e possuem

a mesma medida; → os ângulos 180º – são opostos pelo vértice V e

possuem a mesma medida.

3.4. ÂNGULOS DETERMINADOS POR 2

E UMA TRANSVERSAL

Um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal determina ângulos agudos e obtusos. Os

agudos são congruentes entre si e os obtusos também.

Ângulos correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7

Ângulos colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5

Ângulos colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7

Ângulos alternos internos: 4 e 6, 3 e 5

Ângulos alternos externos: 1 e 7, 2 e 8

3.5. POLÍGONOS

Denomina-se polígono a região do plano limi-tada por uma linha poligonal fechada.

3.6. NOMENCLATURA DOS POLÍGONOS

CONVEXOS

O nome do polígono é dado pelo número de lados.

LADOS NOMENCLATURA

3 triângulo

4 quadrilátero

5 pentágono

6 hexágono

7 heptágono

8 octógono

9 eneágono

10 decágono

11 undecágono

12 dodecágono

15 pentadecágono

20 icoságono

→ Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os lados congruentes (é equilátero) e todos os ângulos congruentes (é equiângulo). Ex.: triângulo equilátero, quadrado, etc.

→ Dada a situação acima, a soma de um ângulo agudo com um ângulo obtuso é igual a 180° (são suplementares).

ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 6 8

ˆ ˆ ˆ ˆ1 3 5 7

ângulos obtusos

ângulos agudos

1 2

3 4

5 6

7 8

r

s

t

E

A

B

C

D

lado

diagonal

ângulo interno

ângulo externo

vértice

●

180º –

V ●

180º –

●

Matemática 24

Doctor On

Jorge

3.7. SOMA DOS ÃNGULOS DO POLÍGONO

A soma dos ângulos internos de um polígono

convexo de n lados é dado por:

3.8. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

3.8.1 Triângulo equilátero: possui 3 lados

congruentes e 3 ângulos conruentes.

3.8.2 Triângulo isósceles: possui 2 lados

congruentes 2 ângulos congruentes.

3.8.3 Triângulo escaleno: possui 3 lados diferentes

entre si e consequentemente os 3 ângulos também

diferentes.

3.9. NÚMERO DE DIAGONAIS DO POLÍGONO

Podemos determinar o número de diagonais de um

polígono a partir do número n de lados. Esta fórmula pode ser

obtida através de um conteúdo matemático denominado Análi-

se Combinatória, que iremos

estudar mais adiante.

Vamos atribuir d o número de diagonais e n o

número de lados do polígono. Veja que o número de

vértices é igual ao número de lados.

Assim, pela análise combinatória podemos fazer

a combinação de n vértices (n lados) tomados 2 a 2. Do

total obtido, devemos subtrair o número de lados.

Logo:

Desenvolvendo a expressão, temos uma fórmula mais prática:

2

)3n(nd

d = Cn, 2 – n

Soma dos ângulos internos

Si = (n 2).180º

Soma dos ângulos externos

Se = 360º

60o

60o 60o

→ O menor lado do triângulo é oposto ao menor ângulo e,

consequentemente, o maior lado é oposto ao maior lado. → Para que seja possível construir um triângulo a partir de

3 segmentos, a soma dos 2 menores lados deve ser maior que o maior lado.

c + b > a

3, 4 e 5 → formam um triângulo, pois 3 + 4 > 5, ou seja,

a soma dos 2 menores lados é maior que o maior lado.

1, 7 e 9 → não formam um triângulo, pois 1 + 7 < 9, ou seja,

a soma dos 2 menores lados é menor que o maior lado.

maior lado

maior ângulo lado

menor ângulo

menor lado

a

b c

ai

ae

Matemática

25

Doctor On

Jorge

Exemplo:

Qual o número de diagonais do hexágono?

3.10. ÁREA DAS FIGURAS PLANAS

3.10.1 Quadrado: quatro lados congruente e 4

ângulos congruentes.

3.10.2 Retângulo: quatro ângulos congruentes.

3.10.3 Paralelogramo: lados opostos paralelos.

A área do paralelogramo é igual à área do retângulo.

3.10.4 Triângulo: polígono que possui três lados.

2A a

d a 2

a

a

d

A = b . h

b

h

b.h

A2

h

b

a c

A = b . h

b

b

h

h

●

Matemática 26

Doctor On

Jorge

→ Área do triângulo equilátero: este triângulo

possui 3 lados congruentes e 3 ângulos iguais a 60º.

→ Área do triângulo conhecendo-se as medidas

de dois lados e do ângulo formado por esses lados.

→ Área do triângulo conhecendo-se as medidas

de três lados (Fórmula de Heron).

3.10.5 Losango: quadrilátero que tem os 4 lados

congruentes. As diagonais do losango são perpendiculares e se cruzam nos respectivos pontos

médios.

A área do paralelogramo é igual à área do retângulo.

3.10.6 Trapézio: quadrilátero convexo com apenas

um par de lados paralelos.

Na figura, a área do trapézio PQRS é igual à soma das áreas dos triângulos QRS e PQS. Assim:

t t

Bh bhBh bhA A

2 2 2

→ Trapézio Isósceles: os lados opostos não parale-

los são congruentes (de mesmo comprimento), os

lados opostos paralelos não são congruentes e apre-

senta um eixo de simetria.

●

2a 3A

4

a 3

h2

h

a

a a

a.b.senA

2

b

a

A p(p a)(p b)(p c)

a b cp

2

onde

b

a c

D . d

A2

● d

D

D

d/2

(B b) . hA

2

B

b P Q

R S

h

●

h

h

B

b

●

●

Matemática

27

Doctor On

Jorge

→ Trapézio Retângulo: possui dois ângulos retos

(90°) e não tem um eixo de simetria.

→ Trapézio Escaleno: possui os quatros lados dife-

rentes.

3.10.7 Hexágono regular: possui 6 lados e 6 ângulos

congruentes. Pode ser decomposto em 6 triângulos

equiláteros.

3.10.8 Polígono regular: possui todos os lados con-

gruentes e todos os ângulos congruentes.

Onde p é o semiperímetro e ap é o apótema.

3.10.9 Círculo: reunião da circunferência com seu

interior.

→ Área do setor circular: parte da área da

superfície de um círculo determinado por um ângulo central.

→ Área da coroa circular: região situada entre duas

circunferências concêntricas (mesmo centro) de raios

diferentes.

→ O apótema ap do hexágono regular é igual a altura do

triângulo equilátero ABC.

p

a 3a

2

●

●

2a 3A 6 .

4

●

a

ap a

a

a

a

a

C A

B

a a

pA p . a

a

a

a

a

a

ap

●

●

R

2A .R

C 2 R

Comprimento ou Perímetro

2 0

sc 0

.R .A

360

sc

S.RA

2

R

R

Setor circular

arco

S

2 2

ccA R r

R r

→ Corda é um segmento determinado por dois pontos quaisquer da circunferência.

→ O ponto O é o centro da circunferência.

→ O segmento CD é uma corda da circunferência.

→ O segmento AB é a corda máxima da circunferência,

ou seja, o diâmetro.

A

B

C

D ● O

Matemática 28

Doctor On

Jorge

3.11. TEOREMA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA

Todo triângulo inscrito em uma circunferência que possui um lado igual ao diâmetro é retângulo.

O lado AB é o diâmetro da circunferência, ou ainda, representa a hipotenusa do triângulo ABC.

3.12. TEOREMA DA RETA TANGENTE

Toda reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

3.13. POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA

3.13.1 Quadrado: observe o quadrado ABCD de lado

a, cuja medida do apótema é ap, que está inscrito na

circunferência de centro O e raio R.

3.13.2 Trângulo equilátero: observe o triângulo ABC

de lado a, cuja medida do apótema é ap, que está

inscrito na circunferência de centro O e raio R.

3.13.3 Hexágono regular: observe o hexágono regular

ABCDEF de lado a, cuja medida do apótema é ap, que

está inscrito na circunferência de centro O e raio R.

A B

C ●

● ●

P

a R 2

p

R 2a

2

C ●

● ●

●

A B

D

R

● O P ap

a

a ●

●

ap

R

O

M

A

a a

B C

p

Ra

2

a R 3

●

p

R 3a

2

a R

a

ap

O

R R a

a

a

a

a

●

●

●

●

● ●

●

A B

C

D E

F

●

Matemática

29

Doctor On

Jorge

TESTES

01. (PUC – RS – verão – 2016) Uma pracinha

com formato circular ocupa uma área de 100 m2. No

terreno dessa área, foram colocados 3 canteiros em forma de setor circular, cada um formado por um

ângulo central de 30º, como na figura. A área total

ocupada pelos canteiros é, em m2,

a)

b) 3

c) 25

d) 50

e) 75

02. (UFN) Um pequeno agricultor cultiva alface e

morango, em áreas iguais, em um terreno retangular

(Figura 1). Já este ano, ele decidiu semear mais mo-rangos e, com isso, aumentou 4 m um dos lados da

plantação desta fruta, obtendo, dessa forma, um quadrado (Figura 2). Devido a esta mudança, a área

da região com alface foi reduzida em 60 m2. Assim, a área em m2, cultivada com morangos, no ano passa-

do, foi de

a) 330. b) 300.

c) 225. d) 165.

e) 150.

03. (UPF) Se os ângulos externos de um polígono

regular medem 18°, então o número de diagonais

desse polígono é: a) 190

b) 170 c) 120

d) 135

e) 162

04. (ACAFE) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem

área igual a 336 cm2. Sabe-se, ainda, que os segmen-tos AB e AC são tangentes à circunferência e que o

segmento BC passa pelo diâmetro máximo desta. As-sim, se os lados AB, AC e BC medem, respectivamente,

30 cm, 26 cm e 28 cm, então, a medida do raio (em

cm) da circunferência é:

a) 1/8 da medida do perímetro do triangulo ABC.

b) 1/7 da medida do perímetro do triangulo ABC. c) 1/42 da medida da área do triangulo ABC.

d) 2/3 da medida da altura do triangulo ABC, relativa

ao lado BC.

Morango

Alface

Figura 1

Morango

Alface

Figura 2

A

B C

Matemática 30

Doctor On

Jorge

05. (ENEM) Uma indústria produz malhas de proteção

solar para serem aplicadas em vidros, de modo a dimi-

nuir a passagem de luz, a partir de fitas plásticas entre-laçadas perpendicularmente. Nas direções vertical e

horizontal, são aplicadas fitas de 1 milímetro de largu-ra, tal que a distância entre elas é de (d – 1) milíme-

tros, conforme a figura. O material utilizado não permi-

te a passagem da luz, ou seja, somente o raio de luz que atingir as lacunas deixadas pelo entrelaçamento

consegue transpor essa proteção. A taxa de cobertura do vidro é o percentual

da área da região coberta pelas fitas da malha, que

são colocadas paralelamente às bordas do vidro.

Essa indústria recebeu a encomenda de uma

malha de proteção solar para ser aplicada em um vidro retangular de 5 m de largura por 9 m de com-

primento. A medida de d, em milímetros, para que a

taxa de cobertura da malha seja de 75% é a) 2

b) 1 c) 11/3

d) 4/3

e) 2/3

06. (UFRGS) Considere A B

um segmento de com-

primento 10 e M um ponto desse segmento, distinto

de A e de B, como na figura abaixo. Em qualquer posição do ponto M, AMDC é quadrado e BME é triân-

gulo retângulo em M.

Tomando x como medida dos segmentos A M

e E M , para que valor(es) de x as áreas do quadrado AMDC e do triângulo BME são iguais?

a) 0 e 10

3.

b) 0, 2 e 3.

c) 10

.3

d) 0, 10

3 e 10.

e) 5.

07. (UPF) No quadrado ABCD de lado x, representa-do na figura a seguir, os pontos R e S são pontos

médios dos lados AB e BC, respectivamente, e O é o

encontro das duas diagonais. A razão entre a área do quadrado pequeno (pintado) e a área do quadrado

ABCD é:

a) 1

4

b) 1

12

c) 1

12

d) 1

10

e) 1

8

B A

C D

M

E

Matemática

31

Doctor On

Jorge

08. (ENEM) O proprietário de um parque aquático

deseja construir uma piscina em suas dependências. A

figura representa a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com

ângulo central igual a 60°. O raio R deve ser um nú-mero natural.

O parque aquático já conta com uma piscina

em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já exis-

tente.

Considere 3,0 como aproximação para .

O maior valor possível para R, em metros, de-

verá ser

a) 16. b) 28.

c) 29. d) 31.

e) 49.

09. (UFRGS) Quatro círculos de raio r foram traça-dos de forma que sejam tangentes entre si dois a

dois, como na figura abaixo. As distâncias entre os centros de dois círculos não tangentes entre si têm a

mesma medida.

A distância entre os centros de dois círculos não tangentes entre si é

a) 2r.

b) r2.

c) r 2 .

d) 2r 2.

e) 2r 2 .

10. (ENEM) Um carpinteiro fabrica portas retangula-

res maciças, feitas de um mesmo material. Por ter

recebido de seus clientes pedidos de portas mais al-

tas, aumentou sua altura de 1

8, preservando suas

espessuras. A fim de manter o custo com o de cada

porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a lar-gura da nova porta e a largura da porta anterior é

a) 1

8

b) 7

8

c) 8

7

d) 8

9

e) 9

8

11. (PUC – RS) Em muitas igrejas e casas antigas de Porto Alegre, podemos observar janelas de forma

retangular encimadas por um semicírculo, como na

figura.

Considerando que a parte retangular da figura possui x cm na base e altura correspondente a uma

vez e meia essa medida, a função em que A = f(x) e

que determina a área total da janela, em cm2, é

a) π2 2

1, 5x r

b) π

21, 5 x

c)

π

21, 5x

8

d) π

21, 5 x

8

e) π

2

1, 5 x8

60º R

Matemática 32

Doctor On

Jorge

12. (ENEM) Um senhor, pai de dois filhos, deseja

comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida,

um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato conven-

cional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais

novo possui um projeto arquitetônico de uma casa

que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figu-

ra A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a lar-gura.

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor

precisa encontrar um terreno retangular cujas medi-

das, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a

a) 7,5 e 14,5. b) 9,0 e 16,0.

c) 9,3 e 16,3. d) 10,0 e 17,0

e) 13,5 e 20,5

TESTES DE FIXAÇÃO

01. (ENEM) Para garantir a segurança de um grande evento público que terá início às 4 h da tarde, um

organizador precisa monitorar a quantidade de pesso-as presentes em cada instante. Para cada 2000 pes-

soas se faz necessária a presença de um policial. Além

disso, estima-se uma densidade de quatro pessoas por metro quadrado de área de terreno ocupado. Às

10 h da manhã, o organizador verifica que a área de terreno já ocupada equivale a um quadrado com la-

dos medindo 500 m. Porém, nas horas seguintes,

espera-se que o público aumente a uma taxa de 120 000 pessoas por hora até o início do evento, quando

não será mais permitida a entrada de público. Quantos policiais serão necessários no início

do evento para garantir a segurança? a) 360

b) 485

c) 560 d) 740

e) 860

02. (ENEM) Um marceneiro está construindo um mate-rial didático que corresponde ao encaixe de peças de

madeira com 10 cm de altura e formas geométricas

variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato corresponden-

te, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já pos-sui três perfurações prontas de bases distintas: uma

quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com

base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de triângulo equilátero equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar

uma perfuração de base circular (C). O marceneiro não quer que as outras peças

caibam na perfuração circular e nem que a peça de base

circular caiba nas demais perfurações e, para isso, esco-lherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições.

Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira,

encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III)

5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.

x

x + 7

15 m

15 m

21 m

3 m

Figura A Figura B

Matemática

33

Doctor On

Jorge

Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para

2 e 3 , respectivamente.

Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos

exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher? a) I

b) II c) III

d) IV

e) V

03. (ENEM) Pretende-se construir um mosaico com o formato de um triângulo retângulo, dispondo-se de

três peças, sendo duas delas triângulos retângulos congruentes e a terceira um triângulo isósceles. A

figura apresenta cinco mosaicos formados por três

peças.

Na figura, o mosaico que tem as característi-cas daquele que se pretende construir é o

a) 1. b) 2.

c) 3. d) 4.

e) 5.

04. (ENEM) Sabe-se que a distância real, em linha

reta, de uma cidade A, localizada no estado de São

Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alago-as, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um

mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.

Os dados nos indicam que o mapa observado

pelo estudante está na escala de a) 1 : 250.

b) 1 : 2 500. c) 1 : 25 000.

d) 1 : 250 000.

e) 1 : 25 000 000.

05. (ENEM) A bocha é um esporte jogado em can-

chas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo des-

se esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de

um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita,

preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que

foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que

tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, con-

forme ilustra a figura 2.

Considere o ponto C como o centro da bocha,

e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respecti-

vamente, tocam o chão da cancha, e que a distância

entre A e B é igual a d.

Matemática 34

Doctor On

Jorge

Nessas condições, qual a razão entre d e o

raio do bolim?

a) 1

b) 2 10

5

c) 10

2

d) 2

e) 10

06. (ENEM) Um agricultor vive da plantação de moran-

gos que são vendidos para uma cooperativa. A cooperati-va faz um contrato de compra e venda no qual o produtor

informa a área plantada. Para permitir o crescimento adequado das plan-

tas, as mudas de morango são plantadas no centro de

uma área retangular, de 10 cm por 20 cm, como mostra a figura.

Atualmente, sua plantação de morangos ocu-

pa uma área de 10 000 m2, mas a cooperativa quer que ele aumente sua produção. Para isso, o agricultor

deverá aumentar a área plantada em 20%, mantendo o mesmo padrão de plantio.

O aumento (em unidade) no número de mu-

das de morango em sua plantação deve ser de a) 10 000.

b) 60 000. c) 100 000.

d) 500 000. e) 600 000.

07. (ENEM) O governo cedeu terrenos para que

famílias construíssem suas residências com a condição

de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao

receber o terreno retangular ABCD, em que

BC

AB2

, Antônio demarcou uma área quadrada no

vértice A, para a construção de sua residência, de

acordo com o desenho, no qual AB

AE5

é lado do

quadrado.

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele

a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado.

c) triplicasse a área do quadrado.

d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%.

08. (ENEM) A cerâmica constitui-se em um artefato

bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração),

que consiste na evaporação da água existente em um

conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de

temperatura, que ocorre durante o processo de cozi-mento, causa uma redução de até 20% nas dimen-

sões lineares de uma peça. Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.

Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados medi-

am 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.

Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em:

a) 4%

b) 20% c) 36%

d) 64% e) 96%

Matemática

35

Doctor On

Jorge

09. (ENEM) Jorge quer instalar aquecedores no seu

salão de beleza para melhorar o conforto dos seus

clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que conso-

me 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e co-bre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750

g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabri-

cante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cober-

tura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do

salão que deve ser climatizada encontra-se na planta

seguinte (ambientes representados por três retângu-los e um trapézio)

Avaliando-se todas as informações, serão ne-

cessários

a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.

c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.

e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.

10. (ENEM) O esporte de alta competição da atuali-

dade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual

é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42

quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr

dez vezes mais em 75 horas. Um professor de Educação Física, ao discutir com a

turma o texto sobre a capacidade do maratonista

americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.

Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).

Se o percurso de Dean Karnazes fosse tam-

bém em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?

a) 1:700 b) 1:7 000

c) 1:70 000

d) 1:700 000 e) 1:7 000 000

11. (ENEM) Um forro retangular de tecido traz em

sua etiqueta a informação de que encolherá após a

primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro

e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa

a área do forro após ser lavado é (5 – x)(3 – y).

Nestas condições, a área perdida do forro,

após a primeira lavagem, será expressa por

a) 2xy b) 15 – 3x

c) 15 – 5y d) –5y – 3x

e) 5y + 3x – xy

12. (ENEM) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais com-

postos de quadrados de lado medindo 1 m, confor-me a figura abaixo. Nesta figura, os pontos A, B, C

e D são pontos médios dos lados do quadrado e os

segmentos AP e QC medem ¼ da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usa-

dos dois tipos de materiais: um para a parte som-breada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro

para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses

dados, qual é o custo dos materiais usados na fa-

bricação de um vitral? a) R$ 22,50

b) R$ 35,00 c) R$ 40,00

d) R$ 42,50

e) R$ 45,00

5 x

y

3

Matemática 36

Doctor On

Jorge

13. (ENEM) O losango representado na Figura 1 foi

formado pela união dos centros das quatro circunfe-

rências tangentes, de raios de mesma medida.

Dobrando-se o raio de duas das circunferên-cias centradas em vértices opostos do losango e ainda

mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

O perímetro do losango da Figura 2, quando

comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de

a) 300%

b) 200% c) 150%

d) 100% e) 50%

14. (ENEM) Uma criança deseja criar triângulos utili-zando palitos de fósforo de mesmo comprimento.

Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve

ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas característi-

cas.

A quantidade máxima de triângulos não con-

gruentes dois a dois que podem ser construídos é

a) 3. b) 5.

c) 6. d) 8.

e) 10.

15. (ENEM) A maior piscina do mundo, registrada no

livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de 8 hectares de área.

Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro

quadrado. Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina?

a) 8 b) 80

c) 800

d) 8 000 e) 80 000

16. (ENEM) Em um sistema de dutos, três canos

iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medi-

da R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é

necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância

é garantida por um espaçador de metal, conforme a

figura abaixo. Utilize 1,7 como aproximação para 3 .

O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0.

b) 65,5. c) 74,0.

d) 81,0.

e) 91,0.

Figura 1

Figura 2

10 cm

30 cm R

Matemática

37

Doctor On

Jorge

17. (ENEM) Para uma alimentação saudável, reco-

menda-se ingerir, em relação ao total de calorias diá-

rias, 60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a vi-

sualização dessas porcentagens, quer dispor esses dados em um polígono. Ela pode fazer isso em um

triângulo equilátero, um losango, um pentágono regu-

lar, um hexágono regular ou um octógono regular, desde que o polígono seja dividido em regiões cujas

áreas sejam proporcionais às porcentagens mencio-nadas. Ela desenhou as seguintes figuras:

Entre esses polígonos, o único que satisfaz as

condições necessárias para representar a ingestão correta de diferentes tipos de alimentos é o

a) triângulo.

b) losango. c) pentágono.

d) hexágono. e) octógono.

18. (ENEM) Uma família fez uma festa de aniversário

e enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel.

Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma

de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os

lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o

mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figu-ra 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir,

fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da

folha dobrada.

Após os cortes, a folha é aberta e a bandeiri-

nha está pronta. A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é

a)

b)

c)

d)

e)

Proteínas

Carboidratos

Gorduras Carboidratos

Gorduras

Proteínas

Carboidratos Gorduras

Proteínas

Carboidratos

Gorduras

Proteínas

Carboidratos

Gorduras

Proteínas

B A

C D

A

D G

F

N

O

M

Figura 1 Figura 2

Matemática 38

Doctor On

Jorge

19. (ENEM) Uma empresa de telefonia celular possui

duas antenas que serão substituídas por uma nova,

mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas

circunferências se tangenciam no ponto O, como mos-tra a figura.

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunfe-

rência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores.

Com a instalação da nova antena, a medida da

área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi am-pliada em

a) 8.

b) 12.

c) 16.

d) 32.

e) 64.

Gabarito

01 E 06 C 11 E 16 C

02 B 07 C 12 B 17 C

03 B 08 C 13 E 18 E

04 E 09 C 14 A 19 A

05 E 10 D 15 E

4. Geometria Espacial

4.1. POLIEDRO

Os poliedros são figuras geométricas espaciais que apresentam todas as faces planas. São conside-

radas espaciais por apresentarem três dimensões (comprimento, largura e altura).

Os formatos espaciais estão pre-

sentes no mundo a nossa volta. Uma caixa de leite, por exemplo, é um polie-

dro chamado de paralelepípedo. Muitos

prédios também têm o formato da caixa de leite.

Esses objetos são estudados pela matemática através da geometria. Eles possuem características e

propriedades muito importantes para sua compreen-

são. O poliedro é um sólido, isto é, uma figura maci-ça, e não oca. Veja abaixo os elementos do poliedro:

Face: cada uma das superfícies poligonais que

compõem a superfície do poliedro.

Aresta: lado comum a duas faces.

Vértice: ponto comum a três ou mais arestas.

Obs.: A palavra poliedro, de origem grega, é for-

mada por poli, que significa “várias”, e edro, que significa “face”.

Os sólidos geométricos se dividem em poliedros e

corpos redondos. No desenho abaixo temos alguns cilindros, exemplos de corpos redondos.

aresta

vértice

face

Área de cobertura Antena 1

O

Área de cobertura Antena 2

Matemática

39

Doctor On

Jorge

4.2. POLIEDRO CONVEXO

Quando o segmento de reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no polie-

dro, ele é chamado poliedro convexo. Veja nas figuras abaixo que o plano que con-

tém qualquer uma das faces deixa as demais em um mesmo semi-espaço.

4.3. NOMENCLATURA DOS POLIEDROS

Um poliedro costuma ser nomeado de acordo

com seu número de faces. Seu nome é composto de um elemento de origem grega (como tetra = 4)

seguido do elemento de composição edro. Assim,

tetraedro significa “poliedro de 4 faces”. Veja abaixo alguns dos nomes dos poliedros estudados com maior

frequência:

FACES NOME

4 Tetraedro

5 Pentaedro

6 Hexaedro

7 Heptaedro

8 Octaedro

9 Eneaedro

10 Decaedro

11 Undecaedro

12 Dodecaedro

15 Pentadecaedro

20 Icosaedro

4.4. TEOREMA DE EULER

Em todo poliedro convexo o núme-

ro de vértices (V) adicionado com o núme-

ro de faces (F) é igual ao número de ares-tas (A) mais duas unidades.

Exemplo:

Na figura abaixo, verifique se vale a relação de Euler.

4.5. CÁLCULO DO Nº DE ARESTAS

Também podemos calcular o número de arestas de um poliedro convexo através de duas relações.

Exemplo: Na figura abaixo, verifique as relações acima.

V + F = A + 2

Leonard Euler (1707 – 1783) Matemático e físico suíço de língua alemã.

Mais informações em: http://matematica.com.br/site/index.php/biogra

fias/117-leonhard-euler-

F . pA

2

A = nº de arestas F = nº de faces

p = nº de lados em cada face

V . qA

2

A = nº de arestas V = nº de vértices q = nº de arestas em cada vértice

As figuras seguintes mostram exemplos de polie-dros não convexos.

Veja que o plano que contém a face ABCD da figura abaixo não deixa as demais num mesmo semi-espaço.

A

B

C

D

Matemática 40

Doctor On

Jorge

4.6. SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES

A soma S dos ângulos de todas as faces de um

poliedro convexo que possui V número de vértices é:

Exemplo:

4.7. POLIEDROS REGULARES

Dizemos que um poliedro convexo é regular quando suas faces são polígonos regulares e congruen-

tes e seus ângulos poliédricos são congruentes. Existem cinco, e somente cinco, tipos de

poliedros regulares. Platão, o grande filósofo grego,

foi o primeiro matemático a demonstrar

que existem apenas cinco poliedros regulares. Como resultado desses estu-

dos, esses sólidos ficaram imortalizados como Sólidos de Platão.

4.8. PRISMA

4.8.1. Definição: é um sólido determinado por faces

planas. Suas bases são polígonos congruentes e suas

faces laterais são paralelogramos.

4.8.2. Classificação dos prismas: um prisma é

classificado de acordo com o número de arestas da base. Ainda podemos dizer que, nos prismas retos, as

arestas laterais são perpendiculares às bases, mas nos oblíquos não.

S = (V – 2). 3600

Platão (427 – 347 a.C.) Filósofo e matemático grego

Tetraedro

regular

Hexaedro (Cubo)

Possui 4 faces que são triângulos equiláteros.

p = 3; q = 3

Dodecaedro

Icosaedro

Octaedro

Possui 6 faces que são quadrados. p = 4; q = 3

Possui 8 faces que são triângulos equiláteros.

p = 3; q = 4

Possui 12 faces que são pentágonos regulares.

p = 5; q = 3

Possui 20 faces que são triângulos equiláteros.

p = 3; q = 5

Altura é a distância

entre as bases

Arestas laterais são iguais e paralelas

Arestas da base são lados dos

polígonos das bases

h

Bases são polígonos

iguais e paralelos

Faces laterais são paralelogramos

(ou, particularmen-te, retângulos)

Prisma triangular

Prisma quadrangular

Prisma

hexagonal

Prisma triangular oblíquo (a aresta lateral não é

a altura do prisma)

h

Matemática

41

Doctor On

Jorge

4.8.3. Prisma regular: um prisma é regular se, e

somente se, é reto e seus polígonos das bases são

regulares.

4.8.4. Planificação do prisma: veja a planificação do prisma hexagonal.

4.8.5. Fórmulas de áreas e volume: convencio-

nando-se Ab, como área da base; Al, a área lateral;

At, a área total; V, o volume, temos:

4.8.6. Prismas notáveis: entre os diversos prismas

existentes, vamos destacar dois.

→ Paralelepípedo retângulo ou ortoedro: é um

prisma reto de base retangular.

Convencionando-se Ab, como área

da base; Al, a área lateral; At, a área total; V, o volume e D, a

diagonal do paralelepípedo, temos:

Cubo ou Hexaedro Regular: possui todas as

arestas congruentes – 6 faces quadradas.

Convencionando-se Ab, como área da base; Al, a área lateral; At, a área

total; V, o volume; d, a diagonal da

face e D, a diagonal do cubo, temos:

→ Todo prisma regular possui faces laterais que são re-tângulos congruentes entre si.

A base é um quadrado

(polígono regular)

Prisma reto altura = aresta lateral

Prisma quadrangular regular

At = Al + 2Ab

Área total Área lateral Área da base

V = Ab . h

Volume Área da base Altura

Ab = a.b

At = 2.(ab + ac + bc)

Al = 2c.(a + b)

V = abc

2 2 2D a b c

a

b

c D

a

a

a D

d

Ab = a2

At = 6a2

Al = 4a2

V = a3

d a 2 D a 3

Matemática 42

Doctor On

Jorge

4.9. PIRÂMIDES

4.9.1. Definição: é um poli-edro convexo que possui as

faces laterais todas triangula-

res e a base é um polígono.

4.9.2. Classificação das pirâmides: uma pirâmide

é classificada de acordo com o número de arestas da base. Ainda podemos dizer que, nas pirâmides retas,

as arestas laterais são perpendiculares às bases, mas nos oblíquos não.

4.9.3. Pirâmide regular: uma pirâmide é regular

se, e somente se, é reta e seus polígonos das bases

são regulares.

4.9.4. Planificação regular: veja a planificação da

pirâmide quadrangular.

4.9.5. Fórmulas de áreas e volume: convencio-nando-se Ab, como área da base; Al, a área lateral;

At, a área total; V, o volume, temos:

4.9.6. Comparação de volumes: se tivermos as

bases iguais e as alturas iguais do prisma e da pirâmide, o volume do prisma é o triplo do volume da pirâmide.

Vprisma= 3Vpirâmide

→ A denominação especial vértice da pirâmide é dada ao único vértice que não pertence à base, apesar de a pirâmide possuir outros vértices, que pertencem à base, os quais não recebem nomes especiais.

→ Em toda pirâmide regular as faces laterais são

triângulos isósceles congruentes entre si (arestas laterais iguais), e a altura destes é a apótema da

pirâmide (ap). ap2 = ab

2 + h2

h

ab

ap

Vértice

Base

é um polígono

Aresta da base

Apótema lateral

Aresta lateral

Face lateral

são triângulos

Apótema da base

Altura distância do vértice ao plano da base

Museu do Louvre - Paris

Pirâmide triangular

Pirâmide

quadrangular Pirâmide

hexagonal

Pirâmide pentagonal oblíqua

h

●

ap

A altura “atinge” o centro da base

quadrada

h

Vértice da

pirâmide

Raio da circunferência circunscrita à base quadrada é igual

metade da diagonal do quadrado

Raio da circunferên-cia inscrita à base

quadrada é igual a

apótema da base

Pirâmide quadrangular regular

jk

bA . h

V3

Volume Área da base Altura

At = Al + Ab

Área total Área lateral Área da base

●

●

●

●

●

Bases e alturas iguais do prisma e

da pirâmide

Matemática

43

Doctor On

Jorge

Cesto de lixo orgânico Tronco de pirâmide

4.9.7. Secção transversal e tronco de pirâmide:

Considere uma pirâmide reta de

vértice V, altura h e que tem a

base ABCD contida em um plano

. Seccionando-a com um plano ,

paralelo a , obtemos uma nova

pirâmide de vértice V, altura h’ e

base A’B’C’D’ contida em .

4.10. CILINDRO

4.10.1. Definição: é um sólido delimitado por uma superfície cilín-

drica fechada e por duas secções

planas paralelas e circulares. Embo-ra tenhamos uma definição cilíndrica

mais técnica e completa, a simplici-dade da definição acima não irá

acarretar prejuízo em aplicações práticas.

4.10.2. Classificação dos cilindros: podemos clas-

sificar um cilindro de reto ou de obliquo.

VT Volume do tronco da pirâmide (ABCDA’B’C’D’)

Esquema interno de uma pirâmide egípcia

VP’ Volume da pirâmide menor (A’B’C’D’O)

Razão entre áreas 2

ABCD

A ' B ' C ' D '

A h

A h '

Razão entre volumes 3

P

P '

V h

V h '

Volume do tronco de pirâmide

VT = VP – VP’

VP Volume da pirâmide maior (ABCDO)

h'

h

O

A'

A B

C

C'

B'

D'

D

●

●

● ●

●

●

● ●

●

jk

→ As relações acima valem para cones, figura espacial que iremos estudar mais adiante.

Surdo Tambor Cilíndrico

Geratriz

Base é um círculo

Raio da base

Altura distância entre

as bases

g h h=g

Cilindro reto ou cilindro de revolução

Cilindro oblíquo

→ O cilindro reto, cilindro circular reto ou cilindro de revo-lução é o cilindro que interessa ao nosso estudo. Este cilindro é definido pela rotação de uma superfície re-tangular em torno da reta que contém um dos lados dessa superfície, de medida igual à altura h do cilindro, sendo o outro lado do retângulo igual ao raio R da base do cilindro.

h = g

R

● ●

●

jk

Matemática 44

Doctor On

Jorge

4.10.3. Planificação do cilindro: a planificação do

cilindro reto é composta por dois círculos e de uma

superfície retangular, em que a medida de um dos lados é igual ao comprimento da circunferência da

base (2R) e a medida do outro lado é igual à altura

do cilindro (h).

4.10.4. Fórmulas de áreas e volume: convencio-nando-se Ab, como área da base; Al, a área lateral;

At, a área total; V, o volume, temos:

4.10.5. Cilindro equilátero: se o cilindro apresentar

uma secção meridiana quadrada, teremos o cilindro denominado de equilátero. Assim, a altura é igual ao

dobro do raio, isto é, h = 2R.

4.11. CONE

4.11.1. Definição: é

um sólido formado por

todos os segmentos de reta que tem

extremidade em V (vértice) é a outra em

um ponto do círculo

(base). Esta forma aparece em muitos

objetos do dia-a-dia, como casquinha de

sorvetes, cone de

sinalização, entre outros.

4.11.2. Classificação dos cones: podemos

classificar um cone de reto ou de obliquo.

Superfície lateral

Base R

2R

h

R

R

Base

R

V = R2h At = 2R(h + R)

Al = 2Rh

Área lateral Altura Raio da base

Ab= R2

Área da base Raio da base

V = Ab . h

Volume Área da base Altura

At = Al + 2Ab

Área total Área lateral Área da base

jk

h = 2R

R

Secção meridiana é um quadrado

●

●

Catedral de Maringá – PR

Mais alta catedral da América Latina, com 50 m de diâmetro de base e altura de

114 m, com uma cruz no alto de 10 m.

g2 = R2 + h2

Geratriz segmento de reta, cujos extremos são

o ponto V e um ponto da circunfe-

rência da base

Altura distância do vértice ao

plano da base

Base é um círculo Raio da base

h

R

V

g

Cone reto ou

de revolução

Cone oblíquo

●

h

V

O ●

●

h

V

O ●

→ O cone reto, cone circular reto ou cone de revolução é o cone que interessa ao nosso estudo. Este cone é defini-do pela rotação de uma superfície triangular, determinado por um triângulo retângulo, em torno de uma reta que contém um de seus catetos. O comprimento desse cateto será o raio da base do cone.

h

A altura “atinge” o centro da base.

●

●

jk

Matemática

45

Doctor On

Jorge

4.11.3. Planificação do cone: a planificação do

cone reto é composta por um círculo reto de raio R e

por um setor circular de raio g, ângulo e arco de

comprimento 2R.

4.11.4. Fórmulas de áreas e volume:

convencionando-se Ab, como área da base; Al, a área

lateral; At, a área total; V, o volume, temos:

4.11.5. Cone equilátero: se o cone apresentar uma

secção meridiana com a forma de um triângulo

equilátero, teremos o cone denominado de equilátero. Assim, a geratriz é igual ao dobro do

raio, isto é, g = 2R.

4.12. ESFERA

4.12.1. Definição: é um sólido formado por todos os pontos P

do espaço que estão a uma distância de um ponto C menor

ou igual a R.

g g

R

g

R

At = R(g + R)

2R h

V3

Ab= R2

Área da base Raio

Al = Rg

Área lateral Geratriz Raio

At = Al + Ab

Área total Área lateral Área da base

bA . h

V3

Volume Área da base Altura

→ O semicírculo de raio g é o

setor circular da planificação do cone equilátero.

● g g O

R

g = 2R Secção

meridiana é um triângulo equilátero

2R

2R ●

O O

→ Assim como o cilindro e o cone, a esfera também pode ser considerada um sólido de revolução, pois pode ser obtida pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que passa por seu diâmetro.

R2 = r2 + d2

R d

r

BRAZUCA, a bola da Copa no Brasil, é um exemplo de esfera.

Matemática 46

Doctor On

Jorge

4.12.2. Secção plana de uma espera: qualquer

secção plana de uma esfera, ou intersecção de uma

esfera com um plano, é um ponto ou é um círculo. Se o plano de intersecção contiver o centro da esfera,

então a secção obtida será chamada círculo máximo.

4.12.3. Área da superfície esférica e volume da

esfera: sendo R o raio da esfera, temos:

TESTES 01. (UCPel) Um poliedro convexo possui 9 faces, 5

quadrangulares e 4 triangulares. Então, o número de

arestas e o de vértices desse poliedro, respectivamen-te, é

a) 16 e 9 b) 18 e 6

c) 12 e 10

d) 14 e 8 e) 10 e 6

02. (ENEM) Um lapidador recebeu de um joalheiro a

encomenda para trabalhar em uma pedra preciosa cujo

formato é o de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para tanto, o lapidador fará quatro cortes de forma-

tos iguais nos cantos da base. Os cantos retirados cor-respondem a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao longo dos segmentos tracejados, ilustrados na

Figura 2.

Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a partir da pedra maior, uma joia poliédrica

cujos números de faces, arestas e vértices são, res-pectivamente, iguais a

a) 9, 20 e 13.

b) 9, 24 e 13. c) 7, 15 e 12.

d) 10, 16 e 5. e) 11, 16 e 5.

03. (UPF) Considere um prisma hexagonal regular,

com as características: altura de 4 3 cm e área late-

ral o dobro da área de sua base, e as seguintes afir-

mativas:

I. A área da base do prisma é 96 3 cm2.

II. O volume do prisma é 1152 cm3. III. O prisma tem 18 arestas e 12 vértices.

É correto o que se afirma em:

a) I, II e III

b) II e III apenas c) I e III apenas

d) I e II apenas e) III apenas

34 R

V3

Volume Área da superfície esférica

Ase= 4R2

→ A superfície esférica é a “casca” da esfera, ou seja, é o conjunto de pontos P do espaço que estão a uma distância do centro C igual ao raio R.

círculo

R C

círculo máximo

P ●

jk

Matemática

47

Doctor On

Jorge

04. (ENEM) Alguns objetos, durante a sua fabrica-

ção, necessitam passar por um processo de resfria-

mento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.

O que acontecerá com o nível de água se co-locássemos no tanque um objeto cujo volume fosse

2400 cm3? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com

20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21

cm de altura.

c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.

d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.

05. (ENEM) Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as di-

mensões dadas por 60 m x 10 m de base e 10 m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambi-

ental de um eventual vazamento, esse reservatório é

subdividido em três compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares

com dimensões de 7 m de altura e 10 m de base, de modo que os compartimentos são interligados, con-

forme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vaza-

rá.

Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com sua carga máxima: ele

sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do

compartimento C.

Para fins de cálculo, considere desprezíveis as

espessuras das placas divisórias.

Após o fim do vazamento, o volume de pre-tróleo derramado terá sido de

a) 1,4 x 103 m3 b) 1,8 x 103 m3

c) 2,0 x 103 m3

d) 3,2 x 103 m3 e) 6,0 x 103 m3

06. (UFSM) Uma pirâmide tem altura H. A que dis-

tância do vértice deve-se passar um plano paralelo à

base, para dividi-la em duas partes de mesmo volu-me?

a) 3

H

2

b) 3

H

2

c) 3 H

d) H

3

e) H

2

5 cm

30 cm

25 cm

40 cm

60 m

7 m

10 m

10 m

A B C

Matemática 48

Doctor On

Jorge

07. (FFFCMPA) Um aquário tem a forma de um

paralelepípedo reto retângulo com as seguintes

dimensões internas: 50 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura. Esse aquário contém

água até a altura de 30 cm. Deseja-se colocar nesse aquário objetos cilíndricos maciços e idênticos de

densidade maior do que a densidade da água.

Sabendo-se que a altura e o diâmetro desses cilindros

medem 10 cm e considerando = 3,14, a quantidade

máxima desses objetos que pode ser colocada no

aquário, de modo que a água nele contida não transborde, é

a) 15.

b) 16. c) 19.

d) 20. e) 21.

08. (UFRGS) Um cilindro tem o eixo horizontal como

representado na figura abaixo. Nessa posição, sua

altura é de 2 m e seu comprimento, de 5 m. A região sombreada representa a seção do cilindro por um

plano horizontal distante 1,5 m do solo. A área dessa superfície é

a) 3 .

b) 2 2.

c) 2 3.

d) 5 2.

e) 5 3.

09. (ENEM) Num parque aquático existe uma piscina

infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de

profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de

lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo

da piscina e com centro da base coincidindo com o

centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a constru-

ção dessa ilha, o espaço destinado a água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m3. Para satisfazer

as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r,

em metros, estará mais próximo de a) 1,6

b) 1,7 c) 2,0

d) 3,0 e) 3,8

10. (ENEM) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. Esta figu-

ra é uma representação de uma superfície de revolu-ção chamada de

a) pirâmide.

b) semiesfera. c) cilindro.

d) tronco de cone. e) cone

Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br.

Acesso em: 1 maio 2010.

Considere 3 como valor aproximado para

ilha de lazer

R O

r

Matemática

49

Doctor On

Jorge

11. (ENEM) Em regiões agrícolas, é comum a pre-

sença de silos para armazenamento e secagem da

produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na

figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões da carga cuja capacidade é de 20

m3. Uma região possui um silo cheio e apenas um

caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

Utillize 3 como aproximação para .

O número mínimo de viagens que o caminhão precisará para transportar todo o volume de grãos

armazenadas no silo é a) 6.

b) 16.

c) 17. d) 18.

e) 21.

12. (ENEM) Uma indústria de perfumes embala seus

produtos, atualmente, em frascos esféricos de raio R,

com volume dado por π34

. R .3

Observou-se que

haverá redução de custos se forem utilizados frascos

cilíndricos com raio da base R

3, cujo volume será

dado por π

2R

. .h3

, sendo h a altura da nova emba-

lagem. Para que seja mantida a mesma capacidade

do frasco esférico, a altura do frasco cilíndrico (em

termos de R) deverá ser igual a a) 2R.

b) 4R. c) 6R.

d) 9R.

e) 12R.

TESTES DE FIXAÇÃO

01. (ENEM) Os alunos de uma escola utilizaram ca-

deiras iguais às da figura para uma aula ao ar livre. A professora, ao final da aula, solicitou que os alunos

fechassem as cadeiras para guardá-las. Depois de guardadas, os alunos fizeram um esboço da vista

lateral da cadeira fechada.

Qual é o esboço obtido pelos alunos? a)

b)

c)

d)

e)

3 m

3 m

12 m

Matemática 50

Doctor On

Jorge

02. (ENEM) Uma caixa-d’água em forma de um para-

lelepípedo retângulo reto, com 4 m de comprimento, 3

m de largura e 2 m de altura, necessita de higieniza-ção. Nessa operação, a caixa precisará ser esvaziada

em 20 min, no máximo. A retirada da água será feita com o auxílio de

uma bomba de vazão constante, em que vazão é o

volume do líquido que passa pela bomba por unidade de tempo. A vazão mínima, em litro por segundo, que

essa bomba deverá ter para que a caixa seja esvazia-da no tempo estipulado é

a) 2.

b) 3. c) 5.

d) 12. e) 20.

03. (ENEM) O recinto das provas de natação olímpi-

ca utiliza a mais avançada tecnologia para proporcio-nar aos nadadores condições ideais. Isso passa por

reduzir o impacto da ondulação e das correntes pro-vocadas pelos nadadores no seu deslocamento. Para

conseguir isso, a piscina de competição tem uma pro-fundidade uniforme de 3 m que ajuda a diminuir a

“reflexão” da água (o movimento contra uma superfí-

cie e o regresso no sentido contrário atingindo os nadadores), além dos já tradicionais 50 m de compri-

mento e 25 m de largura. Um clube deseja reformar sua piscina de 50 m de comprimento, 20 m de largura

e 2 m de profundidade de forma que passe a ter as

mesmas dimensões das piscinas olímpicas. Disponível em: http://desporto.publico.pt. Acesso em: 6 ago. 2012.

Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará a capacidade da piscina original em um valor

mais próximo de: a) 20%.

b) 25%.

c) 47%. d) 50%.

e) 88%.

04. (ENEM) A figura representa o globo terrestre e

nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A

e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado

um caminho do ponto A até C, pela superfície do glo-bo, passando por B, de forma que o trecho de A até B

se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho

de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e

C. Considere que o plano é paralelo à linha do

equador na figura.

A projeção ortogonal, no plano , do caminho

traçado no globo pode ser representado por

a)

b)

c)

d)

e)

B A

C

A B C

B C A

C

A B

A

C

B

Linha do Equador

Matemática

51

Doctor On

Jorge

05. (ENEM) Para o modelo de um troféu foi escolhi-

do um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vérti-

ces de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um te-

traedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada

usando uma cor distinta das demais faces.

Com base nas informações, qual é a quanti-dade de cores que serão utilizadas na pintura das

faces do troféu? a) 6

b) 8

c) 14 d) 24

e) 30

06. (ENEM) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa aveni-

da de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de

114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma

oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser obser-

vada na imagem. Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas ope-

rações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço

a) menor que 100 m2.

b) entre 100 m2 e 300 m2. c) entre 300 m2 500 m2.

d) entre 500 m2 e 700 m2. e) maior que 700 m2.

07. (ENEM) Uma empresa que organiza eventos de

formatura confecciona canudos de diplomas a partir de

folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de

um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno do tal

cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do

diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desen-rolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do

meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel

original seja desprezível.

Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?

a) d

b) 2d

c) 4d

d) 5d

e) 10d 08. (ENEM) Um sinalizador de trânsito tem o forma-to de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser

revestido externamente com adesivo fluorescente,

desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela

colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exa-

tamente à parte da superfície lateral a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo?

a) b)

c) d)

e)

Matemática 52

Doctor On

Jorge

09. (ENEM) Conforme regulamento da Agência Nacional

de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em

voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura +

comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm. A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a

forma de um paralelepípedo retângulo.

O maior valor possível para x, em centíme-

tros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é

a) 25.

b) 33. c) 42.

d) 45. e) 49.

10. (ENEM) Uma lata de tinta, com a forma de um

paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em

centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mes-mos formato e volume, de tal modo que as dimensões

de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da

lata atual deve ser reduzida em a) 14,4%

b) 20,0%

c) 32,0% d) 36,0%

e) 64,0%

11. (ENEM) Uma empresa farmacêutica produz me-

dicamentos em pílulas, cada uma na forma de um

cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas

pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de com-

primento, adequando o raio de acordo com o volume

desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-

se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a

reprogramação da máquina que produz essas pílulas.

Use 3 como valor aproximado para .

A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será

igual a a) 168.

b) 304.

c) 306. d) 378.

e) 514.

12. (ENEM) O condomínio de um edifício permite

que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da gara-

gem, na escala 1:100, foi disponibilizado aos interes-sados já com as especificações das dimensões do

armário, que deveria ter o formato de um paralelepí-pedo retângulo reto, com dimensões, no projeto,

iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm. O volume real do armá-

rio, em centímetros cúbicos, será a) 6.

b) 600. c) 6 000.

d) 60 000.

e) 6 000 000.

24

40

24

90 cm

x

24 cm

Matemática

53

Doctor On

Jorge

13. (ENEM) O acesso entre os dois andares de uma

casa é feito através de uma escada circular (escada

caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e

os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o

corrimão do ponto A até o ponto D.

A figura que melhor representa a projeção or-

togonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho

percorrido pela mão dessa pessoa é:

a)

b)

c)

d)

e)

14. (ENEM) Na alimentação de gado de corte, o

processo de cortar a forragem, colocá-la no solo,

compactá-la e protegê-la com uma vedação denomi-na-se silagem. Os silos mais comuns são os horizon-

tais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de

largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a

mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo.

EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de for-ragem que cabe no silo, em toneladas, é

a) 110.

b) 125. c) 130.

d) 220. e) 260.

15. (ENEM) Um fazendeiro tem um depósito para ar-

mazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte

cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida

da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8

minutos para encher metade da parte abaixo.

Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito?

a) 8 b) 10

c) 16

d) 18 e) 24

Matemática 54

Doctor On

Jorge

16. (UFPel) No país do Méxi-

co, há mais de mil anos, o povo

Asteca resolveu o problema da armazenagem da póscolheita

de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola coloca-

do sobre uma base circular de

alvenaria.

A forma desse silo é obtida juntando 20 pla-cas hexagonais e mais 12 placas pentagonais. Com

base no texto, é correto afirmar que esse silo tem

a) 90 arestas e 60 vértices. b) 86 arestas e 56 vértices.

c) 90 arestas e 56 vértices. d) 86 arestas e 60 vértices.

e) 110 arestas e 60 vértices.

17. (PEIES) Um poliedro com 20 faces tem suas faces formadas por triângulos, hexágonos e

dodecágonos, a quantidade de hexágonos é a mesma que a de dodecágonos e, em cada vértice, concorrem

três arestas. A quantidade de faces triangulares é

igual a a) 14

b) 12 c) 10

d) 8

e) 6

18. (PEIES) Para adequar a potência de um

aparelho de ar condicionado a um ambiente, é

necessário, entre outras coisas, o volume desse local. Na tabela, foram considerados ambientes

ensolarados, com telhado convencional e com 2 pessoas. Então a potência do aparelho, para um

ambiente que possui o formato de um paralelepípedo

retângulo com dimensões 9 m x 5 m x 4 m, é, em Btu/h, igual a

a) 9.200 b) 15.200

c) 17.600

d) 20.800 e) 22.800

Gabarito

01 C 06 E 11 E 16 A

02 E 07 D 12 E 17 B

03 E 08 E 13 C 18 E

04 E 09 E 14 A

05 C 10 D 15 B

Volume Dia de sol 18 m3 5200 Btuh/h

27 m3 6000 Btuh/h 36 m3 8000 Btuh/h 45 m3 9200 Btuh/h 60 m3 10400 Btuh/h 75 m3 12800 Btuh/h 90 m3 15300 Btuh/h 120 m3 17600 Btuh/h 150 m3 20800 Btuh/h 180 m3 22800 Btuh/h

Guia Estadual Unidade II. Volume Único. Organizadora: Maria U. C. Salgado. Brasil:

Presidência da República, Secretaria Geral, Brasília, 2006. p. 69.

Matemática

55

Doctor On

Jorge

5. Estatística 5.1 INTRODUÇÃO

Se quisermos rea-

lizar uma pesquisa (por exemplo: qual é o grau de

satisfação de clientes de

uma determinada loja) devemos observar um

conjunto de métodos.

Este conjunto de métodos geralmente é for-mado por coletas de dados e a sua organização (in-

formações da amostra), um resumo (em tabelas e

gráficos), a análise, o planejamento de experimentos e a interpretação e conclusão dos resultados.

Estatística é a parte da matemática que trata

desse assunto. Tem como objetivo fazer previsões e,

acima de tudo, tomar decisões acertadas.

5.2 POPULAÇÃO E AMOSTRA

Uma população (universo estatístico) é

formada por todos os elementos de um conjunto que têm pelo menos uma característica em comum. Cada

elemento da população estudada é denominado unidade estatística.

Amostra é um subconjunto formado por

elementos extraídos de uma dada população.

População Amostra Unidade

Estatística

Todos os eleitores habilitados no Brasil

Entrevistados 4000

eleitores

Cada eleitor

5.3 FREQUÊNCIA ABSOLUTA E RELATIVA

Frequência absoluta é a quantidade de ve-

zes que cada valor é observado.

Frequência relativa compara a frequência abso-luta com o total pesquisado. Geralmente são expressos em

porcentagem, pois facilita a análise dos dados.

Exemplo:

Numa pesquisa sobre

preços em reais de uma televisão de 42 polegadas de LED-3D, em

10 lojas, foram coletados os se-

guintes valores:

- em 4 lojas o preço da referida TV é R$ 2.000,00; - em 3 lojas o preço é de R$ 2.350,00;

- em 2 lojas o preço é de R$ 2.450,00;

- em 1 loja o preço é de R$ 2.600,00.

Agrupando numa tabela, temos:

Preço (R$) Quantidade de lojas

2.000,00 4

2.350,00 3

2.450,00 2

2.600,00 1

A quantidade de lojas indicam as frequências

dos valores observados da variável de preços. Esta frequência é denominada frequência absoluta (FA).

Iremos agora acrescentar à tabela uma co-

luna com valores que indicam a comparação entre

cada frequência absoluta e o total pesquisado. Estes valores calculados recebem o nome de fre-quência relativa (FR).

Preço

(R$)

frequência

absoluta - FA

frequência

relativa - FR

2.000,00 4 4

0, 40 ou 40%10

2.350,00 3 3

0, 30 ou 30%10

2.450,00 2 2

0, 20 ou 20%10

2.600,00 1 1

0,10 ou 10%10

Total 10 100%

5.4 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS

5.4.1 Gráfico de segmentos

Traçado no plano cartesiano, esse tipo de

gráfico é usado geralmente

para identificar tendências de aumento ou diminuição

de valores numéricos de uma variável:

índices de audiência de programas de televisão, lucros

de empresas, desempenho de atletas etc. O gráfico de segmentos é chamado também

de gráfico de linha ou poligonal.

5.4.2 Gráfico de barras

Os dados de uma tabela podem ser

representados graficamente por retângulos paralelos,

horizontais ou verticais.

0

2

3

4

5

1

Índice de satisfação do cliente

Péssimo

Regular Bom Ótimo

Faturamento da empresa JK, em 2017

jan fev mar abr mai jun Mês

50

40 30

20

Em milhares de reais

Quantidade de recém nascidos 1º sem/2017

Hospital I Hospital II Hospital III

80

60

40 20

Matemática 56

Doctor On

Jorge

A largura e o comprimento corresponde à

frequência (absoluta ou relativa) dos valores observados. Esses gráficos permitem uma rápida

exploração visual e uma comparação entre a variável em estudo e suas frequências.

5.4.3 Gráfico de setores

O gráfico de

setores (ou gráfico “pizza”)

é um círculo dividido em partes (setores), cujas

medidas são proporcionais às frequências relativas ou

absolutas de um valor

observado.

Nessa representação, a área e a medida do ângulo de cada setor são diretamente

proporcionais à porcentagem que representam em relação ao todo (100%).

5.5 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Quando temos um conjunto de dados, nós

podemos resumir esta quantidade de informações, utilizando, em estatística, medidas que descrevem, por

meio de um só número, características deste conjunto

de dados. Esse valor é conhecido por medida de tendência central, pois ela geralmente se localiza em

torno do meio ou centro de uma distribuição.

5.5.1 Média Aritmética (MA)

É a medida de tendência central mais usada. A média aritmética é o quociente entre a soma de a

valores (a1, a2, ..., an) e o número a de valores (n)

desse conjunto. É dada por:

Exemplo:

Rodrigo teve as seguintes notas nas provas

de Matemática no ano de 2016: 9,5; 7,5; 9,0; 10,0. Para obter uma nota que representará seu

aproveitamento no ano, calculamos a média aritmética (MA) de suas notas:

9, 5 7, 5 9, 0 10, 0 36, 0MA 9, 0

4 4

5.5.2 Média Aritmética Ponderada (MP)

É o somatório do produto de cada elemento

pelo seu respectivo peso, dividido pela soma dos pesos totais.

onde a1, a2, ..., an são os elementos e p1, p2, ... , pn

são os respectivos pesos.

Exemplo:

Em uma sala de aula, foi feita uma pesquisa sobre a idade

dos alunos, que apresentou os

seguintes resultados:

Idade 14 15 16 17

Nº de alunos 3 12 18 8

Como os valores se repetem (uma mesma

idade ocorre mais de uma vez), é possível calcular a

média assim:

3 .14 12 .15 18 .16 8 .17 646MP 15, 7

3 12 18 8 41

5.5.3 Mediana (Me)

É um número que, numa sequência de n núme-

ros colocados em ordem crescente (ou decrescen-te), ocupe a posição central, se n for ímpar. Se o nú-

mero de termos de tal sequência for par, a mediana será a média aritmética dos dois números que estiverem no

centro.

n

i

1 2 n i 1

xa a ... a

M An n

1 1 2 2 n n

1 2 n

a . p a . p ... a . pM P

p p ... p

→ A letra grega maiúscula (sigma) é usada para indicar

uma soma.

→ O símbolo n

ii 1

x

significa somatório dos valores de xi

para i, variando de 1 até n.

Matemática

57

Doctor On

Jorge

Exemplos:

a) A tabela abaixo registra os valores pagos em uma conta de energia elétri-

ca, nos 6 primeiros meses do ano de

2013, em uma residência de veraneio:

Mês Valor (em R$)

Jan 129,00

Fev 125,00

Mar 30,00

Abr 60,00

Mai 45,00

Jun 46,00

Para calcular a média aritmética do valor

pago no primeiro semestre, fazemos:

129 125 30 60 45 46 435MA 72, 50

6 6

Logo, em média, o valor mensal pago pela

energia elétrica no período é R$ 72,50.

No entanto, essa média não mostra a realida-de, visto que, o mês de março a conta é bem menor

que a média e nos meses mais quentes, de férias

escolares, os valores são bem maiores.

Em situações como essa, em que existem va-

lores discrepante, a mediana é medida que melhor

representa o perfil da amostra.

Vamos ao cálculo da mediana:

Inicialmente vamos ordenar os valores das

contas em ordem crescente;

30 45 46 60 125 129

Depois tomamos os valores centrais. Como, no caso, temos um número par de dados, precisamos

calcular a média aritmética dos dois termos centrais:

46 60 106

Me 532 2

Logo, a mediana é R$ 53,00.

b) Numa sala de aula, foram registrados as quantidades

de alunos que faltaram, durante 11 dias seguidos:

0, 2, 3, 3, 3, 1, 0, 3, 5, 5 e 6.

Colocando em ordem crescente, temos:

0, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 6

Logo, a mediana é Me = 3.

Veja que temos 5 valores à esquerda da me-

diana 3 e 5 valores a direita.

5.5.4 Moda (Mo)

É (ou são) o valor (ou valores) que apare-

ce(m) com maior frequência no conjunto de valo-res observados.

Exemplos:

a) Vamos supor que numa pesquisa

com 20 pessoas sobre que nota da-riam para o desempenho do técnico

do Grêmio (notas de 1 a 5), obteve-se o seguinte resultado.

Nota Frequência

1 2

2 3

4 2

5 2

Total 10

Pela tabela, o valor com maior frequência é zero. Este valor é conhecido como moda, isto é, Mo = 0.

IMPORTANTE:

1º) Sendo n o número de termos da distribuição, temos: se n é ímpar, a posição do termo central é dada por

n 1

2

;

se n é par, as posições dos dois termos centrais são

dadas por n n

e 12 2

.

2º) A metade dos valores da amostra são menores que a mediana, e metade, maiores.

Me

Matemática 58

Doctor On

Jorge

b) Os dados referem-se a

uma pesquisa em um determinado grupo de

pessoas. Eles estão apresentados no gráfico e na

tabela abaixo:

Olhando a tabela percebemos que a maior

frequencia é 805 e representa as pessoas com sangue tipo O. Portanto, a moda dessa amostra é

o sangue tipo O.

5.6 MEDIDAS DE DISPERSÃO

Suponhamos que foram feitas medições em vários momentos do dia para coletar a temperatura

(em graus Celcius) da cidade de Santa Maria – RS, durante o dia 28 e 29 de julho de 2012. Os resultados

estão registrados a seguir:

1º dia: 2, 3, 4, 4, 5 e 6 2º dia: 1, 2, 3, 4, 6 e 8

Note que a temperatura média de cada um

dos dias foi de 4 ºC. Podemos, então, perguntar: Em

qual desses dias a temperatura foi mais estável, ou seja, em qual desses dias a variação de temperatura

foi menor?

Recorrer à média não responde a questão, já

que nos dois dias a temperatura média foi a mesma. Logo, precisaremos de outras medidas que permitam

descrever o comportamento do grupo de valores em torno da média.

Medidas de dipersão ou de variabilidade são medidas estatísticas que descrevem o comporta-

mento de um grupo de valores em torno das medidas de tendência central.

São medidas de dispersão: desvio médio, va-riançia e desvio padrão.

TESTES

01. (UFSM) O gráfico a seguir representa o número de ingressos vendidos em um parque de diversões,

num período de 50 dias em que o parque esteve aberto à comunidade.

A média aritmética dos valores N(1), N(12), N(20), N(25), N(40) e N(45) é igual a

a) 321.

b) 410. c) 434.

d) 492. e) 506.

Tipo sanguíneo Número de indivíduos

O 805

A 479

B 198

AB 70

Tipo sanguíneo 805

479

198 70

O A

B

AB

IMPORTANTE:

1º) Quando todos os valores apresentam a mesma fre-quência, não há moda na distribuição considerada. Ex.: O conjunto de valores 1, 2, 4, 5, 7 e 9 não apresen-tam moda. 2º) Existem também conjunto de dados com duas (bi-modais) ou mais modas (multimodal). Ex.: O conjunto de valores 1, 2, 2, 3, 4, 5 e 5 é bimodal, pois apresenta duas modas: 2 e 5.

IMPORTANTE:

Quanto menor o desvio padrão, maior é a homogeneidade do grupo. Quanto mais o desvio

padrão se aproxima de zero, mais homogênea é a

distribuição dos valores observados.

Matemática

59

Doctor On

Jorge

02. (UNIFRA) Os dados ordenados abaixo se refe-rem ao tempo de espera, em minutos, de 10 pessoas

atendidas em um posto de saúde durante uma ma-nhã.

1 – 5 – 8 – 9 – x – 16 – 18 – y – 23 – 26

Sabendo que o tempo médio de espera foi de

14 minutos e o tempo mediano foi de 15 minutos, os valores de x e y são, respectivamente,

a) 14 e 20. b) 14 e 22.

c) 16 e 18.

d) 16 e 20. e) 16 e 22.

03. (ACAFE) A média de um conjunto de 100

números reais é 7,54. Se desse conjunto for tirado o número 7, qual será a média dos números contidos

nesse novo conjunto?

a) 7,47 b) 0,54

c) 7,5454545... d) 6,84

04. (FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é

16. O maior valor que um desses inteiros pode assu-

mir é: a) 16

b) 20 c) 50

d) 70 e) 100

05. (ENEM) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candi-

dato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média,

o desempate seria em favor da pontuação mais regu-

lar. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Co-

nhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

Matemática Português Conhecimentos

Gerais Média Mediana

Desvio

Padrão

Marco 14 15 16 15 15 0,32

Paulo 8 19 18 15 18 4,97

O candidato com pontuação mais regular,

portanto mais bem classificado no concurso, é

a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.

c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.

d) Paulo, pois obteve maior mediana. e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão

06. (ENEM) Preocupada com seus resultados, uma

empresa fez um balanço dos lucros obtidos nos últi-mos sete meses, conforme dados do quadro.

Avaliando os resultados, o conselho diretor da empre-sa decidiu comprar, nos dois meses subsequentes, a

mesma quantidade de matéria-prima comprada no mês em que o lucro mais se aproximou da média dos

lucros mensais dessa empresa nesse período de sete meses.

Nos próximos dois meses, essa empresa deverá com-prar a mesma quantidade de matéria-prima comprada

no mês a) I

b) II

c) IV d) V

e) VII

Matemática 60

Doctor On

Jorge

07. (UNIFRA) Foi analisada, em uma instituição, a

quantidade de turmas e horas semanais referentes à disciplina de Estatística. As respostas dessa consulta

estão demonstradas no gráfico abaixo.

Assim, o número médio de horas semanais da disciplina de Estatística dessa instituição é

a) 4,1. b) 4,3.

c) 4,5 d) 4,7

e) 5,1

08. (ENEM) Atualmente existem diversas locadoras

de veículos, permitindo uma concorrência saudável para o mercado, fazendo com que os preços se tor-

nem acessíveis. Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, con-

forme o gráfico.

O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em quilô-

metros, presentes em qual(is) intervalo(s)?

a) De 20 a 100. b) De 80 a 130.

c) De 100 a 160. d) De 0 a 20 e de 100 a 160.

e) De 40 a 80 e de 130 a 160.

09. (ENEM) Um investidor inicia com x ações de uma

empresa. No decorrer desse dia, ele efetua apenas dois tipos de operações, comprar ou vender ações.

Para realizar essas operações, ele segue estes crité-rios:

I. vende metade das ações que possui, assim que

valor ficam acima do valor ideal (Vi); II. compra a mesma quantidade de ações que pos-

sui, assim que seu valor fica abaixo do valor mí-nimo (Vm);

III. vende todas as ações que possui, quando seu valor fica acima do valor ótimo (Vo).

O gráfico apresenta o período de operações e

a variação do valor de cada ação, em reais, no decor-rer daquele dia e a indicação dos valores ideal, míni-

mo e ótimo.

Quantas operações o investidor fez naquele dia?

a) 3

b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

Vo

Vi

Vm

Valor da ação (R$)

10 11 12 13 14 15 16 17 Tempo (hora)

0

2

4

6

8

10

2 3 4 6

Número de horas semanais

Número de turmas

Disponível em: www.sempretops.com. Acesso em: 7 ago. 2012.

20

40

60

80

100

120

140

160

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Valor da diária (R$)

Distância percorrida (km)

P

Q

Matemática

61

Doctor On

Jorge

10. (ENEM) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo

desde a Copa de 1930 até a de 2006.

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das

Copas do Mundo?

a) 6 gols b) 6,5 gols

c) 7 gols d) 7,3 gols

e) 8,5 gols

TESTES DE FIXAÇÃO 01. (ENEM) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º

PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que

mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.

Analisando os dados percentuais do gráfico,

qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias?

a) 75,28 b) 64,09

c) 56,95

d) 45,76 e) 30,07

02. (ENEM) Na tabela, são apresentados dados da

cotação mensal do ovo extra branco vendido no ata-cado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de

ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

De acordo com esses dados, o valor da medi-

ana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a

a) R$ 73,10. b) R$ 81,50.

c) R$ 82,00.

d) R$ 83,00. e) R$ 85,30.

Fonte: IBGE, 2002-2008 (adaptado).

Matemática 62

Doctor On

Jorge

03. (ENEM) As notas de um professor que participou

de um processo seletivo em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no

gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimen-

tos específicos da área de atuação e outra, aos conhe-

cimentos pedagógicos, que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atri-

buídas pela banca avaliadora.

Utilizando essa banca avaliadora resolveu des-

cartar a maior e menor nota atribuídas ao professor. A nova média em relação à média anterior, é

a) 0,25 ponto maior b) 1,00 ponto maior

c) 1,00 ponto menor

d) 1,25 ponto maior e) 2,00 pontos menor

04. (ENEM) O serviço de meteorologia de uma cida-

de emite relatórios diários com a previsão do tempo. De posse dessas informações, a prefeitura emite três

tipos de alertas para a população:

• Alerta cinza: deverá ser emitido sempre que a previsão do tempo estimar que a temperatura será

inferior a 10 °C, e a umidade relativa do ar for inferior a 40%;

• Alerta laranja: deverá ser emitido sempre que a

previsão do tempo estimar que a temperatura deve variar entre 35 °C e 40 °C, e a umidade relativa do ar

deve ficar abaixo de 30%; • Alerta vermelho: deverá ser emitido sempre que a

previsão do tempo estimar que a temperatura será

superior a 40 °C, e a umidade relativa do ar for inferior a 25%.

Um resumo da previsão do tempo nessa cidade, para

um periodo de 15 dias, foi apresentado no gráfico.

Decorridos os 15 dias de validade desse relatorio, um

funcionário percebeu que, no periodo a que se refere o gráfico, foram emitidos os seguintes alertas:

• Dia 1: alerta cinza;

• Dia 12: alerta laranja; • Dia 13: alerta vermelho.

Em qual(is) desses dias o(s) aviso(s) foi(ram)

emitido(s) corretamente? a) 1

b) 12

c) 1 e 12 d) 1 e 13

e) 1, 12 e 13

05. (ENEM) O cruzamento da quantidade de horas

estudadas com o desempenho no Programa Interna-cional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que

mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média.

Dos países com notas abaixo da média nesse exame aquele que apresenta maior quantidade de

horas de estudo é:

a) Finlândia b) Holanda

c) Israel d) México

e) Rússia

*Considerando as médias de cada país no exame de matemática.

Nova Escola, São Paulo, dez. 2010 (adaptado).

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

18

16 17

13 14

1

19

14

16

Avaliador A Avaliador B Avaliador C Avaliador D Avaliador E

12

Notas (em pontos)

Conhecimentos específicos

Conhecimentos pedagógicos

Matemática

63

Doctor On

Jorge

06. (ENEM) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g.

O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios:

O valor total gasto, em reais, para postar es-sas cartas é de

a) 8,35.

b) 12,50. c) 14,40.

d) 15,35. e) 18,05.

07. (ENEM) A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco mi-

croempresas (ME) que se encontram à venda.

Um investidor deseja comprar duas das empre-

sas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da

receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual.

As empresas que este investidor escolhe comprar são:

a) Balas W e Pizzaria Y. b) Chocolates X e Tecelagem Z.

c) Pizzaria Y e Alfinetes V.

d) Pizzaria Y e Chocolates X. e) Tecelagem Z e Alfinetes V.

08. (ENEM) Os candidatos K, L, M, N e P estão dis-putando uma única vaga de emprego em uma empre-

sa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas

pelos cinco candidatos.

Candidatos Português Matemática Direito Informática

K 33 33 33 34

L 32 39 33 34

M 35 35 36 34

N 24 37 40 35

P 36 16 26 41

Segundo o edital de seleção, o candidato

aprovado será aquele para o qual a mediana das no-tas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior.

O candidato aprovado será a) K.

b) L.

c) M. d) N.

e) P.

09. (ENEM) Um pesquisador está realizando várias séries de experimentos com alguns reagentes para

verificar qual o mais adequado para a produção de

um determinado produto. Cada série consiste em avaliar um dado reagente em cinco experimentos

diferentes. O pesquisador está especialmente interes-sado naquele reagente que apresentar a maior quan-

tidade dos resultados de seus experimentos acima da

média encontrada para aquele reagente. Após a reali-zação de cinco séries de experimentos, o pesquisador

encontrou os seguintes resultados:

Reagente

1 Reagente

2 Reagente

3 Reagente

4 Reagente

5

Experimento 1

1 0 2 2 1

Experimento 2

6 6 3 4 2

Experimento 3

6 7 8 7 9

Experimento 4

6 6 10 8 10

Experimento 5

11 5 11 12 11

Levando-se em consideração os experimentos

feitos, o reagente que atende às expectativas do pes-quisador é o

a) 1. b) 2.

c) 3. d) 4.

e) 5.

Disponível em: www.cprreios.com.br.Acesso em: 2 ago.2012(adaptado).

Matemática 64

Doctor On

Jorge

10. (ENEM) Uma loja que vende sapatos recebeu

diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos

da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com o intuito

de reclamar com o fabricante.

A tabela contém a média, a mediana e a mo-da desses dados anotados pelos donos.

Estatística sobre as numerações dos

sapatos com defeito

Média Mediana Moda

Numerações dos

sapatos com defeito 36 37 38

Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor

preta pelo número 1. Sabe-se que a média da distri-

buição desses zeros e uns é igual a 0,45. Os donos da loja decidiram que a numeração dos

sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais

vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor

dos sapatos, explicando que não serão mais enco-mendados os sapatos de cor

a) branca e os de número 38. b) branca e os de número 37.

c) branca e os de número 36. d) preta e os de número 38.

e) preta e os de número 37.

11. (ENEM) Um cientista trabalha com as espécies I

e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicial-

mente, existem 350 bactérias da espécie I e 1250 bactérias da espécie II. O gráfico representa as quan-

tidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana.

Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima?

a) Terça-feira. b) Quarta-feira.

c) Quinta-feira. d) Sexta-feira.

e) Domingo.

12. (ENEM) O quadro seguinte mostra o desempe-

nho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marca-

dos e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Gols marcados Quantidade de partidas

0 5

1 3

2 4

3 3

4 2

5 2

7 1

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a

mediana e a moda desta distribuição, então

a) X = Y < Z. b) Z < X = Y.

c) Y < Z < X. d) Z < X < Y.

e) Z < Y < X.

13. (ENEM) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os

valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da

diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00;

B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as áreas representam as quantidades de ho-

téis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária.

O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é

a) 300,00. b) 345,00.

c) 350,00. d) 375,00.

e) 400,00.

25 %

25 %

40 %

10 %

C

B

A

D

Matemática

65

Doctor On

Jorge

14. (ENEM) Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olimpíada, os atletas,

em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos:

Raia 1 2 3 4 5 6 7 8

Tempo (segundos)

20,90 20,90 20,50 20,80 20,60 20,60 20,90 20,96

A mediana dos tempos apresentados no qua-

dro é a) 20,70.

b) 20,77. c) 20,80.

d) 20,85.

e) 20,90.

15. (ENEM) Uma pesquisa de mercado foi realizada

entre os consumidores das classes sociais A, B, C e D que costumam participar de promoções tipo sorteio ou

concurso. Os dados comparativos, expressos no gráfi-co, revelam a participação desses consumidores em

cinco categorias: via Correios (juntando embalagens ou

recortando códigos de barra), via internet (cadastran-do-se no site da empresa/marca promotora), via mídias

sociais (redes sociais), via SMS (mensagem por celular) ou via rádio/TV.

Uma empresa vai lançar uma promoção utili-

zando apenas uma categoria nas classes A e B (A/B) e uma categoria nas classes C e D (C/D).

De acordo com o resultado da pesquisa, para

atingir o maior número de consumidores das classes A/B e C/D, a empresa deve realizar a promoção, res-

pectivamente, via a) Correios e SMS.

b) internet e Correios.

c) internet e internet. d) internet e mídias sociais.

e) rádio/TV e rádio/TV.

16. (ENEM) Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada

candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece à ordem decrescente das pontua-

ções finais. O critério de desempate baseia-se na maior

pontuação na quinta etapa.

Candidato Média nas quatro primeiras etapas

Pontuação na quinta etapa

A 90 60

B 85 85

C 80 95

D 60 90

E 60 100

A ordem de classificação final desse concurso é a) A, B, C, E, D.

b) B, A, C, E, D.

c) C, B, E, A, D. d) C, B, E, D, A.

e) E, C, D, B, A.

17. (ENEM) O polímero de PET (Politereftalato de

Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre

elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cor-

das. Os gráficos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET reci-

clado foi de 282 kton (quilotoneladas).

De acordo com os gráficos, a quantidade de

embalagens PET recicladas destinadas à produção de tecidos e malhas, em kton, é mais aproximada de

a) 16,0.

b) 22,9. c) 32,0.

d) 84,6. e) 106,6.

Participação em promoções do tipo sorteio

ou concurso em uma região

0

5

10

15

20

25

30

35 Correios

A/B

40

45

Mídias sociais

Internet

SMS

Rádio/TV

C/D

Percentual

28

34

40 37

35

28

33

24 20

30

Matemática 66

Doctor On

Jorge

18. (ENEM) Ao final de uma competição de ciências em

uma escola, restaram apenas três candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver

a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, res-

pectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são

sempre números inteiros. Por questão médicas, o candi-dato II ainda não fez a prova final de química. No dia

em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão divul-

gadas. O quadro apresenta as notas obtidas pelos fina-listas nas provas finais.

Candidato Química Física

I 20 23

II X 25

III 21 18

A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é

a) 18.

b) 19. c) 22.

d) 25. e) 26.

19. (ENEM) Suponha que a etapa final de uma gin-

cana escolar consista em um desafio de conhecimen-

tos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria

dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a

vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, se-

guida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e

última colocação, não pôde comparecer, tendo rece-bido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10

alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.

Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse

comparecido, essa equipe a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.

b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.

d) permaneceria na terceira posição, independente-

mente da nota obtida pelo aluno. e) empataria com a equipe Ômega na primeira colo-

cação se o aluno obtivesse nota 9.

20. (ENEM – 2016) O procedimento de perda rápida

de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas

da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram

três “pesagens” antes do inicio do torneio. Pelo regu-

lamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto

aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.

A

t

l e

t a

1ª

p e s a g e m

(kg)

2ª

p e s a g e m

(kg)

3ª

p e s a g e m

(kg)

M é d i a

M e d i a n a

D e s v i o

p a d r ã o

I 78 72 66 72 72 4,90

II 83 65 65 71 65 8,49

III 75 70 65 70 70 4,08

IV 80 77 62 73 77 7,87

Apos as três “pesagens, os organizadores do

torneio informaram aos atletas quais deles se enfren-tariam na primeira luta.

A primeira luta foi entre os atletas a) I e III.

b) I e IV.

c) II e III. d) II e IV.

e) III e IV.

01 C 06 D 11 A 16 B

02 D 07 D 12 E 17 C

03 B 08 D 13 C 18 A

04 A 09 B 14 D 19 D

05 C 10 A 15 B 20 C

Gabarito