Universidade Tecnológica Federal do ParanáEquações Diferenciais Ordinárias

Profa.: Patrícia Massae KitaniI Lista de Exercícios

1) Resolver as equações diferenciais separáveis abaixo:

a)dy

dx= cos7x

b) dx+ e3xdy = 0

c)dx

dy=

x2y2

1 + x

d) e2xdy

dx= 2x

e) (y − yx2)dy

dx= (y + 1)2

f)dy

dx=

xy + 3x− y − 3

xy − 2x+ 4y − 8

g)dy

dx=

2x

y + x2y

h)dy

dx=

xy3√1 + x2

2) Resolver as equações diferenciais separáveis sujeitas às condições iniciais indicadas:

a)dy

dx+ xy = y, y(3) = 1;

b) ydy = 4x√y2 + 1dx, y(0) = 1

c) x2dy

dx= y − xy, y(−1) = −1;

d)dy

dx=

3x2 − ex

2y − 5, y(0) = 1;

3) Resolver as equações homogêneas abaixo:

a) xdx+ (y − 2x)dy = 0

b) (y2 + yx)dx− x2dy = 0

c)dy

dx=

x+ 3y

3x+ y

d) xdy

dx− y =

√x2 + y2

e) (x2e−y/x + y2)dx = xydy

f) (x2 + xy − y2)dx− xydy = 0

4) Resolver a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:

a) xy2dy

dx= y3 − x3, y(1) = 2;

b) 2x2dy

dx= 3xy + y2, y(1) = −2;

c) (x+ yey/x)dx− xey/xdy = 0, y(1) = 0;

d) y2dx+ (x2 + xy + y2)dy = 0, y(0) = 1.

5) Em cada um dos problemas abaixo, verifique que a equação diferencial dada é exata e então resolva-a:

1

a) (2x+ 3y)dx+ (3x+ 2y)dy = 0;

b) (3x2 + 2y2)dx+ (4xy + 6y2)dy = 0;

c) (x3 +y

x)dx+ (y2 + lnx)dy = 0;

d) (cosx+ lny)dx+ (x

y+ ey)dy = 0;

e) xdy

dx= 2xex − y + 6x2;

f) (x2y3 − 1

1 + 9x2)dx

dy+ x3y2 = 0.

6) Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata:

a) (y3+kxy4−2x)dx+(3xy2+20x2y3)dy = 0;

b) (2xy2 + yex)dx+ (2x2y + kex − 1)dy = 0;

c) (2x − ysen(xy) + ky4)dx − (20xy3 +xsen(xy))dy = 0;

d) (6xy3 + cosy)dx+ (kx2y2− xsen(y))dy = 0.

Respostas:

1a) y =1

7sen(7x) + c;

1b) y =1

3e−3x + c;

1c) −3 + 3xln|x| = xy3 + cx;

1d) y = −xe−2x − e−2x

2;

1e) (y + 1)−1 + ln|y + 1| = 1

2ln|x+ 1|x− 1

+ c

1f) y − 5ln|y + 3| = x− 5ln|x+ 4|+ c

1g) y2 = 2ln|1 + x2|+ c;

1h) − 1

2y2=√1 + x2 + c

2a) y = ex−x2

2+ 3

2 ou lny = x− x2

2 + 32

2b)√

y2 + 1 = 2x2 +√2

2c) xy = e−(1+ 1x)

2d) y2 − 5y = x3 − ex − 3

3a) (x− y)ln|x− y| = x+ c(x− y)

3b) x+ yln|x| = cy

3c) ln|x| = 3

2ln|x+y

x−y | −1

2ln|1− x2

y2|+ c

3d) ln|x| = ln| yx +√

y2

x2 + 1|+ c

3e) ln|x| = yx · e

y/x − ey/x + c

3f) y + x = cx2ey/x

4a) y3 + 3x3ln|x| = 8x3;

4b) y2 = 4x(x+ y)2;

4c) ln|x| = ey/x − 1;

4d) (x+ y)ln|y|+ x = 0

5a) x2 + 3xy + y2 = c;

5b) x3 + 2xy2 + 2y3 = c;

5c) 3x4 + 4y3 + 12ylnx = c;

5d) senx+ xlny + ey = c;

5e) xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c;

5f) x3y3 − arctg(3x) = c.

6a) k = 10;

6b) k = 1;

6c) k = −5;

6d) k = 9.

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