ae's

i),e

n­ra.doIe­rra) ese

moaleenta

enteadaa dei-las,Le deas da

iilon.as semen­.enciatoque

Q2i.3 A forca eletrica entre duas partfculas carregadas torna-sefraca quando a distancia aumenta. Suponha que, em vez disso, aforca eletrica fosse independente da distancia. Nesse caso, urnpente carregado ainda poderia produzir uma polarizacao de urnisolante neutro como indicado na Figura 21.8? Por que? 0 isolanteneutro ainda seria atrafdo pelo pente? Novamente, por que?Q21.4 Suas roupas tendem a se aglutinar depois que passam pelasecadora. Por que? Voce espera que, na seeagem, a aglutinacao,supondo 0 mesmo material para todas as roup as (digamos, algo­dao), seja maior ou menor do que no caso de roupas feitas commateriais diferentes? Por que? (Talvez voce queira fazer a expe­riencia na proxima vez em que lavar roupa.)Q2.1.5 Uma esfera metalicadescarregada estasuspensa por urn fio denailon. Quando urn bastao de vidro carregado positivamente e colo­cado proximo da esfera, ela e atrafdae se move em direcaoao bastao,Porern, se a esfera toea 0 bastao, ela repentinamente se afasta dele.Explique por que ela e inicialmente atraida e a seguir repelida.Q21.6 OS eletrons livres de urn metal sao atraidos pela forca de gravi­dade da Terra. Entao, por que eles nao se acumulam na base de urncoudutor, tal como a sedimentacao de partfculas no fundo de urn rio?Q2i.1 Alguns eletrons livres em urn born condutor (tal como urnpedaco de cobre) podem se mover com velocidades da ordem de106 mls. Entao, por que esses eletrons nao saem do condutor?Q2i.8 Bons condutores eletricos, como os metais, sao, em geral,tambem bons condutores de calor; isolantes eletricos, como amadeira, sao maus condutores de calor. Explique a razao pela qualdeveria existir uma relacao entre a conducao eletrica e a conducaotermica desses materiais.Qlt9 Discuta a seguinte afirmacao: "Se no universo inteiro exis­tisse somente uma partfcula com carga eletrica, 0 conceito de cargaeletrica nao serviria para nada".Q2tlli Dois objetos rnetalicos identicos sao montados sobre suportesisolantes. Descreva como voce poderia introduzir em tais objetos car­gas com sinais contraries, poremcom modulesexatamente iguais.Q2Ul Uma pelfcula de plastico pode ser usada para cobrir urnrecipiente com alimentos, esticando-se a pelfcula sobre 0 topo dorecipiente e pressionando-se a pelfcula excedente contra as parteslaterais do recipiente. 0 que faz a pelfculaaderir? (Diea: A respos­ta envolve a forca eletrica.) A pelfcula adere a ela mesma com amesma intensidade? Por que? Esse metoda funciona para urn reci­piente metalico? Por que?Q2U2 Quando voce caminha sobre urn tapete de nailone a seguir toeaurn objeto metalicogrande, tal como urna rnacaneta, pode oconer umafafsca e voce sentira urn choque. Por que em urn dia seco existe maiorprobabilidade de isso ocorrer do que em urn dia umido? (Dica: veja aFigura 21.31.) Por que quando voce toea urn objeto pequeno, comourn clipe de papel, a probabilidade de choque e menor?Q2U3 Voce tern urn objeto com carga negativa. Como voce podeusa-lo para colocar carga negativa em uma esfera metalica isolan­te? E para colocar carga positiva na esfera?Q21.14 Quando duas cargas puntiformes de igual massa e cargasao libertadas sobre uma mesa com atrito desprezfvel, cada qualpossui uma aceleracao inicial ao. Se, em vez disso, voce mantiveruma fixa e libertar a outra, qual sera a aceleracao inicial: ao, 2aoou arJ2? Explique.Q1J.l5 Uma carga puntifonne com massa m e carga Q e outracarga puntifonne com massa m, porem com carga 2Q, sao Iiber­tadas sobre uma mesa com atrito desprezivel, Caso a carga Qtenha uma aceleracao inicial ao, qual sera a aceleracao de 2Q: ao,2ao, 4ao, arJ2 ou arJ4? Explique.

Capitulo 21 Carga eletrica e campo eletrico 31

Q2U6 Urn proton e colocado em urn campo eletrico unifonne edepois libertado. A seguir urn eletron e colocado nesse mesmoponto e libertado. Essas duas partfculas sofrem a mesma forca? Ea mesma aceleracao? Elas se movem na mesma direcao e sentidoquando libertadas?

Q2i.17 No Exemplo 21.1 (Sec;:ao 21.3), vimos que a forca eletricaentre duas partfculas a e da ordem de 1035 vezes mais forte que aforca gravitacional. Entao por que facilmente sentimos a gravidadeda Terra, mas nenhuma forca eletrica que dela emana?Q2U3 Que semelhancas existem entre uma forca eletrica e umaforca gravitacional? Quais sao as diferencas mais relevantes entreessas forcas?Q21.l9 A uma distancia R de uma carga puntifonne 0 campo eletri­co e Eo. A qual distancia (em tennos de R) da carga puntifonne 0

campo eletrico seria tEo?Q21.2llUrn micleo e constitufdo por protons e neutrons. Isso mostraque, alern da forca eletrica e da forca gravitacional, deve existiroutro tipo de interacao, Explique.Q21.21 Urn campo eletrico suficientemente forte pode fazer urnatomo se tomar urn ion positivo, isto e, fazer com que ele perca urnou mais eletrons, Explique como isso pode ocorrer. 0 que determi­na a intensidade minima capaz de produzir esse efeito?Q21.22 OS campos eletricos no ponto P produzidos pelas cargaspositivas ql e q2 sao mostrados na Figura 21.35. 0 fato de elas secruzarem viola a afirmacao feita na Sec;:ao 21.6 de que os camposeletricos nunca se cruzam? Explique.

E2 E 1

VqllJi) IJi)q2

Figura 21.35 Ouestao 21.22.

Q2t23 A temperatura e a velocidade do ar possuem valores dife­rentes em diferentes pontos da atmosfera terrestre. A velocidade doar e uma grandeza vetorial? Por que? A temperatura do ar e umagrandeza vetorial? Por que?

Exercicios

Secao 21.3 Lei de Coulomb21.1 Uma pequena esfera de chumbo de massa igual a 8,0 g possuiexcesso de eletrons com uma carga lfquida igual a -3,20 X 10-9 C.(a) Calcule 0 mimero de eletrons em excesso sobre a esfera. (b)

Quantos eletrons em excesso existem por atomo de chumbo? 0mimero atomico do chumbo e igual a 82 e sua massa atomica e 207g/mol.11.2 Urn raio ocorre quando existe fluxo de cargas eletricas (princi­palmente eletrons) entre 0 solo e uma nuvem de tempestade. A taxamaxima do fluxo de cargas eletricas em um raio e aproximadamen­te igual a 20000 Cis; essa descarga dura cerca de 100 MS. Qual e aquantidade de carga que flui entre a terra e a nuvem nesse interva­10 de tempo? Quantos eletrons flufram durante esse intervalo?21.3 Estime 0 mimerode eletrons existentes em seu corpo. Levantetodas as hipoteses que voce julgar relevantes, porem enuncie clara­mente cada uma delas. (Dica: Quase todos os atomos do seu corpopossuem iguais quantidades de eletrons, protons e neutrons.) Quale a carga total correspondente ao mimero calculado?

Figura 21.36 Exercfcio 21.24.

32 FfslCA III

21.4 Particulas em urnauel de ouro.Voce possui um anel de ouropuro (24 quilates) com mass a igual a 17,7 g. A massa atomica doouro e igual a 197 g/mol e seu mimero atomico 6 79. (a) Quantosprotons existem no anel equal e a carga total positiva correspon­dente? (b) Sabendo que 0 anel nao tem nenhuma carga lfquida,quantos eletrons ele possui?2'1.5 Urn ser humano medic pesa cerca de 650 N. Se dois seresassim carregassem, cada qual, 1,0 coulomb de excesso de carga,urn positivo e outro negativo, qual deve ser a distancia entre elespara que a atracao eletrica seja igual aos seus pesos de 650 N?2Ui Duas pequenas esferas separadas por uma distancia igual a20,0 em possuem cargas iguais. Quantos eletrons em excessodevem estar presentes em cada esfera para que 0 modulo da forcade repulsao entre elas seja igual a 4,57 X 1O-Z1N?21.1Duas pequenas esferas de plastico possuem cargas eletricas posi­tivas. Quando estao separadas por uma distancia igual a 15,0 em, aforca de repulsao entre elas possui modulo igual a 0,220 N. Qual seraa carga de cada esfera (a) se as cargas das esferas forem iguais?(b) Se a carga de uma esfera for 0 quadruple da carga da outra esfera?21.8 Duas pequenas esferas de alumfnio, cada qual com massaigual a 0,0250 kg, estao separadas por uma distancia de 80,0 em.(a) Quantos eletrons estao presentes em cada esfera? (0 mimeroat6mico do alumfnio e 13 e sua massa atomica e 26,982 g/mol.)(b) Quantos eletrons devem ser removidos de uma esfera e adicio­nados na outra para que 0 modulo da forca de atracao entre elasseja igual a 1,00 X 104 N (aproximadamente igual ao peso de umatonelada)? Suponha que as esferas possam ser tratadas como cargaspuntiformes. (c) A que fracao da carga total de cada esfera essaquantidade corresponde?21.9 Duas esferas muito pequenas, de 8,55 g, estao a uma distanciade 15,0 em de um centro a outroe sao carregadas adicionando-seum mimero igual de eletrons a cada uma delas. Desconsiderando­se todas as dernais forcas, quantos eletrons teriam de ser adiciona­dos a cada esfera para que ambas acelerem a 25,Og quando foremlibertadas? Para que lado elas van acelerar?lUll (a) Supondo somente a atuacao da forca da gravidade, qualdeveria ser a distancia entre urn eletron e um proton para que a suaaceleracao seja a mesma de urn objeto em queda livre na superffcieterrestre? (b) Suponha que a Terra seja composta somente de protons,mantendo 0 mesmo tamanho e massa atuais. Qual seria a aceleracaode urn eletron libertado na superffcie? E necessario considerar aatracao gravitacional bern como a forca eletrica? Por que?21.H Em uma experiencia no espaco, urn proton e mantido fixo eoutro proton e libertado do repouso a uma distancia de 2,50 rom. (a)Qual e a aceleracao inicial do proton apos ser libertado? (b) Facagraficos qualitativos (sem mimerosl) de aceleracao versus tempo evelocidade versus tempo do movimento do proton libertado.2U2 Uma carga negativa de - 0,550 MC exerce uma forca de baixopara cima de 0,200 N sobre uma carga desconhecida, situada a 0,300m diretamente abaixo da primeira. (a) Qual e a carga desconhecida(modulo e sinal)? (b) Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido daforca que a carga desconhecida exerce sobre a carga de - 0,550 Me.1U3 Tres cargas puntiforrnes estao dispostas em linha reta. A cargaq3 = +5,0 nC esta na origem. A carga qz = - 3,0 nC esta em x =+ 4,0 em. A carga qj esta em x = +2,0 em. Determine qj (modulo esinal), quando a forca resultante sobre q3 for igual a zero.21.14 No Exemplo 21.4, suponha que a carga puntiforrne sobre 0

eixo Oy na posicao y = -0,30 m possua uma carga negativa igual a-2,0 MC, mantendo a outra carga inalterada, Determine 0 modulo,a direcao e 0 sentido da forca resultante sobre a carga Q. Quais sao

as diferencas entre sua resposta e a resposta encontrada no Exemplo21.3? Explique as diferencas.ltl5 No Exemplo 21.3, calcule a forca resultante sobre a carga qj.21.16 No Exemplo 21.4, determine a forca resultante (modulo, dire­\;ao e sentido) sobre a carga ql exercida pelas outras duas cargas.lUi Tres cargas puntiforrnes estao dispostas ao longo do eixo x. A

carga qj =+3,0 MC esta na origem e a carga q2 =-5,0 MC esta emx = 0,200 m. A carga q3 = - 8,0 Me. Onde q3 estara localizadoquando a forca resultante sobre qj for 7,0 N no sentido -x?2LlS Repita 0 Exercfcio 21.17 para q3 =+8,0 Me.lU9 Duas cargas puntiforrnes estao localizadas sobre 0 eixo Oy doseguinte modo: a carga qj = -1,50 nC no ponto y = - 0,600 m; e acarga qz = +3,20 nC na origem (y = 0). Qual e a forca resultante(modulo, direcao e sentido) que essas duas cargas exercem sobre umaterceira carga q3 =+5,0 nC, localizada no ponto y =- 0,400 m?21.20 Duas cargas puntiformes sao colocadas sobre 0 eixo Ox doseguinte modo: a carga ql = + 4,0 nC esta localizada no pontox = 0,200 mea carga qz= + 5,0 nC, na origem x = - 0,300 rn. Quale 0 modulo, a direcao e 0 sentido da forca resultante que essas duascargas exercem sobre uma terceira carga puntiforrne negativaq3 = - 6,0 nC, localizada na origem?21.21 Uma carga puntiforrne positiva q esta localizada sobre 0 eixoOy no ponto y = a e uma carga puntiforrne negativa - q esta localiza­da sobre 0 eixo - Oy no ponto y = -G. Uma carga puntiforrne negati­va - Q esta localizada em algum ponto sobre 0 eixo +Ox. (a) Facaurn diagrama do corpo livre mostrando as forcas que atuam sobre acarga - Q. (b) Determine os componentes x e y da forca resultante daa\;ao das cargas q e - q sobre - Q. (Sua resposta deve envolversomente k, q, Q, a e a coordenada x da terceira carga.) (c) Qual e aforca resultante sobre a carga - Qquando ela esta na origem (x =O)?(d) Faca um grafico do componente y da forca resultante sobre - Qem fun\;ao de x para valores de x compreendidos entre - 4a e +4a.21.22Duas cargas puntiforrnes positivas q estao localizadas sobre 0

eixo Oy sobre os pontos y =a e y =- a. Uma carga puntiforrne nega­tiva- Q esta localizada em algumponto sobre 0 eixo Ox. (a) Faca urndiagrama do corpo livre mostrando as forcas que atuam sobre a carga- Q. (b) Encontre os componentes x e y da forca resultante da a\;aodas cargas q e - q sobre - Q. (Sua resposta deve envolver somente k,q, Q, a e a coordenada x da terceira carga.) (c) Qual e a forca resul­tante sobre a carga - Qquando ela esta na origem (x = O)? (d) Facaurn grafico do componente x da forca resultante sobre - Q em fun\;aode x para valores de x compreendidos entre - 4a e +4a.2t23 Quatro cargas identicas Q sao colocadas nos vertices de urnquadrado de lado igual a L. (a) Faca um diagrama do corpo livremostrando todas as forcas que atuam sobre uma das cargas.(b) Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido da forca resultanteexercida pelas outras tres cargas sobre a carga considerada,21.24 Duas cargas, uma de 2,50 MC e outra de -3,50 MC, sao colo­cadas no eixo x, uma na origem e outra em x =0,600 m, comoindica a Figura 21.36. Determine a posicao sobre 0 eixo x em quea forca resultante sobre a pequena carga +q sera igual a zero.

+2,50/loC -3,50/loC

-------IIf).-.---iE.}-- x (m)

o 0,600 m

Secao 21.4 Campo eletrico e forcas eletricas21.25 Um proton e colocado em urn campo eletrico uniforrne de2,75 X 103 N/e. Calcule: (a) 0 modulo da forca eletrica sofrida

a

pelo proton; (b) a aceleracao do proton; (c) a velocidade escalar doproton apos 1,0 fJ,S no campo, supondo que ele parta do repouso.21.26 Uma partfcula possui carga igual a -3,0 nCo (a) Determine 0

modulo, a direcao e 0 sentido do campo eletrico produzido par essapartfcula em urn ponte situado a 0,250 m diretamente acirna dela.(b) A que distancia dessa partfcula 0 campo eletrico possui moduloigual a 12,0 N/C?2t21 Urn proton se desloca horizontalmente da esquerda para adireita a 4,50 X 106 mls. (a) Determine 0 modulo, a direcao e 0

sentido do campo eletrico mais fraco capaz de trazer 0 proton uni­formemente para 0 repouso, pOl' uma distancia de 3,20 em.(b) Quanto tempo 0 proton leva para parar apos entrar no campo?(c) Qual e 0 campo minima (modulo, direcao e sentido) necessariopara parar urn eletron sob as condicoes descritas no item (a)?21.23 Urn eletron e libertado do repouso em urn campo eletricouniforme. 0 eletron acelera verticalmente de baixo para cima,percorrendo 4,50 m nos primeiros 3,0 fJ,s apos ser libertado.(a) Quais sao 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campo eletrico?(b) Ha justificativa em se desprezar os efeitos da gravidade?Justifique sua resposta em termos quantitativos.2},29 (a) Qual deve ser a carga (sinal e modulo) de uma partfculacom 1,45 g para que ela petmane9a em repouso quando colocadaem urn campo eletrico orientado de cima para baixo cujo modulo eigual a 650 N/C? (b) Qual deve ser 0 modulo de urn campo eletricopara que a forca eletrica exercida sobre urn proton seja igual aomodulo do seu peso?21.30 (a) Qual e 0 campo eletrico de urn micleo de ferro a umadistancia igual a 6,00 X lO-lOm do micleo? 0 mimero atomico doferro e igual a 26. Suponha que 0 micleo possa ser considerado umacarga puntiforme. (b) Qual e 0 modulo do campo eletrico de urnproton a uma distancia igual a 5,29 X 10-11 m do proton? (Essadistancia e igual ao raio da orbita do eletron no modele de Bohrpara 0 estado fundamental do atomo de hidrogenio.)21.31 A distancia entre duas cargas puntiformes e de 25,0 em(Figura 21.37). Determine 0 campo eletrico lfquido que essas car­gas produzem (a) no ponto A e (b) no ponto B. (c) Quais seriam 0

modulo, a direcao e 0 sentido da forca eletrica que esse conjunto decargas produziria sobre urn proton no ponto A?

B -6,25 nC A -12~5 nC

--~~o~o-~t-----2~,::yl~~~:r--Figura 21.37 Exerdcio 21.31.

21.32 Campo eletrico da Terra. A Terra possui uma carga eletricalfquida que produz urn campo eletrico orientado para 0 centro daTerra com modulo de 150 N/C em pontos proximos de sua super­ffcie, (a) Qual seria 0 modulo e 0 sinal da carga liquida que umapes soa de 60,0 kg deveria possuir para que seu peso fosse igual econtrario 11 forca produzida pelo campo eletrico da Terra? (b) Qualdeveria sera forca de repulsao entre duas pessoas que tivessem acarga calculada no item (a) quando a distancia entre elas fosse iguala 100 m? 0 uso do campo eletrico da Terra poderia fomecer algummetoda factfvel para voar? POl' que?11.33 Urn eletron e projetado com velocidade inicial Va =1,60 X106 mls para dentro do campo eletrico uniforrne entre as placasparalelas indicadas na Figura 21.38. Suponha que 0 campo sejauniforme e orientado verticalmente para baixo e considere iguala zero 0 campo eletrico fora das placas. 0 eletron entra no campo

Capitulo 21 Carga eletrica e campo eletrico 33

em urn ponto intermediario entre as placas. (a) Sabendo que 0

eletron tangencia a placa superior quando ele sai do campo, cal­cule 0 modulo do campo eletrico, (b) Suponha que na Figura21.38 0 eletron seja substitufdo par urn proton com a mesmavelocidade inicial Va. 0 proton colide com uma das placas? Se 0

proton nao colide com nenhuma placa, qual deve ser 0 modulo, adirecao e 0 sentido do seu deslocamento vertical quando ele saida regiao entre as placas? (c) Compare as trajetorias seguidaspelo eletron e pelo proton e explique as diferencas, (d) Analise see razoavel desprezar os efeitos da gravidade para cada partfcula,

~l<E-ffiE:~Oem~~#10= ':',,-y-

~., E

Figura 21.38 Exerdcio 21.33,

21.34 A carga puntiforme ql = -5,0 nC esta na origem e a cargapuntiforme qz= +3,0 nC esta no eixo x em x = 3,0 em. 0 ponto Pesta no eixo y emy = 4,0 em. (a) Calcule os campos eletricos El eEz no ponto P produzidos pelas cargas ql e qz.Expresse os resul­tados em termos das unidades de vetores (Exemplo 21.6). (b) Useos resultados do item (a) para obter 0 campo resultante em P,expresso em unidade de vetor.21.::15 No Exercfcio 21.33, qual e a velocidade escalar do eletronquando ele emerge do campo?21.36 (a) Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido (em relacaoao eixo +Ox) do campo eletrico do Exemplo 21.6. (b) Uma cargapuntiforme de -2,5 nC e colocada no ponto P da Figura 21.19.Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido (i) da forca que umacarga de - 8,0 nC situada na origem exerce sobre essa carga e (ii)da forca que essa carga exerce sobre a carga de - 8,0 nC situadana origem.11.37 (a) Para 0 eletron dos exemplos 21.7 e 21.8, compare 0 pesodo eletron com 0 modulo da forca eletrica sobre 0 eletron, Eapro­priado desprezar a forca gravitacional sobre 0 eletron nesses exem­plos? Explique. (b) Uma partfcula com carga +e e colocada emrepouso entre as placas carregadas na Figura 21.20. Qual deve sera massa dessa partfcula para que ela permaneca em repouso?Fomeca a resposta em quilogramas e em rmiltiplos da massa doeletron, (c) A resposta da parte (a) depende do local entre as placasno qual a particula foi colocada? POl' que?2t38 Ha urn campo eletrico uniforme na regiao entre duas placasplanas paralelas com cargas de sinais contraries. Urn proton e libe­rado do repouso na superffcie da placa com carga positiva e, depoisde urn intervalo de tempo igual a 1,50 X 10-6 s, ele colide sobre asuperffcie da placa oposta, que esta a uma distancia de 1,60 em daprimeira. (a) Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campoeletrico, (b) Calcule 0 modulo da velocidade do proton quando eleatinge a placa com carga negativa.21.39 Uma carga puntiforme esta na origem. Considerando a cargauma fonte puntiforme, qual e 0 vetor unitario r para urn ponto docampo situado em (a) x =0, y =-1,35 m; (b) x =12,0 em, y =12,0em; (c) x = -1,10 m, y = 2,6 m? Expresse os resultados em termosdos vetares unitarios f e j.2UO Uma carga puntiforme +8,75 fJ,C esta colada em uma mesahorizontal com atrito desprezfveL Ela esta atada a uma cargapuntiforme de - 6,50 fJ,C pOl'urn fio leve, nao condutor, de 2,50em. Urn campo eletrico uniforme de modulo 1,85 X 108 N/C estadirecionado paralelamente ao fio, como indica a Figura 21.39.(a) Determine a tensao no fio. (b) Qual seria a tensao, se ambasas cargas fossem negativas?

34 FfslCA III

E.............I*--2,50 em----;;.J

(3 ~-6,50 jLC 8,75 jLC

Figura 21.39 Exerdcio 21.40..

21.41 (a) Urn eletron se desloca no sentido do leste para 0 oeste emurn campo eletrico unifonne de 1,50 N/C, que aponta do oeste parao leste. No ponto A, a velocidade do eletron e4,50 X 105 mls nosentido do oeste para 0 leste. Qual ea velocidade escalar do eletronquando ele atinge 0 ponto E, que esta a 0,375 m a leste do pontoA? (b) Urn proton se desloca no campo eletrico unifonne do item(a). No ponto A, avelocidade do proton e 1,90 X 104 mis, paraleste. Qual ea velocidade escalar do proton no ponto E?21,42 Campo eletrico no micleo, A distancia entre os protons nomicleo e da ordem de 10-15 m (1 fm). (a) Qual e 0 modulo docampo eletrico produzido por urn proton a uma distancia de 1,50fm dele? (b) Como esse campo se compara em tennos de moduloao campo do Exemplo 21.77

Secao 21.5 Deterrninacao do campo eletrico21.43 Duas cargas puntiformes q sao colocadas sobre 0 eixo Ox, umano ponto x =a e outra no ponto x =- a. (a) Determine 0 modulo, adirecao e 0 sentido do campo eletrico no ponto x = O. (b) Deduza umaexpressao para 0 campo eletrico em qualquer ponto sobre 0 eixo Ox.Use seu resultado para fazer urn grafico do campo eletrico em funcaode x para valores de x compreendidos entre - 4a e +4a.21.44 Duas partfculas cujas cargas sao qj = 0,500 nC e q2 = 8,0 nCestao separadas por uma distancia de 1,2 m. Em que ponto entre ascargas 0 campo eletrico resultante das duas cargas eigual a zero?21.45 Uma carga puntifonne igual a +2,0 nC esta na origem e umasegunda carga puntifonne igual a - 5,0 nC encontra-se sobre 0 eixoOx, no ponto x = 0,800 m. (a) Determine 0 modulo, a direcao e 0

sentido do campo eletrico nos seguintes pontos sobre 0 eixo Ox:(i) x = 0,200 m; (ii) x = 1,20 m; (iii) x = - 0,200 m. (b) Calcule aforca eletrica resultante que essas duas cargas exerceriam sobre urneletron situado em cada urn dos pontos mencionados no item (a).21.46 Repita 0 Exercicio 21.44, considerando ql =- 4,0 nCo21.47 Tres cargas puntifonnes negativas estao posicionadas aolange de uma linha, como indica a Figura 21.40. Determine 0

modulo, a direcao e 0 sentido do campo eletrico que esse conjuntode cargas produz no ponto P, que esta a 6,0 em da carga -2,0 j.LC,medida perpendicularmente alinha que conecta as tres cargas.

I

Ty-5,OjLC

8'Hoem~ep,-2,OjLCI

8,0 em I

~-5,OjLCI

Figura 21.40 Exercfcio 21.47.

21.48 Uma carga puntifonne positiva q ecolocada no ponto x = ae outra carga puntifonne negativa - q ecolocada no ponto x = - a.

(a) Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campo eletrico noponto x = O. (b) Deduza uma expressao para 0 campo eletrico emqualquer ponto sobre 0 eixo Ox. Use seu resultado para fazerumgrafico do campo eletrico em funcao de x para valores de x com­preendidos entre - 4a e + 4a.2149Em UIll sistema de coordenadas ortogonais, uma cargapuntifonnepositiva q = 6,0 X 10-9 C ecolocada no ponto x = +0,150 m, y" = 0; eoutra carga identicaecolocada no ponto x = - 0,150 m, y =O. Estabelecaos componentes x e y, bern como 0 modulo, a direcao e 0 sentido docampo eletrico nos seguintes pontos: (a) a origem; (b) x = 0,300 m,y = 0; (c)x= 0,150 m,y =-0,400 m; (d)x= O,y = 0,200 m.2i.50 Uma carga puntifonne qj = - 4,0 nC esta no ponto x = 0,600 m,y = 0,800 m; e outra carga puntiforme q2 = + 6,0 nC esta no pontox = 0,600 m, y = O. Calcule 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campoeletrico na origem produzido por essas duas cargas.21.51 Repita 0 Exercicio 21.49 supondo que a carga situada noponto x = + 0,150 m, y = 0 seja positiva e que a outra carga sejanegativa, cada qual com modulo 6,00 X 10-9 C.21.52 Urn fio retilineo muito lange possui carga por unidade decomprimento igual a 1,50 X 10-10 C/m. A que distancia do fio 0

modulo do campo eletrico eigual a 2,50 N/C?21.53 Uma carga eletrica positiva e distribufda sobre 0 eixo Oy,sendo A a carga por unidade de comprimento. (a) Considere 0 casopara 0 qual a carga seja distribufda somente entre os pontos y = a ey = - a. Para os pontos sobre 0 eixo +Ox, faca urn grafico do com­ponente x do campo eletrico em funcao de x para valores de x com­preendidos entre x =al2 ex=4a. (b) Agora, suponha que a carga sejadistribufda sobre todos os pontos do eixo Oy com a mesma carga porunidade de comprimento A. Usando 0 mesmo grafico obtido na parte(a), faca outra curva para 0 componente x do campo eletrico emfuncao de x para valores de x compreendidos entre x =al2 e x =4a.Identifique os graficos com as respectivas situacoes,21.54 Urn fio plastico retilfneo e nao condutor de 8,50 em de com­primento carrega uma densidade de carga de +175 nC/m distribuf­da uniformemente ao lange do comprimento. Ele esta sobre asuperffcie horizontal de uma mesa. (a) Determine 0 modulo, adirecao e 0 sentido do campo eletrico que esse fio produz em urnponto 6,0 em diretamente acima do seu ponto medio, (b) Se 0 fiofor dobrado em cfrculo sobre a mesa, ache 0 modulo, a direcao e 0

sentido do campo eletrico que ele produz em urn ponto 6,0 emdiretamente acima do seu centro.21.55 Urn condutor em forma de anel com raio a =2,50 em possuiuma carga positiva Q = +0,125 nC unifonnemente distribufda aolange do anel, como indica a Figura 21.24. 0 centro do anel estana origem 0 do sistema de coordenadas. (a) Qual e0 campo eletri­co (modulo, direcao e sentido) no ponto P situado emx = 40,0 em?(b) Uma carga puntifonne q = -2,50 j.LC esta no ponto P descritona parte (a). Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido da forcaexercida pela carga q sabre 0 anel.21.56 Uma carga de - 6,50 nC esta unifonnemente distribufdasobre a superffcie de uma face de urn disco nao condutor de raio1,25 ern. (a) Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campoeletrico que esse disco produz em urn ponto P sobre 0 eixo do discoa uma distancia de 2,0 em do seu centro. (b) Suponha que a cargaseja integralmente afastada do centro e unifonnemente distribufdasabre a periferia do disco. Ache 0 modulo, a direcao e 0 sentido docampo eletrico no ponto P. (c) Se a carga for integralmente trazidapara 0 centro do disco, ache 0 modulo, a direcao e 0 sentido docampo eletrico no ponto P. (d) Por que 0 campo no item (a) emaisforte do que 0 campo no item (b)? Por que 0 campo no item (c) eo mais forte de todos os campos?

)

)

)

aaoaoIS

e

21.57 A distancia entre dois planes carregados infinitos eigual a d.o plano inferior carregado negativamente possui uma densidadesuperficial de carga - (J' < O. 0 plano superior carregado positiva­mente possui uma densidade superficial de carga (J' > O.Determineocampo eletrico (modulo, direcao e sentido quando 0 campo fordiferente de zero) (a) acima do plano superior; (b) abaixo do planoInferior: (c) entre os dois planos,

Se~ao 21.6 tinhas de forca de urn campo eletrico2!.5!l A placa A possui densidade uniforme de carga positiva (J' e aplaca B, que esta a direita de A e paralela a ela, possui densidadeuniforme de carga negativa -2(J'. (a) Faca urn desenho das linhas decampo eletrico para esse par de placas. Inelua a area entre as placasbern como as areas aesquerda de A e adireita de B. (b) Repita 0 item(a) para 0 caso em que a placa B possui carga de densidade +2(J'.11.59 Suponha que a carga indicada na Figura 21.29a seja fixa.Uma pequena partfcula com carga positiva e colocada em algumponto na figura e, a seguir, libertada, A trajetoria da partfcula segui­ra uma linha de campo eletrico? Por que? Suponha, por outro lado,que a partfcula seja colocada em algum ponto na Figura 21.29b elibertada (as cargas positiva e negativa mostradas na figura estaofixas). A trajetoria seguira umalinha de campo eletrico? Novamente,por que? Explique quaisquer diferencas entre suas respostas para asduas diferentes situacoes.21.60 Facaum esboco das linhas de campo eletrico para urn discode raio R que possui uma densidade superficial de carga positiva (J'.

Para fazer esse desenho use 0 resultado que voce conhece sobre 0

campo eletrico em pontos muito proximos do disco e em pontosmuito afastados do disco.2Uii (a) Faca urn esboco das linhas de campo eletrico para urn fioretilfneo infinito uniformemente carregado. Voce podera achar utilfazer 0 desenho das linhas de campo em urn plano com 0 fio carre­gada e desenhar as linhas de campo em urn plano ortogonal ao fio.(b) Explique como seus desenhos mostram que (i) 0 modulo E docampo eletrico depende somente da distancia r entre 0 ponto e 0 fioe que (ii) E dirninui com 11r.21.62 A Figura 21.41 mostra algumas linhas de campo eletricoproduzidas por tres cargas puntiformes localizadas ao longo de urneixo vertical. Todas as tres cargas possuem 0 mesmo modulo.(a) Quais sao os sinais de cada uma das tres cargas? Explique seuraciocfnio, (b) Em que ponto(s) 0 modulo do campo eletrico atingeseu valor mfnimo? Explique como os campos produzidos pelascargas individuais se combinam para fomecer 0 campo eletricoresultante nesse(s) ponto(s).

Figura 21.41 Exercfcio 21.62.

Secao 21.7 Dipolos eletricoslUi3 A distancia entre duas cargas puntiformes qj = -4,5 nC eq2 = +4,5 nC e igual a 3,1 mm, formando urn dipolo eletrico.(a) Calcule 0 momento de dipolo eletrico (modulo, direcao e sentido).

Capitulo 21 Carga eletrica e campo eletrico 35

(b) As' cargas estao no interior de urn campo eletrico cuja direqao fazurn angulo de 36,9° com 0 eixo que liga as cargas. Qual e0 modulodesse campo eletrico, sabendo que 0 modulo do torque exercido sobreo dipolo eletrico eigual a 7,2 X 1O-9N' m?lUi4- A molecula de amenia (NH 3) possui urn momenta de dipoloeletrico igual a 5,0 X 10-30 C . m. Moleculas de amenia na fasegasosa sao colocadas em urn campo eletrico uniforme E cujomodulo e igual a 1,6 X 106N/C. (a) Qual e a carga e a energiapotencial eletrica quando 0 momenta de dipolo muda sua orienta­qao em relacao a E, de uma direcao paralela para uma direcaoperpendicular? (b) Qual e a temperatura absoluta T para a qual aenergia cinetica media da translacao ~kT das moleculas e igual avariacao da energia potencial calculada no item (a)? (Acima dessatemperatura, a agitacao termica impede que 0 dipolo eletrico sealinhe com 0 campo eletrico.)21.65 No Exemplo 21.15, deduzimos 0 resultado aproximadoE == pj27r€ol para 0 campo eletrico ao lange do eixo de urn dipo­10 eletrico. (a) Deduza novamente essa relacao, colocando as fra­qoes da expressao de E no denorninador comum, conforme descri­to no Exemplo 21.15. (b) Por que 0 resultado aproximado tambemfomece uma aproximacao correta para E, quando y < O?2i.66 0 momenta de dipolo da molecula de agua (H20 ) e6,17 X10-30 C • m. Suponha que a molecula de agua esteja na origem como momenta de dipolo eletrico p apontando no sentido +x. Urn iondeeloro (Cl"), com carga igual a -1,60 X 10-19 C, esta localizado noponto x = 3,0 X 10-19 m. Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentidoda forca CLue a molecula de agua exerce sobre 0 ionde eloro. A forca

-ede atracao ou derepulsao? Suponha que x seja muito maior do quea distancia d entre as cargas do dipolo eletrico, de modo que vocepode usar a expressao aproximada para 0 campo eletrico ao lange doeixo do dipolo eletrico encontrada no Exemplo 21.15.2'L6J Tensao superficial. A superffcie de urn lfquido polar, talcomo a agua, pode ser considerada uma serie de dipolos encadea­dos no arranjo estavel, em que os vetores do momento de dipoloestao paralelos a superffcie e tudo aponta na mesma direcao,Suponha que algo exerca uma pressao para dentro da superffcie,distorcendo os dipolos mostrados na Figura 21.42. (a) Mostre queos dois dipolos oblfquos exercem uma forca resultante de baixopara cima sobre 0 dipolo que esta entre eles e, portanto, se opoemaforca extema de cima para baixo. (b) Mostre que os dipolos seatraem e, portanto, resistem a separacao. A forca entre os dipolosse opoe apenetracao da superffcie do liquido e eurn modelo sim­ples de tensao superficial (Secao 14.3 e Figura 14.15).

Figura 21.42 Exerdcio 21.67.

21.63 Considere 0 dipolo eletrico do Exemplo 21.15. (a) Deduza umaexpressao para 0 modulo do campo eletrico produzido pelo dipoloem urn ponto sobre 0 eixo x da Figura 21.34. Qual ea direcao e 0

sentido desse campo eletrico? (b) Como 0 campo eletrico nos pontossobre 0 eixo x depende de x quando este emuito grande?21.69 Torque sobre urn dipolo. Urn dipolo eletrico com momentode dipolo pesta em urn campo eletrico uniforme E. (a) Determineas orientacoes do dipolo para as quais 0 torque sobre 0 dipolo eigual a zero. (b) Qual das orientacoes do item (a) eestavel equal einstavel? tSugestdo: considere urn pequeno deslocamento para forada posicao de equilfbrio e verifique 0 que acontece.) (c) Mostre

Figura 21.44 Problemas 21.74, 21.75 e 21.76.

21.15 Duas pequenas esferas identicas, de massa m = 15,0 g, estaosuspensas por fios de seda de comprimento L = 1,20 m e presos emurn ponto comum (Figura 21.44). Cada esfera possui a mesma carga;logo, ql =q2 =q. Cada fio possui inclinacao e=25,0° com a vertical.(a) Faca urn desenho mostrando as forcas que atuam sobre cadaesfera. Considere as esferas como eargas puntiformes. (b) Calcule 0

m6dulo de q. (c) Os dois fios agora se encurtam para urn comprimen­to L = 0,600 m, enquanto as cargas ql e q2 ficam inalteradas. Qualsera 0 novo angulo que cada fio formaracom a vertical? (Sugestiio:esta parte do problema pode ser resolvida numericamente pelo meto­do das tentativas; escolha urn valor inicial para ee ajuste os valoresde eate obter urn valor autoconsistente com a resposta.)21.76 Duas esferas identicas estao suspensas por fios de seda decomprimento L =0,500 m, presos em urn ponto comum (Figura21.44). Cada esfera possui 111 =8,0 g. 0 raio de cada esfera e muitopequeno em comparacao a distancia entre as esferas, de modo queelas podem ser consideradas cargas puntiformes. Uma esfera pos­sui uma carga qi e a outra possui uma carga diferente q2;as esferasse afastam e, quando elas atingem 0 equilfbrio, cada fio forma urnangulo e= 20,0° com a vertical. (a) Faca urn diagrama do corpolivre para cada esfera na posicao de equihbrio, identificando comsimbolos todas as forcas que atuam em cada esfera. (b) Determineo m6dulo da forca eletrostatica que atua sobre cada esfera e calcu­Ie a tensao em cada fio. (c) Com base nos dados do problema, 0 quevoce pode concluir sobre os m6dulos e os sinais das cargas ql e q2?Explique suas respostas. (d) Agora urn pequeno fio condutor econectado entre as duas esferas, permitindo que ocorra uma trans­ferencia de cargas de uma para outra ate que as duas esferas fiquemcom cargas iguais; a seguir 0 fio e removido. Entao, cada fio passaa formar urn angulo de 30,0° com a vertical. Calcule os valores dascargas originais ql e q2' tSugestdo: a carga total sobre as duas esfe­ras permanece constante.)

2t77 0 clore to de s6dio (NaCl, sal de cozinha comum) e cornpostode ionspositivos de sodio (Na+) e ions negativos de cloro (Cl"), (a)Calcule 0 m6dulo da forca de atracao entre uma carga puntiformeconstituida pela mesma massa e carga total dos ions Na+ existentesem 0,100 mol de NaCl, a uma distancia 2,0 em de outra cargapuntiforme de mesmo m6dulo, constituida pela mesma massa ecarga total dos ions Cl" existentes. (b) Supondo que a carga punti­forme positiva da parte (a) seja mantida fixa e que a carga puntifor­me negativa seja liberada do repouso, qual sera sua aceleracao?(Veja 0 Apendice D para as massas atomicas necessarias.) (c)Parece razoavel que os ions em NaCI possam ser separados dessaforma? Por que? (De fato, quando 0 cloreto de s6dio se dissolve naagua, ele se quebra em ionsNa+e CC Entretanto, neste caso, forcaseletricas adicionais sao exercidas pela agua.)

36 FlslCA III

que, para a orientacao estavel do item (b), 0 pr6prio campo eletricodo dipole tende a se opor ao campo extemo.21.70 Urn dipolo que consiste de cargas ± e, a 220 urn de distaricia,esta colocado entre duas placas muito grandes (essencialmenteinfinitas) com densidades de cargas iguais, porem opostas, de 125JLC/m2

• (a) Qual e a energia potencial maxima desse dipolo produ­zida pelas placas equal deveria ser sua orientacao em relacao asplacas para atingir esse valor? (b) Qual e 0 torque maximo quepode ser exercido sobre odipolo equal deve ser sua orientacaoemrelacao as placas para atingir esse valor? (c) Qual e a forca resul­tante exercida pelas duas placas sobre 0 dipolo?21.71 Tres cargas se situam nos vertices de urn trianguloisosceles,como indica a Figura 21.43. As cargas de ± 5,0 JLC formam urndipolo. (a) Determine a forca (m6dulo, direcao e sentido) que acarga -10,0 JLC exerce sobre 0 dipolo. (b) Para urn eixo perpendi­cular a linha que Iiga as cargas de ± 5,0 JLC no meio dessa linha,ache 0 torque (m6dulo, direcao e sentido) exercido sobre 0 dipolepela carga -10,0 JLc.

r,~5'00 JL C

I 'I '\ 2,00 emI ,

I 'I "

3'OlOem : » -10,00 JLC.' I /

I /

.:.... //2,00 emI /, 0-5,00 JLC

Figura 21.43 Exerdcio 21.71.

Problemas21.72 Uma carga ql = +5,0 nC e colocada na origem de urn sistemade coordenadas e uma carga q2= 2,0 nC e colocada no lado positi­vo do eixo Ox, no ponto x = 4,0 em. (a) Se uma terceira cargaq3 = 6,0 nC e colocada no lado positivo do eixo Ox, no pontox = 4,0 em, y = 3,0 em, quais sao os componentes x e y da forcaresultante que atua sobre essa carga exercida pelas outras cargas?(b) Determine 0 m6dulo, a direcao e 0 sentido dessa forca.21.73 Duas cargas puntiformes positivas Q sao mantidas fixassobre 0 eixo Ox, nos pontos x =a ex =-a. Uma terceira cargapuntiforme positiva q, com massa m, e colocada sobre 0 eixo Oxafastada da origem em urn ponto x tal que Ixl « a. A carga q,que pode se mover livremente ao lange do eixo Ox, e, a seguir,liberada. (a) Determine a frequencia das oscilacoes da carga q.(Sugestiio: faca uma revisao da definicao de movimentoharmonico simples na Secao 13.2. Use a serie binomial(1 + a)" = 1 + nz + n(n - l) z2j2 + ... , valida para Izi «1.) (b) Agora, suponha que a carga q seja colocada sobre 0 eixo Oy

em urn ponto y tal que Iyl<< a e, a seguir, liberada. Caso essa cargapossa se mover livremente no plano xy, 0 que ocorrera com ela?Explique sua resposta.21.74Duas esferas identicas de massa 111 estao suspensas em fios deseda de comprimento L, como indicado na Figura 21.44. Cadaesfera possui a mesma carga; logo, ql =q2 =q. 0 raio de ca­da esfera e muito pequeno em comparacao a distancia entre asesferas, de modo que elas podem ser consideradas cargas puntifor­meso Mostre que, se 0 angulo efor pequeno, a distancia d no equi­lfbrio entre as esferas sera dada por d = (q 2L j2 7TEol1lg) 1/3.iSugestdo: quando efor pequeno, entao tg e== sen e.)

earga ql earga q2

21.73 Duas cargas puntiformes q\ e q2 sao mantidas fixas a umadistancia de 4,50 em. Outra carga puntiforme Q = -1,75 /LC, demassa igual a 5,0 g, esta inicialmente localizada a 3,0 em de cadauma dessas cargas (Figura 21.45) e e libertada do repouso. Voceverifica que a aceleracao inicial de Q e 324 mls2 de baixo para cima,paralela alinha que liga as duas cargas puntiformes. Ache q\ e q2'

Figura 21.45 Exercfcio 21.78.

21.79 'Ires cargas puntiformes identicas q sao colocadas nos verticesde urn quadrado de lado L. Calcule 0 modulo, a direcao e 0 sentidodaforca resultante sobre uma carga puntiforme -3q colocada (a) nocentro do quadrado; (b) no vertice vazio do quadrado. (c) Em cadacaso, faca urn diagrama do corpo livre mostrando todas as forcas queatuam sobre a carga -3q exercidas pelas outras tres cargas.2UlO Tres cargas puntiformes sao distribufdas ao longo do eixo Oy;uma carga q no ponto y = - a, uma carga -2q na origem e uma cargaq no ponto y = - a. Esse arranjoe chamado de quadrupolo eletrico, (a)Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campo eletrico nospontos positivos sobre 0 eixo x. (b) Use a serie binomial para obteruma expressao aproximada para 0 campo eletrico valido para x >> a.Compare esse comportarnento ao campo eletricoproduzido por umacarga puntiforme e ao campo produzido por urn dipolo eletrico.21.31 Intensidade da forca eletrica, Imagine duas sacolas de1,0 g com protons, uma no polo norte e outra no polo suI. (a)Quantos protons ha em cada sacola? (b) Calcule a atracao gravita­cional e a repulsao eletrica que cada sacola exerce sobre a outra. (c)As forcas no item (b) sao suficientes para que voce sinta que estasegurando uma das sacolas?21.82 Forca eletrica dentro do micleo, As dimens6es tfpicas domicleo atomico sao da ordem de 10- 15 m (1 fm). (a) Se a distanciaentre dois protons em urn micleo e de 2,0 fm, ache 0 modulo daforca eletrica que cada urn exerce sobre 0 outro. Expresse a res­posta em newtons e em libras. Essa forca e suficientemente gran­de para ser sentida por uma pessoa? (b) Considerando que osprotons se repelem de forma tao intensa, por que eles nao saemdo micleo?2Ul3 Se os atomos nao fossem neutros... Como a carga de urneletron e igual e contraria acarga de urn proton, os atomos sao ele­tricamente neutros. Suponha que isso nao fosse precisamente corretoe que a carga do eletron fosse 0,00100% menor do que a carga de urnproton. (a) Faca uma estimativa da carga total existente em urn dicio­nario com 5 em de espessura nessas circunstancias, Levante qualquerhipotese que julgar necessaria, porem enuncie claramente cada umadelas. (Sugestiio: quase todos os atomos do dicionario possuem 0

mesmo mimero de eletrons, protons e neutrons.) (b) Usando 0 valorestimado, calcule 0 modulo da forca eletrica entre dois dicionariosseparados por uma distancia igual a 5,0 m. Essa forca e de atracso oude repulsao? Estime qual deve ser a aceleracao de cada dicionarioquando eles estao a uma distancia de 5,0 m, imaginando que naoexistisse nenhuma outra forca a nao ser a forca eletrica, (c) Discutacomo 0 fato de a materia ordinaria ser estavel implica a conclusao de

Capitulo 21 Carga eletrica e campo eletrico 37

que 0 valor absoluto da carga do eletron deve ser igual ao da cargado proton com uma precisaomuito elevada.21.84 Duas mimisculas bolas de massa m possuem carga igual,porem contrarias de modulo q. Elas estao atadas ao mesmo ganchode teto por fios leves, de comprimento L. Quando urn campo ele­trico uniforme horizontal E e ativado, as bolas ficam suspensas aurn angulo () entre os fios (Figura 21.46). (a) Qual bola (a daesquerda ou ada direita) e positiva equal e negativa? (b) Ache 0

angulo () entre os fios em termos de E, q, I1l e g. (c) Amedida quea forca do campo eletrico aumenta, 0 que 0 resultado do item (b)fornece para 0 maior angulo () possfvel?

Figura 21.46 Problema 21.84.

21.35 Duas pequenas esferas de cobre possuem raio de 1,0 mmcada uma. (a) Quantos atomos cada esfera contem? (b) Suponhaque cada atomo de cobre contenha 29 protons e 29 eletrons,Sabemos que eletrons e protons possuem cargas com exatamente 0

mesmo modulo, mas vamos explorar 0 efeito de pequenas diferen­cas (consulte tambem 0 Problema 21.83). Se a carga de urn protone +e e 0 modulo da carga de urn eletron e 0,100% menor, qual e acarga liquida de cada esfera equal forca uma esfera exerceria sobrea outra, se a distancia entre elas fosse de 1,0 m?21.86 Funcionamento de uma impressora a jato de tinta. Em umaimpressora que usa jato de tinta, as letras sao reproduzidas numafolha de papel injetando-se gotas de tinta, que saem de urn pulveri­zador que se move rapidamente. As gotas de tinta, com massa de 1,4X 10-8 g cada uma, deixam 0 pulverizador e se dirigem para 0 papelcom velocidade igual a 20 mls. Quando a gota passa por uma unida­de eletrostatica, ela deixa alguns eletrons e adquire uma carga q. Aseguir, as gotas passam entre placas defletoras, com comprimentoigual a 2,0 em, no interior das quais existe urn campo eletricoverticaluniforme com modulo igual a 8,0 X 104 N/C. Sabendo que a gotadeve sofrer urn desvio de 0,30 mm ao atingir 0 final da placa defle­tora, qual deve ser 0 modulo da carga?2t87 Urn proton e projetado para 0 interior de urn campo eletricouniforme que aponta verticalmente para cima e possui modulo E. Avelocidade inicial do proton possui modulo Va e sua direcao formaurn angulo a abaixo da horizontal. (a) Calcule a distancia maximahmax que 0 proton desce verticalmente abaixo de sua altura inicial.Despreze as forcas gravitacionais. (b) Depois de qual distanciahorizontal do proton retoma asua altura inicial? (c) Faca urn esbo­,<0 da trajetoria do proton. (d) Calcule os valores numericos de hmaxe de d, sabendo que E = 500 N/C, Va = 4,0 X 105 mls e a = 30,0°.2Ul3 Uma carga puntiforme negativa ql = -4,0 nC esta sobre 0

eixo Ox no ponto x =0,60 m. Uma segunda carga puntiforme q2esta sobre 0 eixo Ox no ponto x =1,20 ill. Determine 0 modulo e 0

sinal de q2 para que 0 campo eletrico resultante na origem seja(a) 50,0 N/C no sentido +x; e (b) 50,0 N/C no sentido -x.21.89 Uma carga positiva Q e distribufda uniformemente sobre 0

eixo Ox de x = 0 ate x = a. Uma carga puntiforme positiva q estasobre a parte positiva do eixo Ox, no ponto x =a+r, a uma distanciar adireita da extremidade de Q (Figura 21.47).

38 FISICA III

y

mesma carga que a carga total existente no disco. Com base na apro­ximacao usada para deduzir E = Q/411'€ox2para a carga puntiformea partir da Equacao (21.11), explique a razao desse comportamento.(d) Calcule a diferenca porcentual entre 0 campo eletrico produzidopelo disco e 0 campo eletrico produzido por uma carga puntiformecom a mesma carga para x = 20,0 em e para x = 10,0 em.21.94 (a) Sejafix) uma funcao par de x de modo que fix) = fi-x).Mostre que f~af(x)dx = 2fgf(x)dx. (Sugestiio: escreva a inte­gral de - a ate a como a soma da integral de - a ate 0 com a integralde 0 ate a. Na primeira integral, faca a mudanca de variavelx' = -x.) (b) Seja g(x) uma fun9ao Impar de x de modo que g(x)=-g(-x). Usando 0 metodo indicado na sugestao para 0 item(a) mostre que f~a g(x )dx = O. (c) Use 0 resultado obtido no item(b) para mostrar que Ey, indicado no Exemplo 21.11 (Secao 21.5),e igual a zero.21.95 Uma carga positiva Q e distribufda uniformemente sobre 0

eixo Ox de x =0 ate x =a. Uma carga puntiforme negativa - Q edistribufda uniformemente sobre 0 eixo Ox de x = 0 ate x = - a.(a) Uma carga puntiforme positiva q esta sobre a parte positiva doeixo Oy a uma distancia y da origem. Obtenha a forca (modulo,direcao e sentido) que as duas distribuicoes de cargas exercem emconjunto sobre a carga q. Mostre que para todos os pontos y >> a,o modulo dessa forca e proporcional a y-3. (b) Suponha que, em vezda hipotese do item anterior, exista uma carga puntiforme positivaq sobre a parte positiva do eixo Ox a uma distancia x > a da ori­gem. Obtenha a forca (modulo, direcao e sentido) que as duasdistribuicoes de cargas exercem em conjunto sobre a carga q.Mostre que, para os pontos x > > a, 0 modulo dessa forca e pro­porcional a [3.

21.96 Uma carga positiva Q e distribuida uniformemente ao longo deuma semicircunferencia de raio a (Figura 21.49). Obtenha 0 campoeletrico (modulo, direcao e sentido) no centro de curvatura P.

o--,,!i'-------b:l----x

Figura 21.48 Problema 21.90.

Q

a

y

(a) Determine os componentes x e y do campo eletrico produzidopela disrribuicao de cargas Qnos pontos da parte positiva do eixo Oxpara x> a. (b) Obtenha a forca (modulo, direcao e sentido) que adistribuicao de cargas Q exerce sobre a carga q. (c) Mostre que paraos pontos r > > a, 0 modulo da forca calculada no item (b) e apro­ximadamente igual a Qq/41T1Eor2. Explique a razao desse resultado.21.90 Uma carga positiva Q e distribufda uniformemente sobre aparte positiva do eixo Oy desde y = 0 ate y = a. Uma carga punti­forme negativa - q esta sobre a parte positiva do eixo Ox, a umadistancia x da origem (Figura 21.48). (a) Determine os componen­tes x e y do campo eletrico produzido pela distribuicao de cargas Qnos pontos da parte positiva do eixo Ox. (b) Encontre os compo­nentes x e y da forca que a distribuicao de cargas Q exerce sobre acargaq. (c) Mostre que para os pontos x > a, F'., == -Qq/411'€ox2

e F;, == +Qqa/811'€ox3• Explique a razao desse resultado.

~~Q" ;-,o ~a--?I<E-r--?>/

Figura 21.47 Problema 21.89.

-q

21.91 Urn fio retilfneo carregado como aquele indicado na Figura21.25 se estende desde y =2,50 em ate y =-2,50 em. A carga totaldistribufda uniformemente sobre 0 fio e igual a -9,0 nCo(a) Obtenha 0 campo eletrico (modulo, direcao e sentido) sobre 0

eixo Ox para x = 10,0 em. (b) Verifique se 0 modulo do campo ele­trico que voce encontrou no item (a) emaior ou menor do que 0 docampo eletrico a 10,0 em de distancia de uma carga puntiforme quepossui a mesma carga que a distribufda uniformemente sobre 0 fiofinito. Com base na aproximacao usada para deduzir E = Q/411'€ox2

para a carga puntiforme a partir da Equacao (21.9), explique a razaodesse comportamento. (c) Para que distancia x 0 resultado do fiofinito difere de 1,0% do resu1tadoda carga puntiforme?21.92Urn universo para1elo. Imagine urn universo paralelo em quea forca eletrica possui as mesmas propriedades que no nosso univer­so, mas nao M gravidade. Nesse universo paralelo, 0 Sol possuicarga Q,a Terra carga - Q e a atracao eletrica entre eles mantem aTerra em orbita,A Terra no universo paralelo possui a mesma massa,o meio raio orbital e 0 mesmo penodo orbital que no nosso universo.Calcule 0 valor de Q. (Consulte 0 Apendice F, se necessario.)21.93 Urn disco uniformemente carregado, como aquele indicado naFigura 21.26, possui raio de 2,50 em e carga igual a 4,0 x10-12 C. (a) Obtenha 0 campo eletrico (modulo, direcao e sentido)sobre 0 eixo Ox para x = 20,0 em. (b) Mostre que para x >> R, aEquacao (21.11) se transforma em E = Q/411'€ox2, em que Q e acarga total sobre 0 disco. (c) Verifique se 0 modulo do campo eletricoque voce encontrou no item (a) e maior ou menor do que 0 do campoeletrico a 0,20 em de distancia de uma carga puntiforme que possui a

-'""'----.'------"-- x

Figura 21.49 Problema 21.96.

21.97 Uma carga negativa -Q e distribufda uniformemente aolongo da quarta parte de uma circunferencia de raio a, que estasobre 0 primeiro quadrante, com centro de curvatura na origem.Encontre os componentes x e y do campo eletrico na origem.21.911 Uma pequena esfera de massa m, com uma carga positiva q,e ligada it extremidade de urn fio de seda de comprimento L. Aoutra extremidade do fio esta presa a uma grande placa isolantevertical, que possui uma densidade superficial de carga 0'. Mostreque, quando a esfera esta em equilfbrio, 0 angulo formado entre avertical e 0 fio e igual a (qO'/2mg€o)'21.99 Dois fios nfio condutores de 1,20 m se encontram em urnangulo rete. Urn segmento possui +2,50 J-l-C de carga uniforrne­mente distribuida ao longo do comprimento, e a outra possui-2,50 J-l-C de carga uniformemente distribufda ao longo do com­primento, como indica a Figura 21.50. (a) Determine 0 modulo, adirecao e 0 sentido do campo eletrico produzido por esses fios noponto P, que se situa a 60,0 em de cada fio. (b) Se urn eletron forlibertado de P, quais sao 0 modulo, a direcao e 0 sentido da forcaresultante que esses fios exercem sobre ele?

Capitulo 21 Carga eletrica e campo eletrico 39

13,0 em

3,0 em

12,0 em

4,Ocm

5,0 em

Figura 21.52 Problema desafiador 21.105.

21.106 Duas cargas sao colocadas como indica a Figura 21.53. 0modulo de ql e igual a 3,0 p,C,porem nao conhecemos seu sinal enem 0 valor da carga qi- 0 campo eletrico resultante Eno ponto Paponta para 0 sentido negativo do eixo Oy. (a) Considerando ospossfveis sinais diferentes para as cargas qj e qz existem quatropossiveis diagramas para representar os campos eletricos E1 e Ezproduzidos por qj e qz. Faca desenhos mostrando esses quatrodiagramas possfveis. (b) Usando os desenhos da parte (a) e a dire­gao e 0 sentido de E, determine os sinais das cargas qj e qz.(c) Calcule 0 modulo do campo eletrico E.

p

Problemas desafiadores21.105 Tres cargas sao colocadas como indica a Figura 21.52.o modulo de qj e igual a 2,0 p,C, porem nao conhecemos seusinal nem 0 valor da carga qz. A carga q3 e igual a +4,0 p,C ea forca resultante Psobre q3 aponta para 0 sentido negativo doeixo Ox. (a) Considerando os possfveis sinais diferentes paraas cargas qj e qz, existem quatro diagramas de forcas possfveis

para representar as forcas Pj e Pz exercidas por ql e qz sobrea carga q3' Faca desenhos mostrando esses quatro diagramaspossfveis. (b) Usando os desenhos da parte (a) e a direcao e 0

sentido de P, determine os sinais das cargas qj e qz.(c) Calcule 0 modulo de qz. (d) Calcule 0 modulo da forcaresultante F que atua sabre q3'

21.10] Duas barras delgadas de comprimento L estao sobre 0 eixo

Ox, uma delas entre os pontos x = a/2 ex =al2 + Lea outra entreos pontos x = - al2 e x = - al2 - L. Cada barra possui uma carga Qdistribufda unifonnemente ao lange de seu comprimento. (a)Calcule 0 campo eletrico produzido pela segunda barra nos pontossituados ao longo da parte positiva do eixo Ox. (b) Mostre que 0

modulo da forca que uma barra exerce sobre a outra edado por

Figura 21.53 Problema desafiador 21.106.

Figura 21.50 Exerdcio 21.99.

x

21.100 Adistancia entre duas placas paralelas de grande porte e de 5,0em. A placa A possui uma densidade superficial de carga unifonnede -9,50 p,C, e a placa B, que esta adireita de A, possui carga uni­forme de -11,6 p,c. Suponha que as placas sao grandes 0 suficientepara serem tratadas como infinitas. Ache 0 modulo, a direcao e 0

sentido do campo eletricoresultante produzido por essas placas emurn ponto (a) 4,0 em adireita da placa A; (b) 4,0 em aesquerda daplacaA; (c) 4,0 em adireita da placa B.2UOl Repita 0 Problema 21.100 considerando que a placa B epositiva.lU02 Duas placas horizontais muito grandes estao a uma distanciade 4,25 em uma da outra e possuem densidade de cargas iguais,porem contrarias, de modulo a. Voce quer usar essas placas paramanter fixa na area entre elas uma gota de oleo de massa 324 p,gque carrega 5 eletrons em excesso. Supondo que a gota esta em urnvacuo, (a) para que lado deve apontar 0 campo eletrico entre asplacas e (b) qual seria 0 valor de a?21.103 Uma placa infinita, com uma carga positiva por unidade dearea igual a a, esta sobre 0 plano xy. Uma segunda placa infinita,com uma carga negativa por unidade de area - a esta sobre 0 planoyz. Determine 0 campo eletrico resultante em todos os pontos quenao estejam situados sobre nenhum desses planos, Expresse a res­posta em tennos dos vetores unitarios f, Je k.21.104 Denornina-se coroaanular urn disco fino de raio extemo Rzcom urn buraco circular concentrico de raio interne R, (Figura21.51). Uma coroa anular possui uma densidade superficial de cargaa sobre sua superffcie. (a) Determine a carga total sobre a coroaanular. (b) A coroa anular esta sobre 0 plano yz com seu centro naorigem. Para urn ponto arbitrariosobre 0 eixo Ox (0 eixo de simetriada coroa anularj; determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido docampo eletrico E. Considere todos os pontos acima e abaixo doplano da coroa anular da Figura 21.51. (c) Mostre que, para os pontossobre 0 eixo Ox suficientemente proximos da origem, 0 modulo docampo eletrico e aproximadamente proporcional adistancia entre 0

centro da coroa e 0 ponto considerado. Qual e a distancia que podeser considerada "suficientemente proxima"? (d) Uma partfcula pun­tifonne com massa I1l e carga - q pode se mover livremente sobre 0

eixo Ox (mas nao pode sair desse eixo). A partfcula e inicialmentecolocada sobre 0 ponto x = O,OIRj e, a seguir, liberada. Determine afrequencia das oscilacoes da partfcula. (Sugestiio: faca uma revisaoda Secso 13.2. A coroa anular pennanece em repouso.)

Figura 21.51 Problema 21.1 04.

(c) Mostre que, quando a > > L, 0 modulo dessa forca se reduz aF = QZJ47TEoaz. tSugestiio: use 0 desenvolvimento em serie

In(I + z) = z - zZJ2 + z3J3 - "', valido para lzl « 1. Facatodos os desenvolvimentos ate pelo menos 0 termo LZlaz.)

Interprete esse resultado.

64 FfslCA III

Exercicios

Secao 22.2 Deterrninacao do fluxo eletrico22.1 Uma folha de papel plana, com area igual a 0,250 m2

, eorientada de tal modo que a normal ao plano forma urn fmgulode 60° com a direcao de urn campo eletrico uniforme, de modu­lo igual a 14 N/C. (a) Calcule 0 modulo do fluxo eletrico atravesda folha. (b) A resposta do item (a) depende da forma geometri­ca da folha? Por que? (c) Para que angulo 4>, entre a normal aoplano e a direcao do campo eletrico, 0 modulo do fluxo eletricoatraves da folha se torna (i) maximo? (ii) minimo? Explique seuraciocfnio.22.2 Uma placa plana possui a forma de urn retangulo com ladosde 0,400 m e 0,600 ill. A placa esta imersa em urn campo eletricouniforme com modulo igual a 75,0 N/C e cuja direcao forma urnangulo de 20° com 0 plano da placa (Figura 22.31). Calcule 0

modulo do fluxo eletrico total atraves da placa.

Figura 22.31 Exerdcio 22.2.

:22.3 Voce mede urn campo eletrico de 1,25 X 106 N/C a uma dis­tancia de 0,150 m de uma carga puntiforme. (a) Qual e 0 fluxoeletrico atraves de uma esfera nessa distancia da carga? (b) Qual eo modulo da carga?22.4 Urn cuba possui uma aresta de comprimento L = 0,300 m. Eleecolocado com urn vertice na origem, como indica a Figura 22.32.Ocampo eletrico nao e uniforme, mas e dado por E = (-5,0N/C . m)xf + (3,0 N/C . m)zk. (a) Qual e0 fluxo eletrico atravesde cada uma das seis faces do cubo Sb S2, S3, S4, Ss e S6? (b)Determine 0 fluxo eletrico total no interior do cubo.

z82 (topo)

)-"7"-c~~--",/ 86 (lado posterior)

83 (lado direito)

.,}-,f--'--i'+'7'----y

x

85 (lado anterior)

Figura 22.32 Exercfcios 22.4 e 22.6; Problema 22.32.

22.5 Uma superffcie hemisferica com raio r, em uma regiao decampo eletrico uniforme E, possui eixo alinhado paralelamente aosentido do campo. Calcule 0 fluxo atraves dessa superffcie.22.6 0 cubo na Figura 22.32 possui uma aresta L =10,0 em. 0campo eletrico e uniforme, paralelo ao plano xy, formando urnangulo de 36,9°' medido do eixo +Ox para 0 eixo +Oy, e possuimodulo E = 4,0 X 103 N/C. (a) Qual e0 fluxo eletrico atraves decada uma das seis faces do cuba Sb S2, S3, S4, Ss e S6? (b) Qual e0

fluxo eletrico total atraves de todas as faces do cubo?

22.7 No Exemplo 21.11 (Secao 21.5), verificamos que 0 campoeletrico produzido por urn fio retilfneo infinito carregado eperpen­dicular ao fio e possui modulo E = ltl27TEor. Considere uma super­ffcie cilfndrica imaginaria de raio r = 0,250 m e comprimento 1=0,400 m com uma carga positiva distribufda uniformemente sobreseu comprimento. A carga por unidade de comprimento sobre alinha e A = 6,0 /LC/m. (a) Qual e 0 fluxo eletrico atraves do cilindroproduzido pelo fio infinito? (b) Qual e 0 fluxo eletrico atraves docilindro quando seu raio aumenta para r = 0,500 m? (c) Qual e 0

fluxo eletrico atraves do cilindro quando seu comprimento aumen­ta para 1= 0,800 m?

Secao 22.3 Lei de Gauss22.8 As tres pequenas esferas indicadas na Figura 22.33 possuemcargas ql =4,0 nC, q2=-7,80 nC e q3 =2,40 nC. Determine 0 fluxoeletrico total atraves de cada uma das superficies fechadas cujassec;:5es retas sao indicadas na figura: (a) Sl; (b) S2; (c) S3; (d) S4; (e)Ss. (f) As respostas dos itens de (a) ate (e) dependem de como acarga esta distribufda em cada esfera pequena? Por que?

Superffcie 0 que engloba81 q,82 q283 qt eq284 qt e q-;85 qte q: e qs

Figura 22.33 Exerdcio 22.8.

22.9 Uma fina e uniforme camada de tinta carregada e espalhadasobre a superffcie de uma esfera plastica com diametro de 12,0 em,produzindo uma carga de -15,0 /LC. Determine 0 campo eletrico(a) dentro da camada de tinta; (b) fora da camada de tinta; (c) 5,0em fora da superficie da camada de tinta.22.10 Uma carga puntiforme ql = 4,0 nC esta localizada sobre 0

eixo Ox, no ponto x = 2,0 m, e uma segunda carga puntiformeq2=-6,0 nC esta localizada sobre 0 eixo Oy, no ponto y =1,0 m.Qual e0 fluxo eletrico total produzido por essas cargas atraves deuma superficie esferica centralizada na origem e com urn raio de(a) 0,50 m? (b) 1,50 m? (c) 2,50 m?22.11 Em certa regiao do espaco, existe urn campo eletrico Euni­forme. (a) Use a lei de Gauss para provar que essa regiao deve sereletricamente neutra, ou seja, a densidade de carga p deve ser iguala zero. (b) A reciproca e verdadeira? Ou seja, em uma regiao doespaco na qual nao existe nenhuma carga, 0 campo eletrico Edeveser uniforme? Explique seu raciocinio.22.12(a) Em certa regiao do espac;:o, a densidade de carga p e posi­tiva. 0 campo eletrico Epode ser uniforme nessa regiao? Explique.(b) Suponha que, nessa regiao com densidade de carga p positiva,exista uma 'cavidade' com p = O. 0 campo eletrico Epode seruniforme no interior dessa cavidade? Explique.22.13 Uma carga puntiforme igual a 9,60 /LCesta no centro de urncuba cuja aresta possui urn comprimento de 0,500 m. (a) Qual e0

fiuxo eletrico atraves de cada uma das seis faces do cubo? (b) 0que mudaria em sua resposta da parte (a) se a aresta do cuba tives­se urn comprimento igual a 0,250 m? Explique seu raciocfnio.22.14 Campos eletricos em urn atomo. Os micleos de grandesatornos, como 0 uranio com 92 protons, podem ser modelados

como esferas simetricas de carga. 0 raio do micleo de uranio edeaproximadamente 7,4 X 10-15 m. (a) Qual e0 campo eletrico queesse rnicleo produz fora da sua superffcie? (b) Qual m6dulo docampo eletrico ele produz na distancia dos eletrons, que ede apro­ximadamente 1,0 X 10-10 m? (c) Os eletronspodemsermodeladosde modo a formar uma casca uniforme com carga negativa. Qualcampo eletrico lfquido eles produzem no local do micleo?22.15 Uma carga puntiforme de +5,0 p,C esta localizada no eixox, em x = 4,0 m, pr6xima a uma superffcie esferica de raio iguala 3,0 m e centralizado na origem. (a) Calcule 0 m6dulo docampo eletrico em x = 3,0 m. (b) Calcule 0 m6dulo do campoeletrico em x = -3,0 m. (c) De acordo com a lei de Gauss, 0

f1uxo Ifquido atraves da esfera e igual a zero porque ele naocontem nenhuma carga. Entretanto, 0 campo produzido pelacarga externa emuito mais forte no lado mais pr6ximo da esfera(isto e, em x = 3,0 m) do que no lado distante (em x = -3,0 m).Como, entao, pode 0 f1uxo dentro da esfera (no lado mais pr6­ximo) ser igual ao f1uxo fora dela (no lado mais distante)?Explique. Urn desenho pode ajudar.

Secao 22.4 Aplicacoes da lei de Gauss e Secao 22.5Cargas em condutores22.16 Uma esfera metalica s6lida sem buracos, com raio igual a0,450 m, possui uma carga Ifquida de 0,250 nCoEncontre 0 m6du­10 do campo eletrico (a) em urn ponto situado fora da esfera, a umadistancia de 0,100 m de sua superffcie; (b) em urn ponto interno, auma distancia de 0,100 m abaixo da superffcie.22.17 Em urn dia timido, urn campo eletrico de 2,0 X 104 N/C esuficiente para produzir fafscas de cerca de uma polegada de com­primento. Suponha que, na sua aula de ffsica, urn gerador Van deGraaff (veja a Figura 22.27), com urn raio de esfera de 15,0 em,produza fafscas de 6 polegadas de comprimento. (a) Use a lei deGauss para calcular a quantidade de carga armazenada na superff­cie da esfera, antes que voce corajosamente descarregue-a com asmaos. (b) Suponha que toda a carga esteja concentrada no centroda esfera e use a lei de Coulomb para calcular 0 campo eletrico nasuperffcie da esfera.12.18 Alguns cientistas planetarios sugeriram que Marte possui urncampo eletrico semelhante ao da Terra, produzindo urn f1uxo eletri­co lfquido de 3,63 X 1016 N . mZ/e na superffcie do planeta.Calcule: (a) a carga eletrica total sobre 0 planeta; (b) 0 campo ele­trico na superffcie do planeta (consulte os dados de astronornia nacapa de tras); (c) a densidade de carga em Marte, supondo que todacarga esteja uniformemente distribufda pela superffcie do planeta.22.19 Qual e 0 excesso de eletrons que deve ser adicionado a urncondutor esferico isolado, com diametro de 32,0 em, para produzirurn campo eletrico de 1150 N/C em urn ponto quase sobre a super­ffcie externa da esfera?22.20 0 campo eletrico a uma distancia de 0,400 m de uma linhainfinita muito longa de carga ede 840 N/C. Quanta carga esta con­tida em uma ses;ao de 2,0 em dessa linha?22.21 Uma linha de carga muito longa e uniforme possui carga porunidade de comprimento igual a 4,80 p,C e esta ao longo do eixo X.

Uma segunda linha, de carga longa e uniforme, possui carga porunidade de comprimento igual a -2,40 p,C e esta paralela ao eixo Ox,em y = 0,400 m. Qual e0 campo eletrico Ifquido (m6dulo, direcaoe sentido) nos seguintes pontos sobre 0 eixo Oy: (a) y = 0,200 m e(b) y = 0,600 m?22.22 (a) A uma distancia de 0,200 em do centro de uma esferacondutora carregada com raio igual a 0,100 em, 0 campo eletrico e

Capitulo 22 Lei de Gauss 65

de 480 N/C. Qual e0 campo eletrico a uma distancia de 0,600 emdo centro da esfera? (b) A uma distancia de 0,200 em do eixo deurn cilindro condutor carregado muito longo com raio igual a 0,100em, 0 campo eletrico eigual a 480 N/C. Qual e0 campo eletrico auma distancia de 0,600 em do eixo do cilindro? (c) A uma distanciade 0,200 em de urn plano de carga grande e uniforme, 0 campoeletrico e de 480 N/C. Qual e 0 campo eletrico a 1,20 em doplano?22.23 Uma esfera condutora oca, com raio extemo de 0,250 m eraio intemo de 0,200 m, possui uma densidade superficial de cargauniforme de +6,37 X 10-6 C/m2

• Uma carga de -0,500 p,C eintro­duzida na cavidade no interior da esfera. (a) Qual ea nova densi­dade de carga na parte externa da esfera? (b) Calcule a forca docampo eletrico fora da esfera. (c) Qual e0 f1uxo eletrico atraves deuma superffcie esferica na superffcie interior da esfera?22.24 Uma carga puntiforme de -2,0 p,C esta localizada no centrode uma cavidade esferica com raio igual a 6,50 em no interior deurn corpo s6lido isolado. A densidade de carga no s6lido ep = 7,35X 10-4C/m3

• Calcule 0 campo eletrico no interior do s6lido a umadistancia de 9,50 em do centro da cavidade.22.25 0 campo eletrico a uma distancia de 0,145 m da superffciede uma esfera isolante macica, com raio igual a 0,355 m, ede 1750N/C. (a) Supondo que a carga da esfera esteja uniformemente dis­tribuida, qual e a densidade de carga dentro dela? (b) Calcule 0

campo eletrico no interior da esfera a uma distancia de 0,200 m docentro.:n.26 Urn condutor com uma cavidade tal como aquela indicada naFigura 22.23c possui uma carga total igual a +5,0 nC. A cargaexistente no interior da cavidade, isolada do condutor, e igual a-6,0 nC. Qual ea quantidade de carga existente sobre (a) a super­ffcie interna do condutor? (b) a superffcie externa do condutor?22.27 Aplique a lei de Gauss para as superffcies gaussianas Sz, S3eS4na Figura 22:21b para calcular 0 campo eletrico na regiao entreas placas e fora delas.22.28 Uma foIha isolante quadrada, com lado igual a 80,0 em, emantida em uma posicao horizontal. A folha possui uma carga de7,50 nC distribufda uniformemente sobre sua superffcie, (a)Calcule 0 campo eletrico em urn ponto a uma distancia de 0,100rom acima do centro da foIha. (b) Estime 0 campo eletrico em urnponto situado a 100 m acima do centro da foIha. (c) Suas respostasdos itens (a) e (b) seriam diferentes se a foIha fosse feita de urnmaterial condutor? Por que?22.29 Urn condutor cilfndrico infinito possui raio R e uma densida­de superficial de carga U'. (a) Com base em U' e em R, qual ea cargapor unidade de comprimento A para 0 cilindro? (b) Em termos deU', qual e0 m6dulo do campo eletrico produzido pelo cilindro car­regado a uma distancia r > R do seu eixo? (c) Expresse 0 resultadodo item (b) em termos de A e mostre que 0 campo eletrico parafora do cilindro se comporta como se toda carga eletrica do cilindroestivesse cone entrada em seu eixo. Compare suas respostas com 0

resultado obtido para urn fio carregado no Exemplo 22.6 (Ses;ao22.4).22.30 Duas placas de plastico muito grandes e nao-condutoras,cada qual com espessura de 10,0 em, carregam densidades de cargauniforme U'l> U'z, U'3 e U'4 sobre suas superficies, como indica aFigura 22.34. Essas densidades superficiais de carga possuem osvalores U'l =-6,0 p,C/mz,

U'2 =+5,0 p,C/m2, U'3 =+2,0 p,C/mz e U'4

= +4,0 p,C/m2• Use a lei de Gauss para deterrninar 0 m6dulo, a

direcao e 0 sentido do campo eletrico nos seguintes pontos, afasta­dos das bordas dessas placas: (a) ponto A, a 5,0 em da face esquerda

66 FISICA III

da placa Ii esquerda; (b) ponto B, a 1,25 em da superficie intema daplaca Ii direita; (c) ponto C, no meio da placa Ii direita.

Figura 22.34 Exercfcio 22.30.

21.31 Uma carga negativa -Q e colocada no interior da cavidade deurn solido metalico oco. A parte extema do solido esta aterradapor urn fio condutor entre ele e a Terra. (a) Ha algum excesso decarga induzida na superffcie intema do pedaco de metal? Em casoafirmativo, determine 0 seu sinal e modulo. (b) Ha qualquer excessode carga na superffcie extema do pedaco de metal? Por que? (c) Hiurn campo eletrico na cavidade? Explique. (d) Ha urn campo eletri­co dentro do metal? Por que? Ha urn campo eletrico fora do pedacode metal? Explique. (e) Alguem fora do solido poderia medir urncampo eletrico produzido pela carga -Q? Ii razoavel afirmar que 0

condutor aterrado blindou a regiao dos efeitos da carga -Q? Emprincfpio, 0 mesmo poderia ser feito com a gravidade? Por que?

Problemas22.32 Urn cuba possui arestas com comprimento Lee colocado comurn dos vertices na origem, como indica a Figura 22.32. 0 campoeletrico nao e uniforme, porem e dado por H=-Bi + Cj - Dk,onde B, C e D sao constantes positivas. (a) Determine 0 fluxo ele­trico atraves de cada uma das seis faces do cuba 81> 8z, 83, S4,S5eS6' (b) Calcule 0 fluxo eletrico total no interior do cubo.22.33 0 campo eletrico Hna Figura 22.35 e paralelo ao eixo Ox emtodos os pontos da regiao, portanto os componentes E; e E; saonulos. 0 componentex do campo eletrico Exdepende de x, mas naodepende de y nem de z. Sobre os pontos do plano yz (em quex = 0), Ex = 125 N/C. (a) Calcule 0 fluxo eletrico atraves da super­ffcie I na Figura 22.35. (b) Qual e 0 fluxo eletrico atraves da superff­cie II? (c) 0 volume indicado na figura e uma pequena se"ao deuma viga isolante muito grande, com espessura igual a 1,0 m.Sabendo que existe uma carga igual a -24,0 nC no interior do volumeindicado, determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido de Hsobre a faceoposta Ii face I. (d) 0 campo eletrico existente e produzido somentepelas cargas no interior da viga ou pode ser produzido tambem porcargas existentes fora da viga? Como se pode ter certeza disso?

z

Figura 22.35 Problema 22.33.

22.34 Uma superffcie plana quadrada com lado igual aLe descritapelas equacoes

x= L (0 :5 Y :5 L, 0 :5 Z :5 L)

(a) Caca urn desenho do quadrado e mostre os eixos x, y e z,(b) Calcule 0 fluxo eletrico atraves do quadrado produzido por umacarga puntiforme q positiva localizada na origem (x = 0, y =0,z = 0). (Sugestiio: Imagine 0 quadrado como parte de urn cubacentralizado na origem.)22.35 0 campo eletrico HI em uma das faces de urn paraleleptpedoe uniforme em todos os pontos dessa face e aponta perpendicular­mente para fora da face. Na face oposta, 0 campo eletrico Hz tam­bern e uniforme em todos os pontos e aponta perpendicularmentepara dentro da face (Figura 22.36). As duas faces mencionadaspossuem uma inclinacao de 30° em relacao Ii horizontal, enquantoHI e Hz sao, ambos, horizontais; 0 modulo de HI e igual a 2,50 X104 N/C e 0 modulo de Hz e igual a 7,0 X 104 N/C. (a) Supondoque nenhuma outra linha de campo atravesse as superficies doparalelepipedo, determine a carga lfquida contida em seu interior.(b) 0 campo eletrico existente e produzido somente pelas cargas nointerior do paralelepipedo ou pode ser produzido tambem por car­gas existentes fora dele? Como se pode ter certeza disso?

Figura 22.36 Problema 22.35.

22.36 Uma linha longa que possui densidade linear de carga unifor­me +50,0 JLC/m corre paralelamente Ii superffcie de uma placa deplastico plana e grande, a 10,0 cm de distancia, e que possui umadensidade superficial de carga uniforme de-IOO JLC/mzem urn doslados. Ache a localizacao de todos os pontos em que uma parnculaa nao sofreria nenhuma forca produzida por essa combinacao deobjetos carregados.22.37 0 cabo coaxial. Urn cabo coaxiallongo e constitufdo porurn cilindro intemo condutor de raio a e por urn cilindro extemocoaxial com raio interno b e raio extemo e. 0 cilindro extemoesta apoiado em suportes isolantes e nao possui nenhuma cargalfquida. 0 cilindro intemo possui uma carga por unidade de com­primento uniforme A. Determine 0 campo eletrico (a) em qual­quer ponto entre os dois cilindros, a uma distancia r do eixo;(b) em qualquer ponto no exterior do cilindro. (c) Faca urn grafi­co do modulo do campo eletrico em funcao da distancia r ao eixodo cabo, desde r =0 ate r =2e. (d) Calcule a carga por unidadede comprimento da superffcie intema e da superffcie externa docilindro externo.22.33 Urn tuba cilfndrico condutor muito longo (cilindro oco) pos­sui raio intemo a e raio extemo b. Ele possui carga por unidade decomprimento igual a +a, em que a e uma constante positiva comunidades de C/m. Urn fio carregado esta sobre 0 eixo do tubo. 0 fiopossui uma carga por unidade de comprimento igual a +a. (a)Determine 0 campo eletrico em funcao de a e da distancia r ao eixodo tubo para (i) r < a; (ii) a < r < b; (iii) r > b. Mostre seus

ra

resultados em urn grafico de E em funcao da distancia r. (b) Qualea carga por unidade de comprimento sobre (i) a superffcie interna .do tubo; (ii) a superffcie extema do tubo?22.39 Repita 0 Problema 22.38, porem agora supondo que 0 tubocondutor possua uma carga por unidade de comprimento igual a-a. Como no Problema 22.38, 0 fio carregado possui uma cargapor unidade de comprimento igual a +a. .2VW Urn cilindro solido muito longo de raio R possui uma distri­buigao uniforme de carga positiva, sendo p a carga por unidade devolume. (a) Deduza uma expressao para 0 campo eletrico no inte­rior do volume, a uma distancia r do eixo do cilindro, em termosda densidade de carga p. (b) Qual e 0 campo eletrico em urn pontofora do volume, em termos da carga por unidade de comprimentoA do cilindro? (c) Compare os resultados dos itens (a) e (b) parar =R. (d) Faca urn grafico do modulo do campo eletrico em funcaoda distancia 1; de r = 0 ate r = 3R.22.41 Uma pequena esfera com massa de 0,002 g e carga de 5,0 X10-8 C esta suspensa por urn fio, proxima a uma grande placa con­dutora carregada, como indica a Figura 22.37. A densidade de cargasobre a placa e 2,50 X 10-9 C/m2

• Determine 0 angulo do fio.

)rI

Figura 22.37 Problema 22.41.

22.42 Uma esfera dentro de uma esfera. Uma esfera condutorasolida de raio a possui carga q. Ela esta no interior de uma esferacondutora oca concentric a com raio intemo b e raio extemo e. Aesfera condutora oca nao possui nenhuma carga lfquida, (a) Deduzauma expressao para 0 modulo do campo eletrico em fungao dadistancia r ao centro para as regi6es r < a, a < r < b, b < r < c,e r > e. (b) Faca urn grafico do modulo do campo eletrico emfuncao da distancia t; de r =0 ate r =2e. (c) Qual e a carga sobrea superffcie interna da esfera oca? (d) Qual e a carga sobre asuperffcie externa da esfera oca? (e) Represente as cargas dapequena esfera usando quatro sinais de adicao, Faca urn esbocodas linhas de campo do sistema no interior de urn volume esfe­rico de raio igual a 2e.22.43 Uma esfera condutora solida de raio R com carga Q esta nointerior de uma casca esferica muito fina isolante e concentrica, comraio 2R e que possui tambem uma carga Q. A carga Q esta distribuf­da uniformemente sobre a casca esferica isolante. (a) Determine 0

modulo, a direcao e 0 sentido do campo eletrico em cada uma dasregi6es 0 < r < R, R < r < 2R e r > 2R. (b) Faca urn grafico domodulo do campo eletrico em funcao da distancia r.22.4~ Uma esfera oca condutora com raio interno a e raio extemob possui uma carga puntiforme positiva Q, localizada em seu cen­tro. A carga total sobre a esfera oca e igual a -3Q e esta isolada desuas vizinhancas (Figura 22.38). (a) Deduza uma expressao para 0

modulo do campo eletrico em funcao da distancia r ao centro paraas regioes r < a, a < r < b, e r > b. (b) Qual e a densidade super-

Capitulo 22 Lei de Gauss 67

ficial de carga sobre a superffcie intema da esfera oca condutora?(c) Quale a densidade superficial de carga sobre a superffcie exter­na da esfera oca? (d) Faca urn desenho indicando as linhas decampo eletrico e a localizacao de todas as cargas. (e) Faca urngrafico do modulo do campo eletrico em funcao da distancia r.

Figura 22.38 Problema 22.44.

22.45 Esferas ocas concentricas, Uma pequena esfera oca condu­tora, com raio interno a e raio extemo b, econcentrica com umagrande esfera oca condutora, com raio interno e e raio externo d(Figura 22.39). A carga total sobre a esfera oca intema e igual a+2q e a carga total sobre a esfera oca extema e igual a +4q. (a)Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campo eletrico emfuncao da distancia r ao centro comum para as regioes (i) r < a;(ii) a < r < b; (iii) b < r < e; (iv) e < r < d; (v) r > d. Mostreseus resultados em urn grafico do componente radial de it em fun­gao da distancia r. (b) Qual e carga total sobre (i) a superffcieinterna da esfera oca pequena; (ii) a superffcie externa da esfera ocapequena; (iii) a superffcie interna da esfera oca grande; (iv) a super­ffcie externa da esfera oca grande?

Figura 22.39 Problema 22.45.

22.46 Repita 0 Problema 22.45, porem agora supondo que a esferaoca grande possua uma carga igual a -2q. Como no Problema

22.45, a esfera oca pequena continua com uma carga +2q.22.47 Repita 0 Problema 22.45, porem agora supondo que a esfera

oca grande possua uma carga igual a -4q. Como no Problema22.45, a esfera oca pequena continua com uma carga igual a +2q.22.48 Uma esfera condutora solida de raio R possui uma cargapositiva Q. A esfera esta no interior de uma esfera oca isolante econcentrica com raio interno R e raio extemo 2R. A esfera isolantepossui uma densidade de carga uniforme p. (a) Calcule 0 valor dep para que a carga total do sistema seja igual a zero. (b) Usando 0

valor de p encontrado na parte (a), determine 0 modulo, a direcaoe 0 sentido do campo eletrico em cada uma das regioes 0 < r < R,R < r < 2R, e r > 2R. Mostre seus resultados em urn grafico docomponente radial de item funcao da distancia r. (c) Sabemos que,geralmente, 0 campo eletrico e descontfnuo somente atraves deuma fronteira onde existe uma fina camada de cargas. Expliquecomo seu resultado da parte (b) confirma essa regra.22.49 Urna carga negativa - Q esta distribuida uniformementesobre uma casca esferica isolante fina, de raio R. Encontre 0 modu­lo, a direcao e 0 sentido da forca que essa casca esferica exercesobre uma carga puntiforme q localizada (a) a uma distancia r > R

do centro da esfera (no exterior da casca esferica); (b) a uma dis­tancia r < R do centro da esfera (dentro da casca esferica),

68 F[SICA III

22.50 (a) Qual 0 excesso de eletrons que deve ser distribufdo uni­fonnemente dentro do volume de uma esfera plastica isolada, com30,0 em de diametro, para produzir urn campo eletrico de 1150 NICna area extema da esfera? (b) Qual e 0 campo eletrico em urn pontoa 10,0 em fora da superffcie da esfera?22.51 Uma tinica placa condutora isolada (Figura 22.40) possuiuma carga por unidade de area o: em sua superffcie. Como a placae condutora, 0 campo eletrico sobre sua superffcie e perpendicularao plano e possui modulo E =ulEo. (a) No Exemplo 22.7 (Se9ao22.4), verificamos que 0 campo eletrico produzido por urn planoinfinito unifonnemente carregado com carga por unidade de area apossui modulo E = ul2Eo, exatamente a metade do valor do campoeletrico de uma placa condutora. Por que existe essa diferenca?(b) Considerando a distribuicao de cargas sobre a placa condutoracomo dois pIanos carregados (urn de cada lado da placa), cada urndeles com uma carga por unidade de area a, use 0 resultado doExemplo 22.7 e 0 principio da superposicao para mostrar queE = 0 no interior da placa e E = u/Eo fora da placa.

E = O'jEo

Figura 22.40 Problema 22.51.

22.51 Modelo de Thomson para 0 atomo. Nos primeiros anos doseculo 20, urn dos modelos pioneiros para a estrutura foi propostopelo fisico ingles J.J.Thomson (0 descobridor do eletron), Segundoo modelo de Thomson, urn atomo era constitufdo por uma esferacarregada positivamente com eletrons negativos, espalhados no inte­rior de seu volume, tal como passas no interior de urn bolo. Imagineurn atomo constituido por urn eletron de massa m e carga -e, quepode ser considerado uma carga puntifonne, e uma esfera de raio Runifonnemente carregada com uma carga total +e. (a) Explique porque a posicao de equilfbrio do eletron seria 0 centro do micleo. (b)No modelo de Thomson, suponha que 0 material positivo do atomonao oferecesse resistencia ao movirnento do eletron, Mostre que, seo eletron se deslocar de sua posicao de equilfbrio ate uma distanciamenor do que R, 0 movimento resultante do eletron deve ser harmo­nico simples; e calcule a frequencia das oscilacoes, (Sugestiio: Facauma revisao da definicao do movirnento harmonico simples, naSecao 13.2. Epossivel mostrar que, se a forca resultante sobre 0

eletron possui essa forma, entao 0 movimento resultante e harmo­nico simples. Reciprocamente, se a forca resultante sobre 0 ele­tron nao possui essa forma, entao 0 movimento resultante nao eharmonico simples.) (c) Na epoca de Thomson, ja se sabia queatomos excitados so emitiam ondas luminosas com certas fre­quencias, Nesse modelo, a freqtiencia das ondas ernitidas seria amesma das oscilacoes do eletron ou ados eletrons no atomo. Qualdeveria ser 0 raio do atomo no modelo de Thomson para que eleernitisse luz vermelha com uma frequencia igual a 4,57 X 10[4Hz? Compare sua resposta com 0 raio de urn atomo real, que e daordem de 10-10m (veja 0 Apendice F para os dados sobre 0 ele­tron). (d) Se 0 eletron se deslocasse de sua posicao de equilfbrioate uma distancia maior do que R, ocorreria oscilacao do eletron?o rnovimento resultante do eletron seria harmonica simples?

Explique sua resposta. (Nota historica: Em 1910, 0 micleo doatomo foi descoberto, provando que 0 modelo de Thomson naoera correto. A carga positiva do atomo nao se encontra espalhadaem seu volume, como Thomson irnaginava, mas concentrada emurn micleo minuscule, com raio da ordem de 10-14 a 10-15 m.)

+2e

Figura 22.41 Problema 22.53.

22.53 Modelo de Thomson para 0 atomo, conttnuacao. Usandoo modelo (desatualizado) de Thomson para 0 atomo, descrito noProblema 22.52, considere urn atomo constitufdo por dois eletrons,cada urn com carga -e, espalhados no interior de uma esfera de raioR, com uma carga total +2e.No equilfbrio, cada eletron esta a umadistancia d do centro do atomo (Figura 22.41). Calcule a distanciad em termos das outras propriedades do atomo,22,54 Uma placa uniformemente carregada. Uma placa de mate­rial isolante com espessura 2d e orientada de modo que suas facesfiquem paralelas ao plano yz e sejam dadas pelos pIanos x = dex= -d. As dimensoes da placa nas direcoes y e z sao muito maioresdo que d, de modo que podem ser consideradas infinitas. A placapossui uma densidade de carga unifonne p. (a) Explique por que 0

campo eletrico no centro da barra (x= 0) e igual a zero. (b) Usandoa lei de Gauss, determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campoeletrico em todos os pontos do espaco.22.55 Uma placa carregada de forma nao uniforme. Repita 0

Problema 22.54, porem agora supondo que a densidade de carga daplaca seja dada por p(x) = Po(xldi, onde Po e uma constante positiva,22.56 Pode ocorrer equilfbrio estavel quando forcas eletricasatuam sem nenhuma outra forca? No Capitulo 21, fornecemosdivers os exemplos para 0 calculo de uma forca eletrica exercidasobre uma carga puntiforme por outras cargas puntiformes exis­tentes em suas vizinhancas, (a) Considere uma carga puntiformepositiva +q. Forneca urn exemplo de como colocar duas outrascargas puntifonnes escolhidas por voce, de modo que a forca ele­trica resultante exercida sobre a carga +q seja igual a zero. (b) Se aforca eletrica sobre a carga +q e igual a zero, essa carga esta emequilfbrio.Dizemos que 0 equilfbrioe estavel quando, ao deslocar­mos ligeiramente a carga em qualquer direcao a partir da posi9aode equilfbrio, a forca eletrica resultante empurra a carga de volta asua posicao de equilfbrio, Para que isso ocorra, qual deve ser adirecao do campo eletrico it produzido pelas outras cargas punti­formes existentes nas vizinhancas da carga em equilfbrio +q?(c) Suponha que a carga +q seja removida para uma distanciamuito grande das outras cargas; e imagine uma pequena superffciegaussiana centralizada no ponto onde a carga +q estava em equilf­brio. Aplicando a lei de Gauss para essa superffcie, mostre que eimpossivel obter a condicao de equilfbrio estavel mencionada noitem (b), supondo que existam apenas as forcas eletricas atuandosobre a partfcula. Em outras palavras, uma carga +qnao pode atin­gir urn equilfbrio estavel quando sobre ela atuam forcas exclusiva­mente eletrostaticas, Esse resultado e conhecido como teorema deEarnshaw. (d) Os itens de (a) ate (c) referem-se ao equilfbrio esta­vel de uma carga puntifonne positiva +q. Prove 0 teorema deEarnshaw para uma carga puntiforme negativa -q.

Capitulo 22 Lei deGauss 69

22.57 Uma distribuicao de cargas esfericamente simetricas, poremnao uniformes, possui uma densidade per) dada por:

per)= Po (1 - rlR) para r :S Rper)=0 para r 2: R

x

.22.62 Um cilindro isolante muito longo, de raio R,possui um buracocilfndrico,com raio a, perfurado ao longo de toda a extensao do eixoparalelo ao eixo do cilindro, 0 eixo do buraco esta a uma distancia bdo eixo do cilindro, em que a < b < R (Figura 22.43). A parte maci­~a do cilindro possui uma densidade volumetrica de carga uniformep. Encontre 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campo eletrico Enointerior do buraco e mostre que if euniforme em todos os pontos dovolume do buraco. (Sugesti'io: Veja 0 Problema 22.61.)

QFigura 22.44 Problema 22.63.

Figura 22.42 Problema 22.61.

sidade uniforme, verificariamos que 0 modulo de g seria direta­mente proporcional adistancia r ao seu centro. iSugestiio; Veja 0

Exemplo 22.9 na Secao 22.4.) Provamos esses resultados na Se~ao

12.6 fazendo calculos muito trabalhosos; as provas mediante 0 usoda lei de Gauss da gravitacao sao muito mais simples.

22.61 (a) Uma esfera isolante com raio a possui uma densidade decarga uniforme p. A esfera nao esta centralizada na origem, poremseu centro esta localizado no ponto r= b. Demonstre que 0 campoeletrico no interior da esfera edado por E=p cr - b)/3Eo. (b) Umaesfera isolante com raio R possui um buraco esferico com raio a,localizado no interior de seu volume, e esta centralizado em urnponto a uma distancia b do centro da esfera, em que a < b < R(uma se~ao reta da esfera e indicada na Figura 22.42). A partemacica da esfera possui uma densidade volumetrica de carga puniforme. Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido do campoeletrico Eno interior do buraco e mostre que if e uniforme emtodos os pontos do volume do buraco. (Sugesti'io: Use 0 principioda superposicao e 0 resultado do item (a).)

Figura 22.43 Problema 22.62.

22.63 Uma carga positiva Q esta distribufda uniformemente aolongo de cada volume de duas esferas de raio R. Uma das esferasesta centralizada na origem e a outra esta centralizada no ponto x =2R (Figura 22.44). Determine 0 modulo, a direcao e 0 sentido docampo eletrico produzido por essas duas distribuicoes de cargasnos seguintespontos sobre 0 eixo Ox: (a)x =0; (b) x =RI2; (c) x =R;(d) x =3R.22,;(;4 Repita 0 Problema 22.63, porern agora supondo que a esfera daesquerda possua carga Q e que a esfera da direita possua carga -Q.

y

para r s; Rpara r 2: R

per)=Po (1 - 4r13R)per)= 0

1--> -->rg ' dA = -41TGMinte

1--> -->F .dA = -41TGm

(b) Usando as mesmas etapas logicas adotadas na Secao 22.3 paradeduzir a lei de Gauss para um campo eletrico, demonstre que 0

fluxo de g atraves de qualquer superficie fechada e dado por

em que Po euma constante positiva. (a) Calcule a carga total conti­da na distribuicao de cargas. (b) Obtenha uma expressao para 0

campo eletrico na regiao r 2: R. (c) Determine uma expressao parao campo .eletrico na regiao r :SR. (d) Faca um grafico do modulodo campo eletrico E em funcao da distancia r. (e) Encontre 0 pontor para 0 qual 0 campo eletrico atinge seu valor maximo e calcule 0

valor desse campo eletrico maximo.22.59 Lei de Gauss para a gravitacao. A forca gravitacional entreduas massas puntiformes separadas por uma distancia r epropor­cional a 1/?-, tal como no caso da forca eletrica entre duas cargaspuntiformes. Em virtude dessa semelhanca entre uma forca gravi­tacional e uma forca eletrica, tambem existe uma lei de Gauss paraa gravitacao. (a) Seja g a aceleracao da gravidade produzida poruma massa puntiforme m na origem, de modo que g=- (Gml?-)r.Considere uma superficie gaussiana esferica com raio 1; centraliza­da sobre essa massa puntiforme, e demonstre que 0 fluxo de gatraves dessa superffcie edado por

em que Po = 3QlnR3 e uma constante positiva. (a) Mostre que acarga total contida na distribuicao eigual a Q. (b) Demonstre queocampo eletrico na regiao r 2: R e identico ao campo eletri­co produzido por uma carga puntiforme Q, situada em r = O.(c) Obtenha uma expressao para 0 campo eletrico na regiao r:S R.(d) Faca um grafico do modulo do campo eletrico E em fun~ao dadistancia r. (e) Encontre 0 ponto r para 0 qual 0 campo eletricoatinge seu valor maximo e calcule 0 valor desse campo eletricomaximo.22.58 Uma distribuicao de cargas esfericamente simetricas, poremnao uniformes, possui uma densidade per) dada por:

em que Minte e a massa total no interior da superficie fechada.22.60 Aplicai;ao da lei de Gauss para a gravitacao, Usando a leide Gauss para a gravitacao (deduzida na parte (b) do Problema22.59), mostre que as seguintes afirmacces sao verdadeiras:(a) Para qualquer distribuicao de massas esfericamente simetricacom massa total M, a aceleracao da gravidade fora da distribuicaoea mesma que aquela produzida se toda a massa da esfera estives­se concentrada em seu centro. iSugestdo: Veja 0 Exemplo 22.5 naSe~ao 22.4.) (b) Para qualquer ponto no interior de uma cascaesferica com massa distribuida uniformemente em sua superffcie,a aceleracao da gravidade e igual a zero. (Sugesti'io: Veja 0

Exemplo 22.5.) (c) Caso fosse possfvel fazer um buraco retilfneoatraves do centro de urn planeta esfericamente simetrico, com den-I

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