LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

Profa. Solange dos Santos Nieto

1) Dada f: R2 R3

f(x,y) = ( 2x, 0, x + y). Verifique se é linear.Resp: Sim

2) a) Qual é a transformação linear f: R2 R3 tal que f(1,1) = (3,2,1) e f(0,-2) = (0,1,0)?

Resp: f(x,y) = (3x, ,x)

b) ache f(1,0) e f(0,1)c) ache a matriz canônica de f

Resp: M =

3) Seja f: R2 R2 tal que a matriz de f é M = . Ache os vetores u e v tais que:

a) f(u) = u Resp: (x,-x)b) f(v) = -v Resp: (x,0)

4) Considere f: R3 R3 linear f(x,y,z) = (z, x – y, -z)a) ache N(f), em seguida exiba uma base e a dimensão de N(f).b) ache Im(f), seguida exiba uma base e a dimensão de Im(f).Resp: dimN(f) = 1 e dim Im(f) = 2

5) Se R(x,y) = ( 2x, x-y, y) e S (x,y,z) = (y-z, z-x);a) ache R Sb) ache S Rc) ache S SResp: a) (2y-2z, y-2z+x, z-x) b) (x-2y, y-2x) c) não existe

6) Sejam, f: R2 R3, uma transformação linear. E = {(1,-1), (0,2)} e F= {(1,0,-1), (0,1,2),

(1,2,0)} bases de R2 e R3 respectivamente. Sendo ,

ache f(x,y) Resp: f(x,y) =

7) Seja P3 = conjunto dos polinômios com grau menor ou igual à 3a) T : P3 P3

f f’ (derivada). Mostre que T é linear.b) ache N(T), em seguida encontre uma base e a dimensão de N(T)Resp: dim N(T) = 1c) ache a imagem de T, em seguida encontre uma base e a dimensão da Im(T).Resp: dim Im(T) = 3

8) Verifique que <u,v> = ac – ad – bc + 3bd onde u =(a,b) e v = (c,d) é um produto interno em R2.

9) Sejam os vetores u = (1,5) e v= (3,4) em R2 . Ache:a) <u,v> em relação ao produto interno usual em R2,b) <u,v> em relação ao produto interno em R2 do exercício 8,c) ache o módulo de u e de v em relação aos itens a e b

10) Seja o espaço vetorial V de polinômios com produto interno definido por:

e os polinômios f(t) = t +2 e g(t) 3t – 2. Determine <f,g>, .

11) Consideremos o seguinte produto interno no R2:(a,b) . ( c,d) = ac + 2ad + 2cb + 5bd. Mostre que, relativamente a esse produto interno, o conjunto A = {(1,0) , (2,-1)} é base ortonormal de R2. (base ortonormal: os vetores têm módulos unitários e são ortogonais dois a dois.)

12) Determine a componente ( coeficiente de Fourier) da projeção w de v = (1,2,3,4) ao longo de w = (1,-3,4,-2) em R4. Usando o produto interno usual do R4.Resp: = -1

13) Seja V o espaço vetorial dos polinômios com produto interno <f,g> = .

Determine o coeficiente de Fourier de f(t) = 2t – 1 ao longo de g(t) = t2. Resp. =5/6

14) Ache o polinômio característico de A : Resp: 2 - 3 +17

15) Seja . a) Determine os autovalores de A e os respectivos autovetores Resp:

5 , -1, v1=(1,1) e v2 = (2,-1).b) Ache D = P-1.A.P onde P é a matriz coluna dos autovetores. Explique este resultado.

16) Seja . Determine os autovalores de A e os respectivos autovetores.

( Supondo que A seja uma matriz sobre o corpo complexo C ). Resp i, -i, v1= (1, 1 – i) e v2 = (1, 1 + i).