Universidade Federal de Pelotas

Instituto de Fısica e Matematica

Departamento de Matematica

Disciplina: ALGA (2011/01)

Professor: Regis Quadros

Lista 2

1. Dados os vetores −→u = (1, a,−2a− 1), −→v = (a, a− 1, 1) e −→w = (a,−1, 1), determine

a de modo que −→u · −→v = (−→u +−→v ) · −→w .

2. Determinar o vetor −→v , sabendo que

(3, 7, 1) + 2−→v = (6, 10, 4)−−→v .

3. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6,−2, 3) e C(1, 2, 1), determine o versor do vetor

3−→BA− 2

−−→BC.

4. Verifique se sao unitarios os seguintes vetores:

(a) −→u = (1, 1, 1);

(b) −→v =

(1√6,− 2√

6,

1√6

).

5. Determinar o valor de n para que o vetor −→v =

(n,

2

5,4

5

)seja unitario.

6. Seja o vetor −→v = (m + 7)−→i + (m + 2)

−→j + 5

−→k . Calcular m para que |−→v | = √

38.

7. Obtenha um ponto P no eixo das abscissas equidistante dos pontos A(2,−3, 1) e

B(−2, 1,−1).

8. Considere o triangulo de vertices A(−1,−2, 4), B(−4,−2, 0) e C(3,−2, 1). Deter-

mine o angulo interno referente ao vertice B.

9. Os pontos A, B e C sao vertices de um triangulo equilatero cujo lado mede 10cm.

Calcule o produto escalar dos vetores−→AB e

−→AC.

10. Os lados de um triangulo retangulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13 centımetros.

Calcule−→AB · −→AC +

−→BA · −−→BC +

−→CA · −−→CB.

11. Determine os angulos internos do triangulo de vertices A(2, 1, 3), B(1, 0,−1) e

C(−1, 2, 1).

12. Calcular n para que seja deπ

6o angulo entre os vetores −→u = (1, n, 2) e

−→j .

13. Dados os vetores −→a = (2, 1, α),−→b = (α + 2,−5, 2) e −→c = (2α, 8, α), determine o

valor de α para que o vetor −→a +−→b seja ortogonal ao vetor −→c −−→a .

14. Determine o vetor −→v , paralelo ao vetor −→u = (1,−1, 2), tal que −→v · −→u = −18.

15. Determine o vetor −→v ortogonal ao vetor −→u = (2,−3,−12) e colinear ao vetor−→w = (−6, 4,−2).

1

16. Determine o vetor −→v , colinear ao vetor −→u = (−4, 2, 6), tal que −→v ·−→w = −12, sendo−→w = (−1, 4, 2).

17. Prove que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3,−2, 1) sao vertices de um triangulo

retangulo.

18. Qual o valor de α para que os vetores−→a = α−→i +5

−→j −4

−→k e

−→b = (α+1)

−→i +2

−→j +4

−→k

sejam ortogonais?

19. Verifique se existe um angulo reto no triangulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e

C(0, 4, 1).

20. Dados os vetores −→u = (2,−1, 1), −→v = (1,−1, 0) e −→w = (−1, 2, 2), calcular:

(a) −→w ×−→v ;

(b) −→v × (−→w −−→u );

(c) (2−→u )× (3−→v );

(d) (−→u ×−→v ) · (−→u ×−→v );

(e) (−→u ×−→v )×−→w e −→u × (−→v ×−→w ).

21. Determine um vetor unitario simultaneamente ortogonal aos vetores −→v1 = (1, 1, 0) e−→v2 = (2,−1, 3). Nas mesmas condicoes, determinar um vetor de modulo 5.

22. Sabendo que |−→a | = 3 e |−→b | =√

2 e que o angulo entre −→a e−→b e de

π

4, calcule

|−→a ×−→b |.

23. Calcule a area do paralelogramo definido pelos vetores−→u = (3, 1, 2) e−→v = (4,−1, 0).

24. Mostre que o quadrilatero cujos vertices sao os pontos A(1,−2, 3), B(4, 3,−1),

C(5, 7,−3) e D(2, 2, 1) e um paralelogramo e calcule a sua area.

25. Calcule a area do triangulo de vertices:

(a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3);

(b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0).

26. Calcule x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1,−1, 0) e C(2, 1,−1) sao vertices de um

triangulo de area

√29

2.

27. Verifique se sao coplanares os seguintes vetores:

(a) −→u = (3,−1, 2), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (−2, 3, 4);

(b) −→u = (2,−1, 0), −→v = (3, 1, 2) e −→w = (7,−1, 2).

28. Verifique se sao coplanares os pontos:

(a) A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3), C(0, 2,−2) e D(−1, 0,−2);

(b) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1,−2, 2);

(c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1,−1,−1) e D(0, 1,−1).

29. Para que valores de m os pontos A(m, 1, 2), B(2,−2, 3), C(5,−1, 1) e D(3,−2,−2)

sao coplanares?

2

30. Sejam os vetores −→u = (1, 1, 0), −→v = (2, 0, 1), −→w1 = 3−→u − 2−→v , −→w2 = −→u + 3−→v e−→w3 =

−→i +

−→j − 2

−→k . Determine o volume do paralelepıpedo definido por −→w1,

−→w2 e−→w3.

31. Calcule o valor de m para que o volume do paralelepıpedo determinado pelos vetores−→v1 = 2

−→i −−→j , −→v2 = 6

−→i + m

−→j − 2

−→k e −→v3 = −4

−→i +

−→k seja igual a 10.

32. Os vetores −→a = (2,−1,−3),−→b = (−1, 1,−4) e −→c = (m + 1,m,−1) determinam

um paralelepıpedo de volume 42. Determine o valor de m.

33. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:

(a) A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D(4, 2, 7);

(b) A(−1, 3, 2), B(0, 1,−1), C(−2, 0, 1) e D(1,−2, 0).

Respostas:

1. a = 2.

2. ~v = (1, 1, 1).

3.

(7

9,4

9,4

9

).

4. (a) nao e unitario.

(b) e unitario.

5. n = −√

5

5ou n =

√5

5.

6. −4 ou −5.

7. P (1, 0, 0).

8. 45◦.

9. 50.

10. 169.

11. A = arccos10

3√

28, B = arccos

2√

6

9e C = arccos

2√42

.

12. n = −√15 ou n =√

15.

13. α = −6 ou α = 3.

14. ~v = (−3, 3,−6).

15. ~v = t(3,−2, 1), onde t ∈ R.

16. ~v = (2,−1,−3).

17. Basta notar que−→BA · −−→BC = 0.

3

18. α = −3 ou α = 2.

19. O triangulo ABC e reto em A.

20. (a) (2, 2,−1).

(b) (−1,−1, 0).

(c) (6, 6,−6).

(d) 3.

(e) (4,−1, 3) e (1,−4,−6).

21. Temos duas solucoes em cada caso:(1√3,− 1√

3,− 1√

3

)ou

(− 1√

3,

1√3,

1√3

)

e:

5

(1√3,− 1√

3,− 1√

3

)ou 5

(− 1√

3,

1√3,

1√3

).

22. 3.

23.√

117.

24. Basta notar que−→AB =

−−→DC e

−−→BC =

−−→AD. A sua area e

√89.

25. (a)√

6.

(b)7

2.

26. x = 3 ou x =1

5.

27. (a) nao.

(b) sim.

28. (a) sim.

(b) nao.

(c) sim.

29. m = 10.

30. 44 u. v..

31. m = −4 ou m = 6.

32. m = 2 ou m = −8

3.

33. (a) 2.

(b) 10.

4