Projeto Numeratizar - Ensino Fundamental

Lista 1 - Raciocınio Logico

26 de abril de 2004

1 Problemas de raciocınio logico

Nesta lista, encontraremos problemas que envolvem apenas raciocınio, criativi-dade e organizacao. Voces nao vao poder me dizer:

-Professor, eu nao sei essa materia...

porque simplesmente nao tem materia. Basta que voces usem sua inteligencia(e tambem paciencia) para compreender os exemplos e resolver os exercıciospropostos.

Exemplo 1.1. Numa gaveta ha 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual e onumero mınimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que as meiasretiradas contenham um par da mesma cor? E para garantir que contenham umpar de cor branca?

Pense bem para entender corretamente o enunciado...

Sol: Para que haja um par de meias da mesma cor e necessario que se re-tire 3 meias (obrigatoriamente teremos 2 meias brancas ou 2 meias pretas; setirarmos apenas 2 pode ser que uma seja branca e a outra seja preta).

E para GARANTIR que as meias retiradas vao conter pelo menos um par decor branca devemos retirar 8 meias (se retirassemos apenas 7 meias, poderiamvir 6 pretas e apenas 1 branca).

Exemplo 1.2. Temos tres caixas (em fila) e tres frutas: um abacaxi, umabanana e um caja. Cada caixa contem uma fruta e sabe-se que:

• A caixa verde esta a esquerda da caixa azul.

• A caixa vermelha esta a direita da banana.

• O caja esta a direita da caixa vermelha.

Qual fruta esta em qual caixa?

Sol: Vale a pena pensar um pouco antes de ver a solucao...

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Observe as duas ultimas afirmacoes: O caja esta a direia da caixa vermelha,que por sua vez esta a direita da banana. Logo devem estar dispostos assim:

banana cx vermelha caja

Concluımos portanto que o abacaxi deve estar na caixa vermelha, e que a caixada banana e a verde, pois na primeira afirmacao ele diz que a caixa verde estaa esquerda da azul. A configuracao deve ser entao:

cx verde(banana) cx vermelha(abacaxi) cx azul(caja)

Quero ver atencao para o proximo exemplo:

Exemplo 1.3. Para um grupo de criancas formado por 5 meninos e 5 meninas,as seguintes afirmacoes sao verdadeiras:

1. As criancas de cabelos longos nao gostam de bombom.

2. Nao ha meninas de cabelos curtos.

3. O numero de meninas que nao gostam de bombom e igual ao numero demeninos com cabelos longos.

Quantos meninos gostam de bombom?

Sol: A afirmacao 2 nos diz que nao ha meninas de cabelos curtos, logo todasas 5 meninas tem cabelos longos. Pela primeira frase entao, as 5 meninas naogostam de bombom.

Agora, pela afirmativa 3, o numero de meninos de cabelos longos e igual aonumero de meninas que nao gostam de bombom, que e 5. Portanto pela afir-mativa 1, nenhum dos meninos gosta de bombom.

O problema seguinte apareceu na Olimpıada da Escola Publica, que voces par-ticiparam no ano passado. Apesar de ter sido proposto para o nıvel II, acreditoque voces podem dar um show nesse problema!!

Exemplo 1.4. Sao dadas 4 moedas aparentemente iguais. Sabe-se que umadelas e falsa (tem peso diferente das demais). Mostre como descobrir a moedasfalsa com 2 pesagens em uma balanca de dois pratos.

Tentem pensar alguns minutos antes de olhar a solucao...

Solucao: Chame as moedas de A,B,C, D. Pese duas delas digamos A e B.Temos entao duas possibilidades:

• Ha equilıbrio entre A e B: Nesse caso A e B devem ser moedas legıtimas.Pese entao A com C. Se equilibrar de novo, a falsa devera ser a moeda D.Se nao equilibrar, C sera a falsa.

• Nao ha equilıbrio entre A e B: Concluımos daı que A ou B e a falsa. Peseentao A e C(que e uma moeda verdadeira). Se houver equilıbrio, B seraa falsa. Se desequilibrar, A sera a falsa.

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De qualquer modo voce consegue entao descobrir qual a moeda falsa usandoduas pesagens

Exemplo 1.5. Um crime e cometido por uma pessoa e ha quatro suspeitos:Andre, Eduardo, Rafael e Joao. Interrogados, eles fazem as seguintes declaracoes:

1. Andre: Eduardo e o culpado.

2. Eduardo: Joao e o culpado.

3. Rafael: Eu nao sou culpado.

4. Joao: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado.

Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, quem e o culpado?

Mais uma vez, vale a pena pensar um pouquinho antes de ver a solucao...

Sol: O enunciado diz que so ha um cara que esta falando a verdade. Fixe-mos as atencoes em Eduardo e Joao. Para Eduardo temos duas possibilidades:ou ele mente, ou ele fala a verdade.

Se Eduardo mente, entao Joao esta falando a verdade. Como so pode haverum falando a verdade, esta pessoa so podera ser Eduardo ou Joao. De modoque temos entao certeza que Andre e Rafael mentiram. Como Rafael mentiu,ele deve ser o culpado.

Entao Eduardo deve estar mentindo tambem, e a pessoa que falou a verdade foiJoao.

Resposta: Rafael

Exemplo 1.6. Quatro amigos, Andre, Beto, Caio e Denis, obtiveram os qua-tro primeiros lugares em um torneio de karate julgado por uma comissao detres juızes. Ao comunicarem a classificacao final, cada juiz anunciou duascolocacoes, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa:

(Juiz 1) Andre foi o primeiro; Beto foi o segundo.

(Juiz 2) Andre foi o segundo; Denis foi o terceiro.

(Juiz 3) Caio foi o segundo; Denis foi o quarto.

Sabendo que nao houve empates, qual foi a classificacao final do torneio?

Sol: Para o primeiro juiz temos duas possibilidades:

Caso 1: Andre foi o primeiro (verdade) e Beto foi o segundo (mentira)

Nesse caso para o segundo juiz devemos ter: Andre foi o segundo (mentira)e Denis foi o terceiro (verdade). E para o terceiro juiz: Denis foi o quarto(mentira) e Caio foi o segundo (verdade). A classificacao final ficaria entao:

1. Andre

3

2. Caio

3. Denis

4. Beto

Caso 2: Andre foi o primeiro(mentira) e Beto foi o segundo (verdade)

Nesse caso teremos, para o segundo juiz: Andre foi o segundo (mentira) e De-nis foi o terceiro (verdade). E para o terceiro juiz deverıamos ter: Denis foi oquarto(mentira) e Caio foi o segundo (verdade). Chegamos a uma contradicao,pois inicialmente Beto era o segundo. Logo este caso nao e possıvel.

As colocacoes finais sao aquelas apresentadas no primeiro caso.

2 Exercıcios Propostos

Primeiro dois probleminhas de aritmetica para esquentar...

Problema 1

Corte 10 algarismos do numero 1234512345123451234512345, para que o numeroresultante seja o maior possıvel.

Problema 2

(OCM) Uma pessoa sabe um segredo e passa para outras 12 pessoas. Cada umadessas 12 pessoas passa o segredo para outras 12 pessoas. Novamente, cada umdos novos conhecedores do segredo passa para outras 12 pessoas. Ao final disto,quantas pessoas sabem do segredo?(esse pessoal e fofoqueiro, ne!)

Problema 3

Bruno falou: ”Antes de ontem eu tinha 10 anos, mas completarei 13 ano quevem”. E possıvel que Bruno esteja falando a verdade?

Problema 4

Tres amigos planejam uma viagem ao campo de Alan.

Alexandre diz : ”Para chegarmos demoraremos no maximo 5 horas”.Marılia entao fala: ”Garanto que chegamos em mais de 5 horas”.Bruno diz: ”A viagem dura mais de 2 horas”.

Se apenas um deles tem razao, qual deles e? O que se pode dizer sobre aduracao da viagem?

Problema 5

Uma gaveta tem 40 bolas vermelhas, 30 bolas azuis, 20 bolas verdes e 10 bolasamarelas. Quantas bolas precisamos tirar (no escuro) para ter CERTEZA quetiramos:

(a) 2 bolas da mesma cor?

(b) 3 bolas da mesma cor?

(c) 15 bolas de uma mesma cor?

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(d) um par de bolas vermelhas?

(e) um par de bolas de uma cor e outro par de outra cor?

Problema 6

Quando Joaozinho estava fazendo uma prova de multipla escolha, apareceu aseguinte questao:

Qual e a quantidade de letras de todos os itens falsos dessa questao:

1. quarenta e sete

2. quarenta e oito

3. cinquenta

4. cinquenta e um

5. cinquenta e quatro

Sendo Joaozinho um cara esperto, ele marcou a unica opcao correta. Qual foi?

Problema 7

(OBM-2002) Tres amigas foram para uma festa com vestidos azul, preto ebranco, respectivamente. Seus pares de sapato eram dessas mesmas tres cores,mas somente Ana usava vestido e sapatos da mesma cor. Nem o vestido, nemos sapatos de Julia eram brancos. Vanessa usava sapatos azuis.Descreva a cor do vestido e dos sapatos de cada uma das mocas.

Problema 8

(OCM/94)Tres meninos tem em conjunto 21 garrafas de coca-cola, todas elascom a mesma capacidade. Sabe-se que 7 delas estao vazias, outras 7 estao cheiaspela metade e as outras 7 estao completamente cheias. Mostre como dividir as21 garrafas entre os tres garotos, sem transferir coca de uma para outra, demodo que cada um deles fique com o mesmo numero de garrafas e a mesmaquantidade de coca.

Problema 9

(Olimpıada Carioca/93)Raul e Cida formam um estranho casal. Raul mente as4a’s, 5a’s e 6a’s feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Cida mente aosdomingos, 2a’s e 3a’s feiras, dizendo a verdade nos outro dias. Certo dia ambosdeclaram: amanha e dia de mentir. Em que dia foi feita esta declaracao?

Problema 10

Bruce Willis se meteu numa tremenda enrascada: esta em uma fonte, na qualesta armada uma bomba que vai explodir em alguns minutos. Se ele tentar sairda fonte, tudo vai pelos ares, mas ele tem uma chance: conectada a bomba existeuma balanca, e esta balanca desarma a bomba quando se poem exatamente 4litros de agua sobre ela. Bruce Willis tem 2 recipientes: um com capacidadepara 3 litros e outro com capacidade para 5 litros. Como ele deve fazer parasair vivo dessa fria? (baseado numa cena do filme ”Duro de matar III”).

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Problema 11

Hoje a noite vai haver quatro jogos na rodada do Campeonato Brasileiro. Antesdas partidas, comentaristas de tres jornais deram seu palpite sobre quem vence-ria. Sao eles: Diario da Bola: Sao Paulo, Corinthians, Flamengo e Vasco.Folha da Arquibancada: Palmeiras, Santos, Flamengo e Sao Paulo. OPenalti: Cruzeiro, Corinthians, Santos e Sao Paulo. Nenhum jornal apostouque o Gremio venceria. Quem joga contra quem?

Problema 12

Renata, Regina e Rita tiveram seus carros - um Corsa, um Gol e um Ka -roubados no estacionamento de um shopping center quase ao mesmo tempo.Cada carro foi levado por um ladrao - Ricardo, Rodrigo e Rui. O investigadorencarregado dos casos descobriu as seguintes pistas:

(a) O gatuno que levou o Corsa, o mais perigoso dos tres, era solteiro.

(b) Renata era mais jovem que a dona do Gol.

(c) O cunhado de Rodrigo, Ricardo, que roubou a mais velha das tres mu-lheres, era menos perigoso que o ladrao do Gol.

(d) O homem que furtou o carro de Renata era filho unico.

(e) Ricardo nao roubou o carro de Regina.

Quem roubou qual carro de quem? (Pergunta complexa ne...na verdade estouperguntando qual mulher era dona de qual carro, e qual ladrao roubou qualcarro, resumindo, ME DIGA O QUE ACONTECEU!!)

Problema 13

(OBM/98)Existem casas em volta de uma praca. Joao e Pedro dao uma voltana praca, caminhando no mesmo sentido e contando as casas. Como naocomecaram a contar da mesma casa, a 5a casa de Joao e a 12a de Pedro, ea 5a casa de Pedro e a 30a de Joao. Quantas casas existem em volta da praca?

Problema 14

Quatro participantes de uma gincana precisam cruzar uma ponte a noite. Naverdade, e uma pinguela que suporta, no maximo, duas pessoas. O grupo temapenas uma lanterna e e necessario usa - la na travessia. O desfiladeiro e largodemais para que alguem se arrisque a atira - la para outro lado. Nao saopermitidas travessias pela metade. Cada membro do grupo atravessa a ponteem uma velocidade. Os tempos da travessia sao:Participante A: 1 minutoParticipante B: 2 minutosParticipante C: 5 minutosParticipante D :10 minutosSe duas pessoas atravessam juntas, vale a velocidade do indivıduo mais lento.Mostre que o grupo todo pode atravessar a ponte em 17 minutos.

Problema 15

(i) Mostre como dispor os numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nas casas de um quadrado3 × 3 para formar um quadrado magico, ou seja, para que a soma dosnumeros nas linhas, colunas e diagonais seja a mesma.

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(ii) Prove que em todo quadrado magico o numero da casa central deve ser o5.

3 Desafio da lista

Problema 16

O carcereiro mostrou a tres prisioneiros de uma mesma cela cinco cırculos decartolina: tres brancos e dois pretos. Depois, pregou um cırculo branco nascostas de cada presidiario, sem que nenhum pudesse ver a cor do papel queestava consigo mesmo. O primeiro que adivinhasse a cor do proprio cırculoseria solto (se errasse seria fuzilado!). Apos algum tempo, um dos detentosdeclarou que carregava um cırculo branco e foi posto em liberdade. Como elechegou a essa conclusao?

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