MACVESTMatemática E

LISTA I – POLINÔMIOS E NÚMEROS COMPLEXOS01 (Unicamp 2009 – 2ª fase) Seja f(x) = anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 um polinômio de grau n tal que an ≠ 0 e a j∈ℝ , para qualquer j entre 0 e n. Seja g(x) = nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+...+2a2x+a1 o polinômio de grau (n-1) em que os coeficientes a1, a2,..., an são os mesmos empregados na definição de f(x).

a) Supondo que n=2, mostre que g ( x+ h2)=

f (x+h)− f ( x)h , para todo

x∈ℝeh∈ℝ , h≠0.b) Supondo que n = 3 e que a3=1, determine a expressão do polinômio f(x), sabendo que:

f(1) = g(1) = f(-1) = 0

02 (Unesp 2008 – Meio do ano) As raízes da equação x4+a=0 são os vértices de um quadrado no plano compexo. Se uma raíz é 1+i e o centro do quadrado é 0+0i, determine o valor de ª

03 (Unesp 2009 – Meio do ano) O gráfico representa uma função polinomial p(x)=ax³+bx+c, com a, b e c coeficientes reais, definida em ℝ2 .

a) Calcule os valores dos coeficientes a, b e c.b) Quais as raízes de p(x) com suas respectivas multiplicidades?

04 (Unesp 2010) Uma raiz da equação x³-(2a-1)x²-a(a+1)x+2a²(a-1)=0 é (a-1). Quais são as outras duas raízes desta equação?

05 (Unesp 2011 – Meio do ano) Transforme o polinômio P (x )=x5+x2− x−1 em um produto de dois polinômios, sendo um deles do 3ª grau.

06 (Fuvest 2009) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 24/5. Sabendo-se que o

1

coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:a) a progressão aritmética.b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.

07 (Fuvest 2011) a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo

z0=1

1+i− 1

2i+ i

b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z0 como raiz.c) Determine os números complexos w tais que z0⋅w tenha módulo igual a 5√2 e tais que as partes real e imaginária de z0⋅w sejam iguais.d) No plano complexo, determine o número complexo z1 que é o simétrico de z0 com relação à reta de equação y – x = 0.

08 (Fuvest 2011) As raízes da equação do terceiro graux³ – 14x² + kx – 64 = 0

são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine:a) As raízes da equação.b) o valor de k.

09 (Fuvest 2012) O polinômio p (x )=x4+ax3+bx2+cx−8 em que a, b, c são números reais, teo o número complexo 1+i como raiz, bem como duas raízes simétricas.a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que possuam estes novos valores como raízes.

10 (Fuvest 2009) A figura representa o número ω=−1+i √32

no plano complexo, sendo

i=√−1 unidade imaginária. Nessas condições:a) determine as partes real e imaginária de 1

ω e de ω3 .b) represente a resposta da alternativa a na figura.c) determine as raízes complexas da equação z³–1=0.

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