lista fisica1 solucao

Universidade de BrasíliaInstituto de Física

Primeira Lista de Exercícios de Física I

Questão 1

A velocidade terminal de uma gota de água, de den-sidade ρa, caindo na atmosfera da Terra é dada pelaexpressão abaixo:

vt =

√8Rρag

3Cγ

Onde R é o raio da gota, m a sua massa, g a acelera-ção da gravidade e C é um coeficiente adimensional.(a) Qual a dimensão do fator γ?(b) Sendo γ uma propriedade da gota, analisando adimensão da mesma, que propriedade seria esta?

Solução(a) Da análise dimensional, temos que:

[L]

[T ]= [L]1/2[M ]1/2[L]−3/2[L]1/2[T ]−1[γ]−1/2

Ao representar a unidade de cada um dos termos naequação. Lembre-se que os termos adimensionais nãoprecisam ser representados. Elevando ambos os ladosda equação ao quadrado, temos que:

[L]2

[T ]2= [M ][L]−1[T ]−2[γ]−1

Portanto,

[γ] =[M ]

[L]3

(b) Observando a equação e a unidade do fator γ,concluímos que a propriedade em questão é a densi-dade do meio, ou seja, da atmosfera.

Questão 2

Na equação abaixo:

x(t) = x0 + v0t+1

2at2 + βt3 + γt4

Qual a dimensão:a) Do lado esquerdo da equação;b) Do lado direito da equação;c) De cada termo da equação;d) Do parâmetro β; e) Do parâmetro γ.Sendo x(t) a posição da partícula, t o tempo, v0 suavelocidade inicial e β e γ parâmetros experimentais.

Solução

As duas regras básicas da análise dimensional são que:i) O lado esquerdo da equação tem que ter a mesmadimensão que o lado direito da equação e ii) cadatermo de uma equação tem que ter a mesma dimen-são. Destas regras, identificando que a posição x(t)tem dimensão de comprimento, ou seja, [L], concluí-mos que: a) a dimensão do lado esquerdo da equaçãoé [L], b) a dimensão do lado direito da equação é [L]e c) a dimensão de cada termo da equação é [L] tam-bém.d) Para determinarmos a dimensão do parâmetro β,utilizamos o fato de que o termo inteiro tem dimensãode comprimento. Sendo assim:

[β][T ]3 = [L]

Portanto, [β] = [L]/[T ]3.e) O mesmo procedimento é utilizado para determi-narmos a dimensão de γ. Ou seja,

[γ][T ]4 = [L]

Portanto, [γ] = [L]/[T ]2.Questão 3

Utilizando análise dimensiona, obtenha o período deoscilação T de uma massa m presa a uma mola idealcom constante elástica k, suspensa sob ação da gravi-dade g.

SoluçãoAs quatro quantidades envolvidas tem dimensão deT [T ]; m [M ]; k [M ]/[T ]2; e g [L/T ]2. Sendo assim,se expressarmos o período T como um produto dasquantidades envolvidas, elevada a uma potência qual-quer, podemos concluir que:

T = κmxkygz

onde κ é um parâmetro unidimensional. Sendo aequação com dimensões dada por:

[T ] =[M ]x[M ]y[L]z

[T ]2y[T ]2z

de onde concluímos que: z = 0, y = −1/2 e x = 1/2.Sendo a expressão dada por:

T = κ√m/k

Questão 4

A distância média do Sol à Terra é 390 vezes a dis-tância média da Lua à Terra. Considere a situaçãofísica de um eclipse total do Sol, ou seja, a Lua entrea Terra e o Sol (vide Figura). Sabendo que o ângulo

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interceptado pelo olho, ao olhar a lua, é 0, 50o, e adistância entre a Terra e a Lua é 3, 8× 105km:

a) Determine a razão do diâmetro do Sol para odiâmetro da Lua.

b) Determine a razão do volume do Sol para o vo-lume da Lua.

c) Determine o diâmetro da Lua.

Solução (a) Quando o ângulo interceptado (θ) é me-dido em radianos, então este é igual ao comprimentode arco dividido pelo raio. Para grandes raios de cír-culo e pequenos valores de ângulo — como é o caso —os arcos podem ser aproximados por seguimentos dereta. No nosso caso essas linhas retas são o diâmetroda Lua (d) e do Sol (D). Assim,

θ =d

RLua

=D

RSol

⇒ RSol

RLua

=D

d

o que leva D/d = 390 (b) Lembrando que a relaçãoem o raio do Sol e o Raio da Lua é a mesma que D/d,temos:

43πR3

S43πR3

L

= 3903 = 5, 9× 107

Transformando θ em radianos teremos aproximada-mente 0, 009rad, assim

d = θRLua = (0, 009)(3, 8× 105) ≈ 3, 4× 103km

Questão 5

Suponha que você esteja deitado em uma praia e ob-serve o sol se pôr no oceano, ligando um cronômetrono momento em que ele desaparece. Em seguida, vocêse levanta, fazendo com que seus olhos se movam paracima de uma distância h = 1, 70m. No momento emque o sol desaparece você pára o cronômetro, medindoum tempo t = 11, 1s. Quanto mede o raio da Terra?Solução Considerando o esquema temos por Pitágo-ras:

d2 = r2 = (r + h)2 = r2 + 2rh+ h2

oud2 = 2rh+ h2

como h é muito menor que o raio da Terra, podemosdesprezar o termo h2 assim, d2 = 2rh. O ângulo entreos dois pontos de tangência A e B é θ, que é também

o ângulo que o sol descreve em torno da Terra du-rante o intervalo de tempo medido. Em 24 horas osol descreve 360o. Assim:

θ

360o=

t

24h

substituindo os valores θ = 0, 04625o. Ainda pelafigura d = rtanθ. Combinando as equações em d te-mos:

r =2h

tan2θsubstituindo valores temos r = 5, 2× 106m.Questão 6

De acordo com o rótulo de uma garrafa de molohode salada, o volume do conteúdo é 0, 437liter(L).Usando apenas as conversões 1L = 1000cm3 e 1in =2, 54cm, expresse este volume em polegadas cúbica.Solução

0, 437L× (1000cm3

1L)× (

1in

2, 54cm)3 = 26, 66in3

1in3 é maior que 1cm3, então o volume em polega-das cúbica (in3) é menor que o volume em centímetrocúbico (cm3).Questão 7

As seguintes coversões de unidades ocorrem frequen-temente na física e são muito úteis.(a) Use 1mi = 5280ft e 1h = 3600s para converter60mph (milha por hora) para unidades de ft/s (péspor segundo).Solução

(60mi

h)× (

1h

3600s)× (

5280ft

1mi) = 88ft/s

(b) A aceleração de um objeto em queda livre é32ft/s2. Use 1ft = 30, 38cm para expressar esta ace-leração em unidades de m/s2.Solução

(32ft

s2)× (

30, 48cm

1ft)× (

1m

100cm) = 9, 8m/s2

(c) A densidade da água é 1, 0g/cm3. Converta estadensidade para unidades de kg/m3.Solução

(1, 0g

cm3)× (

100cm

1m)3 × (

1kg

1000g) = 103kg/m3

Questão 8

Um biscoito de chocolate é um disco circular com di-âmetro de 8.50 ± 0.02cm e a espessura de 0.050 ±0.005cm.(a) Encontre o volume médio de um biscoito e a in-certeza no volume.Solução


O volume de um disco de diâmetro d e espessura e éV = π(d/2)2e.O volume médio é V = π(8, 50cm/2)2(0, 50cm) =2, 837cm3. Mas e tem apenas dois algarismossignificativos, então a resposta deveria ser ex-pressa com dois algarismos significativos: V =2, 8cm3. A incerteza pode ser encontrada da se-guinte forma. O volume poderia ser tão grandequanto V = π(8, 52cm/2)2(0, 055cm) = 3, 1cm3,que é 0, 3cm3 maior que o valor médio. O vo-lume também poderia ser tão pequeno quanto V =π(8, 52cm/2)2(0, 045cm) = 2, 5cm3, que é 0, 3cm3 me-nor que o valor médio. Assim, a incerteza é ±0, 3cm3

e o volume pode ser expresso como V = 2, 8±0, 3cm3.(b) Encontre a razão do diâmetro para a espessura ea incerteza nesta razão.SoluçãoA razão entre o diâmetro médio e a espessura médiaé 8, 50cm/0, 050cm = 170. Tomando o maior valorpossível do diâmetro e o menor valor possível da es-pessura nós obtemos o maior valor possível para estarazão: 8, 52cm/0, 045cm = 190. O menor valor pos-sível da razão é 8, 48cm/0, 055cm = 150. Assim, aincerteza±20 e a razão pode ser escrita como 170±20.

Questão 9

Um gry é uma antiga medida inglesa para compri-mento, definida como 1/10 de uma linha, onde linhaé uma outra medida inglesa para comprimento, defi-nida como 1/12 de polegada. Uma medida comum noramo de publicação é um ponto, definido como 1/72da polegada. Qual é a área de 0, 5gry2 em pontosquadrados (pontos2)?SoluçãoOs fatores de conversão 1gry = 1/10linha, 1linha =1/12polegada e 1ponto = 1/72polegadas implica emque 1gry = (1/10)(1/12)(72pontos) = 0, 60ponto.Assim, 1gry2 = (0, 60ponto)2 = 0, 36ponto2, então0, 5gry2 = 0, 18ponto2.

Questão 10

A Terra é aproximadamente uma esfera de raio6, 37×106. Quais são (a) sua circunferência em quilô-metros, (b) a área de sua superfície em quilômetrosquadrados, e (c) seu volume em quilômetros cúbicos?

Solução(a) Substituindo R = (6, 37 × 106m)(10−3km/m) =6, 37 × 103km , se a circunferência = 2πR, obte-mos 4, 00 × 104km. (b) A área da sua superfície éA = 4πR2 = 4π(6, 37 × 103km)2 = 5, 10 × 108km2.(c) O volume da Terra é V = 4π

3R3 = 1, 08×1012km3.

Questão 11

A Antártica é aproximadamente semicircular, comum raio de 2000km. A espessura média de sua cober-tura de gelo é 3000m. Quantos centímetros cúbicosde gelo contém a Antártica? (Ignore a curvatura daTerra.)

SoluçãoO volume do gelo dado pelo produto da área su-perficial semicircular e espessura. Assim: V =A.z = πr2

2.z = π

2.(2000 × 105cm)2(3000 × 102cm) =

1, 9× 1022cm3.

Questão 12

Até 1883, cada cidade nos Estados Unidos mantinhasua própria hora local. Hoje, viajantes acertam seusrelógios apenas quando a mudança de fuso horárioé igual a 1, 0h. Em média, que distância uma pes-soa nos Estados Unidos deve percorrer, em graus delongitude, até que seu relógio deva ser reajustado em1, 0h? (Dica: A Terra gira 306o em aproximadamente24h.)

SoluçãoDesde que uma mudança longitudinal de 360o corres-ponde a uma mudança de 24h, uma mudança de 1hé 360o/24 = 15o.

Questão 13

A planta com crescimento mais rápido de que se temregistro é a Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3, 7mem 14 dias. Qual foi sua taxa de crescimento emmicrômetros por segundo?

SoluçãoUm dia é equivalente a 86400 segundos e um me-tro é equivalente a um milhão de micrometros, assim

(3,7m)( 106µmm

)

(14dias)(86400s/dias)= 3, 1µm/s.

Questão 14

A Terra tem uma massa de 5, 98 × 1024kg. A massamédia dos átomos que compõem a Terra é 40u. Quan-tos átomos existem na Terra?

SoluçãoSe a MT é a massa da Terra, m é a massa média deum átomo na Terra, e N é o número de átomos, ondeMT = Nm ou N = MT/m. Convertendo a massa mem quilogramas. Assim, N = 5,98×1024kg

(40u)(1,661×10−27kg/u)=

9, 0× 1049.

Questão 15

Como um contraste entre o antigo e o moderno eUniversidade de Brasília - Física 1 - Primeira Lista de Exercícios

entre o grande e o pequeno, considere o seguinte: naantiga Inglaterra rural, uma jeira (entre 100 e 120acres) era a área de terra necessária para assentaruma família com um único arado. ( Uma área de 1acre é igual a 4047m2.) Também, 1wapentake era aárea de terra necessária para 100 dessas famílias. EmFísica quântica, a área as seção transversal de um nú-cleo (definida em termos da probabilidade de que umapartícula incidente seja absorvida pelo núcleo) é me-dida em barns, onde 1barn = 1×10−28m2. (No jargãoda física nuclear, se um núcleo é "grande", acertá-locom uma partícula é tão fácil quanto acertar uma balana porta de um celeiro (a palavra inglesa barn signi-fica celeiro). Qual é a razão entre 25wapentakes(wp)e 11barns?

SoluçãoAssumindo 1jeira = 110acres, a relação25wp/11barns com os fatores de conversão fica :(25wp)( 100hide

1wp)( 110acre

1hide)( 4040m

2

1acre)

(11barns)( 1×10−28m2

1barn)

= 1× 1036.

Questão 16

Nos Estados Unidos, uma casa de boneca tem umaescala de 1 : 12 em relação a uma casa real ( ouseja, cada comprimento da casa de boneca é 1/12do comprimento correspondente da casa real) e umacasa em miniatura ( uma casa de boneca para caberdentro da casa de boneca) tem a escala de 1 : 144 emrelação a uma casa real. Suponha que uma casa real(figura abaixo) tem um comprimento frontal de 20m,uma profundidade de 12m, uma altura de 6, 0m, eum telhado inclinado padrão (faces verticais triangu-lares nas extremidades de 3, 0m de altura. Qual é ovolume, em metros cúbicos, (a) da casa de bonecas e(b) da casa em miniatura?

SoluçãoO volume total da casa real é a soma do prima trian-gular com 3m de altura e da caixa retangular de 6mde altura, ambos com 20m de comprimento. Assim:V = 1

2hA+ h′A = (h

2+ h′)A = 1800m3. (a) Cada di-

mensão é reduzida pelo fator de 1/12, e encontramosVbon = (1800m3)( 1

12)3 = 1, 0m3. (b) Neste caso, cada

dimensão (relativa a casa real) é reduzida pelo fator de1/144. Assim:Vmin = (1800m3)( 1

144)3 = 6, 0×10−4m3.

Questão 17

Durante um festividade na Malásia, você compra umboi pesando 28, 9piculs na unidade local de peso:1picul = 100gins, 1gin = 16tahils, 1tahil = 10chees,e 1chee = 10hoons. O peso de 1hoon corresponde auma massa de 0, 3779g. Quando você providencia oenvio do boi de volta para casa, deixando a famíliaem estado de choque, que massa em kg você devedeclarar no documento de embarque?

SoluçãoA massa em quilograma é(28, 9piculs)(100gin

1picul)(16tahil

1gin)(10chee

1tahil)(10hoon

1chee)(0,3779g

1hoon) =

1, 75× 103kg.

Questão 18

Uma unidade astronômica (UA) é a distancia médiaentre a Terra e o Sol, aproximadamente 1, 50×108km.A velocidade da luz é aproximadamente 3, 0×108m/s.Expresse a velocidade da luz em unidades astronômi-cas por minuto.

SoluçãoConvertendo metros para unidades astronômi-cas e segundos para minutos usamos: 1000m =1km, 1AU = 1, 50 × 108km, e 60s = 1min.Assim, (3, 0 × 108m/s)(1km/1000m)(AU/1, 50 ×108km)(60s/min) = 0, 12AU/min.

Questão 19

Uma unidade de área freqüentemente usada na me-dição de áreas de terrenos é o hectare, definido como104m2. Uma mina de carvão de escavação aberta con-some 75 hectares de terra, até uma profundidade de26m, a cada ano. Qual é o volume de terra removidapor ano em quilômetros cúbicos?

SoluçãoO volume removido em um ano é V = (75 ×104m2)(26m) = 2 × 107m3 convertendo em quilô-metros cúbicos: V = (2 × 107m3)(1km/1000m)3 =0, 020km3.

Questão 20

Uma pessoa em dieta deveria perder 2, 3kg por se-mana. Expresse a taxa de perda de massa em mi-ligramas por segundo, como se a pessoa em regimepudesse sentir a perda segundo a segundo.

SoluçãoCada quilograma equivale a um milhão de miligramas,assim 2, 3 kg/semana é 2, 3× 106 mg/semana. Consi-


derando uma semana com 7 dias, 3600 segundos porhora, encontramos 604800 segundos são equivalentesa uma semana. Dessa forma, (2, 3× 106)/(604800) =3, 8mg/s.

Questão 21

Estime a ordem de grandeza do número de fios decabelo na cabeça de uma pessoa adulta.SoluçãoUma primeira aproximação a esse problema é con-siderar a cabeça humana como uma esfera e tomarseu raio r como sendo a média entre os raios das cir-cunferências latitudinais e longitudinais, de modo aaumentar a confiabilidade do modelo. Notemos tam-bém que apenas uma parcela, ou uma porcentagemp, de nossas cabeças é coberta por cabelo. Portanto,a área cabeluda é S = 4π.rp Note também que ésimples escolhermos um pequeno segmento de área econtarmos o número de fios de cabelo nele existentes,obtendo a razão R de número de fios f por segmentode área a. Agora, suponha que a distribuição defios de cabelo é uniforme por todo o couro cabeludo,temos que: f/a = F/S, onde F é número total defios. Disso temos que o número de fios de cabelo será:F = SF/a = 4π.r2pf/a Estimemos os valores de nos-sas variáveis em: r = 0, 20 m, p = 0, 40, R = 615 fiospor cm2, a = 1 cm2, F = 1, 2.106

Questão 22

Estime o volume ocupado pelo número de notas deR$1,00, necessário para pagar a dívida externa brasi-leira (estimada em R$ 535 bilhoes ao fim de 2011). Setodas as notas pudessem ser empilhadas, qual seria aaltura dessa pilha?SoluçãoObserve que a nota de um real, por mais que seja

muito fina, constitui um objeto tridimensional dotadode comprimento (c), largura (L) e espessura (e), pos-suindo volume v = ceL. A dívida externa pode ser es-timada emD reais, ou seja,D notas de um real. Comocada nota ocupa volume v, a dívida ocupa um volumetotal V = vD. Agora note que se empilharmos todasas notas que pagariam a dívida, teríamos uma colunade dilensões c, L e H, de modo que V = cLH, le-vando a H = eD. Pesquisando que as dimenões deuma nota de um real são 140x65 mm, estimando aespessura como sendo da ordem de 10−1 mm e utili-zando o valor proposto para a dívida externa, temos:V = 4, 9.105m3 H = 5, 35.104km

Questão 23

A população mundial dobrou nos últimos 50 anos. Su-ponha que vivemos no ano 2.000 e que a populaçãomundial é de 5 bilhões de pessoas. Se a populaçãocontinuar dobrando a cada 50 anos, qual será a popu-lação mundial no ano 3.000? Estime a área disponívelpor indivíduo nesse caso.SoluçãoSuponha que a estamos no ano 2.000; como a popula-ção dobra a cada 50 anos, até o ano 3.000 ela terá do-brado n = (3−2).103/50 = 20 vezes. A população noano 3.000 será dada por: P (3.000) = P (inicial).2n =P (2.000).220 = 5.109.220 Logo P(3.000) é aproxima-damente 5, 2.1015. Em nossa estimativa precisamosconsiderar que ocupamos apenas as terras emersas denosso planeta. Estimando que apenas 30% da super-fícies não é coberta por água e que a Terra seja umaesfera, com boa aproximação, de raio igual a 6, 4.103

km, temos que a área "habitável"(note que ainda esta-mos considerando áreas extremas, como grandes mon-tanhas e desertos) de nosso planeta é de 1, 54.1014 m2.Com isso, temos que a área disponível por habitanteserá da ordem de 3.10−2 m2 por indivíduo.


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