lista de exercícios1

Métodos Quantitativos – 2011 – Lista de Exercícios

Considere as informações a seguir para responder as questões 1, 2, 3, 4 e 5:

Para se estudar o desempenho de duas corretoras de ações, selecionou-se de cada uma delas amostras

aleatórias das ações negociadas. Para cada ação selecionada, computou-se a porcentagem de lucro

apresentada durante um período fixado de tempo. Os dados estão a seguir.

Corretora A (% lucro) Corretora B (%lucro)

45 60 54 57 55 58

62 55 70 50 52 59

38 48 64 59 55 56

55 56 55 61 52 53

54 59 48 57 57 50

65 55 60 55 58 54

59 51 56

Para cada conjunto de dados:

1 – (a) Calcule a média aritmética; (b) Calcule a mediana; (c) Calcule a moda

2 – (a) Calcule a amplitude; (b) Calcule a variância; (c) Calcule o coeficiente de variação.

3 – (a) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.

4 – Para verificar a homogeneidade das duas populações, um pesquisador sugeriu que se usasse o quociente

2

B

2

A

S

SF , mas não disse qual decisão tomar baseado nesse valor. Que regra de decisão você adotaria para

dizer se são homogêneas ou não?

5 – Para decidir se os desempenhos das duas corretoras são semelhantes ou não, adotou-se a seguinte regra:

sejam:

2nn

S1nS1nS

n

1

n

1S

xxt

BA

2

BB

2

AA2

c

BA

c

BA

,

Onde:

Ax : média aritmética da amostra da corretora A.

Bx : média aritmética da amostra da corretora B.

nA: número de observações da amostra da corretora A.

nB: número de observações da amostra da corretora B.

SA: desvio padrão da amostra da corretora A.

SB: desvio padrão da amostra da corretora B.

Caso 2t , os desempenhos são semelhantes, caso contrário, são diferentes.

(a) Qual seria a sua conclusão?

Considere as informações a seguir para responder as questões 6 e 7:

Um serviço de aluguel de limusines que opera em determinada cidade deseja determinar o montante de

tempo necessário para transportar passageiros vindos de várias localidades para um grande aeroporto

metropolitano nas horas de menor movimento. Uma amostra de 12 corridas, em determinado dia, nas horas

de menor movimento indica o seguinte:

Corrida até o aeroporto

Distância (km) (X) Tempo (minutos) (Y)

10,3 19,71

11,6 18,15

12,1 21,88

14,3 24,21

15,7 27,08

16,1 22,96

18,4 29,38

20,2 37,24

21,8 36,84

24,3 40,59

25,4 41,21

26,7 38,19

6 – Calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre as variáveis distância e tempo.

7 – Faça a previsão do tempo (em minutos) gasto para uma corrida de 17,0km.


Os dados abaixo correspondem a uma pesquisa realizada na Cia MB. Foram selecionados 36 funcionários e

observadas as seguintes variáveis: estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário(em nº de

salários mínimos), idade (em anos) e região de procedência.

No Estado Instrução Número de Salário Idade Procedência

Civil Filhos

1 Solteiro ensino fundamental 4,00 26 Interior

2 Casado ensino fundamental 1 4,56 32 Capital

3 Casado ensino fundamental 2 5,25 36 Capital

4 Solteiro ensino médio 5,73 21 Outro

5 Solteiro ensino fundamental 6,26 41 Outro

6 Casado ensino fundamental 0 6,66 28 Interior

7 Solteiro ensino fundamental 6,86 41 Interior

8 Solteiro ensino fundamental 7,39 43 Capital

9 Casado ensino médio 1 7,59 34 Capital


11 Casado ensino médio 2 8,12 34 Interior

12 Solteiro ensino fundamental 8,46 28 Capital


14 Casado ensino fundamental 3 8,95 44 Outro





19 Solteiro superior 10,53 26 Interior

20 Solteiro ensino médio 10,76 37 Interior

21 Casado ensino médio 1 11,06 31 Outro

22 Solteiro ensino médio 11,59 34 Capital

23 Solteiro ensino fundamental 12,00 41 Outro

24 Casado superior 0 12,79 26 Outro







31 Solteiro superior 16,22 31 Outro


33 Casado superior 3 17,26 44 Capital

34 Solteiro superior 18,75 34 Capital

35 Casado 2º grau 2 19,40 49 Capital

36 Casado superior 3 23,30 42 Interior

8 – Calcule o r2 entre as variáveis região de procedência e salário.

9 – Calcule o r2 entre as variáveis grau de instrução e salário.

Considere as informações a seguir para responder as questões 10, 11 e 12:

Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas são apresentadas na tabela a seguir,

contendo o número de acidentes incluindo vítimas fatais e as condições do principal envolvido, sóbrio ou

alcoolizado.

10 – Calcule a percentagem de acidentes fatais entre os motoristas alcoolizados;

11 – Calcule a percentagem de acidentes fatais entre os motoristas sóbrios;

12 – Calcule o qui-quadrado de Pearson (χ2) e avalie baseado no valor encontrado se pode concluir que o

fato do motorista estar ou não alcoolizado interfere na ocorrência de vítimas fatais. Considere a seguinte

regra de decisão: se χ2 < 3,84 não interfere; caso contrário interfere.


Foram feitas medidas em operários da construção civil a respeito da taxa de hemoglobina no sangue (em

gramas/cm3):

11,2 11,3 11,7 11,7 12,2 12,3 12,3 12,3 12,5 12,6

12,6 12,7 12,7 13 13,2 13,4 13,5 13,5 13,6 13,7

13,9 14,1 14,4 14,7 15,2 15,2 15,4 15,8 16,3 16,9

13 – Calcule a média e a mediana (organize os dados em faixas de tamanho 1 a partir do 11).

14 – calcule o desvio padrão, o coeficiente de variação e o coeficiente de assimetria de Pearson.

15 – Um investigador deseja estudar a relação entre os salários e o tempo de experiência no cargo de

gerente de agências bancárias de um grande banco. Além disso, gostaria de saber se existem diferenças

quando são levados em conta os salários de homens e mulheres, separadamente.

Salário (Y) Experiência (X) Sexo

1,93 0 f

1,91 1 f

2,36 4 m

2,28 5 f

2,22 5 f

2,54 6 m

2,57 7 m

2,65 8 f

Condição do

motorista

Vítimas fatais

Não Sim

Sóbrio 1228 275

Alcoolizado 2393 762

2,78 9 f

2,91 9 m

2,99 10 m

2,82 11 f

3,15 11 m

2,85 13 f

3,13 15 f

3,09 15 f

3,18 17 f

3,60 18 m

3,23 20 f

4,09 20 m

4,09 22 m

4,22 23 m

4,12 23 m

4,51 25 m

4,48 25 m

4,71 27 m

4,75 29 m

Quanto da variação total dos salários pode ser explicada pelo sexo?

16 – Um estudo a respeito da eficácia da aspirina na redução de ataques cardíacos foi iniciado em 1982 e

concluído em 1987 (veja “Findings from the Aspirin Component of Ongoing Physician’s Health Study”, C.

Hennekens et al., The New England Journal of Medicine, 28 de janeiro de 1988, vol. 318, p. 262-264). De

11.037 médicos do sexo masculino, nos Estados Unidos, que tomaram um comprimido de aspirina de

325mg em dias alternados, 104 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do estudo. De 11.034

médicos do sexo masculino, dos Estados Unidos, que tomaram um placebo (isto é, uma pílula que, sem que

os participantes do estudo saibam, não contém qualquer ingrediente ativo), 189 sofreram ataque cardíaco

durante o período de 5 anos do estudo.

Calcule o Qui-quadrado de Pearson (χ2) e avalie, baseado no valor encontrado, se pode concluir que o tipo

de tratamento (aspirina ou placebo) interfere na ocorrência de ataque cardíaco. Considere a seguinte regra

de decisão: se χ2 < 3,84 não interfere; caso contrário interfere.

17 – Os dados a seguir representam o montante de doações a Fundos (em milhares de dólares) fornecido

pela Alcohol, Drug abuse, and Mental Health Administration, dos EUA, através de doações originadas por

uma amostra de 21 instituições durante um ano recente.

Instituição Quantia doada

1 14,9

2 14,1

3 6,8

4 13,1

5 7,6

6 13,2

7 5,1

8 11,9

9 8,5

10 7,1

11 5,1

12 5

13 6,2

14 5,5

15 3,8

16 3,4

17 3,5

18 2,8

19 4,1

20 15,9

21 5,7

Calcule a amplitude, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.


Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes informações:

Número de filhos 0 1 2 3 4 5 mais que 5

Freqüência de famílias 17 20 28 19 7 4 5

18 – Qual a mediana do número de filhos?

19 – E a moda?

Considere as informações a seguir para responder as questões 20, 21, 22 e 23:

Sendo P(A)=0,30, P(B)=0,50 e P(AB)=0,10. Calcule as seguintes probabilidades:

24 – Sejam A e B dois eventos independentes associados a um experimento aleatório. Se P(AB)=0,01 e

P(ABc)=1/600. Determine P(B).


Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha PA = 0,4 , enquanto P(A B)

= 0,7. Seja P(B) = p.

25 – Para que valor de p, A e B serão mutuamente excludentes?

26 – Para que valor de p, A e B serão independentes?

27 – Em uma população, o numero de homens é igual ao numero de mulheres. Sabe-se que 6 % dos

homens são daltônicos e 0,25 % das mulheres são daltônicas. Se uma pessoa é selecionada ao

acaso e verifica-se que é daltônica, determine a probabilidade de que ela seja do sexo feminino.


São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B contém

duas bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na urna B.

Uma bola é então extraída ao acaso da urna B. Pergunta-se:

28 – Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?

)(20 BAP

)(21 BAP

)(22 BAP

)(23 BAP

29 – Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a Segunda foi

preta?

30 – Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionará

independentemente quando qualquer coisa indesejável ocorrer. Se cada alarme tem probabilidade

0,9 de trabalhar eficientemente, qual é a probabilidade de se ouvir o alarme quando necessário?


Uma companhia produz circuitos em 3 fábricas (I, II e III). A fábrica I produz 40% dos circuitos

enquanto a II e III produzem 30% cada uma. As probabilidades de um circuito produzido por essas

fábricas não funcionarem são 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente.

33 – Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade do mesmo

não funcionar?

34 – Dado que o circuito não funciona, qual a probabilidade de que ele venha da fábrica I?

35 – Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de

0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de

que não mais do que um defeito seja encontrado. Use a distribuição binomial e a distribuição de

Poisson e compare os resultados.

Considere as informações a seguir para responder as questões 36 e 37: Verificou-se que o número de falhas de um transistor em um computador eletrônico, em qualquer período de uma hora, pode ser considerado como uma v.a. que tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 0,1 (Isto é, em média, haverá uma falha de transistor a cada 10 horas). Determinado cálculo, que requer 20 horas de tempo de cálculo, é iniciado.

36 – Determinar a probabilidade de que o cálculo acima seja completado com êxito, sem falhas (admita que a máquina se torne inoperante somente se 3 ou mais transistores falharem).

37 – O mesmo que em (a), exceto que a máquina se torna inoperante se 2 ou mais transistores falharem.

Considere as informações a seguir para responder as questões 38, 39 e 40: O número de navios petroleiros (N) que chegam a uma determinada refinaria a cada dia tem distribuição de Poisson com λ = 2. As atuais instalações podem atender a três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três deverão seguir para outro porto.

38 – Em um dia, qual é a probabilidade de se ter de mandar petroleiros para outro porto?

39 – Quantos navios deverão atender por dia, para que em pelo menos 95% dos dias a demanda seja

atendida?

40 – Qual o número esperado de petroleiros a chegarem por dia?

41 – O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa durante um período especificado é uma v.a. com distribuição de Poisson. Se a probabilidade de não haver emissões for igual a 1/3, qual é a probabilidade de que 2 ou mais emissões ocorram?

Considere as informações a seguir para responder as questões 42, 43 e 44: Uma pequena cirurgia dentária pode ser realizada por três métodos diferentes cujos tempos de recuperação (em dias) são modelados pelas variáveis X1, X2, X3. Admita que suas funções de probabilidades sejam dadas por: X1 0 4 5 6 10 P(X1=xi) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

X2 1 5 9 P(X2=xi) 1/3 1/3 1/3 X3 4 5 6 P(X3=xi) 0,3 0,4 0,3

42 – Calcule a E(X1), E(X2), E(X3);

43 – Calcule a Var(X1), Var(X2), Var(X3);

44 – Qual método você considera o mais eficiente? Justifique. 45 – A urna I contém 2 bolas pretas e três brancas, ao passo que a urna II contém três bolas pretas

e três bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela extraímos uma bola que tem cor branca.

Se a bola é recolocada na urna, qual é a probabilidade de se retirar novamente uma bola branca da

mesma urna?

46 – Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao

acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-

se outra. Dê um espaço amostral para o experimento.

47 – Dentre seis números positivos e oito negativos, dois números são escolhidos ao acaso (sem

reposição) e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?

48 – A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3, e a probabilidade de que B o resolva

é de ¾. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser resolvido?


Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu

valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular:

49 – a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;

50 – a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

51 – Suponha que existam três cofres, cada um com duas gavetas. O primeiro tem uma moeda de

ouro em cada gaveta, o segundo tem uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata em

outra, e o terceiro cofre tem uma moeda de prata em cada gaveta. Escolhe-se um cofre ao acaso e

abre-se uma gaveta. Se a gaveta contém uma moeda de ouro, qual a probabilidade de que a outra

gaveta contenha também uma moeda de ouro? Justifique.


Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com

probabilidade de 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um

equipamento por R$ 50.000,00 (com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade

9/10). Indicando por Y o valor total de vendas diárias desse vendedor,

52 – escreva a função de probabilidade de Y;

53 – calcule o valor total esperado de vendas diárias;

54 – calcule a variância da v.a. Y.


O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a

seguinte distribuição de probabilidade.

t 2 3 4 5 6 7

p(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1

55 – Calcule o tempo médio de processamento;

56 – Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas, se ele processa a peça

em menos de seis minutos, ganha R$ 0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa

a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de R$ 1,00. Encontre a distribuição, a média

e a variância da v.a. Y: quantia em R$ ganha por peça.

57 – Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas de 1.000 peças. É uma característica da

fabricação produzir 10% com defeito. Normalmente, cada caixa é vendida por R$ 13,50. Um

comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra de 20 peças; se a caixa

não tiver parafusos defeituosos, ele paga R$ 20,00; um ou dois defeituosos, ele paga R$ 10,00; três

ou mais defeituosos, ele para R$ 8,00. Qual alternativa é a mais vantajosa para o fabricante?

Considere as informações a seguir para responder as questões 58, 59, 60, 61, 62 e63:

Uma Companhia de Transportes determinou que, em termos anuais, a distância percorrida por

caminhão se distribui de modo normal com uma média aritmética de 50,0 mil milhas e um desvio

padrão de 12,0 mil milhas.

58 – Que proporção desses caminhões espera-se que percorra entre 34,0 e 50,0 mil milhas por ano?

59 – Qual é a probabilidade de que um caminhão, escolhido aleatoriamente, percorra entre 34,0 e

38,0 mil milhas por ano?

60 – Que percentagem de caminhões pode-se esperar que percorra ou abaixo de 30,0 ou acima de

60,0 mil milhas por ano?

61 – Quanto dos 1000 caminhões da frota espera-se que percorram entre 30,0 e 60,0 mil milhas por

ano?

62 – Quantas milhas podem ser percorridas por pelo menos 80% dos caminhões?


Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal, em períodos de seca

numa certa região, pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média 30mm e

variância 16mm2.

63 – Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de

probabilidade de haver uma precipitação inferior a esse valor?

64 – Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores de

precipitação pluviométrica.

65 – Admitindo esse modelo correto para os próximos 50 meses, em quantos deles esperaríamos

uma precipitação pluviométrica superior a 34mm?


Um determinado produto é empacotado automaticamente por uma máquina. A distribuição do peso

dos produtos é normal com média µ e desvio padrão 10g.

66 – Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 15% dos pacotes tenham menos

de 500g?

67 – Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 5 pacotes

escolhidos ao acaso seja inferior a 2,5kg?

68 – A capacidade máxima de um elevador é de 450kg. Se a distribuição dos pesos dos usuários é

média igual a 60kg e variância 64kg2,

Qual a probabilidade de 7 passageiros ultrapassarem esses limites?

69 – A confiabilidade de um mecanismo eletrônico é a probabilidade de que ele funcione sob as condições para as quais foi planejado. Uma amostra de 1000 desses itens é escolhida ao acaso e os itens são testados. Calcule a probabilidade de se obter pelo menos 30 itens defeituosos, sabendo-se que a confiabilidade de cada item é 0,95. 70 – Um componente eletrônico é formado por 100 componentes menores, cada um dos quais tem confiabilidade igual a 0,95. Se esses componentes funcionarem independentemente um do outro, e se o sistema funcionar adequadamente quando ao menos 80 componentes funcionarem, qual será a confiabilidade do sistema ? 71 – Suponha que temos algumas voltagens de ruído independentes, Vi i=1,2,....,n, as quais são recebidas num “somador”. Seja V a soma das voltagens recebidas e suponha que cada variável aleatória Vi seja uniformemente distribuída sobre o intervalo [0,10]. Qual a probabilidade de que a voltagem total exceda 160 volts quando n=30? 72 – Em uma central telefônica, as chamadas chegam com uma taxa de 3 por minuto. Qual probabilidade de que cheguem 100 chamadas ou menos em um período de 30 minutos ? Considere as informações a seguir para responder as questões 73 e 74:

Uma amostra de tamanho n é obtida de uma grande coleção de parafusos, 3 por cento dos quais são defeituosos. Qual será a probabilidade de que no máximo, 5 por cento sejam defeituosos, se 73 – n=20? 74 – n=600? 75 – Trinta dispositivos eletrônicos, Di i=1,2,...., 30, são empregados da seguinte maneira. Tão logo D1 falhe, D2 entra em operação; quando D3 falhar, D4entrará em operação etc. Suponha que em média Di dure 10 horas. Seja T o tempo total de 30 dispositivos. Qual a probabilidade de que T ultrapasse 350 horas ? 76 – O gerente de controle de qualidade de uma fábrica de lâmpadas de filamento precisa calcular a

vida útil média de uma grande remessa de lâmpadas. Sabe-se que o desvio padrão do processo é de

100 horas. Uma amostra aleatória de 50 lâmpadas indicou uma vida útil média da amostra de 350

horas. Se o gerente quiser calcular a vida útil média, numa margem de erro entre ± 20 horas, com

95% de confiança, que tamanho de amostra é necessário?


Um grupo de consumidores gostaria de calcular a quantia média, relativa a contas de energia

elétrica, para o mês de julho, para domicílios unifamiliares em uma grande cidade. Com base em

estudos conduzidos em outras cidades, supõe-se que o desvio padrão seja igual a $25. O grupo

gostaria de calcular a conta média para o mês de julho, numa margem de ± $5 da média

verdadeira, com 99% de confiança.

77 – Que tamanho de amostra é necessário?

78 – Se se deseja um nível de confiança de 95%, que tamanho de amostra é necessário?

79 – Uma empresa de televisão a cabo gostaria de calcular a proporção de clientes que comprariam

um guia de programação de tevê a cabo. A empresa gostaria de ter 95% de confiança de que sua

estimativa esteja correta, em uma margem de ±0,05 da população real. Experiências do passado,

em outras áreas, indicam que 30% dos clientes comprariam o guia de programação.

Que tamanho de amostra é necessário?

80 – Uma amostra de 25 observações de uma Normal 16; foi coletada e forneceu uma média

amostral de 8. Construa intervalos de confiança de 80%, 85%, 90% e 95% para a média

populacional. Comente sobre as diferenças encontradas.

81 – Será coletada uma amostra de uma população Normal com desvio padrão igual a 9. Para um

coeficiente de confiança de 99%, determine a amplitude do intervalo de confiança para a média

populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 e 100. Comente sobre as diferenças.


82 – Determine um I.C. de 80% para a média de uma v.a. normal com variância 4, com base em

uma amostra de 8 elementos, cujos valores são dados abaixo: 9, 14, 10, 12, 7, 3, 11 e 12.

83 – Qual deve ser o coeficiente de confiança a utilizar para que a amplitude do intervalo seja 2,77?


Uma experiência conduzida para medir o tempo de reação de um indivíduo a certo estímulo

proporcionou os seguintes tempos de reação (expressos em centésimos de segundo): 28, 30, 28, 33,

32, 29. Admita que o tempo de reação tenha distribuição Normal.

84 – Suponha que a variância 2 é igual a 6,25; determine um I.C. de 99% para o verdadeiro

tempo médio de reação.

85 – No caso da variância do universo 2 ser desconhecida, quais seriam os limites de confiança?

Considere as informações a seguir para responder as questões 86 , 87 e 88:

Na atmosfera, o nível de gás nocivo (em volume), segue uma distribuição Normal com média e

variância desconhecidas. Efetuam-se n análises, obtendo-se os valores x1, x2,...,xn.

86 – Em uma amostra de tamanho 10, obtiveram-se os valores 50 para a média amostral e 100 para

a variância amostral. Determine um I.C. de 95% para o nível médio de gás nocivo na atmosfera.

87 – Qual seria o intervalo acima se a variância da população fosse 100?

88 – suponha agora que temos uma amostra 10 vezes maior do que a anterior, que nos fornece os

seguintes resultados: média = 48 e variância = 90. Qual seria o I.C. de 95% para ?

89 – Passados dez minutos depois do encerramento das urnas, uma empresa de sondagem de

opinião faz as primeiras previsões baseada em uma amostra de 1000 eleitores; 480 destes eleitores

dizem que votaram no candidato “A”. Determine um I.C. de 99% para a proporção de pessoas que

votaram no candidato acima.


Um fabricante de temperos para saladas utiliza máquinas para despejar ingredientes líquidos em

garrafas que se movem ao longo de uma esteira de abastecimento. A máquina que despeja

temperos está funcionando adequadamente quando são despejadas 8 onças (1 onça = 28,3495g). O

desvio padrão do processo é 0,15 onças. Uma amostra de 50 garrafas é selecionada

periodicamente, e a esteira de abastecimento é paralisada se existirem evidências de que a

quantidade média despejada é diferente de 8 onças. Suponha que a quantidade média despejada em

uma determinada amostra de 50 garrafas seja 7,983 onças.

90 – Há evidências de que a quantidade média da população seja diferente de 8 onças (226,796g)?

Utilize um nível de significância de 0,05.)

91 – Calcule o pvalor em a) e interprete o seu significado

92 – Qual seria a sua resposta em (123) se o desvio padrão fosse 0,05 onças?

93 – Qual seria a resposta em (123) se a média aritmética da amostra fosse 7,952 onças?


Uma empresa produz barras de aço. Se o processo de produção estiver operando adequadamente,

são produzidas barras de aço de comprimento médio de pelo menos 2,8 pés (1 pé = 30,479cm),

com um desvio padrão de 0,20 pés (conforme determinado por meio de especificações de

engenharia no equipamento de produção envolvido). As barras de aço mais longas podem ser

utilizadas ou alteradas; as barras mais curtas devem ser descartadas. Uma amostra de 25 barras é

selecionada da linha de produção. A amostra indica um comprimento médio de 2,73 pés. A

companhia deseja determinar se o equipamento de produção necessita de algum ajuste.

94 – Indique as hipóteses nula e alternativa

95 – Se a companhia deseja testar a hipótese, em um nível de significância de 0,05, que decisões

ela irá tomar?

96 – Calcule o pvalor e interprete o seu significado.


Um grupo de defesa do consumidor gostaria de avaliar a potência média de aparelhos de ar-

condicionado de alta capacidade, instalados em janelas (isto é, acima de 7000 Btu). Uma amostra

aleatória de 36 desses aparelhos é selecionada e testada por um espaço de tempo fixo e suas

potências são registradas da seguinte maneira (arquivo anexo):

8,9 9,1 9,2 9,1 8,4 9,5 9,0 9,6 9,3 9,3 8,9 9,7 8,7 9,4 8,5 8,9 8,4 9,5

9,3 9,3 8,8 9,4 8,9 9,3 9,0 9,2 9,1 9,8 9,6 9,3 9,2 9,1 9,6 9,8 9,5 10,0

97 – Utilizando um nível de significância de 0,05, há evidências de que a potência média seja

diferente de 9,0?

98 – Que pressupostos estão sendo considerados no sentido de realizar o teste?

99 – Encontre o pvalor e interprete o seu significado

100 – Quais seriam suas respostas em (130) e (132) se o último valor dos dados fosse 8,0 em vez

de 10,0?


O gerente de um departamento de crédito de uma companhia de petróleo gostaria de determinar se

a dívida mensal média de possuidores de cartões de crédito é igual a $75. Um auditor seleciona

uma amostra aleatória de 100 contas e descobre que a média devida é de $83,40, com um desvio

padrão da amostra de $23,65.

101 – Utilizando o nível de significância de 0,05, o auditor deveria concluir que há evidências de

que a dívida média seja diferente de $75?

102 – Encontre o p-valor e interprete o seu significado.

103 – Qual seria sua resposta para (a) se o desvio padrão fosse $37,26.

104 – Qual seria sua resposta para (a) se a média aritmética da amostra fosse $78,81?


O diretor de pessoal de uma grande companhia de seguros está interessado em reduzir a taxa de

rotatividade de funcionários no setor de processamento de dados no primeiro ano de emprego.

Registros do passado indicam que 25% dos novos contratados nesta área não estão mais

empregados ao final de 1 ano. Novos e extensos métodos de treinamento são implementados para

uma amostra de 150 novos funcionários do processamento de dados. Ao final do período de 1 ano,

29 desses 150 indivíduos não estão mais empregados.

105 – No nível de significância de 0,01, há evidências de que a proporção de funcionários de

processamento de dados que tenham passado pelo novo treinamento e não estejam mais

empregados seja menor do que 0,25?

106 – Calcule o p-valor e interprete o seu significado.

107 – Qual seria a sua resposta para (a) se 22 dos indivíduos não estivessem mais empregados?


Um estudo a respeito da eficácia da aspirina na redução de ataques cardíacos foi iniciado em 1982

e concluído em 1987 (veja “Findings from the Aspirin Component of Ongoing Physician’s Health

Study”, C. Hennekens et al., The New England Journal of Medicine, 28 de janeiro de 1988, vol.

318, p. 262-264). De 11.037 médicos do sexo masculino, nos Estados Unidos, que tomaram um

comprimido de aspirina de 325mg em dias alternados, 104 sofreram ataque cardíaco durante o

período de 5 anos do estudo. De 11.034 médicos do sexo masculino, dos Estados Unidos, que

tomaram um placebo (isto é, uma pílula que, sem que os participantes do estudo saibam, não

contém qualquer ingrediente ativo), 189 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do

estudo.

108 – No nível de significância de 0,01, há evidências de que a proporção que sofre ataque cardíaco

seja inferior entre os médicos do sexo masculino que tomaram um comprimido de aspirina de

325mg em dias alternados do que entre aqueles que tomaram o placebo?

109 – Calcule o pvalor em a). Isso leva você a crer que tomar um comprimido de aspirina de 325

mg em dias alternados tenha sido uma medida eficaz na redução da incidência de ataques

cardíacos? Explique.

Métodos Quantitativos – 2011 – Respostas da Lista de exercícios

1 – R: Corretora A: a) 55,72222222; b) 55; c) 55

Corretora B: a) 55,4285714; b) 56; c) 55

2 –R: a) 32; b) 58,91830065; c) 13,78%

a) 11; b) 10,0571429; c) 5,72%

3 – R: Corretora A: 0,282271477

Corretora B: -0,54056248

4 – R: Um valor de F próximo a 1.

5 – R: t = 0,16. Os desempenhos são semelhantes.

6 – R: 0,957938

7 – R: 28,21585

8 – R: 1,27%

9 – R: 42%

10 – R: 24,15%

11 – R: 18,30% 12 – R: 20,16803683. Interfere.

13 – R: media: 13,46667 mediana: 13,14286

14 – R: DP: 1,473521; CV: 10,94%; As : 0,659257

15 – R: 34,75%

16 – R: 25,013884. Interfere.

17 – R: amplitude: 13,1; variância: 17,94990476; DP: 4,236732793; CV: 54,48%

18 – R: 2

19 – R: 2

20 - R: 0,90

21 - R: 0,30

22 - R: 0,40

23 - R: 0,80 24 –R: 6/7

25 – R: 0,3 26 – R: 0,5

27 – R: 0,04 28 – R: 7/12

29 – R: 6/7

30 – R: 0,999

33 –R: 0,025

34 –R: 0,16 35 –R: Binomial: 0,38 Poisson: 0,406

36 – R: 0,6766

37 – R: 0,406

38 – R: 0,143

39 – R: 5

40 – R: 2

41 –R: 0,3

42 –R: E(X1)=E(X2)=E(X3)=5

43 –R: V(X1)=10,4; V(X2)=10,7; V(X3)=0,6

44 –R: O método 3, pois possui a menor variância.

45 –R: 0,305

46 – R: },,,{ VVVBBRBC

47 – R: 0,47

48 – R: 0,92

49 – R: 0,56

50 – R: 0,67

51 – R: 2/3 52 – Y 0 50000 100000

P(Y=y) 150126

15023

1501

53 – R: 8333,33

54 – R: 380555611

55 – R: 4,6 56 –

75,2)( GE

4125,0)( GVar

57 – R: Vender suas caixas por R$13,50

58 – R: 0,40878878

59 –R: 0,067444034

60 –R: 0,250118733

61 – R: 750

62 – R: 39,9 mil milhas

63 – R: 24,87379

64 – R: (24,87379 ; 35,12621)

65 –R: 8

66 – R: 510,36

67 – R: 0,01

68 –R: 0,078

69 – R: 0,9986 70 –R: ≈ 1 71 –R: 0,264 72 –R: 0,8056 73 – n=20? R: 0,8802 74 – n=600? R: 0,9982 75 –R: 0,181

76 –R: 97

77 –R: 167

78 –R: 97

79 –R: 323

80 – R: Quanto maior o nível de confiança, maior a amplitude do ][)%1(100 IC , quando mantemos

fixo o tamanho da amostra.

024,9;976,6][%80 IC

125,9;848,6][%85 IC

312,9;688,6][%90 IC

G 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

P(G=g) 0,3 0,2 0,3 0,1 0,1

568,9;432,6][%95 IC

81 – R: Quanto maior o tamanho da amostra, menor é a amplitude do ][%99 IC , ou seja, há um

aumento na precisão da estimativa, para α fixo.

Para n = 30

4788,8A

Para n = 50

6,6A

Para n = 100

64,4A

82 – R: 6551,10;84,8][%80 IC

83 –R: 96,177,28

2277,22

222

ZZx

nZx

84 – R: 632,32;37,27][%99 IC

85 – R: 4529,33;5470,26][%99 IC

86 – R: 153,57;846,42][%95 IC

87 – R: 198,56;801,43][%95 IC

88 – R: 8594,49;1406,46][%95 IC

89 – R: [0,44 ; 0,52]

90 – R:

91 – R: p-valor = 0,422907242

92 –

p-valor = 0,01621 < 0,05

93 –

p-valor = 0,023652 < 0,05

94 –

onças. 8 de diferente seja despejada quantidade da

média a que de evidências existem Não .Hrejeitar Nãoz

1,96 0,8015- z 1,96-

0obs

obs

RA


média a que de asestatístic evidências Há .HRejeitar z

1,96 2,4045- z :R

0obs

obs

RC


média a que de asestatístic evidências Há .HRejeitar z

1,96 2,2631- z :R

0obs

obs

RC

H0: μ ≥ 2,8

H1: μ < 2,8

95 –

96 – R: p-valor = Φ(-1,75) = 0,040059157 < 0,05. Rejeitar H0.

97 –R: t = 3,30 > t35 = 2,0301. Rejeitar H0. Existem evidências de que a potência média seja

diferente de 9,0.

98 – R: Os dados estão distribuídos de maneira aproximadamente normal.

99 – R: o p-valor é igual a 0,0022.

100 –R: t = 2,275 > t35 = 2,0301 p-valor = 0,029. Rejeitar H0.

101 – Utilizando o nível de significância de 0,05, o auditor deveria concluir que há evidências de

que a dívida média seja diferente de $75?

102 – R: p-valor = 2*[1- T(3,55179704 )] = 0,000587668 < 0,05. Rejeitar H0.

103 –

p-valor = 0,026372601< 0,05. Rejeitar H0.

104 –

p-valor = 0,110364958 > 0,05. Não rejeitar H0.

105 – No nível de significância de 0,01, há evidências de que a proporção de funcionários de

processamento de dados que tenham passado pelo novo treinamento e não estejam mais

empregados seja menor do que 0,25?

106 – R: p-valor = 0,054492128 > 0,01. Não rejeitar H0.

.apropriado modo de operando esteja não

processo o que de asestatístic evidências existem queconcluir portanto,

podemos, e 2,8 quemenor ivamentesignificat é médiaA .HRejeitar z

1,64485- 1,75- z R

0obs

obs

RC

75. de diferente seja média dívida

a que de asestatístic evidências Existem .HRejeitar

1,98421731 3,55179704 :

0obs

99obs

RCt

ttR



1,98421731 12,25442834 :

0obs

obs

RCt

tR


a que de asestatístic evidências existem Não .Hrejeitar Não

1,98421731 81,61099365 1,98421731- :R

0obs

obs

RAt

t

0,25. que domenor seja proporção

a que de asestatístic evidências existem Não .Hrejeitar Não

1,60277537- 2,32634787- :R

0obs

obs

RAz

z

107 –

108 – R: Z = -5,00 < -2,33. Rejeitar H0. Existem evidências de que a proporção de médicos

homens que tiveram ataque do coração é menor para aqueles que tomaram aspirina do que para

aqueles que não tomaram aspirina.

109 – R: pvalor = 0,00000029. Existe muito pouca possibilidade de que esses resultados poderiam

ter ocorrido caso a aspirina não reduzisse a incidência de ataques do coração.

0,25. que domenor seja proporção


2,92270803- 2,32634787- :R

0obs

obs

RCz

z

lista de exercícios1

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