Lista de Exercícios – Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade.

1 – O tempo T em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade:

t 2 3 4 5 6 7p(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1

Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de $2,00, mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha $0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de $1,00. Encontre a distribuição de probabilidade, a média e a variância da v.a. G: quantia em $ ganha por peça.

2 – Considere a v.a. X com a seguinte função de distribuição acumulada, F(x):

F(x) =

Obtenha a distribuição de probabilidade de X. Calcule E(X), Var(X) e DP(X).

3 – Suponha que a v.a. X tem a seguinte distribuição de probabilidade:x 0 1 TotalP(X=x) a 1-a 1

Calcule E(X) e Var(X).

4 – Se X~B(n,p), sabendo-se que E(X) = 12 e Var(X) = 3, determinar:a) nb) p

c)

d)

e) , onde .

f) , onde .

5 – Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por esta máquina são selecionados ao acaso. Qual é a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Qual o valor esperado e a variância do número de artigos defeituosos produzidos pela máquina neste lote de 10 itens.

6 – Se X tem distribuição Binomial com parâmetros n = 5 e p = ½, faça o gráfico da distribuição de X. Qual o valor esperado e a variância de X?

7 – Considere agora n = 5 e p = 1/4. Obtenha o gráfico da distribuição de X, sua média e variância.

8 – Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez dos artigos é defeituoso. Sabendo que a variável de interesse é o número de artigos defeituosos numa amostra aleatória de tamanho quatro, qual a distribuição de probabilidade da variável de interesse? Qual a probabilidade de que se observe na amostra:a) Nenhum artigo defeituoso?b) Exatamente um artigo defeituoso?c) Exatamente dois artigos defeituosos?d) Não mais do que dois artigos defeituosos?

9 – Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, duas defeituosas. Se a caixa contém 18 peças, e a experiência tem demonstrado que esse processo de fabricação produz 5% das peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaça a garantia?

10 – Uma moeda honesta é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de se obter exatamente duas caras? E qual a probabilidade de se obter no máximo três caras?

11 – Um dado honesto é lançado sete vezes. Sabendo que a variável de interesse é X: Número de ocorrências da face 5 nos sete lançamentos, apresente a distribuição de probabilidade de X? Qual a probabilidade de se obter face 5 no máximo uma vez?

12 – Se , calcular:a) b) c) d)

13 – Para , calcule:a) b) c) d) O valor a, tal que

14 – Para , encontre:a) b) c) O número a tal que d) O número b tal que

15 – As alturas de alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente normal com média 170 cm e desvio padrão 5 cm. Qual a probabilidade de que a altura dos alunos seja maior que 165 cm? E qual a probabilidade de que as alturas dos alunos estejam entre 160 cm e 170 cm? Apresente a variável aleatória deste problema, juntamente com sua distribuição de probabilidade.

16 – As vendas de determinado produto têm distribuição aproximadamente normal, com média 500 unidades e variância 2500 unidades2. Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em estudo, qual é a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos esse mês, por estar com a produção esgotada? Apresente a variável aleatória deste problema, juntamente com sua distribuição de probabilidade.

17 – O diâmetro populacional de parafusos produzidos por uma fabrica é aproximadamente normal, com média 0,85 cm e com um desvio padrão de 0,01. Qual a variável aleatória do problema, e qual sua distribuição de probabilidade? Qual a probabilidade de que os parafusos tenham diâmetro maior que 0,851 cm?

18 – A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8; 1,5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?

19 – O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 25,08 pol. e desvio padrão 0,05 pol. Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 pol., determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações.

20 – Suponha que as medidas da corrente elétrica em pedaço de fio sigam a distribuição Normal, com uma média de 10 miliamperes e uma variância de 4 miliamperes. a) Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliamperes? b) Qual a probabilidade de a medida da corrente estar entre 9 e 11 miliamperes?c) Determine o valor para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar abaixo desse valor seja 0,98.

21 – Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média 150000 km e desvio-padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure: a) Menos de 170000 km? b) Entre 140000 km e 165000 km?