UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-RIDO - UFERSADEPARTAMENTO DE CINCIAS EXATAS E NATURAIS - DCEN

DISCIPLINA: CLCULO IPROFESSORA: JOSEANE

LISTA DE EXERCCIO

1) Determinar a equao da reta tangente s seguintes curvas, nos pontosindicados. Esboar o grco em cada caso.

a) f(x) = x2 1;x = 1; x = 0; x = a; a 2 R:

b)f(x) = x2 3x+ 6;x = 1; x = 2:

c) f(x) = x(3x 5);x = 12 ; x = a; a 2 R:

2) Encontrar as equaes das retas tangente e normal curva y = x22x+1no ponto (2; 9).

3) Dadas as funes f(x) =1

x 1 e g(x) = 2x2 3, determinar:

a) f0f 0

b) g00f0

c) f 0 2g0

4) Dada a funo f(x) =1

2x 6 ; vericar se existe f0(3). Esboar o grco.

5) seja f(x) =x2 1 se jxj 11 x2 se jxj > 1 :

a) Esboar o grco de f .

b) Vericar se f contnua nos pontos 1 e 1.

c) Calcular f 0(1); f 0(1+); f 0(1) e f 0(1+):

d) Calcular f 0(x), obter o seu domnio e esboar o grco.

6)D exemplo (por meio de um grco) de uma funo f , denida e derivvelem R, tal que f 0(1) = 0:

7) Seja g(x) =x2 + 2 se x < 12x+ 1 se x 1

1

a) Mostre que g derivvel em p = 1 e calcule g0(1):

b) Esboce o grco de g.

8) Seja g(x) =x+ 1 se x < 1x+ 3 se x 1

a)Esboce o grco de g.

b)g derivvel em p = 1? Por qu?

9) Determine a equao da reta tangente ao grco de f(x) = ex no pontode abscissa 0.

10) Seja g(x) = loga x, onde a > 0 e a 6= 1 constante. Mostre que g0(x) =1

x ln a:

11) Seja f(x) =x+ 1 se x < 21 se x 2

a) f contnua em 2 ? Por qu?

b) f derivvel em 2 ? Por qu?

12) Seja f(x) =x2 se x 0x2 se x > 0

a) f derivvel em 0? Justique.

b) f contnua em 0? Justique.

13) Seja f(x) = x+ 3 se x < 3

x 3 se x 3

a) f derivvel em 3? Justique.

b) f contnua em 3? Justique.

14) Calcule f 0(x) :

a)f(x) = 3x2 + 5:

b)f(x) = 23x3 + 14x

2

c)f(x) = 3px+

px

2

d)f(x) = 2x+ 1x +1x2

e)f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k; onde b; c e k so constantes.

f)5x+x

x 1

g)px+

3

x3 + 2

h)3px+ xpx

i)x+ 1

tanx

j)3

sinx+ cosx

k)secx

3x+ 2

l)cosx+ (x2 + 1) sinx

m)px secx

n)4 secx+ cot gx

o)x2 + 3x tanx

p)x2 + 1

secx

q)x+ 1

x sinx

r)x+ sinx

x cosx

s)f(x) = x2ex

t)f(x) =1 + ex

1 ex

u)f(x) = x2 lnx+ 2ex

v)f(x) =x+ 1

x lnx

3

x)f(x) =lnx

x

z)f(x) =ex

x+ 1

15) Calcule F 0(x) sendo F (x) igual a:

a)xex cosx

b)ex sinx cosx

c)(1 +px)ex tanx

16)Encontrar a derivada das funes dadas:

a)f(w) = aw2 + b

b)f(s) = (s2 1)(3s 1)(5s3 + 2s)

17) Seja p(x) = (x a)(x b), a e b constantes. Mostrar que se a 6= b entop(a) = p(b) = 0, mas p0(a) 6= 0 e p0(b) 6= 0.

18) Dadas as funes f(x) = x2 +Ax e g(x) = Bx, determinar A e B de talforma que

f 0(x) + g0(x) = 1 + 2xf(x) g(x) = x2:

19) Dada a funo f(t) = 3t3 4t+ 1, encontrar f(0) tf 0(0).

20) Encontrar a equao da reta normal curva y = (3x2 4x)2 no pontode abscissa x = 2.

21) Em que pontos o grco da funo y =1

3x3 3

2x2 + 2x tem tangente

horizontal?

22) Seja y = ax2+ bx. Encontrar os valores de a e b sabendo que a tangente curva no ponto (1; 5) tem inclinao m = 8.

23) Calcular a derivada.

a) f(t) = (7t2 + 6t)7(3t 1)4

4

b) f(t) =7t+ 1

2t2 + 3

3c) f(x) = 3

p(3x2 + 6x 2)2

d) f(x) =1

3e3x

e) f(s) = (7s2 + 6s 1)3 + 2e3s

f) f(x) = log2(2x+ 4)

g) f(s) = log3ps+ 1

h) f(t) = (2t+ 1)t21

i)f(x) = (ex2

+ 4)px

j) f(s) =1

2(a+ bs)ln(a+bs)

k) f() = 2 cos(22 3 + 1)

l) f() = 2 cos 2: sin 2

m) f(x) = sin3(3x2 + 6x)

n) f() = csc2 3

o)f(x) = sin2(x

2) cos2(

x

2)

p) f(t) = e2 cos 2t

q) f(x) = arcsecpx

r) f(t) = tanh(4t2 3t)2

s) f(x) = sech[lnx]

t)f(x) = x arg coshxpx2 1

u)f(x) = x arg cothx2

v)f(x) = (x+ 1) arg sech2x

x)f(x) = 12 [arg coshx2]2

5

24) Seja f : R ! R derivvel e seja g(t) = f(t2 + 1). Supondo f 0(2) = 5,calcule g0(1):

25) Seja f : R ! R derivvel e seja g dada por g(x) = f(e2x). Supondof 0(1) = 2, calcule g0(0):

26) Derive

a)f(x) = ex2

+ ln(2x+ 1)

b)y =cos 5x

sin 2x

c)y =px2 + e

px

d)y = [ln(x2 + 1)]3

e)f(t) =te2t

ln(3t+ 1)

27) Dada f(x) = 1 + cosx, mostrar que f(x) par e f 0(x) mpar.

28) Mostrar que a funo y = xex22 satisfaz a equao xy0 = (1 x2)y.

29) Sejam f e g funes tais que (f0g)(x) = x para todo x, e f 0(x) e g0(x)existem para todo x. Mostrar que

f 0(g(x)) =1

g0(x), sempre que g0(x) 6= 0.

30) Obtenha a regra do produto para (uv)0 derivando a frmula ln(uv) =lnu+ ln v.

31) Calcule a derivada segunda.

a)y = sin 5t

b)y = ex2

c)y =ex

x+ 1

d)y = sin(cosx)

e)f(x) =4x+ 5

x2 1

6

f)g(t) =pt2 + 3

g)y = x 3px+ 2

32) Seja g : R ! R uma funo diferencivel e seja f dada por f(x) =xg(x2). Verique que f 0(x) = g(x2) + 2x2g0(x2):

33) Seja g : R ! R derivvel at a 2:a ordem e seja g dada por g(x) =f(e2x). Verique que g00(x) = 4e2x[f 0(e2x) + e2xf 00(e2x)].

34) Seja y = ex, onde uma raiz da equao 2 + a+ b = 0, com a e bconstantes. Verique que

d2y

dx2+ a

dy

dx+ by = 0:

35) Calcular as derivadas sucessivas at a ordem n indicada.

a) y = 3x4 2x ; n = 5

b)y = ax3 + bx2 + cx+ d ; n = 3

c)y =p3 x2 ; n = 2

36) Achar a derivada de ordem 100 das funes:

a)y = sinx

b)y = cosx:

37) Mostrar que a derivada de ordem n da funo y =1

x dada por y(n) =

(1)nn!xn+1

.

38) Sejam f(x) e g(x) funes derivveis at 3a ordem. Mostrar que:

a) (fg)00 = gf 00 + 2f 0g0 + fg00;

b)(fg)000 = gf 000 + 3f 00g0 + 3f 0g00 + fg000.

39) Calcule a derivada.

a)f(x) = 5x + log3 x

b)g(x) = 32x+1 + log2(x2 + 1)

7

c)y = xx sinx

40) Expresse dydx em termos de x e de y, onde y = f(x) uma funodiferencivel dada implicitamente pela equao:

a)x2 y2 = 4

b)y3 + x2y = x+ 4

c)xy2 + 2y = 3

d)y5 + y = x

e)x2 + 4y2 = 3

f)xy + y3 = x

g)x2 + y2 + 2y = 0

h)x2y3 + xy = 2

i)xey + xy = 3

j)y + ln(x2 + y2) = 4

l)5y + cos y = xy

m)2y + sin y = x

41) Determine a equao da reta tangente elipsex2

a2+y2

b2= 1, no ponto

(x0; y0), y0 6= 0:

42)Suponha que y = f(x) seja uma funo derivvel dada implicitamentepela equao y3 + 2xy + x = 4. Suponha, ainda, que 1 2 Df:

8