CENTRO UNIVERSITÁRIO VILA VELHA

LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 1

LIMITES

1)Encontre o limite das funções, se existir: à

a) xx

x --

® 12111

lim121

R=1/22 b) ÷÷ø

öççè

æ-

-+® xxxx 4

1)4(

11lim

0 R=-1/8

c) x

xx -

-® 3

)3( 3

3lim R=0 d) ( ) ÷

øö

çèæ

®+- 3

24

034lim xx

x R≈2,08

e) xxsen

x 52

lim3®

R=2/5 f) tgxsenx

xlim

0® R=1

g) senx

xx

2

0

cos1lim

-®

R=0 h)

3

27

31

27lim

-

-®

x

xx

R=27

2) Use as Leis do Limite e o gráfico de f e g na figura ao lado para calcular os seguintes limites:

a) [ ])(3)(lim2

xgxfx

+-®

R=-2 b) [ ])()(lim1

xgxfx®

R= Não Existe

3) Use as Leis do Limite e o gráfico de f na figura ao lado para calcular os seguintes limites:

a) )(2

2lim xfxx®

R=8 b) )(3lim1

xfx

+®

R=2

4) Observe a solução dada por um aluno, ao calcular o limite de

xx ++ 9 quando x tende a -9. Verifique se a solução está correta.

9909099999 limlimlimlimlimlim999999

-=-=-+=-++-=++=++-®-®-®-®-®-® xxxxxx

xxxx

5) Encontre o limite das funções, em torno de x=1.

a) îíì

=¹+

=1,3

1,1)(

xse

xsexxf R=2 b)

îíì

=¹+-

=1,1

1,12)(

2

xse

xsexxxf R=-2

6) Seja îíì

>-<+-

=13

122)(

2

xsex

xsexxxf . Encontre )(lim

1xf

x -® e )(lim

1xf

x +®. Existe )(lim

1xf

x®?

7) O módulo do campo Elétrico E em um ponto que dista r de uma carga puntiforme q é dado por

24 rq

Eep

= , onde q , p e e são constantes. Considerando p3=q , determine Er

lim2

1e®

. R=3/2

8) Encontre as constantes u e v para que a função abaixo tenha limite quando x tende a 2.

ïî

ïí

ì

<-=>+

=2

23

2

)(2 xuxv

x

xvxu

xf R u=-1/3 e v=5/3

9) Use o teorema do confronto para mostrar que os limites abaixo são iguais a zero.

a) x

senxx

12

0lim®

b) x

xx

1coslim

0® b)

xsenxx

x

p23

0lim +®

10)se f e g forem funções contínuas, com 5)( =xf e [ ] 4)()(2lim3

=-®

xgxfx

, encontre )3(g .

R=6

11) Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para verificar se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados

a) 0)( == xxxf R:sim b) îíì

=¹

=3,0

3,1)(

xse

xsexf R:não

b) 22

3)( -=

+= x

xxf R:não c)

ïî

ïíì

=

¹--

=3,4

3,39

)(

2

xse

xsexx

xf R:não

d)

ïïî

ïïí

ì

<+=

<--

=04

02

036

)(2 xx

x

xxx

xf R:sim e)

ïî

ïíì

=

¹--

=2,3

2,48

)( 2

3

xse

xsexx

xf R:não

f)

ïî

ïí

ì

=>-<-

=21

21

11

)(

2

x

xx

xx

xf R:não g) 4352)( =+-= xxxxf R:sim

12) Mostre que a função 216)( xxxf -= é contínua em [-4,4]

13) Mostre para quais valores as funções são contínuas.

a) 4353

)(2

2

-+++

=xxxx

xf R: x≠1 e x≠-4 b) xxxf 2)( 2 -= R: x ≥2 e x ≤0

c) ÷øö

çèæ

+-

=21

ln)(xx

xf R: x >1 e x < -2 d) )1sec(cos)( 2 -= xxf R: x≠1 e x≠-1

e) )cos()( xexf = R: x > 0 f) 2252)( xxxf -+= R: -5 < x < 5

14) Para quais valores da constate c a função é contínua em todo R.

a) îíì

>-£+

=3,1

3,1)( 2 xsecx

xsecxxf R=1/3 b)

îíì

<³-

=3,4

3,)(

2

xse

xsecxcxf R =4/3 ou -1

15) Mostre que existe uma raiz das equações abaixo nos intervalos dados.

a) ]2,1[02364 23 =-+- xxx b) )2,1(0133 =+- xx

16) Explique com suas palavras o significado dos itens abaixo

a) 7)(lim =¥®

xfx

b) 2)(lim =-¥®

xfx

17) Calcule os limites

a) 143 22lim -+

¥®xx

x R=∞

b) 11

2lim++

¥® tt

t R=0

c) 35232

2

2

lim-++-

¥® tttt

t R=1/2 d)

3725

3

3

lim++-

-¥® tt

t R=-5/7

d) 2

3

0

1lim

xxx

x++

® R=∞ e)

12

2lim+¥® xx

R=0

f) 2

2

812

limxx

xx +

-¥®

R=1/2 g) 23 23lim xx

x-

¥® R=∞

h) 537

lim++

-¥® xx

x R= 1/3 i) 33

lim ---¥®

xxx

R= -∞

j) 54

73

3

lim++

¥® xxx

x R=1/2

k) xxlim

¥® R=∞

18) Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva abaixo:

a) 1

3)(

-=

xx

xf R: y=3 e x = 1 b) 2

3412

)( ÷øö

çèæ

+-

=x

xxf R: x=4/3 e y=4/9

c) 2)52(3

)(-

=x

xxf R: y=0 e x = 5/2 d)

5312

)(-+

=xx

xf R: x=5/3 e y= 3/2±

19) Encontre )(lim xfx ¥®

se 2

2 34)(

14x

xxxf

xx +

<<-

para todo x>5

20) Calcule os limites, usando o teorema do confronto.

a) x

senxxlim

¥® R=0 b)

3cos2

lim+

-¥® x

xx

R=0

c) 10

)3(52

2

lim+

--¥® x

xsenxx

R=5 d) 2

)2( 22

lim++

¥® xxsenx

x R=∞